Notas Simetrias
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Simetria em Mecânica Quântica
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
CF703–Física Quântica I – Simetria em Mecânica Quântica
Simetrias e Leis de ConservaçãoI Simetrias em física clássica:
X Lagrangiana: L = L(qi, qi; t) = T − V , onde qi (qi) são as coordenadas(velocidades) generalizadas e qi = dqi/dt.X Equações de Lagrange:
∂L
∂qi− d
dt
(∂L
∂qi
)= 0
X Se L não depender de qi (coordenada cíclica ou ignorável), temos:
d
dt
(∂L
∂qi
)= 0→ ∂L
∂qi= constante
Definimos o momento conjugado à coordenada qi, pi, como:
pi =∂L
∂qiComo consequência, pi = constante.X Hamiltoniana: H = H(qi, pi; t) =
∑i piqi − L
X Equações de Hamilton:
qi =∂H
∂pi; pi = −∂H
∂qiX Se L (ou H) não depender explicitamente de qi, então pi é uma constante demovimento⇒ Lei de Conservação.
Simetrias e Leis de Conservação
I Transformação canônica infinitesimal:X transformação identidade: F2(q, P ) = qP
p =∂F2(q, P )
∂q= P,Q =
∂F2(q, P )
∂P= q
X transformação infinitesimal: F2(q, P ) = qP + εG(q, P ), (ε� 1)
p =∂F2(q, P )
∂q= P + ε
∂G(q, P )
∂q,Q =
∂F2(q, P )
∂P= q + ε
∂G(q, P )
∂P
X fazendo ε = dt,H(q, P ) ≈ H(q, p) temos (evolução temporal)
P = p− dt∂H(q, p)
∂q= p+ dt p = p(t+ dt)
Q = q + dt∂H(q, p)
∂p= q + dt q = q(t+ dt)
Simetrias e Leis de Conservação
I Teorema de Noether: (de forma bastante simplificada) simetrias na Lagrangianalevam a constantes de movimento:X p→ translaçãoX L→ rotaçãoX H → evolução temporalX Simetria (escondida) no problema de Kepler: vetor de Laplace-Runge-Lenz
M =p× L
m− Ze2 r
r
Em mecânica quântica, a simetria associada ao operador
M =p× L− L× p
m− Ze2 r
r
é uma simetria SO(4) associada a uma rotação em 4 dimensões e explica adegenescência acidental (E = En) no átomo de hidrogênio
Simetrias e Leis de Conservação
I Simetria em mecânica quântica (H é o Hamiltoniano do sistema):X S: operador unitário definido como:
S = 11− iε
~G; G† = G
onde G é um operador gerador de simetria. Se [H,S] = 0→ S†HS = H. Issoimplica em: (
11 +iε
~G
)H
(11− iε
~G
)= H +
iε
~[G,H] +O(ε2)
Como consequência, se [H,G] = 0→ dG/dt = 0 (equação de Heisenberg), ouseja, G é uma constante de movimento (vimos os casos em que G = p, G = J eG = H).
I Vamos considerar os autokets de G, |g′〉: G|g′〉 = g′|g′〉. No tempo t:
|g′, t0; t〉 = U(t, t0)|g′〉
Se [H,G] = 0→ [G,U ] = 0, |g′〉 são autokets de energia e portantoG|g′, t0; t〉 = g′|g′, t0; t〉 e H|g′, t0; t〉 = Eg′ |g′, t0; t〉
Simetrias e Leis de Conservação
I Degenerescências: [H,S] = 0; |n〉 são os autokets de energia, H|n〉 = En|n〉.Neste caso S|n〉 também é um autoket de energia:
S|n〉 → HS|n〉 = SH|n〉 = EnS|n〉
Supondo que |n〉 6= S|n〉, |n〉 e S|n〉 são autokets de energia associados ao mesmoautovalor En ⇒ degenerescência.
I Se S = S(λ), onde λ é um parâmetro contínuo, temos:X rotação: S(λ) = D(R)
[D(R), H] = 0→ [J, H] = 0, [J2, H] = 0
Neste caso |n; j,m〉 são autokets simultâneos de H,J2, Jz. D(R)|n; j,m〉 sãoautokets de H com mesmo autovalor En:
D(R)|n; j,m〉 =∑m′
|n; j,m′〉〈n; j,m′|D(R)|n; j,m〉 =∑m′
D(j)
m′m(R)|n; j,m′〉
Neste caso há (2j + 1) valores possíveis para m′, o que acarreta umadegenerescência de ordem (2j + 1). Exemplo: V (r) + VLS(r)L · S. No caso dapresença de campos externos a degenerescência pode ser removida (total ouparciamente). Veremos isso em CF704–Física Quântica II (teoria de perturbação).
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos agora considerar simetrias discretas, como paridade (inversão espacial).Chamos de Π o operador paridade, exigindo que:
|α〉 → Π|α〉 : 〈α|Π†xΠ|α〉 = −〈α|x|α〉
Com isto:
Π†xΠ = −x→ {x,Π} = 0
Vamos considerar os autokets de posição |x′〉. Proposta: Π|x′〉 = exp(iδ)| − x′〉.Para provar isso fazemos:
xΠ|x′〉 = −Πx|x′〉 = (−x′)Π|x′〉 → Π|x′〉 ∝ | − x′〉
Adotamos exp(iδ) = 1. Π2 = 11, de tal forma que seus atovalores ±1.
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
Simetrias e Leis de Conservação
I O que acontece com o operador p sob paridade? (p = mdx/dt, ímpar?). Sabemosque p é um gerador de translação. Podemos ver pela figura que translação +paridade = paridade + translação no sentido contrário. Isso se traduz comoΠT (dx′) = T (−dx′)Π→ ΠT (dx′)Π† = T (−dx′). Temos então que:
Π
(11− ip · dx
′
~
)Π† =
(11 + i
p · dx′
~
)ou
ΠΠ† − i
~ΠpΠ† · dx′ = 11 +
i
~p · dx′
Comparando: ΠΠ† = 11, {Π,p} = 0.O que acontece com o operador J sob paridade? Dica: L = x︸︷︷︸
ímpar
× p︸︷︷︸ímpar
→ par.
Traduzimos isso como [Π,L] = 0. Isso vale para S? A resposta é sim. A matriz querepresenta uma operação de paridade é R = −11, que comuta com as matrizes derotação 3× 3. Postulamos então que: ΠD(R) = D(R)Π, onde D(R) é o operadorde rotação infinitesimal. Com isso [Π,D(R)] = 0→ [Π,J] = 0→ Π†JΠ = J
Simetrias e Leis de Conservação
I Comentários:X x e J se transformam da mesma maneira sob rotação: vetores (ou tensoresesféricos de ordem 1);X x e p são ímpares sob paridade (vetores polares);X S · x: se transforma sob rotação como escalar, assim como S · L e x · p. Sobparidade temos: Π−1S · xΠ = −S · x (pseudoescalar) e Π−1S ·LΠ = S ·L (escalar)
I Funções de onda sob paridade:
|α〉 → 〈x′|α〉 = ψα(x′)
Π|α〉 → 〈x′|Π|α〉 = 〈−x′|α〉 = ψα(−x′)
Se Π|α〉 = ±|α〉 temos:
〈x′|Π|α〉 = ±〈x′|α〉 = ±ψα(x′) = ψα(−x′)
Logo:ψα(−x′) = +ψα(x′) (par); ψα(−x′) = −ψα(x′) (ímpar). Exemplo:Y m` (θ, φ)→ (−1)`Y m` (θ, φ)→ Π|α; `,m〉 = (−1)`|α; `,m〉.
Simetrias e Leis de Conservação
I Teorema: “Suponha que [H,Π] = 0 e que |n〉 é um autoket de energia nãodegenerado com autovalor En. Então |n〉 também é um autoket de paridade.
Note que (11±Π)/2|n〉 é um autoket de paridade (Π2 = Π). Logo:
H
[1
2(11±Π) |n〉
]= En
[1
2(11±Π) |n〉
]
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos considerar como exemplo o poço duplo simétrico de potencial, como mostraa figura. Neste caso V (−x′) = V (x′) e portanto [H,Π] = 0. Assim temos:X H|S〉 = ES |S〉: estado fundamental (simétrico),X H|A〉 = EA|A〉: primeiro estado excitado (antissimétrico),Podemos definir os estados |R〉 e |L〉, que são estados localizados nos lados direitoe esquerdo do poço como
|R〉 =1√2
(|S〉+ |A〉)
e
|L〉 =1√2
(|S〉 − |A〉)
Os estados |R〉 e |L〉 não são autoestados de paridade. Note que Π|S〉 = |S〉 eΠ|A〉 = −|A〉, e como consequência Π|R〉 = |L〉 e Π|L〉 = |R〉.
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
Simetrias e Leis de ConservaçãoI Vamos agora olhar a evolução temporal considerando o estado inicial como |R〉.
Assim:
|R, t0 = 0; t〉 = U(t, 0)|R〉 =1√2
(U(t, 0)|S〉+ U(t, 0)|A〉) =
=exp(−iESt/~)√
2{|S〉+ exp[−i(EA − ES)t/~]|A〉}
t =T
2= 2π
~2(EA − ES)
→ |R, t0 = 0; t = T/2〉 = exp(−iEST/2~)|L〉
t = T = 2π~
(EA − ES)→ |R, t0 = 0; t = T 〉 = exp(−iEST/~)|R〉
Ou seja, o sistema fica oscilando estre os estados |R〉 e |L〉 com frequênciaω = (EA − ES)/~.Tornando a barreira infinita, não há mais possibilidade de tunelamento. Neste caso|S〉 e |A〉 são degenerados e |R〉 e |L〉 são autokets de energia. Se agora em t0 = 0o sistema encontra-se no estado |R〉, permanecerá em |R〉 (agora a frequência deoscilação ω é infinita). O estado fundamental agora pode ser antissimétrico, emboraH seja simétrico, o que significa uma quebra de simetria. Quando hádegenerescência os autokets de energia físicos não precisam ser autokets deparidade.
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos discutir agora a regra de seleção de paridade. Considerando queΠ|α〉 = εα|α〉 e Π|β〉 = εβ |β〉, onde εα, εβ = ±1, podemos mostrar que 〈β|x|α〉 = 0a menos que εα = −εβ . Isso significa que o operador x (ímpar sob paridade)conecta apenas estados com paridades opostas. A demostração desta regra deseleção fica como exercício.
I Vamos considerar agora um autoket de energia |n〉, tal que H|n〉 = En|n〉, onde Ené não degenerado. Se [H,Π] = 0, temos que
〈n|{x,Π}|n〉 = 〈n|xΠ|n〉+ 〈n|Πx|n〉 = ±〈n|x|n〉 = 0→ 〈n|x|n〉 = 0
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos considerar agora a simetria de reversão temporal. Antes, vamos consideraruma operação de simetria tal que |α〉 → |α〉 e |β〉 → |β〉 sujeita à condição
〈β|α〉 = 〈β|α〉
Isso pode ser alcançado por um operador unitário U (translação, rotação, paridadeetc), onde |α〉 = U |α〉 e |β〉 = U |β〉, tal que:
〈β|α〉 = 〈β|U†U |α〉 = 〈β|α〉
Vamos considerar uma condição mais fraca para o caso da reversão temporal:
|〈β|α〉| = |〈β|α〉|
a qual é satisfeita pelo operador unitário U . Esta condição também é satisfeita se
〈β|α〉 = 〈β|α〉∗ = 〈α|β〉
Simetrias e Leis de Conservação
I Definimos uma transformação antiunitária θ como
|α〉 = θ|α〉; |β〉 = θ|β〉
tal que
〈β|α〉 = 〈β|α〉∗
onde
θ(c1|α〉+ c2|β〉) = c∗1θ|α〉+ c∗2θ|β〉
e θ é denominado operador antiunitário.I Vamos escrever θ como: θ = UK, onde U é um operador unitário e K é o operador
que forma o complexo conjugado de qualquer coeficiente que multiplica um ket(Kc|α〉 = c∗K|α〉). K não altera os kets de base:
|α〉 =∑a′
|a′〉〈a′|α〉 → K|α〉 = K∑a′
|a′〉〈a′|α〉 =∑a′
〈a′|α〉∗K|a′〉 =∑a′
〈a′|α〉∗|a′〉
Simetrias e Leis de Conservação
I Cuidado, pois o efeito de K muda de acordo com a base escolhida. Para ver isso,vamos considerar spin 1/2:
{|±〉} → |sy,±〉 =1√2
(|+〉 ± i|−〉)
K|±〉 = |±〉 → K|sy,±〉 =1√2
(|+〉 ∓ i|−〉)
No entanto, se considerarmos |sy,±〉 como base temos K|sy,±〉 = |sy,±〉.
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos retornar a θ = UK:
θ(c1|α〉+ c2|β〉) = UK(c1|α〉+ c2|β〉) = c∗1UK|α〉+ c∗2UK|β〉 = c∗1θ|α〉+ c∗2θ|β〉
|α〉 → |α〉 = θ|α〉 = UK|α〉 = UK∑a′
|a′〉〈a′|α〉 =∑a′
〈a′|α〉∗U |a′〉
|β〉 → |β〉 = θ|β〉 = UK|β〉 = UK∑a′
|a′〉〈a′|β〉 =∑a′
〈a′|β〉∗U |a′〉
〈β|α〉 =∑a′′
∑a′
(〈a′′|β〉〈a′′|U†)(〈a′|α〉∗U |a′〉) =
=∑a′′
∑a′
〈a′′|β〉〈α|a′〉 〈a′′|U†U︸︷︷︸11
|a′〉
︸ ︷︷ ︸δa′a′′′
= 〈α|β〉 = 〈β|α〉∗
Simetrias e Leis de Conservação
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.
Simetrias e Leis de ConservaçãoI Vamos definir agora o operador de reversão temporal Θ:
|α〉 → Θ|α〉
De acordo com a figura temos:X |α〉 = |p′〉 → Θ|p′〉 = | − p′〉X |α〉 = |x′〉 → Θ|x′〉 = |x′〉
t = 0⇒ |α〉 −→δt |α, t0 = 0; t = δt〉 =
(11− iH
~δt
)|α〉
t = 0⇒ Θ|α〉 −→δt |α, t0 = 0; t = δt〉 =
(11− iH
~δt
)Θ|α〉
A simetria sob reversão temporal exige que o ket acima seja o mesmo que:
Θ|α, t0 = 0; t = −δt〉 = Θ
(11 +
iH
~δt
)|α〉
(11− iH
~δt
)Θ|α〉 = Θ
(11 +
iH
~δt
)|α〉
(Θ− iHΘ
~δt
)|α〉 =
(Θ +
ΘiH
~δt
)|α〉
Simetrias e Leis de Conservação
I Isto resulta em:
−iHΘ|α〉 = ΘiH|α〉
ou, para qualquer ket
−iHΘ|〉 = ΘiH|〉
Se Θ for unitário: −HΘ = ΘH
H|n〉 = En|n〉 ⇒ HΘ|n〉 = −ΘH|n〉 = −EnΘ|n〉
Neste caso, Θ|n〉 é um autoket de H com autovalor −En, o que não faz sentido(pense em uma partícula livre). Portanto Θ é um operador antiunitário:
ΘiH|〉 = −iΘH|〉 ⇒ ΘH = HΘ
〈β|Θ|α〉 → 〈β|(Θ|α〉) −−−→não
(〈β|Θ)|α〉
Não vamos definir (〈β|Θ).
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos analisar agora como os operadores lineares ⊗ se comportam sob reversãotemporal.
|α〉 = Θ|α〉; |β〉 = Θ|β〉
Neste caso:
〈β| ⊗ |α〉 = 〈α|Θ⊗† Θ−1|β〉
A prova fica como exercício. No caso em que ⊗ = A;A† = A temos:
〈β|A|α〉 = 〈α|ΘAΘ−1|β〉
No caso em que ΘAΘ−1 = ±A (A pode ser par ou ímpar sob reversão temporal)temos:
〈β|A|α〉 = 〈α|ΘAΘ−1|β〉 = ±〈α|A|β〉 = ±〈β|A|α〉∗
Fazendo |β〉 = |α〉 temos (valor esperado):
〈α|A|α〉 = ±〈α|A|α〉∗
Simetrias e Leis de Conservação
I Exemplos:X A = p
〈α|p|α〉 = −〈α|p|α〉∗ → ΘpΘ−1 = −p
pΘ|p′〉 = (−ΘpΘ−1)Θ|p′〉 = −Θp|p′〉 = −p′(Θ|p′〉)⇒ Θ|p′〉 = | − p′〉
X A = x
〈α|x|α〉 = 〈α|x|α〉∗ → ΘxΘ−1 = x
xΘ|x′〉 = (ΘxΘ−1)Θ|x′〉 = Θx|x′〉 = x′(Θ|x′〉)⇒ Θ|x′〉 = |x′〉
Simetrias e Leis de Conservação
I Vamos olhar agora como ficam as relações de comutação [xi, pj ] = i~δij e[Ji, Jj ] = i~εijkJk sob reversão temporal:
[xi, pj ]|〉 = i~δij |〉 → Θ[xi, pj ]|〉 = Θi~δij |〉 →→ Θ[xi, pj ](Θ
−1Θ)|〉 = −i~δijΘ|〉 →→ [xi,−pj ]Θ|〉 = −i~δijΘ|〉 → [xi, pj ] = i~δij
e a relação é preservada. Para preservar [Ji, Jj ] = i~εijkJk é necessário queΘJΘ−1 = −J.
I Vamos agora considerar uma partícula sem spin, e olhar o comportamento dafunção de onda sob reversão temporal:
t = 0→ |α〉 ⇒ 〈x′|α〉 = ψ(x′)
|α〉 =
∫d3x′|x′〉〈x′|α〉 → Θ|α〉 = Θ
∫d3x′|x′〉〈x′|α〉 =
=
∫d3x′〈x′|α〉∗Θ|x′〉 =
∫d3x′〈x′|α〉∗|x′〉
Simetrias e Leis de Conservação
I Temos assim:X Se ψ(x′, t) = u(x′) exp(−iEt/~)⇒ ψ∗(x′,−t) = u∗(x′) exp(−iEt/~);t = 0→ u(x′) = u∗(x′)X Se ψ(x′) = R(r)Y m` (θ, φ)⇒ Y m ∗` (θ, φ) = (−1)mY −m` (θ, φ)|`m〉 → Θ|`m〉 = (−1)m|`−m〉
I Teorema: “Suponha que o Hamiltoniano seja invariante sob reversão temporal(ΘHΘ−1 = H) e que o autoket de energia |n〉 seja não degenerado; então aautofunção correspondente é real (ou, de forma mais geral, uma função realmultiplicada por um fator de fase independente de x′).
HΘ|n〉 = ΘH|n〉 = EnΘ|n〉
Neste caso |n〉 e Θ|n〉 tem o mesmo autovalor de energia (não degenerado). Logo|n〉 ∝ Θ|n〉 e |n〉 → 〈x′|n〉; Θ|n〉 → 〈x′|n〉∗ ⇒ 〈x′|n〉 = 〈x′|n〉∗
Como fica 〈p′|α〉?