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‐1‐
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
Notas para Hemodinâmica
P.J. Oliveira
(Novembro 2018)
Departamento de Engenharia Electromecânica
6201-001 Covilhã
‐3‐
Conteúdo
1. Noções básicas de mecânica dos fluidos ………………….…..……………………………..............5
2. Noções básicas de fluidos não newtonianos ……….....….………………………………………….21
3. Equações da mecânica de fluidos ….…………………..…...….…………………………………………37
4. Equações do movimento sob forma geral …..……..…...….…………………………………………45
5. Viscosidade do sangue …………………………..…..……..…...….…………………………………………55
6. Resolução das equações do movimento com método dos volumes finitos ……………63
7. Escoamento pulsante em tubo ………………………………………………………………………………75
8. Utilização de grandezas adimensionais – Normalização das equações …………………..83
9. Fluxo de sangue em tubo circular …………….……………………………………………………………91
Este documento reúne algumas notas dispersas que tinham sido preparadas para as unidades curriculares de Hemodinâmica e de Biotransporte do curso de Ciências Biomédicas e que foram adaptadas para serem estudadas como um todo. A bibliografia indicada na disciplina de Hemodinâmica é a seguinte:
“Alguns Conceitos Básicos de Hemodinâmica”, F.T. Pinho, FEUP, Abril 2009.
“Biofluid Mechanics in Cardiovascular Systems”, Lee Waite, McGraw‐Hill, 2006.
“Applied Biofluid Mechanics”, Lee Waite e Jerry Fine, McGraw‐Hill, 2007.
“Modelling the Human Cardiac Fluid Mechanics”, H. Oertel, Univ. Karlsruhe, 2005.
“O Livro de Coração”, Fernando de Pádua, Academia do Livro, 2008.
‐5‐
1. Noções Básicas de Mecânica dos Fluidos
1.1 Propriedades materiais básicas
Neste estudo iremos considerar materiais que em geral se comportam como fluidos, isto é, que se deformam continuamente quando sujeitos a uma força transversal (força de corte).
As propriedades básicas de um material com interesse para a mecânica dos fluidos são a massa volúmica, , e a viscosidade, ou . A massa por unidade de volume da água a
temperatura normal (25ºC) é 1000 kg/m3; para o sangue 1060 kg/m3. A viscosidade
é a propriedade relacionada com a maior ou menor facilidade de escorregamento de um material, ou seja é uma medida da sua fluidez: quanto mais viscoso, menor é a fluidez do material. Para uma determinada temperatura, a viscosidade é constante quando esse material tem comportamento newtoniano. Neste caso usa‐se o símbolo para a viscosidade. Quando
o comportamento é não newtoniano o coeficiente de viscosidade pode variar com o estado de deformação do material e a viscosidade deixa de ser “constante”; neste caso usa‐se o símbolo para representar a viscosidade.
Ar e água são dois exemplos de fluidos newtonianos, sendo amplamente utilizados em aplicações da mecânica de fluidos em áreas da engenharia. Qualquer fluido constituído por moléculas simples e de baixo peso molecular, sem formação de estruturas internas, comporta‐se em condições usuais como um fluido newtoniano (a definição exacta do que é newtoniano é dada pela Eq. 1 abaixo). Por outro lado, materiais com uma microestrutura interna complexa ou formados por constituintes de elevado peso molecular têm tendência a comportar‐se de
forma não newtoniana. A viscosidade da água é 310 Pa.s a 25ºC, diminuindo para 30.695 10 Pa.s a 37ºC, e a do sangue, assumido como fluido newtoniano (uma
aproximação que só é válida em casos restritos), é 33.5 10 Pa.s a 37ºC. A viscosidade do
ar, em condições padrão, é aproximadamente 52 10 Pa.s.
A unidade de viscosidade no sistema internacional (MKS) é o Pascal x segundo: Pa.s = N.s/m2 = Kg/(m.s). Para evitar a utilização de valores muito pequenos pode usar‐se o mili Pascal segundo, mPa.s = 0.001 Pa.s. Em alternativa usa‐se com frequência (sobretudo em aplicações biomédicas) a unidade de viscosidade do sistema CGS (com base em centímetros, gramas e segundos), o Poise P. Tem‐se 1 P= 0.1 Pa.s, ou 1 Pa.s = 10 P. O centi Poise, cP=0.01 P, é igual ao mPa.s. É fácil recordar que em condições de temperatura normais a viscosidade da água é
1 mPa.s = 1 cP.
1.2 Escoamento de Couette
A viscosidade é determinada a partir de uma experiência (teórica) em que camadas de fluido deslizam umas sobre as outras ao longo de uma determinada direcção. A este arranjo chama‐se escoamento de Couette e está representado na Fig. 1 a. O material (um fluido, por exemplo) é colocado entre duas placas paralelas e aplica‐se uma força constante à placa superior de forma a esta se mover para a direita a uma velocidade constante. A placa inferior mantém‐se em repouso, e o espaçamento entre as placas, h, mantém‐se constante.
Mostra‐se (ver abaixo) que neste escoamento a tensão a que cada camada de fluido está submetida é constante, que a taxa de deformação é também constante e que o perfil de
‐6‐
velocidades é linear. Pode‐se assim, através de várias medições com este escoamento, relacionar a tensão com a taxa de deformação.
(a) x
y
u(y)
U
h
F
(b) x
yu(y+y)
u(y)
y
Fig. 1‐ (a) Escoamento de Couette plano: perfil de velocidades e definição da deformação de corte .
(b) esquema local das camadas de fluido com velocidades diferentes para definir a taxa de corte .
Um fluido newtoniano é definido através da lei da viscosidade de Newton:
, (1)
Esta equação define a viscosidade como a constante de proporcionalidade entre a tensão e
a taxa de deformação de corte . A taxa de corte local é definida como a diferença entre
velocidades para duas camadas separadas pela distância y (Fig. 1 b):
0
( ) ( )limy
u u u y y u y
y y y
(2)
Para o escoamento de Couette temos:
tensão:F
A = força / área de contacto, [N/m2]=[Pa]; (3)
taxa de corte: u U
y h
= gradiente de velocidade =
velocidade placa / espaçamento, [1/s]. (4)
Demonstrações
A taxa de deformação de corte , além de representar o gradiente de velocidades, é também
a taxa de variação temporal da deformação de corte ou distorção /d dt . A distorção é o
ângulo formado entre uma linha de fluido que no tempo inicial é perpendicular aos planos das paredes (Fig. 1 a) e que após um certo intervalo de tempo t forma uma linha inclinada com a vertical. Nesse intervalo de tempo a camada de fluido colada à parede superior em movimento
percorreu uma distância l Ut e a tangente do ângulo é:
tan( )l Ut
h h (5)
‐7‐
Para intervalos de tempo pequenos, t t , e ângulos pequenos, , temos
tan( )U t
h
0
limt
U
t h
(6)
onde a taxa de deformação, ou deformação por unidade de tempo, é definida como:
/d dt . (7)
x
y
u(y)
U
h
h
0
(y)
x
y
Fig. 2‐ Balanço de forças sobre elemento de fluido (a vermelho) em escoamento de Couette.
Para mostrar que neste escoamento a tensão é constante faz‐se o balanço de forças sobre um
elemento de fluido de forma paralelipipédica, com altura y , comprimento x e espessura
z , situado entre 0y e y y (Fig. 2). Considerando que não existem forças normais de
pressão, as únicas forças aplicadas são as resultantes das tensões de corte nas faces superior e inferior do paralelipípedo, com componentes segundo x de:
0( )yx y x z x z 0( )yx y Cte (8)
onde 0 é a tensão constante que a parede inferior exerce sobre o fluido, em 0y . Fica assim
provado que a tensão de corte, que designamos simplesmente por yx , não depende da
posição y , sendo a tensão exercida pela placa superior sobre o fluido h , segundo x , igual
à tensão 0 , com direcção x . Uma outra forma de verificar a constância da tensão é
escrever as equações de movimento para o escoamento de Couette e verificar que se reduzem
a / 0yx y ; por consequência yx é constante.
Na análise clássica do escoamento de Couette assume‐se à partida que o perfil de velocidades é linear, ou seja:
( )u y Ay B (9)
Aplicando as condições de não escorregamento, tem‐se para a parede inferior estacionária,
0u para 0y (10a)
e para a parede superior em movimento uniforme,
u U para y h . (10b)
‐8‐
o que fornece imediatamente 0B e /A U h . Por isso o perfil de velocidades vem dado por:
( )y
u y Uh
(11)
com um gradiente de velocidades / /du dy U h constante e igual à taxa de deformação de
corte (ver Eq. 6). Outra forma de se chegar a este resultado é considerando que para cada
fluido existe uma relação biunívoca entre tensão e taxa de deformação,
( )f 1( )f (12)
Assim, se é constante, como se mostrou acima, então é também constante. Logo, por
integração da definição /u y , com as condições fronteira de não escorregamento, tem‐
se de imediato:
u
Ctey
u y com /U h . (13)
1.3 Viscosidade
A viscosidade surge como a “constante” de proporcionalidade entre a tensão de corte aplicada sobre um elemento de fluido e a sua taxa de deformação de corte. Em geral escreve‐se
(14)
onde é o coeficiente de viscosidade. De acordo com os resultados da secção anterior para
escoamento de Couette, a viscosidade é, fisicamente, a razão entre a força aplicada por unidade de área da placa superior, e a velocidade a que esta se move dividida pela separação entre placas:
Viscosidade = (força/área) / (velocidade/separação). (15)
Se o coeficiente de viscosidade for constante, não dependendo do estado de deformação do fluido, diz‐se que se trata de um fluido newtoniano e usa‐se a letra para indicar a
viscosidade. Uma generalização óbvia do fluido newtoniano é tomar como uma função
genérica da taxa de deformação , isto é
(16)
Estes fluidos denominam‐se fluidos não newtonianos de tipo GNF (Generalized Newtonian Fluids), ou fluidos newtonianos generalizados. O caso mais comum é o de fluidos em que a viscosidade diminui quando a taxa de corte aumenta
com (17)
que se designam como fluidos reofluidificantes (shear‐thinning, em inglês). O sangue é deste tipo, assim como as soluções poliméricas, por exemplo. A designação antiga para esta classe de materiais era de pseudoplásticos.
‐9‐
O caso inverso é o de fluidos em que a viscosidade aumenta com a taxa de corte,
com (18)
que são designados como fluidos reoespessantes. A designação antiga era de fluidos dilatantes. O exemplo clássico é o de uma suspensão de grãos de areia em água líquida (areia movediça).
newtoniano
.
reofluidificante
reoespessante
Bingham
0
Fig. 3‐ Comportamentos reológicos típicos no diagrama tensão – deformação.
Portanto, para um material newtoniano a tensão aumenta linearmente com a taxa de deformação, sendo nula quando esta é nula. Para um material não newtoniano reofluidiciante a tensão de corte apresenta um aumento com a taxa de deformação que é inferior a linear. Para um material reoespessante o aumento é superior a linear. Tanto o reofluidificante como reoespessante têm tensão nula para taxa de deformação nula. A Fig. 3 ilustra graficamente este comportamento. Inclui ainda um outro tipo de material designado como plástico de Bingham, ou material com tensão de cedência. Nestes materiais (por vezes designados como viscoplásticos), o comportamento é de sólido indeformável enquanto a tensão é inferior à
tensão de cedência ( 0 ), e de líquido newtoniano para valores superiores da tensão. O sangue
apresenta este tipo de comportamento, embora 0 seja pequeno; outros exemplos são a
pasta de dentes e a maionese.
A ciência que estuda o escoamento e a deformação dos materiais chama‐se Reologia. Daí as designações de reofluidificante e reoespessamte para materiais que ficam mais fluidos, ou mais espessos, quando sujeitos a deformação. À Reologia cabe a medição da viscosidade, e de outras propriedades materiais que servem para caracterizar o escoamento e a deformação dos vários materiais.
1.4 Medição de viscosidade
Na prática a utilização do escoamento de Couette plano, como o da Fig. 1, para medir a viscosidade de um material não é viável porque se torna impossível limitar o dispositivo. No entanto, um escoamento semelhante em coordenadas cilíndricas é já susceptível de realização prática. Um viscosímetro de copos rotativos consiste em dois cilindros verticais concêntricos que podem ser submetidos a um movimento de rotação, em simultâneo ou só um deles. Estes cilindros estão separados por um espaçamento muito pequeno em relação ao seu raio. O material cuja viscosidade se pretende medir é colocado no espaço entre os cilindros, no arranjo mais comum o cilindro exterior é submetido a uma rotação com velocidade angular ,
‐10‐
e o binário necessário para manter o cilindro interior fixo é medido T . A relação entre o binário e a velocidade de rotação permite obter a viscosidade.
(a)
fluidotestado
rotaçãoseparação
R2R1 (b)
R1
R2
2
(c)
R2
rU2 2
R1
u(r)
Fig. 4‐ Viscosímetro de copos concêntricos (a), escoamento de Couette circular (b), detalhe do perfil de velocidades (c).
A Fig. 4 mostra esta geometria. Quando a separação entre cilindros é pequena,
2 1 1h R R R , as fórmulas dadas acima para a geometria plana de Couette continuam a
ser válidas. Relembramos que um binário é uma força multiplicada pelo braço ou raio de rotação,
T Fr (19)
e que velocidade linear e velocidade angular estão relacionada por:
u r (20)
em movimento rotativo circular de corpo sólido. Chama‐se a atenção de que a velocidade do fluido contido no espaço anular da Fig. 4 (c) não segue esta expressão simples, mas a
velocidade da cilindro exterior pode ser calculada com base nesta equação: 2 2U R . No
escoamento de Couette circular (Fig. 4 b) o binário conserva‐se, ou seja o binário aplicado no cilindro exterior é igual ao binário que o fluido exerce sobre o cilindro interior:
2 2 2T F R e 1 1 1T F R com 2 1T T (21)
Para que o cilindro interior fique estacionário (não se mova), é necessário que lhe seja aplicado
um binário igual a 1T mas de sentido contrário. Este será o binário medido pelo aparelho e
relaciona‐se com a viscosidade da seguinte forma. A taxa de corte é aproximadamente constante sendo obtida de:
2 2
2 1
U R
R R h
(22)
Da Eq. (14), a viscosidade vem:
2
1 1 1 1 12
2 2 2 2 2 1
/ / 2
/ / 2
F A T LR T h
U h R h R R L
E a expressão final, com diâmetros em lugar de raios, é
‐11‐
13
32 1
1
4 4
(1 2 )
T h T hh D LD LD
(23)
onde a aproximação na igualdade da esquerda se baseia em 1/ 1h D e se usam valores
nominais para o diâmetro D , o binário T (torque) e a velocidade angular . Esta é
relacionada com a frequência f [ 1s ]=[Hz] através de:
[ ]
2 260
n rpmf (24)
onde n é o número de rotações por minuto impostas ao cilindro exterior.
1.5 Escoamento laminar em tubos
Uma aplicação biomédica óbvia da mecânica dos fluidos é o estudo do movimento do sangue nas artérias e veias do corpo humano. Se modelarmos estes vasos como tubos de secção circular, e se considerarmos que as velocidades são relativamente baixas de forma ao regime de escoamento ser laminar (definição abaixo) então será útil obtermos expressões que permitam calcular o caudal volumétrico que existe para uma certo gradiente de pressões aplicado ou, por exemplo, calcular a tensão de corte na parede. Em capítulos posteriores estes resultados serão obtidos novamente a partir das equações diferenciais básicas que regem os movimento dos fluidos.
zu(r)
D
O
parede
eixo simetria
r
Fig. 5‐ Detalhe do escoamento em tubo circular.
A Fig. 5 mostra o esquema da geometria com simetria cilíndrica. O tubo tem diâmetro
/ 2D R , onde R é o raio, e assume‐se que o escoamento está completamente desenvolvido, não havendo por isso variações das propriedades ao longo da direcção axial do
tubo, z . Como se verá, o perfil de velocidades ( )u r é então parabólico, isto é 2( )u r r .
‐12‐
p
zh
z
u(r)
1
2
-dp/dz=Cte
U
reservatóriotubo circular
z0
Fig. 6‐ Geração de escoamento completamente desenvolvido em tubo circular. O perfil de velocidades parabólico acontece quando o decaimento da pressão é linear ao longo do tubo.
A Fig. 6 mostra um dispositivo que permitiria criar um escoamento completamente desenvolvido num tubo. A pressão na secção à entrada do tubo é igual ao peso da coluna de
água desde esse ponto até à superfície livre do tanque, 2 1p p gh . Se o tanque for
considerado de grandes dimensões comparativamente ao tubo, essa pressão irá manter‐se constante durante o escoamento. O líquido dentro do tubo é submetido ao um diferencial de pressões e começa a movimentar‐se. O perfil de velocidades é inicialmente de tipo “tampão” (perfil uniforme), evoluindo para uma forma parabólica à medida que a secção onde o perfil é
obtido se afasta da secção de entrada. A partir de determinada distância 0z o perfil de
velocidades deixa de mudar de forma, e mantém‐se constante. A variação da pressão é então
linear, isto é /dp dz Cte P . Diz‐se que se atingiu o desenvolvimento completo.
z
u(r)
D=2RO
parede
eixo simetria
r
p2p1
z
z
r
Elemento fluidoAt=2rz
A=r2
força z:Fz=Ap-At=0
p=p1-p2
Fig. 7‐ Balanço de forças sobre elemento de fluido (a azul).
Um balanço de forças a uma porção cilíndrica de fluido de raio r e comprimento z , mostrado a azul na Fig. 7, dá:
2tA pA p r com 1 2p p p e 2 1z z z
‐13‐
A área de contacto onde a tensão de corte (assumida como positiva na direcção z ) está
aplicada é 2tA r z e o balanço reduz‐se a:
1 12 2
pr Pr
z
1
2 Pr (25)
onde /P dp dz é a magnitude do gradiente de pressão aplicado, a força motriz para gerar
o movimento. P é constante e tem valor positivo para escoamento a processar‐se na direcção
z . Esta expressão permite desde logo calcular a tensão de corte na parede, ( )w r R :
12w PR (26)
Para se obter o perfil de velocidades integra‐se a expressão anterior, após substituir pela lei
de Newton da viscosidade, com /du dr (para que seja positivo):
12
duPr
dr
2
du Pr
dr
2
Pdu rdr
que dá:
214
Pu r C
Usando a condição fronteira de não escorregamento na parede, temos:
210
4
PR C
2
1 4
PC R
e o perfil fica:
22
14
PR ru
R
2
0 1r
u UR
(27)
onde a velocidade máxima, no eixo do tubo, é dada por:
2
0 4
PRU
(28)
A forma do perfil é parabólica (variação em 2r ) com velocidade nula na parede e valor máximo no eixo, como é mostrado esquematicamente na Fig. 7. O caudal é calculado integrando o perfil de velocidades sobre a secção transversal do tubo:
2
0
0 0
( )2 2 1R R r
Q u r rdr U rdrR
que dá:
‐14‐
22 4
00 2
12
2 4 2
R UR RQ U
R
A velocidade média está relacionada com o caudal através de
2
QU
R
e vem dada por
0
2
UU ou
2
8
PRU
. (29)
Esta equação representa a lei de Hagen‐Poiseuille, que permite relacionar o caudal, ou velocidade média no tubo, com o gradiente de pressão aplicado. Veja‐se que a velocidade máxima é o dobro da velocidade média. A velocidade média é directamente proporcional ao quadrado do raio e ao gradiente de pressão, e inversamente proporcional à viscosidade. O caudal volumétrico é directamente proporcional ao raio (ou diâmetro) levantado à quarta potência.
O perfil de tensão de corte é linear como mostrado pela Eq. (25). O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede, e a Eq. (26) pode agora escrever‐se como:
4w
U
R ou 8w
U
D (30)
O coeficiente de atrito na parede é definido como:
21
2
wfU
(31a)
vindo dado por:
16
fRe
(31b)
onde o número de Reynolds foi definido como:
UD
Re
(32)
1.6 Regimes de escoamento e comprimentos para desenvolvimento completo
O regime dinâmico de escoamento é:
Laminar, 2000Re (33a)
Turbulento, 4000Re (33b)
‐15‐
Transição, 2000 4000Re . (33c)
O escoamento do sangue ocorre tipicamente em regime laminar, excepto por vezes na aorta descendente em situações de esforço (treino de atletas, por exemplo), ou pontualmente em vasoconstrições de natureza patológica (estenoses), onde o escoamento é localmente turbulento. Para escoamento turbulento a velocidade oscila localmente de forma aleatória e só faz sentido, do ponto de vista de engenharia ou em aplicações biomédicas, considerar valores médios no tempo. O perfil da velocidade média (não confundir com a média na secção dada pela Eq. 29) deixa de ser dado pela Eq. (27) (de facto segue uma variação do tipo
1/ 70 1 ( / )u U r R ), a tensão na parede aumenta substancialmente, assim como o factor
de atrito f que fica muito maior do que o dado pela Eq. (31).
O comprimento necessário para se atingir a condição de desenvolvimento completo a partir de uma entrada com perfil de velocidades uniforme (ver Fig. 6) é dado, em função do número de Reynolds, por:
0 0.06z
ReD (34)
Por exemplo, para um número de Reynolds típico de 200, é necessário um comprimento de tubo de 12 diâmetros para se atingir a situação de desenvolvimento completo. Na prática, é difícil no sistema circulatório satisfazer esta condição porque existem ramificações consecutivas dos vasos, separadas por distâncias inferiores a esse comprimento.
1.7 Equação de Bernoulli
Esta equação exprime a conservação de energia mecânica em escoamento invíscido (sem
viscosidade) e permite relacionar variações de pressão p , velocidade u , e altura (cota) h :
2 21 11 1 1 2 2 22 2p u gh p u gh (35)
Os valores destas propriedades são obtidos nos pontos 1 e 2 ao longo de uma linha de corrente.
Esta equação não toma em conta perdas de carga, devidas a atrito nas paredes duma conduta ou presença de obstruções ou variações de área transversal, uma vez que estas perdas são fenómenos irreversíveis relacionados intimamente com a existência de viscosidade. É no entanto fácil generalizar a equação de Bernoulli por forma a contabilizar perdas de carga e trabalho produzido:
2 21 21 11 1 2 22 2 v
p pu gh u gh w e
(36)
onde: ve ‐ energia por unidade de massa [J/kg] dissipada devido a viscosidade;
w ‐ trabalho específico produzido pelo fluido (a sair do sistema).
A perda de carga no escoamento completamente desenvolvido em tubo circular de
comprimento L e diâmetro D calcula‐se a partir de
‐16‐
2124v v
Lp e f U
D (36a)
onde f é o coeficiente de atrito definido pela Eq. (31) e U é a velocidade média na secção
(na Eq. 36, 1 2u u U ).
As velocidades que aparecem na Eq (35) são valores locais quando os índices 1 e 2 correspondem a localizações pontuais no seio do campo de velocidades, pontos ligados por uma linha de corrente, a situação mais comum quando se aplica a equação de Bernoulli. Por outro lado, quando a equação é aplicada como um balanço de energia mecânica a um volume de controlo, essas velocidades são valores médios, com os índices 1 e 2 a referirem‐se às secções de entrada e de saída duma conduta (Fig. 8). Neste segundo caso os valores médios são obtidos por integração na secção transversal do cubo da velocidade a dividir pela
respectiva velocidade média ( 2 31 1 1( ) / ( )u u r u r ). Deve referir‐se que esses valores não
são em geral iguais ao cubo da média (isto é, 33 3
1 1 1( ) ( )u r u r U ), pelo que se deve
introduzir um factor correctivo,
2 21 1 1u U ou 2 2
2 2 2u U , (37)
com 1 (perfil de velocidades uniforme; válido para escoamento turbulento)
2 (perfil de velocidades parabólico, Eq 27; válido para escoamento
laminar).
u2
u1
p2
h2
h1
p1
1
2
wev
Fig. 8‐ Volume de controlo para aplicação do balanço de energia mecânica (Eq. Bernoulli).
Como indicado acima, usa‐se a notação da subsecção anterior para indicar a média calculada segundo a Eq. (29),
1
1 1 121 0
1( ) ( )2
R
U u r u r rdrR
(38)
ilustrada para uma secção circular de raio 1R .
‐17‐
1.8 Exemplos de aplicação da equação de Bernoulli:
1 2
p1
p2
U1
Fig. 9‐ Esquema do venturi
(i)‐ Venturi
Um venturi consiste numa contracção relativamente suave do escoamento numa conduta que permite fazer a medição do caudal que circula nessa conduta, através de duas medições de pressão. A Fig. 9 mostra esquematicamente o dispositivo, com as pressões a serem medidas nas secções 1 (seio da conduta) e 2 (garganta do venturi).
Considerando que o venturi é horizontal, a equação de Bernoulli dá:
2 21 11 1 2 22 2p U p U 2 21
2 1 1 22 U U p p
Resolvendo para a velocidade no ponto 1, e usando a conservação de massa (ver abaixo)
2 1 1 2/ /U U A A , onde 1A e 2A são as áreas das secções na conduta e na parte mais estreita
do venturi, temos:
1 2
1 2
1
2
2
1
p pU
AA
As pressões em 1 e 2 são medidas com um manómetro diferencial, e a razão entre as áreas na conduta e na garganta do venturi é conhecida. Finalmente, o caudal vem dado por:
1 1Q CAU
onde C é um factor correctivo, a ser obtido por calibração, e que faz o ajuste para o facto do fluido não ser perfeito (na verdade, o fluido possui viscosidade).
1 2
ab
QU
h
L .
Fig. 10‐ Manómetro diferencial.
‐18‐
(ii)‐ Medição de pressão
A Fig. 10 mostra um manómetro diferencial, cuja leitura dá o desnível h do líquido
manométrico ( liq ), permitindo obter a perda de pressão no escoamento de um fluido, com
massa volúmica , numa conduta. Assumindo que as velocidades nos tubos que fazem a
ligação ao manómetro são desprezáveis, a aplicação da Eq. de Bernoulli (Eq. 35) entre o ponto
1 e o ponto a dá:
1 1 a ap gh p gh
entre o ponto 2 e o ponto b :
2 2 b bp gh p gh
e entre o ponto a e o ponto b :
a liq a b liq bp gh p gh
Combinando estas equações tem‐se:
1 2 ( )a b a bp p p p g h h (uma vez que 1 2h h )
e
( )a b liq b ap p g h h
ou seja,
1 2 ( )liqp p gh .
com b ah h h . O desnível h é lido do manómetro, a diferença liq entre as
massas volúmicas do líquido manométrico e do fluido que se pretende medir é conhecida, e a
perda de pressão na conduta vem imediatamente de p gh . Se o escoamento na
conduta estiver completamente desenvolvido, o gradiente de pressão (uma constante) vem
/P p L (onde o p é o vp da Eq (36a) que resulta duma perda de carga de natureza
viscosa).
1.9 Conservação de massa
Para um volume de controlo (Fig. 11) com várias entradas e várias saídas de massa tem‐se:
in outentradas saídas
m m (39)
uma vez que a massa é uma propriedade extensiva que se conserva.
‐19‐
mmi me
vol. controlo
. .
outin
Fig. 11‐ Volume de controlo e conservação de massa.
Esta equação de conservação de massa é válida em regime permanente. O símbolo im representa o caudal mássico através da conduta i, relacionado com a velocidade média através de:
i i i im AU [kg/s] (40)
onde: i ‐ massa volúmica na secção i [kg/m3]
iA ‐ área da secção transversal [m2] (para tubo circular, 2 / 4i iA D )
iU ‐ velocidade média na secção i [m/s]
Q1
Q3
Q2
.
.
.
Fig. 12‐ Ramificação de conduta
Por exemplo, para a Fig. 12 a conservação de massa escreve‐se:
1 2 3m m m (41)
Os escoamentos de líquidos (água; sangue; etc) podem normalmente ser considerados como
incompressíveis, com volume específico constante Cte . Neste caso pode ser conveniente
dividir a Eq. (41) pela massa volúmica ( 1 2 3 ) e trabalhar com o caudal
volumétrico:
ii i i
i
mQ AU
[m3/s]. (42)
Para a bifurcação ilustrada na Fig 12 tem‐se
1 2 3Q Q Q 1 1 2 2 3 3AU A U A U (43)
‐20‐
Sabendo o caudal de entrada 1Q , e a percentagem de caudal que segue pela conduta 3, por
exemplo (fracção extraída, 3 1/Q Q ), podemos facilmente obter as velocidades médias nos
ramais de saída, 2 1 2(1 ) /U Q A e 3 1 3/U Q A .
1
2
Q2Q1
. .
Fig. 13‐ Expansão em tubo redondo.
Como segundo exemplo de ilustração da conservação de massa, veja‐se o caso do escoamento
numa expansão, Fig. 13. O caudal 1Q circula num tubo circular de diâmetro 1D e subitamente
passa para um tubo de maior dimensão 2D (razão de expansão 2 1/D D ). A relação entre
velocidades médias nas duas secções é obtida através da conservação de caudal,
1 2Q Q 1 1 2 2AU A U
2
1 12 1 1
2 2
A DU U U
A D
ou seja,
2 12
1U U
(44)
Se a razão de expansão for de 2, a velocidade no tubo maior será 4 vezes mais pequena do que a velocidade à entrada. Considerando que o fluido é perfeito e não há perdas de carga, pode aplicar‐se Eq. de Bernoulli entre as secções 1 e 2 para obter a variação de pressão:
2 21 11 1 2 22 2p U p U
2 2 21 1
2 1 1 2 12 2 2
1 2
11
/p p U U U
U U
que se escreve,
212 1 12 4
11p p U
(45)
Na realidade o escoamento na expansão (ou numa contracção, se o escoamento fosse no sentido inverso) irá implicar uma perda de carga localizada e por isso a equação de Bernoulli deveria ser aplicada com o termo de perda (Eq. 36). Mesmo assim esta relação é útil por mostrar um facto corrente: quando a velocidade aumenta, a pressão diminui (e vice‐versa).
‐21‐
2. Noções Básicas de Fluidos Não Newtonianos
Este capítulo inclui a segunda parte de um relatório feito para a disciplina de Biotransporte e
trata de modelos reológicos para suspensões e para líquidos não newtonianos. Em particular,
são fornecidas e discutidas fórmulas que representam vários modelos de viscosidade válidos
para suspensões e para líquidos com características de reofluidificação (diminuição da
viscosidade com a taxa de corte) e de tensão de cedência (comportamento sólido a tensões
inferiores a um determinado limiar).
2.1 Suspensões
Uma suspensão é um material líquido composto por uma mistura de duas fases, uma fase
líquida pura, o meio contínuo, e uma fase discreta formada por “partículas sólidas” em
movimento no seio da fase líquida, sem se dissolverem nela. A noção de partícula é aqui usada
num sentido lato com uma entidade que se distingue da fase contínua na qual está suspensa,
podendo ser de facto uma partícula sólida (um grão de areia, por exemplo) ou uma cápsula de
um líquido delimitada por uma membrana elástica. O sangue, por exemplo, é uma suspensão
de glóbulos vermelhos, glóbulos brancos e plaquetas em plasma. O plasma é a fase contínua
da suspensão, comportando‐se aproximadamente como um líquido newtoniano, e os glóbulos
vermelhos constituem a parte preponderante da fase discreta, tendo a forma de um disco
bicôncavo e sendo formados por um líquido no interior (solução de hemoglobina) envolvido
numa membrana elástica. A massa volúmica da fase sólida p (índice p para partículas) difere
normalmente da massa volúmica da fase contínua f (índice f para fluido), sendo no entanto
importante que não seja muito superior para evitar a completa sedimentação das partículas,
com separação completa entre as duas fases e deixando de facto de existir uma suspensão.
Por exemplo, no caso do sangue, para o plasma 1035f [kg/m3] e para os glóbulos
vermelhos 1080 1100f [kg/m3], o que dá um valor de 1060f [kg/m3] para o
sangue.
Uma suspensão, como mistura bifásica, é caracterizada pela concentração ou fracção
volumétrica da fase discreta,
pV
V (1)
onde pV é o volume total ocupado pelas partículas que existem num determinado volume V .
Para partículas esféricas de diâmetro d , temos 3 / 6p pV N d onde pN é o número total
de partículas no volume V . Para outras formas geométricas define‐se um diâmetro
equivalente ed como o diâmetro da uma esfera que tenha volume igual ao da partícula em
causa, e a concentração volumétrica fica relacionada com a concentração em número
( /p pn N V = nº de partículas por unidade de volume da suspensão) por
3 / 6p en d
‐22‐
A fracção volumétrica em percentagem dos glóbulos vermelhos no sangue chama‐se
hematócrito, H . Para uma pessoa saudável o hematócrito é cerca de 45%, ou seja 45 % em
volume do sangue é ocupado pelos glóbulos vermelhos.
2.2 Viscosidade de suspensões
A viscosidade de uma suspensão depende da concentração de partículas, tendendo a
aumentar quando a concentração aumenta. Quando a concentração volumétrica é baixa,
inferior a 5%, a viscosidade da suspensão pode ser estimada pela seguinte fórmula deduzida
por Einstein (Ann. Phy 19 (1906) 289):
1
1f
(2)
com: f ‐ viscosidade da fase fluida;
‐ constante que depende da forma das partículas; para esferas 5 / 2 ;
‐ fracção volumétrica das partículas.
Mostra‐se que para partículas com a forma de disco o valor da constante mantém‐se:
2.5 . Por exemplo, tomando a viscosidade do plasma como 31.26 10f [Pa.s], a
viscosidade do sangue para uma concentração muito pequena de glóbulos vermelhos, de
somente 5 %, vem 31.44 10 [Pa.s]; ou seja, há um aumento de 14 % na viscosidade
devido à introdução das partículas na suspensão.
Para valores maiores da fracção volumétrica, deixa de ser uma constante e passa a
depender da própria concentração. Para o sangue, por exemplo, obteve‐se a seguinte
correlação, que integra ainda a dependência com a temperatura (T [K]):
1.6911070.076exp 2.49 e
T
(3)
válida para 0.05 0.6 .
Em condições normais, 37º 310T C K e 0.45 , obtém‐se 1.237 (inferior ao 2.5
da equação de Einstein), que dá uma viscosidade do sangue de 32.84 10 [Pa.s], um
aumento de 125 % relativamente à viscosidade do fluido (o plasma) no qual as partículas (os
glóbulos vermelhos) estão suspensas. A viscosidade dada pela Eq. (2) aumenta rapidamente
com a concentração , de acordo com a Eq. (3). O efeito da temperatura, por outro lado, é de
fazer diminuir a viscosidade. Estes efeitos são ilustrados na Fig. 1.
‐23‐
0 20 40 60Hematócrito(%)
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
visc
osid
ade(
Pa.
s) T=37ºC
T=42ºC
.
.
Fig. 1‐ Viscosidade do sangue em função da concentração de glóbulos vermelhos e temperatura (Eqs. 2‐
3).
2.3 Tensão de cedência de suspensões
Quando a densidade do material da fase sólida é superior à densidade da fase fluida, isto é
p f , haverá tendência para sedimentação desde que as velocidades e taxas de corte
aplicadas sejam suficientemente baixas. Em repouso, a suspensão tenderá a separar‐se nas
fases sólida e líquida, e poderá ocorrer ainda formação de estruturas entre as partículas da
fase sólida que estão em contacto directo. A ruptura dessas estruturas para se iniciar de novo
o escoamento do material pode requerer que a tensão aplicada seja superior a um limiar
mínimo abaixo do qual não há movimento. Diz‐se então que o material apresenta uma tensão
de cedência, sendo uma situação típica no caso das suspensões.
Para o caso do sangue foi desenvolvida a seguinte correlação empírica (Merrill et al., Biophy. J.
3(1963)199) que fornece a tensão de cedência, em unidades no sistema CGS, em função do
hematócrito (fracção volumétrica dos glóbulos vermelhos):
1
30 mA H H [din/cm2] (4)
onde: 0.008 0.002A , constante;
H ‐ hematócrito, em percentagem;
mH ‐ hematócrito mínimo para existir tensão cedência, 5mH a 8 .
Por exemplo, para 45H , obtém‐se 3
0 0.008 45 5 0.0328 [din/cm2
] 3.28 [mPa]. Quando se varia a constante A entre os limites de validade, verifica‐se que a
tensão de cedência do sangue poderá variar entre 1.4 e 6.4 [mPa] em condições de
hematócrito normais.
‐24‐
2.4 Efeito de Fahraeus‐Lindqvist
A viscosidade de uma suspensão parece ainda depender do diâmetro do tubo onde circula,
quando esse diâmetro é suficientemente pequeno (inferior a cerca de 100 vezes a dimensão
das partículas em suspensão, mas superior à dimensão das partículas). Este efeito resulta do
facto de se formar uma zona junto à parede do tubo que fica livre de partículas, onde
localmente a viscosidade cai para o valor da viscosidade da fase fluida da suspensão, e que age
como se tratasse duma camada de lubrificação. O efeito só é relevante quando a espessura da
camada sem partículas, que é da ordem da dimensão das partículas, começa a não ser muito
inferior ao diâmetro do tubo.
No caso do sangue esse efeito, de redução da viscosidade para diâmetros dos vasos inferiores
a cerca de 300 m, chama‐se de efeito de Fahraeus‐Lindqvist, os autores que primeiro o
relataram. A camada de plasma junto às paredes vasculares tem uma espessura de cerca de 2
a 5 m (os glóbulos vermelhos têm cerca de 8 m de diâmetro). A medição da viscosidade foi
feita com um viscosímetro capilar, que no fundo usa a equação de Poiseuille (Eq. 29 da Parte I)
para determinar a viscosidade a partir de medições da queda de pressão p num
comprimento L : 4 / 8p R L Q ( R ‐ raio do vaso; Q ‐ caudal volumétrico de sangue).
Esta expressão só é válida para fluido newtoniano e deve ser modificada para permitir a
medição da viscosidade com fluidos não newtonianos. Este efeito ocorre sobretudo nas
arteríolas e nos vénulos com diâmetros inferiores a 1 mm; nos capilares, quando o diâmetro
fica inferior a cerca de 10 m, os glóbulos começam a interagir com as paredes, precisando de
se deformar para circularem, e a viscosidade volta a subir.
2.5 Escoamento pulsante
Um escoamento ocorre em regime variável cíclico quando o gradiente de pressão que o gera
varia no tempo de forma sinusoidal, com frequência f [s‐1] = [Hz] e frequência angular
[rad/s] ( 2 f ). Por exemplo, o escoamento do sangue é pulsante, com uma frequência
imposta pelo ritmo de batida do coração de cerca de 72 por minuto, o que dá uma frequência
de 1.2 [s‐1]. O escoamento pulsante de fluido newtoniano em tubo circular foi analisado num
relatório para disciplina de Hemodinâmica, que deve ser consultado para se estudar os
detalhes do que é aqui apresentado de forma breve. A caracterização do escoamento continua
a ser feita com o número de Reynolds, que mede a relação entre forças inerciais (de
convecção) e forças viscosas (de difusão), existindo agora um parâmetro sem dimensões
adicional, o número de Womersley (ou de Stokes) definido como
R
(5)
Este parâmetro mede a proporção das forças inerciais devidas à oscilação temporal,
relativamente às forças viscosas. Pode ser visto como a raiz quadrada de um número de
Reynolds oscilante: 2 ( ) / /o oR R U R Re , onde oU R é uma velocidade
‐25‐
característica da oscilação. Quando é pequeno ( 1 ), o escoamento oscilante num tubo
comporta‐se como um escoamento de Poiseuille, com o caudal a oscilar em fase com o
gradiente de pressão imposto e o perfil de velocidade a manter‐se basicamente parabólico,
com uma velocidade máxima que também oscila com frequência . Quando é grande
( 10 ), a frequência imposta é alta e o campo de velocidades não tem tempo para
acompanhar a oscilação do gradiente de pressão que gera o movimento. Na zona central do
tubo o perfil de velocidades ficam basicamente uniforme (perfil “tampão”), com magnitudes
pequenas, podendo haver uma zona estreita de velocidades superiores junto à parede do
tubo. A oscilação das velocidades fica desfasada relativamente à frequência imposta pelo
gradiente de pressão, havendo um atraso de cerca de 90 graus. Ou seja, o máximo de
velocidade ocorre cerca de ¼ de período depois do máximo da pressão (o período é o inverso
da frequência, 1/T f [s]).
No sistema circulatório humano a frequência de pulsação é a mesma (imposta pelo coração) e
por isso o número de Womersley vai diminuindo com o raio dos vasos por onde o sangue
circula, ou seja, é elevado nas grandes artérias, e vai diminuindo à medida que se progride
para artérias pequenas, arteríolas e capilares. Na microcirculação ( 50R m) a influência da
pulsação é praticamente desprezável. Valores típicos de : 16 (aorta); 3.2 (artéria pequena, 4
mm diâmetro).
2.6 Fluidos não newtonianos
Nas secções anteriores tratou‐se o caso das suspensões, ou seja a influência sobre a
viscosidade da presença de uma fase com partículas “sólidas” suspensas numa fase fluida.
Admitiu‐se que a viscosidade da fase fluida era newtoniana, sendo portanto uma constante
para uma dada temperatura. No entanto muitos líquidos apresentam efeitos de fluidificação,
ou seja diminuição da viscosidade com o aumento da taxa de corte, e efeitos de tensão de
cedência, só escoam quando a tensão é superior a um valor mínimo.
Nesta secção serão tratados modelos reológicos para fluidos não newtonianos do tipo GNF
(Generalizad Newtonian Fluids), cuja equação de estado é muito semelhante à newtoniana,
(6)
a única diferença consistindo no facto da viscosidade poder ser agora uma função da taxa
de deformação de corte , isto é ( ) . Na Eq. (6) assume‐se que e são as magnitudes da tensão e da taxa de deformação, sendo por isso valores positivos.
2.7 Fluidificação
2.7.1 Modelo de lei de potência
O modelo GNF mais simples que contabiliza o efeito de fluidificação ou espessamento (shear
thinning ou shear thickening) é o modelo da lei de potência:
‐26‐
nK ou 1nK (7)
onde: K ‐ consistência [Pa.sn]
n ‐ índice da lei de potência
Quando 1n a viscosidade diminui com o aumento da taxa de corte e o fluido é
reofluidificante, o caso mais comum. Usava‐se anteriormente a designação de fluido
pseudoplástico. Quando 1n a viscosidade aumenta com e o fluido é reoespessante (designação antiga, fluido dilatante). Quando 1n e viscosidade é constante e temos de novo
o caso newtoniano com K .
O sangue é fluidificante quando 100 [s‐1] e algumas propostas para ajuste entre a lei de
potência e viscosidades efectivamente medidas foram (unidades MKS):
0.0134K , 0.785n ( 0.00498 [Pa.s]) (8a)
de Walburn e Schneck (Bioreology 13 (1976) 201); e
0.0161K , 0.63n ( 0.00293 [Pa.s]) (8b)
de Owen et al. (artigo de conferência 2005). Os valores de viscosidade indicados acima dentro
dos parêntesis são para 100 [s‐1]. Normalmente tanto K como n variam com o
hematócrito e modelos de lei de potência para o sangue mais sofisticados deveriam incluir
esses efeitos.
2.7.2 Modelo de Carreau‐Yasuda
Uma variação realista da viscosidade com a taxa de deformação ( versus ) deve apresentar um patamar para taxas de corte elevadas , igual à viscosidade do solvente no caso
de uma suspensão ou solução, e outro patamar 0 para taxas de corte muito baixas, 0 .
Nesses limites o modelo da lei de potência não tem um comportamento correcto (resulta em
quando 0 , e 0 quando ). O modelo de Carreau‐Yasuda dado pela
seguinte equação resolve esse problema, à custa de um número maior de parâmetros:
1
0 1n
a a
(9)
Onde: n ‐ índice [‐]
a ‐ constante de Yasuda [‐]
0 ‐ viscosidade para nulo [Pa.s]
‐ viscosidade para infinito [Pa.s]
‐ constante de tempo [s]
‐27‐
O índica n tem um significado semelhante ao índice da lei de potência, com –(1‐n) a
representar a taxa de decaimento da viscosidade na zona de variação em potência, as
viscosidades para 0 e têm um significado físico imediato, o inverso da constante
de tempo corresponde ao valor de a partir do qual a viscosidade começa a diminuir, e a
é obtido por ajuste a dados experimentais.
Conjunto de valores usados para a viscosidade do sangue (Cho e Kensey, Biorheology 28
(1991) 241):
2a , 0.3568n , 3.313 [s], 0 0.056 [Pa.s] e 0.00345 [Pa.s] . (10a)
Com estes parâmetros obtém‐se 0.00471 [Pa.s] para 100 [s‐1]. No caso do
escoamento num tubo circular com diâmetro 10D [mm] para um número de Reynolds de
100 ( 1060 [kg/m3]), obtém‐se uma taxa de corte efectiva de / 14.7ef U R [s‐1] e
uma viscosidade efectiva de ( ) 0.00777ef [Pa.s].
Não se fique com a ideia que os parâmetros dados acima são únicos. Outro conjunto de
valores obtidos da literatura (Gijsen et al, J Biomechan. 32 (1999) 601) para representar com o
modelo Carreau‐Yasuda a viscosidade do sangue é:
0.644a , 0.392n , 0.110 [s], 0 0.022 [Pa.s] e 0.0022 [Pa.s] (10b)
Neste caso, para escoamento em tubo com Re=100 obtém‐se: 19.2ef [s‐1] e uma
viscosidade efectiva de ( ) 0.0102ef [Pa.s], um pouco superior à do exemplo anterior.
Para 100 [s‐1] estes parâmetros dão 0.00604 [Pa.s].
2.8 Tensão de Cedência
2.8.1 Modelo de Bingham
Consiste na sobreposição de uma tensão de cedência a uma tensão newtoniana, vindo
definido pelas equações:
0 (para 0 ) (11a)
0 (para 0 ) (11b)
com parâmetros: 0 ‐ tensão de cedência (yield stress) [Pa] = [N/m2]
‐ coeficiente de viscosidade, constante [Pa.s]
Fisicamente, corresponde a um material que se comporta como um sólido indeformável
quando a tensão aplicada é inferior à tensão de cedência ( 0 ) e flui como um fluido
newtoniano para tensões superiores. A viscosidade de corte do modelo, após o inicio do
escoamento, é dada por:
‐28‐
0
(12)
e só fica constante (igual a ) quando a taxa de corte é suficientemente elevada.
2.8.2 Modelo de Herschel‐Bulkley
No sentido de integrar alguma fluidificação no modelo de Bingham, considerou‐se que a
resposta do material à tensão de corte aplicada é do tipo de lei de potência após se iniciar o
escoamento. Assim, este modelo consiste na sobreposição de uma tensão de cedência a uma
tensão dada pela lei de potência:
0nK (para 0 ) (13a)
0 (para 0 ) (13b)
com 3 parâmetros, 0 , K e n , que já foram explicados. A viscosidade de corte é:
1 0nK
(14)
seguindo a lei de potência para valores de suficientemente elevados.
2.8.3 Modelo de Casson
Este modelo foi desenvolvido para representar as características materiais de tintas de
impressão sendo também muito utilizado em hemodinâmica para modelar a viscosidade do
sangue. Tem algum suporte teórico e permite obter analiticamente a solução para escoamento
completamente desenvolvido em tubo (ver relatório de Hemodinâmica). A equação do
modelo é:
0 (para 0 ) (15a)
0 (para 0 ). (15b)
e tem só 2 parâmetros independentes: tensão de cedência 0 [Pa] e coeficiente de
viscosidade de Casson (constante) [Pa.s].
Desenvolvendo a expressão da tensão de corte vem
0.5
0 0
. _
2NewtBingham Lei Potencia
(16)
mostrando de forma mais clara a tensão de cedência (1º termo), termo linear newtoniano (2º
termo), e termo não‐linear de lei de potência com 12n (3º termo). A viscosidade de corte é
dada por:
‐29‐
00
0.5
2
. (17)
Valores ilustrativos dos parâmetros do modelo de Casson quando aplicado ao caso do sangue
(Charm e Kurland, Nature 206 (1965) 617):
32.76 10 [Pa.s], 0 0.0108 [Pa] (18)
Para 100 [s‐1] este modelo de Casson dá 0.00396 [Pa.s].
A tensão de cedência pode também ser obtida com a correlação discutida acima quando se
tratou de suspensões (Eq. 4) que tende a dar valores algo inferiores ao da Eq. (18). A Fig. 2
compara a variação da viscosidade do sangue tal como prevista por 3 modelos newtonianos
generalizados: Carreau‐Yasuda (parâmetros da Eq. 10a), Casson (parâmetros da Eq. 18) e Lei
de Potência (parâmetros da Eq. 8b). Verifica‐se que na zona de taxas de corte entre 1 e 100 [s‐
1] as viscosidades não são muito diferentes, mas fora dessa gama surgem discrepâncias
significativas. Para o modelo de Casson com valores de 0.5 [s‐1] a viscosidade aumenta
muito mas isso não deverá influenciar a tensão de corte pois entra‐se então na zona de não
cedência (sem deformação). Já o modelo da lei de potência mostra os problemas de falta de
realidade física para muito pequenos e muito altos, sendo de facto válido numa zona de bastante restrita (os autores referem 0.1 100 s‐1).
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
[1/s]
0.001
0.01
0.1
1
10
[Pa.
s]
Carreau-YasudaCassonLei Potencia
.
.
Fig. 2‐ Viscosidade em função da taxa de corte para três modelos GNF com parâmetros ajustados ao
caso do sangue (Eqs. 10a, 18 e 8b).
‐30‐
2.9 Escoamento em Tubo para Modelo de Lei de Potência
Nesta secção faz‐se a dedução do perfil de velocidades para escoamento completamente
desenvolvido em tubo circular quando a viscosidade varia segundo o modelo da lei de
potência, e obtêm‐se ainda expressões para a velocidade média (caudal), velocidade máxima,
tensão e taxa de deformação na parede. A dedução segue os mesmos passos usados no
relatório anterior para fluido newtoniano. A equação de partida é a Eq (25) (Biotransporte –
Parte I) que representa o balanço de forças num elemento de fluido cilíndrico e que é
independente do modelo de viscosidade:
12 Pr
Igualando à Eq (6) que define o modelo da lei de potência, tem‐se
12
nPr K
1
2
nPr du
K dr
(19)
Usou‐se /du dr porque o gradiente de velocidade é negativo e deve ser positivo por definição. Integrando esta última equação e usando a condição de não escorregamento na
parede, obtém‐se:
11 11 1
112 1
nn nP R ru
K Rn
11
0 1nr
u UR
(20)
Com velocidade máxima no eixo:
11 1
0 12 1
nnP RU
Kn
(21)
A velocidade média vem da integração do perfil de velocidades sobre a secção circular:
11 31 20
0 012 21
0
1121
1 212 1 3( 3)
R nn
n
Ur R R nU U rdr UR R R
Rnn
,
ou seja:
0
13
11
U nU
n
0 3 1
1
U n
U n
(22)
‐31‐
e a relação entre caudal e gradiente de pressão (o equivalente da lei de Poiseuille) fica:
11
1
2 3 1
nnP n
U RK n
ou 13
2
n
n
PR U
K R
(23)
É útil verificar que para 1n se recuperam as fórmulas válidas para fluido newtoniano, com
K :
2
21
2 3 1 8
P PRU R
K K
e 0 3 12
1 1
U
U
. (23a)
Por fim, deduzem‐se fórmulas para a tensão na parede e a respectiva taxa de corte. Da Eq. (23)
e do balanço de forças tem‐se imediatamente:
12w PR
1(3 )
n
w
UK
R n
(24)
Derivando o perfil de velocidades (Eq. 20) e calculando para r R , obtém‐se
1
00 1
1
1 11 1
n
ww n
Udu RU
dr n n RR
(25a)
ou
13w
U
n R
. (25b)
De facto esta equação podia ter sido obtida imediatamente das Eqs. 19 (com r R ) e 23. Para
1n tem‐se a taxa de corte na parede válida para fluido newtoniano, 4 /w U R .
A Fig. 3 mostra uma comparação entre perfis de velocidade em tubo circular obtidos com a lei
de potência (Eq. 20) e com a lei newtoniana. Quando o índice da lei de potência diminui e o
fluido se torna mais fluidificante, o perfil fica mais cheio e plano na zona junto ao eixo, e a
velocidade máxima diminui. Repare‐se que todos estes perfis transportam o mesmo caudal, ou
seja a velocidade média é igual para todos (em termos normalizados, tem‐se 1U e 1R ).
A influência da fluidificação torna‐se mais clara representando sob forma dimensional o
gradiente de pressão em função do caudal. A Fig. 4 mostra um gráfico desse tipo para o caso
‐32‐
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
n=1
n=0.8
n=0.6
n=0.4
Fig. 3‐ Perfis de velocidade: Newtoniano, n=1; Lei Potência n=0.8, 0.6 e 0.4.
do escoamento de sangue numa artéria de diâmetro igual a 5 [mm], tendo o sangue sido
modelado como fluido newtoniano ( 0.0035 [Pa.s]) ou fluido de lei de potência (Eq. 8b).
Observa‐se que a relação P versus Q é linear para o fluido newtoniano, como seria de
esperar pela lei de Poiseuille (Eq. 23a), mas é não linear, com tendência a diminuir a inclinação,
para o fluido que segue a lei de potência. Ou seja, este fluido tenderá a necessitar um
gradiente de pressão inferior ao caso newtoniano para mover o mesmo caudal. Para valores
de caudal baixos, a Fig. 4 mostra valores superiores de P para o caso não newtoniano, porque
este fluido apresenta uma viscosidade bastante superior à viscosidade newtoniana. Neste
exemplo a velocidade média foi variada de 0 a 10 [cm/s], que corresponde à variação de
caudal de 0 a cerca de 2 [ml/s] da Fig. 4, e a taxa de corte efectiva ( /U R ) varia entre 0 e
40 [s‐1]. Como foi já referido, esta gama encontra‐se na zona onde os efeitos não newtonianos
são importantes no caso do sangue ( 100 [s‐1]).
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2Q [ml/s]
0
100
200
300
400
500
P [Pa/m
]
newtoniano
lei potência, n=0.63
.
Fig. 4‐ Gradiente de pressão versus caudal: escoamento em tubo.
‐33‐
2.10 Número de Reynolds efectivo
O número de Reynolds é definido pela Eq. (32) da Parte I. Para modelos de viscosidade não
newtonianos, a viscosidade varia com a taxa de deformação e torna‐se necessário especificar
como deve ser obtida a viscosidade que aparece na definição do número de Reynolds. Para
isso usa‐se uma viscosidade efectiva, calculada a uma taxa de deformação efectiva:
ef
UDRe
com ( )ef ef (26)
A escolha da taxa de deformação efectiva depende do escoamento. Para escoamento em tubo
uma escolha adequada seria a taxa de corte na parede:
ef w (27a)
Esta é dada por 4 /U R para fluido newtoniano e pela Eq. (25b) para lei de potência. No
entanto, para fluidos não newtonianos que seguem modelos de viscosidade mais complexos
pode não ser fácil obter a taxa de corte na parede. Uma forma alternativa e mais simples de
definir uma taxa de corte efectiva é:
ef
U
R (27b)
No exemplo anterior, a variação do número de Reynolds (Eqs. 26 e 27b) com a velocidade
média imposta à partida, é mostrada na Fig. 5 a. Re aumenta linearmente no caso
newtoniano e tem valores algo menores no caso da lei de potência. Os valores menores
resultam do facto da taxa de corte efectiva da Eq (27b) ser inferior à taxa de corte
representativa do escoamento em tubo do fluido de lei de potência, o que por sua vez resulta
em viscosidades maiores (ver Fig. 5 b). Veja‐se como a viscosidade do fluido de lei de potência
é sempre superior ao valor de 0.0035 [Pa.s] do fluido newtoniano.
(a)
0 2 4 6 8 10U [cm/s]
0
40
80
120
160
Re
newtoniano
lei potência, n=0.63
(b)
0 10 20 30 40 [s‐1]
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
[Pa.s]
lei potência, n=0.63
newtoniano
.
Fig. 5‐ (a) Variação do número de Reynolds efectivo com a velocidade média e (b) da viscosidade com a
taxa de corte efectiva Eq. (27b) (mesmo caso da Fig. 4).
‐34‐
Em geral, sendo usada a definição da Eq. (27b) para a taxa de corte efectiva, é necessário
inverter por iteração a equação:
22
( )ef
ef
RRe
2
( )
2ef
ef
Re
R
(resolver por iteração) (28)
por forma a obter ef (e efU R ) quando Re é dado. Quando se usa o modelo de Carreau‐
Yasuda, por exemplo, este procedimento tem de ser seguido para se saber que velocidade
média deve ser imposta por forma a simular um determinado número de Reynolds. Os valores
dados acima, nos parágrafos que seguem as Eqs. (10a) e (10b), foram calculados desta forma,
usando o programa em Anexo.
‐35‐
ANEXO – Programa para calcular a velocidade média quando o número de Reynolds é dado,
para modelo Carreau‐Yasuda
C C MODELO CARREAU-YASUDA C CALCULAR VALOR DA VELOCIDADE MEDIA PARA REYNOLDS DADO C - VIS0, VISINF, LAMBDA E N CONSTANTES C PROGRAM VISGNF AN=0.3568 DEN=1060. VIS0=0.056 VISI=0.00345 AL=3.313 AA=2. C H: largura canal ou diametro tubo H=0.01 PRINT *,' LARGURA CANAL OU DIAM TUBO=',H ITMAX=100 ITER=0 TOL=1.E-4 U1=0.0745 PRINT *,' RE ?' READ(*,*) RE PRINT *,' n' READ(*,*) AN 10 CONTINUE ITER=ITER+1 U1N=U1 GAM1=U1/(0.5*H) VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**AA)**((AN-1)/AA) U1=VIS*RE/DEN/H WRITE(*,*) ITER,U1 IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP END IF IF(ABS(U1-U1N)/U1N.GT.TOL) GO TO 10 VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**AA)**((AN-1)/AA) RE=DEN*U1*H/VIS PRINT *,' VIS EFF=',VIS,' (PA.S) RE=',RE PRINT *,' U1=',U1,' M/S' PRINT *,' GAM1=',GAM1 print *,' GAMA WALL canal=',3.*GAM1,' tubo=',4.*GAM1 STOP END
‐37‐
3. Equações da Mecânica de Fluidos
3.1 Introdução
Equações gerais de conservação da massa e da quantidade de movimento
0t
v (1)
Dp
Dt
vσ g τ g (2)
A Eq. (1) é também designada como equação da continuidade e pode reescrever‐se como:
1 D
Dt
v (1a)
que mostra, mais claramente, que
0 v (3)
para um fluido incompressível ( / 0D Dt ; Cte ao longo duma linha de corrente).
Nota: tensor tensões, p σ I τ ; aceleração, D
Dt t
v vv v
Em coordenadas cartesianas , ,x y zx o vector velocidade e o operador “nabla” têm
componentes,
, , , ,x y zu v w v v v v
e
ˆ ˆ ˆx y z
x y z
x
yu(y+y)
u(y)
y
Fig. 1‐ Perfil de velocidade para definir a viscosidade.
Um fluido newtoniano é definido através da lei da viscosidade de Newton (Figura 1):
‐38‐
( ) ( )u u u y y u y
y y y
Quando se generaliza, esta equação escreve‐se:
2 T τ D v v (tensor taxa deformação 12
T D v v )
x
y
z
v
vxvz
vy
Fig. 2‐ Coordenadas cartesianas
3.2 Equações em coordenadas cartesianas
As equações de conservação para fluido newtoniano com viscosidade constante são (Equações de Navier‐Stokes em coordenada cartesianas, Figura 2):
Continuidade:
0
yx zvv v
t x y z
Movimento:
2 2 2
2 2 2x x x x x x x
x y z x
v v v v v v vpv v v g
t x y z x x y z
2 2 2
2 2 2
y y y y y y yx y z y
v v v v v v vpv v v g
t x y z y x y z
2 2 2
2 2 2z z z z z z z
x y z z
v v v v p v v vv v v g
t x y z z x y z
‐39‐
zr
Fig. 3‐ Coordenadas cilíndricas
3.3 Equações em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas , ,r zx o vector velocidade tem componentes
, , , ,r zu v w v v v v
As equações de conservação para viscosidade constante são (Equações de Navier‐Stokes):
Continuidade:
1 10r zrv v v
r r r r z
Movimento:
2 2 2
2 2 2 2
1 1 2r r r r r rr z r r
v v vv v v v p v vv v rv g
t r r r z r r r r r z r
2 2
2 2 2 2
1 1 1 2r rr z
v v v v v v v v v vpv v rv g
t r r r z r r r r r z r
2 2
2 2 2
1 1z z z z z z zr z z
vv v v v v v vpv v r g
t r r z z r r r r z
Forma mais compacta:
2
22 2
2r rr r r
v vv p vv v g
t r r r r
v
22 2
1 2r rv v v vp vv v g
t r r r r
v
2zz z z
v pv v g
t z
v
com: r z
vv v
r r z
v e 2 2
22 2 2
1 1r
r r r r z
‐40‐
3.4 Exemplo de aplicação: (i) Escoamento laminar em canal plano
Assume‐se um campo de velocidades bidimensional com uma única componente não nula:
, , ,0,0x y zv v v u v . Não se considera o efeito da gravidade e assume‐se ainda que o
canal é muito comprido, não havendo por isso variações das propriedades ao longo de x , / 0x .
x
y
u(y)H
O
parede
plano simetria
Fig. 4‐ Escoamento em canal plano.
As equações do movimento em coordenadas cartesianas segundo x e y ficam:
2
20
p u
x y
e 0
p
y
o que implica que a velocidade só varia com y e que o gradiente de pressão é constante:
( )u y e /dp dx é constante.
Integrando uma vez:
1
1u dpy C
y dx
Integrando outra vez:
21 2
1
2
dpu y C y C
dx
As duas constantes de integração obtêm‐se das condições de fronteira:
0y , 0u
y
e y H , 0u (velocidade zero na parede)
que representam a simetria no plano central e o não escorregamento na parede. A primeira dá
imediatamente 1 0C e a segunda 22
1
2
dpC H
dx . Finalmente, o perfil de velocidades
vem:
22
( ) 12
dp H yu y
dx H
‐41‐
ou
2
0 1 /u u y H
onde
2
0 2
dp Hu
dx
é a velocidade máxima, que ocorre no plano central do canal, 0y . A forma do perfil é
parabólica, uma vez que u varia com o quadrado de y .
A velocidade média no canal é obtida por integração do perfil de velocidades:
2
0
1( )
3
H dp Hu u y dy
H dx
e portanto
0 1.5u u .
O caudal é a velocidade média vezes a área de passagem, logo:
32
3v
dp HQ
dx
O perfil de tensão de corte é linear e dado por:
yx
u dpy
y dx
O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede:
w
dpH
dx
3w
u
H
O coeficiente de atrito na parede é definido como:
21
2
wfu
e, para escoamento completamente desenvolvido num canal plano, vem dado por:
12f
Re .
Nesta equação o número de Reynolds é definido com a velocidade média e a largura do canal:
‐43‐
3.5 Exemplo de aplicação: (ii) Escoamento laminar num tubo de secção circular
zu(r)
D
O
parede
plano simetria
r
Fig. 5‐ Escoamento em tubo circular.
Neste caso usam‐se coordenadas cilíndricas. Para um tubo de diâmetro 2D R , assume‐se um campo de velocidades cuja única componente não nula está alinhada com o eixo do tubo,
z : , , 0,0,r zv v v u v . Tal como no exemplo anterior, assume‐se escoamento
completamente desenvolvido, / 0 ( )z u u r .
As equações ficam:
0p u
rz r r r
e 0
p
r
Implicando que ( )u r e /dp dz é constante. Integrando uma vez:
2
1
1
2
u dp rr C
r dz
11
2
u dp r C
r dz r
Como o gradiente de velocidade não pode ser infinito no eixo do tubo, 0r , tem‐se 1 0C .
Integrando outra vez:
22
1
4
dpu r C
dz
Usando a condição de fronteira de não escorregamento na parede: 0u para / 2r D , obtém‐se o perfil de velocidades (perfil parabólico):
22
( ) 116
dp D ru r
dz R
ou
2
0 1 /u u r R
com
2
0 4
p Ru
L
‐44‐
onde 0u é a velocidade máxima. A velocidade média no tubo é obtida por integração do perfil
de velocidades:
2
2 0
1( )2
32
R dp Du u r rdr
R dz
, e caudal
4
128v
dp DQ
dz
com 0 2u u . O perfil de tensão de corte é linear e dado por:
2rz
u dp r
r dz
O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede:
4w
dp D
dz
8w
u
D
O coeficiente de atrito na parede resulta em:
21
2
16wfu Re
onde o número de Reynolds para escoamento em tubo é usualmente definido como:
uDRe
.
‐45‐
4. Equações do Movimento sob Forma Geral
As equações do movimento sob forma geral, escritas em termos das componentes do tensor das tensões, são úteis para resolver problemas com fluidos não newtonianos. Para fluidos viscoelásticos as tensões são dadas por equações diferenciais ou integrais complexas. Para
fluidos newtonianos generalizados (GNF), 2τ D , as tensões seguem as fórmulas aqui
dadas mas com a viscosidade a ser uma função genérica da taxa de deformação , ( ) .
4.1 Coordenadas cartesianas
x
y
z
v
vxvz
vy
Fig. 1‐ Componentes da velocidade em coordenadas cartesianas.
As equações de conservação em coordenadas cartesianas:
Continuidade:
0
yx zvv v
t x y z
Movimento:
yxx x x x xx zxx y z x
v v v v pv v v g
t x y z x x y z
y y y y xy yy zyx y z y
v v v v pv v v g
t x y z y x y z
yzxzz z z z zzx y z z
v v v v pv v v g
t x y z z x y z
Tensões (GNF) :
2 xxx
v
x
; 2 yyy
v
y
; 2 zzz
v
z
yxxy
vv
y x
; x zxz
v v
z x
; y zyz
v v
z y
‐46‐
Taxa de deformação 12 : 2 : γ γ D D :
2 2 22 222 2 2 2y y yx x xz z z
v v vv v vv v v
x y z y x z x z y
‐47‐
4.2 Coordenadas cilíndricas
zr
Fig. 2‐ Coordenadas cilíndricas.
As equações de conservação em coordenadas cilíndricas , ,r zx , , ,r zv v vv :
Continuidade:
1 10r zrv v v
r r r r z
Movimento:
2 1 1 rr r r r zr
r z rr r
v vv v v v pv v r g
t r r r z r r r r r z
22
1 1 1r zr z r
v v v v v v v pv v r g
t r r r z r r r r z
1 1 zz z z z zzr z rz z
vv v v v pv v r g
t r r z z r r r z
Tensões:
2 rrr
v
r
; 12 rv v
r r
; 2 z
zz
v
z
1 1r rr
v v vv vr
r r r r r r
1 zz
v v
z r
z rzr
v v
r z
Taxa de deformação:
22 22 2 22 1 1 1
2 2 2r r z r z z rv v vv v v v v v vr
r r r z r r r z r r z
‐48‐
4.3 Aplicação: Escoamento em tubo para fluido de Casson
Para um escoamento de corte simples, o modelo de Casson é definido como:
0 , 0 e 0 , 0 . (1)
onde 0 é a tensão de cedência e um coeficiente de viscosidade. Num escoamento
completamente desenvolvido dentro de um tubo circular, gerado por um gradiente de
pressões constante /P dp dz , o perfil de velocidades só depende da coordenada radial,
( )u r , e a taxa de deformação é igual ao gradiente de velocidade, /du dr . As equações do
movimento dadas acima, em coordenadas cilíndricas, reduzem‐se a:
10 rz
pr
z r r
Przr rr
, integrando
2rz
Pr (2)
Esta equação é sempre válida, qualquer que seja o fluido, e representa o balanço entre as
forças de corte sobre uma porção circular de raio r e comprimento longitudinal L e a força
de pressão aplicada na secção 2r do tubo: 2 2p r L r , com rz a representar a
magnitude da tensão de corte.
Na parte central do tubo existe uma zona de escoamento “tampão”, onde o material se move
sem se deformar, como um sólido, uma vez que a tensão é aí inferior à tensão de cedência
0 . Essa zona é limitada pela circunferência definida por um raio 0r onde a tensão é
exactamente 0 , isto é:
00 2
Pr , 00 2
Pr
(3)
O raio 0r define a zona tampão (“plug flow”, no inglês) típica do escoamento com fluido
viscoplástico, onde a velocidade é constante (definida adiante, Eq. 8):
0u u para 00 r r (4)
Fora dessa zona, 0r r R , aplica‐se a equação (1) de Casson, reescrita como:
2 2
0 , 0 02 du
dr
(5)
Com da equação geral (2) e integrando para obter o perfil de velocidade, tem‐se
2 380 0 031 2 1 1u U y y y y y
para 0 1y y (6)
onde foi já inserida a condição fronteira de não escorregamento sobre a parede, ( ) 0u R .
Para simplificar a notação usou‐se 20 / 4U PR (velocidade no centro para escoamento
‐49‐
newtoniano em tubo) e /y r R . Quando a tensão de cedência é nula, 0 0 , a zona
tampão não existe 0 0r , ou seja 0 0 / 0y r R , e esta expressão reduz‐se ao perfil
parabólico em escoamento de Poiseuille.
O caudal é obtido por integração do perfil de velocidade:
0
0 0
12 2
0 0
0
2 2 2 ( )r R
r y
Q u rdr u rdr u r R u y ydy
O resultado escrito sob forma adimensional é:
1/ 2 416 4 10 0 0 07 3 21
0
( ) 1N
Q Ug y y y y
Q U ( 2/U Q R ) (7)
com 4 20 / 8 NQ PR R U a representar o caudal para fluido newtoniano em tubo (isto
é, sem tensão de cedência), com 0 2 NU U . A função 0( / )g r R definida pela Eq. (7) está
representada na Figura 1, onde se pode observar o rápido decaimento do caudal quando o
raio da zona central sem cedência aumenta.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r0/R
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
g
Fig. 1‐ Variação da razão de caudais com o aumento da zona sem cedência (“tampão”).
Por último, a velocidade da zona tampão usada na Eq. (4) é obtida do perfil de velocidades,
Eq. (6), fazendo 0r r (ou 0y y ):
31
0 0 0 031 1u U y y . (8)
A Figura 2 mostra o perfil de velocidades obtido com o modelo de Casson para 0 0.1r R ,
sendo comparado com o perfil parabólico do modelo newtoniano. Na parte (a) da figura
ambos os perfis são normalizados com as respectivas velocidades médias (da Eq. 7 para
Casson) e fica visível o efeito de reofluidificação sobre a forma do perfil. Na parte (b) as
velocidades são normalizadas com o mesmo valor, a velocidade máxima do caso newtoniano,
‐50‐
ficando notório que, para o mesmo gradiente de pressão, o caudal do fluido de Casson é muito
menor do que o caudal do fluido newtoniano.
(a)
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1r/R
Casson, y0=0.1
newtoniano
r0/R=0.1
(b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1u(r)/U0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
Casson, y0=0.1
newtoniano
r0/R=0.1
Fig. 2 – Perfis de velocidades para fluidos newtoniano e Casson 0 0.1y , normalizados com (a)
respectiva velocidade média; (b) velocidade máxima do caso newtoniano 2
0/ 4U PR .
O aumento do atrito na parede que ocorre com o fluido de Casson, comparativamente ao
newtoniano, é ilustrado de forma directa na Figura 3, onde o grupo efR é mostrado em
função do tamanho da zona sem cedência 0 /r R . Quando 0 / 0r R , que equivale a 0 0 ,
não há zona sem cedência e o modelo de Casson torna‐se igual ao modelo Newtoniano, para o
qual o coeficiente de atrito multiplicado pelo número de Reynolds é constante 16fRe (este
grupo é por vezes chamado número de Poiseuille). Os valores da Fig. 3 foram obtidos com o
programa dado em Anexo.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5r0/R
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
fRe/fRe N
Fig. 3 – Variação da razão entre o coeficiente de atrito para fluido de Casson e o correspondente
newtoniano com o tamanho da zona tampão.
O coeficiente de atrito é obtido a partir da sua definição
‐51‐
21
2
wfU
(9)
onde a tensão na parede é dada por / 2w PR (Eq. 2). Note‐se que a velocidade média que
aqui deve aparecer é a velocidade média para o fluido de Casson, da Eq. (7). Substituindo
valores, e fazendo aparecer o número de Reynolds 2 / efRe U R , temos sucessivamente:
2
2 212
1 1 824
w
ef
ef
PR PRf
U RU U U
,
ou
1 16
/ef N
fReU U
1
N
fRe
fRe gg
, (10)
com 16N
fRe , 2 / 8NU PR , a função / Ng U U dada pela Eq. (7), e a função
/efg a representar a viscosidade efectiva adimensional. A viscosidade efectiva deve ser
calculada com base na taxa de corte que existe junto à parede, ou seja:
wef w
w
A taxa de deformação na parede pode ser obtida da primeira parte da Eq. (5), com a tensão da
parede dada acima / 2w PR e a tensão de cedência dada pela Eq. (3),
2 2
0 0
11
2w w
PRy
ou seja:
2
01
ww
w y
2
0
1
1g
y
(11)
A Figura 3 mostra de forma inequívoca que o coeficiente de atrito na parede para o modelo de
Casson calculado segundo a Eq. (10) é maior do que o correspondente newtoniano. Isto
acontece apesar do modelo de Casson ser reofluidicante o que, à partida, poderia sugerir
maior facilidade de escoamento para um dado gradiente de pressão. Conclui‐se que a tensão
de cedência é a causa para o aumento da resistência ao movimento no modelo de Casson.
‐52‐
Anexo 1 – Programa para preparar perfil de velocidades analítico para modelo de Casson
program GNFVIS3 C C PREPARE velocity profile FOR BLOOD C in pipe flow - CASSON MODEL C OPEN(10,FILE='gnfvis3.dat') PRINT *,' GIVE Y0' READ(*,*) Y0 F=1.-16./7.*SQRT(Y0)+4./3.*Y0-1./21.*Y0**4 FF=1./(1.-SQRT(Y0))**2 FRE=1./F/FF Q0=1./2. Q=Q0*F U0=(1.-SQRT(Y0))**3*(1.+1./3.*SQRT(Y0)) PRINT *,' F=',F PRINT *,' U0=',U0 PRINT *,' FRE=',FRE C RANGE OF R ... Y1=0.0 Y2=1.0 N=100 DY=(Y2-Y1)/FLOAT(N) Y=Y1 UNM=0.0 UM=0.0 DO 10 I=1,N+1 UN=1.-Y**2 U=(1.-Y**2)+2.*Y0*(1.-Y)-8./3.*SQRT(Y0)*(1.-SQRT(Y**3)) IF(Y.LE.Y0) U=U0 DYY=DY IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.N+1) DYY=DY*0.5 UNM=UNM+UN*DYY*Y UM=UM+U*DYY*Y UUN=UN/Q0 UU=U/Q C Escrever resultados: Y=r/R; UU=u/U; UUN=(u/U)Newt; U=u/(U0)Newt WRITE(10,100) Y,UU,UUN,U,UN Y=Y+DY 10 CONTINUE C PRINT *,' NUMERICAL, MEAN UNM=',2.*UNM,' UM=',2.*UM 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END
‐53‐
Anexo 2 – Programa para preparar variação do coeficiente de atrito com o tamanho da zona
sem cedência para modelo de Casson
program GNFVIS4 C C PREPARE velocity profile FOR BLOOD C in pipe flow - CASSON MODEL c VARIED Y0 C OPEN(10,FILE='gnfvis4.dat') C RANGE OF Y0 ... Y1=0.0 Y2=1.0 N=100 DY=(Y2-Y1)/FLOAT(N) Y0=Y1 DO 10 I=1,N+1 F=1.-16./7.*SQRT(Y0)+4./3.*Y0-1./21.*Y0**4 FF=1./(1.-SQRT(Y0))**2 FRE=1./F/FF UN=1./2. U=UN*F U0=(1.-SQRT(Y0))**3*(1.+1./3.*SQRT(Y0)) WRITE(10,100) Y0,F,FRE,U0 Y0=Y0+DY 10 CONTINUE C 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END
‐55‐
5. Viscosidade do Sangue
O sangue é uma suspensão de células (eritrócitos, leucócitos e trombócitos) em plasma. As
células que existem em maior quantidade são os eritrócitos, ou glóbulos vermelhos, sendo
determinantes para definir as propriedades reológicas do sangue. A sua concentração
volumétrica, o hematócrito H , varia consoante a temperatura e o estado de saúde da pessoa,
mas ronda os 42 45H % em situação normal. O sangue comporta‐se como um fluido não
newtoniano, sobretudo para valores baixos da taxa de deformação ( 100 s‐1) e quando
circula em vasos de pequenas dimensões ( 1d mm). Neste último caso o cariz bifásico da
suspensão, plasma com 45% de glóbulos vermelhos, torna‐se notório. Isto acentua‐se ainda
mais quando o diâmetro dos vasos é da mesma ordem de grandeza das dimensões dos
glóbulos vermelhos ( 8gvd m) como acontece nos capilares.
5.1 Reofluidificação
Para se contabilizar o efeito de reofluidificação do sangue, ou seja, a diminuição da viscosidade
com o aumento da taxa de deformação , usam‐se modelos não newtonianos inelástixos
(sem elasticidade), também designados por modelos GNF (Generalized Newtonian Fluid).
Existem vários modelos empíricos deste tipo, e um deles é o modelo de Carreau‐Yasuda,
definido pela equação:
1
0( ) 1n
a a
Esta equação tem 5 parâmetros independentes que, para o caso do sangue, tomam os valores:
Viscosidade para taxa de corte nula: 0 0.056 Pa.s
Viscosidade para taxa de corte infinita: 0.00345 Pa.s
Parâmetro Yasuda: 2a
Tempo característico: 3.313 s
Expoente: 0.3568n
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
(1/s)
0.001
0.01
0.1
(Ns/
m2)
.
.
Fig. 1 Variação da viscosidade do sangue, modelo Carreau‐Yasuda.
‐56‐
A Figura 1 mostra a variação da viscosidade em função da taxa de deformação de corte
prevista pelo modelo de Carreau‐Yasuda. Para taxas de deformação baixas a viscosidade é
constante e igual ao valor de 0 . A partir de um certo valor de , dado aproximadamente
pelo inverso do tempo característico 1/ , a viscosidade começa a decair segundo uma taxa
determinada pelo expoente n . Quanto menor for n , maior é a inclinação da variação da
viscosidade em função de , a qual é dada por (1 )n em representação log‐log.
Da definição do coeficiente de viscosidade de corte, obtém‐se a tensão de corte:
A sua variação em escala logarítmíca é mostrada na Figura 2. Observa‐se que para valores
elevados da taxa de corte a tensão vai aumentando linearmente, o que é característico do
comportamento newtoniano ( , constante).
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
(1/s)
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
(N/m
2)
.
.
Fig. 2 Tensão de corte em função da taxa de deformação para modelo Carreau‐Yasuda.
A reofluidificação é mostrada de forma mais efectiva num gráfico em escala linear, como o da
Figura 3, que dá a tensão de corte do modelo Carreau‐Yasuda com os mesmos parâmetros
dados acima. A diminuição do aumento da tensão de corte à medida que a taxa de
deformação aumenta é agora notória, sobretudo para baixos valores de . Fica também claro
que este modelo não tem tensão de cedência, uma vez que a tensão de corte tende para zero
quando 0 .
‐57‐
0 40 80 120 160 200
(1/s)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(N/m
2)
.
.
Fig. 3 Tensão de corte versus taxa de corte em escala linear: modelo Carreau‐Yasuda. Reofluidificação.
5.2 Efeitos de hematócrito e temperatura
Quando as taxas de deformação são elevadas, o sangue pode considerar‐se como uma
suspensão de “partículas” num fluido newtoniano. Einstein deduziu uma equação que dá a
viscosidade da suspensão quando as partículas são esféricas e a sua concentração volumétrica
é pequena ( 0.05 ) e que, quando aplicada ao sangue, se escreve:
1
1P
Aqui é a viscosidade do sangue, P é a viscosidade do plasma ( (1.2 1.8)P agua ;
21.24 10P Pa.s a 37ºC) e é um parâmetro que depende da forma geométrica das
partículas, sendo 2.5 para esferas como na lei de Einstein. Para valores mais elevados de
concentração , ou seja do hematócrito 100H no caso do sangue, este parâmetro varia
não só com a própria concentração mas também com a temperatura. A seguinte correlação
empírica permite obter numa gama limitada de concentrações:
1.6911070.076exp 2.49
( )e
T K
para 0.05 0.6 .
A Figura 4 mostra a variação de viscosidade do sangue prevista com este modelo, onde se usou
para viscosidade do plasma o valor acima indicado (0.00124 Pa.s) e para temperatura o valor
normal do corpo humano, 37ºC, ou seja 310T K. Verifica‐se que a viscosidade aumenta
exponencialmente com o aumento do hematócrito, até valores de 60%H ( 0.60 ) que
correspondem já a estados patológicos (policitemia). Na gama normal de valores do
hematócrito, quando H passa de 40 para 50%, a viscosidade aumenta de 28%. Este aumento
de viscosidade implica trabalho adicional para bombear o sangue. Por outro lado, quando a
‐58‐
temperatura sobe de 37ºC para 40ºC, com 45%H constante, a viscosidade decresce de
2%.
0 20 40 60Hematócrito(%)
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
visc
osid
ade(
Ns/
m2)
.
.
Fig. 4 Variação da viscosidade do sangue em função do hematócrito (concentração volumétrica dos
glóbulos vermelhos), para temperatura de 37ºC.
5.3 Tensão de Cedência
Quando o sangue está em repouso, existe tendência para os glóbulos vermelhos se
aglomerarem formando estruturas. Estas estruturas opõem‐se ao movimento quando uma
tensão relativamente pequena é aplicada. Por isso o sangue é um fluido que apresenta tensão
de cedência, isto é, uma tensão abaixo da qual o sangue não se deforma. Um modelo GNF
incorporando tensão de cedência e que tem sido muito utilizado para descrever a viscosidade
do sangue é o modelo de Casson, definido pelas equações:
0 se 0
0 se 0
A tensão de cedência 0 depende do hematócrito, assim como o coeficiente de viscosidade da
Casson . Usando os valores 0 0.0108 Pa e 0.00276 Pa.s fornecidos na literatura,
obtém‐se a variação da viscosidade apresentada na Figura 5, comparada com a do modelo
Carreau‐Yasuda dado acima. Observa‐se que para 0.3 s‐1, quando a reofluificação do
sangue começa a ser mais acentuada, os valores de viscosidade dados pelos dois modelos são
muito próximos. Para valores mais baixos da taxa de corte a viscosidade prevista pelo modelo
de Casson continua a aumentar enquanto a prevista pelo modelo de Carreau tende para um
patamar definido pela viscosidade a taxa de deformação nula 0 .
‐59‐
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
(1/s)
0.001
0.01
0.1
1
10
(Ns/
m2)
Carreau-YasudaCasson
.
.
Fig. 5 Modelo de Casson, variação da viscosidade.
Nessa altura a tensão é próxima da tensão de cedência e o valor da viscosidade deixa de ter
relevância uma vez que, para essa gama de deformações, se tem aproximadamente 0 . Isto
torna‐se claro no gráfico da variação da tensão com a taxa de deformação da Figura 6. Para
0.1 s‐1 tem‐se 00.01Pa e o modelo de Casson implica comportamento de sólido
indeformável.
0.01 0.1 1 10 100
(1/s)
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
(N/m
2)
CarreauCasson
.
.
Fig. 6 Modelo de Casson, variação da tensão de corte.
A variação da tensão de cedência com o hematócrito é correlacionada pela seguinte expressão
(Merril et al, Biophysical J., 3 (1963) 199‐ 213; nota: hematócrito em percentagem):
1/3
0 0A H H (din/cm2), com 0 5H e 0.008 0.002A
‐60‐
Na verdade o valor do hematócrito 0H acima do qual começa a haver tensão de cedência
pode variar entre 0 1.3 6.5H . Nota 1 din/cm2 0.1 Pa (Pa=N/m2.). Para 45H e
0 5H , esta expressão dá uma tensão de cedência de 3
0 0.008 40 0.033
din/cm2 0.0033 .Pa 3.3 mPa. Para um valor normal de hematócrito, 45H , a gama de
variação da constante A da correlação conduz a uma variação da tensão de cedência entre
0 0.001 Pa e 0 0.0064 Pa (1 e 6 mPa). A correlação acima pode escrever‐se em MKS:
3
0 051.2 mPa
Existem expressões emelhantes a esta na literatura, mas sem utilizar o valor mínimo do
hematócrito abaixo do qual não ocorre tensão de cedência. Por exemplo (Picart et al., J. Rheol.
42 (1998) 1‐12):
3
0 26.87 mPa
Para 0.45 esta expressão dá 0 2.4 mPa.
Outra expressão encontrada na literatura (Das et al., Biorheology 37 (2000) 239‐258) é:
/ 2
1/ 2
0
11
1
din/cm2
com: 2.0 e 0.3315 sangue humano; 1.621 e 0.627 sangue gato. No caso
de sangue humano, para um hematócrito de 45H , /100 0.45H , vem 0 0.005
N/m2 5 mPa.
‐61‐
Anexo 1‐ Programa para calcular a viscosidade de corte dos modelos de Carreau‐Yasuda e Casson
program GNFVIS C C PREPARE SHEAR VISCOSITY FOR CARREAU AND CASSON MODELS C in simple shear C OPEN(10,FILE='gnfvis.dat') C Dados partida para modelo Carreau, C vis=visinf+(vis0-visinf)*(1+(al*gam)**a)**((n-1)/a) AL=3.313 VISINF=0.00345 VIS0=0.056 A=2.0 C Dados partida modelo Casson tau**1/2=tauy**1/2+(Kc*gam)**1/2 TAUY=0.0108 AKC=0.00276 print *,' AN ?' read(*,*) AN AN1=AN-1. C Gama de texas de corte ... GAM1=1.E-2 GAM2=1.E4 NGAM=200 gl1=alog10(gam1) gl2=alog10(gam2) DGAM=(gl2-gl1)/float(ngam) GLAM=GL1 DO 10 I=1,NGAM GAM=10.**(GLAM) C Modelo Carreau viscosidade e tensao corte VIS=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(AL*GAM)**A)**(AN1/A) TXY=VIS*GAM C Modelo Casson: tensao corte e viscosidade TAUC=(SQRT(TAUY)+SQRT(AKC*GAM))**2 VISC=TAUC/GAM C Escrever no ficheiro gnfvis.dat WRITE(10,100) GAM,VIS,TXY,VISC,TAUC GLAM=GLAM+DGAM 10 CONTINUE 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END
Anexo 2‐ Programa para calcular a viscosidade em função do hematócrito
program GNFVIS2 C C PREPARE SHEAR VISCOSITY FOR BLOOD C in simple shear, FUNCTION OF HEMATOCRIT C OPEN(10,FILE='gnfvis2.dat') T=310.0 VIS0=1.24E-3 C RANGE OF H ... H1=0.0 H2=0.6 NGAM=200 DH=(H2-H1)/float(ngam) H=H1 DO 10 I=1,NGAM+1 A=0.076*EXP(2.49*H+1107/T*EXP(-1.69*H)) VIS=VIS0*(1.0/(1.-A*H)) WRITE(10,100) H*100,VIS,A H=H+DH 10 CONTINUE 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END
‐63‐
6. Resolução das Equações do Movimento com Método dos Volumes Finitos
6.1 Introdução ao método dos volumes finitos ‐ discretização
A equação do movimento em coordenadas cilíndricas (Fig. 1) para um fluido GNF é:
10
p ur
z r r r
(1)
zu(r)
D
O
parede
plano simetria
r
Fig. 1‐ Escoamento completamente desenvolvido em tubo cilíndrico.
em que a viscosidade de corte ( ) pode ser uma função complexa da taxa de deformação de
corte /u r . Esta equação é integrada sobre um volume de controlo segundo a direcção
radial, de forma anelar, centrado no nó P , limitada por uma circunferência de raio nr a
“norte” e sr a “sul” (Fig. 2):
10 2
n
s
r
r
p ur rdr
z r r r
0n n
s s
r r
r r
p urdr r dr
z r r
P
N
S
s
n
rn
rs
r
r
Fig. 2‐ Volumes de controlo axisimétricos usados na discretização.
O gradiente de pressão imposto é constante, sendo designado por /G p z . Usando a
regra do ponto médio para aproximar os integrais, obtém‐se:
‐64‐
0n
P Ps
uGr r r
r
0 P Pn s
u uGr r r r
r r
(2)
onde o espaçamento do volume de controlo centrado em P é P n sr r r . Os gradientes da
velocidade são aproximados assumindo uma variação local linear da velocidade entre nós consecutivos,
N Pn
n n
u uu
r r e P S
ss s
u uu
r r (3)
Os volumes de controlo acima e abaixo do volume de controlo central P são designados por
norte N e sul S . As distâncias entre nós, situados no centro dos volumes de controlo, são
n N Pr r r e s P Sr r r . Substituindo estas aproximações na equação integrada anterior
obtém‐se finalmente a equação discretizada escrita na forma padrão:
P P N N S Sa u a u a u b (4)
Os coeficientes desta equação são definidos por
nN n
n
a rr
, sS s
s
a rr
e P N Sa a a (coeficiente central) (5)
e o termo fonte por
P Pb Gr r (6)
Existe uma equação discretizada para cada volume de controlo interno, e o conjunto destas equações constitui assim um sistema de equações lineares com estrutura tridiagonal: a
diagonal principal é Pa , a diagonal imediatamente acima é Na e a imediatamente abaixo
Sa . Estes sistemas são facilmente resolvidos pelo algoritmo TDMA.
6.2 Algoritmo de correcção de pressão; sub‐relaxação
O problema do escoamento no tubo pode ser resolvido segundo duas abordagens:
(1) o gradiente de pressão é dado (problema directo);
(2) o caudal é imposto (problema inverso).
O caso 1 é o mais fácil, o valor conhecido de G é inserido no termo fonte e a equação discretizada é resolvida para se obter o campo de velocidades. Como em geral os coeficientes dependem da velocidade, a incógnita principal, uma vez que a viscosidade dum fluido GNF
varia com /u r , é necessário iterar até que o resíduo da equação fique menor que uma
determinada tolerância:
1
N
N N S S P Pi
res a u a u b a u TOL
(7)
O caso 2 resolve‐se segundo o método de correcção de pressão e é necessário iterar mesmo com viscosidade constante (fluido newtoniano). Começa‐se com um valor estimado do
‐65‐
gradiente de pressões, *G , resolve‐se o sistema de equações tridiagonais para se obter um
campo de velocidades *iu que no caso geral não fornecerá o caudal correcto, Q , e faz‐se uma
correcção do gradiente de pressões e do campo de velocidades, de forma a este satisfazer a condição de caudal imposto.
A relação entre a correcção do gradiente de pressões e das velocidades obtém‐se por diferenciação da equação discretizada:
0
P P N N S S P pa u a u a u b r r G
P p
PP
r ru G
a
ou i ii
Pi
r ru G
a
(8)
com as correcções definidas como *i i iu u u e *G G G (usando o índice i para
indicar a posição, em vez de P , para facilitar os somatórios que se seguem). Repare‐se que neste caso simplificado unidimensional, a velocidade e os coeficientes dependem da posição espacial (variam com i ), mas o gradiente de pressão é uniforme. O caudal volumétrico correcto é dado pelo somatório das velocidades corrigidas multiplicadas pelas respectivas áreas:
1 1
2N N
i i i i ii i
Q Au r ru
(9)
Introduzindo a definição da correcção de velocidades *i i iu u u e a relação ente u e G
obtida acima, temos
2
* *
1 1
2 2N N
i ii i i i
i i Pi
r rQ r r u u Q G
a
Ou seja, a correcção do gradiente de pressões é:
*
2
1
2N
i i
i Pi
Q QG
r r
a
(10)
As novas velocidades juntamente com o novo gradiente de pressões
*i i iu u u e *G G G (11)
satisfazem o constrangimento imposto pelo caudal, mas deixam de satisfazer a equação da quantidade de movimento. Por isso este procedimento tem de ser repetido, um certo número de iterações, até haver convergência. A convergência deste processo iterativo é controlada pelo valor do resíduo, e este ciclo iterativo contém os passos necessários para tratar as não linearidades existentes na equação de partida, como por exemplo a presença de uma expressão complexa para o coeficiente de viscosidade. Ou seja, um único ciclo iterativo trata
‐66‐
as duas questões: (i) correcção de pressões para satisfazer caudal, e (ii) viscosidade a variar de forma não linear com a taxa de deformação.
Os passos deste algoritmo, designado de SIMPLE, são os seguintes:
1. Para um dado caudal Q , estimar o gradiente de pressões *G .
2. Obter velocidades *iu , por resolução da equação do movimento (Eq. 4)
3. Calcular correcções de pressão Q e de velocidade iu (Eqs. 10 e 8).
4. Corrigir pressões e velocidades (Eqs. 11). 5. Verificar convergência (Eq. 7); caso seja necessário repetir (ir para passo 2).
A experiência mostra que para que este procedimento convirja é necessário subrelaxar a equação discretizada e a variação do gradiente de pressões. Ou seja, as equações que se resolvem de facto são
*
novo novo
1
P
P PP N N S S P
a b
a au a u a u b u
e *
pG G G (12)
em vez das equações originais. Aqui, e p são factores de subrelaxação, que devem ser
menores do que 1. Valores típicos, 0.95 para a velocidade e 0.05p para a pressão. A
Figura 1 mostra a evolução do resíduo para um caso newtoniano, numa malha uniforme com
20 volumes de controlo 1/ 20 0.05r , quando o valor inicial estimado do gradiente de
pressões foi 1G (o valor final em termos adimensionais é sempre 8, ver Fig. 1 b). Para uma tolerância de 10‐6 foram necessárias 34 iterações.
(a)
0 5 10 15 20 25 30iteração
1E-007
1E-006
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
resídu
o
SIMPLE, =0.95, p=0.05
(b)
0 5 10 15 20 25 30iteração
0
4
8
12
16
G=‐dp
/dr
SIMPLE, =0.95, p=0.05
Fig. 1‐ Variação do resíduo com o número de iterações (a) e da estimativa do gradiente de pressões ao longo do processo iterativo (b). Caso newtoniano, malha N=20.
6.3 Escoamento laminar num tubo de secção circular
Já se viu em relatório anterior que a solução deste problema para fluido newtoniano é:
2
0 1 /u U r R (13)
‐67‐
com a velocidade máxima no centro dada por 20 ( / ) / 4U p L R a ser igual a duas vezes a
velocidade média. Veja‐se que com 1R , 1 e 1U , se deve ter / 8G p L , como
referido acima.
Com o programa dado em anexo, para uma malha com 20 volumes de controlo (N=22), obtém‐se o perfil de velocidades representado pelos símbolos na Figura 2, onde o perfil parabólico da teoria é dado pela linha a cheio vermelha. O erro cometido é de 1.2 10‐3.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
numérico
teórico
Fig. 2‐ Escoamento newtoniano em tubo circular. Resultados numéricos com 0.05r .
Vamos considerar agora o caso de um líquido não newtoniano cuja viscosidade segue o modelo da lei de potência:
1nk (14)
Como sabemos, este é o modelo mais simples a representar a reofluidificação, ou seja, a diminuição da viscosidade com o aumento da taxa de deformação. A solução analítica para este caso é:
1
1
0 1 / nu U r R
(15)
com velocidade máxima no eixo dada por:
11
1
0 2 1
nnG n
U Rk n
(16)
Nos cálculos apresentados na Figura 3 (a) usou‐se o mesmo gradiente de pressões do caso
newtoniano, 8G , e um valor unitário para a consistência, tal como a viscosidade
newtoniana, 1k . NU é a velocidade média newtoniana, ou seja: 2 / 8NU GR .
Observa‐se desta figura que à medida que o índice da lei de potência diminui,
1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5n , os perfis de velocidade tornam‐se mais cheios (aproximando‐se da
forma “tampão”) e a velocidade máxima aumenta significativamente. Como os cálculos são feitos para o mesmo gradiente de pressão, isto significa que o atrito na parede diminui com n , de forma ao caudal ser muito maior quando o fluido é não newtoniano com reofluidificação
‐68‐
importante (isto é, com n pequeno). A Figura 3 (b) mostra os mesmos dados mas agora as velocidades estão normalizadas de forma consistente, com uma escala de velocidades
específica para cada caso: 2 / 8 efU GR com a viscosidade efectiva a variar com n ,
( )ef ef e /ef U R . U é a velocidade média de cada caso, calculada numericamente.
Desta forma as variação ficam mais graduais e o aumento da velocidade máxima (0) /u U é quase linear com a diminuição de n . Teoricamente, (3 1/ ) / 4nU U n e
(0) / 4(3 1/ ) (3 1) /( 1)nu U n n n As linhas coloridas na Figura 3 (b) são apenas uniões entre
os valores numéricos obtidos, sendo estes representados por símbolos redondos.
(a)
0 2 4 6u(r)/UN
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
numérico
teórico
n=1 0.5
0.60.7
0.8
(b)
0 1 2 3u(r)/U'
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
n=1
n=0.5
0.6
Fig. 3‐ Perfis de velocidade em tubo para modelo de lei de potência (mesmo gradiente de pressão). (a)
normalização fixa 2 / 8 1NU GR ; (b) normalização variável 2 1/ 8 nefU GR U .
Usando a abordagem 2, de caudal imposto, que equivale a normalizar os perfis de velocidade anteriores com a respectiva velocidade média, obtêm‐se os resultados da Figura 4. Quanto menor for o n , mais cheio fica o perfil, menor é a velocidade máxima no eixo, e maior é o gradiente de velocidades junto à parede. Tudo isto em consequência da reofluidificação da
viscosidade (em inglês, “shear thinning”). Com um valor baixo do índice de potência, 0.3n (Figura 4 b), as diferenças entre perfis são mais notórias. Quando o modelo da lei de potência é utilizado para representar a viscosidade do sangue, os valores desse índice variam entre
n 0.68 e 0.8 para taxas de deformação de 5 a 200 s‐1.
(a)
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
numérico
teórico
n=1‐0.5
0.5
(b)
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
numérico
teórico
n=1.0
n=0.3
‐69‐
Fig. 4‐ Comparação dos perfis de velocidade numéricos e teóricos, com normalização pela velocidade média (mesmo caudal). (a) Índice de potência a variar de 1 a 0.5; (b) 2 casos, n 1 (newtoniano) e 0.3.
O efeito da reofluidifcação é ilustrado de forma mais directa na Figura 5. A parte (a) mostra como o gradiente de pressões diminui, para o mesmo caudal, quando o índice da lei de potência é reduzido. Integrando a Eq. (15) obtém‐se a seguinte expressão teórica para a velocidade média do fluido de lei de potência :
11
1
2 3 1
nnG n
U Rk n
(17)
Portanto, o gradiente de pressões é dado por
1
2 3 1nn
n
kU nG
R n
(18)
e a razão entre a velocidade máxima e a velocidade média por:
0 3 1
1
U n
U n
(19)
Repare‐se que para n=1 se voltam a encontrar os resultados válidos para fluido newtoniano,
8G e 0 / 2U U . Estas variações teóricas de G e 0 /U U com n são mostradas na Fig. 5
pelas linhas a vermelho. Existe boa concordância com os resultados numéricos; o erro é da ordem dos 0.2 % embora tenda a aumentar quando n diminui. Este erro pode ser reduzido
usando malhas mais refinadas; por exemplo, quando se passa de 20N para 40N , o erro vem dividido por 4.
O gradiente de velocidade mostrado na Figura 5 (a), para caudal ou velocidade média constante, pode ser também interpretado como metade do coeficiente de atrito, definido como:
2 21
2
w GRf
U U
onde a tensão na parede w foi substituída pelo gradiente usando o balanço global de forças
/ 2w GR .
‐70‐
(a)
0.2 0.4 0.6 0.8 1n
3
4
5
6
7
8
G
numérico
teórico
(b)
0.2 0.4 0.6 0.8 1n
1.4
1.6
1.8
2
U0/U
numérico
teórico
Fig. 5‐ Variação do gradiente de pressões (a) e da razão de velocidades (b) com o índice de potência,
resultados numéricos e teóricos.
Ora em escoamento completamente desenvolvido o coeficiente de atrito é usualmente representado por
2 12 2 n
nef
GR GRfRe
U kU
Com o número de Reynolds definido como 2 / efRe U R e a viscosidade efectiva ef
baseada numa taxa de corte efectiva /ef U R . Para escoamento newtoniano 2 / 8U GR
e com ef o resultado é 16fRe . Para o modelo de lei de potência a equação anterior
mostra que para U , k e R unitários se tem 2fRe G , mostrando que o coeficiente de
atrito e a perda de pressão seguem o mesmo andamento. O atrito diminui com a reofluidificação (Fig. 5 a) e a velocidade máxima também (Fig. 5 b).
Valores típicos de aplicação da lei de potência ao caso do sangue: 317.35 10k Pa.sn,
0.639n . A viscosidade do sangue quando considerado como fluido newtoniano é 33.5 10 Pa.s. Verifica‐se que esta viscosidade é obtida pela lei de potência quando
84.3 s‐1.
‐71‐
Anexo 1 ‐ programa velu1r.for PROGRAM VELU C C resolver eq.NS para tubo circular, Laminar C Algoritmo SIMPLE (usa subrelaxacao U e P) C ** MALHA TIPO-B ** C IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION S(NMAX),U(NMAX),AP(NMAX),AN(NMAX),AS(NMAX),SP(NMAX), + R(NMAX),VIS(NMAX) OPEN(10,FILE='velu.dat') OPEN(11,FILE='veluit.dat') PRINT *,' MALHA TIPO B' PRINT *,' GIVE N (12, 22, 42, ...) ' READ(*,*) N PRINT *,' IDP, P (IDP=1-P DADO (P=8); 2- UIN DADO) ' READ(*,*) IDP,P PRINT *,' OMEGAU , OMEGAP ' READ(*,*) OMGU,OMGP PRINT *,' power law AN ' READ(*,*) PLN C DADOS (P= -dp/dx ) C OMGP=0.5 C OMGU=0.5 PI=4.0*DATAN(1.D0) SMALL=1.E-20 RTOT=1. VISC=1. UIN=1.0 ARTOT=PI*RTOT**2 QIN=UIN*ARTOT PP=0.0 ITMAX=5000 TOL=1.E-6 RESNORM=1.0 C NOTA: MALHA TIPO B DR=RTOT/FLOAT(N-2) NM1=N-1 NM2=N-2 IMON=N/2 C INICIALIZAR DO I=1,N R(I)=(I-1)*DR-DR/2. U(I)=UIN VIS(I)=VISC END DO R(1)=0.0 R(N)=RTOT C VELOCIDADES NAS FRONTEIRAS U(N)=0.0 C C ======== CICLO ITERATIVO ==================================== C ITER=0 print *,' iter res u(',imon,')' 100 CONTINUE ITER=ITER+1 C VERIFICAR SE ATINGIU NUMERO ITERACOES MAXIMO: PARAR IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' NAO CONVERGIU; ITER MAX',ITER GO TO 200 END IF C PREPARAR COEFICIENTES DO I=2,NM1 VISN=VIS(I) VISS=VIS(I-1) RFN=0.5*(R(I)+R(I+1)) RFS=0.5*(R(I)+R(I-1)) IF(I.EQ.NM1) RFN=R(N) IF(I.EQ.2 ) RFS=R(1) AN(I)=VISN/DR*RFN AS(I)=VISS/DR*RFS S(I)=P*DR*R(I)
‐72‐
SP(I)=0.0 END DO C C CONDICOES FRONTEIRA C plano simetria AS(2)=0.0 U(1)=U(2) C parede S(NM1)=S(NM1)+2.0*AN(NM1)*U(N) SP(NM1)=SP(NM1)+2.0*AN(NM1) AN(NM1)=0.0 C C PREPARAR COEFICIENTE CENTRAL E CALCULAR RESIDUO RES=0.0 DO I=2,NM1 AP(I)=AN(I)+AS(I)+SP(I) AP(I)=AP(I)/OMGU S(I)=S(I)+(1.0-OMGU)*AP(I)*U(I) RES=RES+ABS(AP(I)*U(I)-AN(I)*U(I+1)-AS(I)*U(I-1)-S(I)) END DO RESTOT=RES/RESNORM/float(nm2) WRITE(*,*) ITER,RESTOT,U(IMON),PP WRITE(11,101) ITER,RESTOT,U(IMON),PP,P,abs(pp) C VERIFICAR CONVERGENCIA IF(RESTOT.LT.TOL) THEN PRINT *, ' CONVERGIU' GO TO 200 END IF C C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL DE EQS. CALL TDMA(U,AP,AN,AS,S,2,NM1,N) C **** SIMPLE: CORRIGIR GRADIENTE DE PRESSAO, P=-DP/DX IF(IDP.EQ.2) THEN C CALCULAR NOVO CAUDAL E PREPARAR CORRECCAO PRESSAO Q=0.0 D=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI D=D+2.*PI*(R(I)*DR)**2/AP(I) END DO C CALCULAR CORRECCAO DE PRESSAO PP=(QIN-Q)/D C CORRIGIR PRESSAO P=P+OMGP*PP C CORRIGIR VELOCIDADES DO I=2,NM1 U(I)=U(I)+R(I)*DR*PP/AP(I) END DO END IF C C CALCULAR VISCOSIDADE (NAS FACES) DO I=1,NM1 DRR=DR IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.NM1) DRR=0.5*DR DUDR=ABS(U(I+1)-U(I))/DRR+SMALL VIS(I)=VISC*DUDR**(PLN-1.0) END DO VIS(N)=VIS(NM1) C GO TO 100 C FIM CICLO ITERATIVO C================================================================ 200 CONTINUE C C CAUDAL E VELOCIDADE MEDIA IF(IDP.EQ.1) THEN Q=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI END DO END IF UM=Q/ARTOT C ESCREVER PARA FICHEIRO DE DADOS ERTOT=0.0 PL=1.+1./PLN U0T=(P/2./VISC)**(1./PLN)*1./PL*RTOT**PL
‐73‐
UMT=(P/2./VISC)**(1./PLN)*(PLN/(3.*PLN+1.))*RTOT**PL GAMEF=UM/RTOT VISEF=VISC*GAMEF**(PLN-1.) UN=P*RTOT**2/8./VISEF C SOLU€AO TEORICA COM LEI DE POTENCIA... DO I=1,N UT=U0T*(1.0-(R(I)/RTOT)**PL) ERR=ABS(U(I)-UT) ERTOT=ERTOT+ERR WRITE(10,102) R(I),U(I),UT,ERR,U(I)/UM,U(I)/UN END DO PRINT *,' ERRO TOTAL MEDIO =', ERTOT/FLOAT(NM1) PRINT *,' P =', P PRINT *,' U MEDIO =', UM PRINT *,' U MAX =', U(1) PRINT *,' TEORICOS U MAX =', U0T,' U MED=',UMT 101 FORMAT(I6,10(1PE15.5)) 102 FORMAT(10(1PE15.5)) STOP END C******************************************************************* C C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL: C PHI(i) = AS(i).PHI(i-1) + AN(i).PHI(i+1) + SU(i) C SUBROUTINE TDMA(PHI,AP,AN,AS,SU,I1,IE,NC) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION A(0:NMAX),C(0:NMAX) DIMENSION PHI(NC), AN(NC),AS(NC),SU(NC),AP(NC) IA=I1-1 A(IA)=0.0 C(IA)=0.0 DO 1 I=I1,IE DEN=1./(AP(I)-AS(I)*A(I-1)) A(I)=AN(I)*DEN C(I)=(AS(I)*C(I-1)+SU(I))*DEN 1 CONTINUE DO 2 II=I1,IE I=IE-II+I1 PHI(I)=PHI(I+1)*A(I)+C(I) 2 CONTINUE RETURN END
‐75‐
7. Escoamento Pulsante em Tubo
7.1 Introdução
Para o caso concreto de fluxo unidireccional e completamente desenvolvido num tubo de secção circular (Figura 1), a equação do movimento para fluido newtoniano reduz‐se a:
1u p ur
t z r r r
(1)
onde a viscosidade é constante e o gradiente de pressões varia sinusoidalmente:
i tpPe
z
(2)
com frequência angular 2 f e amplitude P constante. Poder‐se‐ia acrescentar um
gradiente de pressões constante ao gradiente variável representado pela Eq. (2). Como a equação de governo (Eq. 1) é linear em u , isso implicaria simplesmente somar à solução aqui apresentada a solução válida para escoamento de Poiseuille. Note‐se também que a parte real
do gradiente de pressão é cos( )P t (relembra‐se que cos( ) sin( )i te t i t ).
zu(r,t)
2R
O
parede
eixo tubo
r
Fig. 1‐ Escoamento pulsante num tubo circular.
7.2 Escoamento laminar estacionário (Poiseuille)
Já se viu em relatório anterior que a solução neste caso é:
2
max 1 /u u r R (3)
com a velocidade máxima no centro dada por 2max / 4u PR a ser igual a duas vezes a
velocidade média, o que dá um caudal e uma velocidade média:
4
0 8
PRQ
e 2
0 8
PRU
(4)
Note‐se que, contrariamente a relatórios anteriores, 0U designa aqui a velocidade média (e
não a máxima) para o caso 0 , sem oscilação.
‐76‐
7.3 Escoamento periódico
Assume‐se que a velocidade irá também variar sinusoidalmente, da mesma forma que o gradiente de pressões, mas eventualmente com algum desfasamento:
( , ) ( ) i tru r t U r e (5)
A equação que a componente espacial da solução rU deve satisfazer é
2
2
1r rr
d U dU i PU
dr r dr
cuja correspondente equação homogénea (sem termo fonte) tem solução geral:
0 0( ) ( )rU AJ iKr BY iKr
onde 2 /K i , e 0J e 0Y são funções de Bessel de argumentos complexos. Como 0Y
tende para infinito quando r tende para zero (eixo do tubo) tem de se ter 0B .
Introduzindo a parte não homogénea da solução ( /P i ) e usando a condição fronteira de
não escorregamento na parede, a solução para escoamento pulsante em tubo vem:
3/20
3/20
( / )( , ) 1 i t
J i r RiPu r t e
J i
(6)
ou, em termos adimensionais,
3/ 20
2 3/ 20 0
( / )81 i t
J i r Ru ie
U J i
(7)
onde o número de Womersley é definido como:
R R
(8)
O quadrado deste parâmetro pode ser interpretado como uma frequência adimensional ou,
em alternativa, como um número de Reynolds pulsante, 2 2 /R . Nas Eqs. (6) e (7) 3/ 2i i .
O caudal é obtido por integração do perfil de velocidades e o resultado é:
23/ 2
0
2 ( )R i ti Pe R
Q u rdr g i
com a função ( )g z definida como: 1 0( ) 1 2 ( ) / ( )g z J z zJ z .
Separando em parte real e imaginária, vem:
‐77‐
2
Im Re Re Im( ) cos( ) ( )sin( ) ( )cos( ) ( )sin( )PR
Q g t g t i g t g t
(9)
com Re Img g ig . A parte real desta expressão fornece o caudal quando o gradiente de
pressões é cos( )P t .
A magnitude do caudal é
2 2
Re Im
20
8 ( ) ( )g gQ
Q
(10)
e o ângulo de desfasamento é:
Re
Im
tang
g . (11)
A Figura 2 mostra perfis de velocidade obtidos em 4 tempos igualmente espaçados durante
um ciclo, 0ºt , 90ºt , 180ºt e 270ºt , para valores crescentes do número de Womersley. As velocidades estão normalizadas com o valor médio em escoamento
estacionário para a mesma magnitude do gradiente de pressões, isto é 0U . Os pontos
essenciais a reter desta figura são:
i‐ Para valores baixos de ( 1 ) os perfis de velocidade estão quase em fase com o gradiente de pressões, têm uma variação próxima da forma parabólica, e a velocidade máxima durante o ciclo atinge um valor quase de 2, como acontece no caso estacionário;
ii‐ Para valores altos de ( 5 ) os perfis de velocidade estão desfasados quase de 900 relativamente ao gradiente de pressões, a variação da velocidade na zona central do tubo é
quase uniforme (perfil “tampão”) com amplitudes em 0r a diminuir com o aumento de , e, por fim, realça‐se o aparecimento de um máximo de velocidade junto às paredes.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R
-2
-1
0
1
2
u(r)/U
0
Womersley=1
0º
90º
270º
180º
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R
-2
-1
0
1
2
u(r)/U
0
Womersley=20 º
90º
180º
270º
Womersley=2
0º
90º
270º
180º
‐78‐
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
u(r)/U
0
Womersley=5
90º
0º
180º
270º
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/R
-0.12
-0.08
-0.04
0
0.04
0.08
0.12
u(r)/U
0
Womersley=10
90º
0º
180º
270º
Fig. 2 – Perfis de velocidade para 1, 2, 5 e 10.
A razão entre o valor absoluto do caudal oscilatório e o caudal sem oscilação, dado pela Eq. (10), e o ângulo de fase entre o caudal e o gradiente de pressão, dado pela Eq. (11), variam com o parâmetro de Womersley como mostrado na Figura 3. Estes gráficos corroboram o dito acima, sobre a existência de duas zonas com comportamento distinto: para baixos , a razão dos caudais é quase 1 e o ângulo de desfasamento é zero; para altos , a amplitude do caudal oscilante diminui substancialmente e existe um desfasamento de quase 900 entre a velocidade média e o gradiente de pressão.
(a) 0 4 8 12 16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Q/Q
0
(b)0 4 8 12 16
0
20
40
60
80
100
(graus)
Fig. 3 – Variação da magnitude do caudal (a) e do ângulo de fase (b) com o parâmetro de Womersley.
Finalmente, a Figura 4 mostra a variação da velocidade no eixo do tubo, ao longo de um período de oscilação do gradiente de pressão. Este varia como o co‐seno do ângulo t , sendo portanto máximo a 00, nulo a 900 e 2700, e mínimo a 1800. A velocidade no eixo acompanha
este andamento para 1 , mas, à medida que a frequência de oscilação aumenta, a velocidade tende a atrasar‐se relativamente à variação da pressão, e o seu valor máximo no eixo tende a diminuir.
‐79‐
0 90 180 270 360t (graus)
-2
-1
0
1
2
u(0)/U
0
Fig. 4 – Evolução da velocidade no eixo durante um período.
‐80‐
Anexo 1 ‐ Programa para gerar a solução analítica C----------------------------------------------------------------------- C TIMEPIPE: Program to obtain the analytical solution for C fully-developed pipe flow subject to a C sinusoidal pressure gradient: Newtonian fluids C ** writes profiles of r, u, at a given omg*t ** C C Written by: Prof. P.J. OLIVEIRA C Department Electromechanical Eng. C Universidade Beira Interior C 6201-001 Covilha, Portugal C email: [email protected] C C Copyright (C) 2009. Unauthorized use, distribution, C or duplication is prohibited. All rights reserved. C C----------------------------------------------------------------------- PROGRAM TIMEPIPE C C ANALYTICAL SOLUTION FOR PIPE FLOW SUBJECT TO A C SINUSOIDAL PRESSURE GRADIENT ** USING COMPLEX FORMULATION ** C VALID FOR NEWTONIAN C IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DIMENSION Y(1000) COMPLEX*16 Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8 C OPEN(10,FILE='timepipe.dat') OPEN(12,FILE='setx.dat') DO 1 I=1,10000 READ(12,*,END=32) A,B,C,Y(I) 1 CONTINUE 32 CONTINUE NN=I-1 PRINT *,' TOTAL POINTS READ FROM SETX.DAT: NN=',NN PI=4.0*DATAN(1.0D0) C GIVEN DATA (MKS UNITS); H: half width or radius PRINT *,' ALFA ?? ' READ(*,*) ALFA ALFA2=ALFA**2 DEN=1. VIS=1.0 UMED=1.0 FREQ=1. H=Y(NN) PRINT *, ' h=',H R=H FREQ=VIS*ALFA2/DEN/2./PI/R**2 OMG=2.0*PI*FREQ C VIS=DEN*OMG*R**2/ALFA**2 ANU=VIS/DEN AKOSC=8.*VIS*UMED/R**2 H0=2.*H U0=2.0*UMED C NON-DIMENESIONAL NUMBERS RE=UMED*H0/ANU UMOSC=AKOSC/OMG/DEN PRINT *,' UMOSC=', UMOSC PRINT *,' AKOSC=', AKOSC Z1=DCMPLX(0.0d0,-ALFA2) Z1=SQRT(Z1) CALL BESSEL(Z1,Z7,Z8,Z6,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8) z8=(1.,0.)-2.*Z6/Z7/Z1 XIRE=REAL(Z8) XIIM=DIMAG(Z8) QR=8.*SQRT(XIRE**2+XIIM**2)/ALFA2 PHI=DATAN(XIRE/XIIM)*180.0/PI PRINT *,' Q/Q0=',QR PRINT *,' PHI=',PHI Z5=DCMPLX(0.0d0,-UMOSC) C TIME npt=100 omgt1=0.0
‐81‐
omgt2=2.0*pi domgt=(omgt2-omgt1)/npt omgt=omgt1-domgt 500 CONTINUE omgt=omgt+domgt PRINT *,' GIVE: omega*time (graus) ?' READ(*,*) omgt omgt=omgt*(pi/180.0) T=OMGT/OMG C DO 10 I=2,NN-1 YY=Y(I) YN=YY/H U=U0*(1.-YN**2) Z2=Z1*YN CALL BESSEL(Z2,Z3,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8,Z8) Z3=(1.,0.)-Z3/Z7 Z4=Z5*Z3*EXP(DCMPLX(0.D0,OMGT)) UOSC=REAL(Z4) TXY=0.0 TXX=0.0 c WRITE(10,100)omgt*180./pi,(U+UOSC)/UMED,UOSC/UMED,TXY,TXX WRITE(10,100)YN,U/UMED,(U+UOSC)/UMED,UOSC/UMED,TXY,TXX 10 CONTINUE 100 FORMAT(1P20E15.4) STOP END
‐83‐
8. Utilização de Grandezas Adimensionais ‐ Normalização das Equações
8.1 Introdução
A equação do movimento sob forma dimensional, para escoamento unidireccional e completamente desenvolvido em tubo de secção circular (Figura 1), e para fluido newtoniano generalizado (GNF) é:
1u p ur
t z r r r
(1)
zu(r,t)
2R
O
parede
eixo tubo
r
Fig. 1‐ Esquema do escoamento e da geometria.
onde a velocidade só depende da coordenada radial e do tempo, ( , )u r t , e a viscosidade
pode em geral ser função da taxa de deformação, ( ) com /u r . O gradiente de
pressão é dado pela soma de uma componente estacionária e uma componente oscilatória:
cos( )e oe o
p p pP P t
z z z
(2)
com frequência angular 2 f , onde a frequência propriamente dita (em s‐1=Hz) é igual ao
inverso do período 1/f T . As amplitudes estacionária e oscilatória do gradiente de pressão,
eP e oP , são constantes.
As grandezas físicas da Eq. (1) são todas dimensionais, com unidades no sistema SI dadas por: massa volúmica [kg/m3]; velocidade u [m/s]; tempo t [s]; pressão p [N/m2] = [Pa];
viscosidade [kg/m.s] = [Pa.s]; distância radial r , ou axial z , [m].
O objectivo desta nota é mostrar como se passa da forma dimensional das equações para a forma adimensional (sem dimensões).
8.2 Normalização
Começa‐se por definir escalas características de comprimento, cL , velocidade, cU , e tempo,
ct . A definição depende do problema concreto a resolver; para escoamento em tubo circular,
o comprimento característico será o raio do tubo, cL R , a velocidade característica será a
‐84‐
velocidade média obtida do caudal, 2/cU U Q R e, no caso do regime oscilatório, o
tempo característico é dado pelo período da oscilação, ct T .
Multiplicando a Eq. (1) por
21 c
c c
Lu p ur
t z r r r U
obtém‐se a equação de movimento sob forma adimensional:
2 1c
c c
L u p ur
t t z r r r
(3)
O grupo adimensional que surge antes do 1º termo depende da definição do tempo característico, podendo tomar diversas formas como se verá de seguida.
As variáveis sem dimensões são indicadas por pelica, sendo definidas como:
Distâncias: c
rr
L e
c
zz
L (4)
Velocidade: c
uu
U (5)
Viscosidade: c
(6)
Da dedução verifica‐se também que:
Pressão: /c c c
pp
U L (7)
Gradiente de pressão:
2c
c c
L PP
U (8)
Quanto à definição da escala temporal, podem ocorrer dois casos, que conduzem a resultados diferentes para o grupo adimensional da Eq. (3) referido acima:
1‐ Não existe uma escala de tempo que seja imposta externamente:
(a) Escala convectiva, c Ct t , com /C c ct L U (9)
Repare‐se que a escala de tempo convectiva resulta das escalas de velocidade e espaço, fazendo simplesmente: espaço = velocidade X tempo. O grupo fica:
2 2
/c c
c c c c c
L L
t L U
c c
c
U LRe
(10)
‐85‐
1u p uRe r
t z r r r
(11)
O número de Reynolds representa fisicamente a razão entre forças de inércia e forças viscosas. Pode também ser interpretado como a razão entre os tempos difusivo e convectivo.
(b) Escala difusiva, c Dt t , com 2 /D c ct L (12)
O grupo adimensional fica agora:
2 2
2 1/
c c
c c c c c
L L
t L
1u p ur
t z r r r
(14)
Nota: nestas duas equações, o gradiente de pressão adimensional pode ser escrito:
p
Pz
Com a escala difusiva a equação do movimento não depende de qualquer grupo adimensional, sendo por isso preferível à escala convectiva. De facto, é sabido que no escoamento completamente desenvolvido dentro de condutas o perfil de velocidades não depende no número de Reynolds.
2‐ Existe escala de tempo imposta (por exemplo, o período, tal como referido acima):
Neste caso, ct T 2 2 2 2
2c c c
c c c c
L L f L
t T
onde o número de Womersley é definido como: cc
L
(15)
2 1
cos(2 )2 e o
u uP P t r
t r r r
(16)
O grupo que aparece junto ao termo de variação no tempo não é mais do que a razão entre a escala de tempo difusiva e o período da oscilação de pressão imposta:
2 22 /
2 2c c c D
c
L L t
T T
. (17)
‐86‐
8.3 Relação Entre Escalas de Velocidade e de Pressão
O problema do escoamento num tubo pode ser abordado de duas formas: (i) o caudal é imposto; (b) o gradiente de pressões é imposto.
No caso (i) existe desde logo uma escala de velocidade, definida por exemplo como a
velocidade média, cU U com 2/dadoU Q R . Quando se tem tudo normalizado a
velocidade média é unitária.
No caso (ii) a escala de velocidade pode ser definida indirectamente a partir do valor imposto do gradiente de pressão como:
2
8dado c
cc
P LU
(18)
No caso particular de fluido newtoniano, esta escolha faz com que um valor de 8dadoP
implique uma escala de velocidade unitária, pois 2 / 8c NU U PR . Repare‐se que no caso
não newtoniano o carácter reofluidicante dos fluidos implica que um valor adimensional do gradiente de pressão de 8 irá produzir uma velocidade média bastante superior à unidade,
pelo que as velocidades normalizadas com esta escala NU tenderão também a ser
significativamente superiores à unidade (ver abaixo, Fig. 1 a).
8.4 Normalização da viscosidade
Em geral, para um modelo de viscosidade GNF, ( ) , a viscosidade característica deve ser
calculada para uma taxa de deformação característica, isto é:
( )c c com cc
c
U
L (19)
Obviamente quando se trata do modelo newtoniano a viscosidade é constante e, nas equações
anteriores, c transforma‐se na própria viscosidade ; por exemplo o número de Womersley
para escoamento em tubo fica:
2 f
R
(20)
Para os modelos GNF em uso corrente é preciso alguma atenção para transformar as fórmulas dimensionais em expressões adimensionais. Consideremos o caso do modelo de Carreau‐Yasuda como exemplo, uma vez que contém uma série de outros modelos como casos particulares. Neste modelo a viscosidade dimensional é obtida da expressão empírica:
1
0 1n
a a
(21)
Esta expressão pode escrever‐se da seguinte maneira sem dimensões
‐87‐
(1 ) /
0
1
1n aa
(22)
e a o modelo adimensional de Carreau‐Yasuda deve ter a mesma forma funcional do membro
da direita desta equação. Como o expoente deve ser 1n , a viscosidade diminui quando aumenta, ilustrando o efeito de reofluidificação.
Para adimensionalizar a equação de Carreau‐Yasuda começa‐se por dividi‐la pela viscosidade característica
1
0 1
na a
cc c c c c
resultando na equação adimensional:
1
0 1n
a a
(23)
em que o parâmetro de tempo é definido como: /c cU L . Os parâmetros a e n do
modelo são à partida adimensionais. Como para
1 , se tem 1 (24)
os parâmetros adimensionais devem satisfazer
1
01 1n
a a
o que implica:
1
10 1
1
a an
(25)
Para que as funções de da equação original e do modelo adimensional se sobreponham é
necessário:
0 0
, e para c vem
0 0
1c
Para a forma adimensional pode escolher‐se sem perda de generalidade
0 (26)
e portanto
00
c
(27)
‐88‐
com a Eq. (24) escrita de forma simplificada:
1
10 1
a an
(28)
Estas três relações permitem obter os valores adimensionais a serem utilizados na aplicação do modelo de Careeau‐Yasuda, quando conhecidos os valores dimensionais.
8.5 Exemplo
Para sangue humano ( 1150 kg/m3), um grupo de parâmetros usuais para o modelo de
Carreau‐Yasuda é:
0 0.056 Pa.s, 0.00345 Pa.s, 3.313 s, 2a , 0.3568n .
Em escoamento a 100Re num tubo com diâmetro 10D mm ( 0.005cL R m), um
procedimento iterativo (visgnf.for) para resolver a equação
2 / ( )cRe U R , ( )c f Re (com /c U R ) (29)
permite obter para a taxa de corte e viscosidade características:
13.8c
U
R 1/s, ( ) 0.00794c c Pa.s, 0.0691U m/s.
Com estes valores, as Eqs. (26)‐(28) dão:
0 , 0 11.704 , 45.8 .
Quando se muda o número de Reynolds, os parâmteros do modelo adimensional têm de ser novamente ajustados. Existe assim um efeito “escondido” do número de Reynolds através da normalização das propriedades, apesar de na equação que rege o escoamento (Eq. 14) não
aparecer Re .
O perfil de velocidades obtido para um gradiente de pressão dado ( 8P ) é mostrado na Figura 2. A linha a vermelho corresponde ao perfil teórico obtido com modelo de lei‐de‐
potência, 0.3568n , 1K . Verifica‐se que os resultados são quase iguais, o que se pode
esperar tendo em conta que o modelo Carreau‐Yasuda da Eq. (23) com 0 e 1 se
reduz a:
1 10
n n
Esta relação corresponde de facto uma lei de potência com 1 0.3568 1
0 11.704 45.8 1.000nK , daí a quase igualdade entre resultados. Na parte
(a) da figura usou‐se com escala de velocidade a decorrente do gradiente de pressão imposto,
o NU da eq. (18) . Na parte (b) usou‐se a velociade média, obtida por integração numérica do
perfil de velocidades resultante do programa de simulação.
‐89‐
(a)
0 4 8 12 16u(r)/UN
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
numérico
teórico
(b)
0 0.4 0.8 1.2 1.6u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
numérico
teórico
Figura 2 – Perfil de velocidades. Normalização com: (a) 2 / 8N cU PR ; (b) velocidade média.
Nota: o programa usado nestas simulações é o mesmo do Cap. 9.
‐90‐
Anexo 1 – Programa para resolver iterativamente a Eq. (29).
C C MODELO CARREAU-YASUDA C CALCULAR VALOR DA VELOCIDADE MEDIA PARA REYNOLDS DADO C - VIS0, VISINF, LAMBDA E N CONSTANTES C PROGRAM VISGNF AN=0.3568 DEN=1150. VIS0=0.056 VISI=0.00345 AL=3.313 RE=100. C H: largura canal ou diametro tubo H=0.01 PRINT *,' LARGURA CANAL OU DIAM TUBO=',H ITMAX=100 ITER=0 TOL=1.E-4 U1=0.0745 PRINT *,' RE ?' READ(*,*) RE PRINT *,' n' READ(*,*) AN C 10 CONTINUE ITER=ITER+1 U1N=U1 GAM1=U1/(0.5*H) VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**2)**((AN-1)/2.) U1=VIS*RE/DEN/H WRITE(*,*) ITER,U1 IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP END IF IF(ABS(U1-U1N)/U1N.GT.TOL) GO TO 10 VIS=VISI+(VIS0-VISI)*(1.+(AL*GAM1)**2)**((AN-1)/2.) RE=DEN*U1*H/VIS PRINT *,' VIS EFF=',VIS,' (PA.S) RE=',RE PRINT *,' U1=',U1,' M/S' PRINT *,' GAM1=',GAM1 print *,' GAMA WALL canal=',3.*GAM1,' tubo=',4.*GAM1 STOP END
‐91‐
9. Fluxo do Sangue em Tubo Circular
9.1 Problema
Trata‐se aqui de resolver a equação do movimento para fluido newtoniano generalizado (GNF) em escoamento unidireccional e completamente desenvolvido num tubo de secção circular (Figura 1).
zu(r,t)
2R
O
parede
eixo tubo
r
Fig. 1‐ Geometria do escoamento.
Sob forma dimensional, essa equação escreve‐se:
10
dp d dur
dz r dr dr
(1)
sabendo‐se que a velocidade só depende da coordenada radial, ( )u r , e a viscosidade pode
em geral ser função da taxa de deformação, ( ) com /du dr .
Neste trabalho emprega‐se o modelo de Carreau‐Yasuda para a viscosidade de corte:
1
0 1n
a a
(2)
com parâmetros adequados à reologia do sangue:
0 0.056 Pa.s, 0.00345 Pa.s, 3.313 s, 2a , 0.3568n . (3)
A correspondente variação da viscosidade com a taxa de corte é mostrada na Figura 2 (ver Cap. 5 sobre Viscosidade do Sangue).
‐92‐
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
(1/s)
0.001
0.01
0.1
(Ns/
m2)
.
.
Fig. 2 – Viscosidade em função da taxa de deformação para o modelo Carreau‐Yasuda.
Para o problema em causa a escala de comprimento é naturalmente o raio do tubo, cL R , e
a escala de velocidade pode ser definida com o gradiente de pressão,
2
8cc
PRU
(4)
Em alternativa pode usar‐se para escala característica de velocidade a velocidade média do escoamento no tubo:
cU U com 2
20 0
1( )
R
U u r rd drR
(5)
Esta tem o inconveniente de não ser conhecida à partida. O número de Reynolds é definido como:
2
c
U RRe
com ( )c c e cc
U
R (6)
onde a massa volúmica do sangue é 1150 kg/m3. Repare‐se que a viscosidade
característica é calculada com a função de Carreau‐Yasuda para um valor característico da taxa de corte, definido pela razão entre a velocidade característica e o comprimento característico (o raio).
9.2 Resultados
Fez‐se primeiro variar o gradiente de pressão imposto, tendo‐se obtido os resultados da Figura 3. A velocidade média é obtida a partir da solução numérica do perfil de velocidades, por integração numérica:
21
12
N
i ii
U u r rR
(7)
‐93‐
Trata‐se assim de um “output” do programa, enquanto o “input” é o gradiente de pressão
/P dp dz . Usou‐se sempre uma malha com 42N nós ( / 0.025r R ) e 5R mm.
0 40 80 120 160 200P=‐dp/dz (Pa/m)
0
0.04
0.08
0.12
0.16
U (m/s)
numérico
Fig. 3 – Velocidade média obtida em função do gradiente de pressão imposto.
Para facilitar a interpretação dos resultados é conveniente apresentar graficamente o gradiente de pressão em ordenada e o caudal em abcissa, como na Figura 4. No caso de fluido
newtoniano a variação deveria ser linear, pois 2 / 8U PR 2(8 / )P R U , ou 4(8 / )P R Q , com a viscosidade constante. Com o modelo de Carreau‐Yasuda existe
reofluidificação e a viscosidade vai diminuindo à medida que a taxa de deformação aumenta,
pelo que o aumento de P com o aumento de caudal vai‐se reduzindo, como se vê na Figura 4.
0
40
80
120
160
200
P=‐dp/dz (Pa/m
)
numérico
0 2 4 6 8 10Q (ml/s)
Fig. 4 – Gradiente de pressão em função do caudal (modelo CY, n=0.3568).
O interesse agora é estudar a melhor forma de se fazer a normalização das velocidades para que os resultados variem o mínimo possível com o número de Reynolds. No fundo, interessa obter uma sobreposição o mais perfeita possível dos perfis de velocidade adimensional, para vários valores do gradiente de pressão imposto.
‐94‐
A Figura 5 mostra sob forma dimensional os perfis de velocidade para quatro valores típicos do gradiente de pressão. Como se vê, as velocidades aumentam quando este gradiente aumenta, mas a taxa de aumento não é linear. Isso fica claro no gráfico ao lado, mostrando a variação da
velocidade no eixo, 0 ( 0)u u r , que é também a velocidade máxima.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25u(r) (m/s)
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
r (m
)
Carreau‐Yasudan=0.3568
P=50
P=100
P=150
P=200
0 40 80 120 160 200
P=‐dp/dz (Pa/m)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
u0 (m
/s)
Fig. 5 – Perfis de velocidade para 4 valores do gradiente de pressão (em Pa/m): modelo CY com n=0.3568.
Fazendo a normalização das distâncias com R e das velocidades com cU da Eq. (4) obtêm‐se
os perfis de velocidade da Figura 6. O colapso não é perfeito, embora tenda a melhorar
quando P aumenta.
0 1 2 3u(r)/Uc
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
Carreau‐Yasudan=0.3568
P=50
P=100
P=150
P=200
Fig. 6 – Perfis de velocidade normalizados com velocidade característica Eq. (4).
Por fim, experimentou‐se a normalização com a velocidade média, e os resultados da Figura 7 mostram um grau de ajuste muito mais efectivo. Ainda existe algum efeito da variação do
‐95‐
número de Reynolds, visível na não concordância das velocidades máximas na Figura 7, mas a gama de variação é agora bastante reduzida se comparada com a da Figura 6.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2u(r)/U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/R
Carreau‐Yasudan=0.3568
P=50
P=100
P=150
P=200
Fig. 7 – Normalização com a velocidade média.
A variação da razão entre a velocidade média e a velocidade característica calculada com base na Eq. (4), em função do número de Reynolds, é mostrada na Figura 8. Como se vê existe uma tendência para a razão entre as duas velocidades ficar constante à medida que Re aumenta
mas a velocidade cU diminui mais rapidamente que U quando o número de Reynolds é
reduzido.
0 50 100 150 200 250Re
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
U/U
c
numérico
Fig. 8 – Variação da razão entre velocidades características com o número de Reynolds.
Tem interesse observar a variação da viscosidade característica (Eq. 6) ou da viscosidade
calculada junto à parede, ( )w w onde 2 /w wu r , com o número de Reynolds ou com
o gradiente de pressão imposto. Isto é mostrado na Figura 9. A taxa de corte junto à parede é superior à taxa de corte característica conforme a Eq. (6) e por isso a viscosidade de parede é inferior aquela viscosidade característica. Por outro lado a viscosidade de parede mantém‐se
‐96‐
quase constante até Re mais baixos, sendo assim melhor candidata para ser utilizada na normalização.
(a)
0 50 100 150 200 250Re
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
(Pa.
s) parede
efectiva
(b)
0 40 80 120 160 200P=‐dp/dz (Pa/m)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
(P
a.s) parede
efectiva
Fig. 9 – Variação das viscosidades características com: (a) o número de Reynolds; (b) o gradiente de pressão imposto.
A tensão de corte na parede é um importante parâmetro hemodinâmico sendo mostrada na
Figura 10 em função do gradiente de pressão e do número de Reynolds. A variação com P é
linear como se esperaria teoricamente, / 2w PR . A linha a vermelho representa um ajuste
linear através dos valores previstos numericamente, feito pelo programa de gráficos. Já a
variação com Re deixa de ser linear devido à relação não linear entre P e U (Figura 4) e
também entre c e Re (Figura 9).
(a)
0 40 80 120 160 200P=‐dp/dz (Pa/m)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
w(P
a)
(b)
0 50 100 150 200 250Re
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
w(P
a)
Fig. 10 – Tensão de corte em função de (a) gradiente de pressão e (b) número de Reynolds.
9.3 Conclusões
Os resultados mostram a dificuldade em definir de forma geral uma normalização das equações e dos resultados para que não haja efeito do número de Reynolds na solução. Isso
‐97‐
parece não ser possível e a melhor opção é normalizar as velocidades com a velocidade média no tubo e a viscosidade característica ser calculada com base numa taxa de deformação obtida por divisão dessa velocidade média pelo raio do tubo.
‐98‐
Anexo 1 – Programa usado nas simulações PROGRAM VELU C C resolver eq.NS para tubo circular, Laminar C Algoritmo SIMPLE (usa subrelaxacao U e P) C ** MALHA TIPO-B ** C IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION S(NMAX),U(NMAX),AP(NMAX),AN(NMAX),AS(NMAX),SP(NMAX), + R(NMAX),VIS(NMAX) DIMENSION RF(NMAX),UF(NMAX) OPEN(10,FILE='velu.dat') OPEN(11,FILE='veluit.dat') PRINT *,' MALHA TIPO B' PRINT *,' GIVE N (12, 22, 42, ...) ' READ(*,*) N PRINT *,' IDP, P (IDP=1-P DADO (P=8); 2- UIN DADO) ' READ(*,*) IDP,P PRINT *,' OMEGAU , OMEGAP ' READ(*,*) OMGU,OMGP PRINT *,' power law AN ' READ(*,*) PLN PRINT *,' IREAD MALHA FINA 0/1 ' READ(*,*) IREADF IF(IREADF.EQ.1) THEN OPEN(12,FILE='veluf.dat') DO I=1,NMAX READ(12,*,END=66) RF(I),UF(I) END DO 66 NF=I-1 PRINT *,' NF=',NF CLOSE(12) END IF C DADOS (P= -dp/dx ) C OMGP=0.5 C OMGU=0.5 PI=4.0*DATAN(1.D0) SMALL=1.E-20 C RTOT=0.005 VISC=0.00794 UIN=0.0691 DENSIT=1150. c RTOT=1. c VISC=1. c UIN=1.0 c modelo Carreau ACY=2.0 VISINF=0.00345 VIS0=0.056 ALAM=3.313 c VISINF=0.0 c VIS0=11.704 c ALAM=45.8 C ARTOT=PI*RTOT**2 QIN=UIN*ARTOT PP=0.0 ITMAX=5000 TOL=1.E-6 RESNORM=1.0 C NOTA: MALHA TIPO B DR=RTOT/FLOAT(N-2) NM1=N-1 NM2=N-2 IMON=N/2 C INICIALIZAR DO I=1,N R(I)=(I-1)*DR-DR/2. U(I)=UIN VIS(I)=VISC END DO R(1)=0.0 R(N)=RTOT
‐99‐
C VELOCIDADES NAS FRONTEIRAS U(N)=0.0 C C ======== CICLO ITERATIVO ==================================== C ITER=0 print *,' iter res u(',imon,')' 100 CONTINUE ITER=ITER+1 C VERIFICAR SE ATINGIU NUMERO ITERACOES MAXIMO: PARAR IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' NAO CONVERGIU; ITER MAX',ITER GO TO 200 END IF C PREPARAR COEFICIENTES DO I=2,NM1 VISN=VIS(I) VISS=VIS(I-1) RFN=0.5*(R(I)+R(I+1)) RFS=0.5*(R(I)+R(I-1)) IF(I.EQ.NM1) RFN=R(N) IF(I.EQ.2 ) RFS=R(1) AN(I)=VISN/DR*RFN AS(I)=VISS/DR*RFS S(I)=P*DR*R(I) SP(I)=0.0 END DO C C CONDICOES FRONTEIRA C plano simetria AS(2)=0.0 U(1)=U(2) C parede S(NM1)=S(NM1)+2.0*AN(NM1)*U(N) SP(NM1)=SP(NM1)+2.0*AN(NM1) AN(NM1)=0.0 C C PREPARAR COEFICIENTE CENTRAL E CALCULAR RESIDUO RES=0.0 DO I=2,NM1 AP(I)=AN(I)+AS(I)+SP(I) AP(I)=AP(I)/OMGU S(I)=S(I)+(1.0-OMGU)*AP(I)*U(I) RES=RES+ABS(AP(I)*U(I)-AN(I)*U(I+1)-AS(I)*U(I-1)-S(I)) END DO RESTOT=RES/RESNORM/float(nm2) WRITE(*,*) ITER,RESTOT,U(IMON),PP WRITE(11,101) ITER,RESTOT,U(IMON),PP,P,abs(pp) C VERIFICAR CONVERGENCIA IF(RESTOT.LT.TOL) THEN PRINT *, ' CONVERGIU' GO TO 200 END IF C C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL DE EQS. CALL TDMA(U,AP,AN,AS,S,2,NM1,N) C **** SIMPLE: CORRIGIR GRADIENTE DE PRESSAO, P=-DP/DX IF(IDP.EQ.2) THEN C CALCULAR NOVO CAUDAL E PREPARAR CORRECCAO PRESSAO Q=0.0 D=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI D=D+2.*PI*(R(I)*DR)**2/AP(I) END DO C CALCULAR CORRECCAO DE PRESSAO PP=(QIN-Q)/D C CORRIGIR PRESSAO P=P+OMGP*PP C CORRIGIR VELOCIDADES DO I=2,NM1 U(I)=U(I)+R(I)*DR*PP/AP(I) END DO END IF C
‐100‐
C CALCULAR VISCOSIDADE (NAS FACES) DO I=1,NM1 DRR=DR IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.NM1) DRR=0.5*DR DUDR=ABS(U(I+1)-U(I))/DRR+SMALL C VIS(I)=VISC*DUDR**(PLN-1.0) VIS(I)=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(ALAM*DUDR)**ACY)**((PLN-1.0)/ACY) END DO VIS(N)=VIS(NM1) C GO TO 100 C FIM CICLO ITERATIVO C================================================================ 200 CONTINUE C C CAUDAL E VELOCIDADE MEDIA IF(IDP.EQ.1) THEN Q=0.0 DO I=2,NM1 Q=Q+U(I)*DR*R(I)*2.0*PI END DO END IF UM=Q/ARTOT C ESCREVER PARA FICHEIRO DE DADOS ERTOT=0.0 PL=1.+1./PLN U0T=(P/2./VISC)**(1./PLN)*1./PL*RTOT**PL UMT=(P/2./VISC)**(1./PLN)*(PLN/(3.*PLN+1.))*RTOT**PL GAMEF=UM/RTOT VISEF=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(ALAM*GAMEF)**ACY)**((PLN-1.0)/ACY) c VISEF=VISC*GAMEF**(PLN-1.) UN=P*RTOT**2/8./VISEF C SOLU€AO TEORICA COM LEI DE POTENCIA... DO I=1,N IF(IREADF.EQ.1) THEN DO J=1,NF IF(RF(J).GT.R(I)) GO TO 70 END DO 70 CONTINUE WF=(R(I)-RF(J-1))/(RF(J)-RF(J-1)) UT=WF*UF(J)+(1.-WF)*UF(J-1) IF(I.EQ.1) UT=UF(1) IF(I.EQ.N) UT=UF(NF) ELSE UT=U0T*(1.0-(R(I)/RTOT)**PL) END IF CC UT=U0T*(1.0-(R(I)/RTOT)**PL) ERR=ABS(U(I)-UT) ERTOT=ERTOT+ERR WRITE(10,102) R(I),U(I),UT,ERR,U(I)/UM,U(I)/UN,R(I)/RTOT END DO PRINT *,' ERRO TOTAL MEDIO =', ERTOT/FLOAT(NM1) PRINT *,' P =', P PRINT *,' U MEDIO =', UM PRINT *,' U MAX =', U(1) PRINT *,' TEORICOS U MAX =', U0T,' U MED=',UMT C VISEF=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(ALAM*GAMEF)**ACY)**((PLN-1.0)/ACY) UNEF=P*RTOT**2/8./VISEF RE=DENSIT*UM*RTOT*2./VISEF VISW=VIS(N) TAUW=VIS(N)*U(NM1)/(0.5*DR) PRINT *,' CY: RE=',RE,' GAMEF=',GAMEF,' VISEF=',VISEF PRINT *,' CY: UNEF',UNEF PRINT *,' CY: VISW',VISW,' TAUW=',TAUW OPEN(14,FILE='qdata.dat',STATUS='APPEND') WRITE(14,102) P,UM,Q,RE,UM/UNEF,VISW,TAUW,U(1),VISEF CLOSE(14) 101 FORMAT(I6,10(1PE15.5)) 102 FORMAT(10(1PE15.5)) STOP END C******************************************************************* C
‐101‐
C RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL: C PHI(i) = AS(i).PHI(i-1) + AN(i).PHI(i+1) + SU(i) C SUBROUTINE TDMA(PHI,AP,AN,AS,SU,I1,IE,NC) IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION A(0:NMAX),C(0:NMAX) DIMENSION PHI(NC), AN(NC),AS(NC),SU(NC),AP(NC) IA=I1-1 A(IA)=0.0 C(IA)=0.0 DO 1 I=I1,IE DEN=1./(AP(I)-AS(I)*A(I-1)) A(I)=AN(I)*DEN C(I)=(AS(I)*C(I-1)+SU(I))*DEN 1 CONTINUE DO 2 II=I1,IE I=IE-II+I1 PHI(I)=PHI(I+1)*A(I)+C(I) 2 CONTINUE RETURN END