Notas de Aula - Versão 2 - Euclidiana

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

Notas de Aula de Geometria Euclidiana

Professor: Jose Luiz Rosas Pinho

Digitacao: Mauricio Policarpo

Setembro-Dezembro/2012

Florianopolis - SC

Postulados de Euclides

Postulado I: Por dois pontos distintos passa uma reta.

Postulado II:Toda reta pode ser estendida infinitamente.

Postulado III:E possıvel tracar uma circunferencia por qualquer ponto

dado, com um raio dado.

Postulado IV:Todos os angulos retos sao congruentes entre si.

Postulado V:Por um ponto fora de uma reta passa uma unica paralela

a essa reta.

Raciocınio

Metodo usado para resolver uma questao. Pode ser:

•Intuitivo: atraves de uma observacao.

•Dedutivo: atraves da logica.

Exemplo:

1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ · · ·+ 1

n(n+ 1)

Resolucao por Deducao:

S1 =1

1 · 2=

1

2

S2 =1

2+

1

2 · 3=

1

2+

1

6=

4

6=

2

3

S3 =2

3+

1

3 · 4=

2

3+

1

12=

9

12=

3

4

Sn =n

n+ 1

Resolucao por Inducao:

1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1

1

1 · 2=

1

1− 1

21

2 · 3=

1

2− 1

31

3 · 4=

1

3− 1

4...

...1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1

Somando todos os termos, teremos:

Sn = 1− 1

n+ 1=

n+ 1− 1

n+ 1=

n

n+ 1

O que e um Teorema?

Um teorema e uma afirmacao verdadeira que deve ser provada usando

regras de logica.

Formas de enunciar um Teorema

I) Condicional

1) Se [hipotese], entao [tese].

Ex: Se [um quadrilatero e um losango], entao [as suas diagonais sao per-

pendiculares].

2) [Tese] se [hipotese].

Ex: [As diagonais de um quadrilatero sao perpendiculares] se [ele for um

losango].

3) Usando ”somente se”: [hipotese] somente se [tese].

Ex: [Um quadrilatero e um losango] somente se [suas diagonais forem

perpendiculares].

4) Usando a expressao ”condicao suficiente”: [hipotese] e suficiente para

[tese], ou, para que [tese] ocorra e suficiente [hipotese], ou, uma condicao

suficiente para [tese] e que [hipotese].

Ex: Para que [as diagonais de um quadrilatero sejam perpendiculares] e

suficiente [que ele seja um losango].

Ex: Uma condicao suficiente para que [as diagonais de um quadrilatero

sejam perpendiculares] e que [esse quadrilatero seja um losango].

5) Usando ”condicao necessaria”: [tese] e necessaria para [hipotese], ou,

para que [hipotese] e necessario [tese], ou, uma condicao necessaria para

[hipotese] e [tese].

Ex: Para que [um quadrilatero seja um losango] e necessario [que suas

diagonais sejam perpendiculares].

A recıproca de uma afirmacao

Teorema: Se [hipotese], entao [tese]

Simbolicamente: A ⇒ B

Recıproca: A ⇒ B

Ex: (recıproca do exemplo padrao) Seas diagonais de um quadrilatero sao

perpendiculares, entao esse quadrilatero e um losango. (FALSA)

II) Bicondicional

Um teorema na forma bicondicional e uma afirmacao verdadeira enunciado

juntamente com sua recıproca, caso ela tambem seja verdadeira.

1) Usando [ ] se, e somente se [ ]

Simbolicamente: A ⇔ B

Ex: O ”teorema padrao”, citado anteriormente, passa a ter uma recıproca

verdadeira se for modificado para: Um quadrilatero e um losango se ele tem

as diagonais perpendiculares e se elas se cruzam em seus pontos medios.

Enunciando o teorema juntamente com sua recıproca: [Um quadrilatero e

um losango] se, e somente se [suas diagonais forem perpendiculares e se elas

se cruzam em seus pontos medios].

2) Usando: condicao necessaria e suficiente

Ex: Uma condicao necessaria e suficiente para que um quadrilatero seja

um losango e que suas diagonais sejam perpendiculares e se cruzem em seus

pontos medios.

Negacao de frases

Usar a palavra NAO.

Simbolicamente: Afirmacao: A Negacao: ∼A ou ¬A

Ex:

1) Afirmacao: x e um numero real racional

Negacao: x nao e um numero real racional ⇔ x e um numero real irraci-

onal

2) Afirmacao: x e um numero positivo

Negacao: x nao e um numero positivo ⇔ x e um numero negativo ou nulo

A contra-positiva de uma afirmacao (Regra de logica)

Para provar uma afirmacao A ⇒ B e permitido (e equivalente) provar sua

contra-positiva:

¬B ⇒ ¬A

Ex:

1) Se as diagonais de um quadrilatero nao sao perpendiculares, entao esse

quadrilatero nao e um losando.

2) Funcao f : ℜ → ℜ, injetora: x = y ⇒ f(x) = f(y), na pratica:

f(x) = f(y) ⇒ x = y.

Ex: f(x) =1

1 + xx = −1

1

1 + x=

1

1 + y⇒ 1 + y = 1 + x → y = x

Conectivos

1) Conjuncao: E

Simbolicamente: A ∧B

Ex: Um numero positivo e racional.

2) Disjuncao: OU

Simbolicamente: A ∨B

Ex: Um numero positivo ou racional.

Negacao da conjuncao

Simbolicamente: ¬(A ∧B) = (¬A) ∨ (¬B)

Ex: Afirmacao: Um numero positivo e racional.

Negacao: Um numero nao positivo ou nao racional.

Negacao da disjuncao

Simbolicamente: ¬(A ∨B) = (¬A) ∧ (¬B)

Ex: Afirmacao: Um numero positivo ou racional.

Negacao: Um numero nao positivo e nao racional.

Frases com quantificadores

Quantificadores:

1) Existenciais: Existe; um, para um.

Simbolicamente: ∃

2) Universais: Todo, qualquer, para todo.

Simbolicamente: ∀

Frases:

1) Existencial: ∃x; P (propriedade satisfeita para x)

Ex: Existe x tal que x > 0.

2) Universal: ∀x; P (propriedade)

Ex: Para todo x, x e racional.

Negacao das frases com quantificadores

¬(∃x;P ) = ∀x;¬P

¬(∀x;P ) = ∃x;¬P

Ex: Existe x tal que x > 0. Negacao: Para todo x, x ≤ 0.

Para todo x, x e racional. Negacao: Existe x tal que x nao e racional.

Regra de logica

¬(¬A) = A

Negacao de um condicional

¬(A ⇒ B) = A ∧ ¬B

Ex: Se um quadrilatero e um losango, entao suas diagonais sao perpendi-

culares. Negacao: Um quadrilatero que e um losango e NAO tem diagonais

perpendiculares.

Uma condicional pode ser escrita usando o quantificador todo.

Ex: Todo losango tem diagonais perpendiculares. Negacao: Existe um

losango que nao tem diagonais perpendiculares.

Reducao ao absurdo (Regra de logica)

Para demonstrar um teorema por absurdo deve-se negar a tese. Tal

negacao passa a ser uma novo hipotese (hipotese do absurdo). Depois de-

senvolvemos logicamente a argumentacao, ate chegar a uma contradicao (ou

um absurdo).

A GEOMETRIA AXIOMATICA SEGUNDO A AXIOMATICA

DE HILBERT

Sua teoria era baseada nos seguintes princıpios:

• Termos primitivos: sao termos que nao tem definicao e que serao compre-

endidos atraves dos axiomas, mas que sao passıveis de interpretacao.

• Conjunto de axiomas

• Definicoes

Hilbert classificou seus axiomas em cinco tipos:

I) Axiomas de incidencia (formado por tres axiomas);

II) Axiomas de ordem (formado por quatro axiomas);

III) Axiomas de congruencia (formado por cinco axiomas);

IV) Axiomas de continuidade (formado por dois axiomas);

V) Axiomas das paralelas (formado por um axioma).

I) AXIOMAS DE INCIDENCIA

Termos primitivos (indefinidos):

• Ponto

• Reta

• Incidencia (incidente a; incide em; incide sobre)

Observacoes:

1) Diremos que pontos sao incidentes a uma reta → Sinonimo: pontos per-

tencem a uma reta.

2) Diremos que uma reta incide sobre pontos → Sinonimo: reta passa pelos

pontos.

Axioma I.1

Se A e B sao dois pontos distintos, entao existe uma reta tal que A e B sao

incidentes a ela.

Axioma I.2

Se A e B sao dois pontos distintos, entao nao ha mais do que uma reta que

incide sobre A e B.

Observacao:

Os axioma I.1 e I.2 nos dizem que se A e B sao dois pontos distintos, entao

existe (Axioma I.1) uma unica (Axioma I.2) reta que incide sobre A e B.

Axioma I.3

a) Se r e uma reta, entao existem (pelo menos) dois pontos que sao incidentes

a r. b) Existem tres pontos distintos e nao incidentes a uma mesma reta.

(Nao colineares)

Definicao 1

Duas retas sao ditas paralelas se nao existe um ponto incidente a ambas.

Definicao 2

Duas ou mais retas sao concorrentes se existe (pelo menos) um ponto que e

incidente a todas elas.

Definicao 3

Tres ou mais pontos sao ditos colineares se eles sao incidentes a uma mesma

reta.

Demonstracao de Teoremas

Metodos de demonstracao:

1) Tabela

Afirmacoes Justificativas

1) Afirmacao Justificativa

2) Afirmacao Justificativa

3) Afirmacao Justificativa...

...

n) Tese Justificativa

2) Texto corrido

Teorema 1

Duas retas distintas sao paralelas ou sao concorrentes. Se as retas sao con-

correntes, entao existe um unico ponto incidente a ambas.

Demonstracao

Hipotese:

a) r e s duas retas distintas.

b) r e s duas retas distintas e concorrentes.

Tese:

a) r e s sao paralelas ou sao concorrentes.

b) r e s concorrem em um unico ponto.

Afirmacoes Justificativas

1) Sejam r e s duas retas distintas Hipotese (a)

2) Existe ou nao existe um ponto incidente Regra de logica

a r e s

3) Suponha que exista um ponto incidente Afirmacao 2 e Definicao 2

a r e s. Entao r e s sao concorrentes

4) Suponha que nao exista um ponto incidente Afirmacao 2 e Definicao 1

a r e s. Entao r e s sao paralelas

A tese (a) esta provada

5) Sejam r e s duas retas distintas Hipotese (b) e Definicao 2

e concorrentes em um ponto P

6) Suponha que Q seja um ponto distinto Regra de logica

de P que e incidente a r e s (Reducao ao absurdo)

7) Entao r e s sao duas retas distintas Afirmacao 6

que incidem sobre dois pontos distintos A e B. Contradiz o Axioma I.2

Contradicao

Portanto r e s incidem sobre um unico ponto

(tese)

Exemplos:

Interpretacao dos termos primitivos → E como queremos entender cada

termo primitivo para efeito de exemplos.

Modelo → Se, feita uma interpretacao dos termos primitivos, os tres axio-

mas de incidencia forem satisfeitos, entao dizemos que aquela interpretacao

nos da um modelo (de geometria de incidencia).

Exemplo 1

Interpretacao dos termos primitivos:

• Ponto: A, B e C (somente esses tres pontos distintos).

• Retas : {A, B}, {A, C} e {B, C} (somente essas retas).

• Incidencia: um ponto e incidente a uma reta se ele for um elemento do

conjunto que e a reta. (interpretacao natural de incidencia)

Agora, a partir desta a interpretacao, vamos verificar se os tres axiomas

sao satisfeitos. Se eles forem satisfeitos, entao teremos um modelo de geome-

tria (por enquanto, satisfazendo apenas os axiomas de incidencia).

Verificando Axioma I.1:

• Pelos pontos A e B passa a reta {A, B}.• Pelos pontos A e C passa a reta {A, C}.• Pelos pontos B e C passa a reta {B, C}.Axioma verificado.

Verificando Axioma I.2:

• Nao ha mais do que uma reta passando (incidente sobre) pelos pontos A e

B.

• Nao ha mais do que uma reta passando pelos pontos A e C.

• Nao ha mais do que uma reta passando pelos pontos B e C.

Axioma verificado.

Verificando Axioma I.3.a e I.3.b:

• Toda reta tem dois pontos (basta verificar na interpretacao na reta). (a)

• Os tres pontos A, B e C sao nao colineares, pois nao ha uma reta incidente

sobre A, B e C. (b)

Axioma verificado.

Como todos os axiomas foram verificados e tomados como verdadeiros,

temos estabelecido um modelo.

Exemplo 2


• Ponto: A, B e C (somente esses tres pontos distintos).

• Retas : r, s e t (somente essa tres retas).

• Incidencia:

o Os pontos A e B sao incidentes unicamente a reta t.

o Os pontos A e C sao incidentes unicamente a reta r.

o Os pontos B e C sao incidentes unicamente a reta s.

Vamos verificar se, com essa interpretacao, os tres axiomas sao satisfeitos.

Verificando o Axioma I.1:

• Os pontos A e B sao incidentes unicamente a reta t.

• Os pontos A e C sao incidentes unicamente a reta r.

• Os pontos B e C sao incidentes unicamente a reta s.

Axioma verificado.

Axioma I.2:

• Os pontos A e B sao incidentes unicamente a reta t.

• Os pontos A e C sao incidentes unicamente a reta r.

• Os pontos B e C sao incidentes unicamente a reta s.

Axioma verificado.

Axioma I.3:

• Toda reta tem dois pontos (interpretacao de incidencia). Os pontos A, B e

C sao tres pontos nao colineares, pois nao ha uma reta com esses tres pontos.

Axioma verificado.



Exemplo 3


• Ponto: A, B e C (somente esses tres pontos).

• Retas : {A, B}, {A, C} e {B, C} (somente essas tres retas).

• Incidencia: Um ponto e incidente a reta se ele nao for um elemento do

conjunto que e uma reta.



• A reta {A,B} so passa pelo ponto C.

• A reta {A,C} so passa pelo ponto B.

• A reta {B,C} so passa pelo ponto A.

Axioma nao satisfeito, ja que nao ha uma reta passando por um PAR de

pontos.

Axioma I.2:

• Nao ha retas passando por cada par de pontos, ou seja, nao ha mais de

uma reta passando por cada par de pontos.

Axioma verificado.

Axioma I.3.a e I.3.b:

• A reta {A,B} so tem um ponto (C) ; A reta {A,C} so tem um ponto (B)

; A reta {B,C} so tem um ponto (A).

Axioma (a) nao satisfeito, ja que uma reta tem que ter pelo menos dois

pontos.

• Os pontos A,B e C sao nao colineares.

Axioma (b) verificado.

Como houve axiomas que nao foram satisfeitos, temos que este nao e um

modelo.

Exemplo 4


• Ponto: A, B e C (somente esses tres pontos).

• Retas : {A, B} e {A, B, C} (somente essas retas).

• Incidencia: Um ponto e incidente a reta se ele for um elemento do conjunto

que e uma reta (natural).

Vamos verificar se, com essa interpretacao, os tres axiomas sao satisfeitos:


• Pelos pontos A e B passa a reta {A,B}.• Pelos pontos A e C passa a reta {A, B, C}.• Pelos pontos B e C passa a reta {A, B, C}.Axioma verificado.

Axioma I.2:

• Pelos pontos A e B passam as restas {A, B} e {A, B, C}.Axioma nao satisfeito, ja que por um par te pontos so passa uma unica reta.


• A reta {A,B} e {A, B ,C} tem (pelo menos) dois pontos.

Axioma (a) verificado.

• Nao ha tres pontos nao colineares, pois a reta {A, B, C} passa pelos tres

pontos da interpretacao.

Axioma (b) nao satisfeito, pois nao ha tres pontos nao colineares.


modelo.

Teorema 2

Existem tres retas concorrentes duas a duas, ou seja, cada duas retas sao

concorrentes, mas essas tres retas nao sao concorrentes.

Demonstracao (texto corrido)

Pelo axioma I.3, existem tres pontos distintos e nao colineares A, B e C.

Pelo axioma I.1, temos que pelos pontos A e B passa uma reta r.

Pelo axioma I.1, temos que pelos pontos A e C passa uma reta s.

Pelo axioma I.1, temos que pelos pontos B e C passa uma reta t.

As retas r, s sao distintas pois, caso contrario, os pontos A, B e C seriam

colineares, o que contradiz o primeiro paragrafo.

Analogamente, verifica-se que as retas r e t, e as retas s e t sao distintas.

Teorema 3

Se r e uma reta, entao existe um ponto P nao incidente a r.

Demonstracao:

Hipotese: r e uma reta.

Tese: Existe um ponto P nao incidente a r.

Seja r uma reta qualquer.

Suponha, por absurdo, que nao exista um ponto nao incidente a r. Entao

todos os pontos sao incidentes a r.

Entao nao existem tres pontos nao colineares, o que contradiz o Axioma

I.3.b.

Logo, existe um ponto P , nao incidente a r.

Teorema 4

Se P e um ponto (qualquer), entao existe uma reta r que nao incide sobre P .

Demonstracao:

Hipotese: P e um ponto.

Tese: Existe uma reta r que nao incide sobre P .

Seja P um ponto qualquer. Pelo Axioma I.3, existem tres pontos distintos

e nao colineares A, B e C (*).

Entao, P sera um destes tres pontos, ou nao sera nenhum deles.

Caso P seja um dos pontos A, B ou C, (suponha que P seja A), considere

a reta que passa por B e C (Axioma I.1).

Seja r esta reta. Entao r nao incide sobre P, pois, caso contrario, os

pontos B, C e A (que e P ) seriam colineares, o que contradiz a afirmacao (*)

provada anteriormente.

Caso P nao seja um dos pontos A, B e C, entao considere a reta que

passa por P e A (Axioma I.1). Pelo Teorema 3, temos que existe um ponto

Q que nao incide a reta que passa por A e P (**). Entao Q e distinto de A.

Considere a reta que passa por A e Q (Axioma I.1). Seja r esta reta.

Entao r nao passa por P, pois, caso contrario, os pontos A, Q e P seriam

colineares, ou seja, Q seria incidente a reta que passa por P e A, o que

contradiz a afirmacao (**) provada anteriormente neste teorema.

Logo, se P e um ponto, entao existe uma reta r que nao incide sobre P .

Teorema 5

Se P e um ponto (qualquer), entao existem duas retas distintas que passam

por P .

Demonstracao:


Tese: Existem duas retas distintas que incidem sobre P .

Seja P um ponto qualquer. Pelo Teorema 4, existe uma reta r que nao

passa por P . (*)

Sejam A e B dois pontos distintos que incidem sobre r (Axioma I.3.a).

O ponto P e distinto dos pontos A e B (pelos dois paragrafos anteriores).

Considere as retas PA e PB (Axioma I.1).

Entao as retas PA e PB passam por P , pois, caso contrario, A e B seriam

colineares, mas entao P seria incidente a reta que passa por A e B (a reta

r), o que contradiz a afirmacao (*) provada anteriormente.

Exemplo 5


• Ponto: A, B, C e D (somente esses quatro pontos distintos).

• Retas : {A, B}, {A, C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} e {C,D} (somente essas

seis retas)

• Incidencia: um ponto e incidente a uma reta se ele for um elemento do

conjunto que e a reta. (interpretacao natural de incidencia)


Verificando o Axioma I.1: OK

• Por cada dois pontos passa apenas uma reta.

Axioma verificado.

Axioma I.2: OK

• Por cada dois pontos passa uma unica reta.

Axioma verificado.

Axioma I.3.a e I.3.b: OK

• Todas as retas tem dois pontos.

• Os pontos A, B e C sao nao colineares.

Axiomas I.3.a e I.3.b verificados.



OBSERVACOES:

• Nesse modelo ha tres pares de retas paralelas: {A,B} e {C,D} ; {A,C} e

{B,D}; {B,C} e {A,D}.• Observe ainda que, dado um ponto nao incidente a uma reta qualquer do

modelo, existe uma unica reta paralela aquela reta passando pelo ponto dado.

Exemplo: Pegando a reta {B,D} e o ponto A, temos que por A passa a reta

{A,C}, que e a unica reta paralela a reta {B,D} passando por A.

Genericamente: Pegando a reta {x,y}, sendo x, y dois pontos dentre os

pontos A, B, C e D, entao temos um ponto z nao incidente a {x,y}. Existeum quarto ponto w, distinto de x,y,z onde a reta {z,w} e paralela a {x,y}.

Exemplo 6


• Ponto: A, B, C e D.

• Retas : {A, B, C}, {A, B}, {B, D}, {C,D}.• Incidencia: interpretacao natural de incidencia.



• Por dois pontos quaisquer passa uma reta.

Axioma verificado.

Axioma I.2: OK

• Por dois pontos quaisquer passa uma unica reta.

Axioma verificado.


• Toda reta tem (pelo menos) dois pontos.

• Ha pelo menos um trio de pontos nao colineares (A, B e D).




OBSERVACAO: Nao ha retas paralelas neste modelo.

Exemplo 7


• Ponto: A, B, C, D e E.

• Retas : {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D},{C,E} e {D,E}.• Incidencia: interpretacao natural de incidencia.


Verificando os Axiomas I.1 e I.2: OK

• Por cada dois pontos, passa uma unica reta.

Axiomas verificados.

Axiomas I.3.a e I.3.b: OK

• Toda reta tem (pelo menos) dois pontos.

• Ha pelo menos um trio de pontos nao colineares (A, D e E).




OBSERVACOES:

• As retas {C,D}, {C,E} e {D,E} sao paralelas a reta {A,B}, logo, aquitemos que duas retas paralelas a uma terceira nao sao paralelas entre si.

• Pelo ponto C, nao incidente a reta {A,B}, passam duas paralelas a {A,B}:as retas {C,D} e {C,E}.

Definicao 4

• Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade elıtica das paralelas se

nao ha paralelas nesse modelo. (Exemplos 1 e 6)

• Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade euclidiana das parale-

las se, para todo ponto P e para toda reta r que nao passa por esse ponto,

existir uma unica reta paralela a r passando por P . (Exemplo 5)

• Dizemos que um modelo satisfaz a propriedade hiperbolica das para-

lelas se, para todo ponto P , e para toda reta r que passa por P , existir mais

uma reta paralela a r passando por P . (Exemplo 7)

Perguntas:

1) Podemos provar a existencia de retas paralelas a partir dos axiomas de

incidencia?

2) Podemos provar a nao existencia de retas paralelas?

3) Podemos provar a existencia de tres ou mais pontos em toda reta?

4) Podemos provar que toda reta tem uma infinidade de pontos?

5) Podemos provar que toda reta tem uma quantidade finita de pontos?

Respostas:

1) Nao. (Ver o Exemplo 1)



4) Nao. (Ver Pergunta 3)

5) Nao. (Veja a geometria euclidiana pronta como conhecemos)

Exemplo 8


• Ponto: Todos os pontos (uma infinidade) de uma reta r, como conhecemos

da geometria euclidiana ja acabada, mais um unico ponto P fixado nao inci-

dente a reta r.

• Retas : a propria reta r e todos os conjuntos {P ,A}, tais que A e um ponto

incidente a r.

• Incidencia: interpretacao natural de incidencia.



• Dados dois pontos A e B da reta r, essa reta e a unica reta que passa por

A e B.

• Dados os pontos P e Q, Q incidente a r, a reta {P ,Q} e a unica reta que

passa por P e Q.


Axiomas I.3.a e I.3.b: OK

• Toda reta passa por (pelo menos) dois pontos.

Axioma I.3.a verificado.

• Os pontos P , A e B sao tres pontos nao colineares.

Axioma I.3.b verificado.



OBSERVACOES:

• Nesse modelo, duas retas do tipo {P ,A} e {P ,B}, com A e B pontos da

reta r, sao concorrentes em P .

• A reta r e uma reta do tipo {P ,X}, com X incidente a r, sao concorrentes

em X.

• Das observacoes acima, tira-se que, neste caso, nao ha retas paralelas. Logo,

o modelo satisfaz a propriedade elıtica das paralelas.

Resolucao do Exercıcio 6 da Lista 2 - item a (Anexo 2)


Pontos : Sao todos os pontos do plano, como conhecemos da geometria eu-

clidiana.

Retas : Sao todas as circunferencias no plano, como conhecemos da geometria

plana.

Incidencia: Natural (um ponto e incidente a uma reta, se ele for um ponto

da circunferencia que e reta).

O ponto P e incidente a reta r.

O ponto Q nao e incidente a reta r.



Dados dois pontos A e B quaisquer existe uma reta passando por A e B:

basta tracar uma circunferencia cujo centro esta na mediatriz do segmento

AB, com raio igual a distancia deste centro A ou B ( no sentido Euclidiano).

Axioma verificado.

Axioma I.2:

Por A e B passa uma infinidade de retas(Circunferencias cujos centros estao

na mediatriz de AB).

Axioma nao verificado.


Toda reta passa por uma infinidade de pontos.


Existem tres pontos nao colineares: basta considerar tres pontos nao coline-

ares no sentido euclidiano.



modelo.

Exemplo 9


• Ponto: Sao todas as retas do plano, como conhecemos da geometria eucli-

diana.

• Retas : Sao todos os pontos do plano, como conhecemos da geometria eu-

clidiana.

• Incidencia: Um ponto e incidente a uma reta se ela for uma reta que passa

pelo ponto que e reta.

O ponto P nao e incidente a reta r.

O ponto Q e incidente a reta r.



• Dados dois pontos A e B quaisquer, existe uma reta que ”passa”por A e

B?

Resposta: Nao. Se os pontos A e B forem duas retas paralelas (sentido

euclidiano), entao elas nao concorrem em algum ponto, e, portanto nao existe

uma reta que ”passe”por A e B.

No caso das retas serem concorrentes (no sentido que conhecemos), havera

uma reta r ”passando”por A e B, isto e, sendo o ponto de concorrencia das

retas A e B.

No caso das retas serem paralelas (no sentido que conhecemos), nao ha-

vera uma reta ”passando”por A e B.

Axioma I.2: OK

• Ha duas situacoes: dados dois pontos distintos, existe uma unica reta ”pas-

sando”por esses dois pontos (pois se duas retas sao concorrentes, elas concor-

rem em um unico ponto), ou nao existe uma reta (zero reta) ”passando”pelos

dois pontos.

Axioma verificado.

Axioma I.3.a e I.3.b: • Toda reta passa por dois pontos?

Resposta: Sim, pois por qualquer ponto do plano passa uma infinidade de

retas (da geometria euclidiana).


Acima temos tres pontos A, B e C colineares a mesma reta r.

Existem tres pontos nao colineares?

Resposta: Sim, basta tomar tres retas (que sao os pontos) que nao sejam

concorrentes(em um mesmo ponto).



modelo.

Notacao: quando um termo estiver com E, significa que sua interpretacao

tem que ser na forma euclidiana.

Exemplo: pontoE significa interpretacao euclidiana de ponto.

Exemplo 10


• Ponto: sao todas as retas do Exemplo 8. (Todos os pontosE de uma reta r

da geometria euclidiana mais um pontoE P fora de r.)

• Retas : Sao todos os pontos do Exemplo 8. (A propria retaE r e todos os

pares {P ,A}, tais que A e ponto de r.

• Incidencia: Um ponto e incidente a uma reta se ele for uma reta que passa

pelo ponto que e reta.

Pontos : R e {p,a}, em que a e incidente a R.

Retas : p e todo a, em que a e incidente a R.

• R e um ponto incidente a todas (infinidade) as retas a, em que a e ponto

de R como reta.

• R nao e incidente a reta p.

• O ponto {p,a} e incidente a exatamente duas retas : p e a.


• Dados os pontos R e {p,a}, a reta a ”passa por”R e {p,a}, e ela e uma a

unica reta que ”passa por”R e {p,a}.

Axiomas I.1 verificado.

• Dados os pontos {p,a} e {p,b}, a reta p e a unica reta que ”passa por”{p,a}e {p,b}.Axioma I.2 verificado.


• A reta p ”passa por”uma infinidade de pontos do tipo {p,a}.A reta a ”passa por”exatamente dois pontos : R e {p,a}.Portanto, toda reta ”passa por”pelo menos dois pontos.


• Os tres pontos {p,a}, {p,b} e R sao nao colineares pois {p,a} e {p,b} sao

incidentes a reta p que nao ”passa por”R.




OBSERVACAO:

• Neste modelo nao ha paralelas: as retas p e q sao incidentes sobre o ponto

{p,a}, e as retas a e b sao incidentes sobre, o ponto R. (Propriedade elıtica

das paralelas).

Resolucao do Exercıcio 1 da Lista 2 - (Anexo 2)


Tese: existem dois pontos Q e M tais que P , Q e M sao nao colineares.

Seja P um ponto qualquer.

Pelo Teorema 4 existe uma reta r que nao passa por P .

Pelo Axioma I.3.a, existem dois pontos Q e M incidentes a reta r.

Os pontos P , Q e M sao nao colineares pois, caso contrario, o ponto P

seria incidente a reta que passa por Q e M , que e a reta r, o que acaba

contradizendo a afirmacao justificada no segundo paragrafo.

Logo, dado um ponto P qualquer, ha dois pontos Q e M tais que P, Q e

M sao nao colineares.


Hipotese: P e Q sao dois pontos distintos.

Tese: Existe um ponto M , tal que P , Q e M sao nao colineares.

Sejam P e Q dois pontos distintos.

Pelo Axioma I.1 e I.2 por P e Q passa uma unica reta r.

Pelo Teorema 3, existe um ponto M nao incidente a reta r.

Os pontos P , Q e M sao nao colineares pois, caso contrario, o ponto M

seria incidente a unica reta que passa por P e Q: a reta r. Onde isto contradiz

a afirmacao provada no terceiro paragrafo.

Logo, dados dois pontos distintos P e Q, existe um ponto M , tais que P ,

Q e M sao nao colineares.

Exercıcio Complementar

Se r e s sao duas retas paralelas, entao existem quatro pontos distintos.

Demonstracao

Hipotese: r e s sao duas retas paralelas.

Tese: existem 4 pontos distintos.

Sejam r e s duas retas paralelas.

Pelo Axioma I.3.a, existem dois pontos distintos, A e B, incidentes a reta

r, e existem dois pontos distintos, C e D, incidentes a reta s.

Os pontos A, B, C e D sao quatro pontos distintos, pois A e B sao dis-

tintos de C e D, ja que as retas r e s nao tem ponto comum.

Resolucao do Exercıcio 6 da Lista 2 - Item b (Anexo 2)


• Ponto: sao todas as retas no espaco tridimensional como conhecemos da

geometria espacial.

• Retas : Sao todos os planos naquele espaco.

• Incidencia: Um ponto e incidente a uma reta se ele for uma reta pertencente

ao plano que e reta.

Q e P sao paralelas.

O ponto P e incidente a reta r.

O ponto Q nao e incidente a reta r.

O ponto M nao e incidente a reta r.


• Existem dois pontos tais que nao ha uma reta passando por eles: basta

tomar duas retas reversas (que nao possuem pontos comuns nem sao copla-

nares); nao existe plano que contenha essas duas reversas.


Axioma I.2:

• Se A e B sao dois pontos tais que A e B sao retas reversas no espaco, entao

ha reta (plano) passando por A e B.

• Se A e B sao dois pontos tais que A e B sao retas paralelas ou concorrentes,

e nao ha um unico plano (reta) que passa por A e B.

Portanto, nao ha mais do que uma reta passando por dois pontos.

Axioma verificado.


• Toda reta ”passa por”uma infinidade de pontos, pois, todo plano contem

uma infinidade de retas (geometria plana).


• Existem tres pontos nao colineares: basta considerar duas retas concorren-

tes (definindo um plano) e uma terceira reta nao pertencente ao plano.



modelo.

Resolucao do Exercıcio 6 da Lista 2 - Item c (Anexo 2)


• Ponto: sao todas as retas no espaco tridimensional como conhecemos da

geometria espacial que passam por um ponto O fixado.

• Retas : Sao todos os planos do espaco que passam pelo mesmo ponto O

fixado.

• Incidencia: Um ponto e incidente a uma reta se ele for uma reta pertencente

ao plano que e reta.

Q e um ponto incidente a reta r.

P e um ponto nao incidente a reta r.

Verificando os Axiomas I.1 e I.2:

• Dados dois pontos (retas passando por O) quaisquer existe uma unica

reta (unico plano definido pelas duas retas que passam por O) ”passando

por”aqueles dois pontos.

Axioma verificado.

Axiomas I.3.a e I.3.b:

• Toda reta (passando por O) ”passa por”uma infinidade de pontos (retas

passando por O).


• Existem tres pontos (passando por O) nao colineares (retas nao contidas

do plano):




OBSERVACAO:

• Neste modelo nao ha retas paralelas (propriedade elıtica das paralelas)

pois duas retas quaisquer (dois planos quaisquer passando por O) sao concor-

rentes (pois dois planos que passam por um mesmo ponto sao concorrentes

em uma reta que passa por esse ponto).

Resolucao do Exercıcio 6 da Lista 2 - Item d (Anexo 2)


• Ponto: Sao todos os pontos do interior de um cırculo fixado (pontos da

circunferencia nao sao pontos).

• Retas : Sao todas as cordasE do cırculo.

• Incidencia: Natural.


• Dados dois pontos P e Q havera apenas uma unica reta(cordasE) r que

incide sobre ambos.



• Dada reta (cordasE) ”passa por”uma infinidade de pontos.


• Pela figura abaixo, ha tres pontos A, B e C nao colineares.



OBSERVACAO:

•Neste modelo ha retas paralelas que satisfazem a propriedade hiperbolica

das paralelas (infinitas retas paralelas).

• Neste modelo ha infinitas retas concorrentes.

Resolucao do Exercıcio 5 da Lista 2 (Anexo 2)

a) Interpretacao satisfazendo os Axiomas I.1 e I.2 (mas nao o Axioma I.3):

• Ponto: Sao todos os pontos de uma retaE r.

• Retas : A reta r.



• A reta r e a unica reta que ”passa por”dois pontos quaisquer.



• A reta r tem infinitos pontos.


• Nao ha tres pontos nao colineares.

Axioma I.3.b nao verificado.


modelo.

b) Interpretacao satisfazendo os Axiomas I.1 e I.3 (mas nao o Axioma I.2):

• Ponto: A, B, C e D.

• Retas : {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}, {A, B, C}.• Incidencia: Natural.


• Por cada dois pontos distintos passa uma unica reta.

Axioma verificado.

Axioma I.2:

• Pelos pontos A e B passam duas retas : {A, B} e {A, B, C}.Axioma nao verificado.


• Toda reta ”passa por”dois pontos.


• Os pontos A, B e D sao nao colineares.



modelo.

c) Interpretacao satisfazendo os Axiomas I.2 e I.3 (mas nao o Axioma I.1):

• Ponto: A, B, e C.

• Retas : {A, B} e {A, C}• Incidencia: Natural.


• Nao ha uma reta ”passando por”B e C.


Axioma I.2:

• Por dois pontos ”passa”uma unica reta.

Axioma verificado.


• Toda reta ”passa por”dois pontos.


• Os pontos A, B e C sao nao colineares, pois nao existe uma reta ”passando

por”A, B e C.



modelo.



• Ponto: A, B, C, D, E e F .

• Retas : {A, B, C, D}, {A, E}, {A, F}, {B, E}, {B, F}, {C, E}, {C,F},{D,E}, {D,F}, {E,F}.• Incidencia: Natural.


• Por dois pontos dados passa uma unica reta.



• Toda reta tem pelo menos tres pontos.


• Existem tres pontos nao colineares A, E e F .




Neste modelo, ha retas paralelas (o que ja descarta a propriedade elıtica).

Dada a reta {A, B, C, D}, e dado o ponto E, nao incidente a essa reta,

a unica paralelas a {A, B, C, D} passando por E e a reta {E, F} (o que

elimina as propriedades elıtica e hiperbolica).

Dada a reta {A, E}, e dado o ponto F , existem tres paralelas a reta {A,E}, passando por F : {B, F}, {C, F} e {D, F} (o que elimina as propriedades

elıtica e euclidiana).

Portanto, esse modelo nao satisfaz qualquer uma das propriedades elıtica,

euclidiana ou hiperbolica.


Prova que nao existe um modelo (de geometria de incidencia) com um numero

total de pontos par, em que toda reta tenha um numero ımpar de pontos.

Resolucao

Considere um modelo finito em que toda reta tenha um numero ımpar de

pontos.

Seja A um dos pontos do modelo. Entao a lista de retas que passam por

A sera algo do tipo:

{A, · · ·︸︷︷︸}numero par de pontos

{A, · · ·︸︷︷︸}

numero par de pontos

...

{A, · · ·︸︷︷︸}numero par de pontos

A uniao de todos os pontos dessas retas nos da todos os pontos do modelo

e, alem disso, nao existe ponto distinto de A que apareca em duas ou mais

retas da lista (pois o Axioma I.2 deve ser satisfeito).

Assim, o numero total de pontos do modelo sera uma soma de numeros

pares mais um (que e o ponto A), ou seja, sera ımpar.

Pergunta: E possıvel existir um modelo finito no qual o numero de retas

seja menor do que o numero de pontos?

Se todas retas tem exatamente dois pontos, entao

n pontos C2n retas

C2n =

n(n− 1)

2> n se n > 3

n(n− 1)

2> n ⇔ n(n− 1)

2n> 1 ⇔ n− 1

2> 1 ⇔ n− 1 > 2 ⇔ n > 3

Se n > 3, entao:

C2n =

n(n− 1)

2> n ⇔ n(n− 1) > 2n ⇔ n2 − n > 2n ⇔ n2 > 3n ⇔ n > 3

Resolucao do Exercıcio 8 da Lista 2 - Parte 1 (Anexo 2)

Suponha que em um dado modelo de Geometria de Incidencia, cada reta

tenha pelo menos tres pontos distintos. Qual e o numero mınimo de pontos

e de retas que este modelo deve apresentar?

Como sabemos que existe um ponto que nao pertence a uma reta, podemos

concluir que a quantidade mınima de pontos que devemos ter para que o

enunciado seja comprido e sete.

Portanto, vamos comecar montando um possıvel modelo com um total de

7 pontos (no qual cada reta tenha pelo menos 3 pontos).


• Pontos: A, B, C, D, E, F , G. (Total de sete pontos)

• Retas: {A, B, C}, {A, D, E}, {A, F , G}, {B, D, F}, {B, E, G}, {C, D,

G}, {C, E, F}. (Total de sete retas)



• Por dois pontos passa uma reta.

Axioma verificado.

Axioma I.2:

• Por dois pontos passa uma unica reta.

Axioma verificado.




• Os pontos A, B e D sao nao colineares.




Observacao:

• O modelo acima satisfaz a propriedade elıtica das paralelas (nao ha

paralelas).

Resolucao do Exercıcio 8 da Lista 2 - Parte 2 (Anexo 2)

Suponha agora que, alem disso, o modelo satisfaca a propriedade euclidi-

ana das paralelas. Mostre que, neste caso, 9 e o numero mınimo de pontos e

12 e o numero mınimo de retas deste modelo.

Ja temos 7 pontos no mınimo e, com exatamente 7 retas nao temos para-

lelas. Logo, precisamos de mais pontos, porem, que quantidade de pontos?

Retas passando por A: {A, B, C}, {A, D, E}, {A, F , G}.

Adicionando um ponto H, teremos: {A, H, ?}.

Assim, necessitamos de mais um ponto, I, para fechar a reta passando

por A e H: {A, H, I}.

Entao, temos que necessitamos de pelo menos 9 pontos.


• Pontos: A, B, C, D, E, F , G, H e I.

• Retas: para identificar todas as retas, podemos tirar o determinante da

matriz cujos elementos sao os pontos desta:A B C

D E F

G H I

⇓

{A,B,C}, {A,D,G}, {A,E,I}, {C,E,G}, {D,E,F}, {B,E,H}, {B,F ,G},{A,F ,H}, {G,H,I}, {C,F ,I}, {C,D,H}, {B,D,I}.



• Por todos dois pontos passa uma reta.

Axioma verificado.

Axioma I.2:

• Por dois pontos passa uma unica reta.

Axioma verificado.




• Os pontos A, D, H sao tres pontos nao colineares.




Observacao:

• Dada uma reta qualquer e um ponto nao incidente a esta reta, havera uma

unica reta paralela que incide sobre este ponto.

Exemplo: Seja a reta {A,B,C}, havera um ponto D nao incidente a reta

anterior, por onde incide a unica paralela a aquela reta: {D,E,F}.



• Ponto: as retas do modelo M.

• Reta: os pontos do modelo M.

. • Incidencia: um ponto de M∗ e incidente a uma reta se ele for uma reta

de M que passa pelo ponto de M que e reta em M∗.

O ponto P nao e incidente a reta r.

O ponto Q e incidente a reta r.

Temos que provar que M∗ e um modelo e que ele satisfaz a propriedade

elıtica das paralelas.


• Pergunta: Dados dois pontos quaisquer, P e Q, em M∗, existe uma unica

reta que passa por P e Q?

Traduzindo paraM: dadas duas retas quaisquer, elas concorrem em um unico

ponto?

Resposta: Sim, pois em M nao ha retas paralelas e, pelo Teorema 1, as duas

retas concorrem em um unico ponto.



• Pergunta: Toda reta ”passa por”dois pontos?

Traduzindo para M: por todo ponto passam duas retas?

Reposta: Sim. De acordo com o Teorema 5, por todo ponto passam duas

retas distintas.


• Pergunta: Existem tres pontos nao colineares?

Traduzindo para M: Existem tres retas nao concorrentes?

Resposta: Sim, pois o Teorema 2 (pensando no modelo M), nos diz que

existem tres retas concorrentes duas a duas. Logo, nao sao concorrentes em

um unico ponto.



temos estabelecido M∗ como um modelo.

Faltar provar que M∗ satisfaz a propriedade elıtica das paralelas, isto e,

nao existem paralelas, ou seja, duas retas quaisquer sao concorrentes.

Para provar isto, podemos traduzir para M:

Traduzindo para M: por dois pontos passa uma reta?

Resposta: Sim, pois M e modelo e, portanto vale o Axioma I.1.

Logo, M∗ satisfaz a propriedade elıtica das paralelas.

II) AXIOMAS DE ORDEM

Termo primitivo:

• estar entre

Axioma II.1

Se o ponto B esta entre os pontos A e C, entao:

(i) Os pontos A, B e C sao distintos.

(ii) Os pontos A, B e C sao colineares.

Alem disso, o ponto B esta entre C e A.

Notacao que usaremos: A ∗ B ∗ C (B esta entre A e C), que e o mesmo

que C ∗B ∗ A (B esta entre C e A).

Axioma II.2

Se A e B sao dois pontos distintos, entao existe um ponto C tal que B esta

entre A e C (A ∗B ∗ C).

OBSERVACOES:

1) Este axioma nos diz que toda reta tem (pelo menos) tres pontos.

2) O Axioma II.2 pode tambem ser lido assim: Se B e A sao dois pontos

distintos, entao existe um ponto D tal que A esta entre B e D.

3 A observacao 2 nao implica necessariamente que toda reta tenha (pelo

menos) 4 pontos. Vejamos o seguinte exemplo (interpretacao):

Interpretacao do termo primitivo:

Estar entre: qualquer um dos tres pontos de qualquer reta esta entre os

outros dois pontos dessa reta.

Podemos pensar pictograficamente da seguinte maneira:

Significando que sao validas as tres situacoes: A ∗ B ∗ C e A ∗ C ∗ B e

B ∗ A ∗ C.

Com essa interpretacao, os dois Axiomas de Ordem vistos ate o momento

(Axiomas II.1 e II.2) sao verificados?

Verificando o Axioma II.1:

• Os pontos A, B e C sao colineares e distintos.

Axioma verificado.

Axioma II.2:

• O ponto D da observacao corresponde ao ponto C desta interpretacao.

Axioma verificado.

4) Podemos dizer que, dados dois pontos A e B, existe um ponto P tal que

A ∗ P ∗B?

A resposta e nao (ainda).

Axioma II.3 Se A, B e C sao tres pontos distintos e colineares, entao nao

ha mais do que um deles que esta entre os outros dois.

Observacao:

1) Nesse axioma nao esta dito que necessariamente um dos pontos esta entre

os outros dois. Vejamos o seguinte exemplo (interpretacao):

Interpretacao dos termos primitivos – Axiomas de Incidencia:

• Ponto: todos os pontosE, exceto os pontos que estao sobre as circunferenciasde centro em um ponto O fixado (que e ponto) e de raio que e um numero

natural. • Reta: Sao todas as retasE do plano (observe que sao ”esburaca-

das”).


Interpretacao do termo primitivo – Axiomas de Ordem:

Estar entre: se A, B e C sao tres pontos distintos e colineares que nao

pertencem a um mesmo anel do tipo {P ;n < OP < n + 1, n ∈ N}. Entao

um, e somente um, deles estara entre os outros dois de forma natural (ou

seja, como conhecemos da geometria euclidiana). Se A, B e C estao em um

mesmo anel, entao nenhum dos pontos esta entre os outros dois.

A∗B ∗C, porem, os pontos P , M e N , sendo distintos e colineares, um deles

nao esta entre os outros dois, ja que pertencem ao mesmo anel.

O que acaba justificando todos os Axiomas de Ordem vistos ate o mo-

mento: Axiomas II.1, II.2 e II.3 verificados.

Definicao 5

Um segmento (de reta) de extremidades A e B e o conjunto formado pelos

pontos A, B e todos os pontos P tais A ∗ P ∗B.

Notacao: AB ou BA.

Definicao 6

A semirreta de origem A passando por B, e o conjunto dos pontos do seg-

mento AB, e todos os pontos Q tais que A ∗B ∗Q.

Notacao:−→AB.

Retornando ao exemplo anterior, podemos concluir que:

1) O segmento AC tem uma infinidade de pontos. Por outro lado, o segmento

AB, PM , PN , MN so possuem dois pontos (suas extremidades).

2) A semirreta−→AB e formada pelos pontos A, B e todos os pontos Q segundo

o desenho:

3) Ja−→AC sera:

Note que, aqui−→AB =

−→AC (

−→AB ⊂=

−→AC).

1) Com o Axioma II.3, a interpretacao para estar entre dada por: se tres

pontos sao distintos e colineares, entao qualquer um deles esta entre os outros

dois (vista anteriormente), nao e mais valida. Isto implica que toda reta

tenha, pelo menos, quatro pontos (de acordo com o Axioma II.2)? Ou que

toda reta tenha uma infinidade de pontos?

Resposta:

Vejamos que agora nao sera possıvel ter retas com exatamente 4 pontos:

Suponhamos que A, B, C e D sejam os unicos pontos de uma reta. Entao,

pelos Axiomas II.2 e II.3, teremos: A ∗B ∗ C ou A ∗B ∗D.

Suponha que ocorra A ∗B ∗ C.

Agora, A ∗C ∗B, nao pode ocorrer, se nao ocorrera uma divergencia com

o Axioma II.3, pois ja valem A ∗B ∗ C. Entao temos A ∗ C ∗D.

Agora, A ∗D ∗C, nao pode ocorrer, se nao ocorrera uma divergencia com

o Axioma II.3, pois ja valem A ∗ C ∗D. Entao temos A ∗D ∗B.

Agora, B ∗C ∗A, nao pode ocorrer, se nao ocorrera uma divergencia com

o Axioma II.3, pois ja valem A ∗D ∗B. Entao temos B ∗ C ∗D.

Agora, B ∗ D ∗ A e B ∗ D ∗ C, nao pode ocorrer, se nao ocorrera uma

divergencia com o Axioma II.3, pois ja valem B ∗ C ∗D.

Entao, nao havera a relacao B ∗D∗?, pois todos divergira com o Axioma

II.2.

Portanto, sera necessario mais algum ponto (ou pontos) na reta que passa

por A, B, C e D.

Teremos, necessariamente, uma infinidade de pontos nessa reta?

A resposta e nao.

Vejamos o seguinte exemplo (interpretacao) em que toda reta tem exata-

mente 5 pontos.

Considere uma reta com somente os pontos A, B, C, D e E.

Interpretacao para estar entre:

A ∗B ∗ C A ∗D ∗BB ∗ C ∗D B ∗ E ∗ CC ∗D ∗ E C ∗ A ∗DD ∗ E ∗ A D ∗B ∗ EE ∗ A ∗B E ∗ C ∗ A

Os Axiomas II.1, II,2 e II.3 sao satisfeitos.

Vejamos os segmentos de reta neste exemplo:

BE={B, E, A}↑

(E ∗ A ∗B)

Os pontos C e D nao pertencem a BE pois, B ∗ C ∗ E e B ∗D ∗ E nao

ocorrem ja que ocorre B ∗ E ∗ C e D ∗B ∗ E (Ax. II.3).

Pode-se verificar, nesse exemplo, que todo segmento e formado por exa-

tamente 3 pontos.

Vejamos as semirretas nesse exemplo:

−−→BE={B, E, A, C}

↑(B ∗ E ∗ C)

Pode ocorrer B ∗E ∗D? Nao, pois ocorre D ∗B ∗E e, pelo Axioma II.3,

as duas relacoes nao podem ocorrer simultaneamente.

−−→EB={B, E, A, D}

↑(D ∗B ∗ E)

O ponto C nao pertence a−−→EB, pois E ∗ B ∗ C nao pode ocorrer ja que

B ∗ E ∗ C (Ax. II.3).

Logo,−−→BE =

−−→EB.

Nesse modelo vemos que AB ⊂=−→AB ⊂= reta AB.

Definiacao 9

Sejam A, P e B pontos tais que A ∗ P ∗ B. Entao, as semirretas−→PA e

−−→PB

sao ditas opostas.

Vamos analisar o que acontece com duas semirretas opostas no nosso

exemplo de retas com exatamente 5 pontos, por exemplo:

−−→EB e

−−→EC (de B ∗ E ∗ C). Vimos que−−→EB ={B, E, A, D}.

Agora,−−→EC ={E, C, D, A}

↑ ↑(C ∗D ∗ E) (E ∗ C ∗ A)

Note que−−→EB ∩

−−→EC = {E, D, A}.

Axioma II.4 Sejam A, B e C tres pontos distintos e nao colineares, e seja

r uma reta que nao passa por A, B ou C. Se r passa por um ponto que esta

entre A e B, entao r passa por um ponto que esta entre A e C ou por um

ponto que esta entre B e C.

Observacao:

O Axioma II.4 nos diz que a reta r, passando por um ponto de AB, devera

passar por um ponto de AC ou de BC (ou ambos).

Na verdade, apenas uma das situacoes ocorrera, mas isso sera provado como

um teorema.

Teorema 6 Se A e C sao dois pontos distintos, entao existe um ponto D que

esta entre A e C (A ∗D ∗ C).

Demonstracao:

Sejam A e C dois pontos distintos quaisquer.

Pelo Teorema 3, existe um ponto B nao incidente a reta AC. Portanto,

B e distinto de A e de C.

Pelo Axioma II.2, dados os pontos A e B, existe um ponto P tal que

A ∗B ∗ P .

O ponto P nao e incidente a reta AC pois, caso contrario, A, P e C seriam

colineares. Mas entao, de A ∗ B ∗ P temos, pelo Axioma II.2, que A, B e P

sao colineares. Logo, os pontos C e B sao incidentes a reta AP , ou seja, A,

B, C e P seriam colineares, o que contradiz o fato de que B nao e incidente

a reta AC.

Logo, o ponto P e distinto de A e de C.

Pelo Axioma II.2, dados os pontos P e C, existe um ponto O tal que

P ∗ C ∗O.

O ponto O nao e incidente a reta AP (*), pois, caso contrario, os pontos

A, P e O seriam colineares. Mas entao, de P ∗C ∗O, terıamos que os pontos

A, P , O e C seriam colineares. O que nao ocorre, pois P nao e incidente a

reta AC.

Logo, o ponto O e distinto do ponto B.

Pelo Axioma I.1, existe uma reta r que passa por O e B.

A reta r nao passa pelo ponto A, pois, caso contrario, os pontos A, B e

O seriam colineares. Mas, de A ∗ B ∗ P , terıamos que os pontos A, B, O e

P seriam colineares, ou seja, O seria incidente a reta AP , o que nao ocorre

como foi provado anteriormente (*).

A reta r nao passa pelo ponto C pois, caso contrario, O, B e C seriam

colineares. Mas de P ∗ C ∗ O, terıamos que os pontos O, B, C e P seriam

colineares, ou seja, o ponto O seria incidente a reta BP , que e reta AP (pois

A ∗B ∗ P ), o que nao ocorre, como foi provado anteriormente em (*).

A reta r nao passa pelo ponto P pois, caso contrario, os pontos O, B e P

seriam colineares, ou seja, o ponto O seria incidente a reta BP , que e AP , o

que nao ocorre por (*).

Portanto, r e uma reta que nao passa pelos pontos nao colineares A, C e

P , e passa por um ponto que esta entre A e P (o ponto B).

Pelo Axioma II.4, a reta r passa por um ponto que esta entre P e C, ou

por um ponto que esta entre A e C.

A reta r nao passa por um ponto entre P e C, pois, caso contrario, tal

ponto seria o ponto O (ponto comum as retas r e reta PC). Mas entao,

terıamos P ∗ O ∗ C, o que nao pode ocorrer, pois ocorre somente P ∗ C ∗ O(Axioma II.3).

Logo, a reta r passa por um ponto que esta entre A e C (chamemos esse

ponto de D), ou seja, existe um ponto entre A e C.


De A ∗ B ∗ C temos, pelo Axioma II.1, que os pontos A, B e C sao tres

pontos distintos e colineares.

De A ∗ C ∗D temos, pelo Axioma II.1, que os pontos A, C e D sao tres

pontos distintos e colineares.

Portanto, o ponto e distinto de B, C e D e o ponto C e distinto de A, B

e D.

Falta provar que os pontos B e D sao distintos. Suponha, por absurdo,

que B fosse D. Entao, das duas relacoes da hipotese, terıamos: A ∗ B ∗ C e

A ∗ C ∗B. O que contradiz o Axioma II.3.

Logo, A, B, C e D sao quatro pontos distintos.

Agora, de A∗B ∗C temos, pelo Axioma II.1, que os tres pontos A, B e C

sao colineares, ou seja, o ponto B e incidente a reta AC (Axiomas I.1 e I.2).

Agora, de A ∗ C ∗D temos, pelo Axioma II.1, que os tres pontos A, C e

D sao colineares, ou seja, o ponto D e incidente a reta AC.

Logo, os pontos A, B, C e D sao colineares.

Teorema 7 Se A, B e C sao tres pontos distintos e colineares, entao um

deles esta entre os outros dois.

Observacao:

Este teorema, juntamente com o Axioma II.3, nos diz que se A, B e C sao

tres pontos distintos e colineares, entao um, e somente um desses pontos esta

entre os outros dois.

Demonstracao

Suponhamos que o ponto A nao esteja entre B e C, e que o ponto C nao

esteja entre A e B. Vamos provar que necessariamente o ponto B esta entre

A e C.

Existe um ponto D nao incidente a reta AC (Teorema 3) (*). Entao, o

ponto D e distinto do ponto B (que e incidente a reta AC - hipotese).

Pelo Axioma II.2, existe um ponto G tal que B ∗D ∗G.

O ponto G nao e incidente a reta AC pois, caso contrario, os pontos A, C

e G seriam colineares, e portanto os pontos A, C, G e B seriam colineares.

Mas entao, de B ∗ D ∗ G, terıamos que os pontos A, C, G, B e D seriam

colineares, ou seja, o ponto D seria incidente a reta AC, o que contradiz a

afirmacao (*) feita anteriormente. Segue-se que os pontos C, G e B sao nao

colineares.

A reta AD passa por um ponto que esta entre B e G (o ponto D) (Provado

acima). Vamos provar que a reta AD nao passa pelos pontos B, C ou G.

A reta AD nao passa pelo ponto G pois, caso contrario, A, D e G seriam

colineares. Mas entao, de B ∗D∗G, os pontos A, D, G e B seriam colineares,

ou seja, o pontoD seria incidente a reta AB (que e reta AC), o que nao ocorre

(de (*)).

A reta AD nao passa pelo ponto C, pois, caso contrario, A, D e C seriam

colineares, o que nao ocorre (de (*)).

A reta AD nao passa pelo ponto B pois, caso contrario, os pontos A, D

e B seriam colineares, ou seja, D seria incidente a reta AB, que e reta AC,

o que nao ocorre (de (*)).

Pelo Axioma II.4, a reta AD passa por um ponto que esta entre B e C,

ou passa por um ponto que esta entre C e G.

Vamos mostrar que a reta AD nao passa por um ponto que esta entre B e

C. Suponha, por absurdo, que isso ocorra. Entao tal ponto so poderia ser o

ponto A (o ponto de interseccao das retas AD e BC, que e a reta AC). Mas

entao terıamos B ∗ A ∗ C, o que nao ocorre pela suposicao feita no inıcio.

Logo, a reta AD passa por um ponto E que esta entre C e G.

Analogamente, considerando os tres pontos nao colineares A, B e G,

prova-se que e CD passa por um ponto F que esta entre os pontos A e

G (usa-se novamente o Axioma II.4).

Os pontos A, E e G sao nao colineares pois, caso contrario, terıamos de

C ∗ E ∗ G, que os pontos A, E, G e C seriam colineares, ou seja, G seria

incidente a reta AC, o que nao ocorre.

A reta CD passa por um ponto que esta entre A e G (o ponto F ) – ja

provado.

Vamos mostrar que a reta CD nao passa pelos pontos A, E ou G.

A reta CD nao passa pelo ponto A pois, caso contrario, A, C e D seriam

colineares, ou seja, D seria incidente a reta AC, o que nao ocorre.

A reta CD nao passa pelo ponto E pois, caso contrario, terıamos C, D

e E colineares. Mas entao, de C ∗ E ∗ G, terıamos, C, D, E e G colineares.

Mas entao, de B ∗ D ∗ G, terıamos C, D, E, G e B colineares, ou seja, o

ponto D seria incidente a reta BC, que e reta AC, o que nao ocorre.

A reta CD nao passa pelo ponto G pois, caso contrario, terıamos C, D e

G colineares. Mas entao, de B ∗D ∗G, terıamos C, D, G e B colineares, ou

seja, D seria incidente a reta BC, que e reta AC, o que nao ocorre.

Pelo Axioma II.4, a reta CD passa por um ponto que esta entre E e G,

ou passa por um ponto que esta entre E e G, ou passa por um ponto que

esta entre A e E.

Vamos mostrar que a reta CD nao passa por um ponto que esta entre E

e G. Suponha, por absurdo, que isso ocorra. Entao, tal ponto so poderia ser

C (o ponto de interseccao das retas CD e EG, que e a reta CG). Mas entao

terıamos E ∗ C ∗ G, o que nao ocorre, pelo Axioma II.3, pois ja tınhamos

C ∗ E ∗G.

(Note que as retas CD e EG sao distintas. Por que?).

Logo, a reta CD passa por um ponto que esta entre A e E. Tal ponto so

pode ser o ponto D (o ponto de interseccao das retas CD e AE, que e a reta

AD).

Os pontos A, E e C sao nao colineares pois, caso contrario, terıamos, de

C ∗ E ∗ G, que A, E, C e G seriam colineares, ou seja, G seria incidente a

reta AC, o que nao ocorre.

A reta GD passa por um ponto que esta entre A e E (o ponto D).

Vamos mostrar que a reta GD nao passa pelos pontos A, C ou E.

A reta GD nao passa pelo ponto A pois, caso contrario, terıamos G, D e

A colineares. Mas entao, de B ∗D ∗G, terıamos G, D, A e B colineares, ou

seja, D seria incidente a reta AB, que e a reta AC, o que nao ocorre.

A reta GD nao passa pelo ponto C pois, caso contrario, G, D e C seriam

colineares. Mas entao, de B ∗ D ∗ G, terıamos G, D, C e B colineares, ou

seja, o ponto D seria incidente a reta BC (que e reta AC), o que nao ocorre.

A reta GD nao passa pelo ponto E pois, caso contrario, G, D e E seriam

colineares. Mas entao, de C ∗ E ∗ G e B ∗D ∗ G, terıamos G, D, E, C e B

colineares, ou seja, o ponto D seria incidente a reta BC (que e reta AC), o

que nao ocorre.

Pelo Axioma II.4, a reta GD passa por um ponto que esta entre E e C,

ou passa por um ponto que esta entre A e C, ou passa por um ponto que

esta entre A e C.

Vamos mostrar que reta GD nao passa por um ponto que esta entre E e

C. Suponha, por absurdo, que isso ocorra. Entao, tal ponto so poderia ser

G (o ponto de interseccao das retas GD e EC, que e a reta CG). Mas entao

terıamos E ∗ G ∗ C, o que nao ocorre, pelo Axioma II.3, pois ja tınhamos

C ∗ E ∗G.

(Note que as retas GD e EC sao distintas. Por que?).

Logo, a reta GD passa por um ponto que esta entre A e C. Tal ponto so

pode ser B (o ponto de interseccao das retas GD – que passa por B – e reta

AC).

Portanto, B esta entre A e C.

Resolucao do Exercıcio 3 da Lista 3 - Item a (Anexo 3)

Vamos provar que AB ⊂−→AB ∩

−→BA. Seja P e AB. Entao, da definicao

de semi-reta, P ∈−→AB e P ∈

−→BA. Logo, P ∈

−→AB ∩

−→BA. Portanto, AB ⊂

−→AB ∩

−→BA (1).

Vamos provar que−→AB ∩

−→BA ⊂ AB.

Seja P ∈−→AB ∩

−→BA. Se P for A, ou se P for B, entao P ∈ AB. Suponha

P distinto de A e de B. Como P ∈−→AB entao, da definicao de semirreta, os

pontos P , A e B sao colineares.

Pelo Teorema 7, e pelo Axioma II.3 uma, e somente uma, das possibilida-

des podera ocorrer:

(i) P ∗ A ∗B(ii) A ∗B ∗ P(iii) A ∗ P ∗B

(i) nao ocorre, pois se ocorresse terıamos que P nao pertence−→AB.

(ii) nao ocorre, pois se ocorresse terıamos que P nao pertence−→BA.

Logo, (iii) ocorre, ou seja, P ∈ AB.

Portanto,−→AB ∩

−→BA ⊂ AB (2).

De (1) e (2) temos−→AB ∩

−→BA = AB.


Vamos provar inicialmente que−→AB ∪

−→BA ⊂ reta AB.

Seja P ∈−→AB ∪

−→BA. Entao P ∈

−→AB, ou P ∈

−→BA. Segue-se, da definicao

de semirreta, P e incidente a reta reta AB.

Logo,−→AB ∪

−→BA ⊂ reta AB (3).

Vamos mostrar que reta AB ⊂−→AB ∪

−→BA.

Seja P um ponto incidente a reta reta AB. Se P for A, ou se P for B,

entao P ∈−→AB, e portanto P ∈

−→AB ∪

−→BA.

Suponhamos P distinto de A e B. Entao, A, B e P sao tres pontos

distintos e colineares. Pelo Teorema 7, e pelo Axioma II.3 uma, e somente

uma das possibilidades devera ocorrer:

(i) P ∗ A ∗B(ii) A ∗B ∗ P(iii) A ∗ P ∗B

Se (i) ocorre entao, da definicao de semirreta, P ∈−→BA.

Se (ii) ocorre entao, da definicao de semirreta, P ∈−→AB.

Se (iii) ocorre, entao P ∈ AB e, da definicao de semirreta, P ∈−→AB e

P ∈−→BA.

Em qualquer um dos tres casos, P ∈−→AB ∪

−→BA (4).

De (3) e (4) temos−→AB ∪

−→BA = reta AB.

Teorema 8

Sejam A, B e C tres pontos nao colineares, e seja r uma reta que nao passa

por A, B ou C. Se r passa por um ponto que esta entre A e B, entao r passa

por um ponto em somente um dos segmentos AC ou BC.

Demonstracao (Esboco)

Supor, por absurdo, que r passe por um ponto N que esta entre B e C, e

que passa por um ponto P que esta entre A e C.

Pelo exercıcio 5 da lista 3, as retas AN e BP se intersectam em um ponto

Q que esta entre A e N , e que esta entre B e P .

Mostrar que a reta r (que e reta MN) nao passa pelos pontos Q, A e B

(esses dois, por hipotese). Como r passa por M , que esta entre A e B entao,

pelo Axioma II.4, r passa por um ponto entre B e Q, ou passa por um ponto

entre A e Q. Mostrar que esse ultimo caso nao acontece. Logo, r passa por

um ponto K que esta entre B e Q.

Mostrar que K e P sao distintos.

Logo, como K e P estao na reta r, entao r (que e reta KP ) passa por B,

o que contradiz a hipotese.

Logo, r nao pode passar por um ponto entre B e C, e por um ponto entre

A e C.

Definicao 7

Seja r uma reta, e sejam A e B dois pontos nao incidentes a r. Dizemos que

os pontos A e B estao no mesmo lado de r, se A for B, ou se a reta r nao

passa por um ponto de AB. Caso contrario, diremos que os pontos A e B

estao em lados opostos de r.

Teorema 9

Seja r uma reta, e sejam A, B e C tres pontos nao incidentes a reta r. Entao:

(i) Se A e B estao no mesmo lado de r, e se A e C estao no mesmo lado de

r, entao B e C estao no mesmo lado de r.

(ii) Se A e B estao em lados opostos de r, e se A e C estao em lados opostos

de r, entao B e C estao do mesmo lado de r.

(iii) Se A e B estao no mesmo lado de r, e se A e C estao em lados opostos

de r, entao B e C estao em lados opostos de r.

Vamos demonstrar apenas o caso (i). a demonstracao dos casos (ii) e iii

ficam como exercıcios.

Demonstracao - caso (i)

Suponhamos inicialmente que A, B e C sejam nao colineares.

Queremos mostrar que B e C estao no mesmo lado de r, ou seja, que r

nao passa por um ponto entre B e C.

Suponha, por absurdo, que r passe por um ponto entre B e C. Entao,

como r nao passa por A, B ou C (hipotese), pelo Axioma II.4, r deve passar

por um ponto que esta entre A e C (e nesse caso, A e C estariam em lados

opostos de r), ou por um ponto que esta entre A e B (e nesse caso, A e B

estariam em lados opostos de r), o que nao ocorre, por hipotese.

Logo, os pontos B e C estao no mesmo lado de r.

Suponha agora que A, B e C sejam distintos e colineares. Suponha ainda,

sem perda de generalidade (spg), que tenhamos A ∗B ∗ C.

A reta s, que passa por A, B e C, e paralela a r, ou e concorrente a

r. Se r e s forem concorrentes, seja P um ponto de r distinto do ponto de

concorrencia de r e s.

Dados os pontos P e B, pelo Axioma II.2, existe um ponto D tal que

P ∗B ∗D.

Pelo Axioma II.1, os pontos P , B e D sao distintos e colineares. Alem

disso, o ponto D nao e incidente a reta s.

A reta r nao passa por um ponto que esta entre B e D pois, caso contrario,

tal ponto seria P (o ponto de interseccao das retas r e reta BD). Mas entao

terıamos B∗P ∗D, o que contradiz o Axioma II.3 pois ja temos que P ∗B∗D.

Logo, os pontos B e D estao no mesmo lado de r (definicao 7).

Entao de:

A e B estao no mesmo lado de r (hipotese) e B e D estao no mesmo lado

de r (provado acima) temos, pela primeira parte do teorema (A, B e D nao

colineares), que a reta r nao passa por um ponto entre A e D, ou seja, os

pontos A e D estao no mesmo lado de r.

Agora de:

A e C estao no mesmo lado de r (hipotese) e A e D estao no mesmo lado

de r (provado acima), temos, pela primeira parte do teorema (A, C e D nao

colineares), que os pontos C e D estao no mesmo lado de r.

Agora de:

B e D estao no mesmo lado de r (provado) e C e D estao no mesm lado

de r (provado) temos, pela primeira parte deste teorema (B, C e D nao

colineares), que os pontos B e C estao no mesmo lado de r.

Definicao 8

Seja r uma reta, e seja P um ponto nao incidente a r. O semi-plano definido

por r que contem o ponto P (Notacao: Sr,P ou SP ) e o conjunto dos pontos

Q tais que P e Q estao no mesmo lado de r.

Observacao: Note que Sr,P = ϕ, pois P ∈ Sr,P .

Teorema 10

Toda reta define exatamente dois semi-planos disjuntos.

Demonstracao

Seja r uma reta qualquer, e seja P um ponto qualquer nao incidente a r.

(Teorema 3)

Seja A um ponto qualquer de r. Pelo Axioma II.2, existe um ponto Q tal

que P ∗ A ∗ Q. Logo, a reta r passa por um ponto que esta entre P e Q (o

ponto A).

Portanto, os pontos P e Q estao em lados opostos de r (1) (definicao).

Segue-se, da definicao de semi-plano, que Q nao pertence a Sr,P . Considere

entao Sr,Q. Entao, Sr,P = Sr,Q. Entao existem dois semi-planos distintos por

r.

Vamos mostrar que r define somente esses dois semi-planos.

Seja M um ponto qualquer nao incidente a r. Entao M e P estao no

mesmo lado de r ou, caso contrario, M e P estao em lados opostos de r

(2). No primeiro caso temos, por definicao de semi-plano, que M ∈ Sr,P .

No segundo caso temos, de (1) e (2), que os pontos M e Q estao no mesmo

lado de r (Teorema 9, item (ii)). Segue-se, da definicao de semi-plano, que

M ∈ Sr,Q.

Logo, r define exatamente dois semi-planos.

Vamos mostrar agora, que Sr,P ∩ Sr,Q = ϕ. Suponha, por absurdo, que

exista um ponto N e Sr,P ∩Sr,Q. Entao, da definicao de semi-plano, os pontos

N e P estao no mesmo lado de r (3) e os pontos N e Q estao no mesmo lado

de r (4).

Segue-se, de (3) e (4), e pelo Teorema 9 item (i), que os pontos P e Q

estao no mesmo lado de r, o que contradiz (1).

Logo, Sr,P ∩ Sr,P = ϕ.

Corolario Seja r uma reta qualquer. Entao todo ponto incidente a r, divide

essa reta em exatamente duas semirretas, de origem nesse ponto, cujo unico

ponto comum e aquele ponto. (Essas duas semirretas sao ditas opostas –

Definicao 9, dada antes da definicao 7 e 8).

Demonstracao:

Sejam r uma reta e O um ponto qualquer incidente a r.

Seja P um ponto nao incidente a r (Teorema 3). Entao P e O sao dois

pontos distintos.

Seja s a reta que passa por P e O.

Seja A um ponto distinto de O e incidente a r.

Pelo Axioma II.2, existe um ponto B tal que A ∗ O ∗ B. Segue-se, do

Axioma II.1, que A, O e B sao distintos e colineares e, como A e O sao

incidentes a r, entao B e incidente a r.

Ainda, de A∗O∗B, temos que B nao pertence a−→OA (negacao da definicao

de semirreta). Logo,−→OA =

−−→OB. Alem disso, do Teorema 10, Ss,A = Ss,B.

Seja M um ponto qualquer incidente a r e distinto de O. Se M for A,

entao M ∈−→OA. Se M for B, entao M ∈

−−→OB. O ponto M nao e incidente a

s, pois M e distinto de O (o ponto de interseccao das retas r e s).

Suponha M distinto de A e de B.

Entao, M ∈ Ss,A ou Ss,B (Teorema 10). Se M ∈ Ss,A, entao os pontos M

e A estao no mesmo lado de s (5). Entao, pelo Teorema 7, e pelo Axioma

II.3, um e somente um dos casos ocorrera:

(i) A ∗O ∗M(ii) A ∗M ∗O(iii) M ∗ A ∗O

(i) nao ocorre, pois M ∈ Ss,A (de (5)).

Se (ii) e (iii) ocorrem entao, da definicao de semirreta, M ∈−→OA.

Analogamente prova-se que, se M ∈ Ss,B, entao M ∈−−→OB. Portanto O

divide r em exatamente duas semirretas.

Alem disso,−→OA∩

−−→OB = {0} pois, caso contrario, se C distinto de O e tal

que C ∈−→OA ∩

−−→OB, entao de C ∈

−→OA, terıamos que C e A, ou C e tal que

C ∗A ∗O ou A ∗ C ∗O. Em qualquer caso, C ∈ Ss,A, ou seja, os pontos C e

A estao no mesmo lado de s (caso contrario, terıamos A ∗O ∗ C, e portanto

C nao pertence a Ss,A).

Por outro lado, de C ∈−−→OB, terıamos que C ∈ Ss,B. Absurdo.

Logo,−→OA ∩

−−→OB = {0}.

Resolucao do Exercıcio 7 da Lista 3 - Item a (Anexo 3)

De A ∗ B ∗ C e de A ∗ C ∗ D temos, pelo Exercıcio 1 da lista 3, que os

pontos A, B, C e D sao 4 pontos distintos e colineares. Seja r a reta que

passa por esses pontos. Seja P um ponto nao incidente a r.

Seja s a reta que passa por P e C. Entao, de A ∗ C ∗ D temos, por

definicao, que os pontos A e D estao em lados opostos de s.

Por outro lado, de A ∗B ∗C, temos que os pontos A e B estao no mesmo

lado de s (2) pois, caso contrario, existiria um ponto de s que estaria entre

A e B. Mas tal ponto so poderia ser o ponto C (o ponto de interseccao das

retas s e reta AB – que e r). Mas entao terıamos A∗C ∗B, o que nao ocorre,

pois temos A ∗B ∗ C (Axioma II.3).

De (1) e de (2) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos B e D

estao em lados opostos de s. Logo, existe um ponto de s que esta entre B e

D. Tal ponto e o ponto C (o ponto de interseccao das retas s e reta BD –

que e r). Logo, B ∗ C ∗D.

Falta mostrar A ∗B ∗D.

Seja agora t a reta que passa por P e B.

De A ∗ B ∗ C temos, por definicao, que os pontos A e C estao em lados

opostos de t.

De B∗C∗D (mostrado acima) temos que os pontos C e D estao no mesmo

lado de t (4) pois, caso contrario, existiria um ponto da reta t que estaria

entre C e D. Tal ponto so poderia ser o ponto B (o ponto de interseccao das

retas t e reta CD – que e r). Mas entao terıamos C ∗B ∗D, contradizendo,

atraves do Axioma II.3, o fato de que B ∗ C ∗D.

De (3) e (4) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos A e D estao

em lados opostos da reta t.

Logo, existe um ponto da reta t que esta entre A e D. Tal ponto e B (o

ponto de interseccao de t e reta AD – que e r).

Logo, A ∗B ∗D.

Teorema 11

Todo segmento possui uma infinidade de pontos.

Observacao: Como consequencia, toda semirreta e toda reta possui uma

infinidade de pontos. A partir de agora nao e mais possıvel dar exemplos de

modelos de geometria finita.

Demonstracao (ideia):

Seja AB um segmento qualquer.

Pelo Teorema 6, existe um ponto A1, tal que A ∗ A1 ∗ B. Pelo Axioma

II.1, os pontos A, A1 e B sao distintos e colineares.

Pelo Teorema 6, existe um ponto A2, tal que A ∗ A2 ∗ A1. Pelo Axioma

II.1, os pontos A, A2 e A1 sao distintos e colineares. Do exercıcio 7 da lista

3 temos, de A ∗A1 ∗B e A ∗A2 ∗A1, que A2 ∗A1 ∗B. Logo A2 e distinto de

B (Axioma II.1).

Pelo Teorema 6, existe um ponto A3 tal que A ∗A3 ∗A2. Mostrar que A3

e distinto de A1 e de B, etc. (seja An tal que A ∗An ∗An−1; mostrar que An

e distinto de An−2, An−3,· · · ,B).

Definicao 10

Duas semirretas de mesma origem−→OA e

−−→OB, distintas e nao opostas definem

um angulo.

Notacao: AOB, ou BOA, ou O.

Observacao: A origem comum O das semirretas−→OA e

−−→OB que definem um

angulo e chamada vertice do angulo, e as semirretas−→OA e

−−→OB sao chamadas

lados do angulo.

Definicao 11

Um ponto P e dito ponto interior a um angulo AOB se os pontos P e A

estao no mesmo lado da reta OB, e se os pontos P e B estao no mesmo lado

da reta OA.

Pergunta: Dado um angulo qualquer AOB existe um ponto interior a

AOB?

Teorema 12 Seja AOB um angulo. Um ponto da reta AB e ponto interior

a AOB se, e somente se esse ponto esta entre A e B.

Demonstracao:

Seja P tal que A ∗ P ∗ B. Vamos mostrar que P e um ponto interior a

AOB.

Note que, de A ∗ P ∗ B, o ponto P nao e incidente as retas OA e OB.

(Por que?)

Os pontos P e A estao no mesmo lado da reta OB (1) pois, caso contrario,

existiria um ponto da reta OB que estaria entre P e A. Tal ponto so poderia

ser o ponto B (o ponto de interseccao das retas OB e PA – que e reta AB).

Mas entao terıamos P ∗B ∗ A, o que contradiz A ∗ P ∗B, pelo axioma II.3.

Analogamente, temos que os pontos P e B estao no mesmo lado da reta

OA.

De (1) e (2) temos, pela definicao de ponto interior a um angulo, que P e

ponto interior a AOB.

Seja agora P um ponto da reta AB que nao esta no segmento AB. Entao,

pelo Teorema 7, e pelo Axioma II.3 um, e somente um, dos dois casos ocorrera:

(i) P*A*B

(ii) A*B*P

Se (i) ocorrer entao, da definicao, temos que os pontos P e B estao em

lados opostos da reta OA. Logo, P nao e ponto interior a AOB.

Se (ii) ocorre entao, da definicao, temos que os pontos P e A estao em

lados opostos da reta OB. Logo P nao e ponto interior a AOB.

Portanto, acabamos de provar que, se P e um ponto incidente a reta AB

que nao esta no segmento AB, entao P nao e ponto interior a AOB, ou

seja, pela contrapositiva, provamos que se P e um ponto da reta AB que e

interior a AOB, entao P esta no segmento AB.

Definicao 12

Seja AOB um angulo. O conjunto dos pontos interiores a AOB e chamado

interior de AOB. O conjunto dos pontos que nao estao nos lados de AOB

nem no interior de AOB, e chamado exterior de AOB.

Teorema 13

Seja AOB um angulo.

(i) Se P e ponto interior a AOB, entao todos os pontos da semirreta−→OP ,

exceto O, sao pontos interiores a AOB, e todos os pontos da semirreta

oposta a−→OP , exceto O, sao pontos exteriores a AOB.

(ii) Toda semirreta de origem O e distinta das semirretas−→OA e

−−→OB esta toda

contida no interior, ou toda contida no exterior de AOB (exceto O).

(iii) Se P e um ponto interior a AOB, e se Q e um ponto da semirreta

oposta a−→OA e distinto de O, entao os pontos P , O e Q formam um angulo

de origem O, e o ponto B esta em seu interior.

(iv) Se P e um ponto interior a AOB, entao os pontos A e B estao em lados

opostos da reta OP . (v) Se todos os pontos de uma semirreta de origem O,

exceto o proprio O, forem pontos interiores a AOB, entao essa semirreta

intersecta o segmento AB em um ponto que esta entre A e B (Teorema da

Barra Transversal).

Demonstracao - caso i :

Seja P um ponto qualquer interior a AOB. Entao P e distinto de O (e

o ponto P nao e incidente a reta OA e OB - prove).

Seja Q um ponto qualquer na semirreta−→OP e distinto de O (entao Q nao

e incidente as retas OA e OB - prove).

Se Q for P , entao Q e ponto interior a AOB.

Suponhamos entao que Q e P sejam distintos. Entao, da definicao de

semirreta, temos que ou O ∗Q ∗ P , ou O ∗ P ∗Q.

Se O ∗ Q ∗ P ocorre, entao os ponto Q e P estao no mesmo lado da reta

OA (1) pois, caso contrario, existiria um ponto da reta OA que estaria entre

Q e P . Tal ponto so poderia ser o ponto O (o ponto da interseccao das retas

OA e QP – que e reta OP ). Mas entao terıamos Q ∗O ∗P , o que nao ocorre

pelo AxiomaII.3 (pois ocorre O ∗Q ∗ P ).

Analogamente prova-se que os pontos Q e P entao no mesmo lado da reta

OB(2).

Como P e ponto interior a AOB temos, por definicao, que os pontos P

e A entao no mesmo lado da reta OB (3), e os pontos P e B estao no mesmo

lado da reta OA (4).

De (1) e (4) temos, pelo Teorema 9, item (i), que os pontos Q e B estao

no mesmo lado da reta OA (5).

De (2) e (3) temos, pelo Teorema 9, item (i), que os pontos Q e A estao

no mesmo lado da reta OB (6).

De (5) e (6) temos, por definicao, que o ponto Q e ponto interior a AOB.

Analogamente, prova-se que, se O ∗P ∗Q ocorre, entao (1) e (2) ocorrem,

e portanto o ponto Q sera ponto interior a AOB.

Logo, se Q e um ponto qualquer da semirreta−→OP , exceto O, entao Q e

interior a AOB.

Falta provar ainda que todo ponto da semirreta oposta a−→OP , exceto O,

e ponto exterior a AOB.

Seja N um ponto qualquer da semirreta oposta a semirreta−→OP e distinto

de O. Entao,−−→ON e essa semirreta oposta a

−→OP (exercıcio 9, item (b), da

lista 3).

Entao, da definicao de semirreta oposta, temos que N ∗ O ∗ P . Segue-se,

da definicao de pontos no mesmo lado, ou em lados opostos de uma reta, que

os pontos N e P estao em lados opostos da reta OA (7) (pois O e um ponto

da reta O que esta entre N e P ).

Segue-se, de (4) e (7), pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos N e B

estao em lados opostos da reta OA. Logo, N nao e ponto interior a AOB

e, como N nao e incidente as retas OA e OB (Por que?), entao N e ponto

exterior a AOB.

Demonstracao - caso ii :

Seja−→OP uma semirreta qualquer distinta de

−→OA e de

−−→OB.

Entao P nao esta nos laods de−→OA e de

−−→OB.

Entao P e ponto interior a AOB, ou P e ponto exterior a AOB.

Se P e ponto interior a AOB entao, pelo item (i) deste teorema, temos

que todos os pontos de−→OP , exceto O, sao pontos interiores a AOB.

Se P e ponto exterior a AOB entao P e A estao em lados opostos da

reta OB (8), ou os pontos P e B estao em lados opostos da reta OA (9).

Seja M um ponto qualquer da semi-reta−→OP , distinto de O e distinto de

P . Entao, da definicao de semirreta, temos que ou O ∗M ∗ P , ou O ∗ P ∗Mocorre. Em qualquer um desses casos, os pontos P e M estao no mesmo

lado da reta OA (10) pois, caso contrario, existiria um ponto da reta OA que

estaria entre P e M . Tal ponto so poderia ser O (o ponto de interseccao das

retas OA e PM – que e reta OP ). Mas entao terıamos P ∗O ∗M , o que nao

ocorre, pelo Axioma II.3, pois O ∗M ∗ P ou O ∗ P ∗M ocorrem.

Aalogamente, ve-se que os pontos P e M estao do mesmo lado da reta

OB (11).

Assim, de (8) e (11), teremos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos

M e A entao em lados opostos da reta OB, ou, de (9) e (10) temos, pelo

Teorema 9, item (iii), que os pontos M .

Em qualquer caso, provamos que M e ponto exterior a AOB, ou seja, se

P e ponto exterior a AOB, entao todos os pontos da semirreta−→OP , exceto

O, sao pontos exteriores a AOB.

Demonstracao - caso iii :

O ponto P e ponto interior a AOB. Entao P nao esta nos lados de

AOB (em particular, nao esta em−→OA), e nao esta na semirreta oposta a

−→OA pois, caso contrario, os pontos P e A estariam em lados opostos da reta

OB (terıamos P ∗O ∗ A). Mas entao P nao seria ponto interior a AOB.

Portanto P nao e incidente a reta OA (que e a reta OQ). Logo, POQ e

um angulo.

Vamos mostrar agora que B e ponto interior a POQ.

Os pontos B e P estao no mesmo lado da reta OQ (I), pois P e ponto

interior a AOB, e portanto P e B estao no mesmo lado da reta OA (definicao

de ponto interior), que e a reta OQ.

Falta mostrar que os pontos B e Q estao no mesmo lado da reta OP .

Os pontos P e A estao no mesmo lado da reta OB (II), pois P e ponto

interior a AOB (definicao de ponto interior a um angulo).

Os pontos Q e A estao em lados opostos da reta OB (III), pois Q esta,

por hipotese, na semirreta oposta a−→OA, e portanto temos Q ∗O ∗A, ou seja,

existe um ponto da reta OB (o ponto O) que esta entre Q e A.

De (II) e (III) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos P e Q

estao em lados opostos da reta OB (IV).

Segue-se, por definicao, que existe um ponto K na reta OB que esta entre

P e Q.

Vamos mostrar que K ∈−−→OB e K distinto de O.

O ponto K e distinto de O pois, caso contrario, de P ∗ K ∗ Q, terıamos

que os pontos P , O e Q seriam colineares (Axioma II.1), o que nao ocorre,

como ja foi provado.

O ponto K nao esta na semirreta oposta a semirreta−−→OB pois, caso

contrario, a reta QK so teria pontos exteriores a AOB (*) e, como P e

incidente a essa reta (de P ∗K ∗Q) e pelo Axioma II.1, P seria ponto exte-

rior a AOB, o que contradiz a hipotese.

Portanto K ∈−−→OB e K distinto de O.

Os pontos K e Q estao no mesmo lado da reta OP (VII) pois, caso

contrario, existiria um ponto da reta OP que estaria entre K e Q. Tal ponto

so poderia ser o ponto P (o ponto de interseccao das retas OP e KQ - que e

reta KP , pois Q ∗K ∗P ). Mas entao terıamos K ∗P ∗Q, atraves do Axioma

II.3.

Os pontos B e K estao no mesmo lado da reta OP (VIII) pois, caso

contrario, existiria um ponto da reta OP que estaria entre B e K. Tal ponto

so poderia ser O (o ponto de interseccao das retas OP e BK - que e BO).

Mas entao terıamosK∗O∗B, o que contradiz o fato provado de queK ∈−−→OB.

De (VII) e (VIII) temos, pelo Teorema 9, item (i), que os pontos B e Q

estao no mesmo lado da reta OP (IX).

De (I) e (IX) temos, por definicao, que o ponto B e ponto interior a POQ.

(*) Por que todos os pontos da reta QK seriam exteriores?

Seja N um ponto qualquer da reta QK. Se N for Q ou K, entao N e

ponto exterior a AOB (verifique!). Suponhamos entao que N seja distinto

de Q e K. Entao, do Teorema 7, e do Axioma II.3, teremos que uma, e

somente uma, das relacoes podera ocorrer:

(a) N ∗K ∗Q(b) K ∗N ∗Q(c) K ∗Q ∗N

Se (a) ocorre, entao os pontos N e K estao no mesmo lado da reta OQ

(V) pois, caso contrario, exitiria um ponto da reta OQ que estaria entre N

e K. Tal ponto so poderia ser o ponto Q (o ponto de interseccao das retas

OQ e NK - que e reta NQ). Mas entao terıamos N ∗ Q ∗K contradizendo

a hipotese (a), atraves do Axioma II.3.

Por outro lado, os pontos K e B estao em lados opostos da reta OQ (VI)

(da hipotese do absurdo K ∗O ∗B).

De (V) e (VI) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos N e B

estao em lados opostos da reta OQ, que e reta OA. Segue-se que, como N

nao e incidente as retas OA e OB (comprove!), o ponto N e ponto exterior a

AOB.

Se (b) ocorre, prova-se, da mesma maneira que no caso (a), que os pontos

N e B estao em lados opostos da reta OA.

Se (c) ocorre, prova-se, de maneira analoga ao caso (a), que os pontos N

e A estao em lados opostos da reta OB.

Em qualquer caso terıamos que todos os pontos da reta KQ seriam pontos

exteriores a AOB.

Demonstracao - caso iv :

Seja P um ponto interior a AOB.

Seja Q um ponto da semirreta oposta a semirreta−→OA e distinto de O.

Pelo item (iii) deste teorema, temos que o ponto B e ponto interior ao angulo

POQ. Segue-se, da definicao de ponto interior a um angulo, que os pontos

B e Q estao no mesmo lado da reta OP (*).

Por outro lado, comoQ esta na semirreta oposta a−→OA, temos queQ∗O∗A,

ou seja, os pontos Q e A estao em lados opostos da reta OP . (**) (pois o

ponto O da reta OP esta entre Q e A).

De (*) e (**) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos A e B estao

em lados opostos da reta OP .

Demonstracao - caso v :

Seja−→OP uma semirreta tal que todos os seus pontos, exceto O, sao pontos

interiores a AOB.

Entao, pelo item (iv) deste teorema, os pontos A e B estao em lados

opostos da reta OP , ou seja, existe um ponto K desta reta, que esta entre A

e B.

Falta provar que K esta em−→OP .

O ponto K e distinto de O pois, caso contrario, como A ∗K ∗B, terıamos

que os pontos A, O e B seriam colineares, o que nao acontece pois AOB e

um angulo.

K nao esta na semirreta oposta a−→OP pois, caso contrario, K seria ponto

exterior a AOB, pelo item (i). Mas entao os pontos K e A estariam em

lados opostos de reta OB ou, os pontos K e B estariam em lados opostos da

reta OA.

Mas nenhum desse casos pode ocorrer, pois temos A∗K ∗B, e isso implica

que os pontos K e A estao no mesmo lado da reta OB e os pontos K e B

estao no mesmo lado da reta OA (caso contrario existiria um ponto da reta

OB entre K e A; mas tal ponto seria B, que e o ponto de interseccao das

retas OB e KA – que e reta AB; mas entao terıamos K ∗ B ∗ A, o que nao

ocorre; analogamente nao pode existir um ponto da reta OA entre K e A).

Logo, K e um ponto da semirreta−→OP que esta entre A e B.


Seja AOB um angulo qualquer. Prove, admitindo que qualquer reta r in-

tersecte alguma das retas que contem um dos lados do angulo AOB, que

nao existe uma reta cujos pontos sao todos interiores a AOB.

Demonstracao:

Seja r uma reta qualquer.

Por hipotese, r intersecta uma reta que contem um dos lados do angulo

AOB em um ponto P .

Entao P esta nesse lado do angulo, ou P esta na semirreta oposta aquele

lado do angulo. Nesse ultimo caso, P e ponto exterior a AOB.

Em qualquer caso, P nao e ponto interior a AOB.

Observacao: E ”facil”provar que, dado um angulo AOB, existe uma reta

cujos pontos sao todos exteriores a AOB. Fizemos isso na prova do item

(iii) do Teorema 13.

Pergunta: E possıvel existir uma reta tal que todos os seus pontos sao pontos

interiores a AOB? SIM.


O ponto A esta no lado−→CA do angulo ACB, e o ponto M esta no lado

−−→CB do angulo ACB.

O ponto N esta entre A e B (hipotese). Pelo Teorema 13, item (i), a

semirreta−−→CN esta toda (exceto C) no interior de ACB.

Pelo Teorema da Barra Transversal (Teorema 13, item (v)),−−→CN intersecta

o segmento AM em um ponto P que esta entre A e M .

O ponto M esta no interior de BAC (pelo Teorema 12, pois B ∗M ∗ Cpor hipotese). A semirreta

−−→AM esta toda (exceto A) no interior de BAC.

O ponto C esta no lado AC de BAC, e o ponto N esta no lado−→AB de

BAC.

Pelo Teorema da Barra Transversal, a semirreta−−→AM intersecta o segmento

CN em um ponto que esta entre C e N . Tal ponto e o ponto P (o ponto de

interseccao das retas CN e AM).

Logo, as retas CN e AM se intersectam em um ponto P que esta entre

A e M , e esta entre C e N .


Vamos provar que−→AB =

−→AC.

Seja P ∈−→AB. Se P for A, se P for B, ou se P for C, entao P ∈

−→AC (de

A ∗B ∗ C).

Suponha P distinto de A, B e C.

Entao, de P ∈−→AB, ou A ∗ P ∗B, ou A ∗B ∗ P (definicao de semirreta).

Se A ∗P ∗B temos, de A ∗B ∗C, pelo exercıcio 7 da lista 3, item (a), que

A ∗ P ∗ C e P ∗B ∗ C.

De A ∗ P ∗ C temos, por definicao, que P ∈−→AC.

Se A ∗B ∗P , suponhamos por absurdo que P nao pertence a−→AC. Entao,

da definicao de semirreta e do Teorema 7, temos que P ∗A ∗C. De P ∗A ∗C(C ∗A ∗P ) e de A ∗B ∗C (C ∗B ∗A) temos, pelo exercıcio 7 da lista 3, item

(a), que C ∗B ∗ P e B ∗ A ∗ P .

De B ∗A ∗ P temos que P nao pertence a−→AB, contradizendo o hipotese.

Logo, P ∈−→AB ⇒ P ∈

−→AC, ou seja

−→AB ⊂

−→AC.

Falta provar que−→AC ⊂

−→AB.

Seja P ∈−→AC um ponto qualquer.

Se P for A, B (pois B ∈ AC, de A ∗B ∗ C) ou C, entao P ∈−→AB.

Suponhamos P distinto de A, B e C.

Como P ∈−→AC entao, da definicao de semirreta, temos que A ∗ P ∗C, ou

A ∗ C ∗ P .

Suponha que A ∗ P ∗ C e suponha, por absurdo, que P ∈−→AB. Entao

temos P ∗ A ∗B (da negacao da definicao de semirreta e do Teorema 7).

De P ∗ A ∗ B e da hipotese A ∗ B ∗ C temos, pelo exercıcio 7 da lista 3,

item (b), P ∗B ∗C e P ∗A ∗C. A ultima relacao nos diz que P nao pertence

a−→AC, o que contraria a hipotese. Logo, P ∈

−→AB.

Suponhamos agora que A ∗ C ∗ P . Entao da hipotese A ∗ B ∗ C temos,

pelo Teorema 7, item (a), A ∗ B ∗ P e B ∗ C ∗ P . De A ∗ B ∗ P temos, por

definicao, que P ∈−→AB.

Logo, P ∈−→AC implica em P ∈

−→AB, ou seja,

−→AC ⊂

−→AB.

De−→AB ⊂

−→AC e de

−→AC ⊂

−→AB temos

−→AB =

−→AC.

Segue-se que−→AB ∩

−→AC =

−→AB =

−→AC.


Dado um angulo AOB, mostrar que existe uma reta passando por O, tal

que todos os pontos (exceto o ponto O), sao pontos exteriores a AOB.

Demonstracao:

Seja P um ponto tal que P e B estao no mesmo lado da reta OA (1), e

tal que P e A estao em lados opostos da reta OB (2) (??). Melhor dito:

Seja Q um ponto distinto de O na semirreta oposta a semirreta−→OA. Entao

Q ∗O ∗ A.

Seja P um ponto tal que Q∗P ∗B (Teorema 6). Entao vale (1) pois, caso

contrario, existiria um ponto da reta OA que estaria entre P e B. Tal ponto

so poderia ser Q (o ponto de interseccao das retas overlineOA - de Q ∗O ∗Ae Axioma II.1 - e PB - que passa por Q, pois temos Q ∗ P ∗ B). Mas entao

terıamos P ∗Q ∗B contradizendo, atraves do Axioma II.3, que Q ∗ P ∗B.

Tambem vale (2) pois:

Os pontos P e Q estao no mesmo lado da reta OB (3) pois, caso contrario,

existiria um ponto da reta OB que existiria entre P e Q. Tal ponto so poderia

ser B (o ponto de interseccao das retas OB e PQ). Mas entao terıamos

P ∗ B ∗ Q, o que contradiz Q ∗ P ∗ B. Por outro lado, de Q ∗ O ∗ A, temos

que os pontos Q e A estao em lados opostos da reta OB (4) (da definicao).

De (3) e (4) temos, pelo Teorema 9, item (iii), os pontos P e A estao em

lados opostos da reta OB.

Vamos provar agora que todos os pontos da reta PO, exceto O, sao pontos

exteriores a AOB.

De (1) e (2) temos, por definicao, que o ponto P e ponto exterior a AOB.

Seja N um ponto qualquer da reta OP distinto de O e de P . Pelo Teorema

7 e pelo Axioma II.3 uma, e somente uma das relacoes podera ocorrer:

(i) N ∗ P ∗O(ii) P ∗N ∗O(iii) P ∗O ∗N

Se (i) ocorre, entao os pontos N e P estao no mesmo lado da reta OB

(5) pois, caso contrario, existiria um ponto da reta OB que estaria entre N e

P . Tal ponto so poderia ser O (o ponto de interseccao das retas OB e NP ).

Mas entao terıamos N ∗O ∗P , o que contradiz a hipotese N ∗P ∗O (atraves

do Axioma II.3).

Entao de (2) e (5) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos N e

A estao em lados opostos da reta OB (6).

Como N nao e incidente as retas OA e OB (por que?), a afirmacao (6)

nos diz, da definicao, que N e ponto exterior a AOB.

Se (ii) ocorre, entao a demonstracao e analoga a demonstracao do caso

(i).

Se (iii) ocorre entao, da definicao, os pontos P e N estao em lados opostos

da reta OA (7).

De (1) e (7) temos, pelo Teorema 9, item (iii), que os pontos N e B estao

em lados opostos da reta OA (8).

Como N nao e incidente as retas OA e OB (por que?) a afirmacao (8)

nos diz, por definicao, que N e ponto exterior a AOB.

Portanto, em qualquer um dos casos (i), (ii) ou (iii), o ponto N e ponto

exterior a AOB, ou seja, todos os pontos da reta OP , exceto O, sao pontos

exteriores a AOB.

II) AXIOMAS DE CONGRUENCIA

Termo primitivo:

• Congruencia (congruente a), para: segmentos e angulos.

Congruencia de Segmentos

Axioma III.1

Seja AB um segmento e seja uma semirreta de origem C. Entao existe um

ponto D nessa semirreta, distinto de C, tal que o segmento AB e congruente

a CD.

Notacao: AB ≡ CD

OBSERVACAO:

1) O Axioma III.1 nos fala da existencia do ponto D, mas nao da unicidade.

A unicidade resultara como um teorema mais adiante.

2) Note que o Axioma III.1 nos diz que o segmento AB dado e congruente

a CD. Nao podemos dizer ainda que CD e congruente a AB, ou seja, nao

sabemos se a congruencia e simetrica.

Axioma III.2

Se AB ≡ EF e se CD ≡ EF , entao AB ≡ CD.

OBSERVACAO: O Axioma III.2 pode ser lido assim: se CD ≡ EF e

AB ≡ EF , entao CD ≡ AB, mas isso nao implica na simetria. No en-

tanto, as propriedades reflexiva, simetrica e transitiva sao consequencias dos

Axiomas III.1 e III.2.

REFLEXIVIDADE: Devemos provar que para todo segmento AB temos

AB ≡ AB. Seja AB um segmento qualquer e seja uma semirreta com origem

em um ponto C qualquer (isso e justificado pelos Axiomas de Incidencia).

Pelo Axioma III.1, existe um ponto D na semirreta de origem C, tal que

AB ≡ CD.

Pelo Axioma III.2 temos, de AB ≡ CD e AB ≡ CD que AB ≡ AB.

SIMETRIA: Devemos provar que se AB ≡ CD, entao CD ≡ AB.

Seja AB ≡ CD.

Pelo Axioma III.2 temos, de CD ≡ CD (reflexividade) e de AB ≡ CD

(hipotese), que CD ≡ AB.

TRANSITIVIDADE: Devemos provar que se AB ≡ CD e se CD ≡ EF ,

entao AB ≡ EF .

De CD ≡ EF temos, por simetria, que EF ≡ CD.

Entao, de AB ≡ CD (hipotese) e EF ≡ CD (acima) temos, pelo Axioma

II.2, que AB ≡ EF .

Portanto a relacao congruencia de segmento e uma relacao de equivalencia.

A partir de agora podemos dizer que,se AB e congruente a CD (e portanto

CD e congruente a AB), entao AB e CD sao congruentes.

Axioma III.3 - Aditividade

Sejam A, B e C tais que A ∗B ∗C, e sejam A′, B′ e C ′ tais que A′ ∗B′ ∗C ′.

Se AB ≡ A′B′ e se BC ≡ B′C ′, entao AC ≡ A′C ′.


Sejam A, B, C e D pontos tais que A ∗ B ∗ C e A ∗ C ∗D, e sejam A′, B′,

C ′ e D′ pontos tais que A′ ∗B′ ∗C ′ e A′ ∗C ′ ∗D′. Prove que, se AB ≡ A′B′,

BC ≡ B′C ′ e CD ≡ C ′D′, entao AD ≡ A′D′.

Demonstracao:

Note que, de A ∗B ∗ C e A ∗ C ∗D, os pontos A, B, C e D sao distintos

e colineares (exercıcio 1 da lista 3). Analogamente temos que A′, B′, C ′ e D′

sao 4 pontos distintos e colineares.

De A ∗B ∗C, A′ ∗B′ ∗C ′, AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C ′ temos, pelo Axioma

III.3, que AC ≡ A′C ′.

De A ∗ C ∗ D, A′ ∗ C ′ ∗ D′, AC ≡ A′C ′ (provado acima) e CD ≡ C ′D′

temos, pelo Axioma III.3, que AD ≡ A′D′.

OBSERVACAO: E possıvel provar, atraves do Axioma III.3, que se A∗B ∗C,

A′ ∗B′ ∗ C ′, AB ≡ A′B′ e AC ≡ A′C ′, entao BC ≡ B′C ′?

Vamos tentar provar:

Dado BC existe um ponto D na semirreta−−→B′C ′ distinto de B′ tal que

BC ≡ B′D (Axioma III.1).

Se concluirmos que D coincide com C ′ entao provamos o resultado.

Note que, para aplicarmos o Axioma III.3, devemos ter A′ ∗B′ ∗D.

Isso e consequencia do fato que D ∈−−→B′C ′ e D distinto de B′. Se D for C ′

entao de A′ ∗B′ ∗C ′ temos A′ ∗B′ ∗D. Se D for C ′, entao teremos B′ ∗D ∗C ′

ou B′ ∗C ′ ∗D. Se B′ ∗D∗C ′ ocorre, entao da hipotese A′ ∗B′ ∗C ′ temos, pelo

exercıcio 7 da lista 3, item (a), que C ′ ∗D ∗A′ e D ∗B′ ∗A′ (ou A′ ∗B′ ∗D).

Se B′ ∗C ′ ∗D ocorre, entao da hipotese A′ ∗B′ ∗C ′ temos, pelo exercıcio

7 da lista 3, item (b), que A′ ∗B′ ∗D e A′ ∗ C ′ ∗D.

De AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C ′ temos, pelo Axioma III.3, que AC ≡ A′D.

Obtivemos que AC ≡ A′D. Mas, por hipotese, temos AC ≡ A′C ′. Por-

tanto A′D ≡ A′C ′.

Entao, e verdade que D e C ′ coincidem?

A resposta e: Nao sabemos, pois nao temos a unicidade do ponto no

Axioma III.1.

Congruencia de Angulos

Axioma III.4

Seja AOB um angulo e seja−−→O′A′ uma semirreta. Entao existe, em cada um

dos semi-planos definidos pela reta O′A′, uma unica semirreta−−→O′B′ tal que

o angulo AOB e congruente ao angulo A′O′B′. Alem disso, todo angulo e

congruente a si proprio (reflexividade).

Notacao: AOB ≡ A′O′B′.

OBSERVACAO: Nao podemos dizer ainda que A′O′B′ ≡ AOB (simetria).

Definicao 13

Um triangulo e definido por tres pontos nao colineares, e pelos tres segmentos

cujas extremidades sao esses pontos.

Exemplo: A, B e C nao colineares. Triangulo formado por A, B e C (notacao:

△ABC, ou△ACB, ou△BAC, ou△BCA, ou△CAB, △CBA), com os seg-

mentos AB, AC e BC.

OBSERVACAO: Os tres pontos nao colineares A, B e C sao chamados

vertices do △ABC. Os tres segmentos AB, AC e BC sao chamados de

lados do △ABC.

Axioma III.5

Sejam △ABC e △A′B′C ′ dois triangulos tais que AB ≡ A′B′, BAC ≡ B′A′C ′ e AC ≡ A′C ′. Entao ABC ≡ A′B′C ′.

OBSERVACAO: O Axioma III.5 nos diz ainda, trocando B por C e C por

B, B′ por C ′ e C ′ por B′, ou seja, trocando a ordem na hipotese (AC ≡ A′C ′,

CAB ≡ C ′A′B′ e AB ≡ A′B′), que entao ACB ≡ A′C ′B′.

Definicao 14

Dois angulos sao chamados adjacentes se eles tem um lado comum e se os

outros lados estao, respectivamente, contidos em semi-planos distintos em

relacao a reta que contem o lado comum.

Exemplos:

AOB e BOC sao adjacentes.

AOB e BOC sao adjacentes.

Teorema 14

Seja AB um segmento qualquer e seja uma semirreta qualquer de origem em

um ponto C qualquer. Entao existe um unico ponto D, distinto de C, nessa

semirreta tal que AB ≡ CD.

Demonstracao:

Pelo Axioma III.1, existe um ponto D, distinto de C, na semirreta de

origem C tal que AB ≡ CD.

Suponhamos, por absurdo, que exista naquela semirreta, um ponto D′

distinto de D e de C, tal que AB ≡ CD.

Entao temos, da definicao de semirreta, que C ∗D ∗D′ ou C ∗D′ ∗D.

Suponhamos que C ∗D ∗D′ (o outro caso a demonstracao se desenvolve

de forma analoga).

Seja P um ponto nao incidente a reta que passa por C, D e D′ (Teo-

rema 3). Entao os pontos C, P e D sao nao colineares, e os pontos C, P

e D′ tambem sao nao colineares, formando os triangulos △CPD e △CPD′

respectivamente.

Entao, nesses dois triangulos, temos:

a) CP ≡ CP (reflexividade)

b) PCD ≡ PCD′ pois−−→CD =

−−→CD′ e PCD ≡ PCD, pelo Axioma III.4

c) de AB ≡ CD temos CD ≡ AB (simetria), e da hipotese do absurdo

AB ≡ CD′, concluımos que CD ≡ CD′, por transitividade.

Pelo Axioma III.5 temos que CPD ≡ CPD′ (*).

Observe que os pontos D e D′ estao no mesmo lado da reta PC pois, caso

contrario, existiria um ponto da reta PC que estaria entre D e D′. Tal ponto

so poderia ser o ponto C (o ponto de interseccao das retas PC e DD′ - que

passa por C). Mas entao terıamos D ∗ C ∗ C ′, contradizendo C ∗ D ∗ D′,

atraves do Axioma II.3.

Segue-se que os pontos D e D′ estao em um mesmo semi-plano definido

pela reta PC, e portanto as semirretas−−→PD e

−−→PD′ estao, exceto o ponto P ,

nesse mesmo semi-plano (Por que?).

Assim, dado o angulo CPD, e dada a semirreta−→PC existem, em um

mesmo semi-plano definido pela reta PC, duas semirretas distintas (Por

que?)−−→PD e

−−→PD′, tais que CPD ≡ CPD (reflexividade - Axioma III.4) e

CPD ≡ CPD′ (de (*)). Mas isso contradiz o Axioma III.5.

Logo, D′ nao e distinto de D, ou seja, existe um unico ponto D na semir-

reta de origem em C, tal que AB ≡ CD.

Exercıcio Proposto

Sejam A, B e C tais que A ∗B ∗C, e sejam A′, B′ e C ′ tais que A′ ∗B′ ∗C ′.

Se AB ≡ A′B′ e se AC ≡ A′C ′, entao BC ≡ B′C ′.

Definicao 15

Dois angulos sao chamados adjacentes suplementares se eles forem adjacen-

tes, e se os lados comuns forem semirretas opostas.

Exemplos:

Se C ∗O ∗ A, entao AOB e BOC sao adjacentes suplementares.

AOB e BOC sao adjacentes suplementares. AOB e AOD tambem

sao angulos adjacentes suplementares.

OBSERVACAO: Se dois angulos sao adjacentes suplementares entao dizemos

que qualquer um deles e um suplemento do outro.


Provar que todo angulo possui dois suplementos.

Demonstracao

Seja AOB um angulo qualquer.

Seja C um ponto na semirreta oposta a−→OA, e seja D um ponto na semir-

reta oposta a−−→OB.

Entao as semirretas−→OA e

−→OC estao (exceto O) em semi-planos distin-

tos em relacao a reta OB. Logo, AOB e BOC sao angulos adjacentes

suplementares (da definicao).

As semirretas−−→OB e

−−→OD estao (exceto O) em semi-planos distintos em

relacao a reta OA. Logo, por definicao, AOB e AOD sao angulos adjacen-

tes suplementares. Como BOC e AOD sao angulos distintos, entao esses

dois angulos sao suplementos de AOB.

Definicao 16

Um angulo e dito reto se ele e congruente a algum de seus suplementos.

Exemplo:

AOB e BOC adjacentes suplementares.

Se AOB ≡ BOC entao AOB e um angulo reto.

OBSERVACOES:

1) Ainda nao provamos a existencia de um angulo reto.

2) Nao temos ainda que, se AOB e BOC sao adjacentes suplementares

com AOB ≡ BOC (portanto AOB e reto), entao BOC e reto.

3) Nao podemos dizer ainda que se AOB e congruente a um angulo reto,

entao ele e reto.

4) Nao podemos dizer ainda que se AOB e congruente a um angulo reto,

e se COD e congruente a um angulo reto, entao AOB ≡ COD (ou

COD ≡ AOB).

5) Nao podemos dizer ainda que se AOB e reto e se COD e reto, entao

AOB ≡ COD (ou COD ≡ AOB).

Definicao 17

Dois angulos sao ditos opostos pelo vertice se os lados de um deles sao, res-

pectivamente, semirretas opostas dos lados do outro.

Exemplo:

Se C ∗O ∗ A e B ∗O ∗D, entao AOB e COD sao angulos opostos pelo

vertice. Idem para BOC e AOD.

OBSERVACAO: Se △ABC e um triangulo, entao os angulos BAC, ABC

e ACB sao chamados angulos (internos) do △ABC.

Definicao 18

Um triangulo e chamado isosceles se um de seus lados e congruente a outro

lado (ou seja, se ele possui dois lados congruentes).


Provar a existencia de um triangulo isosceles.

Demonstracao:

Seja ABC um angulo qualquer.

Seja D o ponto da semirreta−−→BC tal que BD ≡ BA (Teorema 14). Entao

os pontos A, B e D sao nao colineares. Logo, △ABD e isosceles.

Teorema 15

Seja△ABC um angulo isosceles comAB ≡ AC. Entao B ≡ C e C ≡ B.

Definicao 19

Um triangulo △ABC e congruente a um triangulo △A′B′C ′, AB ≡ A′B′,

AC ≡ A′C ′, BC ≡ B′C ′, e ainda A ≡ A′, B ≡ B′ e C ≡ C ′.

Notacao: △ABC ≡ △A′B′C ′.

Teorema 16 (1o caso de congruencia de triangulos - LAL)

Sejam △ABC e △A′B′C ′ dois triangulos tais que AB ≡ A′B′, A ≡ A′ e

AC ≡ A′C ′. Entao △ABC ≡ △A′B′C ′.

Demonstracao:

Pelo Axioma III.5, e da hipotese, temos que B ≡ B′ e C ≡ C ′.

Falta provar, para concluir que △ABC ≡ △A′B′C ′, usando a definicao, que

BC ≡ B′C ′.

Suponhamos, por absurdo, que os segmentos BC e B′C ′ nao sejam con-

gruentes.

Entao, pelo Axioma III.1, existe um ponto D na semirreta−−→B′C ′, distinto

de B′, tal que BC ≡ B′D. Note que D e distinto de C ′, pela hipotese do

absurdo. Segue-se que B′ ∗D ∗ C ′, ou B′ ∗ C ′ ∗D.

Suponhamos que ocorra B′ ∗D ∗C ′ (o outro caso se desenvolve de forma

analoga).

Considere os triangulos △ABC e △A′B′D.

Entao de:

a) AB ≡ A′B′ (hipotese)

b) B ≡ B′ (concluido acima)

c) BC ≡ B′D (acima)

Temos, pelo Axioma III.5, que A ≡ B′A′D.

Por outro lado, por hipotese, temos A ≡ A′ (ou B′A′C ′).

Como as semirretas−−→A′D e

−−→A′C ′ sao distintas (por que?) e estao (exceto o

ponto A′) no mesmo semi-plano definido pela reta A′B′, entao teremos uma

contradicao com o Axioma III.4.

Logo, BC ≡ B′C ′, e portanto, por definicao, △ABC ≡ △A′B′C ′.

Teorema 17 (2o caso de congruencia de triangulos - ALA)

Sejam △ABC e △A′B′C ′ dois triangulos tais que A ≡ A′, AB ≡ A′B′ e

B ≡ B′. Entao △ABC ≡ △A′B′C ′.

Demonstracao:

Vamos provar que AC ≡ A′C ′.

Com isso provado, poderemos usar entao o Teorema 16 (LAL), pois tere-

mos: AC ≡ A′C ′, A ≡ A′ (hipotese) e AB ≡ A′B′ (hipotese), e portanto

concluiremos que △ABC ≡ △A′B′C ′.

Suponhamos, por absurdo, queAC eA′C ′ NAO sejam congruentes. Entao,

dados AC e a semirreta−−→A′C ′, existe um ponto D distinto de A′ nessa semir-

reta tal que AC ≡ A′D (Axioma III.1).

Note que os pontos D e C ′ sao distintos pois, pela hipotese do absurdo,

AC e A′C ′ nao sao congruentes. Entao, ou A′ ∗D ∗ C ′ ou A′ ∗ C ′ ∗D.

Suponhamos que A′ ∗D ∗ C ′ ocorra (o caso A′ ∗ C ′ ∗D e analogo).

Considere os triangulos △ABC e △A′B′D. Entao, pelo 1o caso de con-

gruencia de triangulos (Teorema 16 - LAL), AC ≡ A′D, A ≡ A′ e AB ≡A′B′, e temos △ABC ≡ △A′B′C ′.

Segue-se, da definicao de congruencia de triangulos, que B ≡ A′B′D.

Como, por hipotese, temos B ≡ A′B′C ′, e como as semirretas−−→B′D e

−−→B′C ′

sao distintas e estao no mesmo semi-plano em relacao a reta A′B′, entao

chegamos a uma contradicao com o Axioma III.4, que nos diz que, dado

o angulo B e dada a semirreta−−→B′A′, existe em cada semi-plano, definido

por essa reta, uma unica semirreta de origem B′, digamos−−→B′E, tal que

B ≡ A′B′E (no nosso caso, terıamos B ≡ A′B′C ′ e B ≡ A′B′D).

Portanto, AC ≡ A′C ′, e o Teorema fica provado usando o Teorema 16,

como mostramos anteriormente.

Teorema 18

Sejam AOB e BOC, e sejam A′O′B′ e B′O′C ′ dois pares de angulos

adjacentes suplementares. De AOB ≡ A′O′B′, entao BOC ≡ B′O′C ′.

Demonstracao:

Suponhamos, sem perda de generalidade (SPG) que OB ≡ O′B′, OA ≡O′A′ e OC ≡ O′C ′.

Entao, pelo Teorema 16 (1o caso - LAL), de OB ≡ O′B′, AOB ≡ A′O′B′ (hipotese) e OA ≡ O′A′, temos △AOB ≡ △A′O′B′.

Segue-se dessa congruencia de triangulos, que OAB ≡ O′A′B′ e AB ≡A′B′.

Da hipotese temos que C ∗ O ∗ A e C ′ ∗ O′ ∗ A′. Alem disso, temos que

CO ≡ C ′O′ e OA ≡ O′A′. Pelo Axioma III.3, temos que CA ≡ C ′A′ (ou

AC ≡ A′C ′).

Entao, de AB ≡ A′B′ (provado acima), BAC ≡ B′A′C ′ (provado

acima) e AC ≡ A′C ′ (provado acima) temos, pelo Teorema 16 (1o caso -

LAL), que △ABC ≡ △A′B′C ′.

Segue-se dessa congruencia, e da definicao de congruencia de triangulos,

que BCA ≡ B′C ′A′ ( BCO ≡ B′C ′O′) e CB ≡ C ′B′.

Considere agora os triangulos △BCO e △B′C ′O′. Entao, de CB ≡ C ′B′

(provado acima), BCO ≡ B′C ′O′ (provado acima) e CO ≡ C ′O′, temos,

pelo Teorema 16 (LAL), que △BCO ≡ △B′C ′O′.

Finalmente, segue-se, desta congruencia e da definicao de congruencia de

triangulos, que BOC ≡ B′O′C ′.

Teorema 19

Sejam AOB e COD dois angulos opostos pelo vertice com−→OA e

−→OC

semirretas opostas, e−−→OB e

−−→OD semirretas opostas.

Entao AOB ≡ COD, e COD ≡ AOB.

Demonstracao:

Da hipotese temos que os angulos AOB e BOC sao adjacentes suple-

mentares e que BOC e COD tambem sao adjacentes suplementares.

Como BOC ≡ BOC (Axioma III.4), entao, pelo Teorema 18, temos

AOB ≡ COD (e COD ≡ AOB).

Teorema 20 (existancia de angulo reto)

Existe um angulo reto.

Demonstracao:

Seja r uma reta, e seja O e A dois pontos distintos incidentes a r.

Seja B um ponto nao incidente a r (Teorema 3). Entao os pontos O, A e

B sao nao colineares. Considere o angulo AOB.

Figura 1

Entao, dado o angulo AOB, e dada a semirreta−→OA, existe, no semi-

plano distinto do semi-plano definido pela reta OA que contem o ponto B,

uma unica semirreta−−→OB′ tal que AOB ≡ AOB′ (Axioma III.4).

Suponha SPG que OB′ ≡ OB. Note que os pontos B e B′ estao em lados

opostos da reta r. Entao, da definicao, a reta r intersecta BB′ em um ponto

M que esta entre B e B′.

Tres casos podem ocorrer:

a) o ponto M ∈−→OA e e distinto de O (Figura 1)

b) o ponto M coincide com O (Figura 2)

c) o ponto M e tal que M ∗O ∗ A (Figura 3)

Se (a) ocorre, entao os pontos B, O e M sao nao colineares, e os pontos

B′, O e M sao nao colineares.

Considere entao os triangulos △BOM e △B′OM (note que B, O e B′

sao nao colineares).

O triangulo △BOB′ e isosceles. Pelo Teorema 15, temos OBM ≡ OB′M (e OB′M ≡ OBM).

Assim, de OBM ≡ OB′M , OB ≡ OB′ e BOM ≡ B′OM ( AOB ≡ AOB′) temos, pelo Teorema 17 (2o caso - ALA), que △BOM ≡ △B′OM .


que BMO ≡ B′MO.

Como esses dois angulos sao adjacentes suplementares (−−→BM e

−−→B′M sao

semirretas opostas), temos, da definicao de angulo reto, que BMO e reto.

Se (b) ocorre, entao AOB e AOB′ sao adjacentes suplementares (pois−−→OB e

−−→OB′ sao opostos).

Figura 2

Como AOB ≡ AOB′ temos, da definicao de angulo reto, que AOB e

reto.

Se (c) ocorre, entao os pontos B, O e B′ sao nao colineares. Entao△BOB′

e isosceles e pelo Teorema 15, OBM ≡ OB′M (e OB′M ≡ OBM).

Figura 3

Os angulos AOB e BOM sao adjacentes suplementares (pois, de M ∗O∗A, as semirretas

−−→OM e

−→OA sao opostas, e

−−→OB e comum aos dois angulos).

Da mesma forma, AOB′ e B′OM sao adjacentes suplementares.

Como AOB ≡ AOB′ entao, pelo Teorema 18, BOM ≡ B′OM .

Assim, de OBM ≡ OB′M , OB ≡ OB′ e BOM ≡ B′OM temos pelo

Teorema 17 (ALA) que △BOM ≡ △B′OM .

Segue-se, dessa congruencia e da definicao de congruencia de triangulos,

que BMO ≡ B′MO.

Como−−→MB e

−−→MB′ sao semirretas opostas e

−−→MO e comum a BMO e

B′MO, entao esses angulos sao adjacentes suplementares. Portanto, da

definicao de angulo reto, temos que BMO e reto.

Em qualquer um dos casos (a), (b) ou (c) mostramos a existencia de

angulo reto, e o Teorema esta provado.

Teorema 21

Sejam−→OA,

−−→OB e

−→OC tres semirretas distintas de origem O, e sejam

−−→O′A′,

−−→O′B′ e

−−→O′C ′ tres semirretas distintas de origem O′. Suponha que uma das

duas situacoes ocorra:

(a)−−→OB e

−→OC estao (exceto O) no mesmo semi-plano definido pela reta

overlineOA, e−−→O′B′ e

−−→O′C ′ estao no mesmo semi-plano definido pela reta

O′A′.

(b)−−→OB e

−→OC estao (exceto O) em semi-planos distintos definidos pela reta

OA, e−−→O′B′ e

−−→O′C ′ estao em semi-planos distintos definidos pela reta O′A′.

Se BOA ≡ B′O′A′ e COA ≡ C ′O′A′, entao BOC ≡ B′O′C ′.

(a)

(b)

Demonstracao:

Vamos provar somente o caso (a) (o caso (b) e analogo e e mais simples).

No caso (a) duas situacoes podem ocorrer: a semirreta−→OC esta (exceto

O) no interior de BOA, ou a semirreta−→OC nao esta no interior de BOA.

Nesse ultimo caso, o ponto C nao esta no interior de BOA. Como−−→OB e

−→OC estao no mesmo semi-plano definido pela reta OA, entao os pontos C e

B estao no mesmo lado da reta OA (1) (da definicao de semi-plano). Assim,

como C nao esta no interior de BOA, teremos que C e A estao em lados

opostos da reta OB (2).

Seja F tal que F ∗O ∗A (Axioma II.2). Entao, os pontos F e A estao em

lados opostos da reta OB (3).

De (2) e (3) temos, pelo Teorema 9, item (ii), que os pontos C e F estao

do mesmo lado da reta OB (4).

De (1) e (4) temos que o ponto C e ponto interior a BOF .

Pelo Teorema 13, item (iii), temos que B esta no interior de COA. Pelo

Teorema 13, item (i), a semirreta−−→OB esta (exceto O) no interior de COA.

Suponhamos agora que a semirreta−→OC esteja no interior de BOA. Va-

mos provar que, com a hipotese BOA ≡ B′O′A′ e COA ≡ C ′O′A′, a

semirreta−−→O′C ′ esta no interior de B′O′A′.

Pelo Teorema da barra transversal (Teorema 13, item (v)), como−→OC esta

no interior de BOA, entao existe um ponto D de−→OC que esta entre A e B

(A*D*B).

Suponhamos, SPG, que OA ≡ O′A′ e OB ≡ O′B′.

Seja D′ o ponto da semmirreta−−→O′C ′ tal que OD ≡ O′D′ (Teorema 14).

De OA ≡ O′A′, BOA ≡ B′O′A′ (hipotese) e OB ≡ O′B′ temos, pelo

Teorema 16 (LAL), que △BOA ≡ △B′O′A′.


que AB ≡ A′B′, OAB ≡ O′A′B′ e OBA ≡ O′B′A′.

Agora, de COA ≡ C ′O′A′ temos DOA ≡ D′O′A′ (outra maneira de

escrever os angulos COA e C ′O′A′), de OA ≡ O′A′ e de OD ≡ O′D′ temos

pelo Teorema 16 (LAL), que △DOA ≡ △D′O′A′.

Segue-se dessa congruencia e da definicao de congruencia de triangulos,

que OAD ≡ O′A′D′ e AD ≡ A′D′. O ponto D esta entre A e B. Portanto−−→AD ≡

−→AB e OAD e o mesmo que OAB.

Pelo Axioma III.4 temos que, dados o angulo OAB e a semirreta−−→A′O′,

a semirreta−−→A′B′ e a unica semirreta no semi-plano do ponto B′ definido pela

reta O′A′, tal que OAB ≡ O′A′B′ (que ja foi provado).

Por outro lado, pelo Axioma III.4, dados o angulo OAD e a semirreta−−→A′O′, a semirreta

−−→A′D′ e a unica semirreta no semi-plano do ponto B′ definido

pela reta O′A′, tal que OAD ≡ O′A′D′ (que ja foi provado).

Segue-se, do Axioma III.4 que, como OAD e OAB representam o

mesmo angulo, as semirretas−−→A′B′ e

−−→A′D′ coincidem. Logo, o ponto D′ esta

em−−→A′B′.

Entao temos a seguinte situacao: AB ≡ A′B′, A ∗ D ∗ B e AD ≡ A′D′.

Segue-se que A′∗D′∗B′ (exercıcio que sera feito ao final desta demonstracao).

Pelo Teorema 12, o ponto D′ e interior a B′O′A′. Pelo Teorema 13, item

(i), a semirreta−−→O′D′ esta no interior de B′O′A′. Mas

−−→O′D′ ≡

−−→O′C ′ (exercıcio

9, item (b), da lista 3). Logo,−−→O′C ′ esta no interior de B′O′A′.

Da congruencia de △OAD ≡ △O′A′D′ ja obtivemos AD ≡ A′D′ e temos

ainda ODA ≡ O′D′A′.

De AB ≡ A′B′, A∗D ∗B e AD ≡ A′D′, temos que DB ≡ D′B′ (exercıcio

comentado em aula).

De ODA ≡ O′D′A′ temos, pelo Teorema 18, ODB ≡ O′D′B′.

De OBD ≡ O′B′D′ (pois OBA ≡ O′B′A′ - ja provado), DB ≡ D′B′

e ODB ≡ O′D′B′ temos, pelo Teorema 17 (ALA) que△ODB ≡ △O′D′B′.

Segue-se dessa congruencia e da definicao de congruencia de triangulos,

que BOD ≡ B′O′D′, ou seja, BOC ≡ B′O′C ′.

Teorema 22

Sejam AOB e A′O′B′ tais que AOB ≡ A′O′B′. Seja−→OC uma semirreta

no interior de AOB. Entao existe uma unica semirreta−−→O′C ′ no interior de

A′O′B′ tal que AOC ≡ A′O′C ′ e BOC ≡ B′O′C ′.

Teorema 23

Sejam Z1 e Z2 dois pontos em semi-planos distintos definidos pela reta XY

tais que XZ1 ≡ XZ2 e Y Z1 ≡ Y Z2. Entao XY Z1 ≡ XY Z2 (e XY Z2 ≡ XY Z1, e Y XZ1 ≡ Y XZ2 ( Y XZ2 ≡ Y XZ1).

Teorema 24 (3o caso de congruencia de triangulos - LLL)

Sejam △ABC e △A′B′C ′ dois triangulos tais que AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C ′ e

BC ≡ B′C ′. Entao △ABC ≡ △A′B′C ′ (e △A′B′C ′ ≡ △ABC).

Teorema 25

Sejam AOC, A′O′C ′ e A′′O′′C ′′ tais que AOC ≡ A′O′C ′ e AOC ≡ A′′O′′C ′′. Entao A′O′C ′ ≡ A′′O′′C ′′ (e A′′O′′C ′′ ≡ A′O′C ′).

OBSERVACAO: Com o Axioma III.4 e o Teorema 25, podemos obter a si-

metria e a transitividade na congruencia de angulos.

SIMETRIA: Queremos provar AOB ≡ A′O′B′ ⇔ A′O′B′ ≡ AOB.

De AOB ≡ A′O′B′ (hipotese) e de AOB ≡ AOB (reflexividade,

Axioma III.4). Temos, pelo Teorema 25, que A′O′B′ ≡ AOB.

TRANSITIVIDADE: Queremos provar que se AOB ≡ A′O′B′ e A′O′B′ ≡ A′′O′′B′′, entao AOB ≡ A′′O′′B′′.

Da hipotese AOB ≡ A′O′B′ temos, por simetria, A′O′B′ ≡ AOB.

Agora, de A′O′B′ ≡ AOB (obtido acima) e A′O′B′ ≡ A′′O′′B′′ (hipotese)

temos, pelo Teorema 25, que AOB ≡ A′′O′′B′′.

Teorema 26

Sejam AOB e A′O′D′ dois angulos. Seja−−→O′B′ a unica semirreta, no mesmo

semi-plano da semirreta−−→O′D′ em relacao a reta O′A′, tal que A′O′B′ ≡

AOB. Seja ainda−−→OD a unica semirreta

−−→OB em relacao a reta

−→OA, tal que

AOD ≡ A′O′D′. Se−−→O′B′ esta no interior de A′O′D′, entao

−−→OD esta no

exterior de AOB, e reciprocamente.

OBSERVACOES:

1) No caso do Teorema, diremos que o angulo AOB e menor do que o angulo

A′O′D′ (Notacao: AOB < A′O′D′).

2) O Teorema 26 nos permite estabelecer uma relacao de ordem na con-

gruencia de angulos e a propriedade da tricotomia.

Se AOB e A′O′D′ sao angulos quaisquer, entao uma, e somente uma,

das relacoes ocorrera:

(i) AOB < A′O′D′

(ii) AOB ≡ A′O′D′

(iii) A′O′D′ < AOB

3) Diremos que um angulo AOB emaior que um angulo A′O′B′ se o angulo

A′O′B′ for menor do que o angulo AOB.

4) O Teorema 26 nos diz tambem que se AOB e AOC sao dois angulos

tais que−−→OB esta no interior de AOC, entao AOB < AOC.

5) Pode-se provar ainda:

a) α < β e β < γ ⇒ α < γ

b) α < β e β ≡ γ ⇒ α < γ

c) α ≡ β e β < γ ⇒ α < γ

Teorema 27

Todos os angulos retos sao congruentes entre si.

AOB ≡ BOC

A′O′B′ ≡ B′O′C ′

Supor que AOB < A′O′B′, AOD ≡ A′O′B′ e−−→OB no interior de

AOD (⇒ AOB < AOD). Entao AOD e reto (exercıcio) entao AOD ≡ DOC.

De AOB ≡ BOC temos BOC ≡ AOB (1). De AOB < AOD e

AOD ≡ DOC temos AOB < DOC (2). De (1) e (2) temos BOC <

DOC.


Provar que se um angulo e congruente a um angulo reto, entao ele e reto.

Demonstracao

Seja AOB e A′O′B′ tais que A′O′B′ e reto e AOB ≡ A′O′B′ (1).

Sejam C e C ′ tais que C ∗O ∗ A e C ′ ∗O′ ∗ A′.

De A′O′B′ reto temos, por definicao que A′O′B′ ≡ B′O′C ′ (2).

Pelo Teorema 18 temos B′O′C ′ ≡ BOC (3).

De (1), (2) e (3) temos, por transitividade, que AOB ≡ A′O′B′.

Logo, AOB e reto (definicao).

Definicao 20

Se um angulo AOB e menor do que um angulo reto, entao AOB e chamado

de angulo agudo. Se AOB e maior do que um angulo reto, entao AOB e

chamado angulo obtuso.

Definicao 21

Os angulos ABC, BAC e ACB de um triangulo △ABC sao chamados

angulos internos do △ABC. Seus suplementos (para cada angulo interno ha

dois suplementos, opostos pelo vertice e portanto congruentes) sao chamados

angulos externos do △ABC.

Teorema 28 (Teorema do angulo externo)

Qualquer angulo externo de um triangulo e maior do que cada um dos angulos

internos desse triangulo nao adjacentes aquele angulo externo.

B < α

C < α

ou

α > B

α > C


(Existencia de retas paralelas)

Seja r uma reta e seja P um ponto nao incidente a r. Provar que existe uma

reta passando por P que e paralela a r.

Resolucao

Seja A e B dois pontos incidentes a r.

Seja s a reta que passa por P e B.

Entao, dado o angulo PAB e dada a semirreta−−→PB existe, no semi-plano

distinto do semi-plano do ponto A em relacao a reta s, uma unica semirreta−→PC tal que ABP ≡ BPC (Axioma III.4).

Seja t a reta que passa por P e C. Afirmamos que t e r sao paralelas.

Suponhamos, por absurdo, que t e r nao sao paralelas. Entao existe um

ponto Q comum a t e r. Entao A ∗B ∗Q ou Q ∈−→BA. Suponha A ∗B ∗Q.

Entao ABP e externo ao △BPQ. Pelo Teorema do angulo externo,

temos ABP > BPC, o que contradiz ABP ≡ BPC.

Notas de Aula - Versão 2 - Euclidiana

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