Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS PARA O ENSINO DE

TRIGONOMETRIA

Autor: Joaquim José Cardoso ¹

Orientador: João Roberto Gerônimo ²

RESUMO: O trabalho desenvolvido a partir de materiais manipuláveis tem por objetivo tornar o

conteúdo mais compreensivo do ponto de vista do aluno. Acredita-se que quando o aluno participa na construção dos materiais, a fixação das propriedades matemáticas envolvidas nessas construções torna-se mais sólida e objetiva. A construção do material bem como a resolução das atividades escolares por meio destes, faz com que a rotina das aulas seja quebrada, tornando-as mais atraentes e interessantes para alunos e professores. O trabalho mostra que a ocorrência de uma maior interação entre todos os envolvidos é inegável. A escolha do tema Trigonometria no Triângulo Retângulo foi feita com o objetivo de mostrar aos alunos algumas resoluções envolvendo trigonometria de maneira mais visível e descontraída. A implementação deste trabalho foi realizada em uma turma do Ensino Médio do CEEBJA Prof. Manoel Rodrigues da Silva. Com esse trabalho foi possível observar que alguns alunos têm facilidade nas construções com régua e compasso, outros nas resoluções das atividades e isso motiva a interação entre eles fazendo com que haja uma colaboração mútua que traz como conseqüência a socialização do conhecimento. O presente artigo trás uma introdução da trigonometria por meio da construção de materiais manipuláveis e o uso destes para resolução de algumas questões nas atividades escolares.

Palavras-chave:

Metodologias. Laboratório de Matemática. Materiais Manipuláveis. Trigonometria.

¹ Professor PDE da SEED-PR. E-mail: jjsja@seed.pr.gov.br

² Professor Doutor da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br

INTRODUÇÃO:

A decisão de desenvolver um trabalho tomando como base a Trigonometria no

Triângulo Retângulo foi tomada pensando em mostrar aos alunos que este conteúdo

está mais próximo da sua realidade do que ele imagina e a opção de usar materiais

manipuláveis tem por objetivo aproximar o aluno do conteúdo de uma forma menos

agressiva, onde ele começa a utilizar fórmulas e propriedades matemáticas sem o

rigor e a formalidade das definições e dos teoremas, algo que vai acontecer ao longo

do processo de aprendizagem na apresentação do conteúdo aos alunos e no

desenvolvimento das atividades. Realizar trabalhos tomando como base a

trigonometria é algo muito importante, pois estamos entrando em um antigo campo

de estudo que a muito tempo encanta a humanidade. A história mostra que a

trigonometria teve sua origem a muitos séculos a.C. Não se sabe ao certo esta data,

porém, há registros relacionados a ela no Papiro de Rhind que data de cerca de

1650 a.C. O seu estudo inicial provavelmente esteja ligado à Astronomia, mas foi na

primeira metade do século VI a.C. que viveu o grego Tales de Mileto, considerado o

pai da Geometria Demonstrativa, que contribuiu com seus estudos em diversas

áreas do conhecimento, tais como Matemática, Filosofia e Astronomia. O conhecido

Teorema de Tales é ensinado a partir do ensino fundamental e muito usado pelos

alunos durante sua vida escolar. O trabalho realizado com triângulos sempre

encantou os matemáticos, como é o caso do grego Pitágoras que nasceu por volta

de 580 a.C. na ilha de Samos no mar Egeu. Ele demonstrou uma das mais

conhecidas relações existentes entre as medidas dos lados de um triângulo

retângulo, conhecida como Teorema de Pitágoras, algo fascinante para a época e

até hoje é admirado e demonstrado. Como disse Caraça: “Que lei matemática tão

simples a regular a estrutura duma figura geométrica! Por isso, este teorema foi

sempre considerado como a mais brilhante aquisição da escola pitagórica” (Caraça

p.71).

Matemáticos como Tales de Mileto e Pitágoras nos mostram através da história, que

os triângulos a muito tempo estão presentes em questões matemáticas, por isso,

usar materiais manipuláveis que façam parte de um Laboratório de Ensino de

Matemática (LEM) ou que sejam construídos pelos alunos, vai somar

qualitativamente para uma aprendizagem significativa, como afirma Lorenzato

(2012):

(...) para aqueles que possuem uma visão atualizada de educação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológica porque mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidades especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades.(LORENZATO, 2012, p.6).

A construção dos materiais manipuláveis geralmente desenvolve no aluno

curiosidades e também afinidades com o saber científico que envolve a atividade

trabalhada, é neste momento que o professor poderá aprofundar esse saber dando

ao aluno os subsídios necessários para tal conhecimento, fazendo uso dos teoremas

e das propriedades matemáticas envolvidas.

DESENVOLVIMENTO: Como professor da rede estadual de ensino do Paraná, tive

a oportunidade de participar do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE),

junto com os professores da turma 2013, ano em que ficamos afastados da sala de

aula com tempo integral dedicado aos estudos e a pesquisa. O cronograma do PDE

oferece vários cursos e palestras que são ministrados por professores, educadores

e estudiosos na área de Educação com a finalidade de tornar o ensino mais

atualizado em relação às mudanças que ocorrem constantemente. Para desenvolver

o projeto escolheu-se um tema, no caso, “Trigonometria no Triângulo Retângulo”,

onde estudando alguns materiais e especificamente o livro: “O Laboratório de Ensino

de Matemática na Formação de Professores”, do educador e escritor Sérgio

Lorenzato e com a orientação do prof. Dr. João Roberto Gerônimo optou-se por

desenvolver materiais manipuláveis que mostram algumas resoluções de atividades

envolvendo Trigonometria no Triângulo Retângulo. Após o estudo de alguns

materiais foi elaborado um caderno pedagógico com atividades para desenvolver na

sala de aula, realizando a construção dos materiais e fazendo a aplicação na

resolução das atividades propostas. Este material foi apresentado aos professores

da rede estadual através da plataforma moodle por meio do curso à distância,

conhecido como GTR (Grupo de Trabalho em Rede), onde os professores puderam

conhecer o trabalho e participar com sugestões e colaborações, relatando

experiências vivenciadas por eles em suas escolas.

A Implementação do projeto na escola ocorreu no primeiro semestre de 2014,

paralelamente ao grupo de estudos GTR. Foi na implementação que pudemos

observar na prática a importância de se trabalhar com esses materiais, tanto na

resolução das atividades, como no esclarecimento de dúvidas a respeito de fórmulas

e propriedades matemáticas envolvidas.

DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO CADERNO PEDAGÓGICO:

No dia 4 de fevereiro de 2014, a direção da escola reservou um tempo para que os

professores PDE apresentassem o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola

aos demais Professores e Equipe pedagógica, o que ocorreu no período da tarde.

Foi o momento em que os professores da escola tiveram o primeiro contato com o

trabalho desenvolvido durante o ano de 2013 pelos professores PDE.

Em fevereiro também foi feito a aquisição dos materiais pedagógicos para o

desenvolvimento do projeto com os alunos na sala de aula.

O projeto foi apresentado aos alunos no início das aulas da turma do coletivo 6424,

que começou em 10/02/2014. Após a apresentação, iniciou-se a Implementação

com a realização da primeira atividade a ser feita pelos alunos. A atividade

“Calculando a Altura da Pirâmide pelo Método de Tales”. Esta atividade foi

apresentada aos alunos com as construções feitas no quadro pelo professor sendo

acompanhadas passo a passo pelos alunos. No final, utilizou-se uma pirâmide para

a sala toda, de modo que todos puderam fazer a comparação entre as alturas e

estabelecer as proporções para realizar os cálculos necessários.

Nesta atividade observou-se que a parte que se refere aos cálculos usando as

proporções, todos desenvolveram com sucesso, porém no trabalho com régua e

compasso alguns alunos apresentaram dificuldades no manuseio desses materiais,

necessitando de uma orientação mais significativa por parte do professor, porém

esse tipo de dificuldade já era previsto, não ocasionando prejuízo à aprendizagem.

Para desenvolver a atividade sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo

qualquer na Geometria Euclidiana, foi feito individualmente a construção dos

triângulos a serem usados, em seguida construiu-se o ângulo raso que foi usado na

verificação da igualdade, trabalho realizado pelos alunos que recortaram os ângulos

na representação do triângulo e colocaram estes sobre o ângulo raso construído.

Como mostra as Figuras: (Figura1, Figura 2; Figura 3).

Figura1. Representação do triângulo construído na cartolina, destacando os ângulos.

Figura 2. União dos três ângulos do triângulo sobrepondo um ângulo raso.

Figura 3. Comprovação da igualdade: “A soma das medidas dos três ângulos internos de

um triângulo resulta em 180º ”.

Já a atividade que mostra que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são

complementares usou-se a dobradura no triângulo retângulo representado em

cartolina. Depois de construído o triângulo retângulo, destacou-se os ângulos com

cartolina de outra cor e por meio de dobraduras mostrou-se a igualdade. Como

podemos ver a seguir. (Figura 4, Figura 5; Figura 6).

1 2 3

Figura 4. Triângulo retângulo construído em cartolina destacando o ângulo reto.

Figura 5. Realização de dobraduras com os dois ângulos agudos sobrepondo o ângulo

reto.

Figura 6. Comprovação da igualdade: “A soma das medidas dos dois ângulos agudos do

triângulo retângulo resulta em 90º “.

Para mostrar a resolução do Teorema de Pitágoras por meio da igualdade das áreas

construídas em dois quadrados de lados b+c, com o primeiro quadrado dividido em

quatro triângulos retângulos de lados: a, b; c e um quadrado de lado a, e o segundo

quadrado dividido em quatro triângulos de lados: a, b; c e dois quadrados sedo um

de lado b e outro de lado c, como mostra a Figura 7, usou-se cartolina branca e lápis

de cor para pintar os triângulos com cores diferentes em cada quadrado depois fazer

a sobreposição dos triângulos de lados a, b; c que foram recortados do 1º quadrado

e colados no 2º quadrado, veja a Figura 8, depois os quais foram recortados,

verificado que restou no quadrado 1 a região de área igual a a² e no quadrado 2 as

regiões de áreas b² e c², como mostra a Figura 9. Como as áreas retiradas dos dois

quadrados foram áreas equivalentes, os alunos concluíram que a região restante

no quadrado 1 tinha a mesma área que as regiões restantes no quadrado 2, ou seja

a²=b²+c².

Figura 7. Representação de dois quadrados de lados b+c. No primeiro quadrado estão

representados quatro triângulos de lados a, b; c e um quadrado de lado a. No segundo

quadrado, quatro triângulos de lados a, b; c, e dois quadrados, um de lado b e outro de lado

c.

Figura 8. Recorte dos triângulos no quadrado 1 e sobrepondo os triângulos no quadrado 2.

4

8 9

5 6

7

Figura 9. Retirada das áreas equivalentes, restando no quadrado 1 a região a2 e no

quadrado 2 as regiões b² + c².

Na construção do quebra-cabeça em EVA, observou-se que a construção seria mais

difícil quando executada diretamente na folha de EVA, optou-se então, pela

construção em cartolina e depois passou-se para a folha de EVA, uma contribuição

dos alunos que facilitou muito o trabalho, principalmente na obtenção de desenhos

mais precisos para serem recortados. A construção foi desenvolvida passo a passo

no quadro e os alunos acompanharam construindo na cartolina, em seguida

colocaram a cartolina sobre a folha de EVA e com a ponta seca do compasso fez-se

a marcação perfurando nos vértices e depois construindo o quebra-cabeça. (Figura

10, Figura 11; Figura 12).

Figura 10. Representação do triângulo retângulo e as áreas referentes às medidas dos

lados, construídos em EVA.

Figura 11. Colocação das peças de EVA, destacando as áreas dos catetos.

Figura 12. Retirada das peças de EVA das áreas dos catetos e sobrepondo a área da

hipotenusa.

Para mostrar a igualdade das áreas entre a área do quadrado de lado igual à

medida da hipotenusa e as áreas dos quadrados construídos com os lados iguais as

medidas dos catetos, os alunos não demoram muito tempo, algo que pode se

atribuir ao fato de o material ter sido construído por eles.

A atividade realizada no geoplano para construir triângulos retângulos congruentes

com a finalidade de estabelecer as razões trigonométricas, seno, cosseno e

tangente, foi feita de forma coletiva utilizando apenas um geoplano para a turma

toda. Realizou-se a construção das figuras utilizando as borrachinhas, fez-se as

medidas dos segmentos e montou-se as razões para mostrar a igualdade numérica

existente quando todas as medidas são conhecidas. Em seguida os alunos

atribuíram letras para representar as medidas, estabeleceram as razões entre as

medidas dos lados, algo que os levou às fórmulas já conhecidas como: seno,

cosseno e tangente de um ângulo agudo no triângulo retângulo, fórmulas que são

10

10

0

11 12

conhecidas e usadas para o cálculo de distâncias quando se conhece a medida de

um ângulo agudo do triângulo retângulo e a medida de um de seus lados. (Figura 13

e Figura 14).

Figura 13. Construção de triângulos retângulos congruentes com a utilização de

borrachinhas, no geoplano.

Figura 14. Medição dos lados dos triângulos.

Nas atividades que envolvem a utilização das fórmulas para calcular distâncias,

observou-se que a maioria dos alunos teve facilidade no momento de escolher a

fórmula correta, verificando quando a medida a ser calculada era referente à

hipotenusa, o cateto adjacente ou o cateto oposto do triângulo, algo que os levou à

utilização correta da fórmula para calcular a medida que estava sendo pedida na

questão.

A atividade mostrando a construção de um aparelho (Figura 15) para medir ângulos

foi realizada por apenas duas equipes, depois o aparelho foi usado pelas demais

equipes para efetuar as medidas dos ângulos previamente determinados com

vértices em três pontos que ao uni-los formaria um triângulo retângulo (Figura 16)

sendo que uma das distâncias estava estabelecida e o aluno então efetuava a

medida de um dos ângulos agudo (Figura 17) e calculava as outras medidas por

meio das razões trigonométricas, tarefa que foi desenvolvida com muito sucesso.

Figura 15. Construção do aparelho para medir ângulos com a utilização de linha e

transferidor.

Figura 16. Desenho dos vértices A, B e C do triângulo retângulo na cartolina.

Figura 17. Realização da medida do ângulo agudo B no triângulo ABC.

15 16 17

13 14

As atividades finais do caderno pedagógico envolvendo construções com régua e

compasso e cálculos matemáticos, utilizando as razões trigonométricas já

desenvolvidas nas atividades anteriores, foram realizadas com sucesso, os alunos

interpretaram os problemas, fizeram as construções dos desenhos e a partir deles

discutiram quais procedimentos tomariam para resolvê-los. O que podemos observar

é que no final, todos utilizaram corretamente as fórmulas para determinar as

medidas que estavam sendo solicitadas. Outras atividades envolvendo resolução de

problemas por meio das razões trigonométricas foram colocadas para que eles

resolvessem individualmente e verificou-se que todos os participantes obtiveram

sucesso.

No desenvolvimento das atividades de Implementação do Projeto observou-se que a

dificuldade de manusear os materiais de desenho bem como a construção de retas

paralelas e perpendiculares usando régua e compasso, é uma realidade existente

em nossas salas de aula, porém é preciso oferecer oportunidades para que essa

dificuldade seja superada, e assim os alunos poderão executar as tarefas com

vontade de aprender, visto que durante a implementação, a participação deles foi

total, mesmo errando todos acompanharam e construíram seus materiais e até

quando o resultado não foi perfeito a aprendizagem foi notável e a satisfação do

aluno também. Isso mostra que devemos sempre que possível, disponibilizar um

tempo das nossas aulas para mostrar e trabalhar com materiais manipuláveis, onde

os resultados possam ser vistos de maneira mais concreta pelo educando, pois

manipulando e construindo os materiais esse aluno passa a fazer parte diretamente

da construção do conhecimento. Essas são razões claras e evidentes que mostram

que o uso de materiais manipuláveis é fundamental para a aprendizagem e quando

esses materiais são construídos por eles o envolvimento, a interação entre eles e a

aprendizagem torna-se mais evidente para professor, aluno e todos aqueles que

estão diretamente ligados à escola.

RESULTADOS E CONCLUSÃO:

A proposta apresentada neste trabalho foi construir materiais manipuláveis e usá-los

na resolução de problemas relacionados à Trigonometria no Triângulo Retângulo e

observar se esses materiais trariam benefícios à aprendizagem facilitando a

compreensão de alguns conceitos matemáticos, propriedades e teoremas

relacionados à trigonometria. A aplicação em sala de aula nos faz perceber que,

quando trabalhamos com materiais manipuláveis a aula torna-se mais dinâmica, a

interação entre os alunos acontece naturalmente, as perguntas surgem com maior

freqüência, algo que nos leva a crer que a compreensão do conteúdo ocorre de

forma mais efetiva e natural. Esses pontos positivos podem ser considerados

porquanto quando observamos os resultados nas avaliações aplicadas, vimos que

os alunos conseguiram resolver as questões propostas com aproveitamento

satisfatório, sem a ocorrência de alguns erros comuns nesse conteúdo,

principalmente na interpretação, algo que ocorre quando o aluno não identifica se a

questão envolve cálculo por meio do seno, cosseno ou tangente do ângulo

envolvido.

Acredita-se que ao construir materiais manipuláveis e fazer uso dos mesmos na

realização de atividades propostas em sala de aula, o desenvolvimento e a

percepção do aluno por meio da manipulação desses materiais fica evidente, visto

que ele consegue realizar as atividades propostas entendendo melhor os conceitos

envolvidos e isso torna a aprendizagem mais concreta, dando ao aluno mais

segurança na resolução dos problemas.

Percebe-se também que ao apresentar uma metodologia diferente, os alunos

ficaram mais motivados, realizando as atividades propostas com vontade de

aprender, algo que é notável pelas perguntas que são feitas e que leva o aluno a

descobrir seus próprios erros. As construções com régua e compasso, envolvidas

nas atividades faz o aluno relembrar conceitos e melhorar a compreensão,

aproximando as fórmulas e teoremas das situações relacionadas à sua realidade. Ao

construir materiais na sala de aula, o professor também poderá explorar outros

conhecimentos, tais como, ângulos, retas paralelas e perpendiculares, áreas,

distâncias, medidas, etc. Portanto, a construção e o uso de materiais manipuláveis

na sala de aula, propiciam ao aluno o desenvolvimento cognitivo, melhorando a

compreensão e a capacidade de fazer uso de maneira correta dos materiais como

régua e compasso além de mostrar o conteúdo de uma forma que ele possa

estabelecer relação com a realidade.

*Figuras: J. J. Cardoso – Arquivo pessoal (próprio autor).

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