Notas de aula sobre Integração

Universidade Federal de Viosa - Departamento de Matemtica

Notas de Aula - Clculo I - Integrais 1

Vamos

Comear

Antiderivada e Integrao Indefinida

principal objetivo dessa aula apresentar os conceitos de

antiderivada, integrais indefinidas, integrais definidas e clculo de

reas entre duas funes. Vamos comear com a definio da

operao antiderivar e apresentar o conceito de primitiva de uma funo.

Apresentaremos tambm os diversos mtodos de obteno de primitivas de funes. Os

conceitos de integral definida e clculo de reas entre funes tambm sero vistos.

Exerccios sobre como calcular a integral indefinida e a integral definida de uma funo

so apresentados.

Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de:

Entender o que uma primitiva de uma funo;

Entender o conceito de integral indefinida de uma funo;

Reconhecer os diversos mtodos de integrao de uma funo;

Calcular a integral indefinida de uma funo;

Entender o conceito de integral definida de uma funo;

Aplicar o Teorema fundamental do clculo;

Calcular a rea entre duas funes.

Na matemtica aplicada ocorre freqentemente conhecermos a

derivada de uma funo e desejarmos encontrar a prpria funo.

A soluo de problemas desse tipo necessita que se desfaa a

operao de diferenciao, isto , somos forados a antiderivar.

Se f e F so duas funes tais que ( ) ( )xfxF =' dizemos que F uma

antiderivada de f. Assim, ( ) 2xxF = uma antiderivada de ( )xf , desde que

( ) xxDx 22 = . Se c uma constante, ento a funo definida por cxy += 2 tambm uma antiderivada de f, desde que ( ) xcxDx 22 =+ . Geralmente, definem-se antiderivada da seguinte maneira:

O



Exemplo

Exemplo

Exemplo

Definio: Uma funo ( )xF chamada uma primitiva (antiderivada) da funo ( )xf

em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de ( )xf ), se para todo Ix , temos

( ) ( )xfxF =' .

A funo ( )3

3xxF = uma primitiva da funo ( ) 2xxf = , pois

( ) ( )xfxxxF === 2233

1' .

As funes ( ) 43

3

+=x

xG e ( ) ( )33

1 3 += xxH tambm so primitivas da

funo ( ) 2xxf = , pois ( ) ( ) ( )xfxHxG == '' .

A funo ( ) ( ) cxsenxF += 22

1, onde c uma constante, primitiva da

funo ( ) ( )xxf 2cos= .

Note que uma mesma funo ( )xf admite mais que uma primitiva. Com isso,

temos as seguintes proposies:

Proposio: Seja ( )xF uma primitiva da funo ( )xf . Ento, se c uma constante

qualquer, a funo ( ) ( ) cxFxG += tambm primitiva de ( )xf .

Proposio: Se ( )xf se anula em todos os pontos de um intervalo I, ento F

constante em I.

Proposio: Se ( )xF e ( )xG so funes primitivas de ( )xf no intervalo I, ento

existe uma constante c tal que ( ) ( ) cxFxG = , para todo Ix .

Da proposio acima conclumos que se ( )xF uma primitiva particular de f,

ento toda primitiva de f da forma ( ) ( ) cxFxG += , onde c uma constante.



Exemplo Sabemos que ( ) xxdx

dcossen = . Assim, ( ) xxF sen = uma primitiva da

funo ( ) xxf cos= e toda primitiva de ( ) xxf cos= da forma ( ) cxxG += sen , para

alguma constante c.

Definio: Se ( )xF uma primitiva de ( )xf , a expresso ( ) cxF + chamada integral

indefinida da funo ( )xf e denotada por:

( ) ( ) cxFdxxf +=

Da definio acima, decorre que:

i. ( ) ( ) ( ) ( )xfxFcxFdxxf =+= ' .

ii. ( )dxxf representa a famlia de todas as primitivas da funo ( )xf .

Propriedades da integral indefinida Proposio: Sejam f e g funes e k uma constante. Ento:

i. ( ) ( )dxxfkdxxfk =

ii. ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf =

Tabela de integrao: as imediatas

1. du u c= + 2. 1

, 11

nn uu du c n

n

+

= + +

3. lndu

u cu

= + 4. , 0, 1lnu

u aa du c a aa

= + >

5. u ue du e c= + 6. sen cosu du u c= +

7. cos senu du u c= + 8. tg ln secu du u c= +

9. cotg ln senu du u c= + 10. sec ln sec tgu du u u c= + +



Exemplo

11. cosec ln cosec cotgu du u u c= + 12. sec tg secu u du u c= +

13. cosec cotg cosecu u du u c= + 14. 2sec tgu du u c= +

15. 2cosec cotgu du u c= + 16. 2 21

tgdu u

arc cu a a a

= ++

17. 2 22 2

1ln ,

2

du u ac u a

u a a u a

= + >

+ 18. 2 2

2 2ln

duu u a c

u a= + + +

+

19. 2 2

1sec

du uarc c

a au u a= +

20. 2 22 2 ln

duu u a c

u a= + +

21. 2 22 2

sen ,du u

arc c u aaa u

= + 0 possvel fazermos uma substituio

trigonomtrica adequada.

Vamos considerar cada forma com um caso separado:

Caso 1: O integrando contm uma expresso da forma 22 ua :

Neste caso, usamos senau = . Ento, dadu cos= . Supondo que

22

, temos:

( )

cos

cos

sen1

sen

22

22

22222

a

a

a

aaua

=

=

=

=

pois como 22

, 0cos .

Como sen=a

u,

=a

uarcsen

Calcular a integral dxxx

22 16

1

Soluo: O integrando contm a expresso 216 x , que da forma 22 ua ,

com 4=a . Logo, fazendo sen4=x , para 22

.

Segue-se que:

( )

cos4

cos16

sen116

sen161616

2

2

22

=

=

=

= x

Como sen4=x , ddx cos4= . Substituindo na integral dada, temos:

a

u

22 ua



( )

c

d

d

ddxxx

+=

=

=

=

cot16

1

seccos16

1sen

1

16

1

cos4cos4sen16

1

16

1

2

2

222

Devemos agora, voltar varivel original x:

Como sen4=x , temos que sen4=

x. Como

sen

coscot = , temos que

x

x 216cot

= . Logo,

cx

xdx

xx+

=

16

16

16

1 2

22

Caso 2: O integrando contm uma expresso da forma 22 ua + :

Neste caso, usaremos tanau = . Ento, dadu 2sec= . Supondo que

20



Exemplo Calcule dxx + 52 .

Soluo: Substitumos tan5=x , onde 2

0



Exemplo

Caso 3: O integrando contm uma expresso da forma 22 au :

Neste caso, usamos secau = . Ento, tansecadu = . Supondo que

20



Exemplo

Como sec5=x , sec5=

x. Olhando a figura, temos que

5

25tan

2 =

x .

Logo,

5ln,25ln

5ln25ln

5

25

5ln

25

112

2

2

2

=++=

++=

+

+=

cccxx

cxx

cxx

x

dx

Mtodos de Integrao: Fraes Parciais

Uma funo racional ( )xf a funo definida como o quociente de duas

funes polinomiais, ou seja,

( ) ( )( )xqxp

xf =

onde ( )xp e ( )xq so polinmios.

Veremos, a partir de agora, como integrar a funo f. A idia bsica escrever a

funo racional dada como uma soma de fraes mais simples.

Proposio: Se ( )xp um polinmio com coeficientes reais, ( )xp pode ser expresso

como um produto de fatores lineares e/ou quadrticos, todos com coeficientes reais.

O polinmio ( ) 232 += xxxq pode ser escrito como o produto dos

fatores lineares 2x e 1x , ou seja, ( ) ( )( )12 = xxxq .

A decomposio da funo racional ( ) ( )( )xqxp

xf = em fraes mais simples est

subordinada ao modo como o denominador ( )xq se decompe nos fatores lineares e/ou

quadrticos irredutveis.

Neste mtodo de integrao, consideramos que o coeficiente do termo de mais

alto grau do polinmio do denominador ( )xq 1 e que o grau de ( )xp menor que o

grau de ( )xq . Caso isso no ocorra, teremos que preparar o integrando.



Exemplo

Caso 1: Os fatores de ( )xq so lineares e distintos:

Neste caso, podemos escrever ( ) ( )( ) ( )naxaxaxxq = L21 , onde os

niai L1, = so distintos dois a dois. Nesse caso, escrevemos:

( )n

n

ax

A

ax

A

ax

Axf

++

+

= L

2

2

1

1

onde nAAA ,,, 21 L so constantes que devem ser determinadas.

Calcular a integral dxxxx

x

2

123

Soluo: Fatorando o denominador, temos:

( )( )121

2

123 +

=

xxx

x

xxx

x

Assim,

122

123 +

+

+=

x

C

x

B

x

A

xxx

x (1)

Logo, a seguinte identidade vlida, tirando o mnimo da equao acima e

igualando os numeradores:

( ) ( )( ) ( ) ( )21121 ++++= xCxxBxxxAx

Para encontrarmos os valores de A, B e C, basta substituirmos x por 0, 2 e -1,

respectivamente, na equao acima.

Para x = 0: A21 = , logo 2

1=A

Para x = 2: B61 = , logo 6

1=B

Para x = -1: C32 = , logo 3

2=C



Exemplo

Substituindo esses valores na equao (1), temos:

13

2

26

1

2

1

2

123 +

+

+=

xxxxxx

x

Logo,

cxxx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

x

+++=

+

+=

1ln3

22ln

6

1ln

2

113

2

26

1

2

1

2

123

As integrais acima foram calculadas utilizando o mtodo de integrao por

substituio simples.

Caso 2: Os fatores de ( )xq so lineares sendo que alguns deles se repetem:

Se um fator linear ( )iax de ( )xq tem multiplicidade r, a esse fator

corresponder uma soma de fraes parciais da forma:

( ) ( ) ( )ir

r

i

r

iax

B

ax

B

ax

B

++

+

L

121

onde rBBB ,,, 21 L so constantes que devem ser determinadas.

Calcular ( )

dx

xx

x32

3

2

1.

Soluo: A frao do integrando pode ser escrita como soma de fraes parciais

do seguinte modo:

( ) ( ) ( ) 22221

23232

3

+

+

++=

x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x (1)

Logo, tirando o mnimo e igualando o numerador na equao acima, temos:



( ) ( ) ( ) ( )2222333 22221 ++++= xExxDxCxxBxxAx (2)

Para encontrarmos algumas constantes, basta substituirmos x por 0 e 2, na

equao (2):

Para x = 0: A81 = , logo 8

1=A

Para x = 2: C47 = , logo 4

7=C

Substituindo esses valores em (2) e expandindo as potncias dos binmios,

encontramos as outras constantes:

( ) ( ) ( )4424

781268126

8

11 2223223233 +++++++= xxExDxDxxxxxBxxxxx

Colocando em evidncia os termos comuns, temos:

( ) 182

342

4

712

4

346

8

11 2343

+

++++

+++= xBxEDBxEDBxEBx

Igualando os coeficientes das potncias iguais de x, temos:

082

3

0424

712

4

3

1468

1

0

=

=+++

=+

=+

B

EDB

EDB

EB

Resolvendo, temos:

16

3,

4

5,

16

3=== EDB

Logo, voltando em (1):



Exemplo

( ) ( ) ( ) 216

3

24

5

24

7

16

3

8

1

2

123232

3

+

+

++=

xxxxxxx

x

Assim,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )c

x

x

xx

xx

cxxx

xx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xx

x

+

+

+=

+

+=

+

++=

2ln

16

3

28

41711

2ln16

3

24

5

28

7ln

16

3

8

1

216

3

24

5

24

7

16

3

8

1

2

1

2

2

2

23232

3

Caso 3: Os fatores de ( )xq so lineares e quadrticos irredutveis sendo que os fatores

quadrticos no se repetem:

A cada fator quadrtico cbxx ++2 de ( )xq , corresponder uma frao parcial

da forma

cbxx

DCx

++

+2

Calcule ++++

dxxxx

xx

3

45223

2

Soluo: Note que 1=x raiz do polinmio ( ) 323 ++= xxxxq . Logo,

podemos reescrever ( ) ( )( )321 2 ++= xxxxq . Podemos ento, reescrever o integrando na forma:

( )( ) 321321452

3

45222

2

23

2

++

++

=

++

++=

++

++

xx

CBx

x

A

xxx

xx

xxx

xx (1)

Da, tirando o mnimo e igualando os numeradores, temos:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )CAxCBAxBACCxBxBxAAxAx

xCBxxxAxx

++++=

++++=

++++=++

32

32

132452

2

22

22

Para um exemplo com

explicaes detalhadas



E ento,

=

=+

=+

43

52

2

CA

CBA

BA

Resolvendo esse sistema, temos:

6

9,

6

1,

6

11=== CBA

Portanto,

326

9

6

1

16

11

3

452223

2

++

++

==

++

++

xx

x

xxxx

xx

Dessa forma,

cdxxx

xx

dxxx

x

x

dxdx

xxx

xx

+++

++=

++

++

=

++

++

32

9

6

11ln

6

1132

9

6

1

16

11

3

452

2

223

2

Note que a segunda integral uma funo racional cujo denominador um

polinmio quadrtico irredutvel que pode ser resolvida completando o quadrado do

denominador e fazendo substituies convenientes.

Temos que, somando e subtraindo 1 no denominador do integrando:

( )( ) 21

3112322

22

++=

+++=++

x

xxxx

e, portanto,

( ) +++

=++

+dx

x

xdx

xx

x

21

9

32

922

Fazendo 1+= xu , temos 1= ux e dxdu = . Logo,



Exemplo

( )( )

cx

xx

cu

u

u

dudu

u

u

duu

udu

u

udx

x

x

+

+++=

+

+=

++

+=

+

+=

+

+=

++

+

2

1arctan

2

832ln

2

1

2arctan

2

82ln

2

1

28

2

2

8

2

91

21

9

2

2

22

222

Logo,

cx

xxxdxxxx

xx+

++++=

++

++ 2

1arctan

2

832ln

2

1

6

11ln

6

11

3

452 223

2

Caso 4: Os fatores de ( )xq so quadrticos irredutveis repetidos

Se ( )xq tem um fator quadrtico irredutvel cbxx ++2 com multiplicidade r,

ento, a esse fator corresponder uma soma de fraes parciais da forma:

( ) ( ) ( )cbxxBxA

cbxx

BxA

cbxx

BxA rrrr ++

+++

++

++

++

+ 212

22

2

11L

Calcule a integral ( ) +

+dx

xx

xxx22

32

1

21.

Soluo: Temos que:

( ) ( ) ( )11121

22222

32

+

++

+

++=

+

+

x

EDx

x

CBx

x

A

xx

xxx (1)

Da,

( ) ( ) ( ) ( )1121 22232 ++++++=+ xxEDxxCBxxAxxx (2)

Para 0=x : 11 = A , logo 1=A .



Voltando em (2):

( ) ( ) ( ) ( )ExExDxDxCxBxxx

xxEDxxCBxxxxx

++++++++=

++++++=+324224

22232

12

11121

e,

( ) ( ) ( ) 12121 23432 ++++++++=+ xECxDBExxDxxx

Temos ento:

=+

=++

=

=+

1

22

1

01

EC

DB

E

D

Da,

1,1,0,1,1 ===== EDCBA

Voltando em (1):

( ) ( )( )

( )111

1

011

1

2122222

32

+

++

+

++=

+

+

x

x

x

x

xxx

xxx

Assim,

( ) ( )

( )

( ) cxxxx

dxx

dxx

xdx

x

x

x

dx

dxx

xdx

x

x

x

dxdx

xx

xxx

+++

=

+

+

++=

+

+

++=

+

+

arctan1ln2

1

12

1ln

1

1

11

1

1

11

21

22

2222

22222

32

A integral definida

A definio de integral definida est estritamente relacionada com as reas de

certas regies do plano coordenado.



Seja R uma regio em um plano coordenado, delimitada por duas retas verticais

ax = e bx = e pelo grfico de uma funo f contnua e no-negativa no intervalo

fechado [ ]ba, .

R

Como ( ) 0xf para todo [ ]bax , , o grfico no tem parte alguma abaixo do eixo x. Queremos ento, definir a rea A de R.

Para isso, fazemos uma partio do intervalo [ ]ba, , isto , dividimos o intervalo

[ ]ba, em n subintervalos, escolhendo os pontos

bxxxxxxa nnii =



A soma das reas dos n retngulos, que representamos por nS , dada por:

( ) ( ) ( ) ( )=

=+++=n

i

iinnn xcfxcfxcfxcfS1

2211 L

Esta soma chamada soma de Riemann da funo ( )xf .

Observe que medida que n cresce muito, cada ix , ni ,,1 L= , torna-se muito

pequeno e a soma das reas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos

como rea da regio R.

Definio: Seja ( )xfy = uma funo contnua, no-negativa em [ ]ba, . A rea sob a

curva ( )xfy = , de a at b, definida como:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) in

i

in

nnn

xcf

xcfxcfxcfA

=

+++=

=

1

2211

lim

lim L

onde, para cada ni ,,1 L= , ic um ponto arbitrrio do intervalo [ ]ii xx ,1 .

Definio: Seja f uma funo definida no intervalo [ ]ba, e seja P uma partio qualquer

de [ ]ba, . A integral definida de f de a at b, denotada por

( )b

adxxf

dada por

( ) ( ) in

i

in

b

axcfdxxf =

=

1

lim

desde que o limite exista. Neste caso, dizemos que f integrvel em [ ]ba, .

Na notao ( )b

adxxf , os nmeros a e b so chamados limites de integrao.

Definio: Seja f uma funo contnua em [ ]ba, e ( ) 0xf para todo [ ]bax , . Seja R

a regio limitada pela curva ( )xfy = , pelo eixo x e pelas retas ax = e bx = . Ento, a

medida A da rea da regio R dada por:



( )=b

adxxfA

Definio: i) Se ba > , ento ( ) ( ) =a

b

b

adxxfdxxf , se ( )

a

bdxxf existir.

ii) Se ba = e ( )af existe, ento ( ) 0=a

adxxf

Proposio: Se f contnua em [ ]ba, , ento f integrvel em [ ]ba, .

Propriedades da integral definida

Proposio: Se f integrvel em [ ]ba, e k um nmero real arbitrrio, ento kf

integrvel em [ ]ba, e,

( ) ( ) =b

a

b

adxxfkdxxkf

Proposio: Se f e g so funes integrveis em [ ]ba, , ento f + g integrvel em

[ ]ba, e,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

Proposio: Se bca



Se ( ) 0xf , para todo [ ]bax , , podemos visualizar geometricamente esta

proposio. Ela nos diz que a rea abaixo da curva ( )xfy = , entre a e b, igual rea

de um retngulo de base ( )ab e altura ( )cf .

Proposio: Se f integrvel e se ( ) 0xf para todo [ ]bax , , ento ( ) 0b

adxxf .

Proposio: Se f e g so integrveis em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf para todo x em [ ]ba, , ento:

( ) ( ) b

a

b

adxxgdxxf

Integrais de funes simtricas: Suponha que f contnua em [ ]aa, :

i. Se f for par ( ) ( )[ ]xfxf = , ento ( ) ( )dxxfdxxf aaa = 02 .

ii. Se f for mpar ( ) ( )[ ]xfxf = , ento ( ) 0=a

adxxf .

Teorema Fundamental do Clculo

O Teorema Fundamental do Clculo nos permite relacionar as operaes de

derivao e integrao. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma funo

contnua [ ] baf ,: , podemos calcular a sua integral definida ( )b

adxxf .

y

x b c a

( )cf

( )xfy =



A primeira parte desse teorema lida com funes definidas por uma equao da

forma

( ) ( )dttfxgx

a=

onde f uma funo contnua em [ ]ba, e x varia entre a e b . Observe que g depende somente de x, que aparece como a varivel superior do limite na integral. Se x for um

nmero fixado, ento ( )dttfx

a um nmero definido. Se variarmos x, o nmero

( )dttfx

a tambm varia e define uma funo de x denotada por ( )xg . Se f for uma

funo positiva, ento ( )xg pode ser interpretada como uma rea sob o grfico de f de a

at x, onde x varia de a at b.

Teorema Fundamental do Clculo: Suponha que f contnua em [ ]ba, .

i. Se ( ) ( )dttfxgx

a= , ento ( ) ( )xfxg =' .

ii. ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a= , quando F for qualquer primitiva de f, isto ,

( ) ( )xfxF =' .

y

x b x a

rea = ( )xg

( )tfy =



Exemplo

Exemplo

Exemplo

Calcule a integral +1

02 1

dxx

x.

Soluo: Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida. Fazendo 12 += xu ,

temos dxxdu 2= e 2

dudxx = . Dessa forma:

++=+==+ cxcuudu

dxx

x1ln

2

1ln

2

1

2

1

12

2

Pelo teorema fundamental do clculo, temos:

2ln2

1

1ln2

12ln

2

1

1ln2

1

1

1

0

21

02

=

=

+=+ xdxxx

Note que, para resolver esta integral, tambm podemos fazer a mudana de

variveis na integral definida, desde que faamos a correspondente mudana nos limites

de integrao:

Ao chamarmos 12 += xu , vemos que se 1,0 == ux e se 2,1 == ux . Da,

( ) 2ln2

11ln2ln

2

1ln

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

02

====+ uu

dudx

x

x

Calcule a integral 2

0

cos

dtt .

Soluo: A funo ( ) ttF sen= uma primitiva de ( ) ttf cos= . Logo,

10sen2

sensencos2

0

2

0

===

tdtt

Calcule a integral dxx x +2

1

12e .



Exemplo

Soluo: Calcularemos primeiro a integral indefinida + dxx x 12

e . Fazendo

12 += xu , dxxdu 2= . Logo,

ccdudxx xuux +=+== ++ 1122

e2

1e

2

1e

2

1e

Dessa forma,

2

1e

2

1e

2

1e 3

2

1

12

1

1 22 +== ++ xx dxx

Calcule a integral

+4

3

2 dxx .

Soluo: Temos que:

+



Exemplo

A

Neste caso, a rea dada por ( )=b

adxxfA .

Encontre a rea limitada pela curva 24 xy = e o eixo dos x.

Soluo: Os zeros da funo 24 xy = so 2 e 2. Logo, a rea pedida ser:

No intervalo [ ]2,2 , 04 2 = xy , logo, a rea pedida ser dada por

( )3

32

3

88

3

88

344

2

2

32

2

2 =

+

=

==

xxdxxA

Logo, 3

32=A

y

x b a

( )xfy =

y

x

4

2 2



Exemplo

Caso 2: Clculo da rea da figura plana limitada pelo grfico de f, pelas retas ax = ,

bx = e pelo eixo dos x, onde f contnua e ( ) 0xf , para todo [ ]bax , .

A

Neste caso, basta tomar o mdulo da integral ( )dxxfb

a , ou seja, ( )dxxfAb

a=

Encontre a rea da regio A, limitada pela curva xy sen= e pelo eixo dos

x de 0 at 2 .

Soluo: Observe a figura:

A1

A2

Note que precisaremos dividir a regio A em duas sub-regies 1A e 2A . No

intervalo [ ],0 , 0sen = xy , e no intervalo [ ] 2, , 0sen = xy .

y

x b a

( )xfy =

y

x

1

1

0

2

2

3

2



Temos ento, que

( ) ( )4

1111

cos2cos0coscos

coscos

sensen

2

0

2

0

21

=

+++=

+++=

+=

+=

+=

xx

dxxdxx

AAA

Logo, A = 4

Caso 3: Clculo da rea da figura plana limitada pelos grficos de f e g, pelas retas

ax = , bx = , onde f e g so funes contnuas em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf , para todo

[ ]bax , .

A

A rea da regio A calculada pela diferena entre a rea sob o grfico de f e a

rea sob o grfico de g:

( ) ( )

( ) ( )[ ]dxxgxf

dxxgdxxfA

b

a

b

a

b

a

=

=

y

x

( )xfy =

b a

( )xgy =



Exemplo

Exemplo

Encontre a rea limitada pelas curvas 3xy = e xy = .

Soluo: Observe o grfico abaixo:

As curvas 3xy = e xy = interceptam-se nos pontos 1e0,1 === xxx . No

intervalo [ ]0,1 , 3xx < e no intervalo [ ]1,0 , 3xx > . Logo,

( ) ( )

2

1

4224

1

2

420

1

24

1

0

30

1

3

=

+

=

+=

xxxx

dxxxdxxxA

Logo, 2

1=A .

Encontre a rea da regio limitada por 2yx = e 2= xy .

Soluo: Observe o grfico abaixo:

xy = y

x 1

1

1

1

3xy =

Para um exemplo com

explicaes detalhadas



A1

A2

Note que precisaremos dividir a regio A em duas sub-regies 1A e 2A . Para

encontrarmos os limites de integrao, procederemos da seguinte forma:

Temos que:

2yx = e 22 +== yxxy

Dessa forma,

( )( )2ou1

021

02

22

2

==

=+

=

+=

yy

yy

yy

yy

Se 11 == xy e se 42 == xy .

A rea total limitada superiormente por xy = no intervalo [ ]4,0 e limitada

inferiormente por

41se,2

10se,

xx

xx

Assim, para a rea 1A , temos:

( )[ ]3

40

3

4

3

42

1

0

2

31

0

1

0

1 ===== xdxxdxxxA

y

x

2

1

2

2yx =

2= xy

4



E, para rea 2A :

( )[ ] ( )

6

192

2

1

3

288

3

162

23

2

22

4

1

22

3

1

0

4

1

2

=

+

+=

+=

+==

xx

x

dxxxdxxxA

Logo, a rea total ser dada por:

2

9

6

19

3

421 =+=+= AAAT

Alternativa: Integrar em relao y.

Temos que 2yx = e 22 +== yxxy . Dessa forma,

( )2

9

6

27

6

7

3

10

3

12

2

1

3

84

2

4

32

22

2

1

322

1

2 ==+=

+

+=

+=+=

yy

ydyyyA

1. Resolva as integrais abaixo:

a) dxx32 Resposta: cx

+2

4

b) + dxxx )3( 2 Resposta: cxx

++2

3

3

23

c) dxx)5( Resposta: cx

x +2

52

d) dxx5 Resposta: cx +||ln5

e)

+ dxx

x62 Resposta: cxx ++ ||ln6

3

3

Resolva os exerccios abaixo para voc compreender melhor a aula

sobre Integrais definidas e indefinidas e sanar suas dvidas.



f) + dxxx ))cos()(sen( Resposta: cxx ++ )sen()cos(

g)

+ dxxx

x5

1 23

Resposta: cxxx

++

2

5

32

1 23

2

h) dxx 3 Resposta: cx

+3/44

3

i)

+

+dxx

x

221

1 Resposta: cxxarctg ++3

)(3

j) dxex2 Resposta: cex +2 k) dxex x )5)(sen( Resposta: cex x + 5)cos(

l) dxx2 Resposta: cx

+)2ln(

2

m) + dxxxx )53( 24 Resposta: cxxx ++ 235 21

3

5

5

3

n) +

dxx

x 1 Resposta: cxx ++ 2/12/3

23

2

o)

dxx

x2

2 43 Resposta: cx

x ++4

3

p) dxx2

1 Resposta: cx+

1

q) dxx3

1 Resposta: cx

+

22

1

r) dxx32

1 Resposta: cx

+

24

1

s) dxx 3 2 Resposta: cx +3/553

2. Calcule as integrais:

a) + dxx341 Resposta: cx ++ |34|ln

3

1

b) dxx51 Resposta: cx + |5|ln

c) dxe x2 Resposta: ce x +221

d) + dxe x 32 Resposta: ce x ++3221

e) dxxe x )cos()sen( Resposta: ce x +)sen(

f) +

dx

x

x

13

2

Resposta: ( ) cx ++ 2/13 13

2

g) +

dxx

x)ln(1 Resposta: cx ++ 2/3))ln(1(

3

2

h) + dxx 32 )13( Resposta: ( ) cx ++42 13

24

1



i) + dxxx

32

42

Resposta: cx ++ )32ln( 2

j) ( ) + dxxx 2122 Resposta: ( ) cx ++

3

132

k) dxx 155 + Resposta: ( ) cx ++ 2/31532

l) dxx 12 Resposta: ( ) cx + 2/31231

m) dxx 4)13(3 Resposta: cx

+

5

)13( 5

n) ++ dxxxx ))(12( 2 Resposta: cxx

++

2

)( 22

o) dxxx 23 32 Resposta: cx

+

2/3

)2( 2/33

p)

dxx

x22)21(

4 Resposta: cx

+

)21(

12

q) + dxxx 10)15( 22 Resposta: cx

++

3

)15( 32

r) +

dx

x

x

12 Resposta: cx ++12

s) + dxxx 3)3( 23 Resposta: cx

++

2

)3( 23

3. Calcule as integrais definidas:

a) +1

0

32 )1( dxxx Resposta: 15/8

b) 1

0

2 1 dxxx Resposta: 1/3

c) +4

0 12

1dx

x Resposta: 2

d) +9

1 2)1(

1dx

xx Resposta: 1/2

e) +

2

0 221dx

x

x Resposta: 1

f) dxx 11

1 + Resposta: 234

g) +2

0

3 )21( 2 dxx Resposta: 156

h) dxxx 0

1

32)21)(4( Resposta: 0

i) 2

1 2)3(

1dx

x Resposta: 1/18



4. Determine a rea da regio entre a parbola 24 xy = e a reta 2+= xy no

intervalo [-2,3].

5. Determine a rea da regio no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e

x = 2, a curva 2

1

xy = e o eixo x.

6. Resolva as integrais abaixo:

21. sen x dx . 2 22. cos 2 sen 2x x dx . 63. sen 3x dx . 34. sen cosx x dx .

5. tg secx x dx . 56. cos 4x dx .

Respostas:

1. 1 cos sen 2 2

xx x c + + .

2. 31 1sen 2 cos 2 cos2 sen8 16 8

xx x x 2x c + + + .

3. 5 31 5 5 5sen 3 cos3 sen 3 cos3 cos3 sen 318 72 48 16

xx x x x x x c + + .

4. 41 sen4

x c+ .

5. sec x c+ .

6. 4 21 1 2cos 4 sen 4 cos 4 sen 4 sen 420 15 15

x x x x x c+ + + .

7. Resolver as seguintes integrais:

2 21.

4

dx

x x + .

2

22.

4

xdx

x .

29 43.

xdx

x

. 24. 9 4

dx

x x+ .

Respostas:

1. 2 4

4

xc

x

+ + .

2. 2

24 2ln 42

x xx x c

+ + + .

3. 2

2 1 3 9 49 4 ln3 2

xx c

x

+ + .

4. 21 9 4 3

ln3 2

xc

x

+ + .



8. Resolva as seguintes integrais:

sen1.

1 sen

xdxx .

1 sen2.

1 cos

xdx

x

+ .

13.

1 sendx

x+ . cos

4.1 cos

xdxx+ .

Respostas:

1. 2

tg 12

x cx

+

.

2. 2

1ln tg 1 2ln tg

2 2 tg2

x xc

x

+ + +

.

3. 2

tg 12

cx

+

.

4. tg2

xx c

+ +

.

Para saber mais sobre Integrais definidas e indefinidas, consulte as

referncias listadas abaixo...

Para voc comear !

G. THOMAS, Clculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. J. STEWART, Clculo, vol. 1, So Paulo, Thomson Learning, 2002. H. ANTON, Clculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007.

Quer aprof undar mai s um pouco?

L. LEITHOLD, O Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, So Paulo, Harbra, 1994

E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, Ed. Prentice-Hall, 1997.



E. W. SWOKOWSKI, Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, Makron Books, 2 edio, 1994

Gost a de desaf i os??

H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Clculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 2001.

P. BOULOS, Introduo ao Clculo, vols. 1 e 2, So Paulo, Edgard Blcher, 1974.

G. F. SIMMONS, Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, So Paulo, Ed. McGraw-Hill, 1987

Para os amant es da net ...

http://ecalculo.if.usp.br/

Notas de aula sobre Integração

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