O equilíbrio e a qualidade do equilíbrio · do trabalho das forças externas. Em analogia, a...

Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017

O equilíbrio e a qualidade do equilíbrio O princípio dos trabalhos virtuais fundamenta vários outros princípios. Um deles é o princípio

de Langrange que dita:

Na posição do equilíbrio (estável) a energia potencial total do sistema atinge o seu mínimo.

Nesta parte da matéria o princípio de Langrange será utilizado para encontrar a posição de

equilíbrio de alguns mecanismos, de 1 ou mais graus de liberdade cinemática, habitualmente

com apoios flexíveis (externos ou internos). Os apoios flexíveis serão constituídos por molas

lineares ou rotacionais.

Assume-se que a aplicação das forças externas é lenta e gradual (quase-estática), para não se

activarem as forças de inércia (termo explicado no capítulo de dinâmica). Mas a posição de

equilíbrio será determinada usando o valor final das forças aplicadas ao sistema.

O procedimento na elaboração dos problemas será o seguinte:

1. Determinar a energia potencial como função de parâmetros que definem a posição da

estrutura em equilíbrio. Estes parâmetros de deformação serão na forma de deslocamentos

ou rotações. Da posição inicial para a posição final a estrutura efectuará um movimento finito,

por isso, ao contrário dos problemas para a utilização do PTV, agora os deslocamentos e os

ângulos de rotação serão finitos (grandes) e por isso nenhuma simplificação das funções

trigonométricas será possível. Igualmente nenhuma das barras poderá sofrer algum

alongamento, nem mesmo infinitesimal.

2. Aplicar métodos de análise matemática para encontrar o mínimo de uma função, ou seja,

encontrar o ponto estacionário (anular as derivadas parciais da energia potencial segundo

parâmetros de deformações) e confirmar que o valor da energia potencial neste ponto atinge

o seu mínimo. Quando a posição final da estrutura depender de 1 parâmetro, será necessária

1 derivada ordinária que formará 1 equação para 1 incógnita. Para confirmação que o

equilíbrio é estável, basta verificar que a segunda derivada no ponto estacionário é positiva.

Para mais parâmetros é necessário efectuar derivadas parciais segundo cada parâmetro e

resolver o sistema de equações. A verificação da propriedade do mínimo é mais complicada e

usa o diferencial total da função.

Neste contexto não será possível usar apenas a definição do trabalho elementar, porque, como dito acima, os deslocamentos e as rotações serão finitos. Como o trabalho tem a propriedade sumativa, o trabalho total numa trajectória finita equivale à soma dos trabalhos elementares. Por isso, pode escrever-se:

B B

A A

d F dr

Quando a força é constante (as suas componentes não dependem da posição) e a trajectória é recta e finita, o trabalho da força equivale ao trabalho desta força realizado no deslocamento que representa a trajectória e pode ser exprimido na sua forma vectorial. Por exemplo, em 2D,

o trabalho da força 2,3 NF realizado numa trajectória u AB , onde 0,0A e

4, 3B , e por isso 4, 3u AB B A equivale a

2 4 3 3 1JF u


Pode-se comprovar matematicamente que para as forças constantes, o valor do trabalho depende apenas da posição inicial e final do ponto de actuação da força, ou seja, o valor do trabalho não se altera, alterando a trajectória. Esta propriedade pode ser deduzida matematicamente, mas a mesma propriedade está atribuída às forças conservativas cujo significado físico será explicado em seguida. Usa-se igualmente neste contexto o termo potencial, ou seja, as forças conservativas são aquelas que têm o potencial, ou seja, aquelas

para as quais existe uma função escalar U tal que

B B

A A

d F dr U B U A

e por isso x

UF

x

, y

UF

y

, z

UF

z

.

Assumindo que as posições dependem do tempo, ou seja, que dx t

dx dtdt

e analogamente

para outros termos

B B B B

A A A A

U dx U dy U dz dUd F dr dt dt U B U A

x dt y dt z dt dt

As condições necessárias e suficientes para a existência do potencial são 2

yxFF U

y x x y

,

2

x zF F U

z x x z

,

2y z

F F U

z y y z

Voltando ao problema simples em 2D, o cálculo anterior 2 4 3 3 1JF u

pode ser interpretado como o trabalho da componente horizontal na trajectória horizontal

AC , onde 4,0C , ou seja 2 4 positivo, porque os sentidos são iguais; e o trabalho da

componente vertical na trajectória vertical CB , ou seja 3 3 , mas juntando o sinal negativo, porque os sentidos são opostos.

Analogamente, o trabalho do momento num ângulo finito equivale à soma dos trabalhos

elementares, tal como no caso anterior.


Energia potencial das forças externas

A energia potencial das forças externas equivale ao negativo do trabalho mecânico no sistema

conservativo. Visto que nesta parte da matéria não serão considerados outros sistemas que

conservativos, a energia potencial das forças aplicadas poder-se-á determinar como o trabalho

dessas forças, adicionando posteriormente o sinal negativo. Como as forças serão

conservativas, o trabalho não dependerá do caminho percorrido pelas forças, apenas

dependerá das posições inicial e final. Por outras palavras, para o cálculo será possível utilizar a

trajectória mais vantajosa (mais simples).

A energia potencial na realidade corresponde à subtracção de valores de dois níveis, por

outras palavras, para definir a energia potencial é necessário definir o nível zero, ou seja, o

nível em que a energia potencial tem o valor nulo. Este nível é da nossa escolha.

Exemplo: trabalho do peso

Levantando um objecto da superfície para o nível h, o peso deste objecto mg, realiza um

trabalho negativo –mgh. Por isso a energia potencial é positiva mgh e pode ser libertada

deixando o objecto cair para a superfície. O valor da energia potencial dependeu do nível zero,

ou seja, admitimos o nível da energia potencial na superfície como zero. Mas poderia arbitrar-

se outro valor. O valor de energia potencial seria depois a diferença entre os níveis final e

inicial. Visto que o termo trabalho já foi explicado e praticado, torna-se mais simples

determinar a energia potencial das forças externas como trabalho negativo.

Molas

As molas classificam-se em: molas lineares e rotacionais. As molas lineares resistem às forças

aplicadas na sua direcção, as molas rotacionais resistem aos momentos.

Mola linear

A mola linear é um elemento estrutural flexível que resiste principalmente às forças aplicadas

na sua direcção.

Aplicando por exemplo uma força de compressão F,

esta provocará um deslocamento u. Fazendo dois

cortes na mola, verifica-se que o equilíbrio com a força

aplicada assegura uma força interna da mola. Esta

força designa-se a força elástica ou a força de

restituição. Para caracterizar esta força, introduz-se

um valor, K, que se chama a rigidez da mola. A rigidez

da mola define a força elástica para o deslocamento

unitário.


Assim a força elástica é definida por

eF Ku

e a unidade da rigidez da mola é [N/m]. A rigidez da

mola corresponde assim ao declive do gráfico força

elástica-deslocamento.

Nota-se que a força elástica actua sempre contra a

força aplicada, e por isso o seu trabalho é sempre

negativo. Como a força elástica depende do

deslocamento imposto, o trabalho tem que ser

calculado pela integração.

1 2

1 2

1 1

2 2

2 1

1

2

u u

u u e

u u

F du Kudu K u u

Ou seja, o trabalho realizado pela força elástica entre

as posições deformadas correspondentes a 1u e

2u ,

equivale à área tracejada, com sinal negativo.

A energia potencial, neste caso denominada também

como a energia de deformação, corresponde à energia

acumulada na mola e é sempre positiva.

Basta imaginar que se a força aplicada for de compressão (tracção), a mola vai estar sujeita à

compressão (tracção), diminui o seu comprimento-encurta (aumenta o seu comprimento-

alonga), mas depois de libertar a força aplicada a mola volta à sua posição inicial,

indeformada, ou seja liberta a energia acumulada, e por isso a energia acumulada foi positiva.

Recorda-se que é necessário imaginar este processo como lento, sem envolvimento das

massas, para não originar alguma vibração.

Mola rotacional

Analogamente, pode-se concluir que as molas rotacionais acumulam sempre a energia

potencial (energia de deformação) e o valor é dado por

1 2

1 2

1 1

2 2

2 1

1

2

u

e

u

M d K d K

O momento elástico é dado por

eM K

e a rigidez da mola rotacional K corresponde ao momento elástico quando a mola está

sujeita a uma rotação de 1 radiano. A rigidez tem a unidade do momento, ou seja [Nm].

Sublinha-se que para os efeitos de cálculo o ângulo imposto tem que ser introduzido em

radianos.

Pode-se concluir que nos problemas desta parte da matéria as forças externas tratam-se

separadamente das molas. Para a resolução é necessário escolher uma posição do mecanismo

inicial, de forma arbitrária, que não envolve o parâmetro de deformação incógnito. O trabalho

exprime-se como o trabalho das forças no caminho efectuado da posição inicial para a final. A

contribuição das molas pode-se introduzir directamente ao valor da energia potencial. Esta


contribuição será sempre positiva. Para a mola linear (rotacional) a fórmula utilizada envolve

metade da rigidez, vezes a variação do comprimento (variação do ângulo) ao quadrado. A

variação do comprimento (do ângulo) tem sempre que envolver a subtracção das posições

final e não-deformada, independentemente da posição inicial que foi utilizada para o cálculo

do trabalho das forças externas. Em analogia, a posição inicial do mecanismo é arbitrária, não

tendo nada a ver com a posição indeformada das molas. Assim a energia potencial total será

composta pela energia de deformação das molas e pela energia potencial das forças

externas que entra na fórmula como negativo do trabalho.

A qualidade do equilíbrio

O equilíbrio classifica-se em: estável, indiferente e instável. O significado físico pode-se

facilmente associar ao comportamento de uma esfera (veja a figura abaixo). Uma esfera numa

cavidade depois de ser deslocada e libertada, volta à sua posição inicial, isso significa que a

esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio estável. Uma esfera numa

superfície horizontal depois de ser deslocada e libertada, fica na posição deslocada, isso

significa que a esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio indiferente. Uma

esfera no topo da superfície circular, depois de ser deslocada e libertada, continua a mover-se

até encontrar outra posição do equilíbrio, isso significa que a esfera esteve na sua posição

inicial na posição do equilíbrio instável.

Em analogia pode-se assumir que a forma da função de energia potencial corresponde à

superfície analisada, nomeadamente na posição do equilíbrio estável a função de energia

potencial atinge o seu mínimo (local) e na posição do equilíbrio instável a função de energia

potencial atinge o seu máximo (local). Na posição do equilíbrio indiferente, a função é

localmente constante. A determinação da qualidade de equilíbrio seguirá procedimentos de

análise matemática. Para uma variável de deformação basta confirmar a segunda derivada. Se

a segunda derivada na posição estacionária for positiva, o equilíbrio é estável, se for negativa,

é instável, se for nula, é preciso analisar as derivadas de ordem maior. Se todas as derivadas de

ordem maior forem nulas, então o equilíbrio é indiferente. O gráfico da função pode ajudar

nesta análise, basta imaginar o gráfico coincidente com a superfície pela qual pode mover-se

uma esfera e fazer a análise que foi descrita acima.

Problema

Uma barra esbelta de comprimento L está ligada a

um cursor em B e repousa sobre uma superfície

cilíndrica de raio r. Desprezando o atrito e o peso da

barra, determine o valor de correspondente à

posição de equilíbrio do mecanismo quando


L=200mm, r=60mm, P=40N e Q=80N. Use o princípio

do mínimo da energia potencial. Confirme que a

posição encontrada corresponde ao equilíbrio

estável.

Resolução

Neste caso apenas as forças externas estão aplicadas e não

existe nenhum elemento de mola. Para determinar o trabalho

das forças externas é necessário escolher uma posição do

mecanismo chamada “inicial”, que não depende do ângulo .

Esta posição pode ser aquela em que a barra está na posição

vertical.

Verifica-se que a força P na trajectória percorrida da posição inicial para a final realizou o

trabalho positivo, porque a força é vertical e actua no mesmo sentido como o deslocamento

vertical:

1 cosP PL

A força Q fez o trabalho negativo, porque actua no sentido contrário do deslocamento

horizontal

11

cosQ Qr

Em resumo, a energia potencial é dada por:

1

1 cos 1cos

Q PV PL Qr

A condição do extremo dita:

2

2

sinsin 0 sin 0º cos 0,6 39,2º

cos

dV QrPL Qr ou

d PL

Da definição do problema verifica-se que o ângulo tem que estar no intervalo de 0,90º e

por isso a solução encontrada é fisicamente possível. Vê-se que a equação acima tem mais

soluções, mas as outras soluções não são fisicamente possíveis.

O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como:

Pode-se assim confirmar visualmente que na solução encontrada 39,2º 0,685rad há

equilíbrio estável e na posição de 0º o equilíbrio é instável. Não existem mais posições

especiais no intervalo de 0,90º .

r

cos

r

sinL

1 cosL

inicialfinal

P

P

QQ

equilíbrio

instável

equilíbrio

estável


Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada.

A primeira derivada (à esquerda) indica a solução encontrada ( 39,2º 0,685rad ) e

também a posição de ângulo zero como estacionária. A segunda derivada (à direita) indica que

a posição encontrada 39,2º 0,685rad corresponde ao equilíbrio estável (valor positivo)

e que a posição zero ao equilíbrio instável (valor negativo).

Numericamente:

2 2

2 3

2 2

2 2

sin 1cos 2

cos cos

0 3,2 39,2º 8,26

d VPL Qr Qr

d

d V d Ve

d d

Destaca-se que não foi incluída unidade dos números acima por ser indiferente. Destaca-se

igualmente que a posição inicial representou o equilíbrio instável por coincidência, em geral a

posição inicial não costuma ser a posição do equilíbrio. É igualmente importante ver que se for

1Qr

PL , não existe nenhum ângulo que verificava uma posição estacionária, excepto da

posição zero, e por isso o problema teria somente uma solução, desta vez estável. O gráfico da

função V para o caso em que a força Q é dez vezes maior, visualiza-se abaixo. Verifica-se que

nenhuma posição corresponde a um máximo ou mínimo (local) excepto do zero.

Em casos mais complicados, é possível usar o

produto interno para calcular o trabalho das

forças externas. Para isso é necessário

introduzir um referencial para se poderem

definir os vectores. A posição do referencial é

completamente arbitrária. Admitindo o

referencial na posição indicada abaixo

r

cos

r

sinL

1 cosL

inicialfinal

P

P

QQ x

y

A

A

B B

equilíbrio

estável


O vector da força 0,P P realiza o trabalho no caminho definido pelo

1

sin , cos , 1 sin , cos 1cos cos

rAA A A L L r L r L L

cos 1 1 cosP P AA PL PL

que coincide com a relação definida anteriormente.

O vector da força ,0Q Q realiza o trabalho no caminho definido pelo

1

,0 ,0 1 ,0cos cos

rBB B B r r

11

cosQ Q BB Qr


Sublinha-se mais uma vez que a posição inicial foi arbitrária e não dependeu do ângulo .

Devido à derivada segundo o usada na resolução do problema, a contribuição da posição

inicial ficou anulada, no entanto a sua importância está no facto de permitir introduzir as

quantidades que definem a posição final (de equilíbrio) com sinais e valores correctos.

Problema

Uma carga P de 500N é aplicada ao mecanismo

representado no ponto C. Sabendo que a mola se encontra

indeformada quando 15º , determine o valor de

correspondente ao equilíbrio. Considere r=150mm,

L=500mm e k=8000N/m. Use o princípio do mínimo da

energia potencial. Confirme que a posição encontrada

corresponde ao equilíbrio estável. Despreze o peso das

partes envolvidas.

Resolução:

Efeito da força externa: para introduzir o trabalho realizado

pela força externa é preciso arbitrar alguma posição inicial

do mecanismo, que não depende do ângulo . Para o caso

representado na figura ao lado tem-se:

1 cosP PL

Para determinar este valor vectorialmente, tem que se

introduzir um referencial. Para o caso representado na

figura ao lado tem-se:

inicial

final

P

1 cosL


O vector da força 0,P P realiza o trabalho no

caminho definido pelo

sin , cos 0,

sin , cos 1

AA A A L L L

L L

cos 1 1 cosP P AA PL PL


A contribuição da mola pode-se determinar somente como o valor da energia potencial de

deformação acumulado na posição final, que está assim sempre relacionado à forma da mola

indeformada, ou seja a mola está na posição final alongada pelo comprimento do arco que

corresponde ao ângulo 15

180

que é

15

180r

porque a posição indeformada

corresponde ao ângulo de 15º . Sublinha-se que para o cálculo do comprimento de um arco

os ângulos têm que ser introduzidos em radianos. Sublinha-se igualmente que um

alongamento sobre uma superfície circular não faz da mola uma mola rotacional, a mola é

linear, tal como desenhado. O valor da energia potencial da mola é 2

21 15

2 180molaV kr

Na realidade seria mais correcto considerar a subtracção de dois níveis, inicial e final. Na

posição inicial a mola tinha já acumulado o valor 2

2

,

1 15

2 180mola inicialV kr

E por isso dever-se-ia utilizar

2 2

2 2

, ,

1 15 1 15

2 180 2 180mola final mola mola inicialV V V kr kr

No entanto o valor ,mola inicialV não afectará o resultado, porque não depende do valor do

ângulo e por isso seria eliminado depois de derivado. Neste caso, ao contrário do trabalho

das forças, o valor inicial não está a ajudar de maneira nenhuma à determinação do valor da

energia acumulada na posição final, por isso pode ser omisso desde o início. Isso implica que

a posição inicial utilizada para o cálculo do trabalho das forças pode ser arbitrada sem

qualquer ligação à posição indeformada das molas.


2

21 151 cos

2 180P molaV V PL kr


2 15sin 0

180

dVPL kr

d

inicial

final

A

A

P

x

y


A equação acima só pode ser resolvida numericamente. Da definição do problema verifica-se

que o ângulo pode tomar valores no intervalo de 0,180º , depois a mola não enrolava

sobre a superfície. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como:

Pode-se assim confirmar visualmente que existe uma solução no intervalo admissível que

corresponde à posição do equilíbrio estável. Esta solução é única. Numericamente

1,647rad 94,3º que está dentro de 0,180º e por isso a solução encontrada é

fisicamente possível. Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda

derivada.

A primeira derivada (à esquerda) indica a única solução encontrada: 1,647rad 94,3º . A

segunda derivada (à direita) indica que a posição encontrada corresponde ao equilíbrio estável

porque a segunda derivada tem neste lugar o valor positivo. Numericamente:

2 2

2

2 2cos 94,3º 198,96

d V d VPL kr

d d

Realça-se que a posição inicial era arbitrária, podia-se

igualmente usar por exemplo a posição da figura ao

lado, ou qualquer outra. Para a figura ao lado, verifica-

se que a força P faz trabalho negativo:

cosP PL

Comparando este valor com o valor anterior, confirma-se

que o termo que envolve o ângulo é exactamente igual,

inclusive o sinal. Por esta razão a sua contribuição à

derivada da energia potencial será igual como no cálculo

anterior.

inicial

final

PcosL

equilíbrio

estável


Problema

No ponto C do mecanismo representado aplica-se uma força

F de 200N e P de 150N. A constante da mola é k = 2000N/m,

e a mola encontra-se indeformada quando 0 . Determine

o valor de correspondente ao equilíbrio. Use o princípio do

mínimo da energia potencial. Confirme que a posição

encontrada corresponde ao equilíbrio estável. Despreze o

peso das partes envolvidas.

Considere r=100mm e L=500mm.

Resolução:

Efeito da força externa: para introduzir o trabalho realizado

pela força externa é preciso arbitrar alguma posição inicial

do mecanismo que não depende do ângulo . Para o caso

representado na figura ao lado tem-se:

cosP PL

1 sinF FL

A contribuição da mola pode-se determinar como o valor da

energia potencial de deformação acumulado na posição final,

que está relacionado à forma da mola indeformada, ou seja a

mola está na posição final alongada pelo comprimento do

arco que corresponde ao ângulo que é r . O valor da

energia potencial da mola é

2 21

2molaV kr


2 21cos 1 sin

2P F molaV V PL FL kr


2sin cos 0dV

PL FL krd

A equação acima só pode ser resolvida numericamente. Da definição do problema verifica-se

que o ângulo pode estar no intervalo de 0,180º , depois a mola não enrolava sobre a

superfície. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como:

P

P

inicial

final

PF

equilíbrio

estável


Pode-se assim confirmar que existe uma única posição do equilíbrio estável. Numericamente

pode-se resolver 1,905rad 109,1ºest que está dentro do intervalo de valores admissíveis

de 0,180º . Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada.

A primeira derivada (à esquerda) indica a solução estacionária encontrada. A segunda derivada

(à direita) indica que esta posição corresponde ao equilíbrio estável porque a segunda

derivada tem neste lugar o valor positivo. Numericamente:

2 2

2

2 2cos sin 109,1º 139,05

d V d VPL FL kr

d d

Problema

Determine a energia potencial do sistema da

figura ao lado na posição que corresponde a

uma rotação pelo ângulo finito no sentido

horário. Considere que a posição visualizada na

figura corresponde ao nível zero e que as

molas rotacional e linear estão nesta posição

indeformadas.

Resolução

A energia potencial será determinada como a

soma de todas as contribuições.

O peso da barra AB:

O ângulo inicial é definido por 0,3

arctan0,4

Assim o trabalho do peso é:

sin sin2

sin 0,15 0,2sin 0,15 1 cos2

ABP AB AB AB

AB AB

ABP h P

ABP P

A

B C

D Dr

k

k

0,3

0, 4 0, 4 m

0,1

B

A

A

ABP

ABP

ABh


O peso da barra BC:

sin2BCP BC

BCP

O peso do disco D:

1 cos sin

0,1 1 cos 0,8sin

DP D

D

P CD BC

P

A mola rotacional:

21

2kV k

A mola linear:

2

21sin 0,32 sin

2kV k BC k

A energia potencial total do Sistema:

AB BC Dk k P P PV V V

B C

Dk

sinBC

cosCD

BCP

BCP

DP

DP


Força crítica Em alguns casos acontece que uma estrutura está em equilíbrio e este facto não depende do

valor da força aplicada. Os casos mais comuns envolvem estruturas rectas com a carga

aplicada no seu eixo. Nestes casos é possível considerar o valor da força como parâmetro e

usando a metodologia explicada na parte anterior, é possível analisar a qualidade do equilíbrio

como função do valor da força aplicada. Assim é possível definir o valor da força que faz a

separação entre o equilíbrio estável e instável, ou seja o valor da força para a qual a segunda

derivada de energia potencial na posição do equilíbrio é nula. Depois, para as forças menores o

valor da segunda derivada é positivo e o correspondente equilíbrio é estável; e para as forças

maiores o valor da segunda derivada é negativo e o correspondente equilíbrio é instável. A

força que faz esta separação chama-se a força crítica.

Como explicado anteriormente, a avaliação do equilíbrio pode-se fazer da seguinte maneira:

aplica-se um “impulso”, ou seja, desloca se a estrutura da sua posição do equilíbrio, e depois

liberta-se. Se depois desta libertação voltar à sua posição inicial, o equilíbrio é estável. Da

mesma maneira é necessário proceder na parte de cálculo. O “impulso”, ou seja, a introdução

da posição deformada deveria envolver deslocamentos finitos, no entanto basta considerar os

deslocamentos pequenos, mas não infinitesimais, porque a forma indeformada corresponde

ao parâmetro nulo. Este facto é de extrema importância. Com deslocamentos infinitesimais

não se consegue determinar a força crítica, porque as funções trigonométricas dos ângulos

infinitesimais envolvem apenas o primeiro termo da expansão Taylor e assim apenas os termos

de ordem máxima 1 (lineares). Usar estes termos no PTV é aceitável, porque no trabalho

virtual não há termos quadráticos. No entanto, usar estes termos juntamente com a energia

potencial em que a energia de uma mola rotacional envolve o ângulo com expoente 2 (termo

quadrático), já não é possível porque depois o trabalho e a energia formavam termos de

ordem diferente. Por esta razão tem que se adicionar mais termos na expansão Taylor, até

envolver os termos quadráticos.

Em resumo, as funções trigonométricas que correspondem aos deslocamentos pequenos, mas

não infinitesimais, podem simplificar-se:

sin e 2

cos 12

Isso alterou a simplificação da função co-seno, mas não a função do seno, porque o termo com

expoente 2 na expansão do seno é nulo.

Problema

Considere a estrutura visualizada na figura abaixo. Determine o valor da força crítica do

sistema, considerando as molas indeformadas na posição mostrada. Examine outras posições

de possível equilíbrio.

dados: 15 /k kN m , 20k kNm , 2L m

k


Resolução

A posição deformada visualiza-se acima, devido à simetria a deformada é simétrica. Devido às

deformações não infinitesimais, é necessário manter os comprimentos das barras inalterados.

O trabalho das forças aplicadas é:

2

22 1 cos 2 1 12

P PL PL PL

A energia potencial do sistema é:

2 22 2 2 2 21 1 1

2 sin 22 2 2

V PL k k L PL k kL

É de notar que a mola rotacional acumula a energia que correspondente ao ângulo de 2 ,

que é o ângulo relativo entre as barras na posição deformada.

A primeira derivada é:

22 4dV

PL k kLd

Verifica-se que a única posição de equilíbrio é a posição 0 tal como assumido. Desta

expressão é impossível encontrar outras posições de equilíbrio, porque é válida apenas para

ângulos pequenos perto do zero.

A segunda derivada é: 2

2

22 4

d VPL k kL

d

A força crítica corresponde ao valor nulo, ou seja 2 24 4 20 15 2

35kN2 2 2

crit

k kLP

L

Nota-se que o valor da força é positivo. Na realidade este problema só ocorre nas estruturas

sujeitas à compressão. Se a força for de sentido oposto, o equilíbrio seria estável para

qualquer valor da força. Pode-se ainda analisar o gráfico da segunda derivada da energia

potencial em função da força aplicada.

L L

2


Vê-se que a função 2

2

d V

d é linear e decrescente. Isso confirma que para as forças menores de

35kN, mesmo com o sinal negativo que corresponderia às forças de sentido oposto, ou seja, de

tracção, o equilíbrio é estável. Para as forças maiores que 35kN o equilíbrio é instável.

Realça-se que a simplificação introduzida nas funções trigonométricas não era obrigatória.

Poder-se-ia proceder sem simplificações, o que apenas complicava as derivadas, mas não

alterava o resultado. A formulação completa permitiria analisar outras posições de equilíbrio

além da forma assumida de 0 . Neste caso:

2 21 1

2 1 cos 2 sin2 2

V PL k k L

22 sin 4 sin cosdV

PL k kLd

Confirma-se que a posição 0º corresponde a uma posição estacionária, no entanto

também para um dado valor da força, pode existir outra posição de equilíbrio. Admitindo por

exemplo 33kN<PcritP , 42,73º é também estacionário.

A segunda derivada:

2

2 2 2

22 cos 4 cos sin

d VPL k kL

d

Admitindo a posição analisada 0º

2

2

20 2 4

d VPL k kL

d

Que corresponde à relação anterior e por isso o valor da força crítica será novamente de 35kN.

Admitindo a outra posição

2

242,73º 12,21 0

d V

d

Pode-se concluir que esta posição corresponde ao equilíbrio instável.

Neste problema, para forças maiores que crítica não existe outra posição de equilíbrio. Os

ângulos que resolvem a equação são maiores que 90º , o que é fisicamente impossível.

Problema

Considere a estrutura visualizada na figura ao lado.

Determine o valor da força crítica do sistema,

considerando as molas indeformadas na posição

mostrada. O apoio móvel na extremidade da mola

assegura que a mola vai ficar sempre na posição

horizontal.

Resolução

A energia potencial do sistema é:

P

k

L

k


22

2 2 2 2

1 11 cos sin

2 2

1 1 1

2 2 2

V PL k k L

PL k kL

A primeira derivada é:

2dVPL k kL

d

Verifica-se que a posição de equilíbrio é a posição

0º tal como assumido. Desta expressão é

impossível encontrar outras posições de equilíbrio,

porque é válida apenas perto do zero.

A segunda derivada é: 2

2

2

d VPL k kL

d

A força crítica corresponde ao valor nulo, ou seja 2

crit

k kLP

L

P

k

L

k

L

P

O equilíbrio e a qualidade do equilíbrio · do trabalho das forças externas. Em analogia, a...

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