OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

Av. Água Verde, 2140 – CEP 80240-900 – Curitiba – Paraná

1.FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA TURMA 2014.

Título: Trigonometria - Ciência em Desenvolvimento

Autor: Neiva Rosa

Disciplina/Área:

Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Leonardo da Vinci - Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional

Município do colégio:

Dois Vizinhos

Núcleo Regional de Educação:

Dois Vizinhos

Professor Orientador:

Prof. Dr. Sandro Marcos Guzzo

Instituição de Ensino Superior:

UNIOESTE - Campus Cascavel

Relação Interdisciplinar:

Resumo:

O objeto de estudo desta unidade didática tem por objetivo tornar o ensino da trigonometria mais interessante e significativo. Sabedores de que não somente este conteúdo mas toda a disciplina de matemática é tida como a grande vilã pela maioria dos alunos, procuramos elaborar os encontros com os professores de forma a recordar da história da trigonometria, o por que de seu desenvolvimento, sua relevância como uma ciência em constante evolução, e não somente como uma parte da matemática que calcula distâncias inacessíveis, mas sim com suas aplicações, aliada a outras áreas do conhecimento que possibilitaram que a matemática fosse reconhecida como uma ciência que auxiliou na evolução humana e tecnológica.

Palavras-chave:

Trigonometria/Ciências, Aplicações/Desenvolvimento, Áreas aliadas, História da Matemática

Formato do Material Didático:

Unidade Didática

Público:

Professores do Colégio Estadual Leonardo da Vinci - EFMNP

2. APRESENTAÇÃO

Diz a lenda que um homem, certo dia, perguntou a Deus: "Senhor, tudo o que

criaste foi para poder ser usado em nosso proveito. Mas, há uma de Vossas

criações não entendo. O horizonte, senhor. Por que criaste o horizonte - algo tão

inútil que, quanto mais procuramos alcançá-lo, mais de nós se afasta?" E o Senhor

respondeu: " Foi exatamente para isso que o criei: para fazer-vos caminhar." (PARO,

2008, pág. 1)

Assim é o ensino da disciplina Matemática. Ouvimos constantemente as

perguntas: Por que tenho que estudar isso, onde vou aplicar professora?

A matemática é tida como a grande vilã pelos alunos. No entanto ela se

desenvolveu a partir da necessidade e evolução da humanidade, nada criado ao

acaso.

Eves (2002) afirma que o desenvolvimento da Matemática ocorre a partir do

surgimento humano. Ainda diz que Platão acreditava que a matemática sempre

existiu estando meramente a aguardar sua descoberta.

Segundo as DCE's, desde o final do século XVI ao início do século XIX, o

ensino da Matemática, desdobrado em aritmética, geometria, álgebra e

trigonometria, contribuiu para formar engenheiros, geógrafos e topógrafos que

trabalhariam em minas, abertura de estradas, construções de portos, canais, pontes,

fontes, calçadas e preparar jovens para a prática da guerra.

Hoje a matemática faz parte da vida acadêmica da maioria dos profissionais,

alguns com mais intensidade outros menos.

A trigonometria, que é um parte da Matemática, também é utilizada por outras

ciências como a física, química, economia, astronomia, geografia, medicina,

engenharia e muitas outras.

Neste trabalho mostraremos alguns exemplos da utilização da trigonometria

na evolução das outras áreas:

- Na engenharia em mecânica dos fluidos, mecânica dos solos, resistências

dos materiais, dimensionamentos de esforços solicitantes, área ocupada (construção

de escadas), cálculo de telhados com inclinação máxima e mínima, tesouras e vigas

verificando as sobrecargas, construções de pontes;

- Na medicina com o auxilio que proporcionou melhorando a qualidade da

imagem dos aparelhos de tomografia, ressonância, no estudo da variação da

pressão nas paredes dos vasos sanguíneos.

3. FUNDAMENTAÇÃO

Há relatos de que a trigonometria surgiu por volta do século IV ou V a.C., com

os babilônios, egípcios e os gregos. Sua origem é incerta, porém, sabe-se que

nasceu para oferecer respostas às questões geradas pela Astronomia, Agrimensura

e Navegações. O principal objetivo era o estudo da trajetória dos corpos celestes.

Na Grécia antiga, viveu um matemático chamado Hiparco de Nicéia (século II

a.C.), em grego Hipparkhons, conhecido como "O Pai da Trigonometria", sendo o

mais importante astrônomo, ele construiu a primeira tabela trigonométrica (tabela de

cordas, em doze livros, obra que se perde), criou uma matemática aplicada para

prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de

calendários mais precisos e maior segurança na navegação, elaborou um catálogo

de estrelas, a medida da duração do ano com grande exatidão, nesta época teria

sido usado pela primeira vez o círculo de 360º. Influenciado pela Matemática

Babilônica, seu trabalho foi um marco para o desenvolvimento da Astronomia.

Alguns séculos depois o Egito se curvou diante de Alexandre, O Grande, nascendo

assim à cidade de Alexandria, onde se desenvolveu um grande centro de ensino,

inclusive da Matemática. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os

ângulos de um triângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos

problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que

parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.

Ptolomeu deu continuidade ao trabalho de Hiparco ampliando seus estudos.

Sua obra-prima é a Syntaxis Matematica - chamado posteriormente de Almagesto

pelos árabes - um compêndio de treze livros, cujo primeiro traz uma tabela de

cordas dos ângulos de 0 a 180 graus, de meio em meio grau.

..não somente seus modelos astronômicos, mas também as ferramentas matemáticas, além da geometria elementar, necessárias para a Astronomia, entre elas a trigonometria.(pág. 128). Mais do que qualquer outro livro, o Almagesto contribuiu para a ideia tão básica nas atividades científicas, de que uma descrição quantitativa matemática dos fenômenos naturais, capaz de fornecer predições confiáveis, é possível e desejável. (pág. 129).

Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de

consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os

cientistas voltariam a sua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que

sempre surpreendera o mundo com sua Matemática original e criativa, os Hindus.

O comércio romano com o sul da Índia possibilitou a disseminação de

conhecimentos matemáticos babilônios e gregos. Na Índia, se originou a mais antiga

tábua de senos, cujos inventores são desconhecidos. Por volta do ano 500,

Aryabhata elaborou tabelas usando jiva no lugar de seno.

Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a

Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850

e 929, o matemático árabe Al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo

uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno.

Outros conceitos trigonométricos foram desenvolvidos e aprofundados ao

longo da história, passando por Bhaskara e, posteriormente, por europeus como

Nicolau Copérnico, Galileu Galilei, Johann Bernoulli e Leonhard Euler.

Atualmente existem muitas aplicações para o uso da Trigonometria, como na

medicina, onde são enviadas ondas ao coração, de forma que efetuem interações

seletivas com os tecidos a observar. Também podemos citar a Geodésia que é o

estudo da forma ei dimensão da Terra, ainda, para o cálculo de linhas de transporte

de energia elétrica, que permite calcular com grande sensibilidade a potência de

transporte de linhas, as perdas e a distância a que ela poderá ser transportada.

Outra aplicação é no estudo da intensidade luminosa, que nos permite calcular a

intensidade luminosa irradiada por uma fonte luminosa para uma determinada

direção. Finalmente podemos citar a utilização em instrumentos de medidas de

ângulos, como na topografia, ciências náuticas e cartografia.

4. MATERIAL DIDÁTICO

Esta unidade didática foi elaborada por mim e meu professor orientador Dr Sandro

Marcos Guzzo com o objetivo de levar até você, caro professor, uma pequena

parcela da nossa amada Matemática, mais especificamente sobre o conteúdo de

Trigonometria. Espero que se divirtam com as múltiplas formas de se obter

conhecimento através desta ciência, que faz parte em nossas vidas.

Galileu Galilei

Bom trabalho Professora Neiva Rosa

Levantamento com os professores sobre a relevância do ensino da

trigonometria, suas aplicações e as dificuldades em apresentar o conteúdo ao aluno,

através de feedback relativo ao assunto, onde cada participante fará seus

apontamentos e anotações, após responderam um questionário.

Modelo do Questionário

Área de formação

Período de Docência ( ) 1 a 5 anos

( ) 6 a 10 anos

( ) 11 a 15 anos

( ) 16 a 20 anos

Você acha o ensino da

trigonometria necessário.

( ) sim ( ) não

Justifique

Dificuldades encontradas

em se trabalhar

trigonometria

Na sequência o objetivo é análise dos materiais didáticos disponíveis (foi

solicitado aos professores que trouxessem seu livro didático e outros recursos

utilizados por eles).

- como cada livro aborda o conteúdo, se nessa abordagem apresenta a

história;

- se as propostas de atividade são relevantes para a aprendizagem;

- apresentação dos recursos trazidos pelos professores, enfatizando de que

forma é usado e em que momento do conteúdo.

1º Encontro

Fonte: Neiva Rosa

Fonte: Neiva Rosa

Apresentar os dados em forma de gráfico, do questionário do 1º encontro.

Apresentação do Projeto de Intervenção Pedagógica, link http://arq.e-

escola.pr.gov.br/pde2012/12752-90.pdf e da história da trigonometria.

2º Encontro

Áreas que utilizam a trigonometria

Matemática

A Trigonometria é aplicada em toda a Matemática e, uma vez que a esta é utilizada

em todas as ciências naturais e sociais, não é difícil constatar sua importância.

Cálculo, Álgebra Linear e Estatística...

Engenharia e Física

A Engenharia faz uso da trigonometria em sua totalidade, desde as Engenharias

Civil, Cartográfica, Naval, Eletrônica até a Aeronáutica, especialmente nas

construções, tais como prédios, pontes, aviões e etc. Óptica, Estática e Físico-

Química são os primeiros ramos da Física a utilizar a Trigonometria.

Astronomia, Ciências Náuticas e Cartografia

A Astronomia se beneficia da Trigonometria esférica para o estudo de distâncias e

posições dos astros. A técnica da triangulação é usada para estimar a distância das

estrelas próximas. Já as navegações tiveram um grande impulso com a utilização da

Trigonometria, com a ajuda do uso de instrumentos de medição, como o astrolábio.

Na Cartografia, auxiliava nos cálculos envolvendo latitude e longitude de pontos

geográficos em seus mapas.

Outras Ciências

Além das ciências precedentes, há aplicações da Trigonometria e das funções

trigonométricas em campos diversos: na Geografia, para estimar distâncias entre

divisas e em sistemas de navegação por satélite; nas funções periódicas, as quais

3º, 4º e 5º Encontro

descrevem a sondas sonoras e luminosas, são fundamentais as funções seno e

cosseno; também se aplica à teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado,

eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, medicina (exames de

imagem, como equipamentos de Tomografia Computadorizada e Ultrassom), do

solo (inspeção e Geodésia), arquitetura, fonética, economia, gráficos

computadorizados, cristalografia, desenvolvimento de jogos, compactação de

arquivos de músicas em formato mp3 e fotos em formato jpg.

Aplicações da trigonometria que auxiliaram a Medicina

Uma das aplicações da função trigonométrica na medicina é evidenciada na

análise e estudo da frequência cardíaca, isto é, do número de batimentos cardíacos

num determinado intervalo de tempo, geralmente medido em bpm (batimentos

cardíacos por minuto). Desta análise, podemos verificar a pressão arterial de uma

pessoa.

O sangue bombeado pelo coração é transportado para todos os tecidos e

órgãos do corpo humano através de vasos chamados de artérias. A pressão arterial

ou sanguínea é a força que o sangue exerce sobre as paredes das artérias.

Ela atinge o valor máximo quando o coração se contrai e bombeia o sangue

(pressão sistólica), e atinge o valor mínimo (pressão diastólica) quando o coração

está em repouso, num intervalo de tempo de um batimento cardíaco.

A variação da pressão sanguínea é calculada em função do tempo, desta

forma é obtida através da função trigonométrica (cíclica ou periódica) cuja lei de

formação é: P(t) = 100 - 20.cos[(8.π/3).t], em que o valor de 8.π/3 é dado em

radianos.

O gráfico seguir representa a variação da pressão sanguínea (em mm Hg) de

uma pessoa, em função do tempo (em s), em um monitor médico.

O intervalo de tempo de um batimento cardíaco dessa pessoa é 0,75 s, que

corresponde a um ciclo completo, ou seja, o período dessa função.

A pressão arterial normal de um adulto é 12 por 8, ou 120 mm Hg por 80 mm

Hg, o que está representado no gráfico.

Desenvolver exercício similar com os professores.

Séries de Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier foi um matemático e físico francês, celebrado por

iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries

trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos

problemas da condução do calor. A transformada de Fourier foi designada em sua

homenagem. Fourier também é geralmente creditado pela descoberta do efeito

estufa.

Aplicações da análise de Fourier

Hoje a análise de Fourier é uma das técnicas matemáticas com maior número

de aplicações práticas. Além de ser utilizada extensivamente em cálculo numérico

nas áreas mais diversas das ciências aplicadas e engenharias, a análise de Fourier

constitui ainda a base do processamento de sinais. Tem por isso um papel central

nas telecomunicações modernas e também no processamento de imagens digitais.

Como curiosidades: é utilizando análise de Fourier que se retira a voz das canções

para fazer karaokê e também que se faz a compressão de imagens em formato

JPEG.

Transformada de Fourier

Com a evolução tecnológica e o desenvolvimento de computadores digitais de

alta capacidade e velocidade de processamento, o processamento Digital de

Imagens tem sido cada vez mais utilizado para análise e diagnósticos.

Uma das ferramentas mais utilizada neste processamento é a transformada

de Fourier, a qual nos permite ter uma visão da imagem a ser analisada no domínio

da frequência, facilitando esta análise e o seu processamento, normalmente,

aplicando-se técnicas de filtragem digital.

Na prática, a utilização de algoritmos para execução rápida das

transformadas de Fourier (FFT) juntamente com os teoremas de convolução e da

correlação permitem, de maneira simplificada, a implementação das técnicas de

filtragens para eliminação de ruídos e interferências das imagens (ou de uma

maneira geral, sinais) em análise.

A teoria da transformada de Fourier assume que o sinal é contínuo com uma

extensão infinita, para o qual a transformada é desejada. Por outro lado, imagens

são frequentemente descontínuas ao longo de uma linha ou coluna da imagem. Para

analisar dados de pixel de uma imagem contínua a versão discreta de transformada

de Fourier foi desenvolvida e foi chamada de transformada rápida de Fourier (FFT).

Esta implementação é a base para a maioria de algoritmos de processamento de

imagens usando transformada de Fourier.

Qualquer imagem pode ser representada por uma transformada de Fourier

bidimensional, a qual pode ser considerada como uma imagem com uma parte real

e uma parte complexa. A bidimensional FFT é um mapeamento de valores de pixel

de imagem no espaço de frequência da imagem espacial. Executando a

bidimensional FFT em uma imagem, cria-se um mapa bidimensional de todas as

frequências de espaço dentro de uma imagem.

A Transformada de Fourier (FT) é uma ferramenta largamente empregada em

processamento de sinais, processamento de sons e em processamento de imagens,

a FT decompõe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno. A FT

aplicada a uma imagem no domínio espacial gera uma informação no domínio da

frequência, em que cada ponto, definido por um vetor do tipo (k.cosseno, k.seno),

representa uma dada frequência contida no domínio espacial da imagem. As

aplicações referentes à FT são inúmeras: filtragem, segmentação, reconhecimento

de padrões, descrição de imagens, compressão e reconstrução constituem algumas

delas.

A transformada de Fourier representa a soma de uma série de formas de

onda senoidais com diferentes amplitudes, fase e frequência. Pode ser uma utilizada

em processamento digital de imagens quando queremos conhecer frequências

espaciais de um determinado padrão.

Entretanto, a transformada pode ser utilizada também na reconstrução

bidimensional de imagens em geral, por sua facilidade e rapidez de cálculo,

comparado com a resolução das equações de projeção algebricamente, que

consistem na montagem de uma matriz e sua resolução. Na prática, quando

queremos trabalhar uma imagem no domínio da frequência, por exemplo,

simplesmente fazemos a transformada de Fourier da referida imagem e a

multiplicamos pela função de transferência de um filtro (convenientemente de acordo

com a aplicação) no entanto, muitas vezes, é mais simples "zerarmos" os

coeficientes das componentes de frequência que queremos filtrar e tomamos, em

seguida, em ambos os casos, a transformada inversa obtendo, assim, a imagem

filtrada (processada). Quando zeramos os coeficientes da transformada de Fourier a

partir de um certo valor,obtemos um filtro passa-baixa, ou até um certo valor, temos

um filtro passa alta, ou entre dois valores de frequência, um filtro passa-baixa ou

rejeita-baixa.

O que foi relatado até o momento é a representação de imagens, que podem

ser captadas por comprimento de ondas de radiação eletromagnéticas (fotografias)

ou por ondas sonoras de alta frequência (ultrassom, tomografia...). A FFT auxilia na

remoção de ruídos de uma imagem digital, esse ruído fica indicado no espectro de

Fourie de imagem.

Imagem e seu Espectro de Fourier. Fonte Fonte: [1, AZEVEDO]

Também é possível obter do espectro de Fourier a informação da energia da

imagem (image power). Praticamente em todas as imagens é observado que a

energia, a partir do seu centro no espectro de Fourier, está concentrada nos

componentes de baixas frequências.

Essa energia ajuda a entender os tipos de filtros utilizados na remoção de

ruídos de uma imagem. As filtragens mais simples utilizadas são as realizadas

através de: filtros passa-faixa ou filtros passa-banda, que removem regiões

selecionadas de frequências entre altas e baixas frequências; os filtros passa-baixa,

quando a faixa está próxima a origem e os filtros passa-alta, quando a faixa está

afastada da origem.

(a) filtros passa-baixa, (b) filtros passa-alta e (c) filtros passa-banda Fonte: [1, AZEVEDO]

(a) FFT da imagem com filtro (b) imagem filtrada Resultado da filtragem passa-baixa.

Aplicações da Trigonometria no ramo da Engenharia Civil

Definição do dicionário: Em matemática, a catenária descreve uma família de

curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas

suas extremidades e sujeitas à ação da gravidade.

- Um pouco da história.

Antigamente incentivava-se a competição entre os matemáticos por meio de

problemas propostos por eles mesmos, para comprovar quem seria o mais sábio.

Neste sentido, foi proposto o problema da catenária, problema este, que alguns

matemáticos não encontravam a curva correta por imagina-la como uma parábola.

O problema da catenária solicita encontrar a curva formada por um fio

suspenso por dois pontos e submetido à ação da gravidade, proposto por Galileu

Galilei, em 1646, que pensava ser uma parábola. Quarenta e quanto anos depois,

este problema foi proposto novamente pelo Jakob Bernoulli, que também achava

que a curva era uma parábola, na qual o problema obteve três soluções corretas,

por Johann Bernoulli, Leibniz e Huygens.

Atualmente a catenária serve pra a engenharia e arquitetura, na construção

de várias obras, como a linha telefônica entre dois portes, a Ponte Persil, o

aeroporto internacional dos Estados Unidos, entre outros.

6º, 7º e 8º Encontro

O que é ?

Após o surgimento dessa nova curva, a catenária, estudos foram levantados

sobre a trigonometria hiperbólica, que foi introduzida pelo jesuíta Vincenzo Riccati.

Pois sua curva coincide com a função cosseno hiperbólico.

A equação da forma da catenária é dada pela função hiperbólica e sua

equivalente exponencial.

Dulles International Airport - Estados Unidos Fonte: www.cultura.sp.gov.br

Ponte Pênsil. Fonte:http://guiadolitoral.uol.com.br/sao_vicente-2633_2009.html

Fonte: http://www.mat.uc.pt/~mat1259/testimonials.html.

Arco em forma de Catenária com 192m. Missouri, homenagem ao presidente

Thomas Jefferson.

Fonte: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=595743&page=54.

Resolver com os professores o exercício proposto no link

https://www.ime.usp.br/~martha/mat2453-2003/catenaria.pdf

Para que possamos compreender melhor a catenária, vamos rever a função

hiperbólica.

Função trigonométrica hiperbólica

As funções hiperbólicas são definidas da mesma maneira que as funções

trigonométricas circulares.

X2 + Y2 = 1

Seja M um ponto sobre a curva de modo que o setor OAM tenha área θ/2. O ângulo

AÔM tem medida θ.

Seja AR a reta tangente à curva em A.

Definimos

ON = cosθ

NM = senθ AR = tgθ

Temos

1) para o ponto M

X2 + Y2 = ON2 + NM2 = 1

e logo

cos2θ + sen2θ = 1

2) ΔONM Δ ~ ΔOAR e logo AR = NM 1 ON Ou seja tg θ = sen θ cos θ

3) Como cos2θ + sen2θ = 1 Então 1 + sen2θ = 1 cos²θ cos2θ ou seja 1 + tg2 θ = sec2 θ Ainda cos2 θ + 1 = 1 sen2 θ sen2 θ ou seja cotg2 θ + 1 = cossec2 θ

X2 - Y2 = 1

Seja M um ponto sobre a curva de modo que o setor OAM tenha área θ/2. O ângulo

AÔM tem medida θ.

Seja AR a reta tangente à curva em A.

Definimos

ON = coshθ

NM = senhθ

AR = tghθ

Temos

1) para o ponto M

X2 - Y 2 = ON2 - NM2 = 1

e logo

cos h2θ - sen h2 θ = 1

2) ΔONM Δ ~ ΔOAR e logo AR = NM 1 ON Ou seja tghθ = senh θ cosh θ

3) Como cosh2θ - senh2θ = 1 Então 1 - senh2 θ = 1 cosh²θ cosh²θ ou seja 1 - tgh²θ = sech²θ Ainda cosh²θ + 1 = 1 senh²θ senh²θ ou seja cotgh²θ + 1 = cossech²θ

Apesar de parecem semelhantes, as mesmas tem grandes diferenças.

A primeira diferença é que as funções trigonométrica (circulares) senθ e cosθ

são periódicas com período 2π, enquanto que as funções hiperbólicas senhθ e

coshθ não são periódicas.

A função senθ é limitada, com - 1 ≤ senθ ≤ 1. A função senhθ varia de - ∞

até + ∞. Observando que senhθ > 0 se θ > 0, senhθ < 0 se θ < 0 e senh (0) = 0.

Já cosh(0) = 1 e coshθ ≥ 1 para todo valor de θ. Assim, enquanto cosθ varia

entre -1 e 1, coshθ varia de 1a + ∞.

Nas hiperbólicas é a tangente que fica limitada. temos - 1 < tghθ < 1, por

causa das diretrizes da hipérbole, enquanto que a tangente circular pode assumir

qualquer valor entre - ∞ e + ∞.

Seja M um ponto sobre a hipérbole X² – Y² = 1 tal que AOAM = θ/2, ou seja,

um ponto que determina um ângulo com medida hiperbólica θ. O ponto M tem

coordenadas X = ON = coshθ, Y = NM = senhθ nos eixos X,Y e coordenadas x= OP

e y = OQ nos eixos x, .

Como vimos anteriormente, as fórmulas que relacionam as coordenadas (x,y)

com (x,y), nos dão

OP = x = √2/2 (x – y) = √2/2 (coshθ – senhθ)

OQ = x = √2/2 (x + y) = √2/2 (coshθ + senhθ)

O ponto A coordenadas X = 1, Y = 0 e X = OB,

y = OC.

Temos que

OB = √2/2 OC = √2/2

Temos então que

APBAM= 1 ln OB = 1 ln √2/2 = - 1 ln (coshθ – senhθ) 2 OP 2 √2/2(cosh θ – senhθ)

AQCAM= 1 ln OQ = 1 ln √2/2(coshθ – senhθ) = - 1 ln (coshθ + senhθ) 2 OC 2 √2/2

Como AOAM = APBAM temos

θ = - 1 ln (coshθ – senhθ) 2 2 e como AOAM = AQCAM temos θ = 1 ln (coshθ + senhθ) 2 2

logo e-θ = coshθ – senhθ eθ = coshθ + senhθ

Somando estas duas equações obtemos coshθ = eθ + e-θ

2

e subtraindo obtemos senhθ = eθ - e-θ

2 Usando as relações entre elas podemos mostrar que: tghθ = senhθ = eθ - e-θ = e2θ - 1 coshθ e θ + e- θ e2θ + 1 cotghθ = 1 = e2θ - 1 tghθ e2θ + 1

sechθ = 1 = 2 coshθ eθ + e-0

cossechθ = 1 = 2 senhθ eθ - e-0

Estudo da função hiperbólica

Para - ∞ < x < + ∞ podemos definir as funções

y = senhx = ex – e-x e y = coshx = ex + e-x

2 2

Suas derivadas são fáceis de calcular e temos: d (senhx) = d ex – e-x = ex + e-x = coshx e dx dx 2 2

d (coshx) = d ex + e-x = ex - e-x = senhx dx dx 2 2

Dai concluímos que

d² (senhx) = senhx e d² (coshx) = cosh x dx² dx²

Obtemos também: d (tghx) = d senhx = cosh²x – senh²x = 1 = sech²x dx dx coshx cosh²x cosh²x d (cotghx) = d 1 = - sech²x = - cossech²x dx dx tghx tgh²x

d (sechx) = d 1 = - senhx = - sechx tghx dx dx coshx cosh²x d (cossechx) = d 1 = - coshx = - cossechx cotghx dx dx senhx senh²x

e ainda

ʃ senhx dx = coshx + C ʃ coshx dx = senhx + C

ʃ sech² x dx = tghx = C ʃ cossech² x dx = - cotghx + c

ʃ sechx tghx dx = - sech x + C ʃ cossechx cotgh x dx = - cossech +

C

Para entendermos o comportamento esboçamos o gráfico da função y = senhx

Gráfico da função y = coshx

Gráfico da função y = tanghx

Após o estudo sobre a função hiperbólica analisando suas diferenças, retomaremos

as atividades propostas no primeiro encontro e as outras desenvolvidas durante os

outros, para selecionar quais podem ser utilizados em sala de aula, ou mesmo ser

demonstrado para os alunos.

REFERÊNCIAS

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

matemática /Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática – da teoria a prática. 2.

ed.,Campinas-SP: Papirus, 1997.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2000. GUELLI, Oscar. Matemática: série Brasil. São Paulo: Ática, 2000.

GUZZO, Sandro Marcos, Funções trigonométricas, Notas de aulas não publicadas.

http://clubedamatematica.blogspot.com.br/2010/10/aplicacao-da-trigonometria-na-

medicina.html. Acesso 05 nov.2014

http://www.monografias.brasilescola.com/matematica/ensinando-trigonometria.htm.

Acesso 08 nov.2014.

https://www.ime.usp.br/~martha/mat2453-2003/catenaria.pdf. Acesso em 02

dez.2014.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação, superintendente da educação.

Introdução às diretrizes curriculares. Curitiba: SEED, 2006.

PAULO, Stephany Glaucia de Oliveira. Da Catenária a Trigonometria

Hiperbólica.2014. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em

Matemática).Universidade do Estado do Pará, Pará, 2014.

POCZAPSKI, Loise Dietrich. Série de Fourier e Transformada de Fourier com

aplicação à construção de imagem. 2011. pág. 14 à 59. Trabalho de Conclusão de

Curso (Licenciatura em Matemática). UNIOESTE, Cascavel, Novembro de 2011.