Ondas Electromagnéticasmines/OpE/Acetatos/Ondas... · 2007-11-05 · 2 OpE 0708 OnEl 3 Ondas...
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1
Faculdade de Engenharia
Ondas Electromagnéticas
OpE - MIB 2007/2008
OpE 0708OnEl 2
Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo
Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas
Electrostática e Magnetostática à 8 aulas
Ondas Electromagnéticas à 6 aulas
Óptica Geométrica à 3 aulas
Fibras Ópticas à 3 aulas
Lasers à 3 aulas
2
OpE 0708OnEl 3
Faculdade de EngenhariaOndas Electromagnéticas (6 aulas)
Equações de Maxwell
Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes
Campos harmónicos
Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas
Incidência normal
Incidência oblíqua
Polarizações perpendicular e paralela
Reflexão interna total
Princípio de funcionamento dos guias de onda
Interferência
Difracção
(1ª aula)
(2ª aula)
(3ª aula)
(6ª aula)
(5ª aula)
(4ª aula)
OpE 0708OnEl 4
Faculdade de EngenhariaIncidência oblíqua de uma onda TEM numa interface plana
onda TEMà naHE ˆ⊥⊥rr
ii HErr
e estão no plano na⊥
meio 1( )111 ,, σµε
z
x
meio 2( )222 ,, σµε
iθ
tθrθ
ntatransmitida
nia
incidente
nra
reflectida
2. paralelo ao plano de incidência
iEr
iEr
yrajk
ii ueEE ni ˆˆ0
1rr
⋅−=
( )zixirajk
ii uueEE ni ˆsinˆcosˆ0
1 θθ −= ⋅−rr
polarização perpendicular
polarização paralela
( ) yrajk
izixirajk
ii ueEuueEE nini ˆˆsinˆcos ˆ2,0
ˆ1,0
11rrr
⋅−⋅− +−= θθ
polarização perpendicularpolarização paralela
1. perpendicular ao plano de incidência
Caso geral:
3
OpE 0708OnEl 5
Faculdade de EngenhariaPolarizações perpendicular e paralela – convenção
polarização perpendicular
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
polarização paralela
componentes do campo eléctrico tangentes à interface mantêm o sentido
OpE 0708OnEl 6
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – campos eléctrico e magnético
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
incidente
zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
yrajk
ii ueEE ni ˆˆ0
1rr
⋅−=
inii EaHrr
×= ˆ1
1η( )xizi
rajki uueE
ni ˆcosˆsinˆ
1
0 1 θθη
−= ⋅−r
reflectida
zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=
yrajk
rr ueEE nr ˆˆ0
1rr
⋅−=
rnrr EaHrr
×= ˆ1
1η( )xizi
rajkr uueE
nr ˆcosˆsinˆ
1
0 1 θθη
+= ⋅−r
zixi uu ˆcosˆsin θθ −=
transmitida
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
yrajk
tt ueEE nt ˆˆ0
2rr
⋅−=
tntt EaHrr
×= ˆ1
2η( )xtzt
rajkt uueE
nt ˆcosˆsinˆ
2
0 2 θθη
−= ⋅−r
relações entre obtidas
a partir das condições fronteira000 e, tri EEE
importante
4
OpE 0708OnEl 7
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – campos eléctrico e magnético
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
condições fronteira àcontínuotanE
contínuotanH ( )0se =SJr
em 0=z tri EEErrr
=+
txrxix HHH =+
xjkt
xjkr
xjki
tii eEeEeE θθθ sin0
sin0
sin0
211 −−− =+
2
sin0
1
sin0
sin0
211 coscoscosηθ
ηθθ θθθ xjk
ttxjk
irxjk
iitii eEeEeE −−−
−=+−
ti kk θθ sinsin 21 =
000 tri EEE =+
( ) tt
iriE
EE θη
θη
coscos1
2
000
1
=−
OpE 0708OnEl 8
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
000 tri EEE =+
( ) tt
iriE
EE θη
θη
coscos1
2
000
1
=−
ti
ti
i
r
EE
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
0
0
+−
=
ti
i
i
t
EE
θηθηθηcoscos
cos2
12
2
0
0
+=
ti
ti
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
+−
=Γ⊥
ti
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2
+=⊥
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
5
OpE 0708OnEl 9
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
ti
ti
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
+−
=Γ⊥
ti
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2
+=⊥
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
notas
1. ⊥⊥ =Γ+ τ1 (tal como para incidência normal)
2. é possível que 0=Γ⊥ ti θηθη coscos 12 =
⊥= Bi θθ(ângulo de Brewster)
ti nn θθ sinsin 21 =
( )221
12212
1
1sin
µµεµεµ
θ−
−=⊥B
3. se meio 2 for condutor perfeito, 00 =tE1
0
−=Γ=
⊥
⊥τ
21 µµ ≠só possível quando
OpE 0708OnEl 10
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – campos eléctrico e magnético
incidente
zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
( )zixirajk
ii uueEE ni ˆsinˆcosˆ0
1 θθ −= ⋅−rr
yrajki
i ueE
H ni ˆˆ
1
0 1rr
⋅−=η
reflectida
zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=
yrajkr
r ueE
H nr ˆˆ
1
0 1rr
⋅−−=η
zixi uu ˆcosˆsin θθ −=
transmitida
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
( )ztxtrajk
tt uueEE nt ˆsinˆcosˆ0
2 θθ −= ⋅−rr
yrajkt
t ueE
H nt ˆˆ
2
0 2rr
⋅−=η
relações entre obtidas
a partir das condições fronteira000 e, tri EEE
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( )zixirajk
rr uueEE nr ˆsinˆcosˆ0
1 θθ += ⋅−rr
6
OpE 0708OnEl 11
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – campos eléctrico e magnético
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
condições fronteira àcontínuotanE
contínuotanH ( )0se =SJr
em 0=z txrxix EEE =+
tri HHHrrr
=+
xjktt
xjkir
xjkii
tii eEeEeE θθθ θθθ sin0
sin0
sin0
211 coscoscos −−− =+
2
sin0
1
sin0
sin0
211
ηη
θθθ xjkt
xjkr
xjki
tii eEeEeE −−−
=−
ti kk θθ sinsin 21 =
( ) ttiri EEE θθ coscos 000 =+
( )2
000
1
1ηη
tri
EEE =−
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
OpE 0708OnEl 12
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão
it
it
i
r
EE
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
0
0
+−
=
it
i
i
t
EE
θηθηθηcoscos
cos2
12
2
0
0
+=
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( ) ttiri EEE θθ coscos 000 =+
( )2
000
1
1ηη
tri
EEE =−
it
it
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12|| +
−=Γ
it
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2|| +
=
7
OpE 0708OnEl 13
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão
notas
1.
=Γ+
i
t
θθ
τcoscos
1 ||||
2. é possível que 0|| =Γ it θηθη coscos 12 =
||Bi θθ =(ângulo de Brewster)
ti nn θθ sinsin 21 =
( )221
2112||
2
1
1sin
εεεµεµ
θ−
−=B
3. se meio 2 for condutor perfeito, 00 =tE1
0
||
||
−=Γ
=τ
21 µµ =quando
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
it
it
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12|| +
−=Γ
it
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2|| +
=
( )21||
11
sinεε
θ+
=B
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
OpE 0708OnEl 14
Faculdade de Engenharia
( ) yxjk
iiyrajk
i uezkEjueE ini ˆcossin2ˆ sin10
ˆ0
11 θθτ −⊥
⋅−⊥ Γ+=
r
Campo eléctrico no meio 1 – polarização perpendicular
ri EEErrr
+=1
⊥⊥ =Γ+ τ1
( )[ ] yxjkzjkzjk
i ueeeEE iii ˆsincoscos01
111 θθθτ −⊥
−⊥⊥ Γ+Γ−=
r
onda em propagaçãosegundo
onda em propagação segundo x,com amplitude dependente de z
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
yrajk
ryrajk
i ueEueE nrni ˆˆ ˆ0
ˆ0
11rr
⋅−⋅− +=
zxra
zxra
iinr
iini
θθθθ
cossinˆcossinˆ
−=⋅+=⋅
r
r
( ) yxjkzjkzjk
iyrajk
i ueeeEueE iiini ˆˆ sincoscos0
ˆ0
1111 θθθτ −−⊥
⋅−⊥ −Γ+=
r
nia
8
OpE 0708OnEl 15
Faculdade de EngenhariaIncidência num condutor ideal – polarização perpendicular
meio 1
z
x
condutor ideal
iθ
rθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
( ) yzjkzjkxjk
i ueeeEE iii ˆcoscossin01
111 θθθ −= −−r
máximos:
mínimos:
( )i
MAX kn
zθπ
cos212
1
+=
ikn
zθ
πcos1
min =
01 2 iMAXEE =
r
0min1 =E
r
( )∞=2σ0
1=
−=Γ
⊥
⊥
τ
02 =Er
( ) yixjk
i uzkeEj i ˆcossin2 1sin
01 θθ−−=
meio 2 condutor ideal
onda em propagação segundo x,com amplitude dependente de z
e
e
OpE 0708OnEl 16
Faculdade de EngenhariaCampo eléctrico no meio 1 – polarização paralela
ri EEErrr
+=1
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( ) ( )zixirajk
rzixirajk
i uueEuueE nrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ0
ˆ0
11 θθθθ ++−= ⋅−⋅−rr
=Γ+
i
t
θθ
τcoscos
1 ||||
( )
( ) ( )zixirajk
izixirajk
i
zixirajk
ii
t
uueEuueE
uueE
nrni
ni
ˆsinˆcosˆsinˆcos
ˆsinˆcoscoscos
ˆ0||
ˆ0||
ˆ0||
11
1
θθθθ
θθθθ
τ
+Γ+−Γ−
−=
⋅−⋅−
⋅−
rr
r
( )
( )( ) zi
zjkzjkxjki
xizjkzjkxjk
i
zixirajk
ii
t
ueeeE
ueeeE
uueEE
iii
iii
ni
ˆsin
ˆcos
ˆsinˆcoscoscos
coscossin0||
coscossin0||
ˆ0||1
111
111
1
θ
θ
θθθθ
τ
θθθ
θθθ
+Γ+
−Γ+
−=
−
−
⋅−rr
( )
( )( ) zii
xjki
xiixjk
i
zixirajk
ii
t
uzkeE
uzkeEj
uueE
i
i
ni
ˆsincoscos2
ˆcoscossin2
ˆsinˆcoscoscos
1sin
0||
1sin
0||
ˆ0||
1
1
1
θθ
θθ
θθθθ
τ
θ
θ
−
−
⋅−
Γ+
Γ+
−=r
9
OpE 0708OnEl 17
Faculdade de EngenhariaCampo eléctrico no meio 1 – polarização paralela
ondas em propagação segundo x,com amplitudes dependente de z
onda em propagaçãosegundo nia
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( )zixirajk
ii
t uueEE ni ˆsinˆcoscoscos ˆ
0||11 θθ
θθ
τ −= ⋅−rr
( ) xiixjk
i uzkeEj i ˆcoscossin2 1sin
0||1 θθθ−Γ+
( ) ziixjk
i uzkeE i ˆsincoscos2 1sin
0||1 θθθ−Γ+
OpE 0708OnEl 18
Faculdade de Engenharia
condutor ideal
Incidência num condutor ideal – polarização paralela
máximos de E1x:( )
iMAX
nz
θβπ
cos212
1
+=
i
nz
θβπ
cos1min =
iiMAXx EE θcos2 01 =
0min1 =xE
( )∞=2σ0
1
||
||
=
−=Γ
τ
02 =Er
meio 2 condutor ideal
ondas em propagação segundo x,com amplitudes dependente de z
meio 1
z
x
iθ
rθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
( ) ( )[ ]zirajkrajk
xirajkrajk
i ueeueeEE nrninrni ˆsinˆcos ˆˆˆˆ01
1111 θθrrrrr
⋅−⋅−⋅−⋅− +−−=
( )( ) zii
xjki
xiixjk
i
uzkeE
uzkeEji
i
ˆsincoscos2
ˆcoscossin2
1sin
0
1sin
0
1
1
θθ
θθθ
θ
−
−
−
−=
mínimos de E1x: e
e
10
OpE 0708OnEl 19
Faculdade de Engenharia
condutorideal
Guias de onda metálicos
meio 1
z
x
iθ
rθ
y
polarização perpendicular:ik
nz
θπ
cos1
=01 =Er
( ) yixjk
i uzkeEjE i ˆcossin2: 1sin
011 θθ−−=⊥
r
( )( ) zii
xjki
xiixjk
i
uzkeE
uzkeEjEi
i
ˆsincoscos2
ˆcoscossin2:||
1sin
0
1sin
01
1
1
θθ
θθθ
θ
−
−
−
−=r
em
polarização paralela:ik
nz
θπ
cos1
=01 =xE em
para ambas polarizações, um plano condutor paralelo ao plano xy
poderia ser colocado em , sem alterar o campo no meio 1ik
nz
θπ
cos1
= ikn
zθ
πcos1
=
OpE 0708OnEl 20
Faculdade de Engenharia
condutorideal
Guias de onda metálicos
meio 1
z
x
iθ
rθ
y
i
nz
θβπ
cos1
=
onda electromagnética é guiada
pelas duas superfícies condutoras
princípio de funcionamento dos guias de onda metálicos
será possível guiar uma onda electromagnética
com meios dieléctricos?
11
OpE 0708OnEl 21
Faculdade de EngenhariaGuias de onda dieléctricos
dieléctrico 1
iθ
rθ
caso geral:
em cada incidência parte da onda é transmitida para o dieléctrico 2
ao fim de alguma distância já a onda no dieléctrico
interior se atenuou consideravelmente
a solução seria garantir que não há
energia transmitida para o meio 2
dieléctrico 2dieléctrico 2
no caso geral, materiais dieléctricos não permitem conduzir
ondas electromagnéticas de forma eficiente
será isto possível?
OpE 0708OnEl 22
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectidati nn θθ sinsin 21 =
21 nn >
Lei de Snell da refracção
it θθ >
Ângulo crítico
não há onda transmitida para o meio 2ci θθ ≥
º90quetal == tic θθθ1
2arcsinnn
c =θ
Reflexão interna total
cit nn
nn
θθθ sinsinsin2
1
2
1 ≥=
1sin ≥tθ 1sinsin1cos 22 −±=−±= ttt j θθθ
12
OpE 0708OnEl 23
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectidaReflexão interna total
ti
ti
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
+−
=Γ⊥it
it
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12|| +
−=Γ
1sin ≥tθ
1sincos 2 −±= tt j θθ
Meios não magnéticosεµ
η 0=
rn ε=
n0η
=
ti
ti
nnnn
θθθθ
coscoscoscos
21
21
+−
=Γ⊥
Coeficientes de reflexão
it
it
nnnn
θθθθ
coscoscoscos
21
21|| +
−=Γ
( )( ) 1sincos
1sincos
2221
2221
2
1
2
1
−±
−=Γ⊥
inn
i
inn
i
jnn
jnn
θθ
θθ m ( )( ) 1sincos
1sincos
2212
2212
||
2
1
2
1
−±
−±−=Γ
inn
i
inn
i
jnn
jnn
θθ
θθ1|| =Γ=Γ⊥
OpE 0708OnEl 24
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total – campos evanescentes
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectida
1sincos 2 −±= tt j θθ
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
rajk nter
⋅− ˆ2
onda que se propaga segundo +x
amplitude decresce exponencialmente com z
tt xjkzk ee θθ sin1sin 22
2 −−−
( )zxjk tte θθ cossin2 +−
dependência espacial dos campos no meio 2:
campos evanescentes
13
OpE 0708OnEl 25
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total – campos no meio 2
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectidaPolarização perpendicular
−+−= −−−
xtztxjkzk
tt ujueeEE tt ˆ1sinˆsin 2sin1sin0
22
2 θθθθr
Polarização paralela
yxjkzk
tt ueeEE tt ˆsin1sin0
22
2 θθ −−−=r
−+= −−−
xtztxjkzkt
t ujueeE
H tt ˆ1sinˆsin 2sin1sin
2
0 22
2 θθη
θθr
yxjkzkt
t ueeE
H tt ˆsin1sin
2
0 22
2 θθ
η−−−=
r
{ } xzk
tt
tttmed ueE
HES t ˆsin2
Re21 1sin
2
20*
,
22 −−=×= θθ
η
rrr
{ } xzk
tt
tttmed ueE
HES t ˆsin2
Re21 1sin
2
20*
,
22 −−=×= θθ
η
rrr
energia propaga-se ao longo do guia, não havendo perdas para o dieléctrico 2
OpE 0708OnEl 26
Faculdade de EngenhariaExercício
A região do espaço definida por encontra-se preenchida com um material não magnético e nela
propaga-se uma onda plana de frequência 1.5 GHz caracterizada pelo fasor
Esta onda incide obliquamente na interface com a região , a qual está preenchida com ar.
a) Classifique o estado de polarização desta onda relativamente ao plano de incidência.
b) Determine a direcção de propagação e o ângulo de incidência.
c) Determine a permitividade relativa do meio 1.
d) Obtenha o fasor do campo magnético desta onda.
e) Determine os coeficientes de reflexão e de transmissão.
f) Obtenha os fasores dos campos eléctricos da onda reflectida e da onda no ar.
( ) ( ) ( )V/mˆ, 3440 z
yxji ueEyxE +−= π
r
0<y
0>y
14
OpE 0708OnEl 27
Faculdade de EngenhariaPróxima aula
4ª feira
Incidência em múltiplas interfaces