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O que equaes de navier stokes?

Artigo postado por: Roseani Borges, Adm. financeiro, em 30/07/2008. colunista desde 18/06/2008.

* O JornalLivre.com.br no se responsabiliza pela publicao deste artigo.Publique seus artigos, cadastre-se.

O que equaes de navier stokes?

Equaes de Navier-Stokes

Origem: Wikipdia, a enciclopdia livre.Ir para: navegao, pesquisa

As equaes de Navier Stokes so equaes diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. So equaes a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de presso.

ndiceesconder

1 Equaes

2 Introduo

3 Suposies bsicas

4 A derivada material

5 Leis de Conservao

5.1 Equao da continuidade

5.2 Conservao do momento

6 A equao

6.1 Forma Geral

6.1.1 A forma das equaes

7 Formas especiais

7.1 Fluidos Newtonianos

7.2 Fluidos Bingham

7.3 Fluidos Incompressiveis

8 Veja tambm

9 Referncias

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Introduo

As equaes de Navier-Stokes foram denominadas assim aps Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equaes que descreveriam o movimento das substncias fluidas tais como lquidos e gases. Estas equaes estabelecem que mudanas no momento e acelerao de uma partcula fluda so simplesmente o produto (resultado) das mudanas na presso e foras viscosas dissipativas (similar a frico) atuando em dentro do fluido. Esta fora viscosa se origina na interao molecular e atua como gavinhas para fluido. Portanto, a Elas so um dos mais uteis conjunto de equaes porque eles descrevem a fsica de um grande nmero de fenmenos de interesse econmico e acadmico. Elas so usadas para modelar o clima, corrente ocenicas, fluxos da gua em canos, movimentos das estrelas dentro da galxia, fluxo ao redor de aeroflios (asas), propagao de fumaa em incndios, etc. Elas tambm so usadas no projeto de aeronaves e carros, o estudo do fluxo sangneo, o projeto de usinas de fora, a analise dos efeitos da poluio, etc. Juntamente com as equaes de Maxwell, elas podem ser usadas para a modelagem e estudos na magnetodinmica.

As equae de Navier-Stokes so equaes diferenciais que descrevem o movimento do fluido. Estas equaes, diferentes das equaes algbricas, no procuram estabelecer uma relao entre as variveis de interesse (por exemplo. velocidade e presso), em vez disto, elas estabelecem relaes entre as taxas de variao ou fluxos destas quantidades. Em termos matemticos, estas razes correspondem a suas derivadas. As equaes de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a acelerao (a razo de variao da velocidade) proporcional a derivada da presso interna.

Isto significa que as solues das equaes de Navier-Stokes para um dado problema fsico devem ser obtidas com a ajuda do clculo. Em termos prticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas solues exatas so conhecidas. Estes casos freqentemente envolvem fluxo no-turbulento em estado estacionrio (o fluxo no varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido grande ou sua velocidade pequena (nmero de Reynolds pequenos).

Para situaes mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Nio ou a sustentao em uma asa, as solues para a equao de Navier-Stokes freqentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este um campo da cincia conhecido como CFD, sigla do ingls Computational Fluid Dynamics ou Dinmica dos Fluidos Computacional.

Embora a turbulncia seja um fenmeno de nossa experincia diria, extremamente difcil encontrar solues para esta classe de problemas. Um prmio de 1.000.000 U$ foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de matemtica Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direo de uma matemtica terica que possa ajudar a entender este fenmeno.

Suposies bsicas

Antes de entrar nos detalhes da equao de Navier-Stokes, necessrio fazer vrias suposies cerca dos fluidos. A primeira que um fluido um meio continuo. Isto significa que ele no contm vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gs, ou que ele no consiste de partculas como da neblina. Outra hiptese necessria que todas as variveis de interesse tais como presso, velocidade, densidade, temperatura, etc., so diferenciveis (isto , no tem transio de fase).

Estas equaes so obtidas de princpios bsicos de conservao da massa, momento, e energia. Para este objetivo, algumas vezes necessrio considerar um volume arbitrariamente finito, chamado de um volume de controle, sobre o qual estes princpios possam ser

facilmente aplicados. Este volume representado por e sua superfcie de confinamento por . O volume de controle permanece fixo no espao ou pode mover-se como o fluido. Isto conduz, contudo, para consideraes especiais, como ser mostrado a seguir.

A derivada material

As mudanas nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. Isso ser ilustrado atravs de um exemplo, utilizando a medio da velocidade do vento na atmosfera. Uma forma de medir estas mudanas com a ajuda de anemmetro em uma estao climtica, ou pela liberao de um balo atmosfrico. Claro que o primeiro caso mais indicado para medio da velocidade de todas as partculas que passam atravs de um ponto fixo no espao. Contudo, no segundo caso, o instrumento est medindo mudanas na velocidade a medida que ele se move com o fluido. A mesma situao surge com medidas da mudana da densidade, temperatura, etc. Contudo, quando aplicamos uma diferenciao devemos destacar as diferenas destes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posio fixa no espao conhecida como espacial ou derivada de Euler. A derivao acompanhando o movimento de uma partcula chamada de substantiva ou derivada Langragiana.

A derivada material definida pelo operador:

onde a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equao a derivada tradicional de Euler (isto , a derivada com referncia a um ponto fixo de referncia) contudo o segundo termo representa as mudanas trazidas pelo movimento do fluido.

Leis de Conservao

As equaes de Navier-Stokes so derivadas dos princpios da conservao da:

Massa

Energia

Momento

Momento Angular

Adicionalmente, necessrio assumir uma relao constitutiva ou equao de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservao estabelece que a razo de mudana de uma propriedade continua L definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que perdido atravs das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto expresso pela equao integral:

Onde v a velocidade do fluido e representa as fontes e sorvedouros no fluido.

Se o volume de controle fixado no espao ento a equao integral pode ser expressa assim:

Note que o teorema da divergncia de Gauss foi usado na deduo desta ltima equao, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle Portanto:

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A expresso acima vlida para , que um volume de controle que permanece fixo no espao. Devido a no variar no tempo,

possvel trocar os operadores " " e " ". E como esta expresso valida para todos os domnios podemos, alm disso, remover a integral.

Com a introduo da derivada material obtemos, quando Q = 0 (nenhuma fonte ou sorvedouro):

Equao da continuidade

A conservao da massa descrita assim:

onde a densidade de massa (massa por unidade de volume), e v a velocidade do fluido.

No caso de um fluido incompressvel, no uma funo do tempo ou espao e a equao se reduz a:

:

Conservao do momento

fi a ith componente da fora atuando no fluido (sempre fora por unidade de volume. As foras comumente encontradas incluem a

gravidade e gradientes de presso. Isto tambm pode ser expresso como:

Note que um tensor, o representa o produto tensorial.

Nos podemos simplificar isto mais, usando a equao de continuidade, obtendo:

a qual frequentemente escrita como:

Na qual reconhecemos o usual F=ma.

A equao

Forma Geral

A forma das equaes

A forma geral das equaes de Navier-Stokes para a conservao do momento :

onde os so a tenso normal, tenso tangencial (tenso cisalhamento), e p a presso esttica, associada como a parte isotrpica do tensor de tenses sem considerar se o fluido est ou no em equilbrio.

Finalmente, temos:

onde a somatria da diagonal principal de .

Esta equao est ainda incompleta. Para complet-la, deve ser feita uma hiptese na forma de , que uma necessria lei constitutiva para o tensor de tenses como mostrado abaixo.

O fluxo tido como sendo diferencivel e contnuo, permitindo que as leis de conservao sejam expressas como equaes diferenciais parciais. No caso de fluidos incompressveis (densidade constante), as variveis a serem selecionadas so os componentes da presso e velocidade. Os trs componentes das equaes de Navier-Stokes mais a conservao da massa (equao de continuidade) formam um sistema fechado de equaes diferenciais parciais bem definidas para estas variveis, que pode ser resolvido, em principio, para condies de contorno adequadas.

A equao pode ser convertida para equaes de Wilkinson pelo uso de variveis secundrias vorticidade e funo de fluxo. A soluo depende das propriedades do fluxo (tais como viscosidade, calor especfico, e condutividade trmica), e das solues de contorno do domnio de estudo.

Formas especiais

Estas so algumas simplificaes usuais do problema para as quais algumas solues so conhecidas.

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Fluidos Newtonianos

Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipteses so vlidas:

onde:

a viscosidade do fluido.

ij o delta Kronecker (1 for i=j; 0 for i j).

Para entender como isto foi derivado, notemos primeiro que no equilibrio, pij=-pij. Para um fluido Newtoniano, a variao do tensor fora

covariante do valor de equilbrio linear no gradiente da velocidade. Ele obviamente no pode depender da prpria velocidade devido a

Covarincia de Galileu. Em outras palavras, pij+pij linear na . O fluido que so considerados aqui so invariante rotacionalmente

(isto , eles no so cristais lquidos.

Fluidos Bingham

Nos fluidos de fluidos Bingham, nos temos algo ligeiramente diferente:

Estes so fluidos capazes de suportar algum fora de cisalhamento antes de iniciar o fluxo. Alguns exemplos comuns so pasta de dentee massa de modelagem.

Fluidos Incompressiveis

A equao de Navier-Stokes so

Para conservao de momento e

para conservao de massa.

onde

a densidade, ui (i = 1,2,3) so os tres components da velocidade,

fi forces que atuam no corpo (tais como a gravidade),

p a presso, a viscosidade dinmica, de um ponto do fluido;

; = eii a divergncia,

ij o delta Kronecker.

Se constante em todo o fluido, o momento da equao acima simplificado para

Se agora adicionalmente assumido constante nos obtemos o seguinte sistema:

Equao de continuidade (assumindo incompressibilidade):

Note que as equaes de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente, a uma escala extremamente pequenas ou sob condies extremas, fluidos reais so constitudos de uma mistura de molculas discretas e outros materiais, tais como partculas em suspenso e gases dissolvidos, o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogneo modelado pela equaes de Navier-Stokes. Dependendo do nmero Knudsen do problema, a mecnica estatstica deve ser uma abordagem mais apropriada. Contudo, as equaes de Navier-Stokes so teis para um grande nmero de problemas prticos, dentro de suas limitaes.

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Cincia

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