Operacoes Unitarias 12 2015

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A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química

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ARMIN FRANZ ISENMANN

OPERAÇÕES UNITÁRIAS

NA INDÚSTRIA QUÍMICA

3a edição

Timóteo, MG

Edição do Autor

2015


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Os direitos neste texto são exclusivamente com o autor.

Isenmann, Armin Franz

Operações unitárias na indústria química / Armin Franz Isenmann -

Timóteo, MG :2015. 3a Edição

2013. 2a Edição

2012. 1a Edição

Bibliografia

ISBN 978-85-913050-2-5


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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOL GICA DE MINASGERAIS

CAMPUS TIMÓTEO

Disciplina: Operações Unitárias

Prof. Armin Isenmann

Traduzido, atualizado e complementado, com permissão, de uma apostila de

Prof. Peter Hugo (Universidade Técnica de Berlim).

1

O que são Operações Unitárias? ......................................................................................7

2 Fluxo de matéria .............................................................................................................8

2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades ...............................................................9

2.2 Propriedades dos Fluidos ........................................................................................ 11

2.3 A viscosidade ......................................................................................................... 11

2.3.1 Viscosidade em gases ...................................................................................... 16

2.3.2 Viscosidade de líquidos ................................................................................... 17

2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças.............................................................. 18

2.4.1

Fluxo laminar em tubos ................................................................................... 19

2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais ...................................................... 24

2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo....................................................................... 26

2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares ............................................... 31

2.5

Balanço do transporte do fluido .............................................................................. 33

2.5.1 Equações de balanço ....................................................................................... 33

2.5.2 Medição da vazão ............................................................................................ 36

2.5.3

Transporte de líquidos via bombas................................................................... 46

2.6 Bombas .................................................................................................................. 49

2.6.1 Bombas de deslocamento ................................................................................ 50

2.6.2 Bombas centrífugas ......................................................................................... 52

2.7 Transporte de gases ................................................................................................ 56

2.7.1 Variação da termperatura durante a expansão ou compressão de um gás real ... 61

2.7.2 Aplicações do efeito de Joule-Thomson ........................................................... 63

2.8 Fluxo através de leitos ............................................................................................ 66

2.8.1

Exemplos e definições ..................................................................................... 66

2.8.2 Fluxo em leitos fixos ....................................................................................... 68


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2.8.3 Cálculo da perda de pressão em leitos fixos - considerações gerais .................. 70

2.8.4 Perda de pressão em leitos fixos - o caminho. .................................................. 71

2.8.5 Fluxo em leitos fluidizados .............................................................................. 73

2.9

Métodos mecânicos de separação ........................................................................... 78

2.9.1

Sedimentação e centrifugação.......................................................................... 79

2.9.2

Centrifugação .................................................................................................. 83

2.9.3 Filtração .......................................................................................................... 91

2.9.4 Princípios da filtração ...................................................................................... 91

2.10 Agitação mecânica .............................................................................................. 99

2.10.1 Apresentação dos tipos de agitadores ............................................................. 100

3 Números adimensionais, semelhança geométrica e os critérios de scale-up ................. 112

3.1

Objetivo dos cálculos e balanços em processos industriais .................................... 113

3.2 Teoria do modelo e semelhança física ................................................................... 114

3.3 Análise dimensional - método de elaborar números adimensionais ....................... 116

4 Fluxo de calor ............................................................................................................. 120

4.1 Importância técnica .............................................................................................. 120

4.2

Unidades, valores específicos, equações de transporte .......................................... 122

4.2.1 Condução de calor ......................................................................................... 123

4.2.2

Transporte de calor por convecção................................................................. 125

4.2.3

Transporte de calor por radiação .................................................................... 125

4.3

Transferência de calor e transmissão de calor ....................................................... 129

4.3.1 Convecção livre e forçada ............................................................................. 129

4.3.2 Definições de transferência e transmissão de calor ......................................... 130

4.3.3 Análise dimensional e números adimensionais da transição de calor .............. 134

4.3.4 Transição de calor envolvendo os processos de evaporação e condensação .... 139

4.4 Trocadores de calor .............................................................................................. 143

4.5

Transição de calor e Scale-up de bateladas com temperatura controlada ............... 150

5 Métodos térmicos de separação ................................................................................... 154

5.1 Destilação e retificação, no contexto dos métodos térmicos de separação.............. 154

5.2 Fundamentos da termodinâmica ........................................................................... 155

5.2.1

Dependência da temperatura de ebulição da pressão externa .......................... 155

5.2.2 Misturas binárias ideais ................................................................................. 157

5.2.3

Misturas binárias não ideais ........................................................................... 162

5.3

Destilação simples ................................................................................................ 165

5.4 Retificação ........................................................................................................... 167

5.5 Balanço de uma coluna de retificação em operação contínua ................................ 169


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6

5.5.1 Construção do diagrama de McCabe-Thiele .................................................. 173

5.5.2 Determinação do número de pratos teóricos, segundo o método de McCabe-Thiele 175

5.5.3 Número mínimo de pratos e taxa mínima de refluxo ...................................... 176

5.5.4

Pratos reais e o fator de eficiência .................................................................. 179

5.6 Equipamentos de retificação ................................................................................. 180

5.7 Operações destilativas especiais ........................................................................... 181

5.7.1 Separação de misturas multi-componentes ..................................................... 181

5.7.2 Método de duas pressões ............................................................................... 182

5.7.3 Retificação extrativa ...................................................................................... 184

5.7.4

Destilação azeotrópica ................................................................................... 184

5.7.5 Destilação extrativa usando sal ...................................................................... 186

5.8 Lavagem de gases em colunas .............................................................................. 187

5.9 Transferência e transmissão de massa ................................................................... 188

5.9.1 Transferência de massa .................................................................................. 188

5.9.2 Transferência de massa e de calor – paralelas e diferenças. ............................ 190

5.10 Lavagem de gases - Stripping ............................................................................ 194

5.10.1 Princípio e pontos comuns na lavagem de gases. ........................................... 194

5.10.2 Velocidade da transferência de massa ............................................................ 197

5.10.3

Balanceamento de uma coluna de absorção com troca de massa contínua ...... 198

5.10.4 Cálculo do NTU (lei de distribuição uniforme) .............................................. 201

5.11 Outras operações unitárias térmicas .................................................................. 207

5.11.1 Adsorção ....................................................................................................... 207

5.11.2 Equipamento de adsorção .............................................................................. 210

5.11.3 Secagem ........................................................................................................ 211

5.11.4 Extração ........................................................................................................ 213

5.11.5 Cristalização .................................................................................................. 218

5.11.6 Técnicas com membranas .............................................................................. 221

6 Sistemas de medição, controle e regulagem (MCR) .................................................... 226

6.1 As grandezas medidas .......................................................................................... 229

6.2 Tratamento do sinal medido e sua transmissão ao regulador ................................. 231

6.3 Dispositivos de regulagem .................................................................................... 232

6.3.1 Prinípios de acionamento de reguladores contínuos ....................................... 234

7 Representações das operações unitárias ....................................................................... 235

7.1.1

Diagrama de operações básicas...................................................................... 235

7.1.2 Diagrama de fluxo de processo ...................................................................... 236


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7

7.1.3 Diagrama de tubulação e instrumentação (P&ID) .......................................... 239

7.1.4 Interpretação do sistema MCR no diagrama P&ID ........................................ 244

8 Anexos ....................................................................................................................... 245

8.1.1

Vista geral sobre os números adimensionais mais importantes na engenharia

química 245

8.1.2 Números adimensionais, organizados por campo de aplicação: ...................... 247

8.1.3 Tabela de pressão de vapor sobre os líquidos, em função da temperatura ....... 249

8.2 Índice dos símbolos usados neste texto e suas unidades (onde se aplicam) ............ 251

1 O que são Operações Unitárias? Antigamente, do início até o auge da revolução industrial, acreditava-se que os diferentes

processos industriais da química seguem princípios diferentes, então cada linha de produçãorequer métodos, aparelhos e procedimentos específicos. Em 1915, o engenheiro químicoamericano Arthur Dehon Little, empresário e professor universitário do MIT , estabeleceu oconceito de "operação unitária", segundo o qual um processo químico seria dividido em umasérie de etapas básicas que podem incluir: transferência de massa, transporte de sólidos elíquidos, destilação, filtração, cristalização, evaporação, secagem, etc. Cada uma das etapasseqüenciais numa linha de produção industrial é, portanto, uma operação unitária. O conjuntode todas as etapas compõe um “ processo unitário”. Portanto, Operações Unitárias são

seqüências de operações físicas, necessárias para realizar econômicamente um processoquímico em escala industrial.

Um exemplo típico da área de alimentos: o processamento de leite inclui as operaçõesunitárias de padronização, homogenização, pasteurização, resfriamento, e empacotamento. Alinha de produção integral, necessária para obter-se o produto comercial a partir da matéria-

prima, se dá pelo sequenciamento e interligação destas operações.

"Os Princípios da Engenharia Química" de W. H Walker, W.K. Lewis e W.H. McAdams,(título no original: "The Principles of Chemical Engineering" , do ano 1923) é considerada pormuitos engenheiros sendo a monografia pioneira do abordamento da química industrial. Nesta

são tratadas as indústrias químicas de maneira uniforme e generalizada, seguindo as mesmasleis da física, independente do insumo a ser produzido. Cada operação unitária por si pode sercalculada e dimensionada, enquanto a base deste cálculo são as leis estabelecidas da física e ocaminho do cálculo geralmente são equações diferenciais. Sendo assim, as operações unitáriascertamente formam os pilares da Engenharia Química. Aliás, este procedimento tem caráteruniversal e pode ser aplicado em qualquer outra indústria de transformação, também.

As operações unitárias são baseadas em princípios, teóricos e empíricos:

Transferência de massa, Transferência de calor,

Transferência de quantidade de movimento, Termodinâmica, Biotecnologia e


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Cinética química.

Desta forma, os processos podem ser estudados de maneira unificada. Uma operação unitáriasempre tem o mesmo objetivo, independente da natureza química dos componentesenvolvidos. Por exemplo, a transferência de calor é a mesma operação, quer em um processo

petroquímico, quer em uma indústria de alimentos.

As operações unitárias dividem-se em 5 classes:

1. Processos de Escoamento de Fluidos, como transporte de fluido, filtração, fluidizaçãosólida

2. Transferência de Calor, como evaporação, condensação.3. Transferência de Massa, como o transporte em tubos, mas também absorção gasosa,

destilação, extração, adsorção, secagem.4. Processos Termodinâmicos, como liquefação gasosa, refrigeração.5. Processos Mecânicos, como transporte de sólidos, triturar, peneiramento e separação.

As operações unitárias aplicadas especialmente na Engenharia Química também se encaixamnas seguintes categorias:

Combinação (misturar) Separação (destilação) Reacão (reação química)

Não só o Engenheiro, mas também o Técnico em química deve ter noção do cálculo edimensionamento dos equipamentos utilizados nas operações unitárias. Ele deve estar cientede que o tamanho dos aparelhos é fundamental para os fluxos dentro da fábrica e até odesenho de completas plantas químicas!

2 Fluxo de matéria Na indústria química o transporte e o processamento de reagentes, produtos e materiais demodo geral, se dá principalmente em meios fluidos (gases, líquidos, géis, pastas, etc),enquanto o uso de sólidos geralmente é evitado onde for possível, devido ao atrito durante otransporte. Este capítulo aborda então os problemas acerca do transporte que o engenheiro

químico tem que resolver para assegurar uma produção contínua.A base do cálculo de tarefas de transporte e o dimensionamento de bombas é a teoria dofluxo. Essa teoria é apresentada de forma resumida, tratando do essencial para o entendimentodas aplicações mais importantes na química técnica. Não é o objetivo a derivação exata dasequações que deve ser reservada à literatura especial 1.

1 Disponíveis nas bibliotecas do CEFET-MG:

W.L. McCabe, Unit Operation of Chemical Engineering, McGraw Hill 1967; No. de chamada: 660 M121u.

A.S. Foust , Princípios das operações unitárias, LTC 1982; No. de chamada: 66.021 F782p.

D.A. Blackadder , Manual das operações unitárias, Ed. Hemus 2004; No. de chamada: 660 B628m.Disponível em CD:

J.H. Perry, Chemical Engineer´s Handbook, McGraw Hill 2002.


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Os focos aqui são:

Conhecimento dos caminhos e das formulações de equações que resolvem problemasacerca das operações unitárias - inclusive o uso de números adimensionais,características para o fluxo da matéria.

Aplicação das leis em exemplos concretos e o cálculo do resultado.

2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades Na teoria do fluxo se destacam as seguintes grandezas e características da matéria:

Tab. 1. Grandezas e unidades importantes na teoria do fluxo

Grandeza Unidade SI e suas conversões

Pressão: p, p Pa = N . m- = Kg . m- . s- 1 MPa = 106 Pa = 10 bar

Velocidade linear: u m . s-

Velocidade do volume: m³. s-

Velocidade da massa: Kg . s-

Energia: E, E N. m = J = W . s = Kg . m² . s-

Aceleração gravitacional: g g = 9,81 m . s- , ao nível do mar.

Densidade: Kg . m- Viscosidade dinâmica: Pa

. s = N . m- . s = Kg . m- . s-

Nas tabelas antigas ainda Poise (centi-Poise):

1 Poise = 0,1 Pa . s (1 cP = 0,001 Pa . s)

Viscosidade cinemática:

(= "Momento da difusividade")

m² . s-

Nas tabelas antigas ainda Stokes:

1 Stokes = 10-4 m² . s-1

Nota: As grandezas expressas como , representam a derivada temporal da variável X, ou seja, (dX/dt ).

As grandezas físicas devem então ser indicadas através das unidades do Sistema Internacional(SI ), conforme nas tabelas a seguir:

Tab. 2. Grandezas fundamentais e suas unidades (definidas pela sociedade científica)

Grandeza Unidade Símbolo

Comprimento metro m

Massa quilograma Kg, também kgTempo segundo s

V

m

X


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Corrente elétrica Ampère A

Temperaturatermodinâmica

Kelvin K

Quantidade de matéria mol mol

Clareza da luz Candela cd

Tab. 3. Grandezas derivadas e suas unidades

Grandeza Expressão básica Unidade Símbolo

Força Newton N

Pressão Pascal Pa

Energia (energia química,trabalho mecânico ou calor)

Joule J

Potência (= desempenho) Watt W

Viscosidade dinâmica Pascal-segundo

Pa s

Frequência Hertz Hz ou s-

Tensão elétrica (= potencial) Volt V

Resistência elétrica Ohm

Carga elétrica Coulomb C

Condutividade elétrica Siemens S

Tab. 4. Relação entre algumas unidades derivadas e as unidades fundamentais:

1 Pa = 1 N m- = 1 Kg m- s- 1 N = 1 Kg m s-

1 Pa s = 1 N s m- = 1 Kg m- s- 1 = 1 V A-1 = 1 N m A-2 s-1

1 J = 1 W s = 1 N m = 1 Kg m s- 1 C = 1 A s

1 W = 1 J s- = 1 N m s- = 1 Kg m s- 1 S = 1 -1

1 V = 1 W A-1 = 1 J A-1 s-1 = 1 J C-1= 1 A= 1 N m A-1 s-1 = 1 kg m2 A-1 s-3

1 bar = 10 N m-

umam F

dA

dF p

dW dQdE

dT cmdQ p

dL F dW

E P

T

1

dI RdU

A

L R

dt I dQ

1

R L

Ak


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2.2 Propriedades dos FluidosFluidos são substâncias que se deformam constantemente quando submetidas a uma forçatangencial, não importando o quão pequena seja esta. O trabalho feito num fluido provoca suadeformação e a energia entregue é armazenada em forma de energia cinética, principalmente.Já os sólidos se opõem à força externa e armazenam a energia entregue de maneira elástica.Isto é, eles não são deslocados notavelmente da sua posição inicial (somente se fossemfragmentados), em função do ponto de aplicação da força, da intensidade e do centro de massado material.

Esta força tangencial que atua ao longo de uma superfície, é denominada tensão decisalhamento:

Onde o termo A// significa área paralela à força aplicada, diferente da área perpendicular A xy =

A usada no cálculo de pressão p:

.

Consideremos um fluido escoando em uma tubulação de comprimento L e raio r . Após aaplicação de uma força externa F , por exemplo, por meio de uma bomba, a massa desse fluidoexerce força na área perpendicular A, gerando uma pressão global, também conhecida como

pressão de bombeamento. Ao mesmo tempo o fluido entrega seu momento à parede internado tubo, isto é, a área A//. A maneira como acontece o escoamento do fluido neste tubo seráapresentada mais adiante (ver perfil de velocidade, Fig. 5 na p. 22).

Fig. 1. Definições da pressão, p, e da tensão de cisalhamento, , mostradas em umtubo com líquido.

2.3 A viscosidade Nas seções a seguir serão tratados os fenômenos de fluxo com fricção 2. A medida da fricçãointerna de um fluido é a viscosidade. Além de definir a viscosidade, esta secção indica oscaminhos do seu cálculo e alguns dados de viscosidades típicas.

2 Fricção e atrito são sinônimos.

// A

F

A

F p


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Dentro de um meio em fluxo ocorre uma perpétua troca de momento linear (= impulso; )entre as partículas. Nas paredes imóveis o momento é entregue; neste local a velocidade dofluxo é zero, u = 0 (condição de adesão). A partir do local com u = 0 a velocidade aumenta

junto à distância da parede e pode-se observar um perfil linear de velocidade dentro do fluido(ver Fig. 2). Entre as zonas de diferentes velocidades ocorre a transmissão de momento, yx ,

através da fricção interna. Esta grandeza também é conhecida como tensão de cisalhamento,tensão tangencial ou força tangencial por área unitária.

Vamos procurar um modelo macroscópico para entender o acontecimento em nível molecular.Supomos dois trens andando em dois trilhos paralelos, na mesma direção porém emvelocidades diferentes. Daí os passageiros começam pular do trem mais rápido para o tremmais lento. Chegando ao outro trêm, cada uma destas pessoas cede um momento mais alto,

provocado pela sua alta velocidade e seu próprio peso. Isso irá acelerar o trem mais lento. Num outro momento as pessoas pulam do trem mais lento para o mais rápido, o que terá oefeito de frear o trem de destino.

Fig. 2. Perfil da velocidade tangencial, a partir de uma parede imóvel.

Voltando para o fluido, podemos então comparar as camadas em direção ao fluxo sendo trensde diferentes velocidades, o número de pessoas que pulam seja a viscosidade e a diferençaem velocidade entre os trens vizinhos seja o gradiente .

Chegamos aasim numa formulação da lei de Newton na seguinte forma:

. Lei de Newton, aplicada ao fluido.

com = viscosidade dinâmica (ou fricção interna); = perfil de velocidade

perpendicular ao fluxo; também chamado de razão, taxa ou frequência de cisalhamento. Osinal negativo nesta equação é convenção internacional.

Admitimos que a lei de Newton é menos conhecida nesta forma do que . Portanto,seja mostrada a seguir a analogia destas formulações.

Dividindo ambos os lados por , temos:

.

um

dy

du x yx

dy

du x

am F

// A

//// A

am

A

F


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Escrevemos para e para a aceleração . A geometria dentro de um

tubo fornece a área paralela ao fluxo, , portanto:

.

O termo tem a dimensão massa por comprimento e por tempo, então as unidades

são Kg.m-1.s-1 ou seja, Pa.s. Esta grandeza é definida matematicamente como viscosidade.

Genericamente, podemos escrever para qualquer sistema de fluido, independente da simetria

do recipiente:

Nessas equações, os termos:

F e expressam forças externas atuando no sistema,

a e expressam movimento,

m e expressam inércia, fator de proporção entre a força externa e o movimento.

A lei de Newton torna-se mais universal quando escrita na forma diferencial:

.

Através desta equação a viscosidade dinâmica (também chamada de tenacidadedinâmica) é definida. Em tabelas mais antigas encontram-se os valores da tenacidadedinâmica em centi-Poise: 1 cP = 0,01 P, enquanto 1 Poise equivale a 0,1 Pa .s.

A viscosidade dinâmica é então a variação na tensão tangencial ao variar o gradiente develocidade. Podemos, portanto, interpretar a viscosidade sendo a inclinação da curva docisalhamento, em função ao gradiente. Conforme a lei de Newton essa curva deve ser umareta. A maioria dos fluidos obedece essa lei, o que facilita bastante os cálculos e odimensionamento da bomba propulsora. Mas existem também desvios característicos docomportamento Newtoneano, conforme mostrado na figura a seguir.

/// A F dt

duua x x

rL A 2//

dt L

m

dr

du

dt L

m

dt

du

dr L

m x x

222

dt L

m

2

F = m . a

= .

d d yx


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ou

Fig. 3. Comparação de fluidos Newtoneanos, viscosos-estruturais e dilatantos.

Nos gases e na maioria dos líquidos a viscosidade é constante e independente da razão decisalhamento du x/d y (curva no meio dos gráficos da Fig. 3). Nestes casos se fala decomportamento Newtoneano, ou seja, são fluidos Newtoneanos. Exceções têm-se com

pastas, líquidos geleificados e polímeros fundidos ou em solução. Na maioria destes casosobserva-se uma diminuição da viscosidade ao aumentar a razão de cisalhamento, chamado deviscosidade estrutural (ou pseudoplasticidade). Menos frequente é o comportamentooposto, conhecido como dilatância. A viscosid ade estrutural se explica, a nível supra-molecular, com a deformação de novelos estatísticos de polímeros de alta massa, ao seremdeformados. O novelo, aproximadamente redondo quando em repouso, é esticado em direção

à força da deformação. Quando muitos novelos fazem isso, eles deslisam mutuamente commaior facilidade, quer dizer, sua resistência contra a força deformativa diminui. Por outrolado, quando a velocidade da deformação for baixa, os novelos têm tempo suficiente deentrelaçar-se - o que acarreta uma viscosidade proporcionalmente maior. Viscosidadeestrutural também pode-se esperar quando as partículas do fluido mostram aspectos bastanteelongados (agulhas, discos, etc.). Quanto maior o gradiente dentro fluido, mais alinhadas as

partículas, e isso facilita seu deslizamento.

Um efeito contrário em função da velocidade da deformação se espera em fluidos onde as partículas ou os novelos mostram a tendência de orientar-se perpendicular à direção do fluxo.Também onde os novelos se “abrem” e entrelaçam, mais em geral falado de corpos que

podem aumentar suas dimensões sob solicitação. O exemplo mais famoso é a massa de “SillyPutty”, um brinquedo que, quando formado em uma boa, mostra uma elasticidade semelhante

à borracha quando deixado cair no chão, mas que “derrete” aos poucos quando deixado emrepouso, em cima da mesa.

Existe um terceiro caso que desvia do comportamento ideal, conhecido como corpo deBingham : o material se comporta conforme descrito por Newton, mas somente apósultrapassar uma tensão limite; abaixo deste limite o corpo fica sólido elástico e não mostrafluência, mas reverte à sua posição original quando relaxar a tensão. Exemplos para materiaisdeste comportamento são ketchup, pasta de dente, massa de pão, certas tintas de parede, mastambém o nosso sangue. Muitas suspensões de alta concentração (isto é, partículas sólidas em

pouco solvente líquido; exemplo: areia fina e molhada na praia) mostram estecomportamento. Daí a lei de Newton deve ser modificada conforme


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, onde lim é o limite de fluidez.

Um bonito exemplo de um comportamento não-Newtoneano que pode ser mostrado em salade aula, é a mistura de maizena em (pouca) água. Na relação certa dos componentes estamassa mostra elevada resistência contra transformações mecânicas rápidas, enquanto sua

resistência contra deformações demoradas requerem forças muito baixas (fluidez lenta). Daí a pergunta: qual comportamento se evidenciou: dilatância, viscosidade estrutural ou corpo de Bingham?

Esses fenômenos não devem ser confundidos com a tixotropia (onde o oposto é a reopexiaou anti-tixotropia) que é o fenômeno da diminuição (aumento) da viscosidade aparente com otempo de cisalhamento, enquanto a taxa de cisalhamento é mantida constante. Ao contráriodos fenômentos da pseudoplasticidade/dilatância, a tixotropia é sujeito a uma histeresetemporal, quer dizer, depende do seu histórico. No entanto, as explicações à nivel molecularsão semelhantes. Como também na viscosidade estrutural e no corpo de Bingham, adiminuição da viscosidade aparente com o tempo se deve à quebra de uma supra-estruturaorganizada no fluido que podemos identificar como gel. Se deixarmos o sistema tixotrópicoem repouso durante algum tempo, a viscosidade aparente aumentará novamente e a supra-estrutura entre as partículas que “imobiliza” o líquido se recupera. Se em seguidasubmetermos o sistema ao cisalhamento, a uma velocidade de agitação constante, aviscosidade aparente decrescerá com o tempo até atingirmos uma viscosidade limite, isto é, oequilíbrio entre quebra e reconstrução da estrutura do gel.

A tixotropia é tipicamente observada quando mexer (= cisalhar) com uma espátula uma tintalatex para pintar parede. Inicialmente a tinta parece muito viscosa, mas, com o tempo demexer, ela vai se tornando mais fluida. Sendo assim, a tixotropia é um importante critério de

qualidade para tintas decorativas, sejam aplicadas por pincel, rolo ou borrifador. Uma vez quea tinta foi aplicada numa parede vertical, o pintor espera que ela fique no lugar e não derrama-se em forma de “lágrimas”. Soluções de polímeros de massa molar elevada são, em geral,tixotrópicas. Suspensões coloidais de óxido de ferro III, de alumina e algumas argilas, queformam sistemas fracamente gelificados, também apresentam tixotropia. A formaçãoreversível de géis é vital em uma série de processos industriais importantes, tais como otransporte de lodos na estação de tratamento de esgotos, em poços petrolíferos ou no Fracking de gás natural. Neste último exemplo os aditivos de geleificação (polissacarídeos ou

poliacrilamida) imobilizam os grãos de areia dentro da água de processo e assim podem serlevados até as fendas dos sedimentos profundos.

A diferença entre tixotropia, corpo de Bingham e viscosidade estrutral, é afinal a facilidade daformação do gel: no primeiro caso a formação do gel é imediata, no segundo caso o gelquebra de maneira catastrófica acima de um limite de stress e no último caso o gel se degradaaos poucos.

O oposto da tixotropia é chamada de reopexia, então o fenômeno do aumento da viscosidadeaparente com o tempo de cisalhamento a uma taxa de cisalhamento constante. Fluidosreopexos têm menos aplicações que os tixotrópicos. Note que ambos os tipos de fluidos,tixotrópicos e reopéticos, mostram tipicamente uma histerese no seu comportamento viscoso,quer dizer, a tensão quando aumentando o cisalhamento e outra do que a tensão (=resistência) quando atenuando o fluxo.

lim d d yx


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Fig. 4. Histereses típicas nas curvas em fluidos tixotrópicos e reopéticos.

Em muitas situações é conveniente usar a viscosidade cinemática (também: tenacidadecinemática, ou ainda: momento da difusividade). A relação entre as grandezas e ésimples:

,

com a densidade (em Kg

.

m

-3

).Em tabelas antigas ainda encontra-se a unidade Stokes para essa grandeza. Vale a relação:

1 Stokes = 10-4 m2 s-1.

2.3.1 Viscosidade em gasesO que determina a viscosidade em gases é o número das colisões entre as partículas, também

podemos afirmar que é inversamente proporcional à média do caminho de voo livre, , queexiste entre duas partículas. Também influencia o momento, , que é transmitido entre as

partículas ( = densidade; = velocidade média das partículas).As seguintes expressões são resultados de um modelo cinético bastante simples, porémconfirmados por cálculos quânticos ab initio:

e ,

com N = densidade média em termos de número de partículas por volume

= média dos raios efetivos onde ocorre colisão.

M = média da massa molar das partículas.

u

u

2

122

1

N M

RT u

8

212


17/254


17

Sob condições normais (nossa atmosfera é de 0,1 MPa, aproximadamante) esperamoscaminhos livres entre 100 nm < < 1 µm. Já com uma pressão de 1 MPa os caminhos sereduzem a 10 nm < < 100 nm, isto é, 5 a 50 vezes o comprimento da própria molécula.

Para gases ideais o modelo cinético das patículas fornece para a viscosidade:

.

Embora essas relações valem rigorosamente só para gases ideais, elas podem também seraplicadas ao gás real, até pressões moderadas. Notamos que a viscosidade deve serindependente da pressão nestes gases, mas deve aumentar junto à temperatura. Já que oraio médio de colisão diminui um pouco ao aumentar a temperatura, então essa última

proporcionalidade fica ligeiramente maior do que . Em geral, podemos descrever adependência térmica da viscosidade de gases na seguinte forma:

, com T 0 = 273 K e viscosidade dinâmica medida a 273 K.

A viscosidade de todos os gases fica na ordem de grandeza de . O expoente n

desta última equação é um valor empírico, indicado para alguns gases comuns na Tab. 5.

2.3.2 Viscosidade de líquidosEntre ponto de fusão e ponto de ebulição comum, a viscosidade dos líquidos depende muito

pouco da pressão. Por outro lado, a viscosidade depende fortemente da temperatura. Aocontrário dos gases ela diminui junto à temperatura. A dependência fenomenológica pode serdescrita por:

,

enquanto o cálculo das constantes A e B a partir dos dados moleculares requer um alto esforçomatemático é contém diversas aproximações 3. Portanto, essa equação é usada, principalmente

para interpolações entre os dados experimentais.

A viscosidade de líquidos é aproximadamente de duas ordens de grandeza (= fator 100) maiordo que a dos gases. Valores típicos nas seguintes tabelas.

3 R.C. Reid, T.K. Sherwood , The properties of gases and liquids, McGraw-Hill 1966.

2

123

28

3

2

3

2

RT M

M

RT u

T

n

T

T

0

0 0

s Pa 510

T

A

e B


18/254


18

Tab. 5. Viscosidades de alguns gases de importância industrial, calculadas por

.

Gás H2 ar CH4 CO2 Cl2

em 10-5 Pa s 0,85 1,74 1,06 1,44 1,32

n 0,65 0,67 0,72 0,77 0,81

Tab. 6. Viscosidade de líquidos que têm importância em processos químicos e

alimentícios, calculadas por .

Líquido A em K B em 10- Pa s

Acetona 780 2,2Etanol 1710 0,35

Benzeno 1250 0,9

Cicloexano 1460 0,66

Dioxano 1460 0,85

Ácido acético 1340 1,25

Nitrobenzeno 1440 1,45

Octano 1070 1,4

Azeite de oliva 3350 0,082

Fenol 3460 0,008

Tricloroetileno 800 3,8

Tab. 7. Viscosidade da água e do benzeno, em função da temperatura.

T (em °C) 0 20 40 60 80 100

em 10

-3

Pa s1,792 1,002 0,653 0,467 0,353 0,282

em 10-3 Pa s 0,906 0,647 0,489 0,386 0,314 0,262

2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peçasEm plantas da indústria química o transporte de meios fluidos ocorre quase exclusivamenteem tubos. As máquinas de propulsão são bombas (em caso de líquidos) e densificadores (emcasos de gases). Ocasionalmente, os líquidos são transportados sob o efeito da forçagravitacional, de um reservatório de posição alta para um recipiente de posição mais baixa

("transporte hidrostático"). Em geral, os fluidos não apenas passam por tubos, mas também por peças, tais como joelhos, arcos, válvulas, ferrolhos, torneiras, manilhas e outras conexões.

n

T

T

0

0

0

T A

e B

água

benzeno


19/254


19

Tanto nos tubos, quanto nas peças, o fluido está sofrendo perda de pressão. Para odimensionamento da bomba é necessário conhecer o grau de perda de pressão, p. Aexperiência nos mostra que p depende sensivelmente do diâmetro do tubo: mais largo otubo, menor será p. Por outro lado, os tubos de diâmetros maiores são muito mais caros.Também tenta-se evitar fluido parado dentro da tubulação. Aquela parte do fluido que não

chega ao recipiente-alvo, mas permanece dentro do tubo, é conhecido como volume morto.Portanto, os aspectos econômico e de segurança estão pedindo um dimensionamento justo dosistema de tubulação.

Em primeiro lugar olhamos então no fluxo em tubos retos, em seguida será considerada a perda de pressão nas peças.

2.4.1 Fluxo laminar em tubosUm fluxo bastante lento estabiliza um perfil parabólico de velocidade dentro do tubo. Nestecaso se fala de fluxo laminar. A relação entre a velocidade média do fluxo, , e a perda de

pressão p está dada pela famosa lei de Hagen-Poiseulle:

, Hagen-Poiseulle

onde d = diâmetro do tubo; L = comprimento do tubo; = viscosidade dinâmica.

Esta lei somente vale para o fluxo laminar! Ela é muito aplicada, não só em cálculos de problemas de transporte, mas também na medição da viscosidade usando viscosímetros (dotipo Ostwald ou Ubbelohde). Aumentamos o fluxo gradativamente, observamos umamudança repentina, do laminar para turbulento (ver secção 2.4.3).

Devido à grande importância desta lei para o fluxo, tentamos derivá-la de forma resumida.

Consideremos um tubo de comprimento L, com a pressão p1 no início e p2 no final, com p1 > p2. O fluido atravessa esse tubo com a velocidade u, unicamente em direção x. A situação éesboçada abaixo.

A perda em pressão é então p= p1 - p2. E a velocidade u depende evidentemente destadiferença propulsora p que está sendo provocada pela bomba.

Em primeiro lugar deve-se procurar o balanço dos momentos. Como já dito acima, o fluidotransfere momento à parede do tubo, e isso é em resumo a causa para a perda de pressãodentro do tubo. O balanço de momento pode ser formulado, tanto em coordenadas cartesianasquanto em coordenadas cilíndricas. No sistema cartesiano aplicam-se as três coordenadas doespaço:

u

L

pd u

32

2


20/254


20

u x = velocidade do fluxo em direção x; x = direção do fluxo; y e z = direções perpendicularesao fluxo = ortogonais à parede fixa.

Nestas coordenadas o balanço do caso unidirecional é:

.

Devido à simetria do tubo, porém, será mais útil usar coordenadas cilíndricas:

r = raio do tubo; = ângulo radiano; z = direção única do fluxo.

Nestas coordenadas o balanço se formula da seguinte forma 4:

.

Junto à lei de Newton, obtemos:

Isso é uma equação diferencial parcial com duas coordenadas do espaço (r, z). Podemostransformá-la em uma equação diferencial comum quando fizermos a restrição de se ter um

4 Essa transformação pode ser melhor entendida, com as explicações dadas no apêndice matemático D do livroG. Wedler , Manual da Química Física, Calouste Gulbenkian 2001; disponível em nossa biblioteca.

yx y x

p

)(1

rz r r r z

p

dr

durz

.

r

ur

r r z

p


21/254


21

fluido incompressível (isto é, praticamente todos os líquidos). Neste caso a perda em pressãoem direção z fica linear.

Para o fluxo laminar se obtém (isso vale grosseiramente para os gases, também):

.

O sinal negativo reflete o fato que, ao prosseguir a direção + z, a pressão p diminui; p tem,nesta consideração, um valor positivo.

Com essa aproximação chegamos a uma equação diferencial comum que pode ser resolvidasem problemas:

.

Sua integração com margens abertas fornece:

, com a constante de integração C a ser determinada pelas condições

marginais. Lembramos-nos que essa relação vale para todos os raios r , então vamos

considerar o local exatamente no miolo do tubo (r = 0) e obtemos diretamente:C = 0.

Temos então . Na verdade estamos interessados na velocidade u, ou melhor

falado, na relação entre a velocidade do fluxo e a perda em pressão p, portanto temos queintegrar mais uma vez. Isso leva à relação:

.

Para determinar a constante C ́ aproveitamos da situação imóvel, diretamente na parede dotubo (r = R e u(R) = 0) 5:

5 Único caso onde a condição da imobilidade do fluido na parede não está obedecida, é no fluxo de gases do altovácuo. Mas os casos técnicos geralmente são longe deste caso excepcional.

L

p

z

p

L pr

dr dur

dr d

C L

pr

dr

dur

2

2

L

pr

dr

du

2

´4

)(2

C L

pr r u


22/254


22

.

Inserimos a constante de integração e obtemos, em outras variáveis, a lei de Hagen-Poiseulle:

.

Essa é a lei na forma que está apresentada na maioria dos livros da física. Ela fala que avelocidade u(r) é diretamente proporcional à perda em pressão p e indiretamente

proporcional ao comprimento do tubo, L. Além destas, a velocidade depende de maneiraquadrática do raio r . Isso implica que se estabelece um perfil parabólico de velocidade dentrodo tubo:

Fig. 5. Perfil do escoamento laminar dentro do tubo

A velocidade máxima, umax, se observa no miolo do tubo (r = 0). A lei de Hagen-Poiseulle fornece para este local:

.

Podemos inserir esse valor na equação geral e obtemos:

.

O engenheiro se interessa menos pela velocidade máxima, mas sim, para a velocidade média,. Este valor tem importância para o cálculo da corrente de volume ou de massa. Ele se

calcula da seguinte maneira:

L

p RC

4´

2

L

pr Rr u

4)(

22

L

p Ru

4

2

max

2

max 1)( R

r ur u

u


23/254


23

, onde F total é a secção transversal do tubo (circular!): .

Então:

.

A derivada da área transversal em geral, , é . Ela tem o significado

físico da circunferência do tubo. Com isso obtemos:

.

Resolvemos essa integral com uma variável auxiliar, , com . A integral se

formula como:

.

Aproveitamos do resultado . Daí obtemos:

.

O resultado para a velocidade média do fluxo é então:

.

Com podemos obter a lei de Hagen-Poiseuille também na seguinte forma:

dF r u F

u F total

)(1 2 R F total

2)(

R

dF r uu

F

2r F r dr

dF 2

dr r dF 2

R

r r R

r d

R

r r udr

R

r r uu )(2

2)(

2

R

r 10

1

02 d uu

2max2

max 11

u

R

r uu

4

12

42212 max

1

0

42

max

1

0

2

max

uud uu

2

maxuu

L

p Ru

4

2

max


24/254


24

.

Para o fluxo de volume, [m³/s], e o fluxo de massa, [Kg/s], obtemos assim:

,

com F = secção transversal do tubo, e = densidade do fluido.

2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais Nesta secção vamos introduzir os números adimensionais - sem descrição mais aprofundada -que vai seguir no capítulo 2.10. Com isso é possível achar equações de aplicação em geral,especialmente úteis quando temos o objetivo de aumentar o tamanho do sistema (" scale-up").

Em primeiro lugar vamos considerar a energia cinética, . Na teoria do fluxo

usaremos, por conveniência, a energia cinética relacionada à unidade de volume. Então:

.

Aproveitamos da densidade, , daí obtemos a energia na forma de:

, com as unidades .

A consideração das unidades revela um fato interessante: tem a mesma unidade que a

pressão! Podemos concluir que a divisão desta energia pela pressão fornece um númeroadimensional. Um número que tenha então uma aplicação mais universal, pois não é maisacoplado nas unidades ou nos valores absolutos as quais a gente escolhe. Chegamos aofamoso número de Euler :

p L

Ru

8

2

V m

p L

R F uV

8

4

p L

RV m

8

4

2

2

1um E cin

2

2

1u

V

m E V cin

V

m

2

2

1u E V cin Pa

m

N

sm

Kg

22

V

cin E


25/254


25

Definição: . Número de Euler .

O número de Euler indica qual a queda em pressão, ocasionada pela introdução de umaquantidade de energia cinética, a cada unidade de volume. Para nossa surpresa, essa relaçãovale para todos os processos de fluxo, quer para condição laminar quer para turbulenta.

Podemos expressar a queda em pressão p nesta relação, pela lei de Hagen-Poiseuille (porsua vez somente para o fluxo laminar):

, com o diâmetro d = 2 R.

Vamos para frente simplificar com , e obtemos para o número de Euler :

.

Esta relação já foi organizada de tal maneira que resultem dois novos termos adimensionais,

isto são e . O primeiro é conhecido como aspecto do tubo e o último representa outro

número característico da engenharia de processos chamado de número de Reynolds:

Definição: Número de Reynolds

De todos os números adimensionais (existem muitos deles! Verifique o anexo deste livro, p.

245), provavelmente esses dois são os mais utilizados, na engenharia química. Re e Eu podem ser interpretados da seguinte maneira:

.

Usando essas duas expressões podemos escrever a lei de Hagen-Poiseuille na seguinte forma:

2

2

1u

p Eu

ud

Lu

R

L p

22

328

uu

ud d

L

u

ud

L

Eu 64

2

1

32

2

2

d

L

ud

ud Re

tocisalhamende força

volumeimpulso

d

u

Re

cinética Energia

pressãoem perda

u

p Eu

221


26/254


26

lei de Hagen-Poiseuille.

Em certas situações será mais útil usar o número de fricção, (Re), em vez do próprio númerode Reynolds. Através deste truque a gente amplia a relação, para o fluxo turbulento, também.Em caso de fluxo laminar, os dois têm a seguinte relação inversa:

; número de fricção (ou coeficiente de fricção).

É importante lembrar-se que essa relação entre o número de fricção e Re somente vale para o

fluxo laminar, então somente para a região onde a lei de Hagen-Poiseuille é válida; vertambém cap. 2.4.3.

Ao usarmos o número de fricção (Re) a lei de Hagen-Poiseuille torna-se aplicável a todos ostipos de fluxo:

.

Mais uma vez: ao deixarmos aberta a dependência de Re do número de Reynolds, aequação acima torna-se mais flexível, ou seja, ganha validade universal: ela descreve fluxos,tanto laminares quanto turbulentos. O Re usado na expressão a seguir deve ser determinadono experimento ou, para sistemas de tubulação mais simples, lido da Fig. 8 (p. 30). Note que a

perda de pressão num tubo pode ser calculada para qualquer velocidade de fluxo u, com essaequação:

.

2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tuboAo aumentar a velocidade do fluido em tubos compridos e lisos, chegamos a um ponto onde alei de Hagen-Poiseuille da correnteza laminar não vale mais. O perfil parabólico davelocidade u(r ) que constatamos para o fluxo laminar, de repente entra em colapso e fica cadavez mais achatado, quanto mais rápido o fluido passa pelo tubo. Isso é causado por processosirregulares de mistura, ou seja, pequenos redemoinhos:

Re

64

d

L Eu

Re

64(Re)

(Re) d

L Eu

2

2

1(Re) u

d

L p


27/254


27

A medida para o tipo de correnteza é o número de Reynolds. Se tiver um valor baixo, o efeitoda viscosidade do fluido sobre o transporte de momento perpendicular à direção do fluxo (istoé, em direção à parede) é uma característica unicamente do próprio fluido. Aumentando onúmero de Reynolds, percorremos uma região estreita de transição, acima da qual se adicionaao transporte de momento do fluxo laminar, um outro transporte de momento devido àmistura em redemoinhos. Até podemos afirmar que a contribuição dos redemoinhos aotransporte do momento é dominante. Em processos de fluxo através de tubos compridos e

lisos a transição laminar para turbulento ocorre repentinamente, num número de Reynolds Recrit .=2300. Em outros sistemas (tubos ásperos, peças e conexões) se acham outros númeroscríticos de Reynolds.

A lei de Hagen-Poiseuille não prediz a transição laminar/turbulento. Essa deficiência deve-seàs simplificações que foram feitas, no início da derivação desta lei, isto é, um fluxorigorosamente unidimensional. Ponto de partida foi:

,

com movimento somente em direção z, a dizer, u z , constante e u = ur = 0. No fluxoturbulento, por outro lado, os movimentos não são constantes ao longo do tempo, além dissou e ur têm valores diferentes de zero (ver último esboço). Significa que as equaçõesdiferenciais dos movimentos completos devem ser resolvidas 6. Isso foi possível, porenquanto, somente com altíssimo investimento de computação e ainda somente para casosespeciais. Mesmo se fosse possível certo dia, com ajuda de supercalculadoras vetoriais etc.resolver uma equação geral, mesmo assim o engenheiro prático sempre procurará a solução deum problema de fluxo dentro das fórmulas aproximadas e simplificadas - simplesmente

porque o tempo de cálculo custará muito caro.

6 Disponível da Biblioteca do Campus I do CEFET-MG:

R.R. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot , Fenômenos de Transporte, 2a Ed. LTC Rio de Janeiro 2004.

r

ur

r r r

r r z

prz

)(

1


28/254


28

Fig. 6.

As equações de movimento completas, em coordenadas cilíndricas. Sãoconhecidas como equações de Navier-Stokes (Fonte: R.R.Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport phenomena, Wiley NY 1960, p. 85)

Vamos tentar entender a transição do fluxo laminar para turbulento, a partir dos fenômenosobservados em uma mistura de líquidos coloridos. Em fluxos bastante lentos se estabelece um

perfil de velocidade parabólico, conforme mostrado acima (Fig. 5). Ao aumentar avelocidade, essa parábola é esticada cada vez mais, de forma que o miolo avança muito,enquanto as zonas marginais estão cada vez mais retidas, em relação ao miolo. Nesta situaçãoas camadas mais avançadas têm a tendência de escaparam radialmente para fora, então em

direção à parede do tubo. Quando isso realmente acontece, então há formação de diversoscentros de turbulência, afinal formam-se muitos redemoinhos ao mesmo tempo que misturamas camadas de forma aleatória, ou seja, a transição de laminar para turbulento ocorreu


29/254


29

bruscamente. Os diâmetros típicos destes redemoinhos: do diâmetro do tubo. O

movimento principal em direção z fica sobreposto por movimentos aleatórios de mistura. Avelocidade máxima, umax, continua sendo no miolo do eixo, mas a velocidade do fluxo é quasea mesma, ao longo das camadas internas. O perfil parabólico fica fortemente achatado. Por

outro lado, continua a condição da estacionaridade diretamente na parede do tubo. Issoimplica que, em uma estreita camada limite o gradiente de velocidade fica muito elevado.Essa camada se conhece com camada limite de Prandtl .

Provou-se na prática que a velocidade média do fluxo turbulento é:

.

Apesar da camada limite de Prandtl ser bastante estreita (maior a velocidade, mais estreita ela

é), mesmo assim podemos afirmar que dentro dessa camada o caráter do fluxo continualaminar.

Fig. 7. Representação do perfil de velocidade do fluxo turbulento

Quando os tufos de turbulência batem na camada limite, eles ficam grudados nesta camada eentregam seu momento.

Na prática se tem, na maioria dos casos, fluxo turbulento. Ele acarreta uma queda em pressão,maior do que no fluxo laminar. A equação usada para estimar p é, em analogia ao cap. 2.4.2,

, pois o caráter desta equação é universal (laminar e turbulento!).

Como os movimentos no fluxo turbulento são muito mais complexos, é preciso usar umcoeficiente (Re) que foi experimentalmente determinado. Na região turbulenta o coeficientede fricção (Re) é menos dependente do número de Reynolds. Além disso, a asperidade dotubo torna-se um fator cada vez mais importante. Ela provoca um aumento da espessura dacamada limite, sobre o qual o miolo turbulento é transportado com baixa fricção.

Na próxima figura podemos ver a dependência do número de fricção, do número de Reynolds.Fica evidente que a asperidade da parede, em caso de turbulência, tem uma influência notável

sobre o . Em casos de turbulência total em tubos ásperos o fica quase independente do Re,com valores entre 0,02 e 0,04. Nesta situação o modelo do fluxo "sem fricção" é bastante útile vale como simplificação.

30

1

max)9,0......8,0( uu

2

2

1(Re) ud

L p


30/254


30

Fig. 8. Dependência do coeficiente de fricção, , do número de Reynolds, Re, com aasperidade relativa, n = k/d, como parâmetro.

Na literatura se encontram várias relações empíricas que foram propostas para determinar (Re). Nenhuma delas, porém, tem caráter universal, mas vale somente para um casoespecífico. Sendo mencionada como exemplo apenas a relação de Blasius:

,

que vale para e somente para tubos hidraulicamente lisos.

O caminho do cálculo da perda em pressão em tubos pode ser resumido em três etapas:

1. O cálculo de Re. Deste resultado a gente sabe que tipo de fluxo podemos esperar, oulaminar ou turbulento. Daí sabemos quais relações devemos aplicar a seguir.

2. Cálculo (ou determinação gráfica a partir da Fig. 8) do valor do coeficiente de fricção, (Re).

3. Cálculo da perda de pressão usando

O fluxo da massa (= vazão de massa; ver também cap. 2.5.2), , na maioria das vezes éestabelecido pela fábrica.

25,0Re

316,0

510Re

2

2

1(Re) u

d

L p

m


31/254


31

Aplicamos a transformação da densidade do fluido, conforme:

Daí, o número de Reynolds para um tubo se obtém através da fórmula:

.

E para o cálculo da perda de pressão usaremos:

.

2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubularesQuando o fluido passa por peças dentro da tubulação, ele sofre uma queda em pressão extra.Essas resistências não se estendem ao longo do caminho, mas são localizadas. Portanto se falade quedas localizadas da pressão.

Enquanto no fluxo pelo tubo aparece o fator (L/d). (Re), as quedas de pressão localizadas podem ser descritas por um simples coeficiente :

,

com = coeficiente de resistência localizada.

Ao contrário do transporte no tubo, a perda em pressão localizada provocada por uma peça

depende muito pouco do número Re, quer dizer, o fluxo nas peças sempre é turbulento. Umresumo das peças mais utilizadas e seus coeficientes , se encontram na próxima tabela.

22

2

44

4

d u

m

d

dt

dLdt

dm

d L

m

V

m

d

md u 4Re

2

2(Re)

d

um

d

L p

2

2

1u p


32/254


32

Tab. 8. Coeficientes das resistências localizadas, para diversas peças dentro de umatubulação (Fonte: K.F. Pawlow, P.C. Romankow, A.A. Noskow, Beispiele undÜbungsaufgaben zur Chemischen Verfahrenstechnik, VEB Deutscher Verlag fürGrundstoffindustrie 1979)

A perda total dentro da tubulação se obtém da soma, do próprio tubo e das peças localizadas.Para tubulações com diâmetro único vale:


33/254


33

.

tubo peças

Caso a secção transversal do caminho não seja exatamente circular, deve-se usar, em vez de d ,o diâmetro hidráulico, d h:

,

com F = área da secção transversal e U = circunferência. Como se pode facilmente verificar,

essa expressão se reduz a d h = d , caso a passagem realmente seja circular (com e

).

No cálculo de problemas de transporte muitas vezes se resume todas as resistências, inclusivea do tubo reto:

.

A queda em pressão na tubulação devido à fricção é assim:

.

2.5 Balanço do transporte do fluidoPara resolver problemas de transporte, a engenharia precisa de expressões matemáticasmanejáveis que unem as grandezas físicas de importância no transporte. Problemas maiscomplexos de transporte podem ser resolvidos com a técnica da análise dimensional (a serapresentada no cap. 3.3). As duas relações fundamentais da teoria do transporte são acondição de continuidade e a equação de Bernoulli. Elas podem ser aplicadas, de maneirasegura, através de um balanço simples, como será mostrado a seguir.

2.5.1 Equações de balançoOs balanços podem ser divididos em expressões integrais e diferenciais. No caso do balançointegral (mais fácil) a grandeza a ser determinada se refere a um trecho macroscópico datubulação, enquanto o balanço diferencial se refere a um elemento de volume infinitamente

2

2

1(Re) u

d

L p

i

i

U

F d h 4

4

2d F

d U

iid

L

(Re)

2

2

1u p


34/254


34

pequeno. O balanço diferencial leva a várias equações diferenciais que devem serdevidamente integradas, sobre todo o trecho do transporte. Isso geralmente é possível,somente com um alto desempenho de cálculo. Por outro lado, com um balanço integral seobtém rapidamente uma equação simples que leva ao resultado desejado. A desvantagem doúltimo, porém, é a falta inerente de detalhes sobre as particularidades da tubulação.

a) Condição da continuidade (= constância da massa)

Consideremos uma tubulação onde o diâmetro aumenta:

Em um fluxo contínuo e constante a velocidade na parte mais larga é menor que na parte maisestreita. Através da lei da manutenção das massas podemos calcular os fluxos de massa, nos

dois pontos de controle 1 e 2:

.

Inserimos a definição do fluxo da massa,

; ,

obtemos diretamente a equação de continuidade:

ou, em outras palavras:

Para fluidos incompressíveis (líquidos) a expressão fica mais simples ainda, pois:

.

b) Equação de Bernoulli (balanço da energia por unidade de volume)

Primeiro um modelo bastante simples: um fluido idealizado que não mostre fricção interna,então o modelo do fluxo sem fricção. Esse fluido se move de um reservatório mais alto(estado 1) através da tubulação para um reservatório mais baixo (estado 2).

21 mm

u F m

4

2d F

222111 u F u F .const u F

21

2211 u F u F


35/254


35

Os dois estados são caracterizados pela velocidade do fluxo, também chamada de vazão, u, pela altura h e pela pressão p. Em caso de fluxo sem fricção (isto é, não há perdas de energia para fora) vale a lei da manutenção da energia (sempre relacionada ao volume, mostrado peloíndice sobrescrito, v ):

,

onde e .

Obtemos diretamente a equação de Bernoulli para o caso sem fricção (com g = aceleraçãogravitacional):

Sua aplicação nos estados 1 e 2 fornece:

.

Escrito como diferença:

,

com e .

Exemplo da sua aplicação: escoamento de um tanque de reservatório (simplificação: o níveldo fluido dentro do reservatório seja constante ao longo do processo).

.const p E E v

pot

v

cin

2

2

1u E vcin h g E

v

pot

.2

1 2 const ph g u

22

2

211

2

12

1

2

1 ph g u ph g u

02

1 22

2

1 ph g uu

21 hhh 21 p p p


36/254


36

Para o escoamento sem fricção obtemos diretamente:

.

Desta equação segue, para a velocidade do escoamento, u:

.

Isso vale tanto para o transporte sob pressão externa quanto para o transporte hidrostático.

Em casos reais, porém, temos que levar em consideração a fricção, pois os fluidos geralmentesão retidos dentro da tubulação. Por isso, adicionamos o termo da queda em pressão devido à

fricção, , ao lado esquerdo da equação:

.

.

Essa relação formará mais adiante a base para o dimensionamento de bombas.

Para a velocidade do fluxo sob fricção obtemos então:

.

2.5.2 Medição da vazãoPara o regulamento e o controle de processos químicos é preciso fazer medições diretas davazão, seja do fluxo de massa ou do fluxo de volume. A vazão é a terceira mais importantegrandeza a ser medida na engenharia química. A vazão, ou quantidade em fluxo, se mede e se

ph g u 22

1

h g pu

2

2

2

1

u p

ph g uu 222

1

2

1

ph g u 12

1 2

1

2

h g pu


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37

calcula através da velocidade média da corrente, (a seguir simplesmente: u). Uma vezobtida a velocidade u de um fluido da densidade , fluindo em um tubo da área transversal F ,daí podemos indicar as quantidades em fluxo:

Fluxo de volume = vazão de volumee

Fluxo de massa = vazão de massa.

Como já dito acima, a maioria dos fluxos aplicados é bastante rápida e turbulenta. Oequipamento para sua medição é geralmente uma sonda que é fixada centralizada dentro dotubo 7:

a) Medição direta do fluxo

O medidor de vazão tipo turbina 8 possui hoje uma tecnologia consagrada nas diversasaplicações para medição de vazão para líquidos e gases, principalmente onde são requeridos

precisão, confiabilidade e robustez, como também a melhor relação custo-benefício.As características principais são:

Utilização em processos industriais, laboratórios, contabilização e transferência decustódia. Exatidão melhor do que 0,5% para líquidos e 1% para gases. Vazões de 0,08 a 2.800 m³/h para líquidos e de 0,5 a 20.000 m³/h para gases. Conexões para processo tipo flangeadas, rosqueadas ou sanitárias. Tempo de resposta baixo, ideal para processos de bateladas.

Princípio de funcionamento:

O medidor de vazão tipo turbina consiste basicamente de um rotor, montado entre buchas emum eixo, que gira a uma velocidade proporcional à velocidade do fluido dentro do corpo do

medidor. Um sensor eletromagnético (pick-up) detecta a velocidade de giro do rotor gerandoum trem de pulsos que serão transmitidos para um indicador eletrônico que fornecerá umaleitura em vazão instantânea e totalização nas unidades de engenharia ou transmitindo umsinal analógico de 4 a 20 mA.

7 Medidores avançados aproveitam da vibração sinoidal do tubo, um efeito que considera conceitos avançados dahidrodinâmica. Site de partida recomendado: http://www3.emersonprocess.com/micromotion/tutor/portuguese8 http://www.hdtechsolucoes.com.br/auxiliar/catalogoturbina.pdf

u

u F V

u F m


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38

Fig. 9. Medição da vazão por turbina (em cima): modelo com leitor digital (esquerda)e mecânico (direita). Em baixo: medidor a palhetas (com eixo perpendicular à vazão).

Aplicações típicas

O medidor de vazão tipo turbina é bastante versátil. Hoje, ele é aplicado em medição deconsumo de combustíveis, nas indústrias químicas, petroquímicas, farmacêuticas, refinarias,

papeleiras, saneamento básico, tratamento e distribuição de água, alimentícia, geradoras deenergia elétrica, distribuidoras de gasolina, postos de abastecimentos de gás veicular, etc.Os processos industriais controlados por turbinas são:

Venda, contabilização ou apropriação de matéria-prima ou produto final. Transferência de custódia. Bateladas em processos industriais. Processos de mistura de líquidos ou gases. Automatização em processos e envasamento. Medição de consumo de combustíveis líquidos ou gasosos.

O medidor à turbina se destaca dos demais medidores, a serem apresentados a seguir, porqueregistra um valor integral do volume, . Desde o início da medição o aparelho

conta o volume percorrido pela tubulação e caso haja uma parada do fluxo, o contador guardaseu último valor.

Ao invés deste, os equipamentos descritos a seguir registram um volume diferencial, quer

dizer, a vazão momentânea, . Quando o fluxo pára, o mostrador destes aparelhos

ficará em zero. A informação sobre a vazão anteriormente medida se perde.

A base da medição da vazão pelos aparelhos apresentados a seguir, é a equação de Bernoulli,sem a contribuição geodésica (situação horizontal) e sem os termos de fricção:

V dt dt

dV V

t

dt

dV V


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39

.

Devemos tomar providência que em dois pontos de controle, 1 e 2, se têm diferentes

velocidades de fluxo, u1 e u2. Daí se mede como resposta a queda em pressão, p.

b) Registrador de velocidade via pressão dinâmica

É um método bastante simples, mas hoje menos usado. Baseia-se no fato de que um corpo,quando introduzido numa corrente, é envolto pelo fluido e em pelo menos um ponto avelocidade do fluido se torna zero. Este ponto é chamado de ponto de remanso ou deestagnação.

A partir da equação de Bernoulli obtemos com esse ponto (u2 = 0):

.

O termo é denominado de pressão dinâmica.

Mede-se então a diferença, p, e desta se calcula a velocidade do fluxo, u1.

Com o tubo de pressão dinâmica de Prandtl (esquema abaixo) pode-se medir diretamente a

diferença em pressão, p, que aqui se dá entre diferença de pressão p2 (= pressão total = pressão de estagnação = pressão dinâmica + pressão estática) e p1 (= pressão estática):

.

Calculamos a velocidade do fluxo por:

,

2

2

21

2

12

1

2

1 pu pu

21

2

12

1 p pu

2

12

1u

2

12

1u p

pu 2


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40

com , onde M = densidade do líquido dentro do tubo U manométrico.

Fig. 10. Tubo de pressão dinâmica segundo Prandtl, também conhecido como tubo de Pitot, aplicável em fluidos gasosos e líquidos em fluxo laminar.

É importante que o tubo de Prandtl (também conhecido como tubo de Pitot ) seja exatamentealinhado à corrente de escoamento, caso contrário se esperam grandes desvios, tanto namedição da pressão estática (na lateral do tubo) quanto da pressão total (na ponta do tubo).Mesmo se o tubo for perfeitamente alinhado, a medição da pressão estática geralmente éafetada com desvios positivos, pois a sua tomada de medição está sujeita aos componentestransversais do escoamento turbilhonado. Os vetores não direcionados do fluxo provocam, ao

mesmo tempo, um desvio negativo na medição da pressão de estagnação. O tubo forneceentão os melhores resultados, com fluxos rigorosamente laminares. Como é difícil garantirisso na prática, a escala no tubo U (manômetro) deve ser aferida, especialmente para ascorrentezas de maior velocidade.

Aplicação principal do tubo de Prandtl :

Monitoramento de fluxos contínuos (e constantes),

Controle de fluidos de refrigeração/aquecimento em trocadores de calor

Geradores de vapor e turbinas de energia hídrica.

Ele tem também uma famosa aplicação fora da produção industrial: o " Pitot " é o clássicovelocímetro dos aviões.

c) Passagem em estreitamento

Dentro de um estreitamento a velocidade do fluxo u aumenta (ver equação de continuidade).A pressão estática p, porém, diminui neste trecho - isso é o resultado da equação de Bernoulli 9.

9 Esse fato, aliás, explica também o efeito da sustentação numa asa de avião, pois o extradorso é mais curvado,

portanto o fluxo do ar fica mais rápido e a pressão fica reduzida. Essa diferença em pressão, no extradorso e nointradorso, afinal causa a força sustentadora e faz o avião voar. E, ainda, é o princípio de sucção em qualquertipo de borrifador, onde o líquido a ser borrifado é succionado pelo cano vertical, enquanto no seu topo o ar estásendo movido com alta velocidade.

h g p M


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41

No caso de fluxo sem fricção temos então as mesmas condições, nos pontos de controle 1 e 3, já que o diâmetro do tubo é idêntico nestes locais.

Os perfis de velocidade e da pressão têm então a seguinte forma:

Fig. 11. Perfil de velocidade e perfil de pressão

Agora olhamos nos pontos de balanço 1 e 2. No caso ideal, onde não tiver fricção, obtemos:

.

Com a equação de continuidade, , obtemos:

,

ou seja:

.

3

2

32

2

21

2

12

1

2

1

2

1 pu pu pu

21222

1uu p

2211 u F u F

1

2

12

2

12

1 F

F u p

1

22

2

1

1

F

F

pu


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42

Conhecem-se os diâmetros do tubo, F 1 e F 2, também a densidade do fluido. A velocidade dofluxo u1 se obtém da queda em pressão medida, p. Devido à "contração de jato" e à fricçãoreal, porém, precisamos de correções na prática. A contração de jato é um fenômeno que seobserva durante a passagem rápida de um fluido através de um estreitamento: o perfil de fluxomais estreito não se mede exatamente no ponto mais estreito da passagem, mas um pouco

depois (ver Fig. 12 b). Na prática se aprovaram especialmente as medições pelo tubo de Venturi 10 e dispositivos de blendas.

Fig. 12. Dispositivos de estreitamento:

a) Tubo de Venturi b) Blenda c) Bocal

Vantagem do tubo de Venturi: oferece pequena resistência adicional ao fluxo, então a quedade pressão causada pelo próprio instrumento é pequena.

Vantagem de blendas: são muito robustas e baratas.

d) Aparelhos com bóia (= rotâmetro)

Esses instrumentos servem para medir pequenas quantidades de fluxo (= fluxo lento). Trata-se

de um tubo transparente, de paredes retas e cônicas, na posição vertical, dentro do qual seencontra uma bóia pontiaguda. O fluido que vem de baixo passa pelo anel no espaço aberto,entre a parede fixa do tubo e a beirada superior da bóia. Mais alta a velocidade do fluido, maisalta a posição da bóia na qual ela entra em flutuação (posição estável). Ao contrário dosdispositivos de jato e blenda, a passagem mais estreita deste aparelho não é fixa, mas varia

junto à quantidade de matéria que passa por ela em determinado período, ou .

10 O tubo de Venturi também é o dispositivo usado como velocímetro na aviação (isto é, mede a velocidade que oavião tem em relação ao vento natural).

V m


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43

Fig. 13. Esquema do rotâmetro. O tubo cônico é feito de um material transparente(vidro, PVC, PMMA, etc.).

Importantes são as áreas circulares nos pontos de balanço 1 e 2, que se abrem entre o tubofixo e a bóia. Nestas temos sempre: ; isso levará a alguma simplificação adiante.

Fig. 14. Os pontos de balanço na bóia. ////// = área entre bóia e parede. À esquerda: fundo da bóia (fluido numa passagem larga;) À direita: topo da bóia (fluido numa passagem estreita).

Devido à forma cônica do tubo a área F 2 depende da posição da bóia:

, com C = constante do aparelho e h = altura relativa da bóia.

A leitura da altura relativa h é possível quando se estabelece um estado de flutuação (= bóia parada). Nesta situação se equilibram as forças:

a força da pressão K p, com direção para cima e

a forças gravitacional K g , reduzida pela força de sustentação K a.

,

onde , e .

21 F F

hC F 2

a g p K K K

p F K S p g m K S g g V K S a


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44

Fig. 15. Esboço da bóia, com os marcos construtivos e as variáveis usadas no cálculo. Neste esboço a área grifada ////// representa a área ocupada pelo topo da bóia.

.

F S = área da bóia que desloca o fluido, p = diferença de pressão entre os dois pontos de balanço, mS = massa da bóia, V S = volume da bóia, S = densidade da bóia, = densidade dofluido, g = aceleração gravitacional.

Com

e reorganizar obtemos a última equação de balanço na seguinte forma:

.

Como somente entram valores constantes (para um dado fluido), então podemos afirmar que adiferença em pressão também é uma constante do aparelho.

A equação de Bernoulli nos dois pontos de balanço fornece uma relação entre a diferença em

pressão e as velocidades do fluxo:

.

Com a condição de continuidade, , podemos escrever para a velocidade dofluxo u2 (isto é, no anel estreito):

g V g m p F S S S

S

S S

mV

S S

S

F

g m p

1

2122212

1uu p p p

2211 u F u F


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45

.

Devido a podemos escrever isso, com boa aproximação:

.

Conforme essa equação a velocidade do fluxo também é praticamente uma constante. Mesmoassim, conseguimos medir a quantidade do fluido, pelo fato que não medimos u2, mas sim, a

vazão de volume, .

.

Nesta inserimos as expressões que achamos para u2 , F 2 e p e obtemos:

.

E a vazão de massa, se dá como:

.

e) Outros medidores do fluxo

Ainda mencionamos outros medidores de fluxo e suas aplicações típicas. Cada um requer deuma tecnologia avançada.

Medidor vórtex (para gases e líquidos)

Medidor magnético (para líquidos cuja condutividade < 0,1 µS.

m-1

) Medidor Coriolis (medição direta da vazão mássica de líquidos).

2

1

2

2

1

2

F

F

pu

21 F F

pu

2

2

V

22 u F V

S S

S

F

g m

hC V

1.

2

S

S

S

S

F

g mhC V .

2

m

S

S S

S

F

g mhC V m .

2


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46

2.5.3 Transporte de líquidos via bombasEm geral, entende-se por transporte o deslocamento de fluidos de um estado de baixa energia

potencial (= baixa altura ou baixa pressão), a um nível de energia mais alto. Neste capítulo

vamos fazer a restrição de fluidos líquidos, enquanto o transporte de gases, devido às suas particularidades, será tratado aparte, no cap. 2.7.

O líquido é transportado de um recipiente de estoque 1 (u1 = 0, quer dizer, desconsideramos oabaixamento do nível durante a vazão), via uma tubulação com perdas por fricção, até o localdo consumidor 2 (geralmente um reator químico ou um outro recipiente). Isso acontece com avelocidade u2 = u, tudo conforme o esboço a seguir.

Fig. 16.

Esquema de uma tarefa de transporte

Para a finalidade de transporte usa-se geralmente uma bomba que proporciona ao sistema aenergia externa/unidade de volume, .

Operacoes Unitarias 12 2015

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