O Problema de Corte de Estoque

Características típicas:

• problema de várias mochilas - seleção de objetos

• muitos itens devem ser produzidos, porém, de poucos tipos (alta repetição)

• muitos objetos (barras) dever ser cortados, porém, de poucos tipos. Muitos objetos serão igualmente cortados (padrões de corte)

• Qual o número mínimo necessário de barras ?

• Como devem ser cortadas as barras (padrões de corte) ?

Exemplo: Cortar barras de 240 cm (estoque) para a produção de1000 itens de 30 cm (tipo 1)

1250 itens de 42 cm (tipo 2) 2000 itens de 45 cm (tipo 3)

• total de 4250 itens cortados de apenas 3 tipos (bin-packing?)

• muitas barras devem ser igualmente cortadas (padrão de corte = maneira particular de cortar uma barra, que deve ser repetida várias vezes)

A cada padrão de corte associamos um vetor m-dimensional que contabiliza os itens produzidos:

onde i é o número de itens do tipo i no padrão.

ma ,...,, 21

a = ( 2 1 0 2 )T

mi

Llll

i

mm

,...,2,1 inteiro, e 0

...2211

Um vetor (1 2 ...m ) corresponde a um padrão de corte se:

(1) (1) (2) (4) (4)

L

l1 l1 l2 l4 l4

Restrições adicionais de processo

• F = Número Máximo de Facas

2 Facas laterais paraimperfeições!

5 Facas 4 itens!

Facas

(1) (1) (3) (4)

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

Maximizar ...

Sujeito a: ...

... 1

0 e inteiro, 1,..., .

m m

m m

m

i

v x v x v x

l x l x l x L

x x x F

x i m

Restricões de processo

Compartimentos carregados com itens de mesma classe

Ex. medicamentos, alimentos, roupas limpas, roupas sujas, etc.

Os compartimentos têm tamanhos máximos e mínimos e cada novo compartimento inserido na mochila perde-se espaço

Restrições adicionais de processo: Cortagem em estágios

O Problema da Mochila Compartimentada

L = 30

limites mínimo e máximo e perdas para os compartimentos

Lkmax = 9Lk

min = 5 Sk = 1

++

Restricões de processo

O Problema da Mochila Compartimentada

A2

2 2

A2

2 2

A1

1 2

C2

6

fase 1

fase 2

Observações:

• Ao reconhecer um padrão de corte pelo seu vetor associado, não distinguimos entre padrões do tipo:

(2 1 2)T

(2 1 2)T

Padrões equivalentes

(1) (1) (2) (3) (3)

(3) (1) (1) (3)(2)

Modelagem matemática:

1. Defina todas as possíveis maneiras de se cortar os objetos em estoque, isto é, todos os padrões de corte

problema combinatório

2. Decida quantas vezes cada padrão de corte deve ser utilizado para atender a demanda

O Problema de Corte de Estoque

hom

ogên

eos

Exemplo: Comprimento das barras em estoque: L = 120cmComprimentos (demanda) dos itens: (m = 3) l1 = 30cm (d1= 1000) l2 = 42cm (d2=1250) l3 = 45cm (d3=2000)

a1 = (4 0 0)T30303030

Padrão 1:

304545

Padrão 3: a3 = (0 0 2)T

364242

Padrão 2: a2 = (0 2 0)T

304545Padrão 4: a4 = (1 0 2)T

O Problema de Corte de Estoque

Variáveis de decisão:

xj : número de vezes que o padrão j é utilizado, j = 1,2,...

dxaxaxaxa ...44332211

2000

1250

1000

...

2

0

1

2

0

0

0

2

0

0

0

4

4321 xxxx

Base inicial formada pelos padrões homogêneos

O Problema de Corte de Estoque

• Apenas um tipo de barra em estoque em quantidade ilimitada.

• Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada.

• Diversos tipos de barra em estoque em quantidade limitada.

• Problemas de dimensão maiores que 1.

Modelagem Matemática

Apenas um tipo de barra em estoque

Dados do problema:

m : número de tipos de itens

li : comprimento do item tipo i

di : quantidade demandada do item tipo i

L : comprimento (único) da barra em estoque

c : custo de cada barra em estoque

O Problema de Corte de Estoque

Objetivo: Atender a demanda ao custo mínimo.

modelo básicoEtapa 1: Defina todos os possíveis padrões de corte, ou seja,

determine todas as soluções do sistema:

1

2

n

nn

mn

a

Padrão n

...12

222

2m

a

Padrão 2

11

211

1m

a

Padrão 1

O Problema de Corte de Estoque

mi

Llll

i

mm

,...,2,1 inteiro, e 0

...2211

Suponha que as soluções sejam:

Resolva:

1 2

1 1 2 2

1 2

Minimizar ( ) ( ... )

sujeito a: a ...

0, 0,..., 0 e inteiros.

n

n n

n

f x c x x x

x a x a x d

x x x

Otimização linearmétodo simplex – geração de colunas

O Problema de Corte de Estoque

Etapa 2: Seja xj o número de vezes que o objeto (barra) é cortado

usando o padrão de corte j, j = 1,…,n.

m equações – algumas dezenasn variáveis – centenas de milhares !

Alterações no modelo básico

1. Demanda com tolerância:

di 1

i

i i

d

d

1

i

i i

d

d

Ex: i = 0,05

Minimizar ( )

sujeito a:

0

Tf x c x

d Ax d

x

O Problema de Corte de Estoque

Alterações no modelo básico

1 1 ...j j mj mc L l l

1 1 2 2 ( ) ... n nf x c x c x c x

O Problema de Corte de Estoque

2. Função “perda”:

(1)(1) (2)(2)(2) (m)

L

1j l1 2j l2 mj lmcj

Padrão j:

L

(i) (i)

li

ij i

Tl

L = peso (ton) dos itens i no padrão j

T/L = peso específico

(ton/cm)

i

Tl

L = peso do item i

O Problema de Corte de Estoque

Alterações no modelo básico

3. Unidade de demanda em toneladas(bobinas na indústria de papel, metalúrgica,…)

Dados adicionais: T : peso (ton) de cada objeto

1

1,...,n

ij i j ij

Tl x d i m

L

Número de bobinas cortadas usando o padrão j.

j jy T xMudança de variável

ton. no padrão j

4. Corte de retângulos (indústria de papel)

fibra

wi

li

Facas

(1) (1) (3) (4)

O Problema de Corte de Estoque

Alterações no modelo básico

fibrawi

li

Sentido da fibra irrelevante bobina pode ser cortada nos comprimentos:

1 2 1 2, ,..., , , ,...,m ml l l w w w

1ml 2ml 2ml

1 2 1, 2, 2 ,, ,..., , , ,...,T

j j mj m j m j m jw

mesmo item: retângulo l1 w1

1j + m+1,j = qde. do item 1 no padrão j

O Problema de Corte de EstoqueAlterações no modelo básico

Padrão j:

1 1,

2 2,

2 ,

j m j

j m j

j

mj m j

a

Mochila com 2m itens

Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada

• Máquinas diferentes produzem os objetos (comp. diferentes)

em quantidades suficientemente grandes para atender toda a

demanda (indústria de papel).

• Objetos adquiridos no mercado, em tamanhos diferentes, onde

a oferta é grande (construção civil).

O Problema de Corte de Estoque

• Dados de demandam : número de tipos de itens

li : comprimento do item tipo i

di : quantidade demandada do item tipo i

O Problema de Corte de EstoqueBarras ilimitadas em estoque

k1m

k21

k11

k1a

k2m

k22

k12

k2a

jmn

jn2

kn1

k,n

k

k

k

ja

...

Dados de estoque: N : número de tipos de objetos em estoque Lk : comprimento do objeto (barra) tipo k ck : custo da barra tipo k

Padrões de corte para barra de comprimento Lk

Etapa 2: xij o número de vezes que o objeto j é cortado usando o padrão de corte i.

O Problema de Corte de EstoqueBarras ilimitadas em estoque

inteiros. e 0

... a sujeito

...,...),( Minimizar

1122

111

1122

1112111

21

21

ij

n

iiNiN

n

iii

n

iii

n

iiNN

n

ii

n

ii

x

dxaxaxa

xcxcxcxxf

N

N

Diversos tipos de barra em estoque em quantidades limitadas

Dado adicional: ej : quantidade disponível da barra j, j=1,…,N.

inteiros. e 0

... a sujeito

...,...),( Minimizar

1

122

111

1122

111

1122

1112111

2

1

21

21

ij

n

iNiN

n

ii

n

ii

n

iiNiN

n

iii

n

iii

n

iiNN

n

ii

n

ii

x

ex

ex

ex

dxaxaxa

xcxcxcxxf

N

N

N

O Problema de Corte de Estoque

Problemas de dimensões maiores que 1

Regras de cortagem: cortes guilhotinados, estagiados, não guilhotinados guillotinados

O Problema de Corte de Estoque

Etapa 1: definição dos padrões de corte (mais dificil) caso unidimensional: o número de itens no padrão descreve facilmente o padrão de corte. Caso bidimensional: arranjar uma quantidade de retângulos sobre uma placa, sem sobreposição, não é trivial.

Etapa 2: quanto usar de cada padrão para atender a demanda (mesmo modelo de otimização linear)

A modelagem anterior ainda é válida:

L W

(1)

(2)

(3)

(5)

li wi

(4)

(3) (3) (3) (3)

(5)

(2)

(2)(1)

(4) (4)

O Problema de Corte de Estoque Bidimensional

Definição. Um corte sobre uma placa retangular que produza

dois novos retângulos é chamado corte guilhotinado ortogonal,

ou simplesmente, corte guilhotinado.

1 2

3

5

6

12

1

13 3

45 a = (3, 1, 2, 0, 1)T.

Uma sequência de cortes guilhotinados, aplicados sobre a placa e

sobre os retângulos resultantes produz um

padrão de corte guilhotinado

Definição Se o número permitido de estágios é limitado por k, dizemos que o padrão de corte resultante é um padrão de corte guilhotinado em k-estágios.

Os cortes guilhotinados podem ser organizados em estágios da seguinte forma: Num primeiro estágio, cortes guilhotinados são feitos sobre a placa. Em seguida, num segundo estágio, os retângulos obtidos são cortados perpendicularmente ao cortes do estágio anterior, e assim por diante, são definidos estágios de corte.

Um padrão de corte bidimensional guilhotinado 2-estágios: 1º estágio: corte vertical e 2º estágio: corte horizontal

1º estágio

2º estágio 2 1

5

24

O problema de corte bidimensional guilhotinado em 2-estágios

i) Determinar os melhores padrões para as faixas: Lw1 , Lw2 … Lwm.

Itens que podem ser cortados na faixa k: Wk = { i tal que: wi wk }

L

wk

jk i

ik 0, inteiro, i=1,..,m

kWi

ikik vMáximoV

LlkWi

iki

sujeito a:

ii) Determinar quantas vezes cada faixa deve ser utilizada no padrão bidimensional.

Como cada faixa k tem largura wk e a largura da placa é W, temos então de resolver o seguinte problema da mochila:

V= Maximizar V11 + V22 + …+Vrr

sujeito a: w11 + w22 + …+wrr W

10, 2 0,…, r0 e inteiros.

Exemplo. Placa LW = 110110 m = 4 itens,

comprimentos, larguras e valores de utilidade:i li wi vi

1 20 30 62 30 40 123 50 60 304 60 60 36

Faixa 1: 11030 Faixa 2: 11040 Faixa 3: 11060

W1 = { 1 } W2 = { 1, 2 } W3 = { 1, 2, 3,4 }

1 1 1 1 1

L=110

12 2 2

L=110

43

L=110

V1 =30 V2 =42 V3 =66

V = Maximizar 30 1 + 42 2 + 663

sujeito a: 301 + 402 + 603 110

10, 2 0, 30 e inteiros.

Solução: 1 =1, 2 = 1, 3 = 1, V = 138.

43

L=110

1 1 1 1 1

1

2 2 2 W=110

Heurísticas de arredondamento da solução

0~ x

Repetir até que:

Problema Residual: dd-Ay

x~

geração de colunas

xy ~

Arredondamento da solução

Minimizar

sujeito a

0 e inteiro.

Tf x c x

Ax d

x

O Problema de Corte de Estoque Inteiro

?

heurísticas alternativas:

Revisão do arredondamento