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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9 Cadernos PDE OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013
Título: GEOGEBRA: UMA PROPOSTA DE TRABALHO CONTEXTUALIZADA
NO ENSINO DE FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NA 1ª SÉRIE DO ENSINO
MÉDIO UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Autor: Gislaine Gomes da Silva Bione
Disciplina/Área:
(ingresso no PDE)
Matemática
Escola de Implementação doProjeto e sua localização:
Colégio Estadual Antonio Xavier da Silveira -Ensino Fundamental Médio e Normal
Município da escola: Irati
Núcleo Regional de Educação: Irati
Professor Orientador: Nilton Cesar Pires Bione
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Centro Oeste -Unicentro
Relação Interdisciplinar:
Resumo: Quando se dá a transição da aritmética para aálgebra no ensino fundamental, esse processogera certa dificuldade aos alunos aoreconhecer que as letras do alfabeto podemrepresentar números e que os diversossímbolos matemáticos têm seus maisdiferentes significados, por isso, muitas vezes aÁlgebra é considerada a grande vilã dentro dadisciplina de Matemática. Desde os anosiniciais, o aluno observa as relações entreconjuntos de vários objetos, porém, somenteao fim no Ensino Fundamental e no decorrer doEnsino Médio o conteúdo é trabalhado deforma mais abrangente e aplicado, ou seja,apenas no estudo das funções é que elerealmente perceberá a importância do estudodos conjuntos e suas relações. Porém, otrabalho pedagógico do professor será ogrande diferencial nesse momento, pois aapresentação deste conteúdo de maneiracontextualizada e dinâmica possibilitará o seumelhor entendimento e aprendizado, poismuitos são os alunos que possuem certa
dificuldade na compreensão do conteúdo defunções, como por exemplo, entender variávelsem ficar preso ao conceito de incógnitas. Coma utilização do software Geogebra, juntamentecom exercícios contextualizados, será comometa encorajar os alunos a desenvolveremcada qual sua percepção, generalização econexão com o conteúdo estudado, ou seja, asfunções, de maneira mais divertida, clara edinâmica.
Palavras-chave: Geogebra; Funções; Tecnologias; Álgebra
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público:Esta Unidade Didática foi desenvolvida para
ser trabalhada com professores da RedeEstadual de Educação.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE / SEED
GISLAINE GOMES DA SILVA BIONE
GEOGEBRA: UMA PROPOSTA DE TRABALHO CONTEXTUALIZADA NO
ENSINO DE FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
IRATI
2013
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE / SEED
GISLAINE GOMES DA SILVA BIONE
UNIDADE DIDÁTICA
GEOGEBRA: UMA PROPOSTA DE TRABALHO CONTEXTUALIZADA NO
ENSINO DE FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS NA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Produção didático-pedagógica
apresentada a SEED/SUED – PR,
como requisito para o cumprimento
das atividades previstas dentro do
Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE do Estado do
Paraná, orientado pelo Professor Dr.
Nilton Cesar Pires Bione da
UNICENTRO/Irati.
IRATI
2013
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professora PDE: Gislaine Gomes da Silva Bione
Área PDE: Matemática
NRE: Irati
Professor Orientador IES: Dr. Nilton Cesar Pires Bione
IES Vinculada: UNICENTRO
Escola de Implementação: Colégio Estadual Antonio Xavier da Silveira – Ensino
Fundamental, Médio e Normal
Público objeto da intervenção: Professores de Matemática da Rede Estadual
Linha de Estudo: Tendências Metodológicas em Educação Matemática
Sumário1 - INTRODUÇÃO.....................................................................................................................5
2 - OBJETIVOS..........................................................................................................................7
2.1 - GERAIS....................................................................................................................7
2.2 - ESPECÍFICOS..........................................................................................................7
3 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.........................................................................................7
3.1 - TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS........................................................................7
3.2 - RECURSOS TECNOLÓGICOS E O PROCESSO ENSINO APRENDIZAGEM NA
DISCIPLINA DE MATEMÁTICA.................................................................................10
3.3 - FUNÇÕES...............................................................................................................12
4 - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO................................................................................................14
5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................46
6 - APÊNDICE..........................................................................................................................48
1 - INTRODUÇÃO
Quando se dá a transição da aritmética para a álgebra no ensino
fundamental, esse processo gera certa dificuldade aos alunos ao reconhecer que as
letras do alfabeto podem representar números e que os diversos símbolos
matemáticos têm seus mais diferentes significados, por isso, muitas vezes a álgebra
é considerada a grande vilã dentro da disciplina de Matemática. De acordo com Ken
Milton (1989, p.15) “aquilo que ensinamos em aritmética e a forma como ensinamos
tem fortes implicações para o desenvolvimento algébrico.” Essa dificuldade fica bem
marcante quando se inicia junto á álgebra e suas variáveis, noção de sistemas e
conceitos de função.
O conteúdo de funções é de grande importância dentro da disciplina de
Matemática, pois tem vasta aplicabilidade em muitas áreas do conhecimento, como
na Economia (mínimos e máximos de aplicações financeiras), Biologia (genética),
Engenharia (materiais) entre outras.
Desde os anos iniciais, o aluno observa as relações entre conjuntos de vários
objetos, porém, somente ao fim no Ensino Fundamental e no decorrer do Ensino
Médio o conteúdo é trabalhado de forma mais abrangente e aplicado, ou seja,
apenas no estudo das funções é que ele realmente perceberá a importância do
estudo dos conjuntos e suas relações. Porém, o trabalho pedagógico do professor
será o grande diferencial nesse momento, pois a apresentação deste conteúdo de
maneira contextualizada e dinâmica possibilitará o seu melhor entendimento e
aprendizado, pois muitos são os alunos que possuem certa dificuldade na
compreensão do conteúdo de funções, como por exemplo, entender variável sem
ficar preso ao conceito de incógnitas. Dentro do conteúdo de funções é trabalhado
também outros conteúdos sem que os alunos percebam claramente, sendo eles, os
conjuntos: domínio, imagem, contradomínio, par ordenado, entre outros.
De acordo com Rêgo (2000, p.76):
“As principais vantagens dos recursos tecnológicos, em particular o uso decomputadores, para o desenvolvimento do conceito de funções seriam,além do impacto positivo na motivação dos alunos, sua eficiência comoferramenta de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e comoinstrumento facilitador nas tarefas de resolução de problemas. A utilizaçãode computadores no ensino provocaria, a médio e longo prazo, mudançascurriculares e de atitude profundas uma vez que, com o uso da tecnologia,
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os professores tenderiam a se concentrar mais nas ideias e conceitos emenos nos algoritmos”.
Com a utilização do software Geogebra, juntamente com exercícios
contextualizados, será como meta encorajar os alunos a desenvolverem cada qual
sua percepção, generalização e conexão com o conteúdo estudado, ou seja, as
funções, de maneira mais divertida, clara e dinâmica.
De acordo com (D AMBRÓSIO, 1989, p. 15-19):
Atividades com lápis e papel ou mesmo quadro e giz para construir gráficosde funções matemáticas, por exemplo, se forem feitas com uso doscomputadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades deobservação e investigação porque algumas etapas formais do processoconstrutivo são sintetizadas.
A utilização das tecnologias presente nas escolas, computadores e softwares
disponíveis, favorece a junção de representações de vários conceitos, aumenta
assim a assimilação dos conteúdos pelos alunos e melhora o processo de ensino
aprendizagem.
Valente diz que a tecnologia computacional tem mudado a prática de quase
todas as atividades: científicas, de negócio, empresariais. Práticas educacionais
começam a seguir as tendências de mudanças. As mudanças ocorridas nos últimos
anos são intensas, grandes transformações culturais, sociais e econômicas, tendo
como grande influência o aparecimento da informática e também da internet. A
escola não pode ficar alheia a essas transformações. O uso das novas tecnologias
que hoje fazem parte da escola e da comunidade escolar como um todo, requer que
os professores adotem novas posturas em relação a sua prática no processo de
ensino e aprendizagem.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná
(2008), os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os
aplicativos da internet, entre outros, têm favorecido as experimentações
matemáticas e potencializando formas de resolução de problemas.
Pinto (2002, p.147) fala que as tecnologias “talvez não tenham produzido
ainda as grandes alterações esperadas no modo de ensinar, talvez ainda não
tenham penetrado na gestão e organização escolar com a dimensão e profundidade
que num futuro próximo certamente terão, mas mudaram o modo de aprender.”
Desse modo, como que a utilização das novas tecnologias, através do
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Geogebra, que é um software livre, de fácil manuseio e acesso, poderá auxiliar os
professores na transmissão dos conceitos de Funções do 1º e 2º Graus de maneira
contextualizada e dinâmica para alunos da 1ª série do Ensino Médio?
2 - OBJETIVOS
2.1 - GERAIS
Propor aos professores da 1ª série do Ensino Médio uma alternativa de trabalho
contextualizada e dinâmica referente ao conteúdo de funções do 1º e 2º Graus.
2.2 - ESPECÍFICOS
- Discutir com os professores da rede as dificuldades em trabalhar com o conteúdo
de Funções;
- Socializar experiências vivenciadas no trabalho com funções de 1º e 2º graus do
Ensino Médio;
- Apresentar aos professores da rede o software Geogebra.
- Instrumentalizar os professores da rede a trabalhar com os mais diferentes
conteúdos da disciplina de Matemática, com o uso do Geogebra;
- Ampliar, as possibilidades de trabalho com o Software Geogebra;
- Propor atividades contextualizadas sobre função do 1º e 2º Graus
- Reconhecer algumas situações presenciadas no dia a dia que possam ser
trabalhadas dentro do conteúdo estudado.
3 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1 - TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS
A transformação social ocorre em ritmo acelerado atualmente. O cotidiano do
homem vive numa constante mudança devido a crescente utilização e conhecimento
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dos recursos tecnológicos disponíveis. Recursos esses que vem agilizando e
modernizando tarefas que antes demoravam horas e dias para serem realizadas.
De acordo com Sancho (2006, p. 16) as tecnologias têm três tipos de efeitos:
Em primeiro lugar, altera a estrutura de interesses, o que temconsequências importantes na avaliação do que se considera prioritário,importante, fundamental ou obsoleto e também na configuração dasrelações de poder. Em segundo lugar, mudam o caráter dos símbolos,quando o primeiro ser humano começou a realizar operaçõescomparativamente simples [...], passou a mudar a estrutura psicológica doprocesso de memória, ampliando-a para além das dimensões biológicas dosistema nervoso humano. [...] Em terceiro lugar, modificam a natureza dacomunidade. Neste momento, para um grande número de indivíduos, estaárea pode ser o ciberespaço, a totalidade do mundo conhecido e do virtual.
Isto mostra que os indivíduos que já têm algum contato com essas
tecnologias têm uma vida mais confortável às daqueles que não as utilizam, sendo
que em qualquer circunstância, de qualquer modo, em algum momento, todos terão
necessidade de tomar conhecimento mesmo que inconscientemente, devido às
exigências da vida que as cerca.
Aos poucos a realidade escolar está sendo inserida nesse contexto. Com a
inclusão dos recursos tecnológicos a fim de trabalhar com propostas práticas e
atividades inseridas juntamente com uso de computadores, buscando assim a novos
recursos para os professores visto que as tecnologias estão cada vez mais
presentes no ambiente escolar.
O tema de incorporação de novas tecnologias e suas linguagens naeducação deixou de ser polêmico. Afinal, não explorar na escola umpotencial de recursos tão ricos seria o mesmo que hospitais rejeitaremaparelhos de tomografia computadorizada ou pessoas se recusarem a usaro caixa eletrônico do banco (BRASIL, 1998, p. 5).
Quando se fala em alunos, professores ou outro representante da
comunidade escolar, não se pode deixar de incluir também os recursos tecnológicos
existentes no meio. Esses recursos estão disponíveis aos professores para a
melhoria da prática pedagógica, onde desde que utilizado de maneira correta e
coerente pode acelerar e potencializar o aprendizado. A escola está inserida num
mundo de desenvolvimento tecnológico com inúmeros recursos disponíveis tais
como: internet, computadores, TVs, projetores multimídias, tablet, entre outros, os
quais podem e devem ser utilizados na melhoria da educação.
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É de grande importância que o professor busque cada vez mais inovar sua
prática pedagógica, confirmando sua obrigação na preparação de seus alunos a
serem cidadãs críticos, éticos e livres.
De acordo com Masetto e Moran (2000, p.171)
[...] o professor que trabalha na educação com a informática há quedesenvolver na relação aluno-computador uma mediação pedagógica quese explicite em atitudes que intervenham para promover o pensamento doaluno, implementar seus projetos, compartilhar problemas sem apresentarsoluções, ajudando assim o aprendiz a entender, analisar, testar e corrigirerros.
Nesse sentido, vale ressaltar que o professor deve ter o domínio dessas
novas tecnologias que estão presentes no dia a dia em sua prática pedagógica, bem
como a formação pedagógica relacionada ao conhecimento de diferentes maneiras
de ensinar e ao desenvolvimento do pensar.
Logo, a tecnologia está presente na educação para facilitar o trabalho
pedagógico do professor em sala de aula, garantindo resultados, que por se tratar de
uma estrutura organizada na realização de atividades, se transforma em
conhecimentos.
De acordo com Lévy (1993, p.7):
Novas maneiras de pensar e conviver estão sendo elaboradas no mundodas telecomunicações e informática. As relações entre os homens, otrabalho, a própria inteligência dependem na verdade da metamorfose dosdispositivos informacionais de todos os tipos. […] Não se pode maisconceber a pesquisa científica sem uma aparelhagem complexa queredistribui as antigas visões entre experiência e teoria
O cotidiano dos alunos vem mudando e também a escola deve evoluir
conjuntamente. Novos meios, novas maneiras de transmitir o conhecimento deve
estar presente nas escolas hoje. A ambientação, facilidade no manuseio e contato
que os educandos têm com as novas tecnologias estão, muitas vezes, a frente dos
pais ou professores, pois eles foram criados na era da informação tendo assim mais
aptidão em compreender a linguagem virtual e também no trato com as novas
tecnologias.
Utilizar as tecnologias para exibir ou fazer chegar as informações aos alunos
é como fala Demo (1995, p.28), uma a ação recente, dado que a “didática
transmissiva tende a migrar para os meios modernos eletrônicos de comunicação”,
mas a produção do conhecimento sistematizado está ligada diretamente ao
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professor que é a peça primordial para a realização de tal ação. Portanto ainda,
como afirma Demo (1995, p.55), o manuseio das tecnologias presentes nas escolas
pelo professor torna possível, “aprimorar a transmissão de conhecimento, socializar
de modo mais amplo e atraente o saber disponível e, sobretudo, economizar tempo
e oportunidade de construir.”
3.2 - RECURSOS TECNOLÓGICOS E O PROCESSO ENSINO APRENDIZAGEM
NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA
De acordo com Romero (2006), ensinar Matemática é desenvolver o
raciocínio lógico, estimular o pensamento independente, a criatividade e a
capacidade de resolver problemas, procurar alternativas para aumentar a motivação
para a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, concentração e
atenção.
Diversos conceitos e conteúdos, para serem assimilados pelos alunos,
necessitam de explicação por meio mais explícito, concreto e observável, ou seja,
contextualizado. Atualmente a sugestão para utilização de computadores na
educação é bastante desafiadora e diversificada, isso porque não basta somente
repassar o conteúdo ao aluno, ele precisa ser entendido, compreendido e utilizado
no dia a dia. O computador deve ser um facilitador nesse processo de ensino
aprendizagem e na construção do conhecimento enriquecendo e dando consistência
as aulas dos professores que utilizam.
Sempre houve uma forte ligação das tecnologias com a Matemática, seja com
o uso de calculadoras, computadores ou internet. O maior desafio é compreender e
saber utilizar essas ferramentas de modo a melhorar o desempenho e aprendizado
dos alunos, tendo em vista que a Matemática muitas vezes é tão temida pelos
mesmos.
Para Gómez (apud Dullius e Haetinger), “ […] mesmo que o uso das
tecnologias não seja a solução para os problemas de ensino e de aprendizagem da
Matemática, há indícios de que ela se converterá lentamente em um agente
catalisador do processo de mudança na educação matemática.”
Segundo Borba (1999) no contexto da Educação Matemática, os ambientes
gerados por aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e
potencializam o processo pedagógico promovendo o surgimento de novos conceitos
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e de novas teorias matemáticas
A utilização de computadores nas aulas de matemática vem sendo
reconhecida cada vez mais, sendo bastante proveitoso, pois essa tecnologia é
extremamente importante para a fixação e apropriação de conceitos. A utilização de
softwares, televisão, calculadoras, aplicativos da internet, entre outros faz com que
essas novas tecnologias existentes no meio escolar tornem mais eficiente à rotina
educacional.
Trabalhar com esses recursos na escola, principalmente em sala de aula, é
um grande diferencial no sucesso do processo ensino aprendizagem, permitindo
assim que os alunos trabalhem de maneira mais independente. Eles têm como
conhecimento que é necessário seguir regras, criar suas próprias estratégias,
fazendo cada qual sua própria leitura matemática e sendo autônomos principalmente
na resolução dos exercícios propostos, dessa forma eles são os principais agentes
da construção do conhecimento.
Cresce a cada dia o número de professores que utilizam os recursos
tecnológicos nas mais diferentes disciplinas para facilitar o processo de ensino
aprendizagem. Trabalhar com um software especifico para a disciplina não o torna
apenas um recurso para facilitar a compreensão dos alunos, mas também contribui
para a assimilação de conceitos e construção de novos conhecimentos do aluno.
Segundo Milani (2001, p.175):
O computador, símbolo e principal instrumento do avanço tecnológico, nãopode mais ser ignorado pela escola. No entanto, o desafio é colocar todo opotencial dessa tecnologia a serviço do aperfeiçoamento do processoeducacional, aliando-a ao projeto da escola com o objetivo de preparar o futuro cidadão.
Trabalhar a Matemática de maneira abstrata e com aspecto formal distancia a
conceitualização da realidade tanto para os alunos quanto para os professores e é
tarefa do professor tornar suas aulas e por consequência sua disciplina, em algo
prazeroso e interessante para os alunos fazendo que o conhecimento seja resultado
de todo um processo satisfatório aos educandos, e não algo maçante e sem ligação
com seu cotidiano. A tecnologia, através do computador e um software específico
para a disciplina, usado de maneira correta, facilita a construção do conhecimento,
fazendo na mente dos alunos uma ligação entre a realidade e os conceitos
matemáticos. Vale destacar a importância do domínio, pelo professor, dos recursos
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que vai utilizar, analisando criteriosamente a forma mais adequada de sua utilização.
Um exemplo desses recursos é o Geogebra, um software matemático livre,
disponível a todo o público, que foi desenvolvido por Markus Hohenwarter como tese
de seu doutorado na Universidade Austríaca de Salzburg em 2001.
O GeoGebra foi objeto de tese de doutorado de Markus Hohenwarter naUniversidade de Salzburgo, Áustria. Ele criou e desenvolveu esse softwarecom o objetivo de obter um instrumento adequado ao ensino da Matemática,combinando procedimentos geométricos e algébricos (ARAUJO, 2008, p.43)
É um software de matemática dinâmica que foi criado para o ensino e
aprendizagem de matemática em diversos níveis: Fundamental, Médio e Superior.
Com o Geogebra pode ser estudado/trabalhado conteúdos de álgebra, geometria,
probabilidades, gráficos, tabelas, estatística, dentre outros.
Um mesmo objeto pode ser representado de duas diferentes formas através
do software, ou seja, com a construção geométrica e a construção algébrica,
possibilitando assim trabalhar com a geometria e a álgebra ao mesmo tempo. O
Geogebra é um recurso tecnológico que permite a rapidez na construção gráfica, e
consequentemente a compreensão dos conteúdos trabalhados gerando novas
descobertas através da investigação.
Por ser um software livre o Geogebra pode ser utilizado por qualquer pessoa,
pode ser distribuído livremente de acordo com a General Públic Licence (GNU). O
download está disponível em www.geogebra.org sendo que qualquer usuário da
internet pode fazer a instalação do software. Além disso, pode ser utilizado em
diferentes plataformas como, Windows, Mac e Linux e encontra-se instalado também
nos laboratórios das escolas públicas do Paraná.
3.3 - FUNÇÕES
Estudando a história da matemática é notória a percepção de que a origem do
conceito de Função surgiu com a necessidade de o homem utilizá-la de forma a
resolver seus problemas do cotidiano por intuição e sem saber a sua origem. De
acordo com Zuffi ( apud Chaves, 2004, p. 3):
não parece existir consenso entre os autores, a respeito da origem doconceito de função [talvez pelo seu próprio aspecto intuitivo]. Alguns deles
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consideram que os Babilônios (2000 a.C.) já possuíam um instinto defuncionalidade (...) em seus cálculos com tabelas sexagesimais dequadrados e de raízes quadradas (...) que eram destinadas a um fim prático.As tabelas, entre os gregos, que faziam a conexão entre a Matemática e aAstronomia, mostravam evidência de que estes percebiam a ideia dedependência funcional, pelo emprego de interpolação linear.
O surgimento do conceito de função pode ser confundido desde o princípio
com o Cálculo Infinitesimal onde Newton (1642 – 1727) usufruía dos termos
“fluentes” e “fluxões”. Era Newton que se aproximava bastante do real sentido da
palavra nos dias atuais que designava variável dependente e quantidade a partir de
outras através das quatro operações fundamentais da matemática, adição,
subtração, multiplicação e divisão.
Porém foi Leibniz (1646 – 1716) que utilizou primeiro o conceito de “função”
em 1673 para expressar a dependência de uma curva de quantidades geométricas
como sub tangentes e sub normais, utilizando também a nomenclatura de “variável”,
“constante” e “parâmetro”.
Vários matemáticos também demonstraram definições para o conceito de
função e a que é mais utilizada por ser coerente com a que é utilizada nos dias
atuais de acordo com Remann Dirichelet, segundo Boyer (1993, p. 405) que define:
Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que,sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qualum valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função davariável independente x.
Segundo Caraça (1948, p. 28), o conceito de função se estabelece como uma
ferramenta da Matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência
e de interdependência que são intrínsecos aos elementos do nosso Universo. Se o
aluno não compreender o processo de variação de nada adiantará ele saber que
uma grandeza dependerá da variação de outra.
É comum observar a introdução do conteúdo das funções inicialmente
mostrando o conceito de função e suas representações gráficas e chegando ao
estudo dos sinais. Sem saber o que estão fazendo, os alunos decoram os métodos e
regra de sinais, sem fazer uma relação entre funções, equações e o cotidiano que os
cercam.
Chaver e Carvalho (2004, p.5) têm a seguinte visão sobre os professores do
ensino médio no quesito de ensinar funções aos seus respectivos alunos:
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“...ao fazerem uso da linguagem matemática, o “formal” é colocado a priori, onde ideias inerentes ao conceito de função, tais como, noções decorrespondência, domínio e imagem, observação de “leis” ou “regras” como executante de transformações globais entre dois conjuntos, não ficavamdevidamente explicitadas nas expressões utilizadas pelos professores”.
A experiência como professora e conversa com colegas que lecionam a
disciplina de matemática mostra que utilizando métodos tradicionais no processo de
ensino aprendizagem do conteúdo de funções, o resultado de todo o trabalho é um
tanto lúgubre, pois muitos alunos não conseguem atribuir qualquer significado ao
conceito de função, decorando regras sem saber o real motivo ou inserir em seu
cotidiano.
Os acontecimentos não ocorrem isoladamente, estão comumentemente
interligados de forma que sempre haverá uma dependência, que o resultado de uma
ação depende da ocorrência do acontecimento anterior.
4 - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
O conteúdo de funções por estar destacado em diversas áreas do
conhecimento será trabalhado de uma forma totalmente contextualizada através de
exercícios desenvolvidos no software Geogebra. Foi escolhido esse assunto por ser
um conteúdo que os alunos apresentam uma grande dificuldade e até mesmo os
professores no repasse do mesmo. Com a ajuda do software as dificuldades
poderão ser diminuídas até mesmo na elaboração e interpretação de gráficos,
analisando e compreendendo os dados necessários para sua construção.
O presente projeto será implementado no primeiro semestre de 2014, no
Colégio Estadual Antonio Xavier da Silveira – Ensino Fundamental, Médio e Normal,
pela professora PDE pesquisadora do tema, sendo o público-alvo professores da
rede estadual de ensino, preferencialmente professores de matemática.
A metodologia deste trabalho será em caráter de grupo de estudo com carga
horária de 40h, a propósito de alcançar os objetivos citados anteriormente. O grupo
de estudo está previsto com 08 oficinas de 04 horas acrescidas de 01 hora de
atividades extras. Entende-se essa 01 hora extra como tempo destinado ao estudo
das atividades apresentadas em cada oficina e também a produção de um exercício
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referente ao tema proposto.
Destas oito oficinas serão divididos os trabalhos do seguinte modo:
1ª ETAPA
- 1º, 2º e 3º oficinas – apresentação do projeto e do material didático produzido pela
professora PDE e socialização de dificuldades e estratégias de ação com sucesso
no ensino de funções de 1º e 2º graus na 1ª série do Ensino Médio; apresentação e
manuseio das ferramentas e opções disponíveis no software Geogebra;
2ª ETAPA
- 4º e 5º oficinas – atividades contextualizadas referentes a Funções do 1º Grau;
3ª ETAPA
- 6º e 7º oficinas - atividades contextualizadas referentes a Funções do 2º Grau;
4ª ETAPA
- 8º oficina – organização das atividades desenvolvidas pelos cursistas para o
repasse a todos do material produzido, para que posteriormente possam utilizá-lo
em sala de aula.
Como o tema em questão é a preocupação de professores de Matemática de
outras escolas e colégios, haverá oportunidade dos demais para a participação no
grupo de trabalho. Aos professores participantes do grupo de estudos, será atribuído
certificação de participação no evento emitido em parceria com a Universidade
Estadual do Centro Oeste - UNICENTRO.
Só será contemplado com a certificação o participante que obtiver 100% de
frequência e participação nos grupos de estudos. Tal certificado será de 40 horas.
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Olá Professor (a)
Seja muito bem vindo(a) a Oficina de Geogebra, onde será apresentado:
UMA PROPOSTA DE TRABALHO CONTEXTUALIZADA NO ENSINO DE FUNÇÕES
DE 1º E 2º GRAUS NA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO UTILIZANDO O SOFTWARE
GEOGEBRA.
1ª ETAPA
1º, 2º e 3º OFICINAS
GEOGEBRA: SUAS CARACTERÍSTICAS E FERRAMENTAS
DURAÇÃO: 12 HORAS
OBJETIVOS
- Apresentar o Projeto e a Unidade Didática feitos pela professora PDE
- Socializar dificuldades e estratégias de ação no ensino de funções do 1º e 2º graus
- Apresentar o software Geogebra e suas ferramentas
CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA
O Geogebra é um software de matemática dinâmica, livre e de fácil acesso.
Para obtê-lo basta fazer o download através do site www.geogebra.org. Esse
software é uma junção de geometria, álgebra e cálculo. Foi desenvolvido por Markus
Hohenwarter como tese de doutorado na Universidade de Salzburgo, Áustria no ano
de 2001.
O Geogebra apresenta duas diferentes visualizações dos objetos
matemáticos nele inseridos, a Zona Algébrica e a Zona Gráfica, como mostra a
19
ilustração 1 abaixo.
Utilizando a Entrada de comandos (ilustração 2) pode ser inseridas
expressões algébricas diretamente no Geogebra. Para isso basta escrever a
expressão desejada no campo Entrada e teclar Enter, aparecerá à representação
gráfica na Zona Gráfica e a expressão algébrica na Zona Algébrica como mostra a
ilustração 3 abaixo.
Ilustração 1: Software Geogebra
Fonte: Software Geogebra
Ilustração 2: Caixa de entrada
Fonte: Software Geogebra
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A Zona Algébrica permite a visualização das coordenadas de pontos,
equações, etc, e na Zona Gráfica a visualização é de pontos, gráficos de funções,
etc. As representações da Zona Algébrica e da Zona Gráfica estão interligadas
dinamicamente, ou seja, a mudança que ocorre em uma, automaticamente ocorre na
outra, independente de como o objeto foi criado inicialmente.
Usando as ferramentas de construção que encontram-se disponíveis na Barra
de Ferramentas como mostra a ilustração 4, pode-se realizar construções
geométricas na Zona gráfica com a ajuda do mouse.
Ilustração 3: Software Geogebra
Fonte: Software Geogebra
Ilustração 4: Barra de ferramentas
Fonte: Software Geogebra
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As ferramentas de construção são ativadas quando clicadas nos Botões da
Barra de Ferramentas. Clicando na seta situada no canto inferior direito de cada
botão da Barra de Ferramentas, abre um menu que contém ferramentas do mesmo
tipo, como será mostrado a seguir.
No primeiro ícone tem as seguintes opções no menu:
- Mover – arrasta e move os objetos com a ajuda do mouse. Ao selecionar um objeto
clicando sobre ela com o modo Mover, podemos apagar o objeto apertando a tecla
delete. Para ativar a tecla Mover, além de selecionar com o mouse, basta clicar
sobre a tecla esc.
- Rotação em Torno de um Ponto – Seleciona primeiro um ponto que é o centro da
rotação e, em seguida pode-se rodar os objetos em torno desse centro, arrastando-
Ilustração 5: Primeiro ícone barra de ferramentas
Fonte: Software Geogebra
22
os com o mouse.
- Gravar para a Planilha de Cálculos – Abre a planilha de Cálculos. Seleciona
primeiramente o objeto a ser rastreado e em seguida pode-se alterar sua
construção.
Segundo ícone:
- Novo Ponto – depois de selecionado o botão basta clicar na Zona Gráfica para criar
o novo ponto. Também clicando num segmento, reta, polígono, cônica, gráfico de
função, ou outro objeto qualquer pode-se criar um novo ponto.
- Ponto em Objeto – Semelhante ao botão Novo Ponto. Com a opção Ponto em
Objeto, basta clicar sobre a fronteira ou ao meio do objeto para criar o ponto.
Ilustração 6: Segundo ícone Barra de Ferramentas.
Fonte: Fonte: Software Geogebra
23
- Vincular/Desvincular Ponto – Basta clicar sobre um ponto e um objeto a vincular.
- Interseção de Dois Objetos – os pontos de interseção são criados de duas
maneiras:
* ao selecionar duas linhas todos os pontos de interseção são criados (tantos
quantos forem possíveis)
* ao clicar sobre a interseção de duas linhas, somente um ponto de interseção é
criado.
- Ponto Médio ou Centro – pode clicar sobre dois pontos ou num segmento para criar
o ponto médio.
- Número Complexo – Cria um número complexo na janela de visualização.
(Observar na Janela de Álgebra)
Terceiro ícone:
24
- Reta Definida por Dois Pontos – Selecionando dois pontos A e B quaisquer, é
criado à reta que passa por A e B.
- Segmento Definido por dois pontos – Criado dois pontos quaisquer A e B, é criado
o segmento entre A e B, cujo comprimento aparece na Janela de Álgebra.
- Segmento com Comprimento Fixo – Clique em um ponto qualquer A da Janela de
Visualização que será o extremo inicial do segmento. Em seguida especifique o
comprimento desejado na janela de diálogo que aparece automaticamente.
- Semirreta Definida por Dois Pontos – Selecione um ponto A qualquer na Janela de
Visualização e depois outro ponto B para que seja criada a semireta de Origem em A
passando por B. A equação da reta aparece na Janela de Álgebra.
Ilustração 7: Terceiro ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
25
- Caminho Poligonal – Selecione todos os vértice e em seguida clique o vértice
inicial.
- Vetor Definido por Dois Pontos – Selecione o ponto de origem A e depois o ponto
de extremidade B do vetor.
- Vetor a Partir de um Ponto – Selecione um ponto A qualquer e um vetor v para criar
um novo ponto B (B=A+v), o vetor de A para B.
Quarto ícone
- Reta perpendicular – Selecionando uma reta r e um ponto A, cria um a reta
passando por A perpendicularmente a reta r. A direção da perpendicular criada é
equivalente ao vetor perpendicular à reta r.
- Reta Paralela – Secionando uma reta r e um ponto A define a reta que passa por A
paralelamente a r. A direção da reta paralela é a direção da reta r.
Ilustração 8: Quarto ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
26
- Mediatriz – Clique num segmento a ou em dois pontos A e B para criar a Mediatriz.
- Bissetriz – uma bissetriz pode ser definida de duas maneiras:
* Selecionando três pontos A, B e C, criando a bissetriz do ângulo que tem vértice
em B.
* Selecionando duas retas (segmentos de retas ou semiretas) cria as bissetrizes dos
dois ângulos formados por tal par de objetos ou respectivos prolongamentos.
- Reta Tangente – a reta tangente a uma cônica pode ser criada de duas maneiras:
* Selecionando um ponto A e uma cônica c produz todas as tangentes a c que
passam em A.
* Selecionando uma reta r e uma cônica c produz todas as tangentes a c que são
paralelas à reta r.
- Reta Polar ou Diametral – esta ferramenta cria a reta polar ou diametral de uma
cônica, ou seja:
* para criar a reta polar basta selecionar um ponto e a cônica
* para criar a reta diametral seleciona uma reta ou um vetor e uma cônica.
- Reta de Regressão Linear – pode-se criar a reta de regressão de um conjunto de
pontos de duas maneiras:
* basta criar um retângulo de seleção contendo todos os pontos do conjunto
* ou selecionar uma lista de pontos para criar a reta de regressão correspondente.
- Lugar Geométrico – selecionar o ponto do lugar geométrico e em seguida o ponto
sobre o objeto ou o controle deslizante.
Quinto ícone:
27
- Polígono – Para criar o polígono basta selecionar sucessivamente pelo menos três
pontos, sendo esses os vértices do polígono. Lembrando que sempre para terminar
o polígono deve-se clicar sobre o primeiro ponto(vértice). A área do polígono fica
disponível na Janela de Álgebra.
- Polígono Regular – Selecionar dois pontos A e B quaisquer e em seguida informar
o um número n que corresponde ao número de vértices na janela de texto que
aparece. Com isso será criado um polígono com n vértices ( A e B está incluído
nesse número n).
- Polígono Rígido – Selecione todos os vértices clicando no primeiro vértice
novamente ou apenas clique sobre o polígono para criar uma cópia de polígono
rígido.
- Polígono Semideformável – Selecione todos os vértices e em seguida no vértice
inicial.
Sexto ícone:
Ilustração 9: Quinto ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
28
- Círculo dados Centro e Um de seus Pontos - Selecionando um ponto M e um
ponto P define a circunferência de centro em M passando por P. O raio da
circunferência é a distância MP.
- Círculo dados Centro e Raio – Selecione o centro M e insira a medida desejada do
raio na janela de diálogo que aparece.
- Compasso – Basta selecionar um segmento ou dois pontos quaisquer para
especificar o raio. Após clique num ponto que será o raio da circunferência.
- Círculo definido por Três Pontos – Selecione três pontos A, B e C. Esses pontos
definirão a circunferência que passa por esses três pontos (desde que esses três
pontos não estejam em linha reta).
- Semicírculo Definido por Dois Pontos – Selecione dois pontos A e B para criar um
semicírculo de extremos em A e B.
Ilustração 10: Sexto ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
29
- Arco Circular dados Centro e Dois Pontos – Selecione o centro M do arco circular e
após selecione o ponto inicial A do arco e um ponto B que define o comprimento do
arco. Note que o ponto A pertence ao arco, já o ponto B não pode pertencer ao arco.
- Arco Circular definido por Três Pontos – Selecionando três pontos A, B e C cria-se
um arco passando por esses três pontos. Os apontos A e C são os pontos extremos
do arco, já o ponto B está situado em um lugar (qualquer) do arco.
- Setor Circular dados Centro e Dois Pontos – Selecione o centro M do setor circular
e o ponto inicial A do setor. Finalmente selecione um ponto B que define o
comprimento do arco do setor.
- Setor circular definido por Três Pontos – Selecionando três pontos A, B e C cria um
setor circular passando por esses três pontos. Os pontos A e C são os pontos
extremos do setor circular e o ponto B está situado nesse setor circular.
Sétimo ícone:
30
Elipse - Selecione dois pontos que serão o foco da elipse, após especifique um
terceiro ponto que pertence à elipse.
Hipérbole – Selecione dois pontos que serão o foco da hipérbole, após especifique
um terceiro ponto que pertence à hipérbole.
Parábola – Selecione um ponto e uma reta que será a diretriz da parábola.
Cônica definida por Cinco Pontos – Selecione cinco pontos produz uma seção
cônica que passa por esses pontos (desde que esses pontos não estejam em uma
reta).
Oitavo ícone:
Ilustração 11: Sétimo ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
31
- Ângulo – Essa ferramenta cria ângulos:
* entre três pontos sendo o vértice o segundo ponto selecionado
* entre dois vetores
* todos os ângulos de um polígono
* entre dois segmentos
* entre duas retas
Obs: Se clicar sobre os vértices no sentido horário, os ângulos obtidos são os
ângulos internos. Se clicar sobre os vértices no sentido anti-horário, os ângulos
obtidos são os ângulos externos.
- Ângulo com Amplitude Fixa – Selecione dois Ângulos A e B e define a medida da
amplitude no campo de texto da janela que aparece automaticamente. Com isso é
criado um ponto C e um ângulo α , sendo esse o ângulo ABC.
Ilustração 12: Oitavo ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
32
- Distância, Comprimento ou Perímetro – Com essa ferramenta pode-se definir a
distância entre dois pontos, entre um ponto e uma reta, entre duas retas. Fornece
também o comprimento de um segmento, perímetro de um polígono, perímetro de
uma circunferência ou de uma elipse.
- Área – Essa ferramenta define o valor da área de um polígono, círculo ou de uma
elipse.
- Inclinação – Mostra o declive m de uma reta, mostrando na zona gráfica um
triângulo retângulo cuja razão entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto
horizontal é o valor absoluto de m.
- Criar Lista – Arraste e selecione um retângulo em cima dos objetos. Observe na
Janela de Álgebra que a lista criada contém a área das figuras selecionadas.
Nono ícone
Ilustração 13: Nono ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
33
- Reflexão em Relação a uma Reta – Selecione o objeto que vai ser refletido e em
seguida clique numa reta, semireta ou segmento de reta para especificar a reta de
reflexão.
- Reflexão em Relação a um Ponto - Selecione o objeto que vai ser refletido e em
seguida clique num ponto para especificar a reta de reflexão.
- Reflexão em Relação a um Círculo (Inversão) – Com essa ferramenta é possível
fazer a inversão de um ponto em uma circunferência. Selecione o ponto que deseja
inverter e depois clique sobre um circunferência para definir a circunferência de
inversão.
- Rotação em Torno de um Ponto por um Ângulo – Selecione o objeto q pretende
rodar e clique num ponto para definir o centro de rotação. Por último coloque a
amplitude do ângulo de rotação na janela de texto da caixa de diálogo que aparece
automaticamente.
- Translação por um Vetor – Selecione o objeto que pretende transladar e em
seguida clique no vetor que irá definir a translação.
- Homotetia dados Centro e Razão – Selecione o objeto, o centro para então definir
a homotetia na janela de texto da caixa de diálogo que aparece automaticamente.
Décimo ícone:
34
- Inserir Texto – Essa ferramenta permite criar textos na Zona Gráfica. Para isso
basta:
* Clicar em algum lugar vazio na Zona Gráfica para criar um novo texto nesse lugar.
* Clicar num ponto qualquer para criar um novo texto que ficará nesse ponto.
- Inserir Imagem – Insere imagem na Zona Gráfica. Para isso basta:
* Clicar na Zona Gráfica para especificar a posição do canto inferior esquerdo da
imagem
* Clicar num ponto para definir como canto inferior esquerdo da imagem. Com isso
aparece uma caixa de texto que permite selecionar qualquer imagem q está em seu
computador.
- Caneta – Permite escrever na Janela de Visualização, podendo ser alterado a cor
Ilustração 14: Décimo ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
35
de letra na Barra de Estilo.
- Função à Mão Livre – Desenha uma função qualquer ou um objeto geométrico com
a ajuda do mouse.
- Relação entre Dois Objetos – Verifica a relação dos objetos selecionados pelo
mouse.
- Calculadora de Probabilidades – Realiza cálculo de probabilidades.
- Inspetor de Funções – Selecione uma função.
Décimo primeiro ícone
Ilustração 15: Décimo primeiro ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
36
- Controle Deslizante – Clique na Janela de Visualização para inserir o controle
deslizante no local desejado.
- Caixa para Exibir/Esconder Objetos – Clique na Janela de Visualização para criar
uma caixa de legenda.
- Inserir Botão – Clique na Janela de Visualização para inserir um botão.
- Inserir Campo de Entrada – Clique na Janela de Visualização para inserir um
Campo de Entrada.
Décimo segundo ícone:
Ilustração 16: Décimo segundo ícone Barra de Ferramentas
Fonte: Software Geogebra
37
- Mover Janela de Visualização – Arrasta a janela de visualização ou o eixo.
- Ampliar – Amplia a área de trabalho.
- Reduzir – Reduz a área de trabalho.
- Exibir/Esconder Objeto – Com essa ferramenta, basta selecionar o objeto para
Exibir/Esconder.
- Exibir/Esconder Rótulo – Semelhante à ferramenta anterior, basta selecionar o
objeto para Exibir/Esconder rótulo
- Copiar Estilo Visual – Clique no objeto modelo e em seguida naquele cujo etilo
pretender mudar.
- Apagar Objeto – Apaga o objeto selecionado.
Atividades envolvendo as principais ferramentas do Software Geogebra
1 – Insira dois Pontos A e B quaisquer e trace uma reta que passa por esses dois
pontos.
2 – Construa um segmento de reta definido por dois pontos A e B, cuja medida é de
08 unidades.
3 – Trace um segmento de reta que passa pelos pontos A(1,5) e B(1,0).
4 – Construa um segmento AB e ache seu ponto médio.
5 – Construa uma reta r qualquer.
38
6 – Construa paralelamente a reta r uma reta s.
7 – Construa uma reta q perpendicular a s da questão acima.
8 – Construa um segmento de reta qualquer e ache seu ponto médio.
9 – Construa duas retas r e s quaisquer, paralelas entre si.
10 – Construa um polígono qualquer.
11 – Construa um pentágono (polígono com cinco lados) e identifique seus ângulos.
12 – Construa um triângulo e identifique seu incentro denominando-o de P. (Incentro
é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo.)
13 – Construa um quadrilátero qualquer.
14 - Construa um quadrilátero inscrito em uma circunferência, alterando suas
características (cor, espessura da linha, nome dos pontos, nome).
15 – Faça a reflexão de um ponto através de uma reta.
16 – Construa um polígono qualquer determinando sua área.
17 – Construa um polígono regular com seis lados.
18 – Construa uma circunferência e determine sua área.
19 – Crie uma circunferência de raio 3 cm.
20 – Construa uma circunferência a partir de três pontos e em seguida determine
seu centro.
39
2ª ETAPA
4º E 5º OFICINAS
GEOGEBRA: FUNÇÃO LINEAR
DURAÇÃO: 8 HORAS
OBJETIVOS
- Discutir e demonstrar a importância da Função Linear em situações cotidianas
- Socializar exercícios contextualizados de Funções Lineares através do Software
Geogebra
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO LINEAR
Função polinomial do 1° grau, ou função afim, é qualquer função f de IR em
IR dada pela lei que a forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados a #
0.
Prezado(a) Professor (a)
Nos apêndices você encontra uma apresentação de slides contendo um resumo da
Função Afim. Este material servirá de apoio em suas aulas.
40
ATIVIDADES
1- Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b
é chamado termo constante.
a) Acione as ferramentas Exibir eixos e janela de álgebra;
b) Insira dois controles deslizantes, a e b;
c) Na janela de entrada escreva a função f(x) = a*x + b (enter);
d) Será construído o gráfico da função, movimente os seletores e observe o aspecto
da reta;
Através do observado, faça uma análise das principais modificações ocorridas em
função da movimentação dos valores. Em algum momento a reta f ficará paralela ao
eixo x?
2 – Transfoi é uma transportadora de cargas que faz frete no Brasil todo. O preço do
frete que transfoi cobra é em função da massa em quilogramas que a mesma
transporta. Para levar uma carga a transportadora cobra R$ 50,00 fixo mais R$ 0,80
por quilo da carga. Com base nessas informações, encontre a função que determina
o valor do frete para “x” quilos e construa o gráfico dessa função para os valores de
10 kg, 15 kg, 40 kg e 55 kg.
3- Emerson um rapaz muito simpático, é dono de um táxi que ele mesmo dirige.
Cada corrida que ele faz, cobra uma taxa fixa denominada “bandeirada”, mais a
quantidade de quilômetros rodados. Sendo o valor de R$ 4,60 a bandeirada e R$
2,30 o quilômetro rodado, responda:
a) Do que depende o salário de Emerson?
b) Se Edvirges, uma amiga de infância de Emerson, fizer uma corrida e o trajeto for
de 5 quilômetros, qual o valor que Edvirges irá pagar?
c) Sabendo que no dia seguinte Edvirges precisou de uma nova corrida e pagou pela
mesma o valor de R$ 29,90, qual a distância percorrida pelo taxi para deixar
41
Edvirges em seu local desejado?
4- Através de uma recente pesquisa, descobriu-se que a quantidade de sons de uma
determinada espécie de cigarras depende de um fator natural que é a temperatura. A
10º C, as cigarras emitem em média 62 sons por minuto. A 14º C emitem 86 sons
por minuto. Determine a equação que relaciona a temperatura em º C e o número de
sons n.
5- Um automóvel percorre uma distância d conforme mostra o gráfico abaixo:
Determine:
a) O Coeficiente angular
b) A equação da reta
c) Qual a distância percorrida por esse automóvel após 10 min?
d) Qual o tempo necessário para que esse automóvel faça um percurso de 16m?
6- A Empresa Asfaltosemburacos é uma empresa especializada na construção de
estradas asfaltadas. Para construir uma estrada essa empresa cobra um valor fixo
mais um valor que varia de acordo com o tamanho em quilômetros da construção. O
valor fixo cobrado pela empresa é 4 milhões de dólares mais 0,1 milhões de dólares
por quilômetro construído.
42
a) Determinar a lei da função de x≥ 0, que determina o valor cobrado pela empresa
para a construção da estrada, e construir seu gráfico.
b) Qual será o custo da obra, sabendo que a estrada em sua extensão total terá 100
Km?
7- Um rapaz trabalha como representante comercial de uma loja, e recebe no fim do
mês um salário composto de duas partes. A primeira parte é fixa de R$ 1.500,00
mais 5% (0,05) de comissão sobre o valor de suas vendas. Com essas informações,
responda:
a) Qual a função algébrica de seu salário?
b) Determine o gráfico desse função
c) No mês de abril o representante, por “n” motivos, não fez venda alguma. Qual o
valor de seu salário?
d) Como em abril o representante não fez venda alguma, ele necessitou aumentar
seu salário nos próximos meses. No mês de maio vendeu R$ 3.500,00, junho R$
4.700,00 e Julho R$ 4.900,00. Qual o valor de seus salários nesses meses?
8- O dono de um mercado gastou R$ 300,00 na compra de um lote de abacaxi.
Cada abacaxi será vendido por R$ 2,50. Com base nesses dados, ele solicitou que
seu gerente calculasse quantos abacaxis ele teria que vender para obter lucro.
Portanto, encontre a função, determine seu gráfico e calcule a quantidade de
abacaxis que será necessário vender para obtenção de lucros.
9) Angélica está fazendo uma pesquisa de preço em três operadoras telefônicas de
celulares.Os preços que ela conseguiu são os seguintes:
OPERADORA CUSTO FIXO (PORLIGAÇÃO)
CUSTO VARIÁVEL (PORMINUTO)
A R$ 37,00 R$ 0,75
B R$ 22,00 R$ 0,90
C R$ 0,00 R$ 1,50
Fazendo a análise das três operadoras, qual é mais viável para Angélica já que ela
tem um consumo médio de 30 minutos por mês?
43
3ª ETAPA
6º E 7º OFICINAS
GEOGEBRA: FUNÇÃO QUADRÁTICA
DURAÇÃO: 8 HORAS
OBJETIVOS
- Discutir e demonstrar a importância da Função Quadrática em situações cotidianas
- Socializar exercícios contextualizados de Funções Quadráticas através do Software
Geogebra
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA
qualquer função de R em R dada por uma lei da forma:
com a, b e c números reais e a ≠ 0
Prezado(a) Professor (a)
Nos apêndices você encontra uma apresentação de slides contendo um resumo da
Função Afim, material que servirá de apoio em suas aulas.
44
ATIVIDADES
1- A trajetória de um projétil lançado para cima verticalmente, é descrito pela
equação . Sabendo que x e y são dados em quilômetros, responda:
a) Qual o alcance desses projétil?
b) Que altura máxima o projétil atingiu?
2- Andressa uma jogadora de futebol está a 15 metros de distância da trave do gol
do time adversário. Quando chutou a gol a bola bateu exatamente na trave que tem
uma altura de 2 metros. Se a equação da trajetória da bola é de , qual
a altura máxima que a bola atingiu?
3- Uma fábrica de óleo de soja tem a sua produção diária (P) por embalagem de 900
ml, variando com o número de funcionários (f) trabalhando por dia, de acordo com a
função . Com base nesses dados calcule:
a) a produção das embalagens de óleo se o número de funcionários for igual a 35.
b) o número de funcionários necessário para produzir 35000 embalagens de 900 ml
de óleo de soja.
45
4- Um foguete é lançado de modo que sua altura h, em relação ao solo, é dada, em
função do tempo, pela função , em que o tempo é dado em
segundos e a altura é dada em metros. De acordo com essas informações,
responda:
a) a altura do foguete 5 segundos depois do lançamento
b) o tempo necessário para o foguete atingir a altura de 500 metros
5- A trajetória de um projétil é representada por em que cada unidade
representa um quilômetro. Determine a altura máxima que o projétil atingiu.
6- A conta bancária de um cliente do Banco XYZ é dada pela função .
S é o saldo em reais e d é o tempo em dias . Determine
a) em que período o saldo é positivo
b) em que período o saldo é negativo
c) em que dias o saldo é zero
7- Uma fábrica de produtos de beleza produz, por dia, x unidades de um kit de
maquiagens, podendo vender tudo o que produz por um preço de R$ 90,00. Se x
unidades do kit são produzidas por dia, o custo total, em reais, da produção diária é
igual a . Então para que essa fábrica tenha um lucro diário de R$
1.500,00 na venda desses kits, qual deve ser o número de kits produzidos e
vendidos por dia?
8- Um objeto é solto do alto de um prédio, cai e atinge o solo. Sua altura h em
relação ao solo, é dada pela expressão sendo t os segundos após o
lançamento. Quantos segundos após o lançamento o objeto atingirá o solo?
9- Numa chácara existe uma horta com 9.600 m². Sabendo que essa horta tem a
46
forma de um retângulo e que o comprimento de um lado é uma vez e meia maior
que a largura. Determine o comprimento e a largura dessa horta.
10- Uma agropecuária vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada marca de
ração chamada BifChop para cachorros por semana. O preço de cada pacote é R$
9,00, e o lucro da agropecuária, em cada pacote vendido, é de R$ 4,00. Se for dado
um desconto de x reais no preço do pacote de ração, o lucro por pacote terá uma
redução de x reais, mas, em compensação, a agropecuária aumentará sua venda
em 400x pacotes por semana. Nestas condições, calcule:
a) O lucro dessa agropecuária em uma semana, caso o desconto dado seja de R$
2,00.
b) O preço do pacote de ração para que o lucro da agropecuária seja máximo, no
período considerado.
11- Uma substância química foi experimentada a uma população de insetos que
estavam estragando uma plantação de soja. Verificando o controle da variação em
função do tempo, em dias, concluiu-se que a quantidade da população é a seguinte:
f(t) = - t2 + 2t + 50.
Com base nessas informações, determine:
a) O intervalo de tempo em que a população cresce.
b) Depois de inserido o pesticida, existe algum momento em que a população de
insetos é igual à população inicial? Se sim, qual?
c) Quando a população de insetos é exterminada?
47
4ª ETAPA
8º OFICINA
GEOGEBRA: ATIVIDADES REALIZADAS NAS TAREFAS DE CASA
DURAÇÃO: 4 HORAS
OBJETIVOS
- Discutir e demonstrar a importância da Função Linear e Função Quadráticas em
situações cotidianas
- Socializar exercícios/atividades contextualizados de Funções Lineares e Funções
Quadráticas através do Software Geogebra, realizados como tarefa
Nesta etapa todos os cursistas participantes com o auxílio da docente
organizarão as atividades de tarefa que foram desenvolvidas no decorrer da oficina.
Logo após a finalização desse material será repassado a todos para que
posteriormente possam utilizá-lo em sala de aula.
48
5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARAUJO, Claudio Lopes de. GeoGebra, um bom software livre. Revista doProfessor de Matemática, nº 67, p. 43-7, 3º quadrimestre de 2008.
BORBA, M. C. Tecnologias da informática na educação matemática ereorganização do pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (org). Pesquisa em educaçãomatemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.
BOYER, Carl. História da Matemática, 10a impressão. São Paulo: EdgarBlücher/Edusp, 1993.
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação a Distância.Salto para o futuro: TV e Informática na Educação. Brasília, 1998.
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Livraria Sá da CostaEditora: 9ª ed., Lisboa, 1989.
CHAVES, Maria Isaura de Albuquerque. Formalização do Conceito de Função noEnsino Médio: Uma Sequência de Ensino-Aprendizagem. In: VIII Encontro Nacionalde Educação Matemática, 2004, Recife. Anais do VIII ENEM – Encontro Nacionalde Educação Matemática, 2004.
D AMBRÓSIO, Beatriz. Como Ensinar Matemática Hoje? Temas e Debates.Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Ano II.N.2, 1989.
DEMO, Pedro. Educação e qualidade. 2. ed. Campinas: Papirus, 1995.
DEMO, Pedro. Questões para teleeducação. Petrópolis: Vozes, 1998.
Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Secretaria de Educaçãodo Estado do Paraná, 2008.
Gomes, P. de G. & Gavazzi, R. S. Jogos e desafios de matemática. Disponível em <http://www.lo.unisal.br> [consultado em 07/05/2013]
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era dainformática. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1996.
LÉVY, P. Cibercultura. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1999.
Milani, E. (2001). A informática e a comunicação matemática. Em K. S. Smole &M. I. Diniz (Orgs.); Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas paraaprender matemática (pp.176-200). Porto Alegre: Artmed.
Milton, K. (1989). Fostering algebraic thinking in children. The AustralianMathematics Teacher, 45 (4): 14-16.
MORAN, José Manuel, MASETTO, Marcos T., BEHRENS, Marilda A. Novas
49
tecnologias e mediação pedagógica. Campinas, SP: Papirus, 2000. 133p.
Pinto, M. L. da S. (2002). Práticas Educativas numa sociedade global. Porto:Edições Asa.
Rêgo, Rogéria Gaudêncio.(2000). Um estudo sobre a construção do conceito defunção. 2000. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação,Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN.
Romero, C. S. (2006). Recursos Tecnológicos nas Instituições de Ensino:Planejar Aulas de Matemática utilizando Softwares Educacionais. Disponível em<http://www.unimesp.edu.br> [consultado em 07/05/2013].
SANCHO. Juana Maria; HERNANDEZ, Fernando e colaboradores. [et al.].Tecnologias para transformar a educação. Porto Alegre: Artmed, 2006.
Valente, J. A. (1999). O computador na sociedade de conhecimento. Campinas: Unicamp/NIED
50
6 - APÊNDICE
