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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS DPPE

1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA TURMA PDE 2013

Título: A aplicação da Metodologia da Resolução de Problemas, valorizando o erro e as estratégias utilizadas pelos educandos.

Autor Angela Maria Kubiak Secundo

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação

do Projeto

Colégio Estadual General Eurico Gaspar Dutra – Ensino Fundamental e Médio

Município da escola

Virmond

Núcleo Regional de Educação

Laranjeiras do Sul

Professor Orientador

Reinaldo Francisco

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual do Centro-Oeste

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Resumo

Esta unidade didática busca na aplicação da Metodologia da Resolução de Problemas, por meio de atividades significativas, a partir das etapas propostas por Polya, aliada a análise do erro e ênfase nas estratégias utilizadas pelos educandos, um novo encaminhamento metodológico às aulas de Matemática. Justifica-se, pelas dificuldades encontradas na prática de sala de aula, busca minimizar o desinteresse que os alunos têm em relação à leitura e interpretação, que trazem prejuízos na construção do pensamento matemático. A implementação se dará numa turma do 6º Ano, onde será aplicado pré e pós-teste para verificar a eficácia da utilização dessa metodologia. As atividades serão em grupos, seguidas de socialização das estratégias utilizadas na resolução dos problemas e durante todo o processo acontecerá à análise dos erros. Ao final das atividades os alunos farão Relatório avaliação, onde irão relatar de forma descritiva a síntese das atividades desenvolvidas. Esta unidade didática faz parte de uma Pesquisa-ação e foi elaborada para auxiliar na implementação. Conta com a colaboração de um grupo de professores da Rede Estadual de Educação do Paraná, que pela participação no GTR, irão aplicar a metodologia, socializar os resultados, apresentar suas críticas e sugestões para a validação desta pesquisa.

Palavras-chave Matemática; Ensino-aprendizagem; Metodologia; Resolução de Problemas; Análise do erro.

Público Alvo 6º Ano do Ensino Fundamental Séries Finais

2. APRESENTAÇÃO

Esta Unidade Didática é parte integrante do Programa PDE 2013, da

Secretaria de Estado da Educação do Paraná e, foi elaborada com o objetivo de

investigar se, a aplicação da Metodologia da Resolução de Problemas, vinculada

com a análise do erro como estratégia didática, pode contribuir no processo ensino

aprendizagem.

Para verificar se esta metodologia realmente é significativa, procurou-se

organizar a prática pedagógica em torno dos seguintes objetivos específicos: a)

Propor atividades significativas, a serem resolvidas a partir das fases da Resolução

de Problemas propostas por Polya, valorizando a socialização das estratégias

utilizadas pelos alunos; b) Utilizar a análise de erros como estratégia didática; c)

Estimular os alunos a relatarem de forma descritiva as atividades realizadas.

A finalidade desta Produção Didático-pedagógica é detalhar passo a passo as

atividades que serão propostas aos alunos, bem como socializar os

encaminhamentos metodológicos, estabelecidos a partir das reflexões realizadas a

luz dos teóricos estudados. Tais encaminhamentos visam auxiliar os professores no

desenvolvimento das ações durante a implementação do Projeto de intervenção

pedagógica na escola.

Pois, observamos no cotidiano escolar, a existência de muitas dificuldades

que exigem mudanças urgentes. Há a necessidade de valorização da educação pela

sociedade e, um dos aspectos importantes nesse processo é o enriquecimento do

trabalho pedagógico, que efetivamente é realizado em sala de aula. Os alunos

precisam ver sentido naquilo que estão estudando e a formação deve ser

significativa para sua vida.

Existe um currículo a ser cumprido e o tempo escolar muitas vezes não é

suficiente para dar conta de todos os conteúdos previstos para a turma. Nesse

contexto, tem sido atribuída ao professor, a difícil tarefa de resolver tais questões na

sala de aula. É comum acontecer principalmente na disciplina de Matemática, a

aceleração e a abordagem dos conteúdos de forma superficial e tradicional para que

o planejamento seja cumprido. Será que assim o problema se resolve? Os alunos

estarão realmente aprendendo?

Outro fator delicado é a avaliação e como o processo avaliativo acontece

dentro da escola. O que é considerado ao avaliar? O aluno tem clareza sobre os

critérios pelos quais ele será avaliado? Quando ocorre a avaliação? Como ela é

realizada? Quais são os objetivos do professor ao avaliar? Essas são algumas

questões que precisam ser revistas quando se pensa em formação significativa.

Para os professores avaliar é complicado e burocrático, mas, necessário.

Para os alunos a avaliação pode ser dependendo da disciplina: assustadora, difícil

ou normal.

Essa é a realidade escolar, com marcas fortes da avaliação classificatória

presentes no contexto escolar apesar dos discursos serem diferentes.

Sabe-se que desta forma a aprendizagem ocorre bem abaixo do esperado.

Percebe-se a necessidade de rever métodos utilizados em sala de aula, assim

como, a valorização da leitura, escrita, interpretação e um novo sentido para a

avaliação.

É com essa proposta que se desenvolveu esta Unidade Didática, buscando

um novo olhar e um fazer diferente nas aulas de Matemática.

3. MATERIAL DIDÁTICO

Neste espaço estão relacionados os materiais que deverão ser impressos e

entregues aos alunos para a realização das atividades.

Os encaminhamentos metodológicos encontram-se no item 4 desta Unidade

Didática. Professor não deixe de ler, pois, para a aplicação desta metodologia, é

imprescindível suporte teórico.

Ação 1 - Carta informativa aos pais

Entregar duas cópias por aluno, sendo que uma volta assinada e é recolhida

pela professora.

Colégio Estadual General Eurico Gaspar Dutra – Ensino Fundamental e Médio

Virmond, fevereiro de 2014.

Queridos pais e alunos:

Eu, Angela Maria Kubiak Secundo, professora de Matemática desta Instituição

de Ensino, venho informar que estou participando do PDE – Programa de

Desenvolvimento Educacional, destinado ao aperfeiçoamento profissional dos

professores do Estado do Paraná. Estou voltando para a escola depois de um ano

estudando e pesquisando, para agora colocar em prática o projeto que desenvolvi. O

motivo pelo qual os informo sobre isso é que, a turma do seu filho (a) foi escolhida

para a aplicação do meu projeto.

O projeto vai ser desenvolvido durante as aulas de Matemática, nos meses de

março, abril e início de maio. E, os resultados serão utilizados para a publicação de

um artigo sobre a metodologia aplicada.

Todas as atividades foram planejadas visando a melhoria no processo ensino

aprendizagem. E, a elaboração e implementação deste trabalho está sob a

orientação do Professor Reinaldo Francisco da Universidade Estadual do Centro –

Oeste – UNICENTRO.

Eu _______________________________________ responsável pelo (a)

aluno(a) _________________________________________, estou ciente das

atividades do projeto que estarão sendo desenvolvidas nas aulas de Matemática,

conforme acima detalhado.

_____________________________

Angela Maria Kubiak Secundo

Professora de Matemática

Professora PDE turma 2013

Ação 2 – Pré-teste Aluno(a):............................................................................. Turma: ....... Data..../..../..... 1. (Marque x em apenas uma alternativa). Na sua opinião, os erros que surgem na realização das atividades escolares indicam: ( ) a) Que deve ser descontada nota do aluno; ( ) b) Que existem conteúdos que devem ser aprofundados; ( ) c) Que errar é muito desagradável e quando percebo que errei não comento com ninguém; ( ) d) Que não pode errar; ( ) e) Que o aluno não é capaz. 2. (Marque x em apenas uma alternativa). Na sua opinião, a avaliação de Matemática: ( ) a) É muito difícil; ( ) b) É feita somente através de provas escritas; ( ) c) Devem ser realizadas só duas avaliações por trimestre; ( ) d) Deve acontecer no dia a dia, pelo acompanhamento das atividades realizadas. 3. Sete pessoas estão em um grupo. Se cada uma delas trocar um aperto de mão com todos os demais, ao todo teremos 49 apertos de mão. Essa afirmação está correta? Justifique sua resposta. 4. Uma indústria produziu 285 pacotes de balas em um único dia. Eles foram colocados em caixas cada uma com 42 pacotes. Se a fábrica quiser completar mais uma caixa, terá que produzir quantos pacotes a mais?

5. A secretaria municipal de saúde de um determinado município realizou uma campanha de vacinação. A previsão era de que fossem vacinadas 3800 pessoas em dois dias. No primeiro dia, foram vacinadas 1689 pessoas e no segundo dia, 445 pessoas a mais do que no dia anterior. Verifique se a meta foi atingida e justifique sua resposta. 6. Paulo quer vender seu computador, por isso resolveu publicar um anúncio em jornal, na parte dos classificados. Ele verificou junto ao jornal que o anúncio é pago e, custa R$ 0,85 por centímetro quadrado ao dia. Também informaram a ele que o tamanho do anúncio ficaria num retângulo de 4 cm x 2,5 cm. E agora? Nessas condições, quanto custa para colocar o anúncio por 5 dias? 2 pontos

7. Usando quatro quatros e as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão (mas não todas ao mesmo tempo), escreva os números 0, 1 e 2.

2 critéri

o s Ação 3 – Atividade 1

Questões para dinâmica (fazer uma cópia, recortar as questões e colocar uma

em cada envelope).

1. Responda: O que você pensa sobre o erro nas atividades de Matemática e

nas demais atividades escolares?

2. Responda: O que é trabalhar em grupo?

3. Responda: Que tipo de avaliações você está acostumado a fazer em

Matemática?

4. Responda: O que é um problema?

5. Responda: Leitura, escrita e oralidade, devem ser exploradas nas aulas de

Matemática? Por quê?

6. Elabore e responda uma pergunta sobre: Resolução de problemas

7. Elabore e responda uma pergunta sobre: O erro na escola

8. Elabore e responda uma pergunta sobre: Avaliação.

9. Elabore e responda uma pergunta sobre: Ler, escrever e socializar.

10. Elabore e responda uma pergunta sobre: História da Matemática.

Ação 3 – Atividade 2

Querido (a) aluno (a)

Você conhece a proposta de Polya para a Resolução de Problemas?

De acordo com Polya, um bom resolvedor de problemas deve seguir as

seguintes fases ao resolver qualquer problema, seja ele de Matemática ou não:

1º É preciso compreender o problema;

2º Elaborar um plano para resolução;

3º Executar o plano

4º Fazer a retrospectiva – conferir – verificar se o resultado responde a

pergunta do problema.

Vamos verificar como se utiliza o método?

Temos aqui um problema

(OBMEP) Márcia cortou uma tira retangular de 2 cm de largura de cada um dos

quatro lados de uma folha de papel medindo 12 cm por 20 cm. Qual é o perímetro do

pedaço de papel que sobrou?

Ação 4 – Atividade 3 (Fazer uma cópia do texto para cada aluno)

DO NOSSO ENCONTRO COM UM RICO XEQUE Três dias depois, aproximávamo-nos das

ruínas de pequena aldeia denominada Sippar quando encontramos, caído na estrada, um pobre viajante, roto e ferido. Socorremos o infeliz e dele próprio ouvimos o relato de sua aventura.

Chamava-se Salém Nasair, e era um dos mais ricos mercadores de Bagdá. Ao regressar, poucos dias antes, de Báçora, com grande caravana, pela estrada de el-Hilleh, fora atacado por uma chusma de nômades persas do deserto. A caravana foi saqueada e quase todos os seus componentes pereceram nas mãos dos beduínos. Ele – o chefe – conseguira, milagrosamente escapar, oculto na areia, entre os cadáveres dos seus escravos.

E, ao concluir a narrativa de sua desgraça perguntou-nos com voz angustiosa:

- Trazeis, por acaso, ó muçulmanos, alguma coisa que se possa comer? Estou com fome!

- Tenho, de resto, três pães – respondi. - Trago ainda cinco! – afirmou, a meu

lado, o Homem que Calculava. - Pois bem – sugeriu o xeque – juntemos

esses pães e façamos uma sociedade única. Quando chegar a Bagdá prometo pagar com 8 moedas de ouro o pão que comer!

Assim fizemos. No dia seguinte, ao cair da tarde, entramos na célebre cidade de Bagdá, a pérola do Oriente.

Ao atravessarmos vistosa praça, demos de rosto com aparatoso cortejo. Na frente marchava, em garboso alazão, o poderoso Ibrahim Maluf, um dos vizires.

O vizir, ao avistar o xeque Salém Nasair em nossa companhia, chamou-o e, fazendo parar a sua poderosa guarda, perguntou-lhe:

- Que te aconteceu, ó meu amigo? Por que te vejo chegar a Bagdá roto e maltrapilho, em companhia de dois homens que não conheço?

- O desventurado xeque narrou minuciosamente ao poderoso ministro, tudo o que lhe ocorrera em caminho, fazendo a nosso respeito os maiores elogios.

- Paga sem perda de tempo a esses dois forasteiros – ordenou-lhe o grão-vizir.

E, tirando de sua bolsa 8 moedas de ouro, entregou-as a Salém Nasair acrescentando:

- Quero levar-te agora mesmo ao palácio, pois o comendador dos crentes deseja com certeza, ser informado da nova afronta que os bandidos e beduínos praticaram, matando nossos amigos e saqueando caravanas dentro de nossas fronteiras.

- O rico Salém Nasair disse-nos então: - Vou deixar-vos, meus amigos. Antes,

porém, desejo agradecer-vos o grande auxílio

que ontem me prestastes. E para cumprir a palavra dada, vou pagar já o pão que generosamente me destes!

E dirigindo-se ao Homem que Calculava disse-lhe:

- Vais receber, pelos 5 pães, 5 moedas! - E voltando-se para mim, ajuntou: - E tu, ó Bagdali, pelos 3 pães, 3 moedas! Com grande surpresa, o calculista objetou

respeitoso: - Perdão, ó Xeque. A divisão feita desse

modo, pode ser muito simples, mas não é matematicamente certa! Se eu dei 5 pães devo receber 7 moedas; o meu companheiro bagdali, que deu três pães deve receber apenas uma moeda.

Pelo nome de Maomé! – interveio o vizir Ibrahim, interessado vivamente pelo caso. – Como justificar, ó estrangeiro, tão disparatada forma de pagar 8 pães com 8 moedas? Se contribuíste com 5 pães, por que exige 7 moedas? Se o teu amigo contribuiu com 3 pães, por que afirmas que ele deve receber uma única moeda?

O Homem que Calculava aproximou-se do prestigioso ministro e assim falou:

- Vou provar-vos ó Vizir, que a divisão de 8 moedas, pela forma por mim proposta, é matematicamente certa. Quando, durante a viagem, tínhamos fome, eu tirava um pão da caixa em que estavam guardados e repartia-o em três pedaços, comendo, cada um de nós, um desses pedaços. Se eu dei 5 pães, dei, é claro, 15 pedaços; se o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu com 9 pedaços. Houve, assim, um total de 24 pedaços, cabendo, portanto, 8 pedaços para cada um.Dos 15 pedaços que dei, comi 8; dei, na realidade 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços e comeu, também 8 pedaços; logo, deu apenas 1. Os 7 pedaços que eu dei e que o Bagdali forneceu formaram os oito que couberam ao xeque Salém Nasair. Logo, é justo que eu receba 7 moedas e o meu companheiro apenas uma.

O grão-vizir, depois de fazer os maiores elogios ao homem que calculava, ordenou que lhe fossem entregue sete moedas, pois a mim me cabia, por direito apenas uma. Era lógica perfeita, e irrespondível a demonstração apresentada pelo matemático.

- Esta divisão – retorquiu o calculista de sete moedas para mim e uma para meu amigo, conforme provei, é matematicamente certa, mas não é perfeita aos olhos de Deus!

E tomando as moedas na mão dividiu-as em duas partes iguais. Deu-me uma dessas partes (4 moedas), guardando, para si, as quatro restantes. (TAHAN, 2001, p. 25)

Ação 4 – Atividade 3 (Em grupos de 5 alunos) Alunos(as):................................................... ........................................................

................................................... ........................................................

...................................................

1. Quais foram às três divisões apresentadas no texto? O que você percebeu com

essa estória sobre a Matemática?

2. Por que utilizamos um texto na aula de Matemática? O que você pensa sobre

isso?

3. Você ajudaria aquele homem da estória? Por quê?

4. Qual das divisões você usaria para calcular a quantidade de moedas que cabe a

cada um? Por quê?

5. Qual das divisões você acha que a maioria das pessoas hoje consideraria e

faria? Por quê?

Ação 4 – Atividade 4

Resolução de problemas com temas diversos e números naturais

Problema 1

No torneio de “ping-pong” que vai se realizar na escola de Maurício estão inscritos

92 participantes. Uma das regras deste torneio é que joguem dois participantes de

cada vez, sendo eliminado imediatamente o perdedor. Quantos jogos serão

disputados até que se conheça o vencedor do torneio?

Problema 2 João é um trabalhador e, como a maioria do povo brasileiro precisa economizar e

planejar muito bem tudo o que vai fazer, para que possa manter sua família e ainda

aos poucos melhorar a casa onde vive. Agindo desta forma, ele já conseguiu

construir uma casa de 12m x 8m. Agora o objetivo dele é terminar de colocar

cerâmica na casa, pois na cozinha que é quadrada e tem 4m de lado, já colocou no

mês passado. João pesquisou o preço do metro quadrado da cerâmica, que custa

R$ 12,00. Ele precisa saber quantos m² de cerâmica, no mínimo, deve comprar e

quanto vai custar. O que você faria para chegar aos valores?

Problema 3

Um caixa eletrônico só trabalha com notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Se você vai fazer

um saque de R$ 100,00 de quantas maneiras diferentes o caixa poderá fazer o

pagamento? Quais são elas?

Problema 4

A capacidade do tanque de combustível da caminhonete de Francisco é 60 litros. Ele

fez uma viagem e quer saber quantos litros de combustível gastou nessa viagem.

Para calcular ele fez os seguintes desenhos que mostram o medidor de combustível

no momento de partida e no momento de chegada. É possível descobrir a

quantidade gasta em litros de combustível com essas informações? Justifique sua

resposta.

Ilustração: Própria Problema 5 - (Antes da resolução do problema apresentar a história de Gauss – O príncipe dos Matemáticos que pode ser encontrada em GARBI, 2006, p.196). O alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) estava em seus primeiros anos de

estudos quando seu professor pediu aos alunos da classe para obterem a soma de

todos os números naturais de 1 a 100.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100

Em poucos minutos, Gauss deu a resposta correta.

Agora é a sua vez, qual é o resultado dessa soma?

Problema 6

Serginho é um menino muito prestativo. A mãe dele estava fazendo um curso e

pediu para que ele fosse pagar uma conta na farmácia. A conta era de R$ 155,00.

Ele tinha na carteira notas de R$ 5,00, R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Sabendo

que ele pagou com 12 notas. Quantas ele deu de cada uma? Qual a menor

quantidade de notas que poderia ser usada para pagar essa conta?

Problema 7

Uma estudante, no início do ano letivo comprou 2 calças, 2 camisetas e 1 calção do

uniforme do colégio. Cada calça custou R$ 25,00, cada camiseta R$ 20,00 e o

calção R$ 15,00. Qual a idade da estudante?

Problema 8

Preencha o quadro abaixo com os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, de forma que

cada linha, coluna ou diagonal do quadrado tenha soma igual a 15.

Problema 9

Usando quatro quatros e as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e

divisão (mas não todas ao mesmo tempo), escreva os números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e

10.

Problema 10

Você sabe que pode haver diferença de preços na mesma mercadoria, quando esta

é comprada numa cidade pequena ou numa cidade maior?

Veja esse exemplo: um tênis numa loja na cidade pequena custa R$ 95,00 e uma

calça jeans, R$ 160,00. Na cidade maior, o mesmo tênis custa R$ 70,00 e a mesma

calça custa R$ 120,00. As despesas de deslocamento (ida e volta) à cidade maior é

R$ 70,00. Onde é mais vantajoso comprar?

Problema 11

A área livre de uma escola tem a forma de um retângulo cujas dimensões são:

comprimento de 20 metros e largura 30 metros. Ela vai ser toda cimentada e, para

evitar rachaduras, será dividida em quadrados de um metro de lado. Para facilitar

seu trabalho, o pedreiro marcou essas divisões fazendo um quadriculado com

barbantes. Quantos quadrados ele obteve?

Problema 12

Ao pagar uma compra de R$ 267,00, Ricardo deu três notas de R$ 100,00 à caixa.

Ela ainda pediu R$ 17,00 para facilitar o troco e, Ricardo deu. Quanto ele recebeu de

troco? Quanto ele teria recebido de troco se não tivesse dado os R$ 17,00?

Problema 13

Qual é a soma de todos os números pares de 2 a 100?

Problema 14

Os irmãos Marcos e Paulo estão brincando numa escada que tem 36 degraus. Eles

combinaram que Marcos subirá a escada de 3 em 3 degraus e Paulo de 2 em 2

degraus e, estão curiosos para saber se:

a) Algum deles vai pisar no 15º degrau?

b) Algum deles vai pisar no 31° degrau?

c) Algum deles vai pisar no 18º degrau?

d) Os dois irão pisar nos mesmos degraus? Se forem, quais serão eles? Como é

possível prever?

Problema 15

Ana está procurando um terreno para comprar, não pode ser qualquer terreno um

dos lados deve ter mais que 14m. Na página de classificados de um jornal, ela

encontrou um anúncio de um terreno sendo vendido. A informação diz que é

quadrado e, sua área é de 225m². Faça o esboço desse terreno, calcule e indique a

medida dos lados e verifique se ele está de acordo com o que Ana procura.

Problema 16

Um menino muito curioso, observando um relógio digital, começou a

contar e marcar um traço vertical (l) cada vez que aparecia o número

7 no visor. Exemplo: às 03h07min ele marcou l, às 07h07min ele marcou ll. Sabendo

que ele começou as marcações às 01h00min e parou quase doze horas depois,

quando o relógio mostrava 12h59min. Descubra quantos l ele marcou.

Problema 17

Ajude-me a descobrir quem venceu a corrida! O que eu sei é que:

Quatro meninas disputaram uma corrida, Rebeca não foi a primeira colocada; Cleide

ficou entre Maria e Lucia; Lucia ficou entre Rebeca e Cleide. Quem ganhou a

corrida? Quem ficou em último lugar?

01 : 00

Problema 18

Uma lesma começa a subir uma pilha de dez tijolos. Ela consegue subir três tijolos

em uma hora. Como o esforço é muito grande, ela tem de descansar na hora

seguinte, durante a qual escorrega dois tijolos. Quanto tempo ela gastará para

chegar ao topo da pilha?

Problema 19

É possível?

Usando uma calculadora e nela apenas as teclas 1 e 0 e, as operações de adição e

subtração, fazer aparecer no visor da calculadora os números indicados abaixo?

Verifique e justifique sua resposta.

a) 32 b)353 c)2078 d)5300

Problema 20

Um pomar foi atacado por uma praga e, seus frutos foram apodrecendo dia-a-dia,

nesta sequência numérica: 1, 2, 4,... Isso significa que, no primeiro dia, apodreceu

um fruto; no segundo dia, dois frutos; no terceiro dia 4 frutos, e assim

sucessivamente, ou seja, cada dia apodrecia o dobro de frutos do dia anterior. Se,

no décimo dia, apodreceram os últimos frutos, quantos frutos foram atacados no

total?

Problema 21

Um atleta está treinando corrida numa pista circular que tem 450 metros de

extensão. Ele já percorreu 1560 metros.

a) Quantas voltas completas ele já deu?

b) A quantos metros da posição de partida ele se encontra?

c) Quantos metros faltam para completar mais uma volta?

Problema 22

Ao comprar quatro camisetas, todas do mesmo preço, um cliente conseguiu um

desconto de cinco reais em cada uma. No total, ele pagou 140 reais. Qual o preço

de cada camiseta, sem o desconto?

Problema 23

Paulo é um comerciante, ele comprou 3000 ovos por dois reais a dúzia. Como a

mercadoria é muito frágil, no transporte até o local do seu comércio, 204 ovos se

quebraram. Ele quer saber agora, se, vendendo o restante que sobrou a três reais a

dúzia, vai ter algum lucro.

Problema 24

João e Pedro são jardineiros. Eles acertaram um trabalho por 300 reais e

trabalharam cinco dias. João recebeu 28 reais por dia. Quanto recebeu Pedro?

Problema 25

Uma fábrica de calçados femininos utiliza em seus produtos cadarços, que são

comprados em rolos. Na fábrica os cadarços são cortados nos seguintes

comprimentos: 45 cm, 50 cm e 75 cm. E, observou-se que tem sobrado pedaços. O

que se pode fazer ao comprar os rolos para evitar sobras e desperdício de material?

Problema 26

Uma escola está realizando uma gincana, para isso os alunos serão divididos em

grupos, sendo que cada grupo deve ter o mesmo número de alunos e, esse número

deve ser o maior possível. Sabendo que a escola tem 320 alunos de manhã e 268 à

tarde. Quantos alunos terá cada grupo e quantos grupos serão formados?

Problema 27

Num campeonato de vôlei em duplas, em cada jogo a dupla perdedora é eliminada.

Quantas partidas serão jogadas até que se chegue à dupla campeã, num torneio de

19 duplas?

Problema 28

Qual é o peso de cada menina? A dica é esta: quando as três meninas estão numa

balança, o “peso” total marcado na balança é 145 kg. Uma delas desce, e a balança

marca 98 kg. Quando outra menina desce, o “peso” marcado é de 57 kg. E então

você consegue descobrir o peso de cada uma delas?

Ação 4 – atividade 5

Resolução de Problemas a partir de dados sobre reforma e construção de

arenas para a copa 2014 – (Os alunos podem usar a calculadora)

Quadro informativo - COPA 2104 - Custo dos Estádios

http://globoesporte.globo.com/futebol/copa-do-mundo/noticia/2013/04/copa-custo-geral-dos-estadios-esta-30-mais-alto-que-previsao-de-2010.html, acessado em 29/10/2013.

http://globoesporte.globo.com/futebol/copa-do-mundo/noticia/2013/04/copa-custo-geral-dos-estadios-esta-30-mais-alto-que-previsao-de-2010.html


Problema 29

Dentre as 12 arenas, tomando como referência o balanço de abril de 2012, em qual

delas foi gasto o menor e o maior valor? E quais são esses valores? Escreva-os

somente com algarismos e também por extenso.

Problema 30

Considerando os números informados no balanço de setembro de 2011, quanto

seria o custo somados os valores das arenas de Minas Gerais, São Paulo e Distrito

Federal?

Problema 31

Com base nos valores previstos em 2010, qual seria o valor total gasto nas 12

arenas que receberão jogos da copa? Qual a arena que apresentava em 2010 o

maior custo? Quanto?

Problema 32

Qual a diferença em reais entre o total previsto em 2010 e o total previsto em 2013,

considerando as 12 arenas?

Problema 33

Considerando as informações da tabela, qual das arenas apresentou a maior

diferença entre o valor previsto em 2010 e o valor apresentado no balanço de 2013?

Você sabe explicar por quê?

Problema 34

No quadro aparecem vários números. Escolha cinco valores. Existe outras formas de

representar/registrar essas quantidades. Então, nesta atividade represente os

números que você escolheu de outras duas formas diferentes.

Problema 35

Escolha um dos valores apresentados para construção ou reforma de um dos

estádios onde serão realizadas partidas da Copa do Mundo de 2014 e, faça os

cálculos indicados:

a) Se esse valor fosse usado para pagamento de aposentadorias, quantos

aposentados que recebem um salário mínimo poderiam ser pagos com este

valor?

b) Sabendo que uma casa vale R$ 30.000,00, quantas casas deste valor

poderiam ser compradas com a mesma quantia prevista para a reforma ou

construção da arena?

c) Um automóvel popular custa aproximadamente R$ 20.000,00. Quantos

automóveis desse mesmo valor poderiam ser comprados à vista com o valor

gasto no estádio?

Ação 4 - Atividade 6

Elaborando problemas

Lista para pesquisa – uma cópia para cada grupo

Local/estabelecimento onde foi feita a Pesquisa:

Lista de Materiais Menor preço R$ Maior preço R$

Caderno com linhas 15 matérias

Caderno de quadrinhos 96 folhas

Caderno de desenho grande

Caixa de lápis de cor com 12 lápis g

Lápis preto

Borracha branca

Apontador (simples)

Cola (pequena)

Régua de 30cm (plástico)

Transferidor de 360º

Compasso

Caneta

Tesoura (peq. e sem ponta)

Relatório avaliação

Nome do aluno(a):

Professor(a):

Disciplina:

Data:

Conteúdo/Atividade:

Síntese da aula

Querido (a) aluno (a) para ajudá-lo (a) a fazer esta síntese, sugiro que descreva com suas palavras as atividades realizadas, explicando por que fizemos tais atividades, o que você sentiu ao trabalhar em grupo, como você fez para ter certeza que a resposta que encontrou satisfaz a questão, aponte as dificuldades e dúvidas que encontrou, e também as possíveis atitudes que você pode tomar para superar suas dificuldades. (A síntese deve ter de 10 a 15 linhas).

Comentário ao professor, sugestão do aluno (a):

Ação 5 – Relatório avaliação

Ação 6 – Pós-teste

Para o pós-teste utilizar o mesmo formulário do pré-teste. Substituindo

apenas o título antes de imprimir.

4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Nas próximas páginas encontram-se a fundamentação,

encaminhamentos pedagógicos e sugestões para cada ação a ser

desenvolvida em sala de aula, pela professora PDE e pelos participantes

do Grupo de Trabalho em Rede (GTR). Bom trabalho!

4.1 Utilizando a metodologia da Resolução de Problemas para ensinar Matemática

Tendo em vista uma aprendizagem significativa, com métodos diferenciados,

uma possibilidade é ensinar através da Resolução de Problemas. Neste sentido

encontram-se os trabalhos de Polya (2006) e Dante (2003), que apresentam todo um

estudo e orientações acerca da metodologia da Resolução Problemas.

A metodologia da Resolução de Problemas é apresentada por POLYA

(2006), em sua obra “A Arte de resolver problemas”, onde ele trata de forma

profunda todas as questões envolvidas na Resolução de Problemas. Já nas

primeiras páginas encontra-se uma lista composta de fases e cada fase está

acompanhada de indagações e sugestões onde de acordo com Polya, a sequência

dos questionamentos foi elaborada cuidadosamente analisando o processo natural

de raciocínio que uma pessoa utiliza ao resolver problemas. Dante (2003, p.22) com

base no trabalho de Polya traz uma importante contribuição acerca da Resolução de

Problemas abordando de maneira atual o assunto, inclusive utilizando passo a passo

cada uma das fases propostas por Polya, as quais Dante chama de etapas.

Portanto, para a Resolução de Problemas sejam eles de Matemática ou

práticos de acordo com Polya é indispensável:

[...] Quatro fases de trabalho. Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente o que é necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada com os dados, para termos a ideia da resolução, para

estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso plano. Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a. (POLYA, 2006, p. 4-5).

Para aplicar este modelo, faz-se necessário que o professor tenha

primeiramente bem claro seus objetivos, que selecione problemas que desafiem os

alunos e principalmente que os alunos conheçam as etapas de resolução. Pois, de

acordo com (POLYA, 2006, p.5): “O problema deve ser bem escolhido, nem muito

difícil nem muito fácil, natural e interessante, e um certo tempo deve ser dedicado à

sua apresentação natural e interessante.”

Repensar o processo ensino aprendizagem na tentativa de ultrapassar a

barreira do treinamento e instrumentalizar o aluno é fundamental, pois, de acordo

com D’Ambrósio:

O acesso a um maior número de instrumentos e de técnicas intelectuais dá, quando devidamente contextualizado, muito maior capacidade de enfrentar e de resolver problemas novos, de modelar adequadamente uma situação real para, com esses instrumentos chegar a uma possível solução ou curso de ação. (D' AMBROSIO, 2012, p.108).

A necessidade de permitir tal acesso também é percebida no trabalho de

Polya

Quando o professor tenciona desenvolver nos seus alunos as operações mentais correspondentes às indagações e sugestões da nossa lista, ele as apresenta tantas vezes quanto o puder fazer com naturalidade. [...] Graças a esta orientação, o estudante acabará por descobrir o uso correto das indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o simples conhecimento de um fato matemático qualquer. (POLYA, 2006, p. 4).

Polya (2006, p. 2) explica que “A indagação e a sugestão visam ao mesmo

objetivo: ambas tendem a provocar a mesma operação mental.” Ele atribui o

sucesso de uma pessoa na Resolução de Problemas a utilização das fases de

resolução, das indagações e sugestões da lista. São elas que levam a pensar, pois

sugerem operações mentais.

O método de questionar do Professor é determinante na Resolução de

Problemas, principalmente se o que se pretende é que o aluno desenvolva a

capacidade de resolver problemas futuros. Neste sentido Polya afirma

As sugestões devem ser genéricas, aplicáveis não apenas ao problema presente, mas também a problemas de todos os tipos, pois só assim elas poderão desenvolver a capacidade do estudante e não somente uma técnica específica. [...] Desse modo, é provável que elas sejam finalmente assimiladas pelo estudante e contribuam para o desenvolvimento de um hábito mental. (POLYA, 2006, p. 17).

É importante também que o professor tenha claro que a proposta desta

Unidade Didática é ensinar através da Resolução de Problemas, e, portanto o ponto

de partida das atividades se dará com um problema e, este levará a

questionamentos que exigirão a compreensão dos conteúdos matemáticos. Então,

nesse momento o professor fará a explicação do(s) conteúdo(s) que ajudarão na

resolução do problema. Por isso, os problemas propostos devem ser prévia e

cuidadosamente selecionados, afim de que, no processo de resolução os alunos

percebam a necessidade de aprender algo novo. Esta é a diferença entre a

metodologia tradicional e a que estamos propondo. Primeiro, apresentamos o

problema fazendo com que o aluno queira resolvê-lo, então ele precisará de

ferramentas matemáticas, algumas ele já tem, outras vão sendo conquistadas no

processo, e, o conhecimento construído para a resolução de um problema, será útil

para muitas outras situações em sua vida. Assim, terminam aquelas questões que

frequentemente ouvimos durante as aulas: “Professor (a), mas para que serve

isso?”.

Na tabela a seguir, encontra-se a lista com todas as fases e perguntas

descritas por Polya, sobre como resolver problemas. Também, as perguntas que o

professor deve fazer aos alunos. Foi elaborada considerando o processo cognitivo

utilizado ao resolver um problema. Portanto, elas estão ordenadamente dispostas e

devem ser utilizadas pelo professor ao longo do processo de Resolução dos

Problemas. Na terceira coluna estão elencadas as mesmas questões, mas,

apresentadas por Dante numa linguagem mais acessível. Pois, é preciso adequar a

linguagem ao público ao qual se destina.

Pretende-se que após certo tempo de utilização desta metodologia o próprio

aluno faça a si mesmo tais perguntas, adquirindo autonomia para a Resolução de

Problemas.

Professor(a), sugere-se que esta lista seja impressa e que você a tenha em

mãos durante a realização das atividades!

4.2 Lista de indagações sugeridas por POLYA (2006) - Como Resolver um Problema

Compreensão do Problema

Fases Lista de Indagações de POLYA Adaptação sugerida por DANTE 2009, p. 34

Primeiro

É preciso

Compreender o problema

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente

para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?

Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?

Você leu e compreendeu o problema? Há alguma palavra cujo significado eu

não conheço? O que se pede no problema? O que se procura? O que se quer resolver? O que o problema está perguntando? Quais são os dados e as condições do

problema? O que está dito no problema e que

podemos usar? É possível fazer uma figura ou

diagrama da situação? É possível estimar a resposta?

Estabelecimento de um Plano

Segundo

Encontre conexão

entre os dados e a incógnita.

É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata.

É preciso chegar afinal a um plano para a resolução. Já o viu antes? Ou já viu mesmo problema apresentado sob uma

forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido

que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante. Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo?

É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a

Qual é o seu plano para resolver o problema?

Que estratégia você tentará desenvolver?

Você já resolveu um problema como este antes?

Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?

É possível colocar os dados numa tabela?

É possível resolver o problema por

sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de

outra maneira? Volte às definições. Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver

algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema?

Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos ele, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?

Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?

partes? É possível traçar um ou vários

caminhos em busca da solução?

Execução do Plano

Terceiro

Execute seu plano

Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível

demonstrar que ele está correto?

Execute o plano elaborado, desenvolvendo-o passo a passo.

Efetue todos os cálculos indicados no plano.

Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver mesmo problema.

Retrospecto

Quarto Examine a

solução obtida

É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É

possível perceber isso num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro

problema?

Examine se a solução obtida está correta.

Existe outra maneira de resolver o problema?

É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

4.3 Conteúdos

Conteúdo Básico: Números Naturais

Conteúdos Específicos:

O conjunto dos números naturais

Comparação entre números naturais

Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação,

divisão, potenciação e radiciação) e expressões numéricas.

4.4 Objetivos

Identificar o conjunto dos números naturais, comparando e reconhecendo

seus elementos;

Resolver situações problema, expressando-se matematicamente oral ou

por escrito sendo capaz de realizar operações com números naturais.

4.5 Ações e a Atividades

As ações e atividades propostas nesta Unidade Didática foram elaboradas

com o objetivo de investigar se a aplicação da Metodologia da Resolução de

Problemas, vinculada com a análise do erro como estratégia didática, pode contribuir

no processo ensino aprendizagem. Portanto, é importante ressaltar que, para

atender ao objetivo proposto, as atividades na sua maioria serão realizadas em

grupo, permitindo assim a mediação do professor durante o processo ensino-

aprendizagem. É imprescindível também que, o professor considere os erros que

venham a aparecer como “oportunidade didática” (PINTO, 2009, p.11).

A implementação desta Unidade Didática se dará através das seguintes

ações:

Ações previstas para

Intervenção Pedagógica na Escola (32 aulas)

Nº Período Ação Tempo

estimado

1 24 a 28/02/2014 Apresentação da Unidade didática à Equipe 2 aulas

Pedagógica, Direção e alunos.

2 10 a 14/03/2014 Aplicação do pré-teste 2 aulas

3 17 a 21/03/2014 Atividade 1 - Dinâmica de grupo – com

perguntas e respostas, envolvendo temas

direcionados: resolução de problemas, história

da Matemática, o erro na escola, trabalho em

grupo, oralidade, leitura, escrita e avaliação;

Atividade 2 - Estudo da proposta de Polya

para a Resolução de Problemas.

4 aulas

4 24/03/2014 a

30/04/2014

Resolução de Problemas em grupos:

Atividade 3 – Texto do livro o Homem que

Calculava e reflexões;

Atividade 4 - Resolução de problemas com

temas diversos, envolvendo números naturais;

Atividade 5 – Resolução de problemas a partir

de dados sobre reforma e construção de

arenas para a copa 2014;

Atividade 6 – Elaboração de problemas pelos

alunos, a partir da lista de material escolar.

2 aulas

10 aulas

5 aulas

6 aulas

5 05/05/2014 a

09/05/2014

Realização de Relatório avaliação 1 aula

6 05/05/2014 a

16/05/2014

Aplicação do Pós-teste 2 aulas

O passo a passo das Ações e atividades:

Ação 1 – Reunião com a Equipe Pedagógica, Direção e conversa com os

Alunos.

Reunião com a equipe pedagógica e Direção, para apresentação da Unidade

didática, objetivos e metodologia que será aplicada, bem como, registros exigidos

pelo PDE.

Conversa com a turma sobre a atividade que estará sendo desenvolvida.

Envio aos pais de uma carta informativa (em duas vias) a respeito da intervenção

que estará sendo realizada e com autorização para uso no artigo final, de materiais

produzidos em aula pelos alunos. O modelo da carta aos pais, encontra-se no item 3

- Material Didático - ação 1.

Ação 2 - Aplicação do pré-teste

A aplicação do pré-teste tem o objetivo de verificar a eficácia da utilização da

metodologia proposta nesta unidade didática. Pois, conforme afirma Moreira (2003,

p.5): “Para saber se houve aprendizagem é preciso avaliá-la. A avaliação da

aprendizagem pode, em princípio, prover evidências não só sobre o que foi

aprendido, mas também até que ponto o ensino foi responsável por isso.”.

Ainda, de acordo com Moreira (2003), este pré-teste terá um delineamento

pré - experimental, uma vez que será desenvolvido em uma única turma.

Foi elaborado com sete questões, a primeira aborda como objeto de análise o

erro nas atividades escolares, e o objetivo é verificar a posição dos alunos em

relação ao assunto. A segunda interpela o estudante sobre avaliação, levando-o a

apresentar sua posição. As outras cinco questões são situações problema, que

envolvem assuntos e conteúdos diversos, pretende-se a partir das resoluções

apresentadas pelos alunos identificar as dificuldades que apresentam frente a

resolução de problemas, verificar se usam estratégias, se conhecem as fases

propostas por Polya, e diagnosticar o conhecimento dos estudantes em relação aos

conteúdos implícitos nos problemas. Também durante a aplicação do pré-teste será

analisada a autonomia dos estudantes na resolução dos problemas.

Ao final da aplicação o pré-teste é recolhido para análise e na próxima aula

realiza-se um feedback aos alunos acerca do pré-teste. Explicando o objetivo, da

atividade realizada. No final da intervenção pedagógica retoma a mesma atividade

aplicando como pós-teste.

O pré-teste encontra-se no item 3 – Material Didático – Ação 2. E as respostas

das questões no final da Unidade didática.

Ação 3

Atividade 1 – Dinâmica de grupos

A dinâmica será realizada com dois objetivos, o primeiro é quebrar o gelo, o

segundo é fazer uma sondagem e introdução dos temas que estarão permeando a

intervenção pedagógica, valorizando o conhecimento que os estudantes trazem

sobre os temas.

Para iniciar, divide-se a turma em cinco grupos, convida dois membros de

cada grupo para escolher um envelope cada um (os envelopes são preparados

previamente pelo professor com as questões referentes ao tema (que estão listadas

no item 3 – Material Didático – Ação 3 – Atividade 1). Os dois membros voltam para

o grupo e todos seguem as orientações que estão dentro do envelope.

Dentre os envelopes, cinco contém uma questão que deverá ser respondida

pelo grupo; já os outros cinco envelopes apresentam um tema e, o grupo deve

elaborar uma pergunta sobre esse tema e respondê-la. Dá-se um tempo de 10

minutos para a realização desta tarefa. Em seguida, orienta o grupo com a questão 1

a fazer a pergunta para o grupo que tem o número 10, e, depois o grupo 10 faz a

pergunta que elaborou para o grupo 1. O professor vai conduzindo a discussão e,

depois que o grupo responder, qualquer aluno da turma pode contribuir com sua

opinião. E, assim segue até que todos os grupos tenham perguntado e respondido: 2

e 9; 3 e 8; 4 e7; 5 e 6.

Atividade 2

Estudo da proposta de Polya para a resolução de problemas

Inicia-se com uma situação problema: cada aluno recebe uma cópia da

atividade; o professor apresenta o problema e a resolução é feita juntamente com a

toda a turma, enfatizando as fases propostas por Polya para a resolução de

problemas. O problema que vamos resolver é um dos problemas da prova da

OBMEP 2011. Esta atividade está relacionada no item 3 – Material Didático – Ação 3

– Atividade 2.

O professor vai conduzindo a resolução, seguindo as fases, sugerindo e

fazendo as perguntas da lista aos alunos conforme as necessidades que forem

surgindo ao longo da resolução:

1º É preciso compreender o problema;

2º Elaborar um plano para resolução;

3º Executar o plano

4º Fazer a retrospectiva – conferir – verificar se o resultado responde a

pergunta do problema.

É possível também disponibilizar materiais para que os estudantes possam

verificar na prática, com papel, régua, tesoura.

Ação 4 – Resolução de problemas em grupos

Atividade 3

Professor(a)

Sempre que possível faça um link de sua aula com tópicos da

História da Matemática.

Mostre como a Matemática surgiu e como acontece seu

aperfeiçoamento.

Assim, além de desmistificar a ciência Matemática, ainda terá a

oportunidade de explorar leitura, interpretação e, com certeza estará

abrindo um novo leque de conhecimentos aos alunos.

Sugestão de leitura ao professor referente a História da Matemática:

BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgar Blucher, 1974.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Editora UNICAMP – S.P. , 1995.

GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.

GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.

IFRAH, Georges, OLIVEIRA, Jorge Jose de. Os números: história de uma grande invenção. Tradução de Stella M. de Freitas Senra; revisão técnica Antônio Jose Lopes. 10. ed. São Paulo: Globo, 2001.

É fundamental apresentar aos alunos a Matemática como uma ciência em

construção, que surge das necessidades do homem de planejamento e organização

de espaços. Assim relata Garbi

Há 11 mil anos (9000 a.C.) A agricultura começa a ser praticada na Mesopotâmia, onde hoje está o Iraque... permitiu o aumento mais rápido da população, fixou o Homem à terra e obrigou-o a organizar-se socialmente de forma mais complexa: foi preciso aprender a planejar e a dividir o trabalho, assim como a compartilhar a terra e os frutos... a compreender melhor os ciclos das estações e a contar o tempo por meio de calendários. Isso levou-o a observar os astros e a aprimorar sua percepção sobre aquilo a que chamamos número. (GARBI, 2006, p.10)

Pois, diferente do que muitos pensam, a Matemática está em constante

transformação e o mundo é altamente dependente da Matemática e, esta vem sendo

estudada, questionada e reformulada para atender as necessidades da sociedade

cada vez mais desenvolvida tecnologicamente.

A escola vem sendo cobrada pela sociedade, visto que os resultados de

avaliações demonstram índices baixos de rendimento. Por outro lado alunos que até

gabaritam provas de Matemática em vestibular, não conseguem fazer um troco

corretamente.

Ao repensar a metodologia para as aulas de Matemática, portanto, é preciso

propor atividades que façam o aluno pensar, explicar, testar, elaborar estratégias de

resolução, que incentivem a reflexão, para que durante o processo ensino

aprendizagem ocorra a construção do conhecimento.

Professor (a)

Para iniciar indica-se um texto do livro O Homem que

Calculava. Sugere-se que o professor (a) leia o texto ou conte a estória

para os alunos. Antes, é preciso apresentar o livro e o autor, abaixo

encontra-se uma breve apresentação e uma animação. Estas e outras

informações sobre o livro e o autor, podem ser acessadas no portal Dia

a dia educação pelo endereço eletrônico:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=20

1# acessado em 30/10/2013.



Uma breve apresentação do livro - O Homem que Calculava e de seu

autor.

É uma obra de ficção, do escritor Malba Tahan (pseudônimo do professor

Júlio César de Mello e Souza), como toda sua obra, traz valor pedagógico e,

apresenta um clima de aventura e romance. Narra as aventuras e proezas

matemáticas de um calculista persa, que resolve e explica de modo extraordinário,

diversos problemas, quebra-cabeças e curiosidades matemáticas. A narrativa se dá

na Bagdá do século XIII. Traz também, histórias e lendas, como a lenda da origem

do xadrez.

Escreveu mais de uma centena de livros, sobre Matemática Recreativa,

Didática da Matemática, História da Matemática e Literatura Infanto-juvenil. Era um

professor ousado, e gostava de brincar com os números e as propriedades

matemáticas. E, ao iniciar suas atividades utilizava sempre enigmas matemáticos.

Inclusive, devido a importante contribuição do professor Júlio César de Mello

e Souza para a Matemática, foi instituído o dia Nacional da Matemática,

comemorado no dia 06 de maio, na data de seu nascimento.

Professor (a,) sugere-se também a apresentação da animação: Dia

Nacional da Matemática – Homenagem a Malba Tahan, que foi produzida pela

Secretaria de Estado da Educação do Paraná, Diretoria de Tecnologia Educacional,

em uma parceria entre as equipes da Coordenação de Multimeios e do Portal Dia a

dia Educação em comemoração ao dia 06 de maio, Dia Nacional da Matemática.

Fonte: SEED/PR.

O download da animação pode ser feito pelo link:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7209,

acessado em 31/10/2013.

Depois dessa apresentação faz-se a leitura do texto: Do nosso encontro com

um rico Xeque, que se encontra no item 3 – Material Didático – Ação 4 – Atividade 3.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7209

Professor (a)

Depois da leitura organize a turma em grupos (5 alunos),

entregue uma cópia do texto e da atividade para cada aluno ;

Essa atividade tem como objetivo a discussão sobre as formas de

divisão das moedas que aparecem no texto, a importância da leitura e

reflexão sobre a necessidade de ajudar a quem precisa;

O professor circula entre os grupos, questionando e mediando as

discussões.

Todos anotam e depois as respostas dos grupos são socializadas.

Durante a socialização cada aluno do grupo deve ser incentivado a

apresentar uma das questões, de forma que todos participem. Essa

socialização das atividades deve ser realizada durante toda a

implementação e o professor precisa ficar atento e incentivar a

participação de todos.

Cada grupo entrega uma folha com as suas respostas para o (a)

professor(a).

Sempre que surgirem dúvidas o professor pode questionar, dar

sugestões aos alunos, auxiliando-os durante o processo. Após a

atividade e a socialização o professor pode explorar outras questões em

relação a divisão, propor exemplos, pedir que anotem no quadro e no

caderno.

Atividades propostas e seus objetivos: 1. Quais foram as três divisões apresentadas pelo Homem que Calculava? O que

você percebeu com essa estória sobre a Matemática?

1ª Resposta: Igual à quantidade de pão que cada um deu; matematicamente

comprovada e perfeita se considerados os pedaços que cada um deu e comeu;

e em partes iguais.

2ª Resposta: pessoal

Objetivo: Perceber que, a quantidade a receber depende do ponto de vista e dos

cálculos realizados, dos conhecimentos e habilidade matemática. Além de coragem

de expor suas ideias e questionar.

2. Por que utilizamos um texto na aula de Matemática? O que você pensa sobre

isso?

Resposta: pessoal

Objetivo: Refletir sobre a importância da leitura e da interpretação em Matemática e

para a vida.

3. Você ajudaria aquele homem da estória? Por quê?

Resposta: Pessoal

Objetivo: Abordar questões sociais, e refletir sobre os valores humanos.

4. Qual das divisões você usaria para calcular a quantidade de moedas que cabe a

cada um? Por quê?

Resposta: Pessoal

Objetivo: Mostrar seu posicionamento e justificar.

5. Qual das divisões você acha que a maioria das pessoas hoje consideraria e

faria? Por quê?

Resposta: Pessoal

Objetivo: Fazer uma análise do mundo a sua volta e emitir seu ponto de vista ou

seu posicionamento.

Atividade 4

Resolução de problemas com temas diversos e números naturais

Essa atividade é composta por problemas, a serem resolvidos em grupos de 5

alunos – um problema de cada vez.

Primeiramente o professor apresenta o problema, isso é fundamental para que

o aluno se sinta motivado a resolver;

Em seguida entrega uma cópia do problema para cada aluno;

Entrega uma cópia a mais para que o grupo entregue para (o)a professor(a) a

solução do grupo;

Os alunos em grupo procuram resolver o problema, contando para isso com as

perguntas e a intervenção do professor que vai orientando a partir das fases

propostas por POLYA ou DANTE (ver a lista no item 4.2 desta Unidade Didática). O

professor não dá resposta, mas questiona seus alunos, fazendo com que busquem e

encontrem uma solução.

Após a resolução, solicitar aos alunos que transcrevam a solução do grupo

numa cartolina para socialização;

Durante todo o processo o professor deve ficar atento aos erros que forem

surgindo, intervindo durante o processo para superação e concretização de um novo

conhecimento, mediação que, de acordo com Vygotski, é fundamental por se tratar

da zona de desenvolvimento proximal.

É importante também que o professor conceba o erro de uma forma

diferenciada, saindo de uma crença de erro/acerto para erro/verdade. Pois, para o

aluno o que ele dá como resposta é verdade – aquele é o conhecimento que tem até

o momento.

Para que haja aprendizado não é qualquer problema que pode ser utilizado!

De acordo com Dante (2009, p.24) existem vários tipos de problemas, são

eles:

1. Exercícios de reconhecimento - seu objetivo é fazer com que o aluno

reconheça, lembre, identifique uma definição, uma propriedade, etc.;

2. Exercícios de algoritmos - que podem ser resolvidos passo a passo, seu

objetivo é treinar a habilidade e reforçar conhecimentos;

3. Problemas-padrão - envolvem a aplicação direta de um ou mais

algoritmos aprendidos e não exigem estratégias;

4. Problema-processo ou heurísticos - envolvem operações que não estão

contidas explicitamente no enunciado, exigem tempo para pensar e

arquitetar uma estratégia que poderá levar a solução, por isso torna-se

interessante.

Nesta atividade serão utilizados problemas do tipo processo ou heurísticos

que vem de encontro a esta proposta.

Problema 1

No torneio de “ping-pong” , que vai se realizar na escola de Maurício, estão inscritos

92 participantes. Uma das regras deste torneio é que joguem dois participantes de

cada vez, sendo eliminado imediatamente o perdedor. Quantos jogos serão

disputados até que se conheça o vencedor do torneio?

Resposta: 90 jogos. Conteúdos que podem ser abordados: adição, divisão.

Problema 2

João é um trabalhador e, como a maioria do povo brasileiro precisa economizar e

planejar muito bem tudo o que vai fazer, para que possa manter sua família e ainda

aos poucos melhorar a casa onde vive. Agindo desta forma, ele já conseguiu

construir uma casa de 12m x 8m. Agora o objetivo dele é terminar de colocar

cerâmica na casa, pois na cozinha que é quadrada e tem 4m de lado, já colocou no

mês passado. João pesquisou o preço do metro quadrado da cerâmica que custa R$

12,00. Ele precisa saber quantos m² de cerâmica, no mínimo, deve comprar e

quanto vai custar. O que você faria para chegar aos valores?

Resposta: 80 m² de cerâmica no mínimo e custará R$ 960,00.

Conteúdos que podem ser abordados: medidas de comprimento e superfície,

inclusive construção do metro quadrado, multiplicação, potenciação e subtração.

Problema 3

Um caixa eletrônico só trabalha com notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Se você vai fazer

um saque de R$ 100,00 de quantas maneiras diferentes o caixa poderá fazer o

pagamento? Quais são elas?

Resposta: São onze maneiras diferentes de fazer o pagamento (20x5; 18x5 e 1x10;

16x5 e 2x10; 14x5 e 3x10; 12x5 e 4x10; 10x5 e 5x10; 8x5 e 6x10; 6x5 e 7x10; 4x5 e

8x10; 2x5 e 9x10; 10x10).

Conteúdos que podem ser abordados: Adição, subtração, multiplicação e divisão. Problema 4 A capacidade do tanque de combustível da caminhonete de Francisco é 60 litros. Ele

fez uma viagem e quer saber quantos litros de combustível gastou nessa viagem.

Para calcular ele fez os seguintes desenhos que mostram o medidor de combustível

no momento de partida e no momento de chegada. É possível descobrir a

quantidade gasta em litros de combustível com essas informações? Justifique sua

resposta.

Ilustração: Própria

Resposta: Espera-se que o(a) estudante diga que é possível calcular, encontre

como resultado 30 litros e relate sua estratégia de resolução.

Conteúdos que podem ser abordados: Divisão, subtração, adição, frações.

Problema 5 Antes da resolução do problema apresentar a história de Gauss – O príncipe dos

Matemáticos (GARBI, 2006, p.196). O alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

estava em seus primeiros anos de estudos quando seu professor pediu aos alunos

da classe para obterem a soma de todos os números naturais de 1 a 100.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100

Em poucos minutos, Gauss deu a resposta correta.

Agora é a sua vez, qual é o resultado dessa soma?

Resposta: 5.050

Conteúdos que podem ser abordados: Adição e multiplicação.

Problema 6

Serginho é um menino muito prestativo. A mãe dele estava fazendo um curso e

pediu para que ele fosse pagar uma conta na farmácia. A conta era de R$ 155,00.

Ele tinha na carteira notas de R$ 5,00, R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Sabendo

que ele pagou com 12 notas. Quantas ele deu de cada uma? Qual a menor

quantidade de notas que poderia ser usada para pagar essa conta?

Resposta: Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e onze notas de R$ 5,00.

A menor quantidade de notas que poderia ser usada para pagar essa conta é três:

uma nota de R$ 100,00, mais uma nota de R$ 50,00, mais uma nota de R$ 5,00.

Conteúdos que podem ser abordados: Adição, subtração e multiplicação.

Problema 7

Uma estudante, no início do ano letivo comprou 2 calças, 2 camisetas e 1 calção do

uniforme do colégio. Cada calça custou R$ 25,00, cada camiseta R$ 20,00 e o

calção R$ 15,00. Qual a idade da estudante?

Resposta: Não tem solução. Espera-se que o aluno faça uma leitura atenta do

problema e ao aplicar as fases de resolução perceba que não tem solução e

justifique.

Problema 8

Preencha o quadro abaixo com os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, de forma que

cada linha, coluna ou diagonal do quadrado tenha soma igual a 15.

Resposta:

Existem outras soluções

Conteúdos que podem ser abordados: Adição, subtração, conceitos de linha

coluna, diagonal, números pares e ímpares.

Problema 9

Usando quatro quatros e as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e

divisão (mas não todas ao mesmo tempo), escreva os números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e

10.

Resposta:

3 = (4 + 4 + 4) : 4 4 = 4 + (4 – 4) : 4 5 = (4 x 4 + 4) : 4

6 = (4 + 4) : 4 + 4 7 = (44 : 4) – 4 8 = 4 + 4 + 4 – 4

9 = 4 + 4 + (4 : 4) 10 = (44 – 4) : 4

8 3 4

1 5 9

6 7 2

Conteúdos que podem ser abordados: Adição, subtração, multiplicação, divisão,

resolução de expressões numéricas.

Problema 10

Você sabe que pode haver diferença de preços na mesma mercadoria, quando esta

é comprada numa cidade pequena ou numa cidade maior?

Veja esse exemplo: um tênis numa loja na cidade pequena custa R$ 95,00 e uma

calça jeans, R$ 160,00. Na cidade maior, o mesmo tênis custa R$ 70,00 e a mesma

calça custa R$ 120,00. As despesas de deslocamento (ida e volta) à cidade maior é

R$ 70,00. Onde é mais vantajoso comprar?

Resposta: A diferença de preços é R$ 65,00 e a despesa com deslocamento é de

R$ 70,00. Logo, se o motivo da viagem fosse somente fazer essa compra, não

compensaria. Conteúdos que podem ser abordados: adição e subtração.

Problema 11

A área livre de uma escola tem a forma de um retângulo cujas dimensões são:

comprimento de 20 metros e largura 30 metros. Ela vai ser toda cimentada e, para

evitar rachaduras, será dividida em quadrados de um metro de lado. Para facilitar

seu trabalho, o pedreiro marcou essas divisões fazendo um quadriculado com

barbantes. Quantos quadrados ele obteve?

Resposta: 600 quadrados

Conteúdos que podem ser abordados: figuras geométricas planas – retângulo e

quadrado e a medida de suas áreas, multiplicação, adição.

Problema 12

Ao pagar uma compra de R$ 267,00, Ricardo deu três notas de R$ 100,00 à caixa.

Ela ainda pediu R$ 17,00 para facilitar o troco e, Ricardo deu. Quanto ele recebeu de

troco? Quanto ele teria recebido de troco se não tivesse dado os R$ 17,00?

Resposta: Recebeu R$ 50,00 e, se não tivesse dado os R$ 17,00 o troco seria R$

33,00. Conteúdos que podem ser abordados: adição e subtração

Problema 13

Qual é a soma de todos os números pares de 2 a 100?

Resposta: 2550 Conteúdos que podem ser abordados: adição e multiplicação

Problema 14

Os irmãos Marcos e Paulo estão brincando numa escada que tem 36 degraus. Eles

combinaram que Marcos subirá a escada de 3 em 3 degraus e Paulo de 2 em 2

degraus e, estão curiosos para saber se:

a) Algum deles vai pisar no 15º degrau?

b) Algum deles vai pisar no 31° degrau?

c) Algum deles vai pisar no 18º degrau?

d) Os dois irão pisar nos mesmos degraus? Se forem, quais serão eles? É

possível prever?

Respostas:

a) Sim, só o Marcos. b) Não. c) Sim, os dois.

d) Em alguns, são eles: 6º, 12º, 18º, 24º e 30º degraus.

Conteúdos que podem ser abordados: adição, multiplicação, múltiplos de um

número, menor múltiplo comum.

Problema 15

Ana está procurando um terreno para comprar, não pode ser qualquer terreno, um

dos lados deve ter mais que 14m. Na página de classificados de um jornal, ela

encontrou um anúncio de um terreno sendo vendido. A informação diz que é

quadrado e, sua área é de 225m². Faça o esboço desse terreno, calcule, indique a

medida dos lados e verifique se ele está de acordo com o que Ana procura.

Resposta: Quadrado de lado 15m e, portanto está de acordo com o que Ana

procura.

Conteúdos que podem ser abordados: Multiplicação, raiz quadrada, área do

quadrado.

Problema 16

Um menino muito curioso, observando um relógio digital, começou a

contar e marcar um traço vertical (l) cada vez que aparecia o número

7 no visor. Exemplo: às 03h07min ele marcou l, às 07h07min ele marcou ll. Sabendo

que ele começou as marcações às 01h00min e parou quase doze horas depois,

quando o relógio mostrava 12h59min. Descubra quantos l ele marcou.

Resposta: 132 vezes

Conteúdos que podem ser abordados: adição.

01 : 00

Problema 17

Ajude-me a descobrir quem venceu a corrida! O que eu sei é que:

Quatro meninas disputaram uma corrida, Rebeca não foi a primeira colocada; Cleide

ficou entre Maria e Lucia; Lucia ficou entre Rebeca e Cleide. Quem ganhou a

corrida? Quem ficou em último lugar?

Resposta: Maria venceu a corrida e Rebeca ficou em último lugar.

Problema 18

Uma lesma começa a subir uma pilha de dez tijolos. Ela consegue subir três tijolos

em uma hora. Como o esforço é muito grande, ela tem de descansar na hora

seguinte, durante a qual escorrega dois tijolos. Quanto tempo ela gastará para

chegar ao topo da pilha?

Resposta: 15 horas

Conteúdos que podem ser abordados: adição.

Problema 19

É possível?

Usando uma calculadora e nela apenas as teclas 1 e 0 e, as operações de adição e

subtração, fazer aparecer no visor da calculadora os seguintes números, verifique e

justifique sua resposta.

b) 32 b)353 c)2078 d)5300

Resposta: Pessoal

Conteúdos que podem ser abordados: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Problema 20

Um pomar foi atacado por uma praga e, seus frutos foram apodrecendo dia-a-dia

nesta sequência numérica: 1, 2, 4,... Isso significa que, no primeiro dia, apodreceu

um fruto; no segundo dia, dois frutos; no terceiro dia 4 frutos, e assim

sucessivamente, ou seja, cada dia apodrecia o dobro de frutos do dia anterior. Se,

no décimo dia, apodreceram os últimos frutos, quantos frutos foram atacados no

total? Resposta: 1023 frutos

Conteúdos que podem ser abordados: adição e multiplicação.

Problema 21

Um atleta está treinando corrida numa pista circular que tem 450 metros de

extensão. Ele já percorreu 1560 metros.

d) Quantas voltas completas ele já deu?

e) A quantos metros da posição de partida ele se encontra?

f) Quantos metros faltam para completar mais uma volta?

Respostas: a) 3 voltas b) 210m c)240m


Problema 22

Ao comprar quatro camisetas, todas do mesmo preço, um cliente conseguiu um

desconto de cinco reais em cada uma. No total, ele pagou 140 reais. Qual o preço

de cada camiseta, sem o desconto?

Resposta: 40 reais Conteúdos que podem ser abordados: Adição,

Multiplicação, divisão.

Problema 23

Paulo é um comerciante, ele comprou 3000 ovos por dois reais a dúzia. Como a

mercadoria é muito frágil, no transporte até o local do seu comércio, 204 ovos se

quebraram. Ele quer saber agora, se vendendo o restante que sobrou, a três reais a

dúzia, vai ter algum lucro.

Resposta: Sim, seu lucro será de 199 reais.


Problema 24

João e Pedro são jardineiros. Eles acertaram um trabalho por 300 reais e

trabalharam cinco dias. João recebeu 28 reais por dia. Quanto recebeu Pedro?

Resposta: 32 reais por dia.

Conteúdos que podem ser abordados: adição, subtração e divisão.

Problema 25

Uma fábrica de calçados femininos utiliza em seus produtos cadarços, que são

comprados em rolos. Na fábrica os cadarços são cortados nos seguintes

comprimentos: 45 cm, 50 cm e 75 cm. E observou-se que tem sobrado pedaços. O

que se pode fazer ao comprar os rolos para evitar sobras e desperdício de material?

Resposta: Comprar rolos de 600 cm ou 6 m.

Conteúdos que podem ser abordados: medidas de comprimento, múltiplos de um

número natural, maior divisor comum, adição, subtração.

Problema 26

Uma escola está realizando uma gincana, para isso os alunos serão divididos em

grupos, sendo que cada grupo deve ter o mesmo número de alunos e, esse número

deve ser o maior possível. Sabendo que a escola tem 320 alunos de manhã e 268 à

tarde. Quantos alunos terá cada grupo e quantos grupos serão formados?

Resposta: Cada grupo terá 72 alunos e serão formados nove grupos.

Conteúdos que podem ser abordados: divisão, maior divisor comum.

Problema 27

Num campeonato de vôlei em duplas, em cada jogo a dupla perdedora é eliminada.

Quantas partidas serão jogadas até que se chegue à dupla campeã, num torneio de

19 duplas? Resposta: 17 partidas

Conteúdos que podem ser abordados: divisão e adição

Problema 28

Qual é o peso de cada menina? A dica é esta: quando as três meninas estão numa

balança, o “peso” total marcado na balança é 145 kg. Uma delas desce, e a balança

marca 98 kg. Quando outra menina desce, o “peso” marcado é de 57 kg. E então

você consegue descobrir o peso de cada uma delas?

Resposta: Os “pesos” são: 47 kg, 41 kg e 57 kg

Conteúdos que podem ser abordados: subtração e adição

Atividade 5

Custo dos Estádios – Copa 2014

Objetivo

Perceber como a Matemática está presente no cotidiano, e, como ela é

importante para que cada pessoa possa fazer a interpretação dos acontecimentos.

Entender que é preciso ficar atento às notícias, analisar os fatos a nossa volta e

como cidadãos cobrar de nossos governantes uma representação séria e em

benefício da população.

O objetivo dos problemas 29 a 34 é perceber o que os alunos conhecem sobre

os números, utilização, representação e se fazem a leitura correta dos valores no

texto. O Objetivo do problema 35 é comparar quantidades, verificar se os alunos

compreendem e como fazem para encontrar as respostas, perceber se usam a

divisão e qual o processo utilizam.

Atenção professor (a)

Providenciar uma cópia do Quadro informativo - COPA 2014 - Custo dos

Estádios e dos problemas 29 a 35 (o quadro informativo e os problemas estão

listados no item 3 – Material Didático – ação 4 – atividade 5) para cada aluno e,

uma cópia a mais por grupo para entregar para o(a) professor(a). para essa

atividade os alunos podem usar a calculadora.

Após a realização da atividade, fazer a socialização das respostas, pois, é um

momento importante, e seu objetivo é exercitar a oralidade, avaliar oralmente o

conhecimento matemático dos alunos, aplicar a metodologia da análise de erros

juntamente com toda a turma. Analisando os erros e as dificuldades apresentadas, o

professor explica o conteúdo pertinente. E propõe outras atividades similares, que

podem ser do livro didático adotado pela escola.

Atividade 6

Elaborando problemas

Primeiramente, será necessário fazer uma pesquisa em alguns

estabelecimentos que vendem material escolar na cidade. A pesquisa pode ser feita,

um dia antes da aula, por um membro de cada grupo (sorteado ou escolhido pelo

grupo). A tabela com a lista de materiais escolares encontra-se no item 3 – Material

Didático – ação 4 – atividade 6).

Cada grupo vai elaborar cinco problemas a partir dos dados da lista de

material escolar e da pesquisa, vai responder e entregar uma cópia, com os nomes

dos alunos e com as soluções para a professora. Assim que todos terminarem, cada

grupo, um por vez, vai escolher e passar dois problemas para que os demais grupos

resolvam, enquanto isso os membros do grupo proponente do problema auxiliam os

colegas na resolução. Igualmente procede-se com todos os grupos e, ao final

socializam-se as soluções.

Ação 5 - Relatório avaliação

Ao repensar a metodologia utilizada em sala de aula automaticamente deve-

se rever também o processo avaliativo. Como ele é realizado em sala de aula e

como tem sido utilizado. Visando uma aprendizagem significativa propõe-se aqui

utilizar o que D’Ambrósio (2012, p. 66) chama de Relatório avaliação. Esse tipo de

atividade não é comum na disciplina de Matemática, normalmente são avaliações

onde os alunos aplicam fórmulas e substituem valores e chegam a um resultado. O

que se propõe é que o estudante relate de forma escrita, através de um texto, com

suas próprias palavras, o que ele aprendeu acerca do conteúdo discutido nas aulas.

Assim, o aluno além de resolver os problemas propostos, rever os métodos que

utilizou, conferir aquilo que fez, trocar ideias com os colegas, ao final, terá uma nova

forma de expressar seu entendimento sobre o que foi estudado. Esse momento de

organizar as ideias com o objetivo de relatar o que foi estudado constitui-se em mais

uma oportunidade em que o estudante estará contribuindo com a construção de

seus conhecimentos. Pois, segundo D’Ambrósio (2012) “É amplamente admitido

que, por intermédio da escrita, o indivíduo pode, mais facilmente, reconhecer seu

próprio processo e assim encaminhar adequadamente esse processo.” Além de que

atualmente a sociedade exige a escrita em inúmeras situações.

Também Polya aponta a importância do uso de palavras:

“A volta às definições constitui uma importante operação mental. Se desejamos compreender a importância das palavras, precisamos primeiro sentir que as palavras são importantes [...] Precisamos saber que o poder de uma palavra não reside no seu som, [...] e sim nas ideias que a palavra nos traz à mente e, por fim, nos fatos em que se baseiam essas ideias.” (POLYA, 2006, p. 59).

Em sua obra Educação Matemática: Da teoria à prática, D’Ambrósio (2012, p.

66) apresenta um tipo de formulário. Aqui se procurou elaborar um modelo adaptado,

que atenda aos objetivos desta atividade. Este relatório deve, portanto, ser solicitado

aos alunos ao final do trabalho, com o objetivo de perceber exatamente o que o

aluno entendeu de tudo aquilo que foi estudado. O relatório encontra-se no item 3-

Material Didático – Ação 5.

4.6 Um novo olhar sobre o erro

O mundo e a sociedade estão em constante transformação, isso basta para

concluir que o processo ensino aprendizagem também precisa de mudanças e, em

meio a esta discussão está à avaliação que faz parte do processo educativo, que

precisa ser entendida a partir de uma concepção de avaliação formativa e, não como

vem sendo ainda atualmente desenvolvida de forma classificatória. De acordo com

Hoffmann

A escola não tem por objetivo a eliminação de candidatos [...] e age como se tivesse tal finalidade. Quando a finalidade é seletiva, o instrumento de avaliação é constatativo, prova irrevogável. Mas as tarefas, na escola, deveriam ter o caráter problematizador e dialógico, momentos de troca de ideias entre educadores e educandos na busca de um conhecimento gradativamente aprofundado. (HOFFMANN, 2003, p. 52).

A escola precisa ensinar o aluno a pensar, logo a avaliação deve ser tal que

permita ao professor perceber como está o processo de aprendizagem do aluno, ao

longo do processo, desta forma avaliação somente ao final do trimestre, por

exemplo, não dá conta de atender as necessidades de uma escola que pretenda

ensinar o aluno a pensar. O processo avaliativo precisa ser menos formal, pontual,

esporádico e deve ser normal, fazer parte do cotidiano, dando a possibilidade de

rever, reformular ideias. De acordo com Hoffmann:

Avaliação significa ação provocativa do professor, desafiando o educando a refletir sobre as situações vividas, a formular e reformular hipóteses, encaminhando-se a um saber enriquecido. Dialogar é refletir em conjunto (professor e aluno) sobre o objeto de conhecimento e nas diferentes áreas do saber. Acompanhar é favorecer o “vir a ser” desenvolvendo ações educativas que possibilitem novas descobertas. (HOFFMANN, 2003, p. 120).

Assim, será possível que as práticas avaliativas finalmente superem a

pedagogia do exame para se basearem numa pedagogia do ensino e da

aprendizagem. (PARANÁ, 2008, p.70).

Nessa mesma linha encontra se a proposta de Neuza Bertoni Pinto em sua

obra “O erro como estratégia didática”, onde o erro tem uma nova perspectiva. Assim

afirma Pinto (2009) “O erro apresenta-se como uma pista para o professor organizar

a aprendizagem do aluno”. Analisar o erro conforme a autora é fundamental para

entender o que ainda precisa ser feito para ajudar o aluno a continuar sua trajetória

na produção do conhecimento.

Hoffmann também chama a atenção para a necessidade de compreender o

erro como parte do processo, afirma que a postura do professor em relação ao erro

é determinante no processo educativo:

O comentário do professor desafia o aluno a prosseguir no seu trabalho. Desde, é claro, que tenha o caráter de questionamento, de sugestão, de encaminhamento a novas descobertas, ao invés do caráter tradicional de censura, de simples constatação dos erros. (HOFFMANN, 2003, p. 86).

De acordo com Freire

Uma educação em que a liberdade de criar seja viável necessariamente tem de estimular a superação do medo da aventura responsável, tem de ir mais além do gosto medíocre da repetição pela repetição, tem de tornar evidente aos educandos que errar não é pecado, mas, um momento normal do processo. (FREIRE, 2000, p. 100).

A concepção de avaliação que o professor traz para a sala de aula vai

determinar e interferir diretamente no processo ensino aprendizagem, segundo

Pinto:

Numa avaliação classificatória, em que o foco de atenção está voltado para o acerto da resposta, não sendo utilizado como um instrumento de reflexão, o erro provavelmente não será valorizado pelo professor. Em outra concepção de avaliação, mais preocupada com a formação do aluno em termos de aprendizagens significativas e duradouras, o erro deixa de ser apenas uma resposta a ser analisada: ele passa a ser uma questão desafiadora que o aluno coloca ao professor – portanto um elemento desencadeador de um amplo questionamento do ensino. (PINTO, 2009, p.11).

Propõe-se nesta Unidade Didática, portanto, que o professor(a) olhe para o

erro do aluno como sendo uma questão desafiadora, e a partir dela, organize ou

reorganize sua prática, com o único objetivo – ensinar! Por isso, na Resolução de

Problemas e ao socializar as respostas encontradas sugere-se que professor e

alunos analisem cada resposta encontrada, observem e valorizem as diferentes

estratégias utilizadas na resolução, além de analisar os erros. Ao retomar a atividade

e, a partir do erro procurar outras possibilidades e, simultaneamente dar uma nova

oportunidade ao aluno de rever suas estratégias, ajudando-o a superar obstáculos.

Ao longo desse processo é possível ao professor avaliar o desenvolvimento do

aluno, uma vez que para cada atividade teremos objetivos e critérios. Assim a

avaliação não fica lá para o final do período e o aluno deve estar ciente que é pela

sua contribuição nas atividades de cada uma das aulas que estará sendo avaliado.

O uso desta metodologia pode fazer da sala de aula um espaço de reflexão,

com respeito, responsabilidade, interação e socialização.

Ação 6 – Pós-teste

A realização do pós-teste é a última ação desta intervenção pedagógica. Tem

como objetivo verificar a eficácia da metodologia utilizada. Será aplicado

individualmente e constituído com as mesmas questões do pré-teste.

Respostas das atividades do Pré-teste e pós-teste

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. Não. Serão 22 apertos de mão.

4. Deverá produzir 9 pacotes a mais.

5. Sim, pois foram vacinadas 23 pessoas a mais que o esperado.

6. R$ 42,50

7. Existem outras respostas possíveis

0 = 44 – 44 1 = 44 : 44 2 = (4 : 4) + (4 : 4)

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2003.

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____________. Projeto Telaris: Matemática / Luiz Roberto Dante. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2012. (Projeto Telaris: Matemática). Obra em 4v. para alunos do 6º ao 9º ano.

ENGEL, G. I. Pesquisa-ação. Educar, n. 16. Curitiba: Editora da UFPR, 2000.

FREIRE, P. Pedagogia da Indignação: cartas pedagógicas e outros escritos/Paulo Freire. São Paulo: Editora UNESP, 2000.

GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.

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PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba: SEED/DEB, 2008. PINTO, N. B. O erro como estratégia didática: Estudo do erro no ensino da matemática elementar/ Neuza Bertoni Pinto. 2. ed. Campinas, SP: Papirus, 2009.

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http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-2011.pdf

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · (OBMEP) Márcia cortou uma tira retangular de 2...

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