Os exercícios a seguir são para resolver em sala

i) Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e

seu marido tem 2/5 de chance. Qual é a probabilidade de, daqui a 30

anos: a) Ambos estejam vivos b) Ao menos um esteja vivo. c) Só o homem estar vivo.

ii) Um dado equilibrado é lançado 12 vezes. Calcule a probabilidade de se obter: a) Dois seis. b) Quatro seis. c) Pelo menos dois seis. d) No máximo três seis.

10.7. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS DE PROBABILIDADE 10.7.1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável aleatória (v.a.) é uma característica numérica que

associa valores do conjunto dos números reais aos eventos em Ω.

A v.a. representa uma característica individual das unidades

de uma população, que podem ser observadas através de uma amostra.

Exemplo 1: X = número de indivíduos abaixo da linha da pobreza numa amostra de

80 pessoas de uma comunidade;

T = tempo de recuperação de pacientes com fratura de femur;

Y = número de pessoas que votam no candidato Zelão;

R = renda familiar em salários mínimos, numa amostra de pessoas de uma população rural;

W = número de nascimentos do sexo feminino em uma maternidade, no período de uma semana;

Z = número de dias de estiagem até a ocorrência de chuva em São Carlos.

As variáveis aleatórias podem ser classificadas como

discretas e contínuas segundo a natureza do espaço amostral:

i) v.a.’s discretas assumem valores em espaços discretos e,

normalmente, são definidas por uma contagem;

ii) v.a.’s contínuas assumem valores em espaços contínuos e,

normalmente, são definidas por uma mensuração.

10.7.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DENSIDADE A função de probabilidade e a função densidade são funções que associam probabilidades a uma v.a.

a) A função de probabilidade, denotada por p(x), é uma função

que associa probabilidades diretamente aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, sendo definida por:

p(x) = P(X = x)

Exemplo 2: Considere os nascimentos, independentes, de três crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo feminino nesses

3 nascimentos:

Espaço amostral: Ω = {(FFF), (FFM), (FMF), (MFF), (FMM), (MFM), (MMF), (MMM)}

Neste caso o espaço amostral é equiprovável, pois cada um de seus elementos tem mesma probabilidade. Considerendo que P(F) = P(M) = 1/2, e que os nascimentos são

independentes, temos que:

P(FFF) = P(F)×P(F)×P(F) = 1/8.

Obs: O mesmo vale para todos os demais elementos de Ω, resultando

P(FFF) = P(FFM) = P(FMF) = P(MFF) = P(FMM) = P(MFM) =

= P(MMF) = P(MMM) = 1/8

Associada a este espaço amostral a v.a.

X = número de crianças do sexo feminino dentre os três nascimentos,

Tabela 1: Função de probabilidade para uma v.a. discreta

Elementos de Ω Valores de X Probabilidade p(x) (FFF) 3 1/8

(FFM), (FMF), (MFF) 2 3/8 (FMM), (MFM), (MMF) 1 3/8

(MMM) 0 1/8

Desta forma, a função p(x) = P(X = x), dada pela tabela acima,

associa as probabilidades aos possíveis valos de X.

b) A função densidade, denotada por f(x), associa probabilidades a

intervalos de valores de uma v.a. contínua X, sendo dada pela

área1 abaixo de sua curva (ver figura):

A função densidade recebe, ainda, os nomes: função densidade de probabilidade ou função distribuição de probabilidade (fdp).

Nota: Um exemplo de função densidade de uma v.a. contínua será visto

mais adiante.

1 A operação matemática que calcula a área sob a curva de uma função f(x) é a integral:

P(a X b) = b

a

dxxf )( .

10.7.3. Principais modelos discretos de probabilidade: o modelo binomial.

Seja X uma v.a. discreta, porém, para a definição do modelo

binomial é que necessário que, antes, seja definido o que um ensaio de Bernoulli.

Ensaios de Bernoulli são ensaios (ou experimentos) nos quais temos

apenas dois resultados possíveis:

sim/não;

presença/ausência;

ocorre/não ocorre;

pertence/não pertence;

0 ou 1.

Ao realizarmos um ensaio de Bernoulli estamos interessados em

apenas um apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso

sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso.

Por exemplo, a característica de interesse pode ser:

a presença de uma doença;

um hábito de comportamento ou de consumo;

uma característica física;

um defeito ou falha ;

o resultado de uma medição classificado por um ponto de corte.

etc...

Para um ensaio de Bernoulli temos associadas as seguintes

probabilidades:

p = P(sucesso) e (1 – p) = P(fracasso)

A observação individual da característica de interesse para os elementos da amostra caracteriza realizações independentes de

ensaios de Bernoulli.

O modelo binomial é caracterizado pela realização de n ensaios

independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e

fracasso). Desta forma, P(sucesso) = p é constante.

Seja a v.a. X que conta os sucessos num número fixo de ensaios independentes de Bernoulli.

Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p.

Notação: X binomial(n; p).

A função de probabilidade binomial é dada pela fórmula:

P(X = x) =

x

n px (1 – p)n – x, x = 0, 1, 2, ..., n.

Exemplo 3: A) Considere o exemplo dos nascimentos, independentes, de três crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo

feminino nesses 3 nascimentos:

Podemos notar que o sexo tem apenas dois resultados possíveis: masculino e feminino.

Como o interesse está no nascimento de crianças do sexo feminino, então, o evento caracterizado como sucesso será exatamento o

nascimento do sexo feminino. Logo, a v.a. X = número de bebês do sexo feminino dentre os três

nascimentos tem distribuição binomial com parâmetros n = 3 e p = 1/2. Ou seja:

X binomial(3; 0.5).

e, a sua fnção de probabilidade é definida como:

P(X = x) = xx

x

35.015.0

3, x = 0, 1, 2, 3.

Assim, as probabilidades para cada um dos possíveis valores de X

sãocalculadas por:

P(X = 0) = 8

15.05.015.0

0

3 3030

;

P(X = 1) = 8

3)5.0(35.015.0

1

3 3131

;

P(X = 2) = 8

3)5.0(35.015.0

2

3 3232

;

P(X = 3) = 8

15.05.015.0

3

3 3333

.

Resolvendo as frações, temos:

125.0)3()3(,3

375.0)2()2(,2

375.0)1()1(,1

125.0)0()0(,0

XPpx

XPpx

XPpx

XPpx

Gráfico da função de probabilidade:

B) Suponha que uma característica genética é determinada por um par de genes, sendo D o gene dominante e d o gene recessivo. Assim

sendo, DD é dominante puro; Dd é híbrido e dd recessivo puro. Sabe-

se, ainda, que essa característica é determinada pelo gene recessivo. Uma família na qual os pais são ambos híbridos tem quatro filhos, determine:

i) A distribuição de probabilidade e os seus parâmetros. Qual é a probabilidade de que:

ii) três dos filhos tenham a característica genética;

iii) no máximo dois dos filhos tenham a característica. Com os dois pais híbridos, ou seja, ambos Dd, temos as seguintes

possibilidades de cargas genéticas para os filhos:

Considerando, ainda, P(D) = P(d) = 1/2, temos as seguintes

probabilidades associadas:

Filho

Dominante puro Hibrído Recessivo puro

DD Dd dd

probabilidade 1/4 1/2 1/4

i) Como a característica genética é determinada pelo gene recessivo, ela só vai se manifestar se o filho for dd. Assim sendo, teremos uma probabilidade igual a 0.25 de que um filho apresente a característica.

Seja a v.a. X = número de filhos com a característica genética dentre

os quatro irmãos.

Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 4 e p = 0.25.

X binomial(4; 0.25).

e, a sua fnção de probabilidade é dada por:

p(x) = P(X = x) = xx

x

475.025.0

4, x = 0, 1, 2, 3, 4.

ii) Probabilidade de que três filhos apresentem a característica.

1375.025.0

3

4)3(

XP

0469.0)75.0()0156.0(4)3( XP

iii) Probabilidade de que, no máximo dois filhos tenham a característica.

)2()1()0()2( XPXPXPXP

ou, ainda,

)4()3(1)3(1)2( XPXPXPXP

Como 0039.0)4( XP , então:

9492.00039.00469.01)2( XP

10.7.4. Principais modelos contínuos: a distribuição Normal. Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com

parâmetros e 2 se a sua função densidade de probabilidade (f.d.p.)

for:

,e2

1 222

xxf x , e 02 .

Notação: X N( ; 2).

As principais características da distribuição normal são:

i) X tem média e variância 2;

ii) é uma função simétrica em torno de : f( – k) = f( + k);

iii) a função muda sua curvatura nos pontos ( – ) e ( + );

iv) tem o conhecido formato de sino com probabilidade de

aproximadamente 95% entre ( – 2) e ( + 2) (ver figura).

A função de distribuição acumulada F(x) do modelo normal não pode

ser determinada algebricamente, o que dificulta o cálculo das probabilidades, pois

F(x) = P(X x)

No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas:

Resultado: a transformação a seguir padroniza a v.a. normal

XZ .

Fazendo com que Z tenha média igual a 0 e variância igual a 1.

Com este resultado, basta construir uma única tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as probabilidades para uma v.a. normal qualquer.

Exemplo 4: C) Seja uma va X com distribuição normal com média 220 e variância

16, ou seja, X N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:

a) P(X 225)

P(X 225) = 25.14

220225

4

220

ZP

XP = 0.8943

b) P(210 X 228)

P(210 X 228) =

4

220228

4

220

4

220210 XP

00.250.2 ZP

50.200.2 ZPZP 0.9773 – 0.0062 = 0.9711

c) Qual o valor de k tal que P(X k) = 0.01?

P(X k) =

4

220

4

220 kXP = 0.01,

Da tabela temos que 33.24

220

k k = 210.38

d) Quais os valores k1 e k2 simétricos em torno de , tal que

P(k1 X k2) = 0.95?

P(k1 X k2) =

4

220

4

220 21 kZ

kP = 0.95,

Da tabela temos que

4

220

4

220 21 kZP

kZP = 0.025,

e,

96.14

2201 k

k1 = 212.16

Como k1 e k2 simétricos em torno da média, então

96.14

2202 k

k2 = 227.84

D) Suponha que a renda de uma população (em s.m.) tenha

distribuição 0.36 4;N . Qual a probabilidade de que:

a) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda

inferior a 2.87sm?

b) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda

superior a 5.05sm?

c) Qual a proporção de pessoas com renda entre 2.8 e 5.2

sm’s?

a) P(X < 28.7)

P(X < 28.7) = 88.16

407.28

ZPZP = 0.0301

b) P(X > 50.5)

P(X > 50.5) = 75.116

405.50

ZPZP = 0.0401

c) P(28 < X < 52)

P(28 < X < 52) = 0.20.20.20.2 ZPZPZP

= 0.9773 – 0.0228 = 0.9545

E) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem

distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e

desvio padrão de 2.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa

deseja fixar a garantia do produto de forma que, no máximo

5% dos televisores apresentem problemas abaixo desse limite.

a) Encontre o limite de garantia L?

P(X < L) = 0.05

05.0675.2

35

LZP 645.1

675.2

35

L

)675.2()645.1(35 L

L = 30.6 mil horas ( 3.5 anos)

b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para

reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto

deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que,

mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaixo

do limite garantia caia pela metade?

P(X < 30.6) = 0.025

025.0*

356.30

ZP 96.1

*

356.30

96.1*

4.4

* = 2.245 mil horas ( 3.1 meses)

Definição:

Seja Z o quantil 100% da distribuição N(0, 1), então, Z é tal

que

P(Z Z) =

Principais quantis da distribuição Normal

Quantil Z

= 0.01 1% Z0.01 = –2.33

= 0.025 2.5% Z0.025 = –1.96

= 0.05 5% Z0.05 = –1.645

= 0.95 95% Z0.95 = 1.645

= 0.975 97.5% Z0.975 = 1.96

= 0.99 99% Z0.99 = 2.33

Obs: 1) Note que Z = – Z(1–), por exemplo Z0.025 = – Z0.975;

2) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo

comando: qnorm(), 0 1.

F) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo

que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média

1005g e desvio padrão 12g.

a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 15g

abaixo da média?

b) Num fardo com 12 pacotes, qual é a probabilidade de no

máximo 2 estejam abaixo de 990g?

c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas

5% dos pacotes com peso abaixo de 995g. De quanto deve

diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido?

d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a

opção seria aumentar a média para atender a especificação.

De quanto deve ser a nova média?

e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se

espera seja o aumento na perda do empacotador em uma

tonelada do produto.