OPTlinear Opt

Otimizao Aplicada a Engenharia

Profa. Dra. Mara Martins da SilvaProgramao Linear I: o Mtodo Simplex

Setembro, 2010

Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab

1 IntroduoIntroduo programao linear

2 Definies e TeoremasDefinies e Teoremas

3 Sistema linearSoluo de um sistema linear

4 MotivaoMotivao Mtodo Simplex

5 Algoritmo SimplexAlgoritmo Simplex

6 Mtodo SimplexMtodo Simplex

7 MatlabResolvendo LP no Matlab



Introduo programao linear

Introduo

Programao Linear (LP) um mtodo de otimizao aplicvelpara a soluo de problemas cuja a funo objetivo e as

restries aparecem como funes lineares nas variveis dedeciso.

Esse mtodo foi desenvolvido em 1930 por economistaspara a alocao de recursos durante a guerra.

Vrios mtodos foram desenvolvidos para resolver LP, maso mtodo SIMPLEX o mais popular e eficiente mtodo.




Introduo

Programao Linear (LP) um mtodo de otimizao aplicvelpara a soluo de problemas cuja a funo objetivo e as

restries aparecem como funes lineares nas variveis dedeciso.

Esse mtodo foi desenvolvido em 1930 por economistaspara a alocao de recursos durante a guerra.Vrios mtodos foram desenvolvidos para resolver LP, maso mtodo SIMPLEX o mais popular e eficiente mtodo.




Introduo

Entre as aplicaes de LP podemos destacar:

Na indstria de alimentos, LP usado para determinar oplano timo de distribuio de produtos para diferentesetapas do processo.

Roteamento timo de mensagens numa rede decomunicao.Organizao da rota de avies e barcos.




Introduo


Na indstria de alimentos, LP usado para determinar oplano timo de distribuio de produtos para diferentesetapas do processo.Roteamento timo de mensagens numa rede decomunicao.

Organizao da rota de avies e barcos.




Introduo


Na indstria de alimentos, LP usado para determinar oplano timo de distribuio de produtos para diferentesetapas do processo.Roteamento timo de mensagens numa rede decomunicao.Organizao da rota de avies e barcos.




Formulao do programa linear

Minimizar f (x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn

sujeito as restries

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

x1 0x2 0

...xn 0





Forma matricial.

min f (X ) = cTX

s.a.aX = bX 0





A forma padro de expressar um LP:

1 A funo objetivo do tipo minimizao2 Todas as restries so do tipo equaes3 Todas as variveis so no-negativas





Transformao para expressar na forma padro.

1 max f equivalente a min f2 Uma varivel que pode ter qualquer sinal pode ser descrita

pela diferena de duas variveis no-negativasxj = x j x j , onde x j 0 e x j 0

3 Uma desiqualdade (inequao) pode ser escrita comouma igualdade atravs da varivel de folga xn+1,a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn + xn+1 = b




Exemplo

Uma firma produz dois componentes usando tornos,fresadoras e retificadoras. Os tempos de produo para cadacomponentes, a disponibilidade das mquinas-ferramentas eos lucros obtidos com cada componentes esto ilustrados na

tabela.




Exemplo

Determine qual ser a produo de cada componente (x e y)para maximizar os lucros de uma semana.

Resp. As restries so:10x + 5y 25004x + 10y 2000x + 1.5y 450

x 0y 0

O lucro f (x , y) = 50x + 100y .




Exemplo

Regio possvel (feasible region)




Exemplo

Linhas de contorno: 50x + 100y = k





Um programa linear pode ter:

1 uma soluo nica (ou finita)2 um nmero infinitos de solues3 uma soluo sem restries4 no ter soluo5 ter um nico ponto possvel (devido s restries)





Um programa linear tem as seguintes caractersticasgeomtricas:

1 A regio possvel (espao das variveis) um polgonoconvexo

2 O valor timo ocorre em um ponto extremo ou um vrticedo polgono



Definies e Teoremas

Definies

Ponto no espao n Um ponto X caracterizado pelascomponentes (coordenadas) (x1, x2, . . . , xn)

Segmento de linha no espao n (L) A linha ligando dois pontosA (X (1)) e B (X (2)) a coleo de pontos X (), osquais as coordenadas so xj = x

(1)j + (1 )x (2)j ,

j = 1,2, . . . ,n, com 0 1.

L = {XX = X (1) + (1 )X (2) }



Definies e Teoremas

Definies

Hiperplano Um espao n-dimensional, cujo o conjunto depontos satisfaz aTX = b denominadohiperplano.H(a,b) = {X aTX = b}H+ = {X aTX b}H = {X aTX b}



Definies e Teoremas

Definies

Conjunto convexo Um conjunto convexo uma coleo depontos cuja a linha conectando quaisquer pontosda coleo X (1) e X (2) tambm pertence acoleo. Se X (1) S e X (2) S entoX = X (1) + (1 )X (2), 0 1, tambmpertence.



Definies e Teoremas

Definies

Polihedro convexo e politopo convexo Um polihedro convexo(c,d) um conjunto de pontos comum para um oumais semi-espaos. Um polihedro convexo que restringindo chamado de politopo convexo (a,b).



Definies e Teoremas

Definies

Vrtice ou ponto extremo Esse o ponto que no est entreoutros dois pontos (em uma linha) do conjuntoconvexo. Exemplo: todo ponto de umacircunferncia.

Soluo possvel qualquer soluo que satisfaz asrestries.

Soluo bsica a soluo que n-m variveis (n variveis e mrestries) so igualadas a zero. Ela pode serencontrada zerando n-m variveis e resolvendo asrestries aTX = b.



Definies e Teoremas

Definies

Base A coleo de variveis que no foram zeradas naobteno da soluo bsica.

Soluo bsica possvel a soluo bsica que satisfaz ascondies de no-negatividade.

Soluo tima a soluo possvel que minimiza a funoobjetivo.

Soluo tima bsica a soluo bsica para qual a funoobjetivo tima.



Definies e Teoremas

Teoremas

Teorema 1 A interseco de qualquer nmero de conjuntosconvexos tambm convexo.

Teorema 2 A regio possvel de um programa linear convexo.

Teorema 3 Qualquer soluo mnima local GLOBAL em umprograma linear (convexo).



Definies e Teoremas

Teoremas

Teorema 4 Toda soluo possvel bsica um ponto extremodo conjunto convexo de solues possveis.

Teorema 5 Sendo S um polihedro fechado, restrito com X ei ,i=1 at p, ser o conjunto de pontos extremos.Ento qualquer vetor X S pode ser descritocomo X =

pi=1 iX

ei , i 0 e

pi=1 i = 1.

Teorema 6 Sendo S um polihedro convexo fechado, ento omnimo de uma funo linear dentro de S umponto extremo de S.



Soluo de um sistema linear

Reviso: soluo de um sistema linear

Supondo que a soluo seja nica, o mtodo resolver essasequaes consiste em reescrev-las na forma cannica

(atravs de operaes elementares da lgebra).





Esse sistema no ser alterado se1 multiplicarmos uma equao por k2 substituirmos a Eq. Er por Er + kEs.





Operao pivoteamento: Vamos selecionar uma varivel xi etentar elimin-la de todas as equaes menos uma (aij 6= 0).

Isso pode ser realizado:1 dividindo a equao j por aji2 subtraindo aki vezes o resultado da operao anterior da

equao k





Exemplo:2x y = 0x + 3y = 7

1 Multiplicando a segunda equao por 1/3, temos:x/3 + y = 7/3

2 aki = 1 x/3 + y = 7/3 igual a x/3 y = 7/33 subtrai da primeira equao: 7x/3 = 7/3

O exemplo fica:7x/3 + 0y = 7/3x/3 + y = 7/3





Operao pivoteamento:





O pivoteamento pode ser repetido at que os sistema possaser descrito da seguinte forma cannica:





Considerando um sistema com n variveis e m equaes(n )m:





As operaes de pivoteamento resultam em:





Uma soluo especial dada por:

Essa soluo chamada de soluo bsica. As variveispivotadas (pivotal variables) so chamadas de variveis

bsicas e as outras de no-bsicas.





claro que essa no a nica soluo bsica do sistema.podemos encontrar outras solues fazendo outrasoperaes de pivoteamento.




Reviso: soluo de um sistema linear/Exemplo

Encontrar as solues bsicas para o seguinte sistemas deequao:





Soluo bsica 1:

Soluo bsica 2:





Soluo bsica 3:

Soluo bsica 4:



Motivao Mtodo Simplex

Motivao para mtodo Simplex

Ns sabemos como encontrar vrias solues bsicas atravsdo pivoteamento. Ento uma maneira de encontrar a soluotima de um programa linear gerar todas as solues bsicase escolher a que satisfaz as restries e que corresponde aovalor timo.

Isso pode ser feito porque a soluo tima sempre ocorre emum ponto extremo ou em um vrtice do espao possvel.





O mtodo Simplex de Dantzig um esquema poderoso paraencontrarmos a soluo bsica possvel, e se essa soluono for a tima, o mtodo tenta encontrar uma soluo bsicapossvel vizinha que tem um valor menor ou igual de f .





O primeiro passo do algoritmo Simplex construir umproblema auxiliar introduzindo variveis artificiais no problemalinear, com o objetivo de transformar o problema na formacannica.





Comeando da forma cannica, o segundo passo a soluotima do problema original que realizada em duas fases:

1 A fase 1 consiste em encontrar uma soluo bsicapossvel do problema original. realizada atravs de umasequncia de pivoteamentos do problema auxiliar.

2 A fase 2 consiste em encontrar a soluo tima doproblema linear original. realizada atravs de operaesde pivoteamento passando de uma soluo bsica paraoutra.

A sequncia de formas cannicas necessrias nas duas fases realizada pelo algoritmo simplex (a principal subrotina domtodo simplex).



Algoritmo Simplex

Algoritmo Simplex

O ponto de partida sempre o conjunto de equaes, queincluem a funo obejtivo e as igualdades. O objetivo

encontrar X 0 que minimiza f (X ) e satisfaa:

onde aij , bi , c

j e f

0 so constantes.



Algoritmo Simplex

Algoritmo Simplex

f tratada como uma varivel bsica! A soluo bsica ento:

xi = bi , i = 1,2, . . . ,mf = f 0

xi = 0, i = m + 1,m + 2, . . . ,n

Se a soluo bsica tambm possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.



Algoritmo Simplex

Identificando um ponto timo

Teorema 7 Uma soluo bsica possvel a soluo timacom a funo objetivo mnima de f 0 se todos oscoeficientes cj de i = m + 1,m + 2, . . . ,n foremno negativos.



Algoritmo Simplex

Identificando um ponto timo

Resumindo:

Para a soluo bsica possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.

Para uma soluo bsica possvel ser a soluo timacom a funo objetivo mnima de f 0 , todos os coeficientescj de i = m + 1,m + 2, . . . ,n devem ser no negativos.



Algoritmo Simplex

Melhorando uma soluo bsica no-tima

Melhorando uma soluo bsica no-tima:Da ltima coluna do sistema de equaes temos:

f = f 0 +m

i=1 ci xi +

nj=m+1 c

j xj

Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0. Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica

para reduzir o valor de f .



Algoritmo Simplex



f = f 0 +m

i=1 ci xi +

nj=m+1 c

j xj

Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0.

Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica




Algoritmo Simplex



f = f 0 +m

i=1 ci xi +

nj=m+1 c

j xj

Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0. Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica




Algoritmo Simplex


Se houver mais de um cj < 0, devemos escolher o

cs = min cj < 0

Dessa maneira escolhemos que xs deve ser tornar umavarivel bsica.



Algoritmo Simplex


Transformando xs em uma varivel bsica:

Aumentando-a a partir do zero e segurando as outrasno-bsicas em zero.Dessa maneira, as solues bsicas se modificam:x1 = b1 a1sxs, b1 0x2 = b2 a2sxs, b2 0...xm = bm amsxs, bm 0f = f 0 + c

s xs, cs < 0



Algoritmo Simplex



Aumentando-a a partir do zero e segurando as outrasno-bsicas em zero.

Dessa maneira, as solues bsicas se modificam:x1 = b1 a1sxs, b1 0x2 = b2 a2sxs, b2 0...xm = bm amsxs, bm 0f = f 0 + c

s xs, cs < 0



Algoritmo Simplex



Aumentando-a a partir do zero e segurando as outrasno-bsicas em zero.Dessa maneira, as solues bsicas se modificam:x1 = b1 a1sxs, b1 0x2 = b2 a2sxs, b2 0...xm = bm amsxs, bm 0f = f 0 + c

s xs, cs < 0



Algoritmo Simplex


Durante o processo, algumas das variveis xi (parai = 1,2, . . . ,m) podem se tornar negativas.

Se todos ais 0, xs pode ser feito infinitamente grande semque nenhum xi < 0 (obedecendo as restries em qualquersituao). Assim, o valor minmo de f menos infinito e a

otimizao tem uma soluo sem frontreiras.



Algoritmo Simplex


Durante o processo, se houver pelo menos um ais positivo, omximo valor de xs pode ter sem se tornar negativo bis/a

is.

Se houver vrios ais > 0, o valor mximo de xs

xs =brars

= minais>0biais

Se qualquer bi = 0 (quando ais > 0), xs no pode ser

aumentado de nenhuma maneira. Nesse ponto temos umasoluo degenerada.



Algoritmo Simplex


Quando no temos uma soluo degenerada, a nova soluobsica possvel pode ser contruda utilizando o maior valor de

xs:

xs = xsxi = bi aisxs , i = 1, . . . ,m e i 6= rxr = 0xj = 0, j = m + 1, . . . ,n e j 6= sf = f 0 + c

s xs f 0



Algoritmo Simplex


Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).Se a soluo no tima, o processo recomeacomo o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.



Algoritmo Simplex


Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).

Se a soluo no tima, o processo recomeacomo o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.



Algoritmo Simplex


Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).Se a soluo no tima, o processo recomea

como o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.



Algoritmo Simplex


Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).Se a soluo no tima, o processo recomeacomo o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.



Algoritmo Simplex




Algoritmo Simplex


Exemplo.

min f = x1 2x2 x3s.a.

2x1 + x2 x3 22x1 x2 + 5x3 64x1 + x2 + x3 6xi 0, i = 1,2,3



Algoritmo Simplex


Introduzindo as variveis de folga x4 0, x5 0 e x6 0, osistema de equaes para ser transformada em forma

cannica fica como:

2x1 + x2 x3 + x4 = 22x1 x2 + 5x3 + x5 = 64x1 + x2 + x3 + x6 = 6x1 2x2 x3 f = 0



Algoritmo Simplex


Tratando x4, x5, x6 e f como variveis bsicas temos aseguinte soluo possvel (bi > 0):

x4 = 2, x5 = 6, x6 = 6x1 = x2 = x3 = 0

f = 0

Como c1 = 1, c2 = 2, c1 = 1 (< 0), essa soluo no tima.

Escolher cs = min(ci < 0) = c2 = 2. Ento x2 entrar para o

conjunto bsico.



Algoritmo Simplex


Para obter a nova forma cannica, temos que pivotar noelemento ars, tal que:

brars

= minais>0biais

No caso s = 2, temosb1a12

= 2/1, b3

a32= 6/1

Ento vamos pivotar em a12



Algoritmo Simplex


O novo sistemas de equao fica:

2x1 + 1x2 x3 + x4 = 24x1 + 0x2 + 4x3 + x4 + x5 = 82x1 + 0x2 + 2x3 x4 + x6 = 43x1 + 0x2 3x3 + 2x4 f = 4

A soluo bsica possvel x2 = 2, x5 = 8, x6 = 4x1 = x3 = x4 = 0

f = 4Como c3 = 3, essa soluo no tima. Escolher

cs = min(ci < 0) = c3 . Ento x3 entrar para o conjunto

bsico.



Algoritmo Simplex





f = 4

Como c3 = 3, essa soluo no tima. Escolhercs = min(ci < 0) = c

3 . Ento x3 entrar para o conjunto

bsico.



Algoritmo Simplex





f = 4Como c3 = 3, essa soluo no tima. Escolher

cs = min(ci < 0) = c3 . Ento x3 entrar para o conjunto

bsico.



Algoritmo Simplex


Para obter a nova forma cannica, temos que pivotar noelemento ars, tal que:

brars

= minais>0biais

No caso s = 3, temosb2a23

= 8/4, b3

a33= 4/2

Ento vamos pivotar em a23 (escolha arbitrria).



Algoritmo Simplex



3x1 + 1x2 + 0x3 + (5/4)x4 + (1/4)x5 = 41x1 + 0x2 + 1x3 + (1/4)x4 + (1/4)x5 = 2

0x1 + 0x2 + 0x3 (3/2)x4 (1/5)x5 + x6 = 06x1 + 0x2 + 0x3 + (11/4)x4 + (3/4)x5 f = 10


f = 10Como ci 0, essa soluo tima.



Algoritmo Simplex



3x1 + 1x2 + 0x3 + (5/4)x4 + (1/4)x5 = 41x1 + 0x2 + 1x3 + (1/4)x4 + (1/4)x5 = 2

0x1 + 0x2 + 0x3 (3/2)x4 (1/5)x5 + x6 = 06x1 + 0x2 + 0x3 + (11/4)x4 + (3/4)x5 f = 10


f = 10

Como ci 0, essa soluo tima.



Algoritmo Simplex



3x1 + 1x2 + 0x3 + (5/4)x4 + (1/4)x5 = 41x1 + 0x2 + 1x3 + (1/4)x4 + (1/4)x5 = 2

0x1 + 0x2 + 0x3 (3/2)x4 (1/5)x5 + x6 = 06x1 + 0x2 + 0x3 + (11/4)x4 + (3/4)x5 f = 10


f = 10Como ci 0, essa soluo tima.



Algoritmo Simplex




Mtodo Simplex

Introduzindo o Mtodo Simplex



Mtodo Simplex


O mtodo simplex envolve duas fases:

Fase I usa o algoritmo simplex para saber se o problematem uma soluo possvel. Se a soluo possvelexiste, o mtodo resulta na soluo bsicapossvel na forma cannica que ser utilizada nafase II.

Fase II usa o algoritmo simplex para encontrar se oproblema tem uma soluo restrita (bounded). Seela existir, ele encontra a soluo bsica possvlque timo.

Podemos descrever o mtodo nos prximos passos ...



Mtodo Simplex


1. Rearranjar o sistema original para que todos ostermos bi sejam positivos ou zero (trocando osinal de ambos os lados da igualdade quandonecessrio).

2. Introduzir as variveis artificiais (yi 0)



Mtodo Simplex


3. Defina a quantidade w que a soma das variveisartificiais (w = y1 + y2 + . . .+ ym) e use oalgoritmo Simplex para encontrar xi 0(i = 1 . . . n) e yi 0 (i = 1 . . .m) que minimiza w

Essa equao no cannica e deve serreescrita (subtraindo a soma das m primeirasequaes da ltima) .



Mtodo Simplex


3. (Fase I) Essas equaes fornecem a soluo inicial bsicapossvel que necessria para comear a fase I

onde



Mtodo Simplex


4. Analizando o resultado da fase I, podemos inferirsobre a existncia de uma soluo:

min w > 0 o problema original no tem soluoe o procedimento pode ser finalizado

min w =0 a matrix resultante cannica e afase II pode ser iniciada eliminando aequao w e as variveis artificiais yida matrix.



Mtodo Simplex


5. (Fase II) Utilizar o algoritmo Simplex para ajustar o sistemaconnico e obter uma soluo.



Mtodo Simplex

Mtodo Simplex: exemplo

min f = 2x1 + 3x2 + 2x3 x4 + x5s.a.

3x1 3x2 + 4x3 + 2x4 x5 = 0x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 = 2

xi 0, i = 1,2,3,4,5



Mtodo Simplex


SoluoPasso 1 bi so positivos, ento as equaes esto ok.Passo 2 Introduzir as variveis artificiais y1 e y2Passo 3 Definir w = y1 + y2



Mtodo Simplex


SoluoPasso 3 Reescrever na forma cannica subtraindo a soma

das duas primeira equaes da ltima:

Essas equaes forneceram a soluo inicialbsica possvel. Utilizando o algoritmo Simplex(fase I).



Mtodo Simplex


SoluoPasso 3 Utilizando o algoritmo Simplex.



Mtodo Simplex


SoluoPasso 4 A soluo bsica possvel no contm y1 e y2 e

w = 0. Isso significa que podemos seguir para afase II.

Passo 5 Na fase II, os clculos continuam sem aconsiderao de w .



Mtodo Simplex


SoluoPasso 5 Fase II ...



Mtodo Simplex


SoluoPasso 5 Fase II ...

x1 = x2 = x3 = 0 (variveis no-bsicas)x4 = 2/5 e x5 = 4/5 (variveis bsicas)

fmin = 2/5



Resolvendo LP no Matlab


min f = x1 2x2 x3s.a.

2x1 + x2 x3 22x1 x2 + 5x3 64x1 + x2 + x3 6xi 0, i = 1,2,3






OutlineIntroduoIntroduo programao linear

Definies e TeoremasDefinies e Teoremas

Sistema linearSoluo de um sistema linear

MotivaoMotivao Mtodo Simplex

Algoritmo SimplexAlgoritmo Simplex

Mtodo SimplexMtodo Simplex

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