OCW Tema 2 Transformada de Laplace

8/16/2019 OCW Tema 2 Transformada de Laplace

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TRANSFORMADASOBJETIVOS

Revisión de las herramientas matemáticas que seutilizan para la obtención del modelo matemático enforma de función de transferencia.

Revisión de la Transformada de Laplace y sus propiedades.

Aplicar la transformada de Laplace para la resoluciónde ecuaciones diferenciales.

Universidad Carlos III de Madrid Señales y Sistemas

Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs



Estudiar los problemas de convergencia de la

transformada de Fourier.

Estudiar la Transformada de Laplace, y su

relación con la transformada de Fourier,comentando sus ventajas y problemas.

Propiedades de dicha transformada y suutilidad.

Objetivos





TRANSFORMADAS

Introducción al concepto matemático detransformada. Transformada de Laplace

1. Formas de representar una señal.2. Transformadas.3. Transformada de Laplace.

4. Propiedades de la T. de Laplace.5. Utilidad de la T. de Laplace.6. Tabla de transformadas de Laplace.





Bibliografía Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed.

Prentice-Hall. Capítulo 2

Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed.Addison-Wesley.

Capítulo Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed.

Prentice Hall. Capítulo 2

F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Secciónde Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid Capítulo 2





Una señal puede representarse de varias maneras

Como función del tiempo Ejemplo: Velocidad de un coche al arrancar

Aparentemente es la representación más natural

FORMAS DE REPRESENTAR

SEÑALES

t

v





Como función de la frecuencia

Ejemplo: Sonido

Harían falta dos gráficas (ej. amplitud & fase)


SEÑALES

f

intensidad






SEÑALES

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

( )( ) 5 s i n 0 . 1 / 4 y t t π = ⋅ + ( )( ) 5 s i n 0 . 1 / 2 y t t π = ⋅ +

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5






SEÑALES

Al tiempo/frecuencia se le denomina variable

independiente

Es posible pasar de una representación a otra

Dependiendo de la información que se pretenda obtenerde la señal, es mejor una representación u otra





TRANSFORMADAS Permiten pasar de un tipo de representación de

señales a otro.

Ejemplo: T(f(tiempo))=F(frecuencia)

T(f(t))





TRANSFORMADAS Se busca simplificar el estudio de las señales y los

sistemas Las transformaciones no siempre tienen un sentido

físico y pueden ser tan solo representacionesmatemáticas

Señales continuas

Transformada de Fourier , s=jω

Transformada de Laplace, s=σ+jω

( ) ( , ) ( )

( , )

b

a

t s

s K t s f t d t

K t s e −

=

=

∫





SERIES DE FOURIER Solo sirven para señales periódicas

Definición

es la frecuencia de la señal f(t)

Posibilitan un estudio de señales temporales (audio) en suscomponentes frecuenciales.

0

0

0

( )

1 ( )

k jk t

k

k

T jk t

k

f t a e

a f t e dt T

ω

ω

=∞

=−∞

−

=

=

∑

∫

T

π ω

20 =





SERIES DE FOURIER Una forma equivalente de representación como una

suma de señales senoidales:

Dado que: cos sin je jθ θ θ = +

00 0cos( arg( )) sin( arg( )) jk t k k k k k a e a k t a j a k t a

ω

ω ω = + + +

0 0( ) cos( arg( )) sin( arg( ))k k

k k k k

k k

f t a k t a j a k t aω ω

=∞ =∞

=−∞ =−∞

= + + +∑ ∑





SERIES DE FOURIER Las series de Fourier es una transformación discreta, que

solo toma valores para frecuencias múltiplo de lafrecuencia de la señal f(t)k ω0 → armónicos

En caso de señales reales:con lo que se anula la parte imaginaria correspondiente ala frecuencia kω0 con la de -kω0

F k F k [ ] [ ]*ω ω 0 0= −

0 0

1

( ) 2 cos( arg( ))k

k k

k

f t a a k t aω =∞

=

= + +∑





SERIES DE FOURIER Ejemplo

1

-0.5

0 0 0( ) c o s s e n

1 1

1 3( ) s e n ( ( 2 1 ) )

4 ( 2 1 )0

k k f t a a k t b k t

k k

f t k t k k

ϖ ϖ

π

∞ ∞= + +∑ ∑

= =

∞= + +∑

+=





SERIES DE FOURIER...)

9

9

7

7

5

5

3

3(

3

4

1)( ++++++=

t sent sent sent sen sent t f

π





SERIES DE FOURIER

+++=

+++=

31

31...

3

4

1)(

15

25...

3

4

1)(

t sen sent t f

t sen sent t f

π π

++==

3

33

4

1)(

4

1)(

t sen sent t f t f

π

+++=

5

5

...

3

4

1

)(

t sen

sent t f π





Relación con las series de Fourier

TRANSFORMADA DE FOURIER





TRANSFORMADA DE FOURIER Definición

Condición de convergencia

( ) ( )

( ) ( )

F f t e dt

f t F e d

j t

j t

ω ω

π ω ω

ω

ω

= ∈ ℜ

=

−∞

∞−

−∞

∞

∫

∫

1

2

( ) ∞<∫∞

∞−dt t f





TRANSFORMADA DE LAPLACE Problemas de convergencia de la transformada de

Fourier

Muchas funciones de las utilizadas en control no

cumplen la condición de convergencia. Para solventar el problema: Se introduce el término

siendo Con el factor se garantiza la convergencia de la integral:

( ) ∞<∫∞

∞−dt t f

( )

( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ( )

ˆˆ ,

t

j t j t

f t f t e

f t e dt f t e d t

σ

ω σ ω σ ω

−

∞ ∞− − +

−∞ −∞

=

= =∫ ∫

( ) ( ) dt et f F t jω ω

−∞

∞−∫=

t e σ −

ℜ∈σ





TRANSFORMADA DE LAPLACE Transformada de Laplace

Convergencia

Relación con la transformada de Fourier

( ) ∫

∫∞+

∞−

∞

∞−

−

=

∈=

+=

j

j

t s

t s

dse s F j

t f

C s s F t d et f s F

j s

σ

σ π

σ

)(2

1

),()()(

a b< <σ

s j=



d d l d d d l



TRANSFORMADA DE LAPLACE Dos funciones pueden tener la misma transformada de

Laplace

Ejemplo:

se diferencian solo en la región de convergencia

x t e t

t

X s e e dt e dt

e

s s

t

t st s t

s t

1

10 0

0

0

0 0

1

( )

( ) ( )

( )

= >

<

= = =

=−

=−

>

∞ − −∞

− ∞

∫ ∫

α

α α

α

α α σ α

x t t

e t

X s e e dt e dt

e

s s

t

t st s t

s t

2

2

0 0

0

0 0

0

1

( )

( ) ( )

( )

=>

− <

= − =− =

=−−

=−

<

−∞

− −

−∞

−

−∞

∫ ∫

α

α α

α

α α σ α



U i id d C l III d M d id S ñ l Si t



TRANSFORMADA DE LAPLACE

UNILATERAL En general, trabajaremos con funciones en las que

f(t)=0 para t<0, en las que la transformada de Laplacequedará definida como

Transf. de Laplace unilateral

que converge para

Es la que usaremos habitualmente

F s f t e dt s t ( ) ( )=∞

−∫0

a < σ






Linealidad

Desplazamiento en el tiempo

Escalado en el tiempo

PROPIEDADES

ax t bx t L aX s bX s1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )+ ← → +

)()( 00 s X e

Lt t x t s− →←−

→←

a

s X a

Lat x 1)(






Desplazamiento en S

Teorema del valor inicial

Teorema del valor final

PROPIEDADES

x o lim s X ss

( ) ( )+→ ∞

=

lim ( ) lim ( )t s

x t sX s→∞ →

=0

e x t L

X st −← → +

α α ( ) ( )






PROPIEDADES DE LA T. L. Derivación

Integración en el tiempo

...)(1)(0

+ →←∫ s X s

Ld xt

τ τ

)0(...)0()()(

)0()()(

11 −−−−

−

−−− →←

− →←

nnn

n

n

x x s s X s L

dt

t xd

x s sX L

dt

t dx






PROPIEDADES DE LA T. L. Diferenciación en s

Convolución

ds

sdX Lt tx

)()( →←−

)()()()( sY s X L

t yt x →←∗






TABLA DE TRANSFORMADASδ

α

α

ω ω ω

ω ω

ω ω α ω

ω

α

α

α

α

( )

( )

( )

( ) !

( )( ) !

( )

s e n ( ) ( )( )

c o s ( ) ( ) ( )

s e n ( ) ( )( ( ) )

c o s ( ) ( )

t

u t t

t s

t u t s

t u t n s

e u t st e u t n

s

t u t s

t u t

s

s

e t u t s

e t u t

nn

t

n t n

t

t

← →

=>

<

← →

← →

← →

← → +

← → +

← → +

← → +

← → + +

← →

+

−

−+

−

−

1

1 0

0 0

1

1

1

0

0 2

0 1

0

0 1

0 2 2

0 2 2

0 2 2

0 +

+ +

( )( ( ) )

s s

α

α ω 2 2

U e s dad Ca os de ad d Se a es y S ste as





UTILIDAD La propiedad de diferenciación en el tiempo nos

convierte las ecuaciones diferenciales en polinomios enel dominio s.

La integral de convolución (respuesta de un sistema ante

una señal) de dos señales en el tiempo se transforma enun producto de señales en el dominio s.

y


RESOLUCIÓN DE ECSUniversidad Carlos III de Madrid Señales y Sistemas



RESOLUCIÓN DE ECS.

DIFERENCIALES1)0(;2)0(;5)(2)(3)( −===++ x xt xt xt x ɺɺɺɺ

2

23

1

525

)2)(1(

5

)23(

5)(

5)1()()23(

5)(2]1)([3]2)([

5)(2)]0()([3)]0()0()([

2

2

2

2

2

2

++

+−=

++

+−−=

++

+−−=

=++++

=+++−+

=+−+−−

s s s s s s

s s

s s s

s s s X

s s s X s s

s s X s sX s s X s

s s X x s sX x sx s X s ɺ

t t eet x 2

2

35

2

5)( −−

+−=


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