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Notas de aula de Ondas e Linhas Prof. Dr. Helder Alves Pereira
1. Introduo.
2. Parmetros e modelos de elementos distribudos.
3. Equaes de linhas de transmisso.
4. Impedncia de entrada e ROE.
5. Transferncia de potncia.
6. Tipos de linhas de transmisso.
7. A carta de Smith.
8. Aplicaes de linhas de transmisso.
9. Transientes em linhas de transmisso.
LINHAS DE TRANSMISSO
- TPICOS DAS AULAS -
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A propagao, na qual existe uma onda plana uniforme por todoo espao, dita no guiada, e a energia eletromagnticaassociada onda se espalha por uma grande rea.
Uma outra maneira de transmitir potncia, ou informao, atravs de estruturas de guiamento.
As estruturas de guiamento servem para guiar, ou orientar, apropagao da energia da onda eletromagntica desde sua fonteat a sua carga.
Exemplos tpicos dessas estruturas so as linhas de transmissoe os guias de onda.
INTRODUO S LINHAS DE TRANSMISSO
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As linhas de transmisso so normalmente utilizadas nadistribuio de potncia, em baixas frequncias, e em
telecomunicaes, em altas frequncias.
Os problemas de linhas de transmisso so usualmenteresolvidos utilizando a teoria de campos eletromagnticos eteoria de circuitos eltricos.
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Em circuitos de comunicaes, estas linhas tm sido usadaspara transmisso de frequncias na faixa de udio, como o caso
das linhas telefnicas, ou como meio de interligao entre ossistemas de antenas e o equipamento de rdio, podendo ser otransmissor ou o receptor.
Alm dessas utilizaes, as linhas de transmisso tambm sode grande importncia em circuitos de alta frequncia,principalmente na faixa de UHF e microondas, em que atuamcomo elementos de circuitos, podendo substituir indutores,capacitores, circuitos ressonantes, filtros, transformadores e atisoladores.
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Espectro eletromagntico
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Espectro eletromagntico
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Uma linha de transmisso consiste, basicamente, de dois oumais condutores paralelos, usados para conectar uma fonte a
uma carga.
Tipicamente, as linhas de transmisso incluem: cabo coaxial,uma linha a dois fios condutores (linha bifilar), uma linha planarou de placas paralelas, um fio paralelo a um plano condutor e alinha de microfitas.
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a)
Cabo coaxial.
b)
Linha a dois fios condutores (linha bifilar).
c)
Linha planar ou de placas paralelas.
d)
Fio paralelo a um plano condutor.
e)
Linha de microfitas.
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O modo de transmisso a ser considerado essencialmente otransversal eletromagntico (TEM).
A partir de uma certa frequncia, outros modos de propagaopodem existir nas linhas de transmisso como os que ocorremnos guias de onda. Isso acontece quando a frequncia se tornato alta que o comprimento de onda passa a ser comparvel sdimenses da linha utilizada, como, por exemplo, distncia entreos condutores.
As equaes gerais sero obtidas de uma estrutura formada pordois condutores paralelos supostos sempre muito prximos paraque as aproximaes do comportamento do modo TEM possam
ser aplicadas.
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A diferena entre o estudo feito para linhas de transmisso eaquele prprio dos circuitos comuns, est no fato de que, naslinhas, parmetros como resistncia, condutncia, indutncia ecapacitncia no mais se apresentam concentrados e, sim,distribudos ao longo da mesma.
Porm, em um trecho muito curto da linha, possvel consideraros parmetros como concentrados e, ento, aplicar a anliseatravs da teoria usual de circuitos. A partir da podemosdeduzir o comportamento da linha em seu comprimento total.
PARMETROS E MODELOS DE ELEMENTOS
DISTRIBUDOS
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usual e conveniente descrever as linhas de transmisso emtermos dos parmetros da linha.
Esses parmetros so: a resistncia, a indutncia, a condutnciae a capacitncia por unidade de comprimento.
importante perceber que:
Os parmetros da linha (R, L, G e C) no so parmetrosdiscretos, mas distribudos uniformemente ao longo de todo ocomprimento da linha.
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Para cada tipo de linha, os condutores so caracterizados porc, c e c, e o dieltrico homogneo, que separa os
condutores, caracterizado por ,,.
G no igual ao inverso de R. Isso porque R representa aresistncia, no regime alternado, por unidade decomprimento dos condutores utilizados na linha, enquantoque Ga condutncia, por unidade de comprimento, devido aodieltrico que separa os condutores.
O valor de L devido indutncia externa, por unidade decomprimento. Os efeitos da indutncia interna sodesprezveis em altas frequncias, nas quais opera a maior
parte dos sistemas de comunicaes.
Para cada tipo de linha, tem-se que!
"
! ==C
GLC e
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Modelos de elementos concentrados:
Circuito equivalente tipo L:
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Circuito equivalente tipo :
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Circuito equivalente tipo T:
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Exerccios
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Uma linha de transmisso, a dois condutores, suporta uma ondatransversal eletromagntica(TEM).
Uma propriedade importante das ondas TEM que os campos,
eltrico e magntico, esto univocamente relacionados com atenso e a corrente da seguinte forma
""""
#=#$= dlHIdlEV e
EQUAES DE LINHAS DE TRANSMISSO
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Examinaremos uma poro incremental z de uma linha detransmisso a dois condutores.
Desejamos: (1)encontrar um circuito equivalente para esta linhae (2)obter a equao da linha.
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Assumindo que a onda se propaga no sentido +z, do geradorpara a carga, temos o circuito equivalente tipo L (1),
representando qualquer uma das linhas de transmisso a doiscondutores:
V(z,t)
I(z,t)
z z+z
Rz Lz
Gz
Cz
I
V(z+z,t)
I(z+z,t)
z
Para o gerador Para a carga++
--
-
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Aplicando a lei de Kirchhoff (2), temos
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )tzIt
LtzRItzVz
z
tzItLtzRIz
tzVtzzV
tzIt
zLtzzIRtzzVtzV
tzzVtzItzLtzzIRtzV
,,,
0Quando
,,
,,
,,,,
,,,,
!
!+=
!
!"
#$
!
!+=%&
'
()
*
$
"$+
"
!
!$+$=$+"
$++!
!
$+$=
-
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Aplicando a lei de Kirchhoff (2), temos
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )tzVt
CtzGVtzIz
z
tzzV
t
CtzzGV
z
tzItzzI
tzzVt
zCtzzzVGtzzItzI
ItzzItzI
,,,
0Quando
,,,,
,,,,
,,
!
!+=
!
!"
#$
$+
!
!+$+=
%&
'
()
*
$
"$+"
$+!
!$+$+$+$+=
$+
$+=
-
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Assumindo dependncia temporal harmnica, de modo que
temos
( ) ( )( ) ( ){ }tj
tj
ezItzI
ezVtzV
!
!
S
S
Re,
Re,
=
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zILjRzVdz
d
ezLIjezRIzVdz
de
tzIt
LtzRItzVz
tjtjtj
SS
SSS
,,,
!
! !!!
+="
+="
#
#+=#
#"
-
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zVCjGzIdzd
ezCVjezGVzIdz
de
tzVtCtzGVtzIz
tjtjtj
SS
SSS
,,,
!
! !!!
+="
+="
#
#+=
#
#"
-
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Tomando a segunda derivada das ltimas expresses, obtemos:
Fazendo-se as devidas substituies, obtemos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zVdz
dCjGzI
dz
d
zIdz
dLjRzV
dz
d
SS2
2
SS2
2
!
!
+="
+="
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 0
0
SS2
2
SS2
2
=++!
=++!
zICjGLjRzIdzd
zVCjGLjRzVdz
d
""
""
-
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Considerando que:
Temos:
onde:
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
S
2
S2
2
S
2
S2
2
=!
=!
zIzIdz
d
zVzV
dz
d
"
"
Equaes de onda paratenso e corrente
( )( )CjGLjR !!" ++=2
( )( ) ( )22 !"##$ jCjGLjR +=++=
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O comprimento de onda e a velocidade de fase so dados,respectivamente, por
As solues das equaes de onda para a tenso e a corrente so
!"
#
"
$
"
#! f
fu ====
2e
2
( )( ) zz
zz
eIeIzI
eVeVzV
!!
!!
""+
""+
+=
+=
ooS
ooS
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
S
2
S2
2
S
2
S2
2
=!
=
!
zIzIdz
d
zVzVdz
d
"
"
-
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Vo+e Vo
-representam as amplitudes das ondas de tenso.
Io
+e Io-representam as amplitudes das ondas de corrente.
( )
( ) zz
zz
eIeIzI
eVeVzV
!!
!!
""+
""+
+=
+=
ooS
ooS
V(z,t)
I(z,t)
z z+z
Rz Lz
Gz Cz
I
V(z+z,t)
I(z+z,t)
z
Para o gerador Para a carga++
-- z
e
!"
e
!z
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O termo uma constante complexa que afeta o resultado datenso, ou da corrente, em funo de sua posio ao longo da
linha, por isso denominado constante de propagao.
Uma tenso, ou uma corrente, ao ser multiplicada por ez
, tersua amplitude alterada por eze sua fase por ejz.
Dessa forma, denominada de constante de atenuaoe deconstante de fase.
( )( ) ( )22 !"##$ jCjGLjR +=++=
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Dessa forma, temos
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zteIzteItzI
zteVzteVtzVzz
zz
!"!"
!"!"##
##
++$=
++
$
=
$$+
$$+
coscos,
coscos,
oo
oo
-
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Exerccios
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Impedncia Caracterstica da Linha (Zo):
a razo entre a onda de tenso e a onda de corrente, que sepropagam no sentido positivo, em qualquer ponto da linha.
Zo anloga , a impedncia intrnseca do meio ondeocorre a propagao.
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A partir das seguintes expresses:
( ) ( ) ( )zILjRzVdz
dSS
!+="
( )
( ) zz
zz
eIeIzI
eVeVzV
!!
!!
""
+
""+
+=
+=
ooS
ooS
-
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temos que:
Igualando os termos de mesma exponencial, temos que:
[ ] ( )[ ]( )[ ]zzzz
zzzz
eIeILjReVeV
eIeILjReVeVdzd
!!!!
!!!!
"!!
"
##+##+
##+
##+
++=#
++=+#
oooo
oooo
( )
( ) !!
++
+=!
+=
oo
oo
ILjRV
ILjRV
"#
"#
-
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Dessa forma:
Portanto,
( )oZ
I
VLjR
I
V=!=
+
=!
!
+
+
o
o
o
o
"
#
oo
o
o
o
o
o jXR
CjG
LjR
I
V
I
VZ +=
+
+
=!==!
!
+
+
"
"Ro parte realXo parte imaginria
-
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A constante de propagao () e a impedncia caracterstica (Zo)so propriedades importantes porque ambas dependem dos
parmetros distribudos da linha de transmisso (R, L, Ge C) eda frequncia.
A admitncia caracterstica da linha de transmisso dada por
o
o
1
Z
Y =
( )( )CjGLjR !!" ++=2
oo
o
o
o
o
o jXR
CjGLjR
IV
IVZ +=
+
+
=!
==!
!
+
+
"
"
-
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Considere uma linha de transmisso de comprimento L,caracterizada por e Zo, conectada a uma carga ZC.
Vg
Zg
+
-
Vo
z=-L z=0
VCZC
Io IC
Zent Zent
(,Zo)
IMPEDNCIA DE ENTRADA E ROE
+
-
-
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Para o gerador, a linha de transmisso vista como uma cargacom impedncia de entrada Zent.
Faamos a linha de transmisso se estender desde z=-L, nogerador, at z=0, na carga.
Dessa forma, as ondas de tenso e corrente, em qualquer pontoda linha, so dadas por
considerando que
zz
zz
eZ
Ve
Z
VzI
eVeVzV
!!
!!
o
o
o
oS
ooS
)(
)(
"
"
+
""+
"=
+=
!
!
+
+
!==
o
o
o
o
o
I
V
I
VZ
-
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CASO 1: Se forem dadas as condies na entrada da linha, tal que
temos que
Se a impedncia de entrada nos terminais de entrada for Zent,ento a tenso de entrada Vo e a corrente de entrada Io soobtidas da seguinte forma
)(e)( entent lzIIlzVV !
==
!
==
lle
ZIVVe
ZIVV
!!
"#
$%&
' (="
#
$%&
' +=
((+
2e
2
oentent
o
oentent
o
Vg
Zg
+
-
Vo
Io
VentZent
g
entg
ent
oento
entg
g
o
VZZ
ZIZV
ZZ
VI
+
==
+
=
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DEMONSTRAO:
)(
e)(
ent
ent
lzII
lzVV
!==
!==
zz
zz
eZ
Ve
Z
VzI
eVeVzV
!!
!!
o
o
o
oS
ooS
)(
)(
"
"
+
""+
"=#
+=#
ent
o
o
o
oS
entooS
)(
)(
IeZ
Ve
Z
VlzI
VeVeVlzV
ll
ll
=!=!="
=+=!="
!
!+
!!+
##
##
-
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lle
ZIVVe
ZIVV
!!
"#
$%&
' (="
#
$%&
' +=
((+
2e
2
oentent
o
oentent
o
( )ent
o
o
o
2
oent
2
oento
IeZ
Ve
Z
eVeV
eVeVV
ll
ll
ll
=!
!
"
!="
!
!!!!
!!!+
##
##
##
-
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CASO 2: Se forem dadas as condies na sada da linha, tal que
temos que)0(e)0( CC ==== zIIzVV
2e
2
oCC
o
oCC
o
ZIVV
ZIVV
!
=
+
= !+
-
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DEMONSTRAO:
)0(
e)0(
C
C
==
==
zII
zVV
zz
zz
eZ
Ve
Z
VzI
eVeVzV
!!
!!
o
o
o
oS
ooS
)(
)(
"
"
+
""+
"=#
+=#
C
o
o
o
oS
CooS
)0(
)0(
I
Z
V
Z
VzI
VVVzV
=!=="
=+=="
!+
!+
-
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2e
2
oCC
o
oCC
o
ZIVV
ZIVV
!
=
+
= !+
o
o
o
IZ
V
Z
VV
VVV
=!
!
"
!="
!!
!+
o
o
o
o
oo
-
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Podemos determinar a impedncia de entrada (Zent) em qualquerponto da linha da seguinte forma
Na carga, por exemplo, temos que
!!"
#$$%
&
'
+
='+
'+
oo
oo
oent
VV
VVZZ
( )( )zIzV
Z
S
S
ent =
-
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DEMONSTRAO:
zz
zz
eZ
Ve
Z
VzI
eVeVzV
!!
!!
o
o
o
oS
ooS
)(
)("
"
+
""+
"=#
+=#
o
o
o
oS
ooS
)0(
)0(
Z
V
Z
VzI
VVzV!+
!+
!=="
+=="
!!"#
$$%&
'+
=
=
==(
'+
'+
oo
ooo
S
Sent
)0()0(
VV
VVZzI
zVZ
-
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Para z=-l, temos que
onde l conhecido como comprimento eltrico da linha detransmisso.
( )( )
( )( )!
#$&
+
+
=
!"#$
%&
+
+
=
ljZZ
ljZZZZ
lZZlZZZZ
'
'
((
tg
tg
tghtgh
Co
oCoent
Co
oCoent Linha com perdas
Linha sem perdas
-
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DEMONSTRAO:
!!
!!
"
#
$$
$$
%
&
'()*
+, --'
()*
+, +
'(
)*+
, -+'
(
)*+
, +
=.-
-
ll
ll
eZIVeZIV
eZIV
eZIV
ZZ//
//
22
22
oCCoCC
oCCoCC
oent
2e2
oCC
o
oCC
o
ZIV
V
ZIV
V
!
=
+
=
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o
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ooS
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-
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llll
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( ) ( )( ) ( )!"
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oC
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ljZZ
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tg
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Linha semperdas
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)2cos()2cosh(
)2(senhtgh
yx
yj
yx
xjyx
+
+
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Sabendo-se que:
-
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A utilidade desse conceito que a linha de transmisso, noimportando onde seja determinada a impedncia de entrada,
pode ser substituda por um elemento concentrado deimpedncia (Zent).
-
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O coeficiente de reflexo da tenso na carga (C) a razo entrea onda refletida de tenso e a onda incidente de tenso na carga,
ou seja,
Em qualquer ponto da linha, a uma distncia lda carga, temosque:
O coeficiente de reflexo de corrente, em qualquer ponto dalinha, igual ao coeficiente de reflexo da tenso naquele ponto,com sinal negativo.
oC
oC
o
o
C
ZZ
ZZ
V
V
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!=="
+
!
le
V
V !2
o
o "
+
"
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-
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-
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DEMONSTRAO:
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"
#$%
& +=
'+
2e
2
oCC
o
oCC
o
ZIVV
ZIVV
oC
oC
oCC
oCC
C
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o
C
2
2
ZZ
ZZ
ZIV
ZIV
V
V
+
!=
+
!
="
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!
-
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DEMONSTRAO:
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"
+
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"
+
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I
l
I
l
I
eV
V
eI
I
$
$
2
o
o
o
o
2
o
o
Z
Z
-
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A impedncia de entrada e o coeficiente de reflexo, em qualquerponto da linha, podem ser relacionados da seguintes forma:
oent
oent
oent e1
1
ZZ
ZZZZ
+
!="
"!
"+=
-
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-
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DEMONSTRAO:
!"#$
%&
'('+
=
!"
#$%
&
'(
'+=
!!"
#$$%
&
(
+
=)
(+
(+
((+
((+
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1
1
1
o
o
o
o
oo
oo
oent
Z
eV
eVZ
eVeV
eVeV
ZZ
z
z
zz
zz
*
*
**
**
( )( )zIzV
Z
S
S
ent =
zz
zz
eZ
Ve
Z
VzI
eVeVzV
!!
!!
o
o
o
oS
ooS
)(
)("
"
+
""+
"=#
+=#
-
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DEMONSTRAO:
( ) ( )
oent
oent
oent
oent
11
1
1
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
+
!="#
"+="!
$%
&'(
)
"!
"+=
-
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Casos interessantes:
C=0: Significa que toda energia incidente absorvida pela
carga (ZC= Zo) Impedncia casada.
C=1: Tenses refletida e incidente esto em fase (ZC =!) Linha aberta.
C=-1: Tenses refletida e incidente esto defasadas de 180o
(ZC=0) Linha em curto.
oC
oC
o
o
C
ZZ
ZZ
V
V
+
!=="
+
!
-
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Ondas estacionrias:
Quando uma linha de transmisso terminada por umacarga resistiva igual sua impedncia caracterstica Zo, aenergia flui entre o gerador e a carga sem reflexo.
Nessa situao, a impedncia vista pelo gerador igual a Zoetem-se a uma condio chamada de linha casada.
Para qualquer outra impedncia de terminao diferente deZo, ocorre reflexo e parte da potncia incidente retorna aogerador, onde outra reflexo pode ocorrer se o gerador noestiver casado com a linha.
-
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Dessa forma, as duas ondas caminhantes, incidente erefletida, com direes de propagao opostas, do origem a
uma onda estacionria de tenso e outra de corrente.
Ao longo da linha de transmisso entre o gerador e a carga,em alguns pontos, a composio da onda incidente e darefletida produzem reforos e, em outros, diminuio,provocando os mximos e mnimos da onda estacionria
resultante.
-
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A razo de onda estacionria dada por
!"
!+=====
1
1
min
MAX
min
MAX
I
I
V
VsSWRROE
-
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-
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DEMONSTRAO:
!"
!+=
"
+
=
"
+
==
!"
!+=====#
1
1
1
1
1
1
incidente
refletido
incidente
refletido
refletidoincidente
refletidoincidente
min
MAX
min
MAX
min
MAX
V
V
V
V
s
VV
VV
V
Vs
I
I
V
VsSWRROE
-
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importante observar que, como o mdulo do coeficiente dereflexo no constante em uma linha com perdas, tambm
a relao de onda estacionria no apresenta o mesmo valorem todos os pontos da linha.
l
C
l
C
e
esSWRROE
!
!
2
2
1
1
"
"
#"
#+===
-
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-
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DEMONSTRAO:
onde l a distncia a partir da carga.
( )
l
C
l
C
ljl
C
ljl
e
esSWRROE
eeeV
Ve
V
V
!
!
"!"!#
2
2
222
0
02
0
0
1
1
1
1
$
$
$$+$
+
$
$
+
$
%$
%+
=
%$
%+
===&
%===%
-
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A impedncia de entrada (Zent), tem mximos e mnimos queocorrem, respectivamente, nos mximos e mnimos das ondas
estacionrias da tenso e da corrente.
Dessa forma, temos que
s
Z
I
VZ
sZI
VZ
o
MAX
min
minent
o
min
MAX
MAXent
==
==
-
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-
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Exerccios
-
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As linhas de transmisso so utilizadas para transferir energiaeletromagntica de uma fonte a uma carga.
A potncia mdia de entrada, a uma distncia lda carga, dadapor
onde o fator multiplicativo (1/2) utilizado devido ao fato detrabalharmos com valores de pico ao invs de valores eficazes
(rms).
TRANSFERNCIA DE POTNCIA
( ) ( ){ }lIlVP !=SSmed
Re2
1
-
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Supondo uma linha sem perdas e fazendo algumas
consideraes matemticas, temos que
importante perceber que para =0, temos a condio demxima potncia transferida para a carga.
( )2o
2
o
med 12
!"=
+
Z
VP
1 2 3
1: Potncia de entrada ou potnciatransmitida.
2: Potncia incidente.
3: Potncia refletida.
-
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Exerccio
-
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Exerccio
-
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At agora consideramos apenas as linhas de transmisso comperdas, na qual os condutores so imperfeitos e os dieltricostm perdas, ou seja,
TIPOS DE LINHAS DE TRANSMISSO
0e dc !"! ##
-
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1.
Linhas de transmisso sem perdas
Os condutores da linha de transmisso so perfeitos e omeio dieltrico, que os separa, sem perdas, ou seja,
Para este caso, temos que R = 0 !/m e G = 0 S/m.
0edc
!"! ##
-
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Dessa forma, para R = 0 !/m e G = 0 S/m, temos que
0e
1
0
oo
o
==
=
+
+
=
==
==
=++=
XCLR
C
L
CjG
LjRZ
LC
u
LCeLCjCjGLjR
!
!"
!
!"#!!!$
-
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Exerccio
-
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2.
Linhas de transmisso sem distoro
Um sinal consiste, normalmente, de uma banda defrequncias.
Se a constante de atenuao for dependente da frequnciado sinal, as amplitudes das ondas com componentes defrequncias diferentes sero atenuadas de forma distinta, em
uma linha de transmisso com perdas, resultando emdistoro do sinal.
Uma linha de transmisso sem distoro uma linha naqual a constante de atenuao () independente dafrequncia, enquanto que a constante de fase () varialinearmente com a frequncia.
-
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Para este caso, temos que R / L =G / C.
Dessa forma,
!"
#$%
&+=!"
#$%
&+=
!"#$
%& +!
"#$
%& +=
++=+=
G
C
jRGR
L
jRG
GCjG
RLjR
CjGLjRj
''
(
''(
'')*(
11
11
-
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temos que:
0e
1
ooo ===!==
==
=
=
XC
L
G
RR
C
L
G
RZ
LCu
LC
RG
"
#
#"
$
-
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importante perceber que
A velocidade de fase (u) independente da frequncia.
ue Zopossuem as mesmas expresses obtidas das linhas detransmisso sem perdas.
Uma linha sem perdas tambm uma linha sem distoro,mas uma linha sem distoro no necessariamente umalinha sem perdas.
-
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Exerccios
-
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Exerccio
-
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A seguir, vamos considerar os seguintes casos especiais delinhas de transmisso:
1.
Linha em curto:
Zent uma reatncia pura, que pode ser capacitiva ou
indutiva, dependendo do valor de l.
!= 0C
Z
( )
!=
"=#
==$=
s
ljZZZ Z
1
tg
C
o0entCC C%
-
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2.
Linha em aberto: !"=C
Z
( ) ( )
!=
="
#===!$
s
ljZlj
ZZZ
Z
1
cotgtg
lim
C
oo
entCAC
%%
CACC
2
o ZZZ =
-
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-
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3.
Linha casada:
Toda a onda transmitida e no h reflexo.
A potncia incidente totalmente absorvida pela carga.
Portanto, possvel a mxima transmisso de potnciaquando a linha de transmisso est casada com a carga.
oC ZZ =
1
0C
oent
=
=!
=
s
ZZ
-
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Antes do advento dos computadores e das calculadoras, osengenheiros criaram diversos mtodos auxiliares para facilitar osclculos para projetos e anlises de sistemas.
A carta de Smith representa uma indicao grfica da variao
da impedncia da linha de transmisso, conforme nos movemosao longo da linha.
desenhada dentro de um crculo unitrio
!"!#$
=%=&'(
=
'=
(=
%=
&)*&casada.Linha,10
.ou0,11s
ZZsCC
A CARTA DE SMITH
-
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A carta construda baseando-se em
ir
oC
oC
!+!="!=+
#=! ! j
ZZ
ZZ$
-
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Ao invs de termos cartas de Smith para cada linha detransmisso, com diferentes impedncias caractersticas (Zo),preferimos ter apenas uma que seja utilizada para todas aslinhas de transmisso.
Desse modo, obtemos uma carta normalizada, onde todas asimpedncias so normalizadas com relao impednciacaracterstica (Zo).
Dessa forma, a impedncia de carga normalizada (zC) dada por
jxrZ
Zz +==
o
C
C
-
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Com isso, temos que
1
1
1
1
C
C
o
C
o
C
ir
+
!=
+
!
="+"="z
z
Z
Z
ZZ
j
zC = r + jx =
1+!r( )+ j! i
1"!r( )" j! i
-
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-
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DEMONSTRAO:
( )( )( ) ( )
( )
( ) irir
ir
ir
irir
ir
ir
1
1
1
1
11
11
11
!"!"
!+!+=
!+!+"
!"!""=
!+!""=!+"!
"=!+!+
+
"=!+!
j
j
j
jz
jjz
zjz
zzj
C
C
CC
C
C
-
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onde
Essas equaes so similares equao de uma circunferncia,ou seja, um crculo de raio acentrado no ponto (h,k)
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
i
2
r2
i
2
r
i
2
2
i
2
r2
i
2
r
2
i
2
r
111
1
2
1
1
11
1
!"
#$%
&=!
"
#$%
&'(+'()
(+('
(=
!"#$
%&+
=(+!"#$
%&
+
'()(+('('('=
xx
x
rr
rr
( ) ( ) 222 akyhx =!+!
-
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DEMONSTRAO:
( )( ) ir
ir
1
1
!"!"
!+!+=+=jjjxrzC
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) 2i2
r
2
iriirrr
ir
ir
ir
ir
1
1111
11
11
!+!"
!"!"!+!!++!"!+
=#$%&
'(
!+!"!+!")#
$%&
'(
!"!"!+!+
jj
jj
jj
-
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DEMONSTRAO:
( )
( )
( ) 2
i
2
r
i
2
i
2
r
2
i
2
r
2
i
2
r
2
ii
2
r
1
2
1
1
1
21
!+!"
!=
!+!"
!"!"=
+=
!+!"
!"!+!"
x
r
jxrj
-
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Portanto, fornece crculos de r constante (crculos resistivos)com:
( )
rraio
r
r
+
=
!"#$
%&+
=''
1
1
0,1
,emcentro ir
( ) ( )( ) ( )
( )2
2
i
2
r2
i
2
r
2
i
2
r
1
1
11
1!"
#$%
&
+
='+!"
#$%
&
+
(')'+'(
'('(=
rr
r
r
-
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De forma semelhante, representa crculos de x constante(crculos de reatncias) com:
Note que, enquanto r sempre positivo, x pode ser positivo (paraimpedncias indutivas) ou negativo (para impednciascapacitivas).
( ) ( ) ( )
22
i
2
r2
i
2
r
i 11
11
2!"
#$%
&=!
"
#$%
&'(+'()
(+('
(=
xx
x
centro em !r, ! i( )= 1,
1
x
"
#$%
&'
raio =1
x
-
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Se sobrepusermos os crculos re os crculos x, obtemos a cartade Smith.
-
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Alm dos crculos re x, podemos desenhar crculos s,ou crculosde relao de onda estacionria constante, os quais socentrados na origem, com svariando de um at infinito.
O valor de s determinado pelo ponto em que um crculo scruzao eixo r.
Os seguintes aspectos devem ser observados com relao carta
de Smith:
PCC corresponde ao ponto onde r e x so iguais a zero, ouseja, curto circuito na linha de transmisso (ZC=0 ).
PCAcorresponde ao ponto onde re xso iguais a infinito, ouseja, circuito aberto na linha (ZC= !).
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Uma volta completa em torno da carta de Smith representauma distncia de /2 na linha.
Movimento no sentido horrio na carta representamovimento na linha em direo ao gerador.
Movimento no sentido anti-horrio na carta representamovimento em direo carga.
A carta de Smith conta com 3 escalas ao redor da periferiapara determinar a distncia carga, ou ao gerador, em grausou comprimento de onda.
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O valor de VMax ocorre no ponto em que est localizado nacarta Zent,Max, isto , na parte positiva do eixo r, ou sobreOPCA.
O valor de VMin ocorre no ponto em que est localizado nacarta Zent,Min, isto , na parte negativa do eixo r, ou sobreOPCC.
Note que VMaxe VMin (ou Zent,Maxe Zent,Min) esto separados por/4 ou 180.
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A carta de Smith usada tanto para carta de impednciacomo de admitncia.
Com base nestas propriedades, a carta de Smith pode serusada, entre outras coisas, para determinar:
a) ZC;
b) e s;
b) Zentou Yente
c) a localizao de VMaxe VMin, desde que sejam dados Zo, ZC
e o comprimento da linha.
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a) Localizao de ZC.
b) Determinao de e s.
c) Determinao de Zentou Yent.
d) Localizao de VMaxe VMin, desde que sejam dados ZO, ZCeo comprimento da linha.
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a) Localizao de ZC:
Calcular zC:
Dividir ZCpor Zo.
A p a r t i r d e zC= r + j x ,encontrar na carta deSmith:
O crculo de rconstante.
O crculo de xconstante.
zCser o ponto de encontrod e r c o n s t a n t e e xconstante.
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Exerccios
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a) Localizao de ZC.
b) Determinao de e s.
c) Determinao de Zentou Yent.
d) Localizao de VMaxe VMin, desde que sejam dados ZO, ZCeo comprimento da linha.
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b) Determinao de e s:
O coeficiente de reflexo em qualquer ponto, ao longo de umalinha de transmisso sem perdas,
O coeficiente de reflexo possui uma magnitude Ce um
ngulo igual ao ngulo do coeficiente de reflexo na cargamenos 2l.
O valor de C determinado tomando-se a distncia ato ponto, a partir do centro da carta, dividida pela distncia docentro da carta at o permetro C=1. Para evitar esse
clculo, uma escala para magnitude do coeficiente de reflexo fornecida abaixo da Carta de Smith.
!!=!=!=!+!=! "" #$#$ j
C
ljj
C
lj
C eeeej C 22
ImRe
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O ngulo do coeficiente de reflexo indicado na escalangulo de coeficiente de reflexo, apresentada na parteexterna do crculo C=1 na carta.
O crculo verde representa o crculo de sconstante, medido apartir de OPCA,cujo valor cruza o eixo r.
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a) Localizao de ZC.
b) Determinao de
e s.
c) Determinao de Zentou Yent.
d) Localizao de VMaxe VMin, desde que sejam dados ZO, ZCeo comprimento da linha.
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c) Localizao de Zentou Yent :
Calcular zent:
Dividir Zentpor Zo.
A pa r t i r d e ze n t= r + j x ,encontrar na carta de Smith:
O crculo de rconstante.
O crculo de xconstante.
zent ser o ponto de encontrode rconstante e xconstante.
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Traa-se uma reta entre aorigem da Carta de Smith e alocalizao de Zent.
O ponto que cruzar o crculode s constante o valor deyent.
yent
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a) Localizao de ZC.
b) Determinao de
e s.
c) Determinao de Zentou Yent.
d) Localizao de VMaxe VMin, desde que sejam dados ZO,ZCe o comprimento da linha.
d) li d
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d)
Localizao de VMax e VMin,desde que sejam dados ZO,ZC e o comprimento da
linha:
VMax est localizado no eixopositivo de r(OPCA).
VMin est localizado no eixo
negativo de r(OPCA).
Ambos esto separados por/4.
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Exerccios
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Exerccio
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Exerccio
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So utilizadas para diversas finalidades, como por exemplo:realizar casamento de impedncia com uma carga e para medirimpedncias.
1. Transformador de quarto de onda:
APLICAES DAS LINHAS DE TRANSMISSO
P i
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Premissas:
Quando Zo"Z
C, dizemos que a carga est descasada e
existe uma onda refletida na linha.
Entretanto, para transferncia mxima de potncia, desejvel que a carga esteja casada com a linha detransmisso (Zo=ZC), de tal maneira que no haja reflexo
(=0ou s=1).
Considerando l /4 2/ (defasa de /2) e q e a linha
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Considerando l=/4, =2/(defasa de /2) e que a linhade transmisso sem perdas, temos que:
( )( )
Cent
C
zyz
z
ljZZ
ljZZZZ
==
!"
#$%
&
+
+
=
aindaou1
tg
tg
ent
Co
ocoent
'
'
-
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DEMONSTRAO:
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( )( )
Czz
Z
Z
Z
Z
Z
ZZZ
jZZ
jZZ
Z
jZZ
jZZZZ
jZZ
jZZ
ZljZZ
ljZZZZ
1
2tg
2tg
2tg
2tg
4
2tg
4
2tg
tg
tg
ent
c
o
o
ent
c
ooent
Co
oc
o
Co
oc
oent
Co
oc
o
Co
ocoent
=!=!=
""""""
"
#
$
%%%%%%
%
&
'
+
()
*+,
-
+
()
*+,
-
=
""""
#
$
%%%%
&
'
()
*+,
-+
()
*+,
-+
=
"""
"
#
$
%%%
%
&
'
()
*+,
-+
(
)
*+
,
-+
="#
$%&
'
+
+
=
.
.
.
.
/
/
.
/
/
.
0
0
DEMONSTRAO:
Uma carga descasada Z pode ser casada adequadamente
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Uma carga descasada ZC pode ser casada adequadamentecom a linha (com impedncia caracterstica Zo) pela inserode uma linha de transmisso com o comprimento /4 (com
uma impedncia caracterstica Zo) antes da carga.
A seo /4 da linha de transmisso denominada de
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A seo /4 da linha de transmisso denominada detransformador de quarto de onda porque usada paracasamento de impedncias como um transformador comum.
Zodeve ser selecionada de tal maneira que Zent=Zo, ou seja,
onde Zo, Zoe ZCso todos reais.
Cooo
c
o
oent '
'' ZZZZ
Z
ZZZ =!==
As configuraes de ondas estacionrias para a tenso sem e
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As configuraes de ondas estacionrias para a tenso sem ecom o transformador de quarto de onda esto ilustradasabaixo.
Embora ainda exista uma onda estacionria entre o
transformador e a carga, no existe onda estacionria esquerda devido ao casamento.
Contudo a onda refletida (ou onda estacionria) eliminada
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Contudo, a onda refletida (ou onda estacionria) eliminadasomente no comprimento de onda desejado. Mesmo em umcomprimento de onda um pouco diferente haver reflexo.
A principal desvantagem do transformador de quarto de onda
que ele um dispositivo de banda estreita, sensvel frequncia.
2 Transformador de meia onda:
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2. Transformador de meia onda:
Considerando l=/2, =2/(defasa de ) e que a linhade transmisso sem perdas, temos que:
( )
( )( )
( )
c
C
'
o
'
oc'
oent
C'o
'
oc'
oent
tg
tg
tg
tg
Z
jZZ
jZZZZ
ljZZ
ljZZZZ
=!#
$&
+
+
=
!"
#
$%
&
+
+
=
'
'
(
(
A impedncia no varia
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Embora o transformador de "/2 no mude a impedncia,
provoca uma inverso de fase que algumas vezes til.
Zo
Zo
ZC
Zent
!/2
A impedncia no variaatravs de uma transformaode comprimento de onda igual a
"/2.
Esse fato levado em contapara medidas de impedncia,quando sua impedncia, queno pode ser levada a uma
p o n t e d e m e d i o d eimpedncias, pode, ento, serconectada aos terminais dessaponte por um cabo de "/2, semque isso afete a medida.
3. Sintonizador com toco simples:
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3. Sintonizador com toco simples:
A principal desvantagem do uso do transformador de quarto
de onda eliminada pelo uso do sintonizador de tocosimples.
O sintonizador consiste de uma seo de linha de
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O sintonizador consiste de uma seo de linha detransmisso de comprimento d, curto-circuitada ou emcircuito aberto, conectada em paralelo com a linha principal
a uma distncia l da carga.
A impedncia caracaterstica do toco igual impednciada linha principal.
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STUB SIMPLES EM PARALELO
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STUB SIMPLES EM PARALELO
1.
Encontra-se zC
na carta de Smith.
2.
Encontra-se yCna carta de Smith.
3.
Traa-se o crculo |"|constante.
4.
Traa-se o crculo de rigual a 1.
5.
Marca-se os dois pontos de encontro entre o crculo de |"|constante e o de r=1.
6.
A distncia da carga ao ponto de localizao do stubsimples nalinha (l) determinada a partir de yCat o ponto de encontro nadireo do gerador.
7.
Para cada um dos pontos de encontro, encontra-se o seurespectivo conjugado na periferia da carta de Smith (r=0e x#0).
8.
O comprimento do stub determinado a partir do ponto yT
=!-
PCA (zT=0 curto circuito) ou yT=0 PCC(zT=!- circuito aberto)at o respectivo conjugado na direo do gerador.
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Se um toco em paralelo de admitncia ys=-jb introduzidono ponto A, ento:
10111 =+=!+=++= jjbjbyjby sent
Dois valores de lmenores que /2podem ser obtidos pois b
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q / p ppode ser positivo ou negativo.
Dois valores de lmenores que /2podem ser obtidos pois b
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q / p ppode ser positivo ou negativo.
Em A, ys=-jb, l=lAe, em B, ys=jb, l=lB.
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, ys j , A , , ys j , B
Em A, ys=-jb, l=lAe, em B, ys=jb, l=lB.
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, ys j , A , , ys j , B
Devido ao fato de que o toco curto-circuitado (yL=!),
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q (y L )determinamos o comprimento d do mesmo pela distncia dePCC(onde zC=0+j0) at a admitncia desejada (ys).
Para o toco em A, obtemos d=dAcomo sendo a distncia de
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A
P at A, onde A corresponde a ys=-jb, o qual estlocalizado na periferia da carta.
De forma semelhante, obtemos d=dBcomo sendo a distncia
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de PCCa B (ys=jb).
Note que sempre teremos dA+dB=/2.
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Como temos dois possveis tocos curto-circuitados,
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normalmente escolhido o mais curto ou o que est maisprximo da carga.
No lugar de um toco simples, pode tambm ser utilizado umtoco duplo.
Isto chamado de casamento com toco duplo, o qual permite
o ajuste da impedncia da carga.
Exerccio
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Exerccio
4. Sintonizador com toco duplo
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O mtodo de casamento de impedncia, utilizando toco simples,
pode ser utilizado para casar qualquer carga de valor finito ediferente de zero com a impedncia caracterstica da linha.
Entretanto, esse mtodo exige que o toco seja adicionado linha detransmisso em um ponto especfico, o qual varia quando aimpedncia da carga modificada.
Essa exigncia, frequentemente, apresenta dificuldades prticasdevido ao ponto especificado estar localizado em pontosindesejveis.
Alm do que complicado construir uma linha coaxial de
comprimento varivel com impedncia caracterstica constante.
Em tais casos, interessante utilizar o mtodo de toco duplo.
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O mtodo de toco duplo consiste de dois tocos curto-circuitados, adicionados linha de transmisso, em pontosfixos.
No geral, esses pontos f ixos ( l0) so escolhidosarbitrariamente (/16, /8, 3/16, 3/8, etc.).
Os comprimentos dos tocos so ajustados para se casar aimpedncia de carga com a da linha de transmisso.
Configurao do toco duplo.
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ZC
l0
dAdB
ZoZo
B
B'
A
A'
Zo
Configurao do toco duplo.
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ZCZo
l0
dAdB
ZoZo
B
B'
A
A'
yAyCC_A
yC
Configurao do toco duplo.
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ZCZo
l0
dAdB
ZoZo
B
B'
A
A'
yEnt
yCC_ByB
Configurao do toco duplo.
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ZCZo
l0
dAdB
ZoZo
B
B'
A
A'
yEnt
yCC_ByB yA
yCC_A
yC
Configurao do toco duplo.
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168/199
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ZCZo
l0
dAdB
ZoZo
B
B'
A
A'
yEnt
yCC_ByB yA
yCC_A
yEnt
=1=yB
+yCC_B
Condio de Casamento
de Impedncia
yC
Configurao do toco duplo.
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ZCZo
l0
dAdB
ZoZo
B
B'
A
A'
yEnt
yCC_ByB yA
yCC_A
yB
=1+ jbB
e yCC_B
= !jbB
yC
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STUB DUPLO
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1.
Desenha-se o crculo g=1 (local onde o ponto yBser localizado).
2.
Desenha-se esse crculo (g=1) rotacionado l0/!, em direo carga,(local onde o ponto yAser localizado).
3.
Encontra-se yC= gC+jbCna carta de Smith.
4.
Desenha-se o crculo g=gC, interceptando o crculo g=1rotacionado em dois pontos (yA1e yA2).
5.
Utiliza-se o compasso, centrado na origem da carta de Smith,para marcar os pontos yB1 e yB2, no crculo g=1 ,correspondentes aos pontos yA1e yA2.
6.
Calcula-se os valores de yCC_A1e yCC_A2 por meio da expresso
yA =yCC_A +yC
STUB DUPLO
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7.
Encontra-se o comprimento do toco dAdo ngulo entre o pontoyCC_Ae o ponto yT=!- PCA(zT=0 curto circuito) no sentido anti-horrio da carga de Smith, ou seja, em direo carga.
8.
Encontra-se o comprimento do toco dBdo ngulo entre o pontojbBe o ponto yT=!- PCA(zT=0 curto circuito) no sentido anti-horrio da carga de Smith, ou seja, em direo carga.
Exerccio
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Exerccio
Uma linha de transmisso de 50
conectada a uma carga deimpedncia igual a (60 + j80) . Um toco duplo de /8 utilizado para fazer o casamento da carga com a linha detransmisso. Determine os comprimentos dos tocos curtocircuitados (dAe dB).
5. Linha fendida
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Notas de aula de Ondas e Linhas Prof. Dr. Helder Alves Pereira
As medidas de corrente e tenso em altas frequncias so
muito difceis de serem realizadas porque os dispositivos demedida adquirem dimenses apreciveis e todo o circuito setorna uma linha de transmisso.
A linha fendida um dispositivo simples, utilizado nadeterminao da impedncia de uma carga desconhecidaem altas frequncias, operando at a regio de GHz.
Ela consiste de uma seo de linha de transmisso que usao ar como dieltrico (sem perdas), com uma fenda nocondutor externo.
A linha tem uma ponta de prova paralela ao campo eltrico,que capta uma amostra desse campo e consequentemente
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7/24/2019 OL - Aula 03
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que capta uma amostra desse campo e, consequentemente,mede a diferena de potencial entre a ponta de prova e o
condutor externo.
A linha fendida usada, principalmente, em conjunto com acarta de Smith para determinar a relao da onda
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carta de Smith para determinar a relao da ondaestacionria s (a razo entre a tenso mxima e a tenso
mnima) e a impedncia de carga ZC.
O valor de s pode ser lido diretamente no medidor dodetector quando a carga est conectada.
Para determinarmos ZC substitumos, inicialmente, a carga
por um curto-circuito e anotamos as posies dos mnimosde tenso na escala calibrada.
Como os valores de impedncia se repetem a cada meiocomprimento de onda (/2), quaisquer mnimos podem ser
selecionados como ponto de referncia da carga.
Determinamos, agora, a distncia do ponto de refernciaselecionado at a carga substituindo o curto-circuito pela
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7/24/2019 OL - Aula 03
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selecionado at a carga, substituindo o curto circuito pelacarga e anotando as novas posies dos mnimos de tenso.
A distncia l (distncia de VMin at a carga), expressa emtermos de , usada para localizar a posio da carga emum crculo sda carta.
Podemos tambm localizar a carga usando l, que adistncia de VMi at o gerador
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distncia de VMinat o gerador.
Tanto lcomo lpodem ser usados para localizar ZC.
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Linha fendida
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O procedimento envolvido na utilizao da linhafendida resumido a seguir:
Com a carga conectada, leia o valor de s no medidor dodetector.
Com o valor de s conhecido, trace o crculo de s na carta deSmith.
Com a carga substituda por um curto-circuito, localize oponto de referncia Z
C
em um ponto mnimo de tenso.
Com a carga novamente conectada na linha, anote a posiode V e determine l
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de VMine determine l.
Marque, na carta de Smith, uma distncia l a partir de VMinna direo da carga.
Encontre o valor de ZCneste ponto.
Exerccios
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Exerccios
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TRANSIENTES EM LINHAS DE TRANSMISSO
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Em algumas aplicaes prticas, tais como redes decomputadores, sinais pulsados podem ser enviados pela linha.
Utilizando-se da anlise de Fourier, um pulso pode ser vistocomo uma superposio de ondas de vrias frequncias.
Portanto, o envio de um sinal pulsado em uma linha pode serconsiderado como o envio simultneo de ondas com diferentesfrequncias.
TRANSIENTES EM LINHAS DE TRANSMISSO
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Assim como na anlise de circuitos, quando um gerador depulsos ou uma bateria conectado a uma linha de transmisso
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pulsos, ou uma bateria, conectado a uma linha de transmisso, ligado, transcorre um certo tempo at que a corrente e a tenso
na linha atinjam valores estacionrios.
Este tempo de transio chamado transiente.
Considere uma linha sem perdas de comprimento le impedncia
caracterstica Zo.
Suponha que a linha acionada por um gerador de pulsos detenso V com impedncia interna Z localizado em z=0 e
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tenso Vg, com impedncia interna Zg, localizado em z 0, eterminada por uma carga ZCpuramente resistiva.
No instante t=0 em que o interruptor fechado, a corrente departida enxerga somente Zge Zo.
Dessa forma, no instante t=0+, tem-se que:
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g
og
oooo
og
g
o
VZZ
ZZIVV
ZZ
VII
+
===
+
==
+
+
)0,0(
)0,0(
Depois que o interruptor fechado, as ondas I+=Io e V+=Vo se
propagam em direo carga com velocidade:
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propagam em direo carga com velocidade:
Como esta velocidade finita, transcorre um certo tempo paraque a onda, que se propaga no sentido positivo, alcance a carga
e com ela interaja.
A presena da carga no tem nenhum efeito sobre as ondasantes de transcorrer o tempo de trnsito, dado por:
LCu 1=
u
l
t =1
Depois de t1segundos, as ondas alcanam a carga.
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A tenso (ou corrente) na carga a soma das ondas de tenso(ou de corrente) incidente e refletida.
Portanto,
onde C o coeficiente de reflexo na carga.
oCoCo
oCoCo
IIIIItlI
VVVVVtlV
)1(),(
)1(),(
1
1
!"=!"=+=
!+=!+=+=
"+
"+
-
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As ondas refletidas V-=CVo e I-=-CIo viajam de volta para o
gerador, adicionando-se s ondas Voe Ioj existentes na linha.
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g , o o j
No tempo t=2t1, as ondas refletidas alcanam o gerador.
Portanto,
( )
oGCC
oCoCG
oCGC
oCoCG
I
IIIItI
V
VVVVtV
)1(
)1()2,0(
)1(
)1()2,0(
1
1
!!+!"=
!"+!"!"=+=
!!+!+=
!++!!=+=
"+
"+
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onde G o coeficiente de reflexo no gerador, dado por:
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Novamente, as ondas refletidas (na extremidade do gerador) V+= GCVo e I
+= GCIo se propagam em direo carga,
continuando o processo at que toda a energia do pulso sejaabsorvida pelos resistores Zge Zo.
Ao invs de acompanhar as ondas de tenso e de corrente de idae de volta, mais fcil levar em considerao as reflexesutilizando diagramas de saltos, tambm conhecidos comodiagramas de telas.
og
ogG
ZZ
ZZ
+
!="
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O diagrama de saltos consiste em uma linha em ziguezagueindicando a posio da onda de tenso (ou de corrente) em
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( )relao extremidade do gerador.
No diagrama de saltos, a tenso (ou a corrente), em qualquerinstante de tempo, pode ser determinada pela soma dos valoresque aparecem no diagrama, acima daquele tempo.
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Exerccio
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Exerccio
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