OSCILADOR SENOIDAL

Marcos Aurélio Medeiros SILVA(1); Rogério Guerra DIÓGENES FILHO(2); Fabíola Fernandes ANDRADE(3)

(1) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE, Av. Treze de Maio, 2081

– Benfica – Fortaleza/CE – CEP: 60040-531 – Telefone: (85)3307-3607, e-mail: marcosmedeiros31@gmail.com

(2) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE, e-mail: rogerio.diogenes.f@gmail.com

(3) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE, e-mail: fabiola@ifce.edu.br

RESUMO

Para diversas aplicações em eletrônica analógica, incluindo atividades de sala de aula como montagens práticas, a necessidade da existência de um oscilador senoidal para execução de testes em circuitos, é clara e de suma importância para a boa execução de uma atividade. Visto que aparelhos como geradores de funções são caros e de difícil acesso para muitos, o oscilador senoidal aqui proposto facilita essas práticas e torna possível muitas atividades extraclasse com muito mais maleabilidade. A fácil montagem desse oscilador é um grande diferencial, pois além de não haver a necessidade de uso de componentes caros e de fabricação mais complicada, este é baseado no uso de componentes ativos e se torna muito estável, fornecendo o necessário para atividades práticas em diversas modalidades de eletrônica.

Palavras-chave: Filtros Analógicos, Osciladores, Amplificador Operacional.

1. INTRODUÇÃO

Diante da necessidade de ter um oscilador senoidal para aplicações em eletrônica analógica, telecomunicações, entre outros, foi projetado um oscilador de fácil montagem e uso. Sem necessidade de nenhum sinal de entrada, apenas alimentação, foi desenvolvido, e aqui é apresentado, um oscilador senoidal estável, que para uso em sala de aula e atividades de alunos em trabalhos próprios, é de grande valia e aceitação. Baseado no funcionamento de um oscilador de onda quadrada e de filtros ativos passa-baixas, o oscilador senoidal foi confeccionado inicialmente em um protoboard. Para determinar o correto funcionamento do oscilador, foram compostos, também, códigos em MATLAB para auxiliar nos cálculos dos valores corretos dos componentes eletrônicos, como resistores e capacitores do circuito. Toda a teoria de filtros e processamento de sinais que foram necessárias para a produção deste trabalho, é apresentada a seguir, tornando possível ao leitor entender todo o processo de confecção do oscilador.

2. FILTROS

Filtros são dispositivos sensíveis a frequência, no qual, permite a passagem de sinais em determinadas faixas de freqüências, de acordo com o projeto. Quanto à tecnologia empregada na implementação de um filtro, eles podem ser classificados em digitais e analógicos. Filtros digitais se caracterizam por utilizar componentes digitais como elementos constitutivos. Neles, para que um sinal analógico seja filtrado, deve existir um sistema de conversão analógico-digital que execute o processo de discretização deste sinal. Os valores binários representativos do sinal de entrada são filtrados e os resultados são convertidos em um sinal analógico através de um sistema de conversão digital-analógico. Tais filtros são úteis na situação em que muitos canais de transmissão de dados necessitam ser processados através de um mesmo filtro(PERTENCE JÚNIOR, 2007). Apesar de apresentarem ruído de quantização, filtros digitais são flexíveis, pois permitem mudanças de suas características por hardware e/ou software, como o aumento de ordem do filtro em grandes números.

Os filtros analógicos podem ser ativos ou passivos. Estes são construídos apenas com elementos passivos, como resistores, capacitores e indutores. Outrossim, possuem baixa sensibilidade, aproximam-se da idéia de uma implementação ideal, podem operar em altas frequências, apresentam menos problema de ruído e podem ter tensões de trabalho mais elevadas. No entanto, como desvantagens apresentam dificuldade de sintonia, devido ao uso do indutor e problemas de integração, o que ocasionou o seu uso restrito a aplicações específicas(NOCETI FILHO, 1998). Outro ponto importante é que esses filtros são inviáveis para operações em baixa frequência(<1MHz), pois os valores dos indutores devem ser bastante elevado para atender as especificações de atenuação e frequência de corte. Neste caso, o uso de filtros ativos é justificado.

Filtros ativos são feitos com alguns componentes passivos associados a outros elementos ativos como transistores e amplificadores operacionais(Amp-Ops). Esses dois componentes obedecem, respectivamente, a uma linha cronológica de tecnologia. Os amplificadores operacionais tem como uma de suas fortes características a alta impedância de entrada e baixa impedância de saída, o que permite a implementação de filtros de ótima qualidade. O isolamento do sinal também é uma característica marcante dos amp-ops em filtros ativos. Apesar de exigirem fonte de alimentação, ao contrário dos filtros passivos, a possibilidade de amplificação do sinal de entrada é outro ponto importante de vantagem.

No desenvolvimento de projetos, os filtros ativos são mais flexíveis do que os filtros passivos, pois se torna mais fácil o desenvolvimento de filtros complexos através da associação em cascata. Porém, a resposta em frequência desse tipo de filtro está limitada à capacidade de resposta dos amp-ops utilizados. Filtros ativos não podem ser aplicados em sistemas de média e alta potencia. No entanto, seu uso na eletrônica está crescendo, desde elementos no campo das telecomunicações até instrumentação biomédica, principalmente quando esses equipamentos devem operar em baixas frequências(PERTENCE JÚNIOR, 2007).

2.1. Aproximações de Filtros

Em projetos de filtros reais, almeja-se aproximar das características dos filtros ideais. Como exemplo, tomando um filtro passa-baixa como referência, pois os requisitos de um filtro seletor de sinais são sempre convertidos nos requisitos de um filtro passa-baixa normalizado (NOCETI FILHO, 1998), bastando apenas uma transformação em freqüência (para filtros passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa). Um filtro passa-baixas ideal caracteriza-se em possuir atenuação nula na banda passante (faixa de freqüência de 0 até ��) e atenuação infinita após a mesma. Esse filtro não é realizável na prática. Conquanto, há diversas formas de obter aproximações desse filtro.

As funções de aproximações buscam atender alguns critérios de um filtro ideal, são eles: Banda passante plana, rápida transição entre banda passante, banda de rejeição e resposta de fase linear. Algumas dessas funções já foram exaustivamente estudas e por isso servem de referência para projetos de filtros, por exemplo, resposta de Butterworth, Chebyshev, Cauer, Bessel, etc. Cada uma oferece vantagens que as demais não possuem. Portanto, a escolha da resposta adequada depende do que se considera aceitável, ficando assim, a critério do projetista. Este artigo opta por abordar apenas duas das mais conhecidas funções de aproximações, Butterworth e Chebyshev. (PERTENCE JÚNIOR, 2007).

2.1.1. Butterworth

Filtros de Butterworth caracterizam-se na melhor aproximação de uma resposta em frequência plana na banda de passante e não apresenta ondulações, também conhecidas como ripple, nesta e na banda de rejeição. Para efeito de simplificação, consideremos uma atenuação na banda de passagem de -3dB. Desta forma, a função de transferência do filtro de Butterworth normalizado é mostrada na Equação 01:

|����� | 11 � � �

��� �Eq. 01�

O expoente � na Equação 01 indica a ordem do filtro. Podemos dizer que quanto maior a ordem de um filtro, mais ele se aproximará das características ideais. A Figura 1 ilustra o comportamento de filtros de Butterworth de diferentes ordens. Perceba que quando maior a ordem do filtro, mais próximo este estará do comportamento ideal.

Figura 1 – Filtros de Butterworth

2.1.2. Chebyshev

A aproximação de Chebyshev tem como principal característica a mais rápida transição entre a banda passante e banda de rejeição, no qual a banda passante possui ripple na amplitude do sinal. Em aplicações onde o conteúdo de frequência é mais importante que o de amplitude, a aproximação de Chebyshev é bastante útil.

Figura 2 - Filtros de Chebyshev

2.2. Série de Fourier

Fenômenos periódicos estão presentes em diversas aplicações de engenharia, tais como uma onda portadora, gerador de funções, corrente elétrica, osciladores, entre outros. Em diversas situações podemos analisar facilmente o comportamento de funções periódicas em um determinado sistema. Em certas aplicações, devido a funções periódicas mais complexas, a análise das mesmas torna-se um trabalho bastante árduo. Felizmente, existe uma ferramenta matemática que facilita a análise de tais funções complexas, fazendo com que elas sejam representadas por funções periódicas mais simples, tais como seno e cosseno. Tal fato foi enunciado por Joseph Fourier, e ficou conhecida como a Série de Fourier.

Através da Série de Fourier podemos representar qualquer função periódica por uma soma ponderada de senos e cossenos de frequências distintas, sendo essas frequências múltiplos inteiros da frequência fundamental. Uma das representações da Série de Fourier é demonstrado na Equação 02. Esta é denominada a forma compacta da Série de Fourier, que é limitada para a representação de sinais reais.

x��� �� � ���� cos�nω�t � θ ��∞

�!" �Eq. 02�

Sendo �� a frequência fundamental da onda, em radianos. Os termos presentes na Equação 02 são descritos nas equações 03, 04, 05, 06 e 07.

�� $ %��� &�'(

( �Eq. 03�

�� = *+� � ,� �Eq. 04� .� tan0"�1,� +�⁄ � �Eq. 05�

+� 24�

$ %��� cos 5��� &�6(

� �Eq. 06�

,� 24�

$ %��� sin 5��� &�6(

� �Eq. 07�

Se traçarmos o gráfico de �� e .� em função de 5 teremos, respectivamente, o espectro de amplitude e de fase. Como 5 é proporcional à frequência 5��, tais gráficos são versões de �� e .� em função de �.

3. ESTUDO DE CASO

3.1. Oscilador Proposto

Este artigo sugere um oscilador senoidal que tem como princípio de funcionamento a saída de um oscilador de relaxação ligada na entrada de uma cadeia de filtros ativos. É válido dizer que a diferença que propomos é fazer um oscilador senoidal com base em elementos ativos partindo de um simples oscilador de onda quadrada. Em seguida, apresentaremos as duas partes dominantes no nosso circuito e em seguida detalharemos o funcionamento do mesmo.

3.1.1. Oscilador de Relaxação

Como exemplo de uma aplicação não-linear de um amplificador operacional, podemos citar um circuito oscilador. Essa denominação está relacionada com o tipo de resposta do circuito, que não é uma função linear do sinal de entrada. O que faz um circuito funcionar como oscilador é a realimentação positiva do amplificador operacional, implicando que o ganho de malha fechada seja maior do que 1, satisfazendo as condições de fase para o circuito atuar desta forma.

Quando a tensão de saída de um sistema como esse cai abruptamente para um nível de tensão e em seguida se eleva para outro nível de tensão, esse circuito é geralmente chamado de oscilador de onda quadrada. Podendo, chamar de oscilador de relaxação, o circuito oscilador aplicado no trabalho que gera pulsos variáveis entre os máximos e mínimos, ou seja, +VCC e –VEE. Estes são valores da alimentações positiva e negativa do circuito. O circuito baseia-se na carga e descarga de um capacitor, funcionando como espécie de comparador, e tem o período de sua onda de saída dada pela Equação 08.

4 2:� ; ln�2:" � ::

� �Eq. 08� É conveniente adicionar dois diodos zener na saída do oscilador, pois como os picos de tensão do oscilador são provenientes da saturação do amplificador, os mesmos podem apresentar distorções nos valores de pico. O circuito que representa um oscilador de relaxação é mostrado na Figura 3.

Figura 3 - Oscilador de Relaxação

3.1.2. Filtro Passa-Baixas

Um filtro pode ser classificado de diversas formas, e uma delas é a função executada. Nesse caso, um filtro pode ser dito como Passa-Baixas(PB), Passa-Altas(PA), Passa-Faixa(PF) ou Rejeita-Faixa(RF). Para que o oscilador seja construído, necessitamos da implementação de um filtro passa-baixas, no qual só permite a passagem de frequências abaixo de uma frequência determinada, a frequência de corte. Frequências superiores a esta são atenuadas.

No projeto foi utilizado um filtro PB de quarta ordem. A ordem de um filtro é matematicamente definida como o número de pólos existentes na sua função de transferência e fisicamente corresponde ao número de redes de atraso presentes na sua estrutura. É de suma importância frisar, que quanto maior a ordem do filtro, mais rápida é a taxa de queda de resposta do filtro, em outras palavras, a sua resposta se aproximará de respostas ideais.

Para projetar circuitos físicos de filtros ativos de ordem maior ou igual a três, basta cascatear, pôr em série, circuitos de ordem um e/ou dois, de acordo com o projeto. Neste trabalho, foram colocados em série dois estágios de filtros passa-baixas de ordem dois, para alcançar o resultado esperado. Na implementação do filtro ativo de segunda ordem faz-se uso da topologia Sallen-Key. O motivo desta escolha é que apresenta a mínima dependência do desempenho do filtro para com a do amplificador, possibilitando o uso de amp-ops bastante simples e baratos. Isto porque, nesta configuração, o amplificador é utilizado apenas como um amplificador não-inversor, que também preserva a fase do sinal. A Figura 4 mostra o esquema do filtro ativo de segunda ordem usando a topologia Sallen-Key e a Equação 09, a função de transferência, obtida a partir das equações de malha do circuito.

Figura 4 - Filtro ativo de segunda ordem usando a topologia Sallen-Key

��>� ��

> � ��? > � �� �Eq. 09�

Os termos presentes na Equação 09 são descritos nas Equações 10 e 11.

�� 1 :":�"�⁄ �Eq. 10� �� ?⁄ 1 :"�"⁄ � 1 :�"⁄ �Eq. 11� 3.1.3. Funcionamento do Circuito O funcionamento do circuito baseia-se em utilizar o oscilador de relaxação para gerar um sinal quadrado e, em seguida conectar a uma cadeia de filtros ativos passa-baixas. A Figura 5 representa em diagrama de blocos o funcionamento do oscilador.

.

Figura 5 - Esquema do Oscilador

A onda quadrada gerada na saída do oscilador de relaxação tem frequência igual a 1kHz (frequência fundamental). Analisando o espectro de Fourier da onda quadrada, observamos que estão presentes apenas os harmônicos ímpares múltiplos da frequência fundamental. Sendo assim, para obter na saída do oscilador senoidal apenas o harmônico fundamental da onda, basta atenuar as amplitudes dos harmônicos com freqüência superiores a 1kHz a fim de torná-las desprezíveis para quaisquer resultados práticos.

Com as especificações do filtro já determinadas, a função de aproximação foi escolhida, de tal forma que satisfizesse os requisitos de magnitude da resposta em frequência. Ondulações na banda passante ocasionam distorções indesejadas para esta aplicação. Portanto, optamos em usar a função de aproximação de Butterworth.

3.2. Síntese do Filtro

Alguns fatores são necessários quando se pretende projetar um filtro passa-baixas. Usando a função de aproximação de Butteworth, algumas dos fatores mais importantes que serão consideradas aqui são: frequência de corte, frequência de rejeição, atenuação da banda de rejeição e ordem do filtro. Sendo a última consequência das demais. O filtro projetado possui as seguintes características, são elas:

• Frequência de corte (fc) = 1kHz • Frequência de rejeição(fr) = 3kHz • Atenuação da banda de rejeição = -30dB

Com estas informações, o próximo passo é determinar a ordem do filtro.

3.2.1 Determinação da Ordem

Independentemente da ordem, o filtro de Butterworth terá atenuação de -3dB na banda passante. Para verificar, basta substituir � por �� na Equação 01. O resultado do cálculo foi |�����| 0,707, que corresponde a -3dB. Para a determinação da ordem do filtro, temos a seguinte afirmação: Harmônicos com frequências superiores a 1kHz deverão possuir amplitudes desprezíveis, para tanto, estes terão suas amplitudes atenuadas em -30dB, conforme os requisitos já especificados. Analisando o espectro de Fourier da onda quadrada, verificamos que o harmônico mais próximo do fundamental possui frequência de 3B�. Na Equação 01, ao isolar N temos:

� C 1 log |����� |

2 log ���

�Eq. 12�

Portanto, ao desenvolver a Equação 12, no qual o módulo da resposta em frequência seja igual -30dB quando � 3��. O resultado de � é 3,19. O valor de � deve ser o inteiro mais próximo, pois a ordem condiz com o número de pólos que a função de transferência possui. Logo utilizamos � = 4. Posteriormente, foi projetado um filtro de ordem 4.

3.2.2 Determinação dos Componentes

Ao obter a ordem do filtro, a resposta de Butterworth normalizada também é determinada, pois estas são facilmente encontradas em tabelas. Sendo necessária uma simples desnormalização pela frequência de corte. A função de transferência, do filtro PB projetado, desnormalizada é mostrada na Equação 13.

��>� ���> � 1,84776��> � ��� · ��

�> � 0.76537��> � ��� �Eq. 13�

Para obter os valores dos resistores e capacitores do circuito da Figura 3, é necessário igualar a função de transferência do circuito com a topologia Sallen-Key(Equação 09) com a função de transferência do filtro projetado, e então, achar uma das infinitas soluções reais. As soluções são obtidas a partir das Equações 14 e 15:

�� 1 :":�"�⁄ �Eq. 14� 1.84776�� 1 :"�"⁄ � 1 :�"⁄ �Eq. 15� Neste filtro, para obter valores de resistores e capacitores comerciais, as Equações 14 e 15 foram solucionadas. Uma boa aproximação dos valores dos componentes será apresentada. O índice entre parênteses indica à qual estágio do filtro o componente pertence, pois o filtro possui dois estágios, cada um de ordem 2. R1(1) = 60K ohms, R2(1) = 1K ohms, C1(1) = 82nF, C2(1) = 4,7nF, R1(2) = 22K ohms, R2(2) = 2,8K ohms, C1(2) = 82nF, C2(2) = 4,7nF.

3.3. Considerações Práticas

O circuito oscilador proposto, sob esquema mostrado na Figura 5, foi montado, inicialmente, em um protoboard (Figura 6). Os resultados obtidos foram semelhantes aos resultados calculados. A Figura 7 mostra, claramente, à esquerda, o sinal de saída do oscilador de onda quadrada e, à direita, a saída final do circuito, após passagem pela sequência de filtros passa-baixa.

Figura 6 - Circuito

Figura 7 - Resultados

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS E TRABALHOS FUTUROS

O oscilador proposto, apesar de ter sido mostrado de modo genérico, é bastante maleável e pode ser largamente utilizado para diversas aplicações que possam exigir outros valores além dos aqui exibidos, dependendo, claro, do objetivo de quem está projetando. O sucesso ou fracasso do funcionamento do oscilador e de suas aplicações depende da escolha correta dos componentes apresentados durante a seção 3.1 e calculados na seção 3.2.2. Diferentes valores produzem diferentes saídas, e para estas serem válidas e aproveitadas para quaisquer trabalhos, estes devem ser coerentes.

Para o desenvolvimento e confecção deste oscilador tornarem-se ainda mais acessíveis para alunos de engenharia, temos como trabalho futuro a elaboração de um software didático que possa fazer a interface entre o aluno e os árduos cálculos de processamento de sinais. Desta forma, o aluno, pode ter acesso aos valores dos componentes eletrônicos mediante a apresentação da frequência que ele deseja para seu sinal senoidal, tornando assim o nosso circuito muito mais genérico e aplicável à diversas soluções.

REFERÊNCIAS

LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

NOCETI FILHO, S. Filtro Seletores de Sinais. 1. ed. Florianópolis: Editora da UFSC, 1998.

BOYLESTAD, R. L; NACHELSKY, L.. Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos. 6. ed., LTC, 1999.

PERTENCE JÚNIOR, A. Amplificadores Operacionais e Filtros Ativos. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

EDMINISTER, J. A. Circuitos Elétricos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1991.

ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos a professor Fabíola Fernandes pelo apoio, orientação e ajuda nesta produção. Às nossas namoradas e família pela compreensão nos fins de semana e noites em claro, para que a conclusão deste trabalho acontecesse com sucesso.