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OBMEP - Novas Soluções para os Bancos deQuestões

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www.obmep.org.br OBMEP – Banco de Questões

CONTEÚDO

Banco 2010 7

Banco 2011 9

Banco 2012 11

Banco 2013 13

Banco 2014 15

Banco 2015 19

Banco 2017 21

Banco 2018 27

Errata 29


BANCO 2010

1 Torneio

(Torneio – Questão 27) Sete equipes, divididas em dois grupos, participaram do torneio defutebol do meu bairro. O Grupo 1 foi formado pelas equipes Avaqui, Botágua e Corinense.O Grupo 2 foi formado pelas equipes Dinossauros, Esquisitos, Flurinthians e Guaraná. Naprimeira rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do seu grupo exa-tamente uma vez. Na segunda rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma dasequipes do outro grupo exatamente uma vez.

a) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no Grupo 1?

b) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no Grupo 2?

c) Quantas partidas foram disputadas na segunda rodada?

1 Solução Alternativa de Henrique Assis Silva Rodrigues

a) Podemos fazer usando combinações:(3

2

)= 3!

2!1!= 3.

b) Podemos fazer também usando combinações:(4

2

)= 4!

2!2!= 6.

c) Unificando os dois grupos e contando o total de jogos entre eles, temos(7

2

) = 7!

2!5!= 21

partidas. Agora, retirando-se as partidas contadas nos itens anteriores, obteremos as par-tidas da segunda rodada, i.e., 21−3−6 = 12.


8 OBMEP – Banco de Questões


BANCO 2011

2 Produto 2000 (Problema 68 do Banco)

Quantos números naturais de cinco algarismos têm o produto de seus algarismos igual a2000 ?

2 Solução Alternativa de Danny José Silva

Fatorando o número 2000, obtemos 2000 = 8×5×5×5×2. Como cada algarismo não podeexceder 10 e os números procurados possuem 5 algarismos, temos dois casos a considerar:

1. Primeiro caso: Para 2000 = 8×5×5×5×2, o número de inteiros com esses dígitos é

dado por uma permutaçao com repetição P = 5!

3!= 20 números.

2. Segundo caso: Para 2000 = 5×5×5×4×4, o número de inteiros com esses dígitos é

dado por uma permutaçao com repetição P = 5!

2!×3!= 10 números.

Portanto, existem 20+10 = 30 números.


BANCO 2012

3 Paula escreve números (Problema 13 do nível 3)

Paula escreveu os números 1,2,3, . . . em uma folha de papel quadriculado de acordo com opadrão indicado abaixo. Considerando a sequência 1,3,13,31, . . .; qual é o 30◦ termo dessasequência?

A) 3301 B) 3303 C) 3307 D) 3309 E) 3313



3 Solução Alternativa de Dirceu Borges

A partir da tabela, verificamos que o próximo termo da sequência é o número 57. Assimtemos: f1 = 1, f2 = 3, f3 = 13, f4 = 31 e f5 = 57. Para determinar o valor de f30 precisamosdeterminar a lei de formação da referida sequência fn .

Observando a sequência dos números 1,3,13,31,57, . . . percebemos o seguinte padrão:

1+2−−→ 3

+10−−→ 13+18−−→ 31

+26−−→ 57.

Notemos ainda que, a sequência (2,10,18,26) é uma Progressão Aritmética de razão 8, cujotermo geral, an , é dado por: an = 2+ 8(n − 1) = 8n − 6. Dessa forma, a partir do padrãorepresentado acima, observamos que:

1+(8·1−6)−−−−−−→ 3

+(8·2−6)−−−−−−→ 13+(8·3−6)−−−−−−→ 31

+(8·4−6)−−−−−−→ 57. . .+(8·(n−1)−6)−−−−−−−−−→ fn .

Assim, podemos notar dois fatos interessantes:

1. Cada termo da sequência pode ser determinado apartir de seu termo anterior, pelaseguinte fórmula de recorrência: f1 = 1 e fn+1 = fn + (8n −6).

2. Cada termo da sequência pode ser escrito da seguinte maneira:

f1 = 1

f2 = 1+ (8 ·1−6)

f3 = 1+ (8 ·1−6)+ (8 ·2−6)

f4 = 1+ (8 ·1−6)+ (8 ·2−6)+ (8 ·3−6)

. . .

fn = 1+ (8 ·1−6)+ (8 ·2−6)+ (8 ·3−6) . . . (8 · (n −1)−6)︸︷︷︸S

A soma indicada por S, representa a soma dos termos de uma PA de razão 8, de (n−1) termos,em que: a1 = 2 , an = 8(n −1)−6. Escrevendo essa soma de trás para frente,

S = [8 · (n −1)−6]+ [8 · (n −2)−6]+ [8 · (n −3)−6]+ . . .+ (8 ·3−6)+ (8 ·2−6)+ (8 ·1−6).

Daí,

2S = (8n −12)(n −1)

S = (8n −12)(n −1)

2= (4n −6)(n −1)

Logo, a referida sequência, tem por lei de formação: fn = 4n2 −10n +7. Assim, calculamosfacilmente f30 :

f30 = 4 ·302 −10 ·30+7 = 3307.


BANCO 2013

4 Conjunto de pesos suspensos

A figura representa um conjunto de pesos suspensos em equilíbrio. Se o círculo pesa 40g ,quanto pesa o retângulo?

Observação: Você deve desconsiderar o peso das barras horizontais e dos fios.

4 Conjunto suspenso de pesos - Solução

Seja x o peso do retângulo. Como o retângulo e o triângulo estão em equilíbrio, o peso dotriângulo também é x. Analisando o equilíbrio do conjunto que envolve o losango, o retân-gulo e o triângulo, podemos concluir que o peso do losango é x + x = 2x. Como o peso docírculo deve ser igual ao peso do conjunto formado pelo losango, o retângulo e o triângulo,podemos concluir que o seu peso vale x+x+2x = 4x. Finalmente, dado que 4x = 40g , temosx = 10g .


BANCO 2014

5 Engrenando (Problema 4 do Nível 1)

a) Na figura abaixo, são mostradas duas engrenagens encaixadas, uma engrenagem A com6 dentes e outra engrenagem B com 8 dentes. Todos os dentes têm o mesmo tamanho. Sea engrenagem A der 12 voltas, quantas voltas dará a engrenagem B?

b) Considere 5 engrenagens encaixadas. A primeira tem 10 dentes, e está encaixada comuma segunda engrenagem com 20 dentes, que por sua vez está encaixada com uma ter-ceira engrenagem que tem 40 dentes, que está encaixada com uma quarta engrenagemque tem 80 dentes, que por sua vez está encaixada com uma quinta engrenagem que tem160 dentes. Quando a engrenagem maior der uma volta, qual a soma de voltas que serãodadas por todas as engrenagens?

c) Considere três engrenagens C, D e E, sendo que a engrenagem C está encaixada na en-grenagem D e a engrenagem D está encaixada na engrenagem E. Cada uma delas temuma certa quantidade de dentes, todos do mesmo tamanho. Sabe-se que quando a en-grenagem C deu 160 voltas, a engrenagem D deu 1007 voltas, e a engrenagem E deu 38voltas. Qual o menor número total de dentes das três engrenagens somadas para que issopossa acontecer?



5 Solução Alternativa de Adhonaldo Lopes Sousa

Uma resposta alternativa para o item a). Como as engrenagens estão na proporção de 6/8 =3/4, quando a engrenagem de 6 dentes der uma volta, a engrenagem de 8 realizará apenas3/4 de uma volta. Usando regra de três, temos:

6 Dentes 8 Dentes1 Volta 3/4 Volta

12 Voltas x Volta

Então, x = 12 · 3

4= 9.

6 Qual é a Pintura? (Problema 5 do Nível 1)

Seis círculos, pintados de preto ou branco, estão em fila. A cada passo, uma nova linha deseis círculos é desenhada abaixo e em diagonal. Os novos círculos da nova linha são pinta-dos com uma certa regra simples, que só depende da linha anterior. Veja a figura abaixo edescubra qual é essa regra!

1. Como serão pintados os círculos da sétima linha?

2. Em algum momento todos os círculos de uma mesma linha estarão pintados de preto?

3. Como estarão pintados os círculos da linha de número 2014?


OBMEP – Banco de Questões 17

6 Solução Alternativa de Adhonaldo Lopes Sousa

Uma resposta alternativa para o item c). Observe que as linhas 3,9,15,21,27. . . são iguais,obedecendo um ciclo a cada 6 linhas. Como 2013 é igual a soma de 3 e um múltiplo de 6,segue que as linhas 2013 e 3 são iguais. Assim, as linhas 4 e 2014 são iguais.

Correção: Na resolução que está no Banco de Questões, foi escrito que a linha 8 é igual àlinha 3, no entanto, é a linha 9 que é igual à linha 3.


BANCO 2015

7 Empurrando bloquinhos (Questão 17 do Nível 1)

Um jogo de computador consiste de uma tela em forma de tabuleiro 3×7 no qual há três blo-quinhos deslizantes 1, 2 e 3, ocupando quadradinhos 1×1. O jogo começa conforme a figuraabaixo e cada jogada consiste em escolher um bloquinho e “empurrá-lo” na linha ou coluna.Após ser empurrado, um bloquinho irá parar apenas quando encontrar a borda do tabu-leiro ou outro bloquinho. Por exemplo, se escolhermos o bloquinho 3, poderemos mandá-lopara o canto inferior direito ou para cima encontrando o bloquinho 2. Dois bloquinhos nãopodem ocupar o mesmo quadradinho e quando dois bloquinhos se chocam eles não con-tinuam a se mover. O objetivo é fazer com que algum dos bloquinhos fique parado sobre acasinha marcada no centro do tabuleiro. Mostre como isso pode ser feito.

7 Solução Alternativa de Michel Brasil

Mova o bloquinho 2 ao encontro da 1 e o bloquinho 3 para a esquerda do bloquinho 2. Emseguida, envie o bloquinho 1 para a esquerda do bloquinho 3, como mostra a solução oficial.Repare que nesse momento o bloquinho 1 esta bem acima do centro do retângulo. Entãopodemos mandar o bloquinho 2 para baixo e depois para a esquerda, descer o bloquinho 3e mandar o 2 ao encontro do 3 e, finalmente, ao encontro do 1. Assim, o bloquinho 2 estaráno centro do tabuleiro com dois movimentos a menos que o descrito na solução oficial.


BANCO 2017

1 Cubos e cola

a) Um cubo 3×3×3 foi construído com 27 cubos menores 1×1×1. Para cada par de facesem contato de dois cubos é usado uma gota de cola. Quantas gotas de cola foram usadasao todo?

b) Um cubo 10×10×10 foi construído com 1000 cubos menores 1×1×1. Para cada par defaces em contato de dois cubos é usado uma gota de cola. Quantas gotas de cola foramusadas ao todo?

1 Solução de Carlos Eduardo Pires da Silva

a) Os 27 cubos de dimensões 1x1x1 possuem um total de 27x6=162 faces, já que cada cubopossui 6 faces; cada face do cubo 3×3×3 é formada a partir de 9 faces 1×1, essas faces noentanto não receberam cola, e multiplicando 9 por 6 (quantidade de faces de um cubo)encontramos 54, que é o número total de faces que não receberam cola; de 162 faces, 54não receberam cola, o que nos dá um total de 108 faces coladas. Sabemos que uma gotade cola é usada para colar duas faces, sendo assim o número de gotas de cola utilizada é108/2 = 54 gotas.

b) Usando o mesmo raciocínio anterior. Os 1000 cubos de dimensões 1×1×1 possuem umtotal de 1000x6=6000 faces, já que cada cubo possui 6 faces; cada face do cubo 10x10x10é formada a partir de 100 faces 1×1, essas faces no entanto não receberam cola, e multi-plicando 100 por 6 (quantidade de faces de um cubo) encontramos 600, que é o númerototal de faces que não receberam cola; de 6000 faces, 600 não receberam cola, o que nosdá um total de 5400 faces coladas. Sabemos que uma gota de cola é usada para colar duasfaces, sendo assim o número de gotas de cola utilizada é 5400/2 = 2700 gotas.



2 O cachorro e o gato

Um cachorro avista um gato que está a 30 m de distância e começa a persegui-lo. Amboscomeçam a correr em linha reta, no mesmo sentido e com passadas sincronizadas. O ca-chorro se desloca 50 cm a cada passada enquanto o gato se desloca apenas 30 cm. Depoisde quantas passadas o cachorro alcançará o gato? Justifique sua resposta.

2 Solução alternativa adaptada de Robson C. de S. Lourenço

Como a distância entre o cachorro e o gato é um múltiplo de 30 cm e 50 cm, o ponto deencontro que o problema pede também é um múltiplo dessas duas quantidades. A distânciapercorrida pelo cachorro será o menor múltiplo de 50 que se escreve como d +30k. ComoM MC (30,50) = 150, os candidatos a distâncias percorridas para o ponto de encontro são3000,3150,3300, . . .. Além disso, veja que o gato e o cachorro devem atingir a distância deencontro comm o mesmo número de passadas t . Isso acontece com o elemento 7500 da listaanterior, pois o cachorro terá dado t = 7500/50 = 150 passadas e o gato t = (7500−3000)/30 =150. Portanto, o cachorro alcançará o gato após 150 passadas.



1 Números Naturais escritos no tabuleiro

Considere o seguinte tabuleiro quadriculado onde todos os números naturais foram escritosem diagonal.

. . .

10. . .

6 9. . .

3 5 8 12. . .

1 2 4 7 11. . .

Cada quadradinho possui uma posição denotada por (x, y), em que x representa a coluna,contada da esquerda para a direita, e y representa a linha, contada debaixo para cima. Porexemplo, 12 é o número escrito no quadradinho de posição (4,2):

a) Determine o número que está no quadradinho de posição (4,4).

b) Determine o número que está no quadradinho de posição (1,2016).

c) Determine o número que está no quadradinho de posição (2013,2017).

1 Solução Alternativa de Dayvid Geverson Lopes Marques

a) Basta completar o quadrado, observando os padrões, e obtém-se o número 25.

b) Consideremos a sequência

(1,1) = 1

(1,2) = (1,1)+2

(1,3) = (1,2)+3

(1,4) = (1,3)+4...

(1,n) = (1,n −1)+n

Somando essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos obtemos:

(1,n) = 1+2+ . . .+n

= n(n +1)

2.

Observe que a sequência (1,n) fornece o número que está no quadradinho de posição(1,n), ou seja, 1◦ coluna e enésima linha. Portanto, o número que está localizado noquadradinho de posição (1,2016) é

(1,2016) = 2016 ·2017

2



c) Consideremos a sequência

(2,1) = 2

(2,2) = (2,1)+3

(2,3) = (2,2)+4

(2,4) = (2,3)+5...

(2,n) = (2,n −1)+n +1

Somando essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos obtemos:

(2,n) = 2+3+4+5+ . . .+n +n +1

= n(n +1)

2+n

Com um raciocínio análogo, obtém-se:

(3,n) = n(n +1)

2+n +n +1

(4,n) = n(n +1)

2+n +n +1+n +2

(5,n) = n(n +1)

2+n +n +1+n +2+n +3

Analisemos a sequência

(1,n) = n(n +1)

2(2,n) = (1,n)+n

(3,n) = (2,n)+n +1

(4,n) = (3,n)+n +2

(5,n) = (4,n)+n +3...

(m,n) = (m −1,n)+n +m −2

Somando essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos temos:

(m,n) = n(n +1)

2+n +n +1+n +2+n +3+ . . .+n +m +2

= n(n +1)

2+ m(m −1)

2+ (m −1)(n −1)

Note que (m,n) é uma expressão geral que permite identificar o número dentro do quadrad-inho localizado na m−ésima coluna e n−ésima linha. Portanto, o número que está noquadradinho de posição (2013,2017) é

(2013,2017) = 2013 ·2012

2+ 2017 ·2018

2+2012 ·2016.



3 A operação?

Dados dois números reais a e b, defina a operação a ? b por a ? b = a · b + a + b + 6. Porexemplo, 3?7 = 3 ·7+3+7+6 = 23 e 3?3 = 3 ·3+3+3+6 = 21.

a) Encontre o valor de 9?99.

b) Encontre o número inteiro b tal que 2?b = b.

c) Determine todos os números inteiros positivos a e b, com a < b, tais que a?b = 20.

3 Correção enviada por João Gabriel Machado

No item b) da solução oficial, existe um pequeno erro na última linha. A versão correta é:

b) Temos

b = 2?b

= 2b +2+b +6

= 3b +8.

Daí, 2b =−8 e b =−4.


BANCO 2018

4 A soma desconhecida

Na soma abaixo, letras iguais representam dígitos iguais e letras diferentes dígitos diferentes.

X+ X

Y YZ Z Z

Qual o dígito representado pela letra X ?

4 Solução Alternativa de Enos Mota

Como X ≤ 9, Y Y ≥ 100−2 ·9 = 82 para que a soma resulte em um número de 3 algarismos.Temos duas possibilidades: Y Y = 88 ou Y Y = 99. Por outro lado, 100 ≤ Z Z Z ≤ 99+8+8 =115 e, portanto, só pode ser 111 (já que o algarismo das centenas é 1). Já que 88+2x é par,devemos descartar a primeira possibilidade. Assim, resta apenas: Y Y = 99, Z Z Z = 111 eX = 6.


ERRATA

Banco de Questões 2018

1. Baralho Colorido - Página 60

Trocar "Portanto, o total de cartas que possui o 1 é 100+7 ·19 = 233." por "Portanto, ototal de cartas que possui o 1 é 100+8 ·19 = 252."

2. Dados icosaedricos - Página 61

Trocar "Contando o total de possibilidades chegamos a 10." por "Contando o total depossibilidades chegamos a 5."

3. A cauda do fatorial - Página 141

No final do item e), trocar 80×1+16×2+3×3 = 121 por 80+16+3 = 99.

Agradecemos aos professores Ronaldo Dias, Max Paiva e ao aluno Miguita pelo aviso arespeito desse erro.


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