o termômetro de gás a volume constante o expansão térmica ·...

UFABC - Fenômenos Térmicos - Prof. Lugones

AULA 2o  termômetro de gás a volume constante o  expansão térmica

O termometro de gas a volume constanteA lei zero da termodinamica e termometros Dilatacao termica Resolucao de problemas

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A figura abaixo mostra um diagrama esquematico de um termometro de gas devolume constante.

Gas

Regua

Mangueiraflexıvel

Reservatoriode mercurio

Banhoou sistemaa ser medido

P P

P0

■ Primeiramente, o frasco de gas e intro-duzido em um banho de gelo e agua, a0◦C. O reservatorio B e levantado ouabaixado, tal que o nıvel da coluna Aatinja o ponto zero da regua. Mede-seassim a altura h = hi;

■ Em seguida, o frasco e introduzido naagua em ponto de ebulicao, a 100◦C,e novamente o reservatorio B e reajus-tada para que o nıvel da coluna A per-maneca no ponto zero da regua (volu-me igual a situacao anterior). Obtem-sedesta forma a nova altura h = hf .


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A figura abaixo mostra um diagrama esquematico de um termometro de gas devolume constante.

Gas

Regua

Mangueiraflexıvel

Reservatoriode mercurio

Banhoou sistemaa ser medido

P P

P0

■ Primeiramente, o frasco de gas e intro-duzido em um banho de gelo e agua, a0◦C. O reservatorio B e levantado ouabaixado, tal que o nıvel da coluna Aatinja o ponto zero da regua. Mede-seassim a altura h = hi;

■ Em seguida, o frasco e introduzido naagua em ponto de ebulicao, a 100◦C,e novamente o reservatorio B e reajus-tada para que o nıvel da coluna A per-maneca no ponto zero da regua (volu-me igual a situacao anterior). Obtem-sedesta forma a nova altura h = hf .

O termômetro de gás a volume constante


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■ A pressao P no gas esta relacionada com a altura h da coluna do reservatoriode mercurio por

P = P0 + ρgh

onde ρ e a densidade do mercurio e g a aceleracao da gravidade.

■ Como experimentalmente sabe-se que a pressaodo gas varia linearmente com a temperatura,podemos tracar uma reta a partir dos dois pon-tos de referencia, resultando numa curva de cali-bracao.

Para se obter a temperatura de uma determinadasubstancia, executa-se o procedimento usado nosdois pontos de referencia para medir a altura h, aqual permite obter P . Com a pressao, determina-se a temperatura.


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Experiencia 1

Experiencia 2

Experiencia 3

■ A figura ao lado mostra os resultadospara medicoes com diferentes valoresde pressao iniciais a 0◦C.

■ Extrapolando as tres retas, a tempera-tura vai a −273, 15◦C (zero absoluto)quando a pressao chegar a zero. Esteresultado ocorre para diferentes gases(O2, Ar, N2, He, etc.).

■ De acordo com o resultado acima, um gas com temperatura 0 K exerceriapressao nula nas paredes do recipiente. Conforme sera visto em teoriacinetica dos gases, a pressao e proporcional a energia cinetica das moleculasdo gas. Logo, no zero absoluto, as moleculas do gas estarao em repouso.De acordo com a teoria quantica, nao ha como as moleculas entrarem emrepouso, logo havera uma energia residual no gas, conhecida como energiado ponto zero.

Exercício(01((Em(um(termômetro(de(gás(a(volume(constante,(a(pressão(a(20,0°C(é(de(0,980(atm.((((a)(Qual(é(a(pressão(a(45,0°C?((((b)(Qual(é(a(temperatura(se(a(pressão(for(0,500(atm?((

Em#um#termômetro#a#gás#a#volume#constante,#a#Pressão#varia#linearmente#

com#a#Temperatura.

P = aT + b com a = ΔPΔT

T = −273°C→ P = 0#atm ⇒ a = 0, 980 − 020 + 273

→ a = 3, 34 ×10−3

0 = 3, 34 ×10−3 × (−273) + b → b = 0, 91 ⇒ P = 3, 34 ×10−3T + 0, 91

P = 3, 34 ×10−3 × 45 + 0, 91P = 1, 06!atm

(a)( 0, 5 = 3, 34 ×10−3T + 0, 91

T = 0, 5 − 0, 913, 34 ×10−3

T = −123°C

(b)(

Exemplo 1

Expansão Térmica •  Para a maioria das substâncias, quando a temperatura

aumenta ocorre um aumento em seu volume. Esse é o fenômeno da expansão (ou dilatação) térmica.

•  Origem: Aumento da separação média entre os átomos ou moléculas constituintes da substância com o aumento da temperatura (exceções, comportamento anômalo da água. )

•  Freqüentemente, podemos afrouxar uma tampa metálica de um pote de vidro segurando-o em fluxo de água quente. Tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se expandem quando a água quente adiciona energia a seus átomos. (Com a energia adicionada, os átomos podem se afastar mais uns dos outros do que o normal, em oposição às forças elásticas inter-atômicas que mantêm os átomos unidos em um sólido.) Contudo, como os átomos no metal conseguem se afastar uns dos outros mais do que aqueles do vidro, a tampa se expande mais do que o pote e, portanto, fica frouxa.

•  Seções de uma ponte são separadas por juntas de dilatação para que as seções possam se expandir em dias quentes sem provocar rachaduras.

Exemplos de Expansão Térmica (1)

•  Quando uma cavidade em um dente é preenchida, o material utilizado na restauração deve ter as mesmas propriedades de expansão térmica que o dente ao seu redor; de outro modo, o consumo de um sorvete seguido de um café quente poderia ser bastante doloroso.

•  Quando o jato Concorde foi construído, o projeto teve que levar em consideração a expansão térmica da fuselagem resultante do aquecimento pelo atrito com o ar durante um vôo supersônico.



•  Termômetros e termostatos podem ser baseados na diferença nas expansões dos componentes de uma !ra bimetálica.

Muitos termostatos operam baseados neste princípio, fazendo e desfazendo um contato elétrico quando a temperatura sobe e desce.

q  Uma 7ra bimetálica, consis7ndo em uma 7ra de bronze e outra de aço soldadas, na temperatura T0.

q  A 7ra se dobra como mostrado para t emp e r a t u r a s a c im a d e s t a temperatura de referência. Abaixo de T0 , a 7ra dobra do sen7do oposto.

Expansão Térmica Linear

Se a temperatura de uma haste metálica de comprimento L for aumentada de uma quanBdade ΔT, observamos que seu comprimento aumenta de uma quanBdade: ΔL = L0 α ΔT , ou seja, L = L0 + L0 α ΔT

α é uma constante chamada de coeficiente de expansão linear. ΔT = T -‐ T0 (ou seja, Tfinal – Tinicial) ΔL = L -‐ L0 (ou seja, Lfinal – Linicial)

O coeficiente α tem unidade "por grau" ou "por kelvin" e depende do material.

Expansão Térmica Linear Embora α varie um pouco com a temperatura, em muitas aplicações ele pode ser considerado constante para um determinado material.

Expansão Volumétrica Se todas as dimensões de um sólido se expandem com a temperatura, o volume deste sólido também deve se expandir. Para líquidos, a expansão volumétrica é a única que faz senBdo.

Consideremos a expansão térmica de um cubo de lado L. Se cada lado do cubo se expande linearmente segundo L = L0 + L0 α ΔT, o volume final será:

V = L3 = ( L0 + L0 α ΔT )3 = L03 (1 + α ΔT )3

Em geral, a quanBdade α ΔT é muito menor que 1, logo podemos usar uma expansão binomial (1 + x)n ≈ 1 + n x + .... Temos então: V = L3 = L03 (1 + α ΔT )3 ≈ L03 (1 + 3 α ΔT ) = V0 (1 + 3 α ΔT ) Ou seja, em geral: V = V0 (1 + β ΔT ) β = 3 α = coeficiente de

expansão volumétrica

Dilatação térmica com α variável

Na análise anterior, α foi considerado constante, o que normalmente é uma boa aproximação. Para o caso geral, se o coeficiente de dilatação variar com a temperatura, temos que

dL =α(T )LdT ⇒ dL 'L 'L0

L∫ = α(T ')dT

T0

T∫ '

⇒ ln LL0

"

#$

%

&'= α(T ')dT

T0

T∫ '

LL0

= eα (T ')dT

T0

T∫ '

Se a integral no expoente da expressão anterior for muito pequena, podemos fazer uma expansão em serie de Taylor da exponencial:

L = L0 1+ α(T ')dTT0

T∫ '"

#$%&'

eα (T ')dT

T0

T∫ '

=1+ α(T ')dTT0

T∫ '+.....

ex =1+ x +....

Temos então:

Exemplo 2 Exercício(02(•  O(coeficiente(médio(de(expansão(volumar(do(tetracloreto(de(carbono(é(

5,81(X(10.4((°C).1.(Se(um(recipiente(de(aço(de(50(galões(esWver(completamente(cheio(com(tetracloreto(de(carbono(quando(a(temperatura(for(10,0(°C,(quanto(de(excesso(derramará(quando(a(temperatura(se(elevar(para(30,0°C,(considerando(que(o(coeficiente(de(dilatação(linear(do(aço(é(11(x(10.6((°C).1?((

β = 5, 81×10−4 α = 11, 0 ×10−6 Vi = 50 Ti = 10, 0 Tf = 30, 0

ΔV = ΔVTC − ΔVRΔVTC = β ViΔTΔVR = 3α ViΔT

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ ΔV = β − 3α( )Vi Tf − Ti( )

ΔV = 5, 81×10−4 − 3×11, 0 ×10−6( ) × 50 × 30, 0 −10, 0( )ΔV = 0, 548!Galões

Exemplo 3 Exercício(03((Um(termômetro(de(mercúrio(é(construído(como(mostrado(na(figura.(O(tubo(capilar(tem(diâmetro(de(0,004(cm(e(o(bulbo(tem(diâmetro(de(0,250(cm.(Desprezando(a(expansão(do(vidro,(encontre(a(mudança(na(altura(da(coluna(de(mercúrio(que(ocorre(com(uma(mudança(na(temperatura(de(30,0°C(sabendo.se(que(o(coeficiente(de(expansão(volumar(do(mercúrio(é(de(1,82(x(10.4(C.1.((

Vi → Volume'do'Bulbo

ΔV = β Vi ΔTΔV = A × Δh

⎧⎨⎩

⇒ Δh = β Vi ΔTA

Vi =43πrB

3

r = DB

2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒Vi =πDB

3

6

AT = πrT2

r = DT

2

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ A =

πDT2

4

∴Δh = 2β DB3 ΔT

3DT2 =

2 ×1,82 ×10−4 × 0,253 × 303× 0,0042

→ Δh = 3,55'cm

Exemplo 4 Exercício(04((A(20,0°C,(um(anel(de(alumínio(tem(um(diâmetro(interno(de(5,000(cm(e(uma(haste(de(bronze(tem(um(diâmetro(de(5,050(cm.(Considerando(αalumínio(=(24(X(10.6((°C).1,(αbronze(=(19(X(10.6((°C).1(e(TfusãoAl=660oC(responda:(((a)(Se(somente(o(anel(for(aquecido,(qual(temperatura(ele(deve(alcançar(de(tal(forma(que(se(encaixe(sobre(a(haste?(((b)(Se(ambos(forem(aquecidos(juntos,(que(temperatura(eles(devem(alcançar(para(que(o(anel(se(encaixe(sobre(a(haste?(Esse(úlWmo(processo(funcionaria?((

ΔL = αLiΔT ⇔ Rf − Ri = αri Tf − Ti( )5, 05 − 5, 00 = 24 ×10−6 × 5, 00 × Tf − 20, 0( )→ 0, 05 = 1, 2 ×10−4 × Tf − 20, 0( )Tf =

5 ×10−2

1, 2 ×10−4+ 20 → Tf = 437°C

(a)(

Lf = Li 1+αΔT( )

RfA = Rf

B ⇒ RAi 1+αAΔT( ) = RiB 1+αBΔT( ) → ΔT = RA

i − RBi

αBRBi −αAR

Ai

ΔT = 5, 00 − 5, 055, 05 ×19 ×10−6 − 5, 00 × 24 ×10−6

→ ΔT = 2080

Ti = 20 ⇒ Tf = 2100°C

Esse%método%não%funcionaria%pois%o%%Alumínio%já%estaria%derretido.

(b)(

Comportamento anômalo da água • A água, não se comporta como outros

líquidos. Acima de 4°C, a água se expande à medida que T aumenta, como esperado.

• Entre 0 e 4°C, contudo, a água se contrai com o aumento de T. Em torno de 4°C, a densidade da água passa por um máximo. Para qualquer outra T a densidade da água é menor do que este valor máximo.

• Este comportamento da água é a razão pela qual os lagos congelam da superfície para o fundo e não o contrário.

• Quando a água na superfície é resfriada a partir de ~ 10 °C, em direção ao ponto de congelamento, ela fica mais densa do que a água abaixo dela e afunda.

• Abaixo de 4°C, contudo, um resfriamento adicional faz com que a água que está na superfície fique menos densa do que a água abaixo dela, e então ela fica na superfície até congelar.

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