O Triângulo de Pascal

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sobre o Triângulo A Pascaline

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por númerosque têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foramdescobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

...

Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais defora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dosnúmeros acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5;4 e 6-linha 4).

NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0,coluna 0.

Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:

sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde onúmero está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão

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definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).

Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.

Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.

Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da induçãopara um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para osrestantes.

A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a


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seguinte:

Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método daindução.

Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhepossível chegar ao resultado

Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que

ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.

Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aoscoeficientes da potência de a na expansão de

Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidadesda qual foi também pioneiro.

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11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 106 106 84 36 9 1

...

É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos equidistantes aos extremos do triângulo iguais, ou seja em linguagemmatemática, nCp= nCn-p com n, pÎN0, n³p.

Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quandoum deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1)então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis porele.

Temos como exemplo na linha 7:

1 7 21 35 35 21 7 1

como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.


Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.

Assim temos

Linha 0: 20=1Linha 1: 21=2Linha 2: 22=4Linha 3: 23=8

...


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Podemos verificar também que existem potências de 11, nestetriângulo.

Linha 0: 110=1(100)=1Linha 1: 111=1(101)+1(100)=10+1=11Linha 2: 112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121Linha 3: 113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331Linha 4: 114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641

...

Concluímos assim que:

a maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos aconsiderar;

os coeficientes das potências são os elementos da linha emquestão;

a potência de 11 corresponde à maior potência apresentada nasoma, ou seja, o número da linha.


Na 3ª diagonal encontramos os números triangulares, estes pertencemà categoria dos números figurados (descobertos por matemáticos dasescolas pitagóricas) pois formam figuras geométricas, neste casotriângulos como é exemplificado:

É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares doispares, podendo ser alcançados através de sucessões por recorrênciaatravés da fórmula T(n)= n(n+1)/2 (a partir dos n-1 elementosconseguimos alcançar o elemento n).

Como a partir dos números triangulares se podem obter os númeroshexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui também.


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Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos oprimeiro elemento ao segundo (1+3) obtemos o 4 que é um númeroquadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamoscom o número 9, também ele um número quadrado, e assim por diante.Para além do que estamos habituados a fazer (a2) podemos tambémrepresentar estes números sobre a forma geométrica

Na 4ª diagonal podemos observar mais alguns números figurados taiscomo os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...). Estes,de acordo com os esquemas anteriores também representam formasgeométricas, neste caso um tetraedro (pirâmide regular com basetriangular).

A sua fórmula é:

sendo o seu termo geral :


Pode-se observar no triângulo alguns padrões:


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Padrão do Stick de Hóquei1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

...

Neste padrão verifica-se que um certo número de uma diagonalsomados equivale ao número imediatamente abaixo, não estando nessamesma diagonal.

Pode-se constatar tal resultado através de uma fórmula combinatorial,bastante útil:

Padrão da espiga1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

...

Considerando as diagonais do Triângulo. Pode-se verificar que a somados primeiros n elementos da n-ésima diagonal é igual ao (n+1)-ésimoelemento dessa mesma diagonal. É interessante observar que esses


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elementos das diagonais vão estar todos numa coluna.


Relacionados com este padrão aritmético estão também os números deFibonacci.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

...

Assim podemos ver 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... que correspondem aosnúmeros de Fibonacci, podendo também ser obtidos por recorrência apartir da seguinte fórmula:

F(1)=F(2)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2)


Números de Catalan

Se aos elementos centrais do triângulo os dividissemos pelos númerosnaturais respectivamente, obteríamos a sucessão:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ...

que se chamam números de Catalan.


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Assim genericamente temos:

Cn = [1/(n+1)] x 2nCn = (2n)! /(n!(n+1)!)


O triângulo de Sierpinsky

Este triângulo é um fractal, ou seja, é um processo recursivo, queneste caso, em particular se vai repetindo o número de triângulosequiláteros.

Se ao triângulo de Pascal apagarmos os números ímpares o resultado éum triângulo de Sierpinsky, o mesmo sucede se em vez dos parestivermos os ímpares. Ora vejamos,

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

...

De modo análogo teríamos para os números ímpares.

Para quem quiser explorar mais o triângulo de Pascal aconselhamos quetente, de modo análogo ao que fizemos, pintar todos os divisores de 3,e de 4, ... Verifica-se um certo padrão, que deixamos ao encargo doleitor a sua descoberta...


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