OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 4º e 5º Ano FASE 1 1) Em um … · Então o total de músicos que...

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA – 4º e 5º Ano

FASE 1

1) Em um prédio de quatro andares, moram Ana, Bia, Lia e Eva. Cada uma vive em um andar diferente:

Ana mora em um andar de número ímpar;

Eva, no mais alto;

Bia não vive logo abaixo de Ana e Lia e Ana não moram no andar mais baixo.

Quem vive no terceiro andar?

Resposta: Ana

Solução: Chamaremos os andares de 1, 2, 3 e 4.

De acordo com as informações, podemos concluir que Eva mora no andar 4, pois

é o mais alto.

Lia e Ana não moram no andar mais baixo, então sobra para elas o 2 e o 3.

Como Ana mora em um andar de número ímpar, é o andar 3 e

consequentemente Lia mora no andar 2. Assim, sobra para Bia o andar 1.

Quem mora no terceiro andar é Ana

2) A figura abaixo é a imagem de um relógio refletida em um espelho. Que

horas marca o relógio?

Resposta: 8h15minutos

Solução: Para se verificar a hora certa, basta vermos o relógio em frente ao espelho, quando os ponteiros ficam ao contrário.

Logo, são 8h15min

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2015

3) No primeiro ano em que resolveu plantar milho, um agricultor colheu

apenas uma saca desse grão. No ano seguinte, sua produção dobrou. No

terceiro, ele colheu o dobro do ano anterior. Se a produção continuar dobrando a

cada ano, qual será o número de sacas obtidas no décimo ano?

Resposta: 512 sacas

Solução: Para verificarmos as produções, que dobram a cada ano, podemos

construir um quadro com esses valores, iniciando no ano 1 até o ano 10.

No décimo ano foram colhidas 512 sacas de grãos.

4) Numa escola, há duas turmas de 5.ª série. Em uma, foram matriculados

35 alunos e na outra, 13. Quantos alunos deverão passar da primeira para a

segunda turma para que as duas fiquem com o mesmo número de estudantes?

Resposta: 11 alunos

Solução: Para que as duas turmas tenham a mesma quantidade de alunos,

devemos soma-los e em seguida dividir por 2, para saber quantos alunos devem

ficar em cada classe. Então, 35 +13 = 48 alunos. Logo, cada classe deve ficar

com 24. Como na primeira turma há 35 alunos, devem passar 11 alunos para a

outra classe para que ambas fiquem com 24 alunos.

5) Qual é o décimo terceiro termo da sequência 2, 5, 8, 11 ... ?

Resposta: 38

Solução: A sequência é formada somando-se 3 a cada número para se obter o

seguinte. Então, a sequência com 13 números será:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38

O décimo terceiro número é 38.

6) Um agricultor que havia plantado 100 hectares em um ano, triplicou essa

área no ano seguinte. Depois disso, no outro ano, ele reduziu a plantação à

metade e, no quarto ano, triplicou a área novamente. Qual foi a área em

hectares plantada no último ano?

Resposta: 450 hectares

Solução: Seguindo a sequência apresentada, a plantação ficou da seguinte

forma:


No quarto ano, a plantação foi de 450 hectares.

7) Maria, João e Pedro tem juntos 300 balas. Maria tem 2/5 desse total,

João tem 1/3 e Pedro tem o restante. Quantas balas Pedro tem?

Resposta: 80 balas.

Solução: O total é 300 balas. Maria tem 2/5 dessa quantidade, ou seja, tem 120

balas.

João tem 1/3 dessas balas, ou seja, 100 balas.

Pedro tem o restante, ou seja, 300 – 120–100= 80 balas.

Pedro tem 80 balas.

8) Qual é o resto da divisão de 2543 por 35?

Resposta: 23

Solução:

9) Qual o resultado de 1001 x 200 + 1001 x 2?

Resposta: 202202

Solução: Em uma expressão numérica, inicia-se pelas multiplicações e divisões

e depois as adições e subtrações.

Então, 1001 x 200 + 1001 x 2 resulta em

200200 + 2002 = 202202

10) Seu Francisco vive em uma chácara com os dois filhos, uma nora, dois

netos, uma vaca, cinco porcos, dez galinhas, dois gatos e três cachorros.

Quantas pernas e patas há, ao todo, na chácara?


Resposta: 76 pernas e patas.

Solução: Contemos as pernas ou patas da seguinte forma:

11) Qual é o número que está escondido atrás dos pedaços de papel?

Resposta: 2845.

Solução: Fazendo o primeiro cálculo temos que 3001 – 101 = 2900.

Então, devemos encontrar um número que somado a 55, resulte em 2900.

Fazendo 2900 – 55, temos o valor de 2845.

O valor é 2845.

12) Em um concurso musical, estão inscritos quatro solistas, três duetos, dois

trios e dois quartetos. Quantos músicos vão fazer parte desse concurso?

Resposta: 24 músicos

Solução: Os solistas são sozinhos, ou seja, são 4 pessoas.

Os duetos são compostos por duas pessoas, ou seja 3 × 2 = 6 pessoas.

Os trios são compostos por três pessoas, ou seja, 2 × 3= 6.

Os quartetos são compostos por quatro pessoas, ou seja, 2 × 4 = 8

Então o total de músicos que participarão é 4 + 6 + 6 + 8= 24 músicos



FASE 2

1) No dia seguinte ao seu aniversário, Marta disse: "Depois de amanhã é

quarta-feira". Em que dia da semana foi o aniversário dela?

A Domingo

B Segunda feira

C Terça feira

D Quarta feira

E Quinta feira

F Sexta feira

G Sábado

Resposta: A

Solução: Se depois de amanhã é quarta-feira, hoje é segunda-feira.

Então foi em uma segunda-feira que Marta fez a afirmativa. Se foi um dia depois

de seu aniversário, então ela fez aniversário no domingo.

O aniversário de Marta foi em um domingo.

2) Uma escola vai levar 254 alunos para um passeio. Eles serão acomodados

em ônibus de turismo, cada um com 34 lugares. Quantos professores poderão

acompanhar a excursão sem que seja necessário alugar mais um ônibus?

Resposta: 18 professores

Solução: Ao dividirmos 254 por 34, obtemos como resultado 7, que é a

quantidade necessária de ônibus e ainda temos como resto 16. Então

precisamos de mais um ônibus para colocar esses 16 alunos.

Nesse oitavo ônibus irão os 16 alunos, restando então 18 lugares, a fim de

serem ocupados pelos professores.

3) Esta pirâmide de números foi preenchida seguindo-se uma certa lógica.

Sendo assim, complete o restante da pirâmide e responda: qual deve ser o valor

de A?

Resposta: 2

Solução: Deve ser feita a subtração entre os dois números próximos para se

obter o número que vem acima.


Assim, a pirâmide preenchida ficaria da seguinte forma:

O valor de A é 2.

4) Qual é o menor número de cinco algarismos em que todos eles são

diferentes entre si?

Resposta: 10234

Solução: O primeiro algarismo deve ser o menor possível, que é 1, pois o 0 é

inviável.

Como não pode haver repetição, o segundo algarismo é o 0, para o terceiro, a

opção é o 2, depois o 3 e por fim o 4.

O menor número de 5 algarismos, sem repetição é 10234.

5) Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou

diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x+y+z é:

Resposta: 37

Solução: Observando-se a terceira linha percebe-se que a soma é 34.

Assim, pode-se encontrar o valor de x, observando a diagonal, na qual 16 + x +

7 + 1 = 34. Então o valor de x é 10.

Observando-se a terceira coluna, pode-se obter o valor de z, pois 2 + 11 + 7 + z

= 34. Então, z = 14.

Observando-se a outra diagonal, podemos calcular o valor de y, pois y + 11 + 6

+ 4= 34. Então, y = 13.

Então, x + y + z = 10 + 13 + 14 = 37

O valor de x + y + z é 37


6) Maria digitou um número em sua calculadora, dividiu-o por 12, subtraiu

31 do total, multiplicou o resultado por 18 e obteve o número 54. O número

digitado foi:

Resposta: 408

Solução: Para encontrarmos o número digitado, basta fazermos a operação

inversa, começando pelo resultado final, até chegarmos ao número inicial.

54 : 18 = 3

3 + 31 = 34

34 x 12 = 408

O número que Maria digitou foi 408

7) Uma pizza tem 12 pedaços. Se Maria comeu 3/4 dessa pizza, quantos

pedaços comeu?

Resposta: 9 pedaços

Solução: Um quarto da pizza seriam 3 pedaços, então, 3/4 dessa pizza são 9

pedaços.

8) Numa rua são colocados postes a uma distância de 50 m um do outro.

Também são colocadas lixeiras a uma distância de 42 m uma da outra. Se no

início da rua uma lixeira e um poste estão juntos, após quantos metros haverá

novamente um poste e uma lixeira juntos?

Resposta: 1050 m.

Solução: Para que o poste e a lixeira coincidam, devem estar a uma mesma

distância do ponto inicial, ou seja, um múltiplo de 50 e de 42 simultaneamente.

Para encontrar esse número, deve-se calcular o MMC entre 50 e 42, que é 1050.

O poste e a lixeira estarão juntos após 1050m.

9) Em qual dos colares, representados nas alternativas a seguir, 2/5 das

contas são azuis?


Resposta: E

Solução: Precisamos calcular a quantidade total de contas e a quantidade de

contas azuis, em cada alternativa, para que verifiquemos em qual caso as contas

azuis representam 2/5 das contas.

O colar da letra "e" tem a quantidade de contas azuis representando 2/5 do total

de contas.

10) Quando ainda não existia o dinheiro, as pessoas trocavam os produtos

que fabricavam por outros que desejavam. Esse tipo de negócio era chamado

escambo. Imagine, em uma cidade de antigamente, as seguintes situações: o

dono de algumas galinhas trocou 7 ovos por um pão; o padeiro negociou 3 pães

por um saco de milho; e o agricultor, 15 sacos de milho por uma vaca. Quantos ovos seriam necessários para conseguir trocar por duas vacas?

Resposta: 630 ovos

Solução: Se cada vaca pode ser trocada por 15 sacos de milho, para conseguir

duas vacas são necessários 30 sacos de milho.

Se cada saco de milho vale 3 pães, 30 sacos de milho valem 90 pães.

Se cada pão vale 7 ovos, 90 pães valem 630 ovos.

Então, pode-se dizer que são necessários 630 ovos para conseguir duas vacas.

São necessários 630 ovos.

11) Na figura a seguir, todos os triângulos são equiláteros, e o perímetro do

triângulo menor mede 45 cm. Qual é o perímetro do triângulo maior, o externo,

em centímetros?

Resposta: 180 cm.

Solução: Como todos os triângulos são equiláteros, podemos verificar que se o

perímetro do triângulo menor é 45 cm, cada lado mede 15 cm e os outros dois

triângulos, tem lados medindo 30 cm e 60 cm.

Então, pode-se concluir que o perímetro do triângulo maior é 180 cm.


O perímetro do triângulo externo é de 180 cm.

12) Em uma balsa, os carros são organizados em três filas, todas do mesmo

tamanho (mesma quantidade de carros). Mário, Antônio e Joana colocaram seus

carros na mesma fila. Mário notou que existiam sete carros a sua frente. Antônio

observou que atrás dele havia oito. Já Joana viu que Mário estava atrás dela e

que entre eles existiam dois carros. Em relação a Antônio, ela notou que ele

estava a sua frente que entre eles tinham três carros. Qual a quantidade de carros que havia na balsa?

Resposta: 27 carros

Solução: Por meio de um desenho é possível calcular a quantidade de carros que havia na balsa.

Então, pode-se perceber que havia 3 filas, cada uma com 9 carros.

Havia 27 carros na balsa



FASE 3 – SEMIFINAL

1) Quantos minutos há em um terço da metade de um quarto de um dia?

Resposta: 60 minutos.

Solução: Um dia tem 24 horas ou 1440 minutos.

Um quarto de um dia tem 360 minutos.

A metade de um quarto, é a metade de 360, ou seja, 180 minutos.

A terça parte da metade de um quarto é a terça parte de 180 minutos, ou seja,

60 minutos.

São 60 minutos.

2) Quantos cubos unitários são necessários para construir a figura a seguir?

Resposta: 76 cubos.

Solução: Calcula-se a quantidade de cubinhos em cada uma das partes da

figura.

As colunas verticais são formadas por 2×2×8 = 32 cubinhos cada uma;

A barra central é formada por 3 × 2 ×2= 12 cubinhos.

Então, a figura é formada por 32 + 32 + 12 cubinhos, totalizando 76 cubos.

A figura é formada por 76 cubos.

3) Escolhi um número e subtraí dele 205. Adicionei 2005 ao resultado e

obtive 20005. Qual era o número inicial?

Resposta: 18205

Solução: O último número foi 20005. Subtraímos dele o último número

adicionado, 2005, que resulta em 18 000. Desse número foi subtraído 205.

Então adiciono, obtendo 18205.

O número pensado é 18205.



FINAL

1. Uma máquina imprime conjuntos de cartões numerados de 1 a 100. Em

um dos conjuntos impressos, ocorreu um problema, e todos os cartões em que

aparecia o algarismo 5 ficaram borrados. Sabendo que isso aconteceu com

apenas um conjunto, quantos cartões deverão ser impressos novamente?

Resposta: 19 cartões.

Solução: Os cartões que devem ser substituídos são os cartões nos quais

aparece o número 5. São eles:

5 – 15 – 25 – 35 – 45 -50 – 51 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 59 – 65 –

75 – 85 – 95

2. Tenho 162 moedas. Um terço delas é de 5 centavos; outro terço é de 10

centavos; e o restante, de 50 centavos. Quantos reais eu tenho?

Resposta: R$ 35, 10

Resolução: Se um terço das moedas é de 5 centavos, são 54 moedas,

totalizando R$ 2,70. Se outro terço são moedas de 10 centavos, são 54

moedas, totalizando R$ 5,40.

O restante, 54 moedas, são de 50 centavos, totalizando R$ 27 reais. O total, em

reais, que possuo, é de R$ 35,10.

3. A soma do menor número (inteiro positivo) divisível por 2 e 3 com o

menor número (inteiro positivo) divisível por 2, 3 e 4 é:

Resposta: 18.

Solução: O menor número divisível por 2 e 3 é o 6. O menor número inteiro

divisível por 2, 3 e 4 é 12.

Logo, a soma entre 6 e 12 é 18.

4. O quadrado a seguir deve ser completado com os algarismos 0, 3, 6 e 9,

de forma que, em cada fileira, tanto na horizontal, vertical ou diagonal esses

números apareçam apenas uma vez. Qual algarismo deverá ser colocado

quadrado amarelo?


Resposta: 9

Solução: A única possibilidade de completar todos os quadrinhos, sem que haja

repetição é a seguinte:

5. Se encaixarmos quadrados nos espaços representados a seguir, sem girá-

los, de modo que os lados com figuras iguais se toquem, qual dos quadrados

ocupará o espaço em amarelo?

Resposta: E

Solução: De acordo com o enunciado, as figuras devem ser colocadas sem ser

giradas. A única disposição possível é:

Então, a figura E ocupa a parte amarela.

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