O que é uma função na forma implícita, em geral designada...

1

O que é uma função na forma implícita, em geral

designada por função implícita?

Cálculo 2, A função implícita Abril 2009

2

Comecemos ao contrário. Uma função real de variável real como…

y=2x2+4senx


…está na forma explícita! O y está arrumado à esquerda, sozinho! O x à direita, com uns amigos.

3

Que problemas me levanta esta função?

y=2x2+4senx


4

Que problemas me levanta esta função?

y=2x2+4senx


Nenhuns!

O que posso fazer com esta função?

5

Desenhá-la…

y=2x2+4senx


Derivá-la, estudar variações…o costume!

6

Posso torná-la implícita?

y=2x2+4senx


Posso…

y-2x2+4senx=0

2x2+4senx-y=0

O que ganho?....Assim de repente nada….

7


Posso torná-la implícita? Posso…

y-2x2+4senx=0

2x2+4senx-y=0

Posso até escrevê-la na forma chiqueF(x,y)=2x2+4senx-y=0

Mas se desejar explicitar x vejo que afinal já tenho preocupações. Porquê?

8


Seja agora o trajecto inverso: dão-me uma função JÁ na forma implícita, por exemplo

F(x,y)=yx2-exlny-3xy=0

Agora tenho um problema, que já tinha em Cálculo 1 e que permanece em Cálculo 2. E o problema é este: daquela expressão não consigo isolar y ou xpara obter

y=f(x)ou

x=g(y)

9


Apesar de não poder ter expressões explícitas para

y=f(x)nem

x=g(y)vimos em Cálculo 1 que podemos ter em certas condições o conhecimento de

y=f’(x)e dex=g’(y)

num certo ponto!

10

Como ocorre esta situação em Cálculo 2?Um exemplo inútil


Seja a função vectorial muito simples

F:R3 R2

F( x ,y ,z )=

( F1(x,y,z) , F2(x,y,z) )=

(2x+y+z-2,x-y+z-5)=(0,0)

11

Como ocorre esta situação em Cálculo 2?

Um exemplo inútil


Pode ser dada pelo sistema…

2x+y+z-2=0

x-y+z-5=0

…que se pode resolver…explicitar por exemplo….

z=(7-3x)(1/3)

y=(3-x)0.5

Outro exemplo inútil…

12

Outro exemplo inútil


Seja a função vectorial ainda simples

F:R4 R2

F( x ,y ,z ,w)=

( F1(x, y, z, w) , F2(x, y, z, w) )=

(x+y-z-3w , 2x-y+4z-w)=(0,0)

13


Pode ser dada pelo sistema…

x+y-z-3w =0

2x-y+4z-w =0

…que se pode resolver…ou seja…que se pode explicitar; por exemplo….

x=f1(z ,w)=(5/3)z+2/3w

y =f2(z ,w)=(-2/3)z+1/3w

Outro exemplo inútil

Não vejo problemas! Que posso fazer com as funções nesta forma?

14


…a função vectorial for dada por expressões intratáveis?....

x2+y3-lnz-3ew =0

2x7-eseny+z4-w-1 =0

…que NÃQ se pode resolver…NÃO se pode explicitar….

x=f1(z ,w)=?

y =f2(z ,w)=?

Mas se …

Poderei ainda ter alguma informação sem explicitar as funções?

Sim, poderei ter informação sobre a derivada num ponto!!

15

Como se resolvia isto em Cálculo 1?


16

Como se resolvia isto em Cálculo 1?Desde que pudéssemos garantir que

F(x,y)=0era respeitada por um certo ponto (x0,y0)

ou seja desde que

F(x0,y0)=0 e também se

a fórmula seguinte resolvia o problema numa vizinhança de (x0,y0)


0≠∂∂

yF

17102

14 A derivada da função na forma implícita

0),( =∂∂

+∂∂

= dyyFdx

xFyxdF

0=∂∂

+∂∂ dy

yFdx

xF

18103

14 A derivada da função na forma implícita

0=∂∂

+∂∂ dy

yFdx

xF

yFxF

dxdy

∂∂∂∂

−=

19

Esta ideia e esta técnica são

relacionadas para o caso vectorial


4/21/2009 20

Teo. da Função Implícita5

Teorema:

21

0=)y,x(F… é a notação compacta para…

Olhemos com alguma atenção as estruturas….

22


0),(),...,,,,...,,(

0),(),...,,,,...,,(

0),(),...,,,,...,,(

2121

221212

121211

==

==

==

yxFyyyxxxF

yxFyyyxxxF

yxFyyyxxxF

mmnm

mn

mn

43421

M

43421

43421

Olhemos com alguma atenção as estruturas….

23


)x,...,x,x(fy

)x,...,x,x(fy)x,...,x,x(fy

nm

n

n

211

2112

2111

=

==

M

Será que na vizinhança de um certo ponto n+m dimensional existirão…mesmo que não as vejamos…

…e quais serão as suas derivadas?

24


As condições de existência são

000)3

)2

0),()1

),(

),(1

1

1

1

),(

100

00

00

00

≠⇔≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⇔≠∂∂

∈

=

yx

Fy

yxm

mm

m

yx

i

i

J

yF

yF

yF

yF

yF

CF

yxF

L

MM

L

…e a cereja no bolo….

25


[ ] [ ] ),()( 00),(1

),(0 0000yx

yFxF

JJxJ yxFxyx

Fy

yx

∂∂∂∂

−=−=−

)()( 00 xxyx

xf

j

i

j

i

∂∂

=∂∂

Todas as derivadas do tipo

…aparecem sintetizadas na expressão matricial de matrizes Jacobianas

Simbolicamente

Estas Jacobianas estão em caixa!

Esta Jacobiana tem as tais derivadas!!

mXn mXm mXn

26


0

...

...

)(

1

1

1

1

0

xn

mm

n

j

i

xf

xf

xf

xf

xxf

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

MM

UFFF!! Merecemos um exemplo!!!!

Note bem que…

27


Suponha as duas equações macroeconómicas que envolvem 4 variáveis

T taxa de juro de referência do BCE

Y Rendimento disponível

M Velocidade de circulação da moeda

I Taxa de inflação

12

9ln3

2

+=+−

=+

eYIMT

IMYT

28

Cálculo 2, A função implícita Abril 2009Suponha as duas equações macroeconómicas que envolvem 4 variáveis

T taxa de juro de referência do BCE

Y Rendimento disponível

M Velocidade de circulação da moeda

I Taxa de inflação 12

9ln3

2

+=+−

=+

eYIMT

IMYT

012),,,(

09ln),,,(3

2

21

=−−+−=

=−+=

eYIMTIMTYF

IMYTIMTYF

O mercado está em equilíbrio no ponto (Y,T,M,I)=(2,4,1,e)

Isto quer dizer….

29


012),,,(

09ln),,,(3

2

21

=−−+−=

=−+=

eYIMTIMTYF

IMYTIMTYF

),(),(

2

1

MTfIMTfY

==

O meu interesse enquanto economista é estudar a eventual existência de….

…e as respectivas derivadas.

30


Verificação das condições do Teorema da função implícita

1)0,0()),,,(),,,,(( 21 == IMTYFIMTYFF

É uma função de classe C1

2

)0,0()),1,4,2(),,1,4,2(( 21 == eFeFF

31


3

02323

14

3

2

23

),1,4,2(23

2

),1,4,2(

21

),( 00

≠=

==∂∂

=∂∂

eeee

YIII

MTYIFF

yF

eeyx

Posso pois garantir que existem ),(),(

2

1

MTfIMTfY

==

Mas mais!!!

32


[ ] [ ] ),(1

),(0 0000)( yx

Fxyx

Fy

yx JJxJ −

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

MF

TF

MF

TF

IF

YF

IF

YF

TI

TI

MY

TY

22

111

22

11

Estas são com água lisa!! Porquê?Estas são a grande descoberta! Porquê

33


[ ] [ ] ),(1

),(0 0000)( yx

Fxyx

Fy

yx JJxJ −

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

MF

TF

MF

TF

IF

YF

IF

YF

TI

TI

MY

TY

22

111

22

11

Estas são com água lisa!! Porquê?Estas são a grande descoberta! Porquê

34


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

MF

TF

MF

TF

IF

YF

IF

YF

TI

TI

MY

TY

22

111

22

11

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

12

1ln2

3

1

23

2

T

IMY

YIII

MT

TI

TI

MY

TY

Tudo no ponto (Y,T,M,I)=(2,4,1,e)

35


Tudo no ponto (Y,T,M,I)=(2,4,1,e)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

141

22

6

141

23 eee

TI

TI

MY

TY

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

12

1ln2

3

1

23

2

T

IMY

YIII

MY

TI

TI

MY

TY

36


A demonstração da fórmula das derivadas é formativa…

)x,...,x,x(fy

)x,...,x,x(fy)x,...,x,x(fy

nm

n

n

211

2112

2111

=

==

M

Suponhamos que de facto

37


0),(),...,,,,...,,(

0),(),...,,,,...,,(

0),(),...,,,,...,,(

2121

221212

121211

==

==

==

yxFyyyxxxF

yxFyyyxxxF

yxFyyyxxxF

mmnm

mn

mn

43421

M

43421

43421

)x,...,x,x(fy

)x,...,x,x(fy)x,...,x,x(fy

nm

n

n

211

2112

2111

=

==

M

38


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0,...,,...,...,,,,...,,

0,...,,...,...,,,,...,,

0,...,,...,...,,,,...,,

2121121

21211212

21211211

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

44444 344444 21

M

44444 344444 21

44444 344444 21

nmnnm

nmnn

nmnn

xxxfxxxfxxxF

xxxfxxxfxxxF

xxxfxxxfxxxF

39


0),...,,,,...,,(

0),...,,,,...,,(

0),...,,,,...,,(

2121

21212

21211

=

=

=

43421

M

43421

43421

mnm

mn

mn

yyyxxxF

yyyxxxF

yyyxxxF

Calculando o diferencial total em ordem a x1…(para simplificar)

40


0),...,,,,...,,(...

...),...,,,,...,,(),...,,,,...,,(

........

0),...,,,,...,,(...

...),...,,,,...,,(),...,,,,...,,(

12121

1

12121

12121

1

12121

1

1

12121

1

12121

1

1

=∂∂

∂∂

+

+∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+

+∂∂

∂∂

+∂∂

xyyyyxxx

yF

xyyyyxxx

yFyyyxxx

xF

xyyyyxxx

yF

xyyyyxxx

yFyyyxxx

xF

mmn

m

m

mnm

mnm

mmn

m

mnmn

43421

4342143421

43421

4342143421

Atenção….há uns elementos comuns…Serão visíveis se aliviarmos a notação…

41


0......

........

0......

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

+∂∂

xy

yF

xy

yF

xF

xy

yF

xy

yF

xF

m

m

mmm

m

m

42


0......

........

0......

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

+∂∂

xy

yF

xy

yF

xF

xy

yF

xy

yF

xF

m

m

mmm

m

m

43


111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

......

........

......

xF

xy

yF

xy

yF

xF

xy

yF

xy

yF

mm

m

mm

m

m

∂∂

−=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

44


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

m

mm

m

yF

yF

yF

yF

............

...

1

1

1

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

1

1

1

1

1

1

......

xF

xF

xy

xy

mm

As tais…Quais tais? ☺

45


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

......

.........

...

...

xF

xF

yF

yF

yF

yF

xy

xy

m

m

mm

m

m

Repetindo o raciocínio para as outras variáveis x2, …xn chega-se à fórmula geral por simples bricolage

As tais…Quais tais? ☺

46


[ ] [ ] ),()( 00),(1

),(0 0000yx

yFxF

JJxJ yxFxyx

Fy

yx

∂∂∂∂

−=−=−

Simbolicamente

mXn mXm mXn

Trabalho para casa: ESCREVA estas relações entre as três Jacobianas para todas as funções e todas as variáveis.

O que é uma função na forma implícita, em geral designada...

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