UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

CURSO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

ORDENAÇÃO DE DADOS POR DISTRIBUIÇÃO DE CHAVES

IGOR CASA NOVA DOS SANTOS

UÍLSON ZANETTI GOMES

MAURICIO VOLKWEIS ASTIAZARA

HENRIQUE OLIVEIRA

Estrutura de Dados II

Torres, Abril de 2002

Sumário

Lista de Tabelas.............................................................................................................3

Resumo.........................................................................................................................4

Introdução.....................................................................................................................5

1 Origem.......................................................................................................................6

2 Base...........................................................................................................................6

3 Algoritmo...................................................................................................................7

4 Vantagens e Desvantagens..........................................................................................11

Conclusão....................................................................................................................12

Bibliografia.................................................................................................................13

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Lista de Tabelas

Tabela 1: Dígitos usados nas bases numéricas...................................................................6

Tabela 2: O valor que cada dígito representa depende da sua posição...................................6

Tabela 3: Vetor Exemplo................................................................................................8

Tabela 4: O vetor de 10 filas criado..................................................................................8

Tabela 5: Ordenação do vetor pela casa das unidades.........................................................9

Tabela 6: Vetor já ordenado pelas unidades.......................................................................9

Tabela 7: Ordenação do vetor pela casa das dezenas........................................................10

Tabela 8: Vetor já ordenado pelas unidades e pelas dezenas..............................................10

3

Resumo

Até agora conhecíamos métodos variados de ordenação como o Bubble Sort, Shake

Sort ou o Quick Sort, que na verdade percorriam o vetor, comparavam dois números e

ordenavam de acordo com as especificações do algoritmo. Nosso principal objetivo nesse

trabalho é apresentar um método diferenciado conhecido como algoritmo de ordenação de

dados por distribuição de chaves, um algoritmo antigo mas até hoje usado. A principal

finalidade desse algoritmo é dividir o conteúdo de uma posição do vetor em dígitos,

ordenando cada dígito separadamente começando pelas unidades. Pode até parecer um

método complicado, mas não é.

Por ser usado desde a época dos cartões perfurados, sua codificação e lógica são bem

simples de entender. Para facilitar essa compreensão nós procuramos ilustrar o funcionamento

desse método com um exemplo explicativo, além de citarmos seus principais princípios e

fundamentos.

Abstract

Until then we know sort methods like Bubble Sort, Shake Sort and Quick Sort, that

scan array, compare two numbers and sort then as algorithm especification. Our objective in

this research is to present a different method, called Data Sort by Key Distribution, a old

algorithm but yet used. The algorithm goal is to divide a content of array position in digits,

sorting each digit separately beginning by units. Can seem complex, but it’s not.

Because it is usually since punched cards time, its code and lógic are simple to

understand. To make easy understanding we try to illustrate functioning this method with a

example, and explain its main principles and fundamentals.

4

Introdução

Um dos mais antigos e triviais problemas é a classificação de dados, objetos, valores.

Para resolver esse problema surgiram diversas soluções. Diferentes algoritmos, com

características particulares, cada um tentando obter o máximo de eficiência.

Nesta busca pelo título de “melhor algoritmo de ordenação de dados” não há um

vencedor, mas sim, algoritmos que apresentam um melhor desempenho dependendo da

situação em que são empregados e com que diretrizes, como por exemplo:

Economizar o uso da memória ou do processamento?

Um código menor em tamanho ou um mais rápido?

Os dados a serem ordenados são altamente variáveis e o algoritmo deve ser o mais

genérico possível ou o sistema implica em uma particularidade nos dados

possibilitando a aplicação de um algoritmo otimizado?

O analista deve considerar estas e outras questões e tomar uma decisão com base nos

algoritmos de que tem conhecimento e completa compreensão de funcionamento. Com esse

trabalho podemos colocar mais uma opção para o analista: a ordenação de dados por

distribuição de chaves.

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1 Origem

O algoritmo de ordenação de dados por distribuição de chaves também é conhecido pelos nomes radixsort, algoritmo das raízes e indexação direta. Esse método foi desenvolvido inicialmente para as máquinas de ordenação de cartões perfurados. Essa máquinas eram usadas em cálculos de dados, como por exemplo, o censo populacional. Depois os cartões perfurados passaram a ser usados como entrada de dados em computadores digitais, mas se tornaram obsoletos com o advento dos meios magnéticos. Mesmo assim o método de ordenação de dados por distribuição de chaves sobreviveu devido à sua eficiência.

2 Base

Ao contrário dos outros métodos, que comparam as chaves (números que servem de base para a ordenação) e realizam trocas, o método por distribuição de chaves se baseia em dois princípios simples que são característicos no nosso sistema numérico arábico.

2.1 Princípio da Limitação de Dígitos

O número de dígitos (caracteres) usados em uma base numérica é limitado, mas a quantidade de números que podem representar quando combinados é infinita.

Tabela 1: Dígitos usados nas bases numéricas

Base Numérica Dígitos (Caracteres) Intervalo de ValoresDecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - infinito à + infinitoBinária 0, 1 - infinito à + infinitoHexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,

F- infinito à + infinito

Com base nesses conhecimentos, o algoritmo de ordenação por distribuição de chaves parte do princípio de já “conhecer” a ordenação correta dos dígitos, que como foi dito, são uma quantidade limitada e conhecida. Assim ele “consegue” ordenar um vetor onde as chaves de ordenação tenham apenas um dígito.

2.2 Princípio do Valor pela Posição

Cada dígito em um sistema numérico tem um valor intrínseco, que é considerado unidade. Mas quando combinamos mais de um dígito para representar um valor maior que um único não conseguiria representar, o valor de cada dígito muda de acordo com a posição em que ocupa no número.

Vamos relembrar o sistema de representação dos valores dos dígitos de acordo com a posição. Em um número na base B, cada dígito representa seu valor unitário vezes B elevado na sua posição-1, partindo da direita para a esquerda, como mostra a tabela:

Tabela 2: O valor que cada dígito representa depende da sua posição

Base Valor do Dígito na PosiçãoN 3 2 1

B Dígito * B(N – 1) Dígito * B2 Dígito * B1 Dígito * 1

6

Decimal Dígito * 10(N – 1) Dígito * 100 Dígito * 10 Dígito * 1Binária Dígito * 2(N – 1) Dígito * 4 Dígito * 2 Dígito * 1Hexadecimal Dígito * 16(N – 1) Dígito * 256 Dígito * 16 Dígito * 1

Por exemplo, no número 235 em decimal, o 2 tem valor 200, o 3 tem valor 30 e o 5 o próprio valor de 5 unidades. Desta forma 235 representa o valor da soma 200+30+5.

Sendo assim, os dígitos à direita de um dígito D são menos significativos que ele. Já os dígitos à esquerda de D são mais significativos que ele (lembrando que a contagem da posição de um dígito inicia na direita e segue para a esquerda). Isso ocorre independente do valor dos dígitos em sua forma unitária. O termo significativo quer dizer valor.

Desta forma, em um número formado por dígitos desconhecidos, como XYZ, em uma base desconhecida, pode se ter a certeza que X>Y>Z. Como foi dito, isso independe dos valores unitários de cada um dos dígitos. Mesmo sendo 1<2<3, no número 123, de acordo com o valor posicional, 1>2>3, pois 1 representa uma centena, dois representa duas dezenas e três, três unidades, na base decimal.

2.3 Aplicando os Dois Princípios

Para a ordenação de chaves que tenham mais de um dígito (que é a situação real em 99% das vezes), estas devem ser divididas em partes de apenas um dígito. Assim o número 235 é dividido em 2, 3 e 5, e estes são analisados separadamente para serem ordenados.

Inicia-se ordenando as chaves de acordo com o dígito da posição 1 (menos significativo), utilizando para isso um algoritmo baseado no princípio da limitação de dígitos. Passe então para o ordenação pelo dígito da posição 2, depois pelo dígito da posição 3 e assim por diante, até o número máximo de dígitos que as chaves podem ter (posição do dígito mais significativo).

Essa ordem, do dígito menos significativo até o mais significativo, deve ser seguida por causa do princípio do valor de um dígito pela sua posição, é o dígito mais significativo que define se um número é maior ou menor que outro.

3 Algoritmo

Para ilustrar o método que foi apresentado e como ele pode ser implementado vamos utilizar algoritmo em pseudo código, também chamado de português estruturado.

3.1 Código

Programa Principal:Início Para cada posição começando pela 1 até a máxima que as chaves podem ter Ordenar o vetor pelo dígito dessa posiçãoFim

Ordenar Vetor pelo Dígito da Posição X:Início Criar um vetor chamado Fila, da posição 0 até a 9, de filas Para cada elemento do Vetor F = Obter o dígito desse elemento na Posição X Colocar esse elemento na Fila F

7

A Posição Atual do Vetor é o seu início Para Y = 0 até 9 Colocar cada elemento da Fila[Y] no Vetor a partir da Posição Atual A Posição Atual do Vetor é o seu próprio valor somado ao tamanho da Fila[Y]Fim

3.2 Aplicação

Vamos executar o algoritmo acima em um vetor exemplo para verificar como é dada a ordenação:

Tabela 3: Vetor Exemplo

Posição Dado (Chave)1 152 23 214 115 86 17 308 99 1010 6

Passo 1:Para cada posição começando pela 1 até a máxima que as chaves podem ter Ordenar o vetor pelo dígito dessa posição

Neste vetor os dados (chaves) têm no máximo 2 dígitos: unidade e dezena. Então o laço será executado duas vezes e a variável posição assumirá os valores 1, na primeira execução e 2 na segunda. Dentro desse lado é chamada a subrotina que ordena o vetor de acordo com o dígito da posição que passamos como parâmetro.

Passo 2:Ordenar Vetor pelo Dígito da Posição X:Início Criar um vetor chamado Fila, da posição 0 até a 9, de filas

Já dentro da subrotina, o primeiro comando é criar um vetor de filas com tamanho 10, indo de 0 até 9.

Tabela 4: O vetor de 10 filas criado

Fila Elementos012345

8

6789

Passo 3:Para cada elemento do Vetor F = Obter o dígito desse elemento na Posição X Colocar esse elemento na Fila F

Este laço executa uma ordenação pelo dígito da posição que foi passada como parâmetro, neste primeiro caso, como foi visto no passo 1 será a posição 1, que corresponde à casa das unidades. Para cada dado do vetor será verificado o dígito da casa das unidades e este dado será colocado na fila correspondente a este dígito. Por exemplo, se o dígito das unidades de um número for 6 esse número será colocado na fila 6 (vetor Fila na posição 6, Fila[6]). Abaixo como fica o vetor de filas com a aplicação desse laço sobre o nosso vetor exemplo.

Tabela 5: Ordenação do vetor pela casa das unidades

Fila Elementos0 30, 101 21, 11, 12 2345 156 678 89 9

Passo 4:A Posição Atual do Vetor é o seu inícioPara Y = 0 até 9 Colocar cada elemento da Fila[Y] no Vetor a partir da Posição Atual A Posição Atual do Vetor é o seu próprio valor somado ao tamanho da Fila[Y]

Esta parte da subrotina nada mais faz do que “unir” as filas formando um vetor parcialmente ordenado, neste caso, ordenado apenas pelas unidades. Os dados de cada fila, começando pela 0 serão colocados no nosso vetor exemplo. Caso a ordenação desejada fosse em ordem decrescente a primeira fila a ser lida deveria ser a 9. O nosso vetor exemplo ficará como mostra a tabela abaixo.

Tabela 6: Vetor já ordenado pelas unidades

Posição Dado1 302 103 214 115 1

9

6 27 158 69 810 9

Passo 5:Com o fim da subrotina de ordenação por dígito, volta-se ao programa principal e é

encerrada a primeira volta do laço descrito no Passo 1. Porém ainda não se atingiu a posição máxima que as chaves podem ter, que é 2. Então o laço recomeça, agora com a posição acrescida de 1, totalizando 2. Segue-se o que foi descrito nos Passos 2 e 3, mas como mudamos o parâmetro da rotina de ordenação por dígito para 2, o nosso vetor será ordenado pelos dígitos da segunda posição: a casa das dezenas. Ao final da execução dos Passos 2 e 3 o vetor de filas ficará como mostrado na tabela.

Tabela 7: Ordenação do vetor pela casa das dezenas

Fila Elementos0 1, 2, 6, 8, 91 10, 11, 152 213 30456789

Passo 6:É repetido o processo do passo 4, que forma o vetor novamente a partir das filas. O

fim da subrotina é atingido e novamente volta-se ao laço do programa principal. Como o vetor já foi ordenado por todas as posições (unidade e dezena) o laço já atingiu o seu fim e o vetor já está ordenado como abaixo.

Tabela 8: Vetor já ordenado pelas unidades e pelas dezenas

Posição Dado1 12 23 64 85 96 107 118 159 2110 30

10

4 Vantagens e Desvantagens

Pelas características desse algoritmo ele apresenta algumas vantagens e desvantagens que serão vistas a seguir.

4.1 Vantagens

Utiliza pouco processamento (comparações) em relação aos outros algoritmos; Rápido para dados com poucos dígitos;

4.2 Desvantagens

É necessário saber de antemão o número máximo de dígitos que os dados podem ter, talvez com o uso de um laço, o que implica em uma varredura a mais do vetor;

Os passos intermediários, como a separação do dado em dígitos, podem usar mais processamento que a própria ordenação.

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Conclusão

É interessante notar como certas coisas não perdem a utilidade. O algoritmo de

ordenação por distribuição de chaves ainda é bastante usado por sua simplicidade e

funcionalidade, e vem sendo usado desde os primórdios da computação. Seu método de

ordenação é simples, porém eficaz, utilizando apenas filas e o vetor que se está ordenando.

Não podemos dizer que este método é ultrapassado, velho ou etc. . Devido a sua

simplicidade, ele ainda vai ser muito usado, não tanto como o veloz Quick Sort, mas sua

utilidade esta longe de acabar.

Concluímos que este método teve grande importância bem no começo da era da

Informática, na época dos cartões perfurados. Mas devido a sua eficiência, ele sobreviveu e

continua sendo útil até hoje. Realmente é um algoritmo eficiente e realmente comprovamos

isso nesse trabalho. É, nem sempre o novo é melhor que o velho.

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Bibliografia

1 VILLAS, Marcos Vianna et al. Estruturas de Dados: Conceitos e Técnicas de

Implementação. Rio de Janeiro: Campus, 1993.

2 LOPES, Arthur Vargas. Estruturas de Dados para a Construção de Software: Volume 2.

Canoas: Ulbra, 1999.

3 TENENBAUM, Aaron M.; LANGSAN, Yedidyah; AUGENSTEIN, Moshe J. Estruturas de

Dados Usando C. São Paulo: Makron, 1995.

4 VELOSO, Paulo et al. Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Campus, 1983.

5 MÜLLER, Daniel Nehme. Ordenação de Dados. Canoas. Disponível por WWW em:

http://www.ulbra.tche.br/~danielnm/ed/C/polC.html (03/2002).

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