Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, COMO TORNAR SUA RESOLUÇÃO ATRATIVA?

Autora: Sonia Regina Amorim1

Orientador: Doutor Moisés Mezza Pariona2

Resumo

Este artigo apresenta os resultados do projeto de implementação pedagógica: Problemas Matemáticos, como tornar sua resolução atrativa? Este projeto foi desenvolvido no Colégio Estadual Carmelina Ferreira Pedroso, em Arapoti. A intervenção pedagógica foi realizada com alunos do 6º ano do ensino fundamental. Os alunos que participaram do projeto de implementação foram divididos em três grupos, cada qual com oito alunos, para que o atendimento aos alunos durante as atividades pudesse ser individualizado. Foi trabalhada a metodologia da resolução de problemas matemáticos como uma ferramenta para motivar o aluno a pensar, a aprender a prestar atenção no que está lendo, assim, propiciando neles iniciativa e espírito explorador, e incitá-lo para a criatividade. Durante a implementação foram utilizados diferentes tipos de problemas, com o objetivo de incentivar os alunos que participaram do projeto a tomar gosto pela resolução de problemas matemáticos. Como professora de Matemática, há muitos anos trabalhando com alunos do 6º ano, percebo a dificuldade apresentada pelos alunos principalmente na leitura e na interpretação dos enunciados de problemas propostos durante as aulas, esta foi minha motivação para elaborar e por em prática este projeto de implementação.

Palavras-chave: Problemas matemáticos; Leitura; Resolução

1. INTRODUÇÃO

A metodologia Resolução de Problemas é algo recente, pois normalmente os

problemas são apresentados na sala de aula mais como exercícios para a fixação

de determinado conteúdo. Alguns problemas são classificados como “fechados” e

são aplicados logo após um conteúdo trabalhado, por isso não exigem muita

1 Professora – PDE UEPG 2013

2 Orientador do PDE - UEPG

interpretação ou estratégias especiais para resolvê-los, visto que a aplicação das

fórmulas ou informações vistas na aula é o ponto central deste tipo de problema.

A metodologia Resolução de Problemas se identifica com os problemas

“abertos”, ou seja, aqueles que não têm vínculo com conteúdos anteriores, e que

exigem interpretação, raciocínio e estratégias de resolução.

A resolução de problemas como método de ensino propicia ao aluno fazer

questionamentos, exercitar o raciocínio. Possibilita que o aluno pense por si próprio,

que trace novos caminhos a partir de conhecimentos anteriormente adquiridos e não

apenas reproduza conhecimentos a ele repassados como acontece nos chamados

exercícios de fixação, os anteriormente citados como problemas fechados. Nesses,

o aluno não precisa traçar estratégias para sua resolução, basta seguir o passo a

passo dado pelo professor.

Segundo os PCN's de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de

problemas propicia aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade

para gerenciar as informações que estão ao seu alcance.

2. METODOLOGIA

Utilizando a metodologia da resolução de problemas, o aluno tem a

oportunidade de ampliar seu conhecimento, desenvolver seu raciocínio lógico,

enfrentar novas situações e conhecer as aplicações dos conteúdos matemáticos

vistos nas salas de aula. A resolução de problemas permite ao aluno desenvolver a

comunicação, a criatividade, o senso crítico e a capacidade de administrar as

informações ao seu redor.

Para Dante (1998), um problema é qualquer situação que exija a maneira

matemática de pensar e conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor

ressalta que um bom problema deve:

Ser desafiador para o aluno

Ser real

Ser interessante

Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações

aritméticas

Ter um nível adequado de dificuldade

Ter uma linguagem adequada usada na redação do problema.

É possível por meio da resolução de problemas desenvolver no aluno

iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência, a habilidade de elaborar

um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para

que possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na

escola ou fora dela. (DANTE, 1991, p. 25)

Um bom problema deve ser interessante e criativo, capaz de instigar o aluno

a resolvê-lo. A partir da leitura e da interpretação do enunciado de um problema

dado, é possível ao aluno se envolver na busca por estratégias de resolução, na

persistência em encontrar uma solução, na ampliação de conceitos e ideias já

conhecidos.

O projeto de intervenção pedagógica iniciado no ano de 2013, assim como o

projeto de implementação pedagógica trabalhado nos meses iniciais de 2014, foram

construídos a partir das concepções de Dante e das etapas para resolução de

problemas de Polya.

O objetivo primeiro do meu projeto de implementação pedagógica foi tornar

o aluno do 6º ano um leitor mais atento aos enunciados dos problemas matemáticos

propostos nas aulas dessa disciplina. Para tanto, foram adotados os objetivos

listados por Dante em seu livro Didática da Resolução de Problemas da Matemática

(1991) que são:

• Fazer o aluno pensar produtivamente

• Desenvolver o raciocínio do aluno

• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas

• Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática

• Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras

• Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas

• Dar uma boa base matemática às pessoas.

O projeto de implementação é constituído de uma série de problemas dos

mais variados tipos, desde os mais diretos, que não precisam de grande esforço

para sua realização, até os problemas de lógica, que são aqueles que o aluno tem

que ler com bastante atenção, muitas vezes mais de uma vez, para conseguir

entender o que o problema está pedindo, para encontrar todas as “dicas” para

resolver o problema proposto.

Foram trabalhadas durante o projeto de implementação as principais etapas

para a resolução de problemas, descritas por Polya em seu livro A Arte de Resolver

Problemas.

São elas:

Compreender o problema

Após ler com atenção o problema proposto, o aluno deverá conseguir responder

perguntas relativas a ele, tais como:

* O que o problema está pedindo?

* Quais são os dados e as condições do problema?

* É possível estimar a resposta?

Estabelecer um plano

O aluno deverá elaborar planos ou estratégias para resolver o problema

proposto,

Executar um plano

Nesta etapa o aluno executa o plano por ele elaborado, verificando- o passo a

passo. Serão efetuados todos os cálculos indicados no plano.

Fazer o retrospecto ou verificação.

Nesta etapa, o aluno analisa a solução obtida e verifica o resultado obtido. O

retrospecto fará com que o aluno reveja todo o caminho trilhado para obter a

solução, é um excelente exercício de aprendizagem e serve para que o aluno possa

detectar e corrigir possíveis enganos.

As etapas descritas por Polya ajudam o educando a se orientar durante o

processo de resolução do problema proposto. Estas etapas não são rígidas, fixas e

infalíveis, elas são um suporte para o educando.

George Polya tornou relevantes o raciocínio e a invenção, que vieram

substituir a aceitação acrítica das teorias. Sua abordagem privilegiou os aspectos

práticos da resolução de problemas. Durante a implementação deste projeto de

intervenção pedagógica, ao apresentar um problema ao aluno iniciou-se o processo

de compreensão deste problema ao incitá-lo a responder perguntas como:

O que se pede no problema?

O que se procura no problema?

É possível esboçar graficamente o problema? Desenhar um esquema ou um

diagrama representando o problema?

A partir da leitura do problema proposto o aluno pôde elaborar vários planos

ou estratégias que levaram à resolução deste problema por diferentes caminhos:

representação gráfica do problema, representação geométrica ou algébrica ou ainda

tentativa de um rascunho. Durante esta etapa foram feitas perguntas como:

Você já resolveu um problema como este antes?

É possível colocar as informações em uma tabela e depois fazer um gráfico

ou diagrama?

É possível resolver o problema por partes?

Respondidas as perguntas feitas durante a elaboração do plano, passou-se

à execução do plano elaborado. Como cada grupo formado pelos alunos apresentou

ideias diferentes para a resolução do problema proposto, executamos todas as

estratégias pensadas. Obtivemos assim, várias maneiras de resolver um mesmo

problema.

Ao fazer o retrospecto, a verificação, os alunos tiveram a oportunidade de

rever todo o caminho percorrido para obter a solução do problema trabalhado.

3. ATIVIDADES

Durante a implementação foram trabalhadas atividades envolvendo

problemas padrão (de uma ou mais operações), problemas heurísticos, situações –

problema, problemas em tiras, problemas de quebra – cabeça, jogos matemáticos e

jogos de lógica.

Algumas das atividades trabalhadas durante a implementação do projeto

puderam inclusive ser representadas pelos alunos.

3.1 Atividade 1

Foi o caso da questão 5 apresentada na atividade 1:

* Em uma reunião de trabalho há 7 profissionais. Se, ao chegar, cada um trocar um

aperto de mão com todos os outros, quantos apertos de mão serão dados ao

todo?(problema adaptado do livro Didática da Resolução de Problemas de

Matemática –p. 18 de Luiz Roberto Dante).

Ao receber o problema alguns alunos “chutaram” a resposta. Ao serem

questionados por mim como haviam obtido tal resposta, alguns não souberam dizer

qual raciocínio havia sido utilizado. Outros representaram os profissionais por

desenhos e tentam contar os apertos de mão que cada um deles teria dado. As

respostas em ambos os casos não estavam corretas. Foi então feita a

representação do problema. Sete alunos da turma representaram os profissionais e

cada um contou a quantidade de apertos de mão que trocou com o colega,

chegando assim à resposta correta. A partir da representação, todos entenderam

como havia sido obtida a solução correta para o problema.

3.2 – Atividade 2

Na atividade 2 do projeto de implementação trabalhamos apenas com jogos

de lógica, tais como :

*Júlia, Ricardo e Teresa têm diferentes gostos pelos esportes, os livros e os jogos de

mesa. Os esportes preferidos são: basquete, beisebol e pingue-pongue. Os livros

são: mistério, ficção e poesia e os jogos de mesa são: damas, dominó e xadrez.

Utilize as pistas dadas e o raciocínio lógico para determinar o esporte, o tipo de livro

e o jogo de mesa favorito de cada personagem, e complete a tabela abaixo.

Pistas:

• Júlia gosta de jogar beisebol.

• Teresa não gosta de jogar pingue-pongue.

• Ricardo gosta de jogar xadrez.

• Júlia não gosta de livros de mistério.

• O jogo de damas é o preferido pela pessoa que gosta de jogar basquete.

• O livro de poesias é o gênero de leitura preferido pela pessoa que prefere

pingue-pongue.

ESPORTE GÊNERO DE LEITURA

JOGO DE MESA

JÚLIA

TERESA

RICARDO

A maioria dos alunos nunca havia realizado jogos como os apresentados.

Alguns estranharam o fato de o “problema” não apresentar nenhum valor numérico

ou citar alguma operação matemática, no entanto, após a explicação de como

resolvê-los, todos gostaram dos jogos. A dificuldade encontrada para a realização

dos jogos de lógica foi a de fazer com que os alunos entendessem a necessidade

de realizar mais de uma vez a leitura dos enunciados, visto que deveriam ler com

atenção para pode encontrar as “dicas” para a montagem correta das tabelas dos

jogos.

Após a resolução do jogo acima citado, foi obtida a resposta para cada

questão apresentada no jogo e a tabela ficou assim montada:

ESPORTE GÊNERO DE LEITURA

JOGO DE MESA

JÚLIA beisebol ficção dominó

TERESA basquete mistério damas

RICARDO pingue-pongue poesia xadrez

Os jogos escolhidos para serem trabalhados durante a implementação

tinham como objetivo mostrar aos alunos que os conteúdos da disciplina de

Matemática podem ser utilizados em diferentes situações, mesmo naquelas onde a

aplicação das operações matemáticas não seja necessária.

Um dos jogos propostos na atividade 4 foi o seguinte:

Luís Antônio “pesa” 80 kg e seus filhos Marcelo e Luciano “pesam” 40 kg

cada um. Eles estão na margem direita de um rio e querem atravessá-lo, porém o

bote que eles possuem tem capacidade para levar apenas 80 kg por vez. Como

farão para que todos atravessem o rio em segurança?

Foram várias as respostas encontradas pelos alunos, alguns obtiveram a

resposta correta que é:

Marcelo e Luciano atravessam o rio primeiro, Marcelo fica na margem

esquerda e Luciano volta à outra margem, onde entrega o bote ao pai que atravessa

sozinho. Chegando à margem esquerda do rio, Luís Antônio entrega o bote a

Marcelo que volta à margem direita e retorna com seu irmão.

Outra atividade que exigiu muito da habilidade dos alunos foi a representada

abaixo:

O triângulo mágico: Coloque, dentro dos círculos, números de 1 a 9, sem

repeti-los. A soma de cada lado deve se 17.

Esta

Esta atividade requereu do aluno muita atenção, pois ele não poderia

colocar os números aleatoriamente, senão não obteria a soma 17 que o problema

exigia.

Na atividade 5 foram trabalhados com os alunos problemas mais simples,

no entanto, a estratégia para fazer com que os alunos lessem com atenção foi

escrever o enunciado dos problemas fora de ordem. Logo, os alunos tinham que ler

o problema com atenção, colocar as frases que formavam o enunciado em ordem

para só então poder resolvê-lo.

Um dos problemas propostos aos alunos foi o seguinte:

Ontem Luíza leu 17 páginas.

Quantas páginas faltam para Luíza terminar de ler o livro?

Hoje ela vai ler 20 páginas.

Luíza está lendo um livro sobre fadas.

6

8

5 7

9

4

1

3 2

O livro que Luíza está lendo tem 82 páginas.

Após realizar a leitura das frases fora de ordem, os alunos as reescreveram

na ordem correta.

A ordem obtida foi:

*Luíza está lendo um livro sobre fadas. O livro que ela está lendo tem 82

páginas. Ontem Luíza leu 17 páginas. Hoje ela vai ler 20 páginas. Quantas páginas

faltam para Luíza terminar de ler o livro?

A partir da reescrita do problema, os alunos o resolveram corretamente sem

problemas.

Este tipo de problema mostrou aos alunos a importância de que seja feita

uma boa leitura de problemas propostos, que, se for feita uma leitura apressada, ele

poderá deixar passar algum dado importante para a resolução correta do problema.

As atividades 6 e 7 apresentaram aos alunos o autor Malba Tahan. Foram

retirados do livro “O homem que calculava” alguns problemas bastante interessantes

que chamaram a atenção dos alunos pela diferença entre a linguagem utilizada nos

enunciados criados pelo autor e a linguagem utilizada em seus livros didáticos

atuais.

Além dos problemas apresentados no projeto de implementação, foram lidos

e comentados outros problemas bastante interessantes deste mesmo livro, entre

eles: O problema dos 35 camelos, O epitáfio de Diofante, A lenda sobre a criação do

jogo de xadrez.

Entre os problemas trabalhados durante o projeto, um dos que mais chamou

a atenção dos alunos foi “A pesagem das pérolas”, apresentado a seguir.

* Um mercador de Benares, na Índia, dispunha de oito pérolas iguais - na

forma, no tamanho e na cor. Dessas oito pérolas, sete tinham o mesmo peso, a

oitava, entretanto, era um pouquinho mais leve que as outras. Como poderia o

mercador descobrir a pérola mais leve e indicá-la, com toda segurança, efetuando a

pesagem apenas duas vezes, ou seja, pesando apenas duas vezes as pérolas?

A solução demorou um pouco a ser obtida, pois os alunos criaram várias

estratégias para resolver esse problema. Testamos todas as estratégias criadas

pelos alunos até obter a solução correta para o problema proposto, que é a seguinte:

O mercador deveria separar 6 pérolas e colocar 3 em cada um dos pratos da

balança. Se a balança se mantivesse em equilíbrio, significava que uma das duas

pérolas que não haviam ainda sido pesadas seria a de menor peso. Bastaria então

pesar estas pérolas para identificar a mais leve. Se, no entanto um dos pratos da

balança ficasse mais pesado que o outro seria feita uma nova pesagem, agora com

as do prato mais leve. Colocando uma pérola em cada prato e outra sobre a mesa,

restava apenas observar a balança. Havendo equilíbrio, a pérola mais leve seria a

que restara sobre a mesa.

O problema “Os Quatro Quatros”, também retirado do livro “O homem que

calculava” apesar de parecer muito simples mostrou-se bastante trabalhoso. Ao ler o

enunciado do problema: * Escreva os números de 0 a 10, usando as operações

básicas da matemática e apenas quatro números quatro, os alunos comentaram

entre si que seria moleza, no entanto, ao tentar resolvê-lo perceberam que não seria

tão fácil como haviam pensado a princípio.

Depois de muita conversa entre os alunos e entre esses e a professora,

montamos no quadro a tabela abaixo, que representa as respostas obtidas.

Para obter o número:

0 = 44 – 44

1= _44_

44

2 = 4 _ + _4_

4 4

3 = 4 x 4 - 4 _

4

4 = _4 – 4 _ + 4

4

5 = _4_x_4 + 4 _

4

6 = 4 + _4 + 4_

4

7 = _4 4_ - 4

4

8 = __4 + 4_ x 4

4

9 = 4 + 4 + 4_

4

10 = 4 4 – 4 _

4

Na atividade 8 foi trabalhado o conteúdo estruturante Geometria. Dentro

deste conteúdo trabalhamos atividades envolvendo perímetro e área. O objetivo das

atividades apresentadas ao aluno era relembrar o conceito de perímetro e área,

fazendo-os representar graficamente estes dois conceitos.

Uma das atividades propostas foi a apresentada abaixo.

* O Pai de João Carlos comprou 40 metros de tela. Ele quer cercar um

terreno retangular que tenha a maior área possível para fazer uma horta. Vamos

ajudar João Carlos e seu pai a descobrir quais devem ser as dimensões do terreno?

Represente através de desenhos todas as respostas que você encontrar.

portaldoprofessor.mec.gov.br

Algumas das respostas apresentadas pelos alunos estão mostradas a seguir:

15 m

5m P = 15 + 5 + 15 + 5 A = c x l

P = 40 m A = 15 x 5

A = 75 m 2

10 m P = 10 + 10 + 10 + 10 A = l 2

P = 40 m A = 10 2

A = 100 m 2

18 m

2 m 2 m

P = 18 + 2 + 18 + 2 A = c x l

P = 40 m A = 18 x 2

A = 96 m 2

A partir da comparação das respostas obtidas pelos alunos ao final da

atividade, pôde ser mostrado a eles como, apesar de todos terem obtido o mesmo

perímetro, as medidas das áreas encontradas eram diferentes.

As atividades 9 e 10 que finalizaram o projeto de implementação, reuniu

todos os alunos que participaram deste projeto. Durante estas últimas aulas, os

alunos puderam mostrar aos colegas dos outros grupos como haviam entendido e

resolvido às atividades a eles propostas, quais as que apresentaram maior grau de

dificuldade e quais consideraram mais fáceis.

Acredito que ao final da implementação estávamos todos satisfeitos com os

resultados obtidos, senti os alunos mais motivados para aprender e realizar as

atividades propostas.

Durante a implementação do projeto, também foi trabalhado por mim o GTR

(Grupo de Trabalho em Rede). O GTR envolve vários professores de diferentes

cidades do Estado. Através do Grupo de Trabalho em Rede (GTR), foram feitos

vários questionamentos, pelos professores cursistas, que muito contribuíram para o

enriquecimento do trabalho que estava sendo realizado com os alunos que estavam

participando do projeto.

Entre os comentários feitos, várias opiniões e sugestões de professores (as)

foram acrescentadas sobre o tema aplicado. A seguir cito algumas:

“A velha forma de se pensar que leitura é coisa só da Língua Portuguesa, faz com que os alunos já tenham um pré-conceito em ler em nossas aulas e traba-lhar constantemente com esta situação é um grande desafio para os professores da disciplina de matemática, porém, quando apresentamos os vários tipos de proble-mas, mesclando-os, fazemos com que desperte no aluno um interesse maior em decifrar as situações, possibilitando-o a elaborar suas próprias estratégias chegando a um resultado final. Este tema então, visa otimizar nosso trabalho em sala de aula, e se faz de extrema importância, uma vez que nos fará rever nosso modo de traba-lho tornando nossas aula mais eficazes.”

“Ao apresentar a nossos alunos problemas bem elaborados, estamos abrin-

do espaço para que ele se desenvolva, estamos propondo a ele que se envolva em

seu próprio aprendizado, que deixe de seguir fielmente os passos do professor e

faça seu próprio caminho, que confie nas estratégias que elaborou. Um dos pontos

fundamentais na resolução das atividades propostas no projeto de implementação é

esse, tornar o aluno não apenas um” resolvedor” de problemas, mas uma pessoa

que saiba elaborar estratégias para resolver qualquer problema que lhe seja apre-

sentado, dentro ou fora da sala de aula.”

“São vários os fatores que levam um aluno a ter dificuldade em interpretar

textos ou problemas matemáticos, o principal deles é falta do hábito da leitura. Ao

ter como prioridade a construção do conhecimento pelo fazer e pensar; o papel da

reformulação e resolução de problemas é fundamental auxiliar o aluno seguin-

do algumas fases como: A compreensão do problema; Elaboração de um plano de

solução; Execução do plano; Verificação da retrospectiva; Emissão da resposta.

Assim ficará menos complexa a resolução de situações problemas propostas aos

alunos.”

“O aluno irá desenvolver sim o gosto pela resolução de problemas, a partir do

momento que aperfeiçoar sua leitura e interpretação, tornando as atividades mais

atrativas e de maior relevância para sua vida e seu contexto social.”

4. CONCLUSÃO

A metodologia da Resolução de Problemas é uma grande ferramenta de

trabalho na sala de aula, ela apresentou-se como uma âncora para contextualizar a

matemática, trazendo significado para o aluno.

Esta metodologia é acessível a todos os professores, o que a torna uma

ferramenta simples e eficiente para uma atualização da matemática. É uma

metodologia que faz com que o aluno se envolva mais com a disciplina de

matemática, que o leva a pensar, a criar estratégias para a resolução dos problemas

propostos.

Nossos alunos estão acostumados a fazer cálculos e mais cálculos, no afã de

encontrar logo a resposta para um dado problema ou outra atividade proposta.

Muitos sequer se preocupam em ler o enunciado da atividade, vão direto para os

números, se preocupando apenas com o resultado obtido, mesmo que não tenham

entendido nada do processo de resolução.

O trabalho realizado durante o projeto mostrou ser de grande importância,

uma vez que propiciou a interatividade entre os alunos. A princípio, os alunos

tentavam resolver as questões individualmente, mas aos poucos perceberam que,

ao conversar com os colegas, as dificuldades apresentadas eram mais rapidamente

sanadas.

A metodologia da Resolução de Problemas requer do professor uma posição

de mediador. Devemos estar cientes de que não podemos “ajudar” demais os

alunos, várias vezes me peguei dando dicas para os alunos, precisei me policiar

para não “entregar as respostas” aos alunos, devemos incentivá-los a tentar

entender o que o enunciado do problema está pedindo, e fazê-los entender que

conseguirão isto a partir de uma leitura bem feita do problema proposto. O aluno se

compromete mais, se envolve mais na resolução de determinada atividade, a partir

do momento que a situação proposta passa a fazer sentido para ele.

O nosso papel como professores da disciplina de Matemática é mostrar que a

matemática não é algo estático, pelo contrário, é algo com o qual nos deparamos no

nosso dia a dia. É claro que, como aponta Schoenfeld:

[…] dificilmente vamos nos defrontar com uma situação no dia a dia em que temos que resolver um problema de teoremas ou funções quadráticas, mas o que os estudantes podem e deveriam ter, como consequência de sua educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e eficientemente os recursos à sua disposição quando defrontados com problemas em suas próprias vidas. (KRULIK E REYS, 2005, p. 22)

REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação e Cultura do. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: 12ª ed. Ática, 2000. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretoria de Políticas e Programas Educacionais. Coordenação Estadual do PDE. Programa de Desenvolvimento Educacional. Curitiba: SEED, 2008. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. P. 12-13. SCHOENFELD, A. H. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (org.), A resolução de problemas na Matemática escolar. Tradução de Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Saraiva, 2005, p. 13-31. TAHAN, Malba. O homem que calculava. Tradução de Breno Alencar Bianco. Rio de Janeiro: 23ª ed. Conquista, 1969.