UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

PROJETO ENGENHEIRO DO FUTURO

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM NOVAS METODOLOGIAS

PARA O ENSINO MÉDIO EM CIÊNCIAS, MATEMÁTICA E TECNOLOGIA

Oficina sobre Construção de Conceitos em Trigonometria

Professoras Isolda Giani de Lima, Laurete Zanol Sauer, Solange Galiotto Sartor

A Trigonometria, segundo orientações PCNEM – parte 3, é “um tema que exemplifica

a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e

competências, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento

excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações para enfatizar os aspectos

importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. Especialmente para o

indivíduo que não prosseguirá seus estudos nas carreiras ditas exatas, o que deve ser

assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem

medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que

correspondem a fenômenos periódicos”.

A trigonometria vem da antiguidade remota (LIMA, 1998), desde quando se

acreditava como circulares as órbitas dos planetas. Conforme esse professor de Matemática,

um dos expoentes contemporâneos, o problema que deu origem a este estudo foi a interesse

em calcular o comprimento de uma corda de circunferência. Daí também se originou o nome

seno, por uma equivocada tradução do termo árabe para o latim, onde se confundiu o termo

jiba (corda) com jaib (dobra, cavidade, sinus em latim). Parece pouca coisa, mas foi disso

que se abriu um dos temas de matemática de mais expressão e aplicação nas diferentes

Ciências da Natureza e Matemática e suas Tecnologias, uma das três grandes áreas

curriculares, segundo os PCNEM.

De uma proposta de atividades de aprendizagem em CARMO; MORGADO; WAGNER

(2005) encontramos uma variedade de situações onde a trigonometria está presente.

A trigonometria, como um problema de triângulos, consiste em determinar e

relacionar, através das razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente, secante,

cossecante e cotangente) os seis elementos de um triângulo retângulo (os três lados

e os três ângulos) sempre que se conhecem três desses elementos, sendo pelo

menos um deles lado do triângulo.

Com esse conhecimento, um navegante, mesmo solitário, em noite escura pode

sair de um ponto A e chegar num ponto B de uma carta náutica, planejando uma

rota poligonal, se conhecer a velocidade do seu barco e possuir, além dessa carta,

um relógio e uma bússula.

Qualquer um de nós, sabendo um pouco de trigonometria pode determinar a

altura de uma torre vertical, ou de uma montanha, se podemos conhecer o ângulo

sob o qual avistamos a torre e sabemos quanto longe, em linha reta, de nós a

mesma se encontra.

Podemos medir a largura de um rio, de uma estrada, de uma ponte, de um

terreno, sempre de margens paralelas, sem atravessá-los.

Se um astronauta em órbita vê uma fração da superfície da Terra (calota

esférica) avistando o diâmetro dessa calota sob um ângulo determinado, ele pode

calcular a área da superfície do Planeta que é vista.

Aristarco de Samos (310-230 a.C.), astrônomo grego, discípulo da Escola de

Alexandria, foi o primeiro cientista a propor que a Terra gira em torno do Sol.

Todavia, esse fato só ficou conhecido através de uma referência de Arquimedes, e a

teoria heliocêntrica só teve reconhecimento e validade mais de mil anos depois, com

Copérnico. Foi ele, Aristarco, quem primeiro “mediu”, com base em triângulos, que

estando a Lua exatamente meio-cheia, o ângulo Lua-Terra-Sol mede

aproximadamente 87 graus. Cometeu um compreensível engano de observação;

sabe-se que esse ângulo é, na realidade, 89 graus e 51 minutos.

Essas e muitas outras situações relacionadas às ciências, importantes também no

contexto das Engenharias, mostram a expressão do conhecimento em trigonometria ao longo

da evolução da humanidade.

O seguinte extrato de texto, disponível em

http://educar.sc.usp.br/licenciatura/1999/TRIGO.HTML (acesso em 23/03/09)

sintetiza as idéias que apresentamos até aqui e amplia as possibilidades de aplicação

quando refere trigonometria plana e trigonometria esférica.

“Trigonometria é o ramo da Matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de

triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas

pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma

seção da superfície de uma esfera.

A trigonometria começou como uma Matemática eminentemente prática, para determinar

distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à agrimensura e à

astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a

trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os ramos

da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o

fluxo de corrente alternada.

A trigonometria começou com as civilizações babilônica e egípcia e desenvolveu-se na

Antiguidade graças aos gregos e indianos. A partir do século VIII d.C., astrônomos islâmicos

aperfeiçoaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relação às funções

trigonométricas.

A trigonometria moderna começou com o trabalho de matemáticos no Ocidente a partir do

século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e

integral por Isaac Newton auxiliaram os cálculos trigonométricos.”

Ainda hoje, como foi em todos os tempos, a trigonometria é tema de estudos nos

níveis básico e superior da educação. Os conceitos fundamentais da trigonometria podem

ser compreendidos e (re)construídos em todas as oportunidades que surge a sua aplicação

ou implicação. Através de construções geométricas, com estratégias de aprendizagem ativa,

pode-se propiciar o envolvimento dos estudantes no sentido de dar significado aos conceitos.

Dessa forma, pode-se promover o reconhecimento de que a aprendizagem requer

compreender e significar o que se aprende, tirando de foco a idéia de decorar, aplicar

fórmulas, fazer cálculos e seguir receitas como metodologias de ensino e aprendizagem.

Referências.

CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto Cesar de Oliveira; WAGNER,

Eduardo; CARVALHO, João Pitombeira de. Trigonometria, números complexos. 3.ed. Rio de

Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005. (Coleção do professor de matemática)

LIMA, Elon Lages. A matemática do ensino médio. 9.ed. Rio de Janeiro, RJ: Sociedade

Brasileira de Matemática, 2006. v. 1. Coleção do professor de matemática.