Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA – PDE/2013

Título: MATEMÁTICA NÃO É “BICHO DE SETE CABEÇAS”

Autor: Inês Maria Fernandes Maioral

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização.

Colégio Estadual Monteiro Lobato - Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional – Rua Bahia, 1258, Colorado - PR, 86690-000

Município da escola Colorado

Núcleo Regional de Educação Maringá

Professor Orientador João Cesar Guirado

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual de Maringá

Relação Interdisciplinar Nenhuma

Resumo A presente Unidade Didática a ser implementada em uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental tem como proposta contribuir com o processo ensino e aprendizagem de forma mais prazerosa, para que o aluno possa ver a matemática com outro olhar, que deixe de vê-la como um “Bicho de sete cabeças”, difícil e complexa. Tem por objetivo desenvolver estratégias diversificadas de resolução de problemas matemáticos no ambiente escolar, com ênfase àquelas que não necessitam, obrigatoriamente, de técnicas operatórias e algoritmos. A ênfase nesses problemas visa desmitificar o fato que todo problema matemático está associado, necessariamente, a uma técnica operatória. Embora reconhecendo a importância desse recurso na resolução de problemas, é importante que o aluno saiba que este não é o único meio para a solução. Estimular a criatividade é fundamental, pois oportuniza a aplicação de estratégias que não sejam puramente o cálculo, além de desafiar a curiosidade. Dessa forma, o aluno irá se envolvendo de uma forma gradual, utilizando-se de conhecimentos previamente adquiridos e que possibilitem a construção de novos conceitos matemáticos.

Palavras-chave Resolução de problemas. Ensino e Aprendizagem. Criatividade

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos de 6º ano do Ensino Fundamental

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS

EDUCACIONAIS – DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ – UEM

PRODUÇÃO DIDÁTICO - PEDAGÓGICA NA ESCOLA

MATEMÁTICA NÃO É “BICHO DE SETE CABEÇAS”

INÊS MARIA FERNANDES MAIORAL

MARINGÁ – PR 2013

1 APRESENTAÇÃO

A presente Produção didático-pedagógica é uma dentre as várias atividades

previstas no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, implantado pela

Secretária de Educação do Estado do Paraná, que tem como objetivo proporcionar

aos professores da rede pública estadual subsídios teórico-metodológicos para o

desenvolvimento de ações educacionais sistematizadas, e que resultem em

redimensionamento de sua prática.

Essa produção, caracterizada como uma Unidade Didática tem como intuito

organizar um material didático que aborda a Resolução de Problemas como fonte de

construção do conhecimento. O referencial teórico usado para essa abordagem é de

ordem epistemológica fundamentado em autores como: Dante (2005), Onuchi

(1999), Polya (2006), Krulik e Reys (2005), Huete e Bravo(2006), entre outros.

Espera-se com essa Unidade Didática contribuir com o processo ensino e

aprendizagem de forma mais prazerosa, para que o aluno possa ver a matemática

com outro olhar, que deixe de vê-la como um “Bicho de sete cabeças”, difícil e

complexa.

É comum ouvir dos alunos que matemática é tabuada e “contas”. Isso porque

no ambiente escolar, o ensino dessa disciplina ainda enfatiza a memorização de

algoritmos e suas aplicações em exercícios de repetição e treinamento, o que

contribui para aumentar a aversão em relação à disciplina. Isso não quer dizer que

as ações “repetir” e “treinar” devam ser descartadas, porém não devem ocupar um

espaço privilegiado no processo de aprendizagem.

Esta Unidade Didática constitui-se como estratégia de ação já sistematizada

no Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola e será implementada no primeiro

semestre de 2014, no Colégio Monteiro Lobato, no município de Colorado-PR, com

alunos do sexto ano do Ensino Fundamental, com o objetivo de desenvolver

estratégias diversificadas de resolução de problemas matemáticos com ênfase

àqueles que não necessitam de técnicas operatórias.

Procura-se, assim, desmitificar o fato de que todo problema matemático está

associado necessariamente a uma técnica operatória, visto que a maioria destes

alunos associa a resolução de problemas apenas com técnicas operatórias e

quando estas não solucionam o problema em questão, acabam sentindo-se

desmotivados a buscarem outras estratégias.

Para isso, os problemas apresentados nesta Unidade Didática foram

cuidadosamente selecionados e planejados partindo dos simples para os

complexos, afinal o objetivo desses problemas é desafiar a curiosidade do aluno,

para que ele esteja motivado a buscar estratégias utilizando-se de conhecimentos

previamente adquiridos e que possibilitem a construção de novos conceitos

matemáticos. Busca-se, com isso, tornar o aluno capaz de estabelecer relações,

justificar e analisar os resultados nas mais diversas áreas do seu conhecimento.

“Resolver problemas é a realização específica da inteligência, e se a

educação não contribui para o desenvolvimento da inteligência, ela está obviamente

incompleta” (POLYA 1949, apud, KRULIK e REYS, 1997, p.2).

Sendo assim, o grande desafio pedagógico, atualmente, está em formar

indivíduos capazes de analisar e selecionar os conhecimentos adquiridos no

ambiente escolar para aplicá-los na resolução de problemas de ordem prática, pois,

diante dos avanços tecnológicos, a valorização do indivíduo está voltada para a

capacidade de resolver problemas, criar novas técnicas e inovar o que já existe.

Criar e inovar são atitudes fundamentais na resolução de problemas

matemáticos, visto que, ao criar as próprias estratégias ou inovar uma técnica já

conhecida na tentativa de solucionar o problema, o aluno estará construindo o

conhecimento matemático de forma significativa, podendo usá-la fora do ambiente

escolar em situação do seu cotidiano, afinal esse é o papel da escola.

2 MATERIAL DIDÁTICO

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A preocupação com o ensino da Matemática no ambiente escolar tem

despertado o interesse em estudos não só de pesquisadores, como também de

professores, que buscam metodologias que possam contribuir com o processo

ensino e aprendizagem, uma vez que essa disciplina apresenta alto índice de

reprova.

Diante disso, Ramos (2004), apud Diretrizes Curriculares da Educação Básica

do Estado do Paraná (2008, p. 28), ressaltam que "O processo de ensino-

aprendizagem contextualizado é um importante meio de estimular a curiosidade e

fortalecer a confiança do aluno".

Contextualizar os conteúdos matemáticos curriculares sem empobrecer o

conhecimento tem sido o maior desafio pedagógico, já que a Matemática é vista no

ambiente escolar como uma disciplina abstrata e desligada da realidade. É

necessário mudar essa visão, afinal a matemática está presente na história da

humanidade.

As idéias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar como ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência (D’AMBRÓSIO, U,1999, p.97).

Sendo assim, torna-se necessário não só repensar a maneira como se ensina

os conceitos matemáticos científicos que foram produzidos historicamente, mas,

também, entender como o aluno aprende esses conceitos para que possa transferi-

los a outras áreas do conhecimento como também em situações de sua própria

vivência.

Considerando o fato de que as ideias matemáticas estão presentes em todas

as formas de fazer e de saber, foi que, a partir da década de 80, o The National

Council of Teachers of Mathematics (NCTM) apresentou recomendações para o

ensino da Matemática num documento chamado “Agenda para Ação”, o qual

destaca a importância de organizar currículos acerca de resolução de problemas:

[...] "resolução de problemas" é uma das habilidades básicas que os estudantes devem ter ao longo de suas vidas e o qual devem usar quando eles deixam a escola. Essa habilidade (seu sentido e aprendizagem) provoca muitos momentos de preocupação tanto para estudantes como aos professores, mas é uma habilidade que pode e deve ser ensinada (NTCM,1980, p.XIV, apud HUETE e BRAVO, 2006, p. 122).

Essas ideias influenciaram as reformas do ensino que ocorreram em todo o

mundo. No Brasil, foi somente a partir dos anos 90 que surgiram as propostas

curriculares que apontavam o ensino de matemática por meio da resolução de

problemas. A proposta enfatizava que, a partir do problema, novos conteúdos

pudessem ser desenvolvidos e assim novos conceitos pudessem ser construídos.

Nessa perspectiva, as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado

do Paraná apontam a relevância das tendências metodológicas da Educação

Matemática como auxílio no processo de ensinar e aprender "as quais têm grau de

importância similar entre si e complementam-se umas às outras" (DCE, 2008, p.63).

A Resolução de Problemas como metodologia de ensino destaca-se dentre as

tendências pelo fato de que “resolver problemas é próprio da natureza humana”

(Polya, 1949, apud Krulik e Reys, 2005 p.2) e também porque ela possibilita ao

aluno aprender matemática resolvendo problema como também, aprender

matemática para resolver problema (Andrade,1998, p.7).

Nessa mesma linha de pensamento, Onuchic (1999) aborda que a resolução

de problemas no ambiente escolar é um bom caminho para se ensinar Matemática.

Salienta ainda que, “quando os professores ensinam matemática, através da

resolução de problemas, eles estão dando a seus alunos um meio poderoso e muito

importante de desenvolver sua própria compreensão” (1999, p. 208 e 211).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 39) reforçam ainda que a

resolução de problemas traz implícita a convicção de que o conhecimento

matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para

resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

A Resolução de Problemas não é a varinha mágica que solucionará todos os

problemas vivenciados na escola com a disciplina de Matemática, mas sim uma

metodologia que busca desenvolver no aluno o pensamento reflexivo,

principalmente se os problemas apresentados não levarem o aluno apenas a

reproduzir o que lhe foi ensinado.

Segundo Dante (2005, p.56) ensinar a resolver problemas é uma tarefa

complexa, na qual o aluno deve ser encorajado a sair da situação passiva de

“observador” da matemática feita pelo professor, e motivado a pensar por si mesmo

e a participar ativamente do “fazer” matemática.

2.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: DIFERENTES OLHARES

A expressão resolução de problemas está intimamente associada à história

da humanidade, que desde seus primórdios busca solucionar problemas como forma

de sobrevivência.

Resolver problema não é uma habilidade exclusiva da matemática. Essa ação

está presente nas mais diversas áreas do conhecimento e, por isso, apresenta

diferentes abordagens, mas todas elas estão ligadas a obstáculos, e que, a

princípio, não se sabe como superá-lo, configurando-se como algo que leva o

indivíduo a pensar conscientemente.

Brito (2006) destaca a resolução de problemas como uma atividade mental

que envolve o uso de conceitos e princípios para atingir a solução; Lester e

D’Ambrósio (1988), apud Gontijo (2006), a consideram como uma estratégia

composta por um conjunto de ações utilizadas para desempenhar uma tarefa; Polya

(1949), apud Krulik e Reys (2005), afirma que a resolução de problemas consiste em

encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, isto é encontrar um meio que

contorne um obstáculo, para atingir um fim desejado.

Mas afinal, o que vem a ser um problema? A resposta a essa questão pode

ser encontrada em diferentes concepções:

Social: um problema é uma determinada questão ou um determinado assunto

que requer uma solução;

Filosófica: um problema é algo que perturba a paz e a harmonia daqueles que

os têm ou que por eles passam;

Científica: um problema é uma questão sobre objetos e estruturas que requer

explicação e demonstração;

Psicológica: um problema é um conflito afetivo que impede ou afeta o

equilíbrio psicológico do indivíduo.

A concepção de problema pode ser diferente de um contexto para outro assim

como de uma pessoa para outra. Isso pode ser ratificado, apontando o pensamento

de vários educadores, como segue:

Marília Toledo e Mauro Toledo (2009) destacam que a concepção do

problema depende do nível de envolvimento de cada um, da questão sociocultural,

assim como a experiência e os conhecimentos relacionados ao problema;

Sardy (1987) apud Huete e Bravo (2006) apontam problema como categorias

próprias da atividade mental: raciocínio, discernimento, análise, síntese, etc. em um

contexto psicológico;

Onuchic (1999) caracteriza como problema “tudo aquilo que não sabemos

fazer, mas que estamos interessados em resolver”.

Lester (1982) apud Dante (2009) afirma que "problema é uma situação que

um indivíduo ou grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um

caminho rápido e direto que o leve à solução”

Dante (2005) aponta como problema qualquer situação que exija o pensar do

indivíduo para solucioná-la;

D’Ambrósio (2010) define como problema “uma situação, real ou abstrata,

ainda não resolvida, em qualquer campo do conhecimento e de ação”.

Isso posto, cabe mencionar que independente da ideia que cada pessoa tem

a respeito de “problema” todas buscam uma maneira de resolvê-lo. Polya (1992)

apud Huete e Bravo (2006, p. 128) estabelece que ter um problema significa buscar

conscientemente alguma ação apropriada para resolvê-lo. Esse mesmo autor afirma

que para caracterizar um problema três componentes devem ser identificados:

Estar consciente de uma dificuldade;

Desejar resolvê-la;

Inexistir um caminho imediato para a solução.

Estar consciente da dificuldade e desejar a busca de um caminho que

solucione o problema torna o indivíduo capaz de criar estratégias próprias e isso o

difere dos demais animais. O homem pode ser caracterizado como o “animal que

resolve problemas”, afinal a maior parte de nosso pensamento consciente é sobre

problemas (Polya, 1949, apud Krulik e Reys 2005 p. 2).

A matemática, em particular, contribui com o desenvolvimento intelectual do

indivíduo. Segundo o Ministério da Educação (1999, p.256) “A matemática ajuda a

estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, além de ser uma ferramenta para

tarefas específicas em quase todas as atividades humanas”.

2.3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA MATEMÁTICA ESCOLAR

Ao falar em matemática, imediatamente surge a ideia de resolver problemas,

pois esta é uma particularidade dessa disciplina. “A resolução de problemas é o

coração desta disciplina” Halmos (1980) apud Huete e Bravo (2006).

A própria história da Matemática nos mostra que ela foi construída como

resposta a perguntas provenientes de problemas de ordem prática do cotidiano

(PCN’s, 1998, p. 40).

Há registros de textos matemáticos desde a antiguidade. Dentre eles, o mais

conhecido é o papiro de Rhind. Trata-se de um documento histórico subordinado ao

título “Regras para inquirir a natureza, para saber tudo que existe, cada mistério,

cada segredo” datado aproximadamente de 1650 a.C. Nele encontra-se um texto

matemático na forma de manual prático que contém cerca de 85 problemas

copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Esses

registros mostram que os egípcios desenvolveram técnicas de solução de

problemas.

Todos os problemas ali encontrados são numéricos e procuravam apresentar

métodos e fórmulas que permitissem resolver assuntos que surgiam no cotidiano

egípcio, tais como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação

do gado, entre outras atividades.

Pouco se conhece a respeito da intencionalidade desses registros. Segundo a

opinião do cientista Revillout, que analisou cuidadosamente o documento egípcio

acima mencionado, esse “não passa afinal o célebre papiro de um caderno de aluno

contendo exercícios de escola” (TAHAN, M. 2009, p.12). No entanto, todos os

problemas ali contidos serviram e ainda servem como referência matemática para

muitos pesquisadores. Esses registros confirmam a importância dos problemas

matemáticos como fonte de conhecimento de antigas civilizações e muitos deles

estão adaptados em livros didáticos de diferentes épocas para se ensinar conteúdos

curriculares.

Um desses problemas, datado do século XVIII, é conhecido como “Problema

de Saint Ives”, é uma versão de um dos problemas do Papiro Rhind que envolve

uma progressão geométrica.

Quando ia a Sant Ives,

Encontrei um homem com sete mulheres.

Cada mulher tinha sete sacos.

Cada saco tinha sete gatos.

Cada gato tinha sete gatinhos.

Gatinhos, gatos, sacos, mulheres...

Quantos iam para Sant Ives?

Por isso não se pode negar a afirmação de George Polya (1949), apud Dante

(2010, p.15) que, ‘A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral da instrução

matemática desde o papiro de “Rhind”.

O Standard Currículo (NTCM,1991) apud Huete e Bravo (2006, p128) afirma

que resolver problemas e fazer matemática são sinônimos.

Frente a essas colocações, cabe ressaltar que a resolução de problemas é

uma habilidade que deve começar a ser desenvolvida nos primeiros anos do ensino

fundamental. A matemática recreativa, por meio de jogos, brincadeiras, quebra-

cabeças e resolução de problemas, tem muito a contribuir nessa fase de

aprendizagem, uma vez que a criança é estimulada a “pensar em voz alta”, ou seja,

a falar como pensa, e também a criar a imagem mental da situação-problema por

meio de uma linguagem ilustrada que oportuniza o desenvolvimento criativo, o

raciocínio lógico e o pensar matemático.

No processo de alfabetização da criança, uma maior atenção deveria ser dada à linguagem matemática, pois é nela que tem início, na mente da criança, a construção formal dos conceitos essenciais para sua inserção no universo matemático (SILVA e RÊGO In: BRITO,

2010, p.207).

É importante que o problema possa gerar muitos processos de pensamento, levantar muitas hipóteses e propiciar várias estratégias de solução. O pensar e o fazer criativo devem ser componentes fundamentais no processo de resolução de problemas DANTE (2005, p. 47).

Liberar a criatividade do aluno é um dos objetivos da Resolução de

Problemas apontados por Dante. É claro que não há uma maneira de ensinar o

aluno “como pensar” produtivamente frente a um problema, o mais importante é

oferecer-lhes a “oportunidade para pensar” (Dante, 2010, p. 22 e 23). O autor aponta

ainda a relevância de:

Fazer o aluno pensar produtivamente;

Desenvolver o raciocínio;

Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;

Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da

Matemática;

Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras;

Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas; dar uma boa base

de matemática às pessoas;

Dar uma boa base matemática às pessoas.

Nessa perspectiva de ensino, Villa e Callejo (2006) ressaltam que:

Um problema é uma situação, proposta com finalidade educativa, que propõe uma questão matemática, cujo método de solução não é imediatamente acessível ao aluno ou ao grupo de alunos que tenta resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e a incógnita ou de um processo que identifique automaticamente os dados com a conclusão e, portanto, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver suas emoções para enfrentar uma situação nova. (VILLA e CALLEJO, 2006, p. 29).

2.4 COMO RESOLVER PROBLEMAS

“Aprendemos a resolver problemas resolvendo-os.”

George Polya (2006)

Resolver problemas não é uma tarefa fácil até mesmo porque a expressão

“problema” é associada a algo complexo e de difícil solução e quando se trata de

problema matemático a visão do aluno não é diferente, isso porque no ambiente

escolar, a resolução de problemas tem se reduzido ao clássico esquema “explicar” e

“reproduzir” algoritmos que, na maioria das vezes, cria no aluno a ideia errônea de

que resolver um problema matemático é aplicar fórmulas e seguir regras; no entanto,

para solucionar um problema é necessário pensar conscientemente e desenvolver

etapas de resolução.

De acordo com Brito (2010), a solução de problemas inicia-se a partir do

momento que o indivíduo se depara com uma situação desconhecida e necessita

buscar meios para resolvê-la e, a partir daí, desenvolve etapas utilizando-se de

conhecimentos recuperados na memória. Segundo essa autora, as etapas pelas

quais passa o pensamento no processo de resolução de problemas foram tratadas

por autores como: Dewey (1910), Wallas (1926), Hadamard (1949), Kruetskii (1976)

e Polya (1978), os quais se referem praticamente às mesmas etapas que ao longo

do tempo foram adaptadas e tornaram referência na área de Educação Matemática.

Para a presente unidade didática será adotada como referencial as quatro

etapas abordadas por George Polya em seu livro “A arte de resolver problemas”.

Compreensão do Problema: surge a partir da leitura, por isso o problema

deve ser bem escolhido nem muito fácil, nem muito difícil, natural e interessante

para que possa despertar no aluno o desejo de resolvê-lo. O enunciado verbal

precisa apresentar clareza e coerência para que o aluno tenha condições de

identificar as informações relevantes apresentadas, a incógnita (o que se procura

saber) assim como as restrições. Nessa etapa o professor não deve dispensar os

questionamentos: Quais são as informações? O que se procura saber? Qual a

restrição?

Quando um aluno desiste de resolver um problema do qual apenas leu o

enunciado, sem nada ter esboçado, pode se deduzir que o obstáculo está na

compreensão dos conceitos e significados que o problema apresenta (BRITO, 2010,

p.36).

Estabelecimento de um Plano: é uma etapa em que o aluno faz uma

conexão entre as informações obtidas no enunciado, a incógnita e as restrições

apresentadas no problema, o que demanda tempo, pois é a concepção da ideia, o

caminho a seguir e a estratégia a usar podem surgir gradativamente ou, após várias

tentativas sem êxito. Nesse momento, o professor deve mesmo que discretamente

dar ideias que possam orientar o aluno na busca da solução. Ter uma boa ideia

quando pouco se conhece do assunto é mais difícil. As boas ideias são baseadas

nas experiências vividas e em conhecimentos adquiridos.

Execução do Plano: o plano estabelecido é apenas um roteiro que determina

os passos a seguir e executá-lo não é tarefa fácil, o que exige, além de

conhecimentos anteriores, a concentração, para ter sempre em mente a incógnita do

problema de modo a não ocultar erros. A verificação de cada passo executado é

fundamental para que não restem dúvidas.

Retrospecto ou verificação: fase importante e instrutiva da resolução do

problema, uma vez que é reexaminando o resultado final e o caminho percorrido que

o conhecimento é consolidado e aperfeiçoado. Esse processo também serve para

detectar erros, verificar se há outra maneira de resolver o problema e se o plano

estabelecido serve para resolver problemas semelhantes.

As etapas abordadas por Polya mostram, na verdade, as etapas pelas quais

passa o pensamento do aluno frente a um problema matemático. Essas etapas são

facilmente reconhecidas em alunos com estágios mais avançados de escolaridade

ao descreverem como pensaram para solucionar um problema apresentado em sala

de aula. A autora Márcia Regina Ferreira de Brito, num trabalho de pesquisa em

Psicologia da Educação Matemática, apresenta um desses relatos no livro “Solução

de Problemas e a Matemática Escolar” (2010).

Existem tipos de problemas e questões de uma prova, mas de forma geral para resolver uns problemas e questões geralmente eu sigo os seguintes passos: 1. Ler com atenção e identificar o que se pede; 2. Buscar no pensamento (ou memória) aspectos relacionados ao problema; 3. Elaborar uma resposta que resolva ou responde a questão com os elementos que parecem pertinentes. Se for necessário, relaciono com outros aspectos (BRITO, 2010, p.30).

Constata-se então, que de um modo geral essas etapas tem por finalidade

não só orientar o aluno no processo de resolução de problemas como também

auxiliar professores que pretendam trabalhar com Resolução de Problemas como

metodologia de ensino.

2.5 OS DIVERSOS TIPOS DE PROBLEMAS

No momento de selecionar ou formular problemas, o professor deve ter em

mente o que se espera do aluno. É apenas reconhecer conceitos, definições e treino

de algoritmos ou espera-se que ele possa ir além. Sendo assim, cabe ao professor

oferecer uma gama diferenciada de problemas que oportunizem o pensamento

crítico e criativo. Butts In: Krulik e Reis (1997, p.48) afirma que assim como na “arte”,

é preciso formular um problema com criatividade de um artista para que o aluno

sinta-se motivado a resolvê-lo e possa assim entender e reter os conceitos

envolvidos na solução do problema.

Esse mesmo autor enfatiza que “Estudar matemática é resolver problemas”,

logo cabe ao professor ensinar a arte de resolver problemas.

Dante (2010) diferencia os problemas matemáticos de acordo com os

objetivos de cada um. Para ele, os problemas podem ser classificados desde um

simples exercício tipo “arme e efetue” até os mais elaborados que exigem um

processo heurístico para resolvê-lo.

Problemas de reconhecimento: são exercícios em que o aluno precisa

apenas lembrar, identificar um conceito, uma definição, uma propriedade, ou o

enunciado de um teorema. Geralmente, tais problemas são propostos em forma de

verdadeiro ou falso, múltipla escolha, preencha os espaços ou comparação.

Exemplo:

Quais dos polígonos abaixo é um trapézio?

a)

b) c) d)

Fonte: a autora.

Problemas de algoritmos: são exercícios em que o aluno necessita seguir

regras, como no famoso “passo a passo”. São aqueles que pedem a execução de

técnicas operatórias. Seu objetivo é treinar a habilidade em executar um algoritmo e

reforçar conhecimentos anteriores.

Exemplos: a) Expressões numéricas: Calcule o valor de {28 – [3 x (8 – 6 : 3)] + 5} b) Decomposição de números inteiros em fatores primos (Fatoração) entre outros: Qual a fatoração completa do número 360?

Fonte: a autora.

Problemas-padrão: São problemas que envolvem o uso direto de uma ou

mais operações já aprendidas anteriormente e que não exigem qualquer estratégia,

pois a solução está explicita no enunciado, cabendo ao aluno apenas transformar a

linguagem usual em linguagem matemática e identificar as operações ou algoritmos

que serão usados para resolvê-los. Geralmente esse tipo de problema aparece

sempre no final de um capítulo no livro didático, pois o objetivo deles é recordar e

fixar os algoritmos das quatro operações fundamentais.

Exemplo: Huguinho, Zezinho e Luizinho possuem juntos 90 figurinhas. Sabendo que Huguinho tem 32 figurinhas e os outros dois possuem quantidades iguais, determine o número de

figurinhas de cada um.

Fonte: DANTE, 2005, p. 17.

Problemas–processo ou heurísticos: Geralmente são problemas em que a

solução não aparece de imediato no enunciado, nem resolvidos pela aplicação

automática de algoritmos. Tais problemas exigem do aluno um tempo para pensar e

arquitetar um plano. A palavra heurística tem origem grega, que significa "encontrar"

ou "descobrir" Esse tipo de problema aguça a curiosidade do aluno e permite que ele

desenvolva sua criatividade e seu espírito explorador, uma vez que tem de recorrer

a estratégias de resolução mais criativas para descobrir o caminho a seguir. Requer

persistência, pensamento flexível e uma boa dose de organização.

Segundo Krulik e Reys (2005, p.150) os problemas-processo propiciam

também aos alunos a oportunidade de sentir o prazer de resolver problemas

matemáticos.

Toledo (2009) acredita que quando os alunos estão livres da obrigação de

fazer “conta” para solucionar o problema ficam mais à vontade para organizar seu

próprio plano de ação.

Exemplo: Numa reunião de equipe há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, quantos apertos de mão teremos ao todo?

Fonte: DANTE, 2005, p. 18.

Problemas de aplicação: São problemas nos quais procura-se matematizar

situações reais e, por isso, os dados devem ser reais tanto nas informações quanto

nos valores numéricos apresentados. Esse tipo de problema exige conhecimento

matemático para ser resolvido, organizando os dados em tabelas, construindo

tabelas e gráficos, fazendo cálculos operacionais. Nessa ação o aluno conscientiza-

se da utilidade Matemática no cotidiano. São conhecidos como situações-problema

contextualizadas.

Exemplo: Uma bolsa amarela com moedas de 5, 10 e 25 centavos contém 435 moedas no valor de 43,45 dólares. Há três vezes mais moedas de 10 que de 25. Quantas moedas de cada tipo estão na bolsa?

Fonte: THOMAS BUTTS In: Krulik e Reys 2005, p.35.

Problema de lógica: as informações contidas neste tipo de problema são

apresentadas em forma de texto e servem de pista para a solução que não tem

base numérica, exigindo assim raciocínio dedutivo.

Exemplo: Huguinho, Luizinho e Zezinho montaram três barracas na praia.

Na barraca da direita não há prancha.

O menino que tem bóia não é vizinho do menino que tem prancha.

Na barraca de Zezinho não tem bóia nem prancha.

A prancha de Luizinho é bonita.

Qual é a barraca de cada um dos meninos?

Fonte: DANTE, 2005, p. 103.

Problemas de quebra-cabeça: Esse tipo de problema é a base da

Matemática recreativa, nem todos dependem de conhecimento matemático para

resolvê-los. Na maioria das vezes, a chave da solução está em perceber algum

truque ou alguma regularidade. Faz parte desses problemas os desafios

matemáticos, os jogos e os quebra-cabeças.

Exemplo: Com 24 palitos de fósforo, forme um quadrado de lado 3, ou seja, forme 9 quadradinhos. Como fazer para tirar apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?

Fonte: DANTE, 2005, p. 28, adaptado.

2.5.1 O ENSINO DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA EM SALA DE AULA

A Matemática não é um esporte para espectadores; não se pode desfrutar dela nem aprendê-la sem a participação ativa; por isso o princípio da aprendizagem ativa é particularmente importante para nós, professores de matemática, especialmente se considerarmos como nosso principal objetivo, o primeiro de nossos objetivos, o de ensinar o estudante a pensar. George Polya

Ensinar a resolver problema é mais complexo do que parece, pois exige que o

aluno desenvolva um pensamento produtivo e não apenas reprodutivo. Para

Werthimer (1945) apud Dante (2010, p.19) o pensamento produtivo gera novas e

diferentes soluções, o aluno inventa, busca e usa novas formas, enquanto que o

pensamento reprodutivo apenas reproduz a aplicação de métodos já conhecidos.

O pensamento produtivo precisa ser desenvolvido e cabe ao professor auxiliar

o aluno nesse processo para que ele tenha segurança e êxito e, dessa forma, possa

apropriar-se do conhecimento matemático para atuar no mundo.

Bem poucos adultos já viram uma aplicação da fórmula quadrática ou de um teorema da geometria, por exemplo; o que eles podem e deveriam ter como consequência de sua educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e para usar inteligente e eficientemente os recursos à sua disposição quando confrontados com problemas em suas próprias vidas (KRULIK e REYS, 2005, p.22).

Para esses mesmos autores, todos os momentos na sala de aula dão

oportunidades para mostrar aos alunos como pensar matematicamente, para isso o

professor deve selecionar ou inventar problemas que sejam interessantes aos

alunos, levando em conta a escolha do vocabulário, a extensão e a estrutura das

frases ou sentenças, o tamanho e a complexidade dos números, pois esses fatores

podem contribuir para o fracasso ou para êxito do aluno frente à resolução de

problemas. Davis e Mckillip In: Krulik e Reys (1997, p.115) defendem a ideia de que

“O êxito conduz a atitudes positivas e assim precisamos começar com êxito”.

É imprescindível que o professor estabeleça parte da aula para elaboração

do plano ou estratégia de resolução. Nesse momento, é relevante apresentar

sugestões de algumas estratégias para que o aluno possa incorporá-la ao seu

conhecimento e assim usá-la em outras situações, afinal a habilidade para resolver

problema não é inata, ela se desenvolve com a prática.

A resolução de problemas é uma competência prática como, digamos, o é a natação. Adquirimos qualquer competência por imitação e prática. Ao tentarmos nadar, imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés para manterem suas cabeças fora da água e, finalmente, aprendemos a nadar pela prática da natação. Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus problemas e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os (POLYA, 2006, p.4).

Muitos autores defendem essa ideia e ressaltam a importância de se ensinar

diferentes estratégias para solucionar um problema. Para Dante (2010), é papel do

professor mostrar ao aluno que não existe uma única estratégia, ideal e infalível.

D’Ambrósio (1989) ressalta que muitas vezes os alunos desistem de

solucionar um problema matemático, por não ter aprendido como resolver aquele

tipo de questão.

Musser e Shaughnessy In: Krulik e Reis (1997, p. 188) acreditam que o aluno

precisa aprender muitas estratégias de resolução de problemas para mais tarde

tomar conhecimento de como essas estratégias se generalizam quando cruzam com

outras áreas do conhecimento.

Toledo e Toledo (2009) afirmam que muitos alunos por falta de familiaridade

com estratégias apropriadas não conseguem encontrar a solução para determinados

problemas apesar de dominarem todos os conceitos e técnicas operatórias

envolvidas.

Nesse sentido, Dante (2005) sugere algumas estratégias que podem ser

ensinadas em sala de aula, cujo objetivo é auxiliar o aluno no processo de resolução

de problemas.

Tentativo e erro: evolve simplesmente a aplicação das operações pertinentes às

informações dadas.

Padrões ou regularidades: considera casos particulares do problema,

generalizando-se a partir desses casos, para se chegar à solução.

Resolver primeiro um problema mais simples: recorre a números menores,

dados mais simples do que àqueles apresentados no enunciado para depois

aplicar o mesmo pensamento no problema original.

Reduzir à unidade: envolve a determinação da unidade a fim de descobrir um

valor maior.

Fazer o caminho inverso: essa estratégia consiste em desfazer as operações

que permitiram chegar ao resultado final.

Essas estratégias não são ferramentas exclusivas da matemática, ao

contrário, o uso das mesmas cabe em qualquer outra área do conhecimento que

seja necessário solucionar problemas, por isso a relevância de serem ensinadas no

ambiente escolar, especialmente na disciplina de Matemática, uma vez que resolver

problemas é uma particularidade desta área.

O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver pelos seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter (POLYA, 2006, Prefácio).

Sendo assim, cabe ao professor propor problemas que motivem e desafiem

os alunos a resolvê-los. Para Brito (2010) os problemas propostos devem despertar

a atenção do aluno, engajá-los na tarefa e ser visto como desafio ao pensamento.

Para Polya (2006) um dos mais importantes deveres do professor é o de

auxiliar os alunos. O primeiro passo é propor problemas adequados ao nível de

conhecimento, em seguida é permitir um tempo para apresentar o problema e,

finalmente, auxiliá-los, nem muito, nem pouco apenas o suficiente para que possam

desfrutar a satisfação da descoberta. “[...] há sempre uma pitada de descoberta na

resolução de qualquer problema” (POLYA, 2006, Prefácio).

2.6 ENCAMIHAMENTO METODOLÓGICO

Nesta unidade didática serão explorados o conceito de “problema”. Para isso,

será disponibilizado aos alunos o texto “O Circo da Matemática”, adaptado da obra

de Monteiro Lobato “Aritmética da Emília”.

Primeiramente serão levantados os questionamentos:

Vocês conhecem o livro “Aritmética da Emília”?

Quem serão os artistas do Circo da Matemática?

Nesse momento, o professor poderá registrar no quadro as opiniões

apresentadas pelos alunos. A seguir farão a leitura silenciosa e, posteriormente, a

mesma será feita pelo professor que direcionará o confronto das opiniões com as

informações do texto.

O Circo da Matemática

Visconde de Sabugosa, o sábio sabugo de milho, do Sítio do Picapau Amarelo

estava pensativo. Ele precisava urgentemente inventar uma viagem fantástica senão

iria ficar desmoralizado perante os netos de Dona Benta e principalmente de Emília, a

bonequinha de pano. Já estava pensado há uma semana e nada. Por fim deu uma

risadinha verde, bateu na testa e saiu gritando:

____ Heureca! Heureca!

Emília, que vinha entrando do quintal, parou espantada, e depois começou a

berrar de alegria:

____ Venham todos, o Visconde achou! O Visconde achou!

A gritaria foi tanta que todos vieram correndo, até o rinoceronte Quindim que

ultimamente andava desanimado.

____ Achou o quê? ___perguntaram todos.

____ Não sei, mas quando entrei na sala vi o Visconde batendo na testa e

gritando Heureca! Ora bolas, Heureca é uma palavra grega que quer dizer “achei”.

___ Acalmem-se! Realmente eu achei. Achei uma linda terra, um lugar que

nenhum de nós ainda conhecemos, “O País da Matemática”.

___ Eu descobri uma Aritmética que ensina todos os caminhos.

Todos olharam espantados. A ideia até que era boa.

___ Para quando é a partida? Viagem é comigo mesma! __ questionou

Narizinho.

___ Não tenham pressa. __ respondeu Visconde. ___ A minha ideia é fazer uma

viagem diferente. Não somos nós que iremos para o País da Matemática, mas sim o

País da Matemática que virá até o sitio.

___ Que ideia genial! Mas como o Senhor pensa fazer isso? __exclamou Emília

meio desconfiada.

___ É simples, vou organizar um circo e convidar o pessoal do País da

Matemática para apresentar um espetáculo diante de nós. Até mesmo porque esse

meu reumatismo me impede de fazer qualquer viagem.

O circo num instantinho foi armado no pomar. Era um circo de faz-de-conta. Só

a cortina que separava o picadeiro dos bastidores não era de faz-de-conta. Ela foi feita

com um cobertor velho que Pedrinho manobrava com um barbante, abrindo e fechando

a passagem.

Circos de faz-de-conta são fáceis de armar, de modo que rapidinho o Grande

Circo da Matemática ficou pronto. O pessoal do País da Matemática chegaria logo após

o café da manhã.

E assim foi. Logo após o café todos se dirigiram para o pomar onde estava

armado o circo.

____ Pronto senhor Visconde, pode começar a bagunça! ___ gritou Emília

animadíssima.

Visconde tossiu um pigarrinho e por fim falou:

___ Respeitável público! Vou começar a viagem com a apresentação dos

artistas que acabaram de chegar. Peço a maior atenção e respeito, pois isso não é

bagunça como acabou de mencionar a senhorita Emília.

___ Um, dois e.... três. __ rematou Visconde estalando o chicote no ar.

Imediatamente o cobertor que servia de cortina foi aberto e os artistas foram

sendo apresentados por Visconde.

___ Espere! Espere um pouco, quem é aquele cidadão que veio sem ser

chamado? __ perguntou Emília apontando para um senhor de olhar carrancudo.

___ Aquele é o senhor Problema. Um sujeito que gosta de ser bem resolvido.

___ Que ar casmurro ele tem! __enfatizou Emília.

___ Não é para menos. Ele vive preocupado em encontrar uma certa senhora,

justamente aquela que vem entrando, a Dona Solução.

___ Respeitável público. ___disse ela com desembaraço. ___ Eu sou a

Solução, uma senhora importantíssima, afinal o mundo anda cheio de problemas de

todas as espécies, de modo que ninguém tem sossego enquanto eu não apareço.

___ Mas como a senhora resolve os problemas? ___ questionou Narizinho

curiosa.

___ De mil modos, e aí está minha ciência.

Pedrinho, que andava preocupado com Quindim, teve uma ideia. Virou-se para

dona Solução e disse:

___ Minha senhora, estamos com um problema. Nosso amigo Quindim de uma

hora para outra perdeu o apetite, não brinca mais e anda meio nostálgico. A senhora

que é grande resolvedora de problemas bem que poderia nos ajudar a resolver o

problema do Quindim.

A dama olhou para o paquiderme e disse sorrindo.

___ O problema do seu amigo é um problema de saúde, só um médico pode

resolver. Eu só resolvo problema matemático, seja ele do tipo que for. Sinto muito,

nada posso fazer nesse caso.

(Texto adaptado da obra de Monteiro Lobato, Aritmética da Emília- Ed Brasiliense, SP, 1974)

Esse texto tem como objetivo preparar o ambiente para o questionário

investigativo. Cabe, neste momento, as seguintes observações para que os alunos

reflitam sem omitir opinião:

Dona Solução disse que o mundo está cheio de problemas de todas as

espécies, mas que ela só resolve problema de matemática.

Disse também que ela tem mil modos de resolver problemas e que eles não

sossegam enquanto ela não aparece. Será que realmente tem modos diferentes de

resolver problemas?

Será que todos tem solução?

Na sequência será disponibilizado aos alunos um questionário escrito e

individual que tem como finalidade conhecer a relação do aluno com a resolução de

problema frente às experiências escolares anteriores. Esse material analisado

posteriormente contribuirá para a fundamentação do artigo cientifico visando a

mudança na prática pedagógica.

Questionário investigativo

1) Na sua concepção, o que é um problema?

2) O que é um problema matemático?

3) Você acha importante aprender a resolver problemas matemáticos? Por quê?

4) Quando você entrou na escola o que aprendeu primeiro: as operações

matemáticas (continhas) ou “problemas”? Justifique sua resposta.

5) Todo problema matemático necessita de “contas” para ser resolvido? Justifique

sua resposta.

6) Os problemas matemáticos têm apenas uma única resposta correta? Justifique

sua resposta.

7) De que maneira você identifica o que precisa ser feito para solucionar o

problema? Justifique sua reposta.

8) Você faz uso de registros escritos para retirar as informações do problema?

Justifique sua resposta.

As respostas do questionário serão socializadas com a turma de forma a criar

um ambiente produtivo para o trabalho de resolução de problemas.

A classe deverá eleger a melhor definição de “problema matemático” dentre

todas que forem abordadas. Só então o professor deve apresentar a definição dada

por Dante (2005, p. 10):

Problema matemático é qualquer situação que exija a maneira matemática de

pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.

Também pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 44).

Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma

sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução

não está disponível de início, mas é possível construí-la.

Momento de refletir:

Quando a professora de Matemática lhe entrega um problema e pede que o

resolva, quais são os passos que você utiliza para resolvê-lo? Registre-os por

ordem de execução.

Após as respostas pelos alunos, haverá um momento de socialização com a

classe.

O objetivo dessa questão é fazer com que o aluno perceba que para resolver

um problema é necessário seguir alguns procedimentos (etapas) como: Leitura e

compreensão do problema (interpretação); elaboração de uma estratégia de

solução; execução da estratégia elaborada e, por último, a verificação da resposta

encontrada. Ela realmente satisfaz a condição do enunciado do problema?

Neste momento, serão apresentadas, de forma esquemática, as quatro

etapas abordadas por George Polya em seu livro “A arte de resolver problemas” e

disponibilizada por Dante, 2005, p. 29, as quais têm como objetivo apenas orientar

no processo de resolução de um problema. “É claro que elas não são rígidas, fixas e

infalíveis” (Dante, 2005, p.22).

Compreender o problema

a) O que se pede no problema?

b) Quais sãos os dados e as condições do problema?

c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

d) É possível estimar uma resposta?

Elaborar um plano

a) Qual é o seu plano para resolver o problema?

c) Que estratégia você tentará desenvolver?

c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?

d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.

e) Tente resolver o problema por partes.

Executar o plano

a) Execute o plano elaborado, verificando passo a passo.

b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.

c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o

mesmo problema.

Fazer um retrospecto ou verificação

a) Examine se a solução obtida está correta.

b) Existe outra maneira de resolver o problema?

c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

Para verificar a compreensão do aluno quanto às etapas de resolução de

problemas será apresentado na TV pendrive duas tirinhas, uma do Pateta (Walt

Disney) e outra do Ferd’Nand (Henrik Rehr). Essas tirinhas foram reproduzidas do

livro Projeto Araribá, 5ª série, 1ª edição, Editora Moderna, 2004, p.14 e15).

Os problemas desenvolvidos nesta unidade didática procuram dar ênfase

àqueles que não utilizem necessariamente de algoritmos para resolvê-los, pois

apenas os conhecimentos e técnicas de cálculos não são muitas vezes, suficiente

para encontrar a solução de um problema. Raciocínio, lógica e imaginação são

requisitos fundamentais que indicam o caminho a percorrer para chegar com mais

rapidez à resposta correta do problema.

A seguir, apresentamos um rol de problemas que atendem ao enfoque acima

explicitado. Os mesmos serão apresentados em duas fases.

2.6.1 Problemas da 1ª fase:

“Aprender sem pensar é trabalho perdido”

Confúcio (551-479 a. C.)

Os problemas apresentados nessa fase exigem do aluno a busca de

estratégias diferentes para solucioná-los, uma vez que o uso das operações

fundamentais por si só não os soluciona.

O objetivo desta etapa de trabalho é deixar o aluno livre para pensar.

O trabalho será proposto em duplas e socializado com a turma. Nesse

momento cabe ao professor orientar as discussões.

1) Na aula de Matemática, a professora pediu aos seus alunos que escrevessem

num pedaço de papel qual era o animal de estimação de cada um e que não

revelassem a nenhum de seus colegas. Após verificar as respostas dadas por eles,

foi feita a seguinte anotação no quadro.

Há, no total, 18 alunos que possuem apenas um animal de estimação.

Alguns alunos têm animal que possui duas patas e outros alunos têm animal

que possui quatro patas, totalizando assim 50 patas.

Você é capaz de descobrir quantos alunos possuem animal de quatro patas?

Resolução:

Como na pesquisa constatou-se que 18 alunos possuíam animais de

estimação, conclui-se que há, no total, 18 animais.

Outro dado importante é que há animais de duas e de quatro patas num total

de 50 patas. Nessas condições, faremos todas as possíveis quantidades de animais

levando em conta a condição de serem 18 animais e 50 patas. Para demonstrar

essas possibilidades optamos por uma tabela onde serão colocadas todas as

informações contidas no enunciado do problema.

Usando a estratégia de Tentativa e erro organizado, podemos encontrar a

resposta que satisfaz às condições do enunciado do problema, ou seja, 18 animais

já que cada aluno possui apenas um animal e 50 patas. Sendo assim, podemos

afirmar que dentre os 18 alunos que possuem animal de estimação 7 deles possuem

animais de quatro patas.

Comentários:

O problema poderia ser rapidamente resolvido por uma equação linear, no

entanto esse conteúdo não faz parte do currículo do 6º ano do Ensino Fundamental.

Aqui ele tem como objetivo fazer com que o aluno se aventure em busca de

possibilidades até encontrar aquela que satisfaça a condição dada no problema. É

importante, nesse momento, que o professor questione o aluno se realmente é

necessário procurar todas as possibilidades. O aluno precisa perceber se o número

de patas está muito além da condição do enunciado e fazer estimativas mais

próximas exercitando assim o raciocínio lógico.

2) O avô de Carol sempre gostou de matemática. Ele adora inventar desafios para a

neta. Carol que é uma menina muito esperta sempre descobre uma estratégia e

Animais com duas patas

Animais com quatro patas

Total de patas Nº de

animais Nº de patas Nº de

animais Nº de patas

1 1 x 2 = 2 17 17 x 4 = 68 2 + 68 = 70

2 2 x 2 = 4 16 16 x 4 = 64 4 + 64 = 68 3 3 x 2 = 6 15 15 x 4 = 60 6 + 60 = 66

4 4 x 2 = 8 14 14 x 4 = 56 8 + 56 = 64

5 5 x 2 =10 13 13 x 4 = 52 10 + 52 = 62

6 6 x 2 =12 12 12 x 4 = 48 12 + 48 = 60

7 7 x 2 = 14 11 11 x 4 = 44 14 + 44 = 58

8 8 x 2 =16 10 10 x 4 = 40 16 + 40 = 56

9 9 x 2 =18 9 9 x 4 = 36 18 + 36 = 54

10 10 x 2 =20 8 8 x 4 = 32 20 + 32 = 52

11 11 x 2 =22 7 7 x 4 = 28 22 + 28 = 50

nunca deixa o avô sem uma resposta.

Veja o desafio que ele propôs a ela.

Numa caixa contém dois cartões numerados com números inferiores a cem.

Eles têm os mesmos algarismos mas, na ordem contrária. A soma dos algarismos de

cada um deles é 12 e a diferença entre os números dos cartões é 18. Quais são os

números dos cartões que estão na caixa?

Resolução:

Se os números são inferiores a cem, logo são formados por dois algarismos.

Levando em conta as condições do enunciado temos:

Primeira condição: A soma dos dois algarismos tem como resultado 12,

iremos primeiramente listar todas as possibilidades que satisfazem a primeira

condição:

39 = 3+9 = 12

48 = 4+8 = 12

57 = 5+7 = 12

66 = 6+6 = 12

75 = 7+5 = 12

84 = 8+4 = 12

93 = 9+3 = 12.

Segunda condição: Os algarismos dos números dos dois cartões são iguais

porém na ordem contrária e a diferença entre eles é 18. Fazendo uso da estratégia

tentativa e erro facilmente encontraremos a resposta.

93 - 39 = 54

84 - 48 = 36

75 - 57 = 18

66 - 66 = 0

Logo os números dos cartões são 75 e 57.

Comentários:

Nesse caso o aluno primeiramente precisa ter formado o conceito de que

todos os números inferiores a cem são formados por dois algarismos. Mesmo

fazendo uso de técnicas operatórias esse procedimento não é mecânico, pois ele

precisa ter em mente as condições do problema, isto é, a soma de ambos deve

resultar em 12. Outro ponto importante é compreender o valor posicional de cada

algarismos uma vez que eles aparecem nos cartões na ordem contrária.

O aluno irá se deparar com várias possibilidades, no entanto precisa

confrontar todas as possibilidades encontradas com a condição dada no enunciado

isto é, a diferença entre esses dois números é 18.

É claro que esse problema poderia ter sido resolvido por meio de um sistema

de duas equações, mas esse não é conteúdo do 6º ano. Todavia, cabe seu

comentário nesse texto, ou seja, supondo que o número em um dos cartões seja xy,

consequentemente, o número do outro cartão é yx. Dessa forma, as equações

seriam: x + y = 12 e yx – xy = 18, ou seja, x + y = 12 e (10y + x) – (10x +y) = 18, ou

ainda, x + y = 12 e 9y – 9x = 18. Resolvendo o sistema, chega-se à solução já

encontrada por tentativa e erro, ou seja, os números são 75 e 57.

3) No pátio da escola será feito um mural com a reprodução de um quadro do artista

brasileiro Di Cavalcanti. Cada aluno ficou responsável de reproduzir uma parte do

quadro para que no final o quebra-cabeça fosse montado. Todas as partes

apresentam dimensões iguais e serão afixadas com tachinhas. Na primeira parte,

serão usadas 4 tachinhas e para economia de tachinha as demais serão unidas pela

anterior. Sendo assim, na primeira parte foram utilizadas 4 tachinhas; até a segunda

parte, 6 tachinhas; até a terceira parte, 8 tachinhas e assim sucessivamente até

afixar as 50 partes. Quantas tachinhas serão usadas?

Resolução:

A partir da segunda reprodução afixada, o número de tachinha aumenta em

duas unidades o que poderá ser representado em uma linguagem ilustrada para que

as tachinhas possam ser contadas e assim perceber a regularidade que aparece a

cada nova reprodução afixada.

A seguir deve-se representar matematicamente essa regularidade, isto é, a

cada parte afixada aumentam-se duas tachinhas.

Logo, para afixar as 50 partes do quadro no mural serão usadas 102 tachinhas.

Comentários:

Neste tipo de problema o aluno precisa visualizar a sequência numérica que é

estabelecida no enunciado, fazendo uma representação gráfica para assim,

compreender a regularidade que aparece a cada nova parte do mural que é afixada,

uma vez que ele não tem conhecimento de Progressão Aritmética por ser conteúdo

do Ensino Médio.

4) A prefeitura de uma pequena cidade do Paraná desenvolveu um projeto de plantio

de árvores frutíferas num bairro localizado na periferia da cidade, com o objetivo de

incluir frutas na alimentação dos moradores sem nenhum custo. Para isso foram

disponibilizadas 200 mudas entre mangueiras e goiabeiras que deverão ser

plantadas na avenida que cruza o bairro. As mudas devem ser plantadas de forma

alternada iniciando com uma muda de goiabeira.

O coordenador do Projeto fez um esquema para facilitar o trabalho da equipe.

Você é capaz de descobrir se a 126ª muda plantada é uma goiabeira ou uma

Nº de partes Nº de tachinhas Sentença matemática

1 4 1 x 2 + 2 = 2 + 2 = 4

2 6 2 x 2 + 2 = 4 + 2 = 6

3 8 3 x 2 + 2 = 6 + 2 = 8

4 10 4 x 2 + 2 = 8 + 2 = 10

5 12 5 x 2 + 2 = 10 + 2 = 12

50 ? 50 x 2 + 2 = 100 + 2 = 102

° ° °°

°°

° °° °

°°

mangueira?

Resolução:

Nesse caso a melhor estratégia é fazer uma sequência alternando goiabeiras

e mangueiras. Para isso será usada a letra “G” para indicar goiabeiras e a letra “M”

para indicar mangueiras.

G, M, G, M, G, M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126ª

Com essa sequência é possível perceber que a muda de goiabeira ocupa a

1ª, 3ª, 5ª, 7ª posição e assim sucessivamente e que o mesmo acontece com a muda

de mangueira que ocupa a 2ª, 4ª, 6ª e assim sucessivamente, ou seja, mantendo a

condição do enunciado do problema as mudas de goiabeiras sempre manterão

posições pares e as mudas de mangueiras posições ímpares. Logo, a 126ª muda

será uma muda de mangueira.

Comentários:

O objetivo do problema é fazer com que o aluno associe as posições das

mudas com a sequência dos números naturais pares e ímpares. Para isso o

professor deverá auxiliar o aluno com indagações que os conduza a esse raciocínio.

5) Seu Manoel é encarregado da alimentação dos elefantes do zoológico onde

trabalha. Por recomendações do veterinário ele deve complementar a alimentação

dos animais com uma ração especial.

Para alimentar diariamente os quatro elefantes, foi recomendado usar 64

quilogramas dessa ração.

Na semana passada chegaram mais dois elefantes que receberão a mesma

alimentação dos demais. Quantos quilos deverão ser gastos por dia para alimentar

todos os elefantes, considerando que todos comem, em média, a mesma

quantidade?

Resolução:

O primeiro passo é determinar quantos elefantes serão alimentados no total,

ou seja, 6 elefantes (4 + 2).

Se para quatro elefantes são gastos 64 Kg de ração, para 6 serão

necessários quase o dobro, mas como descobrir essa quantidade?

1ª estratégia – operações fundamentais: 64 Kg de ração ÷ por 4 elefantes = 16 Kg,

isto é, cada elefante come, em média, 16 Kg de ração. Sendo assim, 6 elefantes

comerão em média 96 Kg (6 x 16) ou, ainda, 2 x 16 = 32. Logo, serão necessários

96 Kg de ração (64 + 32).

2ª estratégia – redução à unidade: neste caso, o recurso é calcular a quantidade de

ração para 4, 2 e 1 elefantes. Para isso, o professor deve orientar o raciocínio lógico

do aluno com indagações para que ele perceba que quando o número de elefantes

reduzir à metade a quantidade de ração deve reduzir na mesma proporção. Nesse

caso, o uso de tabelas é indicado para que o aluno possa visualizar seu raciocínio.

Nº de elefantes

Ração (Kg)

4 64

2 = ( 4 ÷ 2 ) 32 = (64 ÷ 2 )

1 = (2 ÷ 2 ) 16 = (32 ÷ 2 )

Sendo assim, basta somar o número de elefantes de modo a encontrar o

número mencionando no enunciado do problema, ou seja, 4 + 2 = 6. Adotando o

mesmo procedimento para calcular a quantidade de ração, temos: 64 + 32 = 96.

Logo, para complementar a alimentação de 6 elefantes serão necessários 96 Kg de

ração especial.

Comentário:

Ao recorrer à redução de unidade exige-se do aluno o raciocínio de

proporcionalidade, uma vez que, ao diminuir o número de elefantes à metade,

consequentemente diminuirá pela metade a quantidade de ração. Embora o

conteúdo “Proporção” faça parte do currículo do sétimo ano, torna-se rica a

experiência ao adotar problemas que envolvem esse conceito, pois a forma de

raciocínio leva os alunos a utilizá-lo, sem o formalismo a ele inerente. Alunos do

sétimo ano, com certeza, recorreriam a uma regra de três simples para resolver

problemas como esse.

6) Rose saiu de casa para fazer compras e desatenta não verificou quantos reais

possuía na carteira. Ao retornar, constatou que restara apenas 20 reais.

Rapidamente foi olhar as notas fiscais de suas compras. Nesse momento, ela

constatou um fato curioso: Ela entrara em três lojas e em cada uma delas gastara a

metade do que tinha gasto na loja anterior. Lembrou ainda que ao final das compras

gastara 10 reais num lanche que fez na padaria.

Você é capaz de descobrir quantos reais Rose tinha na carteira ao sair de casa?

Resolução:

Sabe-se que Rose voltou com 20 reais na carteira e que gastou 10 na

padaria, logo se ela não tivesse passado na padaria ela teria na carteira 30 reais

(20 + 10).

Para chegar a esse resultado foi feito o caminho inverso, sendo assim basta

seguir o mesmo raciocínio para os outros gastos. Logo, teremos que:

- ao sair da terceira loja restaram em sua carteira 30 reais. Isso significa que ao

entrar nessa loja ela tinha 60 reais e gastou a metade, ou seja, 30 reais

(60 ÷ 2 = 30).

- se ela saiu da segunda loja com 60 reais, significa então, que ao entrar na loja ela

tinha 120 reais na carteira, pois gastou apenas a metade, ou seja, 60 reais

(120 ÷ 2 = 60).

- se ela saiu da terceira loja com 120 reais, significa que ao entrar na loja ela tinha

na carteira 240 reais e gastou a metade, ou seja, 120 reais (240 ÷ 2 = 120).

O esquema a seguir facilita o raciocínio.

Valor na carteira 3ª loja 2ª loja 1ª loja

30 reais 60 reais 120 reais 240 reais

dobro dobro dobro

Usando a estratégia de percorrer o caminho inverso, é possível descobrir que

Rose gastou 30 reais na 3ª loja, 60 reais na 2ª e 120 reais na 1ª e 30 reais ficaram

na carteira. Logo, Rose ao sair de casa possuía 240 reais na carteira

(30 + 60 + 120 + 30 = 240).

Retrospecto ou verificação:

Rose saiu de casa com 240 reais na carteira, gastou na 1ª loja a metade, isto

é, 120 reais. Dessa forma lhe restaram 120 reais. Na 2ª loja, gastou a metade, ou

seja, 60 reais e, portanto, lhe restaram 60 reais. Finalmente, na 3ª loja, gastou

novamente a metade do que possuía, ou seja, 30 reais, sobrando-lhe 30 reais.

Como ela gastou na padaria 10 reais, voltou para casa com 20 reais na carteira,

confirmando a condição apresentada no problema.

Comentário:

Nesse tipo de problema são explorados os conceitos de dobro e metade,

assim como as operações a eles associadas, ou seja, a multiplicação e a divisão. O

aluno precisa perceber que o valor gasto na padaria serve como alavanca para

desencadear o raciocínio que permite solucionar o problema.

7) Na família de Ana todos gostam de economizar. Ela e seu irmão João possuem a

mesma quantia em dinheiro. Quanto ela deve dar a João para que ele passe a ter 10

reais a mais do que ela, e assim conseguir comprar o presente de aniversário de sua

mãe?

Resolução:

Como o problema não oferece dados suficientes é necessário que o professor

auxilie o aluno a fazer suposições.

Suponhamos que ambos possuam 100 reais. Se Ana der 10 reais ao irmão,

ele passará a ter 10 reais a mais do que ela, ou seja, ficará com 110 reais e ela com

90 reais. Nesse caso, ele ficará com 20 reais a mais do que ela (110 – 90 = 20).

Caso Ana dê a João 5 reais, ele passará a ter 105 reais e ela ficará com 95

reais. Ou seja, ele ficará com 10 reais a mais do que ela (105 – 95 = 10).

Portanto, com base na suposição feita inicialmente, conclui-se que ela deve

dar 5 reais ao irmão para satisfazer às condições do problema.

Comentários:

A abordagem desse tipo de problema no sexto ano exige do aluno o

levantamento de suposições, uma vez que não traz informações suficientes. A

riqueza do problema é justamente esse ponto, aprender a fazer suposições. O

interessante é deixar que cada aluno proponha uma quantia inicial e, a partir da

análise da situação, de modo a que a diferença de dinheiro entre ambos seja 10

reais, seja possível concluir que sempre a quantia que ela deve dar ao irmão é a

metade do que ele precisa.

Se o mesmo problema for proposto para alunos do sétimo ano, eles

certamente usarão uma solução algébrica.

Seja x a quantia inicial que cada um possui e y a quantia que João receberá de sua

irmã. Dessa forma, Ana ficará com (x – y) e seu irmão com (x + y). Tem-se ainda que

a diferença entre a quantia que João passou a ter a quantia que sobrou para a irmã

é de 10 reais, ou seja, (x + y) – (x – y) = 10. Resolvendo a equação, encontra-se que

y = 5, o que confirma o raciocínio anterior.

8) Uma ONG em parceria com um grande supermercado desenvolveu uma

campanha “Criança feliz é criança alimentada”. Essa campanha permite trocar

quatro caixinhas de leite vazias por uma caixinha cheia. Quantas caixinhas de leite

pode obter uma pessoa que possua 43 caixinhas vazias fazendo várias dessas

trocas?

Resolução:

A resolução consiste em fazer mais de uma troca:

1ª troca: 43 ÷ 4 = 10 e restam ainda 3 caixinhas, ou seja, a pessoa receberá 10

caixinhas cheias e ainda ficará com mais 3 caixinhas, totalizando13 caixinhas, quais

depois de vazias poderão ser trocadas.

2ª troca: 13 ÷ 4 = 3 e resta ainda uma caixinha vazia, totalizando 4 caixinhas, quais

depois de vazias poderão ser trocadas.

3ª troca: 4 caixinhas vazias que serão trocadas por uma cheia.

Logo, uma pessoa que possua 43 caixinhas de leite vazias poderá obter 14

caixinhas cheias (10 + 3 + 1), fazendo três trocas.

Comentários:

A riqueza de um problema como este está no fato do aluno precisar trabalhar

com o resto da divisão, que, necessariamente, faz parte do processo da solução do

problema. Caso o aluno não consiga perceber que o resto será incorporado nas

trocas, caberá ao professor auxiliá-lo.

2.6.2 Problemas da 2ª fase

“Cada problema que resolvi tornou-se uma regra, que serviu depois para resolver outros problemas”.

René Descartes (1596 -1650)

Os problemas apresentados nessa fase têm como objetivos:

- Explorar o raciocínio lógico, uma vez que a lógica pode ser definida como a ciência

que estuda o pensamento e raciocínio;

- Criar um ambiente de descoberta e criatividade onde o aluno possa estimular sua

capacidade de pensar e enfrentar situações novas.

- Demonstrar que nem todos os problemas exigem cálculos matemático para

solucioná-los .

1) Que número deve aparecer na porta do terceiro moinho?

2

5 6

3

9

7

8

6

4

0

9

5

3 2 ?

Resolução:

Uma primeira constatação é que o número da porta do moinho é a subtração

dos números que estão à esquerda da porta ou à direita da porta, ou seja:

1ª porta: 3 = 5 – 2 e 3 = 6 – 3 e 2ª porta: 2 = 9 – 7 e 2 = 8 – 6. Portanto,

seguindo o mesmo raciocínio o número que deve aparecer na terceira porta é 4, pois

4 – 0 = 4 e 9 – 5 = 4.

Mas será que essa é única solução? A resposta para esta pergunta é não.

Podemos operar com os números que aparecem em cada pá. Nesse caso,

teremos por exemplo:

1ª porta: (𝟔−𝟐)+(𝟓−𝟑)

𝟐=

𝟒+𝟐

𝟐=

𝟔

𝟐= 3

2ª porta: (𝟗−𝟔)+( 𝟖−𝟕)

𝟐=

𝟑+𝟏

𝟐=

𝟒

𝟐= 2

Portanto, na 3ª porta teremos: ( 5−4)+( 9−0)

2=

1+9

2=

10

2= 5

Comentário:

Esse tipo de problema requer a observação dos dados, para a análise da

situação. Note que, nem sempre a resposta é única, o que confere a grandiosidade

do problema, pois, em geral, os problemas apresentados aos alunos têm sempre

uma única solução.

2) Juca gosta muito de matemática. Ele associa a matemática até nas suas

brincadeiras. Num jogo com cartas numeradas, ele registrava em uma tabela os

números que tirava aleatoriamente do baralho e também a pontuação obtida com

essas cartas. Você é capaz de descobrir qual foi a regra do jogo e com isso

descobrir quantos pontos Juca obteve na quarta jogada?

Veja os registros de Juca.

Nº de jogadas Valor das cartas Pontuação obtida

1ª 2; 3; 5 e 6 4

2ª 5; 6; 8 e 9 7

3ª 1; 2; 8 e 9 5

4ª 0; 3; 4 e 9 ?

Resolução:

Note que se somarmos os valores de cada carta e dividirmos pelo total de

cartas retiradas do baralho (média aritmética) encontramos como resultado a

pontuação que ele fez em cada jogada. Confira:

1ª jogada: 𝟐+𝟑 𝟓+𝟔

𝟒=

𝟏𝟔

𝟒= 𝟒

2ª jogada:𝟓+𝟔+𝟖+𝟗

𝟒=

𝟐𝟖

𝟒= 7

3ª jogada: 𝟏+𝟐+𝟖+𝟗

𝟒=

𝟐𝟎

𝟒= 5

Portanto, na 4ª jogada a pontuação deve ser: 0+3+4+9

4=

16

4= 4

Comentários:

É importante destacar que nesse problema a informação das cartas na

terceira jogada é fundamental, pois apenas as informadas nas duas primeiras

jogadas poderia forçar a ideia de que o número de pontos é também o número que

falta na sequência, pois, na 1ª jogada os números foram 2; 3; 5 e 6 e, portanto, faltou

o 4. Na 2ª jogada a sequência foi 5; 6; 8 e 9 faltando assim o 7. Mas com a

informação da 3ª jogada essa ideia não se aplica, uma vez que os números não são

sequenciais, sendo necessário outro raciocínio.

Para isso, deve-se procurar outra lei, o que é conseguido por meio de

operações com os números registrados nas cartas.

Um questionamento interessante a fazer aos alunos é: A pontuação será

sempre um número inteiro? Isso levará o aluno ao processo de investigação em

matemática e que poderá ser realizado individualmente ou em grupos, cabendo ao

professor o papel de orientador. Ao final, pode-se solicitar que os alunos apresentem

quatro registros em que a pontuação não seja um número inteiro.

Um fato interessante pode ser o estabelecimento de nova regra no jogo

quando a pontuação não for um número inteiro. Por exemplo:

Descartar uma carta e fazer a média aritmética das restantes.

Vejamos um exemplo: Se as cartas retiradas do baralho fossem 1; 3; 4 e 5, a

pontuação obtida pela regra original seria: 1+3+4+5

4=

13

4= 3,25.

Com a nova regra, ou seja, descartando uma das cartas, a pontuação poderá

ser: 3+4+5

3=

12

3= 4 ou, ainda,

1+3+5

3=

9

3 = 3.

O aluno deverá perceber que com essa regra a melhor opção é descartar a

carta com o menor registro, para que obtenha a maior pontuação.

3) Numa gincana cultural realizada na escola de Marcos, foi apresentado as equipes

o seguinte desafio.

Analise as sequências de letras em cada linha e descubra qual deve ser a ordem

das letras na quarta linha.

A

B

C

D

E

E

D

B

C

A

A

C

D

B

E

Resolução:

A partir da primeira linha, as demais são obtidas considerando a ordem:

última, penúltima, segunda, terceira e primeira, da linha anterior. Nesse caso, a

sequência de letras na quarta linha é E, B, C, D, A.

Comentário:

Caso os alunos apresentem dificuldades em encontrar a sequência correta, o

professor poderá auxiliá-los com os questionamentos: “A primeira letra da segunda

sequência que posição ocupa na linha anterior?”; “Isso ocorre para a terceira linha?”

Analise, também, a posição das demais letras em relação à linha anterior.

Essas dicas poderão ajudá-los a encontrar a regularidade das sequências e

assim descobrir a sequência da quarta linha.

Sugestão:

O professor poderá repetir o desafio anterior para a sequência numérica a

seguir.

1

2

3

4

5

3

5

4

2

1

4

1

2

5

3

4) Em uma exposição de artes serão expostos quadros de vários pintores famosos.

Numa mesma parede serão afixados 4 quadros: um de Di Cavalcanti, um de Monet,

um de Picasso e um de Renoir, todos enfileirados horizontalmente. Sabe-se que o

segundo quadro da esquerda para a direita é de Monet e que deverá ficar ao lado do

quadro de Picasso, mas não ao lado do quadro de Renoir. Onde deverá ser

colocado o quadro de Di Cavalcanti já que ele não ficará ao lado do quadro de

Renoir?

Resolução:

Sabe-se que o segundo quadro da esquerda para a direita é de Monet. Sendo

assim, a primeira hipótese é supor que o primeiro quadro da sequência é de

Picasso. Nesse caso, os quadros de Di Cavalcanti e Renoir ficariam lado a lado, o

que não pode ocorrer. Logo, o primeiro quadro não pode ser de Renoir, mas sim de

Di Cavalcanti. Dessa forma, a sequência correta é: Di Cavalcanti, Monet, Picasso e

Renoir.

Uma maneira de verificar se realmente essa é a sequência dos quadros na

parede é fazer uma representação gráfica e constatá-la com as informações dadas.

Cavalcanti Monet Picasso Renoir

Comentários:

Esse tipo de problema apesar de não necessitar de cálculos matemáticos

para resolvê-lo exige maior atenção no momento da leitura. Todas as informações

devem ser analisadas com muito cuidado por isso, a representação gráfica é

indicada como estratégia de resolução.

O primeiro conceito a ser explorado é o de lateralidade, pois a posição do

quadro de Monet é fixada pela informação “segundo quadro da esquerda para a

direita”. Em seguida, descobre-se que o quadro de Renoir não pode ser o primeiro e

nem o terceiro, da esquerda para a direita. Nesse caso, dois quadros já estão com a

posição definida.

A

informação de que o quadro de Renoir e de Di Cavalcanti não podem estar lado a

lado, obriga o quadro de Di Cavalcanti ocupar a primeira posição.

Note que o esquema gráfico facilita a montagem do problema, mas a

interpretação é crucial para o entendimento do texto e a resolução correta.

5) Vitória convidou Laura e Luísa para dormirem em sua casa e pediu que sua mãe

preparasse uma bebida quentinha para ela e suas amigas, de acordo com a

preferência de cada uma. A mãe de Vitória resolveu então trazer as bebidas em

canecas de cores diferentes: azul, amarela e verde. Para desafiá-las a descobrir

qual a cor da caneca de cada uma, forneceu as seguintes pistas:

Vitória me pediu um chocolate quente.

A caneca azul e a verde não estão uma ao lado da outra.

À esquerda está a caneca de chá.

A caneca da Laura não está ao lado da caneca da Luísa.

À direita está a caneca verde da Luísa.

Resolução:

Para descobrir a caneca e a bebida de preferência de cada criança segue-se

o mesmo raciocínio do problema anterior, ou seja, é necessário interpretar as

informações dadas como pistas e também compreender o conceito de lateralidade.

Monet Renoir

A representação gráfica ajuda a solucionar o problema.

6) Para verificar o raciocínio lógico de seus alunos o professor de Matemática lançou

o seguinte desafio.

Em um país, os professores sempre dizem a verdade e os políticos mentem.

Em um grupo de cinco pessoas: A, B, C, D, e E, constatou-se que:

A diz que B é professor;

B diz que C é político;

C diz que D é político;

D diz que B e E são de profissões diferentes;

E diz que A é professor.

Qual é a profissão de cada uma dessas pessoas?

Resolução:

O problema não oferece nenhuma pista sendo necessário então, que se faça

suposições. Suponhamos que A seja professor. Como ele diz a verdade, então B é

professor e, portanto, C é político. Mas como os políticos mentem, D é professor,

logo B e E são de profissões diferentes. Como B é professor, então E é político e,

portanto, A é político, o que é uma contradição, uma vez que inicialmente a

suposição foi de que A é professor. Sendo assim, conclui-se que A é político. Logo, B

é político, C é professor, D é político, B e E são de profissões iguais isto é políticos.

Dessa forma pode-se concluir que, C é professor e os demais são políticos.

Comentários:

Neste caso o aluno precisa comparar as afirmações obtidas mediante a

suposição feita inicialmente, com as informações fornecidas no enunciado para

verificar sua veracidade. Caso as afirmações encontradas estejam em contradição

com a suposição feita inicialmente o aluno precisa negar essas afirmações.

7) Marla, Mari, Elaíse e Lívia são primas e cada uma delas tem um desses

animalzinho de estimação: papagaio, coelho, gato e cachorro.

Fique atento nas informações, pois elas o ajudarão a descobrir qual é o animal de

estimação de cada uma das meninas.

Lívia está tentando ensinar seu animalzinho a cantar a cantiga “Atirei o pau no gato”.

Marla tem alergia ao pelo de gato e cachorro.

Lívia e Mari sempre acompanham a prima quando ela sai para passear com seu

cachorrinho.

Elaíse adora acariciar o coelhinho que pertence a sua prima.

Resolução:

Para resolver o problema, será usada a representação gráfica. Começamos

construindo uma tabela, sobre a qual vamos trabalhar com as informações

apresentadas no enunciado. Indicamos um "sim" pela letra S, e um "não" pela

letra N. Para isso, as informações devem ser lidas e analisadas cuidadosamente. Se

necessário, faça a releitura do texto.

Iniciamos colocando um S para a informação verdadeira e preenchemos com

N as casas restantes que estão na mesma linha ou coluna. Veja, Lívia está tentando

ensinar seu animalzinho a cantar. Logo, seu animal de estimação é o papagaio, pois

é ele que tem essa característica, ou seja, imitar sons parecidos com a fala humana.

Por isso, colocaremos S na casa onde aparece papagaio e N para as demais.

Em seguida, temos a informação de que Marla é alérgica ao pelo de gato e de

cachorro. Sendo assim, nenhum desses dois animais poderá ser seu, nem mesmo o

papagaio, pois este é de sua prima Lívia. Dessa forma, por eliminação, descobrimos

que seu animal de estimação é o coelho. Seguindo o mesmo procedimento,

colocaremos N para gato, cachorro e também para o papagaio e S para o coelho,

pois é a única casa que ficou sem preencher. Continuando, temos que Mari

acompanha a prima quando leva o cachorrinho para passear. Dessa forma, o

cachorrinho não é o seu animalzinho de estimação, assim como o coelho e o

papagaio. Logo, essas casas devem ser preenchidas com N. Descobrimos, assim,

que o gato é o animal de estimação da Mari, pois é a única casa que ficou sem

preencher nessa linha.

Na linha da Elaíse, a casa do cachorro ficou sem preencher, o que significa

quer seu animalzinho de estimação é o cachorro.

Com esse raciocínio descobrimos que o coelho é de Marla, o gato é de Mari,

o cachorro é de Elaíse e o papagaio é de Lívia.

Cachorro Gato Papagaio Coelho

Marla N N N S

Mari N S N N

Elaíse S N N N

Lívia N N S N

Comentário:

A interpretação das informações neste tipo de problema é imprescindível,

afinal compreender o problema é a primeira etapa da resolução. Nessa etapa, cabe

ao professor orientar os alunos, caso tenham dificuldade em posicionar as letras S e

N, para confirmar as informações apresentadas no enunciado do problema ou negá-

las. Os alunos devem compreender que, com ou sem operações para solucionar um

problema, é preciso ter muita atenção na leitura.

8) Os professores de Educação Física do colégio formaram 6 equipes de futsal. Eles

querem planejar um campeonato intercalasse após o período de aula, de maneira

que cada equipe jogue uma única vez com todas as outras. Quantas partidas devem

ser jogadas até que se conheça a equipe campeã?

Resolução:

A condição do problema é que cada equipe jogue uma única vez com as

demais. Neste caso a representação gráfica é uma estratégia adequada.

A B C D E F Nº de jogadas

A X X X X X 5

B X X X X 4

C X X X 3

D X X 2

E X 1

F Total: 15

Na linha F não há marcação, uma vez que essa equipe já jogou com todas as

demais. Sendo assim, é só somar o número de jogadas realizadas entre as equipes,

isto é, 5+4+3+2+1 = 15, ou seja, serão necessárias 15 jogadas até que se conheça a

equipe campeã.

Comentário:

Esse tipo de problema exige raciocínio lógico. O aluno precisa pensar,

elaborar um plano, tentar estratégias, pois não há como resolvê-lo usando técnicas

operatórias, de imediato. Sendo assim, uma representação gráfica auxilia o aluno a

visualizar o número de jogadas marcando com um X as equipes que jogam entre si.

Segundo Dante (2005), o aluno usa grande variedade de processos de

pensamento uma vez que, esse tipo de problema dá margem a várias maneiras para

se chegar à solução. Para turmas mais avançadas, em nível do Ensino Médio, esse

problema é resolvido utilizando o conceito de Combinação simples de 15 elementos

tomados dois a dois.

9) Joaquim convidou 19 amigos para festejarem juntos seu aniversário em uma

pizzaria. Pediu ao proprietário da pizzaria que as mesas fossem dispostas numa fila

encostadas umas nas outras, de modo que em cada lado disponível da mesa fosse

ocupado apenas por um convidado, não se esquecendo que um lugar será o seu.

Qual o número mínimo de mesas que o proprietário deverá dispor nesta fila

para que todos os convidados fiquem acomodados?

Resolução:

1ª estratégia: Uso das operações fundamentais (divisão e subtração).

Primeiramente, deve-se dividir o número de pessoas por 2, já que cada lado

das mesas será ocupado por apenas uma pessoa. Depois, deve-se subtrair 1 mesa,

pois os lugares das extremidades da fila estão vagos e poderão ser ocupados por

duas pessoas. Dessa forma, a expressão matemática para essa situação é:

(20÷2) – 1 = 9, ou seja, serão necessárias 9 mesas para acomodar as 20 pessoas.

Essa mesma estratégia pode levar o aluno a outro raciocínio, isto é, nas

extremidades da fila, cada mesa pode ser ocupada por 3 pessoas, ou seja, 6

pessoas já foram acomodadas. Sendo assim, essa quantidade deve ser subtraída

do total (20 – 6) e esse resultado deve ser dividido por 2, porque nas demais mesas

sentarão 2 pessoas. A este resultado deve-se acrescentar 2, já que foram duas as

mesas retiradas das extremidades. Portanto, a expressão matemática para esse

raciocínio é: [(20 – 6) ÷ 2] + 2 = 9, ou seja, serão necessárias 9 mesas.

2ª estratégia: Representação gráfica.

Esta estratégia possibilita ao aluno visualizar as informações apresentadas no

enunciado.

A primeira ideia é que em cada mesa sentarão duas pessoas. Sendo assim,

10 mesas serão suficientes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Com essa representação, o aluno perceberá que as extremidades das mesas

não foram ocupadas e, assim, poderá concluir que uma das mesas pode ser

retirada, concluindo que são necessárias 9 mesas.

Retrospecto ou verificação:

Sendo assim, podemos afirmar que serão necessárias, no mínimo, 9 mesas

Comentários:

O interessante desse tipo de problema é que ele permite ao aluno ficar livre

para pensar no melhor plano ou estratégia de solução. O fato de ser uma situação

do cotidiano lhe permite fazer deduções que poderão ser comprovadas mediante a

representação gráfica do problema.

Outro fator que torna esse problema interessante, segundo Dante (2005), é

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 20

que o professor pode fazer questionamentos que enriquecem o trabalho como:

Se no lugar de uma única fila fossem duas, qual seria o mínimo de mesas?

E se as mesas fossem dispostas em forma de um L, qual seria o mínimo de

mesas necessárias?

E se o número de convidados fosse ímpar, como se resolveria o problema?

10) Na configuração abaixo, foram utilizados 8 palitos. Mova 2 palitos de modo a

obter 3 triângulos equiláteros.

Resolução:

Visualmente, observa-se que na configuração já há dois triângulos

equiláteros. Como o problema solicita mover dois palitos de modo a obter três

triângulos e cada triângulo é formado por três palitos, então um dos lados desse

novo triângulo deve ser o lado de um dos triângulos já existentes.

Comentário:

Esse tipo de problema é classificado como desafio. Há uma gama de

problemas desse tipo que podem ser explorados em sala de aula e que desafiam os

alunos a descobrirem as estratégias de solução, desenvolvendo assim o

pensamento dedutivo tão importante para a construção dos conceitos matemáticos.

Considerações finais

O rol de problemas aqui apresentados pode ser ampliado com a inserção de

problemas de outros tipos, correlatos aos apresentados, porém que sejam

desafiadores e instigantes, pois os alunos devem ter autonomia para a busca de

soluções criativas.

Destaca-se que o papel do professor com a adoção da metodologia de

trabalho com a Resolução de Problemas deve ser o de orientador, permitindo que os

alunos apresentem suas soluções com as estratégias que julgarem mais pertinentes

e não seguindo roteiros geralmente impostos.

Um aspecto importante a destacar é que as resoluções dos alunos devem ser

compartilhadas entre eles e discutidas posteriormente pelo professor com o intuito

de aprimorar o trabalho direcionando-o para os conteúdos matemáticos pertinentes.

3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC /

SEF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 1999.

BRITO, M. R. F. Alguns Aspectos Teóricos e Conceituais da Solução de Problemas Matemáticos. In: Solução de Problemas e a Matemática Escolar, de Márcia Regina Ferreira de Brito (org.). Campinas, SP: Ed. Alínea, 2006.

D’AMBRÓSIO, U. Algumas reflexões sobre a resolução de problemas. Disponível:<www.rc.unesp.br/serp/.../reflexoes_sobre_rp_ubiratan_dambrosio.pdf.>

Acesso em: 23 ago. 2013.

___________. A História da Matemática: questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.

DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2005.

___________. Formulação e resolução de problemas de matemática: teoria e prática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2010.

GONTIJO, C. H. Resolução e Formulação de Problemas: caminhos para o desenvolvimento da criatividade em Matemática. In: Anais do Sipemat. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação-Centro de Educação – Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 11 f disponível em <http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=193517419005> Acesso: 30 set. 2013.

KRULIK, S. REYS, R.E. A resolução de problemas na matemática escolar. Trad.

Hygino H. Domingos, Olga Corbo, São Paulo: Atual, 1997.

LOBATO, M. Aritmética da Emília. Coleção Círculo do livro-S.A. São Paulo:

Ed. Brasiliense,1974.

ONUCHIC, L. de La R. Ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria A. V. (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.

PARANÁ, SEED. Diretrizes curriculares de matemática para a educação básica. Curitiba, 2008.

POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.

PROJETO ARARIBÁ. Matemática Ensino Fundamental 5. 1ª Ed. São Paulo:

Moderna, s/d.

SÁNCHEZ HUETE, J. C.; FERNÁNDEZ BRAVO, José A. O ensino da matemática: fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. Trad. Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2006.

TAHAN, M. Matemática Divertida e Curiosa. Rio de Janeiro: Record, 2009.

TOLEDO, Marilia; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois - a construção de Matemática. São Paulo: FTD, 2009.

VILA, Antoni; CALLEJO María Luz. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Trad. Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2006.