O Problema de Pothenot Vali-me de uma solução que elaborei para conhecido problema para localizar pontos de sondagens no mar (Baía de Todos os Santos). Para tal fiz, na época, uso de um sextante invertendo-lhe o manuseio para tomar medidas de ângulos na horizontal. Naquele tempo, 1978, ainda não era possível dispor de um equipamento GPS (Global Positioning System). Acima duas imagens de sextantes. O problema de Pothenot refere-se à determinação de um ponto a partir da medida de dois ângulos tomados a partir do ponto sobre uma base conhecida. Cada ângulo determina um arco capaz e a intersecção de ambos os arcos capazes determina o ponto. Usando as cartas náuticas da baía fiz estabelecer topograficamente as coordenadas, num sistema cartesiano, dos pontos notáveis na costa que eram facilmente avistados do mar, mesmo a grande distância. Tais pontos eram geralmente torres de igrejas, torres de telecomunicação, estruturas da refinaria de Mataripe ou chaminés. Cada grupo de três pontos assim estabelecidos constituía uma Base. A figura abaixo ilustra a leitura com o sextante a partir de um ponto sobre uma base.

A Solução Gráfica do Problema A solução gráfica apresenta bastante simplicidade e se fundamenta no conceito de arco capaz. “O arco capaz de um ângulo φ em relação a um segmento de reta AB é o lugar geométrico dos pontos que formam com as extremidades do segmento um ângulo φ. Esse lugar geométrico é constituído por um arco de circunferência.”

Na figura ao lado os ângulos AMB e ANB e todos os de construção análoga têm o mesmo tamanho φ. O arco AMNB é o lugar geométrico de tais pontos em relação ao segmento AB

A figura seguinte ilustra o traçado gráfico do arco capaz O ângulo SAB é igual a φ e o ângulo SAO é reto. A intersecção de AO com a mediatriz de AB determina o centro O da circunferência.

A M B

P

Problema de Pothenot – solução gráfica

A Solução Analítica A solução analítica do problema não apresenta a mesma simplicidade sendo, porém de utilidade muito maior já que pode ser programada numa rotina de calculadora ou computador, fornecendo o resultado imediatamente após a leitura dos ângulos e dando nova dinâmica aos trabalhos. Consideremos a figura:

Onde A, B e C representam a Base, P é o ponto cuja localização se deseja e α e β os ângulos lidos. As distâncias a, b e c são conhecidas e se deseja obter x, y e z..

A figura tal como se apresenta é a que se obtém na prática, porém não é suficiente para a visualização da solução analítica que, na verdade, é bem intrincada. Por essa razão construirei outra figura enriquecida com outros elementos relacionados com os arcos capazes envolvidos.

O novo desenho mostra as circunferências dos arcos capazes de centros O1 e O2 e raios r1 e r2 respectivamente. A solução será desenvolvida em seis passos: Primeiro

sen22)90cos( 2

2

br

r

b e

sen22)90cos( 1

1

ar

r

a

Segundo

B sendo ACcondeab

cbaarB

)

2cos(

222

Terceiro No triângulo O1O2B façamos O1O2 = s e pela lei dos co-senos:

cos2 212

22

12 rrrrs

Quarto

No triângulo O1O2B cos2 122

12

2 srsrr e então:

sr

rrs

1

22

21

2

2cos

e )

2cos(

1

22

21

2

sr

rrsar

Quinto Observando os triângulos BMO1 e BMO2 temos:

e 2

e 2

Sexto Pela observação dos triângulos BO1P e BO2P podemos concluir que M é o ponto médio de y, ou seja, BM = y/2. Fazendo, por simplicidade y/2 = h e examinando o triângulo

BMO2 temos 2222 hmr e no mesmo triângulo vemos que htgme

h

mtg

fazendo a substituição apropriada:

:)1( 2

2222

2222222

22 entãoe

tg

rhrtghhtghrh

cos2cos 222

22 ryrh

que é a solução procurada. Podemos agora encontrar x e z pelas expressões:

)2

cos(2)2

cos(2 222222 ayyaxebyybz

Encontrando as Coordenadas de P Se os pontos conhecidos A, B e C, a que inicialmente chamei de Base, estiverem referenciados a um sistema de coordenadas Cartesianas, poderemos obter P pelas suas coordenadas, o que será muito útil. Não demonstrarei, mas é possível concluir que: Sendo então:

e analogamente,

O que conclui satisfatoriamente o trabalho matemático.

ea

xx AB arcsenb

yy Bc arcsen90

APAP xxxe

x

xx

sensen BP yyy sen