Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. Otimizao de sistemas de reatores utilizando programao matemtica Optimization of reactor systems using mathematical programming MarcoAurlioPraxedes1,2;A.TeixeiraJunior1;MauroAntoniodaSilvaS Ravagnani2 1 DepartamentodeEngenhariaQumicaUniversidadeEstadualdoOesteParanaenseCampusdeToledo.E-mail: profpraxedes@hotmail.com 2 Programa de Ps-Graduao em Engenharia Qumica Universidade Estadual de Maring. RESUMO Nopresentetrabalhoestudou-seaoproblemadesntesedesistemasdereatoresviaprogramaomatemtica utilizandoumasuperestruturadereatores.Asuperestruturautilizadacompostaportrsreatoresdefluxo pistonado e trs reatores de mistura perfeita. A funo objetivo proposta se baseia nos custos com matria prima e construo do reator, como tambm no preo do produto desejado. As restries so compostas pelas equaes deprojetodosreatoresindividuais,balanosdemassanasuniesoudivisesdecorrentesdasuperestruturae dasequaesquecalculamaquantidadedematerialutilizadanafabricaodecadareator.Utilizando-se ProgramaoQuadrticaSucessiva,disponvelnabibliotecaIMSL,dalinguagemFortran,oproblemafoi solucionado, tendo-se obtido os valores timos das variveis com um baixo tempo de processamento. Palavras-Chave: Otimizao. Rede de reatores. Programao matemtica. ABSTRACT In the present paper the problem of synthesis of reactor systems is formulated as a mathematical programming problem, by using a reactors superstructure and different kinetics. The superstructure is composed by three PFR andthreeCSTR.Theproposedobjectivefunctioniscomposedbyrawmaterialcosts,reactormanufacturing costs and the price of desired product. Constraints are the individual reactors design equations, mass balances in thenodesofthesuperstructureandequationstoestimatetheamountofmaterialusedineachreactor manufacturing. Successive Quadratic Programming, available in the IMSL library of Fortran language is used to solve the problem. Optimal values were obtained with low processing times. Keywords: Optimization. Reactors network. Mathematical programming. INTRODUO A maioria dos processos na indstria qumica no est projetada para alcanar seu potencial mximo.Estepotencialmximodevesebasearemalgomensurvel,comoolucroanualobtido pela planta industrial. Seria muito complexo tentar a otimizao baseada em parmetros sociais ou ideolgicos.Porestemotivo,namaioriadosproblemasdeotimizaoemplantasindustriais,as funesobjetivosobaseadasnaminimizaodecustos,maximizaodelucrosoude produtividade. Vriosparmetrosexerceminflunciasobreorendimentodeequipamentos,comopor exemplo,asdimenses,condiesdeoperaopreodematriaprimaeprodutofinal,dentre outros.Oobjetivodeumproblemadeotimizaoencontrarqualomelhorconjuntodevalores para estes parmetros que tornariam mais lucrativo um equipamento ou uma planta industrial. Umdosequipamentosindustriaismaiscomplexosparaaotimizaooreatorqumico, pois geralmente o mesmo modelado por equaes no-lineares e vrias vezes estas equaes so bastantecomplexas.Talvezporestemotivohajapoucostrabalhosnaliteraturaquesededicama otimizar tais equipamentos, quando comparados, por exemplo, aos trocadores de calor. Para a sntese de redes de reatores, alguns pesquisadores utilizaram tcnicas heursticas em seus trabalhos, como Jacobs e Jansweijer (2000), Chakraborty et al. (2004) e Juang e Chung (2007). Praxedes, Teixeira Jr. e Ravagnani Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 20 Outro tipo de tcnica para sntese de redes de reatores a tcnica geomtrica ou da regio atingvel, utilizadanostrabalhosdeLakshmananeBiegler(1996),GlassereHildebrandt(1997),Rooneye Biegler (2000), Bedenik et al. (2007) e Zhou et al. (2008). Utilizando Programao Matemtica, alguns trabalhos foram publicados, como se pode ver em Achiene and Biegler (1988), Kokossis and Floudas (1990), Neves et al. (2006), Kamarudin et al. (2006), Labrador-Darder et al. (2007) and Pibouleau et al. (2007). OobjetivodestetrabalhoasntesedeumarededereatoresutilizandoProgramao Matemtica.Optou-seporestemtodoparaqueumcritrioeconmicodeotimizaofosse empregado, uma vez que os demais mtodos citados anteriormente no seriam capazes de analisar a rede de reatores gerada economicamente de maneira direta. SUPERESTRUTURA DE REATORES Umadasformasdeserealizarasntesedarededereatorespelaotimizaouma superestrutura.Estasuperestruturapodesersimplificadadediversasformas,gerandovriasredes de reatores diferentes. A otimizao consiste em uma escolha sistemtica de qual simplificao ser adota. A superestrutura de reatores proposta composta por 6 reatores, sendo 3 reatores de mistura perfeitae3reatoresdefluxopistonado.AFigura1representaumasuperestruturasemelhante utilizada neste trabalho, porm com um nmero genrico de reatores (n). Figura 1. Superestrutura de reatores Acorrentedesadadecadareatorsedivideemncorrentes.Umadestascorrentesir compor a corrente de sada da rede e as demais sero recicladas para os outros reatores. Cada uma destascorrentesserrecicladaparaoutroreatorespecfico.Destaforma,depoisdecadareator existeumnnoqualexisteumacorrenteparaalimentaodecadaumdosoutrosreatoresque compeasuperestrutura. A alimentao de cada reator composta pela unio de uma corrente de reagentes puros com as correntes de reciclo dos demais reatores. As redes so formadas anulando-se correntes e at mesmo reatores. Uma corrente pode ser simplificadaquandosuavazomolarouvolumtricaforzerada.Umreatorpodesersimplificado quandoseuvolumeforzerado.Amaximizaodafunoobjetivodeterminaindiretamentequais destes parmetros sero anulados. Otimizao dos sistemas de reatores utilizando programao matemtica Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 21 FORMULAO MATEMTICA FUNO OBJETIVO A funo objetivo de um problema de otimizao envolvendo reatores deve contemplar as peculiaridadesdarede,taiscomoosparmetrosdeprojetoesuascondiesdeoperao.Neste estudo, para que esta funo no se tornasse abstrata, a mesma foi baseada em termos financeiros, ouseja,foidesenvolvidaapartirdeumbalanoentreoscustoseasreceitasenvolvidosna construoeoperaodarededereatores.Destaforma,afunoobjetivoconsisteemuma diferenaentreoslucroseasreceitasdaredeemoperao.Portanto,estaequaodeveser maximizada. Noforamconsideradasnessafunoobjetivoquestessubjetivas,comoflexibilidadee operabilidade dos reatores. Tal levantamento se tornaria complexo e ainda seria especfico de cada planta, pois estes fatores variam de empresa para empresa. Tambm o termo do custo com reatores (CR) foi simplificado. O preodos acessriosfoi descartado. Esta simplificao tambmfacilita a resoluodoproblema, umavezquecadamarcade reatorpodeter tiposenmerosdeacessrios diferentes. Outros fatores que poderiam ser levados em conta e foram ignorados so a presena de recheio,catalticoouinerte,eanecessidadedeaquecimentoouresfriamento.Osreatoresreais geralmenteapresentamrecheioscatalticos.Estasreaesgeralmentepodemnecessitarde aquecimentoouresfriamento.Paraesteaquecimentoalgumaespciedetrocadordecalorsefaz necessria e o tamanho e custo do trocador de calor funo do tamanho do reator. Existem ainda reatoresqueapresentaminertesparamelhorarsuacondiodeescoamento.Estesfatoresnos permitemperceberqueexistemmuitasformasdetornaroproblemadoequacionamentodocusto dosreatoresmaissofisticado.Estasconsideraesacarretariamumesforomatemtico consideravelmente maior do que o necessrio na verso simplificada. Desta forma a funo objetivo se restringe a: ) (R MP PFC P P + = (1) Sendo: ==ENii i i PFP PM F t P12. . (2) ==SNjj j j MPP PM F t P12. . (3) mat mat mat Rd P V C . . = (4) Paraseencontrarovalormximodafunoobjetivoalgumasequaesauxiliaresso utilizadas. Estas equaes so as restries do problema e sero descritas a seguir. RESTRIES Asrestries,apresentadasaseguir,soequaesquecompeoproblemadeotimizao juntamentecomafunoobjetivo.Algumasdestasequaesajudamnadeterminaode parmetros da funo objetivo, outras devem ser utilizadas simultaneamente com a funo objetivo em sua otimizao. Praxedes, Teixeira Jr. e Ravagnani Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 22 As principais restries contidas na funo objetivo so: equaes da vazo de sada dos produtos desejados; equaes de taxa de reao; equaes de balano de massa; converso global; equaes de projeto individual dos reatores; equaes de volume de material gasto na fabricao da rede de reatores. As duas primeiras restries listadas acima sero discutidas na seo do caso estudado, pois variam de acordo com a cintica. AsEquaesde(5),(6),(8)e(9)representamosbalanosdemassanosns1,2,3e4 referentesaoreatorgenricoidoesquemaapresentadonaFigura1,epodemserutilizadasno clculo da converso global desta superestrutura (Equao (10)). Balano de massa no n 1: ==njjIA AF F10 0 (5) Balano de massa no n 2: iIAnjjiAiFAF F F010+ ==(6) Para se determinar iIAF1 pode-se utilizar apenas a converso em termos das vazes molares no reator i: ( )AiiFAiIAx F F = 10 1(7) Balano de massa no n 3: =+ =njijAiFAiIAF F F11 1(8) Balano de massa no n 4: ==ni jiFA AF F1 1 (9) A converso definida em termos da vazo molar: 01 0AA AAFF Fx= (10) Asequaesdeprojetodosreatoresdemisturaperfeitaedefluxopistonadopodemser representadas pelas Equaes (11) e (12), respectivamente. ) (0 AAsARrxFV= (11) Otimizao dos sistemas de reatores utilizando programao matemtica Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 23 =s xxAAARAA rdxFV0 ) (0(12) Paraoclculodaquantidadedematerialgastonafabricaodosreatoresdemistura perfeita edefluxopistonadopode-seutilizaras Equaes(13) e(14),respectivamente,deacordo com Levenspiel (2000). 3 / 2. 2 , 0. . 5 , 1 =RmatVe V (13) 3 / 2. . 2 , 0.42 . 5. . +=dR dmatnV ne V (14) As Equaes (1) a (14) representam genericamente uma superestrutura de reatores que pode seraplicadaaumareao qumicaespecfica. Aseguirserapresentada asntesedeumaredede reatores para a reao de Van der Vusse (1964). CASO ESTUDADO Umdoscasosescolhidosparaaotimizaoasntesederededereatoresparaareao utilizadanotrabalhodeVanderVusse(1964).Porserumareaosrie-paralela,comopodeser vistonoesquemaabaixo,apresentaumacertacomplexidadee,portanto,setornaumalvo interessante para a otimizao. D AC B Akk k32 12 Considera-sequeoprodutodesejadonoesquemaacimasejaocomponenteB.Paraquea produo de B seja a mxima deve-se facilitar a reao de produo de B, cuja constante cintica k1,einibirasreaesemsrie,cujaconstantecinticak2eproduzC,eemparalelo,cuja constante cintica k3 e produz D. Uma forma de inibir a reao em paralelo utilizar um reator de misturaperfeita,poisestefavoreceasreaesdeordeminferiore,comosepodeobservar,esta reao de primeira ordem para a produo de B e de segunda ordem para produo de D. Contraditoriamente,paraseinibirareaoemsriedeve-seutilizarumreatordefluxo pistonado,poisestediminuiaconcentraodeBe,conseqentemente,aproduodeC.Estes fatores aliados j citada complexidade da otimizao dos reatores fazem deste caso um desafiador objeto de estudo para a otimizao da sntese de redes de reatores. As diferenas entre as reaes se encontram nas expresses cinticas das taxas de reao e na expresso da vazo molar de sada do produto desejado (FB). Considerando que cada reao do esquemareacionaldeVanderVusseumaetapafundamental,pode-sechegarasseguintes expresses das taxas de reao: 23 1. . ) (A A AC k C k r + = (15) Praxedes, Teixeira Jr. e Ravagnani Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 24 B A BC k C k r . .2 1 = (16) B CC k r .2= (17) 23.A DC k r = (18) Na determinao matemtica de FB deve-se fazer distino entre os tipos de reatores, pois para umreatordemistura perfeitautiliza-se umbalanointegralno reator,enquanto queparaum reator de fluxo pistonado utiliza-se um balano diferencial. Para o reator de mistura perfeita, obtm-se a seguinte expresso: 020 11) 1 ( .vkVx C kFRA AB+= (19) J para o reator de fluxo pistonado aexpresso para o clculo desta vazo molar pode ser representada pela equao a seguir: Ax CCAkkAkkA ABdCCCkkx Ckk k v FA AA++ =) 1 .(113013 1 0001212) 1 .(.(20) Os parmetros utilizados na otimizao da superestrutura de reatores para a reao de Van der Vusse esto apresentados no Quadro 1: Quadro 1. Os parmetros de entrada para a sntese de rede de reatores aplicadas a reao de Van der Vusse FA0 = 580,0 (gmol/s); PMA = 0,042 (kg/gmol); PMB = 0,018 (kg/gmol); PA = 2,6 (U$/kg); PB = 30,43 (U$/kg); k1 = 10,0 (s-1) k2 = 1,0 (s-1) k3 = 10,0 (m3/(gmol.s)) CA0 = 5800,0 (gmol/m3); e = 0,002 (m); Pmat= 5,0 (U$/kg); dmat = 7800,9916 (kg/m3); t2 = 63113851,9494 (s). Os parmetros utilizados foram extrados do trabalho de Kokossis e Floudas (1990). Para a otimizaodasuperestruturaproposta,desenvolveu-seumprogramanalinguagemFORTRAN utilizando uma subrotina disponvel (NCONF) da biblioteca IMSL. Esta subrotina utiliza o mtodo daProgramaoQuadrticaSucessivaecapazdeotimizarumafunoobjetivosujeitaa restries. AFigura2representaoresultadodaotimizaodasuperestruturapropostaemostraque apenasoprimeiroreatordefluxopistonadoeoprimeiroreatordemisturaperfeitanoforam eliminados da superestrutura inicial. Os resultados desta otimizao se encontram na Tabela 1. Para estearranjoobteve-seumvalorparaafunoobjetivodeU$76,49.106.Almdisso,apenasas Otimizao dos sistemas de reatores utilizando programao matemtica Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 25 correntes CFAF0, CIAF1, CFAF1, PFAF0, PIAF1, PFAF1, P CAF,e C PAFnoforamanuladas.Este arranjo foi resultado da otimizao da superestrutura de reatores e pode ser comparado a um arranjo em srie, com um reator de mistura perfeita seguido de um reator de fluxo pistonado. As diferenas entre o arranjotimo, apresentado na Figura 2, e o arranjoem srie so a presena da corrente de realimentaodoltimoreator(C PAF)paraoprimeiroeacorrentedesadadoprimeiroreator (CFAF1).Figura 2. Rede de reatores tima obtida para a reao de Van der Vusse Tabela 1. Resultados da otimizao da superestrutura. ReatoresxA VR dR Vmat PFR 10,4621,814.10-2 4,869.10-2 1,564.10-4 PFR 20,0000,0000,0000,000 PFR 30,0000,0000,0000,000 CSTR 10,7790,120 0,1973,661.10-4 CSTR 20,0000,0000,0000,000 CSTR 30,0000,0000,0000,000 Total0,94935,225.10-4 Existem dois aspectos que podem ser discutidos com relao vazo reciclo (C PAF). Com oaumentodestavazo,osreagentespermanecemmaistempodentrodoarranjodereatores,isto podeacarretarumamaiorproduodoprodutodesejado,dependendodecaractersticascinticas. Outro aspecto, que, quantomaior o reciclono final do ltimo reator,menor a vazo de sada do produtodesejado,produzidoporestereator.importantesalientarqueexisteaindaacorrentede sada do primeiro reator (CFAF1), pois a mesma ir se somar com a vazo de sada do segundo reator (PFAF1) para compor a vazo total de sada da rede de reatores. Osresultadosdaotimizaodasuperestruturanopodemsercomparadoscomoutros resultados, pois o caso aqui estudado de uma reao terica e vrios parmetros utilizados foram arbitrados.Paraavalidaodasuperestruturaotimizada,foramrealizadasotimizaesdequatro arranjos: um nico reator de fluxo pistonado; um nico reator de mistura perfeita; um arranjo srie deumreatordefluxopistonadoseguidodeumreatordemisturaperfeitaeoarranjoinverso,um reator de mistura perfeita seguido de um reator de fluxo pistonado. Osresultadosdasfunesobjetivodestasconfiguraespodemsercomparadoscomo obtido da otimizao da superestrutura pela Tabela 2. Praxedes, Teixeira Jr. e Ravagnani Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 26 Tabela 2. Resultados das otimizaes de vrios arranjos de reatores. Tipo de ArranjoFuno Objetivo (U$106) PFR39,95 CSTR65,83 PFR seguido de CSTR65,83 CSTR seguido de PFR65,83 Rede tima76,49 Na Tabela 2 foram omitidos vrios resultados, como o volume de cada reator, por exemplo. Desta forma, alguns comentrios so necessrios. Nos dois arranjos em srie o volume do reator de fluxo pistonado foi anulado pela otimizao do arranjo, de tal forma que estes arranjos se limitaram aapenasumreatordemisturaperfeita.Istoexplicaporqueosvaloresdasfunesobjetivosdos dois arranjos em srie so iguais ao valor da funo objetivo do reator de mistura perfeita. Aps a anlise dosresultados obtidos, verifica-se que o arranjo com melhor lucratividade, maiorfuno objetivo, o arranjo timorepresentado pela Figura 2. Uma vantagemdeste tipo de resultadocertezaquearedegeradaamelhordopontodevistaeconmico,poisquando,por exemplo,aseletividadeocritriodeotimizaoexisteapossibilidadedeexistirumaredede reatores mais lucrativa do que a obtida pela otimizao. Outra vantagem da metodologia empregada queoprogramacomputacionaldesenvolvidofoidivididoemunidadeslgicasindependentes, tornando simples a modificao do tipo de reao e da superestrutura utilizados. CONCLUSES Nopresente trabalhodesenvolveu-seumasuperestruturacapazdecontemplarumagrande quantidadedevariaesderedesdereatores.Paraaotimizaodessasuperestrutura,umafuno objetivorelacionandooscustosdeconstruodoreator,ocustodamatriaprimaeocustodo produto final tambm foi proposta. Essa funo objetivo foi otimizada utilizando-se uma subrotina da biblioteca IMSL, que utiliza o mtodo da Programao Quadrtica Sucessiva. A funo objetivo foi otimizada com sucesso para o caso estudado. OmtododaProgramaoQuadrticaSucessivasemostroueficaznaresoluodo complexo problema proposto. importante ressaltar que a funo objetivo desenvolvida considerou amaioriadosaspectosfinanceirosimportantesparaoproblemadeotimizaodeuma superestrutura de reatores. Por isso, tem uma abordagem original para este tipo de problema. Paraocasoestudado,areaodeVanderVusse(1964),arededereatorestima compostaporumreatordemisturaperfeitaemsriecomumreatordefluxopistonado,naqual existe um corrente de realimentao do ltimo reator para o primeiro e ainda correntes de sada de ambosreatores.Essasoluotambmnova,quandocomparadaaosresultadospublicadosna literatura,emKokossiseFloudas(1990).Essanovaconfiguraomelhordopontodevistade operao dos reatores, alm de atingir a converso tima. NOMENCLATURA CA = concentrao molar do componente A CB = concentrao molar do componente B CR = preo de construo dos reatores dmat = densidade do material de construo do reator FA = vazo molar do componente A Fi = vazo molar do componente i Otimizao dos sistemas de reatores utilizando programao matemtica Revista Tecnolgica, v. 17, p. 19-28, 2008. 27 k1, k2,.k3 = constantes cinticas n = nmero de reatores da superestrutura nd = razo entre comprimento e dimetro do reator NE = nmero de elementos da corrente de alimentao do reator NS = nmero de produtos de interesse comercial na corrente de sada do reator Pi = preo por quilo do componente i Pmat= preo por quilo do material de construo do reator PMP = repo da matria prima PPF = preo do produto final PMi = massa molecular do componente i rA, rB, rC, e rD = taxas de gerao dos componentes A, B, C e D v = vazo volumtrica total Vmat = volume do material de construo do reator VR = volume do reator t2 = tempo de retorno financeiro do reator (2 anos) xA = converso da reao em relao ao componente A Subscritos (Figura 1): 0 = anterior ao reator 1 = posterior ao reator Sobrescritos (Figura 2): 1 = reator 1 i = reator i I = anterior ao n F = posterior ao n REFERNCIAS ACHIENE,L.K.E.&BIEGLER,L.T.DevelopingtargetsforthePerformanceindexofa chemical reactor network: isothermal systems. 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