Numeros complexos e estatística 2012

Professor Cristiano Marcell

Os números governam o mundo. (Platão)

Colégio Pedro II Unidade Realengo II - 2011 Lista de exercícios de Números Complexos Noções básicas de estatística. Prof. Cristiano Marcell

Noções de Básicas de Estatística

A estatística é um ramo da matemática aplicada que tem por objetivo fornecer métodos para coleta, organização, resumo, apresentação e análise dos dados, visando obtenção de conclusões válidas e, finalmente, tomada de decisões. População (ou universo)

Conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum. Amostra

Subconjunto finito de uma população. Variável

Conjunto de resultados possíveis para um fenômeno.

Tipos de Variáveis I. Qualitativa – quando for expressa por tipos ou atributos: sexo (masculino ou feminino), cor dos olhos (azuis, castanhos, etc.), qualidade de uma peça produzida (perfeita ou defeituosa). II. Quantitativa – quando for expressa em números. É importante notar que as variáveis quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contínuas. Variável contínua Pode assumir qualquer valor entre dois limites. Variável discreta Assume valores pertencentes a um conjunto enumerável. Gráficos Linha Exemplo 1) (UNICAMP) O gráfico a seguir mostra o total de acidentes de trânsito na cidade de Campinas e o total de acidentes sem vítimas, por 10.000 veículos, no período entre 1997 e 2003. Sabe-se que a frota da cidade de Campinas era composta por 500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em 2002.

a) Calcule o número total de acidentes de trânsito ocorridos em Campinas em 2003.

b) Calcule o número de acidentes com vítimas ocorridos em Campinas em 2002. Barras Exemplo 1) Em dezembro de 2002, a Empresa Brasileira de Turismo (EMBRATUR) apresentou um relatório sobre o turismo praticado em ambientes naturais conservados, que são aqueles que têm garantida a proteção de seus recursos naturais originais. Para a elaboração do relatório, foi feita uma pesquisa com freqüentadores de algumas dessas unidades de conservação. Após o levantamento dos dados, construiu-se um gráfico referente aos meios de informação que levaram os turistas a escolher um desses ambientes naturais conservados para a sua viagem de férias.

Analisando o gráfico, pode-se dizer que a) mais da metade dos pesquisados obtiveram a informação por intermédio de amigos ou parentes. b) agências de viagens e revistas juntas tiveram, porcentualmente, mais influência na decisão do que a Internet. c) a influência de amigos e parentes é o triplo da influência de publicações especializadas. d) menos de um quinto dos pesquisados obtiveram informações via televisão. e) a maioria dos pesquisados obtiveram a informação via Internet. Colunas Exemplo 1) (Enem) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.

De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente: a) 14%. b) 48%. c) 54%. d) 60%. e) 68%.



Setor circular Exemplo 1) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1 000 famílias com filhos em idade escolar:

Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas: I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias. II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias. Então, é CORRETO afirmar que a) nenhuma das afirmativas é verdadeira. b) apenas a afirmativa I é verdadeira. c) apenas a afirmativa II é verdadeira. d) ambas as afirmativas são verdadeiras. Exemplo 2)(UFRJ) Dois estados produzem trigo e soja. Os gráficos abaixo representam a produção relativa de grãos de cada um desses estados.

a) A produção de trigo do estado A corresponde a que porcentagem da produção de grãos do estado? b) É possível afirmar, a partir dos gráficos, que a produção total de trigo do estado A é maior do que a do estado B? Justifique sua resposta. Exercícios 1) (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.

Médias Anuais da Taxa de Desemprego TotalGrande São Paulo

1985 - 1996

Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE.

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

16,0%

14,0%

12,0%

10,0%

8,0%

6,0%

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado, a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. 2) (ENEM) A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico abaixo mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana.

Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana a) é diretamente proporcional à sua idade. b) dobra a cada 10 000 anos. c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem. d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha. e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais. 3) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados utilizando um gráfico de setores circulares, como o representado na figura abaixo.

Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor b, 270 respostas e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse número é a) 45. b) 90. c) 180. d) 450. e) 900. 4) (ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.



Gráfico I

Analisando os gráficos, pode-se concluir que

a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.

b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.

c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto.

d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.

e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.

5) (UERJ) Às vésperas das eleições, verificou-se que todos os dois mil eleitores pesquisados tinham pelo menos dois nomes em quem, com certeza, iriam votar. Nos quatro gráficos abaixo, o número de candidatos que cada eleitor já escolheu está indicado no eixo horizontal e cada "carinha" representa 100 eleitores.

O gráfico que está de acordo com os dados da pesquisa é o de número: a) I b) II c) III d) IV

6) (UENF) O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 meses de determinado ano.

a) Determine o número total de pacientes atendidos durante o

semestre. b) Calcule a média mensal de pacientes atendidos no período

considerado. 7) (FUVEST) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico: nº de alunos. 23 20 10 5 2 16 17 18 19 20 idade (anos)

Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos? a) 16 anos e 10 meses. b) 17 anos e 1 mês. c) 17 anos e 5 meses. d) 18 anos e 6 meses. e) 19 anos e 2 meses. 8) (UERJ) Observe o demonstrativo do consumo de energia elétrica:

Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O consumo no mês de abril de 99, em kWh, foi igual a: a) 141 b) 151 c) 161 d) 171



9) (UERJ) Analise o gráfico e a tabela:

De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, por km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a: a) 4/7 b) 5/7 c) 7/8 d) 7/10 10) (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:

a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h

Distribuição de freqüência

Para descrevermos graficamente os dados coletados, nosso primeiro passo é a determinação das frequências dos valores existentes da variável.

Frequência simples (ou absoluta) é o número de vezes que um valor foi observado, e podemos obter, a partir de dados brutos, uma tabela de distribuição de frequências.É representada por fi.

Frequências relativas (fri) são o resultado da razão entre as frequências simples e a frequência total.

푓푟푖 =푓푖∑푓푖

Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de

todos os valores inferiores ao limite superior de uma dada classe:

Fk = f1 + f2 + f3 + ... fk

Classes de frequência, são simplesmente, intervalos de variação. As classes serão representadas por i = 1, 2, 3, ..., k, onde k é o número total de classes.

Limites de classe são os extremos de cada classe, e teremos um limite inferior (li) e um limite superior (lf).

Amplitude (hi) é calculada pela subtração dos limites superior e inferior da classe:

hi = lf - li Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre

o Limite superior máximo e o limite inferior mínimo:

AT = Lmax lmin

Para a determinação do número de classes de uma distribuição, usamos a seguinte equação (regra de Sturges):

i ≈ 1 + 3,3 . log n

e para definirmos a amplitude do intervalo de classe usamos: ℎ = Exercícios 1) Os resultados do lançamento de um dado 20 vezes foram:

6 5 6 3 4 3 5 2 4 1 4 5 6 1 3 1 2 4 1 5

Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe. 2) Observe a distribuição de frequência

xi 3 4 5 6 7 8 fi 2 5 12 10 8 3

Determine: a) As frequências relativas b) As frequências acumuladas c) As frequências relativas acumuladas Medidas de tendência central

Indicam um ponto em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados, ou o “centro de gravidade” dos dados. Estudaremos a Média aritmética, moda e mediana. Média Aritmética (x)

Soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número total de observações. É a medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de dados. Moda (Mo)

Valor que mais se repete em uma sequência de dados.Seu uso da moda é mais indicado quando se deseja obter, rapidamente, uma medida de tendência central. Uma série pode ser:

Amodal: quando nenhum valor se repete; Modal: quando um valor se repete; Bimodal: quando dois valores se repetem; Trimodal: quando três valores se repetem; Polimodal: quando mais do que três valores se repetem.

Mediana (Md)

Valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais. Assim, 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana e 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana.

Se a quantidade de dados for ímpar, a mediana é simplesmente o valor central, e se a quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.

1

40

30

15

5 3605

1015202530354045

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Velocidade (km/h)

Veí

culo

s (%

)



Exercícios 1) Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série. Calcule a média, a mediana e a moda, e classifique a série conforme a moda. Notas: 7,0 3,5 2,5 6,5 9,0 3,5 2) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente: a) 7,9; 7,8; 7,2 b) 7,2; 7,8; 7,9 c) 7,8; 7,8; 7,9 d) 7,2; 7,8; 7,9 e) 7,8; 7,9; 7,2 3) Um professor de matemática elaborou, através do computador, um histograma das notas obtidas pela turma em uma prova cujo valor era 5 pontos. Entretanto, o histograma ficou incompleto, pois este professor esqueceu-se de fornecer o número de alunos que obtiveram notas iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração a seguir.

A moda dessas notas é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 4) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era: a) 7,6 d) 6,0 b) 7,0 e) 6,4 c) 7,4 5) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida. Uma empresa fabrica bicicletas à um custo fixo mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de 1 200 unidades. Qual o custo médio mensal mínimo por unidade? 6) A média aritmética dos elementos do conjunto 17, 8, 30, 21, 7, x supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto. Se x é um número real entre 8 e 21 sendo diferente de17, então a qual a média aritmética dos elementos desse conjunto? 7) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a a) 1,70. b) 1,71. c) 1,72. d) 1,73. e) 1,74.

8) As questões de Matemática do Concurso Vestibular da UFRGS de 2004 foram classificadas em categorias quanto ao índice de facilidade, como mostra o gráfico de barras a seguir.

Se esta classificação fosse apresentada em um gráfico de setores circulares, a cada categoria corresponderia um setor circular. O ângulo do maior desses setores mediria a) 80°. b) 120°. c) 157°. d) 168°. e) 172°. 9) O Curso de Turismo da "UniverCidade" realizou uma pesquisa com 1.000 turistas estrangeiros que estavam na cidade do Rio de Janeiro durante o período de Carnaval.

A partir dos dados e supondo que em cada critério da avaliação do desfile os percentuais de homens e mulheres mantenham-se os mesmos que os apresentados no gráfico de setores, pode-se afirmar que o número de mulheres que avaliaram o desfile como bom foi a) 400. b) 200. c) 100. d) 80. e) 40. 10) Um professor de Física aplicou uma prova, valendo 100 pontos, em seus 22 alunos e obteve, como resultado, a distribuição das notas vista no quadro seguinte:

Faça os seguintes tratamentos de dados solicitados: a) Determine a freqüência relativa da moda. b) Esboce um gráfico com as freqüências absolutas de todas as notas. c) Determine a mediana dos valores da segunda linha do quadro apresentado.



Conjunto dos Números Complexos(Resumo teórico)

O conjunto dos números complexos representados por C pode ser definido por:

2 | , e 1C z a bi a b R i

Onde:

parte real de ;parte imaginária de ;

número real: todo complexo tal que 0;número imaginário puro: todo imaginário talque 0 e 0.

a zb z

z bz

a b

`

Exemplo: I )Calcule x para que (3 ) 5z x i seja imaginário puro. Igualdade de Números Complexos Dois números complexos 1 1 1 2 2 2 e z a b i z a b i são iguais se, e somente se,

1 2 1 2 e a a b b

Operações com Números Complexos 1.Adição z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 2.Subtração z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i 3. Multiplicação

Sabendo –se que i2 = – 1. Logo,

Agrupando os termos semelhantes, obtemos:

4.Divisão

Para a realização da divisão de dois números complexos é necessário introduzir o conceito de conjugado de um número complexo. Seja z = a + bi, o conjugado de z é z = a - bi. Agora podemos definir a operação de divisão para números complexos.

Conjugado de um Número Complexo

Dado um número complexo z a bi , chama-se conjugado de z ao complexo z tal que:

z a bi Módulo de um Número Complexo

2 2z a b

Observações I) para um número complexo z a bi , em que ,a b R , tem-se:

e .z z R z z R

II) para efetuar a divisão 1

2

zz

multiplicam-se ambos os termos pelo

conjugado de 2z . Forma Trigonométrica de um Complexo Dado um número complexo z a bi , a sua representação no plano de Gauss, através de um ponto:

2 2módulo de : p

argumento de : ,

arg .

z z a bbz tga

onde é o umento

O número complexo z a bi (forma algébrica) pode ser escrito na forma trigonométrica.

.(cos )z p isen

Multiplicação Sendo

1 1 1 1 2 2 2 2(cos ) e (cos )z p isen z p isen , o produto

de 1 2.z z é dado por:

1 2 1 2 1 2 1 2. . [cos( ) . ( )]z z p p i sen

Divisão Sendo

1 1 1 1 2 2 2 2(cos ) e (cos )z p isen z p isen , a divisão

1

2

zz

é dada por:

1 11 2 1 2

2 2

.[cos( ) . ( )]z p i senz p

Potenciação: Forma Trigonométrica Sendo

(cos . )z p i sen e n Z , então:

.[cos( . ) . ( . )]n nz p n i sen n

Exercícios 1) Prove que 2(1 ) 2i i . Aproveitando o resultado anterior,

calcule 20(1 )i .

2) (PUC) 2

2 (1 )2

i

é igual a:

a) 1 b) -1 c) i d) -i e) 0 3) (UNIRIO) Se 2

1i a bii

, onde 1i , então o valor de

a b é igual a: a) 1 b) 1/2 c) 2 d) -1 e) 3/2 4) (UFRRJ) Calcule o complexo z sabendo que 2 3 2 4z i z i .



5) (PUC) Calcule 301

1ii

.

6) (UFRJ) As raízes da equação 2 4 8 0x x são números complexos que representados no plano, têm afixos A e B. a) Mostre que 2 2i é uma das raízes dessa equação. b) Determine a medida do menor ângulo AÔB, onde O representa origem. 7) Escreva na forma trigonométrica os números: a) 1z i b) 8z

c) 1 32 2

z i

8) Escreva na forma algébrica os números: a) 8. 45ºz cis b) 10. 330ºz cis 9) (UFRJ) z é um número complexo tal que 7 1, 1z z .

Calcule 2 3 4 5 61 z z z z z z . 10)(UERJ) Um matemático, observando um vitral com o desenho de um polígono inscrito em um círculo, verificou que os vértices desse polígono poderiam ser representados pelas raízes cúbicas complexas do número 8. A área do polígono observado pelo matemático equivale a: a) √3 b) 2√3 c) 3√3 d) 4√3 11) (UFRRJ) Dado o complexo cos .

16 16z i sen

, calcule

12z , e dê o resultado na forma algébrica. 12) (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: z = α [cos(π/2) + isen(π /2)], w = z2, sendo ‘ um número real fixo, 0 < α < 1.

Determine a hora do jantar. 13) (UFF) Determine as raízes quartas do número complexo

8 8 3z i . 14) (UFRRJ) João deseja encontrar o argumento do complexo z = √3 + i. O valor correto encontrado por João é a) π /6 b) π /4 c) π /3 d) π /2 e) 2 π /3 15) Calcule o valor de 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 +...+i98 + i99 + i 100. 16) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i + 1)8 é: a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i 17) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -1 - 2i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo

a) 2 + i. b) 2 - i. c) 1 - 2i. d) -1 + 2i. e) - 2 - i. 18)

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