Oficina 1 operações - material do monitor

Oficina CNI/EF Material do MONITOR

Setor de Educação de Jovens e Adultos

Oficina – Operações

A oficina está dividida em 3 etapas:

- Na primeira etapa serão discutidas com os alunos algumas das inúmeras situações cotidianas em

que fazemos uso das operações com números.

- Na segunda etapa, serão propostas duas situações-problema que envolvem as quatro operações

básicas e o uso do “material dourado” para representar os números.

- A última etapa é constituída de alguns jogos, atividades e curiosidades sobre as operações.

1ª etapa – Discussão sobre a importância das operações

Para iniciar a oficina, é interessante discutir com os alunos que as situações cotidianas que exigem a

capacidade de operar com números são vastas. Pedir que eles deem alguns exemplos. A seguir vão

algumas sugestões.

- Orçamento doméstico: soma das despesas mensais, subtração entre receitas e despesas. Escrever

ou projetar na lousa uma pequena “planilha” e mostrar como determinamos as receitas, os gastos e

o quanto sobra. Neste momento, não é preciso fazer as contas, pois o objetivo é apenas mostrar o

uso das operações em uma situação cotidiana.

Receitas: Despesas:

Salário 1: R$1.200,00 Alimentação: R$ 450,00

Salário 2: R$ 540,00 Serviços básicos (água, luz, gás...): R$ 95,00

Transporte: R$ 300,00

Aluguel: R$ 400,00

- Estimativa da quantidade de tijolos necessários para fazer um muro. Para determinar quantos

tijolos formam uma fileira, devemos dividir o comprimento da fileira pelo comprimento de um tijolo

(mais o rejunte); a mesma coisa para o número de fileiras: devemos dividir a altura da parede pela

altura do tijolo; finalmente, o número total de tijolos na parede é dado pela multiplicação do

número de tijolos em uma fileira pelo número de fileiras. Novamente, ilustrar esse procedimento

desenhando ou projetando na lousa a imagem de uma parede de tijolos, e mostrando como

determinaríamos os números citados, apontando o uso das operações, mas sem fazer os cálculos.



- Preparação de uma feijoada: se serão usados 5 kg de feijão, quantos pacotes de meio quilo de feijão

deverão ser comprados? (operação de divisão).

- Estimativa do gasto mensal com transporte: multiplicação do gasto diário pelo número de dias no

mês em que se faz uso de transporte pago.

- Comparação de datas - resolver problemas como o seguinte: “Minha mãe nasceu em 1947. Quantos

anos ela tinha no golpe militar de 1964”? A operação envolvida é uma subtração entre os anos.

Como foi dito, os exemplos são inúmeros. A lista vai longe...

2ª etapa – Proposição de situações-problema

Nesta etapa, serão propostas algumas situações-problema sobre operações. Argumentar com os

alunos que o primeiro e mais importante passo é identificar a operação envolvida no problema. É

evidente que as técnicas de cálculo são importantes (fundamentais, na verdade), mas só com o

domínio das técnicas não se chega a lugar nenhum! É fundamental compreender o problema e

identificar conceitualmente a operação envolvida.

Com o objetivo de fazer com que os alunos aprimorem sua compreensão e habilidade de cálculo,

pediremos que eles representem com o material dourado os números e as operações necessárias

para a resolução de cada problema.

Se a altura do muro mede 55 cm e a

altura do tijolo (mais o rejunte) é de 5

cm, então haverá 11 fileiras de tijolos

(55 5).

Se a largura do muro mede 120 cm e a largura do tijolo

(mais o rejunte) é de 20 cm, então haverá 6 tijolos em uma

fileira (120 20).

O número total de tijolos é

aproximadamente 11∙6 = 66.



PROBLEMA 1

Um atleta, preparando-se para a corrida de São Silvestre, realizou os seguintes treinos na semana

que antecedeu a prova:

Segunda-feira: 18 km

Terça feira: 20 km

Quarta feira: 15 km

Quinta feira: 14 km

Sexta feira: 13 km

a) Qual a distância total percorrida na semana? Resposta: 80 km

b) Quantos quilômetros a mais ele percorreu na terça feira em relação à quinta feira? Resposta: 6

c) Suponha que nas 5 semanas anteriores ele tenha seguido exatamente o mesmo cronograma de

treinos. Qual a distância total percorrida nestas 5 semanas? Resposta: 400 km

d) Se ele quisesse percorrer a mesma distância total na semana, mas correndo uma mesma distância

todos os dias, quantos quilômetros ele deveria correr por dia? Resposta: 16.

Comentários: Esse problema aborda as quatro operações básicas.

Para o item a), o aluno deverá representar cada uma das 5 distâncias com o material dourado e

depois somá-las, agrupando as unidades e dezenas e transformando os grupos de 10 unidades em

uma dezena. Para os demais itens, seguir a mesma ideia de representação (no item c), será

necessário usar as placas de centenas do material dourado). No item d), comentar que esse cálculo

de divisão recebe um nome especial: é a famosa “média”!

PROBLEMA 2

Um pedreiro vai azulejar uma cozinha. Veja as medidas das quatro paredes:

400 cm

220 cm 220 cm

260 cm

Há duas paredes como essa

40 cm 40 cm

220 cm

260 cm

20 cm

120 cm

Janela

Po

rta

20 cm

60 cm 120 cm



Considere que os azulejos escolhidos para o revestimento são quadrados com lados de 20 cm, já

contando a pequena espessura do rejunte.

a) Quantos azulejos serão usados na cozinha? Resposta: 650 azulejos.

b) Considere que os azulejos são vendidos em caixas que contêm, cada uma, 30 peças. Quantas

caixas o pedreiro precisará comprar para este serviço? Resposta: 22 caixas.

Comentários: Antes de apresentar o problema com todos os seus dados, é interessante propô-lo aos

alunos de maneira bem aberta. Por exemplo, perguntar simplesmente: “quantos azulejos são

necessários para revestir uma parede?” O objetivo é fazer com que os alunos identifiquem as

variáveis relevantes: as medidas das paredes e o tamanho do azulejo.

Esse é um ponto muito importante: os problemas “tradicionais”, isto é, do tipo que costuma ser

cobrado em avaliações, sempre trazem as informações necessárias. Entretanto, avaliar quais são

essas informações é uma habilidade essencial, que devemos desenvolver nos alunos em atividades

como essa.

Após ouvir a opinião dos alunos sobre quais são os dados necessários, fornecer as medidas. Dar

liberdade para que os alunos resolvam como acharem mais conveniente. Para aqueles que não

conseguirem, sugerir que usem a estratégia mencionada no exemplo da parede de tijolos, isto é,

verificar quantos azulejos cabem em uma fileira (dividindo o comprimento da fileira pelos 20 cm de

cada azulejo) e em seguida multiplicar o resultado pelo número de fileiras necessárias. Atenção para

a subtração dos azulejos que ocupariam o espaço da porta e da janela. Veja um exemplo para a

parede com a janela (o desenho está meio desproporcional!):

A exemplo do problema anterior, este trabalha as 4 operações básicas. Não esquecer de representar

as operações com o material dourado (13 ∙ 11, 260 20 etc.)

Janela

N° de azulejos caso não houvesse a janela: 143

13 ∙ 11 = 143

N° de azulejos “ocupados” pela janela: 36 (4 ∙ 9)

N° de azulejos utilizados: 143 – 36 = 107

260 20 220 20



3ª etapa – Atividades, jogos e curiosidades

Atividade 1 – Subtração diferente

Propor aos alunos a leitura do seguinte texto, retirado do site português NETMATE

(http://www.eb23-guifoes.rcts.pt/NetMate/sitio/curiosidades.htm#Algumas curiosidades com

números):

No ano 830, Mohamed Ben Musa Alkarismí, um dos sábios mais notáveis do Século IX, fazia

subtrações de números inteiros da seguinte forma:

(Para que possa acompanhar as operações usaremos aqui algarismos modernos.)

De 12025 vamos tirar 3604.

A operação era iniciada pela esquerda (operação I). Assim, a 12 tirava 3 e restavam 9; cancelava os

algarismos considerados( 12 e 3) e escrevia o resto obtido em cima do "minuendo". (Veja abaixo.)

1 2 0 2 5

3 6 0 4

Continuando: a 90 tirava 6 restavam 84.

A diferença obtida (operação II) era escrita sobre o "minuendo", e os algarismos que formavam os

termos de subtracção eram cancelados.

Por fim, a 8425 tirava 4 e restavam 8421 (operação III).

E assim temos a diferença entre os números dados.

12 – 3 = 9 9 0 2 5

6 0 4

9 0 2 5

6 0 4

8 4 2 5

0 4

90 – 6 = 84



PROBLEMA 3

Usando a técnica descrita no texto, efetue a subtração 1114 – 469

Resposta:

1 1 1 4

4 6 9

O resultado é 654 – 9 = 645.

Atividade 2 - O problema dos “quatro quatros”

Leia a descrição de um interessante jogo matemático.

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra “O Homem que Calculava”, do autor

brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em

formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos

números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos

números, quaisquer sinais e operações matemáticas

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Quatro_quatros

Para compreender melhor o “problema”, vejamos algumas maneiras de se obter os números 0 e 1

por meio de expressões contendo apenas “4 algarismos 4” e os sinais operatórios básicos:

0 = 44 – 44

0 = 4 + 4 – 4 – 4

1 =

1 =

PROBLEMA 4

Tente construir expressões para os números de 0 a 10, formadas apenas quatro algarismos 4 e os

sinais +, – , ∙ e . É permitido também usar os parênteses. Por exemplo:

0 = 4 + 4 – (4 + 4)

Resposta: A seguir estão algumas outras possibilidades, além das escritas acima.

11 – 4 = 7 7 1 4

6 9

71 – 6 = 65 6 5 4

9

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quatro_quatros



;

; ;

;

;

;

;

Comentário: De acordo com o problema original, outros símbolos e operações matemáticas podem

ser usados, como a potenciação, a raiz quadrada, o fatorial (símbolo “!”) etc. Como os alunos ainda

estão no início do curso, devemos nos limitar às operações básicas (+, -, ∙ e ), que, como vimos, são

suficientes para obter expressões para os números de 0 a 10. Talvez os alunos não estejam

familiarizados com o uso dos parênteses. Caso isso aconteça, dar uma breve explicação sobre sua

função em uma expressão numérica, argumentando que futuramente eles verão isso em mais

detalhes (uma sugestão é imaginar os parênteses como um “grupinho” isolado do resto).

Atividade 3 – O problema dos cinco dois

Esta atividade foi extraída do excelente livro “A Magia da Matemática”, de Ilydio Pereira de Sá1. Ela é

bem parecida com a anterior.

PROBLEMA 5

Tente construir expressões para os números de 0 a 10, formadas apenas com cinco algarismos 2 e os

sinais +, – , ∙ e . É permitido também usar os parênteses, mas não é necessário!

Resposta:

Seguem algumas possibilidades (há várias outras, principalmente se usarmos os parênteses!):

0 =

1 Editora Ciência Moderna, 2007.



Atividade 4 – Multiplicação Russa

Como você deve ter percebido na atividade 1, as técnicas “tradicionais” que aprendemos para

efetuar cálculos não são únicas. Diversos povos desenvolveram seus próprios métodos. Veremos

agora uma técnica para efetuar a multiplicação entre dois números inteiros, conhecida como

“multiplicação russa” (por ter sido, segundo alguns pesquisadores, utilizada por camponeses russos

no século 19). Esta técnica também está descrita no livro “A Magia da Matemática”, citado

anteriormente.

Vamos imaginar uma multiplicação qualquer entre dois números inteiros. Por exemplo: 88 ∙ 29.

Escrevemos os dois números lado a lado.

88 29

Em seguida, aplicamos repetidamente o seguinte procedimento: dividimos o número da coluna da

esquerda por 2 e multiplicamos o da direita por 2, escrevendo os resultados na linha de baixo. Caso a

divisão por dois (na coluna da esquerda) não seja exata, o resultado deve ser aproximado para baixo.

O processo termina quando o número da coluna da esquerda chega a 1. Veja:

88 29

44 58

22 116

11 232

5 464

2 928

1 1856

As divisões 11 2 e 5 2 não são exatas. Por exemplo, 11 2 tem

quociente 5 e resto 1. Neste caso, mantém-se o 5 na linha de baixo.

2 ∙2



O passo seguinte é eliminar da tabela as linhas em que o número da esquerda é par:

11 232

5 464

1 1856

Finalmente, somamos os números da coluna da direita:

1856 + 464 + 232 = 2552

Este é justamente o resultado da multiplicação procurada. Pode verificar!

É interessante notar que, com esse método, é possível calcular qualquer multiplicação apenas com

multiplicações e divisões por 2!

PROBLEMA 6

Calcule o produto 24∙431 pelo método russo descrito acima.

Resposta:

24 431

12 862

6 1.724

3 3.448

1 6.896

PROBLEMA 7 – Desafio

Você conseguiria explicar por que o método da multiplicação russa funciona? Discuta com seus

colegas e seu (sua) professor(a) e envie a resposta para [email protected]. Se ela

estiver correta, o grupo será recompensado com “fabulosas somas em dinheiro”!

Outra pergunta: No exemplo dado, se o 29 tivesse sido colocado na coluna da esquerda e o 88 na

coluna da direita, de forma que o 29 fosse sendo dividido por 2 e o 88 fosse sendo multiplicado por

2, isso faria alguma diferença? Resposta: Não!

Atividade 5 – Quadrados mágicos

Um passatempo matemático muito interessante são os “Quadrados Mágicos”, cuja origem remonta

a antes da era Cristã. Como o próprio nome sugere, um quadrado mágico é uma tabela com igual

número de linhas e colunas, onde cada posição deve ser ocupada por um número diferente, de tal

forma que a soma dos números em qualquer linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma. Veja

um exemplo:

3 3.448

1 6.896 3.448 + 6.896 = 10.334

mailto:[email protected]



Observe que a soma dos números em todas as linhas, colunas e nas duas diagonais é sempre igual a

15. Este é um quadrado “de ordem 3”, por possuir 3 linhas e 3 colunas, mas há quadrados de ordens

muito superiores.

O passatempo consiste em completar um quadrado mágico inicialmente preenchido com apenas

algumas posições. Veja um exemplo abaixo:

Podemos iniciar observando que a soma de uma diagonal é 12+15+18 = 45. Esse deve ser, portanto,

o resultado da soma dos números em todas as linhas e colunas. Na coluna da direita, por exemplo, já

temos os números 12 e 14, que somados resultam em 26. Portanto, para que a soma nessa coluna

seja 45, o número do meio deve valer 19 (pois 45 – 26 = 19). O mesmo raciocínio nos permite

concluir que o número do meio da última linha deve ser 13 (pois 18 + 14 = 32, e 45 – 32 = 13). Com

essas duas novas posições preenchidas, não é difícil completar o restante:

PROBLEMA 8

Tente completar o seguinte quadrado mágico:

Atividade 6 – Jogo do resto

O jogo do resto é bastante simples, e está descrito nas páginas 4 e 5 do seguinte artigo:

http://www.feg.unesp.br/~jrzeni/pesquisa/2007/3Jogos/3Jogos-Zeni.pdf

Além de jogar, os alunos deverão responder às 5 questões propostas pelo autor:

37 44 39

36

19

13

11

17 16

http://www.feg.unesp.br/~jrzeni/pesquisa/2007/3Jogos/3Jogos-Zeni.pdf



PROBLEMA 9

1. No começo do jogo, quais os resultados do dado que não permitem ao jogador avançar?

2. Qual o maior número de casas que um jogador pode andar?

3. Por que na casa “0” está escrita a palavra “Tchau”?

4. Estando em uma casa qualquer, quais os resultados no dado que não permitem ao jogador

avançar?

5. Se o jogador estiver na casa “80”, quais são os números que devem sair no dado para que ele

ganhe o jogo? E se ele estiver na casa “51”?

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