Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique,...

Operações com Conjuntos Nebulosos

Nossa vida é desperdiçada em detalhes.Simplifique, simplifique.

Henry Thoureau

Adriano Cruz ©2002NCE e IM/UFRJ

[email protected]

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Operações com Conjuntos Nebulosos 2

Sumário

Operações de Zadeh Normas T Normas S Propriedades de Conjuntos Nebulosos Entropia Nebulosa


Operacões de Zadeh

Lofty Zadeh definiu funções para as operações básicas entre conjuntos nebulosos

Estas operações reduzem-se as operações booleanas quando utilizamos conjuntos nitidamente definidos.


Operação de União

União: a função de inclusão U(x) da união dos conjuntos A e B (AB) é definida como

Xxxxx BA )),(),(max()(

))(),(max( xx BA


Operação de Interseção

Interseção: a função de inclusão (x) da interseção dos conjuntos A e B (AB) é definida como

Xxxxx BA )),(),(min()(

))(),(min( xx BA


Operação de Complemento

Complemento: a função de inclusão C(x) do complemento de um conjunto A é definida como

Xxxx AA ),(1)(

)(1 xA)(xA


Por que estes operadores?

Para conjuntos nitidamente definidos as operações básicas estão bem definidas, mas para conjuntos nebulosos esta definição é

nebulosa As operações com conjuntos nebulosos devem

obedecer a um conjunto de regras que as generalizam e são chamadas de normas T e normas S

Normas T generalizam a operação de Interseção e Normas S as de união


Operação de Interseção

Qualquer função que seja empregada para representar interseção deve respeitar as Normas T

Normas T mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir

Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro funções. Para facilitar vamos representá-las por a, b, c e d.


Normas T

bdeacse

monotônicabaTdcTT

aassociativcbTaTcbaTTT

neutroelementoaaTT

comutativaabTbaTT

TT

),(),(5.

)],(,[]),,([4.

)1,(3.

),(),(2.

0)0,0(1.


Normas T - comentários

Pode ser provado que a operação de mínimo é uma norma T

A operação de produto também é uma norma T

Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas

Pode ser provado que para qualquer norma T temos

)](),(min()](),([ xxxxT BABA


Mínimo, norma T?

bdeacse

badcT

cba

cbacbaT

aaT

abbaT

T

),min(),min(5.

),,min(

)],min(,min[]),,min[min(4.

)1,min(3.

),min(),min(2.

0)0,0min(1.


Operação de União

Qualquer função que seja empregada para representar união deve respeitar as Normas S

Normas S mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir

Sejam A(x), B(x), C(x) e D(x) quatro conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos chamá-los de a,b,c e d.


Normas S

bdeacse

monotônicabaSdcSS

aassociativcbSaScbaSSS

neutroelementoaaSS

comutativaabTbaSS

SS

),(),(5.

)],(,[]),,([4.

)0,(3.

),(),(2.

1)1,1(1.


Normas S - comentários

Pode ser provado que a operação de máximo é uma norma S

Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas

A operação de soma não satisfaz a norma S.1 e não pode ser usada

Pode ser provado que para qualquer norma S temos

)](),(max()](),([ xxxxS BABA


Máximo, norma S?

bdeacse

badcS

cba

cbacbaS

aaS

abbaS

S

),max(),max(5.

),,max(

)],max(,max[]),,max[max(4.

)0,max(3.

),max(),max(2.

1)1,1max(1.


Operação de soma limitada, norma S?

aaaS

comutativaababbabaS

S

bababaBA

003.

2.

111111.

),(


Operação de soma limitada, norma S?

cddcabba

dcbabdacSeS

abcbcacabcba

abcbcacabcba

bccbabccba

cabbacabbaS

1,,,,,5.

)()(

)()(4.


Outros testes

),min(),(5.

)1,(),(5.

),(),(2.

)1,(),(5.

babaTT

bbTabTT

abTbaTT

aaTbaTT

Provar que T(a,b)<= min(a,b)


Pairs of T-norms and S-norms

T-norm - Drastic Product:

S-norm - Drastic Sum:

1,0

1),max(),min(),(

yx

yxifyxyxDP

0,1

0),min(),max(),(

yx

yxifyxyxDS



T-norm - Bounded Difference:

S-norm - Drastic Sum:

)1,0max(),( yxyxBD

),1min(),( yxyxBS



T-norm – Einstein Product:

S-norm - Einstein Sum:

)]([2),(

xyyxxy

yxEP

yxyx

yxES.1

),(



T-norm – Algebraic Product:

S-norm - Algebraic Sum:

xyyxAP ),(

xyyxyxAS ),(



T-norm – Hamacher Product:

S-norm - Hamacher Sum:

xyyxxy

yxHP

),(

xyxyyx

yxHS

12

),(



T-norm – Dubois-Prade:

S-norm – Dubois-Prade:

),,max(),(

yxpxy

yxDPrT

)1,1,max(),,1min(

),(yxp

yxpxyyxyxDPrS

Obs. p is a parameter that ranges from 0 to 1.


Dubois-Prade Operators

When p=1 – Dubois-Prade T-norm becomes the Algebraic

Product (xy)– Dubois-Prade S-norm becomes the Algebraic

Sum (x+y-xy) When p=0

– Dubois-Prade T-norm becomes the min(xy)– Dubois-Prade S-norm becomes the max(xy)



T-norm – Yager:

S-norm – Yager:

)])1()1[(,1min(1),( 1 pppT yxyxY

)][,1min(),( 1 pppT yxyxY

Obs. p is a parameter that ranges from 0 to .


Yager Operators

When p=1.0 – Yager T-norm becomes the bounded

difference (max(0,x+y-1))– Yager S-norm becomes the bounded sum

(min(1,x+y))

When p->– Yager T-norm converges to min(x,y)– Yager S-norm converges to max(x,y)


Propriedades de Conjuntos Nebulosos

)()()(

)()()(

)()(

)()(

CABACBA

CABACBAvidadeDistributi

CBACBA

CBACBAidadeAssociativ

ABBA

ABBAdadeComutativi


Propriedades de Conjuntos Nebulosos

AXA

XXA

A

AAIdentidade

AAA

AAAiaIdempotênc

BABA

BABAMorganDe


Verificando propriedades

2),min(

),min(

bababa

abseb

baseaba

Lembrar que

e

2),max(

),max(

bababa

absea

basebba



Vamos verificar a propriedade de Absorção

)()](),(min(),(max[

)(

xxxx

ABAA

ABAA

2

22)(

2baba

ababa

a

BAA

babaBA



4

32

22

3

)(

babababa

babababa

BAA

aBAA

bababababaSe

)(4

)()()(3



aBAA

bababababase

babababaBAA

)(4

)()()(3

4

3)(


Leis de Aristóteles

Lei da não contradição: Estabelece que um elemento ou pertence a um conjunto ou ao seu complemento.

Como a interseção entre um conjunto e seu complemento pode não ser vazia temos o seguinte resultado

AA


Leis de Aristóteles

Lei da exclusão do meio: Estabelece que a união de um conjunto ao seu complemento fornece o conjunto Universo

O resultado pode não ser o universo domínio

XAA


Interseção entre conjuntos

adultosNão adultos

adultonãoadulto


Entropia Nebulosa

A entropia de um conjunto é definida pela fórmula

c refere-se a uma contagem (adição ou integração) sobre o suporte do conjunto.

Observar que para um conjunto nítido o numerador é sempre 0 e a entropia de um conjunto nítido é sempre igual a 0.

)(

)()(

AAc

AAcAE


Entropia Nebulosa

adultosNão adultos

adultonãoadulto

A entropia dos conjunto dos adultos é igual a

1

10 20 30

14.035

5)(

3552020)(

5)(

AE

AAc

AAc

Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique,...

Documents

Transcript of Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique,...