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O Erro e a tarefa avaliativa em Matemática: uma abordagem qualitativa

Autor:Marco Aurélio Kistemann Jr. Orientador: André Bessadas Penna-Firme

Linha de Pesquisa: Formação de Professores de Matemática

O Erro na escola, sobretudo na escola pública, tem recebido um tratamento

sentencioso, na maioria das vezes, constituindo-se como ítem coadjuvante do cotidiano

escolar no contexto pedagógico, havendo uma ausência de discussão, pelos agentes escolares:

alunos, professores e supervisores. Estes agentes não têm se apresentado para discutir qual o

papel e qual a função do erro na construção do conhecimento na sala de aula.

Os erros observados não têm sido problematizados de forma que possam servir ou

propiciar uma discussão, um diálogo em torno da produção do conhecimento matemático.

Segundo BERTONI (2000, p. 12), “a não concretização desse diálogo na sua plenitude

empobrece a utilização didática do erro, prejudicando significativamente, o desempenho dos

alunos”.

A classificação e certificação dos alunos através de testes padronizados possibilitam ao

professor construir a “geografia do aprendizado“ de seus alunos, entretanto, mascara

valiosos acidentes geográficos, os erros, que auxiliariam professor e aluno a delimitarem quais

as melhores formas de assimilar , acomodar , equilibrar e regular os conteúdos apresentados

na escola.

Para muitos professores, o conhecimento extra-escolar que o aluno possui, muitas vezes

em abundância, suas tentativas, seus construtos alicerçados em momentos onde o Erro se

torna imprescindível para a superação de obstáculos epistemológicos (BACHELARD, 2000)

que se instalam, não se adequa aos anseios proliferados na escola. Suprime-se qualquer ente

pedagógico que possa desinstabilizar o andamento desse processo burocrático, entre as quais,

o Erro apresentado pelo aluno.

A massificação do saber matemático tem relegado o Erro a último plano, tornando-o

execrável e estereotipando-o como sintoma da incompetência do alunos na disciplina de

Matemática. Poucas vezes, um professor tem se preocupado em averiguar se o Erro cometido

por seus alunos são equívocos de informação, deficiente interpretação do vocabulário dos

enunciados ou mesmo falhas acontecidas em cálculos.

2

Os poucos que se adequam, ainda que artificialmente, às imposições, à transmissão de

conteúdos, à rigidez do tempo escolar, ao sistema avaliativo certificativo e frontal, tem se

constituído, segundo BERTONI (2000), em figuras robotizadas, sem nenhum senso crítico e

ansiosas, pois enfrentam princípios que acreditam na busca da manutenção do êxito.

Um estudo do Erro na disciplina de Matemática, através de condutas docentes

investigativas pode revelar que o Erro é tão valioso instrumento de construção de conceitos

quanto o acerto, pois o primeiro constitui-se como o hiato que falta para colocar abaixo as

praticadas hierarquias de excelência (PERRENOUD, 2000) pelas escolas. Denuncia, ainda, o

pouco conhecimento e o despreparo dos professores em lidar com o Erro, não utilizando-o

como ente rico para o norteamento de sua conduta pedagógica, assim como regulador da

aprendizagem do aluno.

Para CARRAHER et alli (1988), a aprendizagem matemática praticada na sala de aula

é uma atividade humana porque o que interessa nessa situação é a aprendizagem do aluno.

Assim no percurso de aprendizagem discente, o professor deve estar atento para interagir

junto a cada aluno e suas idiossincrasias, ao longo do processo de construção do

conhecimento matemático, detectando onde os obstáculos cognitivos se farão presentes e

originarão os erros, sejam eles, conceituais ou sistemáticos.

PIAGET (1975) em suas pesquisas contribuiu para que a lógica e a matemática

viessem a ser tratadas como formas de organização da atividade intelectual humana. Seus

estudos incentivam os pesquisadores interessados na análise do raciocínio a tentarem

esmiuçar os caminhos e percalços da construção dos conhecimentos lógico-matemáticos

implícitos na resolução de problemas das mais variadas maneiras. Na construção desses

conhecimentos erros ocorrem e podem servir para reavaliar a eficácia e pertinência da prática

e da metodologia empregadas pelo professor.

Esse trabalho, de uma forma ainda introdutória, buscou salientar a necessidade

constante do professor em questionar o sistema avaliativo do qual faz parte, seus métodos,

seus instrumentos avaliativos, bem como questionar até quando continuaremos a repetir

situações avaliativas que ignoram ou pouca atenção dão às tentativas que não resultaram em

acerto imediato por parte de cada aluno.

Nesse sentido, esta pesquisa constituiu-se num estudo exploratório gerador de

hipóteses, de novos questionamentos e de dúvidas que possam surgir enriquecendo a

discussão e a reflexão sobre a prática docente, as metodologias avaliativas e a aprendizagem

discente.

3

Importância do estudo – Objetivos e Questões

Dentre os compromissos colocados pela sociedade contemporânea à escola, um dos

mais relevantes é o de garantir a apropriação dos conhecimentos básicos por toda a população,

a fim de que estes, através de situações apropriadamente inclusivas, consolidem a sua

condição de cidadão.

Para BAROODY (1994), a matemática informal é um elemento fundamental para o

professor conhecer a qualidade do Erro do aluno. Segundo BAROODY (apud, BERTONI,

2000, p. 59), “o conhecimento informal desempenha papel fundamental na aprendizagem

significativa da matemática formal” o conhecimento informal é, portanto, fundamental para o

domínio das técnicas básicas e para enfrentar com êxito a matemática mais avançada.

Há uma forte tendência nas escolas, em geral, de validar algumas práticas, em

detrimento de outras, por exemplo, priorizando a prática da aritmética escrita, ainda que

pesquisas demonstrem que a aritmética oral é a forma mais utilizada no cotidiano dos alunos.

Para NUNES (1997), a quantidade de erros cometidos na aritmética oral é menor do que na

aritmética escrita, pois a criança utiliza mais os raciocínios lógico-matemáticos por meio de

sua linguagem oral. Dessa forma, os erros seriam mais persistentes numa prática escrita,

tornando-se cumulativos no caso dos alunos que não dominarem o código escrito.

Tivemos, desse modo, como objetivos principais desse trabalho: investigar como a

avaliação praticada no ensino de Matemática, nas suas mais variadas formas, tem auxiliado o

professor a regular a aprendizagem através dos erros cometidos pelos alunos, como também

investigar qual o efetivo papel do Erro na construção do conhecimento matemático.

Com o propósito de nortear nosso trabalho, tínhamos duas questões a responder:

“Qual o papel e qual a função do Erro do aluno nas avaliações de Matemática ?” no nível

fundamental . A importância de se conhecer o Erro do aluno e em que pontos ele não consegue

superar um dado obstáculo cognitivo (PERRENOUD, 1995) reside no fato de que ao lidar

com os erros do grupo-classe, o professor têm a sua disposição dados precisos para

intervenções mais individualizadas, além de reconhecer as idiossincrasias discentes . Para

BERTONI (2000), o mais importante é o professor adotar uma atitude reflexiva diante do Erro

do aluno, procurando, não apenas, compreender o Erro no interior de um contexto, mas

também compreender o sujeito que erra.

4

Referencial Teórico- Metodologia de Pesquisa

O presente trabalho caracteriza-se por um Estudo Exploratório, de cunho qualitativo,

estruturado a partir de um quadro teórico conceitual: Philippe Perrenoud (Avaliação), Jean

Piaget (Erro), Neuza Bertoni (Educação Matemática) e os Parâmetros Curriculares

Nacionais (Formação do Professor). O objetivo geral é conhecer como as tarefas avaliativas

de Matemática, nas suas mais variadas formas, auxiliam o professor a regular a aprendizagem

através dos erros cometidos e de que forma esses erros constituem-se como agentes na

construção (ou não) do conhecimento matemático, na perspectiva docente.

A utilização do método científico numa pesquisa de cunho qualitativo propiciou ao

pesquisador pensar criticamente, compreendendo a exigência de que o conhecimento deve ser,

regularmente, submetido por parte de cada pesquisador a uma reflexão, a fim de que possam

ocorrer conexões necessárias entre as idéias, revelando as condições que definem a verdade

dos enunciados pré-estabelecidos nos questionamentos.

Inicialmente, foram definidas trinta questões, a partir das quais procedemos uma

gradativa seleção daquelas que mais nos pareceram apropriadas ao presente estudo.

Posteriormente, reduziu-se as trinta questões a um número de doze questões que foram,

efetivamente utilizadas no questionário utilizado no trabalho de campo.

Procedemos à distribuição de 20 questionários a professores de Matemática atuando

no ensino fundamental em Escolas Públicas das redes municipal e estadual, bem como em

Escolas Particulares do município de Juiz de Fora (MG) no período de abril/2004 a

maio/2004.

No questionário, cada entrevistado respondia a 12 questões abertas sobre os temas a

seguir: métodos e recursos avaliativos utilizados aproveitamento das questões erradas nas

avaliações de Matemática, e a linha pedagógica de base seguida pelo professor.

Para a organização dos dados colhidos em nossa pesquisa de cunho qualitativo, optou-

se pelo Método de Análise de Conteúdo de BARDIN (1998).

A Análise de Conteúdo, segundo BARDIN (1977), é um conjunto de técnicas de

análise de comunicação que utiliza procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do

conteúdo das mensagens.

Para análise dos dados obtidos na pesquisa de campo elegemos 5 categorias que

emergiram da Pré-Análise e da Exploração do Material, quais sejam:

5

Avaliação :

No questionário distribuído aos professores, a categoria AVALIAÇÃO buscava

descobrir qual a função da avaliação, na ótica docente, e como usa as tarefas avaliativas para

regular a sua prática em sala de aula. Nessa categoria, AVALIAÇÃO, inicia-se a investigação

do papel e da função do ERRO a partir do instrumento avaliativo utilizado pelo professor na

disciplina de Matemática.

Quadro 1

CATEGORIA PERCEPÇÃOINCIDÊNCIA DE

RESPOSTAS

Avaliação

• Avaliação Formativa Contínua / Diagnóstica

Reguladora9

• Avaliação Certificativa (Normativa) 6• Avaliação Verificadora de Aprendizagem 10• Outros 5

Fonte: Professores do Ensino Fundamental (Rede Municipal / Estadual / Particular) em Juiz de Fora – MG. 2004

Uma vez analisados os resultados, foi constatada a incidência de respostas, na

categoria Avaliação, dada pelos professores pesquisados de que: *a avaliação praticada teria

como função principal o diagnóstico da aprendizagem e das dificuldades dos alunos,

perfazendo-se assim como contínua, sendo, desse modo, privilegiadora do processo de ensino-

aprendizagem (9 incidências).

Avaliação

9

610

5

Avaliação FormativaContínua / DiagnósticaReguladoraAvaliação Certificativa(Normativa)

Avaliação Verificadora deAprendizagem

Outros

6

Entretanto, observou-se em maior freqüência de incidência que a avaliação teria como

função a verificação da aprendizagem, buscando confirmar através das tarefas avaliativas a

ocorrência ou não da aprendizagem.

Obstáculos Cognitivos

A categoria Obstáculos Cognitivos emergiu do discurso dos professores, na medida em

que, muitas são as dificuldades (obstáculos) que ocorrem com os alunos quando estes se

deparam com um novo conteúdo matemático. No encontro com novos conceitos matemáticos

os obstáculos providenciam a ocorrência dos erros, bem como da variedade de ações

discentes buscando ultrapassar esses obstáculos.

Quadro 2

CATEGORIA PERCEPÇÃOINCIDÊNCIA DE

RESPOSTAS

Obstáculos

Cognitivos

• Fragmentação dos Conteúdos 6• Descontextualização dos Conteúdos

(Cotidiano)4

• Pré-Requisitos 12• Linguagem Matemática 7• Outros 4

Fonte: Professores do Ensino Fundamental (Rede Municipal / Estadual / Particular) em Juiz de Fora – MG. 2004

Obstáculos Cognitivos

6

4

12

7

4

Fragmentação dosConteúdosDescontextualização dosConteúdos (Cotidiano)Pré-Requisitos

Linguagem Matemática

Outros

7

A análise da categoria Obstáculos Cognitivos, propiciou-nos constatar uma

considerável concentração de respostas na percepção Pré-Requisitos, isto é, os conhecimentos

e conceitos matemáticos que possibilitam a aquisição de novos conteúdos da Matemática,

constituindo-se como a base necessária para que o aluno possa dar continuidade na construção

de seus esquemas cognitivos. Segundo muitos professores, a falta de base, na figura dos Pré-

Requisitos representaria um real obstáculo cognitivo, sendo, desse modo, um item adicionador

do aparecimento dos erros discentes.

Instrumentos de Avaliação

A categoria Instrumentos de Avaliação busca apresentar as formas que o professor

utiliza para avaliar a aprendizagem de seus alunos e o que o levou a usar certos expedientes

avaliativos.Tão importante quanto utilizar a Avaliação para regular os processos de

assimilação, acomodação e equilibração dos conteúdos matemáticos, está também a escolha

de instrumento(s) avaliativo(s) que possibilite(m) ao professor investigar as condutas corretas

e errôneas de seus alunos.

Quadro 3

CATEGORIA PERCEPÇÃOINCIDÊNCIA DE

RESPOSTAS

Instrumentos

de

Avaliação

• Pesquisas (Extra-Escolares) 4• Trabalhos em Sala (Individuais / Grupos) 10• Provas Escritas (Individuais) 11• Outros 5

Fonte: Professores do Ensino Fundamental (Rede Municipal / Estadual / Particular) em Juiz de Fora – MG. 2004

Instrumentos de Avaliação

4

1011

5Pesquisas (Extra-Escolares)Trabalhos em Sala(Individuais / Grupos)Provas Escritas(Individuais)Outros

8

Na análise da categoria Instrumentos de Avaliação observou-se uma equilibrada

concentração de citações por parte dos professores investigados na utilização de provas

escritas, individuais, bem como da utilização de trabalhos (individuais / grupo) em sala de

aula.

O ERRO nas Tarefas Avaliativas:

Nesta categoria, buscou-se investigar de que forma o ERRO acontecido nas tarefas

avaliativas auxilia (ou não) o professor na regulação da aprendizagem do aluno, bem como

esses ERROS podem ser utilizados para a estruturação do planejamento docente.

Investigou-se também como o ERRO influi na postura do professor e na conduta de

suas tarefas avaliativas.

Quadro 4

CATEGORIA PERCEPÇÃOINCIDÊNCIA DE

RESPOSTAS

O ERRO

nas

Tarefas

Avaliativas

• ERRO como ente Regulador da

Aprendizagem do Aluno6

• ERRO como Deficiência Cognitiva do Aluno 3• ERRO COMO Parâmetro de Planejamento da

Prática do Professor (Ensino)9

• Outros (Erro como Socializador do

Conhecimento, como Ente Gerador da Nota

(Certificação), como Distração do Aluno)

3

9

Fonte: Professores do Ensino Fundamental (Rede Municipal / Estadual / Particular) em Juiz de Fora – MG. 2004

Na análise dos questionários na categoria “O ERRO nas Tarefas Avaliativas” podemos

constatar uma incidência, maior de respostas na categoria que diz ser o ERRO um “parâmetro

de planejamento da prática docente (ensino)” com 9 menções

Tratamento do ERRO

Nesta última categoria emergida do conteúdo investigado em nosso instrumento de

pesquisa, buscou-se descobrir se há ou não há um tratamento do erro cometido pelo aluno nas

tarefas avaliativas e, desse modo, como o professor atua diante do acontecimento das falhas e

dos obstáculos cognitivos geradores dos erros conceituais ou sistemáticos de seus alunos.

Quadro 5

CATEGORIA PERCEPÇÃOINCIDÊNCIA DE

RESPOSTAS

Tratamento

dos

Erros

• Tratamento Certificativo do ERRO (NOTA) 4• Tratamento Formativo do ERRO

(DIAGNÓSTICO)7

• Tratamento Positivista e Constatador do

ERRO10

• OUTROS (Tratamento Punitivo, ente

negativo, exclusão, item vexametório, etc).2

O ERRO nas Tarefas Avaliativas

6

39

3

ERRO como ente Regulador daAprendizagem do Aluno

ERRO como DeficiênciaCognitiva do Aluno

ERRO COMO Parâmetro dePlanejamento da Prática doProfessor (Ensino)

Outros (Erro como Socializadordo Conhecimento, como EnteGerador da Nota (Certificação),como Distração do Aluno)

Tratamento dos Erros

4

710

2

TratamentoCertificativo do ERRO(NOTA)

Tratamento Formativodo ERRO(DIAGNÓSTICO)

Tratamento Positivistae Constatador do ERRO

OUTROS (TratamentoPunitivo, ente negativo,exclusão, itemvexametório, etc).

10

Fonte: Professores do Ensino Fundamental (Rede Municipal / Estadual / Particular) em Juiz de Fora – MG. 2004

A categoria TRATAMENTO DOS ERROS revelou uma maioria de incidência de

citações no discurso docente de um Tratamento Positivista e Constatador do ERRO com 10

menções. Com um número aproximado de menções, 7, observou-se a incidência de citações

no item Tratamento Formativo (DIAGNÓSTICO).

Quadro Geral - Gráficos

Gráficos Comparativos das Percepções sobre o erro a avaliação matemática

11

Obstáculos Cognitivos

6

4

12

7

4

Fragmentação dosConteúdosDescontextualização dosConteúdos (Cotidiano)Pré-Requisitos

Linguagem Matemática

Outros

Instrumentos de Avaliação

4

1011

5Pesquisas (Extra-Escolares)Trabalhos em Sala(Individuais / Grupos)Provas Escritas(Individuais)Outros

O ERRO nas Tarefas Avaliativas

6

39

3

ERRO como ente Regulador daAprendizagem do Aluno

ERRO como DeficiênciaCognitiva do Aluno

ERRO COMO Parâmetro dePlanejamento da Prática doProfessor (Ensino)

Outros (Erro como Socializadordo Conhecimento, como EnteGerador da Nota (Certificação),como Distração do Aluno)

Avaliação

9

610

5

Avaliação FormativaContínua / DiagnósticaReguladoraAvaliação Certificativa(Normativa)

Avaliação Verificadora deAprendizagem

Outros

Tratamento dos Erros

4

710

2

TratamentoCertificativo do ERRO(NOTA)

Tratamento Formativodo ERRO(DIAGNÓSTICO)

Tratamento Positivistae Constatador do ERRO

OUTROS (TratamentoPunitivo, ente negativo,exclusão, itemvexametório, etc).

12

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Conclusões sobre o Estudo:

A análise dos resultados, consideradas as condições em que se desenvolveu o estudo

sobre o ERRO nas tarefas avaliativas de Matemática na visão docente, parece indicar que:

1) A principal função da avaliação, no cotidiano escolar, detectada nas falas docentes é a

Verificação da Aprendizagem, servindo ao professor, prioritariamente. Esta função tem

desempenhado papel de parâmetro pedagógico para o professor comprovar aquilo que o

aluno aprendeu, bem como verificar as possibilidades para continuar a transmissão de

conteúdos propostos no programa. 2) Os Pré-Requisitos constituem-se como o mais

contundente obstáculo cognitivo (ERRO) para o avanço do aluno no processo de construção

de novos conceitos matemáticos, superando largamente o quesito Linguagem Matemática e o

quesito Fragmentação dos Conteúdos. Muitos depoimentos enfatizaram a falta de base (Pré-

Requisitos) como a principal causa do aparecimento dos erros discentes nas tarefas

avaliativas.3) As provas escritas individuais têm sido ainda o instrumento mais amplamente

utilizado nas tarefas avaliativas cujo objetivo é verificar a aprendizagem dos conceitos

matemáticos transmitidos pelo professor. Tal opção avaliativa emergiu nos depoimentos

docentes, em muitos momentos, como uma imposição regimental da escola, explicitando,

muitas vezes, a falta de autonomia docente no que concerne às suas práticas avaliativas. 4) O

ERRO nas tarefas avaliativas de Matemática tem servido como parâmetro de planejamento da

prática docente, em detrimento de uma prática que vislumbre nas falhas cometidas pelos

alunos uma oportunidade integral de regulação da aprendizagem e da conduta matemática de

cada aluno. Nos depoimentos coletados, observamos polarização das falas docentes no

aproveitamento dos ERROS para (re) planejar o ensino dos conteúdos, havendo pouca

preocupação em tornar cada Erro explicitado num item pedagógico “observável” para o aluno.

5) O TRATAMENTO DADO AO ERRO nas tarefas avaliativas de Matemática, como ocorre

há muito tempo, tem se constituído em contundentes práticas positivistas (Raciocínio Lógico)

que constatam o ERRO, sem, entretanto, investigar a origem e a natureza desse ato falho. A

postura adotada por muitos professores é a de evitar que o ERRO ocorra, revelando nos

depoimentos a idéia de ERRO como um fator negativo (Prevenção do ERRO como uma

doença, uma epidemia) que estigmatiza e retarda o êxito do aluno. 6) O ERRO cometido no

contexto das tarefas avaliativas ainda se faz muito pouco investigado pelos professores, que

na maioria dos casos analisados, reproduzem práticas assimiladas em sua formação

universitária inicial. Assim, as funções do ERRO que deveriam priorizar: o porquê de o aluno

14

errar, as particularidades dos obstáculos cognitivos e a qualidade das falhas cometidas, cede

lugar a funções que segregam os alunos em aptos e inaptos para a compreensão dos objetos

matemáticos, estigmatizando-os, na medida em que privilegiam o êxito do acerto,

desmerecendo o caráter “observável” do ERRO que deve ser incentivado nas condutas

discentes

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