www.editoraferreira.com.br Toque de Mestre n 1 05/12/2011 Andr Batista Menezes

A qualquer momento teremos o edital do INSS. Portanto vamos abordar um assunto que

com certeza ir ser cobrado no concurso. Vamos comear o toque de mestre 01 com

Nmeros Inteiros, Racionais e Reais.

1. Nmeros Inteiros, Racionais e Reais

Primeiramente, vamos definir o que um nmero. Nmero o objeto da matemtica

para descrever quantidade, ordem ou medidas. A seguir, vamos comentar todos os tipos de

nmeros existentes, desde o mais simples - nmeros naturais - at o mais complexos, conhecido

como nmeros reais.

1.1. Nmeros Naturais

Um nmero natural definido como um nmero no-negativo e inteiro, em que

podemos citar como exemplo (0,1,2,3,...). Devemos observar que no conjunto de nmeros

naturais no esto includos os nmeros negativos e as fraes.

Vale ressaltar que o smbolo para caracterizar um nmero natural N. Alm disso,

temos a simbologia N*, que se refere ao conjunto dos nmeros naturais, excluindo o nmero

zero.

Portanto:

N=(0,1,2,3,...)

N*=(1,2,3,...)

1.2. Nmeros Inteiros

O conjunto dos nmeros inteiros definido como o conjunto dos nmeros naturais

(1.1.) acrescentados dos seus respectivos nmeros opostos negativos, em que podemos citar

como exemplo (...,-2,-1,0,1,2,...).

O smbolo para caracterizar um nmero inteiro definido por Z. Assim como os

nmeros naturais, temos a simbologia Z*, que se refere aos nmeros inteiros, excluindo o

nmero zero.

Deve-se observar ainda que todos os nmeros naturais so nmeros inteiros, no

entanto, o contrrio no verdadeiro. Assim, podemos dizer que N um subconjunto de Z.

Para exemplificar, temos que:

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2 um nmero natural e tambm nmero inteiro;

-2 no um nmero natural, no entanto um nmero inteiro;

1.3. Nmeros racionais

O conjunto dos nmeros racionais definido como todo nmero que pode ser

representado por uma frao entre dois nmeros inteiros, em que podemos citar como exemplo

2 9 4, ,

3 10 5

.

O smbolo para caracterizar o conjunto dos nmeros racionais Q. Seguindo a

mesma lgica dos nmeros naturais e inteiros, o smbolo Q* representa os nmeros racionais,

excluindo o zero.

importante lembrar que os nmeros racionais englobam os nmeros inteiros, que

por sua vez, englobam os nmeros naturais. Para um maior entendimento, verifica-se a figura

abaixo, que representa a dimenso de cada classificao de nmero.

1.4. Nmeros irracionais

Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser obtidos pela frao entre dois

nmeros inteiros, cita-se como exemplo:

2 1,414213562...

3 1,732050808...

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Observa-se que os dois exemplos acima no podem ser escritos na forma de frao,

pois o valor da ltima casa decimal nunca saberemos.

O smbolo para caracterizar o conjunto dos nmeros irracionais I. Seguindo a

mesma lgica dos nmeros naturais, inteiros e racionais, o smbolo I* representa os nmeros

irracionais, excluindo o zero.

1.5. Nmeros Reais

O conjunto dos nmeros reais definido pelo conjunto de todos os nmeros visto

anteriormente: naturais, inteiros, racionais e irracionais; conforme verificado na figura abaixo.

O smbolo para caracterizar o conjunto dos nmeros reais R. Seguindo a mesma

lgica dos nmeros naturais, inteiros e racionais, o smbolo R* representa os nmeros reais,

excluindo o zero.

1.6. Resumo

Vamos fazer um breve resumo dos tipos de nmeros, com o objetivo de facilitar o

entendimento:

Nmeros Naturais (N):

o N = (0,1,2,3,...)

o N* = (1,2,3,...)

Nmeros Inteiros (Z):

o Z = (...,-2,-1,0,1,2,...)

o Z* = (...,-2,-1,1,2,...)

o Z+ = (0,1,2,...)

o Z- = (...,-1,-2,0)

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Nmeros Racionais (Q):

o Q = (...;-1,5;-0,5;0;1,2;...)

o Q* = (...;-1,5;-0,5;1,2;...)

o Q+ = (0;1,2;...)

o Q- = (...;-1,5;-0,5;0)

Nmeros Irracionais nmeros que no podem ser representados em forma de

frao;

Nmeros Reais uma expanso do conjunto de nmeros racionais, que engloba os

inteiros (Z) e fracionrios (Q), positivos e negativos, bem como todos os nmeros

irracionais;

Vamos agora para os exerccios, a parte mais importante do curso, pois a NICA maneira de

aprender Matemtica fazendo muitos exerccios. No existe milagre!!! Vale lembrar que na

resoluo das questes sero abordadas tambm operaes com nmeros inteiros, naturais e

reais.

Apresentao de Questes Comentadas:

Julgue verdadeiro ou falso:

1) 2 um nmero real? 2) Z* = (-1,-2,0,1,2) ? 3) Nmeros fracionrios esto includos no conjunto de nmeros reais? 4) N um subconjunto de R? 5) Todo nmero real tambm nmero racional?

6) 2 um nmero real? 7) 0,5 pode ser considerado um nmero racional? 8) Z+ o conjunto de nmeros naturais positivos? 9) Q- o conjunto de nmeros racionais negativos? 10) O conjunto de nmeros reais engloba os nmeros racionais e irracionais?

Comentrios:

1) Verdadeiro. Conforme verificado na teoria, observa-se que 2 um nmero inteiro positivo. Como o conjunto dos nmeros reais engloba o conjunto de nmeros inteiros, temos que 2 um nmero real.

2) Falso. O conjunto (-1,-2,0,1,2) contem o elemento 0, no entanto, a simbologia Z* refere-se ao conjunto dos nmeros inteiros, excluindo o nmero 0.

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3) Verdadeiro. O conjunto de nmeros reais o maior conjunto; o mesmo engloba nmeros inteiros e fracionrios, sejam negativos ou positivos.

4) Verdadeiro. O conjunto de nmeros reais representado pelo smbolo R engloba o conjunto de nmeros naturais, representado pelo smbolo N.

5) Falso. Vimos que os nmeros reais podem ser racionais ou irracionais. Portanto, nem todo nmero real um nmero racional, pois pode ser irracional.

6) Verdadeiro. O nmero 2 um nmero irracional, pois no pode ser representado na forma de frao. Como o conjunto de nmeros irracionais um subconjunto dos nmeros

reais, podemos concluir que 2 um nmero real.

7) Verdadeiro. O nmero 0,5 pode ser representado na forma de frao 1

2, portanto

considerado um nmero racional. 8) Falso. O smbolo Z representa o conjunto de nmeros inteiros. Portanto, Z+ representa o

conjunto de nmeros inteiros positivos. 9) Verdadeiro. O smbolo Q representa o conjunto de nmeros racionais. Portanto, Q-

representa o conjunto de nmeros racionais negativos. 10) Verdadeiro. Pela definio estudada, os nmeros reais englobam tanto os nmeros

racionais, quanto os irracionais.