Osciladores Anarmônicos e Caos
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1
2 32 1 10 3 2
0
3.
4 32
a aa
e
Osciladores Anarmônicos e Caos Ferreira Rocha B.
18 Novembro 2011
Resumo- as oscilações anarmônicas são caracterizadas por
uma força elástica não linear, o que resulta num movimento
periódico e limitado, porém não harmônico. Aumentado a
dimensão do sistema estudado de para mais de uma dimensão,
ele se torna caótico e a consequente perda da integrabilidade.
Palavras-chave- oscilador anarmônico, caos determinístico,
integrabilidade, secções de Poincaré, mapa de Poincaré.
INTRODUÇÃO
As oscilações anarmônicas serão expostas de diversas
formas sendo que a equação de movimento será mostrada de
forma analítica para o caso unidimensional. Trataremos ainda
da energia envolvida no caso de um unidimensional sob a ação
de forças conservativas. Expressando o resultado no
formalismo hamiltoniano estenderemos este para duas
dimensões e a fim de mostrar o efeito do caos analisaremos,
com uso do mapa de Poincaré, o teorema de Poincaré-Birkhoff
no caso de dois osciladores acoplados.
OSCILADOR ANARMÔNICO
Em sistemas físicos reais, como um sistema massa mola, o
movimento harmônico simples é apenas uma solução
aproximada, falhando em descrever um movimento cujo
deslocamento não é suficientemente pequeno. Sendo que um
deslocamento x é considerado pequeno se os temos com
ordem superior a x³ na expansão de Taylor são desprezíveis.
Caso contrário o movimento passa a ser governado
por uma equação do tipo
22 3
2... (1.01)
d xm kx mx mxdt
onde m é a massa, k, α e β são os coeficientes dos três
primeiros termos. O movimento resultante é periódico e
limitado, mas deixam de ser harmônicos recebendo a
denominação de anarmônicos.
Soluções numéricas são facilmente obtidas quando somente
os termos x³ e x4 são retidos na equação, nesse caso a solução
de integrais do tipo:
2 3 4
2 3 4x
kx m x m xE dx
que têm seus valores tabelados. Caso α e β sejam pequenos,
soluções aproximadas podem ser obtidos. Um deles consiste
em considerar os termos não lineares como termos de não
homogeneidade em equações da forma[1]
22 302
, (1.02)d x
x xdt
onde α=0.
A solução não homogênea da equação (1.02) pode ser
escrita como a função de Green,
0
0,( , ) (1.03)
sin ( ),
tG t
t t
a solução da equação (1.02) é da forma
30
0
( )sin ( )( ) . (1.04)
d x tx t
Como se trata de um movimento periódico a solução pode ser escrita
como uma expansão de Fourier para x(τ), sendo:
1 1( ) cos (1.05)ax
uma primeira aproximação, substituindo a (1.05) na (1.04) e
resolvendo chega-se ao resultado
1 3cos cos , (1.06)( ) t a tx t a
onde onde
Melhores aproximações podem ser obtidas considerando a equação
(1.06) uma nova aproximação para x(τ) e levando à equação (1.04).
ENERGIA DE UM OSCILADOR ANARMÔNICO
Estudaremos aqui um caso particular mais simples de ser
analisado de um sistema em movimento unidimensional de uma
partícula sob a ação de uma força conservativa dada pelo potencial
4 3 2
( ) .4 3 2
ax bx cxV x dx e
A equação acima pode ser simplificada eliminando a constante e,
uma vez que não modifica a força F; o termo dx pode ser
desprezado fazendo com que x x e escolhendo um ε
conveniente; fixando a = 1, reescalonando a variável x. Obtém-se
então a expressão simplificada 4 3 2
( ) . (1.07)4 3 2
x bx cxV x
Os pontos onde '( ) 0dV
V xdx
são aqueles em que o sistema está em
equilíbrio, pois F nestes pontos é nula. A estabilidade do sistema é
dada por V’’(x): sendo estável se V’’(x) < 0 (mínimo da energia
potencial), e instável se V’’(x) > 0 (máximo da energia potencial).
Os pontos de equilíbrio são dados por
2
0
40, (1.08)
2 2
b b cx x
0
22
,
(1.09)1 4( 4 ) ,
2 2
"( )c se x x
b b cb c se x x
V x
os
pontos x só existem quando b²>4c.
Figura 1. Função potencial, com respectivamente: b=3,15 e c=2; b=3,15 e c=0;
b=0; c=2;
MOVIMENTO ANARMÔNICO NO FORMALISMO HAMILTONIANO
Para estudar o caos conservativo em um oscilador anarmônico
será utilizado o formalismo Hamiltoniano, para isto utilizaremos
uma equação de energia potencial bastante simplificada, 2 2 4
( ) (1.10)2 4
m x xV x
onde é geralmente pequeno[2]. Para esse potencial as equações de
Hamilton ficam:
2
2 3
(1.11)
dx p
dt mdp
m x xdt
A trajetória descrita no plano (x,p) será aproximadamente
elíptica, pois o termo x³ é pequeno. Para amplitudes maiores
o período do movimento diminui. Para uma dada órbita está
associado um período T(E) que varia conforme a órbita é
mudada. Essa relação é da forma
2 4
2 3( ) 1 (1.12)
4
ET E
m
SECÇÕES DE POINCARÉ E OSCILADORES ANARMÔNICOS EM
DUAS DIMENSÕES
Fundamentalmente parte do fato de que o espaço de fases
tem 4 dimensões, mas como a energia é conservada, o
movimento ocorre numa região de dimensão 3 (superfície de energia), pois o vínculo H(x,y,px,py) = E deve ser
obedecido. Escolhemos agora uma superfície dentro desse
espaço tridimensional e marcamos as sucessivas intersecções
das trajetórias com essa superfície. A superfície onde os
pontos são marcados é a secção de Poincaré e intersecções
sucessivas geram o mapa de Poincaré, que substitui o fluxo contínuo das trajetórias por um conjunto discreto de pontos.[3]
Analisando agora um sistema de mola anarmônica bidimensional, a hamiltoniana é do tipo
22 2 2 4 2 2 41 1 2 2 , (1.13)
2 2 4 2 2 4yxpp m x x m y y
Hm m
onde os termos dentro dos parêntesis são constantes de
movimento. Definida uma energia total fixa E, que pode ser
dividida de várias maneiras entre E1 e E2. O período de
oscilação em cada direção dependerá dessa partição de E.
Escolhendo E1 como parâmetro que variará ente zero e E e chamando de τx e τy os períodos em cada direção, sendo que
yx
y x
é uma função contínua de E1. Caso λ1 e λ2 são
pequenos é possível a partir da (1.12) obter explicitamente
1 1
2 4
1
2 1
2 4
2
1 1 2 1 1 22 4 2 4 4
2 2 2 2 2
31
4
3 ( )1
4
3 31 (1.14)
4 4x
y
E
m
E E
m
E E
m m
De modo que ao variar E1 obtemos uma infinidade de
valores, racionais ou irracionais, para a razão entre ω1 e ω2.
Na secção de Poincaré, no plano (x,px), cada vez que y = 0,
dependendo da trajetória escolhida na superfície de energia,
as órbitas podem se fecharem ou não após um número finitos
de cruzamentos com a secção.
CAOS E INTEGRABILIDADE
O caso anterior é um caso atípico onde não há
acoplamento entre os dois graus de liberdade. Além disso,
sistemas com dois graus de liberdade não são em geral
integráveis.
A Integrabilidade está relacionada com a capacidade de
conhecer as propriedades globais do sistema a ponto de poder
caracterizar seu comportamento ao longo do tempo[3]. Esse
conhecimento global está associado com a invariância de
algumas quantidades.
Para um sistema hamiltoniano de n graus de liberdade ser
integrável devem existir n funções Fi(q,p) independentes que
são constantes de movimento, ou seja,
Fi(q(t),p(t))=fi=constante. Pelo teorema de Arnold-Liouville,
equações
integráveis de sistemas hamiltonianos podem ser resolvidas por
operações algébricas e quadraturas. A energia se encaixa nessa
categoria. Para n > 1, podem existir outras constantes de
movimento independentes da energia.
Sistemas não integráveis implicam na inexistência de uma
fórmula fechada geral para soluções, a partir de condições iniciais,
o que implica na imprevisibilidade do sistema, condição associada
ao caos. A adição de acoplamentos á sistemas causa mudanças no comportamento das trajetórias, levando ao aparecimento do
chamado caos determinístico, fenômeno ligado à instabilidade das
soluções do sistema.
MAPA DE POINCARÉ, ACOPLAMENTO E TEOREMA E POINCARÉ-
BIRKHOFF
A introdução de acoplamentos entre as coordenadas x e y do
oscilador anarmônico altera o mapa de Poincaré.
Dado o mapa de Poincaré construído no apêndice, vamos
considerar o produto mω1 = 1 e introduzir coordenadas polares no plano (x,px) por
2 2
(1.15)arctan
x
x
p x p
p
x
o mapa do oscilador anarmônico pode ser escrito como
1 0 0 0
1 0 0 0
( , )(1.16)
2 ( , )
f
g
ou, mais formalmente
1 0
01 0
(1.17)T
onde o sub-índice ‘0’ indica o mapa antes do acoplamento. Dessa forma as curvas fechadas do mapa tornam-se círculos e o de rotação α depende do raio do círculo. Também se considera que a derivada de α em relação ao raio é negativa, ou seja, a velocidade de rotação diminui á medida que o raio aumenta. Os círculos são invariantes as variações de α. Para acoplar as duas dimensão, será adicionado o termo εx²y à
Hamiltoniana (1.13), o que não implica uma menor generalidade
dos resultados
1 0 0 0
1 0 0 0
( , )(1.18)
2 ( , )
f
g
ou, formalmente
1 0
01 0
(1.19)T
onde ε será inicialmente considerado pequeno.
Analisado a dinâmica do mapa nas vizinhanças de um toro
racional não perturbado T0 e o que ocorre quando se realiza o
acoplamento. Para isso iremos considerar que ’ é um raio de
círculo tal que (’) = r/s. O mapa T0 será iterado s vezes, o que
significa que uma trajetória ira interseccionar a secção s vezes, resultando em
0
' ' ' ', (1.20)
2 ( ) 2sT
r r
todos os pontos do circulo ρ=’ voltam sobre si mesmos sendo
pontos fixos do mapa T0s. Como
0d
d
, os círculos externos têm
3
<('). Implicando em um atraso dos círculos vizinhos em relação ao ponto
inicial passando a serem mapeados a direita dele. Agora será realizado o acoplamento εx²y, para um ε convenientemente pequeno. Assim espera-se que as órbitas externas continuem girando para a direita, mas não sobre círculos e não uniformemente. Vamos fixar um ângulo θ0 e analisaremos o sentido de rotação dos com θ = θ0 a diferentes distâncias da origem pela ação do mapa Tε
s[4]. Sabendo que os pontos internos a órbita considerada giram para a esquerda e os externos para a direita, deve existir uma distância ρ(θ0) tal que o ponto(θ0,ρ(θ0)) não sofra rotações. Repetindo o processo para cada θ0 encontraremos uma curva Cε que não roda com a rotação de Tε
s , ainda que os
pontos tenham movimento radial. Se ε→0, então Cε tende ao círculo Repetindo o processo para cada θ0 encontraremos uma curva Cε que não roda com a rotação de Tε
s , ainda que os pontos tenham movimento radial. Se ε→0, então Cε tende ao círculo
ρ=’. Mapeando cada ponto da curva Cε de acordo com Tεs
gera-se uma curva C’ε tal que C’ε= Tεs Cε. Sedo que a área
envolvida pelas duas curvas são iguais (ver apêndice). Desta forma se em alguns pontos Cε encolhem ao aplicar Tε
s outros
devem esticar de forma que Cε e C’ε se intersectam em um número par de vezes. Estes pontos de intersecção são os pontos fixos do mapa, pois não rodam e não transladam. Assim eles correspondem às órbitas periódicas do sistema. [5]
Figura 2. Curva C’ε obtida pelo mapeamento da vizinhança dos pontos dos pontos de Cε, as setas indicam a direção do fluxo.
Continuando a análise, na figura 2, se observa que em torno
dos pontos A e C circula o fluxo da vizinhança, logo, estes as
órbitas correspondentes são estáveis uma vez que as órbitas vizinhas assim permanecem. Paradoxalmente as órbitas
correspondentes aos pontos B e D são instáveis, pois o fluxo da
vizinhança tende a afastar as órbitas vizinhas.
Por estarmos iterando o mapa s vezes cada órbita aparece na
secção como uma sequência de s pontos.
Quando perturbamos um sistema, nesse caso realizando um
acoplamento, os toros racionais cobertos por órbitas periódicas
são substituídos por um número par de órbitas metade estáveis
e metade instáveis. Dessa análise resulta o teorema de Poincaé-
Birkhoff que pode ser resumido assim: a ação de uma
perturbação genérica sobre um sistema integrável causa o desaparecimento de quase todas as (infinitas) órbitas periódicas
ali existentes. Sobrevivem, no entanto, um número par dessas
órbitas, sendo metade delas instáveis e metade estáveis.
CONCLUSÃO
A partir do estudo do comportamento do potencial do oscilador anarmônico, sob a ação de forças conservativas, expresso nas
equações hamiltonianas é possível estudar mais facilmente o que
acontece em um sistema bidimensional de dois osciladores
acoplados.
Construindo o mapa de Poincaré, analiticamente, para simplificar a
superfície de energia e assim poder visualizar, teorema de Poincaré-
Birkhoff, de forma simplificada o efeito do caos conservativo nesses
sistemas foi um dos objetivos desse trabalho.
Dessa análise, é possível garantir que, mesmo perdendo a
integrabilidade, quando perturbamos um sistema, por exemplo,
acoplando dois osciladores, quase todas as suas infinitas órbitas
serão destruídas, permanecendo um número par delas, das quais metade é estável e as demais são instáveis.
REFERÊNCIAS
[1] Santiago, A.J., Rodrigues, H., Efeitos de amortecimento sobre um
oscilador X³, Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 27, número 2,
páginas 245-249. Junho 2005
[2] AGUIAR A. M., Tópicos de Mecânica Clássica (Ed. Livraria da Física), 1ª edição, p.14.
[3] Marcus A.M. de Aguiar, Caos em sistemas clássicos conservativos,
Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 16, número(1-4) , páginas 3-
20. Maio 1994
[4] Marcus A.M. de Aguiar, Caos em sistemas clássicos conservativos,
Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 16, número(1-4) , páginas 3-
20. Maio 1994
[5] Marcus A.M. de Aguiar, Caos em sistemas clássicos conservativos,
Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 16, número(1-4) , páginas 3-
20. Maio 1994
4
APÊNDICE
CONSTRUINDO UMA SECÇÃO DE POINCARÉ PARA UM
OSCILADOR HARMÔNICO BIDIMENSIONAL
Para exemplificar uma secção de Poincaré iremos construir
uma para um oscilador harmônico bidimensional, esse objeto
trata-se da secção (x,px) construída escolhendo y = 0. Os dois
vínculos H = E e y = 0, quando considerados isoladamente
restringem o movimento a 3 dimensões, sendo que a
intersecção destas duas superfícies restringe o movimento a 2
dimensões e é a secção de Poincaré. Para construir a secção
observaremos a evolução tempo de um sistema de energia E.
Toda vez que y, que está variando, for nula será marcado um
ponto no plano (x,px) definido pelo valor das coordenadas x(t) e px(t) no instante em y = 0. Repetiremos esse passo para um de
um novo instante de tempo em que y será novamente nulo. O
resultado é o mapa de Poincaré para a trajetória escolhida. Ao
fazer isto novamente para outras trajetórias de mesma energia
E, obteremos o mapa para esse valor E fixo. Como as
trajetórias furam a secção nos dois sentidos consideramos
apenas aqueles pontos que estão no sentido em que py > 0.
Aplicando isto à situação de um oscilador harmônico temos
uma superfície de energia constante H = E que pose ser
descrita como 22 2 2
2 21 2
1 (1.01)2 2 2 / 2 /
yxpp x y
mE mE E m E m
que é a superfície de um elipsoide em 4 dimensões. Como a
Hamiltoniana é soma de dois osciladores desacoplados, a
energia em cada direção é conservada individualmente,
valendo as expressões 2 2 2
11
(1.02)2 2xp m x
Em
e 2 2 2
22
. (1.03)2 2yp m y
Em
As equações (1.02) e (1.03) definem duas elipses nos planos
(x,px) e (y,py) , logo, a trajetória se move sobre uma superfície que é o produto direto delas. Essa superfície é chamada toro
(figura1), cada um dos circuitos 1 e 2 é projetado em uma das
elipses.
Figura 1. Superfície toroidal no espaço de fases.
Variar E1 e E2 equivale a mudar os semieixos das elipses, ao
variar E1 de zero a E varremos todas as possíveis elipses e toros
de dimensão 2.
Na figura2 sobre a superfície de energia Σ são projetados os toros como um volume delimitado pro um elipsoide. Os
cilindros degeneram-se na reta x = px =0 quando E = E2 ou
ainda na elipse máxima desenhada no plano y= 0 quando E =
E1. O circuito γ1 corresponde a dar uma volta no cilindro
mantendo y constante. O circuito γ2 é obtido partido do menor
valor de y, ymin, até o valor máximo, ymax, e voltar a ymin
mantendo x e px constantes.
Continuando, fixa-se uma órbita, cada vez que y passar por
zero coloca-se um ponto na posição (x,px). Como as
coordenadas x(t) e px(t) pertencem somente à elipse, a
sequência de pontos obtida está sobre a elipse.
Se 1 2/ for irracional o ponto inicial (x0,px0), o primeiro da
secção, nunca se repetirá e a elipse será preenchida uniformemente
ao longo do tempo. Se α for racional do tipo , então após s furos
o ponto inicial será repetido.
Mudando agora de trajetória variando E1 E2, mas mantendo E,
obteremos pontos sobre outras elipses, que são superfícies
transversais dos toros da superfície de energia E, figura1.3. Todas
elas se movem com velocidade angular média dada por 2πα.
Para simplificar o mapa de Poincaré pode ser obtido
analiticamente. A solução geral do movimento harmônico bidimensional
é dada por
0
0
0
0( ) (1.04)xx
y y
xx
yyA t
pp
p
onde
1 11
2 22
1 1 1
2 2 2
1cos 0 sin 0
10 cos 0 sin( ) (1.05)
sin 0 cos 0
0 sin 0 cos
t tm
t tA tm
m t t
m t t
A partir da (1.04), fazendo y(0) = y0=0 com py0 positivo, o ponto
inicial (x0,y0) está sobre a secção de Poincaré. De modo que
0
22
( ) sin (1.06)yp
y t tm
e y(t) será zero e com py 0 quando t=2π ω2. Nesse instante
obteremos o próximo ponto na secção de Poincaré:
1 0 0
1 0 0
1
1
1cos2 sin2
(1.07)sin2 cos2x x x
x x xm P
p p pm
Essa expressão conecta duas intersecções sucessivas de uma
trajetória com a secção de Poincaré. Como a matriz Pα não depende de x0 nem de px0 a posição do k-ésimo ponto é dada por
0 0
0 0
0 0
`
0 0
1
1
...
1cos2 sin2
(1.08)sin2 cos2
k k
x xxkk vezes
kx x
x xxP P P
p pp
x xk km P
p pm k k
Esse mapa corresponde a uma rotação ao longo da elipse no plano
(x,px) por um ngulo 2πα. Se α = r s, o s-ésimo ponto (com k = s)
será igual ao ponto inicial. O determinante do mapa Pα é um o que implica na preservação
das áreas: se propagarmos todos os pontos dentro de uma curva
fechada C com qualquer área interna A, os pontos propagados cairão
numa nova curva C’ com a mesma área A.
Figura 2. Projeção da superfície de energia no sistema(x,y,px), tem a aparência de um esferoide decomposto em cilindros, ou toros achatados.