Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título Arte e Educação Matemática: estudo da Geometria com foco nas obras de Escher.

Autor Simone Cristina Romão

Disciplina Matemática

Escola de Implementação do Projeto

Colégio Estadual Emílio de Menezes – Ensino Fundamental e Médio

Município Japurá/PR

Núcleo Regional de Educação Cianorte/PR

Orientador Valdeni Soliani Franco

IES UEM – Maringá

Relação interdisciplinar Matemática, Arte, História

Público-Alvo Alunos do 9º Ano.

Resumo As atividades apresentadas nesta Unidade Didática são resultantes de pesquisas desenvolvidas no Programa de Desenvolvimento Educacional, da Secretaria de Estado da Educação do Paraná–PDE/PR, com a intenção de aprofundar conhecimentos teórico-práticos de Geometria, por meio da análise de algumas obras de Escher. Como estratégias de ação serão utilizadas um conjunto de atividades, visando subsídios teórico-práticos diversificados para tratar da temática, envolvendo 20 (vinte) alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental, por meio de exposição oral: histórico-conceituais das obras de Escher e sua relação com a geometria; pesquisas na internet, apresentação e discussão de vídeos; debates e atividades experimentais. Os encaminhamentos possibilitarão respostas às indagações da pesquisa, como também a elaboração de um artigo ao final do trabalho proposto.

Palavras-chave Educação Matemática; Arte; Geometria; Obras de Escher

Material Didático Unidade Didática

APRESENTAÇÃO

As atividades apresentadas nesta Unidade Didática são resultantes de

pesquisas desenvolvidas no Programa de Desenvolvimento Educacional, da

Secretaria de Estado da Educação do Paraná–PDE/PR, com a intenção de

aprofundar conhecimentos teórico-práticos de Geometria, por meio da análise de

algumas obras de Escher.

A análise de obras de Escher pode ocorrer de várias formas e motivos, mas,

essa aproximação tem sido pouco observada no campo da Matemática nas escolas

de Ensino Fundamental, merecendo, assim, um estudo mais amplo. Mais

especificamente, esta Unidade Didática tratará sobre o ensino da Geometria. Assim

pensando, o foco deste trabalho está voltado à necessidade de reflexões mais

aprofundadas sobre as contribuições das obras de Escher no ambiente escolar,

especialmente, no campo da Matemática relacionada com a Arte.

A Matemática conforme Sampaio (2012, p. 49), “[...] sempre caminhou ao

lado da Arte. A criatividade, a beleza e o dinamismo são algumas das qualidades

que associamos à Arte, mas também à Matemática”. Para a autora, a obra de

Escher com as suas imagens (Arte) podem contribuir para uma melhor compreensão

de temáticas complexas da Matemática.

O trabalho pedagógico na sala de aula do Ensino Fundamental precisa

considerar a possibilidade de desenvolver novas atitudes em relação aos docentes e

alunos no tratamento aos conteúdos escolares. Assim, o trabalho investigativo como

parte integrante das aulas de Matemática é um recurso metodológico importante.

Este trabalho, portanto, busca além de demonstrar a importância de uma proposta

de atividades com o conteúdo de geometria a partir da análise de obras de Escher,

também construí-las para aplicações em sala de aula.

Assim, a obra de Escher é um recurso didático importante para auxiliar a

associação do mundo da Matemática ao mundo da Arte. Embora por vezes se

estabeleça uma oposição entre a Arte como emoção; e a Matemática como razão,

por meio da metodologia de Escher é possível trabalhar ambos os domínios: estético

e racional que não são passíveis de serem separáveis (BERRO, 2008).

Ao tratar da característica presente na linguagem visual Escheriana, por

exemplo, Berro (2008, p. 44) menciona a importância do desenho gráfico “[...] de

mundos ou de projetos arquitetônicos impossíveis de serem construídos ou

viabilizados no espaço físico em que vivemos”, fazendo com que essa linguagem

seja orientada, ainda que de maneira não intencional, por uma nova concepção de

espaço ligado às chamadas geometrias não euclidianas.

Miguel (2005) considera a importância de interpretar imagens tendo as obras

de Escher como recurso didático no ensino da Geometria, pois cada uma das

gravuras do artista convida os alunos a exercitarem o raciocínio, a inteligência, a

resolverem problemas, exigindo-lhes não uma aprendizagem de contemplação

passiva, mas algo construído ativamente através do esforço de uma participação

analítica do observador. Para o autor, tanto a matemática quanto a arte

apresentaram uma mudança conceitual no que se refere à concepção euclidiana do

mundo em termos de espaço e da estética da divina proporção ligada a ela no final

do século XIX.

Assim sendo, conforme Miguel (2005), Escher utiliza-se desta matemática,

praticando uma nova estética que faz pensar no rompimento da Geometria

Euclidiana em alguns momentos da sua trajetória, apresentando algumas

características na linguagem visual do seu trabalho que proporciona um novo

diálogo entre a linguagem das artes visuais e a linguagem matemática.

Ao se referir à obra de Escher como exemplo de trabalho concreto com as

imagens no ensino da Matemática, Sampaio (2012, p. 50) afirma que é possível

facilitar a compreensão de “assuntos complexos, ao invés da exclusiva utilização de

palavras. Através das suas pavimentações, ele consegue exemplificar as

transformações do plano: translações, rotações e reflexões, tornando-as mais

simples aos nossos olhos”.

Por considerar que o conhecimento dos alunos não se limita à promoção de

mudanças conceituais ou à aprendizagem apenas do conhecimento científico,

acredita-se na necessidade de buscar uma mudança metodológica e atitudinal nos

alunos, tendo a obra de Escher como recurso didático para o ensino e aprendizagem

da Geometria.

A Matemática é de importância fundamental no processo de formação social

e cultural, podendo ultrapassar o limite da informação para atingir o da formação.

Portanto, com a intenção de proporcionar uma prática pedagógica contextualizada

no Ensino Fundamental, uma alternativa viável é relacionar a Arte à disciplina de

Matemática, por meio de uma proposta de trabalho em geometria que leve os alunos

a transcender o formalismo da apresentação de conteúdos.

O objetivo é desenvolver uma proposta de ensino e aprendizagem

relacionando a Arte ao ensino da Matemática, tendo algumas obras de Escher como

recurso didático-metodológico no ensino de Geometria no 9º Ano do Ensino

Fundamental.

Mais especificamente, propõe-se discutir os aspectos histórico-conceituais

das obras de Escher e sua relação com a geometria; compreender os principais

elementos matemáticos presentes na obra de Escher a sua aplicabilidade ao ensino

da geometria; promover o conhecimento matemático da geometria e sua relação

com a Arte, mediante a identificação dos conteúdos presentes na obra de Escher.

ESTRATÉGIAS DE AÇÕES

Como estratégias de ação serão utilizadas um conjunto de atividades,

visando subsídios teórico-práticos diversificados para tratar da temática, envolvendo

20 (vinte) alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental, por meio de:

- Exposição oral: histórico-conceituais das obras de Escher e sua relação

com a geometria;

- Pesquisa na internet: no laboratório de informática da escola (em duplas)

os alunos pesquisarão sobre os principais elementos matemáticos presentes na

obra de Escher a sua aplicabilidade ao ensino da geometria;

- Apresentação de vídeos;

- Interpretação e discussão sobre os vídeos apresentados e pesquisas

realizadas;

- Debates: debater a relação entre a Arte e a Matemática no ensino da

geometria, a partir das obras de Escher;

- Articular a Arte e a Matemática a partir da exploração da geometria dos

mosaicos.

Posteriormente, esses encaminhamentos possibilitarão respostas às

indagações da pesquisa, como também a elaboração de um artigo ao final do

trabalho proposto.

PROPOSTAS DE ATIVIDADES

ATIVIDADE 1

Inicialmente, serão discutidos os relativos à história da Geometria. O

conteúdo será ministrado por meio de aulas expositivas e debates. O conteúdo será

mediado por meio de uma aula expositiva, com a utilização de slides desenvolvidos

com a utilização do programa Power Point ou BR OFFICE, com imagens

representativas sobre a temática abordada, tendo como base os livros abaixo

relacionados, tendo o texto descrito por Barros e Franco (2011), a seguir como

proposta de estudo.

História da Geometria A Geometria tal qual conhecemos hoje levou milhares de anos para se constituir numa das

matemáticas produzidas pelo homem. Vamos fazer aqui uma digressão histórica para compreendermos melhor como isso ocorreu. Pinturas antigas de cerca de 12000 anos a.C. encontradas em cavernas da França já mostravam uma compreensão da forma através da descrição bidimensional dos objetos no espaço, indicando a identificação do homem com o registro de histórias, ocasiões vividas e talvez a contagem.

Após o degelo da era glacial, por volta de 8000 a.C. as terras da Europa e da Ásia tornaram-se mais amenas com vegetações de florestas, pastagens e desertos. Isso facilitou o desaparecimento de nômades (caçadores e pescadores) e o aparecimento de agricultores. Grupos de humanos se fixavam em locais onde a terra era fértil e começavam a construir habitações mais duradouras. Escavações desses povoados indicam que os humanos já desenvolviam a cerâmica, a carpintaria e a tecelagem. O aparecimento de técnicas de fundição, do cobre e depois do bronze, estimularam ainda mais as atividades comerciais entre povoados distantes até centenas de quilômetros, e permitiram o aperfeiçoamento de linguagens numéricas. De início, com termos associados a quantidades pequenas e posteriormente com termos identificados com quantidades maiores.

Houve a necessidade de medição de objetos, como caibros para a construção de casas, medição de ângulos e de volumes. Apareceram também os traçados de linhas retas, figuras poligonais e linhas curvas na cerâmica e na tecelagem, revelando assim, que os homens sempre tiveram uma predisposição para a apreciação de padrões geométricos.

Povos primitivos utilizaram constelações para se guiarem em terra e no mar, angariando conhecimentos sobre propriedades da esfera, de direções angulares e de círculos, ao mesmo tempo em que adquiriam conhecimentos sobre a influência da Lua sobre as suas culturas agrícolas.

De início só existiam os problemas geométricos concretos, os quais eram passíveis de resolução individual. Pouco se comparava um problema com outro semelhante. Não se sabe quando, mas a partir e um certo período o ser humano tornou-se capaz de fazer observações, comparações, extrair propriedades e descobrir relações que possibilitaram-no a tomar os problemas concretos como casos particulares de uma situação geral. Para que a humanidade atingisse a geometria científica foi preciso que a inteligência humana “generalizasse” situações concretas.

É claro que esse desenvolvimento não ocorreu ao mesmo tempo em todos os lugares habitados por humanos. Veja o exemplo dos índios brasileiros que não conheciam a roda e viviam ainda no século XV sem a metalurgia, e o exemplo dos Maias na América Central, que tiveram seu apogeu de 200 d.C. até 900 d.C., mais de mil anos depois que a idade de ouro dos gregos.

Por volta de 4000 a.C. surgiram povoados mais evoluídos assentados às margens dos grandes rios da Ásia e África. (Nilo, Tigre, Eufrates, Indo, Ganges, Huang Ho e Yang Tse). Com o aperfeiçoamento da agricultura intensiva houve a melhora do padrão de vida dessas populações e surgiu uma aristocracia urbana responsável pela arte de dividir campos, armazenar alimentos, analisar o movimento dos astros, etc. Podemos dizer que surgiu daí uma matemática oriental, fortemente identificada como uma ciência prática e cuja ênfase inicial era a aritmética comercial e a medição, esta última dando origem à geometria teórica.

Muitas obras bibliográficas laureavam os egípcios pela matemática lá desenvolvida. Isso era devido à descoberta, em 1858, do chamado Papiro de Rhind (ou Ahmes), escrito por volta de 1650 a.C., contendo material ainda mais antigo. Mas a tradução de placas babilônicas mostra que a matemática dessa civilização era, de longe, mais desenvolvida que a das outras civilizações orientais, devido talvez, ao fato da Mesopotâmia ser uma encruzilhada de rotas comerciais enquanto que o Egito permanecia mais isolado.

O Papiro de Rhind e o Papiro de Moscou, este talvez dois séculos mais velho, apresentam respectivamente 85 e 25 problemas matemáticos. Alguns desses problemas relacionam-se com a “geometria” de medição e mostram que os egípcios conheciam a área do triângulo como sendo igual à metade do produto da base pela altura. Conheciam fórmulas para o volume do cubo, do paralelepípedo e o cilindro circular (recipientes para guardar sementes). O valor de era conhecido

como 3,1605. É importante frisar que não existe nenhuma indicação de que os egípcios conhecessem o

Teorema de Pitágoras. Temos uma herança de glamour da civilização egípcia devido à tradição grega de glorificar e de atribuir datas de acontecimentos importantes a tempos muito remotos. Todos os documentos existentes mostram uma matemática egípcia de objetivos muito limitados e com uma certa sofisticação.

Na Mesopotâmia vemos o desenvolvimento de matemáticas mais avançadas, por exemplo, a notação posicional de base 60 é utilizada pelos Sumérios da 3ª dinastia de Ur, por volta de 2100 a.C.. A nossa divisão da circunferência em 360 graus, cada grau em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos é herança dos Sumérios.

Os textos cuneiformes da época do rei Hamurabi (1750 a.C.) mostram o forte caráter aritmético-algébrico da matemática babilônica. Esses textos mostram que existia uma geometria advinda de problemas práticos de medição, e que existiam fórmulas para a área de figuras retilíneas simples e para o volume de sólidos simples. O Teorema de Pitágoras era conhecido em toda a sua generalidade, assim como a relação numérica entre os lados de um triângulo retângulo. Nos períodos das eras neobabilônicas (Persas e Selêucidas), por volta de 600 a.C. até 300 a.C. esse caráter algébrico da geometria se intensifica. Isso talvez pela forte influência da astronomia babilônica que nessa época já tinha alcançado um certo nível científico. Curioso é que a melhor aproximação

babilônica para é a bíblica ( 3 , Reis VII:23), e a área do círculo adotada era 1/12 do quadrado

do seu perímetro. Voltando a falar de geometria, como a conhecemos hoje, detectamos nas matemáticas

orientais uma falta de “demonstrações”. Não se conhece a forma como teoremas eram descobertos, sabemos apenas que eles eram transmitidos através de “receitas” (faça isso, faça aquilo e obtenha o resultado, etc.). Para nós que somos herdeiros de uma educação matemática grega (euclidiana) pode parecer estranho a falta de argumentação sobre a validade de “receitas”, mas ainda hoje ensinamos muitos resultados da matemática a engenheiros, técnicos e alunos do ensino fundamental e médio, como receitas que fornecem resultados desejados.

As ciências egípcias e babilônicas estagnaram durante séculos, a matemática inclusive. Isso ocorreu concomitantemente com as turbulentas migrações e guerras ocorridas na passagem da idade do bronze para a idade do ferro. Temos poucas informações sobre as mudanças ocorridas na bacia do Mediterrâneo nos últimos séculos do segundo milênio antes de Cristo, mas por volta de 900 a.C. os impérios Minóicos, Micênicos, Hititas, Egípcios e Babilônicos desapareceram ou estavam reduzidos. Não só o uso do ferro pode ser citado como mudança importante dessa época, mas também o aparecimento e a fixação de novos povos como os Hebreus, Assírios, Fenícios e Gregos.

Na costa da Ásia e no continente grego surgiram cidades que se tornaram centros administrativos, onde os antigos senhores de terras tinham que lutar contra a classe de mercadores e comerciantes politicamente conscientes. Nos séculos VII e VI a.C. a classe mercantil ficou mais forte e teve que disputar lugar com outra classe emergente, a dos pequenos comerciantes e artesãos, o “demos”. Houve o aparecimento das cidades-estado gregas. A mais importante foi Mileto, seguida posteriormente por Corinto, Atenas, Crotona, Tarento e Siracusa.

Nessas cidades existiam classes que podiam usufruir de relativa ociosidade devido à acumulação de riqueza e ao trabalho escravo, podiam filosofar sobre o universo. Ali, devido a

ausência de uma religião instituída, muitos habitantes foram conduzidos a uma certa forma de misticismo, outros migraram para um desenvolvimento do racionalismo e da visão científica do mundo.

Assim nasceu a matemática que não só apresentava respostas às questões “Como fazer?”, mas também mostrava o porquê da veracidade da “receita”.

Estamos no século VI a.C. e frente a um novo império que se agiganta das cinzas do império Assírio, o império Persa. Este foi repelido pela estrutura já consolidada dos gregos e uma das batalhas mais famosas dessa guerra foi a de Maratona. Com as vitórias gregas sobre os Persas a influência de Atenas cresceu e por volta de 430 a.C. esta cidade era não apenas a mais importante cidade grega, mas também o centro de uma civilização com fortes elementos democráticos. Esta é conhecida como idade de ouro da Grécia.

Nessa época, século VI a.C., um mercador que se tornou rico e pôde se dedicar ao estudo no final de sua vida ficou conhecido como o iniciador da geometria demonstrativa, seu nome era Tales e viveu na cidade de Mileto. Conta-se que Tales viveu algum tempo no Egito e teria calculado a altura de uma pirâmide por meio da sombra da mesma. Não se sabe se isso é verdade, mas Tales é o primeiro personagem a quem são atribuídos resultados geométricos.

Credita-se a Tales de Mileto a dedução lógica de alguns resultados, por exemplo: a) um diâmetro qualquer de um círculo divide o mesmo em duas partes iguais; b) os ângulos da base de um triângulo isósceles têm a mesma medida; c) ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida. Não se deve menosprezar a qualidade dos resultados deduzidos por Tales, o valor deles está em que Tales chegou à validade dos mesmos não por experimentação ou intuição, mas sim por raciocínios lógicos.

Nessa sociedade grega de lutas políticas e sociais destacou-se um grupo de filósofos, os “sofistas” que não estavam preocupados com tradições, mas sim com a investigação filosófica do mundo natural e moral, produzindo assim, uma matemática mais voltada para a compreensão do que para a utilidade.

Deste período onde os filósofos e professores sofistas apresentavam suas teorias, dentre essas a matemática, restou apenas um fragmento documental de interesse matemático escrito pelo filósofo Hipócrates de Quios. Nele existe o problema de determinação de áreas de figuras delimitadas por dois arcos circulares e o tratamento dado por Hipócrates mostra que os gregos dessa idade de ouro possuíam um sistema ordenado de geometria plana que permitia concluir uma afirmação a partir de outras aceitas verdadeiras. Era o início da axiomática, como mostra o nome do livro supostamente escrito por Hipócrates, “Elementos” (Stoicheia).

Esse nome “Elementos” ficou sendo o nome de todos os tratados axiomáticos gregos, inclusive o “Elementos” de Euclides.

Hipócrates mostrou que conhecia o Teorema de Pitágoras e a correspondente desigualdade em triângulos não retângulos. Essa obra pode ser classificada no que chamamos hoje de tradição euclidiana, só que ela antecede o aparecimento dos “Elementos” de Euclides em mais de um século.

São dessa época, os três mais conhecidos problemas matemáticos da antiguidade. São eles. A trissecção de um ângulo; isto é, como dividir um dado ângulo em três ângulos iguais. A duplicação do cubo; isto é, dado um cubo com certo volume deve-se encontrar o lado de

outro cubo que tenha volume igual ao dobro do dado inicialmente. A quadratura do círculo; isto é, dado um círculo com certa área deve-se encontrar um

quadrado que possua a mesma área. Mas, esses problemas não têm solução mediante uma construção de um número finito de

segmentos de retas ou circunferências. Outro grupo de filósofos que estudaram matemática foram os “pitagóricos”. Esses estavam

ligados à uma escola supostamente fundada por Pitágoras. A figura de Pitágoras não é bem conhecida. Acredita-se que era um místico, um cientista e um estadista aristocrático, que propunha o estudo e procura de leis imutáveis da natureza e da sociedade, ao contrário dos sofistas, que davam ênfase à realidade e à mudança. As informações que temos sobre Pitágoras (e também sobre Tales) vêm da obra “Sumário Eudemiano” escrito por volta do século V d.C., por Proclus. Esse livro traz um resumo da história da matemática grega desde antes de 300 a.C. até sua época.

Na escola pitagórica destaca-se a figura de um de seus chefes, Arquitas de Tarento, que viveu por volta do ano 400 a.C., e que segundo historiadores foi responsável pelos resultados atribuídos a Pitágoras. Os pitagóricos conheciam fatos e propriedades acerca de polígonos e sólidos regulares, e demonstraram que o ladrilhamento do plano pode ser conseguido com triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares...

Fonte: Barros e Franco (2011).

ATIVIDADE 2

Apresentação e discussão sobre os seguintes vídeos:

-Origem da Geometria: Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=awQvKJbPMqE>;

-O homem que Calculava: Disponível em: - A História da Geometria: Disponível em:

<http://www.youtube.com/watch?v=6ebMePGYIf8>;

Debate oral e escrito com base nos seguintes questionamentos:

O que achou dos vídeos?

Você gostou da história da Geometria?

Como nasceu a geometria?

Quem fez as primeiras construções gráficas?

Quais as principais dificuldades dos gregos?

Qual a função da Geometria?

Por que o estudo da Geometria é importante?

Você concorda que arte e Ciência caminham juntas?

Por que o mundo matemático e da arte estão intrinsecamente relacionados?

ATIVIDADE 3

Explorar as obras de Escher

Apresentação e discussão acerca dos seguintes vídeos:

Explorando o Olhar nas Obras de Escher:

<http://www.youtube.com/watch?v=CLRSCt3E16k>;

Escher; e a Geometria: http://www.youtube.com/watch?v=6aRFy73cZxY;

Metamorfose: http://www.youtube.com/watch?v=pVwrUUwzBRo.

Debater:

O que achou dos vídeos?

1) Onde e quando nasceu Escher ?

2) Qual a sua profissão?

3) Qual a técnica utilizada em suas obras?

4) Qual a sua obra de maior destaque?

5) Que relações estabelecem com a Matemática?

6) Curiosidades.

Observação: Estas questões serão registradas no caderno, organizando um texto

retratando a vida e obra do autor.

ATIVIDADE 4

Aprendendo sobre Mosaicos

Leitura e Discussão oral sobre o texto a seguir

O artista M. C. Escher foi um gênio na criação de mosaicos, inteligentemente projetados, o que torna necessário observar suas obras com muita atenção. Escher estudou as propriedades geométricas, para criar seus mosaicos, ele utilizava as transformações geométricas e os padrões geométricos a partir de divisões regulares da superfície.

Em suas obras podemos observar pavimentações e simetrias. Um padrão consiste na existência de um “motivo”, suas cópias, a partir de uma ou mais cores, sobre um fundo uniforme constituem uma pavimentação. Como já observamos na atividade 2, uma pavimentação é feita cobrindo o plano completamente sem área livre ou sobreposição. Um padrão pode ser constituído por translações do motivo, reflexões e/ou rotações do motivo.

Disponível em: < http://teknomat.pbworks.com/w/file/fetch/67838273/Atividade%204%20-

%20Mosaicos%20de%20Escher.pdf>

Após as discussões iniciais sobre as obras de Escher e sua relação com a

matemática, serão apresentadas os alunos algumas obras do autor, para que os

mesmos façam observações, identificando qual a figura padrão em cada uma delas.

Sugestão para encaminhamentos:

Disponível em: <http//www.mcescher.com/Gallery/gallery-symmetry.htm>.

Comentar que nas obras de Escher observam-se pavimentações e simetrias.

Um padrão incide da existência de um “motivo”, como mostra a Figura 1, suas

cópias, a uma ou mais cores, sobre fundo uniforme, conforme Figura 2, constituem

uma pavimentação. Nas pavimentações a intenção é cobrir o plano completamente,

sem área livres e sobreposições. Um padrão pode ser constituído por translações do

motivo, como representado na Figura 3, ou rotações e/ou reflexões do motivo, como

mostra a Figura 4.

Figura 1- Motivo Figura 2- Um Padrão

Figura 3- Pavimentação

Fonte: <http://www.mcescher.com/Gallery/gallery-symmetry.htm>.

Figura 4 – Rotações ou flexões dos motivos

Disponível em: <http//www.mcescher.com/Gallery/gallery-symmetry.htm>.

No caso das obras observadas, percebemos que em alguns momentos essas

imagens são rodadas e/ou invertidas. Para fixação dos conceitos de

translação, rotação e reflexão o professor explicará que estes são tipos de simetrias.

A simetria ocorre quando é possível encontrar, para qualquer figura, pelo menos

uma transformação geométrica diferente da transformação idêntica, que a deixe

invariante, isto é, alguns ou todos os pontos da figura podem mudar de posição, mas

a figura, como um todo, fica a mesma, conforme exemplo a seguir:

Disponível em: < http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27470>

Debater

Articulando a arte e a matemática é possível explorar na geometria dos mosiacos

de Escher, os conceitos matemáticos que compõem as construções.

ATIVIDADE 5

Construindo Mosaicos

a) Organizar os alunos em dois ou três componentes em grupos;

- Oferecer os materiais necessários (papel-cartaz de diversas cores, tesoura,

cola e régua).

- Solicitar aos alunos que escolham uma das formas de polígonos (triângulo

equilátero, quadrado ou hexágono) para cobrir um plano e a partir dela criar o seu

modelo (módulo). A parte que repetida é denominada módulo. O módulo se repetirá

várias vezes até formar um mosaico;

- Observar que cada módulo apresentará uma simetria, rotação ou translação.

Exemplo:

Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/36800242/do-Os-Trabalhos-de-Escher>

b) Solicitar que os alunos criem um módulo que não represente apenas uma figura

geométrica, mas que ostente alguma forma, conforme exemplo:

Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/36800242/do-Os-Trabalhos-de-Escher>

c) A partir de uma malha triangular, quadrangular ou hexagonal usar formas curvas

como em alguns mosaicos, de acordo com o seguinte exemplo:

Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/36800242/do-Os-Trabalhos-de-Escher>

d) Distribuir peças de EVA aos alunos para confecção de um mosaico único,

utilizando para produção figuras octógonas, quadradas, hexágonos e triângulos.

e) Promover uma exposição dos trabalhos no mural da escola, montando-a com os

alunos;

f) Avaliar o processo frente às obras expostas.

Permitir que os alunos criem mosaicos próprios é uma forma de fazer com

que eles tenham pleno domínio desses conceitos, os quais serão utilizados na elaboração

de outros.

ATIVIDADE 6

Primeiramente, o conteúdo será explorado pelo docente por meio de aula

expositiva e debates. O conteúdo sobre sólidos platônicos de Escher será

organizado em Power Point. O objetivo é articular conhecimentos acerca dos sólidos

platônicos de Escher, observando suas faces, planificações e construções;

Após, as explicações iniciais, no laboratório de informática da escola, os

alunos pesquisarão sobre os cinco sólidos Platônicos de Escher.

Sugestões de sites

https://www.google.com.br/search?q=os+cinco+sólidos+platônicos+de+escher&tbm=

isch&tbo=u&source=univ&s

http://www.youtube.com/watch?v=AR-aF0JB6ik

A seguir os alunos serão organizados em grupos de até cinco alunos para

resolverem as seguintes atividades:

a) Explorar os Sólidos Platônicos, observando suas faces, planificações e

construções;

b) Escreva o nome dos Sólidos Platônicos e o nome dos polígonos que formam suas

faces;

c) Escolha um dos Sólidos Platônicos e desenhe-o em seu caderno em perspectiva

e também planificado;

d) Complete a tabela abaixo:

DESENHO REPRESENTATIVO

NOME VÉRTICES ARESTAS Faces Nº. DE ARESTAS POR VÉRTICE

e) Atividade Experimental

Construir moldes e montar com os alunos as figuras.

Material: canudinhos, papel cartão, elástico de dinheiro.

Construção das seguintes figuras.

ATIVIDADE 7

Organização de painéis para exposição dos trabalhos realizados.

AVALIAÇÃO

Sugerir aos alunos que escrevam um relatório explicando os métodos

utilizados, descrevendo detalhadamente as facilidades e dificuldades apresentadas

no desenvolvimento das atividades. A partir dos relatórios individuais, pode-se

avaliar a capacidade de argumentação, a lógica de raciocínio, a compreensão

correta dos conceitos envolvidos, a organização, a descrição do método utilizado e,

ainda, os resultados obtidos.

REFERÊNCIAS

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