Números reais e expressões algébricas

Números reais e expressões algébricasConjuntos numéricos

2

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Conjunto dos números naturais ( )

= {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

= {–3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ...}

ou

Conjunto dos números inteiros ( )

Números reais e expressões algébricas

Exemplos: 0,666... = –

Os números racionais na reta numerada

Entre dois números racionais diferentes sempre existe outro número racional.

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números quepodem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteirose denominador diferente de zero.

Conjunto dos números racionais ( )

–3 –2 –1 0 1 2 3

= ou 2 : 3 = ou (–3) : 5

= X | X = , com a , b e b 0

–

3

Conjuntos numéricos

Números reais e expressões algébricasConjunto dos números irracionais ( )

4

Número irracional é todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica.

e = 2,71828182...

= 3,14159265...= 1,4142135...

= 2,2360679...

Números reais e expressões algébricasNúmeros irracionais notáveis

C = . d

C = 2 r

Circunferência

DiâmetroRaio

Centro

7,222 cm

5

Números reais e expressões algébricasFI ( ): o número de ouro dos gregos

6

A razão áurea (ou razão de ouro) é representada, aproximadamente, por 1,6. Seu valor é dado por:

Para os gregos antigos, esse número representava harmonia, equilíbrio e beleza. Ele aparece em diversos lugares, como, por exemplo, no corpo humano, nas artes, na arquitetura e na natureza.

30,70 m : 18,24 m 1,6≃

Partenon

ab

30,70 m

18,24m

LEV

DO

LGA

CH

OV

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

CA

SA

DE

TIP

OS

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

= = 1,6180339887...

Números reais e expressões algébricasOperações com números irracionais

7

= = =

Adição e subtração

– = (5 – 3) .

Multiplicação e divisão

= 10 . 3

= = = 3

= =

∙

= 2

2 ∙5 ∙= 30

Números reais e expressões algébricasConjunto dos números reais ( )

8

Lê-se “união com” =

Reunindo o conjunto dos números racionais ( ) com o conjunto dos númerosirracionais ( ), obtemos o conjunto dos números reais ( ).

Números reais e expressões algébricas

: conjunto dos números naturais

: conjunto dos números inteiros

: conjunto dos números racionais

*: conjunto dos números naturais sem o zero

*: conjunto dos números racionais sem o zero

‒: conjunto dos números inteiros negativos com o zero

+: conjunto dos números reais positivos com o zero

Subconjuntos de

+: conjunto dos números inteiros positivos*

: conjunto dos números irracionais

9

‒: conjunto dos números inteiros negativos*

Números reais e expressões algébricas

0 1 2 3

Conjunto dos números reais ( )

10

Para cada número real há um ponto correspondente na reta numerada e, para cada ponto da reta, há um número real correspondente. Por isso, existe uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma reta.

‒3 ‒2 ‒1

‒2,444... ‒1,75 0,25 1,333...

– 2

Números reais e expressões algébricasComparação e operações com números reais

11

No caso de comparação e operações que envolvem os números reaisirracionais, vamos considerar seus valores aproximados (números racionais).

0 1 2 3 4 5

< 2 1,73

5 > 4,69

> 3,16

1,73 2,1 3,16 4,69

Números reais e expressões algébricasDesigualdade em

12

Eles mostram a diferença entre x < 3 e x ≤ 3.

Se x < 3, então x pode ser –1; 2; 2,9 ou 2,99, mas não pode ser 3. A bolinhavazia indica que x pode ser qualquer número menor que 3, sem incluir o 3.

Se x ≤ 3, então x pode assumir todos esses valores menores que 3 e também o valor 3. A bolinha cheia indica isso.

Bolinha cheia ≤ ou ≥

0 1 2 3 4 5‒1‒2‒3‒4

x < 3

0 1 2 3 4 5‒1‒2‒3‒4

x ≤ 3

Bolinha vazia < ou > x > 3 x ≥ 3

Números reais e expressões algébricas

x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x = 120

x + + = 10

MU

SE

U B

RIT

ÂN

ICO

, LO

ND

RE

S /

FOTO

: H

E N

EW

YO

RK

TIM

ES

/ LA

TIN

STO

CK

PA

ULO

MA

NZI

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Expressões algébricas

13

Números reais e expressões algébricasExpressões algébricas e variável

14

As expressões que indicam operações matemáticas e contêm letras e númerossão chamadas expressões algébricas ou expressões literais.

Exemplos:

– 1 2r + 5 2(m + 1)

Variável vem de “variar”

Variável

Números reais e expressões algébricasSituações representadas por expressões algébricas

100 + 5p

600 + 10% de x ou

ou ou 600 + 0,1x

600 + . x

600 +

15

Números reais e expressões algébricasPodemos simplificar tanto as expressões algébricas como as expressões numéricas.

Expressões numéricas:

= + = 10 + 3 = 13

Expressões algébricas:

2x + 6x = (2 + 6) . x = 8 . x = 8x

3y + 5y + y = (3 + 5 + 1) . y = 9 . y = 9y

3 . (x + 4) = 3 . x + 3 . 4 = 3x + 12

= + = 2x + 6

16

Números reais e expressões algébricas

O denominador em uma expressão algébrica necessariamente tem de serdiferente de zero, pois não existe divisão por zero.

Exemplos:

Restrições para o denominador

Valor numérico de uma expressão algébrica

P = 5x Para x = 3 cm

P = 5 . 3 = 15 cm

O valor numérico da expressão algébrica 3x – 2y para x = –2 e y = é:

3x – 2y = 3 . (–2) – 2 . = –6 – = –6 – 1 = –7

, a ≠ b , x ≠ –1 , x ≠ 0

x

x

x x

x

17

Números reais e expressões algébricasFórmulas

18

Densidade de um corpo

Densidade é a razão da massa de um corpo pelo seu volume ocupado.

d =

massa (em g)

volume (em cm3)

A densidade da água é 1 g/cm3.

Os corpos que afundam na água são os de densidade maior do que 1 g/cm3.

FAB

IO Y

OS

HIH

ITO

MA

TSU

UR

A /

AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

Números reais e expressões algébricasA conta da energia elétrica

k = ou k = (t . W) : 1000

1 kW = 1000 watts

1 kWh = quantidadede eletricidade em 1 hora poraparelho de 1000 watts.

Exemplo:

Um aparelho que utiliza 2500 watts fica ligado em uma fábrica por 4 horas. Qual é o consumo de quilowatts-hora?

k = = 10 kWh

19

Números reais e expressões algébricasGeneralizações

20

Se n indica um número natural qualquer, então:

• P = 2n indica que P é par.

P = 2n

n = 1

n = 2

n = 3

P = 2(1) = 2

P = 2(2) = 4

P = 2(3) = 6

• I = 2n + 1 indica que I é ímpar.

I = 2n + 1

n = 0

n = 1

n = 2

I = 2(0) + 1 = 1

I = 2(1) + 1 = 3

I = 2(2) + 1 = 5...

.

.

.