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EDINEY BUENO O ESTUDO DE POLÍGONOS UTILIZANDO EXEMPLOS PRESENTES NA NATUREZA E MATERIAIS MANIPULÁVEIS Assis 2011

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EDINEY BUENO

O ESTUDO DE POLÍGONOS UTILIZANDO EXEMPLOS PRESENTES

NA NATUREZA E MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Assis

2011

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EDINEY BUENO

O ESTUDO DE POLÍGONOS UTILIZANDO EXEMPLOS PRESENTES

NA NATUREZA E MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis,

como requisito do Curso de Licenciatura em

Matemática.

Orientadora: Profª. Ms. Leonor Farcic Fic Menk

Área de Concentração: Ensino de Matemática

Assis

2011

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FICHA CATALOGRÁFICA

BUENO, Ediney O Estudo de Polígonos Utilizando Exemplos Presentes na Natureza e Materiais Manipuláveis/Ediney Bueno. Fundação Educacional do Município de Assis - FEMA – Assis, 2011. 61p. Orientador: Leonor Farcic Fic Menk. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis – IMESA.

1.Matemática na Natureza. 2.Material Manipulável. 3.Polígono.

CDD; 510 Biblioteca da FEMA

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O ESTUDO DE POLÍGONOS UTILIZANDO EXEMPLOS PRESENTES

NA NATUREZA E MATERIAIS MANIPULÁVEIS

EDINEY BUENO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis,

como requisito do Curso de Licenciatura em

Matemática, analisado pela seguinte comissão

examinadora:

Orientadora: Profª. Ms. Leonor Farcic Fic Menk.

Analisador: Prof. Espec. José Carlos Cavassini

Assis

2011

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AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar a Deus, que me dá a oportunidade de melhorar a cada dia, me escuta

pacientemente toda noite e perdoa minhas inúmeras falhas.

À Professora Leonor, pelo afinco no desenvolvimento desse trabalho, por toda sua

dedicação como professora, e principalmente por sua paciência e objetividade como minha

orientadora.

Ao professor Cavassini, uma das pessoas mais sábias que tive o prazer de conhecer, e do

qual me orgulho de ter sido aluno, por ter aceitado ser o analisador desse trabalho, dando

ao mesmo valiosa contribuição.

Aos meus pais José e Ireni, por todo o amor que dedicaram a mim, além da educação e

respeito com que convivem com seus semelhantes, o que me permitiu definir o caráter que

tenho. Também minha irmã Elaine, pela colaboração na aplicação de minha pesquisa e

opiniões ao seu decorrer.

À minha amada Isabelli, a pessoa com quem espero compartilhar toda minha vida, pelo

apoio e compreensão durante esses árduos anos de faculdade, especialmente neste último.

Aos amigos e amigas de classe, especialmente ao Arlindo e ao Marcio, pelas caronas

salvadoras e refrescantes Coca-Colas durante esse estafante, mas muito importante,

período de nossas vidas.

E a todos que direta ou indiretamente contribuíram para a conclusão deste trabalho.

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“Se ouço, esqueço; se vejo, lembro;

se faço, compreendo”

Provérbio Chinês

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RESUMO

Este trabalho teve por objetivo estudar formas diferenciadas de se abordar os

processos de ensino e de aprendizagem da Geometria, mais especificamente a

introdução ao estudo de polígonos. Para tal pesquisa, contamos com a participação

de um grupo de alunos de um Projeto Assistencial de uma cidade do interior

paulista. Partindo da hipótese de que, exemplos palpáveis e o trabalho com

materiais manipuláveis, possam ajudar o educando a assimilar e compreender

melhor o conteúdo; procuramos desenvolver nosso projeto de forma a chamar a

atenção dos alunos, buscando despertar o interesse pelo assunto abordado.

Utilizamos, para tanto, uma introdução com exemplos matemáticos presentes na

natureza, manipulações de materiais, e também um pré e um pós-teste para auxiliar

em nossa análise. Com base nos resultados, tornou-se possível argumentar se os

procedimentos utilizados para o desenvolvimento de itens conceituais, por

intermédio dessas ferramentas, além de tornar a aula mais atrativa, contribuíram

para criar situações que possam estabelecer um eficiente meio de ensino e de

aprendizagem.

Palavras-chave: Matemática na Natureza; Material Manipulável; Polígonos.

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ABSTRACT

This work aimed to study different ways of addressing the processes of teaching and

learning of geometry, specifically the introduction to the study of polygons. For this

study, we have the participation of a group of students from a care project for a city of

São Paulo. Assuming that tangible examples and working with manipulatives, can

help the student to assimilate and understand the contents, we develop our project in

order to draw the attention of students, seeking to arouse interest in the subject

matter. We use for this purpose, a mathematical introduction with examples found in

nature, manipulation of materials, and also a pre-and post-test to assist in our

analysis. Based on the results, it became possible to argue that the procedures used

for the development of conceptual items through these tools, and make the lesson

more attractive, contributed to creating situations that can establish an efficient

means of teaching and learning.

Keywords: Mathematics in Nature; Manipulable Material; Polygons.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Malha utilizada na aplicação de nossa pesquisa .............................. 21

Figura 2 – Material apresentado por Imenes (1989) .......................................... 23

Figura 3 – Alunos respondendo o pré-teste ....................................................... 25

Figura 4 – Aluna manipulando um favo de mel .................................................. 26

Figura 5 – Uma das soluções encontradas ........................................................ 27

Figura 6 – Alunos realizando atividades propostas ............................................ 27

Figura 7 – Alunos preenchendo uma base hexagonal com diferentes

polígonos ............................................................................................................ 29

Figura 8 – Diferentes soluções de alunos utilizando o mesmo material ............. 30

Figura 9 – Construção de um mosaico utilizando uma malha triangular ............ 31

Figura 10 – Desconstrução de um hexágono regular em diferentes polígonos . 31

Figura 11 – Alunos respondendo o pós-teste ..................................................... 32

Figura 12 – Questões respondidas corretamente no Pré-teste .......................... 38

Figura 13 – Questões respondidas corretamente no Pós-teste ......................... 42

Figura 14 – Comparativo de acertos entre o Pré e Pós-teste............................. 42

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................ 12

CAPÍTULO 1 - REVISÃO DA LITERATURA .................................. 15

1.1 TRABALHOS ABORDANDO A MATEMÁTICA PRESENTE NA

NATUREZA ............................................................................................... 15

1.2 MATERIAL MANIPULÁVEL COMO FERRAMENTA DE ENSINO

E DE APRENDIZAGEM ............................................................................. 17

1.3 O ESTUDO DA MATEMÁTICA COM O AUXÍLIO DA NATUREZA

E DO MATERIAL MANIPULÁVEL ............................................................. 20

1.4 AUXÍLIO DIDÁTICO NA ELABORAÇÃO DOS MATERIAIS

MANIPULÁVEIS UTILIZADOS .................................................................. 21

CAPÍTULO 2 - DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO ................. 22

2.1 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES ..................................................... 22

2.2 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES ......................................................... 24

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DE DADOS ............................................ 33

3.1 OPINIÕES PESSOAIS DOS ALUNOS SOBRE A MATEMÁTICA ...... 33

3.2 A MATEMÁTICA PRESENTE NA NATUREZA ................................... 33

3.3 AS QUESTÕES MATEMÁTICAS DO PRÉ-TESTE ............................ 35

3.4 ATIVIDADES PRÁTICAS .................................................................... 38

3.5 AS QUESTÕES MATEMÁTICAS DO PÓS-TESTE (APÊNDICE D) ... 40

3.6 OPINIÕES DOS PARTICIPANTES SOBRE AS ATIVIDADES

DESENVOLVIDAS .................................................................................... 43

CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................... 44

4.1 PRIMEIRAS PONDERAÇÕES ............................................................ 44

4.2 OS ALUNOS E SEU CONHECIMENTO GEOMÉTRICO .................... 45

4.3 A NATUREZA COMO ABORDAGEM MATEMÁTICA ......................... 45

4.4 O MATERIAL MANIPULÁVEL COMO FERRAMENTA DE ENSINO .. 46

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4.5 O EDUCADOR NO PROCESSO DE ENSINO .................................... 47

4.6 ÚLTIMAS CONSIDERAÇÕES............................................................. 48

REFERÊNCIAS ............................................................................... 50

APÊNDICE A .................................................................................. 54

APÊNDICE B .................................................................................. 56

APÊNDICE C .................................................................................. 58

APÊNDICE D .................................................................................. 60

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INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como proposta o estudo da Geometria Euclidiana Plana,

abordando especificamente o conteúdo relacionado a Polígonos. Nossos

procedimentos de ensino e de aprendizagem idealizaram-se no uso de materiais

manipuláveis, tendo como base exemplos presentes na natureza, utilizando como

ponto de partida os hexágonos regulares encontrados no favo de mel produzidos

pelas abelhas.

Essa escolha teve como um dos agentes desencadeadores o fato de que a

aprendizagem da matemática tem-se apresentado como um trabalho árduo, tanto

para educador quanto para educando. Há um pré-conceito de que essa disciplina

seja muito difícil, criando situações nas quais pode se considerar seu estudo

improdutivo antes mesmo de seu início. Vários conteúdos da geometria muitas

vezes nem são abordados. Nesse sentido, trabalhos de autores como Pavanello

(1993), afirmam que tem ocorrido um abandono de importantes conteúdos da

geometria, ressaltando que esse fato pode afetar de forma negativa os processos de

ensino e de aprendizagem, não só da geometria em si, mas também de outros

conteúdos a ela relacionados.

Entre os vários motivos utilizados para justificar essa lacuna, nomeamos os que nos

parecem mais frequentes: o argumento da falta de tempo, a falta de materiais

didáticos adequados, a não existência de Laboratórios de Ensino, a formação

deficitária do profissional docente, etc.

Além dessas justificativas, os alunos costumam argumentar que a maior parte da

Matemática apresentada pelos docentes não permite aplicações em seu dia a dia,

sendo assim, em sua opinião, desnecessário seu estudo.

Vasconcellos (1995, p.18) parece confirmar parcialmente essa opinião ao afirmar

que, os conteúdos apresentados em sala de aula “pouco têm a ver com a realidade

concreta dos alunos, com sua vivência”.

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Partindo dessa afirmação, ressaltamos a importância de que exista essa relação,

pois julgamos que ela possa contribuir para que os alunos sintam-se mais atraídos

pelo conteúdo a ser estudado.

Frente a essa realidade decidimos basear nossa pesquisa na manipulação de

materiais, buscando encontrar métodos mais adequados de ensino e de

aprendizagem.

Ao apresentar alguns exemplos da Matemática presentes no convívio físico dos

alunos, principalmente pelo exemplo dos hexágonos regulares encontrados nos

favos de mel, fomos ao encontro dos PCN (1998), onde se prega que o ensino de

matemática precisa proporcionar ao aluno vivências de situações próximas e que lhe

permitam reconhecer a diversidade ao seu redor, podendo assim atuar e

compreender as situações vivenciadas no cotidiano. Valemo-nos também de vários

trabalhos publicados sobre a eficácia do uso de materiais manipuláveis como

ferramenta de ensino e de aprendizagem, incorporando uma abordagem de

exemplos matemáticos presentes na natureza. Acreditamos que dessa forma, o

aluno possa ser levado a incorporar ao dia a dia do ensino suas experiências

incorporadas anteriormente, abrindo um amplo leque de possibilidades da aplicação

matemática em sua vida, mais especificamente na área da geometria.

Para a aplicação e desenvolvimento dessa pesquisa, contamos com a colaboração

da coordenadora de um projeto assistencial de uma cidade do interior paulista e dos

alunos participantes desse projeto. Tais alunos puderam manipular materiais que,

teoricamente, estão presentes em sua rotina escolar, como régua, transferidor, lápis

de cor, papel cartão e outros. Eles manusearam também materiais produzidos em

E.V.A., utilizaram malhas triangulares, canudos, ervilhas e até um favo de mel.

Estipulamos ainda como objetivos do trabalho, propiciar a descoberta de exemplos

matemáticos presentes na natureza, permitir a interação entre os participantes,

promover a assimilação de conceitos relacionados a polígonos regulares, investigar

vantagens e/ou desvantagens do trabalho com materiais manipuláveis e elaborar

caminhos para futuras aplicações desse tipo de material.

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Esses objetivos estão relacionados à pergunta de pesquisa que nos propomos

responder: “A utilização de materiais manipuláveis desenvolvidos a partir de

exemplos obtidos na natureza, apresenta-se como uma ferramenta adequada em

relação aos procedimentos de ensino e de aprendizagem quando se exploram

polígonos regulares?"

No intuito de apresentar nossa pesquisa o presente texto está dividido em quatro

capítulos, além da introdução. O primeiro capítulo apresenta a revisão da literatura,

anterior e posterior à escolha do tema da pesquisa, ou seja, toda a literatura

consultada a fim de auxiliar no desenvolvimento da nossa proposta de investigação;

o segundo traz o desenvolvimento do trabalho, enunciando os procedimentos

tomados durante sua aplicação; o terceiro aborda as analises feitas com base nos

testes aplicados, observação durante a execução das atividades, bem como, os

registros efetuados pelos alunos, e o quarto e ultimo capitulo, apresenta as nossas

considerações finais.

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CAPÍTULO 1 - REVISÃO DA LITERATURA

Esse capítulo visa apresentar a literatura pesquisada, que foi de fundamental

importância para o desenvolvimento e concretização de nosso projeto.

1.1 TRABALHOS ABORDANDO A MATEMÁTICA PRESENTE NA NATUREZA

Há uma grande quantidade de trabalhos envolvendo exemplos matemáticos

contidos na natureza. Buscando fundamentar nossa pesquisa comentaremos alguns

estudos.

Conforme Lorenzato (1995, p.5), “a geometria está por toda a parte, mas é preciso

enxergá-la...”. Seguindo esse raciocínio, temos fé que a inserção de exemplos, não

só geométricos, mas matemáticos como um todo, presentes na realidade do aluno -

mesmo que ele não esteja acostumado a perceber esses exemplos - pode prestar

uma grande colaboração em relação aos processos de ensino e de aprendizagem.

Para tanto, é necessário que o aluno seja levado a reconhecer tais exemplos. Como

meio de abordagem, em nossa pesquisa escolhemos iniciar nosso trabalho

apresentando a geometria encontrada na construção dos favos de mel produzidos

pelas abelhas.

Essa geometria vem sendo abordada e estudada a milênios. O matemático grego,

Papus de Alexandria (290-350), desenvolveu estudos relativos ao assunto. O

matemático Júlio César de Mello e Souza (1895-1974), mais conhecido como Malba

Tahan, comenta em seu livro As Maravilhas da Matemática (1973) trabalhos

realizados por pesquisadores, tais como o matemático belga Maurice Maeterlinek

(1862-1949), o físico francês René-Antonie Ferchault de Réaumur (1683-1757), o

astrônomo francês Jean-Dominique Maraldi (1709-1788), o matemático escocês

Colin Maclaurin (1698-1746), todos abordando esse tema. O matemático Kepler

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(1571-1630) também desenvolveu estudos relacionados à forma geométrica dos

favos.

A geometria encontrada na natureza também é discutida atualmente, haja visto

trabalhos como o livro de Batschelet, (1978) “Introdução à Matemática para Bio-

cientistas” no qual aponta e demonstra diversas aplicações matemáticas por

intermédio de exemplos contidos na natureza, entre elas o próprio exemplo das

abelhas que estamos utilizando. O trabalho de mestrado: “A Matemática na

Natureza”, desenvolvido por Mendes (2007), apresenta diversos exemplos nos quais

a matemática encontra-se presente no dia a dia, elaborando durante o processo um

consistente leque de possibilidades a serem implantadas tanto em sala de aula,

quanto em atividades extracurriculares. Entre elas estão a relação entre a forma de

animais ou plantas com alguns sólidos geométricos e a transformação no volume de

certa quantidade de água ao passar de um estado físico a outro.

Tomamos ainda como base de estudo a monografia: “A Geometria das Abelhas” de

Martins (2009), que descreve a forma hexagonal dos alvéolos, visando o

aproveitamento máximo de espaço na colmeia. A autora elabora possíveis

aplicações relacionadas ao tema, como a utilização de malhas geométricas, as quais

adaptamos, visando a utilização em nossa pesquisa.

Outras abordagens voltadas a exploração da otimização de espaço e material, foram

encontradas no artigo “Abelha: Geometria dos Alvéolos”, apresentado no X Encontro

de Iniciação à Docência da UFPB, e no “O Estudo Matemático do Comportamento

das Abelhas”, desenvolvido na Universidade Federal de Uberlândia. Embora nossa

investigação não tenha como foco a questão da otimização, os presentes estudos

utilizam-se de mosaicos em sua demonstração, e esse fato contribuiu para subsidiar

a utilização dessa ferramenta em nossa aplicação.

Além dos trabalhos já citados, outros também discutem a geometria das abelhas.

Por exemplo, o estudo “A Matemática das Abelhas através da resolução de

problemas”, desenvolvido por alunos do Programa de Pós-Graduação em Ensino de

Ciências e Matemática/ MECM-UEPB, utiliza conceitos da Geometria Plana, para

embasar, com eficácia as relações métricas da forma hexagonal presentes nos

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favos de mel produzidos pelas abelhas. Mesmo sem possuir a intenção de criar ou

sugerir atividades com futura possibilidade de aplicação, o estudo aborda

importantes relações que exploramos em nosso trabalho, como a utilização de régua

e transferidor na definição de polígonos, utilizando exemplos da natureza.

Podemos citar também o texto “Abelhas: A Matemática dos alvéolos, Um problema

prático de Geometria” orientado pelo professor Antônio Luiz, apresentado no

Seminário de Resolução de Problemas, em 2001 na USP, ressalta a geometria

utilizada pelas abelhas, demonstrando os vários cálculos utilizados para a questão

de aproveitamento de espaço e economia de cera. O trabalho não apresenta futuras

aplicações, mas nos fornece um formidável exemplo da Matemática presente na

natureza, o qual nos permitiu uma melhor fundamentação de nosso trabalho.

Apoiando-se nesses escritos, acreditamos que a apresentação de exemplos

matemáticos presentes na natureza não é apenas válida, mas muito enriquecedora

para os alunos. Cremos que, trazendo a matemática para o cotidiano, os educandos

poderão apropriar-se de exemplos concretos para a aprendizagem.

1.2 MATERIAL MANIPULÁVEL COMO FERRAMENTA DE ENSINO E DE APRENDIZAGEM

Ao entrarmos em uma sala de aula, nos deparamos frequentemente com a falta de

inspiração por parte dos alunos, prejudicando sobremaneira nosso desempenho

como educadores. Devido a necessidade de se levar a educação de forma igualitária

a todos, estamos frente a um processo de massificação do ensino. Com o objetivo

de não tornar a aprendizagem monótona e ineficaz, temos de buscar novos métodos

alternativos e eficazes de ensino e de aprendizagem.

Dentre esses métodos, os que se utilizam de materiais manipuláveis, costumam ser

citados, como grande aliados em sala de aula. No entanto é importante observar que

existem diferentes nomenclaturas para os mesmos. Alguns autores os denominam

como Materiais Concretos (MC), outros como Materiais Manipuláveis e outros

simplesmente como Materiais Didáticos (MD). Desse modo, podemos nos

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questionar: todas essas nomenclaturas têm um mesmo significado? Se não, como

definir tais materiais? Ampliando nossa busca, nos permitimos supor que existe um

consenso entre pesquisadores, afirmando que esses materiais devam ser

primeiramente considerados como Materiais Didáticos.

Segundo Lorenzato (2009, p.18):

Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. [...] o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor.

E complementa: “o MD necessita ser corretamente empregado, isto é, é preciso

conhecer o porquê, o como e o quando colocá-lo em cena. Caso contrário, o MD

pode ser ineficaz ou até prejudicial à aprendizagem.” (p. 34)

Os materiais manipuláveis (ou materiais concretos), por sua vez, são “objetos ou

coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar”. (Matos &

Serrazina, 1996, apud Passos, 2006). Sendo assim é possível definir os materiais

manipuláveis primeiramente como pertencentes aos materiais didáticos.

Portanto, no sentido de nos posicionarmos em relação a essas considerações,

julgamos importante frisar que para efeito de desenvolvimento do nosso trabalho,

adotaremos como significado de material manipulável aquele que permite o

manuseio por parte do aluno e professor, sendo assim uma ferramenta que pode

auxiliar os mesmos durante os procedimentos de ensino e de aprendizagem.

Outro trabalho que levanta diversas questões sobre a utilização desses materiais é o

de Miyasaki (2003), que aborda o despertar do interesse nos alunos em matemática

por meio de materiais manipuláveis, em seu caso trabalhando com materiais como

trangram, canudos e varetas. Em sua pesquisa com os professores ela percebe que

a maioria vê com bons olhos a utilização dos mesmos. Na aplicação feita em sala de

aula ela pôde perceber a receptividade dos alunos e professores frente a esse meio

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de ensino. Porém em sua conclusão ela ressalta a importância do educador nesse

método. Caso não haja o devido preparo de sua parte, esse material tende a se

tornar um mero passatempo, sem função educacional, tornando o momento

improdutivo perante o conteúdo a ser trabalhado.

Podemos citar também o trabalho de Leite (2007), no qual geoplanos quadrados e

circulares são utilizados como materiais manipuláveis, em uma abordagem voltada

para a geometria espacial. Após aplicar esse material em sala de aula, Leite enuncia

as potencialidades do mesmo citando diversos relatos e opiniões dos alunos

participantes. Analisando o questionário aplicado após a pesquisa ele ressalta o alto

nível de aproveitamento alcançado.

Outro estudo que julgamos relevante sobre a utilização de materiais manipuláveis é

o de Januário (2006), o qual utiliza esses materiais na educação de jovens e adultos.

Mesmo não sendo equações polinomiais o foco de nosso trabalho, seus escritos

fundamentam um bom exemplo de como a utilização do material manipulável como

ferramenta de ensino pode auxiliar na aprendizagem.

Minha preocupação, ao utilizar esse recurso, foi de intervir e auxiliar os alunos. Porém, quando se fala de intervenção em educação, referimo-nos a uma ação pedagógica que traga contribuições para que o educando encontre possibilidades de atingir um objetivo determinado, ou seja, uma aprendizagem com significado. Os Materiais Manipuláveis, especificamente jogos, surgem em sala de aula, muitas vezes, nesses momentos de interferência, como um salva-vidas da aprendizagem. Nesse sentido, acredito que tais recursos não podem ser apenas um experimento, uma tentativa de acerto, mas que sejam ações pensadas, planejadas, estudadas e inseridas com seriedade e com intencionalidade. (JANUÁRIO, 2006, p.8)

Perante tais estudos, acreditamos ter adquirido a capacidade de embasar nossa

aplicação de materiais manipuláveis com o auxílio de exemplos presentes na

natureza, realizada durante o processo de pesquisa.

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1.3 O ESTUDO DA MATEMÁTICA COM O AUXÍLIO DA NATUREZA E DO MATERIAL MANIPULÁVEL

Como destacado anteriormente, cremos que uma abordagem da Matemática

presente na natureza, e a utilização de materiais manipuláveis, possam auxiliar de

forma satisfatória no que diz respeito ao ensino e a aprendizagem. Nossa proposta é

então mesclar tais procedimentos, fornecendo ao educador uma importante

ferramenta de ensino, e ao mesmo tempo, proporcionar ao educando um prazeroso

e proveitoso meio de aprendizagem.

O relato de experiência “Aprendendo Matemática através de investigações –

Vivência com o Ensino Médio”, realizada por alunas da UNIJUÍ, em Ujuí no Rio

Grande do Sul, estabelece um elo educacional entre a natureza, ora representada

pelas abelhas, e o conceito de material manipulável, no caso a apresentação e

manipulação de alvéolos. O resultado positivo alcançado, resultante do alto índice

de aprendizagem dos alunos, demonstra a viabilidade dessa mescla, a qual

utilizamos em nossa pesquisa.

Seguindo o conceito de utilizar-se da natureza como exemplos de aplicações

matemáticas, temos o trabalho: “Geometria e Natureza: Uma Associação Perfeita

para Trabalhar Conceitos Geométricos”, desenvolvido por alunas do Curso de

Matemática-Licenciatura da Universidade de Santa Cruz do Sul – UNISC, com o

Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da instituição. O trabalho

foi desenvolvido com professores participantes desse grupo de estudos, onde as

alunas buscaram encontrar meios mais instigantes de se apresentar a Matemática

durante o dia a dia do ensino.

Os favos hexagonais de uma colmeia, as espirais encontradas nas conchas de moluscos e na flor do girassol, as formas irregulares da teia de aranha e da casca do abacaxi, as simetrias que se observam nas borboletas, corujas e algumas plantas, são exemplos de padrões geométricos. (KIPPER et al, 2007, p.4)

Finalizando o trabalho elas defendem a importância de se inovar em sala de aula, e

de como a natureza apresenta várias opções para esse processo.

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1.4 AUXÍLIO DIDÁTICO NA ELABORAÇÃO DOS MATERIAIS MANIPULÁVEIS UTILIZADOS

Buscando opções e inspirações para o desenvolvimento dos materiais a serem

utilizados em nossa pesquisa, nos deparamos com o excelente livro de Imenes

(1989), denominado “Geometria dos Mosaicos”. Desse livro utilizamos algumas

atividades sugeridas, como a manipulação de diferentes polígonos confeccionados

em materiais que o aluno possa manusear, um quebra cabeças elaborado a partir de

um hexágono regular. Além disso, adaptamos outras buscando uma melhor

aplicação em nosso estudo, como a criação de um mosaico a partir de diferentes

polígonos utilizando uma malha triangular, visando consolidar os conceitos

referentes a polígonos.

Por motivos de praticidade e qualidade gráfica, resolvemos utilizar uma malha

triangular retirada de um material da Editora Scipione, com o título de Banco de

Folhas Especiais, disponibilizado gratuitamente na internet.

Figura 1 – Malha utilizada na aplicação de nossa pesquisa.

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CAPÍTULO 2 - DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

No capítulo que segue, enunciamos os procedimentos tomados antes e durante a

aplicação de nossas atividades.

2.1 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES

Pretendendo realizar uma pesquisa sobre a adequação ou não, da utilização de

materiais manipuláveis em sala de aula, desenvolvidos a partir de exemplos de

matemática presentes na natureza, nos preocupamos, como já citado no capítulo

anterior, em buscar um amplo referencial teórico para embasar nossa proposta.

Nesse processo encontramos, dentre outros, o livro “Geometria dos Mosaicos”, do

prof. Luiz Márcio Imenes. Esse livro faz parte da coleção Vivendo A Matemática, e

nos inspirou para realizarmos uma parte significativa de nossa aplicação.

Com o tema definido e a pesquisa já em processo avançado, começamos a

confeccionar nossos materiais. A preocupação maior era criar um segmento entre as

atividades, sem permitir que tais objetos fossem utilizados ao acaso ou como um

simples jogo.

Desde o primeiro momento resolvemos utilizar recursos audiovisuais para

apresentar exemplos matemáticos presentes na natureza. A idéia inicial seria usar

uma TV e um DVD, mas por comodidade e praticidade acabamos utilizando uma

apresentação de PowerPoint, visando uma boa interação entre aplicador e turma.

O favo de mel é uma das ferramentas chave do trabalho. Como pesquisado, a

utilização deste objeto vinha mostrando-se muito eficaz. A esperança era, com sua

utilização, fomentar a criatividade e aguçar o interesse dos participantes.

Ao escolher o público alvo, surgiu a dúvida se essa amostra teria ou não uma boa

base conceitual Matemática, sendo assim, elaboramos a atividade com canudos,

objetivando representar figuras poligonais, só não sabíamos ainda como unir um

canudo ao outro, de forma a representar de maneira clara os lados e vértices de um

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polígono. Foi por acaso que encontramos as ervilhas partidas ao meio, que ilustram

muito bem tais vértices, dando ao material uma ótima representatividade das figuras

pretendidas.

Utilizar o transferidor era uma de nossas vontades e desafios, seu uso se deu nas

figuras recortadas em E.V.A., que foram o meio encontrado para identificar e

diferenciar uma figura poligonal de uma não poligonal. Ao mesmo tempo os alunos

teriam a possibilidade de utilizar a régua e o transferidor para ir se familiarizando

com as características de polígono regular.

Encontrar o trabalho de Imenes foi realmente providencial para nós. Utilizar o a base

hexagonal proporcionou-nos uma ligação procurada entre o favo de mel

confeccionado pelas abelhas e algum material que se pudesse manipular. Além

disso, seu apego lúdico é capaz de prender a atenção e inspirar a criatividade em

várias faixas etárias, realidade que acabamos encontrando durante nossa pesquisa.

Figura 2 – Material apresentado por Imenes (1989).

Ainda do trabalho de Imenes, decidimos utilizar a malha triangular. Tal ferramenta

apresenta características como a fácil manipulação e variadas maneiras de construir

figuras poligonais, com isso seria possível oferecer aos educandos uma boa maneira

de edificar seu aprendizado relativo a polígonos, regulares ou não.

Buscamos finalizar as atividades com os materiais manipuláveis retornando ao

exemplo referente às abelhas. Utilizamos assim uma base hexagonal feita de papel

cartão, a qual após ser dividida em outros polígonos ficaria com o aluno como um

quebra-cabeça construído por ele mesmo.

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Pré e pós-teste passaram por várias etapas até seu resultado final. Sua concepção

inicial era mais ampla, sendo lapidada e moldada de acordo com o assunto e o

material que construíamos para abordar-lo. Contamos ainda com a colaboração de

outros professores da instituição, que nos proporcionaram pontos de vista

interessantes sobre o trabalho.

2.2 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

Para o desenvolvimento das atividades, realizamos dois encontros, cada qual, com a

duração de duas horas aulas, com alunos de um Projeto Assistencial mantido pela

Prefeitura de uma cidade do interior paulista. O mesmo encontra-se instalado em um

bairro periférico da cidade, atendendo a crianças dos seis aos quatorze anos de

idade, regularmente matriculados em escolas municipais.

Aplicamos a pesquisa com a participação de alunos do Ensino Fundamental, do

sexto ao nono ano. No primeiro encontro vinte e um alunos estiveram presentes, Já

no segundo iniciamos os trabalhos com a participação de quinze alunos, mas

infelizmente cinco tiveram de se ausentar, pois surgiu a oportunidade de irem até

uma cidade próxima, juntamente com um monitor responsável, para obterem o RG.

Frente a esse fato aplicamos a pesquisa a todos os participantes, mas consideramos

apenas os dados dos dez que responderam ao questionário final.

Esses encontros ocorreram em datas pré-estabelecidas com a diretora do projeto,

visando uma melhor ambientação dos participantes e rendimento do trabalho a ser

desenvolvido. Todo o desenrolar da atividade foi registrado por anotações e fotos,

visando uma melhor coleta de dados para análise futura.

O primeiro encontro teve inicio, buscando uma maior interação do grupo e

conhecimento da turma por parte do aplicador, com uma dinâmica de apresentação,

onde aplicador e alunos formaram uma roda e apresentaram-se uns aos outros,

interagindo de modo lúdico, resultando em uma maior acessibilidade por parte dos

participantes.

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Após esse primeiro momento foi entregue a cada aluno um kit contendo uma régua,

um transferidor e um lápis. Com o auxílio desse material foi solicitado que

respondessem a um teste (apêndice C) pré-elaborado, com a finalidade de analisar

o conhecimento individual dos mesmos. Foi explicado que tal questionário não

visava atribuir nota, não possuindo assim um caráter de julgamento, e sim que ele

nos permitiria futura comparação de resultados frente a uma nova aplicação ao

término das atividades.

Figura 3 – Alunos respondendo o pré-teste.

Iniciando as atividades referentes ao conteúdo, foi trabalhada uma introdução ao

assunto que pretendíamos abordar usando uma apresentação em PowerPoint. A

mesma continha imagens com exemplos da Matemática presentes na natureza,

como a simetria nas asas de uma borboleta, a formação de cristais de gelo, a

concha do Nautilus, a órbita dos planetas, entre outros, culminando no exemplo dos

alvéolos dos favos de mel construídos pelas abelhas.

Buscando trazer esses exemplos para o ambiente educacional, propomos a

manipulação de um favo de mel, com o intuito de introduzir o conceito de polígonos.

Dividimos os alunos em grupos de quatro participantes, buscando proporcionar a

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troca de informações e ideias. Essa manipulação mostrou-se muito agradável, vários

alunos descreveram nunca ter tido contato com algo similar.

Figura 4 – Aluna manipulando um favo de mel.

De um modo geral todos se mostraram admirados com o formato dos alvéolos e a

sua simetria, indagando como as abelhas eram capazes de produzi-los com tal

perfeição. Alguns alunos chegaram a morder o favo para sentir o sabor do mel que

ainda restava no mesmo.

Dando sequência as atividades, distribuímos aos grupos outro kit, contendo canudos

de variados tamanhos e ervilhas partidas ao meio (vendidas em pacotes nos

mercados). Propomos aos grupos que montassem diferentes figuras, utilizando os

canudos para representar os lados e as ervilhas para representar os vértices. É

importante salientar que os participantes demonstraram não conhecer essas

nomenclaturas matemáticas, frente a tal realidade buscamos esclarecer as dúvidas,

sem abrir mão de se utilizar a linguagem matemática.

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Figura 5 – Uma das soluções encontradas.

Com essa manipulação conseguimos introduzir o conceito de polígonos, definindo

algumas de suas características. Segundo os próprios alunos os lados das figuras

construídas encontravam-se, gerando assim uma “figura fechada”. Eles também

perceberam que todos os lados eram retos. A partir dessa informação constatamos

que os lados de um polígono são constituídos por segmentos de reta.

Após esse momento distribuímos a cada grupo uma quantidade de figuras

poligonais e não poligonais previamente confeccionados em E.V.A., e pedimos para

que os separassem em relação à forma.

Figura 6 – Alunos realizando atividades propostas.

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Os alunos conseguiram separar os polígonos das outras figuras, demonstrando

compreender o conteúdo desenvolvido até o momento. Dando sequência solicitamos

que das seis figuras que haviam separado como polígonos, eles indicassem quais

eram regulares.

Para tanto discutimos o que a palavra regular significava para cada um. Desse modo

obtivemos diferentes opiniões dos alunos, as quais conduzimos de forma a definir

que um polígono precisa apresentar lados e os ângulos internos de medidas iguais

para que possamos denominá-lo como regular.

Portanto, propomos medir os lados e os ângulos internos, para podermos observar

se as medidas eram ou não iguais e, nesse momento nosso trabalho teve de ser

interrompido. A grande maioria dos alunos demonstrou não ter conhecimento de

como se utilizar um transferidor, não podendo assim medir os ângulos das figuras

selecionadas. A solução encontrada foi reunir todos os alunos sentados em torno do

aplicador, o qual demonstrou, utilizando a próprias figuras de E.V.A., como utilizar

corretamente um transferidor.

Esse momento foi um pouco tumultuado, mas aos poucos os alunos foram

assimilando o que estava sendo proposto. Num certo ponto os separamos em

duplas, deixando-os sentados onde estavam, e lhes entregamos algumas figuras e

um transferidor.

Aos poucos eles foram descobrindo como utilizar a nova ferramenta. Muitos

compreenderam rapidamente como medir os ângulos, indicando as figuras que eram

polígonos regulares. Outros apresentaram dificuldades. Nesse caso, tomamos o

cuidado de auxiliá-los individualmente em seu processo de aprendizagem.

Essa atividade nos tomou mais tempo do que o esperado, causando um pequeno

atraso em nosso plano de aula (Apêndice A), forçando-nos a deixar a atividade com

um quebra-cabeça de polígonos para o próximo encontro.

Finalizando o primeiro encontro procedemos à fixação, por intermédio de

indagações aos alunos, dos conceitos adquiridos durante o desenvolvimento das

atividades. Esse momento demonstrou que a grande maioria estava conseguindo

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assimilar o conteúdo proposto, indicando que nosso trabalho estava seguindo um

bom caminho.

Entre os encontros realizamos uma análise superficial do material coletado no

primeiro encontro (pré-teste, fotos, anotações e observações), avaliando o índice de

aproveitamento dos alunos. Procuramos, desse modo, identificar nossas falhas,

buscando melhorar nossa abordagem na aplicação das atividades sugeridas para o

segundo encontro.

No segundo encontro trabalhamos com um número reduzido de participantes

(quinze no início, restando, por motivos já mencionados anteriormente, dez no final).

Iniciamos as atividades retomando os conceitos explorados no primeiro encontro

durante um curto bate papo. Visando avivar esses conceitos trabalhamos, com o

apoio de régua e transferidor, um material inspirado no livro Geometria dos

Mosaicos, de Imenes (1989), composto por hexágonos regulares previamente

recortados em diferentes polígonos.

Figura 7 – Alunos preenchendo uma base hexagonal com diferentes polígonos.

Tal material permitiu aos alunos utilizar diferentes polígonos na construção de um

hexágono regular. Durante o processo que assemelhou-se a montagem de um

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quebra-cabeça, eles perceberam que outros polígonos eram obtidos. Em alguns

casos até polígonos regulares além do hexágono foram apontados pelos alunos.

Como o material era individual, os alunos puderam aplicar os conceitos aprendidos

até o momento, estimulando sua criatividade a elaborar diferentes maneiras de

completar a base hexagonal. Ao mesmo tempo o fato de pelo menos dois estarem

dividindo a mesa por uma questão de espaço, proporcionou a troca de opiniões e a

observação de diferentes resultados na resolução da atividade.

Figura 8 – Diferentes soluções de alunos utilizando o mesmo material.

Com o intuito de solidificar os conceitos aprendidos, entregamos aos alunos uma

malha triangular e lápis de cor. Propomos que idealizassem um mosaico, seguindo

sua criatividade, constituído de polígonos regulares e não regulares. È importante

ressaltar que os alunos não estavam familiarizados com a malha, e tampouco

sabiam o que era um mosaico. Conforme tais termos iam surgindo, nós tomamos o

cuidado de explicá-los, procurando não deixar dúvidas.

Essa atividade mostrou-se muito prazerosa. O alunos conseguiram criar os

mosaicos solicitados utilizando diferentes polígonos. Como destinamos um tempo

maior para o seu desenvolvimento, percorremos as mesas com calma, instruindo os

alunos com palavras de estímulo, sempre retomando os conceitos assimilados

durante as atividades.

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Figura 9 – Construção de um mosaico utilizando uma malha triangular.

Como última atividade propomos aos alunos que desconstruíssem, com o auxílio de

régua e transferidor, um hexágono regular confeccionado em papel cartão em outros

polígonos, contendo ao menos um regular.

Tal atividade nos permitiu visualizar as dificuldades que os alunos ainda

encontravam com relação ao conteúdo. Observamos que construir um polígono

regular ainda é uma tarefa complicada para os alunos, em contrapartida eles

enunciavam corretamente suas características.

Figura 10 – Desconstrução de um hexágono regular em diferentes polígonos.

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Finalizando as atividades aplicamos novamente o teste (Apêndice D) trabalhado no

primeiro encontro, com a finalidade de analisar o conhecimento individual dos alunos

após terem desenvolvido as atividades propostas nos dois encontros.

Figura 11 – Alunos respondendo o pós-teste.

Antes mesmo de analisarmos esses testes, pudemos perceber que boa parte dos

alunos conseguiu manipular o transferidor sem nossa interferência. Para nós que

aplicamos as atividades, esse fato demonstrou uma evolução no aprendizado

dessas crianças, deixando-nos contentes ao sair do Projeto.

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CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DE DADOS

No capítulo que segue comentamos as análises referentes aos dados coletados em

nossa pesquisa. Consideramos as reações dos alunos durante o desenvolvimento

das atividades, os questionários resolvidos e as respostas de opinião, a fim de

termos as bases necessárias para fundamentarmos nossas considerações finais.

3.1 OPINIÕES PESSOAIS DOS ALUNOS SOBRE A MATEMÁTICA

Nós iniciamos o pré-teste perguntando aos alunos sua opinião sobre a Matemática.

Nossa intenção era verificar o quanto os alunos interessavam-se por tal matéria.

Esperávamos que um grande número demonstrasse um desafeto pela disciplina,

mas para nossa surpresa de um total de vinte e um alunos que responderam a essa

questão, somente quatro afirmaram não gostar dessa matéria. Não podemos afirmar

se suas opiniões foram sinceras, ou se responderam positivamente por certo receio

ou medo, mas ao desenrolar das atividades percebemos que realmente havia

interesse e entrega dos alunos.

3.2 A MATEMÁTICA PRESENTE NA NATUREZA

Tanto no pré-teste quanto no pós-teste solicitamos aos alunos que citassem

exemplos da Matemática presente na natureza. Nossa intenção era conquistar a

atenção dos participantes, levando-os a perceber o quanto a Matemática está

presente em nossa rotina sem que percebamos.

Nas primeiras respostas notamos que os participantes não tinham uma noção exata

do que estávamos perguntando, ou não tinham a menor percepção da Matemática

em seu cotidiano. As respostas foram as mais variadas, mas sempre vagas, sem

referir-se a um exemplo específico da Matemática.

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O aluno A respondeu da seguinte forma: “Uma vaca, porque tem quatro pernas”.

Podemos acreditar que o aluno assimilou a questão de uma forma diferente do que

havíamos pensado inicialmente, mas não se pode desconsiderar que ele tenha

relacionado a Matemática à natureza.

A aluna B deu a seguinte resposta: “Sim, uma flor, uma árvore e até um muro”. Fica

evidente que a aluna tentou associar a natureza e a Matemática de alguma forma,

mas não soube exemplificar corretamente o que estava pensando, definindo clara e

objetivamente seu exemplo.

O aluno C respondeu a questão da seguinte forma: “Sim, na escola, na rua, na

floresta etc...”. Novamente podemos perceber que houve uma tentativa de criar um

elo de ligação entre Matemática e natureza, mas mostrou-se muito abrangente.

Obtivemos outras respostas indicando sua presença nos animais, ou que a

Matemática é muito importante para a natureza, ou ainda outros que não

responderam ou responderam não saber. Como já esperávamos tais respostas,

trabalhamos alguns exemplos com a ajuda de uma apresentação de PowerPoint.

Conduzimos a apresentação de maneira a incentivá-los a perceber e debater sobre

o assunto. Durante a atividade fomos explicando os exemplos e relacionando-os

com outros, buscando levar os participantes entender tal relação.

Como resultado desse trabalho obtemos respostas bem mais palpáveis no pós-

teste. Somente um participante respondeu não saber, já os outros nove citaram pelo

menos os exemplos discutidos anteriormente.

Alguns até citaram outros exemplos como uma tartaruga, um peixe, um abacaxi e

até uma casa. Frente a essas respostas diferentes perguntamos qual era a

associação que tinham feito entre Matemática e natureza, e percebemos que todas

eram fundamentadas, já indagados sobre as respostas eles esclareciam se tratar

das formas geométricas encontradas no casco da tartaruga, nos gomos do abacaxi

e nas escamas dos peixes. Tal fato demonstrou que alguns alunos conseguiram

desenvolver uma assimilação entre o conteúdo e suas experiências pessoais.

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Além desse relevante progresso dos alunos, nossa proposta inicial de utilizarmos a

atividade como maneira de incentivar a participação dos alunos e ganhar sua

atenção foi realizada como esperado, facilitando a realização de nossos trabalhos.

3.3 AS QUESTÕES MATEMÁTICAS DO PRÉ-TESTE

O pré-teste foi entregue a cada aluno juntamente com uma régua, um transferidor,

lápis e borracha. Nossa intenção foi proporcionar a cada indivíduo condições para

responder a todo o teste.

Ainda no momento de entrega desse material percebemos que muitos não

demonstravam intimidade com o transferidor. Perguntas foram surgindo de

praticamente todos os participantes, como: O que é isso? Para que serve? Como se

usa?

Mesmo diante dessas dúvidas não interferimos nas respostas, explicando a cada

aluno que tal teste não serviria como avaliação, portanto, nenhuma nota seria

atribuída ao mesmo, mas que as respostas seriam de grande importância para o

projeto de pesquisa que estamos desenvolvendo. Incentivamos os participantes a

não identificar-se com o nome, colocando um apelido que lhe agradasse. Pedimos

que não se esquecessem de tal adjetivo, pois seria fundamental que ao final das

atividades eles o utilizassem novamente ao responder o pós-teste.

Pedimos também que não consultassem os colegas que estavam na mesma mesa,

procurando resolver as atividades individualmente. Solicitamos que respondessem

somente o que lhes era conhecido, colocando como resposta que não sabiam ou

que ainda não haviam estudado tal assunto, caso desconhecessem a resposta.

Na análise das respostas1 do pré-teste obtivemos os seguintes resultados:

Q1. Solicitava que o aluno explicasse o que é um polígono.

1- Como já citado anteriormente a análise das respostas está limitada aos dez alunos que participaram tanto

das atividades do pré como do pós-teste.

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Nenhum participante acertou a questão. Seis alunos anotaram não saber a resposta,

um respondeu de forma a acreditarmos que ele estava referindo-se a pergunta sobre

exemplos matemáticos presentes na natureza. Os outros três alunos responderam

da seguinte maneira:

Aluno A - “São cada ponto que as coisas tem”;

Aluno B - “Assim polígono é uma forma geometrica”;

Aluno C - “é uma figura desenhada Geomêtrica”.

Em nossa opinião todos buscaram responder, seja chutando alguma resposta ou

seguindo um conhecimento adquirido anteriormente, revelando que alguns tiveram

contato com a geometria. Infelizmente, seja qual for a razão, o resultado não foi

positivo.

Q2. Solicitava que o aluno explicasse o que é um polígono regular.

Não houve nenhum acerto. Nessa questão sete alunos relataram não saber a

resposta, um respondeu com a palavra sim, mas não definiu o que estava sendo

solicitado, levando-nos a acreditar que não sabia do que se tratava a pergunta.

Outra aluna respondeu que polígono regular se trata de algumas palavras da

natureza, provavelmente referindo-se também a pergunta sobre a Matemática na

natureza.

O último aluno deu a seguinte resposta: “um retângulo com quatro pontos”. Mesmo a

solução dada por ele não sendo a correta, compreendemos que ele teve contato

com a geometria, não respondendo corretamente provavelmente por motivos tais

como uma associação incorreta de conteúdos e conceitos.

Q3. Apresentava três figuras geométricas e pedia que os alunos medissem seus

lados e indicasse os resultados obtidos.

Nenhum participante respondeu corretamente. Dois alunos apontaram não saber

resolver a questão Três buscaram somar as medidas dos lados, dando como

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resposta o perímetro e não a medida individual dos lados, mas erraram nos seus

cálculos.

Os outros cinco restantes chegaram a apontar algumas medidas, mas confundiram-

se com os décimos, ou nem chegaram a apontá-los, demonstrando uma grave

deficiência na manipulação da régua.

Q4. Apresentava as mesmas três figuras geométricas da questão anterior e

solicitava as medidas dos ângulos internos.

Nenhum participante acertou a questão. Cinco participantes procuraram

erroneamente medir os lados e até somá-los, mas suas anotações estavam

incorretas. Outros quatro nem tentaram responder a questão. Um único aluno

esboçou uma medição dos ângulos, mas completamente equivocada. Tal fato

comprovou nossas expectativas em acreditar que a maioria dos alunos não saberia

manusear um transferidor, mas não imaginamos que eles não saberiam o que é um

ângulo, já que a maioria confundiu tal conceito com as medidas dos lados.

Q5. Novamente as figuras eram apresentadas e se solicitava que fossem

assinaladas aquelas que eles julgassem que fossem polígonos.

Três participantes responderam corretamente a questão. Os outros sete chegaram a

marcar uma ou duas figuras, o que nos faz supor que tentavam acertar chutando a

resposta.

Q6. Nesse item pedia-se que se assinalassem os polígonos regulares.

Não houve nenhum acerto. Todos os alunos assinalaram alguma figura como sendo

um polígono regular, mas nenhum acertou a resposta.

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Figura 12 – Questões respondidas corretamente no Pré-teste.

Observando o gráfico podemos verificar que o número de acertos foi muito baixo,

sendo que em quatro questões nenhum participante respondeu de forma correta.

3.4 ATIVIDADES PRÁTICAS

O início das atividades foi um pouco complicado devido o grande número de

participantes, mas a dinâmica ajudou a quebrar o gelo permitindo que se

estabelecesse uma comunicação entre os alunos e o pesquisador. A resposta ao

pré-teste ocorreu de maneira tranquila frente a explicação do motivo dessa

atividade. Durante a apresentação de slides a turma começou a interagir de maneira

mais confiante.

A partir da manipulação dos favos de mel começamos a introduzir alguns conceitos

matemáticos. O momento foi de fascínio por parte dos participantes. É importante

ressaltar que estávamos sempre repetindo e perguntando aos alunos pontos

referentes ao assunto, procurando esclarecer dúvidas e fixar o conteúdo.

Com a manipulação dos canudos e ervilhas percebemos que muitos não tinham

contato com termos como vértice, segmento de reta e até mesmo polígono.

Tomamos então o cuidado de atender as dúvidas que iam surgindo por indivíduos

de maneira a explicá-las a todo o grupo, para que todos pudessem compreender

plenamente o conteúdo.

0123456789

10

1 2 3 4 5 6

A

l

u

n

o

s

Questões

Acertos

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A atividade com as figuras em E.V.A. foi a mais tumultuada. Fez-se necessário

ajudar grupo a grupo, enquanto alguns separaram rapidamente outros discutiam

mais, com essa demora começaram a surgir focos de conversa, o que começou a

prejudicar a atividade. A intenção era fundamentar bem as características de um

polígono, antes de falar sobre o polígono regular.

Após separar as figuras que eram polígonos pedimos que apontassem, com o

auxílio da régua e transferidor, os regulares. Nesse momento os participantes

demonstraram não saber manusear o transferidor, tornando impossível concluir a

atividade.

Frente a essa dificuldade buscamos ensiná-los a utilizar essa importante ferramenta.

Era claro para nós, devido o número de participantes, que não poderíamos trabalhar

individualmente, portanto juntamos todos e o aplicador da pesquisa demonstrou

como medir ângulos utilizando-se das figuras que os alunos estavam manipulando.

Juntamente a essa explicação fomos definindo como seria um polígono regular.

Esse momento foi muito enriquecedor, tanto aos alunos que estavam absortos na

explicação, quanto ao aplicador que buscava a interação de todos, utilizando-se de

perguntas ao decorrer da atividade. Percebemos que a grande maioria estava

conseguindo manusear o aparelho, mas alguns começaram a se dispersar frente

alguma dificuldade. Era visível o avanço dos alunos, mas se a turma fosse menor,

ou se o número de aplicadores fosse maior, talvez mais participantes teriam

apresentado melhor rendimento.

Com o número reduzido de alunos as atividades do segundo encontro foram muito

mais produtivas. Já nas perguntas sobre as atividades anteriores os alunos

lembravam-se dos conceitos, apontando as características de um polígono e o que

era necessário para o mesmo ser regular.

Demos a todos uma régua e um transferidor, agora já comum aos alunos.

Explicamos como seria a atividade com o quebra cabeça, pedindo que montassem a

seu modo, apontando suas percepções e descobertas. A atividade foi muito

produtiva. Alguns montaram várias vezes, sempre de forma diferente, apontando

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outros polígonos no processo. Outros buscavam construir polígonos regulares

durante a manipulação, utilizando-se das ferramentas fornecidas, tirando suas

próprias conclusões.

Todos demonstravam grande interação com o aplicador, relatando seus resultados e

tirando suas dúvidas. A atividade com a malha triangular foi tão eficaz quanto a

anterior. Em nossa opinião os alunos procuravam respeitar as características e

conceitos assimilados até o momento durante a construção de seu mosaico.

Para finalizar utilizamos a desconstrução do hexágono para verificar alguma dúvida

remanescente das outras atividades, conduzindo-os da melhor maneira possível ao

pós-teste.

3.5 AS QUESTÕES MATEMÁTICAS DO PÓS-TESTE (APÊNDICE D)

Ao término das atividades práticas pedimos aos participantes que respondessem a

um teste contendo as mesmas questões do pré-teste, com exceção das perguntas

pessoais. O resultado obtido foi o seguinte:

Q1. Solicitava que o aluno explicasse o que é um polígono.

Nove participantes acertaram a questão. O fato de obtermos apenas uma resposta

errada nos mostra que os alunos assimilaram de maneira significante o conteúdo

desenvolvido. Dos nove que acertaram três definiram como sendo uma figura reta,

ao invés de colocarem que os lados são retos ou compostos por segmentos de reta,

mas acreditamos que houve um equivoco na expressão dos termos e não da

compreensão e resposta da questão.

Q2. Solicitava que o aluno explicasse o que é um polígono regular.

Seis participantes responderam corretamente. Além de ressaltar o melhor

desempenho na questão, dos quatro que erraram, apenas dois responderam não

saber, sendo que os outros dois tentaram responder, mas de maneira incompleta,

sem citar que os ângulos internos devem ser congruentes.

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Q3. Apresentava três figuras geométricas e pedia que os alunos medissem seus

lados e indicasse os resultados obtidos.

Quatro participantes acertaram a questão. Temos de apontar que houve um erro de

nossa parte nessa questão. Nós não demos uma atenção maior ao uso da régua,

dando maior atenção ao transferidor. Percebemos isso ao analisar as respostas e

constatar que apenas um respondeu não saber, enquanto os outros cinco

persistiram em apontar apenas números inteiros, ignorando os décimos. Em nossa

análise poderíamos ter sanado esse déficit de aprendizagem com uma breve

abordagem específica sobre o assunto logo após o pré-teste.

Q4. Apresentava as mesmas três figuras geométricas da questão anterior e

solicitava as medidas dos ângulos internos.

Quatro participantes responderam corretamente. Durante a realização do pós-teste,

alguns alunos queriam sanar dúvidas relativas ao uso do transferidor. Explicamos

que não podíamos interferir no momento, mas após seu término nós iríamos auxiliá-

los nas dificuldades. Devemos considerar também que dois dos que erraram a

questão acertaram algumas medidas, errando outras talvez por falta de prática em

relação ao manuseio da ferramenta didática.

Q5. Novamente as figuras eram apresentadas e se solicitava que fossem

assinaladas aquelas que eles julgassem que fossem polígonos.

Somente um participante errou a questão. O fato de apenas um aluno ter errado

essa questão parece confirmar a hipótese de que os alunos assimilaram

positivamente os conceitos apresentados, principalmente em relação a manipulação

de figuras, independentemente da necessidade de se obter alguma medida.

Q6. Nesse item pedia-se que se assinalassem os polígonos regulares.

Apenas dois participantes responderam incorretamente. Como oito participantes

acertaram a questão, mas só metade havia medido corretamente seus lados e

ângulos, julgamos que as atividades nas quais houve a manipulação das figuras,

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possam ter possibilitado uma maior facilidade de percepção, permitindo-os deduzir a

resposta sem a necessidade de se obter as medidas.

Observando o gráfico podemos argumentar que houve uma melhora significativa no

desempenho dos alunos, lembrando que em quatro questões nenhum participante

havia respondido anteriormente de forma correta.

Figura 13 – Questões respondidas corretamente no Pós-teste.

Esta melhora fica bastante evidente no gráfico que compara os resultados.

Figura 14 – Comparativo de acertos entre o Pré e Pós-teste.

No entanto, embora possamos dizer que tivemos um bom resultado, esse gráfico

também nos mostra que as questões relacionadas às realizações de medidas, tanto

0

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4

6

8

10

1 2 3 4 5 6

A

l

u

n

o

s

Questões

Acertos

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de lados como de ângulos (3 e 4), ainda não foi superada pelo grupo, uma vez que o

nível de acerto se encontra abaixo de 50%.

3.6 OPINIÕES DOS PARTICIPANTES SOBRE AS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

Na opinião de todos os participantes que responderam ao pós-teste, as atividades

desenvolvidas foram muito interessantes e legais. Todos alegaram que todo o

decorrer da pesquisa apresentou-se como uma novidade, sendo que nunca haviam

trabalhado a matemática de tal maneira.

Alguns comentários foram mais específicos como o do aluno A e B, os quais

relataremos abaixo.

Aluno A: “Eu achei muito legal porque eu entendi mais de matemática”

Aluno B: “Foram ótimas e nos ajudou pelo menos para mim desenvolveu mais os

meus conhecimentos e também ensinou o que eu não sabia”

Observando tais comentários e levando em consideração as opiniões positivas dos

outros participantes, podemos crer que a forma de abordagem e trabalho escolhida

foi bem recebida pelos participantes.

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CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesse capítulo serão apresentadas nossas considerações relacionadas ao trabalho

desenvolvido.

4.1 PRIMEIRAS PONDERAÇÕES

Ao iniciar esse capítulo, retomamos os objetivos do trabalho e a pergunta de

pesquisa: “A utilização de materiais manipuláveis desenvolvidos a partir de

exemplos obtidos na natureza, apresenta-se como uma ferramenta adequada em

relação aos procedimentos de ensino e de aprendizagem quando se exploram

polígonos regulares?"

Para embasar nossa resposta a essa questão central de nosso estudo, buscamos

alguns pontos, que julgamos importantes, visando analisar o processo como um

todo, e não apenas o resultado estatístico resultante da análise entre o Pré e Pós-

teste.

Agimos de tal maneira com o intuito de considerar o desenvolvimento dos alunos

não somente em relação ao conteúdo propriamente dito, já que os dados apontam

para resultados nos quais os procedimentos adotados se mostraram adequados,

mas também seu desenvolvimento lógico e criativo frente às condições lúdicas de

nossa proposta. Essas considerações mostraram-se viáveis, pois em vários

momentos foi possível notar o envolvimento e o interesse dos alunos em relação às

atividades, o que nos permite supor que os métodos tenham contribuído para um

melhor desempenho dos participantes no pós- teste.

Expomos ainda nosso desempenho enquanto aplicadores da pesquisa e

educadores, procurando compreender e apontar situações e ações positivas e

negativas.

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4.2 OS ALUNOS E SEU CONHECIMENTO GEOMÉTRICO

Analisando o resultado obtido em nosso pré-teste, podemos constatar que o público

escolhido não possuía um sólido conhecimento geométrico. Observamos isso não

somente pelos erros referentes as questões sobre polígonos, mas principalmente

pela falta de habilidade com ferramentas que deveriam ser de fácil manuseio pelos

mesmos, como a régua e o transferidor.

Esse fato vem ao encontro de nossos escritos, onde apontamos a dificuldade de se

trabalhar a Matemática, especificamente a geometria, acarretando numa defasagem

proveniente do abandono de seu ensino.

[…] possibilitou que muitos professores de Matemática, sentindo-se

inseguros para trabalhar com a geometria, deixassem de incluí-la em sua

programação. Por outro lado, mesmo dentre aqueles que continuaram a

ensiná-la, muitos reservaram o final do ano letivo para sua abordagem em

sala de aula - talvez numa tentativa, ainda que inconsciente, de utilizar a

falta de tempo como desculpa pela não realização do trabalho programado.

Pavanello (1993, p.7)

Cientes, desta grave deficiência de aprendizagem, que provavelmente surgiria

durante o desenvolvimento das atividades, podemos considerar que nossos

trabalhos partiram praticamente do zero, atribuindo ainda mais responsabilidade aos

nossos métodos sobre uma possível evolução ou não, na aprendizagem dos

participantes.

4.3 A NATUREZA COMO ABORDAGEM MATEMÁTICA

Em nossa proposta de investigação, buscamos utilizar exemplos matemáticos

presentes na natureza como um meio de se apresentar o conteúdo que decidimos

abordar. Observamos primeiramente que os alunos estranharam um pouco essa

abordagem, acreditando não conhecerem tais situações.

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Durante o desenrolar dos trabalhos os participantes envolveram-se com tais

exemplos, nos permitindo estabelecer um eficiente meio de comunicação com os

mesmos, principalmente por intermédio de exemplos e perguntas.

Não só no momento inicial de nossa pesquisa, mas durante todo o desenrolar da

mesma, tais exemplos mostraram-se um eficaz meio de abordagem a novos

conceitos e busca de outros já adquiridos durante o processo.

Indo ao encontro da opinião de autores como Lorenzato e o até mesmo os PCN,

demonstramos aos participantes a existência da Matemática ao nosso redor, criando

uma familiarização nos conceitos a serem estudados, facilitando assim sua

assimilação.

Portanto podemos acreditar que, no caso da nossa pesquisa, utilizar a Natureza

como meio de abordagem da Matemática, mostrou-se como valiosa ferramenta de

ensino e de aprendizagem.

4.4 O MATERIAL MANIPULÁVEL COMO FERRAMENTA DE ENSINO

Com o intuito de tornar o conteúdo atraente e a aprendizagem agradável, decidimos

trabalhar com materiais manipuláveis. Optamos por tal ferramenta frente a escritos

de autores como Lorenzato, Miyasaki, Leite e outros, que ressaltam vários pontos

positivos desses materiais, além de citar ótimos resultados obtidos com a sua

utilização.

Importante se faz ressaltar que todo o preparo dos materiais foi planejado

considerando o conteúdo escolhido. Em outras palavras houve um planejamento

específico buscando uma interação entre o material utilizado e os conceitos a serem

estudados.

Nossa expectativa era facilitar a visualização das propriedades relativas aos

conteúdos abordados e, ao mesmo tempo, proporcionar aos participantes condições

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e ferramentas que despertassem nos mesmos sua criatividade, raciocínio lógico e

capacidade indutiva.

Lembramos que cada aluno trabalhou com seu material individualmente em quase

todas as atividades. Isso propiciou condições de assimilar as novidades de forma

consistente, trabalhando ao seu ritmo e a sua maneira de pensar.

Já nas atividades em grupo, notamos que nossos participantes reagiram de formas

dispares. Alguns demonstravam-se interessados e empolgados, manipulando os

materiais destinados ao grupo quase que de maneira individual, enquanto outros

apenas observavam tal manipulação, limitando-se apenas a concordar com as

constatações de seus companheiros. Sendo assim, apontamos que, no caso da

nossa pesquisa, o trabalho individual resultou em melhores rendimentos comparado

ao trabalho em grupo.

Portanto, em nossa opinião, a utilização do material manipulável mostrou-se, como

imaginávamos, uma valiosa ferramenta de ensino e de aprendizagem, visto a ótima

aceitação do mesmo por parte dos participantes, e o bom nível de aproveitamento

das atividades desenvolvidas. Além disso, graças ao aspecto lúdico de tais

materiais, os alunos tiveram a oportunidade de minimizar suas dúvidas de forma

agradável e divertida, facilitando muito seu aprendizado.

4.5 O EDUCADOR NO PROCESSO DE ENSINO

Avaliar os resultados obtidos sem considerar nossa contribuição, positiva ou

negativa, durante a aplicação da pesquisa, seria desconsiderar um dos fatores que

colaboraram ou não para a aprendizagem dos participantes.

Como bem estipulado anteriormente em nossa revisão da literatura, mas

especificamente nas palavras de Lorenzato (2009), é fundamental que, ao se decidir

utilizar algum material durante a aula, seja ele didático ou, especificamente algum

manipulável, o professor deve considerar todas etapas, características e objetivos

almejados.

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Nós decidimos trabalhar com materiais manipuláveis por motivos como experiências

bem sucedidas de outros professores, sua característica lúdica e a dinâmica que

pode proporcionar durante sua utilização. Nos preparamos, estudando tais materiais

de modo a identificar possíveis falhas durante a utilização, resultando em variados

caminhos frente a alguma dúvida. Acreditamos que essa atitude teve relevante

mérito nos resultados positivos que obtivemos.

Por outro lado, falhas, como por exemplo, não demonstrar ou auxiliar durante a

utilização da régua, gerou um baixo nível de acertos com relação a questão número

três do pós-teste (que referia-se a medida dos lados de algumas figuras). O fato de

acreditar que os participantes estavam familiarizados com a utilização dessa

ferramenta nos cegou para esse déficit na aprendizagem de nossos participantes.

Ressalta-se assim, a necessidade de que, durante a utilização desses materiais, o

educador atue como um mediador entre a aprendizagem almejada, e o desempenho

de seus educandos. Utilizar essa ferramenta deve aguçar a capacidade de

observação do professor e, ao mesmo tempo, aflorar sua habilidade de equilibrar o

ritmo e a cadência da aprendizagem de sua sala.

4.6 ÚLTIMAS CONSIDERAÇÕES

Observando os apontamentos descritos até aqui, podemos ponderar que a utilização

de materiais manipuláveis desenvolvidos a partir de exemplos obtidos na natureza,

apresenta-se como uma ferramenta adequada em relação aos procedimentos de

ensino e de aprendizagem quando se exploram polígonos regulares.

É importante levar-se em conta que esse resultado positivo construiu-se nas

condições em que nossa pesquisa se desenvolveu, e no público alvo, que reagiu de

maneira muito positiva ao desafio que se propunha. Provavelmente se as

características desses pontos fossem diferentes, nossos resultados também

poderiam ser distintos dos obtidos.

Portanto, em nossa pesquisa, essa mescla entre a Matemática presente na natureza

e a utilização de materiais manipuláveis mostrou-se satisfatoriamente eficaz. Seja na

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melhora dos resultados obtidos no pós-teste, comparados ao do pré-teste, ou no

desempenho dos alunos durante toda a pesquisa, bem como no relato dos mesmos

que se pronunciaram agradavelmente surpreendidos pela forma como as atividades

foram desenvolvidas

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REFERÊNCIAS

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas, 1ª. edição. São Paulo: Ática, 1989. DEMO, Pedro. Educar pela Pesquisa, 1ª. edição. Campinas: Editores Associados, 1996. IMENES, Luiz Márcio. Geometria dos Mosaicos, São Paulo: Scipione, 1989. JANUARIO, Gilberto. Materiais Manipuláveis: Uma Experiência com Alunos da Educação de Jovens e Adultos. Guarulhos, São Paulo. Disponível em <www.ccet.ufrn.br/.../MATERIAIS%20MANIPULAVEIS%20COM%20ALUNOS%20DA%20EJA > Acesso em 15 março 2011. KIPPER, Cristine Maria; RAMIRES, Janaína Iochims, ROOS, Liane Teresinha Wendling. Geometria e Natureza: Uma Associação Perfeita para Trabalhar Conceitos Geométricos. Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Santa Cruz do Sul - UNISC. Disponível em <miltonborba.org/CD/Interdisciplinaridade/Encontro.../CC85.pdf>. Acesso em 06 abril 2011. LEITE, José Mário. Materiais Didáticos Manipuláveis no Ensino e Aprendizagem de Geometria Espacial. Paraná. Disponível em <www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/.../1664-8.pdf? > Acesso em 23 março 2011. LORENZATO, Sérgio. Geometria. Educação Matemática em Revista. n. 4, Ano III, 1995. LORENZATO, Sérgio. (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores, coleção formação de professores, Campinas: Autores Associados, 2009.

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KIPPER, Cristine Maria; RAMIRES, Janaína Iochims, ROOS, Liane Teresinha Wendling. Geometria e Natureza: Uma Associação Perfeita para Trabalhar Conceitos Geométricos. Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Santa Cruz do Sul - UNISC. Disponível em <miltonborba.org/CD/Interdisciplinaridade/Encontro.../CC85.pdf>. Acesso em 06 abril 2011. MARTINS, Dominique Miranda. A Geometria das Abelhas. 2009. 32 p. Monografia de Conclusão de Curso – Departamento de Matemática – Universidade Federal de Minas Gerais, Minas Gerais, Belo Horizonte, 2009. MATOS, José Manuel; SERRAZINA, Maria de Lurdes. Didáctica da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta, 1996. MENDES, Fernanda Manuela Pinheiro. A Matemática na Natureza. 2007. 218p. Dissertação (Mestrado) - Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, Vila Real, 2007. MIYASAKI, Melissa Mitie. Materiais Didáticos Despertam Interesse dos Alunos na Aula de Matemática?. São Carlos, São Paulo. Disponível em <www.dm.ufscar.br/~darezzo/tb2003/melissa_militie.pdf > Acesso em 20 março 2011. OLEGÁRIO, Anisia; FAORO, Vanessa; NEHRING, Cátia Maria; POZZOBON, Marta Cristina Cezar. Aprendendo Matemática Através de Investigações - Vivência com o Ensino Médio. Ijuí. Disponível em <www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/.../RE_15.pdf> Acesso em 04 abril 2011 PASSOS, Carmen Lúcia Brancaglion. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de professores de Matemática. In: LORENZATO, S. (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores, coleção formação de professores, Campinas: Autores Associados, 2006. PAVANELLO, Regina Maria. O Abandono do Ensino da Geometria no Brasil: Causas e Consequências. Revista Zetetiké, volume 1, número 1, 1993, página 7-16. TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática, 2º edição. São Paulo: Bloch Editores S. A., 1973.

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VASCONCELLOS, Celso dos S. Construção do conhecimento em sala de aula. 3ª. Edição. São Paulo: Libertad e Centro de Formação e Assessoria Pedagógica, 1995.

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APÊNDICES

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APÊNDICE A

PLANO DE AULA – PRIMEIRO ENCONTRO

Local: Projeto Assistencial localizado em um bairro periférico de uma cidade do

interior paulista

Professor Pesquisador: Ediney Bueno

Data: 24/05/2011

Duração da Atividade: 2 horas-aula

Público Alvo: Grupo de alunos do 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental

Disciplina: Matemática

Tema Central: Polígonos

Metodologia: aula prática, utilizando exemplos presentes na natureza aliados a

materiais manipuláveis como meio de aprendizagem.

Objetivos:

Estabelecer comunicação e proporcionar confiança entre pesquisador e alunos;

Avaliar o conhecimento individual dos alunos antes do início das atividades;

Demonstrar aos alunos o quanto a Matemática está presente a sua volta em seu

dia a dia;

Estimular os alunos pela manipulação de um objeto concreto;

Facilitar, ilustrando com materiais manipuláveis, a assimilação do conteúdo

pretendido;

Estratégias Metodológicas:

Dinâmica em grupo;

Questionário de identificação;

Apresentação de PowerPoint contendo exemplos matemáticos presentes na

natureza;

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Manipulação de um favo de mel;

Construção de polígonos com canudos e ervilhas partidas ao meio;

Manipulação de polígonos confeccionados em EVA e papel cartão.

Recursos Utilizados: Notebook, favo de mel, canudos, ervilhas partidas, figuras em

E.V.A., régua, transferidor, lápis e borracha.

Avaliação: Será feita observando as duvidas e descobertas dos alunos durante a

aula. O questionário (pré-teste) será usado posteriormente na análise de todos os

dados coletados.

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APÊNDICE B

PLANO DE AULA – SEGUNDO ENCONTRO

Local: Projeto Assistencial localizado em um bairro periférico de uma cidade do

interior paulista

Professor Pesquisador: Ediney Bueno

Data: 25/05/2011

Duração da Atividade: 2 horas-aula

Público Alvo: Grupo de alunos do 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental

Disciplina: Matemática

Tema Central: Polígonos

Metodologia: aula prática, utilizando materiais manipuláveis como meio de

aprendizagem.

Objetivos

Relembrar o conteúdo trabalhado no encontro anterior;

Consolidar os conceitos relativos a polígonos assimilados anteriormente;

Identificar falhas na aprendizagem do conteúdo;

Sanar possíveis falhas de aprendizagem;

Avaliar o nível de progresso dos alunos.

Estratégias Metodológicas:

Montagem de um hexágono regular a partir de vários polígonos confeccionados

em E.V.A.;

Manipulação de uma malha triangular;

Desconstrução de um hexágono regular confeccionado em papel cartão em

outros polígonos;

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Questionário visando avaliar o nível de progresso.

Recursos: Malha triangular, figuras em E.V.A., papel cartão, régua, transferidor,

lápis, borracha, lápis de cor e tesoura.

Avaliação: Será feita observando as duvidas e descobertas dos alunos durante a

aula. O questionário (pós-teste) será usado posteriormente na análise de todos os

dados coletados.

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APÊNDICE C

PRÉ-TESTE

Nome:_______________________________________ Série:_____ Idade:___ anos

Você gosta de estudar matemática? ( ) Sim ( ) Não

Justifique sua opinião.

Você conhece exemplos de matemática presentes na natureza? (caso conheça cite-os)

1) Como você explicaria o que é um polígono?

2) E um polígono regular?

3) Com a ajuda de uma régua meça os lados de cada uma das figuras abaixo e indique esses resultados na própria figura.

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4) Com a ajuda do transferidor meça os ângulos indicados em cada uma das figuras abaixo

e indique esses resultados na própria figura.

5) Das figuras abaixo assinale com um X as que você acha que são polígonos.

( ) ( ) ( )

6) Dentre as figuras abaixo assinale com um X as que você acha que são polígonos

regulares.

( ) ( ) ( )

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APÊNDICE D

PÓS-TESTE

Nome:_______________________________________ Série:_____ Idade:___ anos

O que você achou das atividades desenvolvidas?

Você poderia citar exemplos onde encontramos a matemática presente na natureza?

1) Como você explicaria o que é um polígono?

2) E um polígono regular?

3) Com a ajuda de uma régua meça os lados de cada uma das figuras abaixo e indique

esses resultados na própria figura.

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4) Com a ajuda do transferidor meça os ângulos indicados em cada uma das figuras abaixo

e indique esses resultados na própria figura.

5) Das figuras abaixo assinale com um X as que você acha que são polígonos.

( ) ( ) ( )

6) Dentre as figuras abaixo assinale com um X as que você acha que são polígonos

regulares.

( ) ( ) ( )