Otimização Em Redes

8/19/2019 Otimização Em Redes

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MODELOS DE OTIMIZAÇÃO DEREDES

FEIRA DE SANTANA / BA


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• Representação em redes são utilizadaspara problemas de diversas áreas tais!omo" redes de transporte de!omuni!ação de ener#ia de produçãode distribuição entre outros$

•

%rande vanta#em das redes" &orne!erepresentação visual e !on!eitual doproblema

Modelos de otimização de redes


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Defnição "• Rede ' (on)unto de nós !one!tados por arcos

*ramos +$

• ,ma rede ' des!rita pela notação (N, A) sendoN o !on)unto de nós e A o !on)unto de arcos $

•

E-emplo"N = {1, 2, 3, 4, 5} A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4,2), (4, 5)}


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Defnição "• Asso!iado !om !ada rede está um fuxo• . u-o em uma rede ' limitado pela

!apa!idade de seus ar!os 0ue pode ser1nita ou in1nita$

• E-emplos$


Nós Ar os !l"#oEstação de

transbordo

2ias (oletivos

*3nibus+Aeroportos Rotas a'reas Aeronave4ontos de !omutação Fios !anais 5ensa#ensEstação debombeamento

Tubulação Fluido

(entro de tratamento Rotas de tratamento de Tare&as


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Defnição "• ,m ar!o ' direcionado *ou dirigido + se ele

permitir u-o positivo em uma direção e u-ozero na direção oposta6

• Denotação" um ar!o dire!ionado do n7 A para on7 B ' identi1!ado por AB ou A8B$

•

Se o u-o atrav's &or permitido ambasdireç9es o ar!o ' !:amado ar o nãodire ionado A;B$ 4or e-emplo umatubulação 0ue pode ser usada para bombear

uido em ambas direç9es$



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Defnição "• Rede direcionada ' a0uela na 0ual todos os ar!os

são dire!ionados6

•

De &orma similar rede não direcionada ' a0uelana 0ual todos os ar!os são não dire!ionados$

• Caminho ' uma se0u


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E-emplo de uma Rededire!ionada

A se0u


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$ro%lemas &o" al'oritmos( de redes "• . problema do !amin:o mais !urto6

•

. problema da árvores de e-pansão m>nima6• . problema do u-o má-imo6

•

. problema do u-o de !usto m>nimo6• 5'todo de otimizar a relaç9es !on itante

tempo=!usto$



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• Determinação da )"nção o%*eti+o edas restriç,es para o problema do!amin:o m>nimo$

$ro%lema do amin-o mais "rto "


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• Tamb'm !on:e!ido !omo al#oritmo do !amin:om>nimo determina o !amin:o mais !urto entre umdestino e uma ori#em em uma rede de transporte$

• Al'm disso pode ser usado em problemas 0ueob)etiva minimizar tempo de uma se0u


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• .s problemas do !amin:a mais !urto são&re0uentes 0uando se estuda redes detransporte de !omuni!ação e de !omputadores$

• Este problema sur#em 0uando se pretendedeterminar o !amin:o mais !urto por'm dentreos per!ursos a serem resolvido en!ontramos

diversos &atores 0ue podem e 0ue na maioriadas vezes impedem o u-o limpo e direto maisbarato ou mais viável entre um ou vários paresde n7s de uma rede$

$ro%lema do amin-o mais "rto "


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E#em.lo / " *@illier pa# C+. 4ar0ue Seervada permite um n mero

limitado de visitante$ @á um sistema derodovias dentro do par0ue para bondes e )ipes$ Este sistema de rodovia *sem as!urvas+ ' representado pela rede abai-o$


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. ' a entrada do par0ue$ As demais letrasrepresentam postos da #uarda orestal$ .s n merosrepresentam as dist?n!ias *mil:as+ entre os postos$

A #er


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E#em.lo 0 " A rede abai-o dá a dist?n!ia emmil:as entre de !idades G C $$$ e J$ ,se oal#oritmo de Di)Kstra para a!:ar o !amin:omais !urto entre as se#uinte !idades"a+ (idade G e J$ b+ (idades G e L$b+ (idades e J$ !+(idades C e L$


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• Trata=se de !one!tar os nós de uma rededireta ou indiretamente usando o ar o mais!urto$

•

,ma rede !om n n7s re0uer apenas &n1/( li#aç9es sem nen:um i lo para &orne!er um!amin:o entre !ada par de n7$

•

Não ' ne!essário li#aç9es e-tras )á 0ue issoaumentaria desne!essariamente o!omprimento total das li#aç9es es!ol:idas$

• As *n=G+ li#aç9es pre!isam ser es!ol:idas de

$ro%lema da 2r+ore 'eradora m3nima


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•

Em res"mo "G$ São &orne!ido os n7s de uma rede mas não

as li#aç9es$ 4or'm são &orne!idos as"iga#$es otenciais e o com rimento positivopara !ada n7$

C$ Dese)a desen:ar a rede inserindo li#aç9es

su1!ientes para satis&azer M ne!essidade de0ue :a)a um !amin:o entre !ada par de n7$

$ . ob)etivo ' satis&azer essa ne!essidade de

maneira a minimizar o !omprimento total



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• 4ro)eto de redes de tele!omuni!aç9es *redes de1bras 7pti!as redes de !omputadores redestele&3ni!as !om lin:a alu#ada redes de T2 a!abo et!$+$

•

4ro)eto de uma rede de transportes de uso não=intensivo para minimizar o !usto total de&orne!imento de li#aç9es *&errovias estradaset!$+$

•

4ro)eto de uma rede de lin:as de transmissãoel'tri!as de alta tensão$• 4ro)eto de uma rede de 1ação em um

e0uipamento el'tri!o *por e-emplo um sistema!omputadorizado di#ital+ para minimizar o

A.li aç,es da 2r+ore 'eradora m3nima


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Al'oritmo4 5r+ore de E#.ansão M3nima

G$ Sele!ione 0ual0uer n7 arbitrariamente e depois o!one!te ao n7 distinto mais pr7-imo$

C$ Identi10ue o n7 sem !one-ão 0ue este)a mais pr7-imo aum n7 !one!tado e em se#uida !one!te esses dois n7s$

$ Desempate" .s empates para o n7 distinto mais pr7-imo*passo G+ ou o n7 não !one!tado mais pr7-imo *passo C+podem ser des&eitos de &orma arbitrária e o al#oritmoainda deve !onduzir a uma solução 7tima$ Entretantotais empates são sinal de 0ue podem e-istir *mas nãone!essariamente+ soluç9es 7timas m ltiplas$


# " 0 $


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#em. o " ar0ue eerva a$E#em.lo 7 " ,ma T2 a !abo está em vias de&orne!er serviços por !abo para !in!o novas

áreas onde estão em desenvolvimentopro)eto residen!ial !omo mostra a 1#ura$Determinar a rede mais e!on3mi!a$


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• Dado uma !erta rede !omposta por maisde um n7 tendo n7s de entrada e n7s desa>da !om !apa!idade asso!iadas a !adaar!o *ou ramo+ !one!tados$ . u-omá-imo ' o !ál!ulo entre as dist?n!ia

levando em !onsideração a !apa!idade e o!amin:o per!orrido do n7 ini!ial ao n71nal$

$ro%lema do 8"#o m2#imo


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•

Todo o u-o atrav's de uma rededire!ionada e !one!tada ori#ina=se de umn7 denominado ori'em e termina em

outro n7 !:amado es oado"ro9• Todos os n7s restantes são nós trans%ordo.

•

. u-o atrav's de um ar!o ' permitidoapenas na direção indi!ada pela seta em0ue a 0uantidade má-ima de u-o ' dadapela ca acidade da0uele ar!o$



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• Na origem, todos os ar!os apontam nosentido de se a&astarem do n7$ Noescoado&ro, todos os ar!os apontam nosentido de se apro-imar do n7$

• . ob)etivo ' ma-imizar a 0uantidade total deu-o da ori#em para o es!oadouro$

•

Essa 0uantidade ' medida em 0ual0uer umadas duas maneiras e0uivalentes ou se)a a0uantidade '&e sai da origem ou então a0uantidade '&e c ega ao escoado&ro.



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• Al'"mas a.li aç,es "G$ 5a-imizar o u-o atrav's da rede de

distribuição de uma empresa partindo desuas &ábri!as para !:e#ar aos seus !lientes$

.u partindo de seus &orne!edores para!:e#ar a suas &ábri!as$C$ 5a-imizar o u-o de petr7leo atrav's de um

sistema de tubulaç9es$$ 5a-imizar o u-o de á#ua atrav's de um

sistema de a0uedutos$$ 5a-imizar o u-o de ve>!ulos atrav's de

uma rede de transporte$



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Al'oritmo do amin-o a"mentado "• Esse al#oritmo se baseia em dois !on!eitos

intuitivos uma rede resid&a" e um camin oa&mentado.

• Rede residual " uma representação dadi&erença da !apa!idade em um ar!o *ouramo+ e do u-o permitido nele apli!ada a!ada n7 de uma rede$

• Caminho aumentado " um !amin:oorientado da ori#em ao destino em 0ue todo



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Al'oritmo do amin-o a"mentado "• . al#oritmo do !amin:o aumentado sele!iona

al#um !amin:o aumentado e a!res!enta umu-o i#ual M sua !apa!idade residual ao

!amin:o na rede ori#inal$• Esse pro!esso !ontinua at' 0ue não :a)a mais

nen:um !amin:o aumentado de &orma 0ue ou-o partindo da ori#em e indo para o

es!oadouro não possa ser aumentado mais$



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Eta.as do Al'oritmo do amin-oa"mentado "G$ Identi10ue um !amin:o aumentado

en!ontrando al#um !amin:o dire!ionado daori#em para o es!oadouro na rede residualtal 0ue !ada ar!o desse !amin:o ten:a!apa!idade residual estritamente positiva$

C$ Identi10ue a !apa!idade residual e desse!amin:o aumentado en!ontrando o m>nimodas !apa!idades residuais dos ar!os nesse

!amin:o$ Aumente o u-o nesse !amin:o dee .3. *imin&a de e a !apa!idade residual de !ada

ar!o nesse !amin:o aumentado$ A&mente dee a !apa!idade residual de !ada ar!o na


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E#em.lo : " . 4ar0ue Seervada$


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E#em.lo ; " 4ara a rede mostrada ase#uir use o al#oritmo do !amin:oaumentado para en!ontrar o padrão de

u-o dando o +&xo máximo da ori#em aoes!oadouro dado 0ue a !apa!idade dear!o do n7 i ao n7 ' o n mero maispr7-imo ao n7 i ao lon#o do ar!o entreesses n7s$

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