O reticulado E via o corpo ciclotomicoˆ Q z - fc.unesp.br · PDF file2 Reticulados...

ISSN 2316-9664Volume 7, dez. 2016

Edicao ERMAC

Eliton Mendonca MoroUniversidade Estadual Paulista,UNESP-Sao Jose do Rio [email protected]

Carina AlvesUniversidade Estadual Paulista,UNESP-Rio [email protected]

Antonio Aparecido deAndradeUniversidade Estadual Paulista,UNESP-Sao Jose do Rio [email protected]

O reticulado E8 via o corpo ciclotomico Q(ζ20)

The E8-lattice via the cyclotomic field Q(ζ20)

ResumoIntuitivamente, um reticulado no Rn e um conjunto infinito depontos dispostos de forma regular. Dado um reticulado Λ no Rn

e OK o anel dos inteiros de um corpo de numeros K, e possıvelque Λ seja isomorfo a um OK-reticulado? Motivados por estaquestao, neste trabalho apresentamos uma construcao do reticu-lado E8 como um OK-reticulado via corpos ciclotomicos. A van-tagem de obter reticulados por este metodo e que podemos identi-ficar os pontos do reticulado no Rn com os elementos de K. Destaforma, podemos utilizar algumas propriedades do corpo K no es-tudo de tais reticulados. Os reticulados tem aplicacoes em dife-rentes areas, particularmente em teoria da informacao e em crip-tografia. Constelacoes de sinais tendo estrutura de reticulados temsido utilizadas como suporte para transmissao de sinais sobre oscanais gaussianos e com desvanecimento do tipo Rayleigh.Palavras-chave: Reticulado. Teoria dos Numeros Algebricos.Fatoracao de Ideais. Extensao de Corpos.

AbstractIntuitively, a lattice in Rn is an infinite set of points arranged re-gularly. Given a lattice Λ in Rn and OK the ring of integers of anumber field K, is it possible that Λ is isomorphic to OK-lattice?Motivated by this question, in this paper we present a construc-tion of the E8-lattice as OK-lattice via a cyclotomic field. Theadvantage of getting lattice by this method is that we can identifythe lattice points in Rn with the elements of K. In this way, wecan use some properties of the field K in the study of such latti-ces. The lattices has applications in different areas, particularlyin information theory and cryptography. Signal constellations ha-ving a lattice structure have been used as support for transmittingsignals over the Gaussian and Rayleigh fading channels.Keywords: Lattice. Algebraic Number Theory. Factorization ofIdeals. Field Extension.

1 Introducao

Um reticulado Λ e um subgrupo aditivo discreto do Rn. Este conceito surgiu a partir doproblema de como cobrir o espaco Rn com esferas de mesmo raio, de forma que quaisquer duasesferas se toquem no maximo em um ponto e ocupem a maior parte do espaco possıvel.

Dado um reticulado Λ no Rn e OK o anel dos inteiros de um corpo de numeros K, epossıvel que Λ seja isomorfo a um OK-reticulado? Motivados por esta questao, nesta trabalhoapresentamos uma construcao do reticulado E8 como um OK-reticulado via K = Q(ζ20). O re-ticulado E8 e o reticulado de maior densidade de empacotamento em dimensao 8 e e o unicoreticulado par e unimodular nesta dimensao.

2 Reticulados

Apresentamos aqui o conceito de reticulado no Rn e alguns de seus parametros.

Definicao 1. Sejam {v1,v2, ...,vm} vetores linearmente independentes do Rn. O conjunto depontos

Λ =

{x =

m

∑i=1

λivi,λi ∈ Z

}e chamado reticulado de dimensao m e {v1,v2, ...,vm} e chamado de base do reticulado.

Exemplo 2. O reticulado Λ = Z2 e gerado pelos vetores e1 = (1,0) e e2 = (0,1) com os pontosdispostos conforme a figura abaixo.

Definicao 3. Seja {v1, . . . ,vm} uma base de um reticulado. O paralelepıpedo formado pelospontos

λ1v1 + · · ·+λmvm, 0≤ λi < 1

e chamado de paralelepıpedo fundamental ou regiao fundamental do reticulado.

MORO, E. M.; ALVES, C.; ANDRADE, A. A. O reticulado via o corpo ciclotô mico

DOI: 10.21167/cqdvol7ermac201623169664emmcaaaa97108 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/# ! /departamentos/matematica/revista-cqd/

C. Q. D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática

98

v. 7, p. 97-108, dez. 2016. Edição ERMAC.

Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 4. Seja {v1, . . . ,vm} uma base de Λ. Se vi = (vi1, . . . ,vin), para i = 1, · · · ,m, a matriz

M =

v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n

. . .vm1 vm2 . . . vmn

e chamada de matriz geradora do reticulado Λ. A matriz G = MMt e chamada de matriz deGram do reticulado, onde t denota a transposicao.

Assim, os pontos do reticulado sao formados por

Λ = {x = λM | λ ∈ Zm}.

Definicao 5. O determinante do reticulado Λ e definido como sendo o determinante da matriz G,ou seja,

det(Λ) = det(G).

Um reticulado e dito ter posto maximo se m = n, e neste caso M e uma matriz quadrada.Assim,

det(Λ) = (det(M))2.

E importante observar que o mesmo reticulado pode ser representado por mais de umamatriz, e o fato de dois reticulados terem o mesmo determinante nao e suficiente para que elessejam isomorfos.

Definicao 6. Um empacotamento esferico, ou simplesmente um empacotamento no Rn, e umadistribuicao de esferas de mesmo raio no Rn de forma que a intersecao de quaisquer duas esferastenha no maximo um ponto. Um empacotamento reticulado e um empacotamento em que oconjunto dos centros das esferas formam um reticulado Λ no Rn. Alem disso, ρ = min{|λ|; λ ∈Λ, λ 6= 0}/2 e o maior raio para o qual e possıvel distribuir esferas centradas nos pontos de Λ eobter um empacotamento, este raio e entao chamado de raio de empacotamento.

Definicao 7. Seja Λ um reticulado. A densidade de empacotamento de Λ e definida por

∆(Λ) =volume da regiao coberta por uma esfera

volume da regiao fundamental.

Um dos problemas de empacotamento esferico de um reticulado no Rn e encontrar oempacotamento com maior densidade de empacotamento. A seguir, daremos exemplos em di-mensoes 1, 2 e 3.

Exemplo 8. Na dimensao um, temos que os pontos de coordenadas inteiras da reta formam umZ-reticulado cuja a densidade de empacotamento e a melhor possıvel dada por ∆ = 1. Nestecaso, as “esferas” sao intervalos como podemos ver na figura abaixo.

t tt︷︸︸︷. .

-1 0 1

esfera




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Exemplo 9. Na dimensao dois o reticulado hexagonal A2 (favo de mel) e o de maior densidade,dada por ∆=

π√12≈ 0,9069. O empacotamento deste reticulado com base β=

{(1,0),(−1

2 ,√

32 )}

e dado por

t ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qt ��qExemplo 10. Na dimensao 3 o reticulado conhecido como f cc, (face centered cubic) e o empa-cotamento com maior densidade, sendo essa ∆ =

π√18≈ 0,7405.

E conhecido e provado que as densidades de empacotamento dos reticulados A1, A2, D3,D4, D5, E6, E7, E8 e Λ24, de dimensoes 1 a 8 e 24, respectivamente, sao otimas. Para outrasdimensoes nao se sabe as otimas.

O reticulado E8 alem de possuir a maior densidade de empacotamento e o unico reticuladopar e unimodular em sua dimensao.

Definicao 11. O reticulado E8 e um reticulado 8-dimensional, definido por:

E8 = {(x1, · · · ,x8) tal que xi ∈ Z ou xi ∈ Z+12,∀i e ∑xi ≡ 0 (mod 2)}.

A matriz geradora do reticulado E8 e dada por

B =

2 0 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0 00 −1 1 0 0 0 0 00 0 −1 1 0 0 0 00 0 0 −1 1 0 0 00 0 0 0 −1 1 0 00 0 0 0 0 −1 1 012

12

12

12

12

12

12

12

seu raio de empacotamento e ρ = 1√

2e sua densidade de centro e ∆ = 0,2537.

3 Resultados Preliminares

Nesta secao, expomos de modo conciso, resultados necessarios para a construcao do reti-culado E8, que sera apresentada na Secao 5. Dessa forma, nos limitamos a nao demonstrar taisresultados, que podem ser encontrados mais detalhadamente em Samuel (1970).




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 12. Sejam K e L corpos. Dizemos que L e uma extensao de K, denotada por L|K, seK⊂ L.

Definicao 13. Dizemos que a extensao L de K e extensao algebrica se todo elemento α ∈ L foralgebrico, isto e, raiz de algum polinomio monico nao-nulo f (x) em K[x].

Definicao 14. O conjunto dos numeros algebricos de K sobre Q e um anel, chamado de aneldos inteiros algebricos de K, e denotado por OK. Alem disso, OK e um Z-modulo livre de posto[K : Q], cuja base e chamada de base integral.

Todo corpo de numeros K e da forma K=Q(θ) para algum numero algebrico θ ∈K. As-sim K e um Q-espaco vetorial gerado por potencias de θ. Se K tem grau n entao {1,θ, . . . ,θn−1}e uma base de K e o grau do polinomio minimal de θ sobre Q e n e o denotamos por minQθ.

O proximo teorema diz respeito a um homomorfismo entre dois corpos.

Teorema 15. Sejam K, L, subcorpos de C onde L e uma extensao de K e [L : K] = n < ∞. Entao,existe θ ∈ L tal que L = K(θ) e existem exatamente n K-homomorfismos de L em C, σi : L→C, i = 1, . . . ,n, tal que σi(θ) = θi, onde αi sao as raızes distintas em C do polinomio minimal deθ sobre K.

Observacao 16. Quando aplicamos σi a um elemento arbitrario x ∈ L, x =n

∑k=1

akθk,ak ∈ K,

usando as propriedades dos K-homomorfismo temos

σi(x) = σi

(n

∑k=1

akθk

)=

n

∑k=1

σi(ak)σi(θ)k =

n

∑k=1

akθki ∈ C

e temos que a imagem de x sobre σi e univocamente identificada por θi.Os elementos σ1(x),σ2(x), . . . ,σn(x) sao chamados os K-conjugados de x e

NL|K(x) =n

∏i=1

σi(x), TrL|K(x) =n

∑i=1

σi(x)

sao chamados respectivamente, a norma e o traco de x da extensao L sobre K.

Fazendo o uso de alguns conceitos expostos anteriormente, apresentamos a definicao dediscriminante de uma extensao de corpos, que sera de grande utilidade para a construcao doreticulado E8.

Definicao 17. Sejam L uma extensao finita de K de grau n e {ω1, . . . ,ωn} uma base integral deOL Definimos o discriminante de L sobre K como Disc(L|K) = det[σ j(ωi)]

2, onde det denota afuncao determinante.

Duas famılias importantes de corpos de numeros e a dos corpos quadraticos e dos corposciclotomicos. Nestes corpos e possıvel caracterizar seu anel de inteiros, base integral, discrimi-nante, entre outros.

Definicao 18. Seja K um corpo. Dizemos que K e um corpo quadratico se o grau da extensaode K sobre Q e igual a 2, ou seja, [K : Q] = 2.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Observacao 19. Todo corpo quadratico e da forma Q(√

d) onde d e um inteiro livre de quadra-dos.

Dentre os corpos quadraticos e ciclotomicos, a famılia dos corpos ciclotomicos e a maisutilizada na construcao de reticulados algebricos.

Definicao 20. Seja ζn uma raiz n-esima primitiva da unidade, isto e, ζnn = 1 e ζm

n 6= 1 para1≤ m < n. Um corpo ciclotomico K e a menor extensao de Q contendo ζn, isto e, K=Q(ζn).

Definicao 21. Sejam K⊂L uma extensao de corpos de grau n e {σ1, · · · ,σn} os n K-homomorfismosdistintos de L em C. Dizemos que um homomorfismo σi e real se σi(L) ⊂ R. Caso contrario,dizemos que σi e imaginario. Alem disso, se σi for real para todo i = 1, · · · ,n, dizemos que aextensao L|K e totalmente real e, se σi for imaginario para todo i = 1, · · · ,n, dizemos que L|K etotalmente imaginaria.

Exemplo 22. Temos que Q(√

2) e Q(ζ3) sao extensoes quadraticas sobre Q, onde Q(√

2)|Q etotalmente real e Q(ζ3)|Q e totalmente imaginaria.

Observacao 23. E possıvel verificar que se ζn e uma raiz n-esima primitiva da unidade, entaoi) [Q(ζn) : Q] = ϕ(n), onde ϕ e a funcao de Euler e [ : ] denota o grau da extensao..ii) O anel de inteiros de Q(ζn) sobre Z e Z[ζn] e uma Z-base de Z[ζn] e {1,ζn, . . . ,ζ

ϕ(n)−1n }.

iii) Q(ζn +ζ−1n ) e totalmente real e [Q(ζn) : Q(ζn +ζ−1

n )] = 2.

Teorema 24. Sejam n ∈ N;n > 2 e K=Q(ζn), onde ζn e uma raiz n-esima primitiva da unidade.

Se n =r

∏j=1

pa jj , onde p j sao primos distintos e a j ∈ N∗, entao o discriminante de K sobre Q e

dado por

Disc(K|Q) =(−1)

ϕ(n)r2 nϕ(n)

r

∏j=1

pϕ(n)p j−1

j

,

onde ϕ e a funcao de Euler.

No que segue, apresentamos algumas definicoes com o intuito de caracterizar um OK-reticulado.

Definicao 25. Um corpo de numeros K e chamado de CM se existe um corpo de numeros total-mente real F tal que K e uma extensao quadratica totalmente imaginaria de F.

Exemplo 26. O corpo de numeros Q(√

2,ζ3) e um CM-corpo, pois Q(√

2,ζ3)|Q(√

2) e total-mente imaginaria com [Q(

√2,ζ3) : Q(

√2)] = 2 e Q(

√2)|Q e totalmente real.

Definicao 27. Seja K um corpo de numeros e OK o seu anel de inteiros. O conjunto

D(K|Q)−1 = {x ∈K;∀α ∈ OK,TrK|Q(xα) ∈ Z}

e um ideal fracionario de OK, chamado de codiferente. O seu ideal inverso D(K|Q) e um idealinteiro de OK, chamado de diferente.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Exemplo 28. Sejam K = Q,L = Q(√

d), onde d e um inteiro livre de quadrados e d ≡ 2 ou3 (mod 4). Sabemos que OL = Z[

√d] = {x+ y

√d;x,y ∈ Z} e o anel de inteiros de L sobre Z.

Temos que

D(L|K)−1 =1

2√

dZ[√

d].

De fato:

i) Se x ∈ 12√

dZ[√

d], entao x =1

2√

d(a+b

√d);a,b ∈ Z. Dado y = c+ e

√d ∈ OL,

TrL|K(xy) = TrL|K

((1

2√

d(a+b

√d))(c+ e

√d))

= TrL|K

(1

2√

dac+

ae2+

bc2+

be√

d2

)= ae+bc ∈ Z.

Assim, x ∈D(L|K)−1. Logo1

2√

dZ[√

d]⊂D(L|K)−1.

ii) Se x = a+ b√

d ∈ D(L|K)−1, entao a,b ∈ Q,x ∈ L e TrL|K(xy) ∈ Z,∀y ∈ Z[√

d]. Tomandoy = 1,

TrL|K(xy) = TrL|K(a+b√

d) = 2a ∈ Z.

Assim, a =m2

;m ∈ Z. Tomando y =√

d,

TrL|K(xy) = Tr(a√

d +bd) = 2db ∈ Z.

Assim, b =n

2d;n ∈ Z. Logo x =

m2+

n2d

√d =

12√

d(n+m

√d) ∈ 1

2√

dZ[√

d]. Desta forma

D(L|K)−1 ⊂ 12√

dZ[√

d].

Portanto, de (i) e (ii) segue a igualdade D(L|K)−1 =1

2√

dZ[√

d].

Proposicao 29. Sejam K um corpo de numeros totalmente real ou um CM-corpo, φ : K→ K aconjugacao complexa, F o corpo fixo por φ, I um ideal fracionario nao nulo de OK e α ∈ F talque αI φ(I )⊂D(K|Q)−1. Seja

bα : I × I → Z(x,y) 7→ TrK|Q(αxφ(y)).

Temos que bα esta bem definida e e uma forma bilinear simetrica.

Definicao 30. Com as mesmas hipoteses da Proposicao (29), dizemos que o par (I ,bα) e umreticulado ideal ou um OK-reticulado.

Definicao 31. Dizemos que o reticulado ideal (I ,bα) e par se bα(x,x) e um numero par paratodo x ∈ I , caso contrario, dizemos que e ımpar.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Exemplo 32. Sejam K=Q(√

2) e seu anel de inteiros OK = Z[√

2]. Considere a forma bilinear

b : Z[√

2]×Z[√

2] → Z(x,y) 7→ TrK|Q(xy)

O reticulado ideal (OK,b) e par, pois para todo x= a+b√

2∈OK, temos que b(x,x)=TrK|Q(xx)=TrK|Q((a+b

√2)2) = TrK|Q(a2 +2b2 +2ab

√2) = 2(a2 +2b2) ∈ 2Z.

4 Teorema de Kummer

Os aneis de Dedekind formam uma classe muito importante de aneis dentro da AlgebraComutativa. Nestes aneis todo ideal pode ser expresso de forma unica, a menos da ordem, comoum produto de ideais primos distintos. Nesta secao vamos apresentar alguns resultados sobrefatoracao de ideais e o Teorema de Kummer que sera utilizado na fatoracao dos ideais primos aolongo da construcao do reticulado E8. Para isso consideremos A um domınio de Dedekind, K seucorpo de fracoes, L uma extensao separavel de K de grau n, OL o anel dos inteiros de L sobre A .A demonstracao dos resultados apresentados aqui podem ser encontradas em Samuel (1970).

Seja p um ideal primo de A . Como A e um anel de Dedekind, segue que OL tambem eum anel de Dedekind e portanto a fatoracao de pOL e dada por

pOL =g

∏i=1

qeii , (1)

onde os qi’s sao ideais primos de OL e ei ∈ N. Nosso objetivo e caracterizar esta decomposicao.Definindo o homomorfismo ϕi : A→OL/q〉 por ϕi(x) = x+qi, temos ker(ϕi) = p e, entao,

A/p pode ser identificado com um subanel de OL/qi. Como ambos aneis quocientes sao corpose OL e um A-modulo finitamente gerado, entao OL/qi e um espaco vetorial de dimensao finitasobre A/p.

Definicao 33. Denotamos a dimensao de OL/qi sobre A/p por fi denominando-a de grau deinercia de qi sobre A. O ındice ei da equacao (1) e chamado de grau de ramificacao de qi sobreA.

Definicao 34. Seja p um ideal primo de A , pOL =g

∏i=1

qeii a fatoracao de pOL em um produto de

ideais primos de OL. Dizemos que o ideal p de A e:i) totalmente decomposto em L (ou em OL), quando ei = fi = 1, para todo ideal primo qi queesta acima de p.ii) inerte em L (ou em OL), quando ei = 1, e fi = n para todo ideal primo qi que esta acima de p.iii) totalmente ramificado em L (ou em OL), quando ei = n e fi = 1, para todo ideal primo qi queesta acima de p.iv) ramificado em L (ou em OL), se existir um ideal primo qi de OL que esta acima de p tal queei > 1 para algum i.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 35. Sejam A um anel e f (x) =n

∑i=1

aixi ∈ A[x]. Denotamos por f (x) o polinomio

n

∑i=1

(ai +p)xi ∈ (A/p)[x], onde p e um ideal primo nao nulo de A.

Proposicao 36. Sejam OL o anel de inteiros de L sobre A tal que OL = A [β], para algum β ∈ Le p um ideal primo nao nulo de A . Se f (x) = minKβ e o polinomio minimal de β sobre K ef1(x), · · · , fr(x) sao polinomios monicos em A [x], tal que a fatoracao de f (x) em polinomiosirredutıveis distintos em (A/p)[x] seja dada por

f (x) = f e11 (x) · · · f er

r (x)

entao os ideais primos, dois a dois distintos, q1 · · · ,qr de OL, que estao acima de p satisfazem

OL/q j ∼= (A/p)[β j],

onde β j e uma raiz de f (x). Alem disso, f (q j/p) = grau( f j), para j = 1, · · · ,r.

Teorema 37. (Kummer) Nas condicoes da Proposicao (36), se f (x)= f e11 (x) · · · f er

r (x) e a fatoracaode f (x) em polinomios irredutıveis em A/p[x], entao

pOL = qe11 · · ·qer

r , ondeq j = pOL+ f j(β)OL, para j = 1, · · · ,r,e(q j/p) = e j, para j = 1, · · · ,r ef (q j/p) =grau( f j(x)), para j = 1, · · · ,r.

Exemplo 38. Se L = Q(√−17), entao OL = Z[

√−17] e f (x) = x2 +17 e o polinomio minimal

de√−17 sobre Q. Queremos fatorar os ideais 2OL e 3OL em produto de ideais primos de OL.

Para o ideal 2OL, comox2 +17≡ (x+1)2 (mod (Z/2Z)[x]),

segue quef 1(x) = x+1, e1 = 2, e q1 = 2OL+(1+

√−17)OL.

Portanto, 2OL = q21. Para o ideal 3OL, como

x2 +17≡ (x+1)(x−1) (mod (Z/3Z)[x]),

segue que

f 1(x) = x+1, f 2(x) = x−1, e1 = e2 = 1,q1 = 3OL+1(

√−17)OL e q2 = 3OL+(1−

√−17)OL.

Portanto, 3OL = q1q2·

Os resultados que seguem serao usados para na Secao 5, em que apresentamos a construcaodo reticulado E8.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

Definicao 39. Sejam p um ideal primo de um anel de Dedekind A , K o corpo de fracoes de A , eL um extensao de K. Para cada ideal primo q de OL satisfazendo q∩A = p, o conjunto

DL(q/p) = {σ ∈ G ; σ(q) = q}

e um subgrupo de G =Gal(L|K), chamado de grupo de decomposicao de q com relacao ao idealp.

Definicao 40. Definimos Op(t) = r, para p, t ∈ Z e r ∈ Z+ como sendo a ordem de t modulo p,ou seja, r e menor potencia de t tal que tr ≡ 1 (mod p).

Proposicao 41. Sejam n = pkt, k≥ 1 tal que p nao divide t, p primo, L=Q(ζn), K=Q(ζt) e σ

a conjugacao complexa. Nestas condicoes segue que:i) Se σ ∈ DL(p), entao σ ∈ DK(p).ii) Se σ ∈ DK(p), entao Ot(p)≡ 0 (mod 2).iii) Se Ot(p)≡ 1 (mod 2), entao σ /∈ DL(p).

Teorema 42. Se A e um anel de Dedekind, K seu corpo de fracoes e L uma extensao finita deK, entao

N(D(L|K)) = |Disc(L|K)|,

onde Disc(L|K) e o discriminante de L sobre K e N e a norma algebrica.

Proposicao 43. Sejam K um corpo de numeros tal que K e totalmente real ou um CM-corpo, OK

seu anel de inteiros e φ :K→K a sua conjugacao complexa. Se existe γ∈OK tal que γ+φ(γ) = 1,entao todo OK-reticulado e par.

Teorema 44. Seja I um ideal fracionario nao nulo de OK. Se (I ,bα) e um reticulado ideal, entao

det(bα) = NK|Q(I)2NK|Q(α)|Disc(K|Q)|.

Proposicao 45. Se K e um corpo de numeros tal que K e totalmente real ou e uma extensao total-mente imaginaria de F, de grau 2, entao existe um OK- reticulado do tipo traco com determinanted se, e somente se, existem ideais I ,J de OK tal que N(J ) = d e D(K|Q) = J I I .

Proposicao 46. Se K e um corpo de numeros tal que K e totalmente real ou e uma extensaototalmente imaginaria de F, de grau 2, entao existe um OK reticulado unimodular do tipo tracose, e somente se, existe um ideal I de OK tal que D(K|Q) = I I .

Proposicao 47. Se n ∈ N e tal que n 6= 2m, para algum m ∈ Z, m ımpar, entao os unicos ideaisprimos de Z que se ramificam em Z[ζn] sao da forma p=< p >, onde p e primo e p divide n.

Proposicao 48. Seja D(L|K) =r

∏i=1

qsii , onde qi’s sao ideais primos de OL e si ≥ 0 sao inteiros.

Para todo i = 1, · · · ,r, seja pi = qi ∩A . Se piOL =

(k

∏j=1

ra jj

)qei

i e a fatoracao de piOL em um

produto de ideais de OL, entao si ≥ ei−1, para i = 1, · · · ,n.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

5 O reticulado E8 via Q(ζ20)

Vamos mostrar que escolhendo adequadamente um ideal fracionario I de Q(ζ20) o reti-culado ideal obtido (I,b) de dimensao 8 possui a mesma paridade e o mesmo determinante doreticulado E8, podendo assim ser identificado com o E8.

Para tanto, seja K=Q(ζ20) o 20-esimo corpo ciclotomico. Temos que

[K : Q] = ϕ(20) = ϕ(22 ·5) = ϕ(22)ϕ(5) = 1 ·21 ·4 ·50 = 8.

Vamos fatorar o diferente D(K|Q). Como 2 e 5 sao os unicos primos que dividem 20.Pela Proposicao (47), segue que os ideais gerados por 2 e 5, respectivamente, sao os unicos ideaisprimos de Z que se ramificam em Z[ζ20].

Como φ20(x) = x8−x6+x4−x2+1=minQζ20, segue que φ20(x) = (1+x+x2+x3+x4)2

(mod Z2[x]) e φ20(x) = (2+ x)4(3+ x)4 (mod Z5[x]). Assim, pelo Teorema (37),

2Z[ζ20] = q2, onde q=< 2,1+ζ20 +ζ220 +ζ3

20 +ζ420 > e

5Z[ζ20] = s4r4, onde s=< 5,2+ζ20 > e r=< 5,3+ζ20 >.

Assim, os unicos ideais primos e Z[ζ20] que se ramificam sao q, s e r, sendo estes osunicos ideais primos de Z[ζ20] que dividem o diferente D(K|Q). Logo, pela Proposicao (48),segue que D(K|Q) = qqssrr, onde q≥ 1, r,s≥ 3.

Temos que 28 = |NK/Q(2)| = N(q)2 e, assim, N(q) = 24. Agora, como O4(5) = 1 ≡1 (mod 2), pela Proposicao (41), segue que r 6= r. Logo r = s e, assim, N(r) = N(s). Destaforma,

57 = |NK/Q(5)|= N(s)4N(r)4 = N(s)8,

o que implica que N(r) = N(s) = 5.Pelo Teorema (42), N(D(K|Q)) = |Disc(K|Q)|= 2856. Assim,

N(q)qN(r)rN(s)s = 2856,

o que implica que q = 2 e r = s = 3. Portanto,

D(K|Q) = q2r3s3.

Como r= s e q= q, podemos escrever

D(K|Q) = q2r3s3 = qr3qr3 = (qr3)(qr3).

Como o diferente se fatora desta forma, pelo Corolario (46), segue que existe um OK-reticuladounimodular do tipo traco. Seja I= r−3q−1. Considere a aplicacao:

b : I×I −→ Z(x,y) 7−→ TrK|Q(xy)

Tomando γ = ζ220−ζ4

20 ∈ Z[ζ20] e ζ20 = ζ, temos que




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

γ+ γ = ζ2−ζ

4 +ζ2−ζ4 = ζ2−ζ

4 +ζ18−ζ

16 = ζ8−ζ

6 +ζ4 +1−ζ

4 +ζ18−ζ

16

= ζ8−ζ

6 +1+ζ8ζ

10−ζ6ζ

10 = ζ8−ζ

6 +1−ζ8 +ζ

6 = 1.

Assim, pela Proposicao (43), segue que o OK-reticulado e par. Agora, pelo Teorema (44),

det(b) = N(I)2|Disc(K|Q)|= (5−32−4)22856 = 1.

Portanto, (I,b) e um OK-reticulado par e com determinante 1. Como E8 e o unico reticulado uni-modular e par em sua dimensao (CONWAY, SLOANE, 1988), concluımos que (I,b) e isomorfoao reticulado E8.

6 Consideracoes Finais

Neste trabalho foi apresentado uma maneira de se construir o reticulado E8 via corposciclotomicos, porem existem outras maneiras de se construir o reticulado E8 que nao abordamosaqui.

Em 1948, Shannon descobriu que alguns problemas na area de codigos possuem propri-edades interessantes no que diz respeito a reticulados. Sempre que transmitimos informacoes,ha uma possibilidade da mensagem recebida ser diferente da mensagem enviada. Visando cons-truir bons codigos para recuperar a mensagem enviada ao receptor, usa-se reticulados com boadensidade de empacotamento.

7 Referencias

[1] BAYER-FLUCKIGER, E. Definite unimodular lattices having an automorphism of given cha-racteristic polynomia. Commentarii Mathematici Helvetici. v. 59, p. 509-538, 1984.

[2] BAYER-FLUCKIGER, E. Lattices and number fields. Contemporary Mathematics. v. 241,p. 69-84, 1999.

[3] BOUTROS, J. et al. Good lattice constellations for both Rayleigh fading and Gaussian chan-nels. IEEE Transactions on Information Theory, v. 42, n. 2, p. 502-518, 1996.

[4] CONWAY, J. H.; SLOANE, N. J. A. Sphere packings, lattices and groups. New York:Springer-Verlag, 1988.

[5] SAMUEL, P. Algebraic theory of numbers. Paris: Hermann, 1970.

[6] STEWART, I. N.; TALL, D. O. Algebraic number theory. 2. ed. London: Chapman & Hall,1987.

[7] SHANNON, C. E. A Mathematical Theory of Communications. The Bell System TechnicalJournal, v. 27, p. 379-423, 623-656, 1948.

[8] WASHINGTON, L. C. Introduction to cyclotomic fields. New York: Springer-Verlag, 1982.




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Q (ζ 20 ).E8 , Bauru,

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