Os Sistemas de Informação Geográfica e a Otimização ......Instituto Superior Técnico, Univ. de...

Alexandre B. Gonçalves

Instituto Superior Técnico, Univ. de Lisboa

II Colóquio de Sistemas de Informação Geográfica – Sociedade de Geografia de Lisboa

Os Sistemas de Informação

Geográfica e a Otimização

Espacial no Apoio à Decisão: Problemas, Modelos e Soluções

SIG

• Processam informação geográfica

• Possibilitam análise espacial:

cruzam conjuntos de dados

geográficos com base na localização

– Encontrar locais que verificam

determinadas condições ou critérios

– Problemas com uma só solução

Obter a área agrícola a menos de 1000 m das

estradas nacionais no concelho de Alcoutim.


Exemplo

• Alcoutim

12/7/2014 Instituto Superior Técnico


5235 ha

• Ramo da Matemática Aplicada – baseada nos trabalhos de matemáticos dos séculos

XVII a XX (Newton, Leibnitz, Bernoulli, Lagrange, Fourier, Babbage, Monge, von Neumann, Kantorovich, Stigler,...)

– apoio à decisão (sobre recursos)

– modelos matemáticos • formalização da teoria da decisão

• análise da estrutura de problemas

– métodos analíticos quantitativos • simulação

• otimização matemática

• métodos econométricos

• ...

Investigação Operacional


I.O.

Ciência da localização (location science)

• Ramo da investigação operacional

• Weber (1909): onde localizar uma indústria tendo em conta custos de matéria prima, trabalho e transporte e economias de escala

C.L.

Matemática

Aplicada



• Lida com os problemas de localização

– Encontrar locais que melhor verificam determinadas condições ou critérios

– Subjacente: medida de qualidade das soluções deseja-se a melhor solução

– Problemas com várias (muitas) soluções

Qual o melhor rearranjo do

mapa judiciário português?

Que rotas de recolha de lixo

são as que mais poupam?

Como distribuir torres de

vigia de incêndios de

modo a observar a maior

área possível de floresta?


Problema de localização

Onde? O quê? Quanto?

Porquê?

Espaço de

localização Oferta Procura Função-objetivo

Restrições Funções de

parametrização Restrições


Problemas de localização

• Espaço de localização

– contínuo

– discreto

• Elementos de oferta

– número

– tipo

– capacidade

– custo

– geometria

• Elementos de procura

– distribuição

– nível de procura

– associação à oferta

• Funções de parametrização

– de interação

– de validação

• Função-objetivo

– objetivo

– restrições

• espaciais

• de validação

• de configuração

• de domínio


(...) distribuir torres de vigia de incêndios de modo a observar a

maior área possível de floresta

Problemas de localização (PL)

• Os PL interessantes apresentam em

geral um número muito grande de

soluções para analisar

• Para o problema de máxima cobertura

com 50 locais candidatos e 5 torres há

2118760 combinações


Modelos matemáticos

Representam

formalmente o problema

Permitem enquadrar o

problema segundo as

suas características



Técnicas de otimização

Codificam e avaliam

soluções

Permitem determinar

a(s) melhor(es)

solução(ões)



Modelos: formulação de um problema

(...) distribuir P torres de vigia de incêndios de modo a observar

a maior área possível de floresta

Ii,Z

Jj ,X

PX

IiXaZ

Zh

i

j

Jj

j

Jj

jiji

Ii

ii

10

10

suj.a

max maximizar a “cobertura”

local i só é coberto se houver

alguma torre que o observe

localizar P torres

condições de integralidade

das variáveis de decisão torres

cobertura


Modelos: enquadramento de problemas

• Muitos modelos:

– Cobertura de conjuntos

– Máxima cobertura

– Mediana

– Centragem

– ...


Não se localizam só pontos

• Localização de linhas

– Rotas, percursos, redes


Rotas e percursos

• Caminho mais curto (LCP)

• Passagem por locais pré-determinados

(encontrar a melhor ordem):

– Caixeiro-viajante (TSP)

– Rotas de veículos (VRP)

– Carteiro chinês (CPP)

– …


Localização de linhas - LCP

Fonte

:esri.c

om


Localização de linhas - LCP


Localização de linhas - TSP

Localização de linhas - VRP

• Passagem por locais pré-determinados

(encontrar a melhor ordem):

– Caixeiro-viajante

– VRP

– Carteiro chinês

– …

12/7/2014 Instituto Superior Técnico Fonte:esri.com

Localização de linhas - CPP

Fo

nte

:we

b.m

it.e

du


Localização de redes

• Ou equipamentos lineares


Localização de áreas

• site search

• multi-site land-use allocation

• redistricting

• facility layout

• …


Site search

• Dada uma distribuição da

aptidão e/ou custo, obter a

melhor solução, que é parte

do espaço

– máx. aptidão

– mín. custo

– critérios de forma

– …

J.V

.Sousa

(IS

T)


Multi-site land-use allocation

• Classificar o

espaço com base

em condições de

vizinhança,

distância, fronteira,

dimensão, (…)

aplicadas às

classes


Redistricting

• Redistribuição/reagrupamento de

unidades territoriais


C. G

igante

(IS

T)


Facility layout

• Classificação do espaço em função de

restrições de adjacência ou proximidade

entre classes


Resolução

• A escolha do método de resolução depende:

– Da estrutura ou tipo do problema

• Há problemas para os quais se conhecem algoritmos

eficientes em termos de espaço de memória e tempo de

execução

• Há outros para os quais não se conhecem

– Da dimensão do problema

• Número de elementos de oferta/procura no problema

– Da capacidade de transformar o problema em

outro problema já conhecido


Exatos

Encontram o valor ótimo

Tiram partido da

estrutura do problema

Servem para problemas

“tratáveis”

Heurísticos

Não garantem a

descoberta do ótimo

Permitem determinar

a(s) melhor(es)

solução(ões) face aos

recursos disponíveis

Métodos de resolução

Meta-heurísticas são métodos

heurísticos que podem lidar com

qualquer problema de otimização

por não estarem dependentes de

um problema específico. II Colóquio de Sistemas de Informação Geográfica – Sociedade de Geografia de Lisboa

Análise de algoritmos

• Espaço

– Espaço de armazenamento, número de variáveis

• Tempo

– Número de operações necessárias

A análise de um algoritmo visa determinar o tempo

expectável para a sua execução e o espaço de

armazenamento de variáveis necessário


Ordens de

complexidade

1 0,0 1,0 1,0 2,0

25 3,1 5,0 625 3,3 X107

50 3,9 7,1 2500 1,1 X1015

75 4,3 8,6 5625 3,8 X1022

100 4,6 10,0 10000 1,3 X1030

O(1) Constante “Ultrarrápido”

O(logn) Logarítmico “Rápido”

O(n) Linear “Moderado”

O(n logn) Sublinear “Moderado”

O(nk) Polinomial “Lento”

O(kn) Exponencial “Intratável”

Recursos de cálculo


Tempo de cálculo

Comple-

xidade

n=10 n=20 n=40

O(n) 0,00001 s 0,00002 s 0,00004 s

O(n2) 0,0001 s 0,0004 s 0,0016 s

O(n3) 0,0001 s 0,008 s 0,0064 s

O(2n) 0,0001 s 1,05 s 12,7 dias

O(en) 0,022 s 8,08 minutos 74,6 séculos

1 milhão de operações por segundo


Com recurso a “supermáquinas”

comple-

xidade

veloc.

atual

10x mais

rápido

100x mais

rápido

1000x

+ rápido

O(n) N1 10xN1 100xN1 1000xN1

O(n2) N2 3,16xN2 10xN2 31,6xN2

O(n3) N3 2,15N3 4,64xN3 10xN3

O(2n) N4 N4+3,32 N4+6,64 N4+9,97

O(en) N5 N5+2,3 N5+4,61 N5+6,91

quanto poderá crescer o input em função do aumento da velocidade

de processamento, mantendo o tempo de execução


Heurísticas

• Construtivas

• De simplificação

• De combinação

• De melhoramento


Heurísticas

• Construtivas

INÍCIO

Determinar o candidato que cobre a maior quantidade de procura

ainda não satisfeita

Ativar equipamentonesse local e remover a procura

coberta por este

Não

FIM

Sim

Já foram localizados P

elementos, ou já toda a procura é satisfeita?

INÍCIO

Selecionar aleatoriamente um equipamento ainda não escolhido

Não

FIM

Sim

Já foram localizados P

elementos, ou já toda a procura é satisfeita?

Ativar equipamentonesse local e remover a procura

coberta por este

Sim


Meta-heurísticas

• Codificam e exploram o espaço de

soluções:

– Algoritmos genéticos

– Colónia de formigas

– Arrefecimento simulado

– ...


Algoritmos genéticos

• Fraser & Burnell (1970); Crosby (1973); Holland (1975)


Algoritmos genéticos

Colónia de formigas

• Dorigo, 1992

• Inspirada pelo comportamento das formigas e pelo

rasto de feromonas: mais feromonas = melhor

solução


Arrefecimento simulado

• Kirkpatrick, Gelatt, Vecchi (1983); Černý (1985)

• Inspirada por processo metalúrgico

Fonte

:wik

ipedia

.org


“Papel” dos SIG

• Input e output

• Localização em espaços não homogéneos

• Parametrização: há muitas funções além da distância

• Heurísticas “espaciais” (redução de candidatos, produção de soluções: p.ex., localização de observadores)

• Análise de sensibilidade (relacionado com o MAUP)


Exemplos de heurísticas espaciais

• Localizar antenas no concelho de Sintra de modo a

maximizar a população “coberta”

• Duas estratégias: reduzir candidatos / generalizar


(90 m)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Pit Valley Pass Ridge Peak Planar

nu

mb

er

of

vis

ible

cell

s


Pits 0,12%

Channels 22,84%

Passes 0,68%

Ridges 26,76%

Peaks 0,21%

Planar 49,39%

• Classificação morfológica



• Calcular o índice de visibilidade e

escolher os melhores 5%



• Generalização

90 m

150 m

300 m

Conclusão

• É enorme a variedade de problemas de localização que se podem equacionar

• Há um conjunto de modelos e técnicas que se adaptam a estes problemas

• Os SIG permitem quantificar e qualificar relações espaciais que interessam em vários PL, bem como induzir várias heurísticas espaciais

• A investigação nesta área é um campo que ainda agora começou a ser explorado!


DISSERTAÇÕES DE MESTRADO

• DIOGO M. MORGADO: Modelo de otimização para a gestão de resíduos hospitalares perigosos em Portugal com integração de SIG. Mestr. Engª e Gestão Industrial, IST (2015)

• FILIPE F. GOMES: Otimização de circuitos de inspeção aos pavimentos de uma rede rodoviária nacional. Mestr. Engª e Gestão Industrial, IST (2015)

• ISABEL BATISTA: “Módulo para Resolução de Problemas de Localização de Pontos em Ambiente SIG”, Mestr. Engª do Território, IST (2010)

• ALEXANDRE SANTOS: “Definição do Traçado de Infra-estruturas Lineares Usando SIG: O Caso da Infra-estrutura Ferroviária de Alta Velocidade”, Mestr. SIG, IST (2009)

• JOSÉ V. SOUSA: “Localização por Site Search”, Mestr. SIG, IST (2008)

ARTIGOS

• AMORIM, A.; GONÇALVES, A.B.; NUNES, L.M.; SOUSA, A.J. (2012): “Optimizing the location of weather monitoring stations using estimation uncertainty”, International Journal of Climatology, V. 32, n.º 6, pp. 941-952.

• GONÇALVES, A.B. (2010): "An extension of GIS-based least-cost path modelling to the location of wide paths", International Journal of Geographical Information Science, V. 24, n.º7, pp. 983-996.

• BRAVO, J.M.; COLLISCHONN, W.; PILAR, J. V.; GONÇALVES, A. (2008): “Avaliação do Desempenho de um Algoritmo Baseado no Comportamento de Formigas em Problemas de Caminho de Mínimo Custo em Ambientes Raster”, Revista Brasileira de Cartografia, v. 60, pp. 31-41.

• LEITÃO, J.P.; MATOS, J.S.; GONÇALVES, A.; MATOS, J.L. (2005): "Contribution of Geographic Information Systems and Location Models to Planning of Wastewater Systems", Water Science and Technology, V. 52, nº 3, pp. 1-8.

CONFERÊNCIAS

• RODRIGUES, M.S.; GOMES, M.C.; GONÇALVES, A.B.; SHRUBSALL, S. (2015): “Hazardous materials transportation using bi-level linear programming: a case-study of liquid fuel distribution”, International Conference on Operations Research and Enterprise Systems.

• AMORIM, A.; GONÇALVES, A.B.; NUNES, L.M.; SOUSA, A.J. (2011): “Optimização da localização de estações meteorológicas”. 15.º Congresso da Associação Portuguesa de Investigação Operacional (APDIO).

• SOUSA, J. ; GONÇALVES, A. (2009): “Localização por Site Search”, VI Conferência Nacional de Cartografia e Geodesia.


Alexandre B. Gonçalves

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Geográfica e a Otimização

Espacial no Apoio à Decisão: Problemas, Modelos e Soluções


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