1. INTRODUÇÃO

Muitos comportamentos oscilatórios surgem a partir da existência de forças

restauradoras que tendem a trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições,

sendo essas forças restauradoras basicamente do tipo forças elásticas, obedecendo,

portanto, a Lei de Hooke (F = - kX).

Um sistema conhecido que se comporta dessa maneira é o sistema massa-mola.

Consiste de uma massa de valor m, presa por uma das extremidades de uma certa mola

de fator de restauração k e cuja outra extremidade está ligada a um ponto fixo.

Figura 1: Sistema Massa-Mola

Esse sistema possui um ponto de equilíbrio ao qual chamaremos de ponto 0. Toda

vez que tentamos tirar o nosso sistema desse ponto 0, surge uma força restauradora (F =

-kX) que tenta trazê-lo de volta a situação inicial.

A posição -Xm representará a mola comprimida, enquanto que a posição +Xm

representará a mola estendida.

À medida que afastamos o bloco de massa m da posição de equilíbrio, a força

restauradora vai aumentando (estamos tomando o valor de X crescendo positivamente à

direita do ponto de equilíbrio e vice-versa), se empurrarmos o bloco de massa m para a

esquerda da posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento

X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0.

Se puxarmos o bloco de massa m e, em seguida, o soltarmos, veremos o nosso

sistema oscilando. Como representado na figura abaixo.

Período

O período de um corpo em MHS é o intervalo de tempo referente a uma oscilação

completa e pode ser calculado através da seguinte expressão:

O período [T(s)] depende da massa do corpo colocado em oscilação [m(kg)] e da

constante elástica da mola [k(N/m)].

Frequência

A frequência de um corpo em MHS corresponde ao número de oscilações que esse

corpo executa por unidade de tempo e essa grandeza pode ser determinada pela seguinte

expressão:

Frequência é inversamente proporcional ao período, no S.I. é dada em hertz (Hz),

e pode ser expressa matematicamente pela seguinte relação:

Posição do Móvel em MHS

A equação que representa a posição de um móvel em MHS será dada a seguir em

função do tempo.

As posições a e -a são deformações máximas que a mola terá quando o bloco de

massa m for colocado em oscilação.

A posição X é dada em função do tempo.

a = elongação máxima (m)

w = frequência angular (rad/s)

O= espaço angular que um ponto projetado pelo bloco sobre uma circunferência realiza

(rad).

t = intervalo de tempo

2. OBJETIVOS:

Determinar a dependência do período de oscilação de um sistema massa- mola

com a massa e com a constante elástica da mola.

3. MATERIAL UTILIZADO:

Molas diversas

Porta-peso

Pesos aferidos

Haste

Grampo de sustentação régua

Cronômetro

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

1° Parte: Dependência do período (T) com a massa (m)

(1) Usando a mola preta fixa, primeiro a penduramos no suporte e anotamos a constante

k da mola (19, 1 ± 0,05).

(2) Depois escolhemos a massa de 40g e pomos o sistema para oscilar medindo o tempo

quando o corpo completou 10 oscilações completas. Repetimos o procedimento mais

duas vezes, obtendo assim 3 tempos para a massa de 40g.

(3) Repetimos o procedimento (2) mais duas vezes dessa vez trocando as massas

primeiras por 50g e depois por 60g.

2° Parte: Dependência do período (T) com a constante elástica da mola (K)

(4) Dessa vez mantemos a massa fixa (50g) e repetimos o procedimento (2) primeiro

com a mola preta e anotamos a constante da mola (19, 1 ± 0,05).

(5) Agora trocamos a mola preta pela mola amarela mantendo a massa fixa (50g) e

repetimos o procedimento (2) anotando a constante da mola (26,9 ± 0,05).

(6) Agora usamos a mola vermelha e repetimos o procedimento (2) mais uma vez

anotando a constante da mola (20,0 ± 0,05).

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

1° Parte: Dependência do período (T) com a massa (m)

A partir dos dados obtidos, a massa e o tempo em laboratório, foi montada a

tabela a seguir:

Tabela I: Valores das massas, dos tempos de oscilações e dos tempos médios.

Massa (kg) ± σm 1° Tempo (s) ± σt 2° Tempo (s) ± σt 3° Tempo (s) ± σt Tmédio (s) ± σtm

0,040 ± 0,0050 4,0060 ± 0,0010 4,088 ± 0,0010 4,20 ± 0,0010 4,099 ± 0,056

0,050 ± 0,0050 4,19 ± 0,0010 4,30 ± 0,0010 4,16 ± 0,0010 4,22 ± 0,043

0,060 ± 0,0050kg 4,079 ± 0,0010 4,66 ± 0,0010 4,19 ± 0,0010 4,31 ± 0,18

Constante da mola (K) = 19,10 ± 0,050Nm-1

O valor de Tmédio foi obtido calculando-se a média dos três tempos das

oscilações:

(1° Tempo + 2° Tempo + 3° Tempo) /3

E as respectivas incertezas σtm, foram calculadas da seguinte forma, para os três

tempos da primeira massa:

Desvio padrão= √∑ ̅

= √

= 0,097; na qual

n é o número de amostras.

Com o valor do desvio padrão, calcula-se a incerteza do tipo A:

√ = 0,056.

A incerteza do aparelho é a incerteza do tipo B, logo, tem-se:

σtm = √ = 0,056.

Os valores para as outras incertezas foram calculados da mesma forma.

A partir do valor calculado do período e da massa usada na oscilação, foi

construído o gráfico T x m:

Gráfico 1: Variação do período T(s) com a massa(kg).

A equação correspondente a esse gráfico é a equação de período do movimento

harmônico simples:

21

22

k

mT

k

mT

y = 10,55x + 3,6822 y = 10,55x + 3,682 y = 10,55x + 3,6822

4,05

4,1

4,15

4,2

4,25

4,3

4,35

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Pe

río

do

T(s

)

massa(kg)

T(s) x m(kg)

Aplicando log:

kmT

kmT

k

mT

k

mT

k

mT

log2

1log

2

12loglog

loglog2

12loglog

log2

12loglog

log2loglog

2loglog

21

21

Estudando a equação escrita desta maneira é possível encontrar uma reta quando

o gráfico é feito em papel dilog, onde o coeficiente angular a é 2

1e o linear b é

klog2

12log .

Os valores dos coeficientes encontrados devem ser divididos por dez, já que se

usou o período para dez oscilações. O valor encontrado, a partir do gráfico, para o

coeficiente angular está muito distante do valor esperado, que é de 2

1, de acordo com a

equação correspondente ao mesmo gráfico. E o valor encontrado a partir do gráfico para

o coeficiente linear também está muito distante do valor esperado, que é de

klog2

12log .

Os valores do período crescem à medida que aumentamos a massa do conjunto

massa-mola, fato que está coerente com a equação do movimento harmônico simples.

2° Parte: Dependência do período (T) com a constante elástica da mola (K)

A partir do tempo obtido em laboratório, para cada conjunto de mola e massa de

50g, foi montada a tabela a seguir:

Tabela II: Valores dos tempos de oscilação e do período de cada oscilação para cada

conjunto massa-mola

K (Nm-1) ± σK 1° Tempo (s) ± σT 2° Tempo (s) ± σT 3° Tempo (s) ± σT Tmédio (s) ± σTm

26,9 ± 0,05 4,21 ± 0,0010 4,31 ± 0,0010 4,23 ± 0,0010 4,25 ± 0,040

20,0 ± 0,05 4,19 ± 0,0010 4,21 ± 0,0010 4,29 ± 0,0010 4,23 ± 0,031

19,1 ± 0,05 4,19 ± 0,0010 4,31 ± 0,0010 4,19 ± 0,0010 4,23 ± 0,031

O valor de Tmédio foi obtido de modo similar ao Tmédio da 1° Parte, assim como as

suas respectivas incertezas σtm.

A partir do valor calculado do período e do valor de K escolhido, foi construído

o gráfico T x K:

Gráfico 2: Variação do período (T) com a constante da mola (K).

O estudo da equação correspondente ao gráfico é similar ao anterior. O

coeficiente angular é 2

1 e o linear é mlog

2

12log .

Os valores dos coeficientes encontrados devem ser divididos por dez, já que se

usou o período para dez oscilações. Ambos os valores encontrados a partir do gráfico

construído, dos coeficientes angular e linear, estão longe do valor esperado, o que

remete a erros cometidos durante a prática.

Os valores dos períodos mantêm uma média parecida à medida que se aumenta o

valor da constante da mola, fato que não deveria ocorrer, já que a equação descrita

remete a uma reta decrescente, na qual o valor do período deveria diminuir a medida

que K aumenta. Fato que mais uma vez remete a erros ocorridos durante a prática.

6. CONCLUSÃO

Na primeira parte desta experiência podemos verificar a partir do gráfico

construído a dependência do período T com a massa m. Como esperado, o gráfico

apresentou-se linear e crescente, já que em um oscilador harmônico quanto maior a

massa da partícula, maior o período.

Os coeficientes calculados a partir do gráfico não apresentaram os valores

esperados.

y = 0,0027x + 4,1775

4,225

4,23

4,235

4,24

4,245

4,25

4,255

0 5 10 15 20 25 30

Pe

río

do

T(s

)

Constante da mola K(Nm-1)

T(s) x K(Nm-1)

Já na segunda parte da experiência verificamos a dependência de T com k. O gráfico

não se apresentou como esperado, de forma linear e decrescente, já que mantendo uma

mesma amplitude do movimento, o corpo ligado a uma mola de constante elástica maior

terá período menor.

Os coeficientes calculados a partir do gráfico não apresentaram os valores

esperados.

Analisamos como principais fontes de erro a imprecisão dos valores e a possível

presença de erros pessoais durante a prática.

7- BIBLIOGRAFIA:

http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-harmonico-simples.htm

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/fisica/movimento-harmonico-

simples-2.php

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/fisica/movimento-harmonico-

simples-5.php

Oscilações Simples – Sistema Massa – Mola. Manual de Laboratório - Física C,

UFS.