O Paradoxo de Galileu e Suas Variações Seminário

O Paradoxo de Galileu e suas variações

Mariana Faria Brito Francisquini

Orientador: Alexandre Carlos Tort

Etapas seguidas

• Motivação

• Discussão do paradoxo de Galileu

• O círculo de simultaneidade

• O papel da força de atrito no paradoxo de

Galileu

• Montagem da demonstração experimental

• Comentários finais

Algumas considerações iniciais

• O termo “paradoxo” refere-se ao trabalho Galileo's Paradox. Thomas B. Greenslade Jr. ; The Physics Teacher 46, 294 (2008)

• Há vídeos disponibilizados no YouTube (inglês e português) das demonstrações em questão

Motivação • Críticas ao atual modelo de ensino da cinemática

1. Matematização dos problemas cinemáticos

I. Problemas que pouco ou nada têm a ver com

a vivência do aluno

2. Pouca ênfase dada a estes conceitos

I. Poucos alunos, mesmo no ensino superior,

têm clareza destes (McDermott, Arons)

3. Pouca atenção aos fato de que outros ramos da

Física dependem de uma compreensão mais

abrangente deste tema, como: eletromagnetismo,

termodinâmica e até mesmo física moderna

Nossa proposta

• Apresentar problemas cinemáticos interessantes que

envolvam os conceitos por trás do tema, sem abordar

apenas a simples manipulação de equações

matemáticas

• Consolidar bem estes conceitos para um melhor

entendimento de situações dinâmicas. Segundo

Trowbridge e McDermott apontam que grande parte da

dificuldade nos problemas de dinâmica podem ser fruto

da não compreensão dos conceitos cinemáticos

O Paradoxo de Galileu

• Primeira menção: Carta a Guidobaldo del Monte datada

de 1602

• Discutido em “Duas Novas Ciências” no Teorema VI,

Proposição VI

“Se a partir do ponto mais alto ou do ponto mais

baixo de um círculo vertical traçarmos planos inclinados*

que cortam a circunferência, então os tempos de

descida de corpos ao longo destes planos serão iguais.”

Meu propósito é apresentar uma nova ciência que lida com um

assunto muito antigo. Não existe nada, na natureza, anterior ao

movimento.

• Resolução do problema

Consideremos duas cordas inscritas ao círculo: EA de

comprimento 𝑙 e BA de comprimento 𝐷


• As equações horárias de dois corpos soltos

simultaneamente a partir do repouso, digamos, de BA e

de EA respectivamente são:

𝐷 = 𝑔 𝑡𝐷²

2

e

𝑙 =𝑎 𝑡𝑙²

2


• Como a aceleração de um corpo que desliza ao longo de

um plano inclinado é igual a 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃, aplicamos este

resultado à equação horária da corda EA, cujo

comprimento é 𝑙

𝑙 =𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑙²

2.

• Mas, de acordo com o teorema de Thales, podemos

relacionar 𝑙 e 𝐷 pela expressão

𝑙 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝜃


• Substituindo o resultado do teorema de Thales na

expressão anterior, obtemos

𝐷 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑙²

2

ou

𝐷 = 𝑔 𝑡𝑙²

2.

Mas

𝐷 =𝑔 𝑡𝐷²

2,

então

𝑡𝑙 = 𝑡𝐷!


• Discussão sobre o resultado

1. Como enunciado por Galileu: corpos soltos a partir

do repouso em planos inclinados inscritos a um

círculo chegam à base do círculo ao mesmo tempo;

2. Em nossa demonstração, a escolha do ângulo de

inclinação foi arbitrária, então não temos motivos

para pensar que ao mudar o ângulo, este efeito não

ocorrerá;


O Paradoxo de Galileu • Os comprimentos das cordas inclinadas sempre se

relacionam com o diâmetro do círculo por um fator igual ao seno do ângulo de inclinação do plano; as acelerações destes corpos, analogamente, também sempre se relacionam à aceleração da gravidade pelo mesmo fator.

• A diferença dos caminhos é compensada pela diferença de acelerações!

• Galileu afirmava que os planos partindo da lateral do círculo não poderiam cortar o diâmetro da circunferência.

O Paradoxo de Galileu • O inverso também funciona!

Corpos soltos do repouso simultaneamente partindo

do ponto mais alto do círculo chegam aos seus

destinos exatamente ao mesmo tempo


• A resolução deste problema não é apenas análoga à resolução anterior: elas são a mesma resolução!

• Ao relacionarmos o comprimento da corda 𝑘 com o diâmetro 𝐷 do círculo, obtemos 𝑘 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼. A aceleração de corpos que deslizam por este plano é igual a 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝛼. Assim, escrevendo a equação horária da posição de uma partícula que deslize por 𝑘, obtemos

𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑡𝑘²

2

• O que nos leva ao resultado:

𝑡𝐷 = 𝑡𝑙 = 𝑡𝑘!


• O que ocorrerá se, agora, soltarmos a partir do repouso

diversos corpos partindo do topo do círculo ao longo de

diversos planos inclinados?

• Qual será o lugar geométrico formado por essas

partículas?

• Galileu não só propôs este problema em Duas novas

ciências, como o resolveu geometricamente em seu

livro.

O Círculo de Simultaneidade

Trecho extraído do Corolário III do Teorema VI de Duas Novas Ciências

[...] imaginemos um plano vertical, e a partir de seu ponto mais alto

desenhamos linhas inclinadas com todos os ângulos [...] Imaginemos

também que partículas pesadas descem por estas linhas com um

movimento naturalmente acelerado, e cada uma com uma velocidade

apropriada à inclinação de sua linha. Se estas partículas móveis são

sempre visíveis, qual será o lugar geométrico de suas posições a cada

instante? A resposta a esta pergunta me surpreende, pois sou levado a

acreditar, pelos teoremas precedentes, que estas partículas sempre

estarão sobre a circunferência de um mesmo círculo, que aumenta com

o tempo à medida que as partículas se afastam mais e mais do ponto

de onde seu movimento se iniciou.

O Círculo de Simultaneidade • Projetando a aceleração ao longo da corda BC nos eixos

𝑥 e 𝑦 do sistema de referência abaixo, obtemos:

𝑎𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃

e

𝑎𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃

O Círculo de Simultaneidade • Como 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃, obtemos

𝑎𝑥 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑔

2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

e

𝑎𝑦 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛²𝜃 = 𝑔 1 − cos (2𝜃)

2

• Substituindo as acelerações ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦 nas equações horárias de posição, resulta que

𝑥 = 𝑎𝑥𝑡²

2=

𝑔𝑡²

2 1


𝑦 =𝑎𝑦𝑡²

2=

𝑔𝑡²

2

1 − cos (2𝜃)

2

ou

𝑦 =𝑔𝑡²

2

1

2−

𝑔𝑡²

2

1

2 cos (2𝜃)


𝑥 = 𝑎𝑥𝑡²

2=

𝑔𝑡²


𝑦 =𝑔𝑡²

4−

𝑔𝑡²

4 cos (2𝜃)

• Isolando, em 𝑦, o termo dependente de 𝜃

𝑦 −𝑔𝑡2

4=

𝑔𝑡²

4 cos (2𝜃)

Elevando-se os termos 𝑥 e 𝑦 −𝑔𝑡2

4 ao quadrado e somando-os,

temos

𝑥² + 𝑦 −𝑔𝑡2

4

2

=𝑔𝑡²


2

+𝑔𝑡²

4 cos (2𝜃)

2

• Como 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 2𝜃 = 1, resulta que

𝑥² + 𝑦 −𝑔𝑡2

4

2

=𝑔𝑡²

4

2

• Equação de uma circunferência de raio 𝑔𝑡2

4 com o centro

deslocado de 𝑔𝑡2

4 no eixo 𝑦

• O raio desta circunferência é dependente do tempo, ou seja, à medida que o tempo passa, o raio assume valores cada vez maiores a partir

• O centro desta circunferência move-se com uma

aceleração igual a 𝑔

2



• Apesar de não conseguirmos soltar todos os corpos de uma mesma origem, nosso resultado está em conformidade com o que Galileu previu

• Além disso, podemos reparar que o corpo a deslizar pelo diâmetro do círculo tem seu movimento adiantado em alguns frames em relação aos corpos de sua vizinhança

• Este efeito pode ser explicado por meio de dois fatores: 1. Impossível soltar todos os corpos simultaneamente de um ponto

2. A presença da força de atrito nas cordas adjacentes ao diâmetro

• Na sequência deste trabalho, iremos investigar o papel da força de atrito no sistema mostrado. Veremos que a presença desta força é fator determinante para os efeitos apresentados anteriormente sumirem

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade

• Carlos E. Aguiar, Vitorvani Soares, Alexandre C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces - European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014

C

𝜃

𝜃

𝑁

𝑃

𝑓𝑎𝑡

𝑆

http://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/artigos/2014_preprint_carlos_1.pdf


















• A aceleração à qual está submetida uma partícula que

desliza pela corda pode ser encontrada a partir da 2º lei

de Newton

𝑓𝑎𝑡 + 𝑃 + 𝑁 = 𝑚𝑎 .

Em termos das componentes perpendicular e paralela ao plano,

obtemos

𝑁 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃

e

𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑚𝑎

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Segue que, das equações anteriores, podemos encontrar a

aceleração do corpo

𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃

e sua posição ao longo do plano

𝑆 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡²

2.

O tempo de queda pode ser escrito como

𝑡 = 2𝑆

𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • O tempo de queda até o destino da conta é

𝑡 =2𝐷/𝑔

1 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃

Ou, seja, podemos ver que o tempo de queda depende do ângulo

de inclinação do plano inscrito ao círculo.

• Desta forma, o Paradoxo de Galileu é quebrado

• Apesar de o paradoxo ter sido quebrado, o novo lugar

geométrico das posições instantâneas das partículas ainda se

mostra interessante e de simples descrição


• Escrevendo a equação cartesiana, 𝑥, da partícula

𝑥 = 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑔𝑡2

2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠²𝜃

𝑥 =𝑔𝑡²

2

𝑠𝑒𝑛2𝜃

2 − 𝜇𝑐

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃

2

𝑥 =𝑔𝑡²

4𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜇𝑐 − 𝜇𝑐𝑐𝑜𝑠2𝜃

Isolando-se os termos dependentes de 𝜃, obtemos

𝑥 + 𝜇𝑐

𝑔𝑡²

4=

𝑔𝑡²

4𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜇𝑐𝑐𝑜𝑠2𝜃

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Podemos fazer o mesmo procedimento para a equação

cartesiana 𝑦

𝑦 = 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑔𝑡²

2𝑠𝑒𝑛²𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑦 =𝑔𝑡²

2

1 − cos 2𝜃

2−

𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃

2=

𝑔𝑡²

41 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃

Ou seja

𝑦 =𝑔𝑡²

4−

𝑔𝑡²

4𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃


• Isolando os termos dependentes de 𝜃

𝑦 −𝑔𝑡²

4= −

𝑔𝑡²


• Elevando-se os termos obtidos ao quadrado e somando-os,

resulta:

𝑥 + 𝜇𝑐

𝑔𝑡²

4

2

+ 𝑦 −𝑔𝑡²

4

2

=

= 𝑔𝑡²

4𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜇𝑐𝑐𝑜𝑠2𝜃

2

+ −𝑔𝑡²


2

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Desta forma

𝑥 + 𝜇𝑐

𝑔𝑡²

4

2

+ 𝑦 −𝑔𝑡²

4

2

= 𝑔𝑡²

4

2

1 + 𝜇𝑐²

• Equação de um círculo

• Raio igual a

𝑅 𝑡 =𝑔𝑡²

4 1 + 𝜇𝑐²

• O centro está deslocado da origem do sistema de

referência, estando em 𝑦 = 𝑔𝑡²

4 e 𝑥 = −𝜇𝑐

𝑔𝑡²

4

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Como fizemos os cálculos para os corpos que deslizam

ao longo de planos inclinados à direita do diâmetro da circunferência, o mesmo pode ser feito para os corpos que deslizam à esquerda do diâmetro. O resultado encontrado é:

𝑥 − 𝜇𝑐

𝑔𝑡²

4

2

+ 𝑦 −𝑔𝑡²

4

2

= 𝑔𝑡²

4

2

1 + 𝜇𝑐²

• Mesmo raio da situação anterior

• Centro desta circunferência: simétrico em relação ao eixo y ao

centro da circunferência anterior

A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • O lugar geométrico dos corpos que deslizam ao longo

destes planos vai ser a superposição de ambos os arcos de circunferência calculados

Figura retirada de C. E. Aguiar, V. S., A. C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014

















A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Circunferências: mostradas nas linhas pontilhadas

• Arcos: representados pela linha sólida

Figura modificada de C. E. Aguiar, V. S., A. C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014


















Montagem do Aparato

Materiais utilizados

• 1 (um) aro de bicicleta

• 2 (dois) metros aproximadamente de fio de nylon

• 2 (duas) ou mais contas

Custo unitário dos materiais • Custo unitário dos materiais

• Aro de bicicleta: 22 reais

• Fio de nylon: 2 reais

• Contas: 25 centavos

• Ou...

... custo zero, caso você disponha destes materiais na sua

casa!

Procedimento de Montagem

• Colocar o aro em uma posição vertical e introduzir o fio

de nylon na extremidade inferior, encaixando, em

seguida, a conta no fio


• Introduzir o fio no furo da extremidade oposta e,

novamente, atravessá-lo em qualquer outro furo –

introduzindo uma nova conta;

• Juntar a extremidade do cabo no mesmo furo por onde

foi passado o fio inicialmente e fornecer uma tensão

mecânica para que o fio fique bem esticado

Próximos passos...

• Ampliar a discussão sobre o ensino de cinemática

• Discussão sobre a origem da aceleração ao longo

de um plano inclinado

• Críticas e sugestões serão bem-vindas!

Bibliografia

1. Galileo's Paradox. Thomas B. Greenslade Jr. Citation: The Physics Teacher 46, 294 (2008)

2. D. E. Trowbridge e L. C. McDermott, “Investigation of student

understanding of the concept of velocity in one dimension”, American Journal of Physics, v. 48, n. 12, p. 1020-1028, 1980

1. Mariana Francisquini, Vitorvani Soares, Alexandre C. Tort O paradoxo cinemático de Galileu Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 36, n. 1, art. 1304, 2014

2. Mariana Francisquini, Vitorvani Soares, Alexandre C. Tort Galileo's kinematical paradox and the expanding circle of

simultaneity Physics Education, v. 48, n. 6, p. 702-704, 2013.

3. C. E. Aguiar, V. S., A. C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014

http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/361304.pdf









http://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/artigos/2013_mariana_1.pdf


































O Paradoxo de Galileu e Suas Variações Seminário

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