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O PÊNDULO MATEMÁTICO E AS FUNÇÕES ELÍPTICAS

Lossian B. B. Miranda

IFPI – Coordenação de Licenciatura em Matemática / [email protected]

Introdução Considere um pêndulo matemático de haste de comprimento fixo � com centro de massa girando ou oscilando sobre a circunferência conforme figura 1. Para cada instante de tempo � a haste faz um ângulo �� com a reta vertical, com �� sendo positivo no sentido anti-horário e negativo em sentido horário.

Figura 1 Pela segunda lei da mecânica clássica temos: (1.1) –�� . O sinal negativo em (1.1) significa que quando �� a aceleração angular é negativa e reciprocamente. EXERCÍCIO 1. Prove a afirmação imediatamente acima [Sugestão: faça inspeção caso a caso para todos os quadrantes do ciclo trigonométrico nas duas orientações. São oito situações, pois para cada um dos quadrantes temos dois sentidos, a saber, horário e anti-horário]. Como a massa � é não nula, podemos cancelar � na equação (1) e isto significa que a equação resultante (1.2) � � � �� independe da massa, e o movimento pendular não se modifica caso a massa varie.

Os três movimentos e os dois equilíbrios

Para melhor fixar as idéias, iniciemos nossa contagem temporal quando a massa � passa pelo ponto mais baixo, ou seja, consideremos �� e �� , com �� sendo o módulo da velocidade tangencial no instante de tempo �. Pela lei de conservação da energia temos: (1.3)

�� .

Substituindo �� por � � �� em (1.3), temos:

(1.4) �� .

Usando-se a notação �� e observando que �� , temos

(1.5) �� !"#�� $�� .

Como posteriormente usaremos funções elípticas e esta teoria já tem uma notação tradicional desde 1823, façamos a notação

(1.6) % � & !"#��. Notemos que % ' � ( �� ' ��, % � � ( �� e % � � ( �� . Ou seja, se % ' � temos oscilação, % � � movimento assintótico (homoclínico) e % � � rotação. Assim, têm-se três tipos de movimentos para serem estudados. OSCILAÇÃO (% ' �. Energia cinética máxima menor que a energia potencial máxima).

Quando o ângulo máximo relativo a uma oscilação é atingido a velocidade tangencial se anula. Denotemos por ) * +�, -. este ângulo. A substituição de �� e �� ) em (1.4) nos dá

(1.7) �� /� � !"#�� 012$ %�.

Por outro lado, (1.5) nos fornece �3� � 4 5�

�&6"7891":", Que com a mudança de coordenada ; � <=��>6 � �� fornece

�3� � 4 5?@>76"891"?,

e esta última, integrada de � a �, nos dá

(1.8) A �3� � 4A 5?@>76"891"??�$� � ��. COMENTÁRIO: Neste momento faremos uma pausa para desenvolver os rudimentos da teoria das funções elípticas de Legendre-Jacobi necessários para, a partir da identidade (1.10), encontrarmos �� Como uma função explícita do tempo �. Historicamente, as funções elípticas surgiram, quase que simultameamente, a partir de três grandes problemas científicos, a saber: i) cálculo de integrais indefinidas de funções racionais; ii) cálculo do comprimentos de uma elipse com qualquer excentricidade; iii) cálculo da solução da equação do pêndulo matemático. Posteriormente estas três visões inicialmente distintas se fundiram numa teoria única e daí, generalizou-se para o domínio dos números complexos. Hoje se tem uma vasta e importante teoria matemática com fortes aplicações em vários ramos da física.

Funções elípticas (conceitos básicos) Consideremos a integral definida

(A1.1) B � A 5CD>7C"C� .

Note que B � B�E� é a integral do inverso da área do círculo trigonométrico da figura abaixo (figura 2). 1 x x 1 -1 -1 Figura 2 Neste caso, imediatamente vê-se que B�E� é função inversível para EF.�, �+. Isto nos permite colocar x em função de B. De fato, do cálculo integral sabemos que B �<=��E e daí temos E � �B. Por volta de 1823, Niels Abel, tentando encontrar a solução da equação do pêndulo matemático, foi levado à equação (1.10). Ele foi levado

a fazer o estudo da função dada por B � A 5?@>76"891"??� . Visto que B � B�;� é função

crescente, Abel foi induzido a investigar como seria a inversa de B � B�;�, ou seja, como deveria ser a variação de ; � ;�B� como função de B. Mais precisamente, tendo em conta que a mudança de coordenada E � �;, através da integração por mudança de variáveis, nos leva à identidade

(A1.2) B � A 5?@>76"891"??� � A 5C@�>7C"��>76"C"�C� , com E � �;,

Abel levantou o questionamento de como deveriam ser as funções E � E�B� e ; �;�B�. Jacobi usou a notação ; � <��B� e denominou tal função por amplitude de B. Como E � �;, E � E�B� foi denotada por Jacobi como E � ��<��B��. Jacobi também definiu: ��; � GHIJ�<��B��; K�;� � KL<��B�M � @� � %��; =@� � %��<��B�� . Gudermann, professor de Karl Weierstrass, propôs a notação atual:

(A1.3) N E � �; � �BD� � E� � ��; � ��BD� � %�E� � K; � 3�BO A função ��B� � �B chama-se seno elíptico, a função ��B, cosseno elíptico e a função 3�B não tem nome. TEOREMA 1 (Características analíticas das funções elípticas). Para as três funções elípticas básicas acima definidas vale as identidades ��B � ��B � � e 3��B �%��B � �. Além disso, temos:

i) 55P �<��B�� 3�B;

ii) 55P ��B� � ��B;

iii) 55P ��B� � ��B3�B;

iv) 55P �3�B� � �%��B��B.

(A1.4).

Demonstração: (i) 55P �<�B� � 5?5P �B� � >QRQS �0TUVJ9J�W>X�� >Y

&YZ["\]^"S� @� � %��; �

D� � %�E� � 3�B;

(ii) 55P ��B� � 55P ��;� �0_9�`aJ5aJba59ca ��; 5?5P � ��B3�Bd

(iii) 55P ��B� � 55P ��;� �0_9�`aJ5aJba59ca � �; 5?5P � ��B3�Bd

(iv) 55P �3�B� � 55P �K;� � 55P e�� %��;�Y"f � >� +� �%��;.7Y" g� � %��;��; 5?5Ph � >� >51P +��%��B��B3�B. � �%��B��B.

As demonstrações de ��B � ��B � � e 3��B � %��B � � são óbvias, decorrendo diretamente de (A1.3). PROPOSIÇÃO 1 (Características numéricas das funções elípticas). Para s funções elípticas valem as igualdades:

(i) �� ; (ii) �� ; (iii) 3�� ; (iv) <��B� � �<�B; (v) ��B� � ��B; (vi) ��B� � ��B; (vii) 3��−u)=dnu.

Demonstração: (i) Se B � � então � � A 5?@>76"891"??� , e como o integrando é positivo, ; � �. Deste modo, �� . (ii) Analogamente ao caso (i), ; � �, e daí, �� . (iii) Analogamente, 3�� D� � %�� .

(iv) <��B� � ;. Como B � A 5?>76"891"??� , se trocarmos o sinal de u,

deveremos trocar o sinal de ; para que haja identidade. Assim, ; � <��B� � �; ��<�BX (v) ��B� � ��;� � ��; � ��B. (vi) ��B� � GHI��;� � ��; � ��B.

(vii) 3��B� � K��;� � @� � %��;� � J@� � %��; �3�B. COMENTÁRIO. Por jogar um importante papel na teoria das funções elípticas, a integral definida

(A1.5) i�%� � A 5?@>76"891"?jk��

Merece destaque especial. Notemos que se na identidade (1.10) tomarmos � para ser a quarta parte do período l�%� da oscilação, teremos que o ângulo máximo

correspondente será ). Da igualdade �; � ��>6 � ��, vê-se que quando � � ),

então ; � -k�. Assim, quando � Varia de – ) a ), ; varia de –-k� a -k�. Conseqüentemente, de (1.10) teremos A 5?@>76"891"?jk�� mT�6�# . Logo, o período da oscilação do pêndulo é dado por

(A1.6) l�%� � #m A 5?@>76"891"?jk�� #n�6�m

Notemos que l�� jm e l�� o, como era de se esperar.

Agora, retornemos à identidade (1.10). Da teoria das funções elípticas acima esboçada temos

(1.9) �;�� , %� �012$apq2sn(��.

De �;�� >6 � �� e de (1.11) resulta

(1.10) �� <=��%��, %��.

Esta última expressão derivada em relação ao tempo � dá-nos

(1.11) �� %��, %�. Portanto, as duas curvas-solução 4rsJt u t� (nos dois sentidos, anti-horário e horário)

de condição inicial, em módulo, ��, �� , !� �, são dadas por

(1.12) 4r�� 4��<=��L%��, %�M, �%��, %��, com % � & !"#�� . EXERCÍCIO 2. Faça a expansão da função T(k) em série de Taylor até a ordem 3. Usando o programa graphmath, ou outro, faça o gráfico do correspondente polinômio de grau 3. Qual o valor que este polinômio dá para o período quando � � v,wJ�k�, �� ,�J�k e � � �,�J�? Calcule, também, T(0) e T(1), neste caso. MOVIMENTO HOMOCLÍNICO (% � �. Energia cinética máxima igual à energia potencial máxima).

Fazendo-se % � � em (1.8) temos 4��3� � � �� 3�, cuja integração de �J a �J nos dá 4�� A � �� 3�. Do cálculo integral sabemos que A � �� 3� � +�xyJ�� .�� J. Disto segue 4�� xyJ�>z891:"b28:" � e pela definição de logaritmo, >z891:"&>7891":" �4m$. Quadrando esta última obtemos uma equação do segundo grau na variável

independente � �� , cujas soluções são:

i) � �� { � � �-J, �Jímpar;

ii) � �� 94"|}7>94"|}z> � 94|}79~|}94|}z9~|} �059�c1cpq2 ��4��. A primeira refere-se ao ponto fixo instável e a segunda nos dá, devido à imparidade das funções envolvidas,

(1.13) �� 4�<=��+��.J. Derivando-se esta última pela regra da cadeia temos

(1.14) �� 4�I�G�J��.

Em síntese, para este movimento, temos as duas curvas-solução 4rsJt u t� dadas por

(1.15) 4r�� g��, �� h � 4��<=��+��., I�G�J��,

com � � @�k� e % � � � ��k��. EXERCÍCIO 3. Use o teorema 1 e a proposição 1 para provar que para as funções elípticas valem as seguintes expansões em série de Taylor:

a) ��B, %� � B � >� �� %��B� � >>�� %� � %#�B� ��

b) ��B, %� � � � >�B�+>�# �� %��B# � >�� %� � ��%#�B� ��

c) 3��B, %� � � � >�%�B� � >�# ��%� � %#�B# � >�� %� � ��%# � %��B� ��

Use estes desenvolvimentos em série de Taylor para desenvolver também em série de Taylor as curvas-solução 4r�� 4��<=��L%��, %�M, �%��, %�� e 4r�� g��, �� h � 4��<=��+��., I�G�J�� dos movimentos oscilatórios e

homoclínico. ROTAÇÃO (i � �. Energia cinética máxima maior que a energia potencial máxima).

Como % � & !"#�� , consideremos %� � >6 �X De �� g !"#�� h ��J�J�>6� �J� � �� - note que esta é a equação (1.5) – segue

(1.16) 4m5$6� � Q:"&>76� "891":" J.

Fazendo-se a mudança de coordenadas ; � �� , teremos 4m$6� � A m5$6�$� J=

A Q:"&>76� "891":"�� A 5?@>76� "891"??� ·, resultando

(1.17) �; � � �� g4m6� �, %�h � 4��%��, >6� e daí

(1.18) �� <=��4��%��, >6��. Por outro lado, derivando (1.19) em relação ao tempo teremos ;� ��;�� %�� g%��, >6h 3��%��, >6� e, por (A1.3), desta última resulta ;� �� g%��, >6h ��%�� g�%�, >6h 3��%�, >6�. E daí segue ;� � �� %3��%��, >6�, ou seja:

(1.19) �� %3��%�, >6�. Em síntese, as curvas-solução da rotação são 4rsJt u t� dadas por:

(1.20) 4r�� g��, �� h � 4��<=�� g%��, >6h� , %�3��%��, >6��.

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