i

Rose Mari de Souza Rodrigues

OS SÓLIDOS DE PLATÃO SOB A VISÃO DA TEORIA DE VAN HIELE ALIADA

AO ORIGAMI

Araucária – 2008

ii

Rose Mari de Souza Rodrigues

OS SÓLIDOS DE PLATÃO SOB A VISÃO DA TEORIA DE VAN HIELE ALIADA

AO ORIGAMI.

Artigo apresentado para a conclusão

do Programa de Desenvolvimento

Educacional, promovido pelo governo

do estado do Paraná em conjunto

com a Universidade Federal

Tecnológica do Paraná.

Orientador: Professor Ivan Darwiche

Rabelo.

Araucária – 2008

iii

RESUMO

Nos últimos anos a geometria vem perdendo espaço para o cálculo e álgebra

fazendo com que os educando apresentem um déficit e dificuldades para analisar e

distinguir um objeto bidimensional de um objeto tridimensional. Com a intenção de

buscar uma metodologia de ensino de Geometria para alunos do 3º ano do Ensino

Médio, onde os conceitos tenham significado e utilidade prática para que eles

próprios possam construir passo a passo o seu conhecimento, pretende-se com este

trabalho desenvolver atividades baseadas no Modelo de Van Hiele com o objetivo de

contribuir para o desenvolvimento do pensamento geométrico o qual leve o aluno a

adquirir habilidades nos níveis de: visualização, análise, dedução informal, dedução

e rigor, fazendo uso do origami como ferramenta na construção dos modelos de

sólidos geométrico na demonstração da existência de apenas cinco sólidos, também

chamados de poliedros de Platão desenvolvendo todo o seu potencial criativo na

construção e elaboração do seu próprio conhecimento.

Palavras-chave . matemática. geometria. Van Hiele. origami.

iv

LISTA DE TABELAS..................................................................................................vi

LISTA DE GRÁFICOS................................................................................................vi

RESUMO....................................................................................................................vii

ABSTRACT...............................................................................................................viii

1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................01

2 DESENVOLVIMENTO...........................................................................................03

2.1 GEOMETRIA......................................................................................................05

2.2 ORIGAMI...........................................................................................................06

2.3 O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTODO PENSAMENTO GEOMÉTRICO...................................................................................................06

3 METODOLOGIA...................................................................................................09

3.1 PROCEDIMENTO METODOLOGICO............................................................. .09

3.1.1 Implementação Da Proposta............................................................................11

3.2 ORIGAMI...........................................................................................................12

3.2.1 Molde Triangular.............................................................................................13

3.2.2 Molde Quadrangular.......................................................................................14

3.2.3 Molde Pentagonal...........................................................................................14

3.2.4 Molde De Encaixe...........................................................................................15

3.2.5 Demonstração da Existência de Somente Cinco Poliedros Regulares, utilizando os Módulos.......................................................................................15

4 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS NO PRÉ-TESTE DE VAN HIELE......17

4.1 APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO...................................................................17

4.2 APLICAÇÃO DO PRÉ-TESTE DE VAN HIELE..................................................18

4.2.1 Análise dos Dados Obtidos no Pré-Teste........................................................19

4.2 2 Número de Questões Corretas por Aluno e por Nível do Pré-teste de Van Hiele............................................................................................................... 20

v

4.3 APLICAÇÃO DO PÓS-TESTE DE VAN HIELE..................................................22

5 RESULTADOS E DISCUSÃO DOS DADOS OBTIDOS NO PRÉ-TESTE PÓS- TESTE DE VAN HIELE..........................................................................................24

5.1 ANÁLISE DA QUANTIDADE DE ACERTOS POR QUESTÕES........................24

5.1.1 Pré-Teste Pós-Teste Nível Básico...................................................................28

5.1.2 Pré-Teste Pós-Teste Nível I ............................................................................31

5.1.3 Pré-Teste Pós-Teste Nível II..........................................................................35

6 CONCLUSÕES....................................................................................................39

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS.........................................................................42

ANEXO I.................................................................................................................................44

ANEXO II ................................................................................................................45

ANEXO III ................................................................................................................48

vi

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - QUANTIDADE DE ALUNOS DO SEXO MASCULINO E FEMININO ENTRE 16 À 24 ANOS......................................................................12

TABELA 2 - QUANTIDADE DE QUESTÕES QUE CADA ALUNO ACERTOUNO PRÉ-TESTE DO NÍVELDE VAN HIELE .........................................20

TABELA 3 - QUANTIDADE DE QUESTÕES CERTAS POR ALUNO NO PÓS-TESTE DO NÍVELDE VAN HIELE ................................................. 22

TABELA 4 - QUANTIDADE DE ALUNOS QUE ACERTARAM AS QUESTÕES DO PRÉ-TESTE E PÓS - TESTE DOS NÍVEIS DE VAN HIELE ...24

TABELA 5 - AVALIAÇÃO DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE DE VAN HIELE .......26

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1 - QUANTIDADE DE QUESTÕES QUE CADA ALUNO ACERTOU NO

PRÉ-TESTE DO NÍVEL DE VAN HIELE .........................................21 GRÁFICO 2 - QUANTIDADE DE QUESTÕES QUE CADA ALUNO ACERTOU NO

PÓS-TESTE DOS NÍVEIS DE VAN HIELE .....................................23 GRÁFICO 3 - QUANTIDADE DE ALUNOS QUE ACERTARAM AS QUESTÕES NO

PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE DOS NÍVEIS DE VAN HIELE .............25 GRÁFICO 4 - AVALIAÇÃO NO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE DE VAN HIELE.......27

vii

ABSTRACT

Lately, geometry is losing space comparing to algebra and calculus, which

causes the students to have a great lack concerning to the proper analysis

and distinction between bidimensional and three-dimensional objects.

This research intends to search a methodology in order to teach geometry to

3rd grade of senior high school students to help them understand geometry concepts

in a meaningful way so they can build their own knowledge step by step. Based on

Van Hiele model activities, this work will develop skills on

visualization, analysis, informal deduction, deduction and rigor using

origami as a tool to construct geometric solid models, in the demonstration of the

existence of only five solids, calls of polyhedrons ed Plato's polyhedron, Therefore,

students will develop all their creative potential as the same time they learn and

improve their knowledge.

Word-keys – mathematics. geometry. Van Hiele. origami.

1 INTRODUÇÃO

Este projeto faz parte do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

para a Formação Continuada de Professores da Rede Pública Estadual em parceria

com as Instituições Públicas de Ensino Superior do Paraná.

Quem nunca em sua vida dobrou uma folha de papel? Construiu um

aviãozinho, um balão ou um barquinho de papel? A dobradura é encontrada em

nosso cotidiano, e até mesmo no Ensino Fundamental onde crianças a usam nas

construções de barquinhos, aviãozinho, carinhas de animais, de forma lúdica etc.,

mesmo sem saber que muitos, como os orientais, fazem dela uma arte e a

denominam de origami, que significa a arte de dobrar papel.

Através da dobradura podemos ensinar, para os alunos, os conceitos

geométricos comparando, a geometria teórica com a pratica através do manuseio e

construção dos poliedros de Platão visando a aquisição das habilidades de acordo

com a teoria de Van Hiele para o desenvolvimento do pensamento geométrico.

Tendo em vista as dificuldades apresentadas pelos alunos faz-se necessário

sistematizar uma pesquisa científica referente a esta problemática a fim de investigar

quais são as causas de tantas dificuldades apresentadas pelos alunos quando o

assunto é geometria. Como a teoria de Van Hiele aliada às técnicas do Origami,

enquanto recurso didático possibilita e contribui para o processo de

ensino/aprendizagem significativas dos conceitos da Geometria no Ensino Médio?

O objetivo geral deste projeto é introduzir o estudo dos sólidos de Platão,

visando a demonstração da existência de apenas cinco poliedros regulares, os

chamados sólidos de Platão, usando o origami, para motivar os alunos a estudar

geometria, com a finalidade que ele possa desenvolver habilidades tais como

visualização, concentração, capacidades psicomotoras, trabalhando concretamente

para que possa avançar no seu desenvolvimento segundo a teoria de Van Hiele,

tornando, desta forma o ensino de geometria prazeroso.

Nesta perspectiva, a geometria especificamente tem os objetivos de:

- Orientar e avaliar as habilidades de visualização dos alunos na formação do

pensamento geométrico segundo a teoria de Van Hiele;

2

- Construir e preparar materiais, com os alunos do 3º ano do Ensino Médio

para que possam chegar à construção dos sólidos de Platão através de dobraduras;

- Produzir um vídeo com orientações e construção dos sólidos de Platão

usando as técnicas do origami.

Tendo pelos argumentos explicitados, o presente trabalho justifica-se em vista

a melhoria do ensino de Geometria no Ensino Médio, a fim de desenvolver

habilidades de visualização e análise fundamentadas na teoria de Van Hiele para o

desenvolvimento do pensamento Geométrico a ser adotada através de atividades.

Utilizando-se para isso o origami como ferramenta nas construções de modelos de

sólidos geométricos de forma criativa, e potencializando, além disso, as habilidades

psicomotoras dos educando.

3

2 DESENVOLVIMENTO

Ao realizar as dobraduras o aluno entra em contato com várias figuras

propiciando o manuseio das diversas formas de representações, tais como:

triângulos, quadriláteros, noções de retas paralelas, perpendiculares, concorrente,

bem como o de trabalhar na interpretação de gráficos e esquemas na elaboração

dos modelos com os quais construirão figuras planas e espaciais.

A escolha do origami como ferramenta no ensino/aprendizagem da geometria

se deu com o intuito de despertar o interesse dos alunos em relação aos conceitos

geométricos, e também por constituir-se um material concreto onde a visualização e

a análise bem como a sua facilidade no manuseio.

Quem nunca em sua vida dobrou uma folha de papel? Construiu um

aviãozinho, um balão ou um barquinho de papel? A dobradura é encontrada em

nosso cotidiano, e até mesmo no ensino fundamental onde crianças a usam nas

construções de barquinhos, aviãozinho, carinhas de animais, de forma lúdica etc.,

mesmo sem saber que muitos, como os orientais, fazem dela uma arte e a

denominam de origami, que significa a arte de dobrar papel.

Através da dobradura pode-se ensinar, para os alunos, os conceitos

geométricos comparando, a geometria teórica com a concreta através do manuseio

e construção dos poliedros.

A geometria através da dobradura também pode ser colorida, misturando

cores na construção de pipas e balões.

Para D’Ambrosio:

A geometria do povo, dos balões e das pipas, é colorida. A geometria teórica, desde sua origem grega, eliminou a cor. São essas as primeiras e mais notáveis experiências geométricas. E reaproximação de Arte e Geometria não podem ser alcançadas sem a mediação das cores. Assim como chegar à Geometria sem cores, talvez seja esse o ponto crucial na passagem da matemática do concreto para uma matemática teórica. O cuidado com essa passagem e trabalhar adequadamente esse momento talvez sintetizem o objetivo mais importante dos programas de Matemática Elementar. (D’AMBROSIO, 2002.p.78)

4

Para entender a matemática é necessário compreender que ela possui uma

linguagem própria e simbólica, e que ela passa a ser um instrumento de articulação

entre as outras ciências, mostrando que é uma ciência dinâmica. É importante saber,

também, o momento histórico, pois ela evolui conforme o surgimento de conceitos

ou de conceitos antigos que são reformulados, contribuindo para que haja evolução

do conhecimento.

A geometria possibilita que os alunos desenvolvam uma maneira própria de

compreender e representar a natureza. Com uma simples dobradura estamos

fazendo geometria, construindo um modelo de representação de retas, planos,

polígonos, poliedros etc. revendo os conceitos de geometria plana e espacial sem

usar régua e compasso.

Para Imenes:

Ao usar régua e compasso pode-se traçar linhas retas, construir um ângulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, retas paralelas e desenhar muitas outras figuras. Pois vamos fazer várias dessas construções, só que desta vez com dobraduras. Com elas podemos também construir poliedros que são figuras espaciais dotados de várias faces. É exatamente isso o que essa palavra, de origem grega, significa: poli quer dizer ‘muito’ e edro, ‘face’. As faces de um poliedro são polígonos: triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. (IMENES, 1992)

É de fundamental importância que as pessoas comecem a desenvolver a

capacidade de perceber o espaço tridimensional. Com a ajuda das dobraduras os

alunos têm uma maior compreensão desses conceitos.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para Ensino Médio:

As habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas que podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação de partes do mundo que o cerca. (PCNs, 1999. p. 257)

Com a aquisição dessas habilidades é possível então construir retângulos,

quadrados, hexágono, triângulos, ou seja, os polígonos com os quais pretendemos

chegar à construção dos poliedros de Platão, que são figuras espaciais

apresentados no 3º ano do Ensino Médio em Geometria.

5

2.1 GEOMETRIA

Segundo Klaine:

A primeira civilização na qual se pode dizer ter florescido a matemática é a dos gregos clássicos. Seus pensadores mostravam-se indiferentes as necessidades do comercio, da navegação e as questões praticas em geral, mas estavam intensamente interessados em compreender a função da natureza. Para esse fim, acharam à geometria a mais conveniente, e é nesta área que fizeram sua suprema contribuição. A geometria também surgiu do estudo de figuras reais que existem no espaço físico e do desejo de conhecer as propriedades dessas figuras reais e o próprio espaço. (KLAINE, 1976. p.53 e 99)

Tão remota quanto à geometria é o estudo dos poliedros regulares, mais

conhecidos como poliedros de Platão ou Sólidos de Platão, onde o seu estudo levou

os pitagóricos a contribuíram na construção de uma parte importante da geometria.

A Geometria dos gregos descrita por Boyer nos revela que:

Para os gregos os cinco sólidos geométricos correspondem aos elementos do universo, fogo o tetraedro, terra o cubo, ar o octaedro, água o icosaédro e por último o universo representado pelo dodecaedro e venerado pelos pitagóricos, chamados de poliedros de Platão por ser por eles e seus seguidores intensamente estudados. Ao dodecaedro Platão tinha atribuído papel especial como representante do universo dizendo enigmaticamente “Deus usou-o para o todo”. (BOYER, 1981. p. 61,64)

Estes sólidos são também encontrados presentes na natureza sob a forma de

cristais, e até mesmo em vírus e em alguns animais marinhos.

2.2 ORIGAMI

Origami é uma palavra de origem japonesa, formada por dois radicais, ori

significa dobrar e Kami significa papel, portanto origami é a arte de dobrar papel.

Criatividade, imaginação, conhecimento e habilidade são os meios

necessários para que possamos criar e construir as estruturas em papel. Para tanto

é preciso não violar os princípios básicos do origami que são: utilizar uma folha de

papel quadrado (podendo existir figuras das quais se originam de papeis

retangulares, triangulares e outros), não cortar e não colar. Deve-se trabalhar em

6

uma superfície lisa, e fazer as dobras (vinco) com firmeza e exatidão para não

comprometer o resultado final.

Segundo Cruz:

Apesar de o Japão ser considerado o berço do origami, diz-se também que ele pode ter surgido na China, onde a história do papel é bem mais antiga. No Brasil o origami chegou com os colonizadores portugueses e com os preceptores europeus que vieram ao país com o intuito de orientar os filhos das famílias mais abastadas. No século XIX foi utilizado pelo educador alemão Friedrich Froebel, como um método pedagógico, e o inglês Arthur H. Stone em 1939 registrou como exemplo de aplicação do origami, os flexágonos, um tipo de recreação que permite verificar certos conceitos matemáticos. Neste contexto, vem sendo observado que a utilização do origami juntamente com idéias do construtivismo e com o modelo de Van Hiele, contribui para o desenvolvimento de habilidades manuais e criativas do indivíduo, melhorando a sua coordenação psicomotora, agilizando o raciocínio e proporcionando noções de espaços bi e tridimensionais, onde a visualização dos objetos estudados é de grande importância’’. (CRUZ E GONSCHOSWSKI, 2005)

2.3 O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO

GEOMÉTRICO

A teoria de Van Hiele para o desenvolvimento do pensamento geométrico

vem sendo ao longo dos anos analisadas e pesquisadas por vários educadores em

Educação Matemática entre eles Lílian Nasser.

Para ela:

A aprendizagem de conceitos matemáticos ocorre por níveis de compreensão. Os alunos atribuem significados a um conceito básico de forma gradual, observando regularidades e produzindo generalizações. Com a indicação que a construção dos conceitos geométricos possuem características próprias levaram pesquisadores como Jean Piaget e Pierre Van Hiele a criarem modelos para a aquisição de conceitos geométricos. Em “a concepção de espaço da criança”, Piaget e Inhelder afirmam que o pensamento geométrico é construído numa ordem definida: inicialmente as transformações topológicas são construídas, progredindo para as projetivas, e finalmente para as euclidianas ou métricas. Por outro lado. Van Hiele e sua esposa Dina perceberam que seus alunos apresentavam dificuldades específicas no domínio de conteúdos geométricos. Resolveram então investigar como os conceitos geométricos são formados. Deste estudo resultou a TEORIA DE VAN HIELE PARA O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCINIO EM GEOMÉTRIA.

7

A mesma autora nos relata como os alunos progridem de acordo com esta

teoria:

De acordo com Van Hiele, os alunos progridem segundo níveis hierárquicos de conhecimento quando aprendem geometria. Estes níveis podem ser descritos como: Reconhecimento (visualização) análise, abstração (síntese) dedução e rigor. Van Hielle estabelece que o progresso de nível depende da experiência de atividades especialmente preparadas pelo professor, com essa finalidade, e passa por cinco fases de aprendizagem. Portanto o modelo de Van Hiele incorpora ao cognitivo um aspecto didático. (NASSER, Anais vi. 1998)

Para Nasser a teoria de Van Hiele sugere cinco níveis hierárquicos, no

sentido de que o aluno só atinge determinado nível de raciocínio após passar por

todos os níveis inferiores. A seguir enumeramos esses níveis e suas características:

Nível básico: Reconhecimento - Identificação, comparação da nomenclatura de

figuras geométricas, com base em sua aparência global.

Nível 1: Análise - Análise das figuras em termos de seus componentes,

reconhecimento de suas propriedades e uso dessas propriedades para resolver

problemas.

Nível 2: Síntese ou abstração - Percepção da necessidade de uma definição

precisa, e de que uma propriedade pode decorrer de outra; argumentação lógica

informal e ordenação de classes de figuras geométricas.

Nível 3: Dedução - Domínio do processo dedutivo e de demonstrações;

reconhecimento de condições necessárias e suficientes.

Nível 4: Rigor - Estabelecimento de teoremas em diversos sistemas e comparação

dos mesmos.*

* Referente ao quadro apresentado em Geometria segundo a Teoria de van Hiele, Projeto Fundão, Nasser e Sant’Anna, 1997.

8

De acordo com Nasser:

Para Van Hiele, cada nível é caracterizado por relações entre os objetos de estudo e linguagem próprias. Consequentemente, não pode haver compreensão quando o curso é dado num nível mais elevado do que o atingido pelo aluno.

Do que foi exposto acima, conclui-se que uma das dificuldades apresentadas

pelos alunos na aquisição de conceitos geométricos, é a de passarem de um nível

inferior para um mais elevado sem passarem pelas experiências dos níveis

intermediários.

Utilizando o origami como ferramenta para deduzir e demonstrar as relações

geométricas, facilita-se o processo de desenvolvimento dos quatro primeiros níveis

iniciais da teoria de Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico,

dando destaque à visualização e a análise.

É importante para o aluno que ele desenvolva de forma prática e criativa todo

seu potencial no desenvolvimento das relações geométricas.

9

3 METODOLOGIA

A abordagem do tema se dará através de aulas ministradas em forma de

oficinas, para que os níveis de desenvolvimento da teoria de Van Hiele sejam

observados ao construir os modelos de sólidos por meio de dobraduras de papel.

A proposta foi implementada no 1º semestre de 2008 no Colégio Estadual

Cleide Leni Lopes Kurzawa, de Araucária, em forma de mini-curso. Pretendendo-se

demonstrar, usando o origami como metodologia, a existência de somente cinco

poliedros regulares.

Fundamentando a construção dos conceitos geométricos baseados no

modelo de Van Hiele, para que através desta metodologia possam se observar os

níveis de desenvolvimento atingidos pelos alunos.

Far-se-á um pré-teste e um pós-teste onde se pretende a constatação do

desenvolvimento do pensamento geométrico e a produção de um OAC (Objeto de

Aprendizagem Colaborativa) para que se possa socializar esta experiência com os

demais professores da Rede, bem como a produção de vídeos demonstrando as

técnicas do origami de como utilizar os materiais na construção dos Sólidos de

Platão.

Estes vídeos (22) encontram-se disponíveis no site

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive (sons e vídeos, matemática, origami) neles

são demonstrados os passos para a construção dos poliedros e também a

demonstração da existência de somente cinco sólidos de Platão utilizando os

moldes de origami.

3.1 PROCEDIOMENTO METODOLÓGICO

Os Sólidos de Platão sob a visão da teoria de Van Hiele aliada ao Origami,

surgiu com a preocupação de rever e tornar acessíveis os conceitos de geometria no

10

Ensino Médio, devido às dificuldades apresentadas na aquisição dos mesmos, na

visualização, no traçado, na interpretação das formas planas e espaciais. Utilizando

como recurso didático o origami e aproveitando a motivação do educando exercida

pelas dobraduras em atividades manuais, concreta, onde o leve a observar,

manipular e construir os sólidos de Platão.

A metodologia empregada nessas atividades está fundamentada na teoria de

Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico, mas precisamente estará

centrada na primeira fase que é a visualização, nesse caso, das formas planas e

espaciais.

Será aplicado ao aluno um questionário de sondagem de como foi a sua

relação com a Matemática e a Geometria nos anos anteriores e também um pré-

teste (anexo I) para verificarmos em quais dos níveis se situam os educando do 3º

ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Cleide Leni Lopez Kurzawa de Araucária

, após a realização das atividades propostas um pós-teste (anexo II) com a

finalidade de verificar se os objetivos foram atingidos.

Os sólidos geométricos são figuras que ocupam lugar no espaço. Um sólido

possui três dimensões: comprimento, largura e altura.

Os sólidos classificam em:

Poliedros: que são sólidos geométricos ou forma geométrica espacial que possui

apenas faces planas ou superfícies planas chamadas polígonos.

Não poliedros: também chamados de sólidos de revolução, são aqueles que não

possuem faces planas ou superfícies planas, ou seja, os formados por superfícies

curvas, são os cones, cilindros e esferas.

Dentre os sólidos geométricos destacamos os poliedros que podem ser

regulares e irregulares.

“Um poliedro é regular se suas faces são regiões poligonais regulares, todas

com o mesmo número de lados, e se para todo vértice do poliedro converge o

mesmo número de lado”.

11

Esta atividade baseia-se nos poliedros regulares, e mais precisamente na

demonstração através do origami da existência de apenas cinco poliedros regulares,

os chamados poliedros de Platão usando a teoria de Van Hiele do desenvolvimento

do pensamento geométrico. Os sólidos serão construídos utilizando os modelos

triangulares, quadrangular e pentagonal confeccionados com as técnicas do

Origami.

Por que existem apenas cinco Poliedros Regulares de Platão?

Um poliedro é chamado de Platão quando satisfizer três condições:

-Todas as faces têm o mesmo número de arestas;

-Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;

-Se verifica a relação de Euler.

De acordo com o teorema fundamental de Euler, expresso na equação 1:

"Em todo poliedro convexo a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas aumentado de duas unidades."

V + F = A + 2, (eq.1)

Onde: V = número de vértice F = número de faces A = número de arestas

"Existem apenas cinco poliedros regulares convexos” e os elementos que

compõem um poliedro são chamados de faces, arestas e vértices.

"As Faces de um poliedro regular ou são triângulos eqüiláteros, quadrados ou

pentágonos regulares”.

Usando os módulos triangular, quadrado e pentagonal construído para a

confecção dos poliedros de Platão verificaremos essa afirmação.

3.1.1 Implantação da Proposta

O projeto foi por mim implementada com alunos de 3º ano do Ensino Médio

do Colégio Estadual Cleide Leni Lopes Kurzawa em Araucária. O colégio está no

12

seu 2º ano de funcionamento com dualidade administrativa, sendo que no período

da manhã e tarde com ensino fundamental é municipal e a noite estadual com três

turmas de 1º ano, duas de 2º ano e uma do 3º ano, turmas também do Eja e do

Cebja. O colégio está situado no bairro Jardim Condor em Araucária.

A turma do 3º ano que participou do projeto é composta por 17 alunos com

idades entre 16 a 24 anos (conforme tabela 1), sendo 11 do sexo feminino e 6 do

sexo masculino.

TABELA 1 – QUANTIDADE DE ALUNOS DO SEXO MASCULINO E FEMININO

ENTRE 16 À 24 ANOS. IDADE QUANTIDADE DE ALUNOS

DDDALUALUNOSALUNOS FEMENINO

F= 6 MASCULINO

F 16 10 6 4 17 5

3 2

18 1

1 - 24 1 1 -

3.2 ORIGAMI

A terceira etapa foi à confecção dos moldes em origami, a turma foi dividida

em três grupos com três elementos e dois grupos com quatro elementos por eles

mesmos organizados. Cada aluno foi identificado com um número de acordo com a

ordem alfabética, ficando assim os grupos formados:

G1 números 1, 5, 9.17

G2 números 2, 3, 15

G3 números 6, 8, 12

G4 números 4, 13,14

G5 números 7,10,11,16

Ficou decidido que cada grupo construiria os cinco modelos de poliedros de

Platão. Foi distribuído papel para dobradura A4 e iniciamos o trabalho.

Ao mesmo tempo em que os moldes foram confeccionados, surgiram

questionamentos para obter informações sobre as figuras geométricas construídas.

1- O papel A4 que tipo de figura representa? Lados? Ângulos? Vértices?

13

2- Divida o papel A4 em quatro partes iguais. Qual a figura representa cada parte?

3- Transforme a quarta parte do A4 no maior quadrado possível? Lados? Ângulos?

Diagonal? Ou Bissetriz? Aqui apareceu de tudo, medir, dobrar ao meio até que

surgiu o de levar o menor lado sobre o maior formando um triângulo.

4-Que tipo de triângulo? Lados? Ângulos? Vértices?

Aqui é notada a dificuldade psicomotora que a maioria dos alunos tem, a

atenção foi chamada várias vezes para que as dobras ficassem alinhadas.

Depois os moldes passaram a ser confeccionar de acordo com os passos

apresentados a seguir:

3.2.1 Molde Triangular

1- O molde triangular começa com o quadrado dobrando ao meio (mediatriz) e

segue os passos:

Kallef pg. 45

2- Quais os tipos de triângulo que surge quando fazemos essa dobradura? Lados?

Ângulos? Vértices? Que outras figuras aparecem? Em quantas partes fica

dividido o ângulo de 90°? (tri secção do ângulo).

Ao todo foram construídos 32 moldes triangular, para a construção do

tetraedro, octaedro e icosaédro.

14

3.2.2 Molde Quadrangular

1- A construção começa com o quadrado

Kallef pg .47

2- Quais figuras surgem quando fazemos essa dobradura? Lados? Ângulos?

Vértices? Diagonais?

Cada equipe construiu 6 moldes quadrangular, para a construção do

hexaedro.

3.2.3 Molde Pentagonal

1- O molde pentagonal começa com a quarta parte do A4 na forma retangular.

Este procedimento é atribuído a David Bril.

15

2- Quais os tipos de pentágono que surge quando fazemos essa dobradura? Lados?

Ângulos? Vértices? Diagonais?

3.2.4 Molde de Encaixe

É construído com a quarta parte do quadrado formando, portanto quatro

encaixes, ao todo foram construídos 48 peças.

Kallef pg .45

Depois dos moldes estarem construídos, toda a geometria plana foi a

revisada como: ponto, reta, plano, segmento, semi-reta, posições de retas

(paralelas, concorrentes, perpendiculares) e de planos (paralelos, concorrentes,

perpendiculares), polígonos e introduzimos a geometria espacial utilizando as

atividades abaixo.

A maioria dos alunos tem facilidade para identificar quadrados, triângulos e

retângulos e muitos não sabem diferenciar um trapézio de um paralelogramo ou

losango, até mesmo de retângulo e paralelogramo.

3.2.5 Demonstração da Existência de Somente Cinco Poliedros Regulares, utilizando os Módulos.

1- Peças triangulares – Com uma peça triangular pode-se formar uma figura

espacial? E com duas? Três? Quatro? Cinco? Seis?

2- Peças quadradas – Com uma peça quadrada pode-se formar uma figura

espacial? E com duas? Três? Quatro? Cinco?

3- Peças pentagonais – Com uma peça pentagonal pode-se formar uma figura

espacial? E com duas? Três? Quatro?

16

4- E se as peças fossem hexagonais?

5- Construa uma tabela ilustrando as situações acima e quais são os sólidos que

podem ser construídos.

6- Planificação dos Poliedros.

7- Montagem dos Poliedros.

8- Construir uma tabela usando V = vértice, F= face, A = aresta, n = número de

lados, p= o número de lados que concorrem em cada vértice.

9- Fazer a demonstração algébrica da existência de apenas cinco sólidos de Platão.

Quando se iniciou a oficina de origami os alunos tinham dificuldades,

inclusive psicomotoras, para acompanhar e até mesmo visualizar o que era

transmitido através da fala e da representação de como fazer os moldes passo a

passo, já que os esquemas mostrados acima para a construção dos mesmos não

foram apresentados aos alunos. Cada um construiu e colou em seu caderno os

passos para a construção do molde triangular, do quadrangular, do pentagonal e

dos encaixes. Depois de construído os moldes necessários passou-se para a

planificação e posterior montagem dos sólidos de Platão.

No mês de setembro os alunos confeccionaram e apresentaram os cinco

sólidos na Semana Cultural do Colégio Cleide Leni Lopes Kurzawa.

17

4 APRESENTAÇÃO E DISCUSÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS

Passamos a apresentar os resultados obtidos no questionário, no pré e pós-

teste acompanhados de uma análise. 4.1 APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO

Primeiramente foi aplicado um questionário (anexo I), tendo como base o

utilizado por Odaléa Aparecida Viana em sua Dissertação de Mestrado, com

intenção de analisar a relação entre aluno e matemática, aluno e geometria, e de

como foi esta relação nos anos anteriores de escolaridade.

De acordo com as respostas foi feito um resumo das questões.

1- Questão: Todos os alunos são oriundos da escola publica. 2- Questão: A relação de aprendizagem nas séries anteriores de geometria, um

aluno respondeu que foi excelente, quatro alunos acharam que foi bom, onze

alunos acham que foi regular e um aluno respondeu bom e regular ao mesmo

tempo.

3- Questão: O que você entende por geometria, a maioria respondeu estudo das

medidas de uma figura.

4- Questão: Quanto à importância de se estudar a geometria, onze alunos acham

que é importante, cinco importância relativa e um não respondeu.

5- Questão: o que leva a julgar a importância da geometria, três alunos

responderam sua utilidade; um usar na escola, quatro usar em profissões, cinco

desenvolve o raciocínio, um usar em profissões e desenvolve o raciocínio, um

sua utilidade usar em profissões, desenvolve o raciocínio e cai no vestibular, um

usar em profissões e outras.

18

6- Questão: Diferença entre a geometria plana e espacial, um aluno respondeu

plano, dois espaço, treze dimensões e um não respondeu.

7- Questão: O que se estuda geometria plana, onze responderam figuras planas (ou

de duas dimensões), dois áreas e perímetros, dois polígonos, um áreas,

perímetros e polígonos, um retas e medidas, um figuras planas, área e

perímetros, planos, polígonos, retas e medidas, um não respondeu.

8- Questão: Estudo da geometria espacial, quatro alunos responderam o espaço,

três formas tridimensionais, dois volumes, cinco poliedros, um espaço e forma

tridimensionais, um espaço, forma tridimensionais, volumes, capacidade e

poliedros.

9- Questão: Gostam de matemática, seis alunos responderam que gostam, nove

mais ou menos, dois não gostam, e um gosta e mais ou menos.

10- Questão: Gostam de geometria: dois gostam, treze mais ou menos, dois não

gostam.

11- Questão: Motivos para não gostar de matemática: fazendo uma análise geral

das respostas a maioria não gosta por ter dificuldade na aprendizagem.

12- Questão: O motivo que o leva a gostar. De modo geral as resposta foi que a

matemática desenvolve o raciocínio.

13- Questão: Não gostar de geometria. Uma total falta de interesse por não saber o

que vem a ser geometria.

14- Questão: Quanto a gostar de geometria as resposta são meio contraditórias em

relação a anterior, desenhar figuras, desenvolve o raciocínio.

4.2 APLICAÇÃO DO PRÉ- TESTE DE VAN HIELE

A segunda etapa foi à aplicação do pré-teste (anexo II) aos educando, o

mesmo retirado do livro “Geometria segundo a teoria de Van Hiele” do Projeto

19

Fundão coordenado por Lílian Nasser, o qual tem por objetivo verificar em quais dos

estágios apresentados os alunos se encontravam.

O pré-teste é composto de 15 questões, sendo cinco questões para o nível

básico, cinco para o nível I e cinco para o nível II segundo a teoria de Van Hiele. A

análise foi realizada somente nos três primeiros níveis.

Nível básico: questões de 1 à 5 o qual se caracteriza pela identificação,

comparação e nomenclatura de figuras geométricas, com base em sua aparência

global, neste nível o aluno é capaz de reconhecer as figuras dando os nomes

corretos e observar as diferenças e semelhanças existente entre elas.

Nível I: questões de 6 à 10 onde ocorre a análise das figuras em termos de seus

componentes, reconhecimento de suas propriedades e uso dessas propriedades

para resolver problemas. Neste nível os alunos observam, descrevem e reconhecem

as propriedades das figuras.

Nível II: questões de 11 à 15 o qual ocorre quando há a percepção da

necessidade de uma definição precisa, e de que uma propriedade pode decorrer de

outra; argumentação lógica informal e ordenação de classes de figuras geométricas,

que é um dos três primeiros níveis da teoria. Neste nível os alunos passam a

reconhecer propriedades comuns as figuras realizando a inclusão de classes,

através da observação e da lógica.

4.2.1 Análise dos Dados Obtidos no Pré-teste.

O critério usado para a correção no pré e pós-teste foi a do certo ou errado, e

questões como a 7, 9 e 12 do nível I e II foram considerados corretas, se os três

itens estivessem corretos, no caso da questão 10 era necessário o nome e o

desenho para ser considerada correta.

20

4.2.2 Número de Questões Corretas por Aluno e por Nível do Pré-teste de Van Hiele.

A tabela 2 e a sua representação no gráfico 1 refere-se a quantidade total de

acertos por aluno nos três níveis: nível básico, nível I e nível II.

TABELA 2 – QUANTIDADE DE QUESTÕES QUE CADA ALUNO ACERTOU NO PRÉ-TESTE DO NÍVEL DE VAN HIELE. QUANTIDADE DE QUESTÕES CORRETAS POR NÍVEL

NÍVEL NÚMERO DO ALUNO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BÁSICO 3 1 3 1 3 1 0 2 3 4 2 0 1 1 3 2 4 NÍVEL I 2 0 3 1 0 3 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 NÍVEL II 0 0 3 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0

Nota-se que, nenhum aluno acertou todas as questões dos três níveis, no

nível básico o maior número de acertos foi quatro questões com dois alunos (10 e

17), no nível I três questões dois alunos (3 e 6), e no nível II três questões um

aluno (3) sendo o único que manteve a quantidade de acertos em cada nível.

O número de alunos que não acertaram nenhuma questão cresce

consideravelmente do nível básico para o nível I e II, já para os que acertaram uma

questão há certo equilíbrio, os que acertaram duas questões há um decréscimo

entre os níveis.

21

GRÁFICO 1 – QUANTIDADE DE QUESTÕES QUE CADA ALUNO ACERTOU NO PRÉ-TESTE DO NÍVEL DE VAN HILE

0

1

2

3

4

NB NI NII NB NI NIINB NI NIINB NI NII NB NI NII NB NI NIINB NI NIINB NI NII NB NI NII NB NI NIINB NI NIINB NI NII NB NI NII NB NI NII NB NI NIINB NI NII NB NI NII

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Número do aluno

Quantidade de acertos

22

4.3 APLICAÇÃO DO PÓS-TESTE DE VAN HIELE

A quarta etapa foi à aplicação do pós-teste (anexo I) com as mesmas

questões iniciais, com a intenção de avaliar o progresso de um nível para o outro,

através da vivência de atividades adequadas segundo o modelo de Van Hiele para o

desenvolvimento do pensamento geométrico, com a utilização do origami como

recurso didático.

4.3.1 Número de Questões Corretas por Aluno no Pós-Teste do Nível de Van Hiele

A tabela 3 e sua representação no gráfico 2 refere-se a quantidade total de

acertos por aluno nos três níveis: básico, nível I e nível II, representados pelas

siglas NB, NI e NII.

No nível básico cinco alunos (9, 10, 12, 15 e 17), acertaram todas as

questões e o maior número de acertos (quatro) no nível I e II foi de um aluno (15),

com três acertos nível I os alunos (6,10 e 16) e três acertos nível II os alunos (5, 6,

9, 12 e 16).

No nível básico não teve aluno que acertasse uma ou nenhuma questão, já

no nível I teve dois alunos que não pontuaram, nove só acertaram uma, no nível II

três alunos não pontuaram, e três alunos que acertaram somente uma questão.

Observa-se que houve uma evolução em relação ao pré-teste aplicado

anteriormente.

TABELA 3 – QUANTIDADE DE QUESTÕES CERTAS POR ALUNO NO PÓS-TESTE DO NÍVEL DE VAN HIELE.

PÓS-TESTE QUANTIDADE DE QUESTÕES CERTAS POR NÚMERO DO

ALUNO

NÍVEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

BÁSICO 4 2 2 3 4 4 3 3 5 5 4 5 2 3 5 3 5 NÍVEL I 1 1 2 0 1 3 1 1 1 3 1 0 1 1 4 3 2

NÍVEL II 1 0 2 1 3 3 0 2 3 2 0 3 1 0 4 3 2

23

GRÁFICO 2 – QUANTIDADE DE QUESTÕES QUE CADA ALUNO ACERTOU NO PÓS-TESTE DOS NÍVEIS DE VAN HIELE.

0

1

2

3

4

5

6

NB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NIINB NI NII

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Quantidad

e de acertos

Número do aluno por nível

24

5 RESULTADOS E DISCUSÃO DOS DADOS OBTIDOS NO PRÉ- TESTE E

PÓS-TESTE DE VAN HIELE.

As questões do nível básico, nível I, nível II, serão analisadas de acordo com

a quantidade de respostas dadas pelos alunos no pré-teste e pós-teste.

Ao analisar os dados obtidos no pré-teste e pós-teste, e comparando com as

resposta dada ao questionário respondido pelos alunos, temos a impressão que

eles não tem noção ou conhecimento de geometria, apesar desse conteúdo está

inserido na matemática das séries anteriores.

5.1 ANÁLISE DA QUANTIDADE DE ACERTOS POR QUESTÕES

Analisando questão por questão, tendo como base as características

determinadas por Van Hiele para os três primeiros níveis, e comparando os

resultados do pré e do pós-teste da tabela 4 e sua representação no gráfico 3,

observa-se o nível básico, nível da visualização, que é o principal objeto desta

pesquisa .

TABELA 4 – QUANTIDADE DE ALUNOS QUE ACERTARAM AS QUESTÕES DO PRÉ-TESTE E PÓS - TESTE DOS NÍVEIS DE VAN HIELE.

QUANTIDADE DE ALUNOS QUE ACERTARAM AS QUESTÕES NOS NÍVEIS DE VAN HIELE.

QUANTIDADE QUESTÕES

NÍVEL BÁSICO NÍVEL I NÍVEL II PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

0 2 0 9 2 10 3 1 5 0 4 8 5 3 2 3 3 2 2 1 4 3 5 5 2 3 1 5 4 2 3 0 1 0 1 5 0 5 0 0 0 0

25

GRÁFICO 3 – QUANTIDADE DE ALUNOS QUE ACERTARAM AS QUESTÕES NO PRÉ-TESTE PÓS-TESTE DOS NÍVEIS DE VAN HIELE

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

NB NI NII NB NI NII NB NI NII NB NI NII NB NI NII NB NI NII

0 1 2 3 4 5

Questões por nível

Quantidade de alunos

26

Comparando o resultado obtido no pré-teste e no pós-teste os alunos

melhoraram o rendimento depois de fazerem uma revisão geral da geometria.

Observa-se também que a quantidade de alunos que não acertaram

nenhuma diminuiu consideravelmente no pós-teste, e que alguns alunos conseguem

transitar entre os três níveis, mostrando que adquiriram alguma habilidade especifica

do nível.

Considerou-se que para um aluno ter atingido o objetivo ele deveria ter

acertado todas as questões de cada nível.

Para finalizar atribuímos um uma nota no valor de 0 (zero) à 10 (dez) a título

de avaliação no pré-teste e no pós-teste, usando como critério os itens que estavam

corretos , no total de 30 alternativas tendo como valor 0,34.

Calculando os resultados obtidos, a média geral no pré-teste foi de 5,3 e no

pós-teste de 7,1 mostrando que houve uma evolução apesar de três alunos terem

ido melhor no primeiro teste.

Para a média e a quantidade de acertos da turma a tabela 5 e sua

representação no gráfico 4, foi construída usando como critério os itens que

estavam corretos.

TABELA 5 – AVALIAÇÃO DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE DE VAN HIELE

AVALIAÇÃO DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE

N° DO ALUNO QUANTIDADE DE ALTERNATIVAS MÉDIA

PRÉ-TESTE PÓS-TESTE PRÉ-TESTE PÓS-TESTE 1 15 21 5,1 7,1 2 18 15 6,1 5,1 3 26 22 8,8 7,5 4 14 21 4,8 7,1 5 17 24 5,8 8,2 6 14 25 4,8 8,5 7 14 15 4,8 5,1 8 13 22 4,4 7,5 9 17 26 5,8 8,8 10 15 18 5,1 6,1 11 10 21 3,4 7,1 12 11 16 3,7 5,4 13 16 24 5,4 8,2 14 16 15 5,4 5,1 15 17 26 5,8 8,8 16 17 24 5,8 8,2 17 14 22 4,8 7,5

MÉDIA GERAL - - 5,3 7,1

27

GRÁFICO 4 – AVALIAÇÃO NO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE DE VAN HIELE

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Número do aluno

Nota do

aluno

no pr

é e pó

s-teste

28

Passaremos a analisar as cinco questões do nível básico, e a quantidade de

respostas dadas pelos alunos no pré-teste e pós-teste.

5.1.1 Pré-Teste e Pós-Teste Nível Básico.

A questão 1 exige que o aluno saiba reconhecer, nomear e perceber as

diferenças entre as formas das figuras.

Pré-teste

Nesta questão exige que os alunos tenham habilidade de visualização e

formalização para identificar os triângulos entre as figuras apresentadas. Doze

alunos responderam corretamente B, C e E, mostrando que sabem a diferença entre

triângulos e outras figuras e quatro responderam B e E, não perceberam que C

sendo de forma diferente é triângulo e um respondeu só B talvez não tenha

assinalado por não interpretar corretamente a pergunta, que poderia ter mais de

uma alternativa. Nenhum dos alunos marcou a A e D, mostrando que sabem o que é

triangulo.

Pós-teste

Dezesseis alunos responderam corretamente B, C e E, quatro respondeu B e

E não considerou a C por ser um triângulo de forma diferente ou não atentou para a

definição de triângulo. Nenhum dos alunos marcaram a A e D. Nenhum dos alunos

marcaram a A e D.

A questão 2 também exige que o aluno saiba reconhecer, nomear e

perceber as diferenças entre as formas das figuras, neste caso quadrados.

29

Pré-teste

Considerando somente a R correta nove alunos acertaram (a visualização da

fig. T o formato do desenho deixa dúvidas entre a representação de um quadrado

e um losango), R e T dois alunos que responderam, cinco alunos marcaram Q e R

talvez já percebendo a inclusão de classes , o mesmo acontecendo com um aluno

que marcou Q, R e T. Nenhum marcou a P ou Q, mostrando que sabem o que é

quadrado. Esta questão foi considerada correta somente a R ou R e T, então no total

onze alunos acertaram.

Pós-teste

Em relação ao pré-teste não houve diferença já que dez alunos responderam

somente a R ou R e T corretamente, cinco alunos marcaram Q e R talvez já

percebendo a inclusão de classes, o mesmo acontecendo com um aluno que

marcou Q, R e T. Nenhum marcou a P ou Q, mostrando que para a maioria a

definição de quadrado foi assimilada.

A questão 3 também exige que o aluno saiba reconhecer, nomear e

perceber as diferenças entre as formas das figuras, neste caso retângulos.

Pré-teste

Como as questões anteriores, esta também exige do aluno a habilidade de

visualização e reconhecimento de formas, sete alunos identificaram corretamente as

alternativas A e C, dois alunos assinalaram A, B e C, o mesmo ocorrendo com três

alunos que marcaram as alternativas A, C e D, um aluno marcou A e E mostrando

que não sabe distinguir ou não esta atento para a definição de retângulo, quatro

marcaram só A não estavam atentos ao enunciado, nenhum marcou só a B, C, D

ou E.

Pós-teste

Em relação ao pré-tese houve um aumento no número de acertos, doze alunos

identificaram corretamente as alternativas A e C, dois alunos assinalaram A,B e C,

um aluno marcou as alternativas A, C e D , um aluno marcou A e B, e não foram os

mesmo alunos que acertaram no pré-teste.

30

A questão 4 exige que o aluno saiba reconhecer, nomear e perceber as

diferenças entre as formas das figuras, neste caso dos paralelogramos.

Pré-teste

Esta questão requer a habilidade de visualização e reconhecimento do

paralelogramo entre as figuras apresentadas.

Dois alunos responderam corretamente A e D, um aluno assinalou a B e C

mostrando que não sabe a classificação, quatro alunos A, C e D consideraram o

trapézio também como paralelogramo, um aluno considerou só o A como

paralelogramo, um só o D, cinco só a C colocando o trapézio como paralelogramo,

nenhum assinalou a B ou E. Isto mostra que os aluno não tem claro a definição do

que seja um paralelogramo.

Pós-teste

Em relação ao pré-teste houve aumento dos resultados oito alunos

responderam corretamente A e D, um aluno assinalou a C e D seis alunos A, C e D

consideraram o trapézio também como paralelogramo, um aluno considerou só a B

como paralelogramo, outro só a C, nenhum assinalou só a A ou E.

A questão 5 também se refere a visualização e as propriedades, mas em

relação entre retas: paralelas, concorrentes e perpendiculares.

Pré-teste

Esta questão requer a habilidade de visualização entre pares de retas, dois

alunos responderam corretamente A e C, um só a A, um só a B, não percebendo

que são concorrentes, um só a C, a D nenhum, um A e E não percebeu que E é

concorrente, um B e E não sabe o que é paralelismo ou confundiu com

perpendicularismo, cinco C e D não percebeu que em D as retas são concorrentes

e que se forem prolongadas encontraremos o ponto onde elas se interceptam, um

assinalou todas. Isto demonstra que para estes alunos o tema, relação entre retas, é

confuso.

31

Pós-teste

Comparando com o pré-teste houve um aumento significativo do número de

acertos, quinze alunos responderam corretamente A e C, um só a A, um a A e D,

nenhum assinalou a D e E.

Resumo Pré-teste

De acordo com Van Hiele o nível básico se caracteriza pela identificação,

comparação e nomenclatura de figuras geométricas, com base em sua aparência

global. Pode-se observar que todos os 17 alunos não atingiram os níveis esperados,

tomando como critério o total de acertos. Somente dois alunos acertaram quatro das

cinco questões, dois não acertaram nenhuma, o que nos leva a concluir que a

geometria não é um tema de fácil assimilação. Analisando as respostas dadas no

questionário estes dois alunos (10 e 17) responderam que tiveram um ensino regular

de geometria, que gostam mais ou menos de matemática e geometria, um diz que

essas matérias são de importância relativa e outro que é importante.

Resumo Pós-teste

Observou-se que cinco alunos (9,10, 12, 15 e 17) acertaram todas as

questões do nível básico, quatro acertaram quatro questões, cinco acertaram três e

três acertaram duas, nenhum aluno zerou o teste. Mostrando que ao fazer uma

revisão geral dos conteúdos alguns alunos melhoraram seu rendimento e que outros

não assimilaram ou não estavam atentos na hora de responder ao teste.

5.1.2 Pré-Teste e Pós -Teste Nível I

As questões de 6 á 10 pertencentes ao nível I, que tem por característica a

análise das figuras em termos de seus componentes, reconhecimento e uso de suas

propriedades para resolver problemas.

Neste nível os alunos observam, descrevem e reconhecem as propriedades

das figuras.

32

Pré-teste

Devo observar que ao transcrever o teste de Van Hiele ocorreu um erro de

digitação nesta questão no item d) onde era para ser “4 lados iguais” ficou “4

ângulos iguais” o qual foi mantido e portanto a questão correta passa a ser a

alternativa e) e quem marcou todas. Sendo também colocados os vértices como

mostra a figura.

A questão 6, cinco alunos responderam corretamente, um aluno assinalou a

B, dois alunos A e C deixando as outras por observar a figura, nenhum assinalou a

D; dois B e D; dois A, B e C;dois A, C e D; um B, C e D e nenhum a letra A isso

demonstra uma falta de conhecimento das propriedades dos retângulos.

Pós-teste

Doze alunos responderam corretamente, um aluno assinalou a D, um aluno A

e C, um A e B, um B e C. Isso mostra ainda dificuldades de certos alunos, mesmo

após a revisão dos conceitos de geometria.

A questão 7 além da visualização era necessário que os alunos

descrevessem as propriedades do quadrado.

Pré-teste

Todos os alunos responderam que tem quatro lados iguais, dois responderam

que tem ângulos iguais , doze retos ou de 90º, um quatro ângulos iguais e quatro

ângulos de 90° , um aluno só falou em diagonais não dizendo que são iguais e área,

portanto nenhum respondeu as três alternavas, dois somente uma e quinze duas

mostrando a dificuldade em interpretar ou o desconhecimento das propriedades do

quadrado.

Pós-teste

Quatro alunos acertaram a questão, nove acertaram duas questões, quatro

acertaram somente uma das alternativas, continuando a ter o mesmo problema de

interpretação e a dificuldade de enumerar as propriedades do quadrado.

33

A questão 8 além da visualização era preciso reconhecer as propriedades

usadas para distinguir as figuras.

Pré-teste

Quatro alunos responderam a alternativa C corretamente, três a A logo os

outros dois ângulos deveriam ser também de 60° já que a soma dos ângulos

internos é 180º, seis marcaram a B que poderia ser considerada correta por ser o

triângulo retângulo isósceles um caso particular, um marcou a D confundindo com o

triângulo eqüilátero, nenhum marcou a E, um não respondeu e, um marcou A e C,

outro B e D não atentando para o enunciado que pedia apenas uma alternativa

correta.

Observa-se que nesta questão não foi colocada a figura como consta no

Teste do livro, para que a mesma não influenciasse a resposta do aluno.

Pós-teste

Dois alunos responderam a alternativa A, dois a B, sete responderam a

alternativa C, dois a D, dois A e C, dois B e C. Mostra que há uma dificuldade de

assimilação das propriedades.

A questão 9 além da visualização era necessário que os alunos

descrevessem as propriedades do paralelogramo.

Pré-teste

Quatorze alunos respondeu que tem quatro lados, um não respondeu, um

respondeu diagonais diferentes e somente um respondeu adequadamente as três

questões, apareceram retas paralelas, não tem diagonais, ângulos diferentes, linhas

paralelas, mostrando que propriedades de paralelogramo não estão fixadas.

Pós-teste

Seis responderam tem quatro lados, um não respondeu, um respondeu

diagonais diferentes e somente quatro alunos respondeu adequadamente as três,

seis responderam tem os quatro lados iguais e ângulos de 90º.

34

A questão 10 além de desenhar o aluno deveria nomear um quadrilátero que

tenha a propriedade de ter as diagonais diferentes.

Pré-teste

Dez alunos desenharam o trapézio, três desenharam o paralelogramo, um

desenhou e nomeou o quadrado, dois desenharam o retângulo e um deles deu

como exemplo a porta, somente um nomeou e desenhou um trapézio corretamente.

Nesta questão a maioria não entendeu que ao dar um exemplo deveria ser feito o

desenho e também nomeá-lo. Desconsiderando-se a nomeação quatorze alunos

responderam adequadamente.

Pós-teste

Dezesseis alunos desenharam o trapézio retângulo, somente um nomeou e

desenhou um trapézio corretamente. Desconsiderando-se a nomeação 17 alunos

respondera adequadamente.

Resumo Pré-teste

Segundo Van Hiele o nível I se caracteriza pela análise das figuras em termos

de seus componentes, reconhecimento de suas propriedades e uso dessas

propriedades para resolver problemas.

Neste nível os alunos observam, descrevem e reconhecem as propriedades

das figuras.

Pode-se notar pela tabela 3 que nove alunos não acertaram nenhuma das

cinco questões, um número bem superior ao nível básico, quatro acertaram apenas

uma, dois duas, e o maior número de acerto foi três com dois alunos. Mostrando

que os alunos se situam no nível básico apesar de alguns mostrarem habilidades

desse nível. Ao analisar as respostas dadas no questionário estes dois alunos (3 e

6) responderam que tiveram um ensino regular de geometria, que um gosta outro

gosta mais ou menos de matemática e geometria, os dois dizem que estas matéria

são de importância relativa e outro que é importante.

35

Resumo Pós-teste

Pode-se notar pela tabela 3, que um aluno não acertou nenhuma das cinco

questões desse nível, nove acertaram apenas uma, dois acertaram duas, três

acertaram três, e o maior número de acerto foi quatro com um aluno. Mostrando que

os alunos devem ser mais trabalhados para que possam descrever e nomear as

propriedades das figuras. Analisando as respostas dadas no questionário este aluno

(17) respondeu que teve um ensino regular de geometria, que gosta mais ou menos

de matemática e geometria.

5.1.3 Pré-Teste Pós-Teste Nível II

As questões de 11 a 15 pertencentes ao nível II que tem por característica a

percepção da necessidade de uma definição precisa, de que uma propriedade pode

decorrer de outra usando uma argumentação lógica informal e ordenação de classes

de figuras geométricas, que é um dos três primeiros níveis da teoria de Van Hiele.

Neste nível os alunos passam a reconhecer propriedades comuns com as

quais farão a inclusão de classes de figuras geométricas, usando a lógica por meio

da observação, interpretação e visualização.

A questão 11 é necessário reconhecer as propriedades comuns além da

visualização através da qual os alunos perceberiam a inclusão de classes.

Pré-teste

Nenhum dos alunos assinalou somente uma questão ou marcou a letra E, um

marcou A e B, dez A e C não marcando o quadrado,um acertou A, B e C, um A, B e

D incluindo o paralelogramo como retângulo, dois A ,C e D incluindo o

paralelogramo e deixando o quadrado como retângulo, dois A, B, C, e D também

incluindo o paralelogramo, isso demonstra que a inclusão não é de fácil assimilação

36

Pós-teste

Nenhum dos alunos assinalou somente uma questão ou marcou a letra E, um

marcou A e B, três A e C, nove acertaram A, B e C, um A, B, C e D, dois A, C e D,

um marcou A e D.

A questão 12 o aluno deve analisar a afirmação e responder corretamente

mostrando que a informação tanto é válida para o quadrado quanto para o retângulo.

Pré-teste

Um aluno respondeu à primeira questão, nenhum a segunda, onze

responderam que era quadrado, um respondeu as três corretamente, dois não

acertaram, um respondeu sim, os quadrados possui os lados iguais seria medidas

de mesmo cm, um sim, o quadrado possui lados iguais, diagonal e dois não

responderam. Isso mostra que não é fácil a interpretação da questão.

Pós-teste

Um aluno respondeu duas corretamente; cinco as três alternativas

respondendo que era quadrado; um respondeu as três corretamente ; nove não

acertaram e um não respondeu.

A questão 13 o aluno necessita formular a resposta associando a inclusão de

classe.

Pré-teste

Oito alunos disseram que não e apresentaram como justificativa: todos os

ângulos não são iguais, não sei, não justificou, não tem as diagonais iguais, o

retângulo possui também duas diagonais iguais e comprimento iguais, mas o

retângulo possui ângulo de 90° e o paralelogramo não, tem ângulos diferentes, o

paralelogramo é uma figura espacial, sete responderam sim justificando do seguinte

forma: suas retas são paralelas à outra (considerada correta), o paralelogramo é

curvado tem as mesmas medidas, lados opostos com medidas diferentes, tem os

mesmos ângulos, todo retângulo pode ser quadrado, tem ângulos iguais, seus lados

são diferentes sempre. Somente um aluno acertou a questão demonstrando como

37

foi descrito anteriormente que o processo de inclusão de classes não está bem

compreendido.

Pós-teste

Dois responderam sim para a primeira questão, quatro as duas corretamente

e dois deixaram sem resposta.

A questão 14 difere em relação às demais por que envolve uma afirmação,

sendo necessário o uso de raciocínio lógico, ou da lógica para resolvê-la.

Pré-teste

Dois alunos responderam a alternativa A, três a B, três alunos acertaram a C,

nenhum marcou a D, seis marcaram a E, três marcaram B, C e E não atentando

apara o enunciado. Esta questão acarretou uma calorosa discussão por partes dos

alunos depois de terminada o teste, todos queriam que sua resposta fosse à correta.

Pós-teste

Três alunos responderam a alternativa A, um a B, nove alunos acertaram a C,

nenhum marcou a D, dois marcaram a E, um marcaram A e C e um marcou A e Q.

A questão 15 está bem clara a inclusão de classe, portanto o aluno deve

perceber que as propriedades do retângulo também podem ser aplicadas ao

quadrado.

Pré-teste

Três alunos marcaram a alternativa A, cinco a B estes “não têm” noção de

inclusão, dois acertaram a questão C, cinco marcaram D, um marcou E, e um

marcou A e C não atentando para o enunciado. Para eles quadrado é só quadrado,

retângulo é só retângulo, não percebendo que o quadrado é um caso particular do

retângulo.

38

Pós-teste

Sete alunos marcaram a alternativa A, três a B, três acertaram a questão C,

dois marcaram A e C.

Resumo pré-teste

Analisando as respostas do nível II nenhum aluno está situado neste nível,

dez alunos não acertaram nenhuma das cinco questões, cinco acertaram somente

uma, um acertou duas e um acertou três o aluno (3) para ele a geometria nas séries

anteriores foi regular, que geometria é o estudo das formas, que é importante, usar

em profissões, planos, espaço, formas tridimensionais, volumes, capacidade,

poliedros, gosta de matemática e geometria, não respondeu, o lado bom da

matemática é o fato dela desenvolver o raciocínio, o que é fundamental para

profissão como contabilidade, com o desenvolvimento da geometria, podemos definir

as medidas das figuras o que pode ser útil no cotidiano.

Desses resultados pode-se concluir que a maioria dos alunos situam-se no

nível básico de Van Hiele, e que em relação aos três níveis não são os mesmos

alunos que acertaram mais questões, coincidiu o nível I e II de ter o mesmo aluno

(3) com maior número de acertos.

Resumo pós-teste

Neste nível o maior número de acerto foi quatro com o aluno (15), com três (5,

6, 9, 12, 16) , com dois (3, 8, 10, 17) , com um (1, 4, 13) e que não acertaram

nenhuma (2 , 7, 11, 14) comparando com o pré-teste houve uma melhora no

rendimento.

39

6 CONCLUSÕES

Os resultados esperados com este trabalho é o de conseguir desapertar o

interesse do aluno para o estudo da geometria, não só de geometria, mas que

consigam estender também para outras matérias. Leva-los a construir passo a passo

o seu conhecimento e que consigam não só atingir os níveis esperados da teoria de

Van Hiele, mas que vão além, demonstrando que quando se trabalha dentro de um

contexto significativo e prático os alunos retribuem todo nosso esforço.

Mostrar também o uso do origami como uma nova metodologia que possa

contribuir para um engajamento de outros professores em se tratando de geometria.

Um educador preocupado e interessado na evolução cognitiva de seus

alunos, não pode apenas restringir-se ao conhecimento do conteúdo a ser

desenvolvido em sala de aula. Ao invés de transmitir o conhecimento pronto é

necessário buscar estratégias de ensino que favoreçam o interesse e a motivação

dos alunos que estimulem a reflexão além de desafios que tornem a aprendizagem

significativa e agradável. (LUJAN. 1997, p.110)

Nota-se que para esses alunos a Geometria se reduziu as formas, perímetros,

e áreas, devido ao pouco contato que tiveram, com esse conteúdo nas séries

anteriores, este fato ficou demonstrado durante a oficina de origami, a dificuldade

para responder aos questionamentos sobre geometria apresentados.

Mesmo quando os alunos apresentam um bom desempenho escolar é

possível identificar dificuldades quando se concentra a atenção no processo

dedutivo e se exige que o aluno explicite uma linha de argumentação, demonstração

e prova. A teoria de Van Hiele pode explicar esse problema, através da hierarquia

dos níveis. (NASSER E SANT’ANNA, 1997 p.6)

A maioria dos alunos teve e tem dificuldades com a Geometria tratada nas

séries anteriores.

No trabalho sobre geometria, uma das dificuldades apresentadas pelos

alunos na aquisição de conceitos geométricos, é a de passarem de um nível inferior

para um mais elevado sem passarem pelas experiências dos níveis intermediários.

40

Baseando-se neste fato, foi a aplicado um teste, chamado de pré-teste (anexo

II) citado anteriormente, aos educando o qual teve por objetivo verificar em quais dos

níveis de Van Hiele eles se encontravam.

Este pré-teste nos indicou que a maioria dos educando encontravam-se no

nível básico mesmo não atingindo os 100% de acerto, sendo que o aluno (3)

transitou pelos três níveis, e que outros acertaram uma ou outra questão.

Analisando-se os resultados referentes ao pré-teste do nível básico, dois

alunos atingiram 80%, cinco 60%, três 40% , cinco 20% e dois alunos não

pontuaram.

No nível I, dois alunos atingiram 60%, dois 40%, quatro 20% e nove não

pontuaram.

No nível II, um aluno atingiu 60%, um 40%, cinco 20% e dez não pontuaram.

Lembrando que este pré-teste foi aplicado sem que os alunos tivessem sido

preparados para o mesmo, já que nossa intenção era a de retornar com o mesmo

teste posteriormente.

Após a aplicação do pré-teste foi realizada a oficina de origami, juntamente

com uma revisão dos conceitos básicos de geometria para que pudéssemos

reavaliar os educando, bem como a demonstração prática da existência dos cinco

poliedros de Platão utilizando os moldes de origami, aplicamos novamente o teste de

Van Hiele, o qual foi chamado de pós-teste.

Os resultados obtidos pelos alunos no pós-teste do nível básico, cinco alunos

atingiram 100%, quatro alunos 80%, quatro 60%, três 40%.

No nível I, um aluno atingiu 80%, três 60%, dois 40%, nove 20% e dois não

pontuaram.

No nível II, um aluno atingiu 80%, cinco alunos 60%, quatro 40%, três 20% e

quatro não pontuaram.

Comparando-se os resultados obtidos no pré-teste e no pós-teste nota-se

que aumentou a porcentagem de acertos nos níveis, e que a maioria dos alunos se

encontram no nível básico.

Como este trabalho estava centrado no nível básico de Van Hiele o objetivo

que esperávamos atingir, foi alcançado com cinco alunos, quatro alunos um bom

resultado, e quatro um resultado médio, mostrando que ao desenvolver atividades,

neste caso utilizando o origami como ferramenta pedagógica, que possibilite ao

41

educando construir seu conhecimento de uma maneira prática e criativa, os

resultados apresentam-se satisfatórios.

Deve-se levar em conta que a Geometria oferece um vasto campo para

atividades lúdicas e recreativas e existem muitas alternativas para desenvolver um

trabalho variado e rico e que o conhecimento geométrico pode ser usado em outras

áreas de estudo. (LUJAN, 1997.p.110)

Uma dessas alternativas é a utilização do origami como atividade que

possibilite ao educando desenvolver todo seu potencial geométrico.

Esperamos que este trabalho venha a contribuir para uma melhoria do ensino

de Geometria, e que outros professores possam utilizá-lo, já que o mesmo pode ser

direcionado para qualquer série do Ensino Fundamental e Médio.

42

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

BOUER. Carl. B. Historia da Matemática. Tradução Gomide, E.F. São Paulo.

Editora Edgard B. Ltda. 3º reimpressão. 1981

BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica.

Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília. 1999.

CRUZ, Graciele. P e GONSCHOSWSKI, Juliano. S. O Origami como Ferramenta

de Apoio no Ensino da Geometria. www.google.com.br 01/06/2007

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. São Paulo; Editora

Ática,2001.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatematica: elo entre as tradições e a

modernidade. ed. Belo Horizonte:Autentica, 2002.

IMENES, Luiz Marcio. Geometria das dobraduras. São Paulo; Editora Scipione

Ltda, 1992.

KALEFF. Ana Maria M. R. Vendo e Entendendo poliedros: do desenho ao

calculo do volume através de quebra-cabeças e outros materiais concretos.

Niterói EdUF, 1998.

KRUENZER, Acácia. Z. SANTOS Carlos H. dos. Construindo uma proposta para

os que vivem do trabalho. (org.). 2 ed. São Paulo: Cortez, 2001.

LUJAN, Maria L, A geometria na 1a série do 1o grau: um trabalho na

perspectiva de Van Hiele. Campinas 1997 www.cempem.fae.unicamp.br/

01/11/2007

43

NASSER, Lilian. VI Encontro Nacional de Educação Matemática (1V, 1998 São

Leopoldo). A Construção do Pensamento Geométrico. Anais, Rio Grande

Sul.1998.

NASSER, Lilian e SANT’ANNA, Neide F.P., Geometria segundo a Teoria de van

Hiele. Rio de Janeiro, Editora UFRJ. 1997.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação Básica do Estado

do Paraná. Curitiba, 2006.

SANTOS, Marcelo C.dos - VI Encontro Nacional de Educação Matemática,

(2V,1998,São Leopoldo). Investigando os níveis de pensamento geométrico de

Van Hiele. O caso dos quadriláteros. Anais, Rio Grande Sul. 1998.

VIANNA. Odelia.A. O Conhecimento Geométrico de Alunos do Cefam Sobre

Figuras Espaciais: Um Estudo das Habilidades d dos Níveis de Conceito

www.google.com.br 13/07/07

44

ANEXO I – QUESTIONÁRIO SONDAGEM

Nome;............................................................................................................... Série: idade: sexo: data: 1- Você estudou/estuda em escola: ( ) publica ( ) particular ( ) publica/particular 2- Em sua opinião como foi a relação de aprendizagem ( o ensino) de geometria nas séries anteriores;

( )Excelente ( ) bom ( ) regular ( ) não ensinaram geometria ( ) não respondeu 3- O que você entende por geometria? 4- a importância de se estudar geometria. ( )É importante ( ) Importância relativa ( ) Não é importante ( ) Não respondeu 5- Qual o motivo que o leva a julgar a importância da geometria? ( ) Sua utilidade ( ) usar na escola ( ) Usar em profissões ( )Desenvolve o raciocínio ( ) cai no vestibular ( ) Outras ( ) Não responderam 6- Para você o que diferencia a geometria plana da geometria espacial ( ) plano ( ) espaço ( ) dimensões ( ) nenhuma delas ( ) não respondeu 7- Qual o objeto ( o que) de estudo da geometria plana ( ) Figuras planas ( ou de duas dimensões) ( ) Áreas e perímetros ( )Planos ( ) Polígonos (Quadrado, triângulo ) ( ) Retas ( ) Medidas ( ) Outras ( ) Não

responderam 8- Qual o objeto ( o que) de estudo da geometria espacial ( )O espaço ( ) Formas tridimensionais ( ) Volumes ( ) capacidade ( )Poliedros (cubos,paralelepípedos,pirâmides) ( ) Outras ( ) Não responderam 9-Você gosta de matemática? ( ) Gosto ( ) Mais ou menos ( ) Não gosto ( ) Não respondeu 10- Você gosta de geometria? ( ) Gosto ( ) Mais ou menos ( ) Não gosto ( ) Não respondeu 11- Cite os motivos que o leva a não gostar de matemática. 12-Cite os motivos que o leva a gostar de matemática. 13-Cite os motivos que o leva a não gostar de geometria. 14-Cite os motivos que o leva a gostar de geometria.

45

ANEXO II – TESTE DE VAN HIELE

TESTE DE VAN HIELE

Nome:.........................................................................................Turma:..........Idade:.... 1- Assinale o(s) triângulo(s): 2- Assinale o(s) quadrado(s):

3- Assinale o(s) retângulos(s): 4- Assinale o(s) paralelogramo(s):

5- Assinale os pares de retas paralelas:

A B C

D E

A B C D E

A B C D E

A B C

D E

A B C D E

46

6- No retângulo ABCD, as linhas AD e BC são chamadas de diagonais. Assinale a(s) afirmativas(s) verdadeira(s) para todos os retângulos: a) Têm 4 ângulos retos. b) Têm lados opostos paralelos. c) Têm diagonais de mesmo comprimento. d) Têm os 4 ângulos iguais. e) todas são verdadeiras 7- Dê 3 propriedades dos quadrados: 1-.................................................... 2-.................................................... 3-.................................................... 8- Todo triângulo isósceles têm dois lados iguais. Assinale a afirmativa verdadeira sobre os ângulos do triângulo isósceles: a) Pelo menos um dos ângulos mede 60º. b) Um dos ângulos mede 90º. c) Dois ângulos têm a mesma medida. d) Todos os três ângulos têm a mesma medida. e) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. 9- Dê 3 propriedades dos paralelogramos: 1-.................................................... 2-.................................................... 3-.................................................... 10-Dê um exemplo de um quadrilátero cujas diagonais não tem o mesmo comprimento. Desenhe este quadrilátero.

A

C D

B

47

11- Assinale a(s) figura(s) que pode(m) ser considerada(s) retângulos:

12- Os quatro ângulos A,B,C, e D de um quadrilátero ABCD são todos iguais. a) pode-se afirmar que ABCD é um quadrado?.................................................... b) Por quê?.............................................................................................................. c) Que tipo de quadrilátero é ABCD?.................................................................... 13- pode-se afirmar que todo retângulo é também um paralelogramo?........................ ........................................Por quê?....................................................................... 14- Considere as afirmações: (I) A figura X é um retângulo. (II) A figura X é um triângulo. Assinale a afirmativa verdadeira: a) Se I é verdadeira, então II é verdadeira. b) Se I é falsa, então II é verdadeira. c) I e II não podem ser ambas verdadeiras. d) I e II não podem ser ambas falsas. e) Se II é falsa, então I é verdadeira. 15- Assinale a afirmativa que relaciona corretamente as propriedades dos retângulos e dos quadrados; a) Qualquer propriedade dos quadrados é também válida para os retângulos. b) Uma propriedade dos quadrados nunca é propriedade dos retângulos. c) Qualquer propriedade dos retângulos é também válida para os quadrados. d) Uma propriedade dos retângulos nunca é propriedade dos quadrados. e) Nenhuma das afirmativas anteriores.

48

ANEXO III – GABARITO DO TESTE DE VAN HIELE

1- Assinale o(s) triângulo (s): D 2- Assinale o(s) quadrado(s):

3-Assinale o(s) retângulos(s):

5- Assinale o(s) paralelogramo(s): 5- Assinale os pares de retas paralelas:

6- No retângulo ABCD, as linhas AC e BD são chamadas de diagonais. Assinale a(s) afirmativas(s) verdadeira(s) para todos os retângulos: a) Têm 4 ângulos retos. b) Têm lados opostos paralelos. c) Têm diagonais de mesmo comprimento. d) Têm os 4 ângulos iguais. e) todas são verdadeiras. 7- Dê 3 propriedades dos quadrados: 1-a) 4 lados iguais, lados paralelos dois à dois ,lados opostos congruentes 2-b) 4 ângulos retos ou 4 ângulos iguais 3-c) diagonais de mesmo comprimento.

A B

D E

C

P Q S R T

A B CD

E

A B

C E D

A B

D

C

A B C D E

49

8- Todo triângulo isósceles têm dois lados iguais. Assinale a afirmativa verdadeira sobre os ângulos do triângulo isósceles: a) Pelo menos um dos ângulos mede 60º. b) Um dos ângulos mede 90º. c) Dois ângulos têm a mesma medida. d) Todos os três ângulos têm a mesma medida. e) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. 9- Dê 3 propriedades dos paralelogramos: 1- 4 lados dois a dois congruentes, lados opostos paralelos. 2- diagonais de comprimento diferentes 3-.ângulos opostos congruentes , 2 ângulos agudos e 2 obtusos. 10-Dê um exemplo de um quadrilátero cujas diagonais não tem o mesmo comprimento. Desenhe este quadrilátero. Trapézio retângulo, losango, paralelogramo. 11- Assinale a(s) figura(s) que pode(m) ser considerada(s) retângulos:

12- Os quatro ângulos A,B,C, e D de um quadrilátero ABCD são todos iguais. a) pode-se afirmar que ABCD é um quadrado? Não b) Por quê?.O retângulo também tem os quatro ângulos retos. c) Que tipo de quadrilátero é ABCD?.Quadrado ou retângulo 13- Pode-se afirmar que todo retângulo é também um paralelogramo? Sim Por quê? Os retângulos tem lados paralelos dois a dois, ângulos opostos congruentes, diagonais se interceptam no ponto médio. 14- Considere as afirmações: (I) A figura X é um retângulo. (II) A figura X é um triângulo. Assinale a afirmativa verdadeira: a) Se I é verdadeira, então II é verdadeira. b) Se I é falsa, então II é verdadeira. c) I e II não podem ser ambas verdadeiras. d) I e II não podem ser ambas falsas. e) Se II é falsa, então I é verdadeira. 15- Assinale a afirmativa que relaciona corretamente as propriedades dos retângulos e dos quadrados; a) Qualquer propriedade dos quadrados é também válida para os retângulos. b) Uma propriedade dos quadrados nunca é propriedade dos retângulos. c) Qualquer propriedade dos retângulos é também válida para os quadrados. d) Uma propriedade dos retângulos nunca é propriedade dos quadrados. e) Nenhuma das afirmativas anteriores.

A B C D E