OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

Versão Online ISBN 978-85-8015-080-3Cadernos PDE

I

O ensino das operações fundamentais com números inteiros por meio da

Resolução de Problemas

Rosemeire Gomes1

João Henrique Lorin2

Resumo: Este artigo é o resultado de uma pesquisa realizada durante o Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria Estadual de Educação do Paraná. O objetivo foi investigar como os alunos utilizam diferentes conhecimentos e representações matemáticas na resolução das operações com números inteiros que não sejam baseados apenas na memorização de regras de cálculo. Foi desenvolvida em uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental em um colégio da rede pública do Estado do Paraná. Para tanto, foi utilizada uma sequência didática com atividades embasadas na metodologia de Resolução de Problemas, tendo como referência as três fases sugeridas por Van de Walle (2009) e as orientações de Onuchic e Allevato (2011), que consideram o problema como ponto inicial para a aprendizagem de novos conceitos. Palavras-chave: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Números Inteiros.

INTRODUÇÃO

No Ensino Fundamental, um dos conteúdos contemplados pelas Diretrizes

Curriculares Estaduais de Matemática (DCE) é Conjuntos Numéricos e

Operações. Este conteúdo se desdobra dos Conteúdos Estruturantes “Números e

Álgebra”, sendo sugerido seu estudo no 7º ano do Ensino Fundamental, quando

espera-se que o aluno, no decorrer desta etapa, seja capaz de compreender os

conceitos de adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros

(PARANÁ, 2008).

A respeito do tratamento dos números inteiros os Parâmetros Curriculares

Nacionais de Matemática (PCN) afirmam que

As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas ideias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem

1 Professor da Rede Pública Estadual de Ensino do Paraná. rosemeireg@seed.pr.gov.br

2 Professor Orientador PDE da UNESPAR/Fecilcam – Campo Mourão. jhlorin@fecilcam.br

situações de perdas e ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações (BRASIL, 1998, p.66).

Segundo os PCN (1998), a aprendizagem dos números inteiros deve permitir

o reconhecimento destes em diferentes contextos cotidianos e históricos; e a

exploração de situações-problema em que indicam falta, diferença, orientação

(origem) e deslocamento entre dois pontos.

Desse modo, o professor precisa procurar meios eficazes para o ensino dos

números inteiros, dada à sua importância para a vida do aluno, que se depara com

estes em muitas situações do cotidiano.

No entanto, há de se cuidar na escolha da metodologia e estratégias

escolhidas para seu ensino, para que não se torne um conteúdo vazio de significado

para os alunos, conforme preconizam os Parâmetros Curriculares Nacionais:

[...] ao desenvolver um tratamento exclusivamente formal no trabalho com os números inteiros, corre-se o risco de reduzir seu estudo a um formalismo vazio, que geralmente leva a equívocos e é facilmente esquecido. Assim, devem-se buscar situações que permitam aos alunos reconhecer alguns aspectos formais dos números inteiros a partir de experiências práticas e do conhecimento que possuem sobre os números naturais (BRASIL, 1998, p.100).

Para Van de Walle (2009, p.58) “as lições eficazes começam onde os alunos

estão, e não onde os professores estão. Isto é, ensinar deve começar com as ideias

que as crianças já possuem – as que serão usadas para criar novas ideias”.

Sendo assim, os PCN consideram que:

A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p.40).

Segundo Onuchic (1999, p.207) “ao se ensinar matemática através da

resolução de problemas, os problemas são importantes não somente como um

propósito de se aprender matemática mas, também, como um primeiro passo para

se fazer isso”.

Assim, a metodologia adotada nesse trabalho foi embasada na Resolução de

Problemas, tendo como referência as três fases sugeridas por Van de Walle (2009),

bem como as orientações de Onuchic e Allevato (2011), que consideram o problema

como ponto inicial para a aprendizagem de novos conceitos.

Para tanto, cada aula foi organizada com o propósito de resolver um único

problema seguindo as três fases de Van de Walle: Antes, Durante e Depois. Sendo

que cada fase contempla uma finalidade específica: a) fase Antes: preparar os

alunos para a resolução do problema; b) fase Durante: deixar os alunos trabalhando

sozinhos ou em pequenos grupos e, c) fase Depois: momento em que os alunos

trabalham em equipes, discutindo e justificando as soluções para o problema

proposto.

Considerando a importância de desenvolver diferentes práticas educacionais

a respeito do ensino das operações com números inteiros, de tal forma que

ultrapasse a prática tradicional de memorização, este trabalho se fundamenta na

seguinte questão norteadora: é possível, por meio da Resolução de Problemas,

propiciar um ensino das operações com números inteiros que não seja apenas

baseado na memorização de regras de cálculo?

2 O ESTUDO DOS NÚMEROS INTEIROS POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

A introdução do conjunto dos números inteiros usando os sinais negativo e

positivo, com qualidades específicas, representando um novo sentido, pode

apresentar-se como um elemento de dificuldade para a compreensão dos alunos.

Rocha Neto (2010) destaca algumas das dificuldades relacionadas aos

estudos dos números inteiros. Entre elas: a) dificuldade em compreender o conjunto

dos números inteiros como composto por valores numéricos ordenados em direções

opostas a partir de um ponto de referência (origem); b) dificuldade em ordenar

corretamente os inteiros negativos; c) dificuldades relacionadas à aplicação das

regras de sinais que aparecem nos cálculos de expressões numéricas.

Mariano e Matos (2013, p.6) ressaltam que:

[...] Uma das maiores dificuldades no entendimento das propriedades de números inteiros está na representação dos números negativos, pois exige um nível de abstração que, para grande parte dos alunos, não foi satisfatoriamente trabalhada.

Teixeira (1993) afirma que, o uso de diferentes situações das quais surgem os

problemas contribuem para a abstração dos conceitos, possibilitando a

generalização do dado abstraído, oportunizando reconstruções diante de novos

problemas.

Neste sentido, a Resolução de Problemas torna-se uma aliada no ensino de

números inteiros, pois conforme Teixeira (1993, p.67),

Quando se fala em aprendizagem de números inteiros, deve imaginar a construção de uma diversidade de esquemas estabelecidos em vários contextos de significados diversos e representados através de determinado sistema de símbolos.

A Resolução de Problemas possui um caráter desafiador e motivador, pois

procura instigar a curiosidade e o interesse pela resolução. É importante ressaltar

que o uso da Resolução de Problemas como metodologia de ensino, remete à

interpretação, à reflexão e à tomada de decisões estabelecendo relações entre a

matemática e a realidade.

Na abordagem de Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino, o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas. O ensino da Resolução de Problemas não é mais um processo isolado. Nessa metodologia o ensino é fruto de um processo mais amplo, um ensino que se faz por meio da Resolução de Problemas (ONUCHIC, 1999, p.210-211).

A Resolução de Problemas é apontada nas DCE de Matemática como uma

tendência metodológica da Educação Matemática que pode auxiliar nas abordagens

dos conteúdos com a finalidade de desenvolver os conhecimentos matemáticos

(PARANÁ, 2008).

Para Vieira (2013), a resolução de problemas é uma das metodologias de

ensino que permite ao aluno entender os conceitos, os processos e as técnicas

operatórias relacionadas ao conteúdo estudado. Ao adotar a metodologia da

resolução de problemas como um recurso de ensino, o aluno passa a ter uma

postura ativa, ampliando sua compreensão inicial, promovendo questionamentos

além do conhecimento existente, levantando hipóteses, fazendo conjecturas,

procurando argumentos que lhe permitam defender um ponto de vista e a expressar

uma forma de raciocínio.

3 ENCAMINHAMENTOS METODOLÓGICOS

O presente trabalho é resultado da implementação da Unidade Didático-

Pedagógica elaborada pela professora PDE em uma turma de sétimo ano do Ensino

Fundamental, do Colégio Estadual Professora Maria Gomes Bizerra – EFM, no

município de Ubiratã - Pr. A implementação ocorreu durante os meses de julho e

agosto de 2015, totalizando trinta e duas aulas, contando com a participação de 25

alunos. A fim de manter o anonimato das falas dos alunos, serão usadas letras para

distingui-los e as equipes serão identificadas por números.

Este trabalho apresenta uma abordagem de pesquisa qualitativa de acordo

com os pressupostos de Bogdan e Biklen (1994). Nesta pesquisa, a fonte direta dos

dados foi a sala de aula (ambiente natural); e o investigador, a professora regente da

turma (instrumento principal). Nesse sentido, a pesquisa é considerada descritiva, na

qual o interesse maior é o processo e não a simples quantificação dos dados. Estes

por sua vez, foram analisados de forma indutiva. Para a coleta de dados foram

utilizados os seguintes recursos: diário do aluno, gravações em áudio e vídeo, fotos

e anotações em cadernos e ainda, um relatório escrito pela professora-pesquisadora

a respeito das impressões diárias das atividades realizadas.

A Produção Didático-Pedagógica produzida na forma de Unidade Didática foi

organizada em sete seções, que foram organizadas da seguinte maneira:

Seção 1 – Os números negativos e positivos. Para a realização dessa

seção foram utilizadas 4 aulas. Nesta seção, foram propostas quatro situações3 com

a finalidade de verificar e de explorar os conhecimentos prévios dos alunos em

relação aos números negativos. Além disso, identificar, interpretar e utilizar os

números inteiros representados em contextos matemáticos e não matemáticos.

Seção 2 – Organizando os números inteiros. Para a realização dessa

seção foram utilizadas 3 aulas. Nesta seção, foram propostas três situações, as

quais permitiram ao aluno comparar números inteiros e negativos, posicionar na reta

numérica os números inteiros e ainda, localizar e estabelecer o ponto de referência

(origem) e a partir dele definir dois sentidos, negativo e positivo.

Seção 3 – Adição dos números inteiros. Para a realização dessa seção

foram utilizadas 5 aulas. Esta seção foi composta de três situações que auxiliaram o

3 O termo situação refere-se ao problema proposto aos alunos. Cada situação é composta por um

texto seguido de questões que deverão ser analisadas e interpretadas pelos alunos.

aluno a reconhecer e distinguir os resultados da adição quando se opera com

números inteiros e aplicar procedimentos de cálculo para resolver situações que

envolviam adição de números inteiros.

Seção 4 – Subtração dos números inteiros. Esta seção foi realizada em 5

aulas. Foram sugeridas cinco situações com a finalidade de resolver subtrações com

números inteiros, envolvendo diferentes significações para que o aluno

compreendesse o que ocorre quando um sinal de menos antecede um número

inteiro entre parênteses.

Seção 5 – Multiplicação dos números inteiros. Foram utilizadas 6 aulas

para o desenvolvimento desta seção. Nesse caso, foram apresentadas quatro

situações, as quais permitiam que o aluno verificasse as possibilidades de multiplicar

dois números inteiros e seus respectivos resultados. Foi ressaltada a compreensão

da multiplicação dos números inteiros por meio de situações variadas tendo em vista

os processos nelas envolvidos.

Seção 6 – Divisão dos números inteiros. Esta seção durou 5 aulas. A

seção apresentava três situações que permitiam ao aluno a realização, de modo

contextualizado, da operação de divisão envolvendo números inteiros. Assim como,

de reconhecer o significado da operação de divisão envolvendo números inteiros.

Seção 7 – Desafios com números inteiros. Foram utilizadas 4 aulas para a

realização das situações propostas. Nesta seção, foram propostas cinco situações

cuja finalidade era ampliar a habilidade de analisar e de criar estratégias para

resolver as situações-problemas, optando por uma ou mais operações.

No final de cada seção, com exceção da última, foi proposto um quadro

denominado Pense...Logo Responda. Neste item, foram realizados

questionamentos aos alunos referentes aos processos para a resolução das

situações conduzindo à formalização do conteúdo.

As situações-problema que compõem cada seção foram elaboradas/

selecionadas de modo que permitissem ao aluno fazer indagações a respeito do

conteúdo a ser estudado e ainda promover oportunidades de praticar a habilidade de

interpretar textos, organizar dados, utilizar métodos adequados para resolver os

problemas e analisar coerentemente as soluções obtidas.

A implementação da Unidade Didática esteve pautada na teoria de Van de

Walle (2009, p.62). Ele sintetiza suas ideias conforme o quadro:

Durante o encaminhamento das aulas, foram vivenciadas as três fases

propostas por Van de Walle (2009). Na fase Antes, a professora verificava se todos

os alunos compreenderam o problema para que não fosse necessário explicar

individualmente; esclarecer aos alunos como seria realizada a atividade

(organização dos alunos e tempo de duração); orientar o que iriam fazer e preparar

os alunos para a atividade de modo que utilizassem conhecimentos prévios. Na fase

Durante, os alunos trabalhavam sozinhos inicialmente, após uma reflexão, foram

formados pequenos grupos. Nessa fase, a professora observava seus alunos,

escutando-os e dando sugestões, porém sem antecipar os resultados. Na fase

Depois, houve o compartilhamento das ideias. Nesta fase, coube à professora

incentivar os alunos a discutir e a justificar seus resultados, deixando expor suas

estratégias e conclusões. Após isso, a professora sintetizou as principais ideias,

formalizando o conteúdo estudado e identificando problemas para futuras

explorações.

A avaliação do desempenho dos alunos foi realizada considerando as

estratégias e recursos que utilizaram para resolver as situações-problema. Esse

procedimento foi registrado pelos próprios alunos nas folhas impressas das

atividades e recolhido pela professora ao término da aula.

O quadro Pense... Logo Responda, também foi considerado como recurso

auxiliar de avaliação, pois, considera a participação de todo o grupo, assim como, a

contribuição das ideias promovidas ao longo da resolução da atividade.

4 DESENVOLVIMENTO, RESULTADOS E ANÁLISES

Ao iniciar as atividades de implementação, os alunos foram orientados a

respeito do desenvolvimento das atividades e que as mesmas seriam realizadas em

três fases: Antes, Durante e Depois (VAN DE WALLE, 2009). Para cada seção

proposta na Unidade Didática, os alunos receberam um material impresso e

individualmente realizaram a leitura da situação sugerida pela professora.

Após essa leitura, deu-se início as três fases propostas por Van de Wale

(2009). Na fase Antes, a professora preparou os alunos para a realização da

situação, verificando se eles haviam compreendido o problema e ativando os

conhecimentos prévios úteis para a realização da situação.

A etapa seguinte, chamada de fase Durante, os alunos individualmente

tentavam realizar a atividade fazendo anotações e usando seus conhecimentos

prévios para obter as respostas. No decorrer dessa fase, a professora ouviu

cuidadosamente os alunos, fornecendo sugestões e orientando os mesmos, sem

antecipar os resultados das situações. Os trabalhos individuais foram recolhidos,

para observação e comparação com o material que seria produzido pelas equipes,

além de servir como material para avaliação.

Na sequência, a próxima fase vivenciada, foi a denominada Depois. Por essa

razão, foram formadas seis equipes, das quais, cinco eram compostas por quatros

alunos e uma equipe composta por cinco alunos.

Cada equipe recebeu uma cópia impressa da situação. Após as discussões,

registraram nesse material suas respostas para serem posteriormente socializadas

com a turma. Lembrando que, esse material era o mesmo que os alunos já haviam

respondido individualmente. Dessa forma, a professora teria material para comparar

as conclusões dos alunos entre as fases Durante e Depois.

Cada grupo teve a oportunidade de expor suas estratégias e conclusões no

momento de socialização. Após a contribuição de todas as equipes: os resultados,

as estratégias, as conclusões, e a linguagem matemática utilizada, a professora

apresentou outras estratégias, sintetizou e formalizou o conteúdo estudado e

identificou as possíveis dificuldades para futuras situações. Essas práticas, se

repetiram em todas as situações desenvolvidas no decorrer da implementação

pedagógica.

Na seção 1, observou-se que na situação 1 (saldo de gols), a maioria dos

alunos compreenderam o significado da frase “saldo de gols negativo”. Identificaram

os números negativos usados na situação e ao comparar dois saldos de gols

negativos (-3 e -2) conseguiram concluir qual o melhor resultado. Entretanto, tiveram

dificuldades em justificar por escrito a resposta. Durante a socialização com os

demais alunos, a equipe 3 justificou sua resposta da seguinte maneira: “Nós

achamos que o melhor resultado foi -2, porque aqui o Brasil fez 1 gol e outro time fez

3. Se o Brasil tivesse feito mais dois gols, tinha ficado empatado. No outro jogo, o

Brasil teve 11 marcados e levou 14, faltou 3 para empatar.” (Aluna I).

Na situação 2 os números inteiros, em especial, os negativos, estavam

associados à temperatura (graus Celsius). As equipes 2 e 5, chegaram à conclusão

de que o sinal ( - ) que antecede os números expressam temperaturas abaixo de

zero. A equipe 1, concluiu que representa graus negativos. Para as equipes 3 e 4, o

sinal ( - ) que antecede os números, significa número negativo. Quando

questionados se a sensação térmica para temperaturas negativas e positivas são

diferentes, todas as equipes afirmaram que sim, porém, ao se justificarem,

afirmaram que temperatura negativa é frio enquanto que, temperatura positiva é

calor. Percebe-se que, ainda não estabeleceram uma relação para temperaturas

próximas de zero, como por exemplo, -2 ºC e +3 ºC.

A situação 3 apresentava questões envolvendo o uso de dinheiro. Os alunos

deveriam analisar situações em que: o dinheiro era suficiente para comprar o

desejado; e, situações em que o dinheiro não era suficiente para realizar a compra.

Nesse caso, deveriam responder quanto iria faltar e fazer uso da representação

simbólica, usando algarismos e os sinais de positivo e de negativo. Todas as

equipes usaram o sinal negativo ( - ) para representar a quantidade de dinheiro que

faltou.

Verificou-se que, mesmo não sendo sugerida a utilização de algoritmos,

quatro equipes deixaram registrados no material as operações efetuadas. Eles

usaram os conhecimentos das operações com números naturais para realização dos

cálculos. Após analisarem a situação proposta é que concluíram que quando sobra

dinheiro, o número em questão, era positivo; e, quando faltava dinheiro, o número

era negativo.

A situação 4 relaciona os números inteiros e sua aplicação no fuso horário.

Percebeu-se que, em suas respostas, todos os alunos compreenderam que, os

números positivos representados no mapa situados a leste em relação ao Meridiano

de Greenwich significa a quantidade de horas que são adiantadas; enquanto que, os

números negativos representados a oeste, significa a quantidade de horas que

devem ser atrasadas.

Após a realização das quatro situações, no quadro Pense... logo responda,

os alunos deveriam escrever em quais situações podemos encontrar a aplicação dos

números negativos e positivos. Constatou-se que responderam à questão usando

apenas os exemplos das situações apresentadas na seção.

Ainda, em relação à seção 1, alguns alunos questionaram como

responderiam às questões que não havia menção aos números/operações no

enunciado. Para esses alunos, um problema matemático deve conter

necessariamente números e algoritmos. Em contraponto, os alunos que

apresentavam dificuldades nos cálculos, gostaram das questões que exijiam apenas

a escrita na língua materna, baseando-se na sua interpretação, sem a exigência de

algoritmos para respondê-las.

Na seção 2, as situações 5 e 6 contemplavam a comparação dos números

positivos e negativos e o posicionamento dos números inteiros na reta numérica.

Para essa atividade, eles interpretaram uma situação que abordava a temperatura

dos planetas do Sistema Solar e o saldo mensal da cantina (em reais). Ao iniciar a

seção, durante a fase Antes, foi apresentado aos alunos um termômetro de parede

em que havia graduações para temperaturas positivas e negativas.

Em uma das questões da situação 5, foi solicitado aos alunos que

desenhassem um termômetro e indicassem a temperatura de cada um dos planetas

apresentadas na tabela.

Para essa questão, eles tomaram como referência o termômetro apresentado

no início da seção. Houve divergência entre os membros das equipes 1, 2, 3 e 4; por

sua vez, as equipes 5 e 6 não discutiram a questão. Sendo assim, não houve

registros na folha das equipes, os alunos optaram por manter as respostas das

folhas individuais. Houve muitas dificuldades com relação à comparação de números

negativos.

Foi observado que, sete alunos registraram as temperaturas positivas à

esquerda de zero e as temperaturas negativas à direita de zero e, cinco alunos

registraram as temperaturas negativas à esquerda de zero e as temperaturas

positivas à direita de zero.

Representação da temperatura pela aluna M

Representação da temperatura pela aluna M;

Essa troca de posição entre os números positivos e negativos pode ter origem

na observação e manuseio do termômetro de parede. No termômetro apresentado, a

graduação era vertical, com as temperaturas positivas acima do zero, e, as

negativas abaixo do zero. Ao realizarem a transcrição desse instrumento na folha de

papel, adotaram a rotação do termômetro para que ficasse na posição horizontal. Os

que fizeram o movimento no sentido horário, acertaram a representação (positivos à

direita e negativos à esquerda do zero); e os que adotaram a rotação do termômetro

no sentido anti-horário acabaram trocando as posições relativas desses valores.

Essa interpretação, quanto à posição do termômetro foi discutida na fase Depois,

após a exposição dos alunos.

Durante a socialização, a aluna M apresentou a seguinte argumentação: “Se

no termômetro os números que estão aqui em baixo [apontando para os números

abaixo de zero] são negativos e quanto mais para baixo significa mais frio. Se eu

pegar um número aqui [apontando para um número negativo], então, qualquer

número pra cima dele é mais quente, a temperatura é mais alta”.

No quadro Pense... logo responda, a maioria dos alunos reconheceu que o

zero é um ponto onde ocorre a mudança dos números negativos para os números

positivos e que à medida que os números se distanciam pela direita de zero, os

números aumentam, e, que à medida em que os números se distanciam de zero

pela esquerda, os números diminuem. Mesmo assim, os alunos não conseguiram

estabelecer a ordenação dos valores utilizando os sinais < (menor que) e > (maior

que).

Na situação 6, por envolver sistema monetário, os alunos conseguiram

identificar o maior e o menor saldo. Interpretaram o número zero, com a não

existência de lucro e nem de prejuízo, e, conseguiram posicionar os números da

tabela na reta numérica.

A situação 7, envolvia o conteúdo específico Módulo, usando como referência

de estudo altitude e profundidade. Todos os alunos associaram números inteiros

positivos à altitude e, números inteiros negativos à profundidade. Também

observaram que a distância percorrida por eles foi a mesma, porém, em sentidos

contrários.

Ao responderem as questões do quadro Pense... logo responda, eles não

conseguiram concluir, sozinhos ou em grupos, que o módulo de um número inteiro é

sempre representado por um número inteiro positivo.

Na seção 3, as situações foram elaboradas de modo que contemplassem as

formas de adicionar dois números inteiros. Na situação 8, as questões que

envolviam adição de dois números positivos, a + b (com a > b), os alunos não

apresentaram dúvidas e obtiveram as mesmas respostas. Nas questões do tipo

a + b, com a < b e a + b com a, b < 0, os alunos apresentaram dificuldades para

fazer a representação por meio da adição e interpretar se o resultado era um

número positivo ou negativo.

As situações 9 e 10 eram de natureza contábil, envolvendo saldo positivo e

saldo negativo. Em ambas as situações, foi usado o sinal ( - ) para que os números

negativos ficassem em evidência, uma vez que os dados estavam organizados em

tabelas e num extrato bancário. Esse fato, contribuiu para que os alunos

conseguissem representar por meio de uma expressão matemática as questões

propostas, pois, quando o número era positivo, eles registravam usando o sinal ( + )

e, quando o número era negativo, usavam o sinal ( - ).

Registro da Situação 9 pelo aluno B

Todos os alunos associaram os números negativos ao prejuízo (situação 9) e

ao débito (situação 10).

Vale ressaltar, que durante a socialização da situação 8, a professora

estabeleceu, com a concordância dos alunos, que passariam a adotar a seguinte

convenção: colocar os números inteiros entre parênteses, tanto para os positivos

quanto para os negativos, sendo que o sinal da operação ficaria independente dos

demais. Devido a essas observações, ao fazerem as representações por meio de

expressões matemáticas durante as situações 9 e 10, os alunos passaram a fazer

uso dos parentêses nos números inteiros. Dessa forma, conseguiram identificar e

diferenciar o sinal do número do sinal da operação.

Para determinar o sinal do resultado das expressões matemáticas, o que

observou-se durante a discussão em equipe é que eles usavam os seguintes

argumentos:

Aluno C (equipe 1): “Se o Pedro teve lucro de 200 reais de manhã e a tarde

ele teve 100 reais, então ele ganhou 300 reais positivos.”

Aluno T (equipe 5): “Aqui em março, ele ganhou 170, mas a tarde ele teve

prejuízo de 25 reais. Se ele pegar o da manhã e a pagar o tarde, ainda sobra pra ele

145 reias positivos.”

Aluno P (equipe 4): “O resultado é 35 negativo, porque ele ficou com prejuízo.

Ele ficou no prejuízo de 65 reais de manhã e a tarde ele ganhou 30. Se ele for

pagar, ainda vai faltar 35 reais, por isso, é negativo”.

Aluna I (equipe 3): “Se ao todo ela depositou no banco 2100 reais mas tirou

2140, então ela ficou devendo 40 reais. Por isso eu coloquei sinal de menos”.

Na situação 11, os alunos associaram o número inteiro negativo à

profundidade e realizaram a adição de números inteiros negativos usando três

parcelas. Todas as equipes relataram que nessa adição o resultado seria negativo,

pois estava relacionado à profundidade.

No quadro Pense...logo responda, os alunos apresentaram dificuldades para

registrar suas respostas. Fez-se necessário a intervenção da professora auxiliando-

os como deveriam fazer tal registro. Quando solicitado a respeito das formas de

adicionar dois números inteiros, pediu-se que eles olhassem as situações anteriores

e observassem os registros. Eles passaram a responder oralmente que haviam

somado número positivo com número positivo e número negativo com número

positivo. Aproveitando as respostas dos alunos, a professora fez um registro de

modo sistematizado para que realizassem a questão.

Na seção 4, quatro situações faziam uso dos números inteiros relacionados à

temperatura. Em todas elas foi solicitado aos alunos que representassem em uma

reta numérica a temperatura mínima e a temperatura máxima. Na situação em que

apareceu somente temperaturas positivas, dez alunos representaram a reta usando

apenas os números positivos, inciando a graduação em zero. Oito alunos usaram

além dos números positivos, os números negativos, posicionando-os corretamente

em relação ao zero. Durante a realização dessa seção, quatro alunos não

apresentaram registros das respostas.

Os alunos observaram e distinguiram as situações em que a temperatura

aumentou e as em que a temperatura diminuiu durante um intervalo de tempo. Essa

interpretação foi realizada observando o termômetro que eles próprios desenharam.

Quanto ao cálculo da variação de temperatura, no material que os alunos receberam

havia a dica de como escrever uma expressão matemática. Os alunos utilizaram: a)

a dica contida no material impresso; b) fizeram o registro das temperaturas com seus

respectivos sinais entre parentêses; e, c) usaram os resultados obtidos nas questões

anteriores, para escreverem a expressão matemática referente à variação de

temperatura, bem como a escrita de seu resultado.

A respeito do sinal no número do resultado, eles utilizaram a interpretação

das questões anteriores, como podemos observar nas seguintes falas:

Alunas G: “se a temperatura era 20 graus e no final era 8, então diminuiu 12,

é só contar aqui. Por isso, eu coloquei 12 negativo”.

A aluna F: “não precisa fazer a conta, é só contar os risquinhos. Daí você

olha, se aumentou é positivo, se diminuiu é negativo”.

Na situação 16, que tratava da subtração de números inteiros foi associada à

ideia de altura e profundidade. Os alunos representaram a altura usando números

positivos; e profundidade usando números negativos. Para determinar a altura

máxima, percebeu-se que eles usaram a noção intuitiva de módulo, pois realizaram

a soma do número que representava a altura e do número que representava a

profundidade, desconsiderando o sinal.

A dificuldade apresentada nessa situação foi em relação à escrita de uma

expressão que permitisse calcular a altura máxima. A maioria dos alunos usaram

números positivos para altura e números negativos para profundidade,

representando-os entre parentêses, mas usaram a adição como operação dessa

expressão. Quatro desses alunos, registraram o resultado da subtração, ou seja,

calcularam altura menos a profundidade. Os demais, fizeram o registro como

resultado da adição de números positivos.

Esse fator contribuiu com as dúvidas surgidas no quadro Pense... logo

responda. Nesse quadro os alunos deveriam analisar a seguinte questão: “Quando

um sinal de menos antecede um número inteiro escrito entre parênteses o que

acontece com esse número?”

A aluna I: “Eu não sei como escrever, pois aqui [apontado uma expressão]

esse número é positivo e esse também, daí eu fiz a conta de menos e deu 7

positivo. Nesse outro [apontando outro expressão], esse número é positivo e esse

negativo, daí eu fiz a conta de menos e deu 10 positivo, na verdade eu não fiz

menos eu fiz mais”.

Aluna M: “Se a temperatura é menos 4 e a outra é menos 26 e o resultado

deu mais 22, isso só acontecesse se eu deixar o menos 26 virar mais 26. Daí, 26

menos 4, dá mais 22”.

Mesmo com dúvidas, oito alunos registraram suas respostas, mas sem

justificá-las, sendo que quatro desses alunos afirmaram que o número passa a ser

positivo e os demais que o número passa a ser negativo.

Nas situações propostas nas seções 5 e 6, os alunos tiveram a oportunidade

de interpretar a reta numérica, considerando como ponto de referência um ponto

diferente de zero, mas obedecendo ao sistema dos números inteiros, ou seja, a

partir do ponto de referência, a ordem é crescente para os números positivos e

decrescente para os números negativos.

Na seção 5, durante a fase Antes, a professora desenhou no quadro uma reta

numérica que representava os 12 minutos da situação proposta. Foi feita uma

análise considerando como referência o ponto zero e os números à sua direita

considerados positivos. Em seguida, considerou-se como ponto de referência o

número 12. Nesse caso, os números à sua esquerda passaram a ser considerados

negativos.

Em duas situações (17 e 18), os alunos apresentaram confusão em relação a

adoção do novo ponto de referência e os valores dos números que antecediam esse

ponto. Sete alunos, ao registrarem suas respostas, demonstraram que

compreenderam a posição e o valor que os números assumem a partir do ponto de

referência. Dentre estes, a aluna I fez a seguinte argumentação para sua equipe:

“Se a torneira foi fechada dois minutos antes desse tempo total, eu usei o menos 2.

Se ela foi fechada antes, então tinha menos água no tanque. Como a torneira

despeja 4 litros, eu usei mais 4, daí eu fiz menos 2 vezes mais 4 que deu 8, mas eu

coloquei sinal de menos porque a água diminuiu”.

Na situação 18, a aluna F explicou à sua equipe: “A água está saindo pelo

buraquinho do tanque, se a água sai, eu vou usar sinal negativo, porque está

diminuindo a água. Como o tanque ficou aberto 9 minutos, eu usei mais 9. Daí eu fiz

a conta de vezes, 9 positivo vezes 2 negativo, deu 18 negativo, porque é a água que

saiu”.

Isso foi observado na fase Depois, quando os alunos estavam reunidos em

equipe. Essa explicação foi aceita pelos demais, tal como observado na folha de

respostas da equipe.

A partir dessas situações, os alunos passaram a se familiarizar com a troca

do ponto de referência, identificando em cada questão, os números positivos e os

números negativos. Além disso, conseguiram atribuir o sinal do resultado da

operação, de acordo com a interpretação.

Uma equipe não conseguiu relacionar os números inteiros negativos às

situações, registrando apenas os casos em que a operação poderia ser realizada

com números inteiros positivos.

No quadro Pense... logo responda, os alunos deveriam escrever as

maneiras de multiplicar dois números inteiros e os possíveis resultados desses

produtos, observando as respostas obtidas nas situações da seção 5. Apenas 15

alunos registraram todas as possibilidades.

Em seus registros e durante a exposição oral, eles usaram as seguintes

escritas e falas: “ + com + = + ”, “ + com - = - ”, “ – com - = + ” e “ – com + = - ”. Ao

sintetizar esse conteúdo, a professora convencionou que a partir daquele momento,

os alunos deveriam dizer a operação envolvida na expressão, por exemplo: “número

positivo multiplicado por um número negativo”. Essa convenção foi sugerida para

que não houvesse confusão entre os resultados das outras operações.

Na seção 6, dos 23 alunos que realizaram todas as situações, 18 alunos

escreveram a expressão matemática da respectiva situação usando a divisão e os

números inteiros entre parentêses. Para colocar o sinal do resultado, eles se

apoiaram na interpretação da situação em análise.

Conforme a Aluna N: “Se eles vão cavar 18 metros, então é negativo, por isso

escrevi menos 18. Por dia eles cavam 3, então é negativo de novo. Dai dividindo

menos 18 por menos 3, dá 6 dias que é positivo”.

O Aluno B fez a seguinte consideração: “Para as prestações do carro eu usei

número positivo 24. Para o valor do carro eu usei números negativos. Daí eu dividi o

valor do carro pelo número de prestações. Ele vai ter que pagar todo mês mil

trezentos e cinquenta, como ele vai ter que pagar, ele deve, daí eu coloquei menos

na resposta”.

No quadro Pense... logo responda, eles também registraram as possíveis

formas de dividir dois números inteiros e seus respectivos resultados. Seis alunos

optaram por escrever a resposta por extenso, os demais usaram símbolos de divisão

e de igualdade.

Registro da divisão de números inteiros pela aluna J

Registro da divisão de números inteiros pela aluna L

Na seção 7, alguns alunos demonstraram dificuldades em interpretar a

situação 24, a qual pedia para que eles: a) encontrassem o menor inteiro, de tal

forma que, adicionado aos números apresentados o resultado fosse positivo; e, b)

encontrassem o maior número inteiro, de tal forma que, a soma dos números dados

adicionado a esse número tivesse resultado negativo. Dos alunos que responderam

a questão, todos somaram os números inteiros apresentados. Alguns somaram os

positivos, depois os negativos e, por fim, somaram os dois resultados. Os demais

escreveram uma expressão matemática usando a adição e os números com seus

sinais entre parentêses. Mas oito deles não conseguiram encontrar o que se pedia.

As outras situações dessa seção também envolviam operações com números

inteiros. Observou-se que os alunos mantiveram o hábito de registrar os números

inteiros, mesmo sendo positivo, entre parentêses e entre eles o sinal da operação. E

buscavam analisar o sinal do resultado, levando em consideração a situação

proposta.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

As situações propostas nesse trabalho permitiram aos alunos a aplicação das

propriedades das operações com números inteiros a um contexto, criando novos

significados à medida que foram usando números positivos e números negativos

para representar uma situação.

Pode-se dizer que o ensino das operações com números inteiros por meio da

Resolução de Problemas proporcionou aos alunos uma aprendizagem que não

fosse fundamentada na memorização de regras de cálculo. A utilização das

situações permitiu que os alunos fossem capazes de observar resultados e obter

generalizações a respeito das regras de sinais para as operações envolvendo

números inteiros.

A Resolução de Problemas oportunizou aos alunos momentos de observação,

de experimentação, de tentativas, de discussões, de erros e de sua análise,

levando-os a compreender os resultados obtidos nas operações envolvendo

números inteiros.

Porém, no início percebeu-se que os alunos conservavam a ideia de que ao

resolver problemas só poderiam usar números e algoritmos não considerando a

resposta escrita na língua materna.

Dentre as dificuldades dos alunos em relação ao cumprimento das situações

propostas, estão: comparar valores numéricos quando os dois são negativos;

comparar valores numéricos quando o maior tem menor módulo; registrar por escrito

as operações e/ou ideias; apresentar insegurança ao expor suas ideias.

As discussões que ocorreram durante a fase Depois, bem como as

intervenções realizadas pela professora PDE após as exposições das equipes

oportunizaram a reflexão por parte dos alunos sobre suas próprias ações e a

ampliação das ideias e estratégias para resolver um problema.

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