Numero 04 - Abril de 2005

www.famat.ufu.br

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 04 - Abril de 2005

f��

e-mail: [email protected]

Comitê Editorial: Edson AgustiniValdair BonfimAntônio Carlos NogueiraFlaviano Bahia Paulinelli VieiraMaísa Gonçalves da Silva

- Famat/Ufu

- Famat/Ufu

- Famat/Ufu

- Petmat - Famat/Ufu

- Damat - Famat/Ufu

FAMAT em Revista

FAMAT em RevistaISSN 1806-1958

www.famat.ufu.br

[email protected]

Revista Cientıfica Eletronica Semestral daFaculdade de Matematica - FAMAT

Universidade Federal de Uberlandia - UFU - MG

Comite Editorial:

Edson Agustini - Famat/Ufu

Valdair Bonfim - Famat/Ufu

Antonio Carlos Nogueira - Famat/Ufu

Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu

Maısa Goncalves da Silva - Damat - Famat/Ufu

Numero 04Abril de 2005

Editorial

O comitê editorial da FAMAT em Revista, com muita satisfação, vem disponibilizar àcomunidade acadêmica o seu quarto número. A FAMAT em Revista é a revista eletrônica dedivulgação científica da comunidade acadêmica da Faculdade de Matemática da UniversidadeFederal de Uberlândia - MG. A sua finalidade é promover a circulação das idéias, estimular oestudo da matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aquelesque se interessam pelo estudo de Matemática.

Gostaríamos de externar nosso contentamento com a aceitação de nossa revista; aquantidade de artigos completos de iniciação científica vem se mantendo expressiva desde aedição anterior, o que tomamos como um índice de que nossos esforços, em prol do estudo dematemática e de mantermos uma revista voltada para trabalhos de graduação, estão lograndocerto êxito.

Assim como no número anterior da FAMAT em Revista, gostaríamos de anunciar acontinuidade da promoção da seção Problemas e Soluções. Convidamos o leitor a acessar essaseção, resolver dois dos problemas propostos e participar do sorteio de exemplares de livrosdas Olimpíadas Brasileiras de Matemática.

Em relação ao conteúdo do quarto número da revista, foram contempladas as atividadesdesenvolvidas ou finalizadas durante o segundo semestre de 2004 e parte do primeirosemestre de 2005. Abaixo, apresentamos de modo sucinto as diversas contribuições e matériasque compõem cada seção.

Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com onze trabalhos instigantese proveitosos, todos desenvolvidos em projetos de iniciação científica orientados porprofessores da FAMAT. Certamente a leitura dos mesmos irá enriquecer a formação deestudantes de matemática.

Na seção Problemas e Soluções, apresentamos a resolução dos quatro problemaspropostos no número anterior. Dentre as resoluções, publicamos duas enviadas pelo alunoFlaviano Bahia Paulinelli Vieira, ganhador da promoção acima citada. Além disso, quatronovos desafiadores problemas são propostos neste número e continua a promoção paraaqueles que nos enviarem pelo menos duas resoluções corretas de tais problemas.

Na seção Eventos, disponibilizamos aos nossos leitores um complemento da lista doseventos ligados à matemática a serem realizados no primeiro semestre de 2005 e anunciamosos principais eventos já confirmados para o segundo semestre de 2005.

Na seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, apresentamos o artigo “ProjetoPedagógico: seu Significado e Primeiras Reflexões”, sobre o projeto pedagógico que deveráser implementado em breve nos cursos de licenciatura da Universidade Federal de Uberlândia.O texto redigido pelo prof. Valdair Bonfim, coordenador do Curso de Licenciatura eBacharelado em Matemática, é um convite à reflexão sobre os problemas enfrentados pelonosso curso de licenciatura e suas possíveis soluções.

Na seção Em sala de aula, comemoramos um grande crescimento do número detrabalhos nesse número da revista. Apresentamos oito trabalhos relacionados ao ensino dematemática. Seis deles são trabalhos de Modelagem Matemática desenvolvidos por alunos dadisciplina “Instrumentação para o Ensino de Matemática”, sob a orientação da profa. RosanaSueli da Motta Jafelice. Os outros dois trabalhos são sobre curvas cônicas. Um deles, deautoria do prof. Jocelino Sato, trata do estudo dessas curvas e suas diversas aplicações. Ooutro trata do estudo de cônicas via seis construções geométricas utilizando o software CabriGéomètre II e foi desenvolvido no primeiro semestre de 2004 pelo aluno Rafael SiqueiraCavalcanti, sob a orientação do prof. Edson Agustini, no âmbito do projeto PIBEG (ProgramaInstitucional de Bolsas de Ensino de Graduação).

Na seção Iniciação Científica em Números, trazemos uma descrição dos atuais projetosde iniciação científica e dos de ensino da FAMAT-UFU desenvolvidos por alunos do Cursode Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Assim como no número anterior da revista,ressaltamos o aumento significativo de graduandos envolvidos em projetos de iniciaçãocientífica e projetos de ensino na FAMAT.

Na seção E o meu Futuro Profissional?, apresentamos um importante artigo: “Pós emOutras Áreas: Opção ou Falta de Opção?”de autoria do prof. Geraldo Marcio de AzevedoBotelho. Nesse artigo é discutida a escolha da área de curso de pós-graduação pelo graduadoem Matemática que deseja ingressar no mercado de trabalho como docente de uma instituiçãopública de ensino superior. A importância de tal artigo reside no fato de que uma opçãocômoda ou errada de Pós-Graduação pode significar portas fechadas no mercado de trabalho.

Na seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que mereceram destaquena FAMAT no período de setembro de 2004 a abril de 2005.

Finalmente, esperamos que nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados elembramos que críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas.

Comitê Editorial

Indice de Secoes

Secao 1: Trabalhos Completos de Iniciacao Cientıfica 7

Secao 2: Problemas e Solucoes 153

Secao 3: Eventos 163

Secao 4: Reflexoes sobre o Curso de Matematica 169

Secao 5: Em Sala de Aula 177

Secao 6: Iniciacao Cientıfica em Numeros 301

Secao 7: E o meu Futuro Profissional? 309

Secao 8: Merece Registro 317

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Trabalhos Completos de

Iniciação Científica

PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica daFundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais

PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática

PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica doConselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática

IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira

��

Comitê Editorial da SeçãoTrabalhos Completos de Iniciação Científica

do Número 04 da FAMAT EM REVISTA:

Edson Agustini (coordenador da seção)Valdair Bonfim

Antônio Carlos NogueiraFlaviano Bahia Paulinelli Vieira

Instrucoes para submissao de Trabalhos

A Secao de Trabalhos de Iniciacao Cientıfica visa divulgar trabalhos que estejam as-sociados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.

Trabalhos completos em nıvel de iniciacao cientıfica dos programas acima listadossubmetidos para publicacao na Revista Eletronica “Famat em Revista” estarao sujeitosa apreciacao pelo Comite Editorial responsavel por essa secao de artigos e, se for o caso,por consultores ad hoc ligados a area ou subarea do trabalho. Caso se faca necessario,sugestoes para o aperfeicoamento do trabalho serao dirigidas aos interessados pelo ComiteEditorial.

Alem da redacao clara e concisa que todo trabalho submetido a boa qualidade devepossuir, pede-se evitar o estilo arido e extremamente tecnico caracterıstico de algumaspublicacoes matematicas, nao perdendo de vista que o publico-alvo ao qual se destina arevista e constituıdo por alunos de graduacao.

Os trabalhos submetidos ate o final de um semestre letivo serao publicados na edicaoda revista lancada no inıcio do semestre letivo subsequente.

Quanto as normas tecnicas para submissao dos trabalhos:

1) Formato do arquivo: PDF

2) Tamalho da Folha: A4

3) Margens: 2,5 cm (portanto, area impressa: 16 cm x 24,7 cm)

4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tıtulos, subtıtulos, notasde rodape, etc, que ficam submetidos ao bom senso)

5) Espacamento entre linhas: Simples

6) Orientador(es), tipo de programa e orgao de fomento (se houver)devem constar no trabalho.

Envio:Por e-mail: [email protected]

Indice de Trabalhos

Estudo sobre as Propriedades Geometricas das Conicas e suas Aplicacoes 13

Patrıcia Borges dos Santos e Lucia Resende Pereira Bonfim

O Metodo Hungaro de Otimizacao para o Problema da Alocacao deTarefas 25

Lais Bassame Rodrigues, Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Edson Agustini

Ideais em Aneis Comutativos 41

Cecılia Pereira de Andrade e Cıcero Fernandes de Carvalho

Estabilidade do Pendulo Nao-Linear Invertido Sob Excitacao Parametrica 49

Pablo Hernandes Soares e Marcio Jose Horta Dantas

Modelo de Bertalanffy para uma Especie de Crustaceo 63

Carolina Fernandes Molina Sanches, Rosana Sueli da Motta Jafelice eRosines Luciana da Motta

A Transcendencia do Numero pi 69

Anselmo Angelo de Almeida Oliveira, Uziel Paulo da Silva e Edson Agustini

Otimizacao por Colonia de Partıculas 87

Jair Rocha do Prado e Sezimaria de Fatima Pereira Saramago

Funcoes Polinomiais e Aplicacoes 105

Jairo Menezes e Souza e Cıcero Fernandes de Carvalho

O Grupo Fundamental de Esferas 113

Rafael Peixoto e Walter dos Santos Motta Junior

Analise de Estabilidade do Regulador Centrıfugo 131

Uziel Paulo da Silva e Marcio Jose Horta Dantas

O Teorema Isoperimetrico e o Problema da Cerca 141

Flaviano Bahia Paulinelli Vieira, Laıs Bassame Rodrigues e Edson Agustini

Estudo sobre as Propriedades Geométricas das Cônicas esuas Aplicações

Patrícia Borges dos Santos1 Lúcia Resende Pereira Bonfim2

Faculdade de Matemática – FAMATUniversidade Federal de Uberlândia – UFU

38408 – 100, Uberlândia.março de 2005

ResumoAs cônicas desempenham um papel importante em vários domínios da Física,

Economia e Engenharia, entre outros.Pretendemos apresentar algumas aplicações e propriedades interessantes

relacionadas com as cônicas, e que não são usualmente abordadas em cursos de Cálculo eGeometria Analítica.

Palavras chave: Geometria Analítica, elipse, parábola, hipérbole.

Introdução

As chamadas seções cônicas — elipse, hipérbole e parábola — são as curvas que seobtém como interseção de um cilindro ou cone circular reto com um plano, como ilustra afigura abaixo:

Hipérbole Parábola Elipse

Vejamos algumas situações onde essas curvas aparecem:Por exemplo, se tivermos uma lanterna direcionada para uma parede, o feixe de luz

emitido pela lanterna formará um cone e a parede funcionará como um plano que corta o cone

1 Orientando de Iniciação Científica PET – Matemática. E-mail: [email protected] Professora Orientadora. E-mail: [email protected]

formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede podemos obter umacircunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

Certos candeeiros de cabeceira, cujo abajur é aberto segundo uma circunferência,desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse. Os engenheiros da área deiluminação usam este fato, entre outros, para construírem candeeiros, lanternas, etc.

O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, aose chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação doavião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usaeste fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar avelocidade do som.

Fazendo uso das propriedades refletoras das cônicas foram construídos telescópios,antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc. Já a propriedade refratora dascônicas aparece em objetos tais como, óculos graduados, as lupas e os microscópios.

A seguir, dividiremos o nosso trabalho em três seções, sendo cada uma delasrelacionada com determinada cônica, para a qual colocaremos a definição em termos de suapropriedade focal, as propriedades geométricas, algumas demonstrações e suas aplicações.

I. Elipse

A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a doispontos fixos desse plano é constante. Mais precisamente, no plano da elipse existem doispontos F e F’, chamados focos, tais que é constante a soma PF + PF’, onde P é um pontogenérico da elipse.

Em 1822, o matemático belga G. P. Dandelin demonstrou a propriedade focal daelipse no caso do cilindro. Usando o mesmo raciocínio empregado, vejamos que isto pode serilustrado imaginando-se uma situação bastante inesperada: Você chega em casa depois daaula morrendo de fome, abre a geladeira e encontra um pedaço de salame (daqueles que separecem com um cilindro circular). Quando vai cortá-lo observa que quanto mais inclinadaestiver a sua faca, maior será sua fatia de salame e também observa que o formato dessa fatiase parece com uma elipse. Seria mesmo uma elipse? Sim, e é fácil perceber o porquê.

Imaginemos o momento em que o salame ainda estava inteiro e pensemos em um corteoblíquo que você fez. Consideremos que tangentes à sua faca, de ambos os lados e, tangentesà parede do salame estão colocadas duas bolas de pingue-pongue, encaixadas perfeitamenteformando círculos paralelos. Observe a figura3:

Considere os pontos F e F’ em que as bolas de pingue-pongue são tangentes ao corte eseja P um ponto qualquer da borda do corte. Trace por P uma reta paralela ao eixo do salameque tangenciará as bolas de pingue-pongue em A e B. Como os círculos são paralelos, osegmento AB tem comprimento constante à medida que P varia na borda do corte. Note que

3 Considere o plano � como sendo o corte feito pela sua faca.

os segmentos PA e PF possuem o mesmo comprimento, pois ambos tangenciam a mesmabola de pingue-pongue a partir do mesmo ponto P. Do mesmo modo, PB = PF’. Assim:

PF + PF’ =PA + PB = AB = constante;o que conclui que o formato da fatia é mesmo uma elipse.

Já o caso do cone circular é facilmente ilustrado imaginando-se a seguinte situação:Você, que já fez seu lanche, resolve estudar para a prova de amanhã. Mas seu quarto é umpouco escuro e você tem que acender a luminária que está sobre sua mesa. Então, olha para aforma que tem a zona iluminada da mesa quando inclina a luminária, e novamente faz aquelapergunta. Será que esta figura é também uma elipse?

Note que a zona de luz é mais ou menos a de um cone de base circular. Com o mesmotruque de Dandelin vamos mostrar que a figura é mesmo uma elipse. Agora, colocaremosduas bolas de tamanhos diferentes, tangentes ao cone e ao plano da mesa de um e do outrolado desta, tal como na figura4:

De maneira análoga à anterior resulta:PF + PF’ = PA + PB = AB = constante;

independente do raio dessas bolas, já que PF e PA tangenciam a mesma bola, assim como PF’e PB. Portanto P, que pertence à zona de luz e ao plano da mesa, descreve uma elipse de focosF e F’, como queríamos demonstrar.

A elipse surge de maneira realmente inesperada em muitas outras ocasiões, como aseguinte: Você está subindo por uma escada de mão apoiada na parede. Antes de chegar aotopo, a escada começa a escorregar e com isso você cai no chão. Você sabia que o seu pé, porexemplo, traçou claramente um pedaço de elipse no ar?

Inacreditável, mas a soma das distâncias do seu pé a dois pontos fixos foi constantetodo o tempo de queda, supondo que você não tenha dado um salto estranho no ar. Com umpouco de Geometria Analítica podemos mostrar que isto realmente ocorre.

4 Considere o plano da mesa como sendo o plano � da figura.

Supondo que seu pé esteja no ponto negro da escada que vai cair (m e n são fixos, talque m>n, e � se aproxima de zero). Então queremos mostrar que a curva descrita por esteponto negro da escada é uma elipse. As coordenadas deste ponto são: αcosmx = e

αnseny = .

Assim, como 1cos 22 =+ αα sen , substituindo as coordenadas do ponto obtemos:

12

2

2

2

=+n

y

m

x

Para comprovar que isto é uma elipse com centro na origem e focos F e F’, vamosmostrar que a soma das distâncias do ponto aos focos é constante.

As coordenadas dos focos são da forma F(c,0) e F’(-c,0), com c>0, então devemosencontrar o valor de c. Temos que os focos são simétricos em relação ao centro que, nestecaso, coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Logo d(O,F) = d(O,F’) =c.

Seja N um ponto de interseção da elipse com o eixo y, que é o eixo menor desta elipse,então d(O,N) = n.

Desse modo, por congruência de triângulos segue que d(N,F) = d(N,F’) e, já que Npertence à elipse temos:

d(N,F) + d(N,F’) = 2m (medida do eixo maior)d(N,F) + d(N,F) =2m

2d(N,F) = 2m � d(N,F) = d(N,F’) = m.Então, por Pitágoras, considerando o triângulo NOF, temos:

.2222222222 nmcnmcnmccnm −=�−±=�−=�+=

Daí segue que as coordenadas dos focos são F( 22 nm − ,0) e F’( 22 nm −− ,0) e asoma das distâncias do ponto ( αα nsenm ,cos ) a F e F’ é:

d1 + d2 =

mnmmnmm

nmmnmm

nmnmmmnmnmmm

nnnmnmmm

nnnmnmmm

nnmnmmm

nnmnmmm

sennnmnmmm

sennnmnmmm

nsennmmnsennmm

2)cos()cos(

)cos()cos(

)(coscos2)(coscos2

coscos2cos

coscos2cos

cos1(cos2cos

)cos1(cos2cos

cos2cos

cos2cos

)0()cos()0()cos(

2222

222222

222222222222

222222222

222222222

22222222

22222222

22222222

22222222

22222222

=−++−−=

=−++−−=

=−+−++−+−−=

=−+−+−++

+−+−+−−=

=−+−+−++

+−+−+−−=

=+−+−++

++−+−−=

=−+−++−+−−=

αα

αα

αααα

ααα

ααα

ααα

ααα

ααα

ααα

αααα

Como vimos a soma das distâncias do ponto a F e F’ é constante e vale 2m, que é amedida do eixo maior da elipse. Assim, o semi-eixo maior da elipse é precisamente o quefaltava para você chegar ao final da escada e o semi-eixo menor é a distância da escada quevocê já tinha percorrido quando a escada começou a cair.

Outra forma ainda mais inesperada de obter uma elipse é a seguinte: Em uma folha depapel trace uma circunferência e recorte o círculo. Tome um ponto P qualquer do círculo quenão seja o centro. Dobre o círculo de modo que as bordas passem por P. Desdobre e dobrevárias vezes de modo que se cumpra a mesma condição.

Uma dobra Outra dobra Muitas dobras

Desse modo descobriremos que todas as dobras envolvem uma elipse e não é difícildemonstrá-lo. Considere uma dobra qualquer como a da figura seguinte:

O arco que passa por P é o simétrico do arco AQB em relação à dobra AB. Trace umareta perpendicular à dobra AB que passa por P e marque o ponto S interseção daperpendicular com a circunferência.

Temos então que AB é mediatriz de PS. Unindo C a S encontramos M, interseção deAB com CS. Resulta então que MP = MS e assim:

MC + MP = MC + MS = raio do círculo.Assim resulta que M está sobre uma elipse de focos C e P e com eixo maior de comprimentoigual ao raio do círculo.

Além disso, para outro ponto qualquer T de AB tem-se:TP + TC = TS + TC > CS

(pois o lado CS do triângulo TSC é menor que a soma dos outros dois). Assim T não está naelipse. Isto é, o único ponto de AB sobre a elipse é M, por outras palavras, AB é tangente àelipse em M. Isto explica que as dobras envolvam a elipse.

Observando a figura vemos pela congruência dos triângulos PMD e SMD que osângulos PMA e AMS são iguais e o ângulo AMS é igual ao ângulo CMB (são o.p.v.), ou seja,resulta que a tangente AB à elipse, com ponto de tangência M, é a bissetriz exterior do ânguloque tem M por vértice e lados as semi-retas que vão de M aos focos da elipse. Este fato é oque chamamos de propriedade bissetora ou refletora da elipse.

Essa propriedade é usada na construção de refletores odontológicos, aparelhos deemissão de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certosmuseus americanos de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos.

A maioria dos dentistas utiliza em seus consultórios uma luminária com espelhoelíptico, obtendo assim duas significantes vantagens: A primeira é concentrar o máximo deluz onde se está trabalhando e a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o pacientecausando certo desconforto. Isto porque o espelho, sendo elíptico, possui a propriedade deconcentrar os raios luminosos emitidos pela lâmpada em um determinado ponto (propriedaderefletora) que é ajustado pelo dentista.

Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emissão deraios usados em tratamentos médicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raiosdevem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor.

As salas de sussurros são construídas de forma oval onde são marcados dois pontos nochão. Duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em vozsussurrada, inaudível no restante da sala.

A forma da sala é de fundamental importância. Ao projetá-la, fixam-se dois pontos P eQ, que ficam na altura da cabeça das pessoas que vão se comunicar. A seguir, toma-se umaelipse que admita P e Q como focos e, a sala é construída de tal maneira que qualquer planoque passe por esses pontos intercepte a sala segundo uma elipse congruente com a escolhida.

Pela própria definição de elipse, a soma das distâncias de um ponto da curva aos focosé constante. Assim, todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos que, ao se refletiremnas paredes da sala, cheguem ao segundo foco, terão percorrido a mesma distância e, por isso,

chegarão ao mesmo tempo. E a propriedade bissetora, garante que todo som emitido em umdos focos se dirigirá, após a reflexão, exatamente para o outro foco.

Assim conjugando essas duas propriedades, concluímos que todas as ondas sonorasemitidas em um dos focos chegarão ao mesmo tempo no outro foco, o que, sem dúvida,proporciona uma amplificação natural do som, explicando o funcionamento das salas desussurros.

A Geometria Analítica tem também um papel importante no desenvolvimento daastronomia. Johannes Kepler, teólogo e astrônomo alemão, analisando cuidadosamente asobservações realizadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu a forma elípticadas órbitas dos planetas e formulou as famosas três leis do movimento planetário.

Kepler decidiu calcular a órbita da Terra concentrando-se no planeta Marte. Pela razãode ser o primeiro dos planetas exteriores, ele se move mais rapidamente em sua órbita,retornando logo á sua posição inicial, o que facilita o seu estudo.

Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular elamais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita deMarte era uma elipse de excentricidade e � 0,093 com o Sol em um dos focos.

Kepler estendeu a todos os planetas do sistema solar a lei da órbita elíptica, a qualficou conhecida como sua primeira lei e que assim se enuncia:

“Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”.e que marcou uma época na história da ciência.

Na II Guerra Mundial, foram utilizados aviões que tinham nas extremidades de suasasas, arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prendesse ao fato de se obter maisespaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendomelhores performances ao avião em vôo.

II. Parábola

A definição de parábola é dada considerando-se em um plano uma reta d e um pontoF, não pertencente à d. Desse modo, parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano quesão eqüidistantes de F e d. Portanto, na figura abaixo, se PD = PF, então P é um ponto daparábola de foco F e diretriz d.

Alguma vez, você já associou essa definição a elementos bastante comuns em nossodia-a-dia, como as antenas parabólicas, os radares, os fogões solares e os espelhos dostelescópios ou dos faróis dos carros? Não! Então vamos descobrir como isto acontece.

As antenas parabólicas são utilizadas para captar ondas eletromagnéticas emitidas porum satélite artificial e convertê-las em um sinal de TV. O feixe de raios emitidos pelo satéliteque atingem a antena será refletido para o foco dessa parábola, onde estará um aparelhoreceptor que fará a conversão, permitindo que você assista a filmes, jornais e outrosprogramas.

Da mesma maneira, os fogões solares captam a energia solar para utilizá-la na cocçãodos alimentos. As propriedades da parábola são de fundamental importância para um bomdesempenho do fogão, pois são elas que garantem a origem de uma zona focal onde todaradiação incidente no concentrador parabólico converge para este foco onde a temperaturaassume valores necessários para o cozimento dos alimentos.

Já nos faróis de carros o espelho parabólico é utilizado da seguinte maneira: coloca-seuma lâmpada no foco do espelho parabólico e os raios luminosos emitidos pela lâmpada sobreo espelho sairão todos paralelos ao eixo que contém o foco e o vértice da superfícieparabólica.

Os radares e os espelhos dos telescópios usam as propriedades da parábola de maneirasimilar às citadas anteriormente para a antena parabólica, para os fogões solares e para osespelhos dos faróis de carros.

Para demonstrar, vamos primeiramente observar que uma parábola separa os demaispontos do plano em duas regiões: uma onde cada ponto tem distância ao foco menor que suadistância à diretriz (chamada região interior) e outra onde a distância de cada ponto ao foco émaior que a distância à diretriz (chamada região exterior).

A figura acima mostra uma parábola de foco F e diretriz d e uma reta r paralela a dcortando a curva em P e P’. Se o ponto P1 é interior ao segmento PP’, então P1F < PF = PD =P1D1 e, portanto, P1 é interior à parábola. Por outro lado, se P2 é um ponto da reta r exterior aosegmento PP’, então P2F > PF = PD = P2D2 e P2 é exterior à parábola.

Nos casos citados consideremos que os raios de luz e que as ondas eletromagnéticas sepropaguem em linha reta. Assim, quando esses sinais são refletidos em um ponto qualquer deuma superfície tudo se passa como se estivessem sendo refletidos em um plano tangente àsuperfície nesse ponto, de acordo com a famosa lei da reflexão: “o ângulo de incidência éigual ao ângulo de reflexão”.

Desse modo, considere um ponto P qualquer da parábola de foco F e diretriz d, e aindaa reta t, bissetriz do ângulo FPD. Vamos mostrar geometricamente que t é tangente àparábola. Observe a figura abaixo:

No triângulo FPD, como PF = PD, a reta t é também mediana e altura. Em outraspalavras, a reta t é mediatriz do segmento FD. Seja agora Q, um ponto qualquer da reta t,distinto de P. Se D’ é a projeção de Q sobre d, temos:

QF = QD > QD’Portanto, Q é exterior à parábola, ou seja, o ponto P da reta t pertence à parábola e

todos os outros pontos de t são exteriores. Logo, t é tangente à parábola em P.

Na figura acima, observe a semi-reta PY, prolongamento do segmento DP. Como atangente à parábola em P é bissetriz do ângulo FPD, temos que PY e PF fazem ângulos iguaiscom essa tangente. Por isso, todo sinal recebido na direção do eixo da parábola toma a direçãodo foco após a reflexão e todo sinal que sai do foco da parábola toma direção do eixo após areflexão de acordo com as leis da Ótica.

As funções do segundo grau e suas respectivas parábolas aparecem e são fundamentaisnos estudos de balística, ciência que se ocupa do estudo do movimento de projéteis. Supondoconhecidas as velocidades de um dardo de massa m e o ângulo de elevação, é possíveldeterminar a equação da trajetória, a qual será uma parábola.

Um fato interessante é que para cada ângulo de elevação podemos construir umaparábola diferente, e que todas elas estarão dentro de uma outra parábola maior, denominadaparábola de segurança.

Esta parábola de segurança funciona como uma curva localizada no plano cartesiano,de forma que se uma pessoa localizada na origem do sistema começar a arremessar dardos emtodas as direções, e você estiver fora dessa região parabólica que contém a origem, vocêestará seguro, pois nenhum dardo o atingirá.

III. Hipérbole

A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias,em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Sua propriedade focal é de grande importância na tecnologia dos telescópios. Vamosentão, mostrar a evolução dos telescópios e como foi importante a utilização dos espelhoshiperbólicos.

Os telescópios refratores foram os primeiros telescópios a serem construídos. Isso sedeu em 1609, e foi Galileu Galilei o primeiro cientista a utilizá-los em observaçõesastronômicas. Funcionavam com base na refração da luz, mas suas lentes tinham váriosinconvenientes, como as deformações das imagens e as aberrações cromáticas (decomposiçãoda luz branca em várias cores).

Esses inconvenientes não existiam nos telescópios refletores, já que estes possuíam umespelho parabólico no fundo de um tubo. O único problema era que para observar a imagem o

observador teria que estar com seu olho posicionado no foco da parábola, o que é impossívelna prática.

Isaac Newton resolveu esse problema colocando um espelho plano entre o espelhoparabólico e o foco. Isso resolveu o problema anterior, mas trouxe outros inconvenientes, poiso espelho plano não poderia ficar muito próximo do foco, sob pena da imagem ficar dentro dotubo; em conseqüência o espelho plano precisava ser de razoável tamanho, o que resultavanum bloqueio significativo da luz incidente no espelho parabólico, que forma a parte principaldo telescópio.

Mas em 1672, o astrônomo francês Cassegrain propôs a utilização de um espelhohiperbólico em lugar do espelho plano de Newton. Um dos focos da hipérbole coincide com ofoco da parábola e agora os raios que iriam formar imagem no foco da parábola são refletidospelo espelho hiperbólico e formarão essa imagem no outro foco da hipérbole.

Para demonstrar que isto realmente acontece, vamos imaginar um espelho refletorconstruído com o formato de um ramo de hipérbole, a parte refletora estando do “lado defora”, isto é, na sua parte côncava.

Suponhamos que um raio de luz proveniente de um ponto A incida no espelho em P,como ilustra a figura abaixo, de forma que a reta AP passe pelo foco F’. Então o raio refletidoterá de passar pelo outro foco F. É esta a propriedade que será demonstrada.

Como citamos anteriormente, na reflexão da luz, quando os raios são refletidos em umponto qualquer de uma superfície, tudo se passa como se estivessem sendo refletidos em umplano tangente à superfície nesse ponto de acordo com a famosa lei da reflexão: “o ângulo deincidência é igual ao ângulo de reflexão”.

Inicialmente provaremos que a bissetriz do ângulo FPF’ é ao mesmo tempo a tangenteà hipérbole em P.

Seja B um ponto qualquer da bissetriz e sejam F’G ⊥ BP e BP ⊥ NP. Dessa maneira otriângulo PGF’ é isósceles, visto que o triângulo PHF’ é congruente ao triângulo PHG. Emconseqüência, o triângulo BGF’ também é isósceles, pois o ponto B pertence à bissetriz BPque é, neste caso, mediatriz de GF’. Logo, com referência à figura acima, temos:

BF < BG + GF�BF – BF’ < BG + GF – BF’;mas BG = BF’ e PG = PF’, então BF – BF’ < GF.

Como GF = PF – PG = PF – PF’, tem-se que BF – BF’ < PF – PF’. O que significaque a bissetriz BP só toca a hipérbole em P, o que prova que ela é reta tangente em P. Faltaprovar que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.

Como vimos o triângulo PGF’ é isósceles, segue que os ângulos desse triângulo em Ge F’ são iguais. Mas o ângulo em F’ é igual ao ângulo de incidência APN, por seremcorrespondentes; e o ângulo em G é igual ao ângulo NPF por serem alternos internos.Portanto o ângulo de incidência APN é igual ao ângulo NPF. Disso e da lei de reflexão da luz,concluímos que este último é realmente o ângulo de reflexão, ficando assim provado que oraio refletido passa por F.

Essas montagens de Cassegrain somente começaram a ser utilizadas nos telescópioscerca de um século após terem sido propostas. Desde então passaram a ser largamente usadas,e hoje em dia estão presentes, não apenas nos telescópios óticos, mas também nosradiotelescópios.

O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que fica 80 km anordeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.

Um outro exemplo de utilização da hipérbole é o sistema de localização de barcos,denominado por LORAN (LOng RAnge Navigation), o qual faz uso de hipérboles confocais,onde os radares estão nos focos. A idéia é baseada na diferença de tempo de recepção dossinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comunsaos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas. Essa técnica foi usadana II Guerra Mundial, para detectar barcos japoneses.

Referências

1. ÁVILA, Geraldo. - A hipérbole e os telescópios. - Revista do Professor deMatemática, nº34, Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.

2. ÁVILA, Geraldo. - Kepler e a órbita elíptica. - Revista do Professor de Matemática,nº15, Sociedade Brasileira de Matemática, 1989.

3. BOYER, Carl Benjamin. – História da Matemática. Ed. Edgard Blücher, 1974.4. GUZMÁN, Miguel de. - Contos com contas. - Tradução: Jaime Carvalho e Silva, 1º

edição, Editora Gradiva, 1991.5. SILVA, Geni Schulz da. - Por que elipse, parábola e hipérbole. - Revista do Professor

de Matemática, nº7, Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.6. STEINBRUSH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. – Geometria Analítica, 1987.7. VALLADARES, Renato J. C. - Elipses, sorrisos e sussurros. - Revista do Professor de

Matemática, nº36, Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.8. WAGNER, Eduardo. - Por que as antenas são parabólicas. - Revista do Professor de

Matemática, nº33, Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.9. Alguns sites relacionados.

O Metodo Hungaro de Otimizacao para oProblema da Alocacao de Tarefas

Laıs Bassame Rodrigues∗ Flaviano Bahia P. Vieira† Edson Agustini‡

Faculdade de Matematica - Famat

Universidade Federal de Uberlandia - Ufu - MG

Abril de 2005

Resumo

Neste trabalho, apresentamos o estudo de um algoritmo de otimizacao de umcaso particular de problema de transporte em programacao linear: o problema daalocacao de tarefas. O algoritmo e chamado de “Metodo Hungaro” e foi criadopelos hungaros D. Konig e E. Egervary. Por tratar-se de um metodo discreto deotimizacao, baseado na manipulacao de matrizes, no qual nao e necessario o usode Calculo Diferencial e Integral, os pre-requisitos sao mınimos, o que torna suacompreensao e utilizacao extremamente acessıveis.

1 Introducao

Em nossa sociedade, e muito frequente depararmos com problemas que requerem tomadasde decisoes visando a melhoria da relacao custo-benefıcio por meio da maximizacao ouminimizacao de elementos do problema. Esse tipo de problema forma uma classe especialde problemas de otimizacao, ou seja, problemas cuja solucao consiste em maximizar ouminimizar uma funcao numerica de um determinado numero de variaveis (ou funcoes),estando estas sujeitas a certas restricoes.

Por exemplo: quantidades dadas xij de um determinado produto estao disponıveis emcada origem i de um determinado numero m de origens (por exemplo, armazens). Dese-jamos remeter essas quantidades de produto a cada destino j de um determinado numeron de destinos (por exemplo, mercados varejistas). E conhecido o custo do transportecij da quantidade xij de qualquer origem i para qualquer destino j. Considerando que epossıvel embarcar de qualquer um dos armazens para qualquer um dos mercados, estamosinteressados em determinar os itinerarios de menor custo dos armazens aos mercados.

∗[email protected] Orientanda do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade deMatematica (PetMat) de jan/04 a dez/04.

†[email protected] Orientando do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade de Matematica(PetMat) de jan/04 a dez/04.

‡[email protected] Professor orientador.

O exemplo acima e um tıpico problema de transporte com mn variaveis e n + mrestricoes, estudado e resolvido com tecnicas de programacao linear. Neste caso, a funcaoa ser minimizada e

z (x11, x12, ..., xmn) =n∑

j=1

m∑i=1

cijxij,

sujeita as restricoes

n∑j=1

xij ≤ ai

m∑i=1

xij = bj

sendo ai a quantidade de produto disponıvel na origem i e bj a quantidade do produtorequerida no destino j.

Nosso objetivo neste trabalho e estudar um caso bastante particular de problema detransporte: os problemas de alocacao de tarefas, em que as variaveis xij podem assumirapenas valores 0 ou 1 (portanto, minimizacao ou maximizacao de uma funcao z discreta);ai = bj = 1 e n = m.

Um ponto do domınio de z, sujeita as restricoes do paragrafo acima, corresponde auma alocacao de tarefas. A imagem de z no referido ponto e o custo da alocacao. Quandouma alocacao e efetuada (escolhida) tendo em vista a minimizacao ou maximizacao de z,temos uma alocacao otima de tarefas. A matriz

C =

⎡⎢⎣ c11 ... c1n...

. . ....

cn1 ... cnn

⎤⎥⎦e chamada de matriz-custo.

Mais adiante redefiniremos esses conceitos baseados apenas na matriz-custo, particu-larizada para os casos que serao levados em conta nesse trabalho.

Mais especificamente, nas proximas secoes, objetivamos trabalhar um metodo (algo-ritmo) de otimizacao discreto sobre a matriz C para problemas de alocacao de tarefaschamado de Metodo Hungaro. Esse nome teve origem em 1955 devido a H. W. Kuhn,pesquisador na area de programacao linear, que em um de seus trabalhos, [7], fez home-nagem aos descobridores do algoritmo em 1931: os hungaros E. Egervary [4] e D. Konig,sendo que este ultimo demonstrou um teorema combinatorio em 1916 que serviu de basepara o algoritmo (Teorema de Konig).

O Metodo Hungaro pode ser aplicado em diversos problemas praticos de alocacao detarefas desde que se construa, de forma conveniente, a matriz-custo C com as informacoesde que dispomos do problema. A partir de C, apos a demonstracao de alguns resultados,o referido algoritmo recursivo de execucao e montado e aplicado; podendo, inclusive, serimplementado computacionalmente, quando o volume de informacoes do problema formuito grande.

Algumas situacoes e problemas sao exemplificados no trabalho, dentre os quais algunsque possuem mais de uma alocacao otima de tarefas.

2 Um Problema de Alocacao de Tarefas

Consideremos o seguinte exemplo:

Uma construtora possui tres garagens cada qual possui uma escavadeira. As escav-adeiras devem ser transportadas para tres obras distintas e o custo do transporte de cadaescavadeira para cada obra e dado pela seguinte matriz-custo:

Obra 1 Obra 2 Obra 3Escavadeira 1 R$ 900,00 R$ 750,00 R$ 750,00Escavadeira 2 R$ 350,00 R$ 850,00 R$ 550,00Escavadeira 3 R$ 1.250,00 R$ 950,00 R$ 900,00

Cada possıvel alocacao de tarefas (escavadeira ←→ obra) resulta em um certo custo.Nosso objetivo e minimizar esse custo. E claro que, nesse exemplo, uma listagem dos seiscustos possıveis resolveria o problema:

Escavadeira 1 - Obra 1 R$ 900,00Escavadeira 2 - Obra 2 R$ 850,00Escavadeira 3 - Obra 3 R$ 900,00

Total R$ 2.650,00


Total R$ 2.400,00


Total R$ 2.000,00

Escavadeira 1 - Obra 2 R$ 750,00Escavadeira 2 - Obra 3 R$ 550,00Escavadeira 3 - Obra 1 R$ 1.250,00

Total R$ 2.550,00


Total R$ 2.050,00

Escavadeira 1 - Obra 3 R$ 750,00Escavadeira 2 - Obra 2 R$ 850,00Escavadeira 3 - Obra 1 R$ 1.250,00

Total R$ 2.850,00

No entanto, para matrizes-custo maiores, esse procedimento se torna impraticavel.

Observemos que, de acordo com o que descrevemos na Secao “Introducao”, a funcaoa ser minimizada e

z (x11, x12, ..., x33) =3∑

j=1

3∑i=1

cijxij

sujeita as restricoes:

3∑j=1

xij ≤ 1 ⇒⎧⎨⎩

x11 + x12 + x13 ≤ 1x21 + x22 + x23 ≤ 1x31 + x32 + x33 ≤ 1

e

3∑i=1

xij = 1 ⇒⎧⎨⎩

x11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1

.

Como xij ∈ {0, 1} , temos que as restricoes acima implicam que a matriz [xij]3×3 devepossui apenas um “1” em cada linha e em cada coluna. O resto das entradas devem ser“0”.

A matriz-custo e dada por:

C =

⎡⎣ c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

⎤⎦ =

⎡⎣ 900 750 750350 850 5501250 950 900

⎤⎦Pelo rastreamento feito acima, z tera valor mınimo quando

Escavadeira 1 - Obra 2 ⇒ x12 = 1Escavadeira 2 - Obra 1 ⇒ x21 = 1Escavadeira 3 - Obra 3 ⇒ x33 = 1

e o resto dos xij′s sao zeros.

Assim,

z (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1) = 900. (0) + 750. (1) + 750. (0)

+ 350. (1) + 850. (0) + 550. (0)

+ 1250. (0) + 950. (0) + 900. (1)

= 2000

e o custo mınimo. Notemos tambem que z e a soma de todas as entradas da “matriz-produto” ⎡⎣ c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

⎤⎦ .

⎡⎣ x11 x21 x31

x12 x22 x32

x13 x23 x33

⎤⎦ =

⎡⎣ c11x11 c12x12 c13x13

c21x21 c22x22 c23x23

c31x31 c32x32 c33x33

⎤⎦Ha varias situacoes onde problemas de otimizacao discretos aparecem. Alem de

maquinario em locais de construcao, podemos querer encontrar a melhor distribuicao detrabalhadores em empregos, jogadores em posicoes no campo, ofertas em leiloes e assimpor diante.

Adotando a nomenclatura tarefas e instalacoes independente da natureza do problema,para tratar o problema de alocacao de tarefas que estamos interessados, e necessario quehaja n tarefas e n instalacoes. Assim, temos n maneiras de alocar a primeira tarefa, n−1maneiras de alocar a segunda tarefa, n − 2 maneiras de alocar a terceira tarefa e assimpor diante. Ou seja, existem n! maneiras distintas de alocar as tarefas as instalacoes.

3 Algumas Definicoes e o Teorema da Alocacao Otima

Embora ja tenhamos utilizado as nomenclaturas matriz-custo, alocacao de tarefas, custoda alocacao e alocacao otima de tarefas na Secao “Introducao” quando citavamos o prob-lema de alocacao de tarefas em termos da funcao z e suas restricoes, iremos redefinir essestermos com o objetivo de, doravante, simplificar as notacoes e preparar os pre-requisitospara o Metodo Hungaro.

Definicao Uma matriz-custo C e definida como sendo uma matriz n × n dadapor:

C =

⎡⎢⎢⎢⎣c11 c12 ... c1n

c21 c22 ... c2n...

.... . .

...cn1 cn2 ... cnn

⎤⎥⎥⎥⎦ ,

sendo cij ∈ R o custo para alocar a i-esima instalacao a j-esima tarefa.

Definicao Dada uma matriz-custo C de ordem n, uma alocacao de tarefas e umconjunto de n entradas da matriz tais que nao ha duas dessas n entradas em uma mesmalinha e nem em uma mesma coluna.

Definicao A soma das n entradas de uma alocacao e chamada de custo da alocacao.Uma alocacao com o menor custo possıvel e denominada uma alocacao otima de tare-fas.

O problema da alocacao de tarefas consiste em encontrar uma alocacao otima a partirde uma matriz-custo dada.

Teorema (da Alocacao Otima) Se um numero real e somado ou subtraıdo de todasas entradas de uma linha ou coluna de uma matriz-custo, entao uma alocacao otima paraa matriz-custo resultante e tambem uma alocacao de tarefas otima para a matriz-custooriginal.

Demonstracao

Seja a matriz n × n:

C =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c11 c12 ... c1i ... c1n

c21 c22 ... c2i ... c2n...

......

......

...cj1 cj2 ... cji ... cjn...

......

......

...cn1 cn2 ... cni ... cnn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦n×n

.

Suponhamos que as entradas da alocacao otima da matriz sejam c1k1, c2k2, ..., ciki, ..., cnkn,sendo os ındices 1k, 2k, ..., nk diferentes dois a dois.

Logo, o custo mınimo de alocacao e a soma de todas as entradas acima, isto e:

S = c1k1 + c2k2 + ... + ciki + ... + cnkn.

Adicionando um valor p ∈ R em todas as entradas de uma coluna da matriz-custo C,temos a seguinte matriz:

D =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c11 c12 ... c1i + p ... c1n

c21 c22 ... c2i + p ... c2n...

......

......

...cj1 cj2 ... cji + p ... cjn...

......

......

...cn1 cn2 ... cni + p ... cnn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦n×n

.

Utilizando as mesmas entradas da alocacao otima da matriz C, temos a seguinte soma:

S + p = c1k1 + c2k2 + ... + (ciki + p) + ... + cnkn

e temos, mais uma vez, que essas entradas correspondem a uma alocacao otima. De fato,qualquer outra sequencia de entradas de D fornece uma soma maior (ou igual) a S + p,uma vez que, na matriz-custo C a soma mınima e S e em D estao sendo somados p′s emtodas as entradas de uma coluna.

A demonstracao se processa de modo analogo no caso de adicionarmos p ∈ R a todasas entradas de uma linha de C. �

Observemos que se pudermos aplicar o teorema acima em uma matriz-custo n× n detal modo a gerar uma matriz-custo que possua todas as entradas nao negativas e, maisainda, tal que possua n zeros de modo que dois deles nao estejam na mesma linha oucoluna, nao teremos dificuldades em achar a alocacao otima que, na ultima matriz, terasoma nula. O algoritmo chamado de Metodo Hungaro para alocacao otima de tarefasbaseia-se nessa ideia.

4 O Metodo Hungaro

Baseados no teorema da secao anterior, temos o seguinte algoritmo para descobrir umaalocacao otima para uma dada matriz-custo n × n:

Algoritmo justificado passo a passo.

(1) Subtraia a menor entrada de cada linha de todas as entradas da mesma linha.

Justificativa:

Pelo Teorema da Alocacao Otima, uma alocacao otima na matriz-custo resultante ealocacao otima na matriz-custo original. Neste passo, estamos criando em cada linha pelomenos uma entrada zero e, alem disso, todas as outras entradas sao nao negativas.

(2) Subtraia a menor entrada de cada coluna de todas as entradas da mesma coluna.

Justificativa:

Pelo teorema acima, uma alocacao otima na matriz-custo resultante e alocacao otimana matriz-custo original. Neste passo, estamos criando em cada coluna pelo menos umaentrada zero e, alem disso, todas as outras entradas sao nao negativas.

(3) Risque um traco ao longo de linhas e colunas de tal modo que todas as entradas zeroda matriz-custo sejam riscadas e utilizando um numero mınimo de tracos.

Justificativa:

Pode haver varias maneiras de realizar esse procedimento. O que e importante e usaro numero mınimo de tracos que e, obviamente, menor ou igual a n.

(4) Teste de Otimalidade:

(4-i) Se o numero mınimo de tracos necessarios para cobrir os zeros e n, entao umaalocacao otima e possıvel e encerramos o procedimento.

Justificativa:

Esta etapa e central no algoritmo. Provar a afirmacao acima e o mesmo que provarque se n e o numero mınimo de tracos para cobrir todos os zeros da matriz-custo, entaoexistem n zeros de tal modo que dois deles nao estao em uma mesma linha ou coluna(ou seja, existe uma alocacao otima correspondendo a essas entradas nulas). Esse e o“Teorema de Konig” cuja demonstracao pode ser encontrada em [7]. Por ser necessariodiversos pre-requisitos de programacao linear, iremos omitir sua demonstracao.

(4-ii) Se o numero mınimo de tracos para cobrir os zeros e menor que n continue ateo proximo passo.

Justificativa:

Observemos que se o numero mınimo de tracos para cobrir os zeros e menor que n, naoe possıvel identificar uma alocacao otima na matriz-custo obtida. De fato, uma alocacaootima em tal matriz sera identificada quando existirem n zeros de tal modo que dois delesnao estejam em uma mesma linha ou coluna. Ora, nessas condicoes, sao necessarios nomınimo n tracos para cobrı-los.

(5) Determine a menor entrada que nao tenha sido riscada. Subtraia essa entrada detodas as entradas nao riscadas e a some a todas as entradas riscadas tanto horizontalmentequanto verticalmente. Retorne ao passo (3).

Justificativa:

Sejam m o numero de linhas e colunas riscadas e a > 0 a menor entrada nao riscada.Pelo teorema acima, podemos somar a a todas as entradas das linhas e colunas riscadase subtrair a de todas as entradas. Isso equivale a subtrair a de todas as entradas naoriscadas e somar a a todas as entradas riscadas tanto horizontalmente quanto vertical-mente. Notemos ainda que a diferenca entre todas as entradas da matriz-custo inicialdesse passo e da matriz-custo final desse passo e − [m (na) − n2a] = na (n − m) > 0, poisn > m. Isso garante que a soma das entradas da matriz-custo final desse passo (que epositiva) esta decrescendo, ou seja, havera uma iteracao final nesse algoritmo.

E importante mencionar que para utilizarmos o Metodo Hungaro tres condicoes temque ser satisfeitas:

• O problema tem que ser de minimazacao. Para transformar um problema de max-imizacao em um problema de minimizacao basta que multipliquemos todas as entradasda matriz-custo por −1.

• A matriz-custo precisa ser quadrada. Caso isso nao aconteca, basta criar uma tarefaou uma instalacao fictıcia que nao interfira no resultado final.

• E aconselhavel que, ao utilizarmos softwares, as entradas da matriz-custo sejamnumeros inteiros, para evitarmos problemas de arredondamento. Em problemas praticos,caso isso aconteca, basta multiplicar as entradas da matriz por uma potencia convenientede 10.

5 Exemplos

Exemplo 1 (o problema e de minimizacao e a matriz-custo e quadrada) Recon-siderando o exemplo da Secao “Um Problema de Alocacao de Tarefas”, temos:

Uma construtora possui tres garagens cada qual possui uma escavadeira. As escav-adeiras devem ser transportadas para tres obras distintas e o custo do transporte de cadaescavadeira para cada obra e dado pela seguinte matriz-custo:

Obra 1 Obra 2 Obra 3

Escavadeira 1 R$ 900,00 R$ 750,00 R$ 750,00Escavadeira 2 R$ 350,00 R$ 850,00 R$ 550,00Escavadeira 3 R$ 1.250,00 R$ 950,00 R$ 900,00

Como devemos alocar as escavadeiras (uma em cada obra) de modo a minimizar ocusto?

Resolucao

Aplicando o Metodo Hungaro na matriz custo:

Obra 1 Obra 2 Obra 3Escavadeira 1 900 750 750Escavadeira 2 350 850 550Escavadeira 3 1250 950 900

temos:

Passo 1: subtraımos 750 das entradas da primeira linha, 350 das entradas da segunda e900 das entradas da terceira. O resultado e

Obra 1 Obra 2 Obra 3Escavadeira 1 150 0 0Escavadeira 2 0 500 200Escavadeira 3 350 50 0

Passo 2: subtraımos 0 das entradas da primeira coluna, 0 das entradas da segunda e 0das entradas da terceira. O resultado (neste exemplo) permanece inalterado:

Obra 1 Obra 2 Obra 3Escavadeira 1 −− 150 −− −− 000 −− −− 000 −−Escavadeira 2 −− 000 −− −− 500 −− −− 200 −−Escavadeira 3 −− 350 −− −− 050 −− −− 000 −−

Passos 3 e 4: o numero mınimo de tracos para cobrir todos os zeros da matriz e tres.Logo, existem tres zeros, um em cada linha e em cada coluna da matriz, que correspondea alocacao otima:

Obra 1 Obra 2 Obra 3

Escavadeira 1 150 0 0



que neste caso e: Escavadeira 1 na Obra 2; Escavadeira 2 na Obra 1 e Escavadeira 3 naObra 3, perfazendo o custo mınimo de R$ 2.000, 00.

Exemplo 2 (o problema e de maximizacao e a matriz-custo nao e quadrada) Umnegociante de moedas vai vender quatro moedas raras em um leilao eletronico. Ele recebepropostas para cada uma das quatro moedas de cinco interessados, mas estes interessadostambem afirmam que podem honrar no maximo uma das propostas. As propostas saodadas pela seguinte tabela:

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4

Interessado 1 R$ 150, 00 R$ 65, 00 R$ 210, 00 R$ 135, 00Interessado 2 R$ 175, 00 R$ 75, 00 R$ 230, 00 R$ 155, 00Interessado 3 R$ 135, 00 R$ 85, 00 R$ 200, 00 R$ 140, 00Interessado 4 R$ 140, 00 R$ 70, 00 R$ 190, 00 R$ 130, 00Interessado 5 R$ 170, 00 R$ 50, 00 R$ 200, 00 R$ 160, 00

Como o negociante deveria alocar as quatro moedas para maximizar a soma das pro-postas correspondentes?

Resolucao

Para utilizar o Metodo Hungaro, observamos que duas condicoes nao sao satisfeitas:a “matriz-custo” nao e quadrada e esse problema e de maximizacao. Para resolver essesproblemas, criamos uma moeda fictıcia (Moeda 5) e uma coluna de “zeros” de modo queela nao altere o resultado final (observe que quem receber a moeda fictıcia nao estararecebendo nenhuma moeda real) e multiplicamos as entradas da matriz-custo por −1 demodo que esse se torne um problema de minimizacao.

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5Interessado 1 −150 −65 −210 −135 0Interessado 2 −175 −75 −230 −155 0Interessado 3 −135 −85 −200 −140 0Interessado 4 −140 −70 −190 −130 0Interessado 5 −170 −50 −200 −160 0

Agora, podemos aplicar o Metodo Hungaro:

Passo 1: Subtraımos −210 das entradas da primeira linha, −230 da segunda, −200 daterceira, −190 da quarta e −200 da quinta.

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5Interessado 1 60 145 0 75 210Interessado 2 55 155 0 85 230Interessado 3 65 115 0 60 200Interessado 4 50 120 0 60 190Interessado 5 30 150 0 40 200

Passo 2: Subtraımos 30 das entradas da primeira coluna, 115 da segunda, 0 da terceira,40 da quarta e 190 da quinta.

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5Interessado 1 30 30 00 | 35 20Interessado 2 25 40 00 | 45 40Interessado 3 −− 35 −− −− 00 −− −− 00 | − − −− 20 −− −− 10 −−Interessado 4 −− 20 −− −− 05 −− −− 00 | − − −− 20 −− −− 00 −−Interessado 5 −− 00 −− −− 35 −− −− 00 | − − −− 00 −− −− 10 −−

Passos 3 e 4: Como o numero mınimo de tracos em linhas e colunas usados para riscartodos os zeros da matriz e inferior a quatro, entao ainda nao e possıvel uma alocacaootima de zeros.

Passo 5: Subtraımos 20 (que e a menor entrada nao riscada) das entradas nao riscadase somamos esse valor as entradas riscadas por dois tracos.

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5Interessado 1 10 10 00 | 15 00 |Interessado 2 05 20 00 | 25 20 |Interessado 3 −− 35 −− −− 00 −− −− 20 | − − −− 20 −− −− 10 | − −Interessado 4 20 05 20 | 20 00 |Interessado 5 −− 00 −− −− 35 −− −− 20 | − − −− 00 −− −− 10 | − −

Passos 3 e 4: Mais uma vez o numero de tracos em linhas e colunas usados para riscaros zeros e menor que cinco, por isso ainda nao e possıvel uma alocacao otimo de zeros.

Passo 5: Subtraımos 5 (que e a menor entrada nao riscada) das entradas nao riscadas esomamos 5 as entradas riscadas por dois tracos.

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5Interessado 1 −− 05 −− −− 05 −− −− 00 −− −− 10 −− −− 00 −−Interessado 2 −− 00 −− −− 15 −− −− 00 −− −− 20 −− −− 20 −−Interessado 3 −− 35 −− −− 00 −− −− 25 −− −− 20 −− −− 15 −−Interessado 4 −− 15 −− −− 00 −− −− 20 −− −− 15 −− −− 00 −−Interessado 5 −− 00 −− −− 35 −− −− 25 −− −− 00 −− −− 15 −−

Passos 3 e 4: Como o numero mınimo de tracos usados para riscar os zeros e cinco,entao e possıvel uma alocacao otima de zeros dada por:

Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5

Interessado 1 5 5 0 10 0





A alocacao otima de zeros (que nao e unica) indica que a maior quantia que ele poderiaamealhar seria com a venda da Moeda 1 ao Interessado 2, da Moeda 2 ao Interessado 3, da

Moeda 3 ao Interessado 1 e da Moeda 4 ao Interessado 5 ao passo que ao Interessado 4 naoseria vendida nenhuma moeda. Isso significaria uma soma de R$ 175, 00+R$ 85, 00+R$210, 00 + R$ 160, 00 = R$ 630, 00.

Exemplo 3 (o problema e de maximizacao e a matriz-custo e quadrada) Dizem queo futebol moderno esta se tornando cada vez mais tecnico ou tatico. Excetuando-seo goleiro, um tecnico de um time de futebol pode mudar a escalacao dos outros novejogadores titulares em nove posicoes diferentes. O tecnico testa os jogadores em cadaposicao e classifica-os em uma escala de 0 a 25 para cada uma das posicoes testadas. Oresultado e a tabela seguinte:

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Posicao 1 20 15 10 10 17 23 25 5 15Posicao 2 10 10 12 15 9 7 8 7 8Posicao 3 12 9 9 10 10 5 7 13 9Posicao 4 13 14 10 15 15 5 8 20 10Posicao 5 12 13 10 15 14 5 9 20 10Posicao 6 15 14 15 16 15 5 10 20 10Posicao 7 7 9 12 12 7 6 7 15 12Posicao 8 5 6 8 8 5 4 5 10 7Posicao 9 5 6 8 8 5 4 5 10 7

Como deveria o tecnico escalar os nove jogadores para maximizar o rendimento em jogo?

Resolucao

Como este e um problema de maximizacao, devemos multiplicar as entradas da matrizpor −1 para que este se torne um problema de minimizacao e possamos utilizar o MetodoHungaro.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Posicao 1 −20 −15 −10 −10 −17 −23 −25 −05 −15Posicao 2 −10 −10 −12 −15 −09 −07 −08 −07 −08Posicao 3 −12 −09 −09 −10 −10 −05 −07 −13 −09Posicao 4 −13 −14 −10 −15 −15 −05 −08 −20 −10Posicao 5 −12 −13 −10 −15 −14 −05 −09 −20 −10Posicao 6 −15 −14 −15 −16 −15 −05 −10 −20 −10Posicao 7 −07 −09 −12 −12 −07 −06 −07 −15 −12Posicao 8 −05 −06 −08 −08 −05 −04 −05 −10 −07Posicao 9 −05 −06 −08 −08 −05 −04 −05 −10 −07

Passo 1: Subtraımos −25 de todas as entradas da primeira linha da matriz, −15 dasegunda, −13 da terceira, −20 da quarta, −20 da quinta, −20 da sexta, −15 da setima,

−10 da oitava e −10 da nona. E assim ficamos com a seguinte matriz:


Passo 2: Subtraımos 1 de todas as entradas da primeira coluna, 4 da segunda, 2 daterceira, 0 da quarta, 3 da quinta, 2 da sexta, 0 da setima, 0 da oitava e 3 da nona.


Passo 3: Riscamos todos os zeros da matriz com o menor numero de tracos possıvel.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Posicao 1 −04− −06− −13− −15− −05− −00− −00− −| 20− −| 07−Posicao 2 −04− −01− −01− −00− −03− −06− −07− −| 08− −| 04−Posicao 3 −00− −00− −02− −03− −00− −06− −06− −| 00− −| 01−Posicao 4 06 02 08 05 02 13 12 | 00 | 07Posicao 5 07 03 08 05 03 13 11 | 00 | 07Posicao 6 04 02 03 04 02 13 10 | 00 | 07Posicao 7 07 02 01 03 05 07 08 | 00 | 00Posicao 8 −04− −00− −00− −02− −02− −04− −05− −| 00− −| 00−Posicao 9 −04− −00− −00− −02− −02− −04− −05− −| 00− −| 00−

Passos 4 e 5: Como o numero de tracos em linhas e colunas que cobrem zeros e menorque nove, devemos sutrair 1, que e a menor entrada nao riscada, de todas as entradas naoriscadas e somar 1 as entradas riscadas por dois tracos. Em seguida, riscamos todos os

zeros da matriz com o menor numero de tracos possıvel.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Posicao 1 −04− −| 06− −| 13− −15− −05− −00− −00− −| 21− −| 08−Posicao 2 −04− −| 01− −| 01− −00− −03− −06− −07− −| 09− −| 05−Posicao 3 −00− −| 00− −| 02− −03− −00− −06− −06− −| 01− −| 02−Posicao 4 05 | 01 | 07 04 01 12 11 | 00 | 07Posicao 5 06 | 02 | 07 04 02 12 10 | 00 | 07Posicao 6 03 | 01 | 02 03 01 12 09 | 00 | 07Posicao 7 06 | 01 | 00 02 04 06 07 | 00 | 00Posicao 8 04 | 00 | 00 02 02 04 05 | 01 | 01Posicao 9 04 | 00 | 00 02 02 04 05 | 01 | 01

Passos 3, 4 e 5: O numero de tracos ainda e menor que nove, por isso devemos continuaro processo: subtraımos as entradas nao riscadas por 1, somamos 1 as entradas riscadaspor dois tracos e riscamos os zeros novamente.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Pos.1 −04− −| 07− −| 14− −15− −| 05− −00− −00− −| 22− −| 09−Pos.2 −04− −| 02− −| 02− −00− −| 03− −06− −07− −| 10− −| 06−Pos.3 −00− −| 01− −| 03− −03− −| 00− −06− −06− −| 02− −| 03−Pos.4 04 | 01 | 07 03 | 00 11 10 | 00 | 07Pos.5 05 | 02 | 07 03 | 01 11 09 | 00 | 07Pos.6 02 | 01 | 02 02 | 00 11 08 | 00 | 07Pos.7 05 | 01 | 00 01 | 03 05 06 | 00 | 00Pos.8 03 | 00 | 00 01 | 01 03 04 | 01 | 01Pos.9 03 | 00 | 00 01 | 01 03 04 | 01 | 01

Passo 3, 4 e 5: Conseguimos riscar os zeros com oito tracos. Assim, continuamossubtraindo as entradas nao riscadas por 1 e somando 1 as entradas nao riscadas. Depois,riscamos os zeros.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Pos.1 −| 04− −| 08− −| 15− −| 15− −| 06− −00− −00− −| 23− −| 10−Pos.2 | 04 | 03 | 03 | 00 | 04 06 07 | 11 | 07Pos.3 | 00 | 02 | 04 | 03 | 01 06 06 | 03 | 04Pos.4 | 03 | 01 | 07 | 02 | 00 10 09 | 00 | 07Pos.5 | 04 | 02 | 07 | 02 | 01 10 08 | 00 | 07Pos.6 | 01 | 01 | 02 | 01 | 00 10 07 | 00 | 07Pos.7 | 04 | 01 | 00 | 00 | 03 04 05 | 00 | 00Pos.8 | 02 | 00 | 00 | 00 | 01 02 03 | 01 | 01Pos.9 | 02 | 00 | 00 | 00 | 01 02 03 | 01 | 01

Passos 3, 4 e 5: O numero de tracos que cobrem os zeros ainda e inferior a nove, entaosubtraımos 2 das entradas nao riscadas e somamos esse valor as entradas riscadas por dois

tracos e, em seguida, riscamos os zeros.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Posicao 1 −06− −10− −17− −17− −| 08− −00− −00− −| 25− −12−Posicao 2 −04− −03− −03− −00− −| 04− −04− −05− −| 11− −07−Posicao 3 −00− −02− −04− −03− −| 01− −04− −04− −| 03− −04−Posicao 4 03 01 07 02 | 00 08 07 | 00 07Posicao 5 04 02 07 02 | 01 08 06 | 00 07Posicao 6 01 01 02 01 | 00 08 05 | 00 07Posicao 7 −04− −01− −00− −00− −| 03− −02− −03− −| 00− −00−Posicao 8 −02− −00− −00− −00− −| 01− −00− −01− −| 01− −01−Posicao 9 −02− −00− −00− −00− −| 01− −00− −01− −| 01− −01−

Passo 3, 4 e 5: O numero de tracos que cobrem os zeros ainda e inferior a nove, entaosubtraımos 1 das entradas nao riscadas e somamos esse valor as entradas riscadas por doistracos e, em seguida, riscamos os zeros.

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9Posicao 1 −06− −10− −17− −17− −09− −00− −00− −26− −12−Posicao 2 −04− −03− −03− −00− −05− −04− −05− −12− −07−Posicao 3 −00− −02− −04− −03− −02− −04− −04− −04− −04−Posicao 4 −02− −01− −06− −01− −00− −07− −06− −00− −06−Posicao 5 −03− −01− −06− −01− −01− −07− −05− −00− −06−Posicao 6 −00− −00− −01− −00− −00− −07− −04− −00− −06−Posicao 7 −04− −01− −00− −00− −04− −02− −03− −01− −00−Posicao 8 −02− −00− −00− −00− −02− −00− −01− −02− −01−Posicao 9 −02− −00− −00− −00− −02− −00− −01− −02− −01−

Passos 3 e 4: Agora, o numero mınimo de tracos utilizados para riscar todos os zerosda matriz e nove e, pelo Metodo Hungaro, e possıvel uma alocacao otima de zeros (naounica) dada abaixo:

Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9

Posicao 1 6 10 17 17 9 0 0 26 12

Posicao 2 4 3 3 0 5 4 5 12 7

Posicao 3 0 2 4 3 2 4 4 4 4

Posicao 4 2 1 6 1 0 7 6 0 6

Posicao 5 3 1 6 1 1 7 5 0 6

Posicao 6 0 0 1 0 0 7 4 0 6

Posicao 7 4 1 0 0 4 2 3 1 0

Posicao 8 2 0 0 0 2 0 1 2 1

Posicao 9 2 0 0 0 2 0 1 2 1

Conclusao: Nesse caso, o treinador deve escalar o jogador 1 na posicao 3, o jogador2 na 6, o jogador 3 na 8, o jogador 4 na 2, o jogador 5 na 4, o jogador 6 na 9, o jogador7 na 1, o jogador 8 na 5 e o jogador 9 na 7. Escalando o time desse jeito o tecnico tera omelhor rendimento do time.

Referencias

[1] Anton, H & Rorres, C. Algebra Linear com Aplicacoes. 8a. ed. Porto Alegre:Editora Bookman, 2001.

[2] Bertsimas, D. & Tsitsiklis, J. N. Introduction to Linear Optimization. Belmont-Massachussets: Athena Scientific, 1997.

[3] Bodrini, J. L.; Costa, S. I. R.; Figueiredo, V. L. & Wetzler, H. G. AlgebraLinear. 3a. ed. Sao Paulo: Editora Harbra, 1980.

[4] Egervary, E. “On Combinatorial Properties of Matrices”. In: Matematikaes FizikaiLapok, vol. 38, 1931; translated as “On Combinatorial Properties of Matrices” by H. W.Kuhn, Office of Naval Research Logistics Project Report, Department of Mathematics,Princeton University, Princeton, NJ, 1953.

[5] Gass, S. I. Linear Programming: methods and applications. 5th. ed. New York: McGraw-Hill, 1985.

[6] Hadley, G. Programacao Linear. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1982.

[7] Kuhn, H. W. “The Hungarian Method for the Assignment Problem”. In: NavalResearch Logistics Quarterly, vol. 2, n. 1 e 2, 1955, pp. 83-97.

[8] Lipschutz S. Algebra Linear. 3a. ed. (Colecao Schaum). Sao Paulo: Editora MakronBooks, 1994.

[9] Prado, D. Programacao Linear. 3a. ed. Belo Horizonte: Editora DG, 2003.

Ideais em aneis comutativos

Cecılia Pereira de Andrade∗ e Cıcero Carvalho†

Faculdade de Matematica - FAMATUniversidade Federal de Uberlandia - UFU

38408-100, Uberlandia - MGAbril - 2005

Resumo

Nesse trabalho, apresentamos alguns resultados da teoria de ideais em aneis co-mutativos com unidade. Depois de uma recordacao dos conceitos de aneis e ideais,estudamos ideais primos, maximais, o nilradical, o radical de Jacobson, o ideal quo-ciente e o radical. Finalizamos o trabalho com resultados sobre ideais primarios.

Palavras-chaves: Aneis comutativos, ideais, nilradical, ideal de Jacobson, ideaisprimarios

Definicao 1 Um anel A e um conjunto nao vazio com duas operacoes binarias (adicaoe multiplicacao) tal que:i) A e um grupo abeliano com relacao a adicao (e assim, A tem um elemento neutro,denotado por 0, e todo x ∈ A tem um inverso aditivo, denotado por −x).ii) A multiplicacao e associativa (ou sejam (xy)z = x(yz)) e distributiva com relacao aadicao (ou seja, x(y + z)) = (xy +xz), (y + z)x = yx+ zx). Nos consideraremos somenteaneis comutativos e com unidade.iii) xy = yx, para todo x, y ∈ A.iv) Existe 1 ∈ A tal que x∗1 = 1∗x = x para todo x ∈ A. Pode-se mostrar que o elementounidade e unico.

Definicoes 2 : i)Dizemos que um elemento x ∈ A e um divisor de zero se existe y �= 0em A tal que xy = 0.ii)Um anel com nenhum divisor de zero diferente de zero ( e onde 1 �= 0) e chamadodomınio de integridade.iii) Um elemento x ∈ A e nilpotente se xn = 0 para algum n > 0.iv) Uma unidade em A e um elemento x que “divide 1”, i.e., um elemento x tal quexy = 1 para algum y ∈ A.v) Um ideal p em A e primo se p �= (1) e se xy ∈ p =⇒ x ∈ p ou y ∈ p.vi) Um ideal m em A e maximal se m �= (1) e se nao existe um ideal a tal que m � a �(1).

∗Orientada de Iniciacao Cientıfica - FAPEMIG. Email: [email protected]†Professor orientador. Email: [email protected]

Lema 3 : p e primo ⇐⇒ A/p e um domınio de integridade.

Prova: (=⇒) Se a e b sao elementos de A/p e o produto dos dois e igual a 0 entao a.be um elemento de p; como p e primo, temos que ter a em p ou b em p. Entao a = 0 oub = 0, mostrando que A/p e domınio.(⇐=) Se p nao for primo, entao p = a.b, com 1 < a.b < p. Assim, a.b = 0 em A/p coma �= 0 e b �= 0. Logo A/p nao e de integridade. �

Lema 4 : m e maximal ⇐⇒ A/m e um corpo.

Prova: (=⇒) Seja A um elemento de A/m distinto de 0, entao a nao esta em m e logo omenor ideal que contem m e a ja e o anel todo (pois m e maximal). Note que, dado umideal I e um elemento b de A, o menor ideal que contem I e b e exatamente o conjuntodos elementos da forma rb + c, com r ∈ A e c ∈ I.(Seja b + I um elemento nao nulo de A, entao b /∈ I e o ideal I+ < b > contem o ideal Ie e diferente de I, entao o menor ideal que contem I e b e c + rb, com r ∈ A e c ∈ I.)Temos entao que 1 = ra + c, para algum r ∈ A e c ∈ m, e, “passando barra”nessaigualdade, temos 1 = r.a ou seja, a e invertıvel, o que mostra que A/m e corpo.(⇐=) Suponha que A/m e um corpo e seja m′ um ideal de A tal que m ⊂ m′ e m �= m′.Existe x ∈ m′ tal que x /∈ m. Entao x + m �= 0 em A/m. Logo existe y + m ∈ A/mtal que (x + m)(y + m) = 1 + m; daı vem que (xy) + m = 1 + m e entao devemos terxy − 1 ∈ m ⊂ m′. Como x ∈ m′ temos que xy ∈ m′ e entao 1 = (xy + 1) − (xy) ∈ m′.Logo m′ = A e portanto m e maximal. �

Lema 5 : O ideal zero e primo ⇐⇒ A e um domınio de integridade.

Prova: (=⇒) Se xy ∈ 0 entao x ∈ 0 ou y ∈ O. Assim, x = 0 ou y = 0. Portanto A e umdomınio de integridade.(⇐=) Se xy ∈ A entao x = 0 ou y = 0. Assim, x ∈ o ou y ∈ 0. Portanto o ideal zero eprimo. �

Se f : A → B e um homomorfismo de aneis e q e um ideal primo em B, entaof−1 e um ideal primo em A, pois A/f−1(q) e isomorfo a um subanel de B/q e logo naoexistem divisores de zero diferentes de zero. Mas se n e um ideal maximal de B nao enecessariamente verdadeiro que f−1(n) e maximal em A. Para ver um exemplo, tomeA = Z, B = Q, n = 0.

Ideais primos sao fundamentais em toda a algebra comutativa. O seguinte teorema eo seu corolario garante que sempre ha uma quantidade suficiente deles.

Teorema 6 : Todo anel A �= 0 tem pelo menos um ideal maximal.

Prova: Este e um modelo de aplicacao do Lema de Zorn. Seja∑

o conjunto de todosos ideais diferentes de (1) em A. Ordenaremos

∑pela inclusao.

∑e nao vazio, ja que

0 ∈ ∑. Para aplicar o lema de Zorn nos mostraremos que toda cadeia em∑

tem umlimite superior em

∑; seja entao (aα) uma cadeia de ideais em

∑que para cada par de

ındices α, β nos temos aα ⊆ aβ ou aβ ⊆ aα. Seja a = ∪αaα. Entao a e um ideal e 1 /∈ a

porque 1 /∈ aα para todo α. Entao a ∈∑, e a e um limite superior da cadeia. Entao pelolema de Zorn

∑tem um elemento maximal.

Lema de Zorn: Seja S um conjunto nao-vazio parcialmente ordenado (i.e., dada a relacaox ≤ y em S que e reflexiva e transitiva e tal que x ≤ y e y ≤ x juntos implicam x = y).Um subconjunto T de S e uma cadeia se x ≤ y ou y ≤ x para cada par de elementos x, yem T .

Entao o lema de Zorn pode estabelecer o seguinte: se cada cadeia T de S tem umlimite superior em S (i.e., se existe x ∈ S tal que t ≤ x, par todo t ∈ T ) entao S tem aomenos um elemento maximal. �

Corolario 7 : Se a �= (1) e um ideal de A, entao existe um ideal maximal de A contendoa.

Corolario 8 : Toda nao-unidade de A esta contida em um ideal maximal.

Observacoes:

1) Se A e Noetheriano nos podemos evitar o uso do lema de Zorn: o conjunto de todosos ideais diferentes de (1) tem um elemento maximal.

2) Existem aneis com exatamente um ideal maximal, por exemplo corpos.

Definicao 9 : Um anel A com exatamente um ideal maximal m e chamdado anel local.O corpo K = A/m e chamado de corpo de resıduos de A.

Teorema 10 :i) Seja A um anel e m �= (1) um ideal de A tal que todo x ∈ A−m e uma unidade em A.Entao A e um anel local e m seu ideal maximal.ii) Seja A um anel e m um ideal maximal de A, tal que todo elemento de 1+m (i.e., todo1 + x, onde x ∈ m) e uma unidade em A. Entao A e um anel local.

Prova: i) Todo ideal diferente (1) e formado por nao-unidades, entao esta contido em m.Entao m e o unico ideal maximal de A. Portanto A e um anel local.ii) Seja x ∈ A − m. Se m e maximal, o ideal gerado por x e m e (1), entao existe y ∈ A et ∈ m tal que xy + t = 1, entao xy = 1 − t pertence a 1 + m e portanto e uma unidade.Agora, use i). �

Definicao 11 : Um anel com somente um numero finito de ideais maximais e chamadosemi-local.

Exemplos:1) A=K[x1, ..., xn], k um corpo. Seja f ∈ A um polinomio irredutıvel. Pela fatoracao

unica, o ideal (f) e primo.

2) A = Z. Todo ideal em Z e da forma (m) para algum m �= 0. O ideal (m) e primose e somente se m = 0 ou um numero primo. Todos os ideais (p), onde p e um primo, saomaximais: Z/(p) e o corpo de p elementos.

O mesmo acontece no ex. 1) para n = 1, mas nao para n > 1. O ideal m de todos ospolinomios em A = K[x1, ..., xn] com o termo constante zero e maximal (desde que seja onucleo do homomorfismo A −→ K que leva f ∈ A em f(0)). Mas se n > 1, m nao e umideal principal: de fato, isto requer pelo menos n geradores.

3) Um domınio de ideais principais e um domınio de integridade onde todo ideal eprincipal. Em tal anel todo ideal primo nao nulo e maximal. Se (x) �= 0 e um ideal primoe (y) ⊃ (x), temos x ∈ (y), digamos x = yz, e assim yz ∈ (x) e y /∈ (x), entao z ∈ (x),digamos z = tx. Entao x = yz = ytx e assim yt = 1 e portanto (y) = (1).

Teorema 12 : O conjunto N de todos os elementos nilpotentes em um anel A e um ideal,e A/N nao tem elemento nilpotente diferente de zero.

Prova: Se x ∈ N, claramente ax ∈ N para todo a ∈ A. Seja x, y ∈ N, digamos xm = 0,yn = 0. Pelo teorema binomial (que e valido em todo anel comutativo), (x + y)m+n−1 euma soma de inteiros multiplos de produtos xr.ys, onde r + s = m + n− 1; nao podemoster tanto r < m quanto s < n, portanto cada produto desses desaparece e portanto(x + y)m+n−1 = 0. Entao x + y ∈ N e portanto N e um ideal.

Seja x ∈ A/N, se xn = 0 temos xn ∈ N, portanto (xn)k = 0 para algum k > 0 e logoxnk = 0 e daı x ∈ N, ou seja x = 0. �

O ideal N e chamado de nilradical de A. A seguinte proposicao da uma definicaoalternativa de N.

Teorema 13 : O nilradical de A e a intersecao de todos os ideais primos de A.

Prova: Seja N′ a intersecao de todos os ideais primos de A. Se f ∈ A e nilpotente e sep e um ideal primo, entao fn = 0 ∈ p para algum n > 0, portanto f ∈ p (porque p eprimo). Entao f ∈ N′.Inversamente, suponha que f nao e nilpotente. Seja

∑o conjunto de ideais a com a

propriedade: se n > 0, entao fn /∈ a. Entao∑

nao e vazio porque 0 ∈ ∑. Como em(2) o lema de Zorn pode ser aplicado ao conjunto

∑, ordenado por inclusao, e portanto∑

tem um elemento maximal. Seja p um elemento maximal de∑

. Mostraremos que p

e um ideal primo. Seja x, y /∈ p. Entao os ideais p + (x), p + (y) contem estritamente p

e portanto nao pertencem a∑

; portanto fm ∈ p + (x), fn ∈ p + (y) para algum m, n.Segue que fm+n ∈ p + (xy), entao o ideal p + (xy) nao esta em

∑e portanto xy /∈ p.

Assim, nos temos um ideal primo p tal que f /∈ p, entao f /∈ N′. �

Definicao 14 : O Radical de Jacobson R de A e definido como a intersecao de todosos ideais maximais de A.

Ele pode ser caracterizado como segue.

Teorema 15 : x ∈ R ⇐⇒ 1 − xy e uma unidade em A para todo y ∈ A.

Prova: (=⇒) Suponha que 1−xy nao e uma unidade. Por (1.5) 1−xy pertence a algumideal maximal m; mas x ∈ R ⊆ m, entao xy ∈ m e portanto 1 ∈ m, que e absurdo.

(⇐=) Vamos fazer por absurdo. Suponha que x ∈ R. Entao x /∈ m para algum idealmaximal m. Entao m e x geram o ideal unidade (1), assim temos u + xy = 1 para algumu ∈ m e algum y ∈ A. Entao 1 − xy ∈ m e portanto nao e uma unidade. �

Se a, b sao ideais em um anel A, seu ideal quociente e

(a : b) = {x ∈ a : xb ⊆ a}

que e um ideal. Sejam x1, x2 ∈ (a : b). Se x1 ∈ A, x2 ∈ A entao x1.b ⊆ a e x2.b ⊆ a.Entao, (x1 + x2).b ⊆ a, ∀b ∈ b.Sejam y ∈ A e x ∈ (a : b). Devemos mostrar que y.x.b ∈ a,∀b ∈ b. Se xb ∈ a entaoy.(xb) ∈ a. Portanto a e ideal.

Em particular, (0 : b) e chamado anulador de b e e tambem denotado por Ann(b). Eo conjunto de todo x ∈ A tal que xb = 0. Nesta notacao, o conjunto de todos os divisoresde zero em A e D = Ux �=0Ann(x).

Se b e um ideal principal (x), escrevemos (a : x) no lugar de (a : (x)).

Exemplo: Se A = Z, a = (m), b = (n), onde m =∏

p pμp , n =∏

p pυp , p primo, entao(a : b) = (q), onde q =

∏p pγp e γp = max(μp − υp).

Portanto q=m/(m, n), onde (m,n) e o mdc de m e n.Assim, se a = (310.58.79); b = (35.5); (a : b) = (35.57.79).

Definicao 16 Se a e algum ideal de A, o radical de a e r(a) = {x ∈ A : xn ∈ a} paraalgum n > 0.

Se ϕ : A → A/a e o homomorfismo natural, entao r(a) = ϕ−1(NA/a) e portanto r(a)e um ideal.(⇒) Se A → A/a, x �→ x entao x ∈ r(a). Assim, existe n tal que xn ∈ a. Logo,xn = xn = 0. Portanto x ∈ NA/a.(⇐) x ∈ ϕ−1(NA/a) ⇔ ϕ(x) = x ∈ NA/a ⇔ existe n tal que xn = 0 ⇔ xn = 0 ⇔ xn ∈a ⇔ x ∈ r(a).

Lema 17 Sejam a e b ideiais em um anel A.i) se a ⊂ b entao r(a) ⊂ r(b).ii) r(∩n

i=1ai) = ∩ni=1r(ai)

Prova:i) Seja x ∈ r(a). Entao xn ∈ a, para algum n > 0. Como por hipotese a ⊂ b temosque xn ∈ b para algum n > 0 e assim, pela definicao de radical, x ∈ r(b). Portantor(a) ⊂ r(b).ii) Seja x ∈ r(∩n

i=1ai). Entao xn ∈ ∩ni=1ai, logo xn ∈ ai para todo i = 1, . . . , n e pela

definicao de radical x ∈ r(ai). Portanto x ∈ ∩ni=1r(ai), o que verifica a igualdade. �

Teorema 18 O radical de um ideal a e a intersecao de ideais primos que contem a.

Mais geralmente podemos definir o radical r(E) de algum subconjunto E de A domesmo modo. Ele nao e um ideal em geral. Nos temos r(∪αEα) = ∪r(Eα), para qualquerfamılia de subconjuntos Eα de A.

Teorema 19 O conjunto D de divisores de zero de A e igual a∪x �=0r(Ann(x)).

Prova: D = r(D) = r(∪x �=0Ann(x)) = ∪x �=0r(Ann(x)). �

Teorema 20 Sejam a e b ideais em um anel A tal que r(a) e r(b) sao primos entre si.Entao a e b sao primos entre si.

Prova: r(a + b) = r(r(a) + r(b)) = r(1) = (1), entao a + b = (1). �

Definicao 21 Um ideal q em um anel A e primario se q �= A e se xy ∈ q entao x ∈ q

ou yn ∈ q para algum n > 0.

Em outras palavras, q e primario se e somente se A/q �= 0 e todo divisor de zero emA/q e nilpotente.

Claramente todo ideal primo e primario (neste caso temos n = 1). Tambem a contracaode um ideal primario e primario. De fato, seja f : A −→ B um homomorfismo de aneis,onde J ⊂ B e um ideal primario. Pela hipotese, J e um ideal primario de B logo sexy ∈ J entao x ∈ J ou yn ∈ J . Seja I = f−1(J) ⊂ A. Entaoab ∈ f−1(J) ⇒ f(a).f(b) = f(ab) ∈ J ⇒ f(a) ∈ J ou f(b)n ∈ J ⇒ a ∈ f−1(J) ouf(bn) ∈ J ⇒ bn ∈ f−1(J).Portanto a contracao qc de um ideal primario q e um ideal primario. Se f : A −→ B e seq e um ideal primario em B, entao A/qc e isomorfo a um subanel de B/q.

Teorema 22 : Seja q um ideal primario em um anel A. Entao r(q) e o menor idealprimo contendo q.

Prova: Pelo teorema 18 e suficiente mostrar que p = r(q) e primo. Seja xy ∈ r(q), entao(xy)m ∈ q para algum m > 0, e portanto tambem xm ∈ q ou ymn ∈ q para algum n > 0,isto e, x ∈ r(q) ou y ∈ r(q). �

Se p = r(q) entao q e dito ser p-primario.Exemplos:

1) Os ideias primarios em Z sao (0) = 0 e (pn), onde p e primo. Estes sao os unicosideais em Z com radical primo e e facil de checar que sao primarios.

2) Sejam A = k[x, y] e q = (x, y2). Entao A/q = k[x, y]/(x, y2) ∼= k[y]/(y2), ondeos divisores de zero sao todos os multiplos de y, portanto sao nilpotentes. Portanto q

e primario, e seu radical p e (x, y). Temos p2 ⊂ q ⊂ p, logo um ideal primario nao enecessariamente uma potencia de um ideal primo.

3) Inversamente, uma potencia de um primo pn nao e necessariamente primaria, em-bora seu radical seja o ideal primo p. Por exemplo, seja A = k[x, y, z]/(xy − z2) esejam x, y, z as imagens de x, y, z respectivamente em A. Entao p = (x, z) e primo (ja queA/p ∼= k[y] e um domınio de integridade); temos xy = z2 ∈ p2 mas x �= p2 e y �= r(p2) = p,portanto p2 nao e primario. Contudo, ha o seguinte resultado.

Teorema 23 Se r(a) e maximal, entao a e primario. Em particular, as potencias deum ideal maximal m sao m-primarias.

Prova: Seja r(a) = m. A imagem de m em A/a e o nilradical de A/a, portanto A/a temsomente um ideal primo, pelo teorema 13. Portanto todo elemento de A/a e tambem ouuma unidade ou nilpotente, e entao todo divisor de zero em A/a e nilpotente. �

Lema 24 Se qi(1 ≤ i ≤ n) sao p-primarios, entao q = ∩ni=1qi e p-primario.

Prova: Seja xy ∈ q e suponha que y �= q. Entao y ∈ qi para algum i. Logo xn ∈ qi eassim x ∈ p = r(q). Portanto xm ∈ q, o que mostra que q e p-primario. �

Lema 25 Seja q um ideal p-primario, x um elemento de A. Entao:i) se x ∈ q entao (q : x) = (1);ii) se x �= q entao (q : x) e p-primario, e portanto r(q : x) = p;iii) se x �= p entao (q : x) = q.

Prova:i) Seja a ∈ A, entao ax ∈ q, pois x ∈ a. Portanto, (q : x) = (1).ii) Para vermos que r(q : x) = p observe que se y ∈ (q : x) entao xy ∈ q, portanto (comox �= q ⇒ yn ∈ q) temos y ∈ p. Portanto q ⊆ (q : x) ⊆ p; tomando radicais, temosr(q : x) = p, pois p e primo. Para mostrar que (q : x) e p-primario, seja yz ∈ (q : x) comy �= p; entao xyz ∈ q, portanto xz ∈ q e pela definicao de ideal quociente z ∈ (q : x).iii) A inclusao (q : x) ⊃ q e clara. Seja agora y ∈ (q : x), temos que yx ∈ q logo y ∈ q ouxn ∈ q, mas x /∈ p = r(q) logo temos que ter y ∈ q. �

Definicao 26 Uma decomposicao primaria de um ideal a em A e uma expressao dea como uma intersecao finita de ideais primarios, digamos a = ∩n

i=1ai (1) .

Em geral, tal decomposicao primaria nao precisa existir. Se alem disso:(i) os r(qi) sao todos distintos, e(ii) temos qi � ∩j �=iqj(1 ≤ i ≤ n)a decomposicao primaria (1) e dita ser minimal (ou irredundante, ou reduzida, ou nor-mal). Pelo lema 24 podemos satisfazer (i) e entao podemos omitir quaisquer termossuperfluos para satisfazer (ii); entao qualquer decomposicao primaria pode ser reduzidaa uma minimal.

Definicao 27 Diremos que a e decomponıvel se tem uma decomposicao primaria.

Teorema 28 Seja a um ideal decomponıvel e seja a = ∩ni=1qi uma decomposicao primaria

minimal de a. Sejam pi = r(qi)(1 ≤ i ≤ n). Entao os pi’s sao precisamente os ideaisprimos que ocorrem no conjunto de ideais r(a : x)(x ∈ A), e portanto sao independentesda decomposicao particular de a.

Prova: Para qualquer x ∈ A temos (a : x) = (∩qi : x) = ∩(qi : x), pelo lema 17, portantor(a : x) = ∩n

i=1r(qi : x) = ∩x�=qjpj pelo lema anterior. Suponha que r(a : x) seja primo;

entao temos r(a : x) = pj, para algum j. Portanto cada ideal primo da forma r(a : x)e um pj. Inversamente, para cada i exite xi �= qi, xi ∈ ∩j �=iqi, ja que a decomposicao eminimal e temos entao r(a : xi) = pi. �

Observacoes:1) A prova acima, associada com a ultima parte do lema anterior mostra que para cada

i ∈ {1, . . . , n} existe xi ∈ A tal que (a : xi) e pi-primario.

2) Considerando A/a como um A-modulo, o teorema anterior e equivalente a dizer queos pi’s sao precisamente os ideais primos que ocorrem como radicais de anuladores deelementos de A/a.

Exemplo: Seja a = (x2, xy) em A = k[x, y]. Entao a = p1∩p2, onde p1 = (x), p2 = (x, y).O ideal p2

2 e primario pelo teorema 23. Entao os ideais primos sao p1 e p2. Nesse exemplo,p1 ⊂ p2; temos r(a) = p1 ∩ p2 = p1, mas a nao e um ideal primario.

Referencias

[1] MacDonald, I.G.; Atiyah, M.F. - Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

[2] O. Zariski; P. Samuel - Commutative algebra, Volumes I e II, D. van Nostrand Com-pany, Inc., Princeton NJ 1958.

ESTABILIDADE DO PÊNDULO NÃO-LINEAR INVERTIDO SOB EXCITAÇÃO PARAMÉTRICA

Márcio José Horta Dantas Professor Orientador

[email protected]

Pablo Hernandes Soares Aluno Orientando

[email protected]

Faculdade de Matemática – FAMAT Universidade Federal de Uberlândia – UFU

Campus Santa Mônica – Bloco 1F – Sala 1F118 Av. João Naves de Ávila, 2121 38.400-902 – Uberlândia – MG

Telefones: (0xx34) 3239-4235 / 3239-4156 Telefax: (0xx34) 3239-4126

[email protected]

1 - Introdução

Um pêndulo ideal consiste em uma haste rígida sem peso presa em uma

extremidade a um ponto de suspensão O e tendo na outra extremidade uma massa pontual.

Figura 1 – Pêndulo

O objetivo deste trabalho é apresentar uma análise matemática sobre o problema

de estabilidade do pêndulo invertido com dissipação, cujo ponto de suspensão O está

submetido a uma excitação vertical. Na verdade, pretendemos encontrar condições de

excitação no ponto O sob as quais o pêndulo invertido se mantém estável.

Em um sistema dinâmico de origem mecânica, como o pêndulo, o primeiro passo é

encontrar todas as forças que governam o movimento. Com isso, usando a Segunda lei de

Newton, obtemos as equações de movimento que dão uma descrição matemática do

fenômeno.

Inicialmente apresentaremos algumas definições e teoremas, como a definição de

estabilidade segundo Lyapunov e a teoria de Floquet. Após isto, faremos uma análise sobre

um problema mais simples, o pêndulo não-linear, sem amortecimento e sem excitação. Em

seguida a análise será feita sobre o caso completo: o pêndulo invertido não-linear

amortecido e com excitação paramétrica vertical em seu ponto de suspensão.

2 – Alguns Teoremas e Definições

TEOREMA 1 ( Existência, Unicidade de Soluções e Diferenciabilidade em

Relação às Condições Iniciais): Seja :f R Rn , com um subconjunto aberto de Rn,

uma função de classe Cr. Então existe uma aplicação de classe Cr-1 : Rn, onde é

um subconjunto aberto de R tal que txtx ,0 é a única solução da equação

txfdtxd , com condição inicial 00 xx .

A aplicação é denominada de fluxo da função f . Usando este resultado pode-

se mostrar que se f depende diferenciavelmente de um parâmetro, então o fluxo da

equação diferencial ordinária também depende diferenciavelmente do mesmo parâmetro.

Para uma demonstração do teorema 1 ver [3].

DEFINIÇÃO 1: Dada a equação txfdtxd , , sendo :f R R

n , com um

subconjunto aberto de Rn, uma função de classe Cr. Um ponto x é dito ponto de equilíbrio

se 0, txf , para todo t.

DEFINIÇÃO 2: Seja :f R Rn como na definição anterior, e o seu fluxo.

Seja x um ponto de equilíbrio do sistema. Então dizemos que x é assintoticamente

estável, no sentido de Lyapunov, se existe um 0 tal que ,0 xBy , então a

aplicação txt , é definida em toda reta e 0,lim 0 xtyt

. O símbolo

denota a norma euclidiana do Rn.

TEOREMA 2: Se os autovalores da matriz dos coeficientes de um sistema

linearizado em um ponto de equilíbrio possuem parte real não nula, então na vizinhança

desse ponto o sistema não-linear de dimensão n apresenta um comportamento

topologicamente equivalente ao do sistema linear associado.

Para mais detalhes ver [2] e [3].

Daremos agora alguns resultados e definições da Teoria de Floquet, que é

pertinente a equações diferenciais lineares com coeficientes periódicos.

TEORIA DE FLOQUET: Seja um sistema linear homogêneo n-dimensional

txtAdt

txd . Esse sistema admite n soluções tx j (j = 1, ..., n) linearmente

independentes. Tais soluções formam um conjunto fundamental, em termos do qual

qualquer outra solução é escrita como uma combinação linear. Esse conjunto pode ser

expresso na forma de uma matriz quadrada t de ordem n, chamada de solução matricial

fundamental:

txtxtxt n...21 .

onde tx j (j = 1, ..., n) é uma coluna da matriz.

Como o conjunto de soluções njtx j ,,1: é linearmente independente,

qualquer outra solução pode ser escrita como kttx , onde k é um vetor-coluna

constante dado pelas condições iniciais. Além disso também é possível demonstrar que

t é inversível. Como kx 00 , então 001 xttx .

Considere uma matriz de coeficientes tal que TtAtA , isto é, os

coeficientes do sistema linear são periódicos de período T. Como ttAdt

td ,

verifica-se que:

TtxTtxTtxt n...21

é também uma solução matricial fundamental. Cada solução Ttx j pode ser escrita

como uma combinação linear de tx j , portanto: MtTt , sendo M uma

matriz quadrada, com coeficientes constantes, de ordem n. Se I0 , sendo I a matriz

identidade de ordem n, a matriz M é chamada de matriz monódroma. Os autovalores j de

M são chamados de multiplicadores característicos ou multiplicadores de Floquet. Apesar

da escolha de não ser única, é possível demonstrar que existe um único conjunto de

multiplicadores de Floquet associado à matriz A. Nota-se que a matriz M é dada por:

TTTttM 011

sendo que I00 1 .

TEOREMA 3 (Lyapunov): Suponhamos que a equação txfdtxd , é periódica

com período T e que a solução tx é também periódica de mesmo período T. Se todos os

números característicos da equação ttAdt

td , como na definição anterior, tem

norma menor que 1, a solução tx é assintoticamente estável.

Para uma demonstração destes resultados ver [4].

3 - Problema Físico

3.1 - Equação do Movimento de um Pêndulo Não-Amortecido e Não-Excitado e

Estabilidade do Pêndulo Invertido sob tais condições

As forças F1 e F2 são decomposições do peso da massa m nas direções tangente e

normal à trajetória. Então:

sin1 WF ou sin1 mgF

cos2 WF ou cos2 mgF

De acordo com a Segunda Lei de Newton e sendo 2

2

dtdlat a aceleração tangencial do

pêndulo, segue que:

2

2

1 sindtdmlmgF ,

e dividindo-se a expressão por ml, obtemos a seguinte equação diferencial:

0sin202

2

dtd (1)

onde lg

0 . Fazendo a substituição e dtd , obtemos o sistema:

No pêndulo ao lado, foram colocados eixos de referência

horizontal (x) e vertical (y) nos sentidos indicados, sendo a

origem O ponto de suspensão do pêndulo. O valor da

massa pontual é m e seu peso, segundo a Lei da

Gravidade, é W = mg e é o ângulo, em radianos no

sentido anti-horário, entre o eixo-y e a haste, cujo

comprimento é l.

Figura 2 - Retrato de Fases do Pêndulo Não-Linear

Figura 3 - O Pêndulo Invertido

Substituindo (2) na equação (1), temos:

0sin202

2

dtd (3)

dividindo-se esta equação por , obtemos:

0sin202

2

dtd . (4)

Tomando-se o limite da equação (4) para 0 , obtemos:

0202

2

dtd . (5)

Reescrevendo-se a equação (5) como um sistema bi-dimensional a partir das mudanças de

variáveis x , ydt

d , temos:

xdtdy

ydtdx

20

. (6)

A matriz dos coeficientes do sistema (6) é:

A fim de encontrarmos o tipo de estabilidade do pêndulo

quando é necessário linearizarmos a equação (1) em

relação à solução . Para tal, tomamos a equação:

(2)

sin20dt

ddtd

,

cujo retrato de fases está representado

ao lado.

010

20

A

e seus autovalores são 01 e 02 . Como os autovalores são reais e de sinais

contrários a solução nula do sistema (6) é instável. Pelo teorema 2, a solução é

portanto instável. O mesmo resultado pode ser comprovado ao se observar o

comportamento das trajetórias no retrato de fases em 0, .

3.2 – Equação do Movimento do Pêndulo Amortecido e Excitado

3.2.1 - Pêndulo Amortecido

O caso do pêndulo não-amortecido pode apenas ser idealizado ou o máximo que se

pode conseguir é uma aproximação em um laboratório. Isso é devido a uma dissipação de

energia no sistema causada pela resistência imposta pelo meio, o qual, por exemplo, pode

ser um fluido. Usualmente a dissipação é representada na equação do movimento do

pêndulo por uma constante, conhecida como coeficiente de amortecimento, multiplicada

pela velocidade. Dessa forma a equação do pêndulo amortecido se torna:

0sin2

2

mgdtda

dtdml (7)

onde a é o coeficiente de amortecimento, e sua unidade no S.I. é s

mKga . . Dividindo-se

a equação (7) por ml ela se torna:

0sin202

2

dtd

dtd , (8)

onde mla .

3.2.2 - Pêndulo Excitado

Há muitas formas de forçar ou excitar um pêndulo. A maneira mais simples é

acrescentar uma força periódica sobre a massa pontual. Assim a equação do pêndulo se

torna:

ftlB

dtd

dtd 2cossin 2

02

02

2

,

onde B é a amplitude de excitação e f é a freqüência. Porém, ao invés de se aplicar uma

excitação sobre a massa pontual será aplicada uma excitação no ponto de suspensão do

pêndulo.

Figura 4 - Pêndulo Amortecido e Excitado

onde x0(t) e y0(t) são as coordenadas do ponto de suspensão num instante t. O vetor n é

tangente à trajetória do pêndulo. Portanto, n pode ser escrito como:

jsincosn .

A força FR é a componente tangencial à trajetória do pêndulo da força FA. Dessa

forma FR é o produto escalar entre AF e n .

AR FnF ,

portanto:

sincos 20

2

20

2

dtyd

gmdt

xdmFR .

Aplicando novamente a Segunda Lei de Newton e levando em consideração o caso

do pêndulo amortecido, obtemos:

0sincos1sin 20

2

20

22

02

2

dtyd

dtxd

ldtd

dtd . (9)

Há três tipos diferentes de excitação do ponto de suspensão do pêndulo: vertical,

horizontal e rotacional. Outros movimentos são resultados da combinação destes três

movimentos. Como o ponto de suspensão está movendo-se periodicamente, a seguir estão

as equações das coordenadas do ponto de suspensão para cada tipo de movimento.

1 - Excitação Horizontal: 0

2cos

0

0

yftBx

2 - Excitação Vertical: ftBy

x2cos

0

0

0

Na figura ao lado foi imposta uma aceleração

periódica sobre o ponto de suspensão O. No

sistema, movendo-se o ponto O, a massa m

sente uma força cuja resultante com o peso W é

FA. Escrevendo FA como um vetor tem-se:

ji 20

2

20

2

dtydgm

dtxdmFA ,

3 - Excitação rotacional: ftByftBx

2cos2sin

0

0 ,

onde B é a amplitude de oscilação, e f a freqüência. Por experiência, sabe-se que esse

parâmetro B deve ter valores pequenos e a freqüência deve ter valores elevados para manter

a estabilidade do pêndulo invertido. Como o objetivo deste trabalho é o caso em que o

pêndulo possui excitação vertical em seu ponto de suspensão, será abordado o segundo tipo

de movimento dos apresentados acima. Substituindo os valores para x0 e y0 da situação (3)

na equação (9), segue que:

0sin2cos1sin 2

22

02

2

dtftBd

ldtd

dtd , (10)

portanto

0sin2cos2 22

02

2

ftl

Bfdtd

dtd . (11)

4.2.3 – Linearização da Equação (11) e Estudo da Estabilidade do Pêndulo Invertido

Figura 5 - Pêndulo Invertido e Excitado

0sin2cos2 22

02

2

ftl

Bfdt

ddtd

0sin2cos2 22

02

2

ftl

Bfdt

ddtd ,

assim:

0sin2cos2 22

02

2

ftl

Afdt

ddtd .

Impondo limite para 0 , obtemos:

Usando o teorema 2, podemos linearizar a equação

(11). O procedimento adotado para linearizar a equação (11)

é o mesmo realizado em (4.1). Adotando a equação

, (12)

e substituindo (12) em (11) .

02cos2 22

02

2

ftl

Afdt

ddtd (13)

e transformando a equação (13) em um sistema bidimensional através das mudanças x

e ydt

d , obtemos:

ftl

Bfxydtdy

ydtdx

2cos2 22

0

. (14)

Reescrevendo o sistema (14) na forma matricial, temos:

yx

ftl

Bf

dtdydtdx

2cos210

22

0. (15)

Observamos que no sistema (15) a matriz B é periódica ( tAftA 1 ). Agora

realizaremos as mudanças de variáveis:

fsy

fsv

fsxsu

ffts

221,

2,

21,2 . (16)

Dessa maneira, o sistema (15) se torna:

uslBv

dsdv

vdsdu

cos20

2. (17)

Esse sistema é periódico, com período T = 2 , portanto segundo a teoria de

Floquet, ele possui uma matriz fundamental . Procuremos soluções para o sistema (17)

com as condições iniciais:

10

00

e01

00

vu

vu

.

Segundo o teorema 1, o fluxo é uma função diferenciável nos parâmetros. Então, podemos

realizar uma expansão de Taylor do fluxo em relação aos parâmetros B e :

3222

542

3210

3222

542

3210

BOvBvBvvBvvv

BOuBuBuuBuuu, (18)

onde 3

22BO denota os termos de ordem igual ou superior a 3

22B .

Substituindo-se as equações no sistema (18) no sistema (17), obtemos os seguintes

sistemas:

00

00

dsdv

vds

du

,0

1

11

cos1 uslds

dv

vdsdu

, 0

2

22

vdsdv

vds

du

,1

3

33

cos1 uslds

dv

vds

du

,

124

44

cos1 vuslds

dv

vds

du

, 20

20

5

55

vudsdv

vds

du

.

Usando a primeira condição inicial:

0010

0

0

0

0

00

vudsdv

vds

du

01

0

0

vu

,

0000

cos1

1

01

11

vu

uslds

dv

vdsdu

lsv

lsu

sin

1cos

1

1,

0000

2

2

02

22

vu

vdsdv

vds

du

00

2

2

vu

,

0000

cos1

3

3

13

33

vu

uslds

dv

vds

du

23

2

22

3

sin2sincos21

coscos4341

l ss s sv

ls ssu

,

0000

cos1

4

4

124

44

vu

vuslds

dv

vds

du

lsvl

ssu

1cos

sin

4

4,

0000

5

5

202

05

55

vu

vudsdv

vds

du

00

5

5

vu

.

Dessa maneira, podemos escrever uma primeira solução do sistema (17) como:

3222

221

3222

2

22

11

1cos2

cossinsin2sin

sin4

coscos43cos11

BOBlsB

lssssA

lsv

BOBl

ssBl

sssBl

su (19)

Agora, usando a segunda condição inicial encontramos as seguintes soluções:

1000

0

0

0

0

00

vudsdv

vds

du

10

0

vsu

,

0000

cos1

1

01

11

vu

uslds

dv

vdsdu

lsssv

lssssu

1sincos

sin2cos

1

1,

0000

2

2

02

22

vu

vdsdv

vds

du

sv

su

2

22 2

1,

0000

cos1

3

3

13

33

vu

uslds

dv

vds

du

2

22

3

2

23

3

cos5sin4cos49sincos241

sin2418sincos9cos3cos12121

ls ss ss s ssv

l ss s sss sssu

,

0000

cos1

4

4

124

44

vu

vuslds

dv

vds

du

l sss sv

l ss sssu

sin2sin221

sin2cos21

2

4

4,

0000

5

5

202

05

55

vu

vudsdv

vds

du

222

02

5

2320

35

21

21

61

61

ssv

ssu.

Então, uma segunda solução do sistema (17) é:

3222

2202

2

2

2

22

322

222

0322

322

12

2

2sin2sin2

4cossin2cos5sin4cos491sincos1

2sin2cos

612sin24sincos918cos3cos12

2cossin2

BOs

Bl

ssssl

ssssssssBl

sssv

BOBl

sssss

sBl

ssssssssBl

sssssu

(20)

Com essas duas soluções montamos a matriz fundamental do sistema (17). Então:

322

2221

1211 BOtvtvtutu

t .

Fazendo uma aproximação e substituindo o tempo pelo período 2 , obtemos a matriz

monódroma.

2222

22221

1211

vvuu

, ou:

22220

222

22

2

2

223

20

232

2

2

2

32

2

22

22221

34

344

211

3224221

lB

lB

lB

lB

lB

llB

lB

lB-

(21)

Seja kB , onde k é uma constante positiva. Isso significa que estamos

assumindo amplitudes pequenas. Dessa maneira, calculando os autovalores da matriz

monódroma obtemos:

,611 2

222

222

0 kgll

k (22)

onde:

(23)

Escolhendo k de tal maneira que o coeficiente de 2 seja nulo, poderemos assim

simplificar a expressão no radical. Então 07236 222224 kll , ou lk 221 .

Assim, a expressão (23) fica:

320

343344324424

40

4420

432220

4443444

7236236)245

362724823618(,

llll

llllkg

que podemos escrever como 3O . Substituindo-se na expressão dos autovalores obtemos:

232222

0

22

1 O . (24)

Esta expressão tem norma menor que 1 para positivo adequadamente pequeno,

ou seja, para amplitudes pequenas e valores grandes de freqüência, pois:

f21 e kB .

Então, segue do teorema 3 que a solução do caso linear = 0 é assintoticamente estável.

Conseqüentemente, pelo teorema 2 a solução não-linear = tem a mesma estabilidade,

sob estas condições.

5 – Conclusão

Após toda essa análise, concluímos que o pêndulo invertido e amortecido se

mantém estável, ou seja, possui um equilíbrio assintoticamente estável, se aplicarmos uma

excitação externa periódica com amplitudes pequenas e altas freqüências no seu ponto de

suspensão. O mesmo resultado pode ser obtido para os outros casos apresentados: excitação

periódica horizontal, rotacional ou uma combinação desses movimentos.

6 - Bibliografia

[1] Sérgio, C. C.. Sampaio, J. L.. Física Clássica - Dinâmica, Estática. São Paulo: Editora

Atual, 1998.

[2] Monteiro, L. H. A.. Sistemas Dinâmico. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2002.

[3] Arnold, V. I.. Equações Diferenciais Ordinárias. Tradução de M. Dombrovsky.

Moscovo: Editora Mir,1985.

[4] Pontriaguin, L. S. – Ecuaciones Deferenciales Ordinarias, Coleccion Ciencia y

Tecnica. Edição Espanhola 1973, Edição MIR 1969. Tradução de Luis Bravo Gala.

[5] http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lroom.htm

Modelo de Bertalanffy para uma Especie deCrustaceo

Carolina Fernandes Molina Sanches∗ Rosana Sueli da Motta Jafelice†

Faculdade de Matematica - FAMAT

Universidade Federal de Uberlandia - UFU

38408-100, Uberlandia - MG

Rosines Luciana da Motta‡

Departamento de Biologia

Faculdades Integradas Regionais de Avare - FIRA

18700-902, Avare - SP

marco de 2005

Resumo

O objetivo deste trabalho e calcular o crescimento, em comprimento, do cefalotoraxdo crustaceo Aegla castro Schmitt, 1942, para os seguintes estagios reprodutivos:jovem, femea jovem, femea matura e macho. O valor limite de comprimento (l∞)que esses animais podem atingir sao determinados atraves do modelo de von Berta-lanffy. Para se obter estes valores atraves de ajuste linear, sao utilizados os dadosexperimentais coletados no Corrego Ipiranga, localizado ao sul do estado de SaoPaulo.

Palavras-chaves: Crustaceo, Aegla castro, modelo de Bertalanffy.

1 Introducao

Aegla castro como a maioria das especies do genero Aegla tem distribuicao geografica res-trita, sendo encontrado do sul do estado de Sao Paulo ate o municıpio de Ponta Grossano Parana. Este crustaceo e encontrado no fundo do rio, sob pedregulhos, bem comoproximo as margens, oculta sob restos de vegetacao e sob raızes e troncos caıdos. Emgeral, encontram-se ilhadas nos riachos de serras de maiores altitudes, onde a temperaturada agua e mais baixa e a oxigenacao mais intensa [6]. Sao animais muito sensıveis a per-turbacoes ambientais provocadas pelo homem, sendo inclusive conhecidos como bioindi-cadores da qualidade da agua. O estudo da dinamica das populacoes de Aegla castropodera contribuir para eventuais recuperacoes de ecossistemas de aguas continentais.

∗Orientando de Iniciacao Cientıfica PET-Matematica. E-mail: [email protected]†Professor orientador. E-mail: [email protected]‡Professor Co-orientador. E-mail: [email protected]

O modelo de Bertalanffy e mais utilizado para estudos do crescimento, em compri-mento, para especies de peixes. Mais recentemente este modelo tem sido aplicado para ocrescimento de Aegla, em [1] e realizado um estudo para a especie Aegla platensis e em[3] para Aegla leptodactyla. Desta forma, notamos que sao poucos os modelos que tratamdo crescimento destes crustaceos.

Neste trabalho estudamos o crescimento, em comprimento, do cefalotorax do Aeglacastro para cada estagio reprodutivo, utilizando uma tabela de dados experimentais cole-tados no Corrego Ipiranga, localizado no municıpio de Avare - SP, no perıodo de marcoa julho de 2004. As ferramentas matematicas empregadas neste estudo sao o modelo devon Bertalanffy e ajuste linear, pelo metodo dos quadrados mınimos, apresentados naproxima secao.

2 Modelo Matematico

Em [2] estudamos o modelo de Bertalanffy para o crescimento de tilapia do Nilo, o metodosera descrito a seguir.

Pelo Princıpio da Alometria [4], temos que:‘O crescimento do peso do peixe e proporcional a area da sua superfıcie externa (ana-

bolismo) e o decaimento e proporcional a energia consumida (catabolismo)’

dp

dt= αA − βp (1)

em que

• α e a constante de anabolismo, representando a taxa de sıntese de massa por unidadede area do peixe;

• β e a constante de catabolismo, representando a taxa de diminuicao da massa porunidade de massa;

• A area A da superfıcie externa e proporcional a p23 . Isto e dado pelo princıpio da

alometria.

Sabendo que:

• o peso e proporcional ao volume;

• o volume e proporcional ao cubo do comprimento: p = k1l3

• a area e proporcional ao quadrado do comprimento: A = k2l2

onde k1 e k2 sao constantes, temos

dp

dt=

d

dt

(k1l

3)

= 3k1l2 dl

dt(2)

e substituindo a equacao (2) na equacao (1), obtemos

3k1l2 dl

dt= αk2l

2 − βk1l3

ou seja,dl

dt= λ − kl,

onde λ =αk2

3k1

e k =β

3.

Logo,

l(t) =λ

k

(1 − e−kt

)Por outro lado, o comprimento limite (l∞) e dado quando t → ∞, isto e, l∞ =

λ

k.

Assim, temosl(t) = l∞

(1 − e−kt

),

expressao denominada equacao de von Bertalanffy para o crescimento, em tamanho.Uma maneira de se estimar os valores l∞ e k, quando se tem uma tabela de valores

experimentais, consiste em determinar a reta y = mx + n pelo ajuste linear dos valoresl(t) e l(t + 1), isto e, atraves da equacao (3) [5].

l(t + 1) = ml(t) + n (3)

Substituindol(t) = l∞

(1 − e−kt

)l(t + 1) = l∞

(1 − e−k(t+1)

)na equacao (3), temos

l∞ − l∞e−kte−k = ml∞ − ml∞e−kt + n

e considerando que quando t → ∞, l(t + 1) ∼= l(t) ∼= l∞, obtemos

l∞ =n

1 − m(4)

Assim,m = e−k ⇒ k = − ln m (5)

n = l∞ − ml∞ ⇒ n = l∞(1 − e−k

). (6)

Na proxima secao, apresentaremos as tabelas de valores experimentais de cada estagioreprodutivo do Aegla castro e faremos os calculos e os graficos de l∞ utilizando ajustelinear.

3 Crescimento do Aegla castro

Consideramos a Tabela 1 dos dados experimentais do cefalotorax de Aegla castro, medidosem milımetros (mm), da extremidade do rostro ate a borda posterior da carapaca, paracada estagio reprodutivo, coletados no Corrego Ipiranga.

No calculo do l∞ para cada estagio reprodutivo e utilizado apenas os cinco maiorescomprimentos do cefalotorax, pelo fato deste valor ser calculado quando o tempo t tendea infinito. Utilizamos o metodo de Ford-Walford que consiste em considerar l(t) = l(t+1)quando o comprimento esta estabilizado [4].

A partir das equacoes (4), (5) e (6), obtemos os seguintes ajustes para o comprimentodo Aegla castro para cada estagio reprodutivo:

• Jovens: l∞ = 6,5 mm

jovens Femeas Jovens Femeas Maturas Machos6.0 10.5 19.3 17.76.4 10.6 19.4 18.86.4 10.8 19.7 19.76.5 10.9 20.7 22.06.5 11.0 21.5 22.7

Tabela 1: Dados experimentais do Aegla castro.

• Femeas Jovens: l∞ = 11,95 mm

• Femeas Maturas: l∞ = 24,7 mm

• Machos: l∞ = 27,10 mm

Na Figura 1 apresentamos o l∞ para cada estagio reprodutivo e na Figura 2 mostramoso comportamento das curvas de crescimento de todos os estagios reprodutivos.

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25l∞

tempo(t)

Cre

scim

ento

das

Fem

eas

Mat

uras

0 5 10 15 200

2

4

6l∞

tempo(t)

Cre

scim

ento

dos

Jov

ens

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12l∞

tempo(t)

Cre

scim

ento

das

Fem

eas

Jove

ns

0 5 10 15 200

5

10

15

20

25l∞

tempo(t)

Cre

scim

ento

dos

Mac

hos

Figura 1: Curva de Crescimento em comprimento do cefalotorax de Aegla castro.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30Comprimento do Cefalotorax

Tempo

l(t)

femeas maturas jovens femeas jovensmachos

Figura 2: Crescimento do Aegla castro em todos os estagios reprodutivos.

4 Conclusoes

Neste trabalho determinamos o comprimento maximo do Aegla castro para cada estagioreprodutivo utilizando o modelo de Bertalanffy. O crescimento maximo, em comprimentoe de aproximadamente l∞ = 6,5 mm para jovens, l∞ = 11,95 mm para femeas jovens,l∞ = 24,7 mm para femeas maturas e l∞ = 27,10 mm para machos. Como calculadoneste estudo e em [3], os machos tem l∞ superior as femeas, devido ao fato de as femeasapresentarem perıodos de intermuda (perıodo entre a troca da carapaca externa do animal,que e o momento que o crustaceo cresce) mais longos do que os machos, frequentementeassociado a incubacao dos ovos. Na Figura 2 os jovens e as femeas jovens apresentamuma interseccao em 6,5cm, pois ate este valor, no estagio reprodutivo dos jovens, existemmachos e femeas e nao e possıvel a separacao de sexos ao nıvel macroscopico.

Nos trabalhos futuros pretendemos estudar o valor limite do comprimento (l∞) e dopeso (p∞) do Aegla castro, utilizando a equacao de von Bertalanffy sendo estas variaveisparametros fuzzy.

Referencias

[1] A. A. P. Bueno, G. Bond-Buckup e L. Buckup. Crescimento de Aegla platensis Schmittem ambiente natural (Crustacea, Decapoda, Aeglidae).Revista Brasileira de Zoologia.n.17, 2000, pp. 51-60.

[2] C. F. M. Sanches e R. Motta Jafelice. Modelagem Matematica para o Crescimento dePeixes. FAMAT em Revista, n.03, setembro de 2004, pp.13-25.

[3] C. K. Noro e L. Buckup. O Crescimento do Aegla leptodactyla Buckup & Rossi. RevistaBrasileira de Zoologia. n.20, 2003, pp. 191-198.

[4] R. C. Bassanezi. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matematica. Editora Con-texto, 2002.

[5] R. C. Bassanezi e W. C. Ferreira Jr. Equacoes Diferenciais com Aplicacoes. EditoraHARBRA, 1988.

[6] W. Rodrigues e N. J. Hebling. Estudos Biologicos em Aegla Perobae Hebling & Ro-drigues, 1977 (Decapoda, Anomura). Revista Brasileira de Biologia, n.38, maio, 1978,pp.383-390.

A Transcendencia do Numero π

Anselmo A. de A. Oliveira∗ Uziel P. da Silva† Edson Agustini‡


Universidade Federal de Uberlandia - Ufu

Uberlandia - MG

Abril de 2005

Resumo

Este trabalho apresenta uma prova da transcendencia do numero π, baseadana demonstracao de R. Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2, 1901, pp.57-59),seguindo as alteracoes propostas por D. G. de Figueiredo em [2]. Alem de um pe-queno apanhado historico sobre o numero π e a teoria dos numeros algebricos e tran-scendentes, introduzimos duas secoes: uma sobre a “Desigualdade do Valor Mediopara Funcoes de Uma Variavel Complexa“ e outra sobre “Polinomios Simetricos”.Com elas, pretendemos esbocar definicoes e resultados pertinentes e necessarios acompreensao da demonstracao supracitada.

Palavras-chave: numeros transcendentes, numeros algebricos, numeros irra-cionais, numeros construtıveis, numero π, desigualdade do valor medio, polinomiossimetricos.

1 Um Pouco da Historia do Numero π

O numero mais famoso da historia, π, representa a razao constante entre o perımetro deum cırculo e o seu diametro. A historia do numero π tem inıcio cerca de 4000 anos atras,sendo que a existencia de uma relacao constante entre “a circunferencia e o seu diametro”era conhecida por muitas das civilizacoes antigas.

Das placas de Susa (placas de argila dos babilonios), vemos que estes adotavam uma

aproximacao grosseira para o valor de π que e deduzido como 3 +1

8, ou seja, 3, 125. Nos

papiros egıpcios escritos antes de 1700 a.C., a area de um cırculo e igual a de um quadrado

com8

9de diametro, e o papiro de Ahmes (cerca de 1600 a.C.) da a relacao existente entre a

circunferencia e o seu diametro o valor 3, 16. Isto evidencia que a medicao da circunferenciatinha erro menor do que 1%.

∗[email protected]. Orientando do Programa Institucional de Iniciacao Cientıfica e Mon-itoria da Faculdade de Matematica (PROMAT) de set/03 a jul/04.

†[email protected]. Orientando do Programa Institucional de Iniciacao Cientıfica e Monitoriada Faculdade de Matematica (PROMAT) de set/03 a jul/04

‡[email protected]. Professor orientador.

Ao descrever a construcao do templo de Salomao, aproximadamente em 950 a.C., ovelho testamento bıblico traz em II Cronicas 4:2 uma aproximacao hebraica para o numeroπ: “Fez o tanque de metal fundido, redondo, medindo quatro metros e meio de diametroe dois metros e vinte e cinco centımetros de altura. Era preciso um fio de treze metros emeio para medir a sua circunferencia.”, do que concluımos que π seria igual a 3.

Assim, muitas civilizacoes antigas observaram atraves de medicoes que a razao docırculo e a mesma para cırculos de diferentes tamanhos. No entanto, foram os gregos queconseguiram compreender e explicar a logica desta relacao, que advem das propriedadesde figuras semelhantes. Os gregos antigos compreendiam que numeros como π e

√2 sao

diferentes dos numeros inteiros e dos numeros racionais utilizados em suas matematicase, mesmo tendo conseguido provar a irracionalidade de

√2, o mesmo nao ocorreu para o

π.

Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) conseguiu melhorar a aproximacao dada aonumero π, aproximando a circunferencia por polıgonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados edescobrindo as seguintes limitacoes para π: 310

71< π < 31

7, isto e, 3, 14085 < π < 3, 142857.

Recentemente, descobriu-se que em 480 d.C., Tsu Chung-Chi (430-501 d.C.) chegoua conclusao de que o valor de π oscilaria entre 3,1415926 e 3,1415927, uma aproximacaoimpressionante para a epoca. Por volta de 499 d.C., um tratado indiano sobre matematicae astronomia, intitulado “aryabhata”, indica 3,1416 como um valor aproximado de π, quee uma aproximacao com 3 casas decimais corretas.

Mais tarde, aproximacoes melhores de π puderam ser encontradas utilizando polıgonoscom mais lados do que aqueles utilizados por Arquimedes. Um calculo chines chegaa usar um polıgono com mais de 3000 lados e apresenta π com 5 casas decimais. Os

chineses tambem aproximaram π pelo racional355

113, que difere de π menos de 0,0000003.

Essa mesma aproximacao foi redescoberta no seculo XVI pelo engenheiro alemao AriaanAnthoniszoon. No mesmo seculo, outro alemao, Adrien van Rooman, usou o metodo deArquimedes com um polıgono de 230 lados para obter 15 casas decimais para π.

O Renascimento Europeu causou muitos efeitos sobre a matematica, entre eles a ne-cessidade de se encontrar formulas, o que nao foi diferente para o π. Descobriu-se, entao,a definicao nao geometrica de π e a representacao deste por series infinitas. Um dosprimeiros foi Francois Viete que, em 1592, descobriu a formula:

π =1√

1

2

√1

2+

1

2

√1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2

√√√√√1

2+

1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2...

Tambem John Wallis (1616-1703) com a formula:

π = 2

(2

1

2

3

4

3

4

5

6

5

6

7...

)

e William Brouncker, em 1658, com a fracao contınua infinita:

π = 41

1 +12

2 +32

2 +52

2 +72

2 + ...

Uma formula atribuıda a Leibniz (1646-1716) e a James Gregory (1638-1675) e:

π = 4

(1

1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− ...

).

O mesmo Gregory propos tambem a seguinte formula, que converge mais rapidamente:

π

6=

1√3

(1 − 1

3.3+

1

5.3.3− 1

7.3.3.3+ ...

).

John Machin, em 1706, criou uma variacao da serie de Gregory; com um aumentosignificativo da convergencia, ele conseguiu calcular π com 100 casas decimais. Estaformula e dada por:

π

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239.

Uma propriedade relacionada a natureza de π foi demonstrada, em 1761, por JohannHeinrich Lambert: π e um numero irracional.

Em 1873, o ingles William Shanks usou a formula de Machin para calcular (manual-mente e durante quinze anos!) as 707 primeiras casas decimais de π, das quais so 527estavam corretas.

A popularizacao da letra grega π para representar a razao entre o comprimento dacircunferencia e seu diamentro se deve a Leonhard Euler, que passou a emprega-la a partirde 1736, muito embora alguns matematicos a tenham utilizado antes.

O Seculo XX foi marcado pela introducao do uso de computadores e algoritmos com-putacionais que tem possibilitado encontrar um numero cada vez maior de casas decimaisdo numero π. Em 1949, pela primeira vez, um computador foi usado para calcular πate as 200 casas decimais. Em 1961, conseguiu-se atraves de computacao a aproximacaode π ate 100.265 casas decimais, mais tarde em 1967 aproximou-se ate as 500.000 casasdecimais.

Recentemente, David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhoesde casas decimais para o π, usando uma formula que da cada casa decimal do π individ-ualmente para cada n escolhido. Atualmente, o recorde e de 1.241.000.000.000 (mais deum trilhao!) casas decimais de π, calculadas por Yasumana Kanada, da Universidade deTokio em 2002. Em 11/9/2000 foi calculada pelo projeto Pihex a 1.000.000.000.000.000a.(quatrilhonesima!) casa binaria de π (que, na base binaria, e 0).1

1Ver www.obm.org.br ou www.cecm.stu.ca/pi.

2 Introducao

Nosso objetivo com o presente trabalho e demonstrar que o numero π e transcendente.Um numero complexo que pode ser expresso como raiz de uma equacao polinomial

com coeficientes inteiros e chamado de numero algebrico. Os complexos nao algebricossao chamados de numeros transcendentes.

Conforme comentado em [5], a questao de saber se um dado numero e transcendenteou algebrico e, em geral, difıcil, tendo aparecido como o setimo problema na famosa listados vinte e tres problemas de David Hibert, citados em palestra no Segundo CongressoInternacional de Matematica, em 1900, realizado em Paris na Franca.

Podemos firmar a semente da teoria dos numeros transcendentes na Grecia antigacom os tres famosos problemas gregos de construcao com regua e compasso: a quadraturade um cırculo, a triseccao de um angulo e a duplicacao de um cubo. O estudo dessesproblemas recai na construcao (com regua sem escala e compasso) de um segmento comcerta medida que nao e “construtıvel” a partir de um segmento dado como unidade. Temosaı a teoria dos Numeros Construtıveis que, hoje sabemos, sao todos numeros algebricos(no entanto, nem todo numero algebrico e construtıvel [6]).

Em 1844, Joseph Liouville exibiu uma classe de numeros que demonstrou serem tran-scendentes e, trinta anos apos, uma prova da existencia de numeros transcendentes semexibir um numero transcendente sequer foi feita Georg Cantor. A primeira demonstracaode que π e transcendente foi dada por Ferdinand Lindemann, em 1882, comprovando aimpossibilidade da quadratura do cırculo, que depende da construcao de um segmento decomprimento π a partir da unidade.

Em 1934, Aleksander Gelfond demonstrou que numeros complexos da forma ab, sendoa um numero algebrico diferente de 0 e 1 e b um algebrico nao racional, sao todos transcen-dentes, constituindo um avanco significativo na teoria desses numeros. Assim, o numero2√

2, citado na lista dos problemas de Hilbert, e transcendente.Neste trabalho, esbocamos uma prova da transcendencia do numero π, baseada na

demonstracao de R. Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2, 1901, pp.57-59), seguindo asalteracoes propostas por D. G. de Figueiredo em [2]. Para tanto, iniciamos o trabalho comduas secoes de pre-requisitos que julgamos necessarias ao bom entendimento do trabalho.

3 Desigualdade do Valor Medio para Funcoes de Uma

Variavel Complexa

Para demonstrarmos a transcendencia de π, precisaremos de um resultado relacionado asfuncoes de uma variavel complexa chamado de Desigualdade do Valor Medio. Para tanto,consideremos as seguintes definicoes:

Uma funcao de uma variavel complexa f : C −→ C tem derivada no ponto z ∈ C, seexistir o limite:

f ′ (z) = limz0→0

f (z + z0) − f (z)

z0

,

sendo z0 ∈ C. Chamaremos f ′ (z) de derivada de f em z.Se uma funcao de uma variavel complexa f possuir derivadas em todos os pontos de

C, entao dizemos que f e analıtica em C.

Seja f (z) = u (x, y) + iv (x, y) com z = x + iy, ou seja, u (x, y) e a parte real e v (x, y)a imaginaria de f (z) .

Supondo que f (z) seja analıtica em C, vamos calcular f ′ (z) considerando valores reaispara z0, isto e, z0 = h. Assim, z + z0 = (x + h) + iy e, consequentemente,

f (z + z0) = u (x + h, y) + iv (x + h, y) .

Daı:

f ′ (z) = limz0→0

f (z + z0) − f (z)

z0

= limh→0

u (x + h, y) + iv (x + h, y) − u (x, y) − iv (x, y)

h

= limh→0

u (x + h, y) − u (x, y)

h+ i lim

h→0

v (x + h, y) − v (x, y)

h

=∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) . (1)

Calculando f ′ (z) usando valores imaginarios puros para z0, isto e, z0 = ik, temos:

f ′ (z) = limik→0

u (x, y + k) − u (x, y)

ik+ i lim

ik→0

v (x, y + k) − v (x, y)

ik.

Mas ik → 0 =⇒ k → 0 e (i)−1 = −i, entao:

f ′ (z) = −i limk→0

u (x, y + k) − u (x, y)

k+ lim

k→0

v (x, y + k) − v (x, y)

k

= −i∂u

∂y(x, y) +

∂v

∂y(x, y) . (2)

Identificando (1) e (2) encontramos as Equacoes de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y)

∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y)

para qualquer z = x + iy em C.

O teorema abaixo estabelece uma especie de “desigualdade do valor medio” parafuncoes de uma variavel complexa, uma vez que o Teorema do Valor Medio nao e ver-dadeiro neste caso. Um fato curioso envolvendo uma demonstracao da transcendencia deπ devida a Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2 (1901), pp. 57-59) e o fato deste terusado o Teorema do Valor Medio para caso complexo.

Teorema 3.1 (Desigualdade do Valor Medio) Seja f : C −→ C uma funcao analıtica esejam z1, z2 ∈ C. Entao,

|f (z2) − f (z1)| ≤ 2 |z2 − z1| sup {|f ′ (z1 + λ (z2 − z1))| : 0 ≤ λ ≤ 1} ,

sendo |z| o modulo do numero complexo z = x + iy, isto e, |z| =√

x2 + y2.

Demonstracao

Sejam u (x, y) e v (x, y) as partes real e imaginaria de f (z) e z0 = x0 + iy0. Assim,f (z0) = u (x0, y0) + iv (x0, y0) e, particularmente, f (0) = u(0, 0) + iv (0, 0) .

Daı,f (z0) − f (0) = u (x0, y0) − u(0, 0) + i (v (x0, y0) − v (0, 0)) (3)

Definamos as funcoes ϕ : R → R e ψ : R → R de modo que:

ϕ (λ) = u (λx0, λy0)

ψ (λ) = v (λx0, λy0) .

Pelo Teorema do Valor Medio, temos:{ϕ (1) − ϕ (0) = ϕ′ (λ1) para algum 0 < λ1 < 1ψ (1) − ψ (0) = ψ′ (λ2) para algum 0 < λ2 < 1

(4)

Com o auxılio de (4) e calculando as derivadas das funcoes compostas ϕ e ψ, podemosescrever:

u (x0, y0) − u(0, 0) = ϕ (1) − ϕ (0) = ϕ′ (λ1) =∂u

∂x(λ1x0, λ1y0) x0 +

∂u

∂y(λ1x0, λ1y0) y0

v (x0, y0) − v(0, 0) = ψ (1) − ψ (0) = ψ′ (λ2) =∂v

∂x(λ2x0, λ2y0) x0 +

∂v

∂y(λ2x0, λ2y0) y0

que substituıdas em (3) fornecem

f (z0) − f (0) =∂u

∂x(λ1x0, λ1y0) x0 +

∂u

∂y(λ1x0, λ1y0) y0

+ i

[∂v

∂x(λ2x0, λ2y0) x0 +

∂v

∂y(λ2x0, λ2y0) y0

].

Usando a desigualdade |z| ≤ |x|+ |y| , sendo |x| e |y| os valores absolutos da parte reale imaginaria de z = x + iy, temos:

|f (z0) − f (0)| ≤∣∣∣∣∂u

∂x(λ1x0, λ1y0) x0 +

∂u

∂y(λ1x0, λ1y0) y0

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∂v

∂x(λ2x0, λ2y0) x0 +

∂v

∂y(λ2x0, λ2y0) y0

∣∣∣∣ .Usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz :

|〈(a1, a2) , (b1, b2)〉| ≤ |(a1, a2)| . |(b1, b2)| ⇒ |a1b1 + a2b2| ≤√

a21 + a2

2

√b21 + b2

2,

obtemos:

|f (z0) − f (0)| ≤√(

∂u

∂x(λ1x0, λ1y0)

)2

+

(∂u

∂y(λ1x0, λ1y0)

)2√x2

0 + y20

+

√(∂v

∂x(λ2x0, λ2y0)

)2

+

(∂v

∂y(λ2x0, λ2y0)

)2√x2

0 + y20 (5)

Observemos que de (1) temos f ′ (z) =∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) e, utilizando as Equacoes

de Cauchy-Riemann, temos:

f ′ (z) =∂u

∂x(x, y) − i

∂u

∂y(x, y)

f ′ (z) =∂v

∂x(x, y) + i

∂v

∂y(x, y)

Aplicando a primeira equacao ao ponto z = λ1z0, a segunda ao ponto z = λ2z0 e,posteriormente, calculando o modulo dessas funcoes complexas, temos:

|f ′ (λ1z0)| =

√(∂u

∂x(λ1x0, λ1y0)

)2

+

(∂u

∂y(λ1x0, λ1y0)

)2

|f ′ (λ2z0)| =

√(∂v

∂x(λ2x0, λ2y0)

)2

+

(∂v

∂y(λ2x0, λ2y0)

)2

Como |z0| =√

x20 + y2

0, retornando a (5):

|f (z0) − f (0)| ≤ |f ′ (λ1z0)| |z0| + |f ′ (λ2z0)| |z0| .Mas,

|f ′ (λ1z0)| ≤ sup {|f ′ (λz0)| : 0 ≤ λ ≤ 1}|f ′ (λ2z0)| ≤ sup {|f ′ (λz0)| : 0 ≤ λ ≤ 1}

(pois 0 < λ1, λ2 < 0).Daı,

|f (z0) − f (0)| ≤ 2 |z0| sup {|f ′ (λz0)| : 0 ≤ λ ≤ 1} .

Aplicando o resultado acima a funcao g (z) = f (z + z1) e ao ponto z0 = z2 − z1,concluımos que

|f (z2) − f (z1)| ≤ 2 |z2 − z1| sup {|f ′ (z1 + λ (z2 − z1))| : 0 ≤ λ ≤ 1} ,

o que conclui a demonstracao. �

4 Polinomios Simetricos

Na prova da transcendencia de π tambem necessitaremos de dois resultados envolvendopolinomios simetricos.

Um polinomio P (t1, t2, ..., tn) ; t1, ..., tn ∈ C e chamado simetrico se para todas aspermutacoes σ : {1, ..., n} → {1, ..., n} (que sao as n! bijecoes de {1, ..., n} em {1, ..., n}),temos:

P (t1, t2, ..., tn) = P(tσ(1), tσ(2), ..., tσ(n)

).

Seja P (x) = (x − t1) (x − t2) ... (x − tn) , sendo t1, t2, ..., tn ∈ C as raızes de P (x) .Podemos escrever P (x) da seguinte forma:

P (x) = xn − s1xn−1 + s2x

n−2 + ... + (−1)n sn,

da qual segue, pelas Relacoes de Girard, que:

s1 =n∑

j=1

tj

s2 =∑i<j

titj

s3 =∑

i<j<k

titjtk

...

sn = t1t2...tn

Os polinomios s1, s2, ..., sn sao chamados polinomios simetricos elementares em t1, t2, ..., tn.

O grau de um monomio atk11 ...tkn

n em t1, ..., tn e definido como sendo o valorn∑

i=1

ki.

O grau de um polinomio em t1, ..., tn e definido como sendo o maximo dos graus dosmonomios que o compoe.

O peso de um mononio atk11 ...tkn

n e definido como sendo o valorn∑

i=1

iki. O peso de um

polinomio em t1, ..., tn e definido como sendo o maximo dos pesos dos monomios que ocompoe.

Baseados nas definicoes acima, temos as seguintes proposicoes:

Proposicao 4.1 Seja P (t1, ..., tn) um polinomio simetrico de grau d, com coeficientesinteiros. Entao, existe um polinomio G (s1, ..., sn) de peso menor ou igual a d com co-eficientes inteiros, sendo s1, ..., sn os polinomios simetricos elementares em t1, ..., tn, talque:

P (t1, ..., tn) = G (s1, ..., sn) .

Demonstracao

(Por inducao em n): Para n = 1, o teorema e obvio, pois nesse caso s1 = t1. Supon-hamos, agora, que o teorema seja valido para polinomios em t1, ..., tn−1. Representemospor s1, ..., sn−1 os polinomios simetricos elementares em t1, ..., tn−1:

s1 =n−1∑j=1

tj

s2 =∑i<j

titj; 1 ≤ i < j ≤ n − 1

s3 =∑

i<j<k

titjtk; 1 ≤ i < j < k ≤ n − 1

...sn−1 = t1...tn−1

Para provar que a proposicao vale para polinomios em t1, ..., tn, procedemos porinducao nos graus d desses polinomios. Para d = 0, o resultado e trivial, pois terıamosapenas os polinomios constantes. Suponha que o resultado seja valido para polinomiosde grau menor que d e provemos que ele se verifica para polinomios de grau d. Seja, pois,

f(t1, ..., tn) um polinomio de grau d. Pela hipotese de inducao, existe um polinomio depeso menor ou igual a d, g1 (s1, ..., sn−1) , tal que

f (t1, ..., tn−1, 0) = g1 (s1, ..., sn−1) (6)

Assim, g1 (s1, ..., sn−1) e um polinomio em t1, ..., tn, cujo grau e menor ou igual a d. Efacil de ver que g1 (s1, ..., sn−1) e um polinomio simetrico em t1, ..., tn. Logo,

f1 (t1, ..., tn) = f (t1, ..., tn) − g1 (s1, ..., sn−1) (7)

e um polinomio simetrico em t1, ..., tn. Provaremos agora que f1 (t1, ..., tn) e da forma (8),com f2 de grau menor que d, para entao usarmos a hipotese de inducao.

Se fizermos tn = 0 em (7), obtemos, em virtude de (6), que

f (t1, ..., tn−1, 0) = 0.

Consequentemente, tn e um fator comum em f1 (t1, ..., tn) . Do fato que f1 (t1, ..., tn) esimetrico em t1, ..., tn, segue-se que tj, para todo j = 1, ..., n, e fator comum de f1 (t1, ..., tn) .Logo,

f1 (t1, ..., tn) = snf2 (t1, ..., tn) (8)

e daı segue que o grau de f2 e menor ou igual a d − n < d. Aplicando a hipotese deinducao, temos que existe um polinomio g2 (s1, ..., sn) de peso menor ou igua a d − n, talque

f2 (t1, ..., tn) = g2 (s1, ..., sn) . (9)

Finalmente, de (7), (8) e (9) obtemos

f (t1, ..., tn) = sng2 (s1, ..., sn) + g1 (s1, ..., sn−1) ,

o que mostra que f (t1, ..., tn) e igual a um polinomio simetrico em s1, ..., sn :

g (s1, ..., sn) = sng2 (s1, ..., sn) + g1 (s1, ..., sn−1) .

O peso de g (s1, ..., sn) e menor ou igual a d o que conclui a demonstracao. �

Proposicao 4.2 Sejam α1, ..., αj numeros algebricos, tais que os polinomios simetricoselementares

s1 =n∑

j=1

αj

s2 =∑i<j

αiαj; 1 ≤ i < j ≤ n

...sn = α1...αn

sejam numeros racionais. Considere agora os

(n

2

)numeros algebricos

βij = αi + αj, 1 ≤ i < j ≤ n.

Entao os polinomios simetricos elementares associados aos βij′s sao tambem numeros

racionais.

Demonstracao

Seja σ uma permutacao dos inteiros 1, ..., n. Dado um polinomio f (t1, ...tn) , a eleassociamos um outro polinomio, que representamos por fσ(t1, ...tn), assim definido:

fσ(t1, ...tn) = f(tσ(1), ..., tσ(n)

)(10)

Em virtude da Proposicao 4.1, basta provar que os polinomios simetricos elementaresnos βij

′s sao polinomios simetricos nos αj′s. Seja pois σ uma permutacao dos inteiros

1, ..., n. A expressao (10) define uma funcao do conjunto dos polinomios nele proprio,funcao esta associada a σ. Vamos representar essa funcao tambem pela letra σ. Assim,por 10 temos:

σ (αj) = ασ (j) ; j = 1, .., n.

Se tivermos um polinomio qualquer em α1, ..., αn com coeficientes racionais, segue-sede que a acao de σ sobre ele e

σ(∑

ak1...knαk11 ...αkn

n

)=∑

ak1...kn [σ (α1)]k1 ... [σ (αn)]kn ,

sendo os somatorios tomados sobre todos os inteiros k1, ..., kn ≥ 0, e tais que k1+ ...+kn ≤m, sendo m o grau do polinomio. A seguir, observemos que σ induz uma permutacao σ′

dos βij′s assim definida:

σ′ (βij) = σ (αi + αj)def= σ (αi) + σ (αj) .

Logo:

σ′ (βij) = σ (βij) .

Para verificar que o primeiro polinomio simetrico elementar S1 dos βij′s e simetrico

nos α′s, devemos provar que σ (S1) = S1. Vejamos:

σ (S1) =∑

σ (βij) =∑

σ′ (βij) = σ′ (S1) = S1,

onde utilizamos, na ultima igualdade que S1 e simetrico nos βij′s. Para os demais

polinomios simetricos elementares, S2, ..., Sn, procedemos de modo analogo ao que se fezem acima. E isso completa a demonstracao. �

A Proposicao 4.2 pode ser facilmente generalizada para

(n

j

), j = 3, ..., n numeros

algebricos:

βk1,...,kj= αk1 + ... + αkj; 1 ≤ k1 < ... < kj ≤ n.

Como consequencia, podemos enunciar o seguinte corolario:

Corolario 4.1 Se os α′s da generalizacao da Proposicao 4.2, para j = 3, ..., n, sao asraızes de um polinomio de grau n com coeficientes racionais, entao os β′s sao raızes de

um polinomio de grau

(n

j

)com coeficientes racionais.

5 Prova da Transcendencia de π

Os dois lemas abaixo sao extraıdos da prova da transcendencia do numero e em [5] eusaremo-os na prova da transcendencia de π.

Lema 5.1 Seja a funcao F (x) = P (x)+P ′(x)+...+P (r) (x) ; em que P (x) e um polinomiode grau r e P (r) (x) representa a derivada de ordem r de P (x) . Entao,

d

dx

(e−xF (x)

)= −e−xP (x) .

Demonstracao:

Temos e−xF (x) = e−xP (x) + e−xP ′ (x) + ... + e−xP (r) (x) . Entao,

d

dx

(e−xF (x)

)= −e−xP (x) + e−xP ′ (x) − e−xP ′ (x) + e−xP ′′ (x) − e−xP ′′ (x) + ...

+ e−xP (r) (x) − e−xP (r) (x) + e−xP (r+1) (x) ,

ou seja,d

dx

(e−xF (x)

)= −e−xP (x) ,

como querıamos. �

Lema 5.2 Seja Q(x) =r∑

j=0

ajxj um polinomio com coeficientes inteiros e seja p < r um

inteiro positivo. Entao:

(i) Q(i)(x) =r∑

j=i

j!

(j − i)!ajx

j−i, i ≤ r.

(ii)1

(p − 1)!Q(i)(x), p ≤ i, e um polinomio com coeficientes inteiros divisıveis por p.

Demonstracao:

Temos que Q(x) =r∑

j=0

ajxj = a0 + a1x + ... + arx

r.

Entao,

Q(1)(x) = a1 + 2a2x + ... + rarxr−1

Q(2)(x) = 2a2 + 6a3x + ... + r(r − 1)arxr−2

Q(3)(x) = 6a3 + 24a4x + ... + r(r − 1)(r − 2)arxr−3

=3!

0!a3 +

4!

1!a4x + ... +

r!

(r − 3)!arx

r−3

...

Logo, Q(i)(x) =i!

0!ai +

(i + 1)!

1!ai+1x +

(i + 2)!

2!ai+2x

2 + ... +r!

(r − i)!arx

r−i, ou seja,

Q(i)(x) =r∑

j=i

j!

(j − i)!ajx

j−i, i ≤ r

e isso prova a primeira parte.

Quanto a segunda parte, observemos que os coeficientes de1

(p − 1)!Q(i)(x) serao da

formaj!

(j − 1)!

1

(p − 1)!aj, onde aj e inteiro.

Temos p ≤ i, p fixo e j = i, ..., r.No 1o coeficiente, temos j = i e, consequentemente,

j!

0!

1

(p − 1)!=

j(j − 1)...p(p − 1)!

(p − 1)!= j(j − 1)...p.

No 2o coeficiente, temos j = i + 1, portanto,

j!

1!

1

(p − 1)!=

j (j − 1) ...p(p − 1)!

(p − 1)!= j (j − 1) ...p.


j!

2!

1

(p − 1)!=

j (j − 1) ...p(p − 1)!

2.1.(p − 1)!=

j (j − 1) ...p

2.

Observemos que o numerador tem j − (p − 1) = j − p + 1 fatores. Como i + 2 ≥ p + 2,temos j ≥ p + 2, ou seja, j − p ≥ 2, o que implica j − p + 1 ≥ 3. Assim, podemos concluirque o numerador tera pelo menos 3 fatores.


j!

3!

1

(p − 1)!=

j (j − 1) ...p(p − 1)!

3.2.1.(p − 1)!=

j (j − 1) ...p

3!

e, nesse caso, o numerador tera pelo menos 4 fatores.Generalizando, teremos para j = i + k, k ∈ N,

j!

k!

1

(p − 1)!=

j (j − 1) ...p(p − 1)!

k!(p − 1)!=

j (j − 1) ...p

k!,

sendo que o numerador tem pelo menos k + 1 fatores, ou seja,

j − p + 1 ≥ k + 1 ⇒j − k + 1 ≥ p + 1.

Dessa forma,

j!

k!

1

(p − 1)!=

j(j − 1)...(j − k + 1) (j − k) ...p

k!

=j(j − 1)...(j − k + 1)

k!

(j − k)!

(j − k)!(j − k) ...p

=j!

k!(j − k)!(j − k) ...p

=

(j

k

)(j − k) ...p,

sendo

(j

k

)um numero binomial, o que implica

(j

k

)∈ Z, ou seja,

(j

k

)(j − k) ...p ∈ Z e,

portanto,j!

k!

1

(p − 1)!∈ Z e e divisıvel por p. Dessa forma, os coeficientes de

1

(p − 1)!Q(i)(x)

sao numeros inteiros divisıveis por p. �

Teorema 5.1 O numero π e transcendente.

Demonstracao

Suponhamos que π e um numero algebrico. Entao, iπ tambem e algebrico (produtode algebricos). Logo, iπ e raiz de uma equacao polinomial

P1 (x) = 0 (11)

com coeficientes inteiros.Sejam α1 = iπ, α2, ..., αn as n raızes de (11). Como eiπ = −1, segue-se que

n∏j=1

(1 + eαj) = 0. (12)

Desenvolvendo o produtorio (12), obtemos uma expressao da forma “1+ somatorio deexponenciais” cujos expoentes sao:

[1] α1, α2, ..., αn;[2] αi + αj, para todo i < j;[3] αi + αj + αk, para todo i < j < k;...[n] α1 + ... + αn.

Em [1] temos

(n

1

)= n termos, em [2] temos

(n

2

)termos, em [3] temos

(n

3

)termos,...,

em [n] temos

(n

n

)= 1 termos.

O fato de α1, ..., αn satisfazerem uma equacao polinomial com coeficientes inteiros(P1 (x) = 0) implica que:

(a) Pelo Corolario 4.1, os numeros de [2] satisfazem uma equacao polinomial de grau(n

2

), com coeficientes inteiros:

P2 (x) = 0.

(b) Pelo Corolario 4.1, os numeros de [3] satisfazem uma equacao polinomial de grau(n

3

), com coeficientes inteiros:

P3 (x) = 0.

E assim sucessivamente.

Desse modo, os numeros [1] , ..., [n] satisfazem a equacao polinomial:

P1 (x) ...Pn (x) = 0 (13)

com coeficientes inteiros cujo grau e n +

(n

2

)+ ... +

(n

n

)= 2n − 1.

(Obs.: Esta ultima igualdade segue do fato de que:

(a + b)n =

(n

0

)an +

(n

1

)an−1b +

(n

2

)an−2b2 + ... +

(n

n − 1

)abn−1 +

(n

n

)bn.

Para a = b = 1, temos:

(2)n =

(n

0

)+

(n

1

)+

(n

2

)+ ... +

(n

n − 1

)+

(n

n

),

como querıamos.)

Considerando a possibilidade de alguns dos numeros em [1] , ..., [n] serem nulos, vamossupor que m deles sao diferentes de zero, representando-os por β1, ..., βm (isto significaque m ≤ 2n − 1).

Simplificando (13) de modo que encontremos uma equacao de grau m cujas raızes saoβ1, ..., βm, temos:

R (x) = cxm + cm−1xm−1 + ... + c1x + c0 = 0, (14)

sendo ci ∈ Z.Agora, efetuamos o produto de (12) e obtemos

k + eβ1 + ... + eβm = 0, (15)

sendo k ∈ N.Consideremos o polinomio

P (x) =cs

(p − 1)!xp−1 (R (x))p , (16)

sendo s = mp−1 e p um numero primo grande a ser escolhido posteriormente. Observemosque o grau de P e r = (p − 1) + pm = s + p.

Seja:F (x) = P (x) + P ′ (x) + ... + P (r) (x) .

Desta forma, devido ao Lema 5.1:

d

dx

(e−xF (x)

)= −e−xP (x) . (17)

Ao aplicarmos o Teorema 3.1 a funcao f (z) = e−zF (z) e tomando z2 = βj, j = 1, ..., me z1 = 0, obtemos:

|f (βj) − f (0)| ≤ 2 |βj| sup {|f ′ (λ (βj))| : 0 ≤ λ ≤ 1} .

Usando (17):∣∣e−βjF (βj) − F (0)∣∣ ≤ 2 |βj| sup

{∣∣e−λβjP (λβj)∣∣ : 0 ≤ λ ≤ 1

}. (18)

Definemosεj = 2 |βj| sup

{∣∣e(1−λ)βjP (λβj)∣∣ : 0 ≤ λ ≤ 1

}. (19)

Entao, de (18) temos: ∣∣F (βj) − eβjF (0)∣∣ ≤ εj.

Observemos que desta inequacao, para cada j = 1, ..., m, temos:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∣∣F (β1) − eβ1F (0)

∣∣ ≤ ε1∣∣F (β2) − eβ2F (0)∣∣ ≤ ε2

...∣∣F (βm) − eβmF (0)∣∣ ≤ εm

(20)

E como de (15) temos k = −m∑

j=1

eβj , do somatorio de (20) obtemos

∣∣∣∣∣kF (0) +m∑

j=1

F (βj)

∣∣∣∣∣ ≤ m∑j=1

εj (21)

Agora vamos mostrar que o lado esquerdo de (21) e um inteiro nao nulo, e que o ladodireito, para algum p primo grande, e menor que 1; gerando, assim, uma contradicao.

Observemos que P (x) =cs

(p − 1)!xp−1 (R (x))p conforme definido em (16) e da forma

P (x) =cs

(p − 1)!

(cp0x

p−1 + bxp + ...)

=cs

(p − 1)!H (x) . (22)

Temos:P (i) (0) = 0, para i < p − 1.

Neste caso em qualquer derivada de ordem i, o polinomio H(i) (x) apresentara potenciasde x em todos os termos do seu somatorio. Daı, H(i) (0) = 0.

Temos ainda:P (p−1) (0) = cscp

0,

pois a derivada de ordem (p − 1) de H (x) sera H(p−1) (x) = cp0 (p − 1)! + bp!x + ...

Como R (βj) = 0, j = 1, ..., m, entao:

P (i) (βj) = 0, i < p, (23)

pois, R (x) e fator comum nestas derivadas.Observando que o polinomio Q (x) = (p − 1)!P (x) possui grau maior que p e coefi-

cientes inteiros, pelo Lema 5.2 os coeficientes de1

(p − 1)!Q(i) (x) = P (i) (x) , para i ≥ p,

sao inteiros divisıveis por p.Observemos tambem que todos os termos de P (x) sao multiplos de cs.Entao:

Todos os coeficientes de P (i) (x) , i ≥ p, sao inteiros divisıveis por pcs. (24)

Portanto,F (0) = cscp

0 + pcsk0,

pois

F (x) = P (x) + P ′ (x) + ... + P (p−2) (x) + P (p−1) (x) + P (p) (x) + ... + P (r) (x)(22)=⇒

F (0) = 0 + 0 + ... + 0 + cscp0 + P (p) (0) + ... + P (r) (0)

(24)=⇒

F (0) = cscp0 + pcsk0,

sendo k0 ∈ Z.

Observemos que:

F (βj) = P (βj) + P ′ (βj) + ... + P (r) (βj)(23)= P (p) (βj) + ... + P (r) (βj) .

Consequentemente:

m∑j=1

F (βj) =m∑

j=1

∑i≥p

P (i) (βj) =∑i≥p

m∑j=1

P (i) (βj) . (25)

Por um momento vamos considerar a expressao:

m∑j=1

P (i) (βj) , (26)

para cada i fixado, com p ≤ i ≤ s + p.

Por (24), o polinomio P (i) (x) tem coeficientes inteiros divisıveis por pcs. Como P (x)tem grau s + p, entao P (i) (x) tem grau s + p − i ≤ s, pois p ≤ i.

Portanto, podemos escrever (26) da seguinte forma:

m∑j=1

P (i) (βj) = pcsT (β1, ..., βm) , (27)

sendo T (β1, .., βm) um polinomio nos βj′s de grau menor ou igual a s.

Desta forma, para cada i, temos quem∑

j=1

P (i) (βj) e um polinomio simetrico nos βj′s

com coeficientes inteiros, pois T (β1, .., βm) assim o e.

Pela Proposicao 4.1, existe um polinomio G (σ1, ..., σn) de peso menor ou igual a s comcoeficientes inteiros, sendo σ1, ..., σn os polinomios simetricos elementares em β1, .., βm, demodo que:

T (β1, ..., βn) = G (σ1, ..., σn) . (28)

Pela definicao de polinomios simetricos elementares, temos que:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

σ1 =m∑

j=1

βj

σ2 =∑i<j

βiβj

...σn = β1β2...βm

. (29)

Como β1, β2, ..., βm sao raızes de P (x) = cxm + cm−1xm−1 + ... + c0 segue-se que:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−cm−1

c=

m∑j=1

βj

cm−2

c=∑i<j

βiβj

...

(−1)m c0

c= β1β2...βm

. (30)

Igualando os sistemas (29) e (30) temos:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩σ1 = −cm−1

cσ2 =

cm−1

c...

σm = (−1)m c0

c

. (31)

Portanto, de (27), (28) e (31), temos que a expressao (26) e um inteiro divisıvel por pe, consequentemente, (25) sera dado por

m∑j=1

F (βj) = pk1,

sendo k1 ∈ Z.Tomando o lado esquerdo de (21) temos∣∣∣∣∣kF (0) +

m∑j=1

F (βj)

∣∣∣∣∣ = |k (cscp0 + pcsk0) + pk1|

= |p (csk0k + k1) + kcscp0|

= |pK + kcscp0| , (32)

sendo K = csk0k + k1.A partir de agora consideremos o numero primo p maior que k, c e c0. Logo, o inteiro

(32) nao e divisıvel por p (pois p � | kcscp0 e p | pK ⇒ p � | |pK + kcscp

0|) e, consequentemente,e diferente de zero.

Vamos calcular uma estimativa para o termo no lado direito de (21), isto e,m∑

j=1

εj.

Seja:M = max {|β1| , .., |βm|} .

Como:

εj(19)= 2 |βj| sup

{∣∣e(1−λ)βjP (λβj)∣∣ : 0 ≤ λ ≤ 1

},

temos:

εj ≤ 2M sup{∣∣e(1−λ)MP (λβj)

∣∣ : 0 ≤ λ ≤ 1}⇒

εj ≤ 2MeM sup

{∣∣∣∣ cs

(p − 1)!(λM)p−1 (R (λβj))

p

∣∣∣∣ : 0 ≤ λ ≤ 1

}⇒

εj ≤ 2MeM |c|s(p − 1)!

Mp−1 sup {|(R (λβj))p| : 0 ≤ λ ≤ 1} .

Seja:N = max {|R (z)| : |z| < M} .

Daı:

εj ≤ 2MeM |c|s(p − 1)!

Mp−1Np

e, como s = mp − 1, temos:

εj ≤ 2MNeM |c|m−1 (MN |c|m)p−1

(p − 1)!

e

limp→∞

2MNeM |c|m−1 (MN |c|m)p−1

(p − 1)!= 2MNeM |c|m−1 lim

p→∞(MN |c|m)

p−1

(p − 1)!

= 2MNeM |c|m−1 .0

= 0,

pois o fatorial majora qualquer exponencial, isto e, limn→∞

An

n!= 0 para qualquer A > 0.

Logo, para algum p suficientemente grande, podemos fazer εj <1

m + 1, daı temos

m∑j=1

εj ≤ m

m + 1< 1. (33)

Lembremos que (21) e :

∣∣∣∣∣kF (0) +m∑

j=1

F (βj)

∣∣∣∣∣ ≤ m∑j=1

εj.

Mostramos, portanto, que o lado esquerdo e um inteiro nao divisıvel por p; Consequen-temente, nao nulo e de (33), temos que o lado direito e menor que 1. Uma contradicaoque surge do fato de supormos que π e algebrico. Logo, π nao pode ser algebrico, isto e,π e transcendente.

Referencias

[1] Davis, H. Topicos de Historia da Matematica para Uso em Sala de Aula. Com-putacao. Trad. Bras. v. 2, Sao Paulo, SP: Atual, 1992.

[2] Figueiredo, D. G. Numeros Irracionais e Transcendentes. Rio de Janeiro: So-ciedade Brasileira de Matematica (SBM). Col. Fund. da Matematica Elementar, 1985.

[3] Gundlach, B. H. Topicos de Historia da Matematica para Uso em Sala de Aula.Numeros e Numerais. Trad. Bras. v.1, Sao Paulo, SP: Atual, 1992.

[4] Niven, I. Numeros: Racionais e Irracionais. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira deMatematica (SBM). Colecao Fundamentos da Matematica Elementar, 1984.

[5] Oliveira, A. A., Silva, U. P & Agustini E. “A Transcendencia do Numero e”.FAMAT em Revista, Numero 03. Setembro de 2004. (www.famat.ufu.br)

[6] Wagner, E. Construcoes Geometricas. Rio de Janeiro, RJ: Publicacao da SociedadeBrasileira de Matematica (SBM). Colecao do Professor de Matematica, 2000.

OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE PARTÍCULASJair Rocha do Prado 1, Sezimária F. P. Saramago2

Faculdade de Matemática – Famat

Universidade Federal de Uberlândia – UFU

38408-100, Uberlândia – MG

abril de 2005

Resumo. Neste trabalho é apresentado um método de otimização natural conhecido como

Colônia de Partículas (Particle Swarm Optimization), um algoritmo baseado no

comportamento social de aves. A busca por alimento ou pelo ninho e a interação entre os

pássaros ao longo do vôo são modelados como um mecanismo de otimização. Desta forma, a

área sobrevoada é equivalente ao espaço de projeto e encontrar o local com comida ou o

ninho é semelhante a encontrar o ótimo. O algoritmo é baseado em um modelo simplificado

da teoria de enxames (swarm theory), através da qual os pássaros ou partículas fazem uso de

suas experiências e da experiência do próprio bando para encontrarem o ninho ou alimento.

Algumas aplicações são apresentadas para ilustrar a metodologia estudada e os resultados

obtidos são comparados com as soluções encontradas utilizando Algoritmos Genéticos.

Palavras-chave: Otimização, Otimização por Colônia de Partículas, Algoritmos Evolutivos

PARTICLE SWARM OPTIMIZATION

Abstract. In this work it is presented the natural optimization method known as Particle

Swarm Optimization, an algorithm based on social behavior of birds. The search procedure

for food or nest and the interaction among the birds through the flying are modeled as an

optimization mechanism. By this way, the flight area is equivalent to the design space and to

find the local with food or the nest is similar to find the optimum. The algorithm is based on a

simplified model of the swarm theory, in which the birds or particles make use of their own

experience and the swarm experience in order to find local with food or the nest. Some

applications are presented to illustrate the studied methodologies.

Keywords: Optimization, Particle Swarm Optimization, Genetic Algorithms.

1Faculdade de Matemática, UFU, e-mail: [email protected] de Matemática, UFU, e-mail: [email protected] Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.

1. INTRODUÇÃO

Problemas de otimização são caracterizados por situações em que se deseja maximizar

ou minimizar uma função numérica de várias variáveis, num contexto em que podem existir

restrições. Tanto as funções acima mencionadas como as restrições dependem dos valores

assumidos pelas variáveis de projeto ao longo do procedimento de otimização.

Pode-se aplicar otimização em várias áreas, como por exemplo no projeto de sistemas

ou componentes, planejamento e análise de operações, problemas de otimização de estruturas,

otimização de forma, controle de sistemas dinâmicos.

A otimização tem como vantagens diminuir o tempo dedicado ao projeto, possibilitar o

tratamento simultâneo de uma grande quantidade de variáveis e restrições de difícil

visualização gráfica e/ou tabular, possibilitar a obtenção de algo melhor, obtenção de soluções

não tradicionais, menor custo.

As técnicas clássicas de otimização são conhecidas à bem mais de um século, sendo

utilizadas na física e na geometria, servindo-se de ferramentas associadas às equações

diferenciais ao Cálculo Variacional. A sofisticação dos recursos computacionais,

desenvolvidos nos últimos anos, tem motivado um grande avanço nas técnicas de otimização.

Aliado ao fato de que os problemas tornam-se cada vez mais complexos.

Técnicas clássicas de otimização são confiáveis e possuem aplicações nos mais

diferentes campos de engenharia e de outras ciências. Porém, estas técnicas podem apresentar

algumas dificuldades numéricas e problemas de robustez relacionados com: a falta de

continuidade das funções a serem otimizadas ou de suas restrições, funções não convexas,

multimodalidade, existência de ruídos nas funções, necessidade de se trabalhar com valores

discretos para as variáveis, existência de mínimos ou máximos locais, etc. Assim, os estudos

de métodos heurísticos, com busca randômica controlada por critérios probabilísticos,

reaparecem como uma forte tendência nos últimos anos, principalmente devido ao avanço

dos recursos computacionais, pois um fator limitante destes métodos é a necessidade de um

número elevado de avaliações da função objetivo (Schwefel e Taylor, 1994).

Métodos clássicos possuem como grande vantagem, o baixo número de avaliações da

função objetivo, o que faz com que tenham convergência rápida. Contudo, estes métodos têm

uma dificuldade para trabalhar com mínimos locais. Como estes métodos utilizam um único

ponto do espaço de projeto e informações sobre os gradientes, ao se depararem com mínimos

locais estes métodos não conseguem avançar na busca, convergindo prematuramente, sem

encontrar o mínimo global.

Nos métodos de otimização natural, a função objetivo é avalizada várias vezes, sendo

possível trabalhar com vários pontos ao mesmo tempo em uma iteração (população). Isto

eleva o custo computacional destes métodos. Entretanto, este fato é compensado pela menor

chance que estes métodos têm de serem “presos” em mínimos locais. Há claramente uma

relação de compromisso estabelecida.

De forma geral, os métodos de otimização natural requerem maior esforço

computacional quando comparados aos métodos clássicos, mas apresentam vantagens tais

como: fácil implementação, robustez e não requerem continuidade na definição do problema

(Venter e Sobieszczanski-Sobieski, 2002).

Como exemplo desta classe de métodos, pode-se citadar os Algoritmos Genéticos, que

trabalham com técnicas de computação evolutiva, as quais modelam a evolução das espécies

proposta por Darwin e operando sobre uma população de candidatos (possíveis soluções). A

idéia é que a evolução da população faça com que a formação dos cromossomos dos

indivíduos caminhe para o ótimo, à medida que aumenta sua função de adaptação (fitness).

O algoritmo conhecido como Colônia de Partículas (Particle Swarm Optimization),

um método baseado no comportamento social de aves. A busca por alimento ou pelo ninho e a

interação entre os pássaros ao longo do vôo são modelados como um mecanismo de

otimização. Fazendo uma analogia, a área sobrevoada é equivalente ao espaço de projeto e

encontrar o local com comida ou o ninho corresponde a encontrar o ótimo. O algoritmo é

baseado em um modelo simplificado da teoria de enxames (swarm theory), através da qual os

pássaros ou partículas fazem uso de suas experiências e da experiência do próprio bando para

encontrarem o ninho ou alimento. As aplicações presentes na literatura evidenciam a

capacidade do algoritmo na solução de diferentes problemas, bem como salientam a

habilidade de trabalhar com variáveis discretas e contínuas simultaneamente.

1.1 Problema Geral de Otimização

O problema geral de otimização consiste em minimizar uma função objetivo, sujeita, ou

não, a restrições de igualdade, desigualdade e restrições laterais.

A função objetivo e as funções de restrições podem ser funções lineares ou não

lineares em relação às variáveis de projeto, implícitas ou explícitas, calculadas por técnicas

analíticas ou numéricas.

Seja o problema geral de otimização dado por:

Minimizar :

)(xf , Tnxxxx ],,,[ 21 ,x n

Sujeito a: jg (x) 0 , j=1,2,...,J

kh (x) = 0 , k=1,2,...,K (2)

)(Lix x )(U

ix , i= 1,2,..., n

onde, )(Xf representa a função objetivo, jg e kh as restrições de desigualdade e de

igualdade, xi(L) e xi

(U) as restrições laterais. Todas estas funções assumem valores em n e

são, na maioria dos casos, não-lineares.

2. MÉTODOS DE ORDEM ZERO

Figura 1- Esquema do Método de Ordem Zero

São métodos simples, de fácil implementação, confiáveis e capazes de trabalhar com

valores discretos. Requerem apenas o cálculo de F(X), não dependem do gradiente e da

continuidade da função. Necessitam de um grande número de avaliações da função objetivo, o

que aumenta o custo computacional. A idéia básica é selecionar um grande número de

vetores de projeto x e calcular f(x) correspondente a cada um. O vetor correspondente ao

menor valor de f(x) será adotado como o valor ótimo x.

O vetor x é selecionado de forma randômica no espaço de projeto. Para limitar a busca,

utiliza-se as restrições laterais. Um número randômico r é gerado, ]1,0[r , e as variáveis

de projeto da q-ésima iteração atualizadas:

)( li

ui

li

qi xxrxx (3)

O processo do método de Ordem Zero está apresentado no fluxograma da Fig. 1.

Neste caso, o critério de parada adotado é o número máximo de iterações. Porém, outros

critérios podem ser incorporados ao programa.

2.1 Exemplo Ilustrativo

Considere o problema de minimização de uma função escrita por:

g(x,y) = x sen(4x) + 1,1 y sen(2y) (4)

restrições laterais: 8 < x < 10, 8 < y < 10

A Fig. 2 ilustra o gráfico da função g(x,y) e suas curvas de nível, respectivamente.

Acompanhando, por exemplo, uma evolução do método de Ordem Zero aplicado ao

problema (3), para um máximo de 100 iterações, os melhores resultados podem ser

verificados na Tabela 1, sendo que o valor ótimo foi encontrado na 58º iteração.

O ponto de mínimo obtido foi:

F*= -18.2155

E as variáveis de projeto correspondentes ao pónto de mínimo:

X* =[ 9.0111 ; 8.7895 ].

Tabela 1- Evolução do Método de Ordem Zero aplicado à Equação (3)

Iteração X(1) X(2) F(X)

3 8.1776 8.3915 -0.2517

5 9.3963 8.2914 -8.0677

8 9.1431 8.3260 -15.674

26 8.9579 8.5686 -17.898

58 9.0111 8.7895 -18.216

a) b)

Figura 2- (a) Gráfico da função da Equação (3), (b) curvas de nível desta função.

Os pontos randômicos criados pelo algoritmo podem ser visualizados na Fig. 3, nota-

se que o ponto mínimo obtido ainda pode ser melhorado.

Figura 3- Evolução do Método de Ordem Zero aplicado à Equação (3).

3. OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE PARTÍCULAS (PARTICLE SWARM

OPTIMIZATION)

Otimização por colônia de partículas (PSO), é uma técnica de otimização desenvolvida

na década de 90, mais precisamente em 1995, por James Kennedy e Russel Eberhart. Neste

modelo é analisado algoritmos que modelam o “comportamento social” visto em várias

espécies de pássaros.

Dentre vários modelos vamos estudar a técnica desenvolvida pelo biólogo Frank

Heppener que é baseada no seguinte comportamento: pássaros estão dispostos aleatoriamente

e estes estão a procura por alimento e um local para construir o seu ninho,eles não sabem

onde está esse lugar e este é único. A indagação é qual o melhor comportamento que os

pássaros terão que realizar para conseguir efetuar seu objetivo, parece mais evidente que eles

sigam o pássaro que estiver mais próximo do alimento ou do ninho. Inicialmente os pássaros

voam sem nenhuma orientação prévia, eles se aglomeram em bandos, até que um consegue

encontrar o ninho e atrai os que estiverem mais próximos.

Pelo fato de um pássaro encontrar o ninho a chance de os outros pássaros também

encontrarem aumenta consideravelmente, isto se deve ao fato de a inteligência ser social, ou

seja, o indivíduo aprende com o acerto do outro.

3.1 O algoritmo Paticle Swarm Optimization

O algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO) foi introduzido por James Kennedy e

Russell Elberhart em 1995 e emergiu de esperiências com algoritmos que modelam o

“comportamento social” observado em muitas espécies de pássaros (Pomeroy, 2003), os

pássaros são chamados de partículas e durante a busca por alimento ou ninho usam de suas

experiências e da experiência do bando. O PSO é um algoritmo que possui um vetor de

velocidades e outro de posição, a posição de cada partícula é atualizada de acordo com a

velocidade atual, o saber adquirido pela partícula e o saber adquirido pelo bando. O

fluxograma mostrado na Figura 4 representa um esboço do algoritmo (Rojas et al, 2004).

A posição das partículas é calculada segundo a equação:

ikx 1

ik

ik vx 1 t (5)

Onde:ikx 1 é a posição de cada partícula i na iteração k+1

ikv 1 é o vetor de velocidade desta partícula

t: equivale ao espaço de tempo considerado.

Figura 4 – Fluxograma para o algoritmo PSO básico

O vetor de velocidade é atualizado conforme a equação:

ikv 1 = i

kwv + 1c 1r txp i

ki )( + 22rc

txp i

ksk )(

(6)

Considerando que, vki é a velocidade atual da partícula;

1r , 2r são números aleatórios entre 0 e 1; ip é a melhor posição encontrada pela partícula i eskp é a melhor posição do bando na iteração k.

O cálculo da velocidade necessita, ainda, de alguns parâmetros dependentes do

problema, que são: a inércia da partícula (w), que controla a capacidade de exploração do

algoritmo, ou seja, um valor alto facilita um comportamento mais global, enquanto um valor

baixo facilita um comportamento mais local (Venter e Sobieszczanski-Sobieski, 2002), e os

dois parâmetros de confiança c1 e, c2 que indicam o quanto uma partícula confia em si (c1),e

no bando (c2). A Figura 5 mostra a aplicação da equação anterior, considerando duas

partículas se deslocando em um espaço de projeto bidimensional.

Os parâmetros de confiança e de inércia, devem ser ajustados de acordo com o

problema, pois são utilizados para a atualização do vetor velocidade. Alguns autores propõem

que sejam adotados c1 = c2 = 2 e 0.7 < w < 1.4. Sugere-se, também, a adoção de valores

diferentes para c1 e c2 desde que satisfaçam c1 + c2 = 4.

A inércia pode ser atualizada de forma iterativa pela expressão:

neww = wf oldw (7)

Considerando o fator de redução, fw uma constante entre 0 e 1. São usados neste trabalho,a

inércia constante w0 = 0.729 e c1 = c2 = 2.

Figura 5: Vetor de velocidades em ação

Onde:

vsi – velocidade próxima ao ótimo da colônia

vpi – velocidade próxima ao ótimo da partícula

ps – colônia ótima

pi – partícula ótima

- posição atual

- posição próxima

3.2 Colônia Inicial

A inicialização da população de colônia normalmente é obtida com as partículas dispostas

aleatoriamente sobre o espaço de projeto, cada uma possui um vetor de velocidade aleatório

inicial. As equações a seguir mostram como são obtidos a posição e o vetor de velocidades

iniciais.

ix0 = minx + )( minmax1 xxr (8)

txxrx

vi )( minmax2min0 (9)

Onde,

1r e 2r são números aleatórios entre 0 e 1;

minx é o limite interior das restrições laterais para as variáveis de projeto;

maxx é o limite superior das restrições laterais para as variáveis de projeto.

3.3 Otimização com restrições

Os algarismos evolutivos e PSO, por tratarem-se de algoritmos naturais, não trabalham

diretamente com restrições. Uma estratégia para se fazer com que estes algoritmos manipulem

restrições, é utilização de funções de penalidade quadrática estendida.

Assim, defini-se uma função pseudo-objetivo definida (x):

(x) = f(x) + rp 2

1

)](,0max[ xgim

i (10)

Sendo,

f(x) a função objetivo original;

rp um fator de penalidade (de ordem variável segundo o tipo de problema);

)(xgi o conjunto de todas as restrições (com violações para )(xgi >0);

Quando há restrições nos problemas de otimização, as partículas que desrespeitam

alguma restrição se enquadram em um grupo que merecem um tratamento especial, esse

tratamento se inicia pelo cálculo do novo vetor de velocidade, dado pela seguinte equação:

ikv 1 = 1c 1r t

xp ik

i )(22rc

txp i

ksk )(

(11)

Observe que a Equação (11) não leva em consideração a informação do vetor de

velocidade na iteração anterior para o novo cálculo do vetor de velocidade, isto se deve ao

fato de a partícula estar “se divergindo” em direção a uma violação.

Na maioria das vezes este novo vetor de velocidades se destinará a uma região viável e

a partícula sai da restrição.

3.4 Variáveis de Projeto Discretas / Inteiras

O PSO é um algoritmo contínuo, contrapondo os Algoritmos Genéticos que

primeiramente eram destinados a variáveis discretas. Porém, o PSO pode ser muito eficiente

na resolução de problemas com variáveis discretas, desde que sejam feitas algumas

modificações no algoritmo, por exemplo a posição de cada partícula é arredondada para o

valor inteiro mais próximo logo em seguida a aplicação da Equação (5) ou da Equação (8).

4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Para a realização de simulações numéricas foram utilizados o programa GAOT para

Algoritmos Genéticos e um código desenvolvido em Matlab para o PSO

Exemplo 1:

a) min f(x) = exp(x) * sen(x) ; 0 <x < 9,3;

GAOT: f(x) = -172,6409; x = 5,4978;

PSO: f(x) = -172,6409;x = 5,4978;

b) máx f(x) = exp(x) * sen(x) ; 0 <x< 9.3;

GAOT: f(x) = 3995,0;x =8,6394;

PSO: f(x) = 3995,0; x = 8,6394;

Figura 6 – Representação gráfica de y = exp (x) * sen (x)

Exemplo 2:

a) min f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2; -10<x1<10; -10<x2<10;

GAOT: f(x) = 0; x = [-2 1];

PSO: f(x) = 0; x = [-2 1];

b) máx f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2; -10<x1<10; -10<x2<10;

GAOT: f(x) = 265; x = [10 -10];

PSO: f(x) = 265; x = [10 -10];

Figura 7 – Representação gráfica de y = (x1+2)2 + (x2 –2)2

Exemplo 3:

a) min f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2 + x3; -10<x1<10; -10<x2<10; -10<x3<10

GAOT: f(x) = -10; x = [-2 1 -10];

PSO: f(x) = -10;x = [-2 1 -10];

b) máx f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2 + x3; -10<x1<10; -10<x2<10; -10<x3<10

GAOT: f(x) =275; x = [10 - 10 10];

PSO: f(x) = 275;x = [10 -10 10];

Exemplo 4:

Seja o seguinte problema:

Determinar a posição de equilíbrio estático de um sistema constituído de 2 molas (K1 e K2)

solicitado por duas forças constantes (P1 e P2), de forma a minimizar sua energia potencial:

Figura 8 - Esquema do problema físico

dados: P1 = P2 = 5 N; K1 = 8 N/cm; K2 = 1 N/cm ; l1 l2 =10 cm

restrições laterais: Xi [0 , 10]

A energia potencial (Ep) é calculada pela seguinte equação:

2211

2

22

22212

2

12

21211

)(5,0

)(5,0

XPXP

lXlXK

lXlXK

Ep

Como deseja-se minimizar a energia potencial do sistema, a função objetivo a ser maximizada

será:

2211

2

22

22212

2

12

21211

21 )(5,0

)(5,0

),(

XPXP

lXlXK

lXlXK

XXF

Utilizando o código computacional GAOT, obteve-se os seguintes resultados:

Epmin = 0.418082 J

Xotimo = [8.6323 4.5319] (cm)

Utilizando o código computacional PSO, obteve-se os seguintes resultados:

Epmin = 0418082 J

Xotimo = [8.6323 4.5319] (cm)

Conclusão

Este trabalho apresenta um estudo sobre algoritmos evolutivos, considerando duas

técnicas desenvolvidas recentemente: otimização por colônia de partículas (particle swarm) e

algoritmos genéticos.

Através de simulações numéricas aplicadas a problemas simples, pode-se observar que

as duas técnicas convergem para os mesmos resultados. Além disso, observa-se que a

otimização por colônia de partículas trabalha com um tamanho de população bastante

reduzido, portanto seu esforço computacional é pequeno. Este fato, incentiva pesquisas

futuras, onde esta técnica será aplicada a problemas complexos que requerem muitas

avaliações da função objetivo.

Referências Bibliográficas

H.P. SCHWEFEL E L TAYLOR, “Evolution and Optimum Seeking”, John Wiley & Sons

Inc, United States of America, pp. 87-88, 1994.

ROJAS, J. E., VIANA, F.A.C., Rade, D. A. and Steffen Jr, V., “Force identification of

mechanical systems by using particle swarm optimization”. In Proceedings of the 10th

AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference, Albany, New York,

Aug 30-01 Sept 2004.

VENTER, G. AND SOBIESZCZANSKI-SOBIESKI, J., “Particle Swarm Optimization”,

Proceedings of the 43rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Strutures, Structural Dynamics, and

Materials Conference, Denver, CO, Vol. AIAA-2002-1235, April 22-25 2002.

KENNEDY, J. and Eberhart, R. C., “Particle Swarm Optimization”, Proceedings of the 1995

IEEE Internacional Conference on Nerual Networks, Perth, Australia, 1995, pp. 1942-1948.

POMEROY, P., “An Introduction to Particle Swarm Optimization”,

http://www.adaptiveview.com, [15 Setembro de 2003].

Funcoes Polinomiais e Aplicacoes

Jairo Menezes e Souza∗ Cıcero Fernandes de Carvalho†



Abril de 2005

Resumo

Neste trabalho apresentamos os conceitos iniciais no estudo de Variedades AlgebricasAfins, sendo que o nosso tema central e o estudo de funcoes polinomiais sobre umavariedade e aplicacoes polinomiais entre variedades. O trabalho termina relacio-nando aplicacoes entre variedades e homomorfismos de k-algebras, fazendo assimuma ponte entre Algebra e Geometria. A referencia principal e o livro recente deKlaus Hulek [3], sendo que [1] e [2] foram consultados enventualmente.

1 Variedades afins

Definicao 1.1 Dado um corpo k chamamos o conjunto kn de espaco afim n-dimensionalsobre k. Normalmente, nao daremos a esse conjunto nenhuma estrutura algebrica (e.g.,de espaco vetorial) e por isso e usual denota-lo por An

k ou simplesmente An.

Seja A := k[X1, ..., Xn] o anel de polinomios em n variaveis sobre o corpo k. O conjuntodos zeros de um ideal J ⊂ A e definido por,

V (J) := {P ∈ Ank |f(P ) = 0 para todo f ∈ J}

o que define uma aplicacao

V : { ideais de A} −→ { conjuntos algebricos em Ank}

J �−→ V (J)

na direcao contraria, para todo subconjunto X ⊂ Ank definimos um ideal

I(X) := {f ∈ A|f(P ) = 0 para todo P ∈ X},∗[email protected] Orientando do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade de Matematica

(PetMat)†[email protected] Professor orientador.

tambem temos definida uma aplicacao

I : { subconjuntos de Ank} −→ { ideais de A}

X �−→ I(X)

Lema 1.2 A aplicacao V satisfaz o seguinte(1) V (0) = An

k , V (A) = ∅,(2) I ⊂ J → V (J) ⊂ V (I)(3) V (J1 ∩ J2) = V (J1) ∪ V (J2)(4) V

(∑λ∈Λ Jλ

)=⋂

λ∈Λ V (Jλ).

Prova. (1) E obvio.(2) Seja P ∈ V (J), f(P ) = 0 para todo f ∈ J . Como I ⊂ J , g(P ) = 0 para todo g ∈ I,logo P ∈ V (I).(3) “⊃”Seja P ∈ V (J1)∪V (J2). Suponha, sem perda de generalidade, que P ∈ V (J1) daıf(P ) = 0 para todo f ∈ J1. Assim g(P ) = 0 para todo g ∈ J1 ∩ J2, e daı P ∈ V (J1 ∩ J2)“⊂”tome P /∈ V (J1)∪V (J2) , entao existem f ∈ J1 e g ∈ J2 tais que f(P ) �= 0 e g(p) �= 0.Mas fg ∈ J1 ∩ J2 e fg(P ) �= 0 e logo P /∈ V (J1 ∩ J2).(4) “⊂” Temos que Jλ0 ⊂ ∑

λ∈Λ Jλ e por (2) V (∑

λ∈Λ Jλ) ⊂ V (Jλ0), ∀λ0 ∈ Λ, logoV (∑

λ∈Λ Jλ) ⊂⋂

λ∈Λ V (Jλ).“⊃” Se P ∈ ⋂λ∈Λ V (Jλ) entao dado f ∈∑λ∈Λ Jλ, f(P ) = 0 pois cada parcela se anula. �

O lema 1.2 nos diz que os conjuntos algebricos satisfazem os axiomas para fechados deuma topologia. Por isso iremos nos referir aos conjuntos algebricos como fechados deZariski. Um subconjunto de An

k e chamado aberto de Zariski se o seu complementar forfechado de Zariski.

Lema 1.3 As aplicacoes I e V Tem as seguintes Propriedades:(1) X ⊂ Y ⇒ I(X) ⊃ I(Y )(2) Para todo subconjunto X ⊂ An

k temos que X ⊆ V (I(X)). A igualdade vale se, esomente se, X e algebrico.(3) Se J ⊂ A e um ideal entao J ⊂ I(V (J)).

Prova. (1) Se f ∈ I(Y ) entao f (P ) = 0, ∀P ∈ Y . Como X ⊂ Y temos quef (Q) = 0,∀Q ∈ X, logo f ∈ I (X) .(2) Pela definicao de I e V temos que X ⊂ V (I (X)). Se X = V (I (X)) entao X ealgebrico. Reciprocamente se X e algebrico entao X = V (J0) para algum J0 ∈ A. Sem-pre temos que X ⊂ V (I (X)). Agora J0 ⊂ I (X) ⇒ V (I (X)) ⊂ V (J0) = X.(3) Seja f ∈ J , e claro que f (P ) = 0, ∀P ∈ V (J). Entao f ∈ I (V (J)). �

Definicao 1.4 Dado um ideal J num anel R, o radical de J e definido como

√J := {r| existe k ≥ 1 com rk ∈ J}.

Dizemos que J e um ideal radical se J =√

J .

Definicao 1.5 Um subconjunto algebrico X e chamado redutıvel se adimite uma decom-posicao

X = X1 ∪ X2 ( X1, X2 � X)

em subconjuntos algebricos proprios X1, X2. Se nao X e chamado irredutıvel

Proposicao 1.6 Seja X �= ∅ um subconjunto algebrico. Entao X e irredutıvel se, esomente se, I(X) e um ideal primo.

Prova. (1) Suponha X redutıvel entao existem subconjuntos algebricos X1, X2 � X taisque X = X1 ∪ X2. De X1 � X temos que I(X) � I(X1) logo existe f ∈ I(X1) − I(X).De X2 � X temos que I(X) � I(X2) logo existe g ∈ I(X2) − I(X). Como X = X1 ∪ X2

temos que fg ∈ I(X). Portanto I(X) nao e primo.(2) Suponha que I(X) nao e primo. Entao existem f, g ∈ A com fg ∈ I(X), mas f /∈ I(X)e g /∈ I(X). Seja J1 := (I(X), f) e J2 := (I(X), g). Tome X1 = V (J1) e X2 = V (J2). DeI(X) � J1 vem X1 � V (J(X)) = X. De I(X) � J2 vem que X2 � X. Por outro ladoX ⊂ X1 ∩ X2 pois dado P ∈ X, fg(P ) = 0 logo f(P ) = 0 ou g(P ) = 0. Entao P ∈ X1

ou P ∈ X2. Portanto X e redutıvel. �

Definicao 1.7 Uma variedade algebrica afim e um conjunto algebrico afim.

Vamos enunciar, sem demostracao, o famoso Nullstellensatz(teorema dos zeros) deHilbert

Teorema 1.8 (Nullstellensatz).Seja k um corpo algebricamente fechado e seja A =k[X1, ..., Xn]. Entao o vale o seguinte:(1) Todo ideal maximal m ⊂ A e da forma m = (X1 − a1, . . . , Xn − an) = I(P ) paraalgum ponto P = (a1, . . . , an) ∈ An

k .(2) Se J � A e um ideal proprio, entao V (J) �= ∅.(3) Para todo ideal J ⊂ A temos que I(V (J)) =

√J .

Corolario 1.9 Para A = k[X1, ..., Xn], as aplicacoes V e I

{ideais de A} V,I←→ { subconjuntos de Ank}

induz as seguintes bijecoes:

{ideais radicais de A} 1:1←→ {subvariedades de Ank}

∪ ∪{ideais primos de A} 1:1←→ {subvariedades irredutıveis de An

k}∪ ∪

{ideais maximais de A} 1:1←→ {pontos de Ank}

Prova. Dado X ⊂ Ank um conjunto algebrico entao V (I(X)) = X e se J e um ideal

radical temos por (3) que I(V (J)) =√

J = J . Daı temos a primeira bijecao. A segundabijecao segue da proposicao 1.6 e a terceira de (1). �

2 Funcoes Polinomiais e Aplicacoes

2.1 O anel de coordenadas de uma variedade

Definicao 2.1 Uma funcao polinomial em V e uma aplicacao f : V → k tal que existeum polinomio F ∈ k[X1, . . . , Xn] com f(P ) = F (P ) para todo P ∈ V .

O polinomio F pode nao ser unicamente determinado pelos valores tomados em V .Em particular, para F e G ∈ k[X1, . . . , Xn] nos temos

F |V = G|V ⇐⇒ (F − G)|V = 0 ⇐⇒ F − G ∈ I(V ).

Assim, introduzimos a seguinte definicao

Definicao 2.2 O anel de coordenadas de V e definido por k[V ] := k[X1, . . . , Xn]/I(V ).

Da observacao acima podemos fazer a seguinte identificacao:

k[V ] = {f |f : V → k e uma funcao polinomial }.Da proposicao 1.6 nos temos

V e irredutıvel ⇐⇒ k[V ] e um domınio de integridade

Note que as funcoes coordenadas X1, . . . , Xn geram k[V ], o que explica a terminologia“anel de coordenadas”. Na secao anterior estudamos as relacoes entre os subconjuntos deAn

k e os ideais no anel de coordenadas k[Ank ] = k[X1, . . . , Xn]. O anel k[V ] tem o mesmo

papel para V que k[X1, . . . , Xn] tem para Ank . Em particular, existe uma correspondencia

entre os conjuntos fechados W ⊂ V e os ideais de k[V ]. Para descrever esta relacaoprimeiro note que a projecao π : k[X1, . . . , Xn] → k[V ] = k[X1, . . . , Xn]/I(V ) induz umabijecao

{ ideais J ⊂ k[X1, . . . , Xn]|J ⊃ I(V )} ←→ { ideais J ′ ⊂ k[V ]}definida por J �→ J/I(V ), com aplicacao inversa J ′ �→ π−1(J ′). Consequentemente, comono corolario 1.9 temos a seguinte correspondencia

{ideais radicais J ′ ⊂ k[V ]} 1:1←→ {conjuntos fechados W ⊂ V }∪ ∪

{ideais primos J ′ ⊂ k[V ]} 1:1←→ {conjuntos irredutıveis W ⊂ V}∪ ∪

{ideais maximais J ′ ⊂ k[V ]} 1:1←→ {pontos de V }Aqui estamos falando sobre conjuntos fechados em V com a nocao de topologia in-

duzida pela topologia de Zariski em Ank . Este resultado mostra que isto e o mesmo que a

topologia definida tomando os fechados de V para ser conjuntos da forma V (J), onde Je um ideal radical em k[V ].Vamos discutir agora a principal caracterıstica do anel de coordenadas.

Definicao 2.3 Uma algebra A e reduzida se A nao contem nenhum elemento nilpotente,i.e., para x ∈ A, se xn = 0 para algum n ≥ 1, entao x = 0.

A algebra k[X1, . . . , Xn]/I e reduzida se, e so se, I e um ideal radical. De fato, se Inao e ideal radical entao existe f /∈ I tal que f r ∈ I, para r ∈ N. Daı f r = f r = 0 masf �= 0. Reciprocamente, se f r = 0 entao f r ∈ I que e radical, portanto f ∈ I e f = 0.Como I(V ) e um ideal radical o anel de coordenadas e uma algebra reduzida. Por con-strucao, o anel de coordenadas k[V ] de uma variedade afim V e uma k-algebra finitamentegerada. Estas propriedades caracterizam o anel de coordenadas de uma variedade, no sen-tido que, dada qualquer k-algebra reduzida finitamente gerada A, podemos construir umavariedade algebrica correspondente como segue. Pela escolha dos geradores a1, . . . , an

podemos escrever A = k[a1, . . . , an], e nos temos um homomorfismo sobrejetivo

π : k[X1, . . . , Xn] −→ A = k[a1, . . . , an]Xi �−→ ai

Seja I = ker(π). Entao V = V (I) e uma variedade que e irredutıvel se, e so se, A edomınio de integridade (proposicao 1.6). Como A e reduzida, I e um ideal radical, logoI(V ) = I, e portanto, pela construcao A = k[V ].

2.2 Aplicacoes Polinomiais

A partir de agora V ⊂ Ank e W ⊂ Am

k sao conjuntos fechados, e Xi para 1 ≤ i ≤ n, e Yi

para 1 ≤ i ≤ m, sao funcoes coordenadas em Ank e Am

k respectivamente.

Definicao 2.4 Uma aplicacao f : V → W e chamada uma aplicacao polinomial se exis-tem polinomios F1, . . . , Fm ∈ k[X1, . . . , Xn] tais que

f(P ) = (F1(P ), . . . , Fm(P )) ∈ W ⊂ Amk

para todo ponto P ∈ V .

Lema 2.5 Sejam Y1, . . . , Ym as funcoes coordenadas em Amk . Uma aplicacao f : V → W

e uma aplicacao polinomial se, e so se, fj := yj ◦ f ∈ k[V ] para j = 1, . . . , m.

Prova. Compondo f com Yj temos a projecao sobre a j-esima coordenada.

Seja fj = Yj ◦ f . Entao se f e uma aplicacao polinomial nos temos fj(P ) = Fj(P )para algum Fj ∈ k[X1, . . . , Xn]. Entao fj e uma aplicacao polinomial e disso fj ∈ k[V ].Por outro lado, se fj = Yi ◦ f e uma funcao polinomial para todo j, entao pela definicaoexistem polinomios F1, . . . , Fm com f(P ) = (F1(P ), . . . , Fm(P )) para todo P ∈ V . �

Lema 2.6 Uma aplicacao polinomial f : V → W e contınua na topologia de Zariski.

Prova. Devemos mostrar que dado um fechado Z ⊂ W entao f−1(Z) tambem e fechado.Como Z = {P = (b1, . . . , bm) ∈ W | h1(P ) = · · · = hr(P ) = 0, para hi ∈ k[Y1, . . . , Ym], i =1, . . . , r} entao f−1(Z) = {P = (a1, . . . , an) ∈ V | (h1 ◦ f)(P ) = · · · = (hr ◦ f)(P ) = 0}, elogo f−1 e fechado. �

Se V ⊂ Ank , W ⊂ Am

k e X ⊂ Alk sao conjuntos algebricos, e f : V → W e g : W → X

sao aplicacoes polinomiais, entao g ◦f : V → X e tambem uma aplicacao polinomial. Istosegue imediatamente do fato que composicao de polinomios e tambem um polinomio.

Agora, seja f : V → W uma aplicacao polinomial. para g ∈ k[W ] nos definimosf ∗(g) := g ◦ f .

Como g e uma funcao polinomial, g ◦ f e tambem uma funcao polinomial. Daı temosa aplicacao

f ∗ : k[W ] −→ k[V ]g �−→ f ∗(g) = g ◦ f .

Se f : V → W , g : W → X sao aplicacoes polinomiais, entao (g ◦ f)∗ = f ∗ ◦ g∗ :k[X] → k[V ]. Isto segue imediatamente do fato de que para h ∈ k[X] temos que

(g ◦ f)∗(h) = h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f = g∗(h) ◦ f = f ∗(g∗(h)).

A aplicacao f ∗ e um homomorfismo de aneis, ja que temos:

f ∗(g1 + g2) = (g1 + g2) ◦ f = g1 ◦ f + g2 ◦ f = f ∗(g1) + f ∗(g2)f ∗(g1 · g2) = (g1 · g2) ◦ f = (g1 ◦ f) · (g2 ◦ f) = f ∗(g1) · f ∗(g2).

Para qualquer constante c ∈ k nos temos f ∗(c) = c, logo f ∗ e tambem um homo-morfismo de k-algebras. Segue que toda aplicacao polinomial f : V → W induz umhomomorfismo de k-algebra f ∗ : k[W ] → k[V ]. O proximo teorema diz que este processotem um inverso.

Proposicao 2.7 Se ϕ : k[W ] → k[V ] e um homomorfismo de k-algebra, entao existeuma unica aplicacao polinomial f : V → W tal que ϕ = f∗.

Prova. Suponha que W ⊂ Amk , e seja Y1, . . . , Ym as funcoes coordenadas em Am

k . Entao

k[W ] = k[Y1, . . . , Ym]/I(W ) = k[y1, . . . , ym],

onde yi = Yi + I(W ). Seja fi := ϕ(yi) ∈ k[V ] para i = 1, . . . , m. Entao

f := (f1, . . . , fm) : V −→ Amk

e uma aplicacao polinomial (lema 2.5). Primeiramente vamos mostrar que f(V ) ⊂ W .Para ver isso, suponha que G = G(Y1, . . . , Ym) ∈ I(W ). Entao em k[W ] nos temosG(y1, . . . , ym) = 0 e entao

G(f1, . . . , fm) = G(ϕ(y1), . . . , ϕ(ym)) = ϕ(G(y1, . . . , ym) = 0

o que implica que f(V ) ⊂ W . Agora devemos mostrar que ϕ = f ∗. Os elementosy1, . . . , ym geram a k-algebra k[W ], e entao basta mostrar que ϕ(yi) = f ∗(yi) = fi. Masisto e precisamente a definicao de fi. Este argumento tambem mostra que f = (f1, . . . , fm)e a unica aplicacao polinomial com ϕ = f ∗. �

Segue imediatamente o seguinte corolario

Corolario 2.8 Sejam C = {f | f : V → W e uma aplicacao polinomial } e D = {ϕ| ϕ :k[W ] → k[V ] e um homomorfismo de k-algebras }. Entao existe uma bijecao

C −→ D

f �−→ f∗

Referencias

[1] BUMP, Daniel - Algebraic Geometry, World Scientific, 1998

[2] FULTON, Willian - Algebraic Curves: an introduction to algebraic geometry,Addison-Wesley, 1989.

[3] HULEK, Klaus - Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society,2003

O Grupo Fundamental de Esferas

Rafael Peixoto∗ Walter dos Santos Motta Jr.†



Abril de 2005

Resumo

Inicialmente abordamos o conceito de grupo fundamental da esfera 1-dimensional,conceito este que se configura em um importante invariante topologico. Posterior-mente buscamos relacionar tal conceito com o teorema de Borsuk-Ulam e o mesmopor sua vez com a separacao, via areas equivalentes, de regoes poligonais no plano.Finalmente desenvolvemos computacoes relativas ao calculo do grupo fundamentalde esferas n-dimensionais.

Introducao

Em tudo que segue neste trabalho, estaremos considerando Rn como um espaco euclidianomunido das estruturas usuais de produto, norma e distancia. Alem disso, quando nos refe-rimos a ”espaco”estaremos nos referindo a um subconjunto de algum espaco euclidiano Rn.

Um problema central em topologia e determinar quando dois espacos X e Y sao home-omorfos (ou seja, quando existe uma bijecao contınua, com inversa tambem contınua,entre tais espacos). De fato, a construcao de um homeomorfismo entre dois espacos euma tarefa por vezes complicada. Dada esta dificuldade em explorar a possibilidade (ounao) da construcao de tais homeomorfismos, em geral associa-se invariantes topologicos(isto e, conceitos associados a X e Y que se preservariam sob acao de homeomorfismos)que de forma indireta podem nos dar condicoes de responder sobre a existencia ou naode tais homeomorfismos entre os espacos X e Y . Dentre os invariantes mais conhecidosdestacam-se a ”compacidade”e a ”conexidade”. Neste trabalho, assumiremos conhecidosos principais resultados envolvendo tais invariantes.

Nosso interesse doravante e abordar este novo conceito associado ao espaco X, o ”grupofundamental”do mesmo que, tambem configura-se num invariante topologico. O calculodos grupos fundamentais nao e, em geral, uma tarefa trivial, exigindo tecnicas elaboradas.Como exemplo-modelo iremos computar tais grupos para as esferas n-dimensionais. Dado

∗[email protected] Orientando do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade deMatematica (PetMat) de jan/04 a dez/04.

†[email protected] Professor orientador.

que espacos homeomorfos devem possuir grupos fundamentais isomorfos (como veremosa seguir), poderemos apresentar algumas respostas conclusivas quanto a exis-tencia ounao de homeomorfismos em algumas situacoes-modelo que estejam associadas direta ouindiretamente com o conhecimento do grupo fundamental das esferas. Alem disso, iremosexplorar outras caracterısticas topologicas associadas a tais modelos.

1 O grupo fundamental da esfera S1

Sejam X um espaco e x0 um ponto arbitrario em X. Um caminho em X comecando eterminando em x0 e chamado de ciclo com ponto base x0. Denotemos por C(X, x0) oconjunto dos ciclos em X com ponto base x0, ou seja, o conjunto das funcoes contınuasf : [0, 1] → X tais que f(0) = f(1) = x0.

Definicao 1.1 Dizemos que f , g ∈ C(X, x0) sao ciclos homotopicos em X se existe umaaplicacao contınua F : [0, 1] × [0, 1] → X tal que:a) F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x), ∀x ∈ [0, 1];b) F (0, t) = F (1, t) = x0, ∀t ∈ [0, 1].

Neste caso, dizemos que F e uma homotopia entre f e g. Quando f e g sao cicloshomotopicos utilizaremos a notacao f ≈ g.

Figura 1

Proposicao 1.2 A relacao ≈ definida acima e uma relacao de equivalencia em C(X, x0).

Dem.:Dado f ∈ C(X, x0), a aplicacao F : [0, 1]× [0, 1] → X, dada por F (x, t) = f(x) e uma

homotopia entre f e f , ou seja, ≈ e reflexiva. Agora, seja F : [0, 1] × [0, 1] → X umahomotopia entre f e g. Definindo G : [0, 1]× [0, 1] → X por G(x, t) = F (x, 1−t), obtemosuma homotopia entre g e f . Logo, f ≈ g ⇒ g ≈ f , ou seja, a relacao ≈ e simetrica.Finalmente, suponha que f ≈ g e g ≈ h sendo F e G respectivamente suas homotopias.Definindo H : [0, 1] × [0, 1] → X pela equacao

H(x, t) =

{F (x, 2t) se t ∈ [0, 1

2]

G(x, 2t − 1) se t ∈ [12, 1]

segue que H esta bem definida pois para t = 12, F (x, 2t) = g(x) = G(x, 2t − 1),

alem disso H e contınua pois sobre os conjuntos fechados [0, 1] × [0, 12] e [0, 1] × [1

2, 1],

H e naturalmente contınua, agora sendo C um subconjunto fechado de X, tem-se queH−1(C) = F−1(C) ∪ G−1(C), pela continuidade de F e G, segue que F−1(C) e G−1(C)sao ambos fechados, logo H−1(C) e fechado e a continuidade de H segue da caracterizacaode continuidade via conjuntos fechados. Portando, H e uma homotopia entre f e h, logof ≈ g, g ≈ h ⇒ f ≈ h, ou seja, a relacao ≈ e transitiva. �

Observacao 1.3 Em lugar de C(X, x0) poderiamos tomar C(Y, X), conjunto das aplica-coes contınuas entre os espacos Y e X, definindo uma relacao de homotopia entre ele-mentos arbitrarios f , g ∈ C(Y, X) (H : Y × [0, 1] → X contınua tal que H(x, 0) = f(x)e H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ Y e uma homotopia entre f e g). Esta relacao e tambemde equivalencia. Quando f ∈ C(Y, X) e tal que existe g ∈ C(X,Y ) de forma queg◦f ∈ C(Y, Y ) e f ◦g ∈ C(X,X) sao, respectivamente, homotopicos as indentidades idy eidx, dizemos que f e uma equivalencia homotopica e os espacos X e Y tem o mesmo tipode homotopia. Assim, por exemplo, S1 e R2 − {(0, 0)} tem o mesmo tipo de homotopia(basta tomar a inclusao i : S1 → R2 − {(0, 0)} e a posicao radial π : R2 − {(0, 0)} → S1,π(y) = z

|y|). Explorando a existencia de homotopias entre funcoes contınuas, podemosnao so obter algumas informacoes topologicas sobre tais funcoes, como tambem sobreo proprio espaco domınio das mesmas. Desta forma, por exemplo, quando a identidadeidx ∈ C(X, X) e homotopica a uma aplicacao constante de C(X,X) caracterizamos o con-ceito de contratibilidade de X, ou ainda, pode-se obter respostas interessantes associadasa extensao de aplicacoes contınuas. Mais especificamente, dada f : A ⊂ Y → X contınua,com A fechado em Y , estamos interessados em analisar a existencia de f ∈ C(Y, X) tal

que f |A = f . Nesta linha, quando Y = Sn um resultado interessante pode ser obtido semgrandes dificuldades: ”f ∈ C(Sn, X) estende-se continuamente a bola (fechada) unitariaBn+1 se, e somente se, e homotopica a uma constante.”

Segundo a proposicao acima, representaremos por [f ] a classe de equivalencia def ∈ C(X, x0) e por π1(X, x0) o conjunto de tais classes de equivalencia. Nosso interesseagora e definir uma operacao entre elementos deste conjunto de forma tal que π1(X, x0)munido com esta operacao tenha uma estrutura de grupo.

Definicao 1.4 Sejam dois ciclos f , g ∈ C(X, x0). Definimos o produto f ∗ g por

(f ∗ g)(s) =

{f(2s) se s ∈ [0, 1

2]

g(2s − 1) se s ∈ [12, 1]

A funcao (f ∗ g) esta bem definida pois para s = 12, f(2s) = g(2s − 1) e conforme a

mesma argumentacao feita na demonstracao da proposicao 1.2, (f ∗ g) e contınua.Agora, atraves da operacao acima definimos uma operacao entre classes de equivalencia

de ciclos em X como segue: [f ]∗ [g] = [f ∗ g]. Observe que se F e G sao homotopias entre

f e f , e, g e g respectivamente, definindo

H(s, t) =

{F (2s, t) para s ∈ [0, 1

2]

G(2s − 1, t) para s ∈ [12, 1],

como F (1, t) = x0 = G(0, t), temos que H esta bem definida e e uma homotopia entre

f ∗ g e f ∗ g.

Proposicao 1.5 A operacao ∗ satisfaz as seguintes propriedades:a) Se [f ] ∗ ([g] ∗ [h]) esta definida, entao o mesmo ocorre com ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] sendo ambos

iguais.b) Se f ∈ C(X, x0) entao [f ]∗ [idx0 ] = [f ] = [idx0 ]∗ [f ], onde idx : [0, 1] → X e a aplicacaoconstante e idx(t) = x ∈ X, ∀t ∈ [0, 1].c) Sendo f ∈ C(X, x0), o ciclo g(t) = f(1 − t) e chamado ciclo inverso de f e [f ] ∗ [g] =[idx0 ] = [g] ∗ [f ].

Dem.:Seja [f ],[g] e [h] elementos de π1(X, x0). Queremos provar que ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] =

[f ] ∗ ([g] ∗ [h]) ou equivalentemente [(f ∗ g) ∗ h] = [f ∗ (g ∗ h)]. Assim, definindo a funcaoF : [0, 1] × [0, 1] → X dada por

F (t, s) =

⎧⎨⎩f( 4t

1+s) se 0 ≤ t ≤ s+1

4

g(4t − 1 − s) se s+14

≤ t ≤ s+24

h(1 − 4(1−t)2−s

) se s+24

≤ t ≤ 1temos que F e contınua e e uma homotopia entre f ∗ (g ∗ h) e (f ∗ g) ∗ h.

Figura 2

Sejam id0 : [0, 1] → [0, 1], s �→ 0, e id : [0, 1] → [0, 1], s �→ s. Entao id0 ∗ id eum caminho em [0, 1] ligando 0 a 1. Naturalmente se Y e um espaco convexo em Rn,entao quaisquer dois ciclos em Y baseados em x0 sao homotopicos em Y uma vez queF (x, t) = (1 − t)f(x) + tg(x) e uma homotopia entre eles.Assim, dado que [0, 1] e convexo existe uma homotopia G entre id e id0 ∗ id. Portanto,f ◦ G e um caminho homotopico em X entre os ciclos f ◦ id = f e f ◦ (id0 ∗ id) =(f ◦ id) ∗ (f ◦ id0) = idx0 ∗ f , logo [f ] = [idx0 ∗ f ] = [idx0 ] ∗ [f ]. Analogamente prova-seque [f ] ∗ [idx0 ] = [f ].

Agora, sejam os caminhos id : [0, 1] → [0, 1], s �→ s, e id : [0, 1] → [0, 1], s �→ 1 − s,

sendo id o inverso de id. Assim, id ∗ id e um caminho homotopico em [0, 1] comecandoe terminando em 0. Novamente, dado a convexidade de [0, 1], existe um caminho H em

[0, 1] entre id0 e id ∗ id. Portanto, f ◦ H e um caminho homotopico entre f ◦ id0 = idx0

e (f ◦ id) ∗ (f ◦ id) = f ∗ g onde g(s) = f(1 − s). Assim, [idx0 ] = [f ∗ g] = [f ] ∗ [g]. Deforma analoga, prova-se que [g] ∗ [f ] = [idx0 ]. �

Exemplo 1.6 Quando X = Rn e x0 e um ponto arbitrario do Rn, segue que π1(X, x0)e o grupo trivial. De fato: pois dado f ∈ C(X, x0) e g(x) = x0 constante, temos que ahomotopia linear F (x, t) = (1 − t)f(x) + tg(x) mostra que π1(X, x0) e o grupo trivial.

O mesmo argumento utilizado no exemplo acima mostra que se X e um espaco convexo,entao π1(X, x0) e trivial, sendo x0 um ponto fixado arbitrariamente em X. Naturalmente,

surge o questionamento do que acontece com o grupo fundamental se mudarmos o pontobase, vejamos o que e possıvel obter neste sentido.

Proposicao 1.7 Seja X um espaco conexo por caminhos. Dados arbitra-riamente x0, x1 ∈X tem-se que π1(X, x0) e isomorfo a π1(X, x1).

Dem.:

Seja α um caminho em X ligando x0 a x1 e f ∈ C(X, x0).

Figura 3

Vamos denotar por α o caminho inverso de α. A aplicacao de α induz a aplicacao φdefinida por:

φ : π1(X, x0) → π1(X, x1)[f ] �→ φ([f ]) = [α] ∗ [f ] ∗ [α]

Observe que α ∗ (f ∗α) e um ciclo em x1. Alem disso, φ([f ]) ∗φ([g]) = ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗([α] ∗ [g] ∗ [α]) = [α] ∗ [f ] ∗ [g] ∗ [α] = φ([f ] ∗ [g]). Logo, φ e um homomorfismo.

Agora, seja a funcao ψ : π1(X, x1) → π1(X, x0) definida por

ψ([h]) = [α] ∗ [h] ∗ [α] , [h] ∈ π1(X, x1).

Podemos observar que ψ e a inversa de φ. Assim, para [f ] ∈ π1(X, x0) temos que

ψ(φ([f ])) = [α] ∗ ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗ [α] = [f ].

Analogamente, mostra-se que φ(ψ([h])) = [h], ∀[h] ∈ π1(X, x1). Logo, φ e um isomor-fismo.

Como X e conexo por caminhos com x0, x1 ∈ X temos que π1(X, x0) e isomorfo aπ1(X, x1). �

Nosso objetivo agora e mostar que o grupo fundamental de um espaco X e um in-variante topologico, inicialmente vejamos um conceito que sera auxiliar a esta conclusaopretendida.

Seja h : X → Y uma aplicacao contınua com h(x0) = y0.

Figura 4

Considere f ∈ C(X, x0), entao h ◦ f : [0, 1] → Y e um ciclo em Y com base em y0.Assim, pode-se definir a aplicacao h∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0) dada por h∗([f ]) = [h◦f ] quesera denominada homomorfismo induzido por h relativamente ao ponto base x0. Observeque se F e um caminho homotopico entre f e g, entao h ◦ F e um caminho homotopicoentre h ◦ f e h ◦ g. Alem disso, a igualdade (h ◦ f) ∗ (h ◦ g) = h ◦ (f ∗ g) garante que h∗e homomorfismo. Este homomorfismo depende de h e tambem da escolha do ponto basex0.

Sejam h : X → Y e k : Y → Z aplicacoes contınuas entre espacos X,Y e Z comh(x0) = y0 , k(y0) = z0, entao (k ◦ h)∗ = k∗ ◦ h∗ e a aplicacao id : X → X, id(x0) = x0,induzem o homomorfismo identidade id∗ : π1(X, x0) → π1(X, x0). Assim, temos a seguinteproposicao:

Proposicao 1.8 Sejam X e Y dois espacos tais que φ : X → Y e um homeomorfismoentre eles. Entao, para todo x0 ∈ X fixado arbitrariamente, tem-se que π1(X, x0) eisomorfo a π1(Y, f(x0)).

Dem.:Queremos mostrar que se φ : X → Y e um homeomorfismo, entao φ∗ : π1(X, x0) →

π1(Y, f(x0)) e um isomorfismo. De fato:Pois seja ψ : Y → X a inversa de φ, segue que ψ∗◦φ∗ = (ψ◦φ)∗ e (ψ◦φ)∗ : π1(X, x0) →

π1(X, x0) e tal que (ψ ◦ φ)∗([f ]) = [ψ ◦ φ ◦ f ], onde f ∈ C(X, x0). Mas como ψ ◦ φ ≈ idX ,temos que [ψ ◦ φ ◦ f ] = [idX ◦ f ] = [f ] e assim ψ∗ ◦ φ∗ = (ψ ◦ φ)∗ = id∗. De maneiraanaloga, φ∗ ◦ ψ∗ = id∗. Portanto, ψ∗ e a inversa de φ∗, ou seja, φ∗ e um isomorfismo. �

Vamos caminhar agora no sentido da computacao do grupo fundamental de S1, todavianecessitamos de alguns resultados preliminares.

Definicao 1.9 Seja p : E → B uma aplicacao contınua e sobrejetora entre os espacosE e B. Um conjunto aberto U ⊂ B e dito recoberto por p, se e somente se, p−1(U) euma uniao de abertos Vα de E, dois a dois disjuntos, tal que para cada α, p|Vα e umhomeomorfismo de Vα em U .

Quando para todo o ponto de B existir um aberto U ⊂ B contendo este ponto, sendoque U e recoberto por p, diz-se que p e uma aplicacao de recobrimento e E e um espacode recobrimento de B. Como decorrencia direta desta definicao segue que toda aplicacaode recobrimento e uma aplicacao aberta.

Exemplo 1.10 A aplicacao p : R → S1, com p(x) = (cos 2πx, sen 2πx) e uma aplicacaode recobrimento. De fato: pois podemos decompor S1 via os abertos U1, U2, U3 e U4

descritos na figura abaixo. Iremos trabalhar apenas com U4, os demais sao similares.

Figura 5

Assim, p−1(U4) corresponde a uniao dos intervalos Vn = (n − 14, n + 1

4), ∀n ∈ Z.

A aplicacao p restrita a V n = [n − 14, n + 1

4] e injetora, aplica V n sobrejetivamente em

U4 e Vn em U4. Como V n e compacto, p|Vne homeomorfismo e em particular p|Vn e

homeomorfismo de Vn em U4. Portanto, p e uma aplicacao de recobrimento.

Figura 6

Seja p : R → S1 aplicacao de recobrimento descrita no exemplo acima e considereq = (1, 0) ∈ S1. Observe que p(0) = q e p−1(q) = Z. Uma vez que S−1 e conexo porcaminhos, em vista da proposicao 1.6, basta computar π1(S

1, q).Considere um ciclo em S1 com ponto base q. Um levantamento de f : [0, 1] → S1 e

uma aplicacao contınua f : [0, 1] → R tal que p ◦ f = f .

Figura 7

Proposicao 1.11 Qualquer ciclo f em S1 com ponto base q possui um unico levanta-mento f em R comecando em 0.

Dem.:

Tome uma cobertura de S1 por abertos U que sao recobertos por p. Como [0, 1] ef([0, 1]) sao compactos, utilizando o numero de Lebesgue podemos encontrar uma subdi-visao de [0, 1], s0, ..., sn, tal que para cada i, f([si, si+1]) esta contido em algum aberto U .

Definimos f(0) = 0. Agora, supondo que f(s) esta definida para 0 ≤ s ≤ si, vamos defini-la sobre [si, si+1]. Seja U o aberto contendo f([si, si+1]). Temos que p−1(U) =

⋃αVα, onde

Vα sao abertos de R, e p|Vα e um homeomorfismo entre Vα e U . Se f(si) ∈ V0 definimos

f(s) para s ∈ [si, si+1] pela equacao f(s) = (p|V0)−1(f(s)). A continuidade de f em

[si, si+1] e consequencia do homeomorfismo p|V0 : V0 → U . Procedendo, sucessivamente,

dessa forma definimos f sobre [0, 1].

Quanto a unicidade vamos supor que f seja outro levantamento de f comecando em0. Assim, f(0) = 0 = f(0). Suponhamos que f(s) = f(s), ∀s ∈ [0, si]. Tomando V0 como

acima observamos que para s ∈ [si, si+1], f(s) = (p|V0)−1(f(s)). Agora, dado que f e

levantamento de f e portanto contınua, os abertos Vα sao disjuntos, e f(si) = f(si) ∈ V0,

entao f([si, si+1]) ⊂ V0. Logo, para s ∈ [si, si+1], f(s) = y ∈ V0 pertencente a p−1(f(s)).Contudo, pelo homeomorfismo segue a unicidade dos pontos em (p|V0)

−1(f(s)). Portanto,

f(s) = f(s), ∀s ∈ [si, si+1]. �

Consideremos dois ciclos f e g em S1 com ponto base q. Suponha que f e g sejamhomotopicos e que f e g sejam seus levantamentos, respectivamente, segundo a proposicao1.10.

Proposicao 1.12 Nas condicoes acima, f e g sao caminhos homotopicos em R com omesmo ponto final.

Dem.:

Seja p : R → S1 uma aplicacao de recobrimento com p(0) = q. Sejam f e g doisciclos homotopicos em S1 com ponto base q, os mesmos podem ser levantados em R viacaminhos unicos, f e g, comecando em 0. Suponha F : [0, 1] × [0, 1] → S1 a homotopiaentre f e g, com F (0, 0) = q. Nestas condicoes, existe um unico levantamento de F a

uma aplicacao contınua F : [0, 1] × [0, 1] → R tal que F (0, 0) = 0. De fato:

Definimos F (0, 0) = 0. Utilizando a proposicao anterior estendemos F sobre {0} × [0, 1]

e [0, 1] × {0} contidos no quadrado [0, 1] × [0, 1]. Assim, devemos estender F para estequadrado. Vamos decompor [0, 1]× [0, 1] conforme a figura abaixo e representar Ii ×Jj =[si−1, si] × [tj−1, tj].

A F -imagem destes retangulos esta contida em abertos de S1 que sao recobertos porp. Por exemplo, vamos definir F em I1 × J1, continuando com Ii × J1, passando paraIi × J2 e assim sucessivamente.

Figura 8

Ou seja, dados i0 e j0 assumimos que F esta definida sobre o conjunto A, onde

A = {{0} × [0, 1]⋃

[0, 1] × {0}⋃ Ii × Jj, com j < j0 e quando j = j0, i < i0}

Assumimos tambem que F e um levantamento de F |A. Assim, para definir F sobre Ii0×Jj0

escolhemos um aberto U de S1 recoberto por p contendo F (Ii0 × Jj0).

Figura 9

Seja p−1(U) =⋃

α Vα, onde p|Vα : Vα → U e homeomorfismo. Seja C = A⋂

(Ii0 ×Jj0), como C e conexo, F (C) e conexo e devera pertencer inteiramente a algum Vα,

digamos V0. Observe que p|V0 e um homeomorfismo e para cada x ∈ C, p|V0(F (x)) =

p(F (x)) = F (x) ⇒ F (x) = (p|V0)−1(F (x)). Portanto, estendemos F definindo F (x) =

(p|V0)−1(F (x)), ∀x ∈ Ii0 × Jj0 . Continuando desta forma definimos F sobre [0, 1] × [0, 1].

Quanto a unicidade, vale observar que cada passo da construcao de F foi feito original-mente estendendo F primeiramente na base e a esquerda de [0, 1]× [0, 1] e posteriormentenos retangulos Ii × Jj um a um e este procedimento de extensao e unico para obtencao

de F . Assim, quando o valor de F em (0, 0) e especificado, o mesmo fica determinado.Assim, observe que F ({0} × [0, 1]) = q ∈ S1. Como F e um caminho homotopico,

{0} × [0, 1] e conexo e F e contınua segue que F ({0} × [0, 1]) e conexo e como o mesmopertence a fibra (discreta) p−1(q), o mesmo deve ser um unico ponto. Analogamente,

F ({1} × [0, 1]) e um unico ponto. Portanto, F e um caminho homotopico. Logo, temos

que F ({0}× [0, 1]) = {0} e F ({1}× [0, 1]) = {0}. A restricao F |[0,1]×{0} e um caminho emR comecando em 0 e e um levantamento de F |[0,1]×{0}. Pela unicidade do levantamento

de caminhos temos que F (s, 0) = f(s). Analogamente, F |[0,1]×{1} e um caminho em Rque e o levantamento de F |[0,1]×{1}, comecando em 0 e tal que F (s, 1) = g(s). Portanto fe g sao caminhos homotopicos em R com o mesmo ponto final 0. �

Segundo a proposicao anterior, se [f ] ∈ π1(S1, q) e f e o levantamento de f e um ciclo

em R comecando em 0, a funcao

φ : π1(S1, q) → p−1(q) = Z,

φ([f ]) correspondente ao ponto final f(1), esta bem definida. Uma vez que R e conexopor caminhos e π1(R, x0) e trivial para todo x0 ∈ R (segundo 1.5) segue que φ e bijetora.De fato:

Dado x1 ∈ p−1(q), existe um caminho f em R ligando x0 a x1. Entao, f = p ◦ f eum ciclo em S1 com base q e assim φ([f ]) = x1. Agora, tomando [f ], [g] ∈ π(S1, q) com

φ([f ]) = φ([g]), sejam f e g levantamentos de f e g respectivamente comecando em x0.

Temos que, f(1) = g(1). Como R e conexo por caminhos e π1(R, x0) e trivial para todo

x0 ∈ R, existe um caminho homotopico F em R entre f e g. Portanto, p◦F e um caminhoem S1 entre f e g, assim [f ] = [g].

Teorema 1.13 O grupo fundamental de S1 relativamente ao ponto base q e isomorfo aogrupo aditivo dos inteiros.

Dem.:

Seja p : R → S1 a aplicacao de recobrimento descrita em 1.9 com p(0) = q = (1, 0).Assim p−1(q) = Z. Segundo as consideracoes acima sobre R segue que, φ : π1(S

1, q) → Ze bijetora. Portanto, basta mostrar que φ e homomorfismo. De fato, dados [f ], [g] ∈π1(S

1, q) com respectivos levantamentos f e g comecando em 0 ∈ R, se considerarmos

f(1) = n e g(1) = m, entao φ([f ]) = n e φ([g]) = m. Assim, g(s) = n + g(s) e um

levantamento de g comecando em n. O produto f ∗ g corresponde a um levantamentode f ∗ g comecando em 0 e o ponto final deste levantamento e g(1) = n + m. Logo,φ([f ] ∗ [g]) = n + m = φ([f ]) + φ([g]). �

2 O teorema de Borsuk-Ulam

Um tipo de problema simples, usualmente visto no ensino medio, consiste em encontraruma reta r que passe pelo ponto o, sendo este o centro do quadrado Q1, de modo quea determinar dois semi-planos cuja intersecao de cada um deles com a configuracao dequadrados Qi, i = 1, ..., 5, tangentes e de mesmo raio conforme a figura abaixo, definamrespectivamente duas regioes limitadas de mesma area.

Figura 10

Este problema pode ser facilmente resolvido utilizando-se argumentos de ”simetria”,para tanto construimos tres quadrados auxiliares (de mesmo tamanho, conforme figuraabaixo) e os centros o e o′ determinam r de maneira que as regioes R1 e R2 apresentammesma area.

Figura 11

Um problema similar ao anterior, consiste em demonstrar que existe uma reta r quedivide em duas partes de mesma area uma dada regiao limitada A definida atraves deuma poligonal (finita).

Figura 12

De fato, pois tomemos r′ e r′′ duas retas orientadas e paralelas de equacoes{r1 : x − c = 0r2 : x − d = 0

Figura 13

e tomemos f : [c, d] → R definida por:

f(t) =”area da regiao A a esquerda da reta x − t = 0 menos a area da regiao A a direitade x − t = 0”

Observe que f(c) = area (A) > 0 e f(d) = − area (A) < 0. Logo, como f e contınua,pois como A e uma poligonal, podemos supor, sem perda de generalidade, que h1 e h2,definidas como na figura acima, sao funcoes contınuas em [c, d]. Logo temos que

f(t) = (∫ t

c(h1(x) − h2(x))dx) − (

∫ d

t(h1(x) − h2(x))dx)

e como soma de funcoes contınuas e continua e integral de funcoes contınuas e contınua,temos que f e contınua, e pelo Teorema do Valor Intermediario, existe ξ ∈ (c, d) tal quef(ξ) = 0, ou seja, a reta r : x − ξ = 0 divide a regiao A em duas partes de areas iguais.

Suponha agora que consideremos duas regioes poligonais A1 e A2 em R2 com A1∩A2 =φ.

Figura 14

Nosso interesse e mostrar que existe uma reta r que divide o plano em dois semi-planosde forma tal que divida as regioes em partes de areas equivalentes. Este resultado seraobtido como uma consequencia do teorema de Borsuk-Ulam que passamos a abordaragora.

Definicao 2.1 Se x e um ponto de Sn, entao seu antıpoda e o ponto −x. Dizemos queuma aplicacao h : Sn → Sm preserva pontos antipodais se h(−x) = −h(x) ∀x ∈ Sn.

Exemplo 2.2 A aplicacoes f, g : Sn → Sn dadas por f(x) = −x e g(x) = xk com kımparpreservam pontos antipodais, pois f(−x) = x = −f(x) e g(−x) = (−x)k = −xk = −g(x),∀x ∈ Sn. Tambem a funcao rotacao ρ : S1 → S1 dada por ρ(w) = zw, com z ∈ S1 fixo, euma aplicacao antipodal, pois ρ(−w) = −zw = −ρ(w), ∀w ∈ S1.

Observemos que para a demonstracao do proximo teorema e fundamental o fato deque π1(s

1, q) e isomorfo a Z.

Teorema 2.3 Se h : S1 → S1 e contınua e preserva pontos antipodais, entao h nao ehomotopica a uma constante.

Dem.: Seja b0 o ponto (1, 0) de S1. Seja ρ : S1 → S1 uma rotacao de S1 que levah(b0) em b0. Logo, do exemplo anterior, ρ preserva pontos antipodais e assim temos acomposicao ρ ◦ h. Alem disso, se H fosse uma homotopia entre h e uma aplicacao con-stante, entao ρ ◦ H seria uma homotopia entre ρ ◦ h e uma aplicacao constante. Entao,basta provar o teorema da hipotese adicional que h(b0) = b0.

Passo 1: Seja q : S1 → S1 tal que q(z) = z2, onde z ∈ C . Ou, em coordenadasreais, q(cosθ, senθ) = (cos2θ, sen2θ). Considere agora, em S1 a relacao de equivalencia Esegundo a qual cada ponto x ∈ S1 e equivalente a si proprio ou ao seu antipodal −x. Istodefine um espaco quociente S1/E = P1 (P1 = espaco projetivo 1-dimensional). Agoraseja a aplicacao quociente π : S1 → P1 dada por π(z) = {z,−z}. Assim, como q e umaaplicacao contınua tal que q(z) = q(−z) para todo z ∈ S1, existe um unico homeomorfismoq : P1 → S1 tal que q ◦ π = q. Note que q pode ser vista como uma aplicacao quocientea menos de um homeomorfismo. Entao, a imagem inversa de q por algum ponto de S1

consiste de dois pontos antipodais z e −z de S1. Assim, como h(−z) = −h(z) temosq(h(−z)) = q(h(z)) e como q e uma aplicacao quociente, a aplicacao q ◦ h induz umaunica aplicacao contınua k : S1 → S1 tal que k ◦ q = q ◦ h.

Figura 15

Note que q(b0) = h(b0) = b0, desde que k(b0) = b0. Temos tambem que h(−b0) = −b0.

Passo 2: Mostremos que o homomorfismo induzido k∗ de π1(S1, b0) em π1(S

1, b0) e naotrivial.Para este proposito, primeiro mostremos que q e uma aplicacao de recobrimento. A provae similar a prova de que a aplicacao p : R → S1 e de recobrimento. Se, por um instante,U e um subconjunto de S1 consistindo de pontos tendo a segunda coordenada positiva,entao p−1(U) consiste de pontos de S1 no primeiro e terceiro quadrante de R2. A aplicacaoq leva cada um destes conjuntos homeomorficamente em U . Argumentos similares se apli-cam quando U e a intersecao com a metade inferior aberta do plano, ou com as metadesabertas da direita e esquerda do plano.

Notemos que se f e algum caminho de S1 de b0 a −b0, entao f = q ◦ f representa umelemento nao trivial de π1(S

1, b0). Logo, f deve ser um levantamento de f em S1 quecomeca em b0 e nao termina em b0.Finalmente, mostremos que k∗ e nao trivial. Seja f um caminho de S1 de b0 a −b0, e sejaf = q ◦ f . Entao, k∗[f ] e nao trivial para k∗[f ] = [k ◦ (q ◦ f)] = [q ◦ (h ◦ f)]. O ultimo

elemento e nao trivial porque h ◦ f e um caminho de S1 de b0 a −b0.

Passo 3: Finalmente, mostremos que h nao pode ser homotopica a uma constante.O homomorfismo k∗ e injetor, pois dados [f ], [g] ∈ π1(S

1, b0) temos que se k∗[f ] = k∗[g] ⇒[k◦f ] = [k◦g] ⇒ [k◦q◦f ] = [k◦q◦g] ⇒ [q◦h◦f ] = [q◦h◦g], como h◦f e h◦g sao dois cam-

inhos comecando em b0 e terminado em −b0, temos que [f ] ≈ [q ◦ h ◦ f ] = [q ◦ h ◦ g] ≈ [g],logo k∗ e um homomorfimo nao trivial de um grupo ciclico infinito com si mesmo. Ohomomorfismo q∗ tambem e injetor, de fato, pois q∗ corresponde a multiplicacao de doisgrupos de inteiros.

Z φ−→ π1(S1, b0)

q∗−→ π1(S1, b0)

φ−→ Z

x �−→ [f ] �−→ [q ◦ f ] �−→ 2x

Assim, temos que k∗ ◦ q∗ e injetor. Desde entao, q∗ ◦ h∗ = k∗ ◦ q∗, e logo o homomorfismoh∗ deve ser injetor, pois h∗([f ]) = h∗([g]) ⇒ q∗(h∗([f ])) = q∗(h∗([g])) ⇒ k∗(q∗([f ])) =

k∗(q∗([g]))k∗◦q∗e injetor⇒ [f ] = [g], e portanto h nao pode ser homotopica a uma constante.

�

Teorema 2.4 Nao ha nenhuma aplicacao contınua g : S2 → S1 que preserva pontosantipodais.

Dem.: Suponha que g : S2 → S1 e contınua e preserva pontos antipodais. Tome S1

como sendo o equador de S2. Entao, a restricao de g a S1 e uma aplicacao h contınua eque preserva pontos antipodais de S1 a S1. Pelo teorema anterior, h nao e homotopicaa um ponto. Mas o hemisferio superior E de S2 e homeomorfo a bola B2, e g e umaextensao contınua de h em E.�

Figura 16

Teorema 2.5 (Teorema de Borsuk-Ulam) Dada uma aplicacao contınua f : S2 → R2,existe um ponto x ∈ S2 tal que f(x) = f(−x).

Dem.: Suponha que f(x) �= f(−x), ∀x ∈ S2. Entao a aplicacao

g(x) = f(x)−f(−x)‖f(x)−f(−x)‖

e uma aplicacao contınua g : S2 → S1 tal que g(−x) = −g(x) ∀x, contradizendo oteorema anterior. �

Agora estamos aptos para responder a seguinte questao dada anteriormente.

Teorema 2.6 Dadas duas regioes poligonais finitas de R2, existe uma reta em R2 que asdivide em partes de areas equivalentes.

Dem.: Tomemos duas regioes poligonais finitas A1 e A2 do plano R2 × {1} ⊂ R3 emostremos que existe uma reta r deste plano que as divide em partes de areas equivalentes.

Dados um ponto u ∈ S2, consideremos o plano P ⊂ R3 passando pela origem e quetenha u como vetor unitario normal. Este plano divide R3 em dois semi-espacos; sejafi(u) igual a area da parte de Ai que esta situada do lado de P na direcao de u. Observeque fi e contınua, pois fi possui argumentos similares a funcao do caso de uma regiaopoligonal.

Se u e o vetor unitario k, entao fi(u) = area Ai; e se u = −k, entao fi(u) = 0.Caso contrario, o plano P intercepta o plano R2 × {1} na reta r que divide R2 em doissemi-planos, e fi(u) e a area da parte de Ai que esta situado sobre um lado desta reta.

Substituindo u por −u nos temos o mesmo plano P , mas a outro semi-espaco, deforma que fi(−u) e a area da parte de Ai que esta situada no outro lado de P ate u.Assim segue que:

Figura 17

fi(u) + fi(−u) = area Ai.

Agora considere a aplicacao F : S2 → R2 dada por F (u) = (f1(u), f2(u)). O teoremade Borsuk-Ulam nos garante um ponto x ∈ S2 para o qual F (x) = F (−x). Entao,fi(x) = fi(−x) para i = 1, 2, ou seja, fi(x) = 1

2area Ai, como querıamos. �

3 O Grupo Fundamental das esferas Sn, n ≥ 2

Teorema 3.1 Suponha X = U ∪ V , onde U e V sao conjuntos abertos de X. Suponhaque U ∩ V seja conexo por caminhos e que x0 ∈ U ∩ V . Sejam i : U → X e j : V → Xas aplicacoes de inclusao de U e V em X. Entao o grupo fundamental π1(X, x0)e geradopelas imagens dos homomorfismos

i∗ : π1(U, x0) → π1(X, x0) e j∗ : π1(V, x0) → π1(X, x0).

Dem: Este teorema diz que: dado algum ciclo f em X com base em x0, este e umcaminho homotopico da forma (g1 ∗ (g2 ∗ (... ∗ gn))), onde cada gi e um ciclo em x0 queencontra-se em U ou em V .

Passo 1: Mostremos que existe uma subdivisao a0 < a1 < ... < an de [0, 1] tal quef(a1) ∈ U ∪ V e f([ai−1, ai]) esta contido em U ou em V , para cada i. De inıcio, escolhauma subdivisao 0 = b0, b1, ..., bm = 1 de [0, 1] tal que para cada i, f([bi−1, bi]) esteja contidoem U ou V (utilize o numero de Lebesgue). Se f(bi) ∈ U ∩ V , para cada i, acabou. Senao, seja o ındice i tal que f(bi) /∈ U∩V . Cada um dos conjuntos f([bi−1, bi]) e f([bi, bi+1])encontra-se em U ou em V . Se f(bi) ∈ U , entao ambos os conjuntos estao contidos emU ; Se f(bi) ∈ V , entao ambos estao contidos em V . Um outro caso, podemos descon-siderar bi, obtendo uma nova subdivisao c0, c1, ..., cm−1 que ainda satisfaca a condicao def([ci−1, ci]) estar contido em U ou em V , para cada i.Assim, um numero finito de repeticoes neste proceso conduz a desejada subdivisao.

Passo 2: Finalmente provemos o teorema. Dado f , seja a0, a1, ..., an a subdivisao obtidano passo 1. Defina fi : [0, 1] → [ai−1, ai] como sendo um caminho em X seguido por f .Entao fi e um caminho que esta em U ou em V , e assim

[f ] = [f1] ∗ [f2] ∗ ... ∗ [fn].

Para cada i, escolha um caminho αi em U ∩ V de xo a f(ai) (usamos o fato de U ∩ V serconexo por caminhos). Visto que f(ao) ≡ f(an) ≡ x0, podemos escolher α0 e αn caminhosconstantes em x0.

Figura 18

Agora, seja

gi = (αi−1 ∗ fi) ∗ αi

para cada i. Entao, gi e um ciclo em X com base em x0 cujas imagens encontram-se emU ou em V .A computacao direta mostra que

[g1] ∗ [g2] ∗ ... ∗ [gn] = [f1] ∗ [f2] ∗ ... ∗ [fn] = [f ].

�

Definicao 3.2 Um espaco X e simplesmente conexo quando X e conexo por cami- nhose para todo x0 tem-se que π1(X, x0) e um grupo trivial (ou seja, π1(X, x0) = {0}).Exemplo 3.3 Rn e simplesmente conexo, pois como Rn e conexo por caminhos e π1(Rn, x0)e o grupo trivial (exemplo 1.6), segue o resultado.

Como consequencia do teorema anterior segue que

Corolario 3.4 Suponha X = U ∪ V , onde U e V sao conjuntos abertos de X, e U ∩ Vconexo por caminhos. Se U e V sao simplesmente conexos, entao X e simplesmenteconexo.

Observacao 3.5 Se X e Y sao espacos homeomorfos em que X e simplesmente conexo,entao Y tambem e simplesmente conexo. De fato, pois conexidade por caminhos e o grupofundamental (visto no Capıtulo 1) sao invariantes topologicos, logo {0} = π1(X, x0) ≈π1(Y, y0).

Teorema 3.6 Se n ≥ 2 entao a n-esfera Sn e simplesmente conexa.

Dem: Seja p = (0, ..., 0, 1), q = (0, ..., 0,−1) ∈ Rn+1 o polo norte e sul de Sn, respec-tivamente.

Passo 1: Mostremos que se n ≥ 1, entao Sn − {p} e homeomorfo a Rn. Defina f :Sn − {p} → Rn por

f(x) = f(x1, ..., xn+1) = 11−xn+1

(x1, ..., xn).

A aplicacao f e chamada de projecao estereografica. (Se tracar uma reta em Rn+1 pas-sando pelo polo norte p e um ponto x ∈ Sn − {p}, entao esta reta intersecta o n-planoRn+1 × {0} ⊂ Rn+1 em um ponto f(x) × {0}). Verifica-se que f e um homeomorfismomostrando que a aplicacao g : Rn → Sn − {p} dada por

g(y) = g(y1, ..., yn) = ( 2y1

1+‖y‖2 , ...,2yn

1+‖y‖2 , 1 − 21+‖y‖2 )

e a inversa de f . De fato:

(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(x1, ..., xn) = f( 2y1

1+‖y‖2 , ...,2yn

1+‖y‖2 , 1 − 21+‖y‖2 ) =

11−(1− 2

1+‖x‖ )( 2y1

1+‖y‖2 , ...,2yn

1+‖y‖2 ) = (x1, ..., xn).

Observe tambem que a aplicacao h : Sn − {p} → Sn − {q} dada por h(x1, ..., xn+1) =(x1, ...,−xn+1) define um homeomorfismo de Sn − {p} em Sn − {q}, e estes sao homeo-morfos a Rn.

Passo 2: Provemos o teorema: Seja U e V conjuntos abertos de Sn, onde U = Sn − {p}e V = Sn − {q}. Note que para n ≥ 1, a esfera Sn e conexa por caminhos, pois dados

dois pontos p, q ∈ Sn basta tomar o caminho f : [0, 1] → Sn dado por f(t) = a(1−t)+bt‖a(1−t)+bt‖

ligando p a q.

Assim, para n ≥ 2, como U e V sao simplesmente conexos, pois sao homeomorfosa Rn, e U ∩ V = Sn − {p, q} e conexo por caminhos, temos do corolario anterior queU ∪ V = Sn e simplesmente conexo. �

Observacao 3.7 Para n = 1, temos que U ∩ V = S1 − {p, q} e desconexo, o que explicaque em S1 nao e possıvel aplicar o procedimento acima.

Bibliografia

[1] LIMA, Elon L. - ”Grupo fundamental e espacos de recobrimento” - Projeto Euclides -IMPA, 1993.

[2] MASSEY, W.S. - ”Algebraic Topology: An Introduction” - Springer-Verlag - New York,1986.

[3] CROOM, Fred H. - ”Basic Concepts of Algebraic Topology” - Springer-Verlag - NewYork, 1941.

[4] LYRA, C.B. de - ”Grupo Fundamental e Revestimentos” - USP, 1969.

[5] LIMA, Elon L. - ”Curso de Analise, vol. 2” - Projeto Euclides - IMPA, 1981.

Analise de Estabilidade do ReguladorCentrıfugo

Uziel Paulo da Silva∗ Marcio Jose H. Dantas†



Abril de 2005

Resumo

Neste trabalho apresentamos a analise feita por Vichnegradski, os reguladoresde acao direta, precisamente o regulador centrıfugo de Watt. Mostramos tambemcomo regular automaticamente a pressao nas caldeiras de uma maquina a vapor, viauma valvula de saıda de vapor de forma a obter o equilıbrio do conjunto maquina-regulador, dando enfase no estudo da estabilidade deste sistema.

Palavras-chave: regulador centrıfugo, equacoes diferenciais ordinarias, esta-bilidade assitotica.

1 Introducao

A proliferacao dos sistemas de controle automatico na tecnologia moderna revela a im-portancia da teoria do ajuste automatico. Um dos principais problemas que se esta-belece na construcao dos reguladores e o da estabilidade de funcionamento do sistemaregulador-maquina. Em muitos casos, este problema e resolvido com a ajuda do teoremade Liapunov.

O sistema de ajuste automatico mais antigo e formado pelo motor a vapor e peloregulador centrıfugo de Watt. O regulador centrıfugo planejado por Watt no final doseculo XVIII, cumpriu perfeitamente suas funcoes ate a segunda metade do seculo XIX,quando sua estrutura foi modificada, e assim, seu funcionamento comprometido. Varioscientistas e engenheiros tentaram dar solucao a este problema, que so foi resolvido demodo simples e elegante pelo engenheiro russo Vichnegradski. Ele foi o criador da teoriado ajuste automatico e seu trabalho sobre ”reguladores de acao direta”(1876) constituiuo ponto de partida da teoria de maquinas para enfrentar as exigencias industriais.

O regulador centrıfugo consiste em um mecanismo constituido por duas hastes maiores,que junto com uma barra central podem girar, articulados por duas pequenas hastes queconecta as hastes maiores com a barra central. Estas duas hastes maiores possuem duasmassas iguais em suas extremidades. Pelo efeito da forca centrıfuga, quando a velocidade

∗[email protected] Orientando do Instituto do Milenio - AGIMB de Jul/04 a Abr/05.†[email protected] Professor orientador.

de rotacao da barra central aumenta, as massas tendem a separar simultaneamente dabarra central, formando um angulo entre as hastes maiores e a barra. As hastes maioresagem na valvula que controla a saıda do vapor, assim quando a velocidade angular dacarga de massa m aumenta, a valvula do vapor abaixa, limitando o volume do vapore, consequentemente reduzindo a velocidade. Quando a velocidade angular da carga demassa m diminue, acontece o oposto: as hastes abaixam e a valvula abre mais, aumen-tando a velocidade angular.

Uma representacao esquematica deste mecanismo e dada na Figura-1. Na Figura-2temos uma representacao real de tal equipamento.

Figura - 1: Esquema de um regulador.

Basicamente a funcao do regulador de Watt e regular automaticamente a pressao nascaldeiras, via valvula de entrada de vapor, nao permitindo que a pressao suba muito, poisha risco de explosoes ou pode danificar o motor, e impedir que abaixe demasiadamente.

Figura - 2: Representacao Real.

2 Resultados Preliminares

Um sistema dinamico autonomo e um conjunto de equacoes diferenciais lineares ou nao- lineares, a parametros constantes,que nao dependem do tempo t. A representacao

geometrica das solucoes e feita no espaco de fases. Aqui denominamos espaco de fases umsubconjunto aberto adequado do Rn,cujos eixos coordenados sao o eixo-x1, o eixo-x2, ...,o eixo-xn. Um estado e representado com um ponto com coordenadas x1 (t) , x2 (t) , ...,x (t) nesse espaco, para maiores detalhes ver[2].

Definicao 2.1 Ponto de equilıbrio: Sejad−→xdt

=−→f (−→x ) um sistema dinamico autonomo,

e −→x (∗) que−→f (−→x (∗)) = �0. Denominamos −→x (∗) de um ponto de equilıbrio do sistema

dinamico. Note que x (t) = −→x (∗) e uma solucao de tal sistema.

Definicao 2.2 Ponto de equilıbrio assintoticamente estavel: Define-se −→x (∗) comoum ponto de equilıbrio assintoticamente estavel, se existe r > 0 tal que �x0 ∈ Br(

−→x (∗))entao a solucao de ⎧⎪⎨⎪⎩

d−→xdt

=−→f (−→x )

�x (0) = −→x 0

e tal que �x (t) e definida para todo t ≥ 0 e lim∥∥�x (t) −−→x (∗)∥∥ = 0, onde ‖.‖ denota a

norma usual de Rn.

O proximo teorema e o principal resultado matematico deste trabalho.

Teorema 2.1 (Liapunov) Sejad−→xi

dt= fi (x1, ..., xn) , i = 1, ..., n um sistema de equacoes

diferenciais e a = (a1, ..., an) um ponto de equilıbrio do sistema. Seja aij =

∂fi (a)

∂xj

. Se

todos os autovalores da matriz A =(ai

j

)tem parte real nagativa, o ponto de equilibrio (a)

do sistema e assintoticamente estavel.

Observacao: A matriz A =(ai

j

)e a matriz jacobiana da funcao f no ponto de equilıbrio

(a) .Uma demonstracao deste resultado e dada em[1].Para que o Teorema de Liapunov possa ser aplicado de forma efetiva, e necessario

determinar quando a matriz A satisfaz a hipotese deste teorema.No caso de n = 3 uma condicao necessaria e suficiente e a seguinte:

Criterio de Estabilidade de Hurwitz: O polinomio p (x) = a0x3+ a1x

2 +a2x+ a3,a0 > 0, de coeficientes reais, e estavel se, e somente se, os numeros a1 e a3 sao positivos,e se verifica a seguinte desigualdade

a1a2 > a0a3.

Uma prova deste criterio e dada em [1].Gostarıamos de ressaltar que existe uma verssaodeste criterio para o caso em que p e um polinomio de grau n. No entanto, para os objetivosdeste trabalho, tal generalidade nao e necessaria.

3 Estudo da estabilidade

Como citamos anteriormente, o regulador centrıfugo e formado por uma barra vertical B(Veja Figura -1), capaz de girar sobre si mesma, com as duas hastes maiores identicas, comcargas iguais em suas extremidades, submetidas a articulacoes de modo que, so podemseparar - se da posicao de equilıbrio formando um mesmo angulo ϕ com a barra B. Quandoas hastes se separem, formando um angulo ϕ com barra vertical, elas movimentam umanel movel acoplado a barra e que esta ligado a uma alavanca. O mecanismo e construidode tal forma que a distancia do anel a extremidade superior da barra seja igual a K cos ϕ,sendo k uma constante. Vamos assumir que o comprimento de cada haste e igual a 1edesignemos por m a massa de cada carga.

Considere a representacao

Figura - 3.

Sejam�r = x �i + y �j + z �k o vetor posicao do ponto P no qual esta localizado a massa m,ϕ = o angulo entre �r e a direcao negativa do eixo z,θ = o angulo entre a projecao de �r sobre o plano xy e a direcao positiva do eixo x,θ = velocidade angular da barra central.Daı temos: ⎧⎨⎩

x = L sen ϕ cos θy = L sen ϕ sen θz = −L cos ϕ

(1)

Considere �T a tracao que a haste OP exerce sobre o corpo de massa m e indiquemosa sua norma por T.

No modelo mecanico, a direcao da tracao e sempre oposta a do vetor posicao, assimde (1) obtemos

�T = T (−�r

| �r |) = T(− sen ϕ cos θ�i − sen ϕ sen θ�j + cos ϕ�k

)(2)

A outra forca que atua na massa m e o peso que e dado por

�P = −mg�k (3)

Alem da tracao �T e do peso �P , tambem atua sobre a massa m a forca de atrito �R.Tal forca de resistencia e devida ao artrito nas articulacoes e atua na direcao de ϕ e e

contraria a velocidade angular ϕ.Portanto e dada por

�R = −cϕ�eϕ

onde c e uma constante positiva e �eϕ e o vetor tangente unitario a curva θ = (constante) .Assim

�eϕ =

∂�r

∂ϕ∣∣∣∣ ∂�r

∂ϕ

∣∣∣∣Portanto de (1) temos que

�eϕ = cos ϕ cos θ�i + cos ϕ sen θ�j + sen ϕ�k

assim�R = −cϕ(cos ϕ cos θ�i + cos ϕ sen θ�j + sen ϕ�k) (4)

Aplicando a segunda lei de Newton temos:

md2−→rdt2

= �P +−→T + �R

= −mg�k +−→T − cϕ−→eϕ

= −mg�k + �T − cϕ−→eϕ.

Portanto, de (2), (3), (4) obtemos

m

(d2−→xdt2

�i +d2−→ydt2

�j +d2−→zdt2

�k

)= −mg�k + T

(− sen ϕ cos θ�i − sen ϕ sen θ�j + cos θ�k

)− cϕ

(cos ϕ cos θ�i + cos ϕ sen θ�j + sen ϕ�k

).

Logo ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

md2−→xdt2

= −T sen ϕ cos θ − cϕ cos ϕ cos θ,

md2−→ydt2

= −T sen ϕ sen θ − cϕ cos ϕ sen θ,

md2−→zdt2

= T cos ϕ − mg − cϕ sen ϕ,

(5)

Usando (1), temos:

d2−→xdt2

= L[− (sen ϕ) (cos θ) ϕ2 − 2 (cos ϕ) (sen θ) θϕ − (sen ϕ) (cos θ) θ2

+ (cos ϕ) (cos θ) ϕ − (sen ϕ) (sen θ) θ]

d2−→ydt2

= L[− (sen ϕ) (sen θ) ϕ2 + 2 (cos ϕ) (cos θ) ϕθ − (sen ϕ) (sen θ) θ2

+ (cos ϕ) (sen θ) ϕ + (sen ϕ) (cos θ) θ]

d2−→zdt2

= L[(cos ϕ)ϕ2 + (sen ϕ)ϕ]

Assim, de(5) temos

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

mL[− (sen ϕ) (cos θ) ϕ2 − 2 (cos ϕ) (sen θ) θϕ − (sen ϕ) (cos θ) θ2+

(cos ϕ) (cos θ) ϕ − (sen ϕ) (sen θ) θ] = −T sen ϕ cos θ − cϕ cos ϕ cos θ

mL[− (sen ϕ) (sen θ) ϕ2 + 2 (cos ϕ) (cos θ) ϕθ − (sen ϕ) (sen θ) θ2+

(cos ϕ) (sen θ) ϕ + (sen ϕ) (cos θ) θ] = −T sen ϕ sen θ − cϕ cos ϕ sen θ

mL[(cos ϕ)ϕ2 + (sen ϕ)ϕ] = T cos ϕ − mg − cϕ sen ϕ

Multiplicando a primeira equacao por cos θ a segunda equacao por sen θ e somando asduas membro a membro, resulta no seguinte sistema:{

mL[(− sen ϕ) ϕ2 − (sen ϕ) θ2 + (cos ϕ) ϕ] = −T (sen ϕ) − cϕ (cos ϕ)mL[(cos ϕ) ϕ2 + (sen ϕ) ϕ] = T cos ϕ − mg − cϕ sen ϕ

Multiplicando a primeira equacao por cos ϕ a segunda por sen ϕ, somando-as membroa membro e fazendo algumas simplificacoes usuais, obtemos que

mϕ = mθ2 (sen ϕ) (cos ϕ) − mg

L(sen ϕ) − cϕ

L. (6)

Simplificando nosso estudo, reduziremos a maquina a vapor a um volante e ao eixoprincipal da maquina, que se poe em movimento de rotacao devido a forca gerada pelapressao do vapor da caldeira. E tambem assumimos que L = 1.

Seja w a velocidade angular de rotacao do eixo principal da maquina que gira o volante,denotemos por J um momento de inercia do volante, por P1 o momento angular da forcada maquina, por P o momento angular da forca que atua sobre o volante devido a cargasobre ele.

Assim, a equacao diferencial da maquina de vapor e

Jw = P1 − P (7)

O momento P1 depende da abertura da valvula que regula a entrada de vapor, e Pdepende do peso da carga sobre o volante.

O regulador e acoplado a maquina a vapor a fim de manter uma uniformidade defuncionamento, medindo e regulando a velocidade de rotacao do volante, que esta unidoao regulador por um conjunto de engrenagens de transmissao de modo que, o bom fun-cionamento do regulador nos da uma razao constante de transmissao:

n =θ

w> 0 (8)

que tambem pode ser denominada relacao de transmissao. Por outro lado, o anel moveldo regulador esta conectado a valvula que controla a entrada de vapor, de modo que:

P1 = F1 + k(cos ϕ − cos ϕ(∗)) (9)

onde ϕ(∗) e o valor medio do angulo central, perto do qual ϕ deve se manter; F1 e aforca correspondente ao valor medio ϕ = ϕ(∗).k > 0, k um coeficiente constante deproporcionalidade.

De (6), (7), (8), (9) obtemos

{mϕ = mn2w2 (sen ϕ) (cos ϕ) − mg (sen ϕ) − cϕJw = k cos ϕ − F

(10)

onde F = P − F1 + k cos ϕ(∗), que depende da carga. Onde (10) pode ser transformadonum sistema de equacoes de primeira ordem. Tome ψ = ϕ, daı

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ϕ = ψ

ψ = n2w2 (sen ϕ) (cos ϕ) − g (sen ϕ) − c

mψ

w =k

Jcos ϕ − F

J

(11)

que e chamado de sistema de Watt ou S.W.

Em funcionamento normal, a velocidade w e constante para uma carga P , e a valvulade entrada de vapor se mantem imovel, isto e, ϕ permanece constante.

Um ponto de equilıbrio de (11) e dado por

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ψ0 = 0

cos ϕ0 =F

k

n2w20 =

g

cos ϕ0

(12)

Vamos agora calcular a matriz A, do Teorema (2.1) , neste ponto de equilıbrio x0 =(ψ0,ϕ0, w0) .

Temos

x = (ϕ, ψ,w) e f (x) = f (ϕ, ψ,w)

e de (11) segue que

f (ϕ, ψ, w) =

(ψ, n2w2 (sen ϕ) (cos ϕ) − g (sen ϕ) − c

mψ,

k

Jcos ϕ − F

J

)

o que implica

f ′ (x) = f ′ (x0)MatrizJacobiana

= (13)

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0(n2w2[(cos ϕ0) (cos ϕ0)

− (sen ϕ0) (sen ϕ0)] − g cos ϕ0

)− c

m2n2w (sen ϕ0) (cos ϕ0)

−K

Jsen ϕ0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Assim de (12) e (13) obtemos

A = f ′(x0) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0

−gsen2 ϕ0

cos ϕ0

− c

m2g

sen ϕ0

w0

−K

Jsen ϕ0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

Cujo polinomio caracterıstico D (p) e dado por

D (p) = p3 +c

mp2 + g

sen2 ϕ0

cos ϕ0

p + 2gK sen2 ϕ0

Jw0

(14)

Como todos os coeficientes deste polinomio sao positivos, segue do Criterio de Esta-bilidade de Hurwitz, que todas as raızes de (14) tem parte real negativa se, e somentese,

c

mgsen2 ϕ0

cos ϕ0

> 1.

(2g

K sen2 ϕ0

Jw0

)=⇒ cJ

m> 2

K

w0

cos ϕ0 =2F

w0

(15)

Portanto, segue do Teorema de Liapunov, que (15) expressa a condicao de estabilidadedo sistema maquina-regulador.

O valor absoluto da taxa de variacao de w0 com relacao a carga P, isto e,

v =

∣∣∣∣dw0

dP

∣∣∣∣e chamado irregularidade de marcha ou nao uniformidade de marcha da maquina a vapor.

ComoP = F + F1 − k cos ϕ

entaodw0

dP=

dw0

dF

dF

dPcomo

dF

dP= 1

podemos concluir quedw0

dP=

dw0

dF.

De (12) temos que

Fw20 =

kg

n2, (constante) ,

logo

w20 + 2w0F

dw0

dF= 0

ou

dw0

dF=

−w20

2w0F=

−w0

2F

concluimos entao que

v =w0

2F

Assim a condicao de estabilidade se expressa da seguinte forma:

cJ

mv > 1. (16)

Conhecida como condicao de estabilidade de VICHNEGRADSKI.

4 Conclusoes

Portanto da ralacao (16) podemos obter as conclusoes de VICHNEGRADSKI sobre aestabilidade do sistema maquina-regulador.

Afetam desfavoravelmente a estabilidade do sistema maquina-regulador:

1-O aumento da massa das esferas;

2-A diminuicao de c (coeficiente de resistencia);

3-Diminuicao de J (momento de inercia);

4-Diminuicao de v (irregularidade de marcha).

O mau funcionamento dos reguladores a partir da segunda metade do sec.XIX seexplica pelo fato de que, devido ao avanco tecnico, as quatro grandezas que intervem naestabilidade foram alteradas em sentido desfavoravel a estabilidade.

Imagens do regulador centrıfugo sao dadas nas figuras 4 e 5 a seguir.

Figura - 4: Esquema de um Regulador Centrıfugo.

Figura - 5: Imagem de um R.W.

Referencias

[1] PONTRIAGUIN,L.S. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Colecion Ciencia yTecnica. Editora Aguiar. Ano 1973.

[2] MONTEIRO,L.H.A. Sistemas Dinamicos.Sao Paulo.Editora Livraria da Fısica. Ano2002.

O Teorema Isoperimetrico e o Problema daCerca

Flaviano Bahia P. Vieira∗ Laıs Bassame Rodrigues† Edson Agustini‡



Abril de 2005

Resumo

Neste trabalho, demonstramos, sem o uso de Calculo Diferencial e Integral, o teo-rema classico que afirma que, “dentre todas as figuras planas de mesmo perımetro, odisco e a figura de maior area”. Esse teorema e conhecido como Teorema Isoperime-trico. Em seguida, consideramos um curioso problema de otimizacao conhecidocomo “O problema da Cerca”, envolvendo a maximizacao, sob certas condicoes, daarea de um quintal entre um rio e uma casa. O interessante nesse problema e o fatode ele contrariar nossa intuicao acerca do Teorema Isoperimetrico.

1 Introducao

Quando falamos em problemas envolvendo otimizacoes de areas, e muito comum o uso deCalculo Diferencial e Integral como ferramenta de resolucao de tais problema. No entanto,desde a epoca de Euclides (± 300 a. C.) problemas envolvendo figuras isoperimetricas,ou seja, figuras de mesmo perımetro, ja eram estudados. Por exemplo, a demonstracaode que “dentre todos os retangulos de mesmo perımetro, o quadrado e o que delimitamaior area” ja se encontra em Os Elementos de Euclides. De um modo geral, e possıveldemonstrar que, “dentre todos os polıgonos de n lados e mesmo perımetro, o polıgonoregular de n lados e o que delimita a maior area”. Este resultado nos leva intuitivamentea crer que “dentre todas as figuras planas de mesmo perımetro, o disco e o que possuimaior area”. De fato, este ultimo resultado e conhecido como o Teorema Isoperimetrico,que demonstraremos (sem o uso de Calculo Diferencial e Integral) na primeira parte dessetrabalho (Secao 2).

Ainda sobre o Teorema Isoperimetrico, comentamos na Secao 3 uma antiga lenda,contada por Virgılio em Eneida, sobre a princesa Dido, fundadora da cidade de Cartagono norte da Africa. Para delimitar a maior area possıvel utilizando um determinado

∗[email protected] Orientando do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade de Matematica(PetMat) de jan/04 a dez/04.

†[email protected] Orientanda do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade deMatematica (PetMat) de jan/04 a dez/04.


1

numero de tiras de couro de boi as margens do Mediterraneo, Dido faz uso intuitivo detal teorema.

Tambem era muito comum o formato circular (ou semicircular as margens de rios)de cidades medievais, onde havia necessidade da construcao de muros de protecao, queperfaziam o “perımetro” da cidade (Cf. o mapa da proxima secao). Esse fato historico eplenamente justificado pelo referido teorema.

Em seguida, consideramos um curioso problema de otimizacao de areas conhecido como“O problema da Cerca”, envolvendo a maximizacao, sob certas condicoes, da area de umquintal entre um rio e uma casa. Para resolve-lo nao utilizamos Calculo Diferencial eIntegral, apenas uma das proposicoes utilizadas como pre-requisitos para a demonstracaodo Teorema Isoperimetrico. O fato curioso deste problema e que ele “contraria”, em certosentido, nosso principal resultado: temos uma area otima as margens de um rio que naolembra absolutamente nada de cırculos ou semicırculos...

2 O Teorema Isoperimetrico

Observe o mapa da Paris medieval:

Mapa da cidade de Paris (Franca) na Idade Media. Nao por acaso, a regiao urbana possuiaformato circular. Com uma determinada quantidade de muros, como dispo-lo de modo a cercar

a maior area possıvel?

Levando-se em conta que tais cidades eram fortificadas, ou seja, eram cercadas porum “perımetro” composto por muros de pedras e que, obviamente, tais muros tinham umdeterminado custo de construcao, por que o formato escolhido para o muro era aproxi-madamente circular?

Esse fato era comum na Idade Media e nos remete ao seguinte problema:

“Dado um determinado comprimento, qual a curva plana, simples1 e fechada com essecomprimento que delimita a maior area possıvel?

Resolveremos esse problema por meio de alguns resultados preliminares:

Proposicao 2.1 Seja F1 uma figura plana limitada nao convexa cuja fronteira seja umacurva plana simples e fechada C1. Entao, e possivel encontrar uma figura plana convexaF2 de area maior que F1 tal que sua fronteira C2 seja uma curva plana, simples e fechadade mesmo comprimento de C1.

Demonstracao

Como F1 nao e convexa, existem pontos P, Q ∈ F1 tais que o segmento PQ nao estacontido em F1. Sejam A e B dois pontos de interseccao do segmento PQ com C1 tais queAB ∩ C1 = {A,B} . Refletindo uma das partes de C1 com extremos em A e B na retaque contem PQ, temos uma nova figura F ′

1 com fronteira C ′1 de mesmo comprimento que

C1, porem com area maior que F1. (Figura abaixo)

Se F ′1 ainda nao for convexa, repetimos o mesmo raciocınio acima ate encontrarmos

uma figura F2 convexa2. �

Baseados na proposicao acima, temos que dentre as figuras isoperimetricas, as demaiores areas serao sempre convexas.

Proposicao 2.2 Seja uma curva C1 plana, simples e aberta situada de um mesmo ladode uma reta r e com extremos A e B em r. Suponhamos que a curva fechada C1∪AB sejafronteira de uma figura limitada F1 nao convexa. Entao, existe uma curva C2 de mesmanatureza de C1 com os mesmos extremos A e B em r tal que C2 ∪ AB seja fronteira deuma figura convexa com area maior que F1.

A demonstracao da proposicao acima se processa de modo semelhante a demonstracaoda Proposicao 2.1, uma vez que o segmento AB permanece inalterado na sequencia defiguras obtidas de F1.

1Sem auto-inteseccao.2Dependendo da escolha dos pontos P e Q em cada nova figura construıda, pode ser que F2 seja

encontrada por um “processo limite” de figuras obtidas a partir de F1. No entanto, escolhas convenientesde P e Q conduzem a um numero finito de figuras.

Proposicao 2.3 Dentre todos os triangulos com dois lados de comprimentos fixos, o demaior area e o triangulo retangulo que possui esses lados por catetos.

Demonstracao

Sejam dois segmentos CB e CA de medidas a e b fixas. Sejam α a medida do anguloACB e h a medida da altura do triangulo ABC relativa ao vertice A.

Denotando a area do triangulo ABC por A, temos:

A =ah

2=

ab sen α

2.

(h = b sen α quanto α for agudo, reto ou obtuso. Neste ultimo caso, basta observar quesen (π − α) = sen α)

Como 0 ≤ sen α ≤ 1 para 0 ≤ α ≤ π, concluimos que A assume o maior valor possıvel

quando sen α = 1, ou seja, α =π

2, como querıamos. �

Proposicao 2.4 Seja uma figura plana convexa F1 cuja fronteira seja composta por umacurva C1 plana, simples, aberta de extremos A e B e comprimento p unida com o segmentoAB. Suponhamos que, nessas condicoes, F1 tenha a maior area possıvel. Entao, F1 e umsemidisco.

Demonstracao

Suponhamos que F1 nao seja um semidisco. Entao, existe um ponto C ∈ C1 tal queABC nao e um triangulo retangulo (pois, se ABC fosse triangulo retangulo para todoC ∈ C1, F seria um semidisco).

Como F1 e convexa, temos que AC e CB sao segmentos contidos em F1, ou seja, ABCe um triangulo contido em F1. Sejam F2 e F3 as figuras sobre AC e CB de tal modo queF1 = F2 ∪ ABC ∪ F3.

Consideremos o triangulo A′B′C ′ retangulo em C ′ de tal modo que A′C ′ ≡ AC eC ′B′ ≡ CB. Pela Proposicao 2.3, a area de A′B′C ′ e maior que a area de ABC. Consid-eremos a figura F ′

1 = F2 ∪ A′B′C ′ ∪ F3 e chamemos sua fronteira de C2 ∪ A′B′. Temos,portanto, que F ′

1 tem fronteira composta por uma curva C2 plana, simples, aberta deextremos A′ e B′ e comprimento p unida com o segmento A′B′. No entanto, a area de F ′

1

e maior que a area de F1.

Caso F ′1 nao seja convexa, pela Proposicao 2.2, podemos tomar F ′′

1 convexa com fron-teira C3 ∪ A′B′ e area maior que F ′

1. Em ambos os casos, temos uma contradicao, poisnas condicoes da hipotese, F1 possui area maxima.

Logo, F1 e um semidisco. �

Corolario 2.1 (Teorema Isoperimetrico) Dado um comprimento, dentre todas as figurasplanas, fechadas e convexas de perımetro igual a esse comprimento, o disco e o que possuimaior area.

Demonstracao

De fato, suponhamos que a figura F1 de maior area nas condicoes enunciadas naoseja um disco. Seja 2p o comprimento da fronteira C1 de F1. Sejam A,B ∈ C1 taisque comprimento da curva em C1 de A ate B seja p. Chamemos as duas partes de C1

determinadas por A e B de C2 e C3. Logo, F1 = F2 ∪ F3, sendo F2 figura com fronteiraC2 ∪ AB e F3 figura com fronteira C3 ∪ AB, ambas com area maxima. Assim, F2 ou F3

nao e semidisco e possui area maxima. Contradicao com a Proposicao 2.4. �

3 A Lenda de Dido

A lenda de Dido (ou Elisa) faz parte do Cantico I da obra epica “Eneida”, escrita pelogrande poeta romano Virgılio (70 a.C. a 19 a.C.).

Dido era uma princesa fenıcia no seculo IX a.C. da cidade de Tiro, as margens doMediterraneo, localizada onde hoje e o Lıbano. Seu irmao, o rei Pigmaliao, assassinouseu marido, o grande sacerdote Arquebas, para subtrair-lhe seus tesouros. Temendo suapropria morte, Dido entao fugiu em um navio com um grande numero de seguidoresdispostos a fundar uma nova cidade, “Qart Hadash” (Cartago). No lugar escolhido paraser Cartago (norte da Africa, tambem as margens do Mediterraneo, onde hoje e a Tunısia)tentou comprar terras do rei local, Jarbas da Numıdia, para que pudessem se estabelecer.O arranjo que conseguiu com o rei foi que so teria em terras o que pudesse abranger com apele de um boi. Dido e seu grupo decidiram entao cortar a pele em tiras tao finas quantopossıvel, emendar todas e englobar num semicırculo um terreno beirando o mar.

A obra “Eneida” de Virgılio e a epopeia de Eneas de Troia que, depois que sua cidadefoi tomada por Agamenon, fugiu de navio com seus seguidores. Ele viajou da Asia Menoratraves do Mar Mediterraneo ate finalmente aportar na Italia e fundar Roma. Em suaviagem parou em Cartago e encontrou Dido, que se apaixonou por ele. Mas Jupiterinterveio e ordenou a Eneas que abandonasse Dido, que, em desespero, se matou.

A personagem A obra O autor

Comentario: Nao por acaso, esse territorio conseguido por Dido tinha a forma de umsemicırculo na beira do mar (Proposicao 2.4), o qual se repete nas muralhas das cidadesmedievais a beira de rios. Veja, por exemplo, o mapa da Paris medieval.

4 O Problema da Cerca, da Casa e do Rio

Consideremos uma casa retangular com medidas a metros de largura e b metros de com-primento. Essa casa possui os lados de b metros paralelos a um rio e distante d metrosdo mesmo. Suponhamos que dispomos de dois pedacos identicos de cercas cujos compri-mentos somados perfazem l metros. Devemos delimitar um quintal entre a casa e o riocom esses dois pedacos de cercas aproveitando tanto a casa quanto o rio para delimitaresse quintal. Isso significa que, em cada pedaco de cerca, uma ponta deve tocar a casa ea outra o rio. Quais seriam as maneiras de se posicionar as cercas de tal modo que estaspossuam partes em forma de segmentos paralelos aos lados da casa (veja a figura abaixo)e que maximize a area do quintal?

4.1 Solucao

Tres consideracoes:

(i) E natural que a AREA 1 de dimensoes b×d metros situada entre casa e rio (na “frenteda casa”) esteja contida no quintal.

(ii) Devemos terl

2≥ d pois, caso contrario, nao haveria cerca suficiente para colocar uma

ponta na casa e outra no rio. No caso del

2= d, temos que o quintal de area maxima sera

a AREA 1 e cada pedaco de cerca constitui um segmento de reta.

(iii) Finalmente, a AREA 2 “maxima”, parcialmente delimitada por um dos pedacos dacerca e adjacente a um dos lados da AREA 1, e igual a AREA 3 “maxima”, delimitadapelo outro pedaco da cerca e adjacente ao outro lado da AREA 1, (veja a figura abaixo).Isto se deve ao fato dos dois pedacos de cerca possuirem mesmo comprimento.

Em virtude do item (iii), iremos analisar o problema considerando apenas a Area 2.

Dividimos o problema em dois casos, descritos abaixo.

4.1.1 1◦ Caso: Cada pedaco da cerca e formada por dois segmentos.

Denotamos a medida da cerca perpendicular ao rio de x e a paralela ao rio de y.

Assim, temos o seguinte sistema:

x + y =l

2xy = A

sendo A a medida da AREA 2.Neste caso, d ≤ x ≤ d + a.Assim,

x +A

x=

l

2⇒

x2 + A =xl

2,

ou seja, a funcao A da AREA 2 delimitada pela cerca, com uma ponta na casa e outrano rio sera:

A : [d, d + a] −→ R

x �−→ A (x) = −x2 +l

2x

.

Observemos que o grafico de A e parte de uma parabola com concavidade para baixo.Se nao houvesse restricao no domınio de A, terıamos que o valor maximo da mesmaocorreria para x igual a abscissa do vertice da parabola, ou seja, para

x =0 + l

2

2=

l

4.

Mas, pode ocorrer que x =l

4nao esteja no domınio de A. Temos, portanto, tres casos a

considerar:

(i) se d ≤ l

4≤ d + a, a AREA 2 sera maxima para x =

l

4. Logo, y =

l

4.

(ii) sel

4< d, a AREA 2 sera maxima para x = d. Logo, y =

l

2− d.

(iii) sel

4> d + a,a AREA 2 sera maxima x = d + a. Logo, y =

l

2− (d + a) .

Esquematizando: a AREA 2 sera maxima quando as dimensoes x e y satisfazem:

Valor del

2Valor de x Valor de y Valor de A

(i)l

2< 2d x = d y =

l

2− d A = −d2 +

l

2d

(ii) 2d ≤ l

2≤ 2 (d + a) x =

l

4y =

l

4A = − l2

16+

l

8

(iii) 2 (d + a) <l

2x = d + a y =

l

2− d − a A = − (d + a)2 +

l

2(d + a)

4.1.2 2◦ Caso: Cada pedaco da cerca e formada por tres segmentos.

Temos dois casos de cercas formado por tres segmentos (figura abaixo):

Caso A: a cerca tem ınicio na parte da casa em frente ao rio.

Caso B: a cerca tem ınicio na parte da casa de fundo para o rio.

O Caso A nunca sera otimo pois podemos manipular a cerca de tal modo que ela tenhamesmo perımetro e area maior como a figura abaixo.

Partiremos entao para o Caso B.

Denotemos a medida da cerca perpendicular ao rio de x, paralela ao rio de y e per-pendicular a casa de z = x − d − a. (figura abaixo, a esquerda)

Desta forma, para que ocorra otimizacao de area, a cerca deve ter inicio em um doscantos da casa pois sempre que a cerca estiver em outro ponto, alem do canto, a casaocupara area cercada do quintal. (figura acima, a direita)

Assim, podemos montar o seguinte sistema:

2x − d − a + y =l

2xy = A

sendo d + a < x <2 (d + a) + l

4.

Portanto,

2x − d − a +A

x=

l

2⇒ −2x2 + x

(d + a +

l

2

)= A

Assim, a funcao A que representa a area delimitada pela cerca com um extremo emum canto da casa e outro no rio sera:

A :

(d + a,

2 (d + a) + l

4

)−→ R

x �−→ A (x) = −2x2 + x

(d + a +

l

2

)Observemos que, mais uma vez, a funcao que fornece a Area 3 (=AREA 2 ) possui

grafico em forma de parabola com concavidade para baixo. Se nao houvesse restricao nodomınio de A, terıamos que o valor maximo de A ocorreria quando

x =0 +

d+a+ l2

2

2=

2 (d + a) + l

8.

Observemos que x =2 (d + a) + l

8<

2 (d + a) + l

4.

Ha, portanto, duas possibilidades:

(i) d + a <2 (d + a) + l

8<

2 (d + a) + l

4.

(ii)2 (d + a) + l

8≤ d + a.

No primeiro caso, para que o ponto crıtico esteja no domınio de A, devemos terl

2>

3 (d + a) , o que corresponde a y =2 (d + a) + l

4, ou seja, y assume o dobro do valor do

ponto crıtico.

No segundo caso, devemos terl

2≤ 3 (d + a) e temos que a area otima ocorre quando

x = d + a e, portanto, y =l

2− d − a. Mas nesse caso, x − d− a = 0, ou seja, nao ha tres

segmentos, mas sim dois segmentos de cerca.

Esquematizando:

Valor del

2Valor de x Valor de y Valor de A

(i)l

2≤ 3 (d + a) x = d + a y =

l

2− d − a (1o caso)

(ii)l

2> 3 (d + a) x =

2 (d + a) + l

8y =

l + 2d + 2a

4A =

1

8

(d + a +

l

2

)2

4.1.3 3o. Caso: Cada pedaco da cerca e formada por mais de tres segmentos.

Neste caso, sempre voltaremos aos casos onde a cerca e formada por dois ou por tressegmentos. Basta observarmos que a AREA 2 devera ser nao convexa e, portanto, pelaProposicao 2.1, e possıvel encontrarmos uma outra AREA 2 convexa de area maior como mesmo perımetro da anterior, elimando pelo menos um segmento da cerca (veja a figurado Caso A acima).

4.1.4 Conclusao

Fazendo um esquema geral, temos os seguintes valores otimos para a AREA 2 :

Valor de l Valor de x Valor de y Segmentos Area do quintal

l < 2d �x �y Nao ha –

l = 2d d 0 1 db

2d < l < 4d dl

2−d 2 db + 2d

(l

2−d

)

4d ≤ l ≤ 4 (d + a)l

4

l

42 db+

l2

8

4 (d + a) < l ≤ 6 (d + a) d + al

2−d − a 2 db + 2 (d + a)

(l

2−d − a

)

l > 6 (d + a)2 (d + a) +l

8

l + 2d + 2a

43 db+

(2d + 2a + l

4

)2

Observemos que, ao contrario do que era de se esperar, apos estudarmos o TeoremaIsoperimetrico, o quintal otimo (de area maxima) nao possui “formato aproximado deum semicırculo”, uma vez que seria possıvel dividir a cerca em tantos segmentos quantoquisermos. Na verdade, nao ha contrasenso algum. Isso se deve ao fato de que, devido acondicao imposta de que os segmentos da cerca sejam sempre paralelos ou ortogonais amargem do rio, pelo 3o. Caso acima, qualquer quintal com “formato aproximado de umsemicırculo” seria nao convexo e, portanto, nao otimo.

5 Um Agradecimento

Os autores sao gratos a professora Sueli I. R. Costa do Imecc-Unicamp pelas conversase dicas instrutivas a respeito de Problemas Isoperimetricos.

Referencias

[1] Barbosa, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de janeiro: SBM - SociedadeBrasileira de Matematica. 1995.

[2] CD-ROM Formas e Trajetorias. LEMU - Laboratorio de Educacao Matematica daUnicamp - SP. (em confeccao)

[3] Figueiredo, D. G. “Problemas de Maximo e Mınimo na Geometria Euclidiana”.Matematica Universitaria nos. 9/10. Rio de Janeiro: Soc. Bras. de Matematica. 1989.

[4] Niven, I. Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association ofAmerica. 1981.

[5] Salomao, L. A. D. Maximos e Mınimos Sem Calculo. Notas de Minicurso da IIISemana da Matematica - FAMAT - UFU. Novembro de 2003.

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Problemas e Soluções

��

Comitê Editorial da SeçãoProblemas e Soluções


Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)Edson Agustini

Antônio Carlos NogueiraFlaviano Bahia Paulinelli Vieira

Problemas e Solucoes

A revista eletronica FAMAT em Revista publica regularmente uma secao de proble-mas com o tıtulo Problemas e Solucoes. Todos os interessados podem participar dessasecao apresentando solucoes para os problemas ja publicados ou propondo novos proble-mas. Serao publicados problemas de matematica basica ou superior, assim como enigmasde natureza logica que desafiem nossos leitores e lhes proporcionem bom treinamento naresolucao de problemas. O comite editorial selecionara, dentre os problemas propostos, osque mais se destacarem por sua beleza, relevancia e originalidade. Problemas propostosem um numero da revista terao suas solucoes publicadas no numero seguinte. Quandoda publicacao de problemas ou resolucoes enviados por leitor, serao citados o(s) propo-nente(s) e o(s) autor(es) das solucoes recebidas. Ao propor um problema, o leitor deveraencaminhar sua solucao juntamente com o enunciado e citar a fonte de onde ele foi tirado,se for o caso.

Todo participante dessa secao devera identificar-se mencionando seu nome e enderecocompletos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderaoutilizar o endereco eletronico

[email protected]

ou encaminhar correspondencia para:

FAMAT em RevistaFaculdade de Matematica

Universidade Federal de UberlandiaAv. Joao Naves de Avila, 212138400-902 - Uberlandia - MG

Nesse numero, alem de quatro novos desafios, publicamos a resolucao dos quatro donumero anterior sendo que duas das resolucoes publicadas foram enviadas por FlavianoBahia Vieira Paulinelli - discente do curso de Matematica da Universidade Federal deUberlandia. Flaviano enviou-nos resolucoes corretas dos problemas 10 (problema dosponteiros do relogio) e 12 (problema das bolas de bilhar) e foi contemplado com umexemplar do livro das Olımpıadas Brasileiras de Matematica da 9a. a 16a.

ATENCAO: Estaremos dando continuidade a promocao do numero anterior. Para osleitores que nos enviarem solucoes corretas, de pelo menos dois dos problemas propostos,estaremos sorteando em Setembro de 2005 alguns exemplares do livro:

MOREIRA, C. et. alli. (orgs.) Olimpıadas Brasileiras de Matematica. 9 a . a16 a . Problemas e resolucoes. Rio de Janeiro: Publicacao da Sociedade Brasileira deMatematica, 2003.

“A Matematica e a rainha das ciencias e a Teoria dos Numeros e a rainha daMatamatica”

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Problemas Propostos

13. Dispondo de 100 reais, quais sao as quantias que se podem gastar comprandoselos de 5 reais e de 7 reais?

Extraıdo de:HEFEZ, A. – Elementos de Aritmetica – Sociedade Brasileira de Matematica – 2005

14. Seja W um conjunto finito de pontos do plano tal que, se tomarmos tres pontosquaisquer A,B e C em W, entao a area do triangulo ABC e menor do que 1. Mostreque todos os pontos de W pertencem a um triangulo de area menor do que 4 ou ao seuinterior.

15. Seja C um conjunto constituıdo de dez numeros naturais distintos, todos elesformados por dois algarismos (no sistema decimal). Mostre que e possıvel dividir C emdois subconjuntos disjuntos de modo que as somas dos elementos de cada um deles sejamiguais.

16. Encontre todos os quadrados perfeitos (no sistema decimal) cujos tres ultimosalgarismos sao iguais a 4.

Resolucao dos Problemas Propostos do NumeroAnterior

9. (O Problema da Metade do Pasto) Imagine um pasto circular de raio r1 e um cavaloamarrado em uma estaca da cerca que delimita o pasto por meio de uma corda de com-

primento r2. Qual deve ser a razaor2

r1

para que o cavalo consiga pastar apenas a metade

do pasto circular?

Resolucao

Temos dois cırculos se intersectando em dois pontos P1 e P2. Um desses cırculos temcentro O2 (onde amarramos o cavalo) e raio r2 (o comprimento da corda). O outro cırculo

(o pasto) tem centro O1 e raio r1. Vamos descobrir o valor de R =r2

r1

para o qual a area

comum dos dois cırculos seja a metade da area do cırculo de raio r1 (isto e,πr2

1

2).

Chamemos a superfıcie comum dos cırculos de S. Ora, tracando o segmento que uneP1 e P2, vemos que S pode ser decomposta em dois segmentos circulares S1 e S2. A area

de um segmento circular e dada por r2 (θ − sen θ)

2. sendo r o raio do cırculo onde esta o

segmento circular e θ e o angulo central sob o segmento circular.Sejam os angulos P1O2P2 de medida 2t2 e P1O1P2 de medida 2t1. Nesse caso:

S = S1 + S2 = r21

(2t1 − sen 2t1)

2+ r2

2

(2t2 − sen 2t2)

2.

Daı, e como a area de S eπr2

1

2, temos:

πr21 = r2

1(2t1 − sen 2t1) + r22(2t2 − sen 2t2).

Dividindo por r21, temos:

π = 2t1 − sen 2t1 + R2(2t2 − sen 2t2). (1)

sendo R =r2

r1

.

Agora, note que os triangulos P1O1O2 e P2O1O2 sao congruentes e isosceles, pois:

P1O1 ≡ P2O1 ≡ O1O2 e possuem medida r1

P2O2 ≡ P1O2 e possuem medida r2.

Portanto,

t1 + 2t2 = π ou t1 = π − 2t2. (2)

Alem disso, tracando a altura do triangulo P1O1O2 relativa ao vertice O1 nao e difıcilver que:

cos t2 =r2

2r1

,

ou seja,

R = 2 cos t2. (3)

Substituindo (2) em (1) e desenvolvendo, obtemos:

R2 =−π + 4t2 − sen 4t2

2t2 − sen 2t2(4)

Substituindo (3) em (4) vem:

4 cos2 t2 =−π + 4t2 − sen 4t2

2t2 − sen 2t2. (5)

Nao e difıcil ver que:π

4< t2 <

π

2(6)

Resolvendo (5) , com a restricao (6) , em um software de calculo numerico ou simbolico,obtemos

t2 ∼= 0, 9528478647

Por (3):R = 2 cos t2 ∼= 1, 158728473.

Observacao: a equacao (5) nao e possıvel de ser resolvida sem apelar para metodosnumericos. E provavel que nao exista solucao analıtica (sem uso de calculo numerico)para esse problema.

10. Quando o ponteiro das horas esta entre 4 e 5 horas, por dois momentos ele formaum angulo de 90 graus com o ponteiro dos minutos. Em que horas que esses eventosacontecem?

Resolucao enviada por Flaviano Bahia Paulinelli Vieira:

Para resolver este problema definimos duas funcoes. Uma fornece a medida em grausdo angulo formado pelo ponteiro das horas com a “linha vertical das 12 horas”. A outrae a analoga para o ponteiro dos minutos.

Funcao para o ponteiro das horas:Temos que a cada 60 minutos o ponteiro das horas percorre um angulo de 30◦. Assim,

para cada minuto o ponteiro das horas percorre 0, 5◦ (meio grau). E como o ponteiro dashoras esta entre 4 e 5 horas, temos que a nossa funcao das horas deve ser a seguinte:

f (x) = 4 · 30◦ + 0, 5◦x,

sendo x os minutos. O domınio de f e dado por [0, 60).

Funcao para o ponteiro dos minutos:Temos que a cada 60 minutos o ponteiro dos minutos percorre um angulo de 360◦.

Assim, para cada minuto o ponteiro dos minutos percorre 6◦. Logo, a nossa funcao seradada por:

g (x) = 6◦x,

sendo x os minutos. O domınio e dado por [0, 60).

Agora, temos duas funcoes em graus, dependentes dos minutos, e queremos acharquando o ponteiro dos minutos forma angulo de 90◦ com o das horas.

Assim, temos o seguinte:|f (x) − g (x)| = 90◦,

ou seja, temos dois casos:Primeiro caso:

f (x) − g (x) = 90◦

4 · 30◦ + 0, 5◦x − 6◦x = 90◦

120◦ − 5, 5◦x = 90◦

x =30◦

5, 5◦

x = 5 +5

11.

Daı, x = 5+5

11minutos ⇒ x � 5 minutos, 27 segundos, 16 centesimos de segundos,...

Segundo caso:

f (x) − g (x) = −90◦

4 · 30◦ + 0, 5◦x − 6◦x = −90◦

5, 5◦x = 210◦

x =210◦

5, 5◦

x = 38 +2

11.

Daı, x = 38+2

11minutos ⇒ x � 38 minutos, 10 segundos, 90 centesimos de segundo,...

Resumindo, temos que as duas solucoes do nosso problema serao:(i) 4 horas, 5 minutos, 27 segundos, 16 centesimos de segundos,...(ii) 4 horas, 38 minutos, 10 segundos, 90 centesimos de segundo,...

11. Seja ABCD um paralelogramo. Pelos vertices A, B, C e D, sao tracadas retas naocontidas no plano ABCD e paralelas entre si. Um plano corta essas retas em pontos A′,B′, C ′ e D′, situados no mesmo semi-espaco relativo ao plano de ABCD, de modo queAA′ = a, BB′ = b, CC ′ = c e DD′ = d. Mostre que a + c = b + d.

Resolucao

Tome:E sobre a semi-reta

−−→AA′ de modo que A′ esteja entre A e E e A′E = c,

F sobre a semi-reta−−→BB′ de modo que B′ esteja entre B e F e B′F = d,

G sobre a semi-reta−−→CC ′ de modo que C ′ esteja entre C e G e C ′G = a,

H sobre a semi-reta−−→DD′ de modo que D′ esteja entre D e H e D′H = b.

Para facilitar o acompanhamento, sugerimos ao leitor que esboce uma figura.

No quadrilatero AEGC, temos AE paralelo a GC (por hipotese) e AE = CG = a + c(por construcao).

No quadrilatero BDHF , temos BF paralelo a DH (por hipotese) e BF = DH = b+d(por construcao).

Assim, AEGC e BDHF sao paralelogramos (se dois lados opostos de um quadrilaterosao paralelos e congruentes, entao o quadrilatero e um paralelogramo).

Daı, temos HF paralelo a DB e AC paralelo a EG. Portanto, o plano γ que contem oparalelogramo ABCD e paralelo ao plano β que contem o quadrilatero EFGH. Agora, ospontos A,B, F e E sao coplanares e, alem disso, como AB ∩ FE ⊂ γ ∩ β = ∅, segue queAB e FE sao paralelos; consequentemente, ABFE e um paralelogramo (pois ja tınhamosAE e BF paralelos).

Finalmente, AE = BF , isto e, a + c = b + d.

12. Considere uma balanca de dois pratos e seis bolas de bilhar. Dentre essas seis bolaspode haver: ou uma mais leve, ou uma mais pesada ou todas com o mesmo peso. Descrevaum modo de identificar, caso haja, a bola de peso diferente com apenas tres pesagens ediga se ela e mais leve ou mais pesada que as demais. Nas mesmas condicoes, e possıvelresolver esse mesmo problema com nove bolas? Em caso afirmativo, descreva o modo.

Resolucao enviada por Flaviano Bahia Paulinelli Vieira:

Para resolver o problema com 6 bolas, damos numeros as mesmas: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Colocamos em um lado da balanca as bolas 1 e 2 e do outro 3 e 4.Sem perda de generalidade, podemos relatar dois casos:

1 - As bolas 1 e 2 abaixam. Logo, 5 e 6 tem mesmo peso.Agora, colocamos em um lado a bola 1 e do outro a 2. Temos tres casos:

1.1 - se 1 abaixa, 1 e a mais pesada.1.2 - se 2 abaixa, 2 e a mais pesada.1.3 - se 1 e 2 tem mesmo peso, colocamos de um lado a 3 e do outro a 4.Temos dois casos:

1.3.1 - se 4 levanta, 4 e a mais leve.1.3.2 - se 3 levanta, 3 e a mais leve.

2 - As bolas 1 e 2 tem mesmo peso de 3 e 4. Logo, 1, 2, 3 e 4 tem mesmo peso.Colocamos em um lado a bola 1 e do outro a 5. Temos tres casos:

2.1 - se 5 abaixa, 5 e a mais pesada.2.2 - se 5 levanta, 5 e a mais leve.2.3 - se 1 e 5 tem mesmo peso, 5 tem mesmo peso de 1, 2, 3 e 4.Colocamos em um lado a bola 1 e do outro a 6. Temos tres casos:

2.3.1 - se 6 abaixa, 6 e a mais pesada.2.3.2 - se 6 levanta, 6 e a mais leve.2.3.3 - se 1 e 6 tem mesmo peso, todas as bolas tem mesmo peso.

Para resolver o problema com 9 bolas, damos numeros as mesmas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Colocamos em um lado da balanca as bolas 1, 2 e 3 e do outro 4, 5 e 6.

Sem perda de generalidde, podemos relatar dois casos:

1 - As bolas 1, 2 e 3 abaixam. Logo, 7, 8 e 9 tem o mesmo peso.Agora, colocamos em um lado 2, 3 e 4 e do outro 7, 8 e 9. Temos tres casos:

1.1 - se 2, 3 e 4 tem mesmo peso de 7, 8 e 9, entao ou 1, ou 5, ou 6 tem pesodiferente.

Agora, colocamos a 5 de um lado e a 6 do outro. Novamente temos tres casos:1.1.1 - se 5 e 6 tem mesmo peso, 1 e a mais pesada.1.1.2 - se 6 levanta, 6 e a mais leve.1.1.3 - se 5 levanta, 5 e a mais leve.

1.2 - se 2, 3 e 4 abaixam, entao temos dois casos: ou a 2 ou a 3 e a mais pesada.Colocamos a 2 de um lado e a 3 do outro.

1.2.1 - se 2 abaixa, 2 e a mais pesada.1.2.2 - se 3 abaixa, 3 e a mais pesada.

1.3 - se 2, 3 e 4 levanta, entao, 4 e a mais leve.

2 - se 1, 2 e 3 tem o mesmo peso de 4, 5 e 6, entao 1, 2, 3, 5, 4 e 6 tem o mesmo peso.Colocamos a 7 de um lado e a 8 do outro. Temos tres casos:

2.1 - se 7 abaixa, entao temos dois casos: ou 7 e a mais pesada ou 8 a e mais leve.Colocamos 7 de um lado e a 1 do outro.

2.1.1 - se 7 abaixa, 7 e a mais pesada.2.1.2 - se 7 e 1 tem mesmo peso, 8 e a mais leve.

2.2 - se 7 levanta, entao temos dois casos: ou 7 e a mais leve ou 8 e a mais pesada.Colocamos a 7 de um lado e a 1 do outro.

2.2.1 - se 7 levanta, 7 e a mais leve.2.2.2 - se 7 e 1 tem mesmo peso, 8 e a mais pesada.

2.3 - se 7 e 8 tem mesmo peso, resta verificar a 9.Colocamos de um lado a 9 e do outro a 1. Temos tres possibilidades:

2.3.1 - se 9 abaixa, 9 e a mais pesada.2.3.2 - se 9 levanta, 9 e a mais leve.2.3.3 - se 9 e 1 tem mesmo peso, entao todas as bolas tem mesmo peso.

Observacao: a generalizacao desse problema para numeros b e n quaisquer de bolas epesagens requer o uso do conceito de entropia. Frequentemente e possıvel responder, doponto de vista teorico, se o problema tem solucao para o par (b, n) . No entanto, em termospraticos, encontrar um algoritmo geral que identifique (se houver) a bola diferente e umatarefa difıcil.

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Eventos

��

�

Comitê Editorial da SeçãoEventos


Flaviano Bahia Paulinelli VieiraMaísa Gonçalves da Silva(coordenadores da seção)

Antônio Carlos NogueiraEdson Agustini

Eventos

Alguns dos principais eventos ligados à Matemática que ocorrem entre abril e julho de2005 foram publicados no número anterior desta revista. No entanto, outros eventos quetambém ocorrem nesse período tiveram sua divulgação feita após o fechamento do númeroanterior da revista. Sendo assim, sempre que for em tempo, estaremos complementando alistagem dos principais eventos nos números subseqüentes desta revista.

Complementação da Listagem de Eventos que Ocorrem EntreAbril e Julho de 2005

Publicada no Número Anterior

Evento: Dincon 2005 - 4º Congresso Temático de Dinâmica, Controle e AplicaçõesData: 06 a 10 de Junho de 2005Local: UNESP, Campus de BauruSite: http://www.dincon.feb.unesp.br

Evento: V CIBEM - Congresso Ibero-americano de Educacao MatematicaLocal: Porto (Portugal)Data: 17 a 22 de julho de 2005Site: http://www.mytwt.net/cibem5/

Evento: VII Simpósio de Educação Matemática - VII SEMLocal: Chivilcoy, Buenos Aires - ArgentinaData: 03 a 06 de Maio de 2005Site: http://www.edumat.com.ar/

Evento: XI Encontro Baiano de Educação Matemática (XI EBEM)Data: 06 a 09 de julho de 2005Local: Faculdades Jorge Amado, em SalvadorSite: http://www.uefs.br/sbemba/ebem.html

Evento: 25° Colóquio Brasileiro de MatemáticaData: 24 a 29 de julho de 2005Local: IMPA - Rio de JaneiroSite: http://coloquio.impa.br/CBM25/index.html

Evento: Encontro Regional de Matemática Aplicada a Computação 2005 - ERMAC 2005Data: 6 a 8 de abril de 2005Local: Vitoria (ES)Site: http://www.cce.ufes.br/

Evento: I Encontro Nacional de Aprendizagem SignificativaData: 20 a 23 de abril de 2005Local: Universidade Católica Dom Bosco - Campo Grande/MSSite: http://www.ucdb.br/eventos/eventos.php?menu=inicial&cod=35

Evento: V EREM – Encontro Regional de Educação MatemáticaData: 25 a 28 de maio de 2005Local: UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do SulSite: http://www.sbem.com.br/SBEM%20-DNE/EVENTOS/Chamada%20do%20EREM.doc

Evento: 57ª Reunião Anual da SBPCData: 17 a 22 de julho de 2005Local: Universidade Estadual do Ceará - UECESite: http://www.sbpcnet.org.br/eventos/57ra/

Evento: Workshop on Contemporary MathematicsLocal: IMPA, Rio de JaneiroData: 25 e 26 de abril de 2005Site: http://w3.impa.br/~webnew/eventos/2005_workshop_contemporary_mathematics.html

Evento: IX Workshop on Partial Differential EquationsLocal: IMPA, Rio de JaneiroData: 18 a 22 de Julho de 2005Site: http://www.fluid.impa.br/wedp05/

Eventos que ocorrem entreAgosto e Dezembro de 2005

Alguns eventos importantes que ocorrerão nesse período ainda não estão com a datadefinida. No próximo número de FAMAT em Revista estaremos complementando a listagemde eventos abaixo.

Evento: International Congress on Mathematical Physics - ICMP 2006Local: IMPA, Rio de JaneiroData: 6 a 13 de agosto de 2006Site:http://w3.impa.br/~webnew/eventos/2006_international_congress_mathematical_physics.html

Evento: Encontro Regional de Matemática Aplicada a Computação 2005 - ERMAC 2005Data: 18 a 20 de outubro de 2005Local: Natal (RN)Site: http://www.sbmac.org.br/eventos/ermac/2005/ermac_2005_natal.pdf

Evento: XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e ComputacionalData: 12 a 15 de setembro de 2005Local: Sesi Santo Amaro - São Paulo SPSite: http://200.231.172.253/cnmac/evento.html

Evento: Congresso Internacional de Sistemas DinâmicosLocal: Angra dos Reis, Rio de JaneiroData: 3 a 10 de agosto de 2005Site:http://w3.impa.br/~webnew/eventos/2005_congresso_internacional_sistemas_dinamicos.html

Evento: II Jornadas de Iniciação CientificaData: 6 a 12 de novembro de 2005Local: IMPA, Rio de JaneiroSite: http://www.impa.br

Evento: VII Evento Internacional “MATECOMPU2005” - “La Enseñanza de la Matemáticay la Computación”Data: 6 a 10 de dezembro de 2005Local: Instituto Superior Pedagógico Juan Marinello - Matanzas - Cuba

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Reflexões Sobre o

Curso de Matemática

�

�

Comitê Editorial da SeçãoReflexões sobre o Curso de Matemáticado Número 04 da FAMAT EM REVISTA:

Valdair Bonfim (coordenador da seção)Antônio Carlos Nogueira

Edson Agustini

Reflexões sobre o Curso de MatemáticaProf. Valdair Bonfim

Projeto Pedagógico: Seu Significado e Primeiras Reflexões.

Em meio à elaboração do Projeto Pedagógico do Curso de Matemática da UFU, acheibastante oportuno, e aceitei de muito bom grado, o convite do comitê editorial desta revistapara escrever nesta seção. Este momento de elaboração propicia a reflexão sobre problemasvariados do curso, e não apenas aqueles relacionados diretamente com o projeto pedagógico, eé sobre isso que vou falar neste artigo.

Antes disso porém, acho conveniente gastar alguns parágrafos e fornecer ao leitor,principalmente para os alunos, informações gerais sobre projetos pedagógicos: os debatessobre este tema na UFU; a Resolução que resultou destes debates; algumas diretrizes eprincípios e alguns detalhes técnicos. Penso que um excelente ponto de partida é a definiçãode Projeto Pedagógico, a qual foi inspirada no documento “Do pessimismo da Razão para oOtimismo da Vontade: referências para a construção dos projetos pedagógicos das IESbrasileiras”, ForGRAD, 1999. Trata-se de uma proposta educativa produzida coletivamenteno âmbito da Unidade Acadêmica, cuja finalidade é enunciar as diretrizes, os propósitos e osprocedimentos adotados para a formação de profissionais numa determinada área doconhecimento e, conseqüentemente, para as ações político-pedagógicas do fazer-universitário.

Desde 2001 a Pró-Reitoria de Graduação de nossa universidade vem promovendodebates e reflexões sobre temas relacionados a projetos pedagógicos. O fruto dessasdiscussões resultou na Resolução 2/2004 do CONGRAD ( Conselho de Graduação ), a qualdispõe sobre a elaboração e/ou reformulação dos projetos pedagógicos dos cursos degraduação.

Antes de entrar nos detalhes técnicos desta resolução e sobre o trabalho que acomunidade da FAMAT desenvolverá nos próximos meses, e em vista da definição acima – aqual convenhamos é bastante ampla, e dá margem a muitas interpretações – é convenientefalar um pouco mais sobre o que se entende por projeto pedagógico.

Para isso vou me valer de trabalho recente da Diretoria de Ensino da UFU, a qualconfeccionou um livreto com orientações gerais para elaboração de projetos pedagógicos decursos de graduação, à luz da já citada resolução.

Ressalto inicialmente que um Projeto Pedagógico tem que ter vistas ao futuro. Aprópria etimologia da palavra projetare denuncia isso, pois seu sentido é o de lançar adiante,avançar. Pretende-se com um projeto pedagógico criar uma realidade futura um tanto melhorque a atual, enfrentando os atuais problemas do curso, e colaborando com a formação de umprofissional que atenda melhor às exigências de um mundo moderno, com constantestransformações sociais e científicas. Isso faz com que os projetos pedagógicos contemplem ainterdisciplinaridade, a formação sintonizada com a realidade social, a perspectiva de umaeducação continuada ao longo da vida e a articulação teoria- prática presente naindissociabilidade entre ensino, pesquisa e extensão.1

Entrando agora no mérito dos detalhes técnicos, um projeto pedagógico deve aindaexplicitar, dentre outras coisas:

1 Resgatando espaços e construindo idéias. FORGRAD 1997 a 2004. 3a ed. Ampl. Uberlândia: EDUFU, 2004,p. 235.

• a justificativa da necessidade social do curso, articulada com uma breve históriade sua trajetória;

• princípios e fundamentos que indiquem a concepção teórico-metodológicaadotada;

• diretrizes gerais para o desenvolvimento metodológico do ensino;• diretrizes gerais para os processos de avaliação da aprendizagem e do curso, com

as respectivas indicações de sistemática e periodicidade;• os objetivos do curso;• a caracterização do egresso, levando em conta seu campo de atuação profissional e

sua inserção no mundo do trabalho;• estrutura curricular, com ementas e bibliografia;• carga horária total e dimensionamento da carga horária de diferentes componentes

curriculares;• duração do curso expressa em tempo mínimo e máximo de integralização.

Acredito que neste ponto o leitor já está suficientemente esclarecido sobre projetopedagógico e da sua importância para o curso, principalmente sabendo agora que as diretrizesgerais para a elaboração do mesmo apontam para algo semelhante ao “paraíso”: superação dasdificuldades atuais, formação diferenciada e em consonância com as transformações domundo, interdisciplinaridade, novas tecnologias no ensino da matemática, e assim por diante.Longe de dizer que não sou a favor de tudo isso. Só preocupa-me o fato de que algumaspessoas (professores, técnico-administrativos, gestores, e principalmente os alunos) possamimaginar que tudo isso venha a acontecer com uma simples “canetada”, isto é, por meio daaprovação de um documento com ótimas intenções. Tenho consciência plena de que osidealizadores destas ações não estão iludidos, assim como não estão iludidos os colegasprofessores e gestores. Essa convicção é decorrente de anos de experiência dessespersonagens no ensino, pesquisa e extensão. Estamos cansados de saber que não existemfórmulas mágicas para o sucesso. O paraíso se consegue com muito esforço. Fico pensandonos alunos que, na sua imensa maioria são ainda jovens, e talvez ainda acreditem,ingenuamente, que as coisas boas possam vir por meios fáceis. Para esses a decepção poderáser demasiadamente grande. A respeito disso posso citar exemplo concreto de um colegaprofessor que fez estudos em matemática numa universidade americana, e disse terpresenciado algo que lhe serviu de lição para toda a vida. Certa vez, após assistir palestra deeminente matemático, um espectador lançou ao palestrante a seguinte pergunta: - Ondebuscaste inspiração para conseguir tão brilhante resultado? Você me ensinaria a técnica?Prontamente o palestrante respondeu que sim, que lhe ensinaria a técnica, e mostraria comoobter resultados importantes. Levou então este espectador até a sua sala de trabalho emostrou-lhe a enorme pilha de papéis amontoados sobre a mesa, alguns já amarelados pelotempo, evidenciando que o brilhante resultado tinha sido fruto de anos de trabalho duro. Éisso que eu quero, e torço, que os alunos compreendam: todo sonho é possível, mas exigecompromisso. Juntamente com o esforço empreendido por professores, técnico-administrativos e gestores, é preciso que os alunos vistam a camisa e façam a sua parte. Docontrário, tudo vai ficar como está: alto índice de reprovações, evasão, desinteresse, falta deperspectivas, objetivos tacanhos, e daí para pior.

Como um projeto pedagógico propõe, dentre outras coisas, o enfrentamento dosproblemas que o curso experimenta ao longo de sua história, a primeira etapa óbvia comcerteza é a identificação dos mesmos: os aspectos negativos, as ações que não deram certo, e -porque não dizer? – as dificuldades internas e externas vividas pelas unidades quandooferecem disciplinas a outras unidades, ou são servidas por disciplinas de outras unidades.

Além de identificar os problemas, o projeto pedagógico tem que identificar suas causas paradaí então justificar suas ações. Levando em consideração ainda que o projeto pedagógico temque ser elaborado por todos os agentes da comunidade, suas diretrizes apontam nesta etapa anecessidade de um trabalho prévio de mobilização de docentes, discentes e técnico-administrativos para o diagnóstico dos problemas inerentes ao curso.

Nesse momento, a reflexão coletiva será provocada por meio de questões, tais como:

� Existe algum aspecto do curso que precisa ser mudado ou aperfeiçoado?

� Os alunos concluintes apresentam as habilidades e capacidades que esperamos noprofissional que formamos? Quais habilidades e capacidades seriam essas? Visãocritica? Atitudes investigativas? Capacidade de contextualização de conteúdo àsrealidades e expectativas de um determinado grupo para o qual se ensina matemática?Desenvoltura na resolução de problemas de matemática? Espírito empreendedor?

� O que deve ser criado no curso em função dos avanços científicos e das novasdemandas sociais?

A comissão responsável pela elaboração do Projeto Pedagógico do Curso deMatemática em breve realizará a reflexão coletiva referida anteriormente, e com relação àidentificação de problemas do curso deveremos todos ser bem sinceros. Vou começar dandominha contribuição pessoal enumerando alguns problemas que passei a conhecer após poucosmeses no exercício da coordenação. Perdoem-me a franqueza, mas serei bastante sincero,sabendo que em algumas vezes a carapuça me servirá.

P1 ) Ainda que pese o fato do curso ser em regime integral, a necessidade que muitosalunos têm de desenvolver atividades remuneradas é enorme, implicando num rendimentoacadêmico aquém do esperado, comprometendo portanto a formação do futuro profissional daeducação, aquele mesmo que dará aulas para os nossos filhos, e aos filhos dos contribuintesque financiam a universidade.

P2 ) A grande barreira - porque não dizer preconceito? - dos alunos da licenciaturacom relação a algumas disciplinas, como por exemplo Estruturas Algébricas 1, Análise 1,Funções de Variável Complexa, Geometria Não-Euclidiana, dentre outras.

P3 ) O tempo médio dos alunos na integralização do curso é demasiadamente grande.Isso além de configurar má utilização do dinheiro público, é ruim também para o aluno, quetem longamente adiada a sua inserção no mercado de trabalho.

P4 ) Há ainda que lembrar dos alunos que, apesar de apresentarem bom rendimentoacadêmico e, via de regra não dependerem de uma atividade financeira complementar,sentem-se seduzidos por propostas precoces de trabalho docente, propostas essas que nemsempre lhe rendem lucro no aperfeiçoamento de sua prática pedagógica, e muito pelocontrário, só fazem produzir mais um daqueles alunos faltosos, que assistem meia aula porsemana, que sempre perdem prova, que não comparecem nos horários de atendimento, equase nunca estão antenados com a realidade do curso.

P5 ) Há também o caso dos alunos fantasmas, e neste ponto preciso ser mais preciso. Onosso curso permite que o aluno conclua as duas modalidades: licenciatura e bacharelado.Ótimo que seja assim. Entretanto, é uma prática comum o aluno concluir uma das

modalidades e - após já inserido no mercado de trabalho ou num programa de mestrado -solicitar a inclusão na outra modalidade, não comparecendo às aulas. Argüindo esses alunos arespeito dessa conduta percebi que os motivos nem sempre eram de natureza acadêmica.Alguns são de fato espúrios, a saber, disseram-me que auferem algumas vantagens, como porexemplo a compra de vales-transporte com desconto e também o fato de poderem pegar maislivros na biblioteca. Ainda que a última vantagem seja mais nobre, penso que os fins nãojustificam os meios. De fato, é por conta dessa conduta que existem hoje professores “dandoaula” para turmas que só existem na lista de presença.

P6 ) Alunos sem compromisso institucional: são aqueles que perdem, por exemplo,época de matrícula ou ajuste de matrícula sem motivos de força maior; que não atualizam seusdados cadastrais junto à coordenação, dificultando o trabalho da mesma; alunos que nãoconhecem ainda a dinâmica do curso e seu regimento. Aproveito para citar o caso recente deum aluno da matemática que perdeu sua vaga na UFU por ter deixado de efetuar matrícula portrês semestres. O mesmo lamentou na coordenação dizendo que não conhecia essa norma. Fizquestão de pegar um Guia Acadêmico e perguntar ao aluno se, em algum momento após seuingresso na UFU, ele recebeu um exemplar. Ele confirmou que sim, mas que jamais lera oconteúdo do mesmo, apesar de ter sido fortemente recomendado a fazê-lo. É mesmolamentável, e essa atitude dispensa maiores comentários.

Para não dizerem que só vejo problemas nos alunos, listo também problemas por partedos professores. Também chegam na coordenação reclamações a respeito da prática de algunsdocentes, tanto da nossa faculdade quanto de outras que nos servem. Muitas vezes sãoreclamações infundadas, mas as vezes fazem sentido. Cuidados e providências sempre sãotomadas, pela Direção e Coordenação, tentando evitar ou minimizar tais problemas.Aumentemos nossa lista:

P7 ) Há professores que freqüentemente chegam atrasado ou faltam às aulas;

P8 ) Existem professores que não cumprem a ementa da disciplina;

P9 ) De outro lado, existem professores que às vezes extrapolam e vão além do queestá previsto na ementa;

P10 ) Há professores que não dão atendimento ao aluno, ou o fazem de maneiraprecária;

P11 ) Existem professores que não elaboram listas de exercícios;

P12 ) Outros apresentam incoerência entre o lecionado e o avaliado;

Existem também problemas de ordem estrutural, a saber:

P13 ) falta de salas de informática destinada aos alunos. Como então colocar emprática a pretensão “novas tecnologias no ensino de matemática” expressa nasdiretrizes do projeto pedagógico?

Convém agora tecer alguns comentários a respeito dos problemas descritos.

De todos, acredito que P1 é de difícil solução a curto ou médio prazo, pois envolvevariáveis que não estão ao nosso alcance. É um problema que compete a toda a sociedadeorganizada e ao governo, e não somente a nós do meio acadêmico.

Quanto a P2 penso que as causas são muitas. Já presenciei pelos corredores dafaculdade muita propaganda negativa a respeito dessas disciplinas. Isso é péssimo e em nadacolabora, pois o aluno que ainda não as cursou fica com uma expectativa desanimadora,imaginando que será uma tarefa impossível. Chega portanto ao curso com espírito de derrota.Quando o aluno, após várias tentativas, consegue aprovação ( sabe Deus se por mérito ou porchoro ), diz: “ - Livrei !!!”. E isso é mais triste, pois esta exclamação pode dar a entender que,neste caso, tanto faz se o aluno adquiriu ou não os conhecimentos esperados. A expressão quenós professores gostaríamos de ouvir é “Aprendi!”. Aquele que diz “Livrei!” talvez não saiba,mas com certeza perdeu excelente oportunidade de conhecer novas ferramentas para aresolução de problemas e de entender o modus operandi do fazer matemática e das suasetapas, que são: a observação de determinados padrões nas mais variadas situações ( nanatureza, nos animais, nas relações humanas, nas transações comerciais, nas transaçõesfinanceiras, ... ) , a elaboração de conjecturas, e a necessidade de uma comprovação oudemonstração. Todo cientista é, antes de tudo, um observador e grande tirador de conclusões,ou seja, tem qualidades que qualquer matemático deve possuir. Essas qualidades sãofortemente trabalhadas em tais disciplinas. Para não ser mal interpretado pelo leitor, o qualpode pensar que estou puxando sardinha para o meu lado, cito novamente a resolução 2/2004,mais precisamente o seu artigo 7o , o qual diz, dentre outras coisas, que os ProjetosPedagógicos dos cursos devem evidenciar rigoroso trato teórico-prático no processo deelaboração e socialização dos conhecimentos, e ainda deve promover a indissociabilidadeentre ensino, pesquisa e extensão, de modo a desenvolver nos estudantes atitudesinvestigativas e instigadoras de sua participação no desenvolvimento do conhecimento e dasociedade como um todo. Estão vendo? Não sou eu que falo por mim. Portanto, que tal olicenciando mudar aquele velho e ultrapassado discurso: “Pra que estudar algo que não vouensinar? ”

Acredito que P3 seja uma conseqüência de P1 e P2, e portanto a superação do terceirodepende “tão somente” da superação dos dois primeiros. Como o primeiro é muito difícil acurto prazo, avançaremos muito se trabalharmos o segundo.

Com relação a P4 penso ser apenas uma questão de escolha do aluno. Na minhaopinião, trata-se de uma escolha infeliz, já que neste caso o aluno não tem necessidade decomplementação financeira. Afinal de contas, por quê aceitar propostas precoces de trabalhoremunerado, se isso atrasará sua efetiva inserção no mundo do trabalho e comprometerá suaformação final? Mas sei que não devo fazer valer aqui a minha opinião pessoal. Portanto, paraque o aluno forme a sua própria, talvez fosse interessante analisar e comparar osdesdobramentos das condutas de alguns de seus colegas. Compare a trajetória acadêmica decada um, os ganhos e/ou perdas daqueles que aceitaram propostas precoces de trabalho edaqueles que priorizaram a formação acadêmica. Verifique o tempo de integralização docurso em cada caso, verifique a aceitação ou não em programas de pós-graduação, observe avalorização de cada profissional, e por fim observe também outro$ detalhe$ que não precisocomentar.

Quanto aos problemas Pi (5 ≤ i ≤ 12): penso que são problemas sérios, mas “caseiros”,no sentido de que a solução só depende de nós, alunos e professores, sermos responsáveis eassumirmos o compromisso de realizar um trabalho sério e de qualidade.

O problema P13 também constitui um limitador para a execução plena de eventuaispropostas do Projeto Pedagógico da Matemática, mas é uma questão que pode ser trabalhada esuperada com o passar dos anos. A própria execução das idéias contidas no Projeto

Pedagógico podem caracterizar uma justificativa junto aos órgãos competentes para aaquisição de máquinas e laboratórios.

Para concluir, espero que esse texto seja o início da reflexão proposta no âmbito daFAMAT. Quando a comunidade identificar os problemas P14, P15, .... , coopere identificandotambém as suas causas, apontando possíveis soluções S1, ... , S15, ... , sugerindo melhorias e, omais importante, envolvendo-se para pô-las em prática. Afinal de contas, fazer é mais difícildo que falar.

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Em Sala de Aula

� �

Comitê Editorial da SeçãoEm Sala de Aula


EdsonAgustini (coordenador da seção)Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

Antônio Carlos NogueiraValdair Bonfim

Indice de Trabalhos

As Conicas e suas Aplicacoes 181

Jocelino Sato

Matematica e Ensino: O estudo de Alguns Topicos sobreCurvas Conicas via o Software Cabri-Geometre II 217

Rafael Siqueira Cavalcanti e Edson Agustini

Trabalhos de Modelagem Matematica da disciplina“Instrumentacao para o Ensino da Matematica”:

A Historia do Cafe no Brasil 241

Adriano Soares Andrade e Rosana Sueli da Motta Jafelice

Modelagem como estrategia de ensino-aprendizagem dematrizes, determinantes e sistemas lineares 255

Clovis Antonio da Silva e Rosana Sueli da Motta Jafelice

Modelagem das Embalagens de Produtos Alimentıcios 267

Flavia Bruno Mendes, Carla A. Pereira e Rosana Sueli da Motta Jafelice

Modelagem da Interacao Clima x Poluicao em Uberlandia 273

Flavia Bruno Mendes, Clovis Antonio da Silva e Rosana Sueli da Motta Jafelice

Modelagem Matematica:Construindo Casas com Recursos Computacionais 283

Adriano Soares Andrade, Deive Barbosa Alves e Rosana Sueli da Motta Jafelice

Modelagem Matematica no Abastecimento e Consumo de Agua naCidade de Uberlandia 291

Deive Barbosa Alves e Rosana Sueli da Motta Jafelice

As Conicas e suas Aplicacoes

Jocelino Sato∗


Universidade Federal de Uberlandia - UFU

38408-100, Uberlandia - MG

20 de outubro de 2004

Resumo

Neste trabalho, focalizamos o estudo das secoes conicas seguindo dois caminhosdiferentes: no primeiro, seguimos de perto o trabalho apresentado em 1.822 pelomatematico belga G. P. Dandelin, abordando o tratamento dado as secoes conicaspor Apolonio (± 262 − 190 a.C.), deduzindo suas propriedades focais, onde tra-balhamos com Geometria Euclidiana de forma sintetica; no segundo, damos umenfoque analıtico ao estudo das secoes conicas, o que so foi possıvel com Pierre deFermat (1601−1665). As propriedades de reflexao em curvas que sao secoes conicassao estudadas e algumas de suas aplicacoes apresentadas. Alem disso, exploramos aconstrucao das conicas utilizando alguns aparatos mecanicos e tambem um softwarede geometria dinamica, Cabri Geometre II.

1 Introducao

Como todo conhecimento cientıfico, as ideias Matematicas passam por um processoevolutivo incorporando mudancas, sendo tratadas com novas ferramentas e metodos osquais, muitas vezes, lhes permitem um incremento no seu desenvolvimento.

As secoes conicas sao curvas obtidas pela intersecao de um cone circular reto de duasfolhas com um plano. Exposicoes gerais sobre as secoes conicas sao conhecidas antes daepoca de Euclides (± 325−265 a.C.) e existe uma diversidade de definicoes para elas, cujaequivalencia e mostrada na Geometria Elementar. Atualmente, as mais usuais referem-se a propriedade foco – diretriz dessas curvas, porem, em seu celebre tratado sobre assecoes conicas, Apolonio de Perga (± 262 − 190 a.C.) nao mencionou essa propriedade enao existia um conceito numerico que correspondia ao que chamamos de excentricidade.Coube a Pierre de Fermat a descoberta de que as secoes conicas podem ser expressas porequacoes do segundo grau nas coordenadas (x, y).

Neste trabalho, mostramos que uma secao conica e uma curva cuja equacao cartesianae do segundo grau, e inversamente, toda curva cuja equacao e do segundo grau pode serobtida a partir da intersecao de um cone circular reto de duas folhas com um plano. Poressa razao, as curvas cujas equacoes sao do segundo grau sao chamadas de secoes conicas,ou simplesmente de conicas. O objetivo deste trabalho e incentivar o aluno de geometria

∗Universidade Federal de Uberlandia, Uberlandia, Brazil

analıtica para o estudo deste belo e rico topico de Geometria, que sao as secoes conicase suas propriedades. Mostramos que as secoes conicas podem ser definidas e geradas devarias maneiras, sendo elas matematicamente equivalentes, com isso estaremos oferecendouma rara oportunidade para mesclar geometria analıtica com Geometria Espacial (Euclid-iana), lugares geometricos, junto com uma coletanea de resultados por si so interessantes.Alem disso, esperamos que a importancia das secoes conicas para a Matematica pura eaplicada seja estabelecida ao apresentarmos as propriedades focais de suas tangentes esuas aplicacoes praticas. Uma breve introducao historica sobre as conicas e apresentada.Finalmente, observamos que o pre-requisito para este estudo consiste apenas de algunsconceitos basicos de Geometria Euclidiana e, sempre que possıvel, iremos utilizar os re-cursos do software de geometria dinamica Cabri Geometre II como auxılio na ilustracaode conceitos e na aprendizagem.

2 Aspectos historicos e a importancia das conicas

Tratados sobre as secoes conicas sao conhecidos antes da epoca de Euclides (±325 − 265 a.C.) E, associado a historia dessas curvas, temos Apolonio que nasceu nacidade de Perga, regiao da Panfılia (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu,aproximadamente, ate 190 a.C.

Apolonio foi contemporaneo e rival de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides, formam a trıade considerada como sendoa dos maiores matematicos gregos da antiguidade. Apolonio estudou com os discıpulosde Euclides em Alexandria e foi astronomo notavel, talvez ele, e nao Euclides, mereceudos antigos o adjetivo de ”o grande Geometra ”. A maior parte das obras de Apoloniodesapareceu. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (secIV a.C.). Sua obra prima e Secoes Conicas composta por 8 volumes (aproximadamente400 proposicoes!). Da obra original sobreviveram 7 volumes, sendo 4 escritos em grego e 3traduzidos para o arabe por Thabit Ibn Qurra (826 a 901) no sec. IX. Os tres primeirosvolumes sao baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, per-dido. Em 1710, Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Seccoes Conicaspara o latim e todas as demais traducoes para as lınguas modernas foram feitas a partirda traducao de Halley.

Os precursores de Apolonio no estudo das conicas foram Manaecmo, Aristeu e o proprioEuclides. Nesse perıodo, elas eram obtidas seccionando um cone circular reto de umafolha com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, obtendo tres tipos distintosde curvas, conforme a secao meridiana do cone fosse um angulo agudo, um angulo retoou um angulo obtuso. Apolonio foi o matematico que mais estudou e desenvolveu as

Elipse ParábolaHpérbole

secoes conicas na antiguidade. Suas contribuicoes foram: ter conseguido gerar todas asconicas de um unico cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinacao do plano deintersecao; ter introduzido os nomes elipse e hiperbole e ter estudado as retas tangentese normais a uma conica.

A importancia do estudo de Apolonio sobre as conicas dificilmente pode ser questiona-da. Temos a inegavel influencia dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astronomo egeografo e fez observacoes em Alexandria de 127− 151 d.C.. Suas obras mais famosas saoo Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistemade latitude e longitude tal como e usado hoje em cartografia e usou metodos de projecaoe transformacoes estereograficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolonio quediz que todo cone oblıquo tem duas famılias de secoes circulares. As Conicas de Apoloniotambem tiveram forte influencia nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelasconicas surgiu devido as suas aplicacoes a optica e a construcao de espelhos parabolicos.Em 1609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astrono-mia: ”os planetas descrevem orbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos fo-cos”. A proposito, a palavra foco e devida a Kepler e provem da forma latinizada foccuscujo significado e fogo, lareira. Outra aplicacao pratica das conicas aparece na obra deGalileu (1632), onde ”desprezando a resistencia do ar, a trajetoria de um projetil e umaparabola”. Galileu se reporta a componente horizontal e a componente vertical de umaparabola. Foi a Matematica pura de Apolonio que permitiu, cerca de 1.800 anos maistarde, os ”Principia ”de Sir Isaac Newton. A lei da gravitacao de Newton matematizouas descobertas empıricas de Kepler e, a partir do seculo dezessete, possibilitou o estudoanalıtico das conicas e das suas aplicacoes aos movimentos no espaco, este, por sua vez,deu aos cientistas de hoje condicoes para que a viagem de ida e volta a Lua fosse possıvel.

Tambem nao podemos deixar de falar em aplicacoes praticas usuais recentes como nosreceptores parabolicos, telescopios, navegacao LORAN, etc.

Coube a Pierre de Fermat (1601−1665) a descoberta das equacoes cartesianas da retae da circunferencia, e as equacoes mais simples da elipse, da parabola e da hiperbole. Eleaplicou uma transformacao equivalente a atual rotacao de eixos para reduzir uma equacaodo 2◦ grau a sua forma mais simples.

3 O Trabalho de G. P. Dandelin

Seguindo Apolonio, vamos considerar as secoes (intersecoes) de um cone circular retode duas folhas K por um plano π que nao passa pelo vertice V do cone. Mais precisamente,tomamos duas retas g e l que se intersectam num ponto V de R

3 e rotacionamos g aoredor de V . A reta g descreve um cone circular reto de duas folhas (a menos que as retas

sejam perpendiculares e neste caso a reta g descreve um plano). Toda reta que e obtidarotacionando g ao redor de V e chamada geratriz do cone. A reta l e o eixo do cone, oponto V intersecao de g e l e o vertice do cone. Denominaremos o angulo α entre g el de semi-angulo do vertice do cone (0 < α < 90). Uma secao conica (ou simplesmenteconica) e dada pela intersecao do cone K com o plano π.

Nesta secao usaremos as seguintes notacoes (ver figura):

• K = um cone circular reto de geratriz g e eixo l com vertice V ,

• π = um plano,

• C = π ∩ K, uma secao conica,

• α = o semi-angulo do vertice de K,

• β = o angulo entre π e o eixo de K.

�

�V

De forma geral, uma conica depende de duas coisas: dos tamanhos relativos dosangulos α e β, e se V e um ponto do plano π ou nao. Ela sera suave ou nao dege-nerada se V nao pertence a π e, degenerada quando V pertence ao plano π. Alem disso,recebe a denominacao de:

• elıptica se α < β,

• parabolica se α = β;

• hiperbolica se α > β.

Uma conica elıptica degenerada e um ponto, uma conica parabolica degenerada e umaunica reta, e uma conica hiperbolica degenerada consiste de duas retas que se intersectamem V .

Aqui consideraremos apenas as conicas suaves: a elipse (conica elıptica suave), a parabola(conica parabolica suave), e a hiperbole (conica hiperbolica suave).

Uma secao C sera uma elipse, hiperbole ou parabola conforme o plano π corte umafolha, duas folha ou seja paralelo a uma geratriz do cone. Vamos provar que essas secoespossuem propriedades que permitem dar uma outra definicao para as conicas. A provae baseada no trabalho do matematico belga G. P. Dandelin. Suas construcoes usama existencia de superfıcies esfericas S1 e S2 que se inscrevem no cone K, ao longo decırculos λ1 e λ2, e sao tangentes ao plano π nos pontos F1 e F2. Se a conica e uma elipseou uma hiperbole, entao duas superfıcies esfericas inscritas sao tangentes a π, mas se aconica e uma parabola, uma unica superfıcie esferica tem esta propriedade.

Lema 3.1 A bissetriz de um angulo ∠CAB e o conjunto formado pelo ponto A, junta-mente com os pontos do interior do angulo que sao equidistantes dos lados do angulo.

Demonstracao: (Deixada para o leitor)

Lema 3.2 Se←→PT e

←→PU sao tangentes a uma superfıcie esferica S = S(O, r), de centro

O e raio r, nos pontos T e U , respectivamente, entao os triangulos �POT e �POU saocongruentes e, portanto, PT = PU .

O

S

P

T

U

Demonstracao: (Deixada para o leitor)

Lema 3.3 Seja K um cone circular reto de geratriz g e eixo l com vertice V e semi-angulo do vertice igual a α. Seja π um plano que intersecta K num ponto diferente de V ,fazendo um angulo β com l. Temos:a) se α < β, entao existem duas superfıcies esfericas inscritas no cone e tangentes aoplano π, sendo ambas contidas numa mesma folha do cone;

b) se α = β, entao existe uma unica superfıcie esferica inscrita no cone e tangente aoplano π;c) se α > β, entao existem duas superfıcies esfericas inscritas no cone e tangentes aoplano π, estando elas contidas uma em cada folha do cone.

Demonstracao: As intersecoes de um cone com um plano que contem seu eixo,chamadas de secoes meridianas do cone, determinam angulos, sendo suas bissetrizes raioscontidos no eixo do cone. Uma secao conica determinada por um plano π e sempreperpendicular a uma dessas secoes meridianas, alem disso, segue do Lema 3.1 que existemcırculos, contidos no plano da secao meridiana, que sao tangentes ao plano π e aos ladosdos angulos determinados pela secao meridiana.

V

AB

�

�

�

B

DC

E

T

��

V

A

C

B

E

T

U

D

a

�

��

�

�

V

B

A

C

D

E

F

��

Rotacionando esses cırculos em torno do eixo do cone obtemos superfıcies esfericas ins-critas no cone e tangentes ao plano π, sendo elas contidas em folhas do cone de acordocom a medida do angulo β que π faz com o eixo do cone (Lembre-se do Teorema dosangulos alternos e internos).

3.1 Excentricidade, diretriz e foco de uma conica

A menos do cırculo (caso particular de uma elipse) uma conica suave C tem pelomenos uma diretriz e um foco. Para construir uma diretriz, consideramos uma superfıcieesferica S inscrita no cone K e tangente ao plano π que determina a conica (ver Lema3.3). S intersecta K ao longo de um cırculo λ. Todo cırculo esta contido num plano,assim, seja τ o plano que contem S ∩ K.

A retad = τ ∩ π

e uma diretriz da conica C, e o ponto F = S ∩ π e seu foco associado. Quando C e umcırculo temos que τ e paralelo a π e, assim, a diretriz nao existe. A excentricidade e deuma conica C e dada pelo quociente

e =cos (β)

cos (α).

Assim, temos a seguinte classificacao com relacao a excentricidade:

• e > 1 se C e uma hiperbole,

• e = 1 se C e uma parabola,

• 0 < e < 1 se C e uma elipse nao circular,

• e = 0 se C e um cırculo.

Denotaremos por dis(., .) a distancia entre dois pontos ou, entre um ponto e uma retaou ainda, entre duas retas.

Proposicao 3.4 Se C e uma conica suave distinta de um cırculo com excentricidade e,diretriz d, e foco associado F , entao

dist(P, F ) = e.dist(P, d)

para todo ponto P ∈ C.Demonstracao:

S

T

F

�

�

V

d

Q

R

P

�

�

(Faremos uma demonstracao devido da Dandelin.) Seja τ o plano contendo S ∩K, e sejaP um ponto arbitrario em C. Escolha os pontos Q, R, e T de forma quei) Q ∈ τ e PQ e perpendicular ao plano τ ,ii) T ∈ d e TP e perpendicular a reta d,

ii) R e o ponto de λ = S ∩ K dado por−→V P ∩ S.

O segmento PQ e paralelo ao eixo do cone, consequentemente, o segmento PQ e o eixodo cone sao perpendiculares ao plano τ . A reta d esta contida em τ e PQ e perpendiculara τ , assim, concluımos que PQ e perpendicular a d. Considerando que TP tambem eperpendicular a d, segue-se que o plano que contem os pontos P , Q e T e perpendiculara reta d. Sendo d uma reta contida em π, temos que esse plano e perpendicular ao planoπ. Logo, ∠PQT = β porque PQ e paralelo ao eixo do cone, e ∠PQR = α pela mesmarazao. Assim,

PQ = PR cos α = PT cos β.

Mas, pelo Lema 3.2, PR = PF = dist(P, F ) porque as retas←→PR e

←→PF sao tangentes a

superfıcie esferica S em R e F . Agora, PT = dist(P, d) porque PT e perpendicular a retad. Consequentemente,

dist(P, F ) cos α = dist(P, d) cos β.

Dividindo ambos os membros dessa igualdade por cos α completamos a prova.

Corolario 3.5 Se uma conica C e uma parabola com foco F e diretriz d, entao dist(P, F ) =dist(P, d) para todo ponto P ∈ C.

Demonstracao: Basta observar que se C e uma parabola entao e = 1.

Observacao 3.1 O Lema 3.3 junto com a Proposicao 3.4 e seu Corolario 3.5 permitemconcluir que a elipse e a hiperbole sao conicas com duas diretrizes e dois focos, enquantoque a parabola e uma conica de uma unica diretriz e um unico foco associado.

Proposicao 3.6 Se C e uma elipse de focos F1 e F2, entao PF1 + PF2 e o mesmo paratodo ponto P ∈ C. Ou seja, PF1 + PF2 = constante.

P

F F1 2

Demonstracao: Seja P um ponto arbitrario da elipse C de focos F1 e F2 dados pelaintersecao do plano π com as superfıcies esfericas S1 e S2.

Q

Q

P

1

1

2

V

2

F1

F2

S1

S2

O segmento PF1 e tangente a esfera S1 em F1 e PF2 e tangente a esfera S2 em F2, desdeque as superfıcies esfericas S1 e S2 sejam tangentes a π nestes pontos (ver Lema 3.3).Sejam

Q1 =−→V P ∩ S1

Q2 =−→PV ∩ S2

Como S1 e S2 sao tangentes ao cone K, ao longo de cırculos λ1 e λ2, temos que←−→PQ1

e tangente a S1 em Q1 e←−→PQ2 e tangente a S2 em Q2. Consequentemente, segue-se do

Lema 3.2 que

PF1 = PQ1 e PF2 = PQ2.

Entao, PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2, em que PQ1 + PQ2 = Q1Q2 e a distancia entre oscırculos λ1 e λ2. Como a distancia entre eles nao depende de P segue-se que a somaPF1 + PF2 e a mesma para todo ponto P ∈ C. Isto completa a prova.

A demonstracao da proxima proposicao e uma simples adaptacao da demonstracao daproposicao anterior.

Proposicao 3.7 Se C e uma hiperbole de focos F1 e F2, entao |PF1 − PF2| e o mesmopara todo P ∈ C. Ou seja, |PF1 − PF2| = constante.

F2

F1

P

Demonstracao: Seja P um ponto arbitrario da hiperbole C de focos F1 e F2 dadospela intersecao do plano π com as superfıcies esfericas S1 e S2. O segmento PF1 etangente a esfera S1 em F1 e PF2 e tangente a esfera S2 em F2, desde que as superfıciesesfericas S1 e S2 sejam tangentes a π nestes pontos (ver Lema 3.3).

V

2 Q

2

F2

F1

1

Q1

P

S2

S1

Sejam

Q1 =−→V P ∩ S1

Q2 =−→PV ∩ S2.

Como S1 e S2 sao tangentes ao cone K, ao longo de cırculos λ1 e λ2, temos que←−→PQ1

e tangente a S1 em Q1 e←−→PQ2 e tangente a S2 em Q2. Consequentemente, segue-se do

Lema 3.2 quePF1 = PQ1 e PF2 = PQ2.

Entao, PF1 − PF2 = PQ1 − PQ2, em que

|PQ1 − PQ2| = Q1Q2 = Q1V + V Q2

nao depende dos pontos Q1 e Q2 pertencentes aos cırculos λ1 e λ2. Como a ultima somanao depende do ponto P segue-se que o modulo da diferenca |PF1 − PF2| e constante.Isto completa a prova.

4 Estudo Analıtico das Conicas

Uma curva pode ser definida como sendo o conjunto de pontos que gozam de umamesma propriedade, ou seja, como um lugar geometrico, ou como gerada por um ponto

movel que se desloca no plano ou no espaco, ou ainda como a intersecao de duas su-perfıcies. As conicas de Apolonio (intersecoes de superfıcies) foram caracterizadas por suaspropriedade focais (lugares geometricos) com estabelecido na secao anterior. Nessa secao,vamos representar mediante o emprego de coordenadas, pontos de um objeto geometricopor numeros e suas imagens por equacoes. Ou seja, vamos aplicar o metodo da Geome-tria Analıtica para descrever e resolver problemas geometricos. O merito desse metodo ecreditado ao pai da filosofia moderna Rene Descartes (1.596−1.650). Sua obra “Discoursde la Methode”, publicada em 1.637 em Leyden, na Holanda, continha um apendice de-nominado La Geometrie, que apresentava as ideias fundamentais sobre a resolucao dosproblemas geometricos usando coordenadas (sistema cartesiano) e equacoes algebricas.Entretanto Descartes nao tratou de quase nada do que se entende hoje por geometriaanalıtica, nao tendo deduzido sequer a equacao de uma reta. Esse merito do marcozero da geometria analıtica deve ser creditado a Pierre de Fermat que conclui em 1.629o manuscrito “Ad locos planos e et solidos isagoge” (Introducao aos lugares planos esolidos).

Usando as Proposicoes 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7 acima podemos definir as conicas como umlugar geometrico em termos da chamada propriedade focal. Precisamente temos:

Definicao 4.1 Denomina-se conica o lugar geometrico dos pontos de um plano cuja razaoentre as distancias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d e igual a uma constante naonegativa e. O ponto fixo e chamado de foco, a reta fixa de diretriz e a razao constantede excentricidade da conica. Quando e = 1 a conica e chamada de parabola, quando0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de hiperbole.

Adotando um sistema cartesiano de coordenadas retangulares podemos supor:

i) foco: ponto F (x0, y0);

ii) diretriz: reta d : ax + by + c = 0;

iii) excentricidade: constante e ≥ 0

F

d

y

xV

De acordo com a definicao, um ponto P (x, y) pertence a conica quando

dist(P, F )

dist(P, d)=

√(x − x0)2 + (y − y0)2

|ax+by+c|a2+b2

= e. (1)

Elevando membro a membro ao quadrado, fazendo k2 = e2

a2+b2, l = ka, m = kb e n = kc,

podemos escrever:

(x − x0)2 + (y − y0)

2 = k2 [|ax + by + C|]2= (ka + kay + kc)2,

o que fornece a equacao denominada equacao focal das conicas :

(x − x0)2 + (y − y0)

2 − (lx + my + n)2 = 0,

em que x0 e y0 sao as coordenadas do foco e lx + my + n = 0 e a equacao da diretrizcorrespondente.Desenvolvendo os produtos notaveis e ordenando as potencias de acordo com as potenciasdas variaveis x e y temos uma igualdade da forma:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (2)

em que as constantes A, B, C, D, E e F satisfazem

A = 1 − l2 B = −lm C = 1 − m2

D = −2(x0 + ln) E = −2(y0 + mn) F = x20 + y2

0 − n2

que e a forma geral da equacao cartesiana geral das conicas. Os varios valores que asconstantes A, B, C, D, E e F podem assumir fornecem: pontos, retas , cırculos, parabolas,elipses e hiperboles.

Por exemplo, se em um certo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tem-seF (3, 3) e d : x + y − 1 = 0, entao temos uma parabola com:

[dist(P, F )

dist(P, d))

]2

=(x − 3)2 + (y − 3)2[

|x+y−1|12+12

]2 = 12,

(x2 − 3x + 9) + (y2 − 3y + 9) = [x + y − 1]2 = x2 + 2xy + y2 − x − y + 1

Ou seja, a parabola tem equacao:

2xy + 2x + 2y − 17 = 0.

A forma da equacao de uma conica depende da escolha do sistema de eixos coordenados.Alem disso, existe uma relacao entre elas!

Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais para o plano, em queo eixo x e a reta perpendicular a diretriz d passando pelo foco F e o eixo y coincide coma diretriz. Seja O a origem desse sistema de coordenadas.

X

F

y

O

d

~

~

~

P(x,y)~ ~

Fazendo OF = 2p e usando a definicao (1) temos que um ponto P com coordenadas(x, y), em relacao a esse sistema de coordenadas, pertence a conica de diretriz d , foco F

e excentricidade e se, e somente se,

[dist (P, F )

dist (P, d)

]2

=

⎡⎣

√(x − 2p)2 + (y − 0)2

|x|

⎤⎦

2

= e2.

Desenvolvendo e simplificando essa igualdade obtemos a equacao cartesiana das conicasem funcao dos parametros p e e:

(1 − e2)x2 − 4px + y2 = −4p2. (3)

4.1 Parabola

No caso da parabola temos e = 1 e a equacao (3) reduz-se a:

y2 = 4p (x − p) .

Seja O o ponto de coordenadas (p, 0), realizando uma translacao de eixos coordenados demodo que O passe a ser a origem, obtemos um novo sistema de coordenadas cartesianasxy, em que valem as seguintes relacoes entre as coordenadas dos dois sistemas:

x = x + p

y = y.

No sistema de coordenadas (x, y) a equacao cartesiana da parabola toma a forma

y2 = 4px, (4)

chamada equacao reduzida da parabola (com eixo de simetria igual ao eixo x).Numa parabola arbitraria temos os seguintes elementos:

• foco: o ponto F ;

• diretriz : a reta d;

• corda principal : segmento paralelo a diretriz, passando por F e com extremidadesnos pontos R e S da parabola;

• eixo de simetria: a reta r perpendicular a diretriz passando pelo ponto F ;

• vertice: o ponto V de intersecao do eixo de simetria com a parabola.

F

P

d

y

xV

R

S

Obtemos a equacao reduzida da parabola de forma mais direta mediante a escolhado seguinte sistema de coordenadas para o plano (metodologia usual):

• eixo x: reta perpendicular a diretriz d passando por F ;

• eixo y: mediatriz do segmento FD, em que D e a intersecao do eixo x com a reta d.

Fazendo FD = 2p temos d : x + p = 0, F (p, 0) e um ponto P (x, y) esta na parabola se, esomente se,

√(x − p)2 + (y − 0)2 = dist(P, F ) = dist(P, d) =

|x + p|1 + 0

o que fornece a equacaoy2 = 4px, x ≥ 0, p > 0.

4.2 Elipse I

A elipse possui excentricidade e, com 0 < e < 1, logo, (1 − e2) > 0. Dividindo aequacao das conicas (3) por (1 − e2) obtemos:

x2 − 4p

(1 − e2)x +

y2

(1 − e2)= − 4p2

(1 − e2).

E, completando os quadrados obtemos, apos simplificacao,

(x − 2p

1 − e2

)2

+y2

(1 − e2)=

4p2

(1 − e2)

[1

(1 − e2)− 1

]=

4p2e2

(1 − e2)2 .

Dividindo membro a membro por 4p2e2

(1−e2)2=

[2pe

1−e2

]2temos a equacao cartesiana:

(x − 2p

1−e2

)2

[2pe

1−e2

]2 +y2[

2pe√1−e2

]2 = 1.

Seja O o ponto de coordenadas ( 2p

1−e2 , 0). Realizando uma translacao de eixos coordenadosde modo que O passe a ser a origem, obtemos um sistema de coordenadas xy, em que

x = x +2p

1 − e2,

y = y.

Fazendo a = 2pe

1−e2 e b = 2pe√1−e2

podemos reescrever a equacao da elipse com focos sobre oeixo x na forma reduzida

x2

a2+

y2

b2= 1. (5)

Sendo 0 < 1 − e < 1 temos 1 − e <√

1 − e e, portanto, a = 2pe

1−e2 > 2pe√1−e2

= b.

Observacao 4.1 O numero a e sempre denominador na fracao onde aparece a variaveldo eixo contendo o foco. Assim, se o eixo y for perpendicular a diretriz passando por F

a equacao da elipse e da formax2

b2+

y

a2= 1.

Fazendo F = F1 e D1 = O, se F2 e D2 sao pontos do eixo x tais que OF = OF2,D1O = D2O e d2 e a reta perpendicular ao eixo x passando por D2, entao o ponto F2 e areta d2 constituem um outro foco e uma outra diretriz para a elipse. De fato, um pontoP1(x, y) pertence a elipse se, e somente se, o ponto P2(−x, y) simetrico de P1 em relacaoao eixo y, tambem pertence. Logo, para F = F1 e d = d1 temos:

e =dist (P1, F1)

dist (P1, d1)=

dist (P2, F2)

dist (P2, d2),

o que prova a afirmacao.Da construcao do sistema de eixos coordenados temos as seguintes igualdades:

D1O =2p

1 − e2= D2O,

F1O =2p

1 − e2− 2p =

2pe2

1 − e2= F2O.

Usando os valores de a e b e fazendo dist(F1, F2) = 2c obtemos:

D1O =2pe

1 − e2

1

e=

a

e,

F1O = c =2pe2

1 − e2=

2pe

1 − e2e = a.e

a2 − b2 =4p2e2

1 − e2

[1

1 − e2− 1

]=

4p2e4

(1 − e2)2 = c2.

Resumindo temos:

1. A elipse e uma conica de dois focos e duas diretrizes;

2. Se o sistema de eixos coordenados e tal que: os focos estao sobre o eixo x e a equacaocartesiana da elipse de diretriz d = d1, foco F = F1 e excentricidade e e

x2

a2+

y2

b2= 1, a > b,

entao as coordenadas do foco sao F1(−c, 0) e F2(c, 0), com c = a.e =√

a2 − b2.

Logo, a excentricidade satisfaz e =c

a;

3. As equacoes das diretrizes sao d1 : x + ae

= 0 e d2 : x − ae

= 0.

4. A elipse representativa de (5) e uma curva simetrica em relacao aos eixos, fechadae contida no retangulo cujos lados estao contidos nas retas x = ±a e y = ±b.

Numa elipse arbitraria temos os seguintes elementos:

• foco: os pontos F1 e F2;

• vertices A1 e A2; intersecao da elipse com a reta passando pelos focos F1 e F2;

• vertices B1 e B2; intersecao da elipse com a mediatriz do segmento A1A2;

• eixo maior : segmento A1A2 de medida 2a;

• eixo menor : segmento B1B2 de medida 2b;

• distancia focal : distancia entre os focos F1F2 = 2c;

• corda principal : segmento paralelo ao segmento B1B2 passando por um dos focos,com extremidades em pontos R e S da elipse;

• centro O: intersecao dos segmentos A1A2 e B1B2;

• excentricidade: e = ca.

• diretrizes: retas d1 e d2 perpendiculares a reta focal e a uma distancia ae

do centro.

A excentricidade de uma elipse satisfaz 0 < e = ca

< 1, e no limite, isto e, quandoc = 0 temos F1 = 0 = F2 e a excentricidade e = c

ase anula. Neste caso, a elipse se

degenera numa circunferencia (a = b).

B2

d1

F2

A2

B1

F1

OA1

R

S

4.2.1 Elipse II

Usualmente, a elipse e caracterizada como sendo o lugar geometrico dos pontos P deum plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos), do mesmo plano,e constante e igual a 2a (ver Proposicao 3.6):

dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a.

Para que esse lugar geometrico seja nao vazio e, nem se reduza a um ponto, devemos ter2a > 2c = dist(F1, F2). Ela e uma conica de dois focos e duas diretrizes e, considerandoo seguinte sistema de coordenadas para o plano:

• eixo x: reta passando pelos focos F1 e F2;

• eixo y: mediatriz do segmento F1F2;

temos F1(−c, 0), F2(c, 0). Assim, um ponto P (x, y) esta na elipse se, e somente se,√(x + c)2 + y2) +

√(x2 − c) + y2 = 2a.

Assim, podemos escrever:

(x + c)2 + y2 =[(x − c)2 + y2

] − 4a√

(x − c)2 + y2 + 4a2

a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx

a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + c2x2(a2 − c2

)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).

Como a > c, fazendo a2 − c2 = b2 na igualdade acima e dividindo membro a membro pora2b2, tem-se a equacao reduzida da elipse com focos sobre o eixo x

x2

a2+

y2

b2= 1.

4.2.2 Raios focais e diretriz

As distancias ρ1 = dist(P, F1) e ρ2 = dist(P, F2) de cada foco da elipse a um pontoarbitrario P (x, y) da elipse sao tais que:

√(x + c)2 + y2 = ρ1,√(x − c)2 + y2 = ρ2,√

(x + c)2 + y2 +√

(x − c)2 + y2 = ρ1 + ρ2 = 2a.

Racionalizando e simplificando obtemos a equacao

aρ2 = a2 − cx

que fornece as expressoes lineares em x para os raios focais:

ρ2 = a − c

ax = a − ex,

ρ1 = 2a − ρ1 = a + ex.

Observacao 4.2 Considerando o foco F1(−c, 0) e a reta d1 : x + ae

= 0, temos:

dist(P, F1)

dist(P, d1)=

ρ1ae

+ x=

a + exa+ex

e

= e.

Analogamente, considerando F2(c, 0) e a reta d2 : x − ae

= 0 temos:

dist(P, F2)

dist(P, d2)=

ρ2ae− x

=a − ex

a−exe

= e.

Assim, de acordo com a definicao geral, as retas d1 e d2 sao diretrizes da elipse situadasa distancia a

edo centro da conica.

4.3 Hiperbole

Podemos chegar a equacao canonica de uma hiperbole fazendo um desenvolvendoanalogo ao feito para a elipse na subsecao 4.2.

No entanto, usaremos a caracterizacao usual da hiperbole como sendo o lugar geometricodos pontos P de um plano cujo modulo da diferenca das distancias a dois pontos fixos,do mesmo plano, e constante e igual a 2c (ver Proposicao 3.7)

|dist(P, F1) − dist(P, F2)| = 2a < 2c = dist(F1, F2),

para obter sua equacao.Assim como a elipse a hiperbole e uma conica de dois focos e duas diretrizes.

Fazendo b2 = c2 − a2, ou seja, c2 = a2 + b2 e procedendo como no caso da elipse (versubsecao 4.2.1), obtemos a equacao reduzida da hiperbole com focos sobre o eixo x

x2

a2− y2

b2= 1. (6)

A hiperbole representativa dessa equacao tem intersecoes com o eixo x nos pontosA1(−a, 0) e A2(a, 0) e sua intersecao com o eixo y e vazia. Ela e uma curva simetrica emrelacao a ambos os eixos e resolvendo a equacao em relacao x obtemos

x2

a2= 1 +

y2

b2� 1.

Portanto, a hiperbole nao entra na regiao vertical entre as retas x = −a e x = a. As retasr1 : y − b

ax = 0 e r2 : y + b

ax = 0 sao assıntotas da hiperbole.

Observacao 4.3 Quando os focos de uma hiperbole estao sobre o eixo y, a sua equacaoreduzida e da forma

−x2

b2+

y2

a2= 1.

E, neste caso, as assıntotas sao as retas r1 : y − abx = 0 e r2 : y + a

bx = 0.

Em uma hiperbole arbitraria temos os seguintes elementos:

• focos : os pontos F1 e F2;

• distancia focal : distancia entre os focos F1F2 = 2c;

• vertices A1 e A2 : intersecao da hiperbole com a reta passando pelos focos;

• centro O: intersecao do segmento A1A2 com sua mediatriz;

• vertices B1 e B2: pontos sobre a mediatriz do segmento A1A2 com B1O = b = B2O,sendo b =

√c2 − a2;

• eixo focal : segmento A1A2 de medida 2a;

• eixo transverso: segmento B1B2 de medida 2b;

• corda principal : segmento paralelo ao segmento B1B2 passando por um dos focos,com extremidades em pontos R e S da hiperbole);

• excentricidade: e = ca;

• diretrizes : retas d1 e d2 perpendiculares a reta focal e a uma distancia ae

do centro;

• assıntotas : retas suportes das diagonais do retangulo determinado pelas retas para-lelas ao eixo conjugado e passando pelos pontos A1 e A2 e pelas retas paralelas aoeixo focal e passando pelos pontos B1 e B2.

Observe que c > a e, portanto, a excentricidade de uma hiperbole e e = ca

> 1.Usando as igualdade ρ1 = dist(P, F1) = ex + a e ρ2 = dist(P, F2) = ex − a para os raiosfocais de uma hiperbole, concluımos que ela e uma conica com duas diretrizes paralelasao eixo conjugado e simetricas em relacao ao centro. Por exemplo, considerando o focoF1(−c, 0) temos a reta d1 : x + a

e= 0 como diretriz associada.

oF1 F

2

A1 A

2

B2

B1

d1

x

y

R

S

4.4 Reducao de uma conica a sua forma canonica

Dado uma equacao cartesiana geral de uma conica

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (7)

uma pergunta natural seria: Ela representa qual curva? Responder a essa pergunta etratar de um segundo problema fundamental da geometria; o de reconhecer um objetogeometrico a partir de sua equacao cartesiana. E claro que no caso de uma conica aresposta depende das constantes A, B, C, D, E e F que aparecem na equacao. Tudoe resolvido escolhendo um sistema de eixos coordenados especial, mediante translacao erotacao de eixos, e encontrando a equacao da conica em relacao a esse sistema. Essasequacoes estarao na forma reduzida, conforme visto na secao anterior.

4.4.1 Formula de reducao e classificacao de uma conica

Observamos que se a equacao geral de uma conica decompoe-se no produto de doisfatores lineares, entao a equacao representa uma conica degenerada, ou seja, um pontoou uma reta ou ainda um par de retas concorrentes. Da igualdade

4A[Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F

]= 0

podemos escrever

[2Ax + By + D]2 = (B2 − 4AC)y2 + 2(BD − 2AE)y + D2 − 4AF.

Logo, concluımos que a conica e degenerada se

(B2 − 4AC)y2 + 2(BD − 2AE)y + D2 − 4AF (8)

possui raızes reais duplas (discriminante nulo). Para isso devemos ter:

4(BD − 2AE)2 − 4(B2 − 4AC)(D2 − 4AF

)= −16A

[4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2

]= 0.

Se este for o caso, entao podemos escrever

[2Ax + By + D]2 =(B2 − 4AC

)(y − y0)

2,

sendo y0 a raiz dupla do trinomio (8) e, resolvendo a equacao em relacao a uma dasvariaveis obtemos as equacoes das ”retas”. Por exemplo, se A = 0 podemos escrever

x =−(By + D) ± √

(B2 − 4AC)y2 + 2(BD − 2AE)y + D2 − 4AF

2A.

A expressao

Δ = 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2

e chamada discriminante da equacao de uma conica. Admitindo-se C = 0 e procedendocomo acima resulta na mesma expressao para o discriminante.

Quando Δ = 0 a equacao representa uma conica nao degenerada; adotando um sistemade eixos coordenados adequado podemos reduzir sua equacao cartesiana a forma reduzidae, consequentemente, classifica-la.

Para isso, fazemos primeiro uma mudanca de coordenadas dada por uma rotacao deeixos com o objetivo de eliminar o termo cruzado xy na equacao cartesiana geral (7).

O

P(x,y)

CE

A F

D

B

x

yy

x

~

~

As formulas de rotacao que estabelecem as relacoes entre as coordenadas (x, y) de umponto P , em relacao ao sistema xy, com suas coordenadas (x, y) em relacao ao sistema

xy sao:

x = x cos(θ) − ysen(θ); (9a)

y = xsen(θ) + y cos(θ); (9b)

x = x cos(θ) + ysen(θ); (9c)

y = −xsen(θ) + y cos(θ). (9d)

Aplicando as formulas (9a-9d) a equacao geral de uma conica obtemos sua equacao emrelacao ao sistema de eixos xy :

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

com

A = A cos2(θ) + B cos(θ)sen(θ) + Csen2 (θ);

B = B cos(2θ) − (A − C)sen(2θ);

C = Asen2 (θ) − B cos(θ)sen(θ) + C cos2 (θ);

D = D cos(θ) + Esen(θ);

E = −Dsen(θ) + E cos(θ);

F = F.

Essas igualdades fornecem as seguintes relacoes entre os coeficientes das duas equacoes:

A + C = A + C;

A − C = Bsen (2θ) + (A − C ) cos (2θ) ;(B

)2

+ (A − C)2 = B2 + (A − C)2;(B

)2

− 4AC = B2 − 4AC.

Isso mostra que as expressoes A + C = A + C e(B

)2

− 4AC = B2 − 4AC, bem como o

termo independente F = F , sao invariantes por rotacao de eixos.

A expressaoI = B2 − 4AC

e chamado indicador da equacao da conica.A fim de simplificar a equacao de uma conica, eliminando o termo xy, devemos realizar

uma rotacao de um angulo θ de modo que B = 0. Isso corresponde a uma conica comeixo focal paralelo ao eixo x. Neste caso, devemos ter

B = B cos(2θ) − (A − C)sen(2θ) = 0 ⇔ tag(2θ) =B

A − C.

Usando a igualdade2tag(θ)

1 − tag2 (θ)= tag(2θ) =

B

A − C= γ,

concluımos que a equacao tag(2θ) = B

A−Cpossui duas solucoes distintas, raızes da equacao

γtag2 (θ) + 2tag(θ) − γ = 0 .

Ou seja,

tag(θ) =−1 ±

√1 + γ2

γ.

Nas aplicacoes sempre usamos a solucao θ com 0 < θ < π2

e, apos a rotacao de eixos dadapor esse angulo, a equacao da conica toma a forma

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (10)

Agora, consideremos uma mudanca de coordenadas dadas por uma translacao de eixos.As formulas de translacao que estabelecem as relacoes entre as coordenadas (x, y) de umponto P , em relacao ao sistema xy, com suas coordenadas (x, y) em relacao ao sistemaxy sao simplesmente,

x = x + x0,

y = y + y0,

em que (x0, y0) sao as coordenadas, no sistema xy, do ponto O origem do sistema xy.Aplicando essas relacoes a equacao

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (11)

de uma conica obtemos sua equacao cartesiana em relacao ao sistema xy

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (12)

com

D = 2Ax0 + By0 + D;

E = Bx0 + 2Cy0 + E;

F = Ax20 + Bx0y0 + Cy2

0 + Dx0 + Ey0 + F .

Logo, concluımos que os coeficientes A, B e C dos termos de segundo grau na equacao dasconicas (11) sao invariantes por translacao de eixos. Portanto, tambem sao as expressoes

A + C e(B

)2

− 4AC.

Para que na equacao (12) nao haja termos do primeiro grau (Dx e Ey) devemos ter

(00

)=

(D

E

)=

(2A B

B 2C

) (x0

y0

)+

(D

E

)(13)

Esse sistema sera possıvel e determinado se o indicador da conica I =(B

)2

− 4AC =

B2 − 4AC for nao nulo. Se esse for o caso, os valores de (x0, y0) da solucao desse sistemafornecem uma translacao que elimina os termos de primeiro grau na equacao. Neste caso,a equacao da conica em relacao ao sistema de eixos cartesianos xy toma a forma

Ax2Bxy + Cy2 + F = 0. (14)

Quando B = 0 a equacao (14) fornece imediatamente as equacoes reduzidas das conicas.O desenvolvimento acima, alem de permitir reduzir a equacao de uma conica a sua formareduzida, em relacao a um sistema de eixos adequado, tambem fornece a seguinte classi-ficacao:

Teorema 4.1 Uma vez determinados os valores do discriminante Δ = 4ACF + BDE −AE2 − CD2 − FB2 e do indicador I = (B)2 − 4AC tem-se:

a) Se Δ = 0 a equacao Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma conicadegenerada;

b) Se Δ = 0 a equacao Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma conicasuave, que apos uma rotacao por um angulo

θ =1

2arctag

(B

A − C

)

seguida de uma translacao de eixos e representada por uma equacao da forma Ax2 +Cy2 + F = 0, com I = B − 4AC = −4AC. Logo,

i) Se I < 0 temos que A e C possuem sinais iguais, e trata-se de uma conica do generoelipse;

ii) Se I > 0 temos que A e C possuem sinais contrarios, e trata-se de uma conica dogenero hiperbole;

iii) Se I = 0 temos que A = 0 ou C = 0, e trata-se de uma conica do genero parabola.

4.4.2 O Cabri Geometre II e a reducao das conicas

Vamos usar o Cabri Geometre para simular o efeito das translacoes e rotacoes naequacao de uma conica. Para isso, construımos alguns macros utilizando os conceitosda secao 4.2.2, as propriedades focais das conicas e a informacao que toda conica (suaequacao cartesiana) e caracterizada por cinco condicoes geometricas independentes. Emparticular, e suficiente o conhecimento das coordenadas de cinco de seus pontos para quepossamos determinar sua equacao. Observe que se as constantes A, B e C sao todas nulas,entao a conica sera uma reta ou ponto. Caso contrario, as coordenadas dos cincos pontosde uma conica fornecem um sistema de ordem cinco. Por exemplo, se A = 0 podemosescrever ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + BAx1y1 + C

Ay1 + D

Ax1 + E

Ay1 + F

A= 0

x2 + BAx2y2 + C

Ay2 + D

Ax2 + E

Ay2 + F

A= 0

x3 + BAx3y3 + C

Ay3 + D

Ax3 + E

Ay3 + F

A= 0

x4 + BAx4y4 + C

Ay4 + D

Ax4 + E

Ay4 + F

A= 0

x5 + BAx5y5 + C

Ay5 + D

Ax5 + E

Ay5 + F

A= 0

A solucao desse sistema fornece constantes que determinam a equacao da conica!Uma macro construcao para o Cabri que e capaz de “determinar” a equacao de uma

elipse de foco F1 e diretriz d1 e excentricidade e pode ser construıda seguindo o roteiro:dado um ponto F1, uma reta d1 e um segmento de medida e (0 < e < 1) execute osseguintes procedimentos:

1. Considere a distancia da diretriz ao vertice O

a

e= dist(d1, F1) + c,

em que c e a distancia do foco F1 ao vertice O.

2. Determine o valor de a e c pelas formulas:

a =

[e

1 − e2

].dist(d1, F1)

c = a.e

(use a ferramenta calculadora, com opcao precis~ao numerica de 5 dıgitos);

3. Determine o foco F2 com dist(F1, F2) = 2c, que esta situado na semi-reta que temorigem em d, passa por F1 e e perpendicular a reta d (use a ferramenta compasso

ou transferencia de medidas) ;

4. Usando o metodo das tangentes (ver secao 8.2), construa a elipse de focos F1 e F2

e eixo maior de comprimento 2a (PF1 + PF2 = 2a);

5. Determine cinco pontos sobre essa elipse;

6. Use a ferramenta conica pontos para encontrar a elipse sem usar as ferramentasrastro ou lugar geometrico;

7. Retorne a precisao numerica do Cabri para um dıgito;

8. Determine as equacoes dos elementos: diretriz, foco e elipse, usando a ferramentaequac~oes e coordenadas.

Observacao 4.4 Uma caracterıstica interessante nessa construcao e que ela permite usaro carater dinamico do Cabri para simular translacao e rotacao de eixos. Construcoessemelhantes podem ser realizadas para viabilizar a simulacao no caso da parabola e dahiperbole.

4.5 Generalizacoes: algumas quadricas de rotacao

As superfıcies de rotacao geradas pela rotacao de uma conica de excentricidade e emtorno de seu eixo focal (paraboloide de rotacao, elipsoide de rotacao e hiperboloide deduas folhas de rotacao), admitem uma caracterizacao como lugar geometrico analogo aosdas conicas. Vamos representar uma tal superfıcie por Se. Sejam π um plano do espaco,F um ponto que nao pertence ao plano π e 0 < e < 1 um numero real.

A superfıcie Se de foco F , diretriz π e excentricidade e e o lugar geometrico dos pontosP (x, y, z) tais que

dist(P, F )

dist (P, π)= e.

Dado uma superfıcie Se, tomando para eixo x a reta perpendicular ao plano π passandopelo ponto F , e para eixos y e z duas retas perpendiculares entre si e perpendicularesao eixo x, passando pela intersecao O do plano π com o eixo x, obtemos um sistema deeixos coordenados cartesiano para o espaco. Em relacao a esse sistema temos π : x = 0e F (2p, 0, 0). Assim, um ponto de coordenadas (x, y, z) pertence a superfıcie Se se, esomente, se

e =dist(P, F )

dist(P, π)=

√(x − 2p)2 + (y − 0)2 + (z − 0)2

|x| .

E, podemos escrever(1 − e2)x2 − 4px + y2 + z2 = −4p2. (15)

Quando a excentricidade e assume o valor 1 temos a seguinte equacao cartesiana para asuperfıcie S1

y2 + z2 = 4p(x − p).

Para 0 < e < 1 os numeros a = 2pe

1−e2 e b = 2pe√1−e2

sao positivos e completando o quadradona variavel x obtemos, apos simplificacao, a equacao cartesiana para a superfıcie Se

(x − 2p

1−e2

)2

a2+

y2

b2+

z2

b2= 1.

Agora, quando e > 1 o numero 1 − e2 e negativo e podemos reescrever a equacao como

(x − 2p

1−e2

)2

a2− y2

b2− z2

b2= 1,

em que, a = 2pe

e2−1e b = 2pe√

e2−1sao numeros positivos.

Resumindo temos o seguinte:

1. Para e = 1 a equacao (15) representa um paraboloide de rotacao;

2. Para 0 < e < 1 a equacao (15) representa um elipsoide de rotacao;

3. Para e > 1 a equacao (15) representa um hiperboloide de duas folhas de rotacao.

5 Retas tangentes a uma conica.

Ja mostramos que a equacao geral de uma conica e da forma

Ax + By + Cx + Dy + E = 0.

Logo, as intersecoes de uma reta com uma conica sao dadas analiticamente pelo sistemade equacoes

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

y − mx − b = 0.

Por uma substituicao direta podemos resolve-lo para x. O resultado e uma equacaoquadratica

ax2 + bx + c = 0

para as coordenadas x da intersecao. Tais equacoes tem no maximo duas solucoes. Asretas que intersectam as conicas em dois pontos sao denominadas retas secantes. Recor-damos que as retas secantes que passam pelos pontos P e Q atingem uma posicao limitequando Q tende a P , que se define como a reta tangente a conica no ponto P . Um examemais detalhado permite concluir que as retas que intersectam a conica em um unico pontopodem nao ser tangentes a conica (no caso de uma elipse essa e uma condicao suficiente).Elas sao de um dos seguintes tipos:

a) uma reta tangente;

b) uma reta paralela ao eixo se a conica e uma parabola;

c) uma reta paralela a uma assıntota se a conica e uma hiperbole.

Portanto, uma condicao necessaria e suficiente para que uma reta seja tangente a umaconica num ponto P dessa curva e que a reta, menos o ponto P, esteja totalmente contidana regiao chamada exterior da curva.

Podemos dar uma caracterizacao das tangentes a uma conica de maneira mais precisanas seguintes proposicoes:

Proposicao 5.1 Sejam P um ponto da parabola de foco F e diretriz d e t a reta bissetrizdo angulo ∠FPD, em que D e pe da perpendicular a reta d passando por P . Temos quet e reta tangente a parabola C no ponto P sendo tambem a mediatriz do segmento FD.

Demonstracao:t

d O

F

D

P

Q

D’

Observamos que uma parabola separa os demais pontos do plano em duas regioes:uma, onde cada ponto tem distancia ao foco menor que sua distancia a diretriz ( interiorda curva) e outra onde a distancia de cada ponto ao foco e maior que a distancia adiretriz ( exterior da curva). Sendo P um ponto da parabola, no triangulo �PFD temosPF = PD. Assim, a reta t, bissetriz do angulo ∠FPD, e tambem mediana e alturado triangulo �PFD. Em outras palavras, a reta t e mediatriz do segmento FD. Sejaagora Q um ponto qualquer da reta t, distinto de P . Se D e pe da perpendicular a retad passando por Q temos que m∠QDD′ < m∠QD′D e, portanto, QF = QD > QD′, ouseja, Q e exterior a parabola. Logo, concluımos que a reta t e tangente a parabola em P .

Proposicao 5.2 Sejam uma elipse C de diretriz d e focos F1 e F2 e P um ponto de C.

Se a reta t e a bissetriz do angulo determinado pela semi-reta−→PE, oposta a semi-reta−−→

PF1, e pela semi-reta−−→PF2, entao t e a tangente a elipse no ponto P .

Demonstracao:

F

E

P

1F

2

X

F1

Q

t

Recordamos que a elipse C e o lugar geometrico dos pontos X que satisfazem a pro-priedade metrica, XF1 + XF2 = k (constante). Como no caso da parabola, a elipsesepara os demais pontos do plano em duas regioes: uma, onde cada ponto X satisfaz

XF1 + XF2 < k ( interior da curva) e outra onde cada ponto X satisfaz XF1 + XF2 > k

( exterior da curva). Logo, uma reta sera tangente a elipse C em um ponto P se, e so-mente se, intersectar C em P e, qualquer que seja o ponto X da reta distinto de P , setenha: XF1 + XF2 > k. Seja, agora, um ponto P na elipse C e tomemos uma reta t que

seja bissetriz do angulo determinado pela semi-reta−→PE, oposta a semi-reta

−−→PF1, e pela

semi-reta−−→PF2. Afirmamos que t e a tangente a C em P . De fato, dado um ponto Q em

t distinto de P , seja F ′1 o ponto da reta

←−→PF2 com F1P = PF ′

1. Temos que o triangulo�F ′

1PF1 e isosceles, logo, a reta t e a mediatriz do segmento F ′1F1 e F1Q = QF ′

1. Segue-seentao da desigualdade triangular aplicada ao triangulo �F ′

1QF2 que :

QF1 + QF2 = F ′1Q + QF2 > F ′

1F2

= F ′1P + PF2 = PF1 + PF2 = k.

Portanto, Q e exterior a elipse e a reta t e tangente a elipse em P .

Proposicao 5.3 Sejam uma hiperbole C de diretriz d e focos F1 e F2 e P um ponto de

C. Se a reta t e a bissetriz do angulo determinado pelas semi-retas−−→PF1 e

−−→PF2, entao t

e a tangente a hiperbole no ponto P .

Demonstracao:

t

A Q

P

F1 F

2

X

Temos que a hiperbole C e o lugar geometrico dos pontos X que satisfazem a pro-priedade metrica, |XF1 − XF2| = k (constante). Os dois ramos da hiperbole dividem ospontos do plano em tres regioes: uma regiao compreendida entre os dois ramos ( exterior dacurva), onde cada ponto X dessa regiao satisfaz , |XF1 − XF2| < k (k < XF1−XF2 < k)e outras duas que sao internas a cada um dos ramos da hiperbole (vamos chamar a uniaodessas duas regioes de interior da curva). Os pontos X da regiao interna ao ramo quecontem F1 satisfazem a desigualdade XF1 − XF2 < −k e os da regiao interna ao ramoque contem F2 satisfazem a desigualdade XF1 − XF2 > k. Logo, uma reta sera tangentea hiperbole C em um ponto P se, e somente se, intersectar C em P e, qualquer que seja oponto X da reta distinto de P , |XF1 −XF2| < k. Sejam, agora, um ponto P da hiperbole

C e t a bissetriz do angulo determinado pelas semi-retas−−→PF1 e

−−→PF2. Afirmamos que t e

a tangente a C em P . De fato, seja Q um ponto da bissetriz t, distinto de P , e considere

um ponto A da semi-reta−−→PF1 tal que PA = PF2. Temos |PF1 − PF2| = PA e, portanto,

PA = k. Como o triangulo �APF2 e isosceles a reta t e a mediatriz do segmento AF2,assim, o triangulo �AQF2 tambem e isosceles. E, em particular, temos QA = QF2.Segue-se da desigualdade triangular aplicada ao triangulo �QAF1 que QA < QF1 + F1A

e QF1 < QA + AF1. Consequentemente, temos

QA − AF1 < QF1 < QA + AF1

o que fornece: −AF1 < QF1 −QA < AF1, ou seja, |QF1 −QA| < AF1. Como QA = QF2

e AF1 = k obtemos|QF1 − QF2| < k,

para todo ponto Q diferente de P . Portanto, t menos o ponto P esta no exterior dahiperbole e concluımos que a reta t e tangente a hiperbole em P .

6 Propriedades Refletoras das Conicas e Aplicacoes

Na fısica Classica, os raios de luz e as ondas sonoras propagam-se no espaco em linhareta e radialmente a partir de sua fonte. Alem disso, se a fonte esta muito distante de seudestino, essas ondas chegam ao destino formando um feixe praticamente paralelo, como e ocaso das ondas de radio ou as luminosas provenientes de um corpo celeste distante (estrela,galaxia, planetas, etc). Chegando em linha reta elas refletem num ponto de uma superfıciesuave na mesma direcao que refletiriam num plano que e tangente a superfıcie nesse ponto.Ou seja, seguindo a lei da Fısica : “o angulo de incidencia e igual ao angulo de reflexao”.Por causa da relacao especial entre o foco de uma conica suave e suas tangentes (verProposicoes 5.1, 5.2 e 5.3), superfıcies refletoras (espelhos, antenas, etc) com o formato deuma superfıcie de rotacao, geradas pela rotacao de uma parabola em torno de seu eixo,ou de uma elipse ou hiperbole em torno de seu eixo focal, tem propriedades refletoras quesao uteis em varias aplicacoes tecnologicas. Abaixo apresentamos algumas delas.

Superfıcies refletoras parabolicas (paraboloide): Uma onda de radio encontrandouma antena receptora parabolica, numa direcao paralela ao seu eixo, refletira na direcaodo foco da parabola que gera a superfıcie parabolica (ver Proposicao 5.1). Isso justificaporque as antenas que captam sinais do espaco sao de formato parabolico, pois e necessariocapta-los e concentra-los em um unico ponto para serem tratados, de acordo com o fim aque se destinam.

Um fenomeno analogo ocorre com um raio de luz que encontra um espelho paraboliconuma direcao paralela a seu eixo, ele refletira no foco da parabola. Como exemplo deaplicacao dessa propriedade temos os coletores solares.

Por outro lado, os raios luminosos que irradiam de um holofote ou farol de carro re-fletem em sua superfıcie, de formato parabolico, de forma que os raios refletidos sejamparalelos.

Superfıcies refletoras elıpticas (elipsoide): Uma consequencia da Proposicao 5.2e que uma onda sonora ou luminosa que irradia do “foco” de uma superfıcie refletoraelıptica reflete para o outro “foco”. Essa propriedade e usada na construcao de refletoresodontologicos, aparelhos de emissao de certos raios usados em medicina ou nas salas desussurros.

Os refletores de dentistas usam refletores elıpticos que tem como objetivo concentrar omaximo de luz onde se esta trabalhando e tambem evitar que os raios luminosos ofusquema visao do paciente, causando um certo desconforto.

O aparelho de radioterapia para tratamento medico emite raios cujo objetivo e destruirtecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao reder, sendo assim elesse valem de espelhos elıpticos para concentrar os raios em um determinado ponto.

Existem certas formatos de construcoes de salas que dao condicoes acusticas especiaisem auditorios, teatros, catedrais, como acontece na Catedral de S. Paulo(Londres) e noedifıcio do Capitolio em Washington, D. C. Elas sao projetadas num formato de partede um elipsoide de modo que exista dois pontos, onde duas pessoas, uma em cada umdesses pontos (“focos” do elipsoide), podem se comunicar em voz sussurrada, inaudıvelno restante da sala.

Superfıcies refletoras hiperbolicas (hiperboloide de duas folhas): Consideremosum espelho refletor com o formato de uma folha do hiperboloide gerado pela rotacao deuma hiperbole em torno de seu eixo focal, sendo que a parte refletora esta do “lado deexterno” do hiperboloide (parte concava). Segue da Proposicao 5.3 que um raio de luzirradiado de uma fonte A incide segundo uma reta no espelho e e refletido numa direcaopassando pelo “foco” da outra folha do hiperboloide. Alguns telescopios denominadosrefletores usam um espelho hiperbolico secundario, alem do refletor parabolico principal,para redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente. Sua construcaofoi proposta por Cassegrain em 1.672. Ela utiliza um segundo espelho refletor hiperbolico

com seu “foco” coincidindo com o foco do espelho principal, de formato parabolico, con-forme mostra a figura. Seu objetivo e fazer com que a imagem, apos ser refletida, sejaformada na posicao do foco da outra folha do hiperboloide. Existem algumas vantagensna montagem desse tipo de telescopio. O famoso telescopio otico do observatorio deMonte Palomar, que fica a 80 Km a noroeste de San Diego, na California, utiliza variasmontagens do tipo de Cassegrain.

7 Outras Aplicacoes das Conicas

Existem outras aplicacoes que utilizam algumas propriedades das conicas. Elas apare-cem nas construcoes civis, em problemas de navegacao e comunicacao.

7.1 O sistema LORAN

O sistema LORAN de localizacao em navegacao (Navegacao de Longa Distancia) per-mite ao navegante de um navio ou aviao achar sua posicao sem confiar em marcos visıveis.Usando para isso o conceito de lugar geometrico que define a hiperbole. Seu princıpiobasico de funcionamento e bastante simples, o qual passamos a descrever. Estacoes deradio situadas simultaneamente em posicoes F1 e F2 emitem sinais que sao recebidos pelonavegante situado numa posicao P . O navegante mede o intervalo

�t = t2 − t1

entre o instante t2, tempo quando ele recebe o sinal enviado por F2, e o instante t1, tempoquando ele recebe o sinal de F1. Se T1 e o intervalo de tempo que leva o sinal emitidopor F1 para alcancar a posicao do navegante, e T2 e o intervalo de tempo que leva o sinal

emitido por F2 para alcancar a posicao do navegante, entao a diferenca entre a distanciada posicao do navegante a F1 e a distancia da posicao do navegante a F2 e

PF2 − PF1 = c�t,

em que c e a velocidade do som no ar.Portanto, embora o navegante nao possa medir T1 e T2 diretamente sem saber quando

os sinais foram enviados, ele pode medir com precisao a diferenca entre os instantes queos sinais foram recebidos, que e o bastante para determinar que o navio esta em algumponto P da hiperbole cuja equacao e

PF1 − PF2 = c�t.

Assim, o navegante pode localizar sua posicao se ele receber sinais de tres estacoes deradio situadas em F1, F2, F3.

F1

F2

F3

P

Cada par de estacoes da uma hiperbole que contem a posicao do navegante, assimsua posicao exata e o ponto onde as tres hiperboles intersectam. Ela pode ser determi-nada atraves da plotagem das tres hiperboles em um mapa, obtendo a intersecao comumou usando coordenadas e computando algebricamente a intersecao. (Na realidade, serianecessario levar em conta a curvatura da Terra e tambem que os sinais de radio podemter sido refletidos e outras fontes potenciais de erro.)

7.2 Construcao de usinas atomicas

Podemos mostrar que o hiperboloide de uma folha gerado pela rotacao de umahiperbole em torno do seu eixo transverso e tambem gerado por uma reta. Ou seja, elepode ser considerado como sendo formado por uma uniao de retas (superfıcie regrada).Assim, seu formato e usado na construcao de centrais de energia atomica, onde barras deaco retilıneas (que tem alta resistencia) se cruzam para obter estruturas extremamentefortes.

8 Construindo Conicas por Meio de “Dobradura de

Papel” no Computador

A nossa intuicao nos diz que se conhecemos a reta tangente em cada ponto de umacurva plana, entao podemos dizer quem e a curva, a menos de sua posicao no plano. Naverdade esse e um resultado que pode ser provado num curso de Geometria Diferencial!

Usando a caracterizacao da parabola, elipse e hiperbole por meio de suas propriedadesfocais e mais as Proposicoes 5.1 5.2 e 5.3 podemos justificar as construcoes das conicas pormeio de dobraduras (conhecidas como Metodo de Van Schooten, holandes que construıaaparelhos para tracar conicas). Essas construcoes fornecem ilustracoes (exemplos) para oque afirmamos acima.

8.1 A construcao da parabola pelo metodo da dobradura

t

d O

F

D

P

Q

D’

Usando uma folha de papel-manteiga execute os seguintes procedimentos:

1. Desenhe uma reta horizontal d (diretriz da parabola), numa folha de papel-manteigae marque, fora dessa reta, um ponto fixo F (foco da parabola).

2. Selecione um ponto D sobre a reta e dobre o papel-manteiga de forma a fazercoincidir os pontos D e F . A figura abaixo, ilustra a construcao de uma dobra. Elacoincide com a reta t tangente a parabola).

3. Repita essa operacao para diferentes escolhas de pontos sobre a diretriz. Realizandoesta operacao um numero suficiente de vezes, podemos observar que as dobras pare-cem tangenciar uma curva que e uma parabola.

Uma maneira de simular esta construcao no computador e utilizar o software CabriGeometre II. Um roteiro para esta simulacao e:

1. Construa uma reta d e um ponto F fora da reta d.

2. Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre a reta d.

3. Construa a mediatriz t do segmento DF .

4. Construa a perpendicular l a reta d, por D.

5. Com a ferramenta ponto de intersec~ao, obtenha o ponto P , intersecao de t e l.

6. A parabola e o lugar geometrico dos pontos P quando D se move ao longo da retad. (ver Proposicao 5.1);

7. Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, use aferramenta animacao e faca o ponto D mover-se sobre a reta d. O rastro deixadopela reta t faz o papel das dobras!

8.2 A construcao da elipse pelo metodo da dobradura

D

F1

F2

t

1. Sobre uma folha de papel-manteiga marque um ponto F1 mais ou menos no centroda folha.

2. Com o auxılio do compasso, desenhe dois cırculos centrados em F1 e de raios 2a(pelo menos 14 cm de raio) e 2c (c menor do que a).

3. Trace uma semi-reta horizontal com origem em F1 e tome o ponto F2 intersecao dasemi-reta com o cırculo de raio 2c.

4. Escolha um ponto D sobre o cırculo de raio 2c e dobre o papel-manteiga de formaa fazer coincidir os pontos D e F2. A figura abaixo, ilustra a construcao de umadobra. Ela coincide com a reta t tangente a elipse.

5. Repita essa operacao para diferentes escolhas do ponto D. Quando voce tiver rea-lizado esta operacao um grande numero de vezes podera observar que as dobrasparecem tangenciar uma curva.

6. O lugar geometrico dos pontos de tangencia P quando D percorre o cırculo e umaelipse (ver Proposicao 5.2).

Um roteiro para simulacao da dobradura da elipse usando o Cabri:

1. Construa dois segmentos de medidas 2a e 2c com 2a > 2c.

2. Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r.

3. Utilizando a ferramenta compasso, construa dois cırculos concentricos de centro F1

com raios 2a e 2c.

4. Com a ferramenta ponto de intersec~ao obtenha o ponto F2, ponto de intersecaoda reta r e o cırculo de raio 2c.

5. Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre o cırculo deraio 2a.

6. Construa a mediatriz t do segmento DF2.

7. Construa a reta l passando por F1 e D.

8. Com a ferramenta ponto de intersec~ao obtenha o ponto P , intersecao de t e l.

9. A hiperbole e o lugar geometrico dos pontos P quando D se move ao longo docırculo. Justifique!

10. Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, faca o pontoD mover-se sobre o cırculo.

8.3 A construcao da hiperbole pelo metodo da dobradura

A construcao da hiperbole via dobradura e muito semelhante a da elipse um roteiropara simular esta construcao utilizando o Cabri e dado pelos seguintes procedimentos:

1. Construa dois segmentos de medidas 2a e 2c com 2a < 2c.

2. Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r.

3. Utilizando a ferramenta compasso, construa dois cırculos concentricos de centro F1

com raios 2a e 2c.

4. Com a ferramenta ponto de intersec~ao obtenha o ponto F2, ponto de intersecaoda reta r e o cırculo de raio 2c.

5. Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre o cırculo deraio 2a.

6. Construa a mediatriz t do segmento DF2.

7. Construa a reta l passando por F1 e D.

8. Com a ferramenta ponto de intersec~ao obtenha o ponto P , intersecao de t e l.

9. A hiperbole e o lugar geometrico dos pontos P quando D se move ao longo docırculo. Justifique!

10. Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, faca o pontoD mover-se sobre o cırculo.

11. Observando a simulacao, descreva um procedimento para construir uma parabolaatraves de dobradura de papel.

9 Alguns Aparatos Usados na Construcao de Conicas

Nessas construcoes vamos precisar trabalhar numa prancheta de madeira de di-mensoes mınimas 50 × 60 × 2 cm. Tambem usaremos alguns materiais como: reguasimples de madeira, uma regua de madeira no formato de T , tesoura, barbante, lapis epregos ou percevejos.Construindo uma parabola:

F

d

1. Fixe um prego num ponto F (foco da parabola) da prancheta.

2. Considere a lateral da prancheta como a diretriz d da parabola.

3. Corte um pedaco de barbante pouco maior que o comprimento da regua T .

4. Prenda uma extremidade do barbante na extremidade do tronco da regua T e a outrano foco F , de modo que a parte livre do barbante tenha exatamente o comprimentoda regua.

5. Trace uma curva deslizando a regua T ao longo da diretriz, enquanto mantem obarbante esticado com seu lapis e em contato com o tronco da regua T . A curva eparte de uma parabola com foco F e diretriz d.

Observe que a distancia da ponta do lapis a diretriz e igual a distancia ao ponto F.Portanto, a curva que o lapis descreve e uma parabola. (Ver caracterizacao focal daparabola)Construindo uma elipse:

F F1 2

P

1. Fixe dois pregos na prancheta nos pontos F1 e F2.

2. Tome um pedaco de barbante cujo comprimento seja maior que a distancia F1F2.A amarre suas pontas em F1 e F2 de modo que a parte livre do barbante ligando osdois pregos tenha comprimento l = 2a.

3. Trace uma curva com o lapis ao redor dos dois pregos mantendo o barbante esticado.

A curva tracada sera uma elipse com focos F1 e F2, satisfazendo a equacao PF1+PF2 =2a para todo ponto P da curva. . (Ver caracterizacao focal da elipse)

Construindo uma hiperbole I:

F2

F1

1. Prenda uma extremidade da regua simples de madeira sobre a prancheta com umprego no ponto F1, de modo a permitir que ela gire em torno do prego.

2. Fixe um segundo prego na prancheta no ponto F2.

3. Tome um pedaco de barbante com comprimento tal que

0 < (comprimento da regua) − (comprimento do barbante) < F1F2.

4. Mantenha o lapis em contato com a regua de modo a deixar o barbante esticado.Ao mesmo tempo gire a regua em torno de F1.

A curva que o lapis descreve e parte de uma ramo da hiperbole que satisfaz a equacaoPF1−PF2 = (comprimento da regua)− (comprimento do barbante) para todos os pontosP .Construindo uma hiperbole II:

F2

F1

P

1. Fixe dois pregos na prancheta nos pontos F1 e F2.

2. Tome um pedaco de barbante cujo comprimento seja bem maior que duas vezes adistancia F1F2.

3. Passe o barbante em torno de F2 e por cima de F1, mantendo juntas as suas ex-tremidades. Em seguida, amarre um lapis, em P , em uma das partes do barbante,mantendo-o esticado conforme mostra a figura.

4. Puxe ou afrouxe simultaneamente as duas pontas do barbante, mantendo-o esticadoatraves do lapis.

A diferenca inicial PF1 − PF2 = 2a manter-se-a constante e o lapis (ponto P ) descre-vera um ramo da hiperbole com focos F1 e F2, satisfazendo a equacao PF1 − PF2 = 2apara todo ponto P da curva.

Referencias

[1] Baldin, Y. Y. ET. Alli., Atividades com Cabri-Geometre II, Sao Carlos: EditoraEdUFSCar, 2002.

[2] Boyer, C. B., Historia da Matematica, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo, 1.974

[3] Goncalves, Z. M., Geometria Analıtica: Um Tratamento Vetorial Vol 1 e 2, LTC, Riode Janeiro, 1.978.

[4] Jennings, G. A., Modern Geometry with applications, Springer-Verlag, New York.

[5] Lindquist, M. M and Shulte A. P., Aprendendo e Ensinando Geometria, Traducao:Domingues, H. H.,Editora Atual,Sao Paulo 1998.

[6] Revista do Professor de Matematica, IMPA-SBM, Rio de Janeiro.

Matematica e Ensino: O estudo de AlgunsTopicos sobre Curvas Conicas via o

Software Cabri-Geometre II ∗

Rafael Siqueira Cavalcanti† Edson Agustini‡


Universidade Federal de Uberlandia - UFU - MG

ResumoNeste trabalho apresentamos seis construcoes geometricas envolvendo curvas conicascom o auxılio do software de geometria dinamica Cabri Geometre II. Propriedadesde reflexao das curvas conicas tambem sao exploradas nessas construcoes. Alemdisso, apresentamos uma secao com alguns aspectos historicos das seccoes conicasintroduzidas por Apolonio de Perga, (± 262 - 190 a.C.) e, uma outra secao comuma curiosidade historica (e sua justificativa) de como os antigos gregos faziampara identificar uma curva conica a partir de um foco e de um “pedaco” da mesma.

1 Introducao

O uso de recursos computacionais para auxiliar no estudo de matematica tem se tor-nado cada vez mais frequente e promissor. No estudo de geometria euclidiana planae geometria analıtica, o sofware Cabri Geometre II se apresenta como uma boa opcaode ensino-aprendizagem. Neste trabalho, fizemos uso do Cabri em um estudo de seisconstrucoes geometricas envolvendo elipses, hiperboles e parabolas (duas de cada). Aprincipal referencia utilizada nas construcoes foi o livro [1] de atividades com o Cabri.

Com essas construcoes geometricas, objetivamos motivar o aluno dos perıodos iniciaisde Matematica a estudar essa bela pagina da Geometria constituida pelas curvas conicas esuas propriedades (como as de reflexao). Alem disso, esperamos estimular o aluno ao usodo computador para a aprendizagem, e que as construcoes aqui abordadas possam servirde introducao para estudos e construcoes geometricas mais elaboradas sobre o assunto.

Uma breve introducao historica sobre as curvas conicas e apresentada e, finalizando otrabalho, incluimos um interessante estudo de como os antigos gregos faziam reconheci-mento dessas curvas utilizando um dos focos e um “pedaco” da curva conica.

Finalmente, como pre-requisito a este estudo, colocamos apenas uma pequena famil-iaridade com alguns conceitos basicos de geometria plana.

∗Este trabalho foi desenvolvido no primeiro semestre letivo de 2004 como parte das ativi-dades do projeto de ensino “Acoes Integradas para Melhoria do Ensino de Matematica”viculado ao PIBEG - Programa Institucional de Bolsas de Ensino da Graduacao - UFU.

†[email protected] Orientando do Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduacao- Pibeg - de marco/04 a fevereiro/05.


2 Um Pouco da Historia das Curvas Conicas

Associado a historia das curvas conicas temos o nome de Apolonio, que nasceu na cidadede Perga, regiao da Panfılia (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproxi-madamente, ate 190 a.C.

Apolonio foi contemporaneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287a.C. e 212 a.C. e, juntamente Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.) forma a trıadeconsiderada como sendo a dos maiores matematicos gregos da antiguidade. Estudou comos discıpulos de Euclides em Alexandria e foi astronomo notavel.

Sua obra prima e Seccoes Conicas composta por 8 volumes (aproximadamente 400proposicoes!). Da obra original sobreviveram 7 volumes, sendo 4 escritos em grego e 3traduzidos para o arabe por Thabit Ibn Qurra (826 a 901) no sec. IX. Os tres primeirosvolumes sao baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, per-dido. Em 1710 Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Seccoes Conicaspara o latim e todas as demais traducoes para as lınguas modernas foram feitas a partirda traducao de Halley.

Apolonio escreveu pelo menos mais seis outras obras que, infelizmente, se perderamcom excessao de uma (que foi traduzida para o arabe na idade media). No entanto, aocontrario do oitavo volume de Seccoes Conicas, essas cinco obras perdidas foram restau-radas no seculo XVIII a partir de citacoes e comentarios em obras gregas antigas.

Embora Apolonio tenha sido o matematico que mais estudou e desenvolveu as conicasna antiguidade, essas curvas ja eram conhecidas em sua epoca, sendo os precursoresManaecmo, Aristeu e o proprio Euclides.

Figura 1: Apolonio de Perga.

Antes de Apolonio as conicas eram concebidas como interseccao de um cone simples(uma folha) com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, sendo essa interseccaouma:

(1) Elipse: quando o cone possui seccao meridiana aguda.

(2) Parabola: quando o cone possui seccao meridiana reta.

(3) Hiperbole: quando o cone possui seccao meridiana obtusa.

Com Apolonio, ao inves de se considerar um cone simples, tomamos um cone duplo,que pode ser reto ou oblıquo, e fazemos a interseccao com um plano tal qual consideramosnos atuais textos de geometria analıtica (Figura 2).

Figura 2: Seccoes conicas.

3 Quantos pontos determinam uma conica?

Esta secao tem por objetivo justificar um procedimento bastante comum quando usamoso software Cabri-Geometre II no estudo de conicas, que e o fato de que “cinco pontosdeterminam uma conica”.

Seja ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 equacao geral de uma conica, sendo a, b ou cdiferente de zero.

Suponha a �= 0. Logo:

x2 +b

ay2 +

c

axy +

d

ax +

e

ay +

f

a= 0.

Chamandob

a= α;

c

a= β;

d

a= γ;

e

a= δ;

f

a= ε, temos

x2 + αy2 + βxy + γx + δy + ε = 0

Fazendo (x, y) = (x1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) , (x4, y4) e (x5, y5) , temos o sistema linear:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x2

1 + αy21 + βx1y1 + γx1 + δy1 + ε = 0

x22 + αy2

2 + βx2y2 + γx2 + δy2 + ε = 0x2

3 + αy23 + βx3y3 + γx3 + δy3 + ε = 0

x24 + αy2

4 + βx4y4 + γx4 + δy4 + ε = 0x2

5 + αy25 + βx5y5 + γx5 + δy5 + ε = 0

que possui cinco equacoes e cinco incognitas. Se os pontos (xi, yi) ; i = 1, 2, 3, 4, 5; dadosforem distintos e nao colineares, temos como calcular α, β, γ, δ e ε e, portanto, encontrara equacao geral dessa conica.

Exemplo: Suponhamos que os pontos (6, 2) ; (4,−2) ; (−2, 1) ; (−3,−2) e (5, 6) pertencama uma curva conica. Logo, podemos montar o seguinte sistema linear:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

62 + 22α + (6) (2) β + 6γ + 2δ + ε = 0

42 + (−2)2 α + (4) (−2) β + 4γ − 2δ + ε = 0

(−2)2 + 12α + (−2) (1) β − 2γ + 1δ + ε = 0

(−3)2 + (−2)2 α + (−3) (−2) β − 3γ − 2δ + ε = 052 + 62α2 + (5) (6) β + 5γ + 6δ + ε = 0

cuja solucao e

α =1

24

√345 +

1

24; β = − 1

192

√345 − 157

192; γ = − 1

96

√345 − 253

96;

δ =1

32

√345 +

13

32; ε = − 5

48

√345 − 545

48.

que corresponde a uma elipse de equacao geral:

x2 + (0, 81559) y2 + (−0, 91445) xy + (−2, 8289) x + (0, 98669) y − 13, 289 = 0

cuja ilustracao pode ser vista na Figura 3:

Figura 3: Cinco pontos podem determinam uma curva conica.

4 Parabolas

4.1 A Parabola como Lugar Geometrico dos Centros das Cir-cunferencias que Contem um Ponto Fixo e sao Tangentes auma Reta Dada

Vamos utilizar o Cabri Geometre II para obter esse lugar geometrico.

Descricao da construcao:• Com a ferramenta “Reta” situada na terceira palheta da barra de ferramentas (semprecontando da esquerda para a direita), construimos uma reta qualquer e a rotulamos de d(opcao “Rotulo” na decima palheta).• Em seguida, com a opcao “Ponto” (segunda palheta) criamos um ponto qualquer noplano com a restricao de que o mesmo nao pertenca a reta d. Rotulamos este ponto de F.• Como proximo passo, utilizamos a opcao “Ponto sobre Objeto” para criarmos um pontoT sobre a reta d.• Usando a ferramenta “Reta Perpendicular” (quinta palheta), tracamos uma reta perpen-dicular a d passando por T e, em seguida, a rotulamos de r.• Tracamos entao o segmento TF (“Segmento”, terceira palheta) e sua mediatriz (“Mediatriz”,quinta palheta) a qual damos o rotulo m.• Com a opcao “Pontos de Interseccao” (segunda palheta) marcamos o ponto de interseccaoda reta r e da mediariz m. Rotulamos este ponto de P.

Seguindo os passos descritos acima nossa construcao no Cabri esta interativa. Paraverificar isso, clicamos sobre T e arrastamos o mesmo pela reta d. Que curva o ponto Pdescreve quando movimentamos T? Para visualizar o percurso de P habilitemos a opcao“Rasto On/Off” (decima palheta) e cliquemos sobre mesmo. Agora, movimentando oponto T sobre a reta d, obtemos Figura 4.

Figura 4: A parabola como lugar geometrico.

Aparentemente, a curva obtida e uma parabola de foco F e diretriz d, mas o quegarante que a figura realmente representa essa curva conica? Para responder essa per-gunta, vamos lembrar o conceito de parabola: damos o nome de parabola ao conjunto dospontos equidistantes do foco (no caso F ) e da diretriz (no caso d).

Vamos entao verificar, usando o Cabri, se na curva obtida a definicao de parabola estasatisfeita:

• Criamos com a ferramenta “Segmento” da terceira palheta, o segmento FP.

• Novamente, com a ferramenta “Segmento”, criamos o segmento PT.• Com a ferramenta “Distancia e Comprimento” medimos os segmentos FP e PT.

Observamos, como era esperado, que esses segmentos tem o mesmo comprimento in-dependente de como variamos T na reta d ou seja, a definicao de parabola foi “interati-vamente” satisfeita (Figura 5).

Figura 5: Verificando a definicao de parabola.

Para uma demonstracao formal de que o ponto P descreve uma parabola, tome oponto O como na figura acima. Temos que o triangulo OFP tem angulo reto em O, omesmo ocorrendo com o triangulo OTP. Isto ocorre do fato de a reta m ser mediatrizde FT. Tambem do fato de m ser mediatriz de FT, temos OF ≡ OT. Logo, temos pelocriterio de congruencia LAL (lado, angulo, lado) que OFP ≡ OTP. Logo, a medida deFP sempre e igual a medida de TP para qualquer P.

Observemos que P e centro de circunferencia tangente a d passando por F, ou seja,temos a parabola como lugar geometrico dos centros das circunferencias que contem umponto fixo F e sao tangentes a uma reta d dada.

Propriedade de Reflexao da Parabola:“Um “raio de luz” incidindo em uma parabola paralelamente ao seu eixo de simetria erefletido nesta passando pelo seu foco”.

Verifiquemos essa propriedade na construcao acima.Pela Lei de Snell, temos que o angulo de incidencia e igual ao angulo de reflexao.

Vamos verificar que estes angulos realmente sao iguais na nossa construcao:

• Seja a circunferencia com centro em P e raio PT. Essa circunferencia tem T como umdos pontos de interseccao com a reta r. O outro, rotulemos de Q. Com a ferramenta “RetaPerpendicular” tracamos a perpendicular a m passando por Q. Rotulemos de R o pe daperpendicular baixada de Q a m.

• Com a ferramenta “Angulo” medimos os angulos de incidencia QPR e reflexao FPO.Constatamos que suas medidas coincidem.

Justificativa: Construimos o triangulo retangulo RQP, com O ∗ P ∗ R (P entre O e R) eT ∗P ∗Q. Pelo criterio LAA0 (lado, angulo, angulo oposto), temos que OTP e congruentea RQP. Mas OTP e congruente a OFP, logo, RQP e congruente a OFP. Assim, o angulode incidencia QPR e congruente ao angulo de reflexao FPO. (Figura 6)

Figura 6: Verificando a propriedade de reflexao da parabola.

4.2 Uma Outra Construcao Para a Parabola

Descricao da construcao:

• Primeiramente, tracamos os eixos coordenados (“Mostrar Eixos” - decima primeira pal-heta). Em seguida, habilitamos a opcao “Definir Grade” (na mesma palheta) e clicamossobre um dos eixos.

• Criemos um ponto F qualquer, de coordenadas inteiras, ou seja, que esta sobre umponto da grade. Este ponto sera o foco da nossa parabola.

• Tracamos entao a diretriz d da parabola de modo que esta diretriz seja paralela ao eixodas abscissas. Para isso basta ativar a ferramenta “Reta” e clicar sobre dois pontos demesma ordenada.

• Com a ferramenta “Reta Perpendicular”, tracamos uma reta perpendicular a d passandopor F (eixo da parabola). Chamamos a interseccao desta reta com a diretriz de A.

• Para localizarmos o vertice dessa parabola usamos opcao “Ponto Medio” (quinta pal-heta), clicando uma vez sobre A e outra sobre F. Rotulamos este ponto de medio de V(vertice).

• Com a opcao “Semi-reta”, construımos a semi-reta de origem V e que contem F e, emseguida, construımos um ponto G sobre esta semi-reta.

• Tomemos uma reta perpendicular ao eixo da parabola passando por G. Feito isto,construımos o segmento GA e com a opcao “Pontilhado” (decima primeira palheta), pon-tilhamos este segmento.• Com a opcao “Compasso” (quinta palheta), criamos uma circunferencia de centro F eraio GA. Marcamos os ponto de interseccao desta circunferencia com a reta perpendicularpassando por G e os rotulamos de T1 e T2, respectivamente.• Utilizando a ferramenta “Lugar Geometrico”, clicamos uma vez sobre T1 e uma sobre G.Repitamos o processo clicando agora uma vez sobre T2 e uma sobre G.• Com a opcao “Conica” (quarta palheta), clicamos em cinco pontos distintos sobre o lugargeometrico obtido. Assim, o Cabri traca a parabola que coincide com o lugar geometricoobtido.• Ativamos agora a opcao “Equacao e Coordenadas” e clicamos sobre a parabola. Assimobtemos o seguinte resultado (Figura 7):

Figura 7: Outra construcao para a parabola.

Vamos fazer uma demonstracao formal de que a curva obtida e, realmente, umaparabola.

Tomemos um ponto Q qualquer da parabola de acordo com a Figura 8.Devemos mostrar que a distancia do ponto Q a diretriz da parabola e igual a distancia

deste mesmo ponto ao foco da parabola.Tracamos o segmento QP, perpendicular ao eixo das abscissas e com P pertencente a

d.Temos que o comprimento de QP e a distancia do ponto Q a diretriz da parabola e

que QP ≡ GA.Temos que QF ≡ GA possui comprimento igual a distancia do ponto Q ao foco da

parabola que, por construcao, e o raio da circunferencia com centro em F.Como o ponto Q e arbitrario, concluımos que a distancia de um ponto qualquer da

parabola a diretriz da mesma, e igual a distancia deste mesmo ponto ao foco da mesmaparabola.

Figura 8: Demonstracao formal para a parabola.

5 Elipses

5.1 A Elipse Como Lugar Geometrico dos Centros das Circun-ferencias que Contem um Ponto Fixo e sao Tangentes a umaCircunferencia Dada


• Com a ferramenta “Ponto” (segunda palheta) criamos dois pontos distintos no centroda tela e rotulamos estes pontos de F1 e F2, respectivamente.

• A seguir, com a opcao “Segmento” (terceira palheta), criamos um segmento de tamanhomaior que F1F2 para utilizarmos como raio da circunferencia que vamos construir.

• Com opcao “Compasso” (quinta palheta), clicamos sobre o segmento que construımose depois sobre o ponto F1. O Cabri traca uma circunferencia de raio igual a medida dosegmento que fizemos e centro no ponto F1. Rotulamos esta circunferencia de c. Devidoao fato do segmento que construımos ter medida maior que a medida de F1F2, temos queF2 esta no interior da circunferencia.

• Em seguida, com a opcao “Ponto sobre Objeto” (segunda palheta) construımos um pontosobre c e rotulamos de T.

• Com a ferramenta “Reta” (terceira palheta) construımos a reta que passa por T e F1 ea que passa por T e F2 e as rotulamos de r e s, respectivamente.

• Com a opcao “Segmento” (terceira palheta), marcamos o segmento que une T a F2 e emseguida com a opcao “Mediatriz”, tracamos a mediatriz de TF2. Rotulamos essa mediatrizde m.

• Com a ferramenta “Ponto de Interseccao”, marquemos o ponto E, interseccao de m e r.

• Feita a construcao, movimente o ponto P sobre a circunferencia e tente observar quecurva o ponto E descreve. Se a visualizacao nao ficou clara, utilize o recurso “Rasto

On/Off” sobre o ponto E e, novamente, movimente P sobre a circunferencia. Obtemosentao a seguinte figura:

Figura 9: A elipse como lugar geometrico.

Aparentemente, a curva gerada pelo movimeto do ponto E e uma elipse de focos F1 eF2, mas o que garante este fato?

Temos, por definicao de elipse, que a distancia de um ponto qualquer da mesmaate um dos focos, somada com a distandia do mesmo ponto ate o outro foco, e umaconstante. Vamos verificar se isto realmente esta ocorrendo na nossa “elipse” considerandoa construcao da Figura 10, cuja descricao segue logo abaixo.

Figura 10: Verificando a definicao de elipse.

• Primeiramente, construımos os segmentos EF1 e EF2 com a ferramenta “Segmento”.• Em seguida, medimos estes segmentos (“Distancias e Comprimentos” - nona palheta).• Agora, com a ferramenta “Calculadora” (nona palheta), clicamos na medida de umsegmento, no operador “+” e depois sobre o outro segmento. Apos isto, clicamos no sinalde igualdade e arrastamos o resultado obtido para a area de trabalho do Cabri.

Clicando sobre o ponto T e o arrastando ao longo de c podemos constatar que, in-dependente das medidas de EF1 e EF2, a soma EF1 + EF2 permanece constante, comoqueriamos constatar.

Vamos fazer uma demonstracao formal de que a figura obtida e, realmente, uma elipse.Chamemos de O a interseccao de m com s. Sejam os triangulos EOF2 e EOT (com

T ∗ O ∗ F2, ou seja, O entre T e F2). Pelo criterio LAL (lado, angulo, lado), temos queestes dois triangulos sao congruentes. Logo, EF2 = ET.

Assim, temos que F1E + EF2 = F1E + ET = F1T que possui comprimento constantepois F1T e o raio da circunferencia da nossa construcao. (Figura 11)

Figura 11: Verificando se o lugar geometrico define uma elipse.

Propriedade de Reflexao da Elipse:“Um “raio de luz” com origem um um foco de uma elipse reflete nesta passando pelo outrofoco”.

Mostremos essa propriedade na construcao acima.Temos que os triangulos EF2O e ETO sao congruentes pelo criterio LAL (lado, angulo,

lado). Isto se da devido ao fato da reta que contem EO ser a mediatriz de TF2.Temos que os triangulos ETO e EF1D sao semelhantes devido ao criterio AAA

(angulo, angulo, angulo). Logo, por transitividade, temos que o triangulo EF1D e semel-

hante ao triangulo EF2O, ou seja, F1ED ≡ F2EO, o que conclui que o angulo de incidenciae igual ao angulo de reflexao.

5.2 Outra Construcao para a Elipse


• Antes de comecarmos a construcao, vamos ao menu superior “Opcoes” e clicamosem “Preferencias”. Selecionamos agora “Sistema de Coodernadas e Equacoes” e, no ıtem“Conica”, selecionamos (x − x0)

2/a2 ± (y − y0)2/b2 = 1. Clicamos em “Aplicar a” e, em

seguida em “Ok”.

• Mostramos os eixos coordenados e rotulamos a origem de O.

• Com a opcao “Edicao Numerica”, editamos primeiramente o valor 3 e atribuımos a eleo rotulo a e, em seguida, editamos o valor 2 e atribuımos a ele o rotulo b.

• Com a ferramenta “Calculadora” efetuamos os dois calculos a seguir associando aoprimeiro −c e ao segundo c:

−√

a2 − b2 e√

a2 − b2.

• Utilizando a ferramenta “Transferencia de Medida” (quinta palheta), transferimos a parao eixo das abscissas e b para o eixo das ordenadas. Chamamos esses pontos de A2 e B1,respectivamente.

• Transferimos os valores de −c e c para o eixo das abscissa rotulando-os de F2 e F1.

• Construımos os segmentos OA2 e OB1 e, com a ferramenta “Compasso”, construımosas circunferencias concentricas em O e de raios OA2 (de comprimento 3) e OB1 (decomprimento 2).

• Tomemos um ponto T sobre a circunferencia de raio OA2 e, em seguida, construımosa semi-reta OT. Chamamos o ponto da interseccao de OT com a circunferencia de raioOB1 de Q.

• Tracemos uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando por T e uma perpen-dicular ao eixo das oordenadas passando por Q. Obtemos o ponto de interseccao destasduas retas e rotulamos este ponto de P.

• Utilizando agora a ferramenta “Lugar Geometrico”, clicamos uma vez sobre P e umasobre T. Um lugar geometrico (neste caso, uma curva) e tracado.

• Para verificarmos, com o auxılio do Cabri, que este lugar geometrico obtido e, real-mente, uma elipse, habilitamos a opcao “Conica” e clicamos em cinco pontos distintossobre o lugar geometrico. Visualmente, percebemos que a curva conica (elipse) e o lugargeometrico obtido coincidem.

• Para obtermos a equacao dessa elipse, ativamos a ferramenta “Equacao e Coordenadas”e clicamos sobre a elipse. O resultado obtido da construcao feita segue adiante. (Figura12)

Variando os parametros a e b no Cabri, podemos visualizar de modo dinamico assucessivas elipses de equacoes x2/a2 + y2/b2 = 1. Para variar os parametros, basta clicarduas vezes sobre um dos valores, 3 ou 2, de a ou b. Isso dara origem a uma pequena janelaque permite a mudanca do respectivo valor.

Figura 12: Outra construcao para a elipse.

Para uma demonstracao formal de que a curva acima realmente e uma elipse, uti-lizamos as equacoes parametricas da mesma. Assim, devemos mostrar que um ponto dacurva possui equacoes parametricas da forma x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t < 2π.

Consideramos um ponto P arbitrario na curva e K o pe da perpendicular baixada deT no eixo das abscissas. Temos o triangulo OTK com angulo reto em K, o ponto Q comO ∗ Q ∗ T (Q entre O e T ) e o angulo TOK = t, com 0 ≤ t < 2π como na figura abaixo:

Figura 13: Demontracao formal para a elipse.

Temos o segmento OQ de comprimento b e o segmento OT de comprimento a. Logo,temos que o ponto Q tem ordenada b sen t mas, como Q e P estao sobre uma mesma reta,paralela ao eixo das abscissas, temos que P tem a mesma ordenada de Q.

Temos tambem o ponto T com abscissa a cos t mas, como T e P estao sobre umamesma reta paralela ao eixo das ordenadas, temos que P tem a mesma abscissa de T.

Logo, P = (a cos t, b sen t) ou seja, x = a cos t e y = b sen t,com 0 ≤ t < 2π, que sao asequacoes parametricas da elipse.

Deste modo:

x2

a2+

y2

b2=

(a cos t)2

a2+

(b sen t)2

b2= cos2 t + sen2 t = 1,

0 ≤ t < 2π, que e a equacao reduzida de uma elipse.

6 Hiperboles

6.1 A Hiperbole Como Lugar Geometrico dos Centros das Cir-cunferencias que Contem um Ponto Fixo e sao Tangentes auma Circunferencia Dada


Neste caso, repetimos todo o processo inicial da construcao da nossa primeira elipse,com a diferenca de que, desta vez, o segmento incial que vamos fixar tera comprimentomenor que a distancia de F1 a F2. Deslizando o ponto T sobre a circunferencia, obser-vamos que o ponto E descreve uma curva. Para melhor visualizarmos que curva e essa,ativaremos a opcao “Rasto On/Off” e obtemos o seguinte resultado:

Figura 14: A hiperbole como lugar geometrico.

Aparentemente obtemos uma hiperbole de focos F1 e F2. Para comprovar que a curvae, realmente, uma hiperbole vamos relembrar a definicao da mesma: uma hiperbole e oconjunto dos pontos P tais que |d(P, F1) − d(P, F2)| = k (k e uma constante positiva).Vamos fazer uma “demonstracao” de que isso ocorre na nossa “hiperbole”.

• Com a ferramenta “Distancias e Comprimento” (nona palheta), medimos o comprimentode EF1 e o de EF2.• Com a opcao “Calculadora” (nona palheta), calculamos o valor absoluto (modulo) deEF1 − EF2.• Efetuada essa conta, clicamos sobre o valor obtido e o arrastamos ate a area de trabalhodo Cabri.

Agora e so movimentar o ponto T sobre a circunferencia e constatar que mesmo coma variacao das medidas de EF1 e EF2, |d(P, F1) − d(P, F2)| sempre permanece constante.(Figura 15)

Figura 15: Verificando a definicao de hiperbole.

Vamos agora fazer uma demonstracao formal de que a curva acima e, realmente, umahiperbole.

Seja A o ponto de interseccao da reta que passa por T e F2 e da mediatriz do segmentoTF2.

Temos que o triangulo ETA e congruente ao triangulo EF2A pelo criterio LAL (lado,angulo, lado). Assim, EF2 ≡ ET.

Logo, podemos concluir que |EF1 − EF2| = |EF1 − ET | = F1T que e constante, poisF1T e o raio da circunferencia da nossa construcao.

Propriedade de Reflexao da Hiperbole:“Um “raio de luz” incidindo em uma hiperbole na direcao de um dos focos e refletidonesta na direcao do outro foco”.

Vamos verificar que a propriedade de reflexao da hiperbole esta satisfeita em nossaconstrucao.

Seja A o ponto formado pela interseccao da tangente a hiperbole no ponto E e osegmento TF2.

Tomamos, sem perda de generalidade, o raio incidente que passa pelo segmento EF2.Devemos mostrar que o angulo formado entre esse raio incidente e a tangente a hiperbole

no ponto E e o angulo TEA sao congruentes ou seja, angulo de incidencia e igual aoangulo de reflexao.

Temos que os triangulos ETA e EF2A sao congruentes (caso LAL). Assim, o angulo

TEA e igual ao angulo F2EA. Logo, podemos concluir que o angulo situado entre o raiode incidencia e a tangente a hiperbole no ponto E, e congruente ao angulo F2EA (opostos

pelo vertice), que por sua vez e congruente ao angulo TEA. Assim, concluımos que oangulo de incidencia e igual ao angulo de reflexao. (Figura 16)

Figura 16: Propriedade de reflexao da hiperbole

6.2 Outra Construcao para a Hiperbole

Descricao da construcao:• Primeiramente, fazemos os mesmos ajustes feitos na segunda construcao da elipse, vistaacima. Clicamos no menu de “Opcoes” e, em seguida, em “Preferencias”. Vamos atea guia “Sistema de Coordenadas e Equacoes” e no item “Conica”, habilitamos a opcao(x − x0)

2/a2 ± (y − y0)2/b2 = 1.

• Agora, comecando efetivamente a construcao, exibimos os eixos de coordenadas e rotu-lamos a origem de O.• Com a opcao “Edicao Numerica”, da decima palheta, editamos os numeros 3 e 2 e, emseguida, rotulamo-os de a e b, respectivamente.• Temos que efetuar os seguintes calculos:

−√

a2 + b2 e√

a2 + b2.

Para isso, ativamos a opcao “Calculadora” e efetuamos as contas normalmente. Paracada resultado obtido, clicamos no mesmo (dentro da calculadora) e arrastamos ate a areade trabalho do Cabri. Para o primeiro valor obtido, damos o rotulo −c e, para o segundo,c.• Utilizando o recurso de “Transferencia de Medida”, transferimos os valores de a e bpara o eixo das abscissas rotulando-os, respectivamente, de V2 e b. Ainda com o mesmo

recurso ativado, tranferimos −c e c para o eixo Ox. Chamamos estes pontos de F1 e F2,respectivamente.• Passamos a construcao do segmento OV2 e, com a ferramenta “Compasso”, construımosa circunferencia de centro O e raio OV2.• Marcamos um ponto T qualquer sobre esta circunferencia e, em seguida, construımos asemi-reta OT.• Tracamos uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando por b e, em seguida,construımos o ponto de interseccao desta reta com a semi-reta OT, rotulando-o de S.• Tracamos outra perpendicular ao eixo das abscissas passando por V2. Marcamos o pontode interseccao desta reta com OT, rotulando-o de Q.• Marcamos o segmento OQ e facamos outra circunferencia de centro O e raio OQ.Tomemos o ponto de interseccao desta circunferencia com o eixo das abscissas (no sentidopositivo). Rotulamos este ponto de Q′.• Facamos outra reta perpendicular ao eixo das abscissas passando por Q′ e uma retaperpendicular ao eixo das oordenadas passando por S. Tomemos o ponto de interseccaodestas duas retas rotulando-o de P.• Com a ferramenta “Lugar Geometrico” habilitada, clicamos uma vez sobre o ponto P eem seguida uma vez sobre o ponto T.• Com a opcao “Conica”, clicamos cinco vezes sobre o lugar geometrico obtido e temos oseguinte resultado:

Figura 17: Outra construcao para a hiperbole.

Para uma demonstracao formal de que a curva acima e uma hiperbole, utilizamos asequacoes parametricas da mesma. Assim, devemos mostrar que um ponto P qualquer

da hiperbole possui abscissa x = a sec t e ordenada y = b tan t; 0 ≤ t < 2π; t �= π

2,3π

2.

Mostrando isso, temos

x2

a2− y2

b2=

(a sec t)2

a2− (b tan t)2

b2= sec2 t − tan2 t = 1,

que e a equacao reduzida de uma hiperbole.Para tanto, seja P = (x, y) e t a medida do angulo QOQ′.

No triangulo retangulo QOV2 temos cos t =OV2

OQ=

OV2

OQ′ pois OQ ≡ OQ′. Como a

medida de OV2 e a e a medida de OQ′ e x, temos cos t =a

x, ou seja, x = a sec t.

No triangulo retangulo SOb temos tan t =Sb

Ob=

PQ′

Obpois Sb ≡ PQ′. Como a medida

de Ob e b e a medida de PQ′ e y, temos tan t =y

b, ou seja, y = b tan t.

Desta forma, P = (a sec t, b tan t) ; 0 ≤ t < 2π; t �= π

2,3π

2, como querıamos.

7 Curiosidade: Como os Antigos Gregos Identificavam

uma Conica

Os gregos da antiguidade criaram um metodo bastante interessante para indentificarconicas. Eles dispunham apenas de um “pedaco” de uma conica e de um foco comona figura a seguir:

Figura 18: Curvas conicas na antiguidade.

O metodo consistia da seguinte analise:

• Tomamos o segmento AB perpendicular ao eixo de simetria da conica em F com ospontos A e B pertencentes a curva conica. (Este segmento AB era chamado de latusrectum, que significa parametro)• Tomemos um ponto P pertencente a curva conica.• Calculamos a area do quadrado PQRS com R e S pertencentes ao eixo de simetria dacurva conica.

• Construimos um retangulo STUV de mesma area de PQRS, sendo V o vertice daconica, como mostra a figura abaixo:

Figura 19: Metodo de identificacao de curvas conicas.

Feita esta construcao, concluia-se que:

• Se UV < AB, a curva conica e uma elipse. (elleipsis, que significa falta)

• Se UV ≡ AB, a curva conica e uma parabola. (parabole, que significa comparacao)

• Se UV > AB, a curva conica e uma hiperbole. (hyperbole, que significa excesso)

Vamos verificar que este metodo utilizado pelos gregos realmente e valido. Comecemospara o caso em que a curva conica em questao e uma parabola.

1◦ caso: Parabola

Tomemos uma parabola qualquer e um sistema de coordenadas no plano de tal modo quea equacao de parabola seja y2 = 4px, x ∈ R+, sendo p a distancia focal como mostra aFigura 20 abaixo.

Mostremos que a altura do retangulo STUV da Figura 19 acima mede 4p.

Para o valor de x = p, temos y = 2p. Logo, o comprimento d do segmento AB ed = 4p. (Figura 21)

Tomemos um ponto qualquer P de coordenadas (x, y) , x > 0, na parabola. Desta

forma, o quadrado PQRS tera area A =(2√

px)2

= 4px.

Figura 20: Parabola de equacao y2 = 4px.

A area R do retangulo STUV tem que ser A e a aresta da base igual a x. Chamandoa altura do retangulo de h, devemos ter:

A = R ⇒ 4px = xh ⇒ 4p = h ⇒ d = h,

como querıamos.

Figura 21: Confirmando que a curva e uma parabola.

2◦ Caso: Elipse

Seja uma elipse qualquer e fixemos um sistema de coordenadas de tal modo que a

elipse tenha equacao na forma reduzida:x2

a2+

y2

b2= 1. Tomemos o foco F com abscissa

negativa e o segmento AB conforme descrito na Figura 19. Seja d a medida do segmentoAB. (Figura 22)

Figura 22: Elipse de equacaox2

a2+

y2

b2= 1.

Temos que a abscissa de F e −c = −√a2 − b2. Para x = −c temos, pela equacao da

elipse, que y = ±b2

a, ou seja d =

2b2

a.

Seja P = (x, y) um ponto da elipse tal que |x| < a. Assim, y = ±b

√1 − x2

a2e a area

do quadrado PQRS da Figura 23 abaixo e A = b2

(1 − x2

a2

). O retangulo STUV devera

ter base medindo a− |x| e altura h de tal modo que sua area R satisfaca R = A, ou seja,

(a − |x|) h = b2

(1 − x2

a2

).

Desta forma,

h =b2 (a2 − x2)

a2 (a − |x|) .

Devemos mostrar que h < d. De fato:

|x|a

< 1 para |x| < a ⇒ 1 +|x|a

< 2 ⇒ b2

a

(1 +

|x|a

)<

2b2

a⇒

b2

a2(a + |x|) < d ⇒ b2 (a + |x|) (a − |x|)

a2 (a − |x|) < d ⇒ b2 (a2 − x2)

a2 (a − |x|) < d ⇒ h < d,

como querıamos.

Figura 23: Confirmando que a curva e uma elipse.

3◦ Caso: Hiperbole

Seja uma hiperbole qualquer e fixemos um sistema de coordenadas de tal modo que a

hiperbole tenha equacao reduzidax2

a2− y2

b2= 1. Tomemos o foco F com abscissa positiva

e o segmento AB conforme descrito na Figura 19. Seja d a medida do segmento AB.

Figura 24: Hiperbole de equacaox2

a2− y2

b2= 1.

Temos que a abscissa de F e c =√

a2 + b2. Para x = c temos, pela equacao da

hiperbole, que y = ±b2

a, ou seja d =

2b2

a.

Seja P = (x, y) um ponto da hiperbole tal que |x| > a. Assim, y = ±b

√x2

a2− 1 e a

area do quadrado PQRS da Figura 25 abaixo e A = b2

(x2

a2− 1

). O retangulo STUV

devera ter base medindo |x| − a e altura h de tal modo que sua area R satisfaca R = A,ou seja,

(|x| − a) h = b2

(x2

a2− 1

).

Desta forma,

h =b2 (x2 − a2)

a2 (|x| − a).

Devemos mostrar que h > d. De fato:

|x|a

> 1 para |x| > a ⇒ 1 +|x|a

> 2 ⇒ b2

a

(1 +

|x|a

)>

2b2

a⇒

b2

a2(a + |x|) > d ⇒ b2 (a + |x|) (|x| − a)

a2 (|x| − a)> d ⇒ b2 (x2 − a2)

a2 (|x| − a)> d ⇒ h > d,

como querıamos.

Figura 25: Verificando que a curva e uma hiperbole.

Referencias

[1] Baldin, Y. Y. & Villagra, G. A. L. Atividades com Cabri Geometre II. SaoCarlos: Editora da UFSCar. 2002.

[2] Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analıtica: um tratamento vetorial. 2a. ed.Sao Paulo: Editora McGraw-Hill Ltda., 1987.

[3] Eves, H. Topicos de Historia da Matematica para uso em Sala de Aula - Geometria.Sao Paulo, Atual Editora.

[4] Lima, E. L. et. Alli. A Matematica do Ensino Medio. Volume 3. 3a. ed. Riode Janeiro: Publicacao da Sociedade Brasileira de Matematica (SBM). Colecao doProfessor de Matematica. 2003.

[5] Winterle, P. Vetores e Geometria Analıtica. Sao Paulo: Makron Books do Brasil.2000.

[6] Revista do Professor de Matematica. Rio de Janeiro: Publicacao da SociedadeBrasileira de Matematica (SBM).

A História do Café no Brasil

Adriano Soares Andrade1 Rosana Sueli da Motta Jafelice2

[email protected] [email protected]

Universidade Federal de UberlândiaFaculdade de Matemática

INTRODUÇÃO

Iniciaremos com um breve resumo da origem do café na Etiópia e sua vinda para oBrasil no século XVII. Na época do Barroco, das monarquias absolutas e a expansão docomércio internacional. A seguir um breve resumo da Política Café com Leite realizado pelosestados de São Paulo e Minas Gerais, uma troca de políticos no governo do país que acabounão dando certo.

Após esta parte histórica iniciamos com dados pesquisados na internet onde semostraremos o papel do Brasil no comércio internacional, quanto à sua agricultura cafeeira e àexportação do produto CAFÉ.

Veremos tabelas e a interpretação das mesmas com gráficos e fórmulas matemáticas, demodo a facilitar o entendimento e a compreensão da verdadeira posição do país frente àglobalização.

A HISTÓRIA DO CAFÉ NO BRASIL

Originário da Etiópia, onde já era utilizado em tempos remotos, o café atravessou oMediterrâneo e chegou à Europa durante a segunda metade do século XVII. Era a época doBarroco, das monarquias absolutas e a expansão do comércio internacional enriquecia aburguesia.

A palavra "café" escrito em amárico, idioma oficial da Etiópia.

Já no início do século XVIII, os Cafés tornaram-se centros de encontro e reuniãoelegante de aristocratas, burgueses e intelectuais. Precedido pela fama de "provocar idéias", ocafé conquistou, desde logo, o gosto de escritores, artistas e pensadores.

Lord Bacon (à esquerda) atribuía-lhe a capacidade de "dar espírito ao que não o tem".Os enciclopedistas eram adeptos fervorosos do café e dos Cafés, que Eça de Queiroz (àdireita) chegou a afirmar, muito depois, que foi do fundo das negras taças "que brotou o raio

1 Discente do curso de Matemática.2 Docente da disciplina Instrumentalização para o Ensino de Matemática.

luminoso de 89", referindo-se às discussões entre iluministas que precederam a RevoluçãoFrancesa [1].

No Brasil

No Brasil, o café cresce, derruba matas, desbrava as terras do Oeste. Foi em 1727 que otenente (alguns dizem que era sargento-mor) Francisco de Mello Palheta, vindo da GuianaFrancesa trouxe as primeiras mudas da rubiácea para o Brasil. Recebera-as de presente dasmãos de Madame d'Orvilliers, esposa do governador de Caiena.

Ora, como a saída de sementes e mudas de café estava proibida na Guiana Francesa, élicito pensar que o aventureiro português recebeu de Madame não só os frutos, mas outrosfavores talvez mais doces. As mudas foram plantadas no Pará, onde floresceram semdificuldade.

Pintura a óleo do artista Henrique Cavalheiro, datada de 1943, retratando Palheta, recém-chegado da Guiana, plantando as primeiras mudas de café em solo brasileiro.

Mas não seria no ambiente amazônico que a nova planta iria tornar-se a principal dopaís, um século e meio mais tarde. Enquanto na Europa e nos Estados Unidos o consumo dabebida crescia extraordinariamente, exigindo o constante aumento da produção, o café saltou

para o Rio de Janeiro, onde começou a ser plantado em 1781 por João Alberto de CastelloBranco.

Tinha início, assim, um novo ciclo econômico na história do país. Esgotado o ciclo damineração do ouro em Minas Gerais, outra riqueza surgia, provocando a emergência de umaaristocracia e promovendo o progresso do Império e da Primeira República.

Colheita de café em São Paulo, em 1930.

Penetrando pelo vale do Rio Paraíba do Sul, a mancha verde dos cafezais, que jádominava paisagem fluminense, chegou a São Paulo, que, a partir da década de 1880, passoua ser o principal produtor nacional da rubiácea (o café). Na sua marcha foi criando cidades efazendo fortunas. Ao terminar o século XIX, o Brasil controlava o mercado cafeeiro mundial.

Política do Café com Leite

O Presidente Campos Sales buscou o apoio de Minas Gerais que possuía 37 deputadosfederais constituindo-se na maior bancada, devido a sua população. Em 1899, SilvianoBrandão, governador de Minas Gerais, aceitou o pacto com São Paulo. Era a oportunidadepara Minas Gerais ocupar uma situação privilegiada, tirando vantagens políticas e econômicaspara a elite mineira.

A Política do Café-com-Leite permitiu a burguesia cafeeira paulista controlar no âmbitonacional, a política monetária e cambial, a negociação no exterior de empréstimos para acompra das sacas de café excedentes, enfim, uma política de intervenção que garantia aoscafeicultores lucros seguros. Para Minas Gerais, o apoio a São Paulo garantia a nomeação dosmembros da elite mineira para cargos na área federal e verbas para obras públicas, como aconstrução de ferrovias.

Os paulistas e os mineiros ocupavam os cargos de Presidente da República e osministérios da Justiça, das Finanças, da Agricultura, Vice Presidência etc. Nos Estados asfamílias oligárquicas ocupavam os cargos de Governador do Estado, e as Secretarias dasFinanças, da Educação e Saúde, a Prefeitura da Capital, a Chefia de Polícia Estadual, aDiretoria da Imprensa Oficial, a presidência dos Bancos Estaduais e da AssembléiaLegislativa.

A Política dos Governadores consolidou o poder das famílias ricas dos Estadosformando as oligarquias. Em Minas as principais famílias eram representadas por: CesárioAlvim, Bias Fortes, Bueno Brandão, Afonso Pena, Francisco Sales, Artur Bernardes e outros.Para integrar a oligarquia mineira contavam 'os laços de família, educação e dinheiro' estandoaberta aos indivíduos talentosos que formavam-se principalmente em Direito nasUniversidades do Rio de Janeiro e São Paulo. De volta ao Estado, ele tornava-se promotor

público, juiz, casava-se com moça da elite da cidade, podia tornar-se político elegendo-severeador, prefeito e deputado [1].

Irrigação da lavoura

A oligarquia mineira controlava o poder através do Partido Republicano Mineiro. A listados candidatos era organizada pela Comissão Executiva do PRM que mandava os nomes paraserem homologados pelo governador do Estado. Para integrar esta lista o candidato tinha queser da confiança dos chefes políticos da região, os coronéis, ou indicados pelo governo devidoao talento e cultura. Não havia lugar no Partido para os dissidentes.

Lavoura cafeeira

Triângulo Mineiro: Safra de café de 2003

A reação obtida nos preços do café nos últimos meses não deve ser suficiente paraanimar os produtores. Informações de cooperativas da região, de entidades de classe e deórgãos governamentais apontam para uma queda significativa na produção para a safra2002/2003. No início de julho deste ano, a saca de café no Triângulo Mineiro era negociada aR$ 130,00.

No fechamento do mercado, a saca fechou a R$ 145. Mesmo assim os produtores nãoestão otimistas, analisa o vice-presidente do Conselho das Associações dos Cafeicultores doCerrado (Caccer), Reinaldo Caetano. Apesar da melhora aparente, o preço de mercado aindaestá abaixo dos custos de produção, estimada em R$150,00 a saca.

Produtividade

Para o presidente da Comissão Técnica para a Cafeicultura da Federação da Agriculturado Estado de Minas Gerais (Faemg), Breno Pereira de Mesquita, ainda é cedo para se fazerprevisões, mas a redução na produtividade das lavouras é quase certa.

Além dos fatores econômicos - como os baixos preços do produto que desestimulam osinvestimentos em tratos culturais - as lavouras de café registram uma redução natural naprodutividade. "O café é uma cultura bi-anual. É comum que um ano de alta produção sejaseguido de um período de queda na safra, e este ano atingimos uma boa safra", diz.

O coordenador técnico da Empresa de Assistência e Expansão Rural de Minas Gerais(Emater), José Rodrigues, também estima que a produção possa ser reduzida. Os dois, noentanto, ainda não conseguem calcular a dimensão da queda de produtividade da próximasafra.

No último levantamento realizado para a safra 2002/2003, pela Companhia Nacional deAbastecimento (Conab), constata-se que a produção no Triângulo Mineiro e Alto Paranaíbadeve superar as 4 milhões de sacas, resultado semelhante ao produzido este ano. A análise daCompanhia, entretanto, leva em consideração um levantamento feito nas lavouras no períodode pré-colheita, entre os meses de maio e junho.

Safra

A colheita de café da safra brasileira atual já chegou a 99% do total. O levantamento foifeito com base na última estimativa da produção de café no Brasil. Do total previstoinicialmente - estimado em 45,6 milhões de sacas de 60 quilos - foram colhidos até omomento 45,09 milhões de sacas.

Fonte: Jornal Correio [4]

Dados a serem discutidos e verificados

A partir de agora iremos trabalhar com a modelagem no sistema Excel.Será visto o grande desempenho e participação do Brasil em nível mundial.Os dados recolhidos se referem ao ano de 2000 a 2003 em alguns aspectos e apenas ao

ano de 2003 em outros [3].

Exportações de Café Arábica, Conillon, Solúvel e Torrado 2000/2003.

Podemos verificar na tabela a seguir (figura 1) os tipos de café que o Brasil maisexporta. Dentre eles o que mais se destaca é o tipo Arábico com um percentual bastanteelevado no volume exportado e na receita cambial arrecadada.

Observa-se que o volume de exportação vem batendo seus recordes de 2000 a 2002 euma queda em 2003, não só no tipo Arábica, como também nos outros tipos como o Conillon,Solúvel e Torrado.

Nos gráficos não foi colocado o tipo Torrado devido ao baixo volume de exportaçãofrente aos outros, não tendo um valor significativo para o estudo em questão [3].

Figura 1: Volume de exportação de alguns tipos de café nos anos de 2000 a 2003.

Volume de Exportação - 2000/2003

y = -2E+06x2 + 1E+07x + 5E+06

y = -169292x2 + 920972x + 1E+06

y = -574921x2 + 4E+06x - 3E+06

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

0 1 2 3 4 5

Anos

Sac

as

Arábica

Conillon

Solúvel

Polinômio (Arábica)

Polinômio (Solúvel )

Polinômio (Conillon)

Figura 2: Volume de exportação de alguns tipos de café nos anos de 2000 a 2003.

Volume de Exportação - 2000/2003

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

2000 2001 2002 *2003

Anos

Sac

as

Arábica

Conillon

Solúvel

CAFÉ - Média Mensal dos Preços Recebidos pelos Produtores 2002/2003

Iremos trabalhar aqui com o valor das sacas de café de 60 kg pagas ao produtor, ou seja,quanto cada produtor recebeu por saca de café no ano de 2002 e 2003.

Podemos verificar na tabela 1 que o menor valor do ano de 2002 é de R$104,83 e foi nomês de Julho enquanto que o maior valor no mesmo ano foi de R$167,72 e foi no mês deoutubro.

No ano de 2003 o menor valor foi de R$159,58 no mês de Junho e o maior valor foi deR$193,03 e foi no mês de fevereiro.

Os dados acima se referem ao café tipo Arábica tipo 6 BC-Duro que manteve seuspreços mais altos nos dois anos, embora não podemos descartar a análise dos outros tiposapresentados [3].

Tabela 1: Cotação Mensal

Figura 3: Cotação mensal dos tipos de café, no ano de 2003.

Cotação Mensal - 2003

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

JAN

EIR

O

FE

VE

RE

IRO

MA

RÇ

O

AB

RIL

MA

IO

JUN

HO

JUL

HO

AG

OS

TO

SE

TE

MB

RO

OU

TU

BR

O

Meses

R$

Arábica Tipo B6 Duro

Arábica Tipo C Int. 500

Arábica Tipo C Int. G ll

Robusta Tipo 7

ESTOQUES GOVERNAMENTAIS DE CAFÉ

Podemos verificar na tabela 2 a quantidade de armazéns no país e em quais estados seconcentram a maior parte deles. Nota-se que 67% dos armazéns, ou seja, 18 o total deencontram em Londrina devido à grande produção e escoamento do café para os estadosportuários.

Podemos observar que a Funcafé e o Tesouro Nacional são responsáveis pelo estoqueoficial do país caso necessite abastecer o mercado nacional ou internacional, onde envolvenesta estocagem o preço do café, safra, entressafra, mercado exterior e futuras negociações[3].

Tabela 2: Estoque Nacional

NÚMEROESTOQUEOFICIAL

DECAF DE FUNCAFÉ TESOURO TOTAISARMAZENS NACIONAL

LONDRINA 18 4.438.310 76.896 4.515.206VARGINHA 6 321.241 59.494 380.735SÃO PAULO 2 227.122 - 227.122VITÓRIA 1 39.830 - 39.830

TOTAIS 27 5.026.503 136.390 5.162.893

Fonte: DECAF Elaboração: SPC/MAPA

Figura 4: Percentual dos armazéns em algumas cidades do Brasil.

OBS: Os armazéns de Aimorés e Caratinga são detentores apenas de cafés pendentes de seleção.

EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS DE CAFÉ EM GRÃOS

Podemos observar na tabela 3 que o volume de grãos exportados no ano de 2002 émaior do que em 2003, ou seja, enquanto que em 2002 exportamos 25.850.552 sacas de café,no ano de 2003 exportamos apenas 18.892.349 sacas.

Armazéns

22%

7% 4%

67%

LONDRINA

VARGINHA

SÃO PAULO

VITÓRIA

Observa-se também que a receita gerada em 2002 de janeiro a outubro foi deR$930.754,00 e em 2003 no mesmo período foi de R$1.056.712,00.

Nota-se (figura 5) que embora o ano de 2003 obteve um menor percentual no volume deexportações, em contrapartida (figura 6) obteve uma receita superior ao ano de 2002 devidoao preço médio da saca de café que em 2002 era de R$46,23 e em 2003 chegou à R$55,93 [3].

Tabela 3: Exportações

Figura 5: Volume das exportações nos anos de 2002 e 2003

Figura 6: Receita Cambial nos anos de 2002 e 2003.

Figura 6: Receita cambial nos anos de 2002 e 2003

Volume 2003/2002

0500.000

1.000.0001.500.0002.000.0002.500.0003.000.0003.500.000

Jane

iro

Fevere

iro

Março

AbrilMaio

Junho

Julh

o

Agosto

Setembro

Outubro

Novembro

Dezem

bro

Mês

2003 - volume

2002 - volume

Receita Cambial 2003/2002

020.00040.00060.00080.000

100.000120.000140.000160.000

Janei

ro

Fev

erei

ro

Mar

ço

Ab

ril

Mai

o

Jun

ho

Julh

o

Ag

ost

o

Set

emb

ro

Ou

tub

ro

No

vem

bro

Dez

emb

ro

Mês

Receita - 2003

Receita - 2002

Figura 7: Volume de exportação nos anos de 2002 e 2003.

Figura 8: Receita Cambial nos anos de 2002 e 2003.

Produção Mundial de CaféPrincipais Países

O Brasil se destaca como o maior produtor de café mundial, como pode ser visto no natabela 4.

Podemos notar também que no período de 1999/2000 o Brasil se encontra na segundaposição em relação a todos os outros países produtores de café que não se encontram natabela. Já no período de 2000/2001 o Brasil ultrapassa todos os países produtores de café quenão se encontram na tabela e assim permanece até o período de 2002/2003.

A participação do Brasil subiu de 23,72% em 1999 para 40,81% em 2003 o que mostraum grande avanço na agricultura cafeeira [3].

Volume 2003/2002

y = -8966,9x3 + 173431x2 - 786855x + 2E+06R2 = 0,7507

y = 5059,2x3 - 52227x2 + 46284x + 2E+06R2 = 0,6365

0500.000

1.000.0001.500.0002.000.0002.500.0003.000.0003.500.0004.000.0004.500.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mês

2003 - volume

2002 - volume

Polinômio (2002 - volume)

Polinômio (2003 - volume)

Receita Cambial 2003/2002

y = -280,07x3 + 5753,2x2 - 26235x + 100474R2 = 0,8087

y = 347,58x3 - 3573,6x2 + 4718,5x + 112161R2 = 0,7222

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mês

Receita - 2003

Receita - 2002

Polinômio (Receita - 2002)

Polinômio (Receita - 2003)

Tabela 4: Principais Países Produtores

Figura 9: Produção Mundial de café ao longo dos anos.

Exportação Mundial de CaféPrincipais Países

O Brasil se destaca como o maior exportador de café mundial, como pode ser visto nona tabela 5.

Podemos notar assim como no gráfico anterior que no período de 1999/2001 o Brasilse encontra na segunda posição em relação a todos os outros países exportadores de café quenão se encontram na tabela. Já no período de 2001/2002 o Brasil ultrapassa todos os paísesexportadores de café que não se encontram na tabela e assim permanece até o período de2002/2003.

A participação do Brasil subiu de 27,02% em 1999 para 32,41% em 2003 o quemostra um grande avanço na exportação cafeeira e uma aceitação maior do produto nomercado internacional [3].

Produção Mundial

y = 2,0925x2 - 5,2575x + 27,623R2 = 0,9336

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1999/2000 2000/2001 2001/2002 2002/2003

Período

%

Brasil

Outros Paises

Colômbia

Vietnã

Indonésia

Índia

México

Guatemala

Costa do Marfim

Polinômio (Brasil)

Tabela 5: Principais Exportadores

Figura 10: Exportação Mundial ao longo dos anos.

CONCLUSÃO

Com este trabalho podemos constatar que o Brasil é um grande produtor e exportador decafé e que a cada ano estes índices vêm aumentando e confirmando esta estatística.

Quando se trata de uma reunião internacional referente ao produto café, o Brasil sedestaca entre os demais, com isso o respeito pelos chefes de estados é digno de um excelentelíder neste mercado, hoje completamente competitivo.

Estes gráficos e tabelas são apenas demonstrativos numéricos deste mercado mundialque especula e qualifica com selo de qualidade internacional estes produtos.

O Brasil conquistou este espaço e não pode perdê-lo por incompetência oudesorganização, mas o que se vê é o crescimento competente e organizado em todos os ramos,ou seja, desde o início do plantio até as negociações internacionais. Portas estas abertasdiretamente ao produtor ou as cooperativas que exportam com menos burocracia e maioragilidade no escoamento dos grãos [2].

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] www.libreria.com.br/portal/artigos/geografia/cafe

Exportação Mundial

y = 3,3339x2 - 14,5x + 37,628

R2 = 0,9153

-

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

1999/2000 2000/2001 2001/2002 2002/2003

Período

%

*Brasil

Outros países

Colômbia

Vietnã

Indonésia

Costa do Marfim

Guatemala

Índia

México

Polinômio (*Brasil)

[2] Revista BREMEN MAGAZINE, Novembro/Dezembro 2003.

[3] www.revistacafeicultura.com.br/outubro_03.htm

[4] www.coffeebreak.com.br

Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem de matrizes,determinantes e sistemas lineares


Clovis Antonio da Silva∗ Rosana Sueli da Motta Jafelice∗∗

[email protected] [email protected]

Introdução

O ensino de matemática deve ir além das simples resoluções de questões matemáticas,muitas vezes sem significado para o aluno, e levá-lo a adquirir uma melhor compreensão tantoda teoria matemática quanto da natureza do problema. Assim, modelagem matemática noensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos queele ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente.Isso porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio depesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico.

Agora, vamos introduzir alguns conceitos importantes que estão em [1]:

Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.

Modelo matemático é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procuratraduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real.

É importante saber que a elaboração de um modelo depende do conhecimentomatemático que se tem. Se o conhecimento matemático restringe-se a uma matemáticaelementar, como aritmética e/ou medidas, o modelo pode ficar delimitado a esses conceitos.Tanto maior o conhecimento matemático, maiores serão as possibilidades de resolverquestões que exijam uma matemática mais sofisticada. Porém o valor do modelo não estárestrito à sofisticação matemática.

Os modelos criados pelos alunos podem ser expressos em fórmulas, diagramas, gráficose tabelas.

Hoje, com ajuda da computação de alta velocidade, os modelos se espalham por áreasessenciais e, por vezes, inusitadas. É possível fazer simulações complicadíssimas em temporecorde para prever, por exemplo, as variações do clima. Igualmente rápidos e intrigados

∗ discente do curso de matemática∗∗ docente do curso de matemática

cálculos feitos durante a transmissão de uma partida de futebol permitem a emissoras de TVreproduzir o movimento das câmeras e oferecer ao espectador o recurso do tira-teima.

Na escola, os cálculos são muito mais básicos, mas a seqüência do raciocínio éigualmente sofisticada. É preciso entender aonde se quer chegar e identificar que variáveis eque dados serão mensurados e coletados para formular conclusões.

Para o desenvolvimento do tema “criação de perus”, exposto neste trabalho, é precisoconhecimento de matrizes e determinantes utilizando-se o Excel1, o que será desenvolvido deforma resumida.

Conteúdo de matrizes

Durante o estudo de matrizes, podem ser utilizados pacotes computacionais para aelaboração de planilhas eletrônicas, por exemplo o Excel, para a construção de tabelasnuméricas e de problemas simples que apliquem os conceitos aprendidos.

Os exemplos 1 e 2 desta seção estão propostos em [3].

Exemplo 1:

Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas paraseus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:

Tabela 1Componentes \ Modelo A B C

eixos 2 3 4rodas 4 6 8

Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

Tabela 2Modelo \ Meses Janeiro Fevereiro

A 30 20B 25 18C 20 15

Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantasrodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produçãoplanejada?

Solução:

Procedimento:

1. Insira as tabelas dadas no exercício em uma planilha do Excel, Figura 1;2. Na mesma planilha, insira uma tabela para os valores da solução do problema;3. Nessa tabela selecione as células em que serão inseridos os valores da solução do

problema;

1 Excel é um pacote computacional de planilhas eletrônicas desenvolvido pela Microsoft Corporation.

4. Selecionadas as células tecle =;5. Escolha a função MATRIZ.MULT;6. Em Matriz 1 selecione os valores da primeira tabela e tecle Enter;7. Em Matriz 2 selecione os valores da segunda tabela e tecle Enter;8. Tecle Ctrl+Shift+Enter para mostrar a matriz de multiplicação.

Figura 1: Exemplo de multiplicação de matrizes utilizando o Excel.

Resposta: São necessários 215 eixos e 430 rodas para Janeiro como também 154 eixos e 308rodas para Fevereiro.

Conteúdo de determinante

Um tipo especial de matriz é a matriz de Vandermonde, definida como uma matrizquadrada V, de ordem n ≥ 2, com a seguinte forma:

1 1 1 ... 1v1 v2 v3 ... vn

v12 v2

2 v32 ... vn

2

V = ..............................................

v1n-1 v2

n-1 v3n-1 ... vn

n-1

Em [4], vemos que

det V = (v2 - v1)( v3 - v1 )( v3 - v2 ) . ... . (vn - v1 ) (vn - v2 ) (vn - v3 ) . ... . (vn - vn-1 ).

E, sabendo que a matriz V possui inversa se, e somente se, det V ≠ 0. Logo, V é invertível se,e somente se, os números v1, v2, v3, ... , vn são dois a dois distintos.

Exemplo 2:

Calcule o determinante da seguinte matriz de Vandermonde:

1 1 1 1A = 2 -1 0 3

4 1 0 98 -1 0 27

Solução:

Procedimento:

1. Insira a matriz dada no exercício em uma planilha do Excel, Figura 2;2. Na mesma planilha, selecione uma célula em que será inserido o valor do

determinante da matriz;3. Selecionada a célula tecle =;4. Escolha a função MATRIZ.DETERM;5. Em Matriz selecione os valores da matriz dada e tecle Enter;6. Tecle Ctrl+Shift+Enter para mostrar o determinante da matriz.

Figura 2: Exemplo do cálculo do determinante de uma matriz utilizando o Excel.

Resposta: O determinante da matriz é det(A) = 72.

Modelagem – Tema: Criação de Perus

Interação

Síntese do tema ou das informações essenciais que permitirão gerar a questãonorteadora. Nessa etapa é feita uma breve exposição sobre o tema, permitindo certadelimitação do aluno com uma área em questão [1].

Segundo especialistas, nas granjas comerciais, logo após o nascimento, perus machos efêmeas são alojados separadamente. Com luz e temperatura controladas e espaço físicodefinido de acordo com etapas de crescimento, fêmeas e machos permanecem no aviário até omomento de abate, que ocorre entre 70 e 84 dias para as fêmeas e em até 160 dias para osmachos. O período de abate é definido a partir de uma análise da relação entre o consumo deração e o ganho de massa [2]. A Tabela 3, apresenta o aumento de massa (g) das fêmeas emfunção do consumo de ração (g) nas 18 primeiras semanas, Figura 3.

Tabela 3: Aumento de massa (g) das fêmeas em função do consumo de ração (g) nas 18primeiras semanas.

Idade Massa Consumo de ração1 107 1042 222 2303 423 3404 665 4705 971 7006 1466 9227 2079 11468 2745 12709 3495 139610 4194 156811 4870 171012 5519 195713 6141 196914 6732 209315 7290 211516 7813 216517 8299 216018 8744 2180

Questão principal: Elaboração de um modelo que dê o período ideal para o abate do peru,considerando o ganho de massa do peru (fêmea) dependendo do tempo.

Matematização

Formular e resolver o problema, chegando a um modelo que permite interpretar asolução e, possivelmente, valer para outras aplicações [1].

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5 10 15 20

tempo em semanasm

assa

emg

ram

as

Figura 3: Representação gráfica da massa das fêmeas de peru nas 18 primeiras semanas.

Como é conhecido apenas um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo,podemos encontrar uma forma analítica que seja melhor, se houver uma “aproximação darealidade”. Criar uma função que interpole uma “nuvem” de dados significa construir umaexpressão matemática que revele as tendências do “conjunto todo”.

Olhando para Figura 3, escolha dois pontos do gráfico, cuja reta que os contém seja amais próxima possível dos demais pontos dados. Nesse momento, pode ser introduzido oconteúdo de sistemas lineares e os métodos de resolução dos mesmos.

Proponha aos alunos que calculem a taxa média de crescimento semana a semana (emgramas por semana) a partir dos dados, Tabela 4:

Tabela 4: Taxa média de crescimento (semana a semana) das peruas.m(2) - m(1) = 115m(3) - m(2) = 201m(4) - m(3) = 242m(5) - m(4) = 306m(6) - m(5) = 495m(7) - m(6) = 613m(8) - m(7) = 666m(9) - m(8) = 750m(10) - m(9) = 699m(11) - m(10) = 676m(12) - m(11) = 649m(13) - m(12) = 622m(14) - m(13) = 591m(15) - m(14) = 558m(16) - m(15) = 523m(17) - m(16) = 486m(18) - m(17) = 445

Pode-se notar que a taxa de crescimento varia de semana a semana, isto é, a taxa não éconstante. Isso mostra que um modelo que melhor se aproxima dos dados é não-linear. Assim,podemos, por exemplo utilizar a matriz de Vandermonde já explicada, como segue:

Selecione alguns pontos que se supõem convenientes, como, por exemplo, P1, P3, P6, P9, P12,P15, P18 e, monte a matriz de Vandermonde com esses pontos.

1 1 1 1 1 1 1 a 107729 243 81 27 9 3 1 b 42346656 7776 1296 216 36 6 1 c 1466531441 59049 6561 729 81 9 1 d = 3495 ,2985984 248832 20736 1728 144 12 1 e 551911390625 759375 50625 3375 225 15 1 f 729034012224 1889568 104976 5832 324 18 1 g 8744

é a representação matricial do sistema

ax16 + bx1

5 + cx14 + dx1

3 + ex12 + fx1 + g = y1

ax36 + bx3

5 + cx34 + dx3

3 + ex32 + fx3 + g = y3

ax66 + bx6

5 + cx64 + dx6

3 + ex62 + fx6 + g = y6

ax96 + bx9

5 + cx94 + dx9

3 + ex92 + fx9 + g = y9

ax126 + bx12

5 + cx124 + dx12

3 + ex122 + fx12 + g = y12

ax156 + bx15

5 + cx154 + dx15

3 + ex152 + fx15 + g = y15

ax186 + bx18

5 + cx184 + dx18

3 + ex182 + fx18 + g = y18

Resolução do sistema utilizando o Excel:

1. Insira a matriz de Vandermonde e o vetor y em uma planilha do Excel, Figura 4;2. Na mesma planilha, selecione as células em que serão inseridos os valores da solução

do sistema;3. Selecionadas as células tecle =;4. Escolha a função MATRIZ.MULT;5. Em Matriz 1 escolha a função MATRIZ.INVERSO;6. Em Matriz selecione os valores da matriz de Vandermonde e tecle Enter;7. Dê um clique na função MATRIZ.MULT;8. Em Matriz 2 selecione os valores do vetor y e tecle Enter;9. Tecle Ctrl+Shift+Enter para mostrar o vetor-solução do sistema.

Figura 4: Resolução do sistema Px = y utilizando o Excel.

Coeficientes da função de interpolação: a = -0,00587; b = 0,350919; c = -8,00737;d = 84,32957; e = -371,005; f = 825,7075; g = -424,37.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5 10 15 20

tempo em semanas (t)

mas

saem

gra

mas

(g)

Figura 5: Gráfico da massa, em gramas, das peruas, em função do tempo.

Pela Figura 5, observamos que a velocidade de crescimento das peruas depende daidade. E, pela Tabela 4, vemos que o tempo ideal para o abate das peruas é logo depois danona semana, pois nesse período o ganho de massa semanal chega a 750g/semana, decaindo apartir da décima. Após essa idade a perua cresce, porém não mais no mesmo ritmo. Dessaforma, a ração que essa perua iria consumir nas próximas semanas pode ser aproveitada nacriação de uma outra perua.

Modelo

Modelo encontrado e sua validação [1].

Vamos calcular a massa do peru para cada semana, utilizando a função de interpolaçãoencontrada:

m(t) = -0,00587t6 + 0,350919t5 - 8,00737t4 + 84,32957t3 - 371,005t2 + 825,7075t - 424,37.

m(1) ≅ 107g m(2) ≅ 300gm(3) ≅ 423g m(4) ≅ 625gm(5) ≅ 971g m(6 ) ≅ 1466gm(7) ≅ 2083g m(8) ≅ 2776gm(9) ≅ 3497g m(10) ≅ 4210gm(11) ≅ 4890g m(12) ≅ 5532gm(13) ≅ 6144g m(14) ≅ 6742gm(15) ≅ 7341g m(16) ≅ 7936gm(17) ≅ 8487g m(18) ≅ 8895g

Tabela 4: Taxa média de crescimento (semana a semana) das peruas, obtida pela função deinterpolação.

m(2) - m(1) = 193

m(3) - m(2) = 123

m(4) - m(3) = 202

m(5) - m(4) = 346

m(6) - m(5) = 495

m(7) - m(6) = 617

m(8) - m(7) = 693

m(9) - m(8) = 721

m(10) - m(9) = 713

m(11) - m(10) = 680m(12) - m(11) = 642m(13) - m(12) = 612m(14) - m(13) = 598m(15) - m(14) = 599m(16) - m(15) = 595m(17) - m(16) = 551m(18) - m(17) = 408

Verificamos, então, que o máximo ganho de massa está próximo da nona semana(considerando valores obtidos a partir da quarta semana). Podemos assim dizer, que a funçãovale como um modelo matemático para uma interpretação, ainda que superficial docrescimento de peruas. E, conseqüentemente, o período ideal de abate.

Modelo logístico contínuo de Verhust

O modelo logístico é definido em termos da equação diferencial [1]

dP/dt = rP(1 – P/P∞),

onde P∞ é o valor máximo da população, ou seja, P → P∞ quando t → ∞ .

O termo – rP/P∞ serve para inibir ou retardar a taxa de crescimento. Quando a populaçãoP(t) é pequena, este termo tem pouco efeito no valor de dP/dt e assim a população começacom o crescimento quase exponencial. Como P aumenta, o termo de inibição serve parareduzir a taxa de crescimento drasticamente. Resolvendo o Problema de Valor Inicial (PVI)

dP/dt = rP(1 – P/P∞)P(0) = P0, r > 0,

temos que P(t) = {P0 P∞/[( P∞ - P0)e-rt + P0]}.

O instante onde ocorre a maior variação da população é dado por tn = (1/r)ln((P∞ - P0)/ P0) e oponto de inflexão da curva é em Pn = P∞/2.

Como o modelo logístico pressupõe que a taxa decai linearmente, em função dapopulação, podemos ajustar os valores ri médios, (estimando entre as populações consecutivasi e i + 1) com as respectivas populações médias Pi (estimadas através de um modeloexponencial): ri = (Pi/Pi-1)

(1/i) – 1. Fazemos, então, um ajuste linear entre os valores ri e Pi

encontrados. Daí, encontramos os valores de r e P infinito e, temos a curva logística desejada.Aplicando este modelo ao problema de criação de perus, temos:

ri = (Mi/Mi-1) – 10.5

1ir

i iM M e−=esta última equação fornece os valores médios de massa Mi em relação a Tabela 3. Fazendo oajuste linear, encontramos r ≅ 0.5964 e M infinito ≅ 7,8737.103. Ou seja, quando o tempotende a infinito, o ganho de massa tende a 7,8737.103. Pela Figura 6, vemos que este modelonão é conveniente para a modelagem de criação de perus, pois temos valores de ganho demassa acima do M infinito encontrado.

Figura 6: Curva logística obtida a partir dos dados da Tabela 3.

Conclusões

O modelo de Verhust, como mostra a Figura 6, colaborou no entendimento damodelagem do crescimento de perus porém, este modelo não é o mais adequado pelo fato deque o valor máximo, P infinito, está abaixo dos dois últimos valores da Tabela 3.

A modelagem sobre o tema crescimento de perus, exposta neste trabalho, é um bomexemplo de aplicação da matemática em outras áreas científicas e, mostra que o aprendizadode matemática pode ir além do simples lápis e papel ao se utilizar a informática comoferramenta para cálculos matemáticos. Portanto, a matemática pode ajudar na formação docidadão intelectualmente contextualizado no “mundo globalizado”.


[1] BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática:uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

[2] BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 3.ed. São Paulo: Contexto, 2003.

[3] DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações – ensino médio v. 2. SãoPaulo: Ática, 2002.

[4] LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 3.ed. Rio de Janeiro: Impa, 2001.

Modelagem das Embalagens de Produtos Alimentícios

Flávia B.Mendes1 Carla A. Pereira1 Rosana M. Jafelice2

[email protected] [email protected] [email protected]


Introdução

No meio onde vivemos estamos rodeados de inúmeras embalagens de vários tipos,tamanhos e formas. A maioria das embalagens de produtos vendidos nos supermercados temformatos geométricos. E as que mais aparecem são da forma cilíndrica, cúbica eparalelepípedo retângulo.

A importância das embalagens, talvez tenha sido entendida pelo homem, quandoobservou a coincidente facilidade de deteriorização do alimento, quando este era privado doseu invólucro inicial [3].

De acordo com a filosofia de marketing, a embalagem tem por finalidade, “vender” oua embalagem é a arte, a ciência e a técnica de acondicionar o produto, para que ele sejatransportado, vendido e consumido.

A partir de uma situação real ou experimental, é natural que se crie hipóteses equestões. Estas são as impressões que as pessoas têm sobre o que é observado. Estasimpressões podem ser expressas em linguagem matemática e, através desta, pode-se criar ummodelo que represente a situação real observada [2].

Neste trabalho, na disciplina de Instrumentalização para o ensino deMatemática,utilizamos a modelagem matemática como uma estratégia de ensino-aprendizagem, e levantamos algumas questões que envolvem conceitos de geometria plana eespacial, sistema de medidas, volume,área, estatística. Através do tema “embalagem”, osalunos poderão questionar vários assuntos relacionados com o mesmo.

Abordamos as seguintes embalagens:� Embalagens de leite condensado de 395g;� Embalagens de refrigerante de 350 ml e 600ml;� Embalagens cilíndricas com medidas diferentes.

Embalagem de Leite Condensado de 395g

As embalagens de leite condensado, na maioria das marcas, são fabricadas no formatocilíndrico e no formato paralelepípedo retângulo. Então formulamos alguns problemas, deforma a identificar alguns aspectos interessantes, que podem levar os alunos à criatividade e amotivação para desenvolver as atividades relacionadas ao conteúdo matemático.

Problemas:1.Qual a forma ideal de uma embalagem de leite condensado entre a cilíndrica e

paralelepípedo retângulo?

Dados coletados:

1 Discentes do curso de Licenciatura em Matemática.2 Docente da disciplina Instrumentalização para o Ensino de Matemática.

h(altura) = 7,4 cm ;diâmetro =7,4cm

h(altura) = 11,8 cm ;lado =4cm ;comprimento = 6,4cm;

Concluímos que ,isto é, uma embalagem na forma retangular utiliza maismaterial que uma embalagem na forma cilíndrica.

Vale destacar também, que, na prática, uma embalagem não tem apenas faces e bases.Há também as dobras necessárias para o encaixe.

No corte, essas dobras, muitas vezes, geram um grande desperdício. É fundamentalque se estude a melhor forma de efetuar o corte para minimizar desperdícios. No exemplo,não consideramos a área relativa às dobras.

2. Empilhar caixas.Existem várias formas de empilhar caixas, e nos depósitos de supermercados, utilizam

a forma que ocupa menor espaço e maior número de caixas. Assim suponhamos uma formade empilharmos essas caixas, contendo as 48 latas de leite condensado de 395g.

Vamos considerar as seguintes medidas de uma caixa contendo 48 latas de leitecondensado:

Neste caso, medimos a caixa menor da figura abaixo:

altura = 15 cm; largura = 30cm e comprimento = 45cm.

32

2 2621.3184,72

4,7cmhrVc =××�

��

��=××= ππ

cp AA

22

2 05.2582

4,724,77,3222 cmrrhAc =�

��

��×+××=+= ππππ

308.3024,648,11 cmclhVp =××=××=

264,296)44,6(2)4,68,11(2)48,11(2 cmAp =×+×+×=

30cm

45cm

Considere agora, um depósito que tenha um espaço físico de 4m x 4m x 3m, para empilharessas caixas de leite condensado.

45cm30cm

4m

4m

Assim, chamamos x o número de caixas que ocupam o espaço em relação à largura dodeposito de 4 metros, e y o número de caixas que ocupam em relação ao comprimento de 4metros. Teremos então;

30x = 400� x = 13 caixas ;45y = 400� y = 9 caixas

Logo o nº caixas, na 1ª fileira do empilhamento, ou seja, a base do empilhamento será:13 x 9 =117 caixas.

Agora, considerando a altura do espaço reservado para o depósito de 3m, e da caixa de15cm de altura, temos que a altura do empilhamento será:

z = altura espaço : altura caixa

z =15

300� z = 20 caixas

Portanto, concluímos que o nº de caixas será 20 x 117= 2340 caixas.

3. O tipo de embalagem pode influenciar as pessoas?Investigamos 40 pessoas em Uberlândia, através de um questionário, e perguntamos a elas

qual a sua preferência quanto ao tipo de embalagem. As perguntas tinham as seguintesalternativas:

a) O que levam as pessoas a preferirem um tipo de produto?

� Preço� Tipo de embalagem� Qualidade

b) Quais das duas embalagens de leite condensado, as pessoas preferem?

Visão plana dacaixa

Espaço físicopara empilhar ascaixas

cx

� cilíndrica� paralelepípedo retângulo

Através deste questionário, realizado com 40 pessoas, coletamos os seguintes dados:Na primeira pergunta, tivemos que:

� 14 pessoas optaram pelo preço;� 4 pessoas optaram pelo tipo de embalagem;� 22 pessoas optaram pela qualidade.

Analisando os dados obtidos, teremos:40 pessoas -----100%

14pessoas ----- xx = 35% optaram pelo preço;

Analogamente, teremos 10% optaram pela embalagem, 55% optaram pela qualidade.

Na segunda pergunta realizada, encontramos que:� 17 pessoas preferem a embalagem cilíndrica;� 23 pessoas preferem a embalagem paralelepípedo retângulo.

Representando esses resultados, nos gráficos, teremos:

Figura 1: Preferência quanto ao produto. Figura 2: Preferência quanto à embalagem.

Através dos resultados encontrados, observamos que 55% das pessoas acham maisimportante à qualidade do produto do que o preço e o tipo de embalagem. E 57,5% preferirama embalagem paralelepípedo retângulo à cilíndrica.

As embalagens de leite condensado, os professores e os alunos poderão abordar váriosassuntos, como por exemplo, preços, diferentes formatos, produção,etc. O mais importante éusar a criatividade e observar mais atentamente a nossa volta, o que está relacionado com amatemática.

Embalagem de Refrigerante

1. Qual embalagem é mais econômica? Qual das duas embalagens é mais vantajosa?As bebidas normalmente, são vendidas em embalagens diferentes.É preciso ter sempreatenção na hora de decidir qual comprar. Veja o exemplo:

Certa bebida é vendida em dois tipos de embalagem:

O que leva as pessoas preferirem oproduto?

35%

10%

55%

Preço

embalagem

qualidade

Preferência quanto a embalagem

43%

57%

cilindríca

paralelepípedo

em garrafa de 600 ml, por R$ 0,78.em lata de 350 ml, por R$ 0,49.

Para resolver essa questão, vamos calcular o preço de cada ml, em cada uma das embalagense, em seguida, comparar seus valores.

1 Garrafa 78:600=0,13 centavos por ml

1 Lata 49 : 350 = 0,14 centavos por ml

Observe que o valor de cada ml, na embalagem garrafa, é mais barato que naembalagem lata. Logo, comprar em garrafa é mais vantajoso.

A questão sobre refrigerante é muito ampla. O interessante seria os alunospesquisarem em uma fábrica, por exemplo, a sua produção, o tipo de material usado, e etc. Ointuito é relacionar os dados reais com a matemática, e ao mesmo tempo estar contribuindopara a motivação dos alunos. Além disso, eles poderão aprender vários conteúdosrelacionados a este tema.

Embalagens cilíndricas

1.Qual o recipiente de maior capacidade?São comuns os objetos em forma cilíndrica. Num supermercado, se você observar asembalagens, vai identificar facilmente essa forma.

Uma pessoa dispõe de dois recipientes cilíndricos: um tem raio de 20 cm e altura de12 cm; o outro tem a metade do raio, porém o dobro da altura.

H=12cmH=24cm

R=10cm

�Vamos calcular seus volumes e comparar os resultados:

VCILINDRO = ABASE · H

Como você pode observar, o recipiente mais baixo (recipiente A) possui maiorcapacidade. À primeira vista, pode parecer que o fato do recipiente ter a metade do raio serácompensado por ter o dobro da altura. Porém, isso não acontece.

Considerações Finais

��

R=20cm

��

( ) 322 64,150791220 cmhrVa =××=××= ππ

( ) 322 82,75392410 cmhrVb =××=××= ππ

Ao trabalhar com a proposta de Modelagem Matemática, o aluno desenvolve acriatividade, o interesse pela pesquisa e apresenta uma motivação maior pelas aulas dematemática.

É possível explorar vários conteúdos interdisciplinares que relacionam com osconteúdos matemáticos, a partir do tema aqui abordado.

Sem esquecer que trabalhando todos os conteúdos escolares com significação real, émais fácil para os alunos adquirem conhecimento sistematizado de situações reais, quepermitem a contextualização e uma formação educacional satisfatória.

Neste trabalho abordamos conteúdos do 1º e 2º grau. O tema ‘Embalagem’, pode serutilizado desde as séries iniciais até o ensino superior, adaptando-o à forma de abordagem e áênfase do conteúdo de acordo com o programa de ensino [1]. Além disso, os alunos poderãoaprender sobre formas, tamanhos, cores, interior e exterior, dentre outros assuntos.

Referência Bibliográfica

[1] BIEMBENGUT, M. Salett, HEIN,N. - Modelagem Matemática no Ensino, 2000.[2] SANT’ANA,M.F – Modelagem de um experimento em aula de cálculo. (artigo do IEncontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, 2004).[3] site: www.elege.com.br/produtos/produto_final.php?prod_id=34&abre=&sublink=

Modelagem da Interação Clima x Poluição em Uberlândia

Flávia Bruno Mendes1 Clovis Antonio da Silva1 Rosana Sueli da Motta Jafelice2

[email protected] [email protected] [email protected]


Introdução

O crescimento demográfico das últimas décadas resultou no espantoso contingentehumano concentrado nas cidades. A concentração das pessoas e dos processos produtivos noscentros urbanos tem como principal conseqüência o aumento da poluição atmosférica emníveis espantosos. No Brasil, como na grande maioria dos países em desenvolvimento, osíndices de urbanização são altos. Com um índice de urbanização de 55,92% na década de 70,os níveis chegaram a 75,59% em 1991, sendo que o Sudeste, região mais desenvolvida dopaís, apresentava, no mesmo ano, um nível de 88,02% [6].

Considera-se poluente qualquer substância presente no ar e que, pela sua concentração,possa torná-lo impróprio, nocivo ou ofensivo à saúde, causando inconveniente ao bem estarpúblico, danos aos materiais, à fauna e à flora ou prejudicial à segurança, ao uso e gozo dapropriedade e às atividades normais da comunidade. O nível de poluição atmosférica émedido pela quantidade de substâncias poluentes presentes no ar. A variedade das substânciasque podem ser encontradas na atmosfera é muito grande, o que torna difícil a tarefa deestabelecer uma classificação. Para facilitar esta classificação, os poluentes são divididos emduas categorias [4]:

Tabela 1: Classificação dos poluentes.

Poluentes Primários Poluentes Secundáriosaqueles emitidos diretamentepelas fontes de emissão.

aqueles formados na atmosferaatravés da reação química entrepoluentes primários ecomponentes naturais daatmosfera.

O grupo de poluentes que servem como indicadores de qualidade do ar, adotadosuniversalmente e que foram escolhidos em razão da freqüência de ocorrência e de seus efeitosadversos, são:

Material Particulado (MP)Dióxido de Enxofre (SO2)Monóxido de Carbono (CO)Oxidantes Fotoquímicos, como o Ozônio (O3)Hidrocarbonetos

1 Discentes do curso de Matemática.2 Docente da disciplina Instrumentalização para o Ensino de Matemática.

Óxidos de Nitrogênio

A interação entre as fontes de poluição e a atmosfera vai definir o nível de qualidade doar, que determina por sua vez o surgimento de efeitos adversos da poluição do ar sobre osreceptores, que podem ser o homem, os animais, as plantas e os materiais.

O objetivo deste trabalho foi investigar acerca da qualidade do ar da cidade deUberlândia a partir de dados de reclamações sobre poluição do ar, coletados junto ao Serviçode Informação Municipal (SIM) da Secretaria Municipal de Comunicação Social [7] e dedados meteorológicos da Estação de Climatologia da Universidade Federal de Uberlândia [5],identificando as áreas de maior concentração de poluentes, dentre outros fatores relacionadosaos aspectos meteorológicos. A partir dos resultados obtidos, sugerimos algumas medidaspara a melhoria da qualidade do ar de Uberlândia.

Uberlândia

O Triângulo Mineiro pertenceu à Província de Goiás até 1816, passando então para aProvíncia de Minas Gerais. A ocupação do Triângulo Mineiro, antigo Sertão da FarinhaPodre, efetivou-se no início do séc. XIX; antes, era apenas um ponto de passagem de tropeirose mineradores.

A organização do povoado que resultou na cidade de Uberlândia começou em meadosdo séc. XIX. Há registro das primeiras indústrias na região por volta de 1825. O dono daprimeira indústria de enxadas e instrumentos rudimentares para a agricultura foi FelisbertoAlves Carrejo, apontado como o fundador do município. Em 1858, segundo JerônimoArantes, que o D. Constantino José da Silva Braga assinou sentença reconhecendo o novonome do Patrimônio de Nossa Senhora do Carmo e São Sebastião da Barra de São Pedro doUberabinha. Mais tarde simplesmente São Pedro do Uberabinha, que aos poucos foi setransformando num centro comercial muito expressivo.

Em 1888, foi criado o município de São Pedro do Uberabinha; e em 1929 o municípiopassa a ser chamado de Uberlândia, nome sugerido por João de Deus Faria, que significa“terra fértil” [3].

Segundo fonte da Secretaria Municipal de Indústria e Comércio de Uberlândia [7],atualmente a cidade apresenta uma área total de 4115,09 Km2, sendo área rural 3896,09 Km2

e área urbana de 219,00 Km2, e apresenta uma altitude média de 863 metros.O clima da cidade é semitropical, e se caracteriza pela alternância de invernos secos e

verões chuvosos. A média anual da temperatura é de 22ºC. Os meses de Outubro a Março sãoos mais quentes, em torno de 24,7ºC. Os meses mais frios são Junho e Julho, com uma médiade 18,8ºC. O perímetro urbano da cidade é dividido em setores Norte, Sul, Central, Leste eOeste1.

Poluição do ar de Uberlândia

Para analisarmos as reclamações da poluição do ar de Uberlândia, efetivamos umaparceria junto à Secretaria Municipal de Meio Ambiente e Desenvolvimento Sustentável [7], aqual, em acordo com o SIM, autorizou o acesso ao banco de dados de reclamações depoluição do ar do período de 2001 a 2003. Vale ressaltar que consideramos, exclusivamente,

1 Em anexo, os bairros da cidade que são divididos nos setores Norte, Sul, Central, Leste e Oeste.

reclamações no perímetro urbano. A Tabela 2 fornece o total de reclamações por mês nosanos de 2001, 2002 e 2003.

Tabela 2: Reclamações por mês.

Número de Reclamações por mêsMês 2001 2002 2003Janeiro 7 3 29Fevereiro 4 2 32Março 3 3 22Abril 2 16 16Maio 2 48 36Junho 5 34 28Julho 5 29 38Agosto 5 24 29Setembro 7 24 31Outubro 4 20 26Novembro 1 23 11Dezembro 2 15 18

Fonte: SIM- Serviço de Informação Municipal

No SIM, as reclamações são especificadas de acordo com a data, a localização e adescrição do tipo de poluição e do estabelecimento poluidor. A Figura 1 mostra que, emmédia, entre 2001 e 2003, os meses de maior número de reclamações são de maio a setembro.

0102030405060

Jane

iro

Fevere

iro

Mar

çoAbr

ilM

aio

Junh

oJu

lho

Agosto

Setem

bro

Outu

bro

Novem

bro

Dezem

bro

recl

amaç

ões

2001 2002 2003 média

Figura 1: Reclamações de poluição do ar ao longo dos anos de 2001, 2002 e 2003.

Assim, levantamos as seguintes questões:

1. Qual o setor de maior ocorrência de reclamação de poluição do ar? Nesse setor, qualtipo de estabelecimento mais contribuiu na poluição do ar?

2. Será que os meses de maior número de reclamações está relacionado, de algumamaneira, com as condições meteorológicas?

Para respondermos a primeira pergunta, classificamos as reclamações por setor urbanode Uberlândia e, pela Figura 2, podemos ver que o setor leste, em todos os anos, foi o queapresentou o maior número de reclamações.

0

50

100

150

Norte

Centra

l

Leste

Oes

te Sul

recl

amaç

ões

2001 2002 2003

Figura 2: Reclamações de poluição do ar, por setor, ao longo dos anos de 2001, 2002 e 2003.

Em seguida, analisando as reclamações do setor leste por tipo de estabelecimento,identificamos qual tipo contribuiu para o acentuado número de reclamações. Para issodistribuímos os estabelecimentos poluidores em três categorias:

Comércio: borracharias, cerealistas, depósitos de materiais de construção, lavanderias,marcenarias, marmorarias, oficinas mecânicas, panificadoras e serralherias, entre outrospequenos estabelecimentos comerciais;

Indústria: granjas, fábricas em geral, etc.;

Residência: domicílios e lotes baldios.

Como mostra a Figura 3, a média de reclamações ocorridas, por mês, no setor lesteentre 2001 e 2003, indica que os estabelecimentos comerciais são os que mais contribuírampara o acentuado número de reclamações. Isso mostra que a maior parte das reclamaçõesestão relacionadas a partículas de poeira, fumaça e mau cheiro provenientes destesestabelecimentos.

tendência de reclamações

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

Jane

iro

Fevere

iro

Março

Abril

Mai

o

Junh

oJu

lho

Agosto

Setem

bro

Out

ubro

Novem

bro

Dezem

bro

recl

amaç

ões

comércio indústria residência

Figura 3: Número de reclamações por mês, do setor leste, considerando as três categorias.

Chamando R(t) a função reclamação do comércio em cada ano, calculandoR(2002) – R(2001) = 36 e R(2003) – R(2002) = 35, observamos que a diferença entre estesanos está diminuindo e, considerando que a quantidade de estabelecimentos comerciais nosetor leste não se altera, podemos supor que o número de reclamações tende a um valorassintótico e, assim aplicamos o seguinte ajuste dos dados:

Ajuste Linear de Modelos exponenciais assintóticos [1]

O ajuste linear do modelo exponencial assintótico é utilizado quando a representação

geométrica dos dados ( ii yx , ) no plano cartesiano estão “aproximadamente” no formato do

gráfico de y = k - aebx , com k > 0, b < 0 e a � 0. Este ajuste pode ser usado quando hátendência de estabilidade (comportamento assintótico) dos dados.

Procedimento de ajuste:

Façamos as mudanças de variáveis: z = ln (y – k); se a < 0z = ln (k – y); se a > 0.

Logo, z = �x + � sendo � = b e � = ln a e caímos no caso linear.

Precisamos do valor de k para proceder à mudança de variáveis acima.

Estimativa de k: Método de Ford-Walford

Seja C = {( ii yx , ): i = 1, ... , n} um conjunto de dados com tendência assintótica

horizontal quando ∞→ix .

Logo, lim ix y∞→ =k.

Considere a função f tal que f( iy ) = 1+iy e o conjunto de dados

D = {( 1,...,1:))(, −= niyfy ii } e faça um ajuste linear desses dados: f(y) = βα +y .

Logo, kα

β−

≅1

.

Agora, vamos aplicar o ajuste linear de modelos exponenciais assintóticos considerandoos dados de reclamações do comércio da Tabela 3.

Tabela 3: Número de reclamações por estabelecimento.

Região LesteReclamações por tipo de

estabelecimentoAno comércio indústria Residência2001 5 4 52002 41 18 162003 76 15 25

Fonte: SIM – Serviço de Informação Municipal

A função f(x) = y = 1300 – 1333e -0,0281x representa o número de reclamações por ano no setorleste considerando reclamações de comércio, onde o número de reclamações tende a 1300. Ográfico que representa este modelo pode ser visto na Figura 4.

Figura 4: Ajuste linear de reclamações do setor leste por ano.

Umidade do ar e Poluição

De acordo com o Centro de Ensino e Pesquisa em Agricultura (Cepagri/UNICAMP)[2], umidade relativa do ar significa, em termos simplificados, quanto de água na forma devapor existe na atmosfera no momento com relação ao total máximo que poderia existir, natemperatura observada. A umidade aumenta sempre que chove devido à evaporação queocorre posteriormente. Em áreas florestadas ou próximo a rios ou represas a umidade ésempre maior.

No inverno, freqüentemente ocorrem dias com baixa umidade do ar e alta concentraçãode poluentes.

Tabela 4: Umidade relativa do ar de Uberlândia nos anos de 2001, 2002 e 2003.

Umidade Relativa (%) - 2001 a 2003Média Média MédiaMensal Mensal Mensal

Janeiro 74 75 84Fevereiro 71 83 70Março 74 72 81Abril 64 66 74Maio 66 66 66Junho 66 60 60Julho 56 58 56Agosto 53 53 58Setembro 56 59 57Outubro 66 54 62Novembro 75 71 74Dezembro 75 75 73

Fonte: Estação de Climatologia - UFU

Observando os dados de umidade relativa do ar de Uberlândia da Tabela 4, podemosverificar que os meses de maio a setembro possuem menor média mensal de umidade, comotambém pode ser visto, graficamente, na Figura 5.

0

20

40

60

80

100

Jane

iro

Fevere

iro

Mar

çoAbr

ilMai

o

Junh

oJu

lho

Agosto

Setem

bro

Outu

bro

Novem

bro

Dezem

bro

um

idad

ere

lati

va(%

) 2001 2002 2003 média

Figura 5: Umidade relativa nos anos de 2001 a 2003, e a média da umidade.

Comparando o número de reclamações e a umidade relativa do ar no período de 2001 a2003, notamos uma tendência entre essas variáveis (Figura 6). No período de maior númerode reclamações, entre maio e setembro, ocorreu menor umidade relativa do ar o que indicauma relação entre as condições meteorológicas e a poluição do ar.

Tendência entre reclamações e umidade relativa

0,05,0

10,015,020,025,030,035,0

Jane

iro

Fever

eiro

Mar

çoAbr

ilM

aioJu

nho

Julho

Agosto

Setem

bro

Outub

ro

Novem

bro

Dezem

bro

recl

amaç

ões

0

2040

6080

100

um

idad

ere

lati

va(%

)média de reclamações média de umidade relativa

Figura 6: Número de reclamações e umidade relativa do ar entre 2001 e 2003.

Um dos fatores que podem ter ocasionado o aumento do número de reclamações noperíodo de baixa umidade em Uberlândia, são as queimadas provocadas principalmente porproprietários de terrenos que procuram uma maneira mais rápida e fácil de "limpá-los",ignorando o procedimento correto da capina.

Outro fator é que nesse período, as partículas de poeira e fumaça (matéria particulada)ficam suspensas no ar por mais tempo. O material particulado (MP) resulta da queimaincompleta de combustíveis e de seus aditivos, de processos industriais e do desgaste de pneuse freios. Em geral são provenientes da fumaça emitida pelos veículos movidos a óleo diesel;da fumaça expelida pelas chaminés das indústrias ou pelas queimadas; da poeira depositadanas ruas e dos resíduos de processos industriais que utilizam material granulado; de obrasviárias ou que movimentam terra, areia, etc [4].

Entre os sintomas relacionados com a inalação do MP estão as alergias, asma ebronquite crônica. Causa também irritação nos olhos e garganta, reduzindo a resistência àsinfecções [4].

Conclusão

Ao investigarmos sobre a qualidade do ar da cidade de Uberlândia, concluímos que osetor leste necessita de maior fiscalização, principalmente, nos estabelecimentos comerciais.

Assim, ressaltamos a necessidade do SIM em classificar os dados de reclamações de poluiçãodo ar por setor para agilizar a fiscalização dos estabelecimentos poluidores.

No período de maio a setembro ocorre maior indicativo de poluição do ar, devido àbaixa umidade relativa do ar. O que é um indício de que a poluição “mais visível” é a causadapor particulados.

No sentido de conscientizar a população e os empresários sobre os males causados pelapoluição do ar, a Secretaria de Meio Ambiente e Desenvolvimento Sustentável de Uberlândiadeve ter a iniciativa de convidar os meios de comunicação e setores organizados da sociedadea se unirem para uma campanha de esclarecimento ao público.


[1] BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática:uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

[2] Centro de Pesquisas Meteorológicas e Climáticas Aplicadas a Agricultura -Cepagri/UNICAMP: http://orion.cpa.unicamp.br/portal/index.php .

[3] Cidade de Uberlândia: www.uberlandia.com.br .

[4] Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambiental: www.cetesb.sp.gov.br .

[5] Estação de climatologia da Universidade Federal de Uberlândia: www.ig.ufu.br .

[6] Poluição do ar: http://ptsoft.net/vastro/referencia/estufa/poluentes/poluentes.html .

[7] Prefeitura Municipal de Uberlândia: www.uberlandia.mg.gov.br .

Anexo

Perímetro urbano de Uberlândia

A cidade de Uberlândia é dividida em vários setores descritos abaixo, com os respectivosbairros:

Setor CentralBairros: Fundinho, Centro, Lídice , Cazeca, Tabajara, Bom Jesus , Martins, Osvaldo Rezende,Daniel Fonseca, N. Senhora Aparecida, Brasil.

Setor NorteBairros: Presidente Roosevelt, Jardim Brasília, São José, Maravilha, Pacaembu, Santa Rosa,Residencial Liberdade, Esperança, Jardim América e Residencial Gramado, N.S. das Graças,Conjunto Cruzeiro do Sul, Jardim América (Parte), Marta Helena, CDI (Distrito Industrial),Minas Gerais.

Setor SulBairros: Vigilato Pereira, Saraiva, Lagoinha, Pampulha, Jardim Ozanan, Residencial Carajás,Leão XIII, Jardim Xangrilá, Patrimônio, Morada da Colina, Tubalina, Cidade Jardim, NovaUberlândia, Santa Luzia, Parque Granada, São Jorge, Laranjeiras, Jardim Karaíba, ShoppingPark.

Setor LesteBairros: Tibery, Parque Sabiá, Santa Mônica e Segismundo Pereira, Umuarama, CustódioPereira, Aeroporto, Jardim Califórnia, Aclimação, Jardim Ipanema II, Jardim Ipanema I,Morada dos Pássaros, Quintas do Bosque, Mansões Aeroporto, Dom Almir, Alvorada,Morumbi.

Setor OesteBairros: Jaraguá , Planalto, Chácaras Tubalina e Quartel, Luizote de Freitas, Jardim Patrícia,Dona Zulmira, Taiaman , Jardim das Palmeiras, Jardim Canaã, Jardim Holanda, Panorama,Mansour, Guarani, Tocantins.Fonte: Secretaria Municipal de Planejamento e Desenvolvimento Urbano.

Modelagem Matemática:Construindo Casas com Recursos Computacionais


Adriano Soares Andrade (*) Deive Barbosa Alves (*)[email protected] [email protected]

Rosana Sueli da Motta Jafelice (**)[email protected]

ç

Introdução

A principal preocupação na discussão dos processos de ensino escolar, nos últimosanos, tem sido a questão da informática, a qual é vista como um método de difícil manuseio,devido a não capacitação dos professores. Sendo assim, este trabalho como objetivo abordaralguns aspectos do trabalho com a informática, de maneira a levar os educadores a repensarqual seria o verdadeiro sentido da mesma, hoje considerada apenas desafio. É necessário queo aluno encare o processo como algo que esteja voltado para o trabalho educativo realizado,valorizando-o e, ao mesmo tempo, reconhecendo erros, procurando corrigi-los e superá-los.

A presença de recurso de informática no ambiente e meios de ensino têm chamado aatenção dos professores e alunos para o potencial didático de sua utilização em sala de aula.Muitos são os programas que vêm sendo desenvolvidos com o propósito de motivar o ensinoe a aprendizagem, assim como de ampliar os horizontes das metodologias de ensino. Asrecomendações dos parâmetros curriculares do ensino fundamental e médio demandammudanças curriculares nos cursos de preparação de professores, pautados, por sua vez, nosparâmetros curriculares dos cursos de licenciatura, e demandam também cursos de educaçãocontinuada para professores na ativa.

Como irão perceber a modelagem neste trabalho foi realizado com a ajuda deprogramas computacionais para o cálculo de áreas, volume, utilizando o Programa Excel comsuas fórmulas matemáticas.��

(*) discente do curso de Matemática(**) docente do curso de Matemática

Desenvolvimento

� A informática há algum tempo é caracterizada como uma trajetória mais ampla doensino, onde se pode trabalhar em um espaço infinitamente abstrato e ao mesmo tempo fazercom que o aluno venha a assimilar o conteúdo.

O trabalho iniciou com a modelagem Matemática em construção de prédios utilizandoa perspectiva, ou seja, como o aluno iria construir um ambiente a partir de uma visão maisampla com o uso da informática. Explicando melhor, como ele faria a montagem de umcômodo, por exemplo, onde colocar o fogão, a pia, a mesa, a janela, a quantos graus a portateria que abrir e não atrapalhar nenhum móvel do ambiente, o espaço para circulação nesseambiente e a circulação de ar, por exemplo.

Todas essas questões, com o uso da informática junto à modelagem são essenciais parase ter um bom rendimento e aprendizagem. Usou-se aqui os objetos de aprendizagem doprograma RIVED (Rede Internacional Virtual de Educação)[2] que trabalhavam comperspectiva.

Foram construídos três prédios com folha A4 e cola, as bases seriam quadrangular,triangular e circular. Esta construção foi realizada com a participação de todos os presentes ecolocada em discussão qual dessas bases suportaria maior peso, conforme Figura 1.

Figura 1

Diante das três bases foram colocados alguns pesos e logo se verificou que a base deformato circular suporta maior quantidade de massa embora não seja usado pelas construtorasdevido a aproveitar ao máximo a quadra com a divisão dos terrenos.

A folha de papel A4 é retangular de lado a e b sendo a > b. Para os prédios de basequadrada e triangular, os lados são a/4 e a/3, respectivamente. O prédio com base circular temraio igual a a/(2xπ). Temos:

Área da base quadrangular(Aq):Aq = (a/4)² = a²/16 = (1/16)xa² = 0,0625 xa²;

Área da base circular(Ac):Ac = π x (a/(2xπ))² = a² x (π/4) x π² = (1/4) x π = 0,07957xa²;

Área de base triangular(At):At = (a/3)² x (√3)/ 4 = (a²x√3)/36 = (√3/36 )xa² = 0,04811xa²;

Assim, At < Aq < Ac, por isso o cilindro suporta uma quantidade maior de massa. �Usufruímos o programa SUPERLOGO para a construção do telhado onde a criança

pode começar a trabalhar as questões de graus, figura e relações geométricas.O bom do SUPERLOGO é que ele não trabalha com linguagem formal de ângulo, mas

sim com o que ouvimos cotidianamente, ou seja, virar a esquerda, virar a direita, parafrente, para trás são os comandos básicos dele. Para quem desejar ter um primeiro contatocom esta tecnologia recomendamos o site da unicamp[3] e também compensa ler o artigopublicado pela Universidade Federal de Santa Catarina[4]. Vejamos a Figura 2.

Figura 2

Para a continuação do telhado, utilizamos os seguintes passos:• Como estamos fazendo um telhado temos que Ter o ângulo de inclinação. É bom deixar

que o aluno construa os ângulos, então, por exemplo, escolhendo um ângulo de 30º odiscente tem que saber, que o ângulo a ser programado não é 30º, mas sim o seucomplementar, ou seja, 90º - 30º = 60º, logo o comando a ser aplicado é;

• paradireita 60 teremos também que nos preocupar com a altura deste telhado, logo se oaluno escolhesse 100 unidades de medidas (u.m). E o aluno terá que encontrar; tg 30º =c.o/c.a; onde tg é Tangente, co é cateto oposto e ca é cateto adjacente. Como tg 30º =0,577350269 e c.o = 100 u.m, obtemos c.a = c.o/tg implicando que c.a ≈173, 2050808, nosuperlogo não há virgula e sim ponto, portanto c.a ≈173.2050808. No superlogo usamos ocomando;

• parafrente 173.2050808, como queremos um telhado cujos ângulos da base sejam iguais,ou seja, dois ângulos de 30º temos que calcular o último lembrando que a soma dosângulos internos de um triângulo é 180º, logo temos o último ângulo será 180º - 60º =120º, mas tome cuidado, pois o ângulo que realmente interessa não é o 120º e sim o seusuplementar, ou seja, 180º - 120º = 60º. Assim o ângulo a ser programado é 60º. Nosuperlogo ficará;

• paradireita 60, usando a simetria repetimos o seguinte comando;• parafrente 173.2050808, e como queremos que a base tenha 30º é só pegarmos o

suplementar de 30º que é 180º - 30º = 150º, programando temos;

• paradireita 150, e finalmente calculamos sabemos que a altura é 100 u.m logo para sabertodo o comprimento e levando em consideração o fato de se tratar de um triânguloisóscele temos que o comprimento = 2*(cos(30º)*173.2050808), ou seja, comprimento =2*150= 300, colocando o comando temos;

• parafrente 300, e pronto temos o telhado como na Figura 3.

Figura 3

Resolvendo Problemas na Construção

1-Área útil e Área construída: como relaciona-las?

Daqui a diante os temas trabalhados foram calculados no Excel e os desenhos emPaint.

Façamos o esboço de uma planta baixa, Figura 4, de forma geométrica qualquer [1].O a forma retangular (padrão comum dos terrenos).Consideraremos a área retangular com medidas a e b.

Figura 4

Podemos trabalhar o conceito de medida de superfície plana, propondo os cálculos dasáreas dos cômodos, da casa, do terreno, números racionais.

2-Como calcular a quantidade de tijolos, azulejos e pisos para uma casa?

Vamos tomar uma parede com as seguintes medidas [1], na Figura 5:

Figura 5

�

Podemos trabalhar o conceito de área, e unidades de medidas.Lembrando que na área da parede deve-se retirar a área das janelas, portas ou outra

entrada.

3- Onde colocar a caixa d´água?A que altura deverá estar o telhado para quecaiba uma caixa d'água de 1000 litros de capacidade?Como calcular esses 1000litros?

Foi questionado também onde colocar a caixa d’ água e como calcular o volume[1].É conveniente que se coloque na laje da casa sem que provoque dano algum, pois são

feitos de material leve e resistente.Quanto maior for a altura, Figura 6, maior será a pressão da água nos chuveiros e

torneiras (queda livre, gravidade).

Figura 6

Supondo que a caixa d'água seja de forma cúbica. A medida é da largura, docomprimento e da altura. Podemos trabalhar o conceito de volume, potenciação que é amesma também.

Conclusão

Os programas computacionais para uso educacional possuem grandes potencialidadesque devem ser reconhecidas e aproveitadas tanto por professores como por alunos, para obterresultados eficientes no processo de ensino aprendizagem.

Neste trabalho, apresentamos o uso da informática na Modelagem Matemática para oensino fundamental, outras ferramentas computacionais podem ser utilizadas para abordarconceitos matemáticos.


[1] Biembengut, Maria Salett. Modelagem Matemática no Ensino.São Paulo: Contexto, 2003.[2] http://rived.proinfo.mec.gov.br/site_objeto_lis.php[3] http://www.nied.unicamp.br/~siros/siros_rcx/introducao_slogo.pdf[4] http://www.inf.ufsc.br/~scheila/icece2003.PDF

Modelagem Matemática no Abastecimento eConsumo de Água na Cidade de Uberlândia


Deive Barbosa Alves Rosana Sueli da Motta [email protected] [email protected]

Introdução

Para evitar desperdício de água e atender a população de Uberlândia sem explorar emdemasia os mananciais hídricos, o Dmae tem investido regularmente na modernização doSistema de Abastecimento de Água. Esta renovação envolve a adoção de processosautomatizados, sob a responsabilidade de funcionários devidamente treinados, a realização deobras de infra-estrutura, o investimento na aquisição de novos equipamentos e a instalação deserviços que há muito se faziam necessários. Algumas medidas foram implantadas:

⎯ Os postos integrados de manutenção e atendimento, instalados nos bairros,oferecem os mesmos serviços prestados na sede do Dmae, com a vantagem de estar mais pertodo usuário.

⎯ A renovação do sistema de captação e abastecimento também chegou aos distritos.Novos reservatórios foram construídos e ampliados de 40mil para 350 mil litros a capacidadede armazenagem de água de Tapuirama e Cruzeiro dos Peixotos.

⎯ No DMAE foi criada uma central de atendimento rápido e de qualidade para omunicípio.

⎯ A retomada dos investimentos nas Estações de Captação e Tratamento de ÁguaSucupira e Bom Jardim ampliam a margem de segurança do sistema de abastecimento.Agindo de maneira preventiva, o DMAE está substituindo máquinas ultrapassadas porequipamentos mais eficientes.

⎯ A prefeitura criou a tarifa social da água, que isenta de pagamento às famílias querecebem até dois salários mínimos por mês. Outros dois requisitos condicionam o acesso aobeneficio a um consumo máximo de 20 metros cúbicos de água por mês e a propriedade deum único imóvel. Para o Dmae modernizar significa levar saneamento básico a toda apopulação. As famílias assentadas nos loteamentos São Francisco e Joana D’Arc já contamcom água potável e 17 mil metros de rede de esgoto. Moradores do bairro Prosperidade quehá anos reclamavam o mesmo benefício, também foram atendidos.

DMAE é sigla do DEPARTAMENTO MUNICIPAL DE ÁGUA E ESGOTO, órgãoda administração indireta da Prefeitura de Uberlândia. Este departamento tem como objetivo aprestação de serviços de qualidade a seus usuários. Seu papel é coletar e tratar todo o esgotogerado no município de Uberlândia, modernizar com eficiência o sistema de abastecimento deágua e trabalhar para a preservação da Bacia Hidrográfica do Rio Uberabinha.

Metodologia

O trabalho foi realizado com coleta de dados no Departamento de Água e Esgoto deUberlândia e utilizando a seguinte metodologia:

• Comparação e escolha dos dados mais convenientes à pesquisa.• “Plotagem” de gráfico com o Software Excel.• Escolha do software flash para desenvolver um aplicativo, que possa ser usado em

salas de aulas de primeiro e segundo grau.

Objetivo

• Determinar o consumo de água da cidade de Uberlândia.• Calcular o volume de água tratada da cidade de Uberlândia.• Verificar se a quantidade de consumo de água das residências, comércio e industrias

uberlandense é preocupante para o DMAE.• Produzir um objeto de aprendizagem com o software Flash para auxiliar o professor no

estudo de funções e estatística.

Desenvolvimento

Com os dados do DMAE plotamos gráficos, no software Excel, para determinar oconsumo de água nas residências, indústrias e comércios da cidade de Uberlândia no ano de2003.

Na Tabela 1 apresentamos os dados fornecidos pelo DMAE do consumo de água nasresidências, indústrias e comércios da cidade de Uberlândia no ano de 2003[2].

meses residências Comerciais industrias consumo totaljaneiro 3236398,532 351050 196177 3783625,532

fevereiro 3236001,000 351001 196152 3783154,000março 3236423,012 351060 196174 3783657,012abril 3236456,000 351055 196178 3783689,000maio 3236745,230 351062 196180 3783987,230junho 3236847,136 351082 196184 3784113,136julho 3245543,000 352001 196188 3793732,000

agosto 3237009,000 351091 196181 3784281,000setembro 3236240,000 351085 196179 3783504,000outubro 3236120,050 351090 196184 3783394,050

novembro 3253262,000 351129 196176 3800567,000dezembro 3255480,000 359445 196153 3811078,000

total 38882524,960 4222151 2354106,000

Tabela 1

Com a Tabela 1, construímos a Figura 1.

Consumo de água nas Residências, Industrias eComércios nos meses de 2003

9%Comércio

5%Indústria

86%Residência

Figura 1

Observamos que as residências de Uberlândia são as grandes “vilãs” para o DMAE,por isto o enfoque de sua propaganda esta voltada para conscientizar a população que a águanão pode ser desperdiçada.

Na Tabela 1 verificamos que o mês de maior consumo foi Dezembro.A Tabela 2 mostra a variação do mês de maior consumo em relação aos demais meses[2]

Meses Diferença do Volume de ÁguaDezembro - Novembro 10511

Dezembro - Julho 17346Dezembro - Agosto 26797Dezembro - Junho 26964,864Dezembro - Maio 27090,77Dezembro - Abril 27389

Dezembro - Março 27420,988Dezembro - Janeiro 27452,468

Dezembro - Setembro 27574Dezembro - Outubro 27683,95

Dezembro - Fevereiro 27924

Tabela 2

Na Tabela 2 observamos que a maior variação foi entre o mês de dezembro e o defevereiro. Na Figura 2, apresentamos o gráfico das variações da Tabela 2.

Diferença do Volume de Água Consumido

0

10000

20000

30000

0 2 4 6 8 10 12

Meses

Vo

lum

ed

eág

ua

emm

³ Diferença dos mesespor volume de água

Ajuste por Polinômio

Figura 2

A equação deste polinômio é:y = 1,6435x - 60,336x + 849,55x - 5648,2x + 17030x - 14572x + 12725.5 4 3 26 [1]

A Tabela 3 mostra a produção de água, na cidade de Uberlândia em duas estações detratamento, Sucupira e Bom Jardim [2].

Tabela 3

Observando a Tabela 3 notamos que o mês de maior produção foi agosto, o quetambém é ilustrado no gráfico de barras da Figura 3.

Produção de água em m³ da cidade de Uberlândia no anode 2003

4000000,0004500000,0005000000,0005500000,0006000000,000

janeir

o

fere

iro

mar

ço abril

maio

junho

julho

agos

to

sete

mbr

o

outu

bro

nove

mbr

o

deze

mbr

o

Produção em m³

Figura 3

Meses de 2003 Produção em m³Janeiro 5336157,220

Fevereiro 4833451,476março 5287109,380Abril 5314196,036Maio 5413502,734

Junho 5423957,364Julho 5607369,734

Agosto 5724017,562Setembro 5605832,316Outubro 5717913,484

Novembro 5461240,136Dezembro 5538905,000

A Tabela 4 mostra a diferença do mês de produção em relação aos demais [2].

Tabela 4

Assim, observamos que a maior variação foi nos meses de Agosto – Fevereiro, veja ográfico da Figura 4.

Gráfico da diferença entre o mês de maior produção em relaçãoaos demais

0200000400000600000800000

1000000

0 2 4 6 8 10 12

Meses

Vo

lum

ed

eág

ua

emm

³

Diferença entre o mês demaior produção de águaem relação ao demais


Figura 4

A equação do polinômio é:46082.4877,2x-101304x+48301x-9923,5x+926,73x-32,162x=y 23456 [1]

Analisamos o consumo e a produção de água da cidade de Uberlândia no ano de 2003separadamente, vamos analisá-las juntas. Assim, Tabela 5 apresenta estes dados.

Meses de 2003 Diferença da produção de água em relação ao mês de Agosto.Agosto – Outubro 6104,078Agosto – Julho 116647,828Agosto - Setembro 118185,246Agosto - Dezembro 185112,562Agosto - Novembro 262777,426Agosto – Junho 300060,198Agosto – Maio 310514,828Agosto – Janeiro 387860,342Agosto – Abril 409821,526Agosto – Março 436908,182Agosto - Fevereiro 890566,086

Meses de 2003 Consumo em m³ Produção em m³Janeiro 3783625,532 5336157,220

Fevereiro 3783154,000 4833451,476Março 3783657,012 5287109,380Abril 3783689,000 5314196,036Maio 3783987,230 5413502,734Junho 3784113,136 5423957,364Julho 3793732,000 5607369,734

Agosto 3784281,000 5724047,562Setembro 3783504,000 5605832,316Outubro 3783394,050 5717913,484

Novembro 3800567,000 5461240,136Dezembro 3811078,000 5538905,000

Tabela 5

A Figura 5 apresenta o gráfico destes valores.

Produçã e Consumo nos meses de 2003

0,000

2000000,000

4000000,000

6000000,000

8000000,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

meses

Vo

lum

ed

eág

ua

Consumo em m³

Produção em m³

Figura 5

Verificamos, então a necessidade de fazer a variação entre produção e consumo parasabermos quanto a mais está sendo produzido, já que o gráfico aparentemente apresenta umconsumo estável e uma produção com oscilações. Assim, temos a. Tabela 6.

Meses de 2003 Produção em m³ Consumo em m³ Diferença ente produção econsumo

janeiro 5336157,220 3783625,532 1552531,688fevereiro 4833451,476 3783154,000 1050297,476março 5287109,380 3783657,012 1503452,368abril 5314196,036 3783689,000 1530507,036maio 5413502,734 3783987,230 1629515,504junho 5423957,364 3784113,136 1639844,228julho 5607369,734 3793732,000 1813637,734

agosto 5724017,562 3784281,000 1939736,562setembro 5605832,316 3783504,000 1822328,316outubro 5717913,484 3783394,050 1934519,434

novembro 5461240,136 3800567,000 1660673,136dezembro 5538905,000 3811078,000 1727827,000

Tabela 6

Com a Tabela 6 observamos que os meses de agosto foram os meses que tiveram maiordiferença entre produção e consumo. Conforme Figura 6.

Diferença entre produção e consumo de água

0,000500000,000

1000000,0001500000,0002000000,0002500000,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

meses do ano de 2003

Vo

lum

ed

eág

ua

emm

³

curva da diferença pelosmeses


Figura 6

A equação do polinômio é dada por:y = 128,61x - 5133,2x + 80104x - 618339x + 2E + 06x - 4E + 06x + 4E + 06.5 4 3 26

Além disso, podemos dizer que o consumo total de água da cidade de Uberlândia noano de 2003 foi de 45458781,96m³ e foram produzidos no total, para suprir tal consumo, unsvolumes de 65263652,442m³. Assim, diferença entre produção total pelo consumo total obtém19804870,482m³.[1]

Conclusão

Realmente é acertado o investimento em propaganda de conscientização, voltada paraos proprietários, pois como vimos às residências consomem 86% da água da cidade deUberlândia.

Embora os meses de maior consumo foram Dezembro, Novembro nãonecessariamente é os meses que mais se produzem. Como vimos estes são Agosto e Outubro.Fica claro, então, que a produção de água na cidade de Uberlândia não depende do consumo.

Com o objetivo de ajudar o DMAE na conscientização do consumo de água decidimoscriar um “aplicativo” em Flash para que os professores, em especial os do ensino fundamental,pudessem trabalhar o consumo da água com as crianças, veja no Apêndice.

Agradecimento

Aos amigos Edinei Leandro dos Reis, Fernando da Costa Barbosa e RivelinoRodrigues Flor que me ajudaram a desenvolver um “aplicativo” em Flash.

Bibliografia

[1] Bassanezi, Rodney Carlos. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. SãoPaulo: Contexto, 2002.[2] Dados fornecidos pelo DMA.[3] www.uberlandia.mg.gov.br/escolaaguacidada[4] Calcule quantos litros de água você e sua família consomem por dia

Apêndice

A melhor forma encontra para trabalhar o consumo de água foi utilizando o início daestatística, no qual o professor trabalharia os conceitos de construção de tabelas, organizaçãodas mesmas e estudar os gráficos de barras e linhas.

Após o professor ensinar estes conceitos levará o aluno para trabalhar com o“aplicativo” que funciona desta forma.

Primeiro o usuário entra com dados do consumo de água durante os meses do ano, onúmero de pessoas da família e confirma tais dados, conforme Figura 7.

Figura 7

Recomendamos que o aluno tenha em mãos as contas de água de sua casa. Paralocalizar tais valores na conta de água é só observar onde está escrito “histórico de consumo”e abaixo olhar a palavra “consumo” e então jogar este valor na tabela, lembrando que o valor éem metros cúbicos, ou seja, milhares de litros e não somente em litros. Se por acaso não tivera palavra “consumo” com certeza tem as seguintes: “Leitura atual” e “Leitura anterior”, nestecaso têm que saber de quanto é o consumo. Para tal é só subtrair o valor que é apresentado na“Leitura anterior” pelo valor da “Leitura atual”, assim teremos o consumo em metroscúbicos[3].

Quando confirmarmos os dados aparecerá uma outra janela, Figura 8, com os dados doconsumo mensal, e a média mensal, calculada da seguinte forma: somamos o consumo dosdoze meses e dividimos por doze, assim obtivemos o consumo médio da família por mês.Apresenta ainda a média mensal por pessoa que foi calculada da seguinte forma: a partir damédia mensal e dividimos pela quantidade de pessoas existentes na família. Temos, ainda acota DMAE de consumo, que nada mais é do que a instituição DMAE considera comoconsumo racional da água que é calculada da seguinte forma: segundo o DMAE para termos ouso racional da água é preciso que cada pessoa consuma 0,15 m³ de água por dia.Multiplicando por 30 para sabermos quanto é este valor por mês temos que oconsumo/pessoa/mês é 4,5 m³, como queremos achar a cota para que uma família tenha umuso racional, segundo o DMAE, basta multiplicarmos pelo número de pessoas da família, ouseja, a cota DMAE de consumo = número de pessoas da família * 4,5, onde 4,5 é o consumo

de água em metros cúbicos por pessoa e por mês[4]. Depois das informações podemosescolher se quisermos gráfico de barras ou de linhas.

Figura 8

Escolhendo o botão gerar o gráfico de barras temo a Figura 9.

Figura 9

Na Figura 9, os retângulos em azul representam o consumo obtido naquele mês, ouseja, cada retângulo azul é um mês com o respectivo consumo, neste caso, por exemplo,janeiro teve um consumo de 22 m³ e dezembro teve 29 m³. A linha em vermelho indica amédia mensal de consumo de água que família obteve, a linha verde representa a cota DMAEde consumo, ou seja, a linha verde indica o uso racional da água segundo o DMAE, vemosque neste exemplo o valor que a família podia gastar por mês era de 18 m³ como a médiamensal foi de 27,25 m³ esta família não usa a água de forma racional.

Escolhendo o botão gerar o gráfico de linha temos a Figura 10.

Figura 10

Na Figura 10, o gráfico em azul relaciona os meses com os respectivos consumo deágua da residência estudada. Assim o mês de dezembro teve o maior consumo, 29 m³. A linhaem vermelho indica a média mensal de consumo de água que família obteve, a linha verderepresenta a cota DMAE de consumo, ou seja, a linha verde indica o uso racional da águasegundo o DMAE, vemos que neste exemplo o valor que a família podia gastar por mês erade 18 m³ como a média mensal foi de 35,583 m³ esta família não usa a água de formaracional.

E é só, no mais cabe a cada professor ter criatividade para usar este aplicativo damelhor forma possível.

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Iniciação Científica

em Números

��

Comitê Editorial da SeçãoIniciação Científica em Números


Flaviano Bahia Paulinelli Vieira (coordenador da seção)Antônio Carlos NogueiraMaísa Gonçalves da Silva

Iniciação Científica em NúmerosFlaviano Bahia Paulinelli Vieira

Seguindo a mesma linha anterior inerente a esta sessão, objetivamos descrever asatividades de iniciação cientifica e/ou atividades técnicas complementares à formaçãoacadêmica desenvolvidas no âmbito da FAMAT/UFU e direcionadas aos discentes do Cursode Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Destacamos, inicialmente, a existência de seisprogramas regulares que oferecem atividades inclusas em uma das duas categorias acimamencionadas; são eles:

(1) Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática (PETMAT);

(2) Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do CNPq (PIBIC-CNPq);

(3) Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da FAPEMIG (PBIIC-FAPEMIG);

(4) Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação da UFU (PIBEG-UFU);

(5) Instituto do Milênio para o Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira do CNPq(IM-AGIMB-CNPq);

(6) Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática(PROMAT-FAMAT-UFU).

Destes, apenas o último não apresenta qualquer tipo de remuneração aos discentesenvolvidos. Além disso, ocorrem esporadicamente orientações de iniciação científica ouensino vinculadas a projetos pessoais de pesquisa ou ensino financiados pelo CNPq,FAPEMIG ou outros. Abaixo, descrevemos uma relação de todos os projetos, agregados a umdos programas acima mencionados, que estão atualmente em desenvolvimento na FAMAT eque são exclusivamente desenvolvidos por alunos do Curso de Licenciatura e Bacharelado emMatemática.

Vale ressaltar ainda que existem outros projetos de iniciação científica emdesenvolvimento no âmbito da FAMAT, todavia os mesmos envolvem alunos de Cursos deGraduação da UFU distintos do Curso de Matemática e, por isso, não serão aqui relacionados.

1. Projetos de Iniciação Científica – PETMAT

Professor: Marcos CâmaraProjeto: Códigos Corretores de ErrosAluno: Flaviano Bahia Paulinelli VieiraPeríodo: Março de 2005 a janeiro de 2006

Professor: Marcos Antônio da CâmaraProjeto: Problema de Transporte com Programação LinearAluna: Laís Bássame RodriguesPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Marcos CâmaraProjeto: Equações de Congruência de Grau Maior que UmAluna: Patrícia Borges dos SantosPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Jocelino SatoProjeto: Estudo de Superfície via Triedo MóvelAluno: Leandro Cruvinel LemesPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Cícero Fernandes CarvalhoProjeto: Introdução à Geometria AlgébricaAluno: Jairo Menezes e SouzaPeríodo: Março de 2005 a dezembro de 2005

Professor: Luis Alberto Duran SalomãoProjeto: Iniciação à Teoria dos NúmerosAluno: Maksuel Andrade CostaPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professora: Rosana Sueli da Mota JafeliceProjeto: Modelo de Bertalanffy para uma Espécie de CrustáceoAluna: Carolina Fernandes Molina SanchesPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Edson AgustiniProjeto: Introdução à Teoria da Informação e CodificaçãoAluna: Gisliane Alves PereiraPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Edson AgustiniProjeto: Figuras Equivalentes e EquicompostasAluna: Fabiana Alves CalazansPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Edson AgustiniProjeto: Introdução à Teoria da Informação e CodificaçãoAluna: Sandreane Poliana da SilvaPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professora Dulce Mary de AlmeidaProjeto: O Problema da Trisecção do Ângulo e Algumas Soluções na Grécia AntigaAluna: Flávia Cristina Martins QueirozPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professora Dulce Mary de AlmeidaProjeto: O Problema da Trisecção do Ângulo e Algumas Soluções na Grécia AntigaAluna: Mariana Fernandes dos Santos VillelaPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Ednaldo Carvalho GuimarãesProjeto: Análise do Comportamento de Semivariogramas Esféricos sob Diferentes Tipos deTendências nos DadosAluna: Alessandra Ribeiro da SilvaPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

2. Projetos de Iniciação Cientifica - CNPq / FAPEMIG

Professor: Ednaldo Carvalho GuimarãesProjeto: Análise da Estabilidade Temporal da Precipitação Pluviométrica Mensal emUberlândia - MGAluna: Franciele Alves da Silveira GonzagaÓrgão Financiador: PIBIC-CNPqPeríodo do Projeto: 07/2004 a 06/2005

Professora: Sezimária de F. P. SaramagoProjeto: Estudo de Alguns Algoritmos EvolutivosAluno: Jair Rocha do PradoÓrgão Financiador: PBIIC-FAPEMIGPeríodo do Projeto: 03/2005 - 02/2006

Professor: Marcelo TavaresProjeto: Avaliação das Relações de Atributos Físicos e Químicos de um Solo em DiferentesCondições de Manejo com a Produtividade da Soja por Meio de Técnicas MultivariadasAluna: Fernanda BonutiÓrgão financiador: PBIIC-FAPEMIG-UFUPeríodo do Projeto: 03/2004 a 02/2006

3. Projetos desenvolvidos junto ao PIBEG / FAMAT

Professor: Eugênio Antônio PaulaProjeto: Produção de Saberes Docentes Desenvolvidos no Laboratório de Ensino deMatemática Sobre Trabalho de ProjetoAluna: Flávia Bruno MendesÓrgão Financiador: PIBEG - UFU , E 018/04 –1Período do Projeto: 08/2004 a 07/2005

4. Projeto desenvolvido junto ao Instituto do Milênio / AGIMB

Professor: Jocelino SatoProjeto: Superfícies Mínimas EstáveisAluna: Helen Cristina Vieira FreitasÓrgão Financiador: CNPq / Instituto do Milênio - AGIMBPeríodo do Projeto: 08/2004 a 04/2005

Professor: Márcio José Horta DantasProjeto: Oscilações Forçadas em um Sistema Mecânico não IdealAluno: Uziel Paulo da SilvaÓrgão Financiador: CNPq / Instituto do Milênio - AGIMBPeríodo: 08/2004 a 04/2005

5. Projetos de Iniciação Cientifica – PROMAT

Professora: Lúcia Resende Pereira BonfimProjeto: Algumas Aplicações em Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais OrdináriasAluna: Juliana Lázara Cursino dos SantosPeríodo: Agosto de 2004 a julho de 2005

Professor: Ednaldo Carvalho GuimarãesProjeto: Comportamento da Precipitação Pluviométrica Mensal de Uberlândia: Análise deDependência TemporalAluna: Gabriela de Freitas AlvesPeríodo: Agosto de 2004 a julho de 2005

Professor: Valdair BonfimProjeto: Motivando Teorias Abstratas da MatemáticaAluno: Danilo Adrian MarquesPeríodo: Agosto de 2004 a julho de 2005

Professor: Jocelino SatoProjeto: As Propriedades das Tangentes às Cônicas e suas Aplicações em TecnologiasAluno: Eder Lúcio da FonsecaPeríodo: Agosto de 2004 a julho de 2005

Professor: Arlindo Souza JúniorProjeto: O papel da Tecnologia no Ensino da MatemáticaAluno: Narkeny Mark CardosoPeríodo: Agosto de 2004 a julho de 2005

Professor: Márcio José Horta DantasProjeto: Introdução à Mecânica VetorialAluno: Carlos Henrique TognonPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Márcio José Horta DantasProjeto: Introdução à Mecânica VetorialAluna: Milena Almeida Leite BrandãoPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Jocelino SatoProjeto: Superfícies com Curvatura Gaussiana ConstanteAluno: Bruno Nunes de SouzaPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Jocelino SatoProjeto: Superfícies RegradasAluno: Cláudia Helena Vieira FreitasPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

Professor: Edson AgustiniProjeto: Modelos Matemáticos Aplicados À Anatomia HumanaAluno: Franciella Marques da CostaPeríodo: Março de 2005 a março de 2006

6. Outros

Professor: Arlindo José de Souza JúniorProjeto: Programa de Apoio Científico e Tecnológico aos Assentamentos de ReformaAgrária - PACTo-MG/Triângulo MineiroAluno: Ronicley Eduardo Corrêa AraújoÓrgão Financiador: CNPq/INCRA-Instituto Nacional de Colonização e Reforma AgráriaPeríodo do Projeto: 08/2004 a 04/2006

Professor: Arlindo José de Souza JúniorProjeto: Programa de Apoio Científico e Tecnológico aos Assentamentos de ReformaAgrária - PACTo-MG/Triângulo MineiroAluno: Deive Barbosa AlvesÓrgão Financiador: CNPq/INCRA-Instituto Nacional de Colonização e Reforma AgráriaPeríodo do Projeto: 08/2004 a 04/2006

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

E o Meu Futuro Profissional?

� ��

Comitê Editorial da SeçãoE o Meu Futuro Profissional?


Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (coordenador da seção)Valdair Bonfim

Antônio Carlos NogueiraEdson Agustini

PÓS EM OUTRAS ÁREAS: OPÇÃO OU FALTA DE OPÇÃO?

Geraldo Botelho

O perigo de ser mal interpretado e ver suas palavras usadas fora de contexto e deforma oportunista sempre existe, ainda mais quando o assunto é polêmico e o título éprovocativo. Por isso afirmo de forma clara, explícita e inequívoca: não pretendo aquidesestimular alunos graduados em matemática a seguir seus estudos, em nível de pós-graduação, em outras áreas. Meu objetivo é levantar aspectos variados da questão para que,caso decida seguir esse caminho, o estudante o faça da forma mais consciente e responsávelpossível.

Sou procurado, com certa freqüência, por alunos em final de graduação, ourecentemente graduados, com a seguinte pergunta: “Estou pensando em fazer mestrado naárea X (na maioria das vezes X = engenharia elétrica, engenharia mecânica, computação,educação ou estatística). Você acha que é uma boa?” Pretendo neste texto elaborar efundamentar a resposta que normalmente apresento aos estudantes.

Inicio abordando duas questões inerentes ao assunto.Por que graduados em matemática são aceitos com tanta freqüência em programas de

pós-graduação de outras áreas? Vou tentar convencê-lo(a), eventual leitor(a), de que parte daresposta é a seguinte: o estudo da matemática, em níveis variados, ensina o aluno a raciocinarabstratamente de forma sistemática, o que permite uma adaptação rápida e bem sucedida aqualquer outra área. Começo argumentando que mesmo a matemática do ensino médio trazbenefícios nesse sentido. Para isso cito trecho das páginas 303 e 304 do livro “O gene damatemática”, de Keith Devlin, Ed. Record (2004):

“Em 1997, o Departamento de Educação dos Estados Unidos publicou um relatóriooficial ressaltando a importância da matemática no ensino do curso médio para conseguiringresso na universidade, e sucesso no mercado de trabalho, especificamente para estudantesde baixa renda. Usando dados de diversos estudos de longo prazo, o relatório em questãodescobriu que 83% dos estudantes do ensino médio que tinham estudado álgebra e geometriaingressavam na universidade, enquanto que apenas 36% (menos da metade) dos que nãoestudaram essas matérias conseguiram sucesso. Estudantes de baixa renda que estudavamálgebra e geometria tinham uma probabilidade quase três vezes maior de ingressar numauniversidade do que os que não estudavam essas disciplinas. Além do mais, estudantes quehaviam concluído o currículo completo dessas duas matérias saíam-se notavelmente melhorno curso superior do que seus colegas que haviam deixado o estudo dessas matérias pelomeio”.

O relatório não dizia nada sobre a obtenção de boas notas em álgebra e geometria, ouaté mesmo sobre a aprovação nas séries. O simples fato de estudar as matérias já traziabenefícios. E mais, os estudantes obtinham os mesmos benefícios, independentemente doscursos universitários que fossem fazer. Alunos de inglês, história e arte saíam-se bem, damesma forma que os que se especializavam em matemática e ciência.”

Passando para o aprendizado do estudante do curso superior de matemática, queroenfatizar que o aluno é submetido a um intenso treinamento de raciocínio simbólico, tratando,e principalmente relacionando, entidades abstratas. Qual é a importância disso? Preciso fazeruma pequena incursão na teoria da evolução. Qual é a diferença substantiva do funcionamentodo cérebro humano em relação aos cérebros dos outros animais? Essa diferença deve teracarretado grandes vantagens evolutivas, pois o homem tem que carregar um cérebro imenso(comparado aos demais) e que consome muita energia (apesar de responder por apenas 2% dopeso do corpo, o cérebro humano gasta em torno de 20% da energia consumida pelo corpotodo). A resposta mais aceita nos círculos científicos é a seguinte: o cérebro humano evoluiu

de maneira a permitir que os homens pensem sobre objetos abstratos e raciocinem sobresituações hipotéticas. Um macaco é bem capaz de aprender a abrir uma porta dotada demaçaneta para pegar bananas, mas certamente não é capaz de, vendo uma porta semmaçaneta, imaginar um tal objeto, fabricá-lo, instalá-lo na porta e por fim abrí-la para sealimentar. Essa possibilidade de pensar simbolicamente sobre objetos fictícios e, sobretudo,relacioná-los com outros objetos, fictícios ou não, é restrita aos seres humanos. O nometécnico dessa faculdade humana é “pensamento desconectado”. Foi o pensamentodesconectado que permitiu ao homem se antecipar a situações adversas, perceber comantecedência possibilidades favoráveis, e por fim garantir um lugar privilegiado na escalaevolutiva.

O que faz um escritor de telenovelas? Imagina e inter-relaciona personagens, lugares esituações, todos fictícios, abstratos. Algo muito parecido com o que é feito na matemática:objetos abstratos são imaginados e inter-relacionados. Por quê então muitas pessoas gostamde telenovelas e poucas gostam de matemática? É simples: a telenovela trata de objetos(personagens, lugares, situações), que são parecidos com aqueles vivenciados por todos nodia-a-dia, daí uma identificação natural. Já a matemática trata com objetos que em nada separecem com nossa experiência cotidiana. E por quê a matemática serve para tanta coisa e atelenovela não serve para nada? Também é simples: por que a telenovela é feita paraentretenimento e a matemática é feita para melhorar a nossa compreensão do mundo em quevivemos.

Voltando ao aprendizado de um estudante de curso de graduação em matemática, nãohá dúvida de que é nesse curso que o pensamento desconectado é mais exercitado, permitindoao aluno uma melhor exploração dessa capacidade fundamental do cérebro. Da mesma formaque nossos ancestrais usavam o pensamento desconectado para imaginar situações e formularplanos que depois de implementados lhes traziam grandes vantagens, o graduado emmatemática usa sua habilidade para imaginar e relacionar objetos abstratos para tratar erelacionar objetos reais, sejam eles de que área forem.

De tudo isso decorre a facilidade que o graduado em matemática tem em se adaptar aoutras áreas com facilidade e, na maioria das vezes, com sucesso. Daí decorre imediatamentea boa vontade dos programas de pós-graduação em outras áreas para aceitar alunos graduadosem matemática. Não que uma comissão de seleção de mestrado em outra área saiba de tudoisso e raciocine dessa maneira. Tudo o que eles sabem é que a experiência anterior mostra quegraduados em matemática normalmente são bem sucedidos naquela área. Isso é suficientepara eles. O que fiz acima foi mostrar o por quê disso, e por quê isso ocorre em tantas áreasdiferentes.

Eu disse que isso era apenas parte da resposta da pergunta original. Antes de comentara outra parte, atacarei a segunda pergunta.

Por que graduados em matemática, com certa freqüência, pretendem fazer mestradoem outras áreas? Vários fatores contribuem para isso. Alguns são válidos para todas as áreas(por exemplo: não gostei da área em que me graduei, por isso quero mudar de área), enquantoque outros valem especificamente para os graduados em matemática. Não me atrevo a dizerque tratarei de todos os fatores, mas certamente tratarei dos mais comuns:

(i) O já citado “não gostei de matemática e quero mudar de área”: esse fator éinescapável, ocorre em todas as áreas e não há motivo para não ocorrer em matemática, masdeve ser marginal, e não predominante;

(ii) O tradicional “prefiro aplicações, não gosto muito de teoria”: as afinidadespessoais devem ser respeitadas, trabalhar com algo que não se gosta é um excelente caminhopara o fracasso;

(iii) A tentação da interdisciplinaridade: a matemática é vista (de forma correta) evendida (de forma incorreta) como uma importante ferramenta na resolução e otimização de

soluções de problemas nas mais variadas áreas. O graduado é seduzido com o argumento deque aplicará seus conhecimentos matemáticos na outra área, conferindo-lhe assim umavantagem sobre os demais;

(iv) O engodo, ou preconceito, que matemática é uma área mais difícil que as demais:normalmente esse fator não é confessado, as pessoas não querem assumir que estão fugindoda dificuldade e procurando um caminho menos espinhoso, mas com um pouco de conversaesse aspecto invariavelmente sempre vem à tona;

(v) O mercado de trabalho: a alegação é que as possibilidades de emprego paragraduados, ou mesmo pós-graduados, em matemática são menores e pior remuneradas que emoutras áreas próximas;

(vi) A oferta de cursos de pós-graduação e de bolsas e a receptividade dos graduadosem matemática: o número de programas de pós-graduação nas outras áreas ésignificativamente maior que em matemática (como não poderia deixar de ser, pois são váriasoutras áreas), e, por outras razões, normalmente esses programas dispõem de mais bolsas queos programas em matemática. Em nossa região essa diferença é mais acentuada ainda.Aliando-se isso à já discutida boa receptividade que os graduados em matemática têmmerecido dos programas em outras áreas, esse se torna um fator fortíssimo na atração dosgraduados em matemática para esses outros programas.

É hora de voltar à questão central: é uma boa ou não um graduado em matemática sedirecionar para um mestrado em outra área? Minha opinião é que, como em tudo na vida,existem possibilidades e riscos. O problema é que, nessa questão específica, acho que aspossibilidades são ditas e repetidas exaustivamente (na minha opinião muitas vezessuperestimadas e super-dimensionadas) e os riscos são cuidadosamente omitidos. Oaconselhamento responsável a um jovem em busca de um caminho profissional certamentedeve alertá-lo para os riscos envolvidos. O lado maniqueísta deste texto, que assumo semproblema nenhum, é que considero as possibilidades já suficientemente propagandeadas,considerando por conseqüência que minha atenção deve estar centrada nos riscos. Comoresposta à questão central, eu de forma alguma digo ao estudante que ele deve evitar a pós-graduação em outra área. Mas considero minha obrigação esclarecê-lo quanto aos riscosenvolvidos e aos cuidados que devem ser tomados para evitar esses riscos. É sobre isso quediscorro a seguir. Aproveitarei os fatores numerados de (i) a (v) acima para expor minhaspreocupações:

(i) Não gostar de matemática não quer dizer gostar da área X. Após quatro anos decurso de graduação, tenho confiança em acreditar no estudante, ou recém-graduado, que diznão pretender seguir estudos nem atuar profissionalmente em matemática por falta deafinidade. Mas isso significa afinidade com a outra área? É claro que não. Nesse ponto oestudante tem que ser questionado: a opção pela área X é sólida e fruto de uma reflexãobaseada em conhecimento do que se faz na área, ou é uma escolha apressada? Comodistinguir uma da outra? Peço ao estudante para me dizer com que tipo de problemas ouatividades ele estará envolvido depois que conseguir um emprego na área. A resposta, sesuperficial ou específica, denuncia claramente se ele conhece minimamente a área ou seapenas tem uma vaga idéia. Além do conhecimento, para não ser uma tentativa às escuras énecessário ter afinidade com a área. O estudante está seguro dessa afinidade? Será que nãopassa de uma influência de um professor mais próximo, mais amigo? Nada contra seguir ospassos de um professor mais chegado, mas se for apenas isso, as chances de sucesso sãomínimas. Se não houver algo de dentro para fora do estudante em relação à área, ele deverefletir um pouco mais sobre essa escolha.

(ii) A situação do item anterior se repete aqui. Confio quando o estudante diz nãogostar de teoria, mas desconfio quando diz gostar das aplicações. Pergunto se ele conhece asaplicações, e, principalmente, quais aplicações. As respostas são decepcionantes, não para

mim, mas para ele próprio, que, quase sempre, nunca havia refletido seriamente sobre isso.Mais uma vez se repete a situação do estudante dizer que gosta de algo que ele praticamentedesconhece. Se não conhece, como pode gostar? Já passei várias vezes, como muitos outroscolegas, pela situação de ensinar aplicações de matemática para estudantes de engenharia,normalmente em cursos de pós-graduação. Mesmo tentando disfarçar, fica nítida a reação dotipo “nossa, como isso é difícil”. Por algum motivo, as pessoas pensam que matemática édifícil, mas as aplicações são fáceis. Nada mais enganador.

(iii) Vou entrar aqui em terreno mais delicado. É nesse ponto que o canto da sereia émais perigoso. Não tenho dúvida do potencial da interdisciplinari-dade e reconheço, naverdade reivindico, um papel importantíssimo da matemática na interação e integração dasáreas do conhecimento. Só não acredito que isso se realize, de maneira séria e fértil, nafreqüência com que dizem por aí. Colocar áreas distintas para interagir e disso obter bonsfrutos é extremamente difícil e, ouso dizer, muito raro. Requer conhecimento profundo dasáreas envolvidas e uma capacidade de relacionar coisas antes não relacionadas. Uma coisa éusar um método conhecido para resolver uma equação diferencial de um circuito elétricoespecífico, outra coisa, muito diferente, é desenvolver um novo método de solução que, paraaquele circuito específico, seja melhor que os métodos conhecidos. A primeira alternativa nãoé matemática aplicada, é aplicação de matemática, e para isso não é necessário treinamentomatemático específico. A segunda alternativa sim, é matemática aplicada, mas nesse caso énecessário conhecer a fundo tanto métodos de solução de equações diferenciais comocircuitos elétricos, tão profundamente a ponto de perceber algo que outros ainda não haviampercebido. Tenho convicção em afirmar que matemática aplicada (de boa qualidade) é tãodifícil quanto matemática pura (também de boa qualidade).

Já cansei de ouvir discursos belíssimos sobre projetos interdisciplinares envolvendomatemática, mas sempre em geral e sempre em tese. Detalhes sobre o papel da matemática, e,principalmente, do matemático, nunca aparecem. Sempre se supõe que alguém saberá comofazer a conexão, mas esse alguém raramente aparece. Não nego a relevância da matemáticaem grandes conquistas científicas e tecnológicas que envolveram esforços interdisciplinares,tais como o lançamento de foguetes, o código genético e a teoria das supercordas. Mas nãoacredito que estejamos falando aqui de coisas desse tipo. Voltando para nossa humildepreocupação de encaminhar um recém-graduado em matemática, sejamos realistas ereconheçamos que, na maioria esmagadora das vezes, aqueles que conseguem empregos emoutras áreas raramente utilizam conhecimentos específicos de matemática adquiridos duranteo curso. O ganho na verdade está no que descrevi acima sobre o pensamento desconectado, jáos conhecimentos matemáticos específicos quase nunca ultrapassam aqueles que poderiam,sem dificuldade nenhuma, ser adquiridos por conta própria.

O apelo para a interdisciplinaridade pode desembocar no perigoso cenário doprofissional de formação híbrida que, no final das contas, acaba não interessando a nenhumadas vertentes. É o que eu chamo de perigo Bresser: Luiz Carlos Bresser Pereira, economista eprofessor de economia, era também executivo de altíssima patente do grupo Pão de Açúcarquando foi nomeado ministro da fazenda, isso em 1987. Por ter se tornado figura pública, aseguinte anedota, que já circulava em círculos restritos, ganhou o grande público: para osexecutivos, o Bresser é um grande economista; e para os economistas, o Bresser é um grandeexecutivo. Uma formação híbrida, apesar de eventuais vantagens, sempre poderá ser usadacontra você. Na seleção para empregos na área X, sempre será lembrado que sua formaçãobásica não foi na área; e na seleção para empregos em matemática, sempre será lembrado quesua formação avançada não foi em matemática. A menos que você seja um profissionalexcepcional ou uma pessoa importante como o Bresser. Mas profissionais excepcionais epessoas importantes não precisam de conselhos, não é mesmo?

(iv) Mais uma vez a história de fazer julgamentos sobre o que não conhece. Dizer quematemática é difícil, tudo bem. Mas de onde vem a convicção de que outras áreas são maisfáceis. De ouvir dizer? Sinceramente, na hora de decidir nossos futuros, temos que nos basearem coisas mais concretas e confiáveis. Minha opinião é que a matemática não é mais difícil(nem mais fácil) que qualquer outra área. O que ocorre é que o número de pessoas que gostamde matemática é bem menor do que em outras áreas. Ninguém acha fácil aquilo que nãocompreende, e se não gosta, dificilmente irá compreender. Sendo assim, acho que, em grandeparte e com as exceções de praxe, as pessoas que tentam e acabam desistindo de seguircarreira em matemática, o fazem por não ter afinidade suficiente com a matéria, e não por quea matemática é mais difícil.

Mesmo que o argumento fosse verdadeiro (e não é), seria correto optar por uma áreapor ela ser mais fácil? É ingenuidade supor que existe um caminho fácil, na área que for, parauma vida profissional de sucesso. Quanto a isso, creio firmemente no aforismo americano “nopain, no gain”, que pode ser traduzido para “sem sofrimento, não há recompensa”. Seexistisse um caminho fácil para o sucesso profissional, todos estariam trilhando esse caminho,ou o nosso estudante acha que só ele é capaz de perceber isso?

(v) Concordo que o mercado de trabalho é mais generoso com outras áreas do que commatemática. O problema não é a oferta de empregos, mas a receptividade de um profissionalcom formação básica em outra área, no caso em matemática. O fato é que a facilidade que osgraduados em matemática encontram para ingressar em mestrados em outras áreas não serepete nas seleções para doutoramento nessas mesmas áreas, nem em concursos públicos enem em processos seletivos para empregos permanentes. Não que um graduado emmatemática esteja automaticamente excluído, mas as facilidades encontradas para entrar nomestrado certamente não se repetem. É nessa hora que a interdisciplinaridade, antes tãoexaltada, se transforma em formação híbrida, agora não tão interessante assim. O estudantedeve se convencer de que vale a pena checar os destinos dos graduados em matemática quefizeram mestrado naquela área. Um ou dois exemplos conhecidos podem dar uma idéiadistorcida da situação. Se os graduados em matemática que fizeram mestrado naquela áreanão estão, na maioria, fazendo doutoramento ou atuando profissionalmente na área, será quevale a pena fazer mestrado na área? Para depois voltar para matemática ou acabar ematividade profissional totalmente desvinculada da área?

(vi) Outro ponto delicado. Nada a acrescentar sobre a maior oferta de mestrados ebolsas em outras áreas do que em matemática. Essa é uma realidade contra a qual nada há afazer. Agora completo a resposta relativa aos motivos da facilidade de graduados emmatemática ingressarem em outros mestrados. Todos sabem que os programas de pós-graduação são submetidos a uma avaliação muito rigorosa conduzida pela CAPES. Asobrevivência e o crescimento do programa, principalmente quanto ao número de bolsasrecebidas, dependem totalmente do resultado dessa avaliação. Alguns dos mais importantesparâmetros da avaliação são a taxa de sucesso (quantos ingressantes de fato se titulam) e otempo médio de titulação. Por motivos já descritos acima, a experiência mostra que graduadosem matemática normalmente se titulam, e dentro do prazo. Ou seja, na maioria das vezes, oaceite de um graduado em matemática é benéfico para o programa, pois são boas as chancesdesse graduado contribuir positivamente para a avaliação do programa. Não estou dizendoque os graduados em matemática são aceitos apenas por isso, estou dizendo que esse tambémé um fator envolvido no processo. É claro que nenhum programa tem a obrigação de garantiremprego ou ingresso no doutoramento para os mestres ali titulados, mas o candidato deveestar ciente que a sua inserção profissional na área não é o único aspecto envolvido na seleçãopara o mestrado. Está certo o programa que zela por sua avaliação, e cabe ao estudante zelarpor sua possibilidade de inserção no mercado de trabalho. Parte desse zelo é saber que, aofinal do mestrado, ele estará por sua própria conta. Não critico o programa que seleciona

visando mais sua própria avaliação do que a possibilida-de de emprego para os futurosmestres, mas não há como negar que esse é um aspecto perverso para os candidatos oriundosde outras áreas. É evidente que esse aspecto também está presente nos programas de mestradoem matemática. Mas nesse caso o problema é menor pois o número de graduados em outrasárea que procuram mestrados em matemática é mínimo.

Na tentativa de sintetizar meus argumentos, avalio que o mestrado em outra área éindicado apenas na perspectiva da obtenção de uma colocação profissional nessa área. Alémdos riscos e cuidados descritos acima, para o sucesso profissional em outra área é necessárioum conhecimento prévio das atividades profissionais correlatas (e não apenas um “ouvi dizerque ...”), um diagnóstico claro de afinidade com essas atividades (e não apenas um “eu achoque gosto ...”), e, sobretudo, um plano de vida profissional, pelo menos de médio prazo e bemdelineado, que contenha o mestrado nessa área como primeiro passo. Um estudante de últimoano, ou um recém-graduado, não pode se dar ao luxo de, já na casa dos vinte e tantos anos,enveredar por um caminho sem saber onde vai dar. A essa altura da vida, uma postura do tipo“fazer o mestrado para depois ver o que acontece” deve estar fora de cogitação. Se a essaaltura ele/ela não tem plano de vida profissional definido, está então na hora de refletir e fazeresse plano, e só então procurar a melhor maneira de realizá-lo. Como argumentei, qualquerprofissional com formação híbrida encontra dificuldades de inserção profissional, dificuldadesessas que ficam muito maiores para aqueles que não sabem direito o que desejam. Ummestrado em outra área deve ser um passo na concretização de um projeto profissional que ocandidato já tenha claro na cabeça e no qual deposite grandes esperanças. Assim, e só assimna minha opinião, ele conseguirá aplicar seu treinamento matemático para ser bem sucedidona área escolhida. Bem sucedido a ponto de conseguir colocação profissional naquela área,vencendo processos seletivos que certamente o colocarão em disputa com profissionais comformação específica na área. Do contrário trata-se de uma tentativa às escuras, na verdadeuma falta de opção, como diz a provocação do título.

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Merece Registro

� ��

Comitê Editorial da SeçãoMerece Registro


Antônio Carlos Nogueira (coordenador da seção)Maísa Gonçalves da Silva

Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

Merece Registro

A) IV SEMANA DA MATEMÁTICA

Foi realizada nos dias 29 e 30 de Setembro e 1o de Outubro de 2004, na Faculdade deMatemática, a IV Semana da Matemática.

A Semana da Matemática FAMAT – UFU representa um instrumento de divulgaçãocientífica e propicia um intercâmbio entre os discentes da região e docentes de váriasInstituições de Ensino Superior no país. Desenvolvida junto a Faculdade de Matemática -UFU, ela caracteriza-se como uma reunião regional de caráter específico que visa difundira Matemática como ciência, promovendo uma reflexão acerca de atividades de ensino,pesquisa e enriquecimento curricular realizadas no âmbito da Universidade Federal deUberlândia.

O público alvo consiste de discentes de graduação em matemática e áreas afins, bemcomo docentes do ensino fundamental, médio e superior. As atividades desenvolvidas naSemana concentram-se na apresentação de palestras, minicursos técnicos, seções deapresentação de trabalhos de iniciação científica, relatos de experiências e oficinas.

A comissão organizadora da IV Semana foi composta pelos seguintes membros:

Prof. Jocelino Sato (UFU): Coordenador.Prof. Edson Agustini (UFU): Membro da comissão.Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (UFU): Membro da comissão.Prof. Luiz Alberto Duran Salomão (UFU): Membro da comissão.Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice (UFU): Membro da comissão.Prof. Walter dos Santos Motta Junior (UFU): Membro da comissão.

A Famat em Revista parabeniza toda a comissão organizadora do evento, bem comoaos alunos do DAMAT e do PET que colaboraram de forma decisiva para o bom êxitodesta atividade.

B) II CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA

Teve início em 18/02/2005, na Faculdade de Matemática, o II Curso de Especializaçãoem Estatística, sob a coordenação do Prof. Marcelo Tavares. Os objetivos do curso são:promover a melhoria do desempenho profissional dos professores capacitando-os para aadoção de novos métodos e técnicas de ensino; propiciar aos docentes condições deaprofundamento nas disciplinas de Estatística; oferecer condições básicas para osprofissionais de diversas áreas à análise de dados e atividades de pesquisa; preparar novosprofessores para o ensino superior.

C) PREMIAÇÃOO nosso ex-aluno Vinícius Vieira Fávaro recebeu os seguintes prêmios:

• Prêmio Desempenho Acadêmico 2004, outorgado pelo IMECC-UNICAMP peloseu excelente desempenho acadêmico no programa de Mestrado em Matemáticano biênio 2003-2004. Data: 5 de outubro de 2004.

• Prêmio Genésio de Melo Pereira, outorgado pelo Conselho Universitário da UFUpor Ter tido melhor desempenho acadêmico entre todos os graduados nos cursosde ciências exatas e tecnologia da UFU no ano de 2003. O prêmio foi entregue aoVinícius em sessão do Conselho Universitário realizada no dia 26/11/2004.

Ainda com relação ao Vinícius, cumpre ressaltar que ele ficou classificado em 1o lugarno processo de concessão de bolsas de doutorado no IMECC-UNICAMP no início desteano.

PARABENS VINÍCIUS, PELO SEU ÓTIMO DESEMPENHO!!!

D) NOSSOS ALUNOS EM PROGRAMA DE MESTRADO

Ingressaram em programas de mestrado neste semestre os seguintes alunos:• Rafael Peixoto, Programa de mestrado do IMECC- UNICAMP.• Carlos Alberto Silva Júnior, Programa de mestrado do IMECC- UNICAMP.• Vagner Rodrigues de Bessa, Programa de mestrado da UnB.

E) NOSSOS ALUNOS EM CONGRESSOS

Segue abaixo a relação de alunos da FAMAT que participaram de congressos, comapresentação de trabalhos.

Evento: IV Semana de Matemática - FAMAT-UFU - 29 e 30 de Setembro e 1o deOutubro de 2004.

• Anselmo A. de A. Oliveira e Uziel P. da Silva: A Transcendência do número e , sob aorientação do Prof. Edson Agustini.

• Carolina Fernandes Molina Sanchez: Modelagem matemática para o crescimento depeixes, sob a orientação da Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice.

• Cecília Pereira Andrade: Anéis de Valorização, sob a orientação do Prof. CíceroFernandes de Carvalho.

• Éliton Meireles de Moura: Aplicações com equações de diferenças: progressãogeométrica e solução de equação do terceiro grau, sob a orientação da Profa. RosanaSueli da Motta Jafelice.

• Fernanda Bonuti e Camila Afonso Bernardes: Estimativas de herdabilidade empimentão, sob a orientação dos Prof. Marcelo Tavares com a colaboração do Prof.Ednaldo Carvalho Guimarães.

• Fernanda Bonuti e Camila Afonso Bernardes: Delineamento em blocos aumentados:uma alternativa na análise de experimentos de campo, sob a orientação dos Prof.Marcelo Tavares com a colaboração do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães.

• Fernando da Costa Barbosa: Informática na educação matemática, sob a orientação doProf. Arlindo José de Souza Júnior.

• Deive Barbosa Alves, Fernando da Costa Barbosa, Mateus Nogueira Baptista,Vanessa de Paula Cintra, Marcelo Narciso Faria (FACOM), Rivelino Rodrigues Flôr(FACOM): Educação Matemática e a Produção de Objetos de Aprendizagem, sob aorientação dos Profs. Arlindo José de Souza Júnior (FAMAT) e Carlos Roberto Lopes(FACOM).

• Flávia Cristina Martins Queiroz e Silvio Luiz Andreozi: Análise gráfica da qualidadede uma prova, uma aplicação dos recursos gráficos do software R, sob a orientaçãodo Prof. Heyder Diniz Silva.

• Flaviano B. Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues: Modelagem matemática dejanelas, sob a orientação do Prof. Edson Agustini.

• Franciele Alves da Silveira Gonzaga e Gabriella de Freitas Alves: Variabilidadeespacial do ph e da saturação de bases do solo em experimentação de campo, sob aorientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães com a colaboração dos Profs.Heyder Diniz Silva e Marcelo Tavares.

• Franciele Alves da Silveira Gonzaga e Gabriella de Freitas Alves: Dependênciaespacial da produção e da altura de plantas em experimentação de campo com milhohíbrido, sob a orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães com a colaboraçãodos Profs. Heyder Diniz Silva e Marcelo Tavares.

• Hélen Cristina de Freitas e Angélica Silva de Sousa: Um enfoque computacional dacriptografia RSA, sob a orientação do Prof. Edson Agustini.

• Jairo Menezes e Souza: Funções e aplicações polinomiais, sob a orientação do Prof.Cícero Fernandes de Carvalho.

• Rafael Siqueira Cavalcanti: Retas, planos e sistemas lineares, sob a orientação doProf. Edson Agustini.

• Gisliane Alves Pereira e Sandreane Poliana Silva: Um modelo de desenvolvimento dopensamento geométrico, sob a orientação do Prof. Walter dos Santos Motta Júnior.

• Vanessa de Paula Cintra, Daniela Rodrigues Lopes: Web Quest de Estatística noensino médio e fundamental, sob a orientação dos Profs. Arlindo José de Souza Júniore Heyder Diniz Silva.

Evento: 2a Bienal da SBM - 25 a 29 de Outubro de 2004

• Carlos Alberto da Silva Junior: Ajuste de Curvas e Sistemas Mal-condicionados, soborientação do Prof. César Guilherme de Almeida.

• Carolina Fernandes Molina Sanchese Rosinês Luciana da Motta: ModelagemMatemática no Crescimento de Espécies Aquáticas, sob orientação da Profa. RosanaSueli da Motta Jafelice.

• Cecília Pereira de Andrade: Módulos de Frações, sob a orientação do Prof. CíceroFernandes de Carvalho.

• Fabiana Alves Calazans: Os sistemas numéricos da Matemática, sob a orientação doProf. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho.

• Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues: Otimização de janelas esoftware Cabri-Géomètre II, sob orientação do Prof. Edson Agustini.

• Gisliane Alves Pereira e Sandreane Poliana Silva: Percepções geométricas: atividadesrelacionadas aos níveis básicos do modelo de van Hiele, sob orientação do Prof.Walter dos Santos Motta Junior.

• Leandro Cruvinel Lemes e Maksuel Andrade Costa: O quinto postulado de Euclides,sob orientação do Prof. Antonio Carlos Nogueira.

• Leonardo Gomes: Abordagem Geométrica de Equações Diferenciais Parciais dePrimeira Ordem, sob a orientação do Prof. Valdair Bonfim.

• Mirian Fernandes Carvalho: Análise de sazonalidade da precipitação pluviométricamensal em Uberlândia - MG, utilizando função autocorrelação e densidade espectral,sob orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães.

• Rafael Peixoto: Configurações geométricas na esfera, sob orientação do Prof. Walterdos Santos Motta Junior.

• Vagner Rodrigues de Bessa: O Grupo Fundamental, sob orientação do Prof. AntonioCarlos Nogueira.

• Wagner Frasseto: A equação de Pell, sob orientação do Prof. Cícero Fernandes deCarvalho.

• Jairo Menezes de Souza: A Topologia de Zaríski, sob orientação do Prof. CíceroFernandes Carvalho.

Evento: 12o SIICUSP - 12o Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP -25 e 26 de Novembro de 2004

• Vagner Rodrigues de Bessa: apresentando o trabalho intitulado O grupo fundamentaldo círculo e aplicações, sob a orientação do Prof. Antonio Carlos Nogueira.

• Leandro Cruvinel Lemes e Maksuel Andrade Costa: apresentando o trabalhoIntrodução à geometria hiperbólica, sob a orientação do Prof. Antonio CarlosNogueira.

• Cecília Pereira de Andrade e Jairo Menezes de Sousa: apresentando o trabalho O lemade Nakayama, sob a orientação do Prof. Cícero Fernandes de Carvalho.

• Cecília Pereira de Andrade e Jairo Menezes de Sousa: apresentando o trabalhoInterpretação Geométrica da Normalização de Noether, sob a orientação do Prof.Cícero Fernandes de Carvalho.

• Carlos Alberto da Silva Jr.: apresentando o trabalho Isometrias entre os modeloseuclidianos de Poincaré e de Klein para a Geometria Hiperbólica, sob a orientação doProf. Edson Agustini.

• Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues: apresentando o trabalhoO Problema da Braquistócrona, sob a orientação do Prof. Edson Agustini.

• Anselmo Ângelo de Almeida Oliveira e Uziel Paulo da Silva: apresentando o trabalhoNúmeros transcendentes famosos: número e, número pi e números de Liouville, sob aorientação do Prof. Edson Agustini.

• Gabriella de Freitas Alves e Franciele Alves da Silveira Gonzaga: apresentando otrabalho Tendência em dados experimentais e suas implicações no ajuste desemivariogramas, sob a orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães.

• Fabiana Alves Calazans: apresentando o trabalho Construção de Polígonos Regulares,sob a orientação do Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho.

• Éder Lúcio da Fonseca: apresentando o trabalho As propriedades das Tangentes àsCônicas e suas Aplicações em Tecnologias, sob a orientação do Prof. Jocelino Sato.

• Helen Cristina Vieira Freitas: apresentando o trabalho Estabilidade de SuperfíciesMínimas, sob a orientação do Prof. Jocelino Sato.

• Carolina Fernandes Molina Sanches e Rosinês Luciana da Motta: apresentando otrabalho Solução de Equação Diferencial: Crescimento de uma Espécie Aquática, soba orientação da Prof.ª Rosana Sueli da Motta Jafelice.

• Danilo Adrian Marques e Eder Lucio da Fonseca: apresentando o trabalho Aplicaçõesde Geometria e Análise em Balística, sob a orientação do Prof. Valdair Bonfim.

• Leonardo Gomes: apresentando o trabalho Tópicos em Espaços de Hilbert eAplicações, sob a orientação do Prof. Valdair Bonfim.

• Rafael Peixoto: apresentando o trabalho O teorema de Borsuk-Ulam, sob a orientaçãodl Prof. Walter dos Santos Motta Júnior.

• José Eustáquio Ferreira: apresentando o trabalho Coloração de Poliedros, sob aorientação do Prof. Walter dos Santos Motta Júnior.

Evento: Jornadas de Iniciação Científica no IMPA - Rio de Janeiro, 8 a 12 denovembro de 2004

• Jairo Menezes e Souza: Variedades algébricas afins, sob a orientação do Prof. CíceroFernandes de Carvalho.

Cumpre salientar a grande quantidade de trabalhos apresentados por nossos alunosapenas no período de Setembro a Novembro de 2004: foram 47 trabalhos ao todo e,sem dúvida, trabalhos de qualidade.

F) Parabenizamos o Prof. Daniel Oliveira Veronese pela defesa de sua dissertação demestrado, intitulada Convergência de Certas Fórmulas de Quadratura, no dia24/02/2005, no IBILCE - UNESP/São José do Rio Preto.

G) A Profa. Ana Marta de Souza teve aprovada a defesa de sua tese de doutoramento AnáliseNumérica da Transição à Turbulência em Escoamentos de Jatos Circulares Livres, no dia08/04/2005. Parabéns, Ana Marta!!!!

H) Participação em Congressos: Destacamos a seguir a participação freqüente de nossosdocentes em congressos nacionais e internacionais.

• O Prof. Arlindo José de Souza Júnior participou, no período de 13 a 16 de Setembrode 2004, do XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada eComputacional), realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou otrabalho Trabalho de projetos e modelagem matemática: uma aproximação possível?

• O Prof. Daniel Oliveira Veronese participou, no período de 13 a 16 de Setembro de2004, do XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada eComputacional), realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou otrabalho Convergência de certas fórmulas de quadratura interpolatória.

• A Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice participou, no período de 13 a 16 deSetembro de 2004, do XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicadae Computacional), realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou otrabalho Modelo de evolução da população HIV sintomática com tratamento.

• O Prof. Edson Agustini participou, no período de 13 a 16 de Setembro de 2004, doXXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional),realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou o trabalho Códigossobre Bitoros.

• O Prof. César Guilherme de Almeida participou, no período de 25 a 29 de Outubro de2004, da II Bienal da SBM, na Universidade Federal da Bahia, em Salvador, ondeministrou, juntamente com o aluno Carlos Alberto Silva Júnior, o mini-cursoGeometria, Modelagem Matemática e o Software Octave.

• O Prof. Walter dos Santos Motta Júnior participou, no período de 25 a 29 de Outubrode 2004, da II Bienal da SBM, na Universidade Federal da Bahia, em Salvador, ondeapresentou a conferência Duas estruturas matemáticas correlatas.

• A Profa. Sezimária de Fátima Pereira Saramago participou, no período de 10 a 12 deNovembro de 2004, do XXV CILAMCE (Iberian Latin American Congress onComputacional Methods), em Recife-Pe, onde apresentou o trabalho Estudocomparativo de alguns métodos de otimização multi-objetivo.

• O Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho participou, no período de 24 a 27 deNovembro de 2004, do 60o Seminário Brasileiro de Análise, no Instituto deMatemática e Estatística da UERJ, no Rio de Janeiro, onde apresentou o trabalhoScalar-valued dominated polynomials nos Banach spaces.

• O Prof. Márcio José Horta Dantas participou, no período de 24 a 27 de Novembro de2004, do 60o Seminário Brasileiro de Análise, no Instituto de Matemática e Estatísticada UERJ, no Rio de Janeiro, onde apresentou o trabalho Existence of periodic orbits innon-autonomous dynamical systems with nilpotent linear part and non-idealproblems.

• O Prof. Arlindo José de Souza Júnior participou, no período de 13 a 15 de Dezembrode 2004, do III Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional, naUniversidade da Amazônia, em Belém-PA, onde ministrou o mini-curso Informática emodelagem matemática.

Numero 04 - Abril de 2005

Documents

Transcript of Numero 04 - Abril de 2005