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OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA APLICADA AO PROJETO DE SISTEMAS FLUIDOS E TÉRMICOS
Agradecimento:
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos
Adriano Akio Koga
Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva
contato:
Sumário
Método de Otimização Topológica Aplicado a Meios Fluidos
Estudo de Caso
Motivação e Objetivos
Fundamentação Teórica- Formulação da Mecânica dos Fluidos;
- Método dos Elementos Finitos (MEF).
Formulações de Otimização
Implementação Numérica
Exemplos
Conclusões1
Como tudo começou…
M. P. Bendsøe and N. Kikuchi, “Generating optimal topologies in
structural design using a homogenization method”, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering 71, pp.197–224,
1988.
Em 2008 comemorou-se 20 anos!!!
• Problemas estruturais em geral:
* maximização da rigidez, freqüência de ressonância (ou carga
de flambagem);
* minimização da resposta em freqüência;
* maximização da absorção de energia de impacto;
* etc...
• Problemas de Condutividade Térmica;
• Projeto de materiais compostos com propriedades desejadas;
A Expansão …
As Três Ondas (“Big Waves”)...
Primeira Onda
• Mecanismos Flexíveis;
• MEMS (“Microelectromechanical Systems”)
• Transdutores (atuadores, motores) Piezoelétricos;
• Dispositivos Eletromagnéticos:
* maximização da relação torque/volume nos motores elétricos;
* maximização da receptividade e emissividade em antenas;
Segunda Onda
Terceira Onda
A Expansão …
• Meios Fluidos
• Estruturas “band-gap” Fonônicas: isolamento acústico,
isolamento de vibrações mecânicas, dispositivos SAW, etc…
• Materiais “band-gap” Fotônicos: projeto de filtros
eletrônicos, antenas, fibra óptica, “laser switch”, etc…
Técnicas de Otimização Para Sistemas Fluidos
Abordagens de Otimização
9
Otimização
Paramétrica
Otimizaçãode forma
OtimizaçãoTopológica
elementosde tubos
“splines”
distribuiçãode material
Bendsøe, M. P., e O. Sigmund. “Topology Optimization - Theory, Methods and Applications.”
Berlin Heidelberg: Springer Verlag, 2003.
Definição
10
Procedimentos da Otimização
- Distribuição de uma quantidade limitada de material para
obtenção de uma topologia otimizada.
Domínio Inicial Domínio Discretizado Topologia Obtida
Pós-ProcessamentoVerificação
Fabricação
Ventr
Vsaída
Otimização Topológica Para Meios Fluidos
11Borrvall, T., e J. Petersson. “Topology optimization of fluids in Stokes flow.” International Journal for
Numerical Methods in Fluids 41, 2003: 77–107.
Minimização de arrasto em
perfis
Seletor de escoamentoReversor de escoamento 3D
Canal duplo
Distribuição do material “fluido” e “sólido”
Otimização Topológica Para Meios Fluidos
Estudo de Caso
2
Dispositivos de microcanais:
- misturadores;
- dosagem e análise de reagentes
químicos;
- sensores;
- “lab-on-a-chip”;
- trocadores de calor.
Whitesides, G. M. “The origins and the future of
microfluidics.” Nature 442 (2006): 368-373.
Aplicações
Bioengenharia:
Indústria Eletrônica:
Vantagens da otimização no
projeto:
Motivação
• Automação Laboratorial
• Dosagem de reagentes
• Sensores e “lab-on-a-chip”
• Dissipadores de calor
• Melhor desempenho
• Minimização da dissipação de
energia
• Menor consumo de energia3
Aplicação do Método de Otimização Topológica
para o projeto de dispositivos de microcanais que
resultem em menor perda de carga no escoamento
fluido e maior dissipação térmica (remoção de calor).
Objetivo
4
Dispositivos de microcanais:
- pequena escala (mm~cm);
- água como fluido base;
- baixas velocidades / baixo número de Reynolds (Re<1);
- regime permanente.
Fundamentação Teórica
5
2
0
pt
t
uu u u f
u
Equações de Navier-Stokes
2
0
pu f
u
Equações de Stokes
- regime permanente;
- baixo número de Reynolds
(Re<1);
- termo convectivo desprezível;
- predomínio de efeitos viscosos;
- escoamento incompressível;
u – velocidade
p – pressão
f – forças de corpo
μ – viscodidade do
fluido
ρ – densidade do
fluido
- escoamento através de meios porosos;
- permeabilidade do material.
6
Equação de Darcy
Vin Vout
Equações de Brinkman
2
0
pu u f
u
- Stokes + Darcy
α – permeabilidade
inversa do meio
poroso
pu f
α como fator de penalização
Fundamentação Teórica
Borrvall, T., e J. Petersson. “Topology optimization of fluids in Stokes flow.” International Journal for
Numerical Methods in Fluids 41, 2003: 77–107.
7
- descreve os processos de troca de calor;
- condução/convecção.
Equação de Transferência de Calor (equação
de energia)
TkTct
Tc pp
2
tfu
u – velocidade
T – temperatura
ft – fonte de calor
k – condutividade térmica
cp – calor específico
ρ – densidade do fluido
Fundamentação Teórica
Método de Elementos Finitos (MEF)
8
- Elemento Fluido
1
2
3
4
u1
u2
u3
u4
v1
v2
v3
v4
x
y
velocidade
pressão
- Elemento Térmico
1
2
4
T1
T2
T3
T4
x
y
temperatura
T u fK G
p 0-G 0
1 1 2 2 3 3 4 4
tu v u v u v u vu
pp
Tn T kT q
1 2 3 4{ }TT T T TT
Formulação
Streamline Upwind
Petrov-Galerkin
12
Domínio Fixo Estendido
Ω
Ωd
Ω
Γu
Γt ?
Modelo de Material
- modelo SIMP (“Solid Isotropic Material with Penalization”)
p=1
23
46
10
C(x
)ρ(x)
00
0.2 0.4 0.6 0.8 1
C0
0 1
?
0 1Problema discreto
(mal-posto)
Problema relaxado
p – fator de penalização
O problema é relaxado, permitindo
que a variável de projeto assuma
valores intermediários durante o
processo de otimização.
0C Cx x0
pC Cx x
Conceitos da Otimização Topológica
Formulação do Problema de Otimização
13Solução através de PLS (Programação Linear Seqüencial)
Minimização de perdas de carga
uIN
uOUT
u=0
minimizar: energia potencial de escoamento do
sistema fluido
sujeito a: equações de equilíbrio
restrição de volume
Formulação do Problema de Otimização
14Solução através de PLS (Programação Linear Sequencial)
Maximização de velocidade
u
u
IN
OUT
u i
u=0
maximizar: velocidade em pontos definidos
sujeito a: equações de equilíbrio
restrição de volume
Formulação do Problema de Otimização
15Solução através de PLS (Programação Linear Sequencial)
Maximização da condutividade (dissipação) térmica
calor
adiabático T=T 0
maximizar: energia potencial térmica
sujeito a: equações de equilíbrio térmicas
restrição de volume
Formulação do Problema de Otimização
16Solução através de PLS (Programação Linear Sequencial)
Função multi-objetivo
min: perda de carga
max: dissipação térmica
Cálculo de Sensibilidade
através do Método Adjunto
u in u outcalor
u=0
adiabático T=T0
minimizar: função multi-objetivo
sujeito a: equações de equilíbrio fluídicas
equações de equilíbrio térmicas
restrição de volumeTin, Tout,
17
Fluxograma da Otimização
Implementação Numérica
início
MEF
cálculo dos gradientes
otimização
resultado
convergiu?
S
N
Ventr
Vsaída
Software
totalmente
implementado
em Matlab
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Canal em Curva
19
?u=1v=0
u=0v=-1
x
y
0 5 10 15 20 25 305
10
15
20Energia dissipada ao longo das iterações
iterações
Fu
nçã
o O
bje
tivo
V=0,25 V=0,4 V=0,6 V=0,7
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
(Borrvall and Petersson, 2003)
Vetores de velocidade Módulo da velocidade Campo de pressões
frações de volume
V=0,4
Canal em Curva
21
Independência de Malha
20x20 elementos 40x40 elementos 80x80 elementos
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Bocal/Difusor
22
0 5 10 15 20 25 3020
40
60
80
100Energia dissipada ao longo das iterações
Iterações
Fu
nçã
o O
bje
tivo
1
1/3u=1v=0
x
y
u=3v=0? 60x60 elementos 120x120 elementos
V=0,5
10 20 30 40 50 60
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
80
100
120
140
160
180
200
(Borrvall and Petersson, 2003)
Módulo da velocidade Campo de pressões
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Canal Duplo
23
x
y
?0.2
1/4
0.2
1
δ
1/4
δ = 1,0 δ = 1,5
malha
refinada
(Borrvall and Petersson, 2003)
10 20 30 40 50 60
5
10
15
20
25
30
35
40
0
20
40
60
80
100
120
140
Módulo da velocidade Campo de pressões
V=0,4
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Escoamento ao redor de perfis
24
10
20
30
40
50
60
70
8010 20 30 40 50 60 70 80
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
1
1u=1
v=0u=1
v=0
V = 0,85
V = 0,90
V = 0,95
Módulo da velocidade Campo de pressões
Exemplos – Minimização da Perda de Carga
Campo de Pressões
0
100
200
300
400
500
600
Exemplos – Maximização da velocidade
Reversor
25
u=1v=0
u=0v=-1
x
y
uoutmax
UX
40x40 elementos 80x80 elementos
Campo de pressões
0 5 10 15 20 25 30
-1.6-1.4
-1.2
-1-0.8
-0.6-0.4
-0.20
0.2velocidade ao longo das iterações
iterações
fun
ção o
bje
tivo
V=0,4
Vetores de velocidade
Exemplos – Maximização da Dissipação Térmica
Dissipador de calor (Condução pura)
26
T=0
Calor distribuído
40x40 elementos 160x160 elementos
Distribuição de Temperatura
Trocador de calor (Convecção/Difusão)
27
Exemplos – Maximização da Dissipação Térmica
Pesos da otimização:
u – peso da otimização fluídica
w – peso da otimização térmica
?
u=0v=-1
x
y
T=20ºC
CalorDistribuído
p=0 p=0
Sólido: alumínio
Fluido: águaad
iab
átic
o adiab
ático
Trocador de calor (Convecção/Difusão)
28
Resultados – Maximização da Dissipação Térmica
?
u=0v=- 1
x
y
T=20
CalorDistribuído
p=0 p=0
u=100; w=1 u=1; w=10
u=1; w=100
Perda de carga
u=1; w=1000
Térmico
29
Exemplos – Maximização da Dissipação Térmica
Trocador de calor (Convecção/Difusão)
densidade velocidade
distribuição de temperatura (simetria)
?
u=0v=- 1
x
y
T=20
CalorDistribuído
p=0 p=0
Conclusões
• O MOT consiste num método de otimização robusto e
sistemático no projeto de sistemas termo-fluidos;
•O método permite obter a geometria de um canal de escoamento
do fluido mais eficiente, reduzindo as perdas de carga ao longo
do mesmo, bem como domínios com melhor condução térmica;
• É possível combinar os dois fenômenos através de uma função
multi-objetivo, sendo útil no projeto de trocadores de calor;
•A otimização topológica permite o desenvolvimento de um
projeto mais eficiente com relação às dissipações termo-fluidicas;
30