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EE 210 – SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II

© DAYAN ADIONEL GUIMARÃES – 07/2012 1

Notas de Aula

EE210 Sistemas de Comunicação II

Autor Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães

Docentes Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães Prof. Dr. Rausley Adriano Amaral de Souza Prof. MSc. Marcelo Carneiro de Paiva

Julho de 2012



Apresentação do curso

Objetivos 1) Apresentar o professor. 2) Apresentar a estrutura do curso: conteúdo, metodologia, avaliação, procedimentos em sala de aula e fora de sala de aula, regras de conduta. 3) Motivar os alunos para o estudo do conteúdo da disciplina EE 210.

Conteúdo do curso

Transmissão digital em banda-base. Análise do espaço de sinais. Transmissão digital em banda-passante (modulações digitais). Espalhamento espectral.

Objetivo do curso Tendo obtido aproveitamento em termos das notas das avaliações, ao final do curso o aluno deverá ser capaz de realizar estudos complementares e mais avançados sobre o assunto, de acordo com a grade curricular do Inatel e a dependência entre os conteúdos de disciplinas correlatas previstas nesta grade. Metodologia de ensino Durante o curso as aulas serão essencialmente expositivas. Cada bloco de conteúdo será apresentado e discutido projetando-se na tela os principais tópicos das notas de aula em formato eletrônico. Alguns exemplos e exercícios serão discutidos ou resolvidos pelo professor em sala. Um número menor de exercícios será resolvido pelos alunos em sala de aula. A maior parte dos exercícios deverá ser resolvida pelos alunos fora da sala de aula. Todo material didático do curso será disponibilizado única e exclusivamente através da página da disciplina http://www.inatel.br/docentes/dayan/EE210/EE210.html. Por meio desta página serão também realizados os comunicados dos professores com os alunos em forma de quadro de avisos eletrônico. Plano de ensino e avaliações As avaliações ocorrerão conforme previsto no Plano de Ensino, este também disponibilizado na página da disciplina. As datas das avaliações serão comunicadas aos alunos via quadro de avisos eletrônico acessado via página da disciplina. Plano de aulas O plano de aulas seguirá a seqüência adotada nas notas de aula, onde estão também registrados o tema, o conteúdo e os objetivos de cada aula.



Livro texto

GUIMARÃES, D. A., Digital Transmission: A Simulation-Aided Introduction with VisSim/Comm. Berlin-Heidelberg, Germany: Springer Verlag, Inc., 2009.

Notas importantes

Zele pela disciplina em sala de aula. Não será permitido atraso maior que cinco minutos na chegada às aulas. Não será permitido uso de aparelho celular durante as aulas. A ocorrência de cola em provas será punida de acordo com o regimento da instituição. A presença nas aulas será controlada de acordo com as regras estabelecidas pela instituição. A revisão de provas será efetuada antes da vista por parte do aluno. O horário de atendimento ocorrerá na meia hora seguinte às aulas. Note que isto representa

maior tempo de atendimento total e maior proximidade do momento em que a dúvida possa ter aparecido.

O professor não fará atendimento durante as últimas 24 horas antes da realização de uma prova. Alguns alertas

O nível de complexidade do conteúdo da disciplina não é baixo e, portanto, demanda bastante dedicação em termos de estudo.

A concentração dos estudos nos dias próximos às provas pode, com elevada probabilidade, resultar em aprendizado incipiente e em notas insatisfatórias.

Como estudar: não deixe para estudar nas vésperas das provas. O índice de reprovação elevado na disciplina tem como maior causa esta concentração de estudos nas vésperas das provas. Recomenda-se acompanhar dia a dia o conteúdo apresentado, procurando verificar se realmente você está entendendo o que está sendo estudado; interagir com os experimentos computacionais da parte prática; resolver o maior número possível de exercícios; procurar o professor antes que uma pequena dúvida se torne uma “bola de neve” e prejudique o aprendizado.

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FIM DA APRESENTAÇÃO



Aula nº 1 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Filtro casado e correlator

Conteúdo Introdução à transmissão em banda-base. Códigos de linha. Modelo de transmissão antipodal em banda-base. Filtro casado e correlator. Integrate & dump para formato de pulso retangular.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir corretamente o conceito de transmissão em banda-base, comparando-o com a transmissão em banda-passante em termos de características espectrais. 2) identificar a importância do uso dos códigos de linha para formatação do sinal de transmissão em banda-base em função das características do canal. 3) conceituar a relação entre bit, símbolo, taxa de bits e taxa de símbolos. 4) conceituar a influência do ruído AWGN no desempenho de um sistema de comunicação digital e no modelamento do filtro ótimo de recepção (filtro casado). 5) explicar a influência do ruído na variável de decisão em um sistema binário com sinalização antipodal. 6) estabelecer em que condições e como ocorre a equivalência entre filtro casado e correlator.

Transmissão em banda-base versus transmissão em banda-passante Na transmissão em banda-base o espectro do sinal se concentra em torno da frequência zero. Na transmissão em banda-passante, também conhecida como transmissão passa-faixa, o espectro do sinal modulado se concentra em torno de uma frequência de portadora fc. As figuras a seguir ilustram estes conceitos. Iniciaremos nosso estudo com a transmissão em banda-base.

Transmissão em banda-base Transmissão em banda-passante A figura a seguir ilustra o diagrama de um sistema de comunicação em banda-base.



Na figura em questão os vários tipos de informação sofrem processamentos diferentes para poderem ser transmitidos da fonte ao destino. A maior quantidade de processamento é realizada na informação analógica: o sinal é amostrado, gerando amostras com um número infinito de amplitudes. Estas amostras são quantizadas para que tenhamos um número finito de valores. As amostras quantizadas são codificadas em grupos de bits. Por exemplo, no sistema PCM para telefonia o sinal de voz é amostrado a 8.000 amostras por segundo e em seguida quantizado e codificado em 8 bits por amostra, o que leva a uma taxa de 64.000 bits por segundo para a voz digitalizada. A informação textual sofre um processo de codificação para transformar cada caractere em um conjunto ou uma palavra binária. Códigos para representação de textos incluem o conhecido código Baudot, o qual representa cada caractere por um conjunto de 5 bits. Outros exemplos são o código ASCII e o EBCDIC http://en.wikipedia.org/wiki/Baudot_code . A informação digital, por já estar neste formato, não necessita de nenhum dos processamentos anteriormente descritos. Na entrada do bloco de codificação de forma de onda temos, então, bits. O papel deste bloco é o de adequar o sinal digital ao canal, gerando a forma de onda de transmissão, tipicamente denominada código de linha. Após acoplamento com o canal, o sinal em banda-base é transmitido e, após o acoplamento com o receptor, é processado pelo bloco detector de forma de onda. Este bloco tem o papel de extrair o sinal das suas fontes de degradação, como por exemplo o ruído que está presente em qualquer sistema de comunicação. Os demais processos no receptor são apenas as versões complementares dos correspondentes blocos na transmissão. Qual a importância da codificação de forma de onda? O processo de adequação da forma de onda ao canal precisa ser realizado porque cada canal de comunicação tem suas características particulares em termos de resposta em frequência e ruído. Portanto, precisamos utilizar códigos de linha que sejam mais adequados a tais características. Como exemplo, se um canal tem a resposta em frequência ilustrada na figura a seguir, temos que ter um sinal transmitido com um espectro que “caiba” na faixa de frequências delimitada pelo canal.

Outras características que têm que ser observadas nesta relação entre canal e sinal transmitido são:

Componente DC: no exemplo a seguir, devido à existência de acoplamento magnético entre Tx e canal e entre canal e Rx, devemos transmitir um sinal que não tenha componente DC.



Sincronismo: na prática, a grande maioria dos sistemas de comunicação recupera o

sincronismo de recepção a partir do próprio sinal recebido. Quanto mais transições o código de linha tiver, mais fácil recuperar o clock na recepção, independente da sequência de bits a ser codificada.

O sincronismo permite que o receptor recupere a informação transmitida na mesma

cadência do sinal transmitido e nos momentos adequados. Largura de faixa: quanto maior a taxa de bits atingível em uma determinada largura de faixa

disponível, melhor. Certos códigos de linha vão proporcionar taxas maiores a uma dada largura de faixa.

Ruído: alguns códigos de linha são mais imunes a ruído que outros. Isto significa, por

exemplo, que dois sistemas de comunicação operando com a mesma taxa de bits, ocupando a mesma banda e com a mesma potência de transmissão podem proporcionar diferentes níveis de degradação na comunicação digital devido à utilização de códigos de linha distintos. Tal degradação é tipicamente expressa por meio da taxa de erro de bit, do Inglês Bit Error Rate (BER), parâmetro que indica quantos bits errados, em média, o receptor produzirá em uma dada quantidade de bits transmitidos. Por exemplo, uma BER de 1×10–3 indica que, em média, a cada 1.000 bits transmitidos haverá 1 bit decidido de forma errada pelo receptor.

O Filtro Casado Vamos inicialmente definir o significado de um pulso denominado g(t) por meio da ilustração a seguir:

Para este exemplo estamos fazendo a suposição de que a resposta ao impulso do filtro é:

Nesta ilustração temos uma típica forma de realização de um transmissor em banda-base, inclusive muito utilizada na prática. Nela o formato dos pulsos de transmissão e, consequentemente, a forma de onda transmitida são governados pela resposta ao impulso do filtro de transmissão.



A regra de transmissão adotada chama-se sinalização1 antipodal e é aquela em que um bit é representado por um pulso +g(t) e o outro bit é representado pelo pulso −g(t). O objetivo agora é projetar o receptor de forma que cada pulso g(t) seja detectado de maneira ótima (menor taxa de erro de bit possível). Esta maneira ótima é conseguida fazendo com que as amostras de saída do filtro de recepção tenham, no momento da decisão, a maior relação sinal-ruído possível. Faremos isto projetando o filtro de recepção no modelo representado na figura a seguir.

Após a adequada dedução matemática, podemos chegar à conclusão de que o filtro que maximiza a relação sinal-ruído no momento da decisão de cada pulso tem a seguinte resposta ao impulso:

( ) ( )h t kg T t= − Interpretado este resultado, h(t) é o próprio formato de pulso g(t) espelhado, deslocado de T segundos para a direita e escalonado de um fator k qualquer, diferente de zero. Então, dado um formato de pulso g(t), h(t) definido como acima é o único filtro que proporcionará a máxima relação sinal-ruído no momento da decisão e, portanto, a menor taxa de erro de decisão. Como exemplo, vejamos como determinar a resposta ao impulso do filtro casado para o formato de pulso de transmissão a seguir:

( )g t (- )g t [-( - )]g t T

t t tT -T T

Como outro exemplo, para o formato de pulso adotado no transmissor no início desta seção teremos h(t) idêntico em formato a g(t), ou seja:

1 A palavra sinalização é muito utilizada nos textos referentes a sistemas de comunicação digital e está associada à técnica de transmissão das várias formas de onda que compõem o conjunto de M símbolos do sistema. Cada símbolo é, neste contexto, uma forma de onda que representará um conjunto de log2M bits. Os termos taxa de sinalização e taxa de símbolo são, portanto, sinônimos.



Equivalência entre o Filtro Casado e o Correlator Em determinadas situações, dependendo da complexidade do formato do pulso g(t), realizar um filtro casado pode ser uma tarefa bastante árdua e, às vezes, impossível. Felizmente existe um dispositivo que fornece em sua saída, no momento da amostragem (e somente neste momento), amostras que têm a mesma relação sinal-ruído proporcionada pelo filtro casado. Este dispositivo é chamado correlator e, como o nome indica, realiza a correlação do sinal recebido com uma réplica do formato de pulso g(t) localizada em cada um dos intervalos de sinalização. Obs: intervalos de sinalização são aqueles em que cada pulso é recebido. Portanto, a taxa de sinalização é a taxa em que os pulsos são enviados/recebidos. Abaixo se tem a ilustração do correlator para o formato de pulso já considerado anteriormente:

No diagrama anterior, a cada intervalo de T segundos é realizada a correlação do sinal recebido com cada uma das réplicas de g(t). Por exemplo, no primeiro intervalo teremos na saída do correlator um valor positivo, referente à correlação do pulso positivo recebido com g(t). No segundo intervalo teremos um valor negativo, referente à correlação do pulso negativo recebido com g(t), e assim por diante. A decisão é tomada comparando-se a amostra de saída do correlator (ou do filtro casado) com zero: se maior que zero, decide-se pelo bit 1; se menor do que zero, decide-se pelo bit 0. A presença do ruído faz com que, eventualmente, um sinal de saída do correlator que teria que ter polaridade positiva tenha polaridade negativa, fazendo com que o correspondente bit seja decidido erroneamente. Perceba então que os circuitos correspondentes ao filtro casado e ao correlator são completamente diferentes, porém fornecem em suas saídas, no momento de amostragem (momento de decisão), amostras com a mesma relação sinal-ruído e, portanto, levam ao mesmo desempenho. Vale ressaltar que o integrador não pode acumular o resultado da integração anterior de um intervalo de sinalização para outro, pois isto acarretaria em erro no processo de decisão descrito anteriormente. Então deve-se “zerar” o integrador após cada intervalo de integração. O termo em inglês usado para isto é Integrate & Dump (integra e zera). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Vamos supor que g(t) tenha um formato retangular de amplitude qualquer e duração T. Nosso objetivo com este exemplo é economizar um bloco do receptor. Teremos o seguinte diagrama inicial:



Retornado à definição do filtro casado, lembramos que lá existia uma constante k que, como afirmamos naquele momento, podia ter qualquer valor. Em outras palavras, não há influência do valor desta constante no desempenho do sistema, pois multiplicando o sinal e o ruído por k mantém-se a relação sinal-ruído. Transportando esta análise para o exemplo em questão, se as réplicas de g(t) aplicadas ao correlator formam uma constante, seu valor pode ser qualquer. Se escolhermos o valor 1, não haverá necessidade do multiplicador (mixer), solucionando o problema proposto. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Um último comentário acerca da equivalência entre filtro casado e correlator merece atenção: perceba que o correlator calcula a integral do produto do sinal recebido por uma réplica de g(t), num intervalo de T segundos. Em grande parte das aplicações práticas g(t) não está confinado num intervalo de T segundos, almejando-se compactar o espectro do sinal transmitido. Nestes casos o correlator poderá proporcionar desempenho inferior ao correspondente filtro casado, pois realizará a integral que faz parte de sua implementação em um intervalo menor que a duração do pulso e, por consequência, a amplitude de sua saída não estará associadas à energia total do pulso. Em casos como este, a não ser que aceitemos a degradação de desempenho resultante do uso do correlator, somos forçados a implementar o receptor com filtro casado. Vale ainda ressaltar que a diferença de desempenho anteriormente citada pode ser muito pequena a ponto de, em certos casos, poder ser desprezada. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 2 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Análise de Pe em banda-base – 1

Conteúdo Modelo de transmissão antipodal em banda-base. Análise de erro para o sistema de transmissão antipodal em banda-base.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) justificar a utilização da função erfc(x) ou Q(x) no cálculo da probabilidade de erro de bit e aplicar tais expressões em cálculos com parâmetros fornecidos. 2) definir a influência do limiar de decisão no desempenho do sistema e a sua dependência das probabilidades de envio dos símbolos (probabilidades a priori).

Modelo de transmissão antipodal em banda-base Nosso mais importante objetivo nesta aula é analisar a probabilidade de erro na decisão realizada em um sistema de comunicação em banda-base para o qual se tem o modelo mostrado da figura a seguir. Nele a forma de onda do sinal transmitido corresponde a uma sequência de pulsos bipolares com formato g(t), ou seja, pulsos ±g(t). Estes pulsos são contaminados por w(t), que corresponde ao ruído aditivo Gaussiano e branco (AWGN – Additive White Gaussian Noise)2 de densidade espectral de potência N0/2 watts/hertz, formando o sinal recebido x(t). Recordando, qualquer sinalização binária que seja formada por pulsos ±g(t) pode ser chamada de sinalização antipodal.

Objetivando detectar o sinal imerso no ruído, ou, em outras palavras, “extrair” o sinal que está imerso no ruído, o sinal x(t) é correlacionado com réplicas do formato de pulso g(t) a cada intervalo de sinalização T = Tb. O sinal de saída do correlator, y(t), que também poderia ser produzido pelo filtro casado equivalente, é amostrado a cada intervalo de sinalização e as amostras de valor y são comparadas com um limiar de decisão λ. Decide-se por 1 se y for maior que λ; decide-se por 0 em caso contrário. Como vimos na aula passada, certos códigos de linha, que são as formas de onda que vão definir o formato de pulso g(t), proporcionam imunidade ao ruído maior ou menor que outros códigos de linha. Portanto, para analisarmos a probabilidade de erro no sistema em questão devemos antes escolher um formato de pulso g(t) como referência. O formato escolhido será correspondente ao código de linha NRZ (Non-Return to Zero), ilustrado pela figura a seguir. Nesta sinalização a forma de onda retangular de um pulso não retorna a zero antes que o intervalo de sinalização termine. Para facilitar a interpretação deste conceito, observe na figura em questão que um determinado pulso do código RZ (Return-to-Zero) vai à zero antes que o intervalo de sinalização termine. O ponto exato onde cada pulso retorna a zero tem forte influência nas características espectrais do código de linha, sendo que tipicamente tal retorno à zero ocorre T/2 segundos depois do início de cada pulso.

2 Caso não se lembre da definição e do modelo matemático do ruído AWGN, recomenda-se consultar o material de aula da disciplina Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos, na parte referente ao estudo de processos aleatórios.



Vamos calcular os possíveis valores das amostras de saída do correlator (ou filtro casado), as quais vão ser comparadas com o limiar de decisão λ para que seja tomada a decisão pelo bit que mais provavelmente tenha sido transmitido. As formas de onda envolvidas no processo são ilustradas na figura a seguir. Perceba que a forma de onda mais abaixo, por estar associada a uma sequência de pulsos com formato retangular de duração T e amplitude A, nada mais corresponde do que a uma constante ao longo do tempo cujo valor é kA.

Dada a transmissão de um único pulso ±g(t), o sinal de saída do filtro casado ou do correlator no momento de decisão é amostrado em t = T, gerando a variável de decisão y(T), ou simplesmente y, a partir da qual será tomada a decisão pelo bit que mais provavelmente foi transmitido. Esta variável de decisão é dada por:

[ ]

0

0

0

2

0

( ) ( )

[ ( ) ( )] ( )

( )

( )

T

T

T

T

y x t kg t dt

g t w t kg t dt

A w t kAdt

kA T kA w t dt

=

= +

= ± +

= ± +

∫

∫

∫

∫



Vamos agora analisar o comportamento estatístico da variável de decisão y. Da teoria de processamento de sinais aleatórios, sabemos que quando se aplica um processo Gaussiano à entrada de um sistema linear, a saída também será um processo Gaussiano. Além disto, o Teorema da Superposição diz que se à entrada de um sistema linear aplica-se um sinal composto pela soma de vários sinais, a saída pode ser determinada pela soma das saídas geradas por cada uma das parcelas componentes do sinal de entrada. O modelo de análise pode então ser ilustrado pela figura a seguir, para o qual teremos:

2

0Parcela de sinal Parcela de ruído Gaussiano

( ) ( )T

y T y kA T kA w t dt= = ± + ∫

Portanto a variável de decisão y será gaussiana com média +kA2T ou –kA2T, dependendo do bit transmitido, e terá variância que dependerá da intensidade do ruído w(t), conforme ilustrado a seguir.

Na figura anterior percebemos que a dispersão das gaussianas depende da intensidade de w(t). Percebemos ainda que, dada a transmissão de um bit 1 ou +g(t), há uma possibilidade não nula da variável de decisão y ter um valor menor que λ. Da mesma forma, tendo-se transmitido um bit 0 ou –g(t) há uma possibilidade não nula de y ser maior que λ. Como a decisão é baseada na comparação de y com o limiar λ, é justamente nestas situações que teremos ocorrência de erro de decisão. A probabilidade de erro será proporcional às áreas hachuradas na figura, da seguinte maneira:

Pe = p01p1 + p10p0 onde p0 e p1 são as probabilidades de envio dos bits zeros e uns, respectivamente. Estas probabilidades são denominadas de probabilidades a priori . Na prática estas probabilidades são normalmente iguais e, neste caso, dizemos que os bits são equiprováveis. Para calcularmos de forma exata as áreas anteriormente identificadas devemos calcular as integrais:

10 ( | 0)p f y dyλ

∞= ∫ e 01 ( |1)p f y dy

λ

−∞= ∫

onde f(y|0) e f(y|1) são densidades de probabilidade gaussianas, condicionadas ao envio dos bits 0 e 1, respectivamente. Estas densidades são muitas vezes denominadas de funções de verossimilhança.



Infelizmente tais integrais não têm solução analítica exata. Para resolvê-las temos que lançar mão de integrações numéricas que envolvem a função erro complementar, erfc(u), ou a função Q, Q(u). Para mais detalhes sobre tais soluções numéricas, consulte o APÊNDICE ao final destas notas de aula. Para o problema em questão, fazendo k = (A2Tb)

−1/2 e utilizando a função erfc(u), a probabilidade de erro de decisão, que é igual à probabilidade de erro de bit, é determinada por:

2 20 1

0 0

erfc erfc2 2

b be

A T A Tp pP

N N

λ λ + − = +

Observe mais uma vez que a Pe depende das probabilidades a priori dos bits. Analisando o comportamento da função erfc(u) ilustrado a seguir, percebe-se que seu valor decresce com o aumento do argumento. Portanto, aumentando a amplitude A aumenta-se a potência de transmissão e, por consequência, diminuí-se a probabilidade de erro. Aumentando a intensidade do ruído, aumenta-se sua densidade espectral de potência, N0, o que fará com que a probabilidade de erro aumente. Se for aumentado o valor de T, que é igual a Tb na sinalização binária, aumenta-se a energia do bit a uma dada amplitude A e, por consequência, diminui-se a Pe. Por fim, e de maneira até certo ponto surpreendente, percebe-se que a Pe depende do limiar de decisão λ. Para o caso, o valor ótimo deste limiar é dado por:

0 0opt 2

1

ln4 b

N p

pA Tλ

=

de onde observamos que tal limiar depende das probabilidades a priori dos bits. No caso de bits equiprováveis, p0 = p1 = ½ e, portanto, o limiar de decisão vale zero.

Na próxima aula determinaremos a expressão final do cálculo de probabilidade de erro de bit para a sinalização analisada (NRZ bipolar) em canal AWGN, interpretaremos suas variáveis Eb e N0 e aprenderemos como aplicá-la com exercícios. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



APÊNDICE

Cálculo numérico de área da cauda de uma Gaussiana via função erfc(x) ou Q(x) Quando problemas sobre probabilidade envolvendo uma v.a. Gaussiana demandam cálculos de área da cauda da função densidade de probabilidade, nos deparamos com um obstáculo: o cálculo desta área não tem solução analítica exata. Nestes casos utilizamos as funções erfc(x) e Q(x) cujo objetivo é permitir um cálculo numérico da área em questão. Tais funções são definidas por meio das expressões:

22( ) exp

xerfc x u du

π∞

= − ∫ 21

( ) exp22 x

uQ x du

π∞

= −

∫

Estas funções se relacionam por meio de:

( )( ) 2 2erfc x Q x= 1

( )2 2

xQ x erfc

=

.

Muitos softwares de cálculo e até calculadoras mais modernas contêm ao menos uma dessas funções embutidas. Ainda assim, muitas referências contêm tabelas de valores destas funções para uma grande faixa de argumentos. Como alternativa, a expressão a seguir corresponde à expansão da função erfc(x) em uma série. Para 50 ou mais termos no somatório, o valor obtido com a série se aproxima bastante do valor exato da função até por volta de 10–7. Para valores mais baixos do resultado tem-se que aumentar o número de termos do somatório.

2 1

0

2( ) 1 ( 1)

!(2 1)

ii

i

xerfc x

i iπ

+∞

=

= − − +

∑

A função Q(x) possui algumas aproximações, conforme ilustrado na figura a seguir, onde se pode identificar claramente em que faixa de valores do argumento tais aproximações são mais ou menos precisas.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- FIM DA AULA



Aula nº 3 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Análise de Pe em banda-base – 2

Conteúdo Continuação da análise de erro para o sistema de transmissão antipodal em banda-base. Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) interpretar a influência da energia média por bit e da densidade espectral de potência de ruído na probabilidade de erro de bit em sistemas de comunicação digital. 2) identificar as principais diferenças entre os critérios de decisão MAP e MV. 3) aplicar os conceitos estudados até o final desta aula na solução de exercícios.

Expressão final de Pe para a sinalização antipodal Ao final da aula passada chegou-se à seguinte expressão para a probabilidade de erro de bit para uma sinalização NRZ bipolar em canal AWGN:

2 2

0 1

0 0

erfc erfc2 2

b be

A T A Tp pP

N N

λ λ + − = +

Em seguida analisamos a influência das principais variáveis dessa expressão na probabilidade de erro de bit, Pe. Por fim vimos que o limiar de decisão também tem influência na Pe e que, para bits equiprováveis (p0 = p1 = ½), o limiar ótimo se situa no ponto intermediário das médias das funções de verossimilhança condicionais. Para o caso da sinalização antipodal, λ = 0. Vamos agora simplificar a expressão anterior em função das condições p0 = p1 = ½ e λ = 0:

2 2 21 1

2 2

00 0

0 0 1erfc erfc erfc

2 2 2b b b

e

A T A T A TP

NN N

+ − = + =

Agora vamos definir uma importante grandeza que será muito utilizada ao longo do curso e também na prática e em outras disciplinas do curso de Engenharia de Telecomunicações. Trata-se da energia média por bit, Eb, definida e calculada da seguinte maneira para o sistema sob análise:

0 0 1 1b b bE p E p E= +

onde Eb0 e Eb1 são as energias dos pulsos que representam os bits 0 e 1, respectivamente, na entrada do receptor. Nos casos onde p0 = p1 = ½, teremos:

0 1

2b b

b

E EE

+=

A energia do bit 1 é a energia do pulso +g(t), o qual é retangular com amplitude A e duração T = Tb. A energia do bit 0 é a energia do pulso −g(t), também retangular com amplitude −A e duração T = Tb:



2 2 21 0 0

( )b bT T

b bE g t dt A dt A T= = =∫ ∫ e 2 2 20 0 0

[ ( )] ( )b bT T

b bE g t dt A dt A T= − = − =∫ ∫

Então, 2 2

2

2b b

b b

A T A TE A T

+= =

Com este valor de Eb na última expressão de Pe, temos finalmente a expressão de cálculo da probabilidade de erro de bit para uma sinalização NRZ bipolar em canal AWGN:

0

1erfc

2b

e

EP

N

=

Como notaremos em outros momentos do curso, esta expressão é válida para calcular a BER de qualquer sinalização antipodal em canal AWGN. Vale mencionar que a relação Eb/N0 é também uma importante grandeza que aparece com frequência na demonstração do desempenho de sistemas de comunicação, juntamente com a taxa de erro de bit estimada ou BER (Bit Error Rate), conforme exemplificado a seguir. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Vamos desenhar em um gráfico a BER de um sistema com sinalização NRZ bipolar em canal AWGN em função da relação Eb/N0. No eixo vertical teremos os resultados de cálculo segundo a expressão de Pe que acabamos de obter. No eixo horizontal teremos os valores de Eb/N0, tipicamente em dB. Teremos como resultado o gráfico dado a seguir.

Se quiséssemos uma BER = 1×10−3, o que equivale à ocorrência de 1 erro de bit a cada 1.000 bits transmitidos, em média, de acordo com o gráfico dado deveríamos operar com Eb/N0 ≅ 6,8 dB. Seja N0 = 10−6 watts/Hz e suponha que queremos encontrar a potência média de recepção necessária para prover a BER alvo, sabendo que o sistema opera com taxa de bits de 300 kbit/s. Inicialmente vamos calcular Eb: Para Pe = 1×10−3 temos que 2×10−3 = erfc( 0/bE N ). Do gráfico da função erfc(u)

dado na aula passada obtemos o valor do argumento aproximadamente igual a 2,2. De forma



alternativa, utilizando a tabela dada como ANEXO a estas notas de aula encontramos também um argumento aproximadamente igual a 2,2. Então:

2 60 0/ 2,2 2,2 4,84 10 Jb bE N E N −= ⇒ = = ×

Como a taxa de bits é Rb = 300 kbit/s, Tb = 1/Rb = 1/300.000 = 3,33×10−6 s. Então, para garantir a BER de 1×10−3, a potência média na entrada do receptor deverá ser de, no mínimo,

P = Eb/Tb = 4,84×10−6/3,33×10−6 = 1,45 watts. Conhecendo a atenuação provocada no sinal ao atravessar o canal de comunicação, facilmente podemos calcular a potência média de transmissão necessária. Faça um exemplo como exercício, supondo que a atenuação de potência do canal é de 18 dB. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Critérios de decisão MAP (máximo a posteriori) e MV (máxima verossimilhança) Um critério de decisão bastante intuitivo é aquele que opera segundo a regra:

decida por 0 se a probabilidade de se ter enviado o bit 0, dada a observação da variável de decisão, for maior que a probabilidade de se ter enviado o bit 1;

decida por 1 se a probabilidade de se ter enviado o bit 0, dada a observação da variável de decisão, for menor que a probabilidade de se ter enviado o bit 1;

decida arbitrariamente se ambas as probabilidades forem iguais. Este critério é denominado de MAP (máximo a posteriori). Matematicamente podemos escrever:

decida por 0 se P(0 | y) > P(1 | y); decida por 1 se P(0 | y) < P(1 | y); decida arbitrariamente se P(0 | y) = P(1 | y).

Aplicando a regra de Bayes nas probabilidades em questão, as quais são denominadas de probabilidades a posteriori, obtemos:

0( | 0)P(0 | )

( )

p y py

p y= e 1( |1)

P(1| )( )

p y py

p y=

Utilizando este resultado no critério MAP definido anteriormente e observando que p(y) terá o mesmo peso em ambos os lados das comparações, obtemos:

decida por 0 se 0( | 0)p y p > 1( |1)p y p ;

decida por 1 se 0( | 0)p y p < 1( |1)p y p ;

decida arbitrariamente se 0( | 0)p y p = 1( |1)p y p .

Perceba que para aplicar na prática este critério de maximização das probabilidades a posteriori temos que conhecer as probabilidades a priori p0 e p1, que são as probabilidades de envio dos bits 0 e 1, respectivamente.



Quando as probabilidades a priori são idênticas, caso mais comum na prática, a regra de decisão em questão resume-se a comparar as magnitudes das densidades de probabilidade condicionais envolvidas. Como vimos, estas densidades são usualmente denominadas de funções de verossimilhança e, por esta razão, este novo critério é denominado de MV (máxima verossimilhança). Ele pode ser assim escrito:

decida por 0 se ( | 0)p y > ( |1)p y ; decida por 1 se ( | 0)p y < ( |1)p y ; decida arbitrariamente se ( | 0)p y = ( |1)p y .

Na aula anterior analisamos este critério por um outro ponto de vista, mas que leva ao mesmo resultado. Perceba na ilustração a seguir que decidir em função do valor da variável de decisão estar à esquerda ou à direita do limiar de decisão corresponde exatamente à decisão tomada em função da comparação entre as funções densidade de probabilidade condicionais (funções de verossimilhança), conforme dita o critério MV.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1) Os bits 1, 0, 1, 1 são transmitidos por pulsos NRZ bipolares de duração T e amplitude A. Pede-se:

a) Supondo ausência de ruído, esboce a forma de onda de saída do correlator do receptor. b) Supondo ausência de ruído, esboce a forma de onda de saída do filtro casado do receptor. c) Supondo presença de ruído, esboce a forma de onda de saída do correlator do receptor. d) Supondo presença de ruído, esboce a forma de onda de saída do filtro casado do receptor.

a)

b)

Perceba que, embora as formas de onda de saída do correlator e do filtro casado sejam completamente diferentes, o que se justifica pelo fato dos correspondentes circuitos serem diferentes, amostras tomadas ao final do intervalo de cada bit, em ambas as formas de onda,



levarão aos mesmos valores. Isto justifica o desempenho idêntico destas duas estruturas de recepção.

c)

d)

Observe que, nos momento de amostragem, o ruído fará com que os valores das amostras sejam diferentes dos esperados. O ruído pode ser tão intenso (alto valor de N0) a ponto de fazer com que um pulso positivo transmitido gere uma amostra de valor negativo, levado à condição de erro na decisão (erro de bit).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) As figuras a seguir mostram os histogramas (aproximações das funções densidade de

probabilidade) para (a) o sinal na entrada do correlator e (b) o sinal na saída do dispositivo de amostragem, após o correlator, em um sistema de comunicação digital em banda-base com sinalização binária antipodal e formatos de pulso retangulares. Pede-se:

a) Explique a razão para a diferença entre tais histogramas. b) O que se pode dizer a respeito da taxa de erro de bit proporcionada por tal sistema? Ele deve

ser alta, média ou aproximadamente nula? Justifique sua resposta.

Histogram30000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (a)

Histogram80000

0

20000

40000

60000

-.05 -.025 0 .025 .05

(b)

a) Ao aplicarmos ruído a um filtro casado (ou correlator), temos uma redução de potência deste ruído, da entrada em relação à saída, conforme ilustrado a seguir:



A redução de potência corresponde a uma redução na variância do ruído e, por consequência, uma redução na dispersão de sua densidade de probabilidade. É por esta razão que as gaussianas na entrada do sistema estão sobrepostas (alta variância = alta potência) e na saída estão afastadas (baixa variância = baixa potência).

b) A BER será nula, pois não está havendo sobreposição das caudas das densidades de probabilidade. Vale lembrar que a probabilidade de erro está associada às amostras de saída do filtro casado ou do correlator. Se aumentarmos a intensidade do ruído ou diminuirmos a potência de transmissão a ponto de fazer com que comece a haver sobreposição entre as gaussianas de saída do correlator, começaremos a perceber o aumento na probabilidade de erro.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Um sistema de comunicação digital em banda-base está operando em um canal AWGN. A figura

abaixo mostra, em um determinado intervalo de observação, a forma de onda da sinalização binária transmitida (1), a forma de onda de saída do correlator implementado com um integrate-and-dump (2) e o limiar de decisão (3). Pergunta-se e/ou pede-se:

a) A sinalização binária em questão é bipolar ou unipolar? Justifique.

A sinalização é bipolar devido ao fato de existirem rampas positivas e negativas na forma de onda de saída do correlator.

b) Qual é a taxa de transmissão, em bits por segundo?

Podemos contar o número de bits no intervalo considerado e dividir um resultado pelo outro. Podemos também (de forma mais simples) calcular a taxa de bits através do inverso da duração de um bit, ou seja, Rb = 1/Tb = 1/0,01 = 100 bit/s.

c) Plote sobre a forma de onda (2) a forma de onda que seria obtida na saída do amostrador do

tipo amostra-e-retém (sample & hold – S&H), colocado na saída do correlator.

Veja a solução no gráfico a seguir.

d) Indique na figura qual o momento em que haverá um erro na decisão e, portanto, um correspondente erro de bit. Aponte a causa desse erro.

Veja a solução no gráfico a seguir. A causa deste erro é a influência do ruído que fez com que a integral correspondente ao 9º bit tivesse seu valor positivo, mesmo tendo-se transmitido um bit 0 (pulso negativo). Observe também que a decisão sobre um determinado bit ocorre somente após um intervalo de integração completo. Em outras palavras, a decisão sobre o n-ésimo bit ocorre no instante de tempo (n + 1)T.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Qual a definição de taxa de erro de bit?

Taxa de erro de bit = número de bits errados / número de bits transmitidos no intervalo considerado.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) Qual a relação entre a taxa de transmissão de símbolos R e a duração de um bit, Tb?

A taxa de bits, medida em bits/segundo é o inverso da duração de um bit, ou seja: Rb = 1/Tb. Em uma sinalização com M símbolos a taxa de símbolos será R = Rb/log2M = 1/Tblog2M.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6) Como se calcula a energia média por bit, dados os formatos de pulso g1(t) e g2(t), a regra de

mapeamento entre os bits e estas formas de onda e as probabilidades de envio dos bits?

0 0 1 1b b bE p E p E= +

Usando o mapeamento: bit 10 ( )g t⇒ e bit 21 ( )g t⇒ tem-se: 20 10

( )bT

bE g t dt= ∫ e 21 20

( )bT

bE g t dt= ∫

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7) Que relação existe entre a energia média por bit Eb, a potência média de transmissão e a duração do

bit, Tb?

A energia de um pulso, por definição, é o produto da potência média pela duração do pulso. Então Eb = PTb , onde P é a potência média.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8) Para um valor de Eb/N0 = 8 dB, estime a probabilidade de erro de bit para uma sinalização

antipodal em canal AWGN.



Sabemos que ( ) ( ) ( )8/10 8/10

0

1 1 1 110 10 2,51

2 2 2 2b

e

EP erfc erfc erfc erfc

N

= = = ≅

.

Pela tabela dada como anexo, ½erfc(2,5) = BER = Pe = 2,03×10−4. Do gráfico de BER×Eb/N0 dado nestas notas de aula também obtém-se este valor de Pe por aproximação.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9) Bits gerados por uma fonte equiprovável são representados por pulsos NRZ bipolares de duração 1

ms e amplitude 1 mV. Calcule a energia média por bit, Eb.

Se p0 = p1 = ½, 0 10 0 1 1 2

b bb b b

E EE p E p E

+= + = .

Então 1ms 2 9

0 10(0,001) 1 10b bE dt E−= = × =∫ , o que leva a Eb = 1×10−9 Joules.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10) Dois sistemas de comunicação (A e B) com sinalização NRZ bipolar operam sob a mesma

intensidade de ruído em um canal AWGN. O sistema A opera a uma Pe ≅ 1,2×10−4. Quanto a mais de potência de transmissão estará utilizando o sistema A, se B opera com Pe ≅ 4,4×10−3?

Sistema A: 4A

0

11,2 10

2bE

erfcN

− = ×

Sistema B: 3B

0

14,4 10

2bE

erfcN

− = ×

Da tabela da função erfc(x) em anexo obtém-se:

Para ( ) 411,2 10 2,6

2erfc x x−= × ⇒ = e para ( ) 31

4,4 10 1,852

erfc x x−= × ⇒ = .

Então: A

0

2,6bE

N= e B

0

1,85bE

N= , o que leva a: A

0

6,76bE

N= e B

0

3,42bE

N= .

Como N0 é o mesmo para os dois sistemas, dividindo os um resultado pelo outro encontraremos a relação de energias que, por consequência, será a relação de potências. Portanto, o sistema A opera com 6,76/3,42 = 1,98 vezes mais de potência, ou seja, aproximadamente 3 dB a mais.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11) Para o exercício 10, calcule o valor de Eb para os dois sistemas, sabendo que a densidade espectral

de potência de ruído vale N0 = 1×10−10. 10

A 0 A/ 6,76 6,76 10b bE N E −= ⇒ = × e 10B 0 B/ 3,42 3,42 10b bE N E −= ⇒ = ×

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12) Discuta com alguns colegas e procure justificar os nomes para as probabilidades a posteriori P(0 |

y) e P(1 | y) e para as probabilidades a priori p0 e p1. Aproveite para fazer uma pesquisa que o permita definir o conceito do termo verossimilhança.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



ANEXO

Tabela de valores da função erro-complementar

x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x)

0.025 0.971796 1.025 0.147179 2.025 4.19E-03 3.025 1.89E-05

0.05 0.943628 1.05 0.137564 2.05 3.74E-03 3.05 1.61E-05

0.075 0.91553 1.075 0.128441 2.075 3.34E-03 3.075 1.37E-05

0.1 0.887537 1.1 0.119795 2.1 2.98E-03 3.1 1.16E-05

0.125 0.859684 1.125 0.111612 2.125 2.65E-03 3.125 9.90E-06

0.15 0.832004 1.15 0.103876 2.15 2.36E-03 3.15 8.40E-06

0.175 0.804531 1.175 0.096573 2.175 2.10E-03 3.175 7.12E-06

0.2 0.777297 1.2 0.089686 2.2 1.86E-03 3.2 6.03E-06

0.225 0.750335 1.225 0.0832 2.225 1.65E-03 3.225 5.09E-06

0.25 0.723674 1.25 0.0771 2.25 1.46E-03 3.25 4.30E-06

0.275 0.697344 1.275 0.071369 2.275 1.29E-03 3.275 3.63E-06

0.3 0.671373 1.3 0.065992 2.3 1.14E-03 3.3 3.06E-06

0.325 0.645789 1.325 0.060953 2.325 1.01E-03 3.325 2.57E-06

0.35 0.620618 1.35 0.056238 2.35 8.89E-04 3.35 2.16E-06

0.375 0.595883 1.375 0.05183 2.375 7.83E-04 3.375 1.82E-06

0.4 0.571608 1.4 0.047715 2.4 6.89E-04 3.4 1.52E-06

0.425 0.547813 1.425 0.043878 2.425 6.05E-04 3.425 1.27E-06

0.45 0.524518 1.45 0.040305 2.45 5.31E-04 3.45 1.07E-06

0.475 0.501742 1.475 0.036982 2.475 4.65E-04 3.475 8.91E-07

0.5 0.4795 1.5 0.033895 2.5 4.07E-04 3.5 7.43E-07

0.525 0.457807 1.525 0.031031 2.525 3.56E-04 3.525 6.19E-07

0.55 0.436677 1.55 0.028377 2.55 3.11E-04 3.55 5.15E-07

0.575 0.416119 1.575 0.025921 2.575 2.71E-04 3.575 4.29E-07

0.6 0.396144 1.6 0.023652 2.6 2.36E-04 3.6 3.56E-07

0.625 0.376759 1.625 0.021556 2.625 2.05E-04 3.625 2.95E-07

0.65 0.357971 1.65 0.019624 2.65 1.78E-04 3.65 2.44E-07

0.675 0.339783 1.675 0.017846 2.675 1.55E-04 3.675 2.02E-07

0.7 0.322199 1.7 0.01621 2.7 1.34E-04 3.7 1.67E-07

0.725 0.305219 1.725 0.014707 2.725 1.16E-04 3.725 1.38E-07

0.75 0.288844 1.75 0.013328 2.75 1.01E-04 3.75 1.14E-07

0.775 0.273072 1.775 0.012065 2.775 8.69E-05 3.775 9.36E-08

0.8 0.257899 1.8 0.010909 2.8 7.50E-05 3.8 7.70E-08

0.825 0.243321 1.825 9.85E-03 2.825 6.47E-05 3.825 6.32E-08

0.85 0.229332 1.85 8.89E-03 2.85 5.57E-05 3.85 5.19E-08

0.875 0.215925 1.875 8.01E-03 2.875 4.79E-05 3.875 4.25E-08

0.9 0.203092 1.9 7.21E-03 2.9 4.11E-05 3.9 3.48E-08

0.925 0.190823 1.925 6.48E-03 2.925 3.53E-05 3.925 2.84E-08

0.95 0.179109 1.95 5.82E-03 2.95 3.02E-05 3.95 2.32E-08

0.975 0.167938 1.975 5.22E-03 2.975 2.58E-05 3.975 1.89E-08

1 0.157299 2 4.68E-03 3 2.21E-05 4 1.54E-08

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FIM DA AULA



Aula nº 4 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Interferência intersimbólica

Conteúdo Transmissão M-PAM. Interferência intersimbólica (IIS). Transmissão sem distorção.

Objetivos Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: conceituar a sinalização M-PAM em banda base, explicando suas vantagens e desvantagens. 2) definir interferência intersimbólica. 3) definir transmissão sem distorção, associando o conceito à IIS.

Transmissão M-PAM em banda-base Um sinal M-PAM (Multilevel Pulse Amplitude Modulation) em banda-base é uma sequência de pulsos de diferentes amplitudes, contendo um número de níveis M = 2k, onde k é o número de bits que cada nível representa. Nesta forma de transmissão os bits de informação são agrupados em entidades denominadas de símbolos. Por exemplo, na sinalização binária tem-se M = 2 símbolos e um bit corresponde a um símbolo. Na sinalização quaternária tem-se M = 4 e dois bits são representados por um símbolo, e assim por diante. O termo símbolo também pode ser atribuído a cada uma das possíveis formas de onda do sinal transmitido. Por exemplo, numa transmissão quaternária podemos representar cada par de bits (dibit)3 por uma forma de onda ou símbolo diferente, dentre as 4 formas de onda possíveis. Na figura a seguir tem-se a ilustração de um sinal 4-PAM com pulsos retangulares e a correspondente sequência de bits que tal sinal 4-PAM representa.

Devemos nos atentar para a ligeira diferença entre o conceito de símbolo quando associado à sequência de bits de informação e o conceito de símbolo quando associado às formas de onda de transmissão. No primeiro caso um símbolo é um conjunto de k = log2M bits. No segundo caso um símbolo é uma das M formas de onda da sinalização, onde cada uma representa ou transporta k = log2M bits. Devemos ainda ficar atentos para a relação entre a duração de um símbolo, T, e a duração de um bit, Tb, dada por:

3 É comum dar os nomes dibit, tribit e quadribit aos conjuntos de dois, três e quatro bits, respectivamente.



T = kTb = Tblog2M

O objetivo da sinalização M-PAM é reduzir a largura de faixa (BW – bandwidth) do sinal transmitido ou aumentar a taxa de bits em uma determinada BW. A duração de um símbolo transmitido no canal é quem determinará a banda ocupada pelo sinal. Portanto, se quisermos reduzir a banda a uma taxa de bits fixa, devemos aumentar a duração dos símbolos e, por consequência, aumentar M. Se quisermos manter a banda ocupada devemos manter a duração dos símbolos. Assim, para aumentarmos a taxa de bits de informação em uma dada banda devemos transportar mais bits por símbolo e, por consequência, devemos também aumentar M. Como na Engenharia quase sempre se ganha de um lado e se perde de outro, com o aumento do número de símbolos da sinalização o receptor terá mais dificuldade de distinguir um número maior de níveis (símbolos). Para compensar este efeito, para a mesma performance da sinalização binária, a sinalização multinível (M > 2) necessitará maior potência de transmissão. Na sinalização binária tem-se a possibilidade de uma potência de transmissão menor, mas para uma dada taxa de bits é necessário maior BW que na sinalização multinível. A solução para este impasse é a conhecida solução de compromisso, que leva em conta se o sistema é limitado em potência ou em largura de faixa. Vejamos este conceito por meio de um exemplo. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Sistema com limitação de banda maior que a limitação de potência: em torres de telefonia celular é comum vermos antenas parabólicas diretivas, com formato parecido com um “tambor”, cujo objetivo é realizar a comunicação com outra parte remota do sistema. Esta comunicação é normalmente realizada na faixa de microondas. Como bem sabemos, o espectro eletromagnético nas proximidades da superfície da terra encontra-se bastante congestionado. Portanto, este exemplo trata de um sistema com grande limitação de banda, pois quanto maior a banda ocupada, maior a contribuição para o congestionamento do espectro. Então, o sinal transmitido deverá conter um grande número de símbolos. Na prática, uma modulação tipicamente utilizada é chamada de 256-QAM4, ou seja, trata-se de uma modulação com 256 símbolos. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Sistema com limitação de potência maior que a limitação de banda: na comunicação de sondas espaciais com as estações terrenas, a economia de potência é de fundamental importância, posto que tais sondas normalmente têm seu sistema de alimentação realizado pela conversão de energia solar. Este é um típico exemplo de um sistema onde a limitação de potência é mais importante que a limitação de banda. Em casos como este, modulações com poucos símbolos (4-PSK, por exemplo) são utilizadas para prover o sistema com alta imunidade ao ruído. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Geração da forma de onda de transmissão para um sinal M-PAM Vimos que um método bastante usual na prática para a geração da sequência de pulsos g(t) para uma sinalização binária (2-PAM) foi realizado por meio do sistema mostrado na figura a seguir. Recorra às notas de aula passadas caso tenha dúvidas sobre o funcionamento deste método. 4 As modulações M-QAM e M-PSK nada mais são que outras formas de adequação do sinal a ser transmitido ao canal, porém em banda-passante. A segunda metade do nosso curso será destinada inteiramente a modulações como estas.



Vamos agora generalizar tal método para uma sinalização M-PAM com M qualquer, utilizando como exemplo a geração de um sinal 4-PAM. Para tanto, considere o filtro de transmissão com resposta ao impulso dada na figura a seguir.

Considere o diagrama de blocos para o transmissor M-PAM mostrado na figura a seguir, do qual facilmente se pode obter o transmissor 2-PAM estudado anteriormente, bastando fazer M = 2.

Para um sinal 4-PAM teremos as seguintes formas de onda ao longo do processo de geração do sinal:

Sequência de bits de informação:

Sinal 4-PAM de saída do gerador M-PAM:

Sinal 4-PAM de saída do segundo conversor:



Forma de onda 4-PAM transmitida à saída do filtro de transmissão (em linhas tracejadas está o sinal 4-PAM de saída do segundo conversor):

Interferência Intersimbólica (IIS) Tendo aprendido como se implementa uma sinalização M-PAM e qual o seu propósito, vamos retornar à sinalização binária, por facilidade de entendimento, para analisarmos o sistema mostrado a seguir. As conclusões obtidas com a análise realizada através da sinalização binária também se aplicarão à sinalização multinível.

Σ( )x t0 ( )x t ( )y t ( )y ti

Ruído branco( )w t

Amostraem t = iTi b

Limiar de decisão, λ

1 se > λ0

y ty t( )

se ( ) < i

i λ

Filtro derecepção

( )c t

Canal( )h t

Dispositivode decisão

( )s tdados

bináriosde

entrada bk

akFiltro de

transmissão( )g t

ModuladorPAM

Pulsos detemporização

( )clockTransmissor ReceptorCanal

Neste sistema os dois blocos mais à esquerda são responsáveis por gerar a sequência de pulsos g(t) que comporá a forma de onda de transmissão, s(t). Adotando a convenção 1 → +g(t) e 0 → –g(t), os pulsos ak corresponderão a uma sequência de pulsos estreitos e de amplitudes +1 ou – 1. O canal com resposta h(t) foi inserido no sistema para representar eventuais comportamentos de distorção causada por filtragem do sinal de entrada. Por exemplo, se estivermos realizando uma transmissão via um par metálico como à nossa linha telefônica, as resistências, indutâncias e capacitâncias distribuídas ao longo desta linha causarão um efeito de filtragem passa-baixas que fará com que uma sequência de pulsos retangulares aplicada à sua entrada tenha, em sua saída, um aspecto parecido com aquele ilustrado pela figura a seguir.

Depois de sofrer este efeito de filtragem, o sinal é contaminado com a adição de ruído branco, fenômeno que já conhecemos. Sabemos que a convolução de um pulso com uma resposta ao impulso qualquer gera como resultado um sinal cuja duração é maior ou igual à duração do pulso de entrada. Portanto, somente se o canal tiver banda infinita a duração do pulso de saída será igual à duração do pulso de entrada. Em uma situação prática este “alargamento” ou dispersão temporal dos pulsos ao atravessarem o canal pode fazer com que símbolos adjacentes se sobreponham. Esta sobreposição pode causar o fenômeno conhecido como Interferência Intersimbólica (IIS). Este fenômeno de dispersão temporal pode ser facilmente explicado à luz da dualidade tempo × frequência: quando se reduz as componentes de frequência de um sinal, eleva-se a duração do sinal; quando se reduz a duração de um pulso, eleva-se a banda por ele ocupada. A figura a seguir ilustra este comportamento.



A IIS é um dos grandes vilões dos sistemas de comunicação, pois limita drasticamente a taxa de transmissão. Isto ocorre porque quanto menor a duração de um símbolo (maior taxa de transmissão), maior a banda do sinal e maior será a chance de ocorrência de sobreposição temporal de símbolos adjacentes. O nosso objetivo agora é projetar adequadamente os filtros de transmissão e de recepção para tentar evitar o aparecimento da IIS. Antes, porém, vamos analisar uma das condições suficientes em que um canal de comunicação não causa distorção no sinal que passa por ele, estudando o conceito de transmissão sem distorção. Transmissão sem distorção (condição suficiente) Seja o canal a seguir:

No domínio da frequência o sinal de saída pode ser calculado por meio da multiplicação do sinal de entrada pela resposta em frequência do canal, o que permite escrever:

0( ) ( )exp( 2 )( ) exp( 2 )

( ) ( )

X f kS f j fH f k j f

S f S f

π τ π τ−= = = −

De onde obtemos a magnitude e a fase da resposta em frequência do canal:

| ( ) |H f k= e ( ) 2f fπ τΘ = − Vamos esboçar a magnitude e a fase encontrada para o canal sob análise:

Interpretando estes resultados concluímos que, para que um canal não cause distorção em um sinal ele deve ter a magnitude de sua resposta em frequência constante, ou seja, |H( f )| = k, e a fase de sua resposta em frequência com comportamento linear, ou seja, ΘΘΘΘ( f ) = – 2ππππfττττ.



Por meio deste conceito percebemos que não somente a banda do canal deve ser levada em conta, mas também a sua resposta de fase. Uma resposta de fase linear implica em tempo de propagação τ idêntico para todas as componentes de frequência do sinal, condição suficiente para não haver distorção do sinal transmitido ao passar pelo canal. Na prática basta que as condições de magnitude constante e fase linear sejam atendidas dentro da faixa em que a maior parte da energia do sinal se concentra, como ilustrado na figura a seguir. Nesta figura S(f) é a densidade espectral de potência (DEP) do sinal transmitido.

É importante ressaltar que, na prática, qualquer sinal que tenha pulsos confinados no tempo terá banda infinita. Analogamente, qualquer sinal que tenha espectro confinado em uma determinada faixa, terá pulsos com duração infinita. Por exemplo, se estivermos transmitindo pulsos retangulares, sabemos que o espectro terá relação com a função sinc(f). Temos neste caso um típico exemplo de pulso confinado, para o qual o espectro é infinito. Entretanto, a maior parte da energia de tais pulsos se encontra no chamado lobo (ou lóbulo) principal do espectro. Sendo assim, se o canal tiver magnitude da resposta em frequência constante e fase linear na largura de faixa do lóbulo principal do sinal, não haverá distorção significativa do sinal, situação esta tolerada sem maiores problemas na prática. A figura a seguir ilustra este exemplo.

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FIM DA AULA



Aula nº 5 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Critério de Nyquist para IIS nula

Conteúdo Critério de Nyquist para interferência intersimbólica (IIS) nula. A IIS e a equalização

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir ISI do ponto de vista de sobreposição temporal nos instantes de decisão. 2) interpretar o critério de Nyquist para ISI nula no domínio do tempo e da frequência. 3) definir o papel do equalizador em um sistema de comunicação digital.

Critério de Nyquist para IIS nula Tendo como referência o sistema ilustrado na figura a seguir, inicialmente vamos definir um novo formato de pulso correspondente à cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção, desconsiderando-se o ruído num primeiro momento. A este pulso vamos dar o nome de µp(t) = g(t)∗c(t)∗h(t), onde µ é uma constante de atenuação ou ganho desta cascata como um todo.

No domínio da frequência, P(f) é a transformada de Fourier de p(t). À sequência de amostras de p(t) damos o nome de pδ(t). À transformada de Fourier da sequência pδ(t) damos o nome de Pδ(f), conforme ilustra a figura a seguir.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Suponha que a sequência de bits 1 0 0 1 0 tenha sido transmitida, sabendo que p(t) tem a forma ilustrada na figura a seguir e que a sinalização é antipodal.

Vamos analisar a sequência de pulsos p(t) na saída do filtro de recepção, mostrada na figura a seguir. Nesta figura tem-se também a soma dos pulsos, a qual corresponderá à forma de onda de saída do filtro de recepção, y(t).



Por meio da figura anterior percebe-se que, embora haja sobreposição temporal de símbolos vizinhos, esta sobreposição é nula nos instantes de amostragem. Estes instantes são múltiplos inteiros da duração de um símbolo e os pontos ideais de amostragem correspondem aos picos dos pulsos p(t). Como exemplo, quando for colhida a amostra referente ao 4º pulso será obtido o seu valor máximo sem a influência dos pulsos vizinhos, pois estes têm valor nulo neste instante. Na figura em questão, observe ainda que nos instantes ideais de amostragem a forma de onda de saída do filtro de recepção tem valores iguais aos picos dos pulsos isolados. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Com estas novas informações podemos agora definir a IIS de uma forma um pouco mais precisa: Interferência Intersimbólica é a sobreposição temporal de símbolos vizinhos na saída do filtro de recepção no momento da decisão. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Vamos repetir o exemplo anterior para um novo formato de pulso p(t) ligeiramente diferente do primeiro, conforme ilustra a figura a seguir.

Vamos mais uma vez analisar a sequência de pulsos p(t) na saída do filtro de recepção, como mostrado na figura a seguir. Nesta figura percebe-se nitidamente que nos instantes de amostragem ótimos os pulsos vizinhos do pulso de interesse não têm sempre valor nulo. Esta situação configura a existência de IIS e, como resultado, os valores esperados das amostras serão modificados pelos pulsos vizinhos, fazendo com que o sistema como um todo fique menos robusto frente ao ruído.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Perceba que a IIS por si só não causa erros de decisão, a não ser em casos extremos nos quais ela é muito elevada. O que a IIS causa na prática é um aumento da probabilidade de erro de bit, justamente por alterar os valores das amostras e tornar o sistema mais susceptível à influência do ruído. Com estes exemplos percebe-se que há uma condição para a ausência de IIS: o pulso p(t) deve ter nulos em todos os múltiplos inteiros de T, exceto no seu ponto de máximo. Desta condição podemos extrair um importante critério: Para evitarmos a IIS teremos que projetar aqueles elementos sobre os quais temos controle, ou seja, os filtros de transmissão e de recepção. Em resumo, se a cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção tiver uma resposta ao impulso contendo nulos em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização (tempo de símbolo), teremos IIS nula. Agora vamos analisar o que este critério representa no domínio da frequência. Considere o pulso p(t) ilustrado na figura a seguir. Suponha que sejam colhidas amostras espaçadas de T, onde T = Tb na sinalização binária, levando à sequência de amostras também ilustrada na figura em questão. Percebe-se que, devido ao fato de existirem amostras não nulas do pulso p(t) fora do seu ponto de máximo, tal pulso causará IIS em pulsos vizinhos. Além disto, observou-se anteriormente que esta sequência de amostras tem como espectro réplicas de P(f) deslocadas de múltiplos inteiros da frequência de amostragem fS = R = 1/T, genericamente. Como registrado na figura sob análise, estas réplicas levarão a um valor não constante para Pδ(f). Vale lembrar que para sinalização binária fS = Rb = 1/Tb.

Agora considere a situação ilustrada pela figura a seguir. Nela percebe-se que o pulso p(t) tem valor nulo em todos os instantes de amostragem diferentes do seu ponto de máximo. Isto leva a termos uma única amostra no sinal pδ(t) e, como consequência, Pδ(f), que é a transformada de um “impulso”, neste caso, terá um valor constante.

Podemos agora definir matematicamente o chamado Critério de Nyquist para IIS nula, que pode ser expresso da seguinte maneira:

A interferência intersimbólica será nula se a resposta em frequência da cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção, após amostragem, respeitar a expressão:

( ) constanten

nP f P f

T δ

∞

=−∞

− = =

∑



Sempre que a soma das réplicas do espectro de p(t), ou seja, Pδ(f) for constante, no domínio do tempo p(t) terá nulos em múltiplo inteiros do intervalo de sinalização e, portanto, não haverá IIS. Como já antecipado, para conseguirmos atender ao critério de Nyquist deveremos projetar os filtros de transmissão e de recepção adequadamente. Como veremos mais adiante, qualquer espectro P(f) que tiver a chamada simetria vestigial em torno de 1/2T atenderá ao critério de Nyquist para a IIS nula. Veremos ainda que os formatos de pulso e espectro deste tipo que são mais utilizados na prática são os pulsos e espectros co-seno elevado e raiz de co-seno elevado. A interferência intersimbólica e a equalização Na prática, muitas vezes não conseguimos ter um canal de comunicação que não distorça o sinal transmitido, ou seja, há situações nas quais o canal não tem magnitude da resposta em frequência plana e/ou não tem resposta de fase linear na faixa de frequências do sinal transmitido. Nesta situação não conseguiremos projetar o sistema de tal forma que atendamos ao critério de Nyquist para IIS nula. Para resolver o problema teremos que inserir um novo comportamento de filtragem na saída ou na entrada do filtro de recepção para tentar “cancelar” a distorção causada pelo canal. Uma das formas mais simples de cancelamento consiste da implementação de um filtro com resposta inversa da resposta do canal, como ilustrado a seguir. A este novo elemento denominamos equalizador.

Entretanto, muitas das aplicações têm canais de comunicação variáveis no tempo. Nestes casos o equalizador torna-se bastante complexo e assume sua forma adaptativa, ou seja, sua resposta em frequência se adapta às variações da resposta em frequência do canal. São exemplos destes casos os equalizadores utilizados em sistemas de comunicação móvel celular. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 6 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Filtros de Nyquist

Conteúdo Interferência Intersimbólica – continuação: a simetria vestigial e os filtros co-seno elevado e raiz de co-seno elevado. Diagrama de olho.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) associar o critério de Nyquist para IIS nula ao formato de pulso co-seno elevado e raiz de co-seno elevado. 2) identificar outras respostas em frequência que atendam ao critério de Nyquist devido à simetria vestigial. 3) interpretar a influência de ruído e/ou de IIS via análise do diagrama de olho.

Simetria vestigial em P(f) Embora esteja associada com a análise de interferência intersimbólica, a simetria vestigial é um conceito puramente geométrico. Para entendê-la considere o espectro do pulso p(t) na saída do filtro de recepção, conforme ilustrado na figura a seguir. Considere, por exemplo, o espelhamento da parte à direita de R/2 = 1/2T para a esquerda. Considere agora o espelhamento do resultado anterior para cima, como ilustra a figura. Se a parte espelhada final coincidir com a curva de P(f) à esquerda de R/2, temos a chamada simetria vestigial em torno de ±R/2.

Qualquer figura geométrica correspondente a P(f) que tenha esta propriedade em torno de ±R/2 terá como Pδ(f) = ΣP(f – nR) uma constante e, portanto, P(f) atenderá ao critério de Nyquist para IIS nula. Esta situação é exemplificada na figura a seguir.

Para o formato de P(f) exemplificado, vejamos o que acontece se tornarmos cada vez mais abruptas as quedas do espectro em torno de ±R/2. A figura a seguir ilustra o comportamento resultante: no caso mais abrupto tem-se a banda de P(f) ocupando exatamente BT = W = R/2 Hz e no caso menos abrupto tem-se uma banda BT = R Hz. Estes diferentes níveis de inclinação podem ser associados a α, chamado fator de forma ou fator de roll-off do sistema linear correspondente à cascata do filtro de transmissão, do canal e do filtro de recepção. Portanto, para α = 0 tem-se a menor banda ocupada: BT = W = R/2 Hz e para α = 1 tem-se a maior banda ocupada: BT = R Hz. Genericamente, para 0 ≤ α ≤ 1, a banda ocupada por P(f) será dada por:



( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 11 1 1 1 1

2 2 2 log 2logb

Tb

R RB W

T T M Mα α α α α= + = + = + = + = +

Em termos práticos, pode-se considerar a banda BT como sendo aproximadamente a banda que será ocupada pelo sinal transmitido.

Pulso e espectro co-seno elevado Ao formato de espectro ilustrado pela figura anterior damos o nome de espectro co-seno elevado.

( )1

1 11

1

1, 0

2

1( ) 1 sen , 2

4 2 2

0 , 2

f fW

f WP f f f W f

W W f

f W f

π

≤ <

− = − ≤ < − − ≥ −

, onde ( )1 1f W α= −

Quem dá o formato específico à resposta P(f) e ao valor da largura de faixa ocupada é o fator de forma (ou fator de roll-off) α, nitidamente identificado na expressão dada. A razão para o nome “co-seno elevado” deve-se ao fato de que, para α = 1, o formato da resposta P(f) entre −1/T e 1/T corresponde a um co-seno que, após ter sua posição vertical elevada, “descansa” sobre o eixo das frequências. Verifique esta afirmação como exercício. O formato de pulso p(t) correspondente a P(f) é denominado pulso co-seno elevado e é ilustrado na figura a seguir para alguns valores do fator de forma α. Por esta figura percebe-se nitidamente que, independente do fator de forma, o pulso p(t) tem nulos em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização 1/T. Isto faz com que um determinado pulso não interfira em pulsos adjacentes, pois terá valores nulos nos momentos ótimos de amostragem dos pulsos adjacentes.



É importante enfatizar que, genericamente, com a sinalização M-PAM, para termos IIS nula o espectro P(f) deverá apresentar simetria vestigial em torno de R/2, onde R = 1/T = 1/(log2MTb) é a taxa de sinalização (taxa de símbolos). Desta forma, a banda ocupada pelo sinal será BT = (1 + α)R/2 e os nulos do pulso p(t) ocorrerão em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização T. Pulso e espectro raiz de co-seno elevado Consideremos mais uma vez o sistema de comunicação ilustrado a seguir. Nele, para que a IIS seja nula, deseja-se que a cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção tenha uma resposta do tipo co-seno elevado, ou seja, deseja-se que P(f) = G(f)H(f)C(f) tenha resposta do tipo co-seno elevado. Para facilitar a presente análise, inicialmente considere o ruído branco nulo. Fazendo isto será possível analisar exclusivamente o comportamento da interferência intersimbólica. O ruído será incorporado em seguida, permitindo uma análise mais completa e realista do sistema.

Se o canal tiver resposta plana e fase linear em toda a faixa de frequências do sinal de saída do filtro de transmissão, P(f) praticamente não sofrerá influência do canal, exceto por um atraso adicional da cascata como um todo, causada pelo canal. Sendo assim, nesta situação pode-se dizer que o formato para |P(f)| e para arg[P(f)] dependerá predominantemente da cascata G(f)C(f). Na prática é sempre interessante termos o maior número de componentes iguais em um sistema, o que proporcionará economia de escala e, por consequência, redução do custo e no preço do produto final ao consumidor. Então, para se ter filtros de transmissão e de recepção iguais e, ao mesmo tempo, se ter a resposta total P(f) desejada, deve-se usar a seguinte relação:

| ( ) | ( ) , arg[ ( )] arg[ ( )] / 2

| ( ) | ( ) , arg[ ( )] arg[ ( )] / 2

G f P f G f P f

C f P f C f P f

= =

= =



Devido ao critério de projeto adotado nesta análise, denominamos os filtros de transmissão e de recepção projetados de filtros raiz de co-seno elevado. Damos o nome de espectro raiz de co-seno elevado e pulso raiz de co-seno elevado à resposta em frequência e à resposta ao impulso destes filtros, respectivamente. Estes filtros são largamente utilizados em sistemas reais e cumprirão o seu papel de evitar a IIS, desde que o canal não distorça o sinal que passar por ele, ou seja, desde que o canal não tenha influência no formato da resposta em frequência co-seno elevado desejada para a cascata. Caso o canal cause distorção, já sabemos o que deverá ser feito: a inserção de outro bloco no sistema, correspondente ao equalizador. Perceba que, com o uso dos filtros de transmissão e de recepção do tipo raiz de co-seno elevado, é possível dar uma nova interpretação ao sistema sob análise: pode-se interpretar o filtro de transmissão como um filtro formatador do pulso de transmissão e, por consequência, pode-se interpretar o filtro de recepção como um filtro casado com tal formato de pulso. Portanto, ao considerarmos o sistema mostrado na figura anterior, agora com a presença do ruído branco, podemos dizer que o uso dos filtros de transmissão e de recepção do tipo raiz de co-seno elevado tem por objetivo eliminar a interferência intersimbólica e ao mesmo tempo minimizar a influência do ruído na variável de decisão. Diagrama de olho O diagrama de olho é uma ferramenta gráfica de extrema utilidade no projeto e na avaliação de sistemas de comunicação, pois permite avaliar a influência de IIS e de ruído e, ao mesmo tempo, permite calibração do sistema de sincronismo no tocante à definição dos instantes ótimos de amostragem do sinal de saída do filtro de recepção. Para entender como esta ferramenta é construída, considere a forma de onda de saída do filtro de recepção apresentada na parte superior da figura a seguir. Abaixo dela têm-se sucessivas “fotografias” sobrepostas de pequenos trechos consecutivos da forma de onda em questão.



Se continuarmos com este processo de sobreposição de trechos da forma de onda sob análise, chegaremos a um resultado como o ilustrado a seguir. Esta figura é denominada diagrama de olho devido ao fato da mesma se “assemelhar” a um olho.

A figura a seguir nos auxilia na interpretação do diagrama de olho. Em seguida têm-se os parâmetros por ela considerados e suas interpretações.

Best sampling time: é o melhor instante de amostragem, ou seja, é aquele instante em que o diagrama de olho está mais aberto e que, portanto, levará a amostras com valores o mais distantes possível do limiar de decisão (linha tracejada horizontal). Na ausência de IIS, no instante ótimo de amostragem teremos, como esperado, apenas M valores de amostra (M = 2 para sinalização binária, M = 4 para quaternária, e assim por diante). Distortion at sampling time: está associado à faixa de variações dos valores das amostras colhidas. Quanto maior o grau de IIS ou a intensidade de ruído no sistema, mais larga será esta faixa. Portanto, um diagrama de olho fechado no sentido vertical indica forte presença de IIS, de ruído ou de ambos. Enquanto o diagrama de olho mostrar abertura vertical pode-se afirmar que a taxa de erro de símbolo é nula ou muito próxima de zero. Margin over noise: representa o quanto de ruído adicional o sistema pode suportar e ainda proporcionar decisões corretas. Níveis de IIS elevados ou baixa relação sinal-ruído, ou ambos, fazem com que esta margem seja reduzida. Distortion of zero-crossings: certos formatos de pulso têm esta faixa mais estreita que outros. Quando esta faixa é bastante estreita o sistema pode fazer uso dos cruzamentos por zero da forma de onda de saída do filtro de recepção para auxiliar no processo de recuperação de sincronismo, posto que a taxa e a posição de tais cruzamentos será praticamente constante.



Sensitivity to timing error: para o diagrama ilustrado podem-se tomar amostras em qualquer ponto em que o “olho” esteja aberto. Se a inclinação da rampa de sensibilidade a erros de temporização for elevada, a faixa na qual tais amostras poderão estar localizadas diminuirá. Esta faixa é indicada na figura como time interval over which the received signal can be sampled. Um diagrama de olho aberto permite que os instantes de amostragem se situem em qualquer ponto dentro desta faixa, mas vale lembrar que fora do instante ótimo de amostragem o sistema estará mais sujeito à influência do ruído, pois a margin over noise será reduzida. A título de complementação, a seguir têm-se alguns diagramas de olho para diferentes situações em um sistema com sinalização quaternária. Observe que a presença de ruído e a presença de IIS causam o fechamento vertical do diagrama praticamente da mesma forma. Isto nos permite afirmar que, num primeiro momento, não é possível identificar se é a IIS ou é o ruído a causa de fechamento do diagrama. Mais à frente, com um exercício, seremos capazes de aprender a realizar esta identificação de forma bastante simples.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1) Com suas palavras, defina Interferência Intersimbólica. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) As formas de onda a seguir referem-se às saídas de dois filtros de recepção e foram geradas pela transmissão dos bits 1 0 0 1 0. A amostragem nas saídas destes filtros ocorre a uma taxa de 1.000 amostras por segundo e os instantes ótimos de amostragem coincidem com a grade das figuras dadas. Pede-se: a) determine graficamente os valores das amostras dos correspondentes pulsos, sabendo que a primeira amostra válida ocorre em t = 3 ms para o gráfico a e em t = 11 ms para o gráfico b. b) Em qual das situações há IIS? Justifique.



Na segunda situação há IIS, pois os valores das amostras são diferentes entre si.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Explique porque um canal pode provocar IIS quando a magnitude de sua resposta em frequência não é constante ou a sua fase não é linear na faixa espectral do sinal transmitido.

Simplesmente porque estas são condições em que há distorção e, portanto, há modificação nos formatos dos pulsos, o que pode levar à ocorrência de IIS.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Proposta para estudo complementar não obrigatório. Faça um breve estudo procurando interpretar a relação entre o comportamento linear da resposta de fase de um canal e o atraso de propagação imposto a cada uma das componentes de frequência do sinal. Sua resposta deve, obrigatoriamente, conter a definição e a interpretação do termo atraso de grupo (group delay). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) A figura a seguir ilustra o espectro do pulso p(t) na saída do filtro de recepção. Haverá ou não interferência intersimbólica no sistema correspondente? Justifique sua resposta.



Observando a resposta em frequência dada notamos a presença de simetria vestigial e, portanto, trata-se de uma situação onde não há IIS, pois o critério de Nyquist para IIS nula é satisfeito para qualquer resposta P(f) que apresente simetria vestigial.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6) A figura a seguir corresponde ao formato de pulso p(t) na saída do filtro de recepção de um sistema de comunicação em banda-base com sinalização quaternária operando a 1.000 bit/s. Sabendo que o mapeamento bit símbolo segue a regra 00 −3, 01 −1, 10 +1 e 11 +3, esboce no gráfico dado a sequência de pulsos de recepção para os bits transmitidos: 0 1 1 1 1 0 0 0, considerando atenuação nula ao longo do sistema. Verifique a ocorrência ou não ocorrência de IIS. Obs: Os nulos de p(t) ocorrem em múltiplos de 2Tb.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7) Proposta para estudo complementar não obrigatório. Realize um estudo sobre os conceitos associados à equalização adaptativa, conforme abordado no livro-texto p. 282-291 e digite um trabalho em MS-Word, com no mínimo 2 páginas, formato A4, caractere Times New Roman, 12 pontos e espaçamento simples, procurando atribuir ao texto uma sequência que permita que o funcionamento do equalizador representado pelo diagrama em blocos a seguir seja explicado. Entregue ao professor na próxima aula e você terá um bônus pelo trabalho realizado.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8) Faça um esboço de um formato de espectro diferente daqueles apresentados no livro-texto ou em sala de aula e que atenda ao critério de Nyquist para IIS nula. Justifique sua escolha.

Dica: qualquer formato de P(f) que tenha simetria vestigial em torno de R/2 atende ao critério de Nyquist para IIS nula.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9) Se os filtros de transmissão e de recepção de um sistema de comunicação digital são do tipo “raiz de co-seno elevado”, que fatores podem fazer com que haja interferência intersimbólica? Justifique sua resposta, explicando como esses fatores levam ao aparecimento da IIS. Dica: use uma abordagem matemática na sua explicação.

Se os filtros estão projetados corretamente, somente o canal poderá estar causando IIS. Matematicamente, a resposta resultante Pδ(f) não será constante neste caso.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10) A forma de onda na parte superior do gráfico a seguir corresponde à saída do filtro de recepção de um sistema de comunicação digital com sinalização binária em banda-base. O trem de pulsos abaixo dessa forma de onda refere-se à sequência de pulsos de amostragem da saída do filtro de recepção. Pede-se: a) responda se há ou não há interferência intersimbólica, justificando sua resposta. Admita que a relação sinal-ruído seja bastante alta a ponto da influência do ruído poder ser desprezada. b) Determine a taxa de sinalização e a taxa de bits.

a) Dica: Se há amostras de valores diferentes dos dois valores esperados (sinalização binária) temos IIS, já que o ruído é desprezível.



b) pelo gráfico, Tb = T = 1 µs. Portanto, R = Rb = 1/Tb = 1 Mbit/s = 1 Msímbolo/s. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11) O diagrama de olho a seguir foi obtido na saída do filtro casado de um modem (contração das palavras modulador e demodulador) com sinalização quaternária. Pede-se: a) Discorra sobre como você faria para afirmar que o fechamento vertical observado no diagrama deve-se à influência de ruído e/ou IIS; b) No caso de constatação de IIS, atribua esse efeito a um dos elementos do sistema de comunicação, justificando; c) Determine a taxa de sinalização e a taxa de bits; d) determine a banda ocupada pelo sinal transmitido, sabendo que o filtro de transmissão tem fator de forma igual a 0,2.

a) Se aumentarmos a potência de transmissão e o diagrama de olho apresentar abertura vertical pode-se dizer que a principal causa do fechamento é o ruído (quando a potência é aumentada, a relação sinal-ruído também é aumentada e, portanto, o desempenho do modem é melhorado). Se o diagrama de olho não abrir com o aumento de potência, temos IIS, pois a mesma sofre influência somente dos sistemas lineares envolvidos e não do ruído ou da potência de transmissão.

b) A IIS pode ter sido causada por qualquer dos elementos: filtro de Tx, canal e/ou filtro de Rx.

c) O espaçamento entre os pontos ótimos de amostragem no diagrama de olho é de 1 ms, que corresponde ao intervalo em que cada símbolo é decidido. Portanto, a taxa de símbolos é R = 1/T = 1000 símbolos/s. Como a sinalização é quaternária, temos 2 bits por símbolo e, portanto, a taxa de bits é Rb = 1/Tb = 1/(T/2) = 2R = 2000 bit/s.

d) BT = (1 + α)R/2 = 1,2×500 = 600 Hz.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



12) Os diagramas de olho mostrados na figura a seguir foram obtidos nas saídas dos filtros casados de dois sistemas de comunicação digital em banda-base: o sistema (a) e o sistema (b). Os diagramas da esquerda referem-se a uma potência de transmissão P1 e os da direita a uma potência de transmissão P2 >> P1 (as escalas estão normalizadas). Comente sobre os diagramas no que se refere à influência do ruído e da interferência intersimbólica nos dois sistemas.

(a)

(b)

-15.0

-12.5

-10.0

Para ajudar na solução, veja item “a” do exercício 11.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13) Dois sistemas de comunicação digital em banda-base estão operando à mesma taxa e à mesma potência média de transmissão em canal AWGN, sob efeito de uma mesma densidade espectral de potência de ruído. O canal possui magnitude da resposta em frequência plana e fase linear dentro de toda a faixa que o sinal ocupa. Ambos os sistemas utilizam sinalização binária com formatos de pulso e filtros casados do tipo “raiz de co-seno elevado” (root raised cosine). Entretanto, o sistema A opera com fator de forma (roll-off) de 0,2 nos filtros de transmissão e recepção, enquanto que o sistema B opera com fator de forma de 1. Pede-se e/ou pergunta-se: a) Mesmo não havendo nenhuma outra condição de operação distinta entre os sistemas, observou-se que, na presença de desvio (jitter) no instante de decisão ótimo, o sistema B apresentou taxa de erro de bit inferior à do sistema A. Justifique o efeito observado. Como dica, faça desenhos para auxiliá-lo na elaboração da justificativa. b) Procurou-se então eliminar tal comportamento de jitter e como efeito observou-se que ambos os sistemas passaram a apresentar a mesma taxa de erro de bit. Esse comportamento era esperado? Justifique. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14) Quais dos sistemas a seguir proporcionam comunicação livre de IIS e em que condições (se houver alguma)? Obs: em cada um dos sistemas a entrada é alimentada com uma sinalização M-PAM contendo pulsos bastante estreitos (aproximados de impulsos) e cada saída refere-se à saída do filtro de recepção. Justifique suas escolhas e suas exclusões.



Incondicionalmente: somente o sistema “c”, que tem resposta que atende ao critério de Nyquist. Condicionalmente: “a” (se o canal não causar distorção), “d” (se o canal tiver resposta plana e fase linear dentro da faixa do sinal transmitido). Os demais não têm resposta resultante que atenda ao critério de Nyquist e, portanto, causarão IIS incondicionalmente.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15) Dos sistemas apresentados na figura anterior, qual melhor representa um sistema real do ponto de vista da fidelidade com sua implementação? Justifique.

O sistema “d”, pois tem como elementos aqueles blocos que farão parte do sistema real. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16) A figura a seguir mostra o diagrama de olho observado na saída do filtro casado de um sistema de comunicação digital M-PAM em banda-base. Antes da transmissão, o sinal M-PAM foi filtrado por um filtro do tipo raiz de co-seno elevado com fator de forma α = 0,5. Pede-se: a) Calcule a taxa de símbolos do sistema. b) Calcule o valor de M. c) Calcule a taxa de bits do sistema. d) Calcule a banda ocupada pelo sinal M-PAM. e) Na figura dada percebe-se um ligeiro fechamento vertical do diagrama de olho. Determine a causa desse fechamento.

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FIM DA AULA



Aula nº 7 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Representação geométrica de sinais

Conteúdo Representação geométrica de sinais no espaço Euclidiano. Modelo de sistema para o estudo da representação geométrica de sinais. Síntese e de análise de sinais.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) fazer um paralelo entre os conceitos da representação de vetores pela combinação linear de vetores-base e da representação de sinais pela combinação linear de funções-base. 2) conceituar a importância do estudo da representação do espaço de sinais. 3) realizar a síntese de uma forma de onda a partir do conhecimento das funções-base e gerar os coeficientes a partir do conhecimento da forma de onda de interesse e das funções-base. 4) realizar cálculos no espaço vetorial, que representem grandezas elétricas de uma forma de onda no domínio do tempo. 5) representar sinais no espaço de sinais por meio da constelação no espaço euclidiano, interpretando nesta representação: distâncias euclidianas, coeficientes, vetores-sinal, eixos-base e energia dos símbolos representados.

No estudo da transmissão em banda-base feito até este ponto do curso, embora tenhamos analisado a transmissão M-PAM, nos concentramos no projeto e na análise do receptor ótimo para uma sinalização binária (2 símbolos). O estudo da representação geométrica de sinais nos permitirá construir um conjunto de ferramentas matemáticas que nos auxiliem no projeto e na análise do receptor ótimo genérico, ou seja, aquele projetado para detectar e decidir de maneira ótima sobre os símbolos de uma sinalização com qualquer número de símbolos. O estudo deste tema é de extrema importância, pois ainda fornece uma interface de transição suave do estudo da transmissão em banda-base para o estudo da transmissão de sinais modulados em banda-passante. Representação geométrica de sinais5 A representação no espaço de sinais é construída com base na teoria de combinações lineares e é análoga à teoria de álgebra linear. Inicialmente, vamos definir um espaço Euclidiano N-dimensional associado a N eixos ortogonais entre si. Vamos definir também um conjunto de vetores ortogonais φφφφj, j = 1, 2, …, N, normalizados de tal forma que tenham comprimento unitário. Estes vetores são ditos ortonormais e formam uma base ortonormal. Neste contexto podem então ser chamados de vetores-base. Qualquer vetor vi, i = 1, 2, …, M neste espaço Euclidiano pode ser gerado por meio da combinação linear

1

N

i ij jj

v=

=∑v φφφφ (1)

onde os coeficientes vij correspondem à projeção do i-ésimo vetor no j-ésimo vetor-base. Os valores destes coeficientes podem ser determinados pelo produto interno entre vi e φφφφj , ou seja

Tij i jv = v φφφφ (2)

5 Este item foi traduzido da seção II-A de http://cict.inatel.br/nova2/docentes/dayan/Publications/Inatel_14.pdf e foi inserido nestas notas de aula como fundamento para o estudo da representação geométrica de sinais no espaço euclidiano.



onde o superscrito T denota uma transposição matricial, vi = [vi1 vi2 … viN]T e φφφφj é também um vetor N-dimensional com o valor “1” na j-ésima posição e com zeros nas outras posições, ou seja, φφφφj = [0 1 0 … 0]T para j = 2 como exemplo. A Figura 1 ilustra estes conceitos para um espaço Euclidiano bidimensional (N = 2) e para dois vetores (M = 2). Os eixos foram rotulados de forma que lembrem a associação com os vetores-base.

01 1v21v

12v22v

1φ

2φ

2v1v

φ 1

φ 2

01 1v21v

12v22v

1

2

2v1v

Figura 1. Representação no espaço de vetores para M = 2 e N = 2. De maneira similar, pode-se utilizar o espaço Euclidiano para representar coeficientes que, numa combinação linear, dão origem a sinais em vez de vetores. Neste caso teremos os sinais

1

( ) ( ) , 1, 2, ...,N

i ij jj

s t s t i Mφ=

= =∑ (3)

onde, agora, o conjunto φj(t) é composto de N funções ortonormais, cada uma ortogonal às demais e tendo energia unitária, ou seja

0

1,( ) ( )

0,

T

i j

i jt t dt

i jφ φ

== ≠

∫ (4)

O conjunto de funções φj(t) é também chamado de conjunto ortonormal e forma uma base ortonormal. Então podemos dizer que φj(t) é um conjunto de funções-base ortonormais. Por meio da Figura 1 pode-se ver que o valor de um dado coeficiente é inversamente proporcional a uma medida de ortogonalidade entre o vetor analisado e o correspondente vetor-base: quanto maior a ortogonalidade, menor o valor do coeficiente. Então, por analogia a essa álgebra vetorial, podemos determinar os valores dos coeficientes em (3) por meio de uma medida de ortogonalidade entre a forma de onda analisada e a correspondente função-base, o que leva intuitivamente à expressão:

0

1,2,...,( ) ( ) ,

1,2,...,

T

ij i j

i Ms s t t dt

j Nφ

== =∫ (5)

De fato a equação (5) tem uma justificativa matemática mais formal, o que se pode obter operando genericamente com as expressões (3) e (4). Vejamos:



0 01 1

01 1

T

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

N NT T

j j k kj k

N N T

j k j kj k

N

j jj

x t y t dt x t y t dt

x y t t dt

x y

φ φ

φ φ

= =

= =

=

=

=

= =

∑ ∑∫ ∫

∑∑ ∫

∑ x y

(6)

A expressão (6) diz que a correlação entre dois sinais no domínio do tempo tem o produto interno entre os vetores correspondentes como seu equivalente no domínio vetorial. Estamos agora prontos para definir a representação de sinais no espaço Euclidiano: desde que conhecer o conjunto de coeficientes e as funções-base é tão bom ou suficiente quanto conhecer as próprias formas de onda geradas pela combinação linear destes, podemos também representar sinais num espaço Euclidiano. Nesta representação utilizamos pontos em vez de vetores, simplesmente para evitar uma “poluição visual” desnecessária no gráfico. Este tipo de representação é também conhecido como constelação de sinais, ou simplesmente constelação. A Figura 2 mostra um espaço de sinais bidimensional utilizado para representar as formas de onda s1(t) e s2(t) através dos correspondentes vetores (pontos), aos quais damos o nome de vetores-sinais s1 e s2.

01 1s2 1s

1 2s22s2s

1s

1E

2E

φ 1

φ 2

01 1s2 1s

1 2s22s2s

1s

1E

2E

Figura 2. Representação no espaço de sinais para M = 2 e N = 2. Por meio da Figura 2 pode-se notar que a norma de um vetor-sinal, ou seja, seu comprimento, pode ser determinada com o auxílio da Figura 2 e da equação (6), resultando em:

2 2 21 2 0

( )T

Ti i i i i is s s t dt E+ = = =∫s s (7)

Em termos mais genéricos, a distância de qualquer vetor-sinal à origem do sistema Euclidiano é igual à raiz quadrada da energia da forma de onda que este vetor-sinal representa, ou seja:

22 2

10( )

T NTi i i i ij ij

E s t dt s=

= = = =∑∫ s s s (8)

A título de resultado complementar, a distância Euclidiana ao quadrado entre dois vetores-sinais é:



( ) [ ]22 22

01

( ) ( )N T

ik i k ij kj i kj

d s s s t s t dt=

= − = − = −∑ ∫s s (9)

Modelo de sistema para o estudo da representação geométrica de sinais A figura a seguir ilustra o modelo de sistema que utilizaremos para análise da representação geométrica de sinais.

A seguir tem-se uma breve descrição de cada um dos blocos e dos sinais gerados ou processados por eles:

o Message source: fonte de informação – gera os bits de informação na forma serial. Cada grupo de k bits forma um símbolo mi, dentre os 2k símbolos possíveis.

o Transmitter: transmissor – a partir de cada símbolo mi gera a correspondente forma de onda

si(t). Portanto, si(t) também é denominada símbolo. A diferença entre mi e si(t) é que o primeiro é um símbolo em forma de um conjunto de k bits e o segundo é um símbolo em forma de onda. O sinal si(t) é confinado no intervalo de tempo de símbolo T e, por esta razão, é chamado de sinal de energia, pois tem energia finita e potência nula. A energia de um símbolo si(t) é calculada por meio de:

2

0( ) , 1,2,...,

T

i iE s t dt i M= =∫

Devemos ficar atentos para o fato de que si(t) não representa a forma de onda do sinal transmitido. Uma sequência destes pulsos si(t) é que forma o sinal transmitido.

o Channel: canal – para o presente estudo, o canal será considerado sem distorção, apenas

contaminando o sinal pela adição de ruído branco. Portanto, trata-se apenas de um canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) livre de interferência intersimbólica.

o Receiver: receptor – processa o sinal recebido x(t) e toma a decisão sobre o símbolo

transmitido. A estimativa do símbolo transmitido, m , é posteriormente mapeada no correspondente conjunto de bits que ela representa.

Síntese e de análise de sinais A essência do presente estudo é a possibilidade de representar qualquer conjunto de M sinais de energia, si(t), i = 1, 2, ..., M, usando uma combinação linear de N funções ortonormais φi(t), i = 1, 2, ..., N, com N ≤ M. Se, preferencialmente, tivermos N < M, significa que teremos a chance de gerar um conjunto de M formas de onda a partir da combinação de um número menor de formas de onda que servirão como base, o que representa simplificação na implementação do sistema.



A figura a seguir representa em diagramas de bloco os processos de síntese e de análise das formas de onda associadas a cada símbolo transmitido. Na parte (a) da figura tem-se a síntese de si(t) por meio da combinação linear de N funções-base φi(t), i = 1, 2, ..., N. Na parte (b) tem-se a regeneração dos coeficientes que foram utilizados na síntese, por meio da correlação de si(t) com cada uma das funções-base φi(t).

(a) (b)

A seguir temos o conjunto de expressões que permite a representação, no domínio vetorial, de sinais originalmente considerados no domínio do tempo. Algumas destas expressões permitem que obtenhamos, no domínio vetorial, valores de grandezas calculadas no domínio do tempo. Vejamos:

1

( ) ( )

0

1,2,...,

N

i ij jj

s t s t

t T

i M

φ=

=

≤ ≤ =

∑

É a expressão de síntese de uma forma de onda qualquer si(t), do conjunto de M formas de onda, por meio da combinação linear de N funções-base ortonormais ponderadas pelos correspondentes coeficientes sij.

0( ) ( )

1,2,...,

1,2,...,

T

ij i js s t t dt

i M

j N

φ=

= =

∫

É a expressão que, a partir do conhecimento da forma de onda que se deseja e das funções-base, determina os coeficientes que são capazes de sintetizar tal forma de onda.

0( ) ( )

1,

0,

T

i j ijt t dt

i j

i j

φ φ δ=

== ≠

∫

É a expressão que define o conjunto de funções-base ortonormais. Para índices iguais tem-se o cálculo da energia de uma função-base, cujo valor é sempre unitário. Para índices diferentes tem-se o cálculo da correlação entre funções-base diferentes, cujo valor é nulo devido ao fato de tais funções serem ortogonais entre si.

1

2 , 1,2,...,

i

ii

iN

s

si M

s

= =

s⋮

É a representação vetorial para um sinal. Em outras palavras, si é o vetor-sinal que representa a forma de onda si(t). Conhecer tal vetor é tão suficiente quanto conhecer a forma de onda si(t), pois conhecendo um podemos determinar o outro por meio das expressões de síntese e de análise vistas anteriormente.

2 T

2

1

, 1,2,...,

i i i

N

ijj

s i M=

=

= =∑

s s s É a expressão de cálculo da norma ao quadrado de um vetor sinal. A

norma é simplesmente o tamanho ou módulo do vetor em questão.



2

1

2

0

2T

( )

N

i ijj

T

i

i i i

E s

s t dt

==

=

= =

∑

∫s s s

É a expressão que diz que a energia de um símbolo si(t) pode ser calculada vetorialmente pela norma ao quadrado do correspondente vetor-sinal. Tal energia é igual ao produto interno do vetor-sinal por ele mesmo. O produto interno nada mais é do que a soma dos produtos dos coeficientes dos vetores envolvidos.

T

0( ) ( )

T

i k i ks t s t dt=∫ s s É a expressão que permite que calculemos a correlação entre duas formas de onda quaisquer, no intervalo de símbolo T, por meio do produto interno entre os correspondentes vetores-sinais.

( )[ ]

22

2

1

2

0( ) ( )

ik i k

N

ij kjj

T

i k

d

s s

s t s t dt

=

= −

= −

= −

∑

∫

s s

É a expressão de cálculo da distância Euclidiana quadrática entre dois vetores-sinais quaisquer. A distância Euclidiana é um importante parâmetro de análise de sistemas de comunicação. Quanto maior a distância Euclidiana entre os símbolos de uma sinalização qualquer, menor a probabilidade de erro, pois maior é a energia de cada símbolo e, por consequência, maior a potência média de transmissão e maior relação sinal-ruído no momento da decisão (menor sobreposição entre as caldas das densidades Gaussianas que representam o ruído).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 8 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Ortogonalização de Gram-Schmidt

Conteúdo O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a importância do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à representação de sinais no espaço euclidiano. 2) conceituar os princípios do método realizando paralelo com a álgebra vetorial. 2) aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt na solução de exercícios.

Ortogonalização de Gram-Schmidt Vimos na aula passada que é possível representar qualquer conjunto de M sinais de energia, si(t), i = 1, 2, ..., M, usando uma combinação linear de N funções ortonormais φj(t), j = 1, 2, ..., N, com N ≤ M. Mas quais seriam as funções-base do conjunto φj(t) capazes de sintetizar o conjunto si(t)? A resposta a esta questão é dada pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, capaz de gerar o conjunto de funções-base φj(t) a partir das formas de onda do conjunto si(t). O processo de Gram-Schmidt gera funções intermediárias g

i(t) obtidas das formas de onda s

i(t) sem as

suas componentes nas “direções” de φ1(t), φ

2(t), ..., φ

i-1(t), ou seja, encontra g

i(t) ortogonal a φ

1(t), φ

2(t),

..., φi−1

(t). Daí basta fazer φi(t) = g

i(t), em seguida normalizando o resultado para que se tenha energia

unitária. Se alguma função intermediária gi(t) = 0, significa que as componentes de si(t) dependem somente das outras funções-base φj(t), j ≠ i, ou seja, a correspondente função-base φi(t) não existe. A figura a seguir ilustra o conceito descrito no parágrafo anterior por meio de operações com vetores. O vetor sinal de referência é s3. Perceba que se gerarmos o vetor-sinal s3 – s31 1ϕ , ou seja, se

subtrairmos de s3 a sua componente da direção de 1ϕ , teremos um vetor-sinal ortogonal a 1ϕ .

Analogamente, se gerarmos s3 – s31 1ϕ – s32 2ϕ teremos como resultado um vetor-sinal ortogonal a 1ϕ e

a 2ϕ , pois subtraímos de s3 as suas componentes nas direções de 1ϕ e de 2ϕ .

De maneira análoga, na ortogonalização de Gram-Schmidt são geradas funções intermediárias a partir das quais são encontradas as funções-base. As expressões utilizadas pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt são:



1

1( ) ( ) ( ) , 1,...,

i

i i ij jjg t s t s t i Mφ−

== − =∑ para gerar as funções intermediárias.

0( ) ( ) , 1,2,..., 1

T

ij i js s t t dt j iφ= = −∫ para calcular os coeficientes.

2

0

( )( ) , 1,2,...,

( )

ii T

i

g tt i N

g t dtφ = =

∫ para gerar as funções-base normalizando as funções intermediárias.

Deve-se encontrar o conjunto gi(t) para todo o conjunto si(t). Sabendo que N ≤ M, teremos N = M se si(t) é um conjunto de sinais linearmente independentes (quando não é possível expressar um sinal em função de nenhum dos demais). Teremos N < M se si(t) não é linearmente independente. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Vamos aprender como aplicar o processo de Gram-Schmidt por meio de um exercício. Tendo como referência a figura abaixo, resolva o que se pede em seguida. Na solução de um exercício como este é recomendável fazermos rascunhos que nos permitam determinar graficamente os resultados de operações intermediárias com as funções sob análise. Este procedimento facilita a visualização dos resultados e reduz as chances de erro.

0 00 0t

s t1( )

1

20 t

s t4( )

-1

30t

s t2( )

1

-1

2 30 t

s t3( )

1

1

-1

20

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) Usando o procedimento de ortogonalização de Gram-Schmidt determine as funções-base

ortonormais das formas de onda dadas, partindo da forma de onda s1(t) como geradora da função-base φ

1(t).

21

1 1 1 101

1, 0 2( ) 1

( ) 1 2 ( ) ( ) 22

0 fora

ts tt E dt t s t

Eφ φ

≤ ≤= ∴ = = ⇒ = =

∫

2 2

2 2 21 1 21 2 1 210 0

1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2g t s t s t s s t t dt dt sφ φ= − ∴ = = ⇒ = =∫ ∫



Então 2 2 1

1, 2 3( ) ( ) 2 ( )

0 fora

tg t s t tφ

− ≤ ≤= − =

Logo 3

22 2 2 22

2

1, 2 3( )( ) 1 1 ( ) ( )

0 fora g

g

tg tt E dt t g t

Eφ φ

− ≤ ≤= ∴ = = ⇒ = =

∫

2

3 3 31 1 32 2 31 3 1 310( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0g t s t s t s t s s t t dt sφ φ φ= − − ∴ = ⇒ =∫ e 32 3 2 32( ) ( ) 0s s t t dt sφ= ⇒ =∫

Então

1 22 23 33 3 3 3 3 3 30 1

3

1 2 , 0 1( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 , 1 22

0 fora

ts t s t

g t s t t E s t dt s t dt t tE

φ φ

≤ <= ⇒ = ∴ = + = ⇒ = = − ≤ ≤

∫ ∫

2

4 4 41 1 42 2 43 3 41 4 1 410( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2g t s t s t s t s t s s t t dt sφ φ φ φ= − − − ∴ = ⇒ = −∫

3

42 4 2 422( ) ( ) 1s s t t dt sφ= ⇒ =∫ e

2

43 4 3 430( ) ( ) 0s s t t dt sφ= ⇒ =∫

Então 4 4 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0g t s t t tφ φ= + − = e a expansão segundo o procedimento de ortogonalização de

Gram-Schmidt pára por aqui. Logo teremos três bases ortonormais anteriormente identificadas como

1 2 3( ), ( ) e ( )t t tφ φ φ .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Esboce as funções-base ortonormais encontradas no item “a”.

0 0 0

2

1

2

1

1

2−

t

φ1( )t φ2( )t φ3( )t

20 t

-1

2 30 t1 20

2

1

2

1

1

2−

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



c) Desenhe a representação geométrica do conjunto de formas de onda como pontos no espaço de sinais N-dimensional. Em outras palavras, desenhe a constelação para a sinalização proposta. Inicialmente precisamos encontrar os coeficientes sij, i = 1, 2, ..., M; j = 1, 2, ..., N, para M = 4 e N = 3:

11 1 2s E= =

12 1 2( ) ( ) 0s s t t dtφ= =∫

13 1 3( ) ( ) 0s s t t dtφ= =∫

Do item “a”: 21 2s =

3

22 2 22( ) ( ) 1s s t t dtφ= =∫

23 2 3( ) ( ) 0s s t t dtφ= =∫

Do item “a”: 31 0s = e 32 0s =

2

33 3 30( ) ( ) 2s s t t dtφ= =∫

Também do item “a”: 41 2s = − , 42 1s = e 43 0s =

Logo teremos a constelação mostrada na figura a seguir.

0

1s

2s

3s

4s

2

2

2−

1

φ1

φ3

φ2

0

1s

2s

3s

4s

2

2

2−

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d) Responda: o conjunto de formas de onda em questão forma um conjunto linearmente

independente? Justifique sua resposta.

Não, pois o número de funções-base ortonormais, N, é menor que o número de símbolos (formas de onda), M.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios complementares 1) Calcule a energia dos sinais si(t) a partir do espaço de sinais e compare com os cálculos realizados no domínio do tempo. 2) Faça também a comparação entre os cálculos das correlações entre os sinais si(t) no tempo e no domínio vetorial. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 9 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Receptor genérico para M símbolos

Conteúdo Estatísticas dos sinais de saída do banco de correlatores. Modelo vetorial para o canal AWGN. Receptor genérico com decisão de máxima verossimilhança sobre M símbolos. Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a influência do ruído nas variáveis de decisão. 2) conceituar o modelo vetorial do canal AWGN e sua importância em simulações. 3) explicar o funcionamento do receptor genérico para sinalização com M símbolos. 4) realizar simplificações na estrutura do receptor genérico em função da sinalização específica desejada.

Influência do ruído nos coeficientes obtidos no processo de análise O diagrama de blocos a seguir integra os blocos de síntese e de análise de uma forma de onda qualquer si(t), vistos em aulas anteriores, a um conjunto de blocos que torna a figura representativa de um sistema de comunicação completo. Os bits de informação gerados pela fonte são convertidos da forma serial para a forma paralela por meio do bloco S/P. O número de saídas do conversor S/P é k = log2M e estas saídas serão responsáveis, no bloco seguinte, por determinar qual o conjunto de N coeficientes que gerarão a forma de onda que representará cada símbolo de k bits da fonte. Este mapeamento de cada grupo de k bits em um conjunto de N coeficientes é realizado pelo bloco “conversor bit coeficiente”. A combinação linear feita pelos blocos de síntese gera então a forma de onda desejada.

No diagrama em questão temos a presença do ruído branco w(t) que faz com que as saídas do banco de correlatores gerem os coeficientes sij contaminados. Esta contaminação gera as variáveis a partir das quais o bloco de decisão e mapeamento símbolo bit gerará a estimativa dos bits transmitidos. A estas variáveis damos o nome de variáveis de decisão, por razões obvias. Como cada uma das variáveis de decisão é composta por uma parcela de sinal e por uma parcela de ruído, vamos determinar cada uma destas parcelas e, depois, determinar as variáveis de decisão. Na ausência de ruído, as saídas do banco de correlatores serão os próprios coeficientes sij, i = 1, 2, ..., M e j = 1, 2, ..., N. Na ausência de sinal, as saídas dos correlatores terão valores aleatórios gerados em função do ruído w(t) e, por esta razão, daremos o nome a elas de wj. Então teremos

xj = sij + wj Perceba que quando aplicamos o ruído à entrada do banco de correlatores, na verdade estamos aplicando um processo aleatório Gaussiano na entrada de um conjunto de sistemas lineares. Então, dos



conceitos de processos aleatórios, sabemos que a densidade de probabilidade do processo de saída destes sistemas lineares será também Gaussiana. Então, como w(t) tem média nula, podemos dizer que wj é uma variável aleatória Gaussiana de média nula e de variância desconhecida, ao menos por hora. Sendo assim, quando adicionamos wj a sij formamos outra variável aleatória também Gaussiana, porém com média sij. Pode-se mostrar que a variância do ruído wj é igual a N0/2. Como wj tem média nula, este valor corresponde à potência média de ruído que afeta cada variável de decisão. Lembrando, N0/2 é também a densidade espectral de potência (DEP) do ruído w(t), ou seja, é a DEP do ruído do canal. Em síntese, cada variável de decisão xj é uma variável aleatória Gaussiana de média sij e de variância σ2 = N0/2. Modelo vetorial para o canal AWGN Em situações reais, quando da concepção, desenvolvimento e implementação de um sistema de comunicação, é frequente a utilização de simulação na maior parte das etapas. Com a simulação conseguimos rastrear erros de concepção ou de projeto e também podemos avaliar o desempenho do sistema antes que o mesmo seja implementado, economizando tempo e recursos financeiros. Neste contexto, vamos supor que queremos simular o sistema de comunicação apresentado na figura anterior. Observe que teríamos que gerar por computador literalmente todas as funções e formas de onda que constam do diagrama em questão. Isto representaria um grande trabalho de implementação da simulação e, além disto, representaria um grande esforço computacional da ferramenta de software utilizada, seja ela matemática (ex: Mathcad e Matlab) ou de blocos funcionais (ex: VisSim/Comm). Outro problema seria a frequência de amostragem necessária para representar corretamente cada uma das formas de onda geradas: como exemplo, suponha que quiséssemos simular um sistema de comunicação operando com uma portadora de 10 GHz. Segundo o Teorema da Amostragem de Nyquist, a mínima taxa de amostragem seria de 20×109 amostras/segundo, o que seria impossível mesmo para o mais rápido computador existente hoje. Felizmente, o estudo que estamos fazendo permite que identifiquemos uma maneira inteligente de realizar a simulação em questão sem a necessidade de gerar sequer uma única forma de onda. Para entender este conceito, observe que no processo de transmissão temos um conjunto de coeficientes, os quais podemos agrupar em um vetor de coeficientes, o nosso conhecido vetor-sinal si = [si1 si2 ... siN]T. Perceba também que as variáveis de decisão na saída do banco de correlatores nada mais são que a soma de cada coeficiente com um valor aleatório, Gaussiano, de média zero e de variância N0/2. Ao conjunto destes valores aleatórios podemos dar o nome de vetor-ruído w = [w1 w2 ... wN]T, ou seja, o vetor de variáveis de decisão vale x = si + w. À implementação, em simulação, seguindo estas simplificações damos o nome de modelo vetorial para o canal AWGN. A figura a seguir ilustra estes conceitos. Perceba que não há mais formas de onda no processo. Basta que geremos os vetores-sinal, de acordo com os bits que cada um representa e adicionemos o vetor-ruído. Como resultado iremos obter os mesmos valores das variáveis de decisão que iríamos obter se tivéssemos o sistema implementado no modelo contínuo, via formas de onda e demais blocos do sistema.



Como exemplo, veja a seguir o vetor-sinal s1, por exemplo (que representaria, também por exemplo, os bits “1 0”), uma possível realização do vetor-ruído w e o vetor de variáveis de decisão x resultante:

Na representação de sinais no espaço Euclidiano temos pontos, chamados vetores-sinal, que dão origem ao nome constelação. Portanto, constelação é a representação do conjunto de símbolos si(t), i = 1, 2, ..., M, por um conjunto de M pontos no espaço N-dimensional, N ≤ M, pontos estes associados aos vetores-sinal do conjunto si. A figura a seguir ilustra a representação de um único símbolo de uma constelação tridimensional e a influência do ruído. Nela o vetor x difere do vetor si devido ao vetor de ruído w. O vetor w é a porção do ruído w(t) que interfere na decisão. O restante da “nuvem” de ruído é bloqueado pelos correlatores.

Podemos interpretar cada um dos correlatores como um sistema linear que tem certo efeito de filtragem. Sendo assim, a potência de ruído na saída da cada correlator será menor que a potência de ruído de entrada. Em outras palavras, somente o ruído que “passa” pelos correlatores terá influência no processo de decisão; o restante é bloqueado pelo banco de correlatores. A figura a seguir ilustra este conceito, em termos apenas didáticos. Nela, |H(f)| não corresponde a uma resposta em frequência real, apenas representando o efeito de filtragem realizado por um dos correlatores.



Já a figura a seguir corresponde a uma representação mais próxima do que realmente ocorre na prática. Nela o sinal transmitido, correspondente a uma sinalização quaternária bidimensional, é representado pelo espaço de sinais mais à esquerda. Após a adição do ruído teremos o espaço de sinais intermediário. O processamento realizado pelo banco de correlatores faz com que a intensidade de ruído nas variáveis de decisão (saída do banco de correlatores) seja reduzida. Note que, para o exemplo ilustrado, a probabilidade de erro de símbolo seria nula, pois não há sobreposição das “nuvens” Gaussianas localizadas em torno de cada vetor-sinal.

Receptor genérico com decisão de máxima verossimilhança O critério de decisão de máxima verossimilhança (MV), o qual minimiza a probabilidade de erro de símbolo quando estes são equiprováveis, diz: Decida pelo ponto da constelação mais próximo do vetor (ponto) recebido, em termos de distância euclidiana, ou seja, o ponto que minimiza || x – sk ||. Este receptor se aplica apenas quando os símbolos são equiprováveis. Quando não são equiprováveis, este critério não será ótimo e deverá ser adotado o critério do máximo a posteriori (MAP) para o projeto de outro receptor. As regiões de decisão de cada símbolo são limitadas por planos no espaço N-dimensional. Ao conjunto destas regiões dá-se o nome de diagrama de Voronoi (http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram). Veja ilustração a seguir para M = 4, N = 2 e símbolos equiprováveis com energia E. As regiões de decisão Zi, i = 1, 2, ..., M estão limitadas pelas linhas tracejadas. Neste exemplo, suponha que foi transmitido o símbolo 4. Como o vetor observado está mais próximo do vetor correspondente ao símbolo 3, o receptor irá decidir pelo símbolo 3 e, portanto, cometerá erro. Não haverá erro de decisão



se o vetor observado x se mantiver na região de decisão do símbolo transmitido, pois somente nesta situação a sua distância euclidiana com relação ao símbolo realmente transmitido será menor.

O receptor que realiza a decisão segundo este critério é chamado de receptor de máxima verossimilhança e é mostrado na figura a seguir. Nele o bloco decodificador foi inserido após o banco de correlatores para completar a estrutura do receptor analisado até este momento. Este bloco permite que o critério de máxima verossimilhança seja implementado, ou seja, é ele quem determina o símbolo mais próximo do símbolo recebido, em termos de distância Euclidiana. A composição deste decodificador é resultado de um desenvolvimento matemático que parte do critério de decisão adotado. Para mais detalhes sobre esta dedução, recomenda-se consultar a Seção 5.8 do livro texto.

Podemos notar que o conjunto de blocos que compõem o decodificador nada mais faz além de realizar a correlação entre o sinal recebido e todos os possíveis símbolos, porém no domínio vetorial. A “conversão” do sinal recebido no domínio contínuo para o domínio vetorial é realizada pelo bloco detector. Perceba que se trata de uma implementação intuitivamente satisfatória: o receptor decidirá pelo símbolo que apresentar maior correlação, ou “similaridade”, com o sinal recebido. Como exemplo, suponha que a 4ª dentre as M entradas do bloco “select largest” do receptor genérico tenha o maior valor. Isto significa que a decisão será tomada em favor do símbolo 4. Em outras palavras, é o símbolo s4 que está mais próximo do vetor recebido x em termos de distância Euclidiana.



Vale registrar que este receptor se presta à decisão de máxima verossimilhança em sistemas de comunicação com qualquer tipo de sinalização e com qualquer número de símbolos, em canal AWGN. Para símbolos equiprováveis, este receptor minimiza a probabilidade de erro de símbolo e, portanto, é ótimo neste sentido. Dependendo da sinalização específica que se queira implementar, basta simplificar o diagrama de blocos genérico. Alguns exercícios resolvidos mais adiante mostrarão alguns exemplos do processo de simplificação. Em caráter complementar, no contexto de estimação de sinais na presença de ruído alguns termos usuais e suas definições são listados a seguir:

• Detecção: responsável pela “extração” do sinal em meio ao ruído em termos, por exemplo, de aumento na relação sinal-ruído no instante de decisão. Gera, portanto, a variável de decisão.

• Decisão: responsável por determinar em que região de decisão se encontra a variável de decisão (vetor observado x).

• Decodificação: mapeamento da região de decisão escolhida no símbolo ou conjunto de bits correspondente.

A decisão e a decodificação são às vezes sinônimas, situação que ocorre quando ambas as tarefas são realizadas de uma só vez ou por um único dispositivo.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1) As figuras a seguir apresentam os diagramas do detector e do decodificador de máxima verossimilhança genéricos para um sistema de comunicação digital em um canal AWGN e também o diagrama correspondente à simplificação destes diagramas genéricos para a uma sinalização com símbolos equiprováveis dados por ( )( ) 2 / cos 2 , 1, 2i is t T ft iπ θ= + = , onde T é a duração de um símbolo,

θ1 = 0, θ2 = π e f é a frequência de portadora com valor múltiplo inteiro de 1/T.

DecodificadorDecodificadorDetector

φ 1(t)

φ 2(t)

φ N(t) Detector

φ 1(t)

φ 2(t)

φ N(t)



Pede-se: a) Determine o valor de E, a energia dos sinais s1(t) e s2(t).

[ ]

2 2 21 2 1 2 10 0 0

1 10 0 0

2( ) ( ) cos (2 )

2 1 2 1 11 cos(4 2 ) cos(4 2 )

2 2

T T T

T T T

E E E s t dt s t dt ft dtT

ft dt dt ft dtT T T

π θ

π θ π θ

= = = = = +

= + + = + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Como f tem valor múltiplo inteiro de 1/T, a integral da direita abarca um número inteiro de períodos do sinal co-senoidal de frequência 2f. Portanto essa integral é nula.

Então0

2 1 1 21

2 2

TE dt T E

T T= = ⇒ =∫ Joule.

b) Justifique todas as simplificações que foram realizadas nos diagramas genéricos de maneira a transformá-los no diagrama simplificado. Obs: fique também atento para as simplificações que puderam ser obtidas nos blocos de cálculo do produto interno e nos somadores do decodificador.

Na parte do detector teremos apenas um correlator, já que N = 1. Com relação ao decodificador podemos tecer as seguintes justificativas: 1) Teremos aparentemente dois ramos, já que M = 2; 2) Tem-se que 1 2 1[ ], [ ], [ ]E E x= = − =s s x . Note que os produtos internos T

1x s e T2x s se

resumirão a 1x E ou 1x E− . Então, os valores nas duas saídas dos blocos de cálculo do produto interno se alternam entre (1x E , 1x E− ) e ( 1x E− , 1x E ), respectivamente quando da transmissão de s1 e s2. Portanto, basta a observação de uma dessas saídas para a tomada de decisão (os dois ramos iniciais agora se resumem em um único).

3) As multiplicações por E não são necessárias, pois afetarão igualmente a decisão; e se os símbolos têm a mesma energia, os somadores de cada um dos ramos também não são necessários.

4) Então basta comparar a magnitude de x1 com zero: se x1 > 0 decida pelo símbolo m1 ; se x1 < 0 decida por m2 ; decida arbitrariamente se x1 = 0.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) No contexto da representação geométrica de sinais em um espaço N-dimensional, interprete as expressões:

a) 22 2

10( )

T N

jjs t dt s

== =∑∫ s

A energia de um sinal s(t) num intervalo de T segundos pode ser determinada de forma

convencional, pela integral 2

0( )

Ts t dt∫ , ou de forma vetorial, pelo produto interno do



correspondente vetor-sinal por ele mesmo: T 2

1

N

jjs

=∑s s= , o que corresponde à norma ao

quadrado desse vetor sinal: 22

1

N

jjs

==∑ s .

b) T

0( ) ( )

Ts t u t dt=∫ s u

Esta expressão apresenta-se como um caso geral da expressão do item “a”: a integral do produto de duas funções num intervalo de T segundos, que corresponde à correlação entre esses sinais no intervalo considerado, pode ser calculada de forma vetorial pelo produto interno entre

os correspondentes vetores-sinais, ou seja: T

0( ) ( )

Ts t u t dt=∫ s u .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Qual a aplicação do método de ortogonalização de Gram-Schmidt? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Comente sobre a utilidade do método de ortogonalização de Gram-Schmidt quando as formas de onda si(t) correspondentes aos símbolos são linearmente independentes entre si, i = 1, 2, ..., M. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) Em que condições a variância das amostras da componente de ruído nas saídas dos correlatores de um receptor genérico (M qualquer) de um sistema de comunicação digital em banda-base vale N0/2? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6) Interprete e explique a equivalência entre os modelos contínuo e vetorial para o canal AWGN, conforme ilustra a figura a seguir.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7) Mostre que [ ] 22

0( ) ( )

Ts t u t dt− = −∫ s u e interprete o que está sendo calculado por esta expressão.

Dado: 2 2 2T2− = − +a b a a b b .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



8) A figura a seguir mostra uma estrutura proposta para ser o receptor de um sistema de comunicação digital em banda-base que utiliza sinalização com M = 2 símbolos representados por M = 2 formas de onda si(t), i = 1 ou 2, de duração T e ortogonais entre si nesse intervalo. O sinal recebido x(t) = si(t) + w(t) é correlacionado com 2 funções base φi(t), i = 1 e 2 e a decisão é tomada comparando-se o valor da diferença entre as amostras dos sinais de saída dos correlatores com o limiar de decisão. As funções φi(t) são versões escalonadas de si(t) tal que sua energia Ei seja unitária, ou seja φi(t) = si(t)/(Ei

1/2). O ruído w(t) possui densidade espectral de potência de N0/2 W/Hz. Os valores x1 e x2 são amostras das variáveis aleatórias Xi = µXi + Wi, onde Wi são as variáveis aleatórias correspondentes às amostras da componente de ruído na saída dos correlatores. Portanto, as variáveis aleatórias Xi têm distribuição gaussiana com médias µXi que dependem da energia de cada forma de onda transmitida e variâncias idênticas σ2 que dependem da intensidade do ruído na entrada do receptor.

Com relação a essa questão, marque V para verdadeiro e F para falso: ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da probabilidade de erro de símbolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 2, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 4; ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da probabilidade de erro de bit e de símbolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 4, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 4; ( ) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 3, haverá alteração na taxa de erro de símbolo; ( ) Conhecidas as 2 formas de onda correspondentes aos 2 símbolos transmitidos, é possível utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-base ortonormais; ( ) Não é necessário utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-base ortonormais, pois os símbolos são linearmente independentes; ( ) Percebe-se que no receptor não existem blocos para cálculo do produto interno e para a subtração da energia média de cada símbolo, como prevê a estrutura genérica do receptor ótimo. Se tais blocos forem adicionados o desempenho do sistema será afetado; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará a decisão de máxima verossimilhança sobre os símbolos transmitidos, desde que estes sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão de máximo a posteriori sobre os símbolos transmitidos, desde que estes não sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão sobre os símbolos transmitidos de acordo com o critério MAP, desde que tais símbolos sejam equiprováveis; ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



9) A figura a seguir mostra uma estrutura proposta para ser o receptor de máxima verossimilhança de um sistema de comunicação digital em banda-base que utiliza sinalização com M símbolos representados por M formas de onda si(t), i = 1, 2, ..., M de duração T e ortogonais entre si nesse intervalo. O sinal recebido x(t) = si(t) + w(t) é correlacionado com M funções base φi(t), i = 1, 2, ..., M e a decisão e tomada em favor daquele símbolo que corresponder ao maior dos valores das amostras nas saídas dos correlatores. As funções φi(t) são versões escalonadas de si(t) tal que sua energia Ei seja unitária, ou seja, φi(t) = si(t)/(Ei

1/2). O ruído w(t) possui densidade espectral de potência de N0/2 W/Hz. Os valores x1, x2,... xM, são amostras das variáveis aleatórias Xi = µXi + Wi, onde Wi são as variáveis aleatórias correspondentes às amostras da componente de ruído na saída dos correlatores. Portanto as variáveis aleatórias Xi têm distribuição gaussiana com médias µXi que dependem da energia de cada forma de onda transmitida e variâncias idênticas σ

2 que dependem da intensidade do ruído na entrada do receptor.

φ 1(t)

φ 2(t)

φM(t)

x1

xM

x2

Com relação a essa questão, marque V para verdadeiro e F para falso: ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da probabilidade de erro de símbolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 2, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 2; ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da probabilidade de erro de bit e de símbolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 4, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 16; ( ) No receptor, se cada uma das funções-base for multiplicada por uma constante igual a 3, haverá alteração na taxa de erro de símbolo; ( ) Conhecidas as M formas de onda correspondentes aos M símbolos, é possível utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-base ortonormais; ( ) Não é necessário utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-base ortonormais; ( ) Percebe-se que no receptor não existem blocos para cálculo do produto interno e para a subtração da energia média de cada símbolo, como prevê a estrutura genérica do receptor ótimo. Entretanto, se tais blocos forem adicionados o desempenho do sistema não será afetado; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará a decisão de máxima verossimilhança sobre os símbolos transmitidos, desde que estes sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão de máximo a posteriori sobre os símbolos transmitidos, desde que estes não sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão de máximo a posteriori sobre os símbolos transmitidos, desde que estes sejam equiprováveis; ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



10) Esboce e representação no espaço de sinais para os símbolos a seguir. Calcule a probabilidade de erro de bit para os dois casos, sabendo que N0 = 10–10

W/Hz, A = 1 mV e Rb = 1 kbit/s.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11) Analisando o exercício anterior, responda: uma determinada constelação (espaço de sinais) pode representar diferentes conjuntos de formas de onda e até mesmo estar associada a diferentes funções-base? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12) Calcule a energia média por símbolo, E, e por bit, Eb, para a constelação a seguir, sabendo que os símbolos são equiprováveis e que a taxa de bits é de 1 kbit/s. Determine também a potência média de transmissão.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 10 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Invariância da Pe com rotação e translação

Conteúdo Invariância da probabilidade de erro de símbolo com rotação ou translação da constelação. Constelações de energia média mínima por símbolo. Translação para a situação de energia mínima.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar as propriedades de invariância da probabilidade de erro de símbolo com rotação ou com translação da constelação. 2) realizar cálculos envolvendo as operações de rotação e de translação. 3) interpretar o conceito de constelação de energia mínima e realizar cálculos para translação de uma constelação qualquer para a situação de energia mínima.

Invariância da probabilidade de erro de símbolo com rotação ou translação da constelação A propriedade de invariância da probabilidade de erro de símbolo com rotação ou translação da constelação diz que mudanças na origem ou na orientação da constelação no espaço de sinais não afetam a probabilidade de erro de símbolo Pe. Isto ocorre porque Pe depende da distância euclidiana relativa entre os símbolos da constelação e do ruído aditivo que, por ser esfericamente simétrico, afeta da mesma maneira um símbolo, não importando onde ele esteja localizado no espaço de sinais. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: observe as constelações dadas na figura a seguir. Em “a” temos a constelação original, em “b” temos uma translação da constelação original e em “c” temos uma rotação da constelação original. Em todos os casos as distâncias Euclidianas relativas não foram alteradas e, portanto, podemos afirmar que a probabilidade de erro de símbolo é a mesma nos três casos.

a) original b) translação c) rotação

A seguir temos as mesmas constelações consideradas no exemplo em questão, agora ilustrando a influência do ruído, que será a mesma independente se estamos nos referindo à constelação original, à constelação transladada ou à constelação rotacionada.

a) original b) translação c) rotação

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



A operação de rotação de uma constelação é realizada pela multiplicação de cada vetor-sinal por uma matriz Q de ordem N×N, ou seja:

roti i=s Qs

A matriz Q é chamada de matriz ortonormal, ou seja, QQT = I , onde I é uma matriz identidade. Esta operação referente à ortonormalização de Q é bastante útil para solucionarmos problemas ou mesmo quando queremos verificar se uma matriz Q que obtivemos em um problema tem valores coerentes. Note ainda que Q−1 = QT, ou seja, a matriz inversa de Q é a sua versão transposta. A operação de translação de uma constelação é realizada pela soma ou subtração de cada vetor-sinal de um vetor a com o mesmo número de elementos, ou seja:

transi i= −s s a

Constelações de energia mínima Constelações transladadas muitas vezes são geradas por imposição do sistema de comunicação, mas há casos em que a translação não é desejada se queremos optar pela menor potência média de transmissão. Vejamos este conceito por meio de um exemplo. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Consideremos as constelações dadas na figura a seguir, onde a constelação “b” corresponde a uma translação da constelação “a”.

a) original b) translação

Vamos calcular a energia média por símbolo em ambos os casos, considerando símbolos equiprováveis: Constelação “a”

4

1 1

21 14 [2 2] 8 Joules

24 4

M

i i ii i

E p E E= =

= = = × × × =

∑ ∑

Constelação “b”

4

1 1

3 1 1 31 1[3 3] [ 1 3] [ 1 1] [3 1] 10 Joules

3 3 1 14 4

M

i i ii i

E p E E= =

− − = = = × + − × + − − × + − × = − − ∑ ∑

Observe que as constelações têm energias médias por símbolo diferentes, embora apresentem a mesma probabilidade de erro de símbolo. Em outras palavras, para que a constelação “b” opere com probabilidade de erro de símbolo igual à da constelação “a”, ela necessitará 10log(10/8) = 0,97 dB a mais de energia média por símbolo. Isto corresponderá a 0,97 dB a mais de potência média de transmissão, pois sabemos que energia e potência seguem a mesma proporção.



Vejamos outro exemplo, agora envolvendo duas sinalizações binárias unidimensionais. A figura a seguir mostra a constelação da sinalização bipolar (a) e da sinalização unipolar (b). Pelo fato das distâncias Euclidianas terem sido mantidas de a para b, podemos afirmar que a probabilidade de erro de símbolo Pe será a mesma nos dois casos. Entretanto, a energia média por símbolo na constelação b é maior (comprove esta afirmação como exercício). Numa primeira análise diríamos que então não vale a pena utilizar a constelação b. Mas suponha que temos um sistema de comunicação via fibra óptica. Como não há luz com intensidade negativa, somos obrigados a utilizar uma sinalização unipolar e, neste caso, teremos que conviver com a necessidade de maior potência média. Em resumo, quem ditará que constelação utilizar será o meio de comunicação.

Em casos em que não há esta imposição do meio de comunicação na escolha da constelação, pode-se desejar transladá-la para a situação de energia mínima, ou seja, para a situação em que a potência média de transmissão seja a mínima possível. Esta translação é realizada subtraindo-se de cada coordenada de um vetor-sinal o valor médio das correspondentes coordenadas de todos os símbolos. Matematicamente podemos escrever: dada uma constelação com o conjunto de símbolos si, i = 1, 2, ..., M, a constelação correspondente, com energia mínima, é obtida subtraindo-se de cada vetor-sinal si o vetor E[s] definido por:

1

[ ]M

i ii

E p=

=∑s s

onde pi é a probabilidade de envio do símbolo mi. Assim teremos o vetor transladado:

[ ]i i' E= −s s s

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: vamos transladar para a situação de energia mínima a constelação “b” do referente à sinalização quaternária considerando: a) símbolos equiprováveis; b) símbolos com probabilidades a priori p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.1 e p4 = 0.4. Em cada caso vamos calcular a energia média da constelação para compararmos os resultados. A constelação em questão é reapresentada a seguir para facilitar.

Solução a: símbolos equiprováveis.

Primeiro vamos calcular o vetor 1

3 1 1 3 11[ ]

3 3 1 1 14

M

i ii

E p=

− − = = + + + = − − ∑s s



Perceba que, de fato, a constelação em questão tem valor médio igual a 1 para as coordenadas das duas dimensões. Então teremos os vetores-sinal transladados para a situação de energia mínima:

s1’ = s1 – E[s] = 3 1 2

3 1 2

− =

s2’ = s2 – E[s] = 1 1 2

3 1 2

− − − =

s3’ = s3 – E[s] = 1 1 2

1 1 2

− − − = − − s4’ = s4 – E[s] =

3 1 2

1 1 2

− = − −

E a constelação resultante será aquela apresentada a seguir, para a qual a energia média, já calculada no exemplo anterior, vale E = 8 Joules.

Solução b: p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.1 e p4 = 0.4 Para estas probabilidades a priori a energia média por símbolo será:

1

3 1 1 30.2 [3 3] 0.3 [ 1 3] 0.1 [ 1 1] 0.4 [3 1] 10.8 Joules

3 3 1 1

M

i ii

E p E=

=

− − = × × + × − × + × − − × + × − × = − −

∑

Calculando o vetor E[s] para as probabilidades a priori dadas, teremos:

1

3 1 1 3 1.4[ ] 0.2 0.3 0.1 0.4

3 3 1 1 1

M

i ii

E p=

− − = = × + × + × + × = − − ∑s s

Neste caso a constelação em questão tem valor médio igual a 1.4 para as coordenadas na dimensão horizontal e 1 na dimensão vertical. Então teremos os seguintes vetores-sinal transladados para a situação de energia mínima:

s1’ = s1 – E[s] = 3 1.4 1.6

3 1 2

− =

s2’ = s2 – E[s] = 1 1.4 2.4

3 1 2

− − − =

s3’ = s3 – E[s] = 1 1.4 2.4

1 1 2

− − − = − − s4’ = s4 – E[s] =

3 1.4 1.6

1 1 2

− = − −

E a constelação resultante será:



Perceba que a constelação transladada para a situação de energia mínima não necessariamente fica disposta simetricamente em relação à origem do sistema de coordenadas Euclidiano. Isto ocorre porque o processo de translação move para um ponto mais próximo da origem aqueles símbolos que têm mais peso na energia média por símbolo da constelação. No exemplo em questão, veja que o símbolo s4 foi aproximado da origem por ter grande energia e elevada probabilidade a priori. Por fim vamos calcular a energia média por símbolo da constelação na situação de energia mínima:

1

1.6 2.4' ' 0.2 [1.6 2] 0.3 [ 2.4 2]

2 2

2.4 1.60.1 [ 2.4 2] 0.4 [1.6 2] 7.84 Joules

2 2

M

i ii

E p E=

− = = × × + × − ×

− + × − − × + × − × = − −

∑

Comparando E = 10.8 Joules com E’ = 7.84 Joules, verifique a redução de 10log10(10.8/7.84) = 1,39 dB na energia média por símbolo obtida com o processo de translação para a situação de energia mínima. Este valor de 1,39 dB seria correspondente à redução na potência média de transmissão do situação original para a situação de constelação transladada para energia mínima. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A invariância da probabilidade de erro de símbolo com a rotação e a translação da constelação tem grande aplicação na análise teórica do desempenho de sistemas de comunicação digital. A idéia é simples: há muitos casos em que a análise matemática da probabilidade de erro de símbolo é drasticamente simplificada apenas rotacionando-se, transladando-se ou fazendo ambas as operações na constelação original sob análise, ou em parte dela. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – Comprove o princípio da invariância da Pe com a translação por meio das sinalizações NRZ bipolar ± A/2 e unipolar +A, 0. Comente sobre a potência de transmissão nos dois casos.

Solução Observando as figuras a seguir constatamos que as distâncias Euclidianas são as mesmas, o que nos leva a afirmar que as probabilidades de erro de símbolo serão idênticas.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Para a constelação a seguir, pede-se a) determine a constelação de mínima energia, admitindo símbolos equiprováveis; b) comente sobre a probabilidade de erro de símbolo e a potência média de transmissão para a constelação original e para a constelação transladada.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



3 – Determine a matriz Q responsável pela rotação da constelação (a) para a constelação (b) ilustrada em seguida. Dica: usar as relações si’ = Qsi e QQT = I para obter um sistema de equações.

Resposta: 1 12 2

1 12 2

− =

Q

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – O cálculo exato da probabilidade de erro de símbolo para a constelação ao lado parece ser razoavelmente complexo, tanto pela dificuldade de determinação das áreas de integração quanto pela determinação das próprias densidades de probabilidade que representam o ruído. Entretanto, se utilizarmos o princípio de invariância da Pe com rotação e translação, para fins de cálculo podemos “mover” a constelação em questão para uma posição do espaço de sinais que nos seja mais adequada. Então determine a expressão para cálculo da Pe para a constelação dada, em função da distância Euclidiana entre os símbolos e da densidade espectral de potência de ruído AWGN.

Solução

Podemos utilizar a figura ao lado como referência, correspondente a uma sinalização antipodal para a qual já conhecemos a probabilidade de erro de símbolo. Então teremos:

2

0 0 0

1 1 1erfc erfc erfc

2 2 4 2 2b

e e

E d dP P

N N N

= = ⇒ =

Observe, de forma explícita, a influência da distância Euclidiana na probabilidade de erro de símbolo.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – Proponha uma forma de estimar as probabilidades a priori dos bits de informação de uma fonte. Se a sinalização for quaternária, proponha também uma forma de estimar as probabilidades a priori dos símbolos. Use o conceito de probabilidade como frequência relativa de ocorrência do evento de interesse. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 – Usando as propriedades de invariância da probabilidade de erro de símbolo com a rotação e com a translação e dada a expressão que permite o cálculo da Pe para a sinalização mostrada na parte (a) da figura a seguir, determine a expressão para cálculo da Pe para a sinalização mostrada parte (b) da figura.



E+0

E−

1s2sφ1

E+0

E−

1s2s

0

1erfc

2e

EP

N

=

(a)

0

1s

2s

E

E

φ1

φ2

0

1s

2s

E

E

(b)

Resposta: 0

1erfc

2 2e

EP

N

=

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 – A energia média por símbolo da constelação ao lado vale E = 2,65 Joules e as probabilidades a priori dos símbolos valem p1 = 0,25, p2 = 0,45, p3 = 0,15 e p4 = 0,15. Pede-se: a) Para o valor de E = 2,65 Joules, responda, justificando, se as probabilidades a priori dos símbolos poderiam ou não poderiam ser iguais. b) Determine e esboce a constelação com energia média mínima. c) Calcule a energia média por símbolo da constelação transladada para a situação de energia média mínima.

Solução a) Sabendo que a energia média por símbolo da constelação anterior vale E = 2,65 Joules, para sabermos se os símbolos podem ser equiprováveis, basta considerá-los como de fato o sendo e calcular a energia média da constelação. Se o valor encontrado for igual ao valor dado, então os símbolos são equiprováveis. Caso contrário, não são equiprováveis.

Então calculamos 1

M

i ii

E p E=

=∑ sabendo que M = 4 e supondo que pi = ¼ para qualquer i:

( )4

1

1 1 91 4 2 2 2,25 J 2,65 J

4 4 4ii

E E=

= = + + + = = ≠∑ . Portanto os símbolos não são

equiprováveis. b) Para translação para a condição de energia mínima, basta subtrair de cada vetor-sinal o vetor E(s):

1

1 0 1 1 0,25( ) 0,25 0,45 0,15 0,15

0 2 1 1 0,60

M

i ii

E p=

− = = + + + = − − ∑s s



Os novos vetores-sinal serão [ ]i i E← −s s s :

1

2

3

4

1 0,25 0,75

0 0,60 0,60

0 0,25 0,25

2 0,60 1,40

1 0,25 1,25

1 0,60 1,60

1 0,25 0,75

1 0,60 1,60

= − = −

− = − =

− − = − = − −

= − = − −

s

s

s

s

A correspondente constelação de energia média mínima é:

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1

1

2

3

c) A energia média mínima da constelação transladada é calculada por meio de

1

M

i ii

E p E=

=∑ Joules, onde agora os valores de Ei são aqueles obtidos por Ti i iE = s s , ou seja:

( )221 0,75 0,6 0,922JE = + − = ( )2 2

2 0,25 1,4 2,022JE = − + =

( ) ( )2 2

3 1,25 1,6 4,123JE = − + − = ( )224 0,75 1,6 3,123JE = + − = .

Então, E = 0,25(0,922) + 0,45(2,022) + 0,15(4,123) + 0,15(3,123) => 2,228JE =

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 11 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Análise da Pe para receptor genérico

Conteúdo Limitante de União. Relação entre probabilidade de erro de símbolo e probabilidade de erro de bit.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a aplicação do Limitante de União como ferramenta para determinação da probabilidade de erro de símbolo. 2) realizar cálculos de probabilidade de erro de símbolo via Limitante de União. 3) estabelecer a relação entre probabilidade de erro de símbolo e probabilidade de erro de bit, levando em conta o tipo de sinalização e o mapeamento bit → símbolo.

Neste texto analisaremos o problema do cálculo da probabilidade de erro de símbolo e de bit para sistemas de comunicação digital com qualquer número de símbolos e com qualquer número de funções-base. Inicialmente verificaremos que em certos casos o cálculo exato da probabilidade de erro pode ser extremamente trabalhoso, sendo intratável matematicamente em outros. Em seguida estudaremos uma forma simples de cálculo aproximado da probabilidade de erro de símbolo, mas que apresenta resultados bastante precisos nos casos de maior interesse. Por fim analisaremos a relação entre a probabilidade de erro de símbolo e a probabilidade de erro de bit. A dificuldade de calcular a probabilidade de erro de símbolo Para verificar os diferentes graus de dificuldade que surgem quando do cálculo exato de probabilidade de erro de símbolo para diferentes constelações, vamos iniciar com uma revisão do cálculo de Pe para uma sinalização antipodal, porém utilizando as notações que aprendemos recentemente no estudo da representação de sinais no espaço Euclidiano. Considere o espaço de sinais a seguir, para o qual podemos escrever:

1( não se encontrar em | enviado)

M

e i i iiP p P Z m

==∑ x

Nesta expressão podemos ver que a probabilidade de erro de símbolo média é obtida por meio da média ponderada (pelas probabilidades a priori dos símbolos) das probabilidades de erro condicionadas ao envio de cada símbolo. Se os símbolos são equiprováveis podemos escrever:



( )

2

1

2

1

1limiar

1( não se encontrar em | enviado)

21

1 ( se encontrar em | enviado)2

1 |

e i ii

i ii

X

P P Z m

P Z m

f x m dx

=

=

∞

=

= −

= −

∑

∑

∫

x

x

onde a integral ( )1limiar|Xf x m dx

∞

∫ corresponde à probabilidade de acerto, dado o envio do símbolo 1.

Interpretando esta integral podemos dizer que a probabilidade de acerto na decisão de um símbolo pode ser determinada pela área sob a cauda da Gaussiana situada na correspondente região de decisão. Agora vamos tentar fazer uma análise mais genérica, usando como exemplo uma sinalização quaternária bidimensional, conforme ilustração a seguir.

Utilizando um raciocínio análogo ao caso binário, a probabilidade de erro de símbolo média pode ser determinada por meio de:

( )

1

1

1

( )1

( não se encontrar em | enviado)

11 ( se encontrar em | enviado)

11 |

i

M

e i ii

M

i ii

M

iZi

e iP m

P P Z mM

P Z mM

f m dM

=

=

=

=

= −

= −

∑

∑

∑∫ X

x

x

x x

Podemos interpretar ( )|i

iZf m d∫ X x x como a probabilidade de acerto, dado o envio do símbolo i.

Perceba que a densidade de probabilidade fX(x|mi) está na variável x, que é um vetor bidimensional. Portanto, tal função é a densidade de probabilidade conjunta de todas as variáveis de decisão correspondentes às saídas dos correlatores (dois para o caso binário). Nas figuras a seguir podemos ver o aspecto dessas funções, de onde percebemos que a integral mencionada anteriormente será dupla e



determinará a probabilidade de um vetor observado x estar em cada uma das regiões de decisão mostradas na parte da direita da figura em questão. Com este exemplo pode-se notar que quanto mais símbolos ou mais dimensões existirem, mais complexo será o cálculo exato da probabilidade de erro de símbolo. Em outras palavras, o cálculo analítico (ou mesmo numérico) da probabilidade de erro de símbolo ou de bit pode ser muito difício ou até intratável em certos casos. Como solução para o problema faz-se o uso dos chamados limitantes para prever, com determinado grau de precisão, a probabilidade de erro a uma dada relação sinal-ruído ou vice-versa. No nosso curso aprenderemos a utilizar o Limitante de União, abordado logo em seguida.

O Limitante de União como solução aproximada para cálculo de Pe

A expressão para o cálculo de Pe utilizando o Limitante de União, aqui apresentada sem dedução, é:

( )1 1 1 0

1erfc

2 2

M M Mik

e i e i ii i k

k i

dP p P m p

N= = =≠

= ≤

∑ ∑∑

onde: M é o número de símbolos;

ip é a probabilidade de envio do símbolo i;

( )e iP m é a probabilidade de erro de símbolo condicionada ao envio do símbolo mi;

ikd é a distância Euclidiana entre os símbolos mi e mk;

0N é a densidade espectral de potência do ruído branco.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Vamos estimar a probabilidade de erro de símbolo média para a sinalização antipodal considerada no início do texto, usando o Limitante de União.



( )2 2

1 1 1 1 10 0

2 21 2 12 21

1 10 0 0 01 2

1 1 1erfc erfc

2 2 22 2

1 1erfc erfc erfc erfc

4 42 2 2 2

M M Mik ik

e i e i ii i k i k

k i k i

k k

k kk k

d dP p P m p

N N

d d d d

N N N N

= = = = =≠ ≠

= =≠ ≠

= ≤ =

= + = +

∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑ .

Como d12 = d21 = 2 E , para a sinalização antipodal então teremos:

0 0

1 1erfc erfc

2 2b

e

E EP

N N

≤ =

.

Comparando este resultado com o que foi obtido no estudo da transmissão em banda-base, verificamos que, neste caso, o Limitante de União fornece o valor exato para Pe. Isto poderá acontecer em outros casos. Porém, para sabermos se o cálculo via Limitante é ou não é exato, teríamos que compará-lo com expressões de Pe exatas, o que invalidaria o uso do Limitante, já que conheceríamos a expressão exata. Como veremos logo adiante, mesmo não sendo às vezes exato, o Limitante de União representa uma boa aproximação para o cálculo da Pe, principalmente para valores altos de relação sinal-ruído. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Como estudo de caso, vamos supor que a constelação que estamos analisando seja circularmente simétrica em torno da origem. Por exemplo, seja a constelação a seguir:

Observando os símbolos s7 e s8 notamos que ambos têm as mesmas distâncias Euclidianas em relação aos demais símbolos. Podemos extrapolar esta observação para todos os símbolos e afirmar que a probabilidade de erro condicionada ao envio de um determinado símbolo, Pe(mi), é a mesma para qualquer símbolo mi. Neste caso o Limitante de União pode ser simplificado para:

1 0

1erfc , para qualquer

2 2

Mik

ekk i

dP i

N=≠

≤

∑

A figura a seguir mostra a interpretação de possíveis resultados proporcionados pelo Limitante de União. A curva tracejada corresponde à probabilidade de erro de símbolo real ou exata. A curva mais abaixo é aquela obtida considerando nos cálculos do limitante apenas os erros para os símbolos vizinhos mais próximos. Perceba que, neste último caso, estamos desprezando erros para alguns dos símbolos da constelação, o que torna o resultado impreciso para baixos valores de Eb/N0. A curva mais acima é aquela obtida considerando todas as possibilidades de erro previstas pela expressão de cálculo



do limitante. Este último resultado condiz com a definição do Limitante de União: a probabilidade de erro real será menor ou igual ao valor previsto pelo limitante. Perceba ainda que, para valores mais elevados de Eb/N0, todos os resultados se aproximam. Felizmente, é nesta região que temos valores de probabilidade de erro úteis na prática. Apenas para se ter uma noção de ordem de grandeza do que seja um valor útil para Pe, algumas formas de transmissão de voz digitalizada, que é uma das aplicações que suporta as maiores taxas de erro, operam com probabilidades de erro de bit de, no máximo, 1×10−3. Na prática encontraremos aplicações que requerem probabilidades de erro ainda menores. Portanto, o cálculo de Pe via Limitante de União será bastante preciso nestes casos.

Como complemento, no cálculo via Limitante de União pode ser que tenhamos maior proximidade das curvas para baixos valores de Eb/N0 quando consideramos, além dos símbolos vizinhos mais próximos, os símbolos com distância Euclidiana imediatamente superior. Tente você mesmo investigar esta afirmação, começando por reproduzir as curvas mostradas na figura anterior. Use como referência uma constelação circularmente simétrica com oito símbolos. Relação entre probabilidade de erro de símbolo e probabilidade de erro de bit Não há relação geral e única entre a probabilidade de erro de símbolo e a probabilidade de erro de bit. Vejamos um exemplo com fins didáticos apenas: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Neste exemplo, partes de duas constelações de 64 símbolos são analisadas, conforme figuras a seguir. Suponha que o símbolo si tenha sido transmitido, tanto para o caso (a) quanto para o caso (b). Suponha ainda que a probabilidade de erro para símbolos mais distantes que os vizinhos seja desprezível. Adicionalmente, suponha que a probabilidade de erro de símbolo média nos dois casos seja a mesma e igual a 1×10−3. Vamos determinar a probabilidade de erro de bit média, Pb, nos dois casos. Na prática esta probabilidade é denominada de taxa de erro de bit (Bit Error Rate – BER).

(a) (b)



Caso a: Pe = 1×10−3 ⇒ se transmitirmos, por exemplo, 1.000 símbolos, teremos em média 1 símbolo decidido em erro. Neste caso teremos transmitido 6×1.000 = 6.000 bits. Como cada erro de símbolo provoca apenas um erro de bit, a taxa de erro de bit BER = 1/6.000 = Pe/6 = Pe/log2M. Caso b: Pe = 1×10−3 ⇒ novamente, se transmitirmos 1.000 símbolos teremos em média 1 símbolo decidido em erro. Neste caso também teremos transmitido 6×1.000 = 6.000 bits. Como cada erro de símbolo provoca 6 erros de bit em um caso e 5 em outro, levando a uma média de 5,5 bits em erro por símbolo em erro, a taxa de erro de bit BER = 5,5/6.000 ≅ Pe.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Com este exemplo verificamos nitidamente quais são os limites para a BER em função de Pe, ou seja:

2

BERlog

ee

PP

M≤ ≤

A tendência da BER se aproximar de um limite ou de outro será determinada pela quantidade de símbolos vizinhos de cada símbolo e pelo mapeamento nos bits que cada símbolo representa. Sabemos que quando a relação sinal-ruído é elevada, a probabilidade de decisão errada por um dos símbolos mais próximos é muito maior que por qualquer outro. Se o mapeamento símbolo-bit segue o código Gray, quando se erra um símbolo o número mais provável de bits em erro será 1. Portanto, este é o mapeamento mais adequado em termos de minimização da BER. Vale lembrar que se uma sinalização contém M símbolos ortogonais de mesma energia, as distâncias Euclidianas de um símbolo em relação aos demais serão as mesmas. Neste caso o mapeamento não terá influência na relação entre a BER e a Pe, que será sempre dada por:

/ 2BER

1 e

MP

M = −

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: vejamos como se pode determinar o mapeamento Gray para as constelações a seguir. Para a constelação da esquerda, basta escolher um símbolo inicial qualquer e realizar o mapeamento Gray de forma sequencial. Para a constelação da direita, basta fazer um Mapa de Karnaugh com 4 linhas e 4 colunas (pois temos 16 símbolos) e transferir os bits do mapa para os símbolos da constelação.



Para este exemplo teremos o seguinte mapa de Karnaugh.

00 01 11 10 00 0000 0001 0011 0010 01 0100 0101 0111 0110 11 1100 1101 1111 1110 10 1000 1001 1011 1010

Para outros tipos de constelação a tarefa pode ser tornar um tanto difícil e em certos casos é impossível garantir o mapeamento Gray perfeito entre todos os símbolos vizinhos mais próximos. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sumário do estudo sobre análise do espaço de sinais: Foi estudada a representação de sinais no espaço Euclidiano, onde cada sinal de um conjunto de

formas de onda de transmissão é mapeado num vetor N-dimensional, N ≤ M, onde N é o número de funções-base ortonormais. O conjunto de vetores-sinal define uma constelação de M pontos no espaço N-dimensional.

Foi estudado o receptor de máxima verossimilhança genérico (para M símbolos equiprováveis e N dimensões) para um sistema de comunicação digital na presença de ruído AWGN.

Foi verificada a invariância da probabilidade de erro de símbolo Pe com a rotação ou com a translação na constelação.

Foi observado que se utilizam limitantes quando o cálculo exato da Pe é impraticável. O Limitante de União foi estudado e é bastante preciso para altos valores de Eb/N0.

Por fim foi abordado o mapeamento Pe ↔ BER, cuja relação depende diretamente do mapeamento dos símbolos nos correspondentes bits, exceto quando os símbolos são ortogonais entre si.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – Utilizando o Limitante de União, estime a probabilidade de erro de símbolo média para a sinalização M-ária com constelação circular (ilustrada ao lado para M = 8), em função de Eb/N0. Para esta constelação a probabilidade condicional de erro de símbolo Pe(mi) é a mesma para qualquer símbolo enviado e, portanto, a probabilidade de erro de símbolo média Pe pode ser calculada utilizando-se apenas um símbolo como referência. Para símbolos equiprováveis teremos Pe = MPe(mi)/M. Observação: Admita o envio do símbolo m1 e que as probabilidades de erro correspondentes à decisão por m4 , m5 ou m6 seja desprezível. Não faça outras aproximações. Solução

Admitindo o envio do símbolo m1 observa-se que: d12 = d18 = ( )2 sen /8E π ; d13 = d17 = 2E .

Então a probabilidade de erro de símbolo será limitada de acordo com:



1 10 0

1 1 1erfc erfc

2 22 2

M Mik ik

ek kk i k i

d dP M

M N N= =≠ ≠

≤ =

∑ ∑ =

( )0

2 sen /82erfc

2 2

E

N

π

+0

2 2erfc

2 2

E

N

,

o que resulta em eP ≤ ( )0

erfc sen /8E

Nπ

+0

erfc2

E

N

,

que em função de Eb/N0 passa a ser escrita como eP ≤ ( )0

3erfc sen /8bE

Nπ

+0

3erfc

2bE

N

.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Utilizando o Limitante de União, determine a expressão aproximada de cálculo da probabilidade de erro de símbolo para as sinalizações equiprováveis a seguir, quando contaminadas com ruído AWGN de densidade espectral de potência N0/2 watts/Hz. Admita que a relação sinal-ruído seja alta o suficiente para que os erros de símbolo ocorram apenas para os símbolos vizinhos mais próximos. a) Sinalização unidimensional 4-PAM. Determine a expressão em função de E0/N0. b) Sinalização unidimensional 8-PAM. Determine a expressão em função de E0/N0 c) Sinalização unidimensional M-PAM. Observe os resultados dos itens “a” e “b” e, por indução,

generalize para qualquer número de símbolos. Determine a expressão em função de E0/N0. d) Reescreva a expressão do item “c” em função de Eb/N0.

00E0E 03 E03 E

φ 100E0E 03 E03 E

00E0E 03 E03 E

05 E05 E 07 E07 E

φ 100E0E 03 E03 E

05 E05 E 07 E07 E

Solução Observa-se que a distância de um determinado símbolo para quaisquer de seus vizinhos mais próximos é de 2 0E . Então, sabendo que os símbolos são equiprováveis e que a relação sinal-ruído é elevada:

1 1

1( ) ( )

M M

e i e i e ii i

P p P m P mM= =

= =∑ ∑ , onde ( ) 0

1 10 0

21 1erfc erfc

2 22 2

M Jik

e ik kk i

EdP m

N N= =≠

≅ =

∑ ∑ .

Para os símbolos das extremidades das constelações temos J = 1 e para os demais símbolos temos J = 2. Assim, nomeando os símbolos da esquerda para a direita em ordem crescente, teremos:

a)

1 2 3 4

0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1erfc 2 2 erfc erfc

4 2 2 2

e e e e

e

P m P m P m P m

E E EP

N N N

+

= + ⋅ ⋅ +

. Então, 0

0

3erfc

4e

EP

N

=

.



b)

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1erfc 6 2 erfc erfc

8 2 2 2

e e e e e e e e

e

P m P m P m P m P m P m P m P m

E E EP

N N N

+ + + + +

= + ⋅ ⋅ +

. Então, 0

0

7erfc

8e

EP

N

=

.

c) Com os resultados dos itens “a” e “b”, por indução teremos: 0

0

1erfce

M EP

M N

−=

.

d) A solução deste item requer que escrevamos E0 em função de Eb para posterior substituição no resultado do item “c”, o que podemos conseguir por meio das seguintes constatações: 1) sabemos que a energia total da constelação M-PAM pode ser calculada como o dobro da soma das energias dos símbolos à direita da origem do espaço de sinais; 2) a energia de cada símbolo é o quadrado da distância do símbolo até a origem; 3) a energia média por símbolo, E, é a energia total dividida por M, para símbolos equiprováveis; 4) a energia média por bit, Eb, é a energia média por símbolo, E, dividida por log2M. Então teremos:

( ) ( )( ) ( )

2 22 20 20 0 2 2

2 21 1

1 1

1 2 log2 2 1 2 1

2 2 1 2 2 1

M Mb

M Mi i

i i

E ME ME ME i E i E

M Mi i= =

= =

= ⋅ − = − ⇒ = = − −

∑ ∑∑ ∑

Substituindo o valor de E0 no resultado do item “c”, finalmente teremos:

( )2

22

01

log1

erfc2 2 1

bM

e

i

ME MM

PN iM

=

− = −

∑

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Seja a constelação da figura a seguir, correspondente a uma modulação que estudaremos no Capítulo 6, denominada 16-QAM. Considerando símbolos equiprováveis, pede-se: a) Calcule a energia média da constelação. b) Estime a probabilidade de erro de bit média em função da probabilidade de erro de símbolo média. c) Responda se a probabilidade de erro de bit média real será aproximadamente igual, menor ou maior em comparação com aquela estimada no item “c”. Justifique sua reposta. Solução

a) [ ] [ ] [ ] [ ]4

1

1 3 1 31 14 1 1 3 1 1 3 3 3 10Joules

1 1 3 316 4ii

E E=

= × × = × + × + × + × =

∑ .

b) Se, para símbolos vizinhos, o mapeamento utilizado na constelação for do tipo Gray, a BER poderá ser estimada por:



2

BERlog 4

e eP P

M= = .

c) A probabilidade de erro de bit média será MAIOR que a estimada, posto que o mapeamento Gray não está sendo utilizado em todos os símbolos vizinhos na constelação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – Sabemos que não existe uma relação única entre a probabilidade de erro de símbolo Pe e a taxa de erro de bit BER em um sistema de comunicação digital com número de símbolos M > 2. Sabemos também que o mapeamento dos símbolos nos conjuntos de log2M bits tem forte influência nessa relação. Admitindo que a relação sinal-ruído seja alta o suficiente para que os erros de símbolo ocorram para os símbolos vizinhos mais próximos, justifique numericamente os comportamentos das curvas de taxa de erro de bit mostradas no gráfico a seguir, para a constelação dada. Solução Para a constelação em questão todos os símbolos vizinhos diferem em dois bits, exceto os pares (000)/(111) e (011)/(100), que diferem em três bits. Assim, um erro de símbolo provocará, em média, (2+2+2+2+2+2+3+3)/8 = 2,25 = 9/4 bits em erro. Como para cada símbolo se tem três bits transmitidos, a probabilidade de erro de bit BER será (9/4)Pe/3 = (3/4)Pe. Por exemplo, para uma Pe = 1×10−3, a cada 1.000 símbolos transmitidos teremos, em média, 1 símbolo decidido com erro. Neste exemplo teremos, em média, 2,25 bits em erro, para 3.000 bits transmitidos, ou seja, BER = (2,25)/3.000 = 0,75×10−3 = (3/4)Pe, que é um valor um pouco superior aos (2/3)Pe = 0,66×10−3 mostrados na curva inferior. A curva mais acima corresponde à probabilidade de erro de símbolo, Pe.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – Fazer uma pequena pesquisa de forma que você aprenda como se pode formar um código Gray a partir de um código sequencial binário convencional. Se possível faça o desenho de um circuito de conversão de uma palavra binária em uma palavra do código Gray. Deste exercício você poderá extrair sua própria regra de construção do código Gray, assim como, provavelmente, você já conhece uma regra para construir uma sequência de palavras binárias em ordem crescente. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 12 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Introdução à transmissão em banda-passante.

Conteúdo Introdução à transmissão em banda-passante: definição, hierarquia das modulações, densidade espectral de potência, eficiência espectral e eficiência de potência, modelo de transmissão em banda-passante.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir transmissão em banda-passante, comparando com a definição de transmissão em banda-base. 2) conceituar detecção coerente e não-coerente, citando vantagens e desvantagens. 3) conceituar e calcular a densidade espectral de potência (DEP) de uma sequência aleatória de pulsos multi-amplitude. 4) determinar a DEP de um sinal modulado a partir da DEP das suas componentes em fase e em quadratura. 5) estabelecer a solução de compromisso entre eficiência espectral e eficiência de potência. 6) determinar a função de cada bloco e o significado de cada variável no modelo de transmissão em banda-passante.

Neste texto serão abordados os conceitos básicos, modelos e notações que nos permitirão analisar os vários tipos de modulação digital. Recomenda-se que este texto seja considerado como base para o entendimento das modulações digitais que serão estudadas mais adiante. Também faremos uso constante dos conceitos estudados na representação de sinais no espaço Euclidiano, principalmente na determinação da probabilidade de erro. Nesta, o cálculo será baseado na análise do espaço de sinais, na maior parte das vezes fazendo uso do Limitante de União. Definição de transmissão em banda-passante A transmissão em banda-passante, também conhecida como transmissão passa-faixa, é aquela em que o espectro do sinal modulado se concentra em torno de uma frequência de portadora, fc. Apenas recordando, na transmissão em banda-base o espectro do sinal se concentra em torno da frequência zero. As figuras a seguir ilustram estes conceitos.

Transmissão em banda-base Transmissão em banda-passante Vale lembrar que esboços de espectro como aqueles mostrados logo acima se referem ao que provavelmente veríamos em um analisador de espectro (para f ≥ 0) ou por meio de algum software de simulação como o VisSim/Comm. O espectro teórico do sinal modulado é uma função mais “bem comportada”, com aspecto ilustrado pelas figuras a seguir.



A transmissão em banda-passante é realizada chaveando-se amplitude, frequência, fase, ou alguma combinação destas, de uma portadora senoidal de acordo com os bits a serem transmitidos. A figura a seguir ilustra as versões binárias dos tipos básicos de modulação digital: ASK (Amplitude Shift Keying), PSK (Phase Shift Keying) e FSK (Frequency Shift Keying).

Múltiplas amplitudes, fases ou frequências poderiam ser utilizadas para formar modulações com qualquer número de símbolos ou, como se costuma denominar, modulações M-árias. Hierarquia das modulações Em termos de hierarquia as modulações são classificadas como modulações com detecção coerente ou modulações com detecção não-coerente. Nas modulações com detecção coerente, além da temporização de símbolo, para a detecção faz-se necessário o uso da portadora de recepção em sincronismo de fase (coerência de fase) com a portadora de transmissão, após deslocamentos de fase causados pelo canal. As modulações com detecção não-coerente também necessitam da temporização de símbolo, mas não necessitam de coerência de fase para detecção. Para se implementar detecção coerente, o receptor deve ser provido de um circuito denominado circuito de extração de sincronismo de portadora, o qual eleva a complexidade do sistema. Na detecção não coerente não se faz necessário este circuito, mas o desempenho é inferior àquele proporcionado pela detecção coerente. Portanto, a decisão por usar detecção coerente ou não-coerente passa por uma análise de solução de compromisso entre complexidade e desempenho, ainda envolvendo outros quesitos que possam ser influenciados por estes, tais como custo, espaço físico para o circuito e consumo de potência. Densidade Espectral de Potência A densidade espectral de potência (DEP) descreve como a potência do sinal analisado se distribui na frequência. Como já sabemos, sua unidade é watts/Hertz ou alguma de suas variações, dentre as quais a mais utilizada é dBm/Hz, a qual descreve a distribuição de potência em escala logarítmica. Devido ao fato da informação que queremos transmitir ser inerentemente aleatória, um sinal modulado é um sinal aleatório. Como sabemos do estudo de processos estocásticos, para se determinar a densidade espectral de potência deve-se lançar mão da transformada de Fourier da função de auto-correlação do sinal. Felizmente temos um método mais simples para determinar a DEP de um sinal modulado, sem a necessidade de conhecer a sua função de auto-correlação. Veremos a seguir como este método é aplicado.



A maior parte dos sinais modulados pode ser expressa por meio da equação:

( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sin 2I c Q cs t s t f t s t f tπ π= −

onde sI(t) e sQ(t) são sinais em banda-base que mantém uma relação linear com o sinal modulante (ou seja, dependem linearmente deste). Tais sinais são denominados de componente em fase e de componente em quadratura do sinal modulado, respectivamente, e podem ser vistos como versões em banda-base do sinal modulado. Alguns autores chamam de componente em fase e em quadratura os sinais resultantes da multiplicação de sI(t) e sQ(t) pelas portadoras cos(.) e sen(.), mas isto não gera nenhum conflito desde que fiquemos atentos. Seja SB(f) a DEP de sI(t), somada à DEP de sQ(t), e seja SS(f) a DEP do sinal em banda-passante s(t). A relação entre estas densidades espectrais de potência é:

( ) ( )1( )

4S B c B cS f S f f S f f= − + +

Portanto, pode-se determinar o espectro do sinal em banda-passante conhecendo-se o espectro de suas versões em banda-base sI(t) e sQ(t). Os sinais sI(t) e sQ(t) encontrados na prática são tipicamente sequências de pulsos g(t) com duas ou mais amplitudes e formatos quaisquer. Nas figuras a seguir são mostrados dois formatos típicos para estes pulsos g(t).

Para uma sequência binária aleatória, com pulsos ±g(t), a densidade espectral de potência é dada por:

2 ( )

( )B

g tS f

T

ℑ=

onde ( ) tgℑ é a transformada de Fourier de g(t). De posse de SB(f) utilizamos a relação com SS(f) dada anteriormente e assim podemos determinar a DEP do sinal modulado s(t). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: vamos determinar a densidade espectral de potência de um sinal modulado em 2-PSK. Este sinal pode ser gerado por meio de um simples multiplicador (mixer), como a seguir:



Vimos que o sinal modulado pode ser descrito por meio de ( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sin 2I c Q cs t s t f t s t f tπ π= − .

Para o caso, nitidamente percebemos que a componente sQ(t) é nula, ou seja, ( )( ) ( )cos 2I cs t s t f tπ= .

Portanto, sI(t) é a própria sequência de pulsos de entrada dada na figura anterior. Então, o problema reside em determinar SB(f) como sendo a densidade espectral de potência de uma sequência binária aleatória de pulsos retangulares com amplitude ±A e duração T. O formato de pulso g(t) para este exemplo é retangular de amplitude A e duração T. Inicialmente vamos determinar a transformada de Fourier deste pulso: sinc( )AT fTℑ Π = . Portanto, a densidade

espectral de potência da sequência em questão será:

2 2

2 2 ( ) sinc( )( ) sinc ( )B

g t AT fTS f A T fT

T T

ℑ= = = ,

cujo esboço é mostrado na figura a seguir, com o eixo vertical em escala logarítmica. O uso desta escala é comum em Telecomunicações. Neste exemplo ela permite que lóbulos mais distantes do principal possam ser visualizados e até medidos. É este tipo de representação que vemos em um analisador de espectro, onde o eixo vertical normalmente se encontra em dBm/Hz.

Portanto, a densidade espectral de potência do sinal modulado 2-PSK nada mais será que a densidade encontrada anteriormente, posicionada em ±fc e ponderada por ¼, ou seja:

( ) ( ) 2 2 2 21 1( ) sinc [( ) ] sinc [( ) ]

4 4S B c B c c cS f S f f S f f A T f f T A T f f T= − + + = − + + ,

cujo esboço é mostrado a seguir:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Exemplo: vamos agora verificar como determinaríamos a densidade espectral de potência de uma sequência aleatória de pulsos com amplitudes ±1 e ±3 e duração T, conforme ilustrado pela figura a seguir.

Pode-se perceber que uma sequência deste tipo pode ser gerada pela soma de sequências binárias, conforme ilustrado pela próxima figura. Portanto, se interpretarmos as sequências geradoras como independentes, a DEP do sinal em questão pode ser determinada pela soma das DEPs das sequências binárias componentes. Tais DEPs podem ser determinadas por meio do método exemplificado anteriormente.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Desafio: Determine e esboce a densidade espectral de potência do código de linha Manchester mostrado na figura a seguir, gerado pela sequência de bits aleatória também mostrada na figura. Dica: interprete o código Manchester como uma sequência de pulsos ±g(t). A título de curiosidade, o código Manchester é utilizado em redes locais de computadores com fio, tais como as que temos no Inatel.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Eficiência Espectral e Eficiência de Potência Exceto para as modulações da família M-FSK, a largura de banda do sinal modulado será proporcional a 1/T = 1/(Tblog2M). Para as modulações da família M-FSK veremos mais adiante que a banda aumenta quando aumentamos o número de símbolos. Um dos mais importantes fatores de mérito para análise de sinais modulados é a Eficiência Espectral. Ela é medida em bit/s/Hz e é definida por:

bR

Bρ =

onde Rb é a taxa de transmissão de bits e B é a largura de faixa ocupada. A eficiência espectral nos diz o quanto de informação em termos de taxa de bits pode-se transmitir por hertz de banda. Devemos ficar atentos para a medida da banda B. Em tese qualquer sinal modulado tem banda infinita. A limitação de banda para posterior transmissão se dará por processo de filtragem após a modulação ou por “suavização” dos pulsos que modulam a portadora. As figuras a seguir ilustram este conceito: na parte (a) tem-se o efeito de limitação de banda proporcionado pela filtragem passa-baixas dos pulsos que representam os bits de informação. Na parte (b) da figura tem-se o efeito de limitação de banda realizado por filtragem passa-faixa do sinal já modulado.

(a)

(b)

Então, para aumentarmos a eficiência espectral podemos aumentar M (exceto para M-FSK) e usar filtragem direta do sinal modulado ou alguma formatação dos pulsos de transmissão através de filtros para reduzir B. Entretanto devemos ter um cuidado especial, pois o aumento da eficiência espectral



com o aumento de M vem acompanhado da redução na eficiência de potência (mais uma vez, exceto para M-FSK). Consulte as notas de aula sobre a sinalização M-PAM para relembrar este conceito. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: A figura a seguir mostra duas constelações correspondentes a sinais modulados com mesma potência média de transmissão. Na parte (a) temos uma constelação com M = 4 na qual os símbolos estão mais distantes entre si que os símbolos da constelação (b), onde M = 8. Então, a eficiência espectral da modulação (a) será menor que da modulação (b), mas para uma mesma potência média de transmissão o desempenho da modulação (a) será melhor, ou seja, ela terá maior eficiência de potência.

(a) (b)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A decisão por se utilizar uma modulação com maior eficiência de potência ou maior eficiência espectral dependerá da aplicação. Em outras palavras, dependerá se o sistema é mais limitado por recursos de potência ou por recursos de banda. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Numa comunicação entre estações-base de telefonia celular tipicamente utilizam-se links de microondas que operam com modulações de alta eficiência espectral. Faz-se isto, pois o espectro congestionado impõe que a banda ocupada pelo sinal seja a menor possível e, ao mesmo tempo, as taxas de transmissão elevadas impõem que as modulações tenham muitos símbolos em suas constelações (para que se carreguem muitos bits por símbolo). Neste caso estamos utilizando modulações de alta ordem ou modulações densas, como, por exemplo, a modulação 256-QAM. Já na comunicação entre uma sonda espacial e uma estação na Terra, temos forte imposição de economia de energia, pois a mesma é suprida normalmente por painéis solares que mantêm bancos de baterias carregadas. Neste caso faz-se a opção por modulações de baixa ordem, como 2-PSK ou 4-PSK, ou seja, faz-se a opção por alta eficiência de potência, pois a restrição por ocupação de banda não é tão importante. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Modelo de transmissão em banda-passante A figura a seguir apresenta o modelo que utilizaremos ao longo do estudo da transmissão em banda-passante. Este modelo unifica a notação utilizada no estudo e pode representar a implementação de qualquer modulação digital. As funções simplificadas de cada um dos blocos são indicadas na figura e a seguir tem-se uma lista das variáveis e funções processadas ao longo do modelo:



mi – corresponde a símbolos formados por agrupamentos de k = log2M bits. si – vetor-sinal associado ao símbolo mi. Seus coeficientes modulam as funções-base. si(t) – forma de onda que representa cada símbolo mi. x(t) – sinal recebido, correspondente ao sinal si(t) contaminado pelo ruído. x – vetor observado cujos componentes correspondem às saídas do banco de correlatores. m – é o símbolo estimado na recepção, segundo o critério de máxima verossimilhança.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 13 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Modulação BPSK.

Conteúdo Modulação BPSK (Binary Phase Shift Keying)

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração do sinal BPSK, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano; 2) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor BPSK; 3) analisar o espectro de um sinal BPSK; 4) analisar a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação BPSK.

Nesta parte do texto são apresentados os detalhes de uma importante forma de transmissão digital, a modulação 2-PSK ou BPSK (Binary Phase Shift Keying). Analisaremos o sinal modulado, a função-base e o espaço de sinais, a probabilidade de erro de símbolo e de bit, os processos de geração do sinal modulado e de demodulação com detecção coerente, a densidade espectral de potência e a eficiência espectral. Uma observação sobre a notação Antes de iniciarmos propriamente o estudo das modulações digitais, vamos analisar uma notação específica tipicamente utilizada na representação de sinais modulados. Nas diferentes representações matemáticas destes sinais, com frequência encontraremos expressões similares a:

( )2( ) cos 2 cy t f t

T

ξ π= ,

onde (1/ ) , inteiroc c cf n T n= , o que significa que em um intervalo de tempo de T segundos teremos

um número inteiro de ciclos da portadora co-senoidal de frequência fc. Vamos calcular a energia da forma de onda y(t):

( ) ( ) ( )2 2

0 0 0 0 0

2 2 1 1( ) cos 2 cos 4 cos 4

2 2

T T T T T

c c cE y t dt f t dt f t dt dt f t dtT T T T

ξ ξ ξ ξπ π π= = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

onde a segunda integral tem valor nulo justamente devido ao fato de termos no intervalo T um número inteiro de ciclos da portadora. Então:

( )0 0

cos 4 0T T

cE dt f t dt TT T T

ξ ξ ξπ ξ= + = + =∫ ∫

Por este resultado percebemos que na forma em que y(t) foi escrita, o valor que multiplica o número 2 dentro do radical é a própria energia do sinal. Sinal modulado BPSK A modulação BPSK, por ser binária, tem dois símbolos de duração T = Tb, cujas formas de onda são:



( )1

2( ) cos 2b

cb

Es t f t

Tπ= e ( )2

2( ) cos 2b

cb

Es t f t

Tπ= − ,

onde 1

, inteiroc c cb

f n nT

=

Então temos uma sinalização antipodal, na qual um símbolo é igual ao outro multiplicado por –1. A figura a seguir ilustra o aspecto do sinal modulado em BPSK, no domínio do tempo.

Função-base para a modulação BPSK Como se trata de uma sinalização antipodal, teremos uma única função-base que pode ser definida, por exemplo, a partir do sinal s1(t), fazendo com que sua energia se torne unitária. Desta forma teremos:

( )11

( ) 2( ) cos 2 , 0c b

bb

s tt f t t T

TEφ π= = ≤ ≤

Então, observando as formas de onda s1(t) e s2(t) percebemos nitidamente que os coeficientes s11 e s12 valem bE e bE− , respectivamente. Assim podemos escrever:

( ) ( )1 11 1 1( ) , 0b bs t s t E t t Tφ φ= = ≤ < e ( ) ( )2 21 1 1( ) , 0b bs t s t E t t Tφ φ= = − ≤ <

Espaço de sinais (constelação) da modulação BPSK Dos resultados anteriores podemos construir a constelação da modulação BPSK, a qual é mostrada na figura a seguir.



Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação BPSK Como se trata de uma sinalização antipodal, a probabilidade de erro de símbolo, que é igual à probabilidade de erro de bit, será igual àquela já determinada no estudo da sinalização NRZ bipolar em banda-base, ou seja:

0

1BER erfc

2b

e

EP

N

= =

Geração e detecção coerente de um sinal BPSK De acordo com as expressões dos sinais s1(t) e s2(t) podemos construir o modulador BPSK mostrado na figura a seguir. Nele, a sequência de bits de informação é convertida para os níveis bE± e o

resultado desta conversão multiplica a função-base φ1(t), gerando na saída do multiplicador (mixer) o sinal BPSK.

A figura a seguir ilustra uma possível forma de onda BPSK, gerada a partir da sequência de bits de informação 1 0 1 1 0. Neste exemplo, o bit 0 está sendo representado pela fase 0 da portadora co-senoidal e o bit 1 está sendo representado pela fase π da portadora.

Para detecção coerente temos que ter no receptor a função-base em coerência de fase (ou sincronismo de fase) com a função-base utilizada na transmissão. Tendo como ponto de partida o receptor de máxima verossimilhança genérico, teremos apenas um correlator, pois a modulação BPSK é unidimensional. Numa próxima simplificação do receptor genérico teríamos dois ramos de cálculo de produto interno seguidos pelas subtrações de metade das energias dos símbolos. Entretanto, como s1 = −s2, as saídas destes ramos (x1 e x2) seriam iguais em magnitude e diferentes apenas em polaridade. Portanto, não há necessidade de um destes ramos: basta verificar a polaridade de um deles. Adicionalmente, como xTs1 é uma versão vetorial do cálculo da correlação entre x(t) e s1(t), não



necessitamos também do bloco de cálculo do produto interno, pois em sua saída teremos apenas uma versão escalonada da saída do correlator, dado que φ1(t) é apenas uma versão escalonada de s1(t). Por fim, a subtração de metade de E1 não será necessária, pois não afetará a verificação da polaridade de x1. Então, o demodulador BPSK será composto por apenas um correlator, seguido de um elemento de decisão que verificará a polaridade de x1, conforme ilustrado pela figura a seguir.

Como exercício, revisite o diagrama de blocos do receptor desenvolvido para a sinalização NRZ bipolar e compare com o receptor de um sinal BPSK. Estabeleça as semelhanças e justifique as diferenças. Densidade espectral de potência para a modulação BPSK Vimos na aula passada um exemplo muito similar ao que está apresentado logo a seguir. Inicialmente precisamos lembrar que grande parte dos sinais modulados pode ser representada por meio de:

( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sin 2I c Q cs t s t f t s t f tπ π= − .

Para a modulação BPSK, é claro que não existe a componente ( )( )sin 2Q cs t f tπ e, portanto, o sinal

modulado pode ser escrito como ( )( ) ( )cos 2I cs t s t f tπ= . Comparando esta expressão com os sinais

s1(t) e s2(t) definidos no início deste texto, podemos verificar que sI(t) é uma sequência aleatória de pulsos g(t) retangulares de duração Tb e amplitude dada por:

2( ) b

Ib

Es t

T= ±

Na aula passada também verificamos que a densidade espectral de potência (DEP) de um sinal como este pode ser determinada por meio da divisão do módulo ao quadrado da transformada de Fourier do pulso g(t) por Tb, ou seja:

( )

2

2

2sinc( )

( ) 2 sinc

bb b

bB b b

b

ET fT

TS f E fT

T= =

Então, a DEP do sinal BPSK será:

( ) ( ) 2 21( ) sinc [( ) ] sinc [( ) ]

4 2 2b b

S B c B c c b c b

E ES f S f f S f f f f T f f T= − + + = − + +

Esta DEP está esboçada na figura a seguir.



Eficiência espectral da modulação BPSK Se definirmos que a banda a ser ocupada pelo sinal modulado corresponderá à banda ocupada pelo lobo principal do espectro do sinal, então B = 2/Tb. Assim, a eficiência espectral será:

0,5 bit/s/Hz2 2

b b b

b b

R R R

B T Rρ = = = =

Como exemplo, se quiséssemos transmitir bits de informação a uma taxa de 1.000 bits/s, o sinal modulado (seu lobo principal, neste caso) ocuparia uma banda de 2.000 Hz. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 14 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Modulação QPSK.

Conteúdo Modulação QPSK (Quaternary Phase Shift Keying) e exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração de um sinal QPSK, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano. 2) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor QPSK. 3) analisar o espectro de um sinal QPSK. 4) analisar a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação QPSK, comparando-as com aquelas referentes à modulação BPSK. 5) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais sobre a transmissão em banda-passante e sobre as modulações BPSK e QPSK.

Nesta aula estudaremos em detalhes a modulação digital 4-PSK ou QPSK (Quaternary Phase Shift Keying). Analisaremos o sinal modulado, as funções-base e o espaço de sinais, a probabilidade de erro de símbolo e de bit, os processos de geração do sinal modulado e de demodulação com detecção coerente, a densidade espectral de potência e a eficiência espectral. Sinal modulado QPSK Na modulação QPSK os quatro símbolos de energia E são representados por quatro fases distintas de uma portadora de frequência fc de acordo com a expressão:

( )1,2,3,4

2cos 2 2 1 , 0

( ) 4

0 em caso contrário

ci

i

Ef t i t T

s t T

ππ=

+ − ≤ ≤ =

1

, inteiroc c cf n nT

=

A figura a seguir ilustra um trecho de um sinal QPSK, no qual podem ser notadas as quatro diferentes fases citadas anteriormente. O conjunto de k = log2M = log24 = 2 bits que cada símbolo representa pode ser, em princípio, qualquer e dependerá do mapeamento adotado pelo projetista do sistema. Vale lembrar que o mapeamento Gray em símbolos vizinhos proporcionará a menor probabilidade de erro de bit.

Funções-base para a modulação QPSK Aplicando a identidade trigonométrica cos(α + β) = cosα cosβ – senα senβ na expressão do sinal modulado, no intervalo T tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1,2,3,4

2 2( ) cos 2 1 cos 2 sin 2 1 sin 2

4 4i c ci

E Es t i f t i f t

T T

π ππ π=

= − − −

Rearranjando as posições de alguns termos, tem-se:



( ) ( ) ( ) ( )1,2,3,4

2 2( ) cos 2 1 cos 2 sin 2 1 sin 2

4 4i c ci

s t E i f t E i f tT T

π ππ π=

= − − −

Perceba nesta última expressão que ao rearranjarmos alguns termos fizemos aparecer uma forma de onda co-senoidal e outra senoidal com energias unitárias, as quais, por serem também ortogonais, podem ser caracterizadas como as funções-base da modulação QPSK. Então temos:

( )1

2( ) cos 2 , 0ct f t t T

Tφ π= ≤ ≤ ( )2

2( ) sin 2 , 0ct f t t T

Tφ π= ≤ ≤

Espaço de sinais (constelação) da modulação QPSK As constantes que multiplicam as funções-base a cada intervalo de símbolo são os coeficientes dos correspondentes vetores-sinais, ou seja, se 1 1 2 2( ) ( ) ( )i i is t s t s tφ φ= + , então podemos escrever:

( )( )( )( )

1

1,2,3,4 2

cos 2 1 4

sin 2 1 4

ii

i i

E is

s E i

π

π=

− = = − −

s

De onde obtemos:

21

2

E

E

=

− s 2

2

2

E

E

−=

− s 2

3

2

E

E

−=

s 24

2

E

E

=

s

Se associarmos as coordenadas positivas ao bit 1 e as coordenadas negativas ao bit 0 teremos a constelação dada na figura a seguir. Perceba que o mapeamento “símbolo bit” está utilizando o código Gray em símbolos vizinhos mais próximos.

Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação QPSK Como a constelação QPSK é circularmente simétrica em torno da origem do plano Euclidiano, a probabilidade de erro de símbolo é a mesma para qualquer símbolo. Vamos considerar símbolos equiprováveis e adotar a conhecida aproximação que diz que em altos valores de Eb/N0 a probabilidade de erro para os símbolos vizinhos mais próximos é muito maior que para os demais. Tomando o símbolo s1 como referência no Limitante de União, teremos:



1 1 00 0 03

1 1 2 / 2 1 / 2erfc erfc 2erfc = erfc

2 2 2 22 2

Mik

ek kk i k

d E E EP

NN N N= ≠≠ ≠

≤ ≅ = ∑ ∑

Portanto, para altos valores de Eb/N0 a probabilidade de erro de símbolo média para a modulação QPSK com detecção coerente vale:

0

erfc be

EP

N

≅

Como está sendo utilizado o mapeamento Gray, tem-se que a BER = Pe/log2M, ou seja, a probabilidade de erro de bit para a modulação QPSK será determinada por meio de:

0

1BER erfc

2bE

N

=

Observe que o desempenho da modulação QPSK, em termos de eficiência de potência, é o mesmo da modulação BPSK. Geração e detecção coerente de um sinal QPSK De acordo com a expressão do sinal modulado percebemos que uma sequência antipodal de coeficientes modula uma portadora co-senoidal e outra sequência antipodal modula uma portadora senoidal. A estas sequências de coeficiente podemos dar os nomes a1(t) e a2(t), respectivamente. Como cada símbolo é determinado por 2 bits, podemos dizer que a sequência de coeficientes a1(t) poderá ser construída a partir de uma sequência de bits de informação com índice ímpar e que a sequência de coeficientes a2(t) poderá ser construída a partir de uma sequência de bits de informação com índice par. Portanto, a1(t) e a2(t) correspondem às saídas de um demultiplexador ou conversor série/paralelo (S/P) da sequência de bits de informação. Então, a estrutura completa do modulador QPSK pode ser implementada de acordo com a figura a seguir.

No modulador QPSK em questão, a sequência de bits de informação é convertida para a forma bipolar e em seguida para a forma paralela (ou vice-versa), de tal sorte que cada par de bits (dibit) seja responsável pela geração de um dos símbolos. As formas de onda resultantes a1(t) e a2(t) modulam cada uma das funções-base. O sinal QPSK é gerado pela soma dos sinais modulados em cada um dos ramos do modulador.



A figura a seguir ilustra a composição de um trecho de um sinal QPSK. As duas formas de onda da parte superior são as formas de onda a1(t) e a2(t). Nos cinco intervalos de símbolo mostrados temos os seguintes pares de bit transmitidos: 11, 10, 00, 11 e 01. A forma de onda da parte inferior da figura é o sinal modulado em QPSK, onde pode ser notada a ocorrência de todas as possíveis fases da portadora modulada.

Observando com atenção o modulador QPSK percebemos que há dois moduladores BPSK em paralelo, um utilizando uma portadora co-senoidal e o outro utilizando uma portadora senoidal. Um modulador transmite a sequência de bits ímpares de informação e o outro transmite a sequência de bits pares de informação. Como as portadoras correspondem a sinais ortogonais, a soma realizada na saída do modulador não faz com que os sinais BPSK componentes se interfiram. Sendo assim, podemos intuitivamente construir o demodulador QPSK como sendo composto por dois demoduladores BPSK em paralelo, conforme ilustrado pela figura a seguir.

Um dos demoduladores BPSK estimará a sequência de bits ímpares de informação e o outro estimará a sequência de bits pares de informação. Para termos a sequência de bits final estimada, basta que façamos uma multiplexação ou conversão paralelo/série (P/S) das saídas dos dois demoduladores BPSK componentes. Vale observar que a mesma estrutura de recepção pode ser obtida por simplificação do receptor de máxima verossimilhança genérico.



Densidade espectral de potência de um sinal QPSK Revisitando a primeira forma de representação do sinal modulado QPSK e comparando-a com a representação ( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sin 2I c Q cs t s t f t s t f tπ π= − , podemos notar que a componente em fase

sI(t) e a componente em quadratura sQ(t), ou simplesmente sinais I & Q são:

( )2( ) cos 2 1

4I

E Es t i

T T

π = − = ± e ( )2

( ) sin 2 14Q

E Es t i

T T

π = − = ± ,

ou seja, sI(t) e sQ(t) correspondem a sequências aleatórias binárias com formatos de pulso retangulares de duração T e amplitudes /E T± . Como tais sequências estão sendo transportadas por portadoras ortogonais, a densidade espectral de potência (DEP) resultante será a soma das DEPs de sI(t) e de sQ(t). Então, a DEP do sinal QPSK equivalente em banda-base será:

( )2 2

2/ sinc( ) / sinc( )

( ) ( ) ( ) 4 sinc 2B BI BQ b b

T E T fT T E T fTS f S f S f E fT

T T= + = + =

e a DEP do sinal modulado QPSK será:

( ) ( ) 2 21( ) sinc [2( ) ] sinc [2( ) ]

4S B c B c b c b b c bS f S f f S f f E f f T E f f T= − + + = − + + .

A figura a seguir ilustra a DEP do sinal QPSK. Ela é semelhante à DEP de um sinal BPSK, mas perceba que os nulos espectrais ocorrem em pontos diferentes dos nulos na DEP do sinal BPSK.

Eficiência espectral da modulação QPSK Assim como fizemos na análise da modulação BPSK, se definirmos que a banda a ser ocupada pelo sinal modulado QPSK é a banda do lobo principal do espectro do sinal, então B = 2/T. Assim, a eficiência espectral será:

1 bit/s/Hz2 2 2

b b b b

b b

R R R R

B T T Rρ = = = = =

Como exemplo, se quiséssemos transmitir informação a uma taxa de 1.000 bits/s, ocuparíamos uma banda de 1.000 Hz.



Note que o sinal QPSK ocupa a metade da banda ocupada pelo sinal BPSK, ou seja, a modulação QPSK tem o dobro da eficiência espectral da modulação BPSK. Entretanto, para uma dada relação Eb/N0 a BER da sinalização QPSK é a mesma da sinalização BPSK, ou seja, estas modulações têm a mesma eficiência de potência. Exercícios de fixação ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Explique com suas palavras os conceitos associados às modulações com detecção coerente e às modulações com detecção não-coerente. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Na sua interpretação, qual a dificuldade de obtenção da densidade espectral de potência (DEP) de um sinal modulado? Explique com suas palavras como se faz para transpor esta dificuldade para grande parte das modulações digitais. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Defina com suas palavras os conceitos de componente em fase e de componente em quadratura de um sinal modulado. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – Encontre a DEP de uma sequência aleatória binária de pulsos ±g(t), na qual g(t) tem o formato de um semi-ciclo senoidal de amplitude unitária, como ilustrado a seguir.

Dica: usar 2

( )( )B

g tS f

T

ℑ=

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – Uma determinada modulação possui como sinais I & Q sequências quaternárias aleatórias e independentes de pulsos com amplitudes ±1 e ±3 e duração T, conforme ilustrado pela figura a seguir. Determine a DEP do sinal modulado.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 – Qual das modulações correspondentes às constelações a seguir possui maior eficiência de potência, considerando que a energia média por símbolo em ambos os casos é a mesma? Justifique.



(A) (B)

Solução A constelação A possui maior eficiência de potência, pois levará a uma menor probabilidade de erro de símbolo a uma dada potência de transmissão. Isto acontecerá porque a constelação A tem símbolos mais espaçados em termos de distância Euclidiana. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 – Dado que as circunferências mostradas nas constelações da questão anterior possuem raio unitário e sabendo que a taxa de transmissão em ambos os casos é de 1 kbit/s, calcule as potências médias de transmissão para que ambas tenham a mesma eficiência de potência. Obs: modifique apenas a potência média referente à constelação B. Dados: as probabilidades de erro de símbolo para as correspondentes modulações são:

0

erfc be

EP

N

≅

0

3 erfc sin

8b

e

EP

N

π ≅

Solução Para a mesma eficiência de potência, Pe(A) = Pe(B), ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 0 ( ) ( )

3 3erfc erfc sin sin

8 8

3sin 3sin 0,44

8 8 0,44

b A b B b A b B

b A b B b A b A AB

b B b B

E E E E

N N N N

E E E E PP

N N E E

π π

π π

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ ≅ ⇒ =

Agora precisamos calcular PA, para depois calcularmos PB. Sabemos que a potência média é igual à energia média por símbolo dividida pela duração do símbolo ou a energia média por bit dividida pela duração do bit. Então, PA = E/T = 1/T = Rb/2 = 1.000/2 = 500 watts. Então, PB = 500/0,44 = 1.136 watts. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 – Dois sistemas de comunicação operam em um canal AWGN com densidade espectral de potência de 10−10 W/Hz a uma taxa de 1 kbit/s. O sistema A utiliza modulação BPSK e o sistema B utiliza modulação QPSK. Determine as potências médias de transmissão necessárias para que os sistemas de comunicação A e B operem com probabilidade de erro de bit de 1×10−5.



Solução A probabilidade de erro de bit para ambas as modulações é a mesma, ou seja,

( ) ( )( ) ( )

0 0

1 1erfc erfc

2 2b A b B

b A b B

E EE E

N N

= ⇒ =

.

Então a potência média será a mesma para as duas modulações. Assim teremos:

( ) 510

1erfc 1 10

2 10b AE −

−

= ×

. Da tabela em anexo obtemos:

( ) ( ) 10( )10 10

3 9 9 10 Joules10 10

b A b Ab A

E EE −

− −= ⇒ = ⇒ = × .

Então: P = Eb/Tb = Eb×Rb = 9×10−10 × 1.000 = 9×10−7 watts. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 – A Figura a seguir mostra o gráfico da densidade espectral de potência de um sinal QPSK. Pede-se:

a) Estime a largura de faixa ocupada pelo sinal modulado, após filtragem por um filtro raiz de co-seno elevado com fator de roll-off igual a 1.

b) Calcule a taxa de sinalização (ou taxa de símbolos). c) Calcule a taxa de bits. d) Esboce, nos gráficos vazios dados em seguida, a densidade espectral de potência do sinal

equivalente em banda-base, SB(f), e do sinal filtrado conforme descrito no item “a” desta questão.



Solução a) A largura de faixa na saída de um filtro como este é dada por B = Bmin(1 + α). Em banda-base vimos que a mínima largura de faixa teórica ocupada por um sinal é igual à metade da taxa de símbolos, Bmin = 1/(2T). Em banda-passante esse valor é duplicado, ou seja, Bmin = 1/T. Então teremos B = Bmin(1 + α) = (1/T)(1 + 1) = 2/T. No espectro do sinal QPSK a distância nulo-a-nulo do lóbulo principal vale justamente 2/T. Então, finalmente temos que B = 100 MHz. Solução b) A taxa de símbolos é 1/T = 50 Mega-símbolos/segundo (50 Msps). Solução c) A taxa de bits é o dobro da taxa de símbolos, ou seja, 100 Mbit/s. Solução d) Veja gráficos. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 – Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma banda de 50 kHz, com um filtro de transmissão do tipo raiz de co-seno elevado com roll-off igual a 1. É necessário que o sistema consiga dar vazão a 50 kbit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de bit de, no máximo, 1×10−3. Pede-se:

a) Escolha, dentre as modulações BPSK e QPSK, uma que seja capaz de atender aos requisitos acima mencionados. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha.

b) Para a modulação selecionada, determine o valor de Eb/N0 mínimo para atender à taxa de erro de bit imposta. Apresente os cálculos.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 – Seja um sinal QPSK dado pela expressão a seguir, onde fc = n(1/T), para n inteiro. Determine a) a energia de cada um dos símbolos e b) a energia média por símbolo, admitindo que a sinalização seja equiprovável.



( )1,2,3,4

3cos 2 2 1 , 0

( ) 4


ci

i

f t i t Ts t T

ππ=

+ − ≤ ≤ =

Solução a) Como várias vezes calculamos em sala, o valor que multiplica o 2 no radical é a energia do símbolo. Para o caso a energia para todos os símbolos vale E = 1,5 J. Alternativamente, embora mais trabalhoso, pode-se calcular

( )2 2

0 0

3( ) cos 2 2 1

4

T T

i i cE E s t dt f t i dtT

ππ = = = + − ∫ ∫ , para qualquer i.

Para i = 1, por exemplo, teremos:

2

0 0

0 0

3 3 1 1cos 2 cos 4

4 2 2 2

3 1 3 1 3 3cos 4 0 1,5 J

2 2 2 2

T T

c c

T T

c

E f t dt f t dtT T

Tdt f t dt

T T T T

π ππ π

ππ

= + = + +

= + + = + =

∫ ∫

∫ ∫

b) Sendo equiprováveis os símbolos, a energia média é (4 × 1,5)/4 = 1,5 J. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 – No diagrama abaixo, preencha as caixas de texto com os números correspondentes aos sinais ou vetores: 1 – sinal de entrada do banco de correlatores. 2 – vetor observado, correspondente ao sinal recebido. 3 – vetor-sinal. 4 – símbolo transmitido em forma de bits. 5 – símbolo transmitido em forma de onda. 6 – símbolo estimado. 7 – ruído.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 3 5 1 2 6 7



13 – Encontre o número esperado de erros de bit em 24 horas de observação do funcionamento do seguinte sistema de comunicação com modulação BPSK: taxa de transmissão de 5 kbit/s; s1(t) = Acos(2πfct) e s2(t) = −Acos(2πfct), onde fc = n(1/T), n inteiro; A = 1 mV; o ruído é aditivo Gaussiano e branco com densidade espectral de potência N0 = 10–11 W/Hz. Admita que os valores de potência e/ou energia a serem calculados estão normalizados em relação a uma carga resistiva de 1 Ω. Solução Por definição BER = Nº de bits errados / Nº de bits transmitidos. Queremos calcular Nº de bits errados = BER × Nº de bits transmitidos. Em 24 horas temos 24×3.600 = 86.400 segundos. Como a taxa de bits é de 5 kbit/s, teremos transmitido nestas 24 horas um total de bits de 5.000×86.400 = 432.000.000.

Para a modulação BPSK, Pe = BER = ½erfc( )0/bE N . Da expressão de s1(t) ou s2(t) obtemos:

2 22 2 2 2 10

0 0 0

1 1 (0,001) 1( ) cos (2 ) cos(4 ) 1 10 J

2 2 2 2 5000

b b bT T T

b i c c b

AE s t dt A f t dt A f t dt Tπ π −= = = + = = = ×∫ ∫ ∫

Então, BER = ½erfc( )10 111 10 /1 10− −× × = ½erfc(3,16). De uma tabela encontramos BER ≅ 4,2×10–6.

Então, finalmente teremos: Nº de bits errados = BER × Nº de bits transmitidos = 4,2×10–6 × 432.000.000 ≅ 1.814 bits em erro. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 – Um sistema com modulação BPSK tem em seu receptor um sistema de extração de sincronismo de portadora imperfeito que gera a função-base local com defasagem θ em relação à portadora do sinal

recebido. Dependendo do bit transmitido o sinal recebido é 2 / cos(2 )b b cE T f tπ± , desconsiderando-se

a influência do ruído, e a função-base utilizada no receptor é 2 / cos(2 )b cT f tπ θ+ .

Pede-se: a) Calcule y, o valor da amostra de saída do correlator do receptor no momento de decisão, desconsiderando o ruído. b) Determine a expressão de probabilidade de erro de símbolo e de bit para este sistema, no canal AWGN, levando em conta o resultado obtido no item “a”. Solução a)

[ ]

0 0

0 0 0

2

22 / cos(2 ) 2 / cos(2 ) cos(2 )cos(2 )

2 1 2 1 1cos( ) cos(4 ) cos( ) cos(4 )

2 2 2

2cos( ) 0 cos( ) cos

2

b b

b b b

T T

b b c b c b c cb

T T T

b c b cb b

bb b b

b

y E T f t T f t dt E f t f t dtT

E f t dt E dt f tT T

TE y E E

T

π π θ π π θ

θ π θ θ π θ

θ θ

= ± + = ± +

= ± + + = ± + +

= ± + ⇒ = ± = ±

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) 'bEθ = ±



Solução b) Utilizando o resultado do item “a” na expressão de Pe para BPSK obtém-se a expressão desejada:

2

0 0

1 ' 1 cos ( )BER erfc erfc

2 2b b

e

E EP

N N

θ = = =

.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 – Têm-se dois sistemas de comunicação digital: o sistema A utiliza modulação BPSK com detecção coerente e o sistema B utiliza uma modulação para a qual a probabilidade de erro é

0

1BER exp

2b

e

EP

N

= = −

.

Ambos os sistemas estão operando a 56 kbit/s e com taxa de erro de bit média de 1,1802×10−4 em canal AWGN, sob influência da mesma intensidade de ruído. Quanto de potência média de transmissão a mais está sendo necessário no sistema B em relação ao sistema A? Solução

Para a modulação do sistema A tem-se: 4

0 0

1 1BER erfc 1,1802 10 erfc

2 2b b

e

E EP

N N−

= = ⇒ × =

.

Do anexo obtém-se: ( ) 4

0 0

1erfc 1,1802 10 2,6 2,6 6,76 8,30 dB

2b bE E

x xN N

−= × ⇒ = ⇒ = ⇒ = ≅ .

Para a modulação do sistema B tem-se: 4

0 0

1 1BER exp 1,1802 10 exp

2 2b b

e

E EP

N N−

= = − ⇒ × = − ⇒

4

0 0

2,3604 10 exp 8,35 9,22 dBb bE E

N N−

× = − ⇒ ≅ ≅

.

Como a intensidade de ruído nos dois casos é a mesma, a diferença de potência corresponde à diferença nos valores de Eb/N0, em dB. Então será necessário aproximadamente 1 dB de potência de transmissão a mais no sistema B em relação ao sistema A para se atingir uma BER = 1,1802×10−4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 – Um sistema com modulação BPSK tem em seu receptor um sistema de extração de sincronismo de portadora imperfeito que gera a função-base local com defasagem de 15º em relação à portadora do

sinal recebido. Assim, dependendo do bit transmitido o sinal recebido é 2 / cos(2 )b cT f tπ± ,

desconsiderando-se a influência do ruído, e a função-base utilizada no receptor é

2 / cos(2 0,262)b cT f tπ + . Nestas condições, calcule y, o valor da amostra de saída do correlator do

receptor no momento de decisão.



Solução

[ ]

0 0

0 0 0

22 / cos(2 ) 2 / cos(2 ) cos(2 )cos(2 )

2 1 2 1 1cos( ) cos(4 ) cos( ) cos(4 )

2 2 2

2cos( ) 0 cos( ) cos(0,262) 0,966 V

2

b b

b b b

T T

b c b c c cb

T T T

c cb b

b

b

y T f t T f t dt f t f t dtT

f t dt dt f tT T

Ty

T

π π θ π π θ

θ π θ θ π θ

θ θ

= ± + = ± +

= ± + + = ± + +

= ± + ⇒ = ± = ± = ±

∫ ∫

∫ ∫ ∫

.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17 – Pretende-se transmitir um feixe de dados a 1 Mbit/s utilizando uma modulação QPSK com mapeamento Gray. Pede-se: a) Calcule a largura de faixa necessária no canal, sabendo que o sinal QPSK foi transmitido após

passar por um filtro cuja faixa de passagem corresponde à banda do lobo principal do sinal modulado.

b) Calcule a probabilidade de erro de bit média, sabendo que a potência média do sinal transmitido é de 8 mW, que a densidade espectral de potência do ruído na entrada do receptor é de 10 −9 W/Hz e que o canal de comunicação atenua a potência do sinal em 3 dB.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 – Teça comentários sobre o que se ganha e o que se perde na escolha de uma modulação com detecção não-coerente em detrimento de uma modulação idêntica, porém com detecção coerente. Procure justificar seus comentários. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 – A expressão de cálculo da probabilidade de erro de símbolo para a modulação QPSK, determinada via Limitante de União, é ( ) ( )1

20 0erfc / + erfc 2 /e b bP E N E N≅ , onde foram

considerados os erros para todos os símbolos e não somente para os símbolos vizinhos. Com relação a esta expressão, pede-se: a) demonstre sua validade; b) Demonstre por meio de um exemplo que, para

altos valores de Eb/N0, tal expressão pode ser aproximada para ( )0erfc /e bP E N≅ .

Solução a) Como a constelação é circularmente simétrica em torno da origem, podemos tomar qualquer um dos símbolos como referência. Por simples trigonometria obtemos as distâncias Euclidianas de interesse mostradas ao lado. Então teremos:

1

1 10 0 0 0

1 1 1 2 / 2 2erfc erfc 2erfc erfc ,

2 2 22 2 2 2

Mik k

ek kk i

d d E EP

N N N N= ≠≠

≤ ≅ = + ∑ ∑

que resulta em 0 0

1 2erfc + erfc

2b b

e

E EP

N N

≅

.



Solução b) Em altos valores de Eb/N0 as probabilidades de erro de símbolo e de bit assumem valores pequenos. Vamos então escolher o valor de ½erfc(x) = 2,0348×10–4, o que leva a x = 2,5. Então, se fizermos

0/ 2,5bE N = teremos:

( ) 4 4

0

erfc erfc 2,5 2 2,0348 10 4,0696 10bE

N− −

= = × × = ×

e teremos

( ) ( ) 7

0 0

1 2 1 1 1erfc erfc 2 erfc 2 2,5 erfc 3,535 2,6 10 (da tabela).

2 2 2 2b bE E

N N−

= = × = ≅ ×

Perceba que, de fato, o valor 2.6×10–7 é muito menor que 4.0696×10–4, o que justifica desprezar o segundo termo na expressão de Pe. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



ANEXO – Tabela de valores da função erro-complementar.

x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x)

0.025 0.971796 1.025 0.147179 2.025 4.19E-03 3.025 1.89E-05

0.05 0.943628 1.05 0.137564 2.05 3.74E-03 3.05 1.61E-05

0.075 0.91553 1.075 0.128441 2.075 3.34E-03 3.075 1.37E-05

0.1 0.887537 1.1 0.119795 2.1 2.98E-03 3.1 1.16E-05

0.125 0.859684 1.125 0.111612 2.125 2.65E-03 3.125 9.90E-06

0.15 0.832004 1.15 0.103876 2.15 2.36E-03 3.15 8.40E-06

0.175 0.804531 1.175 0.096573 2.175 2.10E-03 3.175 7.12E-06

0.2 0.777297 1.2 0.089686 2.2 1.86E-03 3.2 6.03E-06

0.225 0.750335 1.225 0.0832 2.225 1.65E-03 3.225 5.09E-06

0.25 0.723674 1.25 0.0771 2.25 1.46E-03 3.25 4.30E-06

0.275 0.697344 1.275 0.071369 2.275 1.29E-03 3.275 3.63E-06

0.3 0.671373 1.3 0.065992 2.3 1.14E-03 3.3 3.06E-06

0.325 0.645789 1.325 0.060953 2.325 1.01E-03 3.325 2.57E-06

0.35 0.620618 1.35 0.056238 2.35 8.89E-04 3.35 2.16E-06

0.375 0.595883 1.375 0.05183 2.375 7.83E-04 3.375 1.82E-06

0.4 0.571608 1.4 0.047715 2.4 6.89E-04 3.4 1.52E-06

0.425 0.547813 1.425 0.043878 2.425 6.05E-04 3.425 1.27E-06

0.45 0.524518 1.45 0.040305 2.45 5.31E-04 3.45 1.07E-06

0.475 0.501742 1.475 0.036982 2.475 4.65E-04 3.475 8.91E-07

0.5 0.4795 1.5 0.033895 2.5 4.07E-04 3.5 7.43E-07

0.525 0.457807 1.525 0.031031 2.525 3.56E-04 3.525 6.19E-07

0.55 0.436677 1.55 0.028377 2.55 3.11E-04 3.55 5.15E-07

0.575 0.416119 1.575 0.025921 2.575 2.71E-04 3.575 4.29E-07

0.6 0.396144 1.6 0.023652 2.6 2.36E-04 3.6 3.56E-07

0.625 0.376759 1.625 0.021556 2.625 2.05E-04 3.625 2.95E-07

0.65 0.357971 1.65 0.019624 2.65 1.78E-04 3.65 2.44E-07

0.675 0.339783 1.675 0.017846 2.675 1.55E-04 3.675 2.02E-07

0.7 0.322199 1.7 0.01621 2.7 1.34E-04 3.7 1.67E-07

0.725 0.305219 1.725 0.014707 2.725 1.16E-04 3.725 1.38E-07

0.75 0.288844 1.75 0.013328 2.75 1.01E-04 3.75 1.14E-07

0.775 0.273072 1.775 0.012065 2.775 8.69E-05 3.775 9.36E-08

0.8 0.257899 1.8 0.010909 2.8 7.50E-05 3.8 7.70E-08

0.825 0.243321 1.825 9.85E-03 2.825 6.47E-05 3.825 6.32E-08

0.85 0.229332 1.85 8.89E-03 2.85 5.57E-05 3.85 5.19E-08

0.875 0.215925 1.875 8.01E-03 2.875 4.79E-05 3.875 4.25E-08

0.9 0.203092 1.9 7.21E-03 2.9 4.11E-05 3.9 3.48E-08

0.925 0.190823 1.925 6.48E-03 2.925 3.53E-05 3.925 2.84E-08

0.95 0.179109 1.95 5.82E-03 2.95 3.02E-05 3.95 2.32E-08

0.975 0.167938 1.975 5.22E-03 2.975 2.58E-05 3.975 1.89E-08

1 0.157299 2 4.68E-03 3 2.21E-05 4 1.54E-08



Aula nº 15 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Modulação MPSK.

Conteúdo Modulações da família M-PSK (M-ary Phase Shift Keying).

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração do sinal M-PSK, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano. 2) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor M-PSK. 3) analisar o espectro de um sinal M-PSK. 4) analisar a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação M-PSK.

Nestas notas de aula apresenta-se a generalização das modulações digitais por chaveamento de fase, ou seja, as modulações da família M-PSK (M-ary Phase Shift Keying). Serão analisados os sinais modulados, as funções-base e os espaços de sinais, as probabilidades de erro de símbolo e de bit, os processos de geração dos sinais modulados e de demodulação com detecção coerente, as densidades espectrais de potência e as eficiências espectrais. Sinal modulado M-PSK O sinal M-PSK consiste de uma sequência de símbolos de energia E, representados por uma portadora de frequência constante fc e fase dependente do símbolo em particular. Os símbolos são dados por:

( )1,2,3, ...,

2cos 2 2 1 , 0

( )


ci

i M

Ef t i t T

s t T M

ππ=

− − ≤ ≤ =

1

, inteiroc c cf n nT

= .

Funções-base para a modulação M-PSK Aplicando a identidade trigonométrica cos(α − β) = cosα cosβ + senα senβ na expressão do sinal modulado, no intervalo T tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1,2,...,

2 2( ) cos 2 1 cos 2 sin 2 1 sin 2i c c

i M

E Es t i f t i f t

T M T M

π ππ π=

= − + − .

Rearranjando alguns termos, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1,2,...,


i M

s t E i f t E i f tM T M T

π ππ π=

= − + −

Perceba nesta última expressão que, assim como fizemos na análise da modulação QPSK, ao rearranjarmos alguns termos fizemos aparecer uma forma de onda co-senoidal e outra senoidal com energias unitárias, as quais, por serem também ortogonais, podem ser caracterizadas como as funções-base da modulação M-PSK. Então, assim como para a modulação QPSK, temos novamente:

( )1

2( ) cos 2 , 0ct f t t T

Tφ π= ≤ ≤ ( )2

2( ) sin 2 , 0ct f t t T

Tφ π= ≤ ≤ .



Espaço de sinais (constelação) da modulação M-PSK As constantes que multiplicam as funções-base a cada intervalo de símbolo são os coeficientes dos correspondentes vetores-sinais. Como 1 1 2 2( ) ( ) ( )i i is t s t s tφ φ= + , então podemos escrever:

( )( )( )( )

1

1,2, ..., 2

cos 2 1

sin 2 1

ii

i M i

E i Ms

s E i M

π

π=

− = = −

s .

A título de exemplo, a figura a seguir ilustra uma constelação 8-PSK na qual o vetor-sinal s2 é destacado no que diz respeito aos valores de seus coeficientes.

Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação M-PSK Para a constelação M-PSK a probabilidade condicional de erro de símbolo Pe(mi) é a mesma para o envio de qualquer símbolo e, portanto, a probabilidade de erro de símbolo média Pe pode ser calculada utilizando-se apenas um símbolo como referência, pois para símbolos equiprováveis Pe = MPe(mi)/M. Vamos admitir o envio do símbolo m1 como símbolo de referência e também admitir que a relação Eb/N0 seja alta o suficiente para que sejam desprezíveis as probabilidades de erro correspondentes à decisão pelos símbolos que não sejam os vizinhos mais próximos do símbolo de referência. Vamos utilizar a constelação M-PSK com 8 símbolos como exemplo, conforme figura a seguir, porém operando genericamente com as variáveis que dependem de M.



Admitindo o envio do símbolo m1 observa-se num dos triângulos retângulos destacados que

( ) 12 18sen / ( / 2) / ( / 2) /M d E d Eπ = = . Então, d12 = d18 = 2 sen( / )E Mπ . Então a probabilidade

de erro de símbolo será limitada de acordo com:

1 0

1erfc

2 2

Mik

ekk i

dP

N=≠

≤

∑ = ( )

0

2 sen /2erfc

2 2

E M

N

π

, o que resulta em eP ≤ ( )0

erfc sen /E

MN

π

.

Para altos valores de Eb/N0 sabemos que o Limitante de União converge para o desempenho real, o que nos leva ao seguinte resultado para a expressão de cálculo da probabilidade de erro de símbolo para as modulações da família M-PSK, para M ≥ 4:

2

0

logerfc senb

e

E MP

N M

π ≅

.

Sabemos que, em função do mapeamento “símbolo bits”, a probabilidade de erro de bit pode se situar entre os limites Pe/log2M ≤ BER < Pe. Se utilizarmos o mapeamento Gray, a probabilidade de erro de bit para as modulações da família M-PSK será BER = Pe/log2M, ou seja,

2

2 0

1 logBER erfc sen

logbE M

M N M

π ≅

.

Apenas a título de complementação, a expressão exata para cálculo da probabilidade de erro de símbolo nas modulações da família M-PSK é:

( )2( 1)

220

0

sin1 logexp

sin

M Mb

e

ME MP d

N

π π θπ θ

− = −

∫ .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Desafio: Responda por que a expressão de cálculo da probabilidade de erro de símbolo para a modulação M-PSK vale somente para M ≥ 4. Dica: faça uma análise comparativa via Limitante de União para BPSK e para M-PSK. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Geração e detecção coerente de um sinal M-PSK Como se trata de uma modulação com M símbolos, cada conjunto de k = log2M bits é responsável por determinar o símbolo a ser transmitido dentro do conjunto si(t). Em outras palavras, de acordo com a expressão expandida do sinal modulado, a cada conjunto de k bits geram-se os coeficientes si1 e si2 que, posteriormente, multiplicam as correspondentes funções-base. Os resultados desta multiplicação são somados para formar o sinal M-PSK. Com base nestes argumentos podemos construir a estrutura mostrada na figura a seguir para o modulador M-PSK. Nela os bits de informação são convertidos para a forma paralela de modo que se tenha o conjunto de k bits simultaneamente apresentado à etapa seguinte. Por meio de um circuito que combina partes analógicas e digitais gera-se uma tabela de consulta (look-up table), a qual permite que cada conjunto de k bits em sua entrada determine os valores corretos dos coeficientes si1 e si2 em sua saída. Em seguida, a partir de uma função-base senoidal é gerada a função-base co-senoidal por meio de um defasador de π/2 radianos. Após multiplicação das funções-base pelos correspondentes coeficientes, os resultados são somados de forma que os símbolos si(t) = si1φ1(t) + si2φ2(t), i = 1, ..., M da modulação M-PSK sejam gerados.

Em termos de recepção de máxima verossimilhança com detecção coerente, em sendo uma sinalização bidimensional, o receptor terá um par de correlatores que efetuam a correlação do sinal recebido com cada uma das funções-base. Os valores de x1 e x2 resultantes compõem o vetor observado x = [x1 x2]

T. Em seguida faz-se o cálculo do produto interno de x por todos os vetores-sinal si, i = 1, ..., M, e decide-se pelo símbolo correspondente ao maior valor deste produto interno. Por exemplo, se o produto interno xTs3 levar ao maior valor, decide-se pelo símbolo m3. Tendo-se decidido pelo símbolo, resta apenas fazer o mapeamento reverso de tal símbolo no conjunto de k bits que ele representa. A figura a seguir ilustra a estrutura descrita. Perceba que no receptor em questão não houve necessidade de subtração de metade da energia de cada símbolo após o cálculo dos produtos internos, como prevê a estrutura do receptor genérico, devido ao fato das energias dos símbolos M-PSK serem iguais.



Densidade espectral de potência de um sinal M-PSK Vamos revisitar a segunda forma de representação do sinal modulado M-PSK e compará-la com a representação estudada na primeira aula sobre transmissão em banda-passante. Elas são:

( ) ( ) ( ) ( )1,2,...,


i M

E Es t i f t i f t

T M T M

π ππ π=

= − + − .

( ) ( )( ) ( )cos 2 ( )sin 2I c Q cs t s t f t s t f tπ π= − .

Podemos notar que a componente em fase sI(t) e a componente em quadratura sQ(t), ou simplesmente sinais I & Q são, num intervalo de símbolo:

( )2cos 2 1

EI i

T M

π = − e ( )2

sin 2 1E

Q iT M

π = − − ,

ou seja, ao longo do tempo ambas correspondem a sequências aleatórias multinível. Como bem sabemos, tais sequências multinível podem ser geradas pela soma de sequências binárias bipolares, com pulsos de duração T e amplitudes que, combinadas adequadamente, geram as múltiplas amplitudes das sequências multinível em questão. Como tais sequências estão sendo transportadas por portadoras ortogonais, a densidade espectral de potência (DEP) resultante será a soma das DEPs de sI(t) e de sQ(t) devidamente deslocadas para ±fc. Então, a DEP do sinal M-PSK equivalente em banda-base será exatamente igual à DEP encontrada na análise do sinal QPSK, ou seja:

[ ]2 2 22 2( ) ( ) ( ) sinc ( ) sinc ( ) 2(log ) sinc (log )B BI BQ b bS f S f S f E fT E fT M E f M T= + = + = ,

e a DEP do sinal modulado em M-PSK será:

( ) ( ) 2 21( ) sinc [( ) ] sinc [( ) ]

4 2 2S B c B c c c

E ES f S f f S f f f f T f f T= − + + = − + + .

A figura a seguir ilustra a DEP do sinal M-PSK.



Observe que todas as modulações da família M-PSK tem DEP com o mesmo aspecto. Entretanto, perceba que quanto maior o valor de M mais estreitos serão os lóbulos do sinal modulado, para uma mesma taxa de bits, pois T = Tblog2M e a largura do lobo principal é 2/T Hz. Eficiência espectral da modulação M-PSK Assim como fizemos na análise das modulações BPSK e QPSK, se definirmos que a banda a ser ocupada pelo sinal modulado M-PSK correspondente à largura do lobo principal do espectro do sinal, então, mais uma vez, B = 2/T. Assim, a eficiência espectral será:

2

2 2

2 2 2 log Hz bit/s/Hz

log log 2b b

b

R R MB

B T T M Mρ ρ= ∴ = = = ⇒ =

Como exemplo, se quiséssemos transmitir informação a uma taxa de 1.000 bits/s usando uma modulação M-PSK, ocuparíamos uma banda B = Rb/ρ = 2Rb/log2M = (2×1.000)/(log2M) Hz. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 16 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Modulação M-QAM.

Conteúdo Modulações da família M-QAM (M-ary Quadrature Amplitude Modulation). O modulador I & Q. Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração do sinal M-QAM com constelações quadradas e não quadradas, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano. 2) explicar o funcionamento dos transmissores e dos receptores M-QAM para constelações quadradas e não quadradas. 3) analisar a densidade espectral de potência, a eficiência de potência e a eficiência espectral de modulações M-QAM. 4) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais da transmissão em banda-passante e as modulações M-PSK e M-QAM.

Neste texto serão abordadas as modulações da família M-QAM (M-ary Quadrature Amplitude Modulation), um caso especial das modulações que combinam chaveamento de amplitude com chaveamento de fase (APK – Amplitude and Phase Keying). Analisaremos os sinais modulados, as funções-base e os espaços de sinais, as probabilidades de erro de símbolo e de bit, os processos de geração dos sinais modulados e de demodulação com detecção coerente, as densidades espectrais de potência e as eficiências espectrais destas modulações. Ao final da aula estudaremos o dispositivo modulador I&Q e faremos alguns exercícios de fixação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Modulações da família M-QAM As modulações da família M-QAM podem ser agrupadas em duas categorias: aquelas com constelação quadrada e aquelas com constelação não-quadrada. Em ambos os casos os termos “quadrada” e “não-quadrada” estão associados à geometria das constelações, como veremos adiante. Modulação M-QAM com constelação quadrada Nas constelações M-QAM quadradas o número de bits por símbolo é sempre par. Uma constelação M-QAM quadrada pode ser formada pelo Produto Cartesiano entre duas constelações componentes L-PAM, onde L2 = M. O produto cartesiano é um produto direto entre conjuntos. Especificamente, o produto cartesiano entre o conjunto X dos pontos em um eixo x e o conjunto Y dos pontos de um eixo y, denotado por X×Y, é o conjunto de todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a X e o segundo elemento pertence a Y. Matematicamente temos:

( , ) | and X Y x y x X y Y× = ∈ ∈ Percebe-se que o número de pares ordenados no conjunto X×Y é igual ao produto entre o número de elementos em X e o número de elementos em Y. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Vamos construir uma constelação para a modulação 16-QAM. Perceba que k = log2M = log216 = 4, ou seja, o número de bits por símbolo é par. De acordo com o exposto, se L2 = M teremos constelações componentes 4-PAM. A figura a seguir mostra uma destas constelações 4-PAM, onde d é



a distância Euclidiana entre os símbolos vizinhos e E0 é a menor energia de símbolo da constelação L-PAM.

O produto cartesiano entre duas constelações L-PAM nada mais é do que um conjunto de pares de coordenadas formadas por todos os pares ordenados obtidos a partir das coordenadas destas constelações. Neste exemplo, considerando como coordenadas apenas as constantes multiplicadoras do valor d/2 em cada símbolo 4-PAM, teremos as seguintes combinações:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3, 3 1, 3 1, 3 3, 3

3, 1 1, 1 1, 1 3, 1,

3, 1 1, 1 1, 1 3, 1

3, 3 1, 3 1, 3 3, 3

i ia b

− − − − = − − − − − −

− − − − − −

Utilizando estas coordenadas num espaço bidimensional obtemos a constelação 16-QAM desejada, a qual é mostrada na figura a seguir. Veja que o valor de E0 definido anteriormente também pode ser interpretado como o quadrado da projeção do símbolo de menor energia da constelação M-QAM resultante em um dos eixos.

Como vimos em aulas passadas, uma forma de garantir o mapeamento Gray em uma constelação quadrada como a mostrada acima consiste em fazer um Mapa de Karnaugh com L linhas e L colunas, pois temos M = L2 símbolos. Depois basta transferir diretamente os bits do mapa para os símbolos da constelação. O mapa e a figura a seguir ilustram a aplicação desta regra para a modulação 16-QAM:

Mapa de Karnaugh

00 01 11 10 00 0000 0001 0011 0010 01 0100 0101 0111 0110 11 1100 1101 1111 1110 10 1000 1001 1011 1010

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Modulação M-QAM com constelação não-quadrada A constelação M-QAM não-quadrada surge quando o número de bits por símbolo é impar. Uma constelação não-quadrada não pode ser formada pelo produto cartesiano das coordenadas de duas constelações unidimensionais PAM. Adicionalmente, não é possível garantir mapeamento Gray completo (para todos os símbolos vizinhos mais próximos) numa constelação M-QAM não-quadrada. Existem inúmeras maneiras de se arranjar os símbolos de uma constelação M-QAM não-quadrada. Uma delas é ilustrada pela figura a seguir, onde, inicialmente, 2k–1 símbolos são distribuídos numa forma geométrica quadrada. Em seguida, blocos de 2k–3 símbolos são dispostos acima, abaixo e aos lados da geometria quadrada anteriormente obtida. A constelação resultante é conhecida como constelação cruzada (cross constelation), por razões óbvias.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Vamos construir uma constelação para a modulação 32-QAM. Como M = 32, temos k = 5 bits por símbolo. Utilizando a regra descrita anteriormente, obteremos como resultado a constelação da figura a seguir.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sinal modulado e funções-base para a modulação M-QAM O sinal modulado M-QAM pode ser matematicamente representado da seguinte maneira:

( ) ( )0 0

1,2,3, ...,

02 2( ) cos 2 sen 2 ,

, 1, 3,..., ( 1),i i c i ci M i i

t TE Es t a f t b f t

a b LT Tπ π

=

≤ ≤= − = ± ± ± −



onde ai , bi, após multiplicação por d/2 = 0E , formam as coordenadas dos vetores-sinal.

Devido ao fato dos valores de ai , bi variarem em amplitude, podemos interpretar o sinal modulado como a composição de sinais modulados em amplitude, operando com portadoras em quadratura. Isto de certa forma justifica o nome dado à modulação QAM, ou seja, modulação por amplitude em quadratura (Quadrature Amplitude Modulation). Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação M-QAM com constelação quadrada O cálculo da probabilidade de erro de símbolo para uma modulação M-QAM para qualquer valor de M é uma tarefa bastante complexa, mesmo utilizando o Limitante de União. Além disto, mesmo que consigamos encontrar expressões para cada um dos valores de M, dificilmente encontraremos uma única forma genérica de representação de todas as expressões encontradas. Por esta razão apresentaremos aqui uma das possíveis expressões de cálculo de Pe, determinada com uso do Limitante de União nas constelações L-PAM componentes de constelações quadradas. Em seguida apresentaremos uma expressão para constelações não-quadradas. Para a modulação M-QAM com constelação quadrada tem-se que:

( ) ( )2

0 0

1 3 1 3log2 1 erfc 2 1 erfc

2 1 2 1b

e

E M EP

M N M NM M

≅ − = − − − ,

onde a energia média por símbolo pode ser calculada de forma aproximada por meio de:

02( 1)

3

M EE

−≅ .

Perceba que se M = 4 tem-se a expressão de cálculo da Pe para a modulação QPSK, que é um caso especial da modulação M-QAM quadrada. A probabilidade de erro de bit dependerá do mapeamento símbolo bit. Se utilizarmos o mapeamento Gray, para altos valores de Eb/N0 teremos a aproximação: BER ≅ Pe/log2M. Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação M-QAM com constelação não quadrada Pelas mesmas razões citadas no caso da modulação M-QAM com constelação quadrada, para constelações não-quadradas cruzadas vamos apenas fornecer uma expressão de cálculo de Pe, sem demonstração. Para altos valores de Eb/N0 a probabilidade de erro de símbolo é dada por:

2

0

0

0

1112 1 erf

96log

62c 2 erfc .

22 64b

e

EP

N M

M E

M NM

−≅ − = −

Nesta expressão fez-se uso da relação exata entre E e E0 para constelações cruzadas:

031 21

32 3

EE M = −

.



Devido ao fato de não conseguirmos gerar o mapeamento Gray completo em uma constelação M-QAM não-quadrada, a probabilidade de erro de bit será sempre maior que Pe/log2M, mesmo para altos valores de Eb/N0. Obviamente, quanto mais diferente do mapeamento Gray fizermos o mapeamento de uma constelação M-QAM não-quadrada, mais distante de Pe/log2M será a BER. Geração e detecção coerente de um sinal M-QAM com constelação quadrada Observando a expressão do sinal modulado e o fato de que para constelações quadradas temos sempre um número par de bits por símbolo, podemos implementar um modulador M-QAM somando dois sinais L-PAM em quadratura, cada um transportando metade do número de bits por símbolo. A figura a seguir ilustra a estrutura do modulador M-QAM genérico, para constelações quadradas.

Para um sinal M-QAM com constelação quadrada devemos realizar a demodulação e a decisão de dois sinais L-PAM em quadratura. A figura a seguir ilustra esta implementação. Perceba que na saída de cada elemento de decisão L-PAM temos a decisão por (log2M)/2 = log2L bits. Após a conversão para a forma serial teremos a estimativa dos bits de informação transmitidos. Para a decisão pelos dois conjuntos de log2L bits, os valores de x1 e x2 são comparados com L – 1 limiares de decisão.

Geração e detecção coerente de um sinal M-QAM com constelação quadrada ou não quadrada Como vimos anteriormente, para constelações não-quadradas não há como gerar o sinal M-QAM somando dois sinais L-PAM, pois o número de bits por símbolo é ímpar e, desta forma, para implementar o modulador não podemos dividir a saída do conversor S/P em dois ramos de (log2M)/2 bits. Portanto, o que resta fazer é gerar os coeficientes dos vetores-sinal diretamente por meio de uma



look-up table, a partir do conjunto de log2M bits de saída do conversor S/P, assim como fizemos na geração dos símbolos da modulação M-PSK. A figura a seguir ilustra esta implementação.

De fato, a estrutura mostrada anteriormente se presta à geração de sinais M-QAM com qualquer tipo de constelação. Mais que isto, implementando adequadamente a look-up table, com essa estrutura podemos gerar qualquer modulação digital bidimensional. Em termos de recepção de um sinal M-QAM com constelação não-quadrada, também não é possível implementar o demodulador combinando dois demoduladores L-PAM. Sendo assim, nos resta realizar uma estrutura similar àquela que foi utilizada para a demodulação de um sinal M-PSK. A figura a seguir ilustra o receptor resultante, no qual podemos perceber que a única diferença com relação ao receptor M-PSK reside na necessidade de subtração de metade da energia de cada símbolo no processo de decisão, pois para a modulação M-QAM as energias dos símbolos são distintas. Obviamente, os vetores-sinal operados em cada processo de decisão são diferentes de uma modulação para a outra.

Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação M-QAM Tanto a densidade espectral de potência quanto a eficiência espectral das modulações da família M-QAM são idênticas àquelas determinadas para as modulações da família M-PSK. Como desafio, procure justificar matematicamente esta afirmação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- O modulador I &Q Pudemos observar que, em todas as estruturas de modulação bidimensional estudadas até aqui, temos os blocos mostrados na figura a seguir. Tais blocos compõem o que é chamado de modulador I&Q. Trata-se de um dispositivo muito utilizado na implementação de sistemas de comunicação digital, pois



com o mesmo podemos realizar qualquer das modulações da família M-PSK e M-QAM ou qualquer outra modulação bidimensional que utilize portadoras em quadratura (co-seno e seno). Basta implementar em sua entrada um circuito do tipo look-up table que, a partir de cada grupo de log2M bits, gere os coeficientes adequados em função da posição geométrica de cada símbolo desejado.

Podemos adquirir com certa facilidade o componente “modulador I&Q” em lojas especializadas ou de fabricantes de componentes para telecomunicações. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Comparação entre M-PSK e M-QAM A figura a seguir apresenta curvas de probabilidade de erro de símbolo para várias modulações M-PSK e M-QAM. Note que para M ≥ 8 a modulação M-QAM tem menor Pe que a modulação M-PSK. Entretanto, para M = 8 utiliza-se mais na prática a modulação 8-PSK em vez de 8-QAM, já que a diferença de desempenho não é tão grande e a modulação 8-PSK tem a vantagem de ter símbolos com mesma energia, facilitando o projeto do receptor. No caso das modulações QAM, as diferenças nas energias dos símbolos demanda o uso de circuitos especiais para que as compensações de energia do receptor sejam implementadas.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – Esboce a densidade espectral de potência dos sinais modulados em BPSK, QPSK e 8-PSK, admitindo que a energia média por símbolo seja unitária e que a taxa de transmissão seja de 1.000 bit/s em todas elas.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Criar uma constelação 4-QAM e uma constelação 8-QAM utilizando as regras ilustradas no texto. Comentar sobre a constelação 4-QAM em comparação com uma constelação QPSK. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Porque, na justificativa para cálculo da BER para a modulação M-QAM quadrada, foi dito que apenas para altos valores de Eb/N0 a BER é dada por Pe/log2M ? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – Verifique se um demodulador M-QAM para constelação não-quadrada pode ser utilizado para demodular um sinal M-PSK. Verifique se o contrário pode ser feito, ou seja, se um demodulador M-PSK pode ser utilizado para demodular um sinal M-QAM. Justifique. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – Como podemos utilizar um modulador I&Q para gerar um sinal BPSK? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 – Determine os possíveis valores de I e Q para que um sinal QPSK com símbolos de energia unitária e taxa de 1.000 bit/s possa ser gerado com o uso de um modulador I&Q. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 – Dada a constelação da figura ao lado, correspondente a uma modulação 16-QAM com símbolos equiprováveis, pede-se: a) Calcule a energia média da constelação. b) Calcule a probabilidade de erro de símbolo média em

função da densidade espectral de potência de ruído. c) Estime a probabilidade de erro de bit média em função

da probabilidade de erro de símbolo média, supondo que o mapeamento Gray estivesse sendo seguido.

d) Responda se a probabilidade de erro de bit média real será aproximadamente igual, menor ou maior em comparação com aquela estimada no item “c” deste exercício. Justifique sua reposta.

Solução a) A energia média da constelação 16-QAM pode ser determinada a partir das duas constelações 4-PAM componentes, sabendo que, para o caso em questão, E0 = 1, de acordo com:

02( 1)

3

M EE

−= . Então se tem: 2(16 1)1

103

E−= = Joules.



b) A probabilidade de erro de símbolo média é dada por: ( ) 0

1 32 1 erfc

2 1e

EP

M NM

≅ − − .

Então ( ) 0 0

1 3 10 3 12 1 erfc erfc

2 16 1 216eP

N N

× ≅ − = −

c) Se o mapeamento utilizado na constelação fosse do tipo Gray, a BER poderia ser estimada por:

2

BERlog

eP

M= , o que levaria a

2 0

3 1BER erfc

log 4 8e eP P

M N

= = ≅

.

d) A probabilidade de erro de bit média será MAIOR que aquela dada no item anterior, posto que o mapeamento Gray entre símbolos vizinhos mais próximos não está sendo garantido em toda a constelação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 – Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma banda de, no máximo, 25 kHz. É necessário que o sistema consiga dar vazão a 50 kbit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de bit de, no máximo, 1×10−3, consumindo a menor potência média possível da fonte de alimentação. Pede-se: a) Escolha uma modulação capaz de atender aos requisitos mencionados. Apresente os cálculos ou justificativas utilizadas na sua escolha. b) Para a modulação selecionada, determine o valor de Eb/N0 mínimo que atenda à taxa de erro de bit imposta. Solução a) Definindo-se que a banda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nulo-

a-nulo no espectro do sinal modulado (lobo principal), tem-se que 2/T ≤ 25 kHz, o que leva a T ≥ 80 µs. Se a taxa de bits é de 50 kbit/s, a duração de um bit vale Tb = 1/50.000 = 20 µs. Então o número de bits por símbolo deverá ser T/Tb ≥ 4 bit/símbolo. Portanto, usando uma modulação com 4 bits por símbolo atende-se aos requisitos de banda e taxa de transmissão. Dentre as modulações estudadas pode-se escolher a 16-QAM, que proporcionará também o desempenho adequado com menor consumo de potência se comparada à modulação 16-PSK.

b) Usando a expressão de probabilidade de erro de símbolo da modulação M-QAM para M = 16 e

admitindo mapeamento Gray, tem-se:

2

BERlog

eP

M= , onde ( ) 0

1 32 1 erfc

2 1e

EP

M NM

≅ − − . Então, 3

2

1 10log 16

eP−× = ,

34 10eP −⇒ = × . Levando este valor à expressão de Pe e extraindo o valor da energia média da

constelação (energia média por símbolo) E, tem-se: 3

0

8 10erfc

3 10

E

N

− × ≅

, que pode ser escrita

de forma alternativa como: 3

0

8 101 0.9973 erf

3 10

E

N

− ×− = ≅

. Usando cálculo numérico ou uma

tabela da função erf(x) ou erf(x), tem-se u = 2,12. Então 0

2,1210

E

N= , donde se extrai

0

45E

N≅ .

Então, o valor de Eb/N0 mínimo poderá ser calculado por 0 0 2

4511,25

log 4bE E

N N M= = = ≅ 10,5 dB.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 – Uma solução desta questão está apresentada logo abaixo. Pede-se marcar no local adequado se cada solução está correta ou parcialmente correta. No caso de estar parcialmente correta, assinale a(s) parte(s) incorreta(s) e apresente a solução correta. A figura ao lado mostra o espectro de frequências de um sinal QPSK. Pede-se: a) A largura de faixa ocupada pelo sinal modulado. b) A mínima largura de faixa que teoricamente poderia ser ocupada pelo sinal modulado e idealmente filtrado. c) A taxa de sinalização (taxa de símbolos). d) A taxa de bits. Solução a) A largura de faixa ocupada pelo sinal modulado é infinita. b) Numa transmissão em banda-base, a mínima largura de faixa teórica é de metade da taxa de símbolos. Na transmissão em banda-passante, a largura de faixa mínima corresponde ao dobro desse valor, ou seja, 50 MHz (de 225 a 275 MHz). c) O primeiro nulo à direita no lobo principal corresponde a fc + 1/T. Então a taxa de sinalização R = 1/T = 50 Msps. d) Cada símbolo QPSK carrega 2 bits. Então, a Rb = 2R = 100 Mbit/s. a) CORRETA ( ). PARCIALMENTE CORRETA ( x ). b) CORRETA ( x ). PARCIALMENTE CORRETA ( ). c) CORRETA ( ). PARCIALMENTE CORRETA ( x ). d) CORRETA ( ). PARCIALMENTE CORRETA ( x ). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 – Para a mesma energia média por símbolo, a partir de que valor de M a modulação M-QAM com constelação quadrada suplanta a modulação M-PSK em termos de taxa de erro de bit? Lembre-se que M é uma potência inteira de 2. Pede-se que os cálculos realizados sejam apresentados. Dica: arbitre valores para M e para Eb/N0, calcule e compare os valores de BER. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 – Suponha que a figura do exercício anterior represente o espectro, idêntico, de três sinais modulados M-PSK, correspondentes a três sistemas de comunicação digital. Tomando como convenção que a banda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nulo-a-nulo do lobo principal do espectro do sinal, pede-se: a) Os valores de M, se as taxas de bit dos sistemas são, respectivamente, 50 Mbit/s, 100 Mbit/s e 200 Mbit/s. b) A taxa de sinalização das modulações. c) A eficiência espectral das modulações. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 17 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Modulação M-FSK.

Conteúdo Modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying). Modulações da família M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying).

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração de um sinal BFSK e, genericamente, dos sinais M-FSK. 2) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor M-FSK. 3) analisar o espectro, a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação M-FSK. 4) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais da transmissão em banda-passante e as modulações M-PSK, M-QAM e M-FSK.

Nesta aula estudaremos as modulações da família M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying) com detecção coerente. Analisaremos os sinais modulados, as funções-base e os espaços de sinais, as probabilidades de erro de símbolo e de bit, os processos de geração dos sinais modulados e de demodulação com detecção coerente, as densidades espectrais de potência e as eficiências espectrais das modulações desta família. Iniciaremos o estudo com a modulação 2-FSK, ou simplesmente BFSK. Modulação BFSK Na modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying) ou 2-FSK cada um dos bits de informação é representado por um tom. Em outras palavras, o bit 0 é transportado por uma portadora de magnitude constante e frequência f1 e o bit 1 é transportado por uma portadora de magnitude constante e frequência f2. A separação entre tais tons é tal que garanta que os símbolos s1(t) e s2(t) sejam ortogonais entre si. Como vimos no início dos estudos sobre a transmissão em banda passante, esta modulação pode ser vista como a versão digital da modulação FM (Frequency Modulation). Sinal modulado e funções-base para a modulação BFSK O sinal modulado BFSK é uma sucessão de símbolos si(t) correspondentes a tons de frequência fi, esta determinada pelo bit de informação que se deseja transmitir, ou seja:

( )1,2

2cos 2 , 0

( )


bi b

i bi

Ef t t T

s t Tπ

=

≤ ≤=

Dependendo da escolha do par de tons pode-se ou não garantir que os símbolos sejam ortogonais. Adicionalmente, se as frequências destes tons não forem escolhidas adequadamente, quando se comuta de um bit de informação para outro se pode ter, além da desejada mudança de frequência, uma indesejada mudança abrupta de fase. Estas mudanças abruptas de fase fazem com que o espectro de um sinal FSK tenha maiores intensidades nas suas componentes de frequência elevada, diminuindo a concentração da potência do sinal na banda de maior interesse, que normalmente é a banda do lobo principal. Portanto, é desejável que se garanta continuidade de fase da portadora modulada quando da mudança de um símbolo para o próximo.



As figuras a seguir ilustram as situações de continuidade de fase e de mudança abrupta ou descontinuidade de fase em um sinal BFSK. Nas partes superiores destas figuras são mostrados trechos da sequência de bits de informação e nas partes inferiores das figuras estão os sinais BFSK.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Desafio: Implementar uma simulação no VisSim/Comm que lhe permita verificar a influência da não continuidade de fase de uma modulação BFSK na sua densidade espectral de potência. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para que se mantenha a ortogonalidade entre os símbolos e ao mesmo tempo se garanta a continuidade de fase, a frequência dos tons deve ser escolhida de acordo com:

, inteiro, 1, 2ci c

b

n if n i

T

+= =

Neste caso tem-se uma modulação BFSK que faz parte de uma família de modulações com continuidade de fase denominada CPM (Continuous Phase Modulation), adquirindo em algumas referências bibliográficas o nome de CPFSK (Continuous Phase Frequency Shift Keying). Vamos agora determinar as funções-base para a modulação BFSK, tarefa bastante simples dado que sabemos que se trata de uma sinalização com símbolos ortogonais. Desta forma, as funções-base serão as próprias formas de onda dos símbolos, normalizadas para que passem a ter energia unitária. Então, as funções-base ortonormais para a modulação BFSK são:

( )1,2

2( ) cos 2i i

i b

t f tT

φ π=

=

Espaço de sinais para a modulação BFSK Por se tratar de uma modulação bidimensional, ortogonal e binária, sua constelação contém dois símbolos, cada um localizado sobre um dos eixos φ1 e φ2. A figura a seguir ilustra a constelação da modulação BFSK. Nesta figura ainda são mostradas as regiões de decisão, a distância Euclidiana entre os símbolos e as formas de onda s1(t) e s2(t). Perceba que, por possuir um número inteiro de ciclos no intervalo de símbolo, os tons de frequência f1 e f2 sempre iniciarão e terminarão na mesma amplitude, fazendo com que se mantenha a continuidade de fase do sinal modulado quando da mudança de um símbolo para o próximo.



Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação BFSK A probabilidade de erro de símbolo de bit para a modulação BFSK com símbolos equiprováveis pode ser facilmente obtida por meio do Limitante de União ou fazendo-se uso das propriedades de invariância da probabilidade de erro de símbolo com a rotação e com a translação da constelação. A seguir vamos realizar os cálculos pelos dois caminhos. Como a probabilidade de erro de símbolo condicionada ao envio de cada símbolo, Pe(mi), é a mesma para qualquer símbolo, podemos tomar qualquer um dos dois símbolos como referência na expressão do Limitante de União. Assim, como a Pe obtida via limitante converge para a Pe real para altos valores de Eb/N0, teremos:

( )1 1 1 10 0 0

21 1 1 1 1erfc erfc erfc

2 2 22 2 2

M M M Mbik ik

e e ii i k k

k i k i

Ed dP P m

M M N N N= = = =≠ ≠

= = =

∑ ∑ ∑ ∑≃ ,

o que leva a

0

1BER erfc

2 2b

e

EP

N

= =

Realizando simultaneamente uma rotação e uma translação nos símbolos da modulação BFSK podemos colocá-los de forma simetricamente disposta em um único eixo, conforme ilustra a figura a seguir. Desta forma passamos a ter uma constelação equivalente a uma sinalização antipodal para a qual podemos utilizar a expressão já conhecida para cálculo da Pe:

0 0 0

1 ' 1 2 / 4 1BER erfc erfc erfc

2 2 2 2b b b

e

E E EP

N N N

= = = =



Vamos agora comparar a probabilidade de erro de símbolo Pe e a distância Euclidiana entre os símbolos para a modulação BFSK com a Pe e a distância Euclidiana entre os símbolos para a modulação BPSK. Perceba que a distância Euclidiana, para uma mesma energia média por símbolo, é menor para a modulação BFSK, o que justifica seu desempenho inferior à modulação BPSK. Em números, para que a modulação BFSK atinja a mesma probabilidade de erro de símbolo ou de bit produzida pela modulação BPSK, para a mesma densidade espectral de potência de ruído, ela terá que operar com o dobro de potência média em relação ao BPSK, ou seja, 3 dB a mais. Geração e detecção coerente de um sinal BFSK A figura a seguir ilustra o diagrama de blocos de um modulador BFSK. Desde que a regra para determinação das frequências dos tons seja obedecida, tal modulador tem como tarefa simplesmente selecionar (chavear) um dentre os dois tons co-senoidais para transmissão, dependendo do bit de informação. Para o diagrama em questão, quando o bit de informação for 1 o tom de frequência f1 será transmitido. Quando o bit de informação for 0 será selecionado o tom de frequência f2 para transmissão.

Para o modulador em questão, em vez de dois osciladores pode-se utilizar um VCO (Voltage-Controlled Oscillator) alimentado com um sinal bipolar. Tal VCO terá frequência de oscilação livre igual a fc. Para uma separação de 1/Tb entre os tons, quando for aplicado um sinal positivo (bit 1) à sua entrada, a frequência de oscilação irá para fc + 1/(2Tb); quando for aplicado um sinal negativo (bit 0), a frequência de oscilação irá para fc − 1/(2Tb), ou vice-versa. No que diz respeito à demodulação coerente do sinal BFSK através de simplificação no receptor genérico, na parte de detecção teremos 2 correlatores já que, por se tratar de uma sinalização com símbolos ortogonais, N = M = 2. Com relação ao decodificador podemos tecer os seguintes comentários: teríamos 2 ramos, mas nestes ramos estaríamos fazendo a correlação, no domínio vetorial, entre o vetor observado e os dois vetores-sinais, ou seja, xTs1 e xTs2. Estas operações produzem resultados proporcionais à correlação temporal entre o sinal recebido e as formas de onda φ1(t) e φ2(t), pois estas funções-base nada mais são do que versões normalizadas das formas de onda s1(t) e s2(t). Portanto, as operações de produto interno não serão necessárias. Adicionalmente, como as energias dos dois símbolos são iguais, não se fazem necessárias as subtrações de metade destas energias. A verificação do maior valor de correlação pode ser realizada subtraindo-se x1 de x2 e comparando-se o resultado com zero. Como resultado teremos o receptor para a modulação BFSK com detecção coerente ilustrado na figura a seguir.



Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação BFSK O sinal modulador BFSK, para uma separação entre os tons de 1/Tb, pode ser escrito de forma alternativa como:

( )1,2

2 2( ) cos 2 ( ) cos 2b b

i i ci b b b

E E ts t f t s t f t

T T T

ππ π=

= ⇒ = ±

,

onde o sinal “+” corresponde ao símbolo s2(t) e o sinal “–”corresponde ao símbolo s1(t), ou vice-versa, e a portadora co-senoidal terá frequência fc com valor intermediário ao valores de f1 e f2. Aplicando a identidade trigonométrica cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sen(a)sen(b) à expressão anterior, teremos:

Na expressão anterior, a parcela marcada da esquerda será sempre a mesma, independente do bit que se desejar transmitir. Esta parcela corresponde a um tom de frequência 1/(2Tb) Hz. Já a parcela marcada da direita é correspondente a um semi-ciclo de um tom senoidal de frequência 1/(2Tb) Hz, que terá sua polaridade dependente do bit a ser transmitido. Podemos interpretar esta parcela como uma sequência binária bipolar de pulsos ±g(t), onde g(t) tem o formato ilustrado na figura a seguir, considerando amplitude unitária por simplicidade.

2 sen , 0

( )


bb

b b

E tt T

g t T T

π ≤ ≤ =

Então a densidade espectral de potência (DEP) do sinal BFSK, em banda-base, é a DEP de um tom co-senoidal de frequência 1/(2Tb) Hz e amplitude (2Eb/Tb)

1/2, somada à DEP de uma sequência binária aleatória dos pulsos ±g(t), o que leva a:



( )( )

2

22 2 2

8 cos1 1( )

2 2 2 4 1

b bbB

b b b b

E fTES f f f

T T T T f

πδ δ

π

= − + + +

− .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício: Mostre em detalhes a obtenção da DEP SB(f) anterior. Para isto utilize os conceitos sobre DEP estudados na primeira aula sobre transmissão em banda-passante. OBS: A parcela referente à sequência de pulsos ±g(t) poderá ter formas diferentes daquela mostrada na expressão anterior. Para verificar se sua dedução está correta, sugere-se que a DEP por você obtida seja plotada sobre a DEP dada anteriormente, utilizando uma ferramenta computacional como o Matlab ou o Mathcad. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A figura a seguir mostra um esboço da DEP do sinal BFSK em banda-base. Vale lembrar que esboços com este aspecto se referem ao que provavelmente veríamos em um analisador de espectro (para f ≥ 0) ou via algum software de simulação. A DEP teórica do sinal modulado é uma função mais “bem comportada” e dada diretamente pela expressão teórica correspondente. Consulte a primeira nota de aula sobre transmissão em banda-passante para revisitar este conceito.

Para obtenção da DEP do sinal BFSK em banda-passante, basta operar com SB(f) na expressão:

( ) ( )1( )

4S B c B cS f S f f S f f= − + + .

A título de complementação, se fizermos a separação entre os tons igual a 1/(2Tb) Hz, que é a mínima separação que ainda garantirá ortogonalidade entre os símbolos da modulação BFSK (veja ANEXO), teremos um espectro ainda mais compacto, conforme ilustra a figura a seguir. Perceba que neste caso não aparecem mais as raias espectrais que apareciam quando a separação entre os tons era de 1/Tb Hz.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Desafio: Faça uma pesquisa procurando explicar porque as raias espectrais que apareciam na DEP da modulação BFSK, quando a separação entre os tons era de 1/Tb Hz, não aparecem quando a separação entre os tons passa a ser de 1/(2Tb) Hz. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Generalizações para as demais modulações da família M-FSK A sinalização FSK pode ser generalizada de forma que M símbolos possam ser gerados a partir M tons ortogonais no intervalo de sinalização de T segundos. Neste caso temos a modulação M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying). Assim como na modulação BFSK, para que a ortogonalidade entre os símbolos seja mantida, as frequências dos tons devem estar separadas de um múltiplo inteiro de metade da taxa de símbolos, conforme análise apresentada no ANEXO destas notas de aula. Vejamos os detalhes específicos da generalização das modulações da família M-FSK nos itens a seguir. Sinal modulado e funções-base para a modulação M-FSK Para separação de 1/(2T) Hz entre os tons, um sinal M-FSK pode ser escrito da seguinte forma:

( )1,2,3, ...,

2( ) cosi c

i M

Es t n i t

T T

π=

= + .

Para garantir ortogonalidade e ao mesmo tempo fazer com que as transições entre símbolos adjacentes não provoquem descontinuidade de fase, as frequências dos tons devem ser escolhidas de acordo com:

, inteiro2c

i c

n if n

T

+= .

Assim como na modulação BFSK, nas outras modulações da família M-FSK tem-se símbolos ortogonais, ou seja:

T

0( ) ( ) 0,

T

i j i js t s t dt i j= = ≠∫s s .

As funções-base podem ser determinadas por simples normalização das formas de onda dos símbolos de tal forma que passem a ter energia unitária, ou seja:

1,2,3, ...,

1( ) ( )i i

i M

t s tE

φ=

=

Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação M-FSK Na modulação M-FSK com símbolos equiprováveis, além da probabilidade de erro condicionada ao envio de cada símbolo, Pe(mi), ser a mesma para qualquer símbolo, as distâncias Euclidianas entre um

dado símbolo e os demais é a mesma e igual a 2E . Adicionalmente sabendo que a Pe obtida via limitante converge para a Pe real para altos valores de Eb/N0, teremos:



( )1 1 1 10 0 0

1 1 1 ( 1) 2erfc erfc erfc

2 2 22 2 2

M M M Mik ik

e e ii i k k

k i k i

d d M EP P m

M M N N N= = = =≠ ≠

−= ≅ = =

∑ ∑∑ ∑ .

Então a probabilidade de erro de símbolo para uma modulação da família M-FSK com detecção coerente e símbolos equiprováveis pode ser estimada por meio de:

2

0 0

1 1 logerfc erfc

2 2 2 2b

e

M E M E MP

N N

− −≅ =

.

Para a modulação M-FSK não importa como os símbolos são mapeados nos bits que eles representam, pois a distância Euclidiana é a mesma entre todos os símbolos, o que faz com que a probabilidade de erro de um símbolo para qualquer outro da constelação seja a mesma. Neste caso, independentemente do mapeamento símbolo bit utilizado, a probabilidade de erro de bit é dada por:

0

BER erfc2( 1) 4 2e

M M EP

M N

= ≅ −

.

Geração e detecção coerente de um sinal M-FSK Para gerar um sinal M-FSK, desde que cada um dos tons escolhidos tenha frequência 1 M

i if = que

respeite à expressão

, inteiroci c

n if n

T

+= ,

basta fazer com que cada um destes tons seja selecionado para transmissão em função do símbolo que se desejar transmitir. Outra possível forma de geração de um sinal M-FSK pode ser realizada por meio de um VCO, o que evitaria o uso de um banco de osciladores, mas, por outro lado, demandará um criterioso projeto do VCO para que as frequências dos tons sejam corretamente determinadas em função dos M conjuntos de log2M bits de informação. Esta alternativa é ilustrada na figura a seguir.

De maneira análoga ao projeto do demodulador BFSK, no que diz respeito à demodulação coerente de um sinal M-FSK na parte do detector teremos M correlatores já que, por se tratar de uma sinalização com símbolos ortogonais, N = M. Com relação ao decodificador podemos tecer os seguintes comentários: teríamos M ramos, mas nestes ramos estaríamos fazendo a correlação, no domínio vetorial, entre o vetor observado e todos os vetores-sinais, ou seja, xTsi. Estas operações produzem



resultados proporcionais à correlação temporal entre o sinal recebido e todas as funções-base φi(t), i = 1, 2, ..., M, pois estas funções-base nada mais são que versões normalizadas das formas de onda si(t). Portanto, as operações de produto interno não serão necessárias. Adicionalmente, como as energias de todos os símbolos são iguais, não se fazem necessárias as subtrações de metade destas energias. Como resultado teremos o receptor para a modulação M-FSK com detecção coerente mostrado na figura a seguir.

Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação M-FSK A obtenção da expressão da DEP para qualquer das modulações da família M-FSK não é trivial e, por esta razão, uma expressão genérica para esta DEP não será apresentada neste texto. Apenas para se ter uma idéia do comportamento do espectro de um sinal M-FSK, a figura a seguir ilustra a DEP de um sinal 4-FSK com separação entre os tons de 1/T Hz. Perceba a presença das raias espectrais e também perceba que a largura de faixa do lobo principal será diretamente proporcional à separação entre os tons e ao número de tons, número este igual ao valor de M.

Definindo-se a banda do sinal M-FSK como sendo a banda do lobo principal do sinal modulado, podemos deduzir uma expressão para a eficiência espectral desta modulação, primeiramente considerando separação de 1/T Hz entre os tons. Para tanto, perceba que neste caso o lobo principal terá banda de (M – 1)/T + 2/T = (M+1)/T. Então a eficiência espectral será:

2 2log log

( 1) / 1 1 1b b b b bR R TR T R M M

B M T M M Mρ = = = = =

+ + + +.



Observe que a eficiência espectral da M-FSK decresce com o aumento de M, ao contrário do que acontece com as eficiências espectrais das modulações das famílias M-PSK e M-QAM. Por esta razão a modulação M-FSK é considerada não eficiente em termos de ocupação de banda. Se a separação entre os tons for reduzida para 1/(2T), o espectro do sinal M-FSK será mais compacto e, por consequência, a eficiência espectral aumentará para um valor dado por:

22log

1

M

Mρ =

+.

Mais uma vez vale lembrar que qualquer cálculo de eficiência espectral passa antes por uma definição da banda B ocupada pelo sinal modulado. Para os cálculos que realizamos até aqui, temos considerado B como sendo a banda do lobo principal do sinal em banda-passante. Em termos de eficiência de potência, ao contrário do que acontece com as modulações das famílias M-PSK e M-QAM, o aumento de M para as modulações da família M-FSK reduz a probabilidade de erro de símbolo e de bit para um dado valor de Eb/N0. Comprove esta afirmação como exercício, reproduzindo o gráfico a seguir com o auxílio do Matlab ou do Mathcad. Neste gráfico as curvas tracejadas foram obtidas a partir da expressão de Pe deduzida via Limitante de União, enquanto as curvas em linha cheia foram obtidas por meio da expressão exata

1

22

0

1 log 11 erfc exp( ) .

2

M

be

E MP z z dz

N π

−∞

−∞

= − − − −

∫

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



ANEXO

Minimum frequency separation for coherent detection

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- It is known that M-FSK (M-ary frequency shift keying) is a form of orthogonal modulation. Our aim in this part of the text is to find the minimum separation among the M tones for an M-FSK modulation to allow for coherent detection, still maintaining the orthogonality among the symbols. To be coherently orthogonal in the signaling interval T, two cosine functions with different frequencies must satisfy

( ) ( )1 20cos 2 cos 2 0

Tf t f t dtπ π =∫

Using the identity cosα⋅cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)] in the expression above we obtain:

( ) ( )1 11 2 1 22 20 0

cos 2 cos 2 0T T

f f t dt f f t dtπ π− + + = ∫ ∫

from where, after some mathematical manipulations, we get:

( )( )

( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

sin 2 sin 20

4 4

f f T f f T

f f f f

π ππ π

− + + =− +

Since for practical purposes the sum f1 + f2 >> 1, the second term in the left-hand side of the above expression is approximately zero, which results in

( ) ( )1 2 1 2sin 2 0 , inteiro2

kf f T f f k

Tπ − = ⇒ − =

Then, the minimum frequency separation between any pair of adjacent tones for an orthogonal M-FSK with coherent detection is

( )1

1

2i if fT−− =

which corresponds to half of the modulation symbol rate. In the case of non-coherent detection, this minimum separation is doubled to 1/T. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Aula nº 18 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Modulações com detecção não-coerente.

Conteúdo Detecção não-coerente para as modulações BFSK e M-FSK. Modulação e demodulação DBPSK. Desempenho de algumas modulações digitais em canal AWGN.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar as vantagens e as desvantagens de um processo de detecção não-coerente em comparação com um processo de detecção coerente. 2) explicar o processo de geração do sinal M-FSK e do sinal DBPSK. 3) explicar o funcionamento do receptor M-FSK não-coerente e do receptor DBPSK. 4) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais da transmissão em banda-passante e as modulações M-PSK, M-QAM e M-FSK com detecção coerente e as modulações M-FSK e DBPSK com detecção não-coerente.

Contextualização Em certos casos a implementação de detecção coerente pode ter custo e complexidade elevados ou o projetista pode simplesmente escolher não levar em conta a informação de fase, sob o prejuízo de uma esperada degradação de desempenho, mas obtendo receptores de menor complexidade. A figura a seguir mostra o diagrama de blocos típico de um receptor com detecção coerente. Nela o circuito de extração de sincronismo de portadora, operando a partir do próprio sinal recebido, garante que as funções-base que alimentam o circuito de detecção estejam em correto alinhamento de fase com as funções-base utilizadas na transmissão, obviamente levando-se em conta o atraso de propagação do sinal. O circuito de extração de sincronismo de símbolo garante que a cadência e os instantes corretos de amostragem do sinal de saída do dispositivo de detecção sejam determinados.

Como exemplo do sincronismo de portadora, suponha que uma das funções-base utilizadas no transmissor seja

( )1

2( ) cos 2 ct f t

Tφ π=

e que o atraso de propagação do sinal do transmissor até o receptor seja τ. Assim, a correspondente função-base gerada no receptor, para detecção coerente, deverá ser:

( ) ( ) ( )1

2 2 2( ) cos 2 cos 2 2 cos 2c c c ct f t f t f f t

T T Tφ τ π τ π π τ π θ− = − = − = +



onde θ = –2πfcτ será a correta fase da portadora de referência gerada pelo circuito de sincronismo de portadora, a partir da qual serão derivadas as funções-base para detecção. No processo de detecção não-coerente, a fase da portadora de referência no receptor não tem amarração com a fase da correspondente portadora utilizada na transmissão, o que nos permitirá simplificar o receptor eliminando o circuito de extração de sincronismo de portadora. Perceba, entretanto, que o receptor continuará com o circuito de extração de sincronismo de símbolo, pois sem ele o receptor não terá como determinar os instantes ótimos e a cadência de decisão dos símbolos. Esta simplificação no receptor com detecção não-coerente traz como efeito colateral uma redução na eficiência de potência da modulação, ou seja, para uma mesma relação Eb/N0, espera-se um aumento da probabilidade de erro de símbolo. Nesta aula estudaremos modulações que não necessitam do circuito de extração de sincronismo de portadora no receptor: a modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying) com detecção não-coerente, generalizada posteriormente para todas as modulações da família M-FSK, e a modulação DBPSK (Differential Binary Phase Shift Keying). Modulação BFSK com detecção não-coerente A modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying) com detecção não-coerente pode ser considerada uma das modulações com menor complexidade de implementação. Adicionalmente, como veremos mais adiante, seu desempenho é um pouco pior que aquele proporcionado pela modulação BFSK com detecção coerente. Estes atributos tornam a modulação BFSK com detecção não-coerente bastante atrativa para implementações práticas que primem pela baixa complexidade do hardware. Sinal modulado e funções-base para a modulação BFSK Como já estudado, os símbolos da modulação BFSK podem ser representados da seguinte maneira:

1,2

2cos(2 ), 0

( )

0, caso contrário

bi b

i bi

Ef t t T

s t Tπ

=

≤ ≤=

onde Eb é a energia média por bit, Tb é a duração de um bit e fi, i = 1, 2 é o par de tons, cada um associado a um dos bits de informação. Sabemos que, para que os símbolos sejam ortogonais entre si, a separação entre os tons deve ser um múltiplo inteiro de metade da taxa de símbolos. Entretanto, para detecção não-coerente, esta separação deverá ser um múltiplo inteiro da própria taxa de símbolos. Espaço de sinais para a modulação BFSK A forma de detecção utilizada no receptor não afeta a forma de geração do sinal BFSK. Portanto, o espaço de sinais para a modulação BFSK é o mesmo, seja para detecção coerente ou para detecção não-coerente.



Geração e detecção não-coerente de um sinal BFSK Desde que respeitemos a separação entre os tons igual a um múltiplo inteiro da taxa de símbolos (que é igual à taxa de bits na modulação binária), a geração do sinal BFSK para detecção não-coerente é a mesma daquela já estudada para o caso de detecção coerente. A figura a seguir reapresenta o receptor para detecção coerente de um sinal BFSK. Como bem sabemos, é possível substituir os dois correlatores por filtros casados equivalentes. Vamos determinar como esta substituição poderia ser realizada corretamente.

A figura a seguir mostra, em caráter de revisão, um trecho de um sinal BFSK. Podemos verificar que um sinal BFSK opera com dois formatos de pulso, s1(t) e s2(t). Portanto, podemos substituir os dois correlatores do receptor por filtros casados com os formatos de pulso s1(t) e s2(t). Tais filtros têm respostas ao impulso que são exatamente iguais aos sinais s1(t) e s2(t), ou seja: h1(t) = ks1(T – t) e, para k = 1, por exemplo, h1(t) = s1(t). Portanto, h2(t) = s2(t).

A seguir ilustram-se a resposta ao impulso h1(t) e outra resposta h1(t) defasada em relação à primeira de π/2 radianos. No primeiro caso teríamos a implementação correta do filtro casado para detecção coerente. No segundo caso a fase de h1(t) não é a igual à fase de s1(t) e, neste caso, teríamos um filtro casado não-coerente.

Vamos agora analisar qual a influência da fase da resposta ao impulso desses filtros casados. Primeiro devemos lembrar que a saída de um filtro casado para um formato de pulso retangular terá um aspecto triangular, como ilustrado na figura a seguir para o filtro casado não-coerente com defasagem de π/2 radianos. Para um pulso de formato co-senoidal, podemos dizer que se trata de um pulso cujo formato da envoltória é retangular. Portanto, a saída de um filtro casado com resposta co-senoidal será uma forma de onda com aspecto co-senoidal, mas com envoltória triangular, como também ilustrado na figura a seguir.



Percebe-se que, embora uma amostragem no instante Tb leve ao valor de pico do pulso de saída quando a entrada é um pulso retangular, esta mesma amostragem levará ao valor nulo do pulso de saída quando a entrada do filtro casado não-coerente é o pulso co-senoidal, o que impossibilitará o processo de detecção.

O conjunto de figuras a seguir ilustra a influência da defasagem na resposta ao impulso dos filtros casados do receptor BFSK. Perceba que somente para o caso de defasagem nula teríamos um valor de amostra correto em t = Tb. Para qualquer outro valor de defasagem o valor da amostra em t = Tb será menor que o máximo.

Uma nova análise do conjunto de figuras apresentado mostra que as envoltórias ideais de todas as formas de onda de saída do filtro casado não-coerente têm formato exatamente igual ao formato de saída correspondente a um filtro casado para pulso retangular. Em outras palavras, se na saída dos filtros casados não-coerentes inserirmos um detector de envoltória conseguiremos viabilizar o funcionamento do receptor de forma até certo ponto independente da defasagem da resposta ao impulso. A figura a seguir ilustra esta idéia, já inserida na estrutura completa do receptor BFSK com detecção não-coerente.

Infelizmente não é possível implementar na prática um detector de envoltória ideal. O que tipicamente se faz é realizar uma retificação de onda completa do sinal de saída do filtro casado e logo em seguida realizar a detecção de envoltória não ideal. De forma a ilustrar este processo, as figuras a seguir mostram a saída retificada de um filtro casado e a saída de um detector de envoltória real com filtro



RC para alguns valores da defasagem θ. Perceba que no instante Tb teremos amostras cujos valores ainda dependerão um pouco da fase da resposta ao impulso do filtro casado, mas possibilitarão a detecção não-coerente do sinal BFSK. Estas variações nos valores das amostras em relação ao valor ideal causam degradação no desempenho do sistema, mas tal degradação será tanto menor quanto mais bem projetado for o detector de envoltória, ou seja, quanto mais próxima do formato perfeitamente triangular for a sua forma de onda de saída.

Na prática, filtros mais bem elaborados inseridos na saída do retificador podem levar a melhores resultados que aqueles proporcionados pelo filtro RC aqui exemplificado. Portadoras com frequências muito maiores que a taxa de símbolos também contribuem para que o detector de envoltória uma saída mais próxima da ideal. Probabilidade de erro de símbolo e de bit para a modulação BFSK com detecção não-coerente O cálculo analítico para a obtenção da probabilidade de erro de símbolo da modulação BFSK com detecção não-coerente é bastante complexo e foge do escopo do nosso curso. Por esta razão a expressão final é apresentada a seguir, sem dedução:

0

1BER exp

2 2b

e

EP

N

= = −

Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação BFSK O fato de estarmos realizando detecção coerente ou não-coerente de um sinal BFSK não influencia seu espectro. Portanto, a densidade espectral de potência do sinal BFSK continua sendo aquela já apresentada quando do estudo da modulação BFSK com detecção coerente. Ressalta-se apenas que, para a detecção não-coerente, não é possível explorar a redução no espectro quando a separação entre os tons é de 1/(2Tb) Hz. A separação mínima para detecção não-coerente de um sinal BFSK é 1/Tb Hz, o que leva à DEP em banda-base reapresentada a seguir.



Generalização: modulações da família M-FSK com detecção não-coerente Os conceitos anteriormente apresentados podem ser generalizados para que se tenha uma modulação FSK com M símbolos e com detecção não-coerente. O transmissor é idêntico àquele já apresentado para a modulação M-FSK com detecção coerente, apenas tendo-se o cuidado para que a separação entre os tons atenda a um múltiplo inteiro da taxa de símbolos 1/T, ou seja:

, inteiroci c

n if n

T

+=

O receptor para detecção não-coerente para as modulações da família M-FSK nada mais é do que uma generalização daquele que acabamos de estudar para a modulação BFSK. Conforme se pode notar na figura a seguir, neste receptor tem-se um banco de M filtros casados não-coerentes seguidos de detectores de envoltória. Cada um destes filtros casados está associado a um dos símbolos da modulação sem, contudo, levar em conta o alinhamento entre a fase sua resposta ao impulso e a fase do símbolo recebido. As saídas dos detectores são amostradas e a decisão é tomada em favor da saída que apresentar maior valor. Por exemplo, se o valor x3 é maior decide-se pelo símbolo s3(t) e faz-se em seguira o mapeamento deste símbolo no conjunto de log2M bis que ele representa.

Modulação DBPSK Na modulação DBPSK (Differential Binary Phase Shift Keying), ou simplesmente DPSK, a informação é transportada no valor relativo entre sucessivas fases da portadora modulada. Por exemplo, se a fase da portadora de um símbolo para o próximo muda, associamos esta mudança ao bit 0; se a fase não muda, o bit representado é o bit 1. A demodulação do sinal DBPSK funcionará corretamente desde que eventuais variações de fase provocadas pelo canal sejam lentas o suficiente para serem consideradas aproximadamente constantes durante dois intervalos sucessivos de sinalização. Desta forma ter-se-á a garantia de que o valor relativo de fase não será afetado, mesmo que os valores absolutos o sejam. Sinal modulado e probabilidade de erro de símbolo e bit para a modulação DBPSK Pode-se representar o sinal modulado DBPSK por meio de uma portadora de frequência e amplitude constantes que tem sua fase mantida entre dois intervalos de sinalização se o bit a ser transmitido for 1



(por exemplo) e que tem sua fase chaveada em π radianos de um intervalo de sinalização para o próximo se o bit a ser transmitido for 0. As expressões a seguir descrevem o sinal DBPSK:

1

cos(2 ), 02

( )

cos(2 ), 22

bc b

b

bc b b

b

Ef t t T

Ts t

Ef t T t T

T

π

π

≤ ≤

= ≤ ≤

2

cos(2 ), 02

( )

cos(2 ), 22

bc b

b

bc b b

b

Ef t t T

Ts t

Ef t T t T

T

π

π π

≤ ≤

= + ≤ ≤

Tais expressões se referem a uma modulação DPSK binária para a qual a probabilidade de erro de símbolo e de bit, apresentada aqui sem dedução, vale:

0

1BER exp

2b

e

EP

N

= = −

Comparando esta expressão resultado com aquela referente ao cálculo da probabilidade de erro de símbolo para a modulação BFSK com detecção não-coerente, observa-se que a modulação DBPSK tem eficiência de potência 3 dB maior que aquela proporcionada pela modulação BFSK não-coerente. Geração de um sinal DBPSK A figura a seguir apresenta o diagrama de blocos de um modulador DBPSK. Os bits de informação passam inicialmente por um codificador diferencial que realiza a operação OU EXCLUSIVO (XOR) ou NÃO-OU EXCLUSIVO (XNOR) entre um bit de entrada e o resultado da operação XOR ou XNOR anterior. A sequência codificada diferencialmente passa pelo conversor de níveis e a saída deste conversor é aplicada a um modulador BPSK convencional.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: Admita que o bit inicial de saída do bloco de atraso (flip-flop) no modulador seja 0 e que a fase inicial da portadora seja 0 rad. Vamos determinar as fases seguintes da portadora modulada para a sequência de bits de entrada 1 0 0 1 0 0 1 1. A tabela a seguir apresenta os resultados, admitindo que um bit 1 (0) na entrada do modulador BPSK produz a fase π (0) da portadora.

Bits de informação bk 1 0 0 1 0 0 1 1

Bits de saída do codificador diferencial dk 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Fases da portadora modulada 0 π π π 0 0 0 π 0

Observe que quando um bit 1 entra no modulador DBPSK a fase da portadora é invertida em relação à fase anterior. Quando um bit 0 entra no modulador a fase da portadora se mantém igual à fase anterior. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Função-base e espaço de sinais para a modulação DBPSK De acordo com o diagrama de blocos do modulador DBPSK, pode-se concluir que o espaço de sinais e a função-base para a modulação DBPSK são iguais àqueles já estudados para a modulação BPSK. Entretanto, mesmo sendo uma sinalização antipodal, a regra de codificação diferencial faz com que não se tenha mapeamento fixo de um vetor-sinal em um bit de informação. Em outras palavras, um mesmo símbolo pode representar diferentes bits, posto que a informação é transportada na diferença de fase de um símbolo para o outro e não no valor absoluto da fase de um símbolo. Detecção de um sinal DBPSK Na detecção não-coerente, devido ao fato da portadora de recepção não estar em sincronismo com a portadora de transmissão, pode-se afirmar que Θ, a defasagem entre tais portadoras, é uma variável aleatória uniformemente distribuída entre 0 e 2π rad. Então, num determinado momento é possível que tal defasagem esteja por volta de π/2, fazendo com que a saída do correlator tenha valor aproximadamente nulo. Em outras palavras, como o oscilador local do receptor não está em coerência de fase com aquele utilizado na transmissão, a referência utilizada no receptor no caso de uma única função-base poderia ser gerada a aproximadamente 90º do eixo correspondente à posição dos símbolos recebidos. Nesse caso, a projeção do sinal recebido na “direção” da função-base (saída do correlator) seria aproximadamente nula, impossibilitando a estimação do símbolo transmitido. A figura a seguir ilustra este problema em potencial, admitindo, por razões apenas didáticas, que o símbolo transmitido s1(t) não tenha sido contaminado por ruído ao chegar ao receptor, ou seja, x(t) = s1(t).

Soluciona-se este problema de projeção nula com o uso de duas funções-base no receptor de tal forma que, se a correlação com uma das fuções-base for pequena, ou até nula, a correlação com a outra será grande o suficiente para permitir a correta estimação do símbolo transmitido. A figura a seguir ilustra a ideia. Nela, independente da posição dos eixos de referência φ1 e φ2, haverá projeções dos vetores recebidos com intensidades suficientes para detecção.



Resta-nos agora determinar a regra de decisão para recuperar a informação transportada nos valores relativos de fase da portadora modulada. A figura a seguir mostra uma sequência de quatro símbolos DBPSK. Perceba que se realizarmos a correlação entre dois símbolos consecutivos conseguiremos saber se houve ou não houve inversão de fase. Como exemplo, na figura em questão a correlação entre sk(t) e sk–1(t) é negativa, pois sk(t) = – sk–1(t). Já a correlação entre sk–1(t) e sk–2(t) é positiva, pois sk–1(t) = sk–2(t). Mas sabemos que a operação vetorial equivalente à correlação é o produto interno entre os vetores-sinal correspondentes. Sendo assim, se fizermos no receptor o cálculo do produto interno entre o vetor observado em um instante e o vetor observado no instante anterior, podemos estimar se houve ou não houve inversão de fase no sinal recebido, o que permitirá estimar o bit transmitido.

Os comentários tecidos até este ponto nos permitem construir o receptor ilustrado na figura a seguir. Nele o sinal recebido é correlacionado com as duas funções-base de referência, formando os dois componentes do vetor observado referente ao símbolo de índice k = 0, x0 = [ xI0 xQ0 ]

T. Após Tb este vetor está presente na saída dos blocos de atraso e a saída dos correlatores conterá os elementos do vetor observado referente ao símbolo de índice k = 1, x1 = [ xI1 xQ1 ]

T. O produto interno entre tais vetores é então realizado e a decisão é tomada verificando-se a polaridade do resultado, ou seja, a decisão resume-se a verificar se a variável de decisão y é positiva ou negativa, onde y é dada por:

1

0 0 0 1 0 1

1

T0 1

I

I Q I I Q QQ

xy x x x x x x

x

= = × = +

x x

Vale lembrar que, dependendo da operação lógica (XOR ou XNOR) utilizada no codificador diferencial do transmissor, a inversão de fase da portadora modulada pode representar um bit 1 ou um bit 0, respectivamente. Em caráter complementar, vale ressaltar que algumas referências bibliográficas denominam o processo de detecção da modulação DBPSK de detecção diferencialmente coerente, devido à necessidade de se ter invariância da fase da portadora de recepção apenas entre dois símbolos consecutivos.



Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação DBPSK No modulador DBPSK a codificação diferencial realizada antes da modulação não afeta a densidade espectral de potência (DEP) em relação àquela dada para a modulação BPSK. Portanto, a DEP do sinal DBPSK é a mesma de um sinal BPSK. Portanto, a eficiência espectral de ambas as modulações será a mesma. Desempenho de algumas modulações digitais Vamos agora comparar a eficiência de potência de algumas das modulações estudadas. A tabela a seguir apresenta uma lista de algumas destas modulações e suas expressões de taxa de erro de bit.

A figura a seguir apresenta em um único gráfico os resultados de probabilidade de erro de bit estimados com as expressões dadas na tabela anterior, em função de Eb/N0. Este tipo de gráfico é muito utilizado na comparação e avaliação do desempenho de modulações digitais. Nele, o eixo das abscissas contém os valores da relação Eb/N0, em dB, ou seja, 10log(Eb/N0), e o eixo das ordenadas contém os valores teóricos de taxa de erro de bit (BER – Bit Error Rate), expressos em escala logarítmica. Dentre as modulações sob análise, as que apresentam melhores eficiências de potência são as modulações BPSK e QPSK, pois, para um dado valor de Eb/N0 proporcionam valores menores de BER. Em seguida tem-se a modulação DBPSK (ou simplesmente DPSK), cuja eficiência de potência dista apenas cerca de 1 dB da curva correspondente às modulações BPSK e QPSK. Em outras palavras, para que a modulação DPSK apresente o mesmo desempenho das modulações BPSK e QPSK, ela deve operar com cerca de 1 dB a mais de potência, o que não representa um preço muito alto a pagar, dada a grande redução de complexidade conseguida pelo do processo de detecção diferencial, por este não necessitar do circuito de extração de sincronismo de portadora.



A modulação BFSK com detecção coerente vem em seguida, com eficiência de potência cerca de 3 dB inferior à eficiência de potência das modulações BPSK e QPSK e cerca de 2 dB inferior à eficiência de potência de modulação DPSK. A modulação BFSK com detecção não-coerente é a que apresenta menor eficiência de potência, dentre as modulações analisadas. Entretanto, esta eficiência de potência dista cerca de 1 dB daquela proporcionada pela modulação BFSK com detecção coerente, o que também representa um preço não muito alto a se pagar, dada a redução de complexidade do receptor também proporcionada pela possibilidade de se eliminar o circuito de extração de sincronismo de portadora. Com esta análise comparativa entre algumas das modulações estudas concluímos a parte do curso referente às modulações digitais. Embora existam várias outras modulações, muitas delas acabam sendo somente versões modificadas daquelas que estudamos. Sendo assim, os conceitos estudados servirão como base para o entendimento de outras técnicas de modulação, sem grandes dificuldades. Dedicaremos o final do curso ao estudo de uma técnica de comunicação digital denominada Espalhamento Espectral (Spread Spectrum), base para implementação de muitos dos sistemas de comunicação existentes e de outros que ainda estão por se tornar realidade. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação Os exercícios propostos ou resolvidos a seguir cobrem não somente as modulações M-FSK com detecção não-coerente e DBPSK, mas também complementam aqueles exercícios já propostos em aulas passadas envolvendo outras modulações estudadas. Alguns exercícios envolvem até mesmo modulações não apresentadas formalmente em sala de aula, mas cujo entendimento é perfeitamente possível com os conhecimentos fundamentais que adquirimos. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



1 – A Figura ao lado mostra o espaço de sinais com vetores recebidos nos intervalos de sinalização discretos k e k – 1. Pede-se e/ou pergunta-se: a) Determine o k-ésimo bit estimado pelo demodulador. b) Admita que o bit inicial de saída do bloco de atraso do

modulador seja 0 e que a fase inicial da portadora seja 0 radiano. Determine as fases seguintes da portadora para a sequência de bits de entrada: 1 0 0 1 0 0 1 1.

c) Por que razão o demodulador utiliza duas funções-base, já que o sinal DPSK binário foi gerado utilizando-se apenas uma função-base?

Solução a) O k-ésimo bit é estimado através do conhecimento do produto interno entre os vetores correspondentes ao sinal recebido nos intervalos k −1 e k:

[ ] ( ) ( )T1

0,80,9 0,2 0,9 0,8 0,2 1,0 0,92

1,0k ky − = = − − = − × + − × = −

x x

Portanto, pode-se inferir que houve inversão de fase da portadora do intervalo k − 1 para o intervalo k. Como o codificador diferencial do transmissor está implementado com uma porta OU-EXCLUSIVO, pode-se afirmar que o k-ésimo bit estimado será o bit “1” (aplicando-se 1 à entrada do modulador DPSK binário dado, inverte-se a fase da portadora modulada). b) A tabela a seguir apresenta os resultados das operações para determinação da sequência de fases da portadora modulada: Sequência bk 1 0 0 1 0 0 1 1

Sequência codificada diferencialmente dk 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Fases da portadora modulada 0 π π π 0 0 0 π 0

c) Como o oscilador local do receptor não está em coerência de fase com aquele utilizado na transmissão, a referência utilizada no receptor no caso de uma única função-base poderia ser gerada a exatamente 90º do eixo correspondente à posição dos símbolos recebidos. Nesse caso, a projeção do sinal recebido na direção da função-base seria nula, impossibilitando a estimação do símbolo transmitido. Com o uso de duas funções-base, mesmo que a projeção em uma delas seja pequena, ou até nula, a projeção na outra função-base permitirá a correta estimação do símbolo transmitido, de acordo com a regra ilustrada na resposta do item “a” deste exercício. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Um sistema com modulação BPSK tem em seu receptor um sistema de extração de sincronismo de portadora imperfeito que gera a função-base local com defasagem θ em relação à portadora do sinal recebido. Assim, dependendo do bit transmitido o sinal recebido é 2 / cos(2 )b b cE T f tπ± ,

desconsiderando-se a influência do ruído, e a função-base utilizada no receptor é 2 / cos(2 )b cT f tπ θ+ .

Pede-se:



a) Calcule y, o valor da amostra de saída do correlator do receptor no momento de decisão, desconsiderando o ruído. b) Determine a expressão de probabilidade de erro de símbolo e de bit para este sistema, no canal AWGN, levando em conta o resultado obtido no item “a”. Solução a)

[ ]

0 0

0 0 0

22 / cos(2 ) 2 / cos(2 ) cos(2 )cos(2 )

2 1 2 1 1cos( ) cos(4 2 ) cos( ) cos(4 2 )

2 2 2

2cos( ) 0 cos( ) co

2

b b

b b b

T T

b b c b c b c cb

T T T

b c b cb b

bb b b

b

y E T f t T f t dt E f t f t dtT

E f t dt E dt f tT T

TE y E E

T

π π θ π π θ

θ π θ θ π θ

θ θ

= ± + = ± +

= ± + + = ± + +

= ± + ⇒ = ± = ±

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2s ( )θ

Solução b) Utilizando o resultado do item “a” na expressão de Pe dada no formulário obtém-se diretamente a expressão desejada:

Pe = BER= ½erfc2

0

cos ( )bE

N

θ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Embora a modulação GMSK não tenha sido apresentada formalmente em sala de aula, este exercício se refere a ela. Para entendê-lo basta fazer um breve estudo sobre tal modulação no livro texto. Para um valor de Eb/N0 de 10,5424 dB, uma modulação GMSK operando no canal AWGN apresenta uma probabilidade de erro de símbolo de 1,1045×10-5. Pede-se: a) Estime a relação Eb/N0 que seria necessária para se atingir

uma probabilidade de erro de símbolo de 1,1045×10-5 se a modulação GMSK tivesse o parâmetro WTb → ∞.

b) Estime valor do parâmetro WTb do filtro gaussiano do modulador GMSK. Caso julgue necessário, utilize o gráfico fornecido ao lado.

Solução: a) Para WTb → ∞ a modulação GMSK passará a apresentar a mesma probabilidade de erro de símbolo

que a modulação MSK. Então 1,1045×10-5 = 0

1erfc

2bE

N

. Do anexo à prova tem-se que para ½erfc(x)

= 1,1045×10-5 ⇒ x = 3. Então 0

bE

N= 3 e, portanto,

0

9bE

N= = 9,5424 dB.



b) Sabe-se que a probabilidade de erro de símbolo média para a modulação GMSK é dada por:

0

1erfc

2 2b

e

EP

N

α =

. Igualando-a a 1,1045×10-5 e resolvendo para α tem-se 1,1045×10-5 =

0

1erfc

2 2bE

N

α

.

Utilizando o resultado do item “a” obtemos 02bE

N

α = 3 ⇒ α/2 ≅ 0,794. A degradação da modulação

GMSK em relação à modulação MSK corresponderá a 10log10(α/2) = 10log10(0,794) ≅ –1 dB, o que significa uma degradação de 1 dB. Do gráfico de degradação em função do produto WTb obtém-se WTb ≅ 0,22. Alternativamente, como no item “a” já foi calculado o valor de Eb/N0 para a modulação MSK, obtém-se diretamente a degradação de 10,5424 dB - 9,5424 dB = 1 dB. Do gráfico de degradação em função do produto WTb obtém-se WTb ≅ 0,22. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma banda de no máximo 2,5 kHz, banda esta inserida no canal de voz de telefonia que vai de 300 Hz a 3,4 kHz. É necessário que o sistema consiga dar vazão a 2,4 kbit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de bit de, no máximo, 1×10-3, consumindo a menor potência possível da fonte de alimentação. Pede-se: a) Dentre as modulações ao lado, escolha uma capaz de atender aos requisitos acima mencionados. Considere a banda do sinal como sendo aquela ocupada pelo lobo principal. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. b) Para a modulação selecionada, determine o valor de Eb/N0 mínimo para atender à taxa de erro de bit imposta. Apresente os cálculos. Solução a) Como a banda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nulo-a-nulo no espectro do sinal modulado (lobo principal), tem-se que 2/T ≤ 2,5 kHz, o que leva a T ≥ 800 µs. Se a taxa de bits é de 2,4 kbit/s, a duração de um bit vale Tb = 1/2400 = 416 µs. Então o número de bits por símbolo deverá ser T/Tb ≥ 1,92 bits/símbolo. Portanto, usando uma modulação com 2 bit/símbolo atendem-se os requisitos de banda e taxa de transmissão. Dentre aquelas consideradas no gráfico ao lado deve-se escolher a modulação QPSK com detecção coerente, que proporcionará também o desempenho adequado com menor consumo de potência. b) Usando o gráfico acima se obtém que o mínimo valor de Eb/N0 para uma taxa de erro de bit menor que 1×10-3 para a modulação escolhida é de aproximadamente 6,8 dB. Alternativamente, usando a expressão de BER para QPSK/BPSK obtém-se de 1×10-3 ≤ ½erfc[(Eb/N0)

1/2] que o valor de Eb/N0 mínimo será cerca de 4,764, donde 10log(4,764) = 6,78 dB. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – A modulação π/4-DQPSK também não foi apresentada formalmente em sala de aula, mas os conceitos envolvidos no seu entendimento já foram estudados. Trata-se de uma modulação diferencial que, assim como a modulação DBPSK, transporta os bits nas variações de fase da portadora de um símbolo para o próximo. Para entender este exercício basta fazer um breve estudo sobre tal modulação no livro texto.



Admita que a fase inicial da portadora em um sistema π/4-DQPSK seja nula. É necessário enviar a sequência de bits 00101100. Os bits são apresentados ao modulador da esquerda para direita. Pede-se: a) Determine os valores das fases seguintes da portadora durante a transmissão. b) Na constelação π/4-DQPSK fornecida a seguir, marque a sequência de símbolos enviados. c) Responda por que em tal técnica de modulação pode-se implementar detecção diferencialmente coerente e registre qual pode ser (se existir) a vantagem desse tipo de detecção. Solução a) Partindo-se da fase inicial nula têm-se os seguintes valores para as fases seguintes (em radianos): π/4, 0, -3π/4 e -π/2. b) A sequência de símbolos enviados está numerada na figura a seguir.

c) Pode-se implementar detecção diferencialmente coerente porque a informação é representada pelos valores relativos de fase de um símbolo para o outro e não no valor absoluto da fase da portadora modulada. Esta propriedade pode se interpretada com uma vantagem, pois permite que no receptor não seja necessária uma referência de fase para detecção. Isto trás simplicidade, mas também redução de desempenho em relação à detecção coerente. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 – As figuras a seguir mostram espectros de sinais modulados correspondentes às modulações 2-FSK (a) e 16-QAM (b). Pede-se:

a) Determine a taxa de sinalização da modulação 2-FSK. b) Determine a taxa de bits da modulação 2-FSK. c) Determine a taxa de sinalização da modulação 16-QAM. d) Determine a taxa de bits da modulação 16-QAM. e) Determine a eficiência espectral da modulação 2-FSK. f) Determine a eficiência espectral da modulação 16-QAM.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 – Têm-se dois sistemas de comunicação digital: um deles utiliza modulação BPSK com detecção coerente e o outro utiliza modulação DBPSK com detecção diferencialmente coerente. Ambos os sistemas estão operando a 56 kbit/s e com taxa de erro de bit média de 1,1802×10-4 em canal AWGN, sob influência da mesma intensidade de ruído. Quanto de potência de transmissão a mais está sendo necessária no sistema DBPSK em relação ao sistema BPSK? Solução

Para a modulação BPSK tem-se: 4

0 0

1 1BER erfc 1,1802 10 erfc

2 2b b

e

E EP

N N−

= = ⇒ × =

Do anexo obtém-se: ( ) 4

0 0

1erfc 1,1802 10 2,6 2,6 6,76 8,30 dB

2b bE E

x xN N

−= × ⇒ = ⇒ = ⇒ = ≅

Para a modulação DBPSK tem-se: 4

0 0

1 1BER exp 1,1802 10 exp

2 2b b

e

E EP

N N−

= = − ⇒ × = − ⇒

4

0 0

2,3604 10 exp 8,35 9,22 dBb bE E

N N−

× = − ⇒ ≅ ≅

Como a intensidade de ruído nos dois casos é a mesma, a diferença de potência corresponde à diferença nos valores de Eb/N0, em dB. Então será necessário aproximadamente 1 dB de potência de transmissão a mais no sistema DBPSK em relação ao sistema BPSK para se atingir uma BER = 1,1802×10-4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 – Considere um modulador DBPSK que utilize uma porta XNOR em seu codificador diferencial. Considere também o espaço de sinais com vetores recebidos nos intervalos de sinalização discretos k e k – 1, conforme dado no exercício 1. O modulador BPSK após o codificador diferencial usa o seguinte mapeamento: bit 0 fase 0; bit 1 fase π. Pede-se: a) Admita que o bit inicial de saída do bloco de atraso do modulador seja 1 e que a fase inicial da portadora seja π. Preencha a tabela abaixo com a sequência codificada diferencialmente e com as fases seguintes da portadora modulada para a sequência de bits de entrada do modulador: 1 0 0 1 0 0 1 1.

Sequência de bits de entrada bk 1 0 0 1 0 0 1 1



Bits codificados diferencialmente dk 1 1 0 1 1 0 1 1 1

Fases da portadora modulada π π 0 π π 0 π π π

b) Utilizando o espaço de sinais dado no exercício 1, determine o k-ésimo bit estimado pelo demodulador. Apresente os cálculos. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 – Pretende-se projetar um sistema de comunicação digital que consiga dar vazão a 50 kbit/s e para o qual a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de bit de 1×10-6. Considerando as modulações citadas no quadro abaixo, pede-se: c) Escolha (a)s modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente,

tenha(m) a melhor eficiência de potência e permitam operação do sistema em uma banda de, no máximo, 119 kHz. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha.

d) Escolha (a)s modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, permitam operação do sistema em uma banda de, exatamente, 25 kHz. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha.

e) Escolha (a)s modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenham a melhor eficiência de potência e permitam operação do sistema em uma banda de, no máximo, 25 kHz. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 – No processo de extração de sincronismo de portadora para detecção coerente em um sistema de comunicação BPSK é comum acontecer um fenômeno denominado ambiguidade de fase. Este fenômeno corresponde à geração de uma portadora de referência para demodulação com 180º de defasagem em relação à fase correta. Para driblar esse fenômeno tipicamente utiliza-se a versão diferencial da modulação BPSK, ou seja, a DBPSK, porém com detecção coerente seguida de decodificação diferencial. Pede-se comprovar a eficácia deste processo por meio de um exemplo que utilize a sequência de bits de informação



10111001010 e considere igual a “1” o bit armazenado inicialmente na saída do bloco de atraso do codificador diferencial. A fase inicial da portadora pode ser qualquer. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 – Um sinal BFSK, para o qual a separação entre os tons é de 1/Tb Hz, pode ser definido da seguinte maneira:

2( ) cos 2 , 0b

c bb b

E ts t f t t T

T T

ππ

= ± ≤ ≤

, onde fc é a frequência de portadora, Eb e Tb são a energia média e a

duração por bit, respectivamente. Utilizando uma identidade trigonométrica pode-se expandir a expressão anterior e obter:

( ) ( ) ( ) ( )2 2( ) cos cos 2 sen sen 2 ( )cos 2 ( )sen 2b b

c c I c Q cb b b b

E Et ts t f t f t s t f t s t f t

T T T T

π ππ π π π

= = −

∓ ,

de onde pode-se obter a envoltória complexa ( ) ( ) ( )I Qs t s t js t= +ɶ .

Definindo o pulso de formatação2

sen , 0( )


bb

b b

E tt T

g t T T

π ≤ ≤ =

, tem-se que ( )

( )2 2

2 2 cos( )

4 1b b b

b

E T fTG f

T f

ππ

=−

.

De posse destas informações, demonstre que a densidade espectral de potência de um sinal BFSK em banda-base é:

( )( )

2

22 2 2

8 cos1 1( )

2 2 2 4 1

b bbB

b b b b

E fTES f f f

T T T T f

πδ δ

π

= − + + +

−

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 – No gráfico ao lado há duas curvas de densidade espectral de potência (PSD, Power Spectral Density) em banda-base, referentes às modulações digitais M-FSK e M-PSK. Ambas as modulações estão transportando um feixe de 100 bit/s. Pede-se: a) Associe cada uma das curvas à correspondente modulação, não se esquecendo de determinar os valores de M onde for pertinente. Apresente justificativa para a associação feita.

b) Determine a taxa de símbolos e a largura de faixa (nulo-a-nulo do lobo principal) para cada modulação. c) Determine o espaçamento entre os tons da modulação M-FSK, em termos da taxa de símbolos.



d) Calcule a eficiência espectral de cada modulação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 – Pretende-se projetar um sistema de comunicação digital que consiga dar vazão a 50 kbit/s e para o qual a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de bit de 1×10-6. As modulações disponíveis e correspondentes características encontram-se no quadro a seguir. Pede-se: a) Qual(is) a(s) modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenha(m) a melhor eficiência de potência e permita(m) operação do sistema em uma banda de, no máximo, 119 kHz? Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. b) Qual(is) a(s) modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, permita(m) operação do sistema em uma banda de, exatamente, 25 kHz? Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. c) Qual(is) a(s) modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenha(m) a melhor eficiência de potência e permita(m) operação do sistema em uma banda de, no máximo, 25 kHz? Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha

Modulação Eb/N0, em dB,

para BER = 10−−−−6 Eficiência espectral,

em bits/s/Hz Modulação

Eb/N0, em dB, para BER = 10−−−−6

Eficiência espectral, em bits/s/Hz

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 – Se o principal critério para avaliação do desempenho de um determinado sistema de comunicação digital é a taxa de erro de bit, qual dos esquemas de modulação a seguir deve ser selecionado para operação em um canal AWGN? Registre os cálculos necessários à obtenção da resposta. Opção 1: Modulação BPSK com detecção coerente @ Eb/N0 = 8 dB. Opção 2: Modulação BFSK com detecção coerente @ Eb/N0 = 11 dB. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 – Têm-se dois sistemas de comunicação digital: um utiliza modulação BPSK com detecção coerente e o outro utiliza modulação DPSK com detecção não-coerente (ou diferencialmente coerente). Ambos os sistemas estão operando a 56 kbit/s e com taxa de erro de bit média de 10-4 em canal AWGN, sob influência da mesma potência de ruído. Quanto de potência de transmissão a mais está sendo necessária no sistema DPSK em relação ao sistema BPSK? Apresente os cálculos. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



16 – Teça comentários sobre o que se ganha e o que se perde na escolha de uma modulação com detecção não-coerente em detrimento de uma modulação idêntica, porém com detecção coerente. Procure justificar seus comentários. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17 – No início do estudo sobre a modulação DBPSK afirmou-se que a demodulação do sinal DBPSK funcionará corretamente desde que eventuais variações de fase provocadas pelo canal sejam lentas o suficiente para serem consideradas aproximadamente constantes durante dois intervalos sucessivos de sinalização. Justifique esta afirmação. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA



Aula nº 19 Data: ____ / ____ / _______ Tema – Espalhamento Espectral - 1.

Conteúdo Definição e atributos do Espalhamento Espectral. Sequências de espalhamento e suas propriedades de correlação. Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir um sinal com espalhamento espectral. 2) explicar o funcionamento da técnica DS-SS. 3) determinar como são geradas as sequências m, Walsh e Gold. 4) conceituar a influência das propriedades de correlação das sequências de espalhamento no desempenho de um sistema com espalhamento espectral.

Espalhamento Espectral – Um breve histórico A técnica de espalhamento espectral (Spread Spectrum – SS) aparentemente teve sua primeira aplicação durante a segunda guerra mundial. Mas o spread spectrum não foi desenvolvido em sua totalidade par fins militares. Alguns anos antes da guerra já podiam ser identificados vários subsistemas de um sistema com espalhamento espectral, aplicados em diferentes contextos. Um dos históricos mais abrangentes sobre o tema pode ser encontrado no clássico:

SIMON, M. K. et al. Spread Spectrum Communications Handbook. USA: McGraw Hill, Inc., 2001. ISBN 0071382151.

O texto a seguir, bastante curioso, foi extraído do clássico de SIMON, M. K. et al e mostra a ficção muito próxima da realidade da técnica de espalhamento espectral. Após esta aula já teremos condições de entender exatamente o episódio que o texto conta...

“Whuh? Oh,” said the missile expert. “I guess I was off base about the jamming. Suddenly it seems to me that’s so obvious, it must have been tried and it doesn’t work.” “Right, it doesn’t. That’s because the frequency and amplitude of the control pulses make like purest noise—they’re genuinely random. So trying to jam them is like trying to jam FM with an AM signal. You hit it so seldom; you might as well not try.” “What do you mean, random? You can’t control anything with random noise.” The captain thumbed over his shoulder at the Luanae Galaxy. “They can. There’s a synchronous generator in the missiles that reproduces the same random noise, peak by pulse. Once you do that, modulation’s no problem. I don’t know how they do it. They just do. The Luanae can’t explain it; the planetoid developed it.” England put his head down almost to the table. “The same random,” he whispered from the very edge of sanity.

— from “The Pod in the Barrier” by Theodore Sturgeon, in Galaxy,Sept. 1957; reprinted in A Touch of Strange (Doubleday, 1958).

Espalhamento Espectral – Definição Um sinal com espalhamento espectral é aquele que ocupa uma largura de faixa muito maior que a necessária. A largura de faixa ocupada é, até certo ponto, independente da taxa de informação. Um sinal que ocupa uma banda elevada não é necessariamente um sinal SS, embora muitas vezes o sinal SS seja um sinal faixa larga. Por outro lado, um sinal que ocupa uma banda relativamente pequena



pode ser classificado como um sinal SS. O que determina se um sinal é ou não é um sinal SS é a forma de geração do sinal modulado, respeitando-se a definição hora apresentada. Wide Band ≠ Spread Spectrum Seja o diagrama a seguir referente a um transmissor de um sistema com espalhamento espectral. Nele os bits de informação são convertidos para a forma bipolar e em seguida multiplicados por uma sequência com taxa muito maior que a taxa de bits de informação. O sinal resultante desta multiplicação modula uma portadora utilizando, em princípio, qualquer tipo de modulação. O sinal de saída do sistema é um sinal Spread Spectrum. De forma a se fazer clara distinção entre a sequência de bits de informação e a sequência de espalhamento, dá-se o nome de chip ao bit desta última. Assim diz-se que a duração de um bit da sequência de espalhamento é a duração de um chip, Tc. No diagrama mostrado percebe-se que a banda ocupada pelo sinal é função de Tc e que se trata de uma banda maior que a necessária para transmitir os dados. Esta banda necessária é aquela que seria obtida com o sistema da figura, sem que seja realizada a multiplicação pela sequência de espalhamento. Portanto, segundo a definição dada, trata-se realmente de um sistema com espalhamento espectral. Se alterarmos Tb a largura de faixa não se altera, pois quem a governa é Tc, desde que Tb > Tc. É por esta razão que, na definição de um sinal spread spectrum mencionou-se que a banda do sinal espalhado é independente da taxa de bits de informação até certo ponto.

A sequência de espalhamento é também chamada de sequência pseudo-aleatória (PN) ou ainda sequência código. Observando a figura anterior percebe-se que tal sequência se repete a cada N chips e tem um comportamento similar a um comportamento aleatório dentro do período de NTc. O nome da técnica ilustrada na figura anterior corresponde a uma das técnicas de espalhamento espectral que estudaremos em detalhes no nosso curso: o espalhamento espectral por sequência direta (Direct Sequence Spread Spectrum, DS-SS). Principais atributos de um sinal Spread Spectrum Numa primeira análise, um sinal espalhado no espectro parece ser indesejado. Por que razões haveríamos de querer um sinal com banda muito maior que a banda mínima necessária, a qual é definida pela modulação e pela taxa de bits? A seguir estudaremos alguns dos atributos de um sinal



Spread Spectrum que o tornam atrativo e que eliminam com folga esta aparente desvantagem da banda elevada. 1) Baixa densidade espectral de potência Sabemos que quanto menor a densidade espectral de potência (DEP) de um sinal, menor será a concentração de potência por faixa de frequência. Por baixa DEP entende-se uma distribuição de uma determinada potência em uma grande faixa de frequências. Por exemplo, na parte “a” da figura a seguir um sinal de potência P é transmitido numa pequena banda e, portanto, atribui-se este sinal a um transmissor de faixa estreita com alta DEP. Por outro lado, na parte “b” da figura tem-se a potência P distribuída em uma faixa bastante elevada, característica típica de um sinal Spread Spectrum com baixa DEP.

Uma das principais vantagens da baixa densidade espectral de potência é a pequena interferência em sistemas de faixa estreita. Esta é uma das razões pelas quais se recomenda que sinais SS sejam utilizados em aplicações nas bandas ISM (Industrial Scientific and Medical), nas quais normalmente não são necessárias licenças da Agência Reguladora para operação. A baixa densidade espectral de potência pode ser suficiente par imergir o sinal SS no ruído, como ilustrado na figura a seguir. Isto pode ser útil para ocultar transmissões de um receptor não intencional, situação típica em aplicações militares (neste exemplo, o sinal desejado (amigo) pode ficar invisível ao inimigo se sua DEP estiver abaixo da DEP de ruído de fundo de escala do equipamento inimigo usado para rastrear o sinal amigo).

2) Baixa probabilidade de interceptação A baixa probabilidade de interceptação (Low Probability of Interception, LPI) pode ocorrer devido a duas características de um sinal SS:

(a) A baixa densidade espectral de potência pode tornar um sinal SS “invisível” a um receptor não intencional. Torna-se difícil interceptar um sinal que não se pode detectar. (b) Quanto maior o comprimento da sequência de espalhamento (quanto maior o número de chips em um período desta sequência) maior a dificuldade de geração de uma réplica pelo interceptador, o que também dificulta a interceptação. Por exemplo, uma sequência PN com N = 31, comprimento considerado curto na prática, pode levar à chance de 1/(231) do receptor não



intencional conseguir replicá-la. Lembre-se que o receptor intencional conhece a sequência PN gerada pelo correspondente transmissor, de forma que possa realizar a operação inversa do espalhamento, o desespalhamento (do inglês despreading).

3) Imunidade a interferências Um sinal que apresenta baixa probabilidade de ser detectado, como por exemplo um sinal SS imerso no ruído (veja figura anterior), dificilmente poderá sofrer uma interferência intencional. Por outro lado, uma interferência de faixa estreita corromperá uma pequena faixa do sinal SS e, portanto, será pouco prejudicial. Mais adiante veremos de forma um pouco mais rigorosa como isso é possível. Já um sinal de faixa larga, mesmo ocupando a mesma banda do sinal SS, poderá não interferir na comunicação a ponto de inviabilizá-la. Isto ocorre devido principalmente à baixa correlação que pode haver entre o sinal SS e o sinal interferente. Também veremos isso com mais detalhes em outro momento do curso. 4) Possibilidade de implementação de múltiplo acesso CDMA (Code Division Multiple Access) Seja o sistema de comunicação mostrado da figura a seguir, composto por 3 usuários transmitindo simultaneamente e na mesma banda para um receptor que tem por objetivo “separar” a informação de cada usuário das demais, preferencialmente sem interferência entre os vários sinais. A separação pode não ser perfeita devido ao ruído e às interferências. Esse é um cenário típico de um sistema celular, por exemplo, no qual vários terminais móveis enviam seus sinais para uma estação radiobase . Se os sinais dos vários usuários compartilham a mesma banda de frequências e são transmitidos simultaneamente, o que permitirá acesso múltiplo ao meio de comunicação será o uso de sequências de espalhamento (denominadas neste contexto de sequências código) distintas e que façam com que os sinais transmitidos sejam, idealmente, ortogonais. Por essa razão, a técnica de múltiplo acesso em questão é chamada Múltiplo Acesso por Divisão em Código (CDMA).



Espalhamento espectral por sequência direta (Direct Sequence Spread Spectrum – DS-SS) Vimos no início do presente estudo uma das formas mais simples de implementação de um sistema com espalhamento espectral em banda-base. Nela a sequência de bits de informação é convertida para a forma bipolar, por exemplo, 0 – 1 e 1 +1 e em seguida é multiplicada por uma sequência de espalhamento, também bipolar, de taxa muito maior. Este sistema, pelo fato de gerar um sinal spread spectrum pela multiplicação direta da sequência de espalhamento pela sequência de informação, é chamado de espalhamento espectral por sequência direta. Como resultado desta multiplicação tem-se um sinal em banda-base cuja faixa ocupada depende diretamente da taxa da sequência de espalhamento e é independe, até certo ponto, da taxa de bits de informação. Dizemos “até certo ponto” porque se a taxa de bits começa a ficar com valor comparável à taxa da sequência de espalhamento, começará a ter influência na banda do sinal e, portanto, não teremos mais um sinal spread spectrum. Na figura a seguir tem-se uma ilustração da implementação da técnica DS-SS.

A sequência de espalhamento é uma sequência periódica de período NTc, onde N é comprimento ou número de bits (chips) em um período da sequência e Tc é a duração de um chip. Por ser periódica, o espectro de tal sequência é discreto. Nele, a distância entre as raias espectrais é a taxa em que a sequência se repete e, portanto, é igual a 1/NTc. Os “nulos” da envoltória espectral desta sequência ocorrem a cada múltiplo inteiro de 1/Tc. Portanto, se definirmos a banda do sinal espalhado como sendo a banda do lobo principal do sinal, em banda-base um sinal DS-SS terá banda 1/Tc Hz. Embora não seja obrigatório, tipicamente o período da sequência de espalhamento coincide com a duração de um bit de informação, ou seja: Tb = NTc.



A figura a seguir ilustra um sistema com espalhamento espectral DS-SS, incluindo a modulação. Perceba que a única diferença para o sistema em banda-base é de fato a inserção do modulador que, tipicamente, é um modulador BPSK ou QPSK.

Agora, se considerarmos a banda do sinal como sendo a banda do lobo principal, teremos uma banda de 2/Tc, pois quem está modulando a portadora em BPSK é o sinal já espalhado, cujo tempo de símbolo vale Tc. Veja a ilustração a seguir.

A figura a seguir ilustra o receptor para o sinal DS-SS BPSK considerado anteriormente. O sinal recebido é transladado para banda-base pelo primeiro mixer (multiplicador). Entretanto, este processo de translação gera os chamados “produtos de intermodulação”, os quais são atenuados pelo filtro que vem em seguida. Na saída deste filtro temos um sinal DS-SS em banda-base e o restante do receptor é, portanto, idêntico ao receptor de um sinal DS-SS em banda-base: o sinal após o filtro é correlacionado com uma réplica da sequência de espalhamento utilizada na transmissão; o resultado da correlação gera a variável de decisão que é comparada com o limiar para que seja tomada a decisão sobre os bits transmitidos.



Vamos analisar com um pouco mais de profundidade algumas formas de onda e espectros ao longo do receptor apresentado. Na figura a seguir são mostrados os espectros do sinal recebido (parte superior) e do sinal de saída do filtro passa-baixas (parte inferior). Percebe-se que o sinal de saída do filtro é um sinal em banda-base, livre de componentes de intermodulação, mas ainda espalhado no espectro.

A forma de onda a seguir corresponde à saída do integrador, na ausência de ruído. Após o desespalhamento, à entrada deste integrador está sendo aplicada a sequência de informação já desespalhada e, portanto, composta de valores constantes e iguais a +1 ou – 1 (ou qualquer valor bipolar). O resultado da integral deste sinal, a cada intervalo de bit, corresponde a uma sequência de rampas, como pode ser visto na figura em questão. Perceba que esta forma de onda é exatamente igual àquela que seria obtida com o uso de uma sinalização antipodal com formatos de pulso retangulares.

Ao final de cada intervalo de integração o sinal é amostrado e o valor da amostra é comparado com o limiar de decisão, permitindo a decisão pelo bit transmitido. Perceba que este processo é idêntico àquele realizado em uma transmissão binária com qualquer formato de pulso de transmissão confinado no intervalor de bit. Então, podemos interpretar a transmissão com espalhamento espectral como uma transmissão binária antipodal em que o “formato de pulso” de transmissão corresponde a um período completo da sequência de espalhamento: para o bit 1 transmite-se o sinal deste período completo e para o bit 0 transmite-se este sinal com polaridade invertida. Na presença de ruído faz-se a análise similar. Agora, na saída do integrador há um sinal cujo valor de pico varia em função da influência deste ruído, o que, eventualmente, pode causar erros na decisão. A figura a seguir ilustra esta situação.



A figura a seguir reapresenta, em caráter de revisão, a estrutura do receptor para sinalização binária antipodal com formato de pulso de transmissão g(t) ilustrado. Note que, de fato, a transmissão com espalhamento espectral aqui considerada pode ser interpretada como uma transmissão binária antipodal em que o “formato de pulso” de transmissão corresponde a um período completo da sequência de espalhamento.

Sequências de espalhamento – definição Uma sequência de espalhamento, como o nome sugere, é o sinal utilizado para espalhar o espectro do sinal transmitido em um sistema spread spectrum. Em princípio, qualquer sequência que tivesse uma taxa de chips maior que a taxa de bits de informação seria adequada. Entretanto, outras propriedades além da taxa devem ser levadas em conta na implementação de um sistema com espalhamento espectral, para que o desempenho desejado seja conseguido e para que os atributos do sinal spread spectrum de fato se manifestem. Existem vários tipos de sequência de espalhamento, cada uma mais ou menos adequada à aplicação da técnica spread spectrum. Por exemplo, certas sequências são mais adequadas para fazer com que o espectro do sinal espalhado seja “bem comportado”, no sentido de ocupar da maneira adequada a banda disponível. Outras são adequadas por proporcionarem maior imunidade a interferências em sistemas CDMA. Outras, ainda, permitem que o processo de sincronismo no receptor seja mais facilmente implementado. A seguir vamos estudar algumas destas sequências. Sequências de comprimento máximo (sequências m) Também conhecidas como sequências PN (Pseudo-Noise sequences), as sequências m são sequências formadas por registradores de deslocamento, numa configuração como a ilustrada a seguir:



Nesta configuração, o número de flip-flops do registrador é m (o que justifica o nome dado à sequência). A lógica de realimentação é que define se será ou não será gerada uma sequência de comprimento máximo, na qual o número de chips em um período é N = 2m – 1. Quanto maior o registrador de deslocamento (maior valor de m), mais possibilidades existem de geração de sequências diferentes. Cada configuração de realimentação diferente gera uma sequência diferente e as conexões de realimentação corretas são tipicamente determinadas por meio de tabelas, já que a teoria por trás da determinação destas conexões é bastante complexa e está fora do escopo do nosso curso. A seguir tem-se uma tabela com algumas das conexões dos flip-flops para que uma sequência m seja de fato gerada com máximo comprimento. Na primeira coluna (da esquerda) tem-se os valores de m. Na segunda coluna tem-se os correspondentes comprimentos das sequências geradas. Na terceira coluna estão algumas das regras de conexão que produzem sequencias m de comprimento máximo, como melhor explicado logo adiante. Na coluna da direita tem-se o número máximo de diferentes sequências que podem ser geradas, que é igual ao número máximo de conexões corretas. As conexões de realimentação no gerador de uma sequência m podem ser representadas como na tabela a seguir, por números na base binária ou por números na base octal. Por exemplo, na tabela, três das seis sequências para m = 5 são geradas a partir das conexões indicadas por [5, 3], [5, 4, 3, 2] e [5, 4, 2, 1], as quais podem ser representadas na forma binária por [b0 b1 ... bm−1 bm] = [1 0 0 1 0 1], [1 0 1 1 1 1] e [1 1 1 0 1 1], respectivamente, onde a presença de um bit “1” na posição i representa a existência de uma conexão na saída do i-ésimo flip-flop, sendo que o bit “1” mais à esquerda, b0, representa a conexão de entrada do flip-flop mais à esquerda. Na base octal tais conexões seriam representadas respectivamente por 458, 578 e 738.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - Vamos determinar os estados de saída dos flip-flops do gerador a seguir e também a sua forma de onda de saída, correspondente à sequência de estados do flip-flop mais à direita, para uma carga inicial igual a 1 0 0.

Agora vamos repetir o exemplo com outra configuração de realimentação nos flip-flops:

Pelos resultados obtidos com este exemplo percebemos que a primeira configuração representa uma conexão correta (conexão [3,1] na tabela anterior), pois a sequência gerada possui N = 2m – 1 = 23 – 1 = 7 chips em um período. Percebemos ainda, na primeira configuração, que todas as combinações de 3 bits são reveladas nos estados dos flip-flops, exceto a combinação 0 0 0, a qual se perpetuaria indefinidamente se existisse. Cargas iniciais diferente de 1 0 0 apenas faria com que uma mesma sequência se iniciasse em partes diferentes de seu período. Observando-se agora a segunda configuração, percebe-se que ela gerou uma sequência cujo comprimento não é 2m – 1 e, portanto, trata-se de uma configuração com conexão de realimentação incorreta. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Função de auto-correlação e função de correlação cruzada para sequências de espalhamento Como as sequências de espalhamento são sinais periódicos de período NTc, as funções de auto-correlação e de correlação cruzada podem ser determinadas respectivamente por:

0

0

/ 2

/ 20

1( ) ( ) ( )

T

X TR x t x t dt

Tτ τ

+

−= −∫ e

0

0

/ 2

/ 20

1( ) ( ) ( )

T

XY TR x t y t dt

Tτ τ

+

−= −∫

onde T0 = kNTc, para k inteiro. Tais funções medem, respectivamente, o grau de correlação (ortogonalidade) entre sequências iguais e entre sequências diferentes, para deslocamentos relativos τ entre os pares analisados.



A função de auto-correlação de uma sequência de espalhamento idealmente não deve ser nula somente quando o deslocamento relativo é nulo. Isto beneficiaria o processo de detecção e o processo de aquisição e rastreamento de sincronismo. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - No diagrama mostrado a seguir, referente a uma representação didática do processo de sincronismo no receptor, inicialmente a sequência embutida no sinal recebido está fora de sincronismo com a sequência gerada localmente. Com o passar do tempo, o desalinhamento entre tais sequências começa a diminuir por atuação do sistema de controle em um circuito de atrasos discretos ou em um oscilador controlado por tensão (VCO – Voltage Controlled Oscillator), até o momento em que tais sequências se alinham e o valor da correlação se eleva abruptamente. Neste instante o sistema de controle “trava” o circuito de atraso ou o VCO e o receptor continua em sincronismo.

Perceba a importância de se ter um único pico na função de auto-correlação. Caso haja mais de um, a condição de travamento do sistema acima pode ocorrer no pico errado e, desta forma, fazer com que o sistema trave fora de sincronismo. Perceba ainda que, quanto maior for o valor do pico em relação aos demais valores, mais facilmente a condição de sincronismo será detectada e, por consequência, tal sistema de sincronismo será mais imune à ação do ruído. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A função de correlação cruzada entre duas sequências de espalhamento idealmente deve ser nula para qualquer valor de deslocamento relativo entre elas. Isto beneficiaria a imunidade à interferência de múltiplo acesso em sistemas CDMA. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - No sistema ilustrado a seguir se tem uma representação didática de um dos receptores de uma estação radiobase (ERB) em um sistema de telefonia celular CDMA. A antena da ERB recebe a soma de vários sinais, incluindo o sinal de interesse (sinal do usuário 2 neste exemplo). No processo de correlação para gerar a variável de decisão y, desejamos que somente a sequência PN2 embutida no sinal do usuário 2 seja detectada, o que demandaria que a correlação cruzada dos sinais dos demais usuários com a sequência PN2 gerada no receptor fosse nula. Em outras palavras, os sinais interferentes deveriam ser ortogonais ao sinal de interesse.



Matematicamente teríamos:

[ ]

2 1 2 30

2 1 2 2 2 30 0 0ZERO

ZERO ZEROMÁXIMO

PN ( ) PN ( ) PN ( ) PN ( )

PN ( )PN ( ) PN ( )PN ( ) PN ( )PN ( ) etc Ruído

c

c c c

NT

NT NT NT

y t t t t dt

t t dt t t dt t t dt

= + + +

= + + + +

∫

∫ ∫ ∫

⋯

⋯

Com este exemplo é possível perceber a importância de se ter valores baixos de correlação cruzada entre as diferentes sequências de espalhamento utilizadas pelos terminais em um sistema CDMA. Infelizmente, na prática é bastante difícil obter sequências de espalhamento perfeitamente ortogonais para qualquer deslocamento relativo. Mesmo naqueles casos em que tais sequências podem ser implementadas, na maior parte das situações reais o canal de comunicação destrói a ortogonalidade entre elas. Uma situação típica onde isto ocorre se refere aos sistemas de comunicação móvel operando em canais com múltiplos percursos de propagação. Mais adiante no nosso curso teremos a oportunidade de estudar com mais detalhes esta situação e justificar a perda de ortogonalidade entre as sequências de espalhamento utilizadas. Funções de correlação e densidade espectral de potência para sequências m Considerando-se apenas um período, a função de auto-correlação de sequências m é dada por:

11 | |, | |

( )1

, | |

cc

c

NT

NTR

TN

τ ττ

τ

+ − ≤= − >

Pela função esboçada (extrapolada para mais de um período) percebe-se que, como esperado, a função de auto-correlação é periódica, pois uma sequência m é também periódica. Percebe-se ainda que o valor de pico em τ = 0 é igual a 1. Entretanto, se verificarmos em outras referências poderemos encontrar valores diferentes. Na verdade não há nenhum erro conceitual nestes diferentes valores. São apenas formas diferentes de normalização do valor máximo da auto-correlação. Quanto maior o comprimento da sequência m, mais próximo de zero se tornará o valor –1/N e, neste caso, mais próxima da situação ideal se tornará a função de autocorrelação. Em outras palavras, quando aumentamos o comprimento N da sequência o valor da função de auto-correlação em |τ | > Tc



se aproximará cada vez mais de zero e mais destacado se tornará o valor de pico em τ = 0, para uma dada taxa de chips. Como bem sabemos, se tomarmos a transformada de Fourier da função de auto-correlação teremos como resultado a densidade espectral de potência (DEP) da sequência. A DEP para sequências m é dada por:

22 2

0

1 1( ) ( ) sincc

n cn

N n nS f f f

N N N NTδ δ

∞

=−∞≠

+ = + −

∑

Como se trata de uma função periódica, era esperado que o espectro da sequência fosse composto de raias espectrais (espectro discreto). Na DEP em questão a envoltória (linha tracejada) tem nulos em múltiplos inteiros de 1/Tc. Portanto, como também era esperado, quanto menor o valor de Tc mais amplo será o espectro da sequência de espalhamento e, por consequência, mais amplo será o espectro do sinal spread spectrum. O espaçamento entre as raias espectrais da DEP ocorre na mesma cadência de repetição do sinal periódico. Sendo assim, a separação entre tais raias tem valor 1/(NTc). Adicionalmente, se fizermos Tb = NTc, o espaçamento entre as raias será também igual à taxa de bits de informação. Nota-se que na DEP dada há uma pequena raia em f = 0, que corresponde à componente DC da sequência m. Se observamos qualquer sequência deste tipo, notaremos que há sempre um chip “+1” a mais que o número de chips “−1”. Esta é a razão para a existência deste nível DC. Nota-se ainda que, se aumentarmos o comprimento da sequência, este desbalanceamento será menos significativo e, por consequência, o nível DC será reduzido. Como exemplo adicional, vejamos as funções: (a) Função de auto-correlação para a sequência m [7, 1] e para a sequência m [7, 6, 5, 4]. (b) Função de correlação cruzada entre as sequências m [7, 1] e [7, 6, 5, 4], ilustradas nas figuras a seguir. Devido às conexões apresentadas concluímos que se trata de sequências m com m = 7. Portanto, o comprimento de tais sequências é de N = 2m – 1 = 27 – 1 = 127. Notamos ainda um exemplo de normalização alternativa para o valor de pico das funções em questão: o valor de pico da função de auto-correlação é N e não 1 neste caso. Com relação à função de correlação cruzada, notamos que há picos de grande intensidade. Este é um comportamento genérico para sequências m, o que nos leva à conclusão de que, embora sejam excelentes do ponto de vista de facilitadoras do processo de sincronismo, as sequências m não são, em princípio, adequadas para implementação de múltiplo acesso CDMA, pois gerarão grande interferência entre os sinais dos vários terminais.



(a)

(b)

Sequências Walsh-Hadamard As sequências Walsh-Hadamard recebem este nome devido aos seus inventores. Elas tem como principal característica o fato da função de correlação cruzada entre qualquer par destas sequências ser nula (sequências ortogonais), mas somente para deslocamento relativo nulo. Alguns pares tem correlação nula para qualquer deslocamento relativo. Podem ser geradas 2n sequências de comprimento 2n, para n = 1, 2, 4, 8, ...., por meio do seguinte processo: inicia-se com a matriz de Hadamard

1 1(2)

1 1

+ + = + − H ,

a partir da qual são formadas matrizes de Hadamard de ordem 2n,

( ) ( )(2 ) .

( ) ( )

n nn

n n

= −

H HH

H H

Como exemplo, vamos construir 8 sequências Walsh-Hadamard de comprimento N = 8. A seguir são dadas as matrizes de Hadamard obtidas em cada passo. Perceba que os quadrados simples nas matrizes H(2n) contém réplicas da matriz H(n) e os quadrados duplos contém –H(n), para n = 2 e 4. A matriz H(8) contém as 8 sequências construídas.



1 1(2)

1 1

+ + = + − H

1 1 1 1

1 1 1 1(4)

1 1 1 1

1 1 1 1

+ + + + + − + −

= + + − −

+ − − +

H

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1(8)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

+ + + + + + + + + − + − + − + − + + − − + + − −

+ − − + + − − + = + + + + − − − − + − + − − + − + + + − − − − + +

+ − − + − + + −

H

Embora as sequências Walsh-Hadamard tenham excelentes propriedades de correlação cruzada (para deslocamento relativo nulo), sua função de auto-correlação pode ter picos de valor elevado, tornando-a inadequada para auxiliar no processo de sincronismo e detecção. Veja como exemplo na figura a seguir a função de auto-correlação da sequência Walsh de número 64, com comprimento N = 128. Além disto, perceba que, por exemplo, a primeira linha da matriz H(8) é toda composta de +1s, ou seja, esta sequência de fato não causará nenhum espalhamento do sinal. Isto fará com que a DEP do sinal resultante da multiplicação de uma sequência Walsh-Hadamard pela sequência de informação não seja uniforme, apresentando diferentes formas dependendo da sequência utilizada. Isto permite concluir que sequências Walsh-Hadamard são são adequadas para produzir espalhamento do espectro.

Sequências Gold As sequências Gold são implementadas pela operação ou-exclusivo (XOR) entre duas sequências m escolhidas de tal sorte que a função de correlação cruzada da sequência resultante tenha picos de menor valor que aqueles verificados com cada par de sequências m isoladamente. Entretanto, as sequências Gold tem sua função de auto-correlação com características mais distantes da situação ideal e, portanto, piores que aquelas proporcionadas por cada uma das sequências m isoladamente. A figura a seguir ilustra um gerador de sequência Gold composto dos geradores de sequências m com conexões [7, 4] e [7, 6, 5, 4]. Em seguida tem-se a função de auto-correlação (a) para uma sequência Gold e a função de correlação cruzada (b) para duas sequências Gold geradas a partir das mesmas conexões, mas com cargas iniciais diferentes em um dos geradores de sequência m. Observe que, em comparação com a função de correlação cruzada apresentada anteriormente para sequências m de mesmo comprimento, a faixa de variação da função de correlação cruzada para as sequências Gold é significativamente menor. No entanto, a função de auto-correlação tem comportamento mais distante do ideal, contendo valores bastante elevados fora de τ = 0.



(a)

(b)

Pode-se agora estabelecer uma classificação a partir do conhecimento das propriedades de auto-correlação e de correlação cruzada para as sequências estudadas:

Sequência m: função de auto-correlação muito próxima da ideal e função de correlação cruzada com picos elevados e, portanto, com comportamento mais distante do ideal. Sequência Walsh-Hadamard: correlação cruzada ideal para deslocamentos relativos nulo e função de auto-correlação com picos elevados e, portanto, com comportamento distante do ideal. Sequência Gold: função de auto-correlação um pouco distante do comportamento ideal em comparação com a função de auto-correlação das sequências m e um pouco melhor que a função de auto-correlação das sequências Walsh-Hadamard. Função de correlação cruzada melhor que a das sequências m e pior que a das sequências Walsh-Hadamard.



Combinação de sequências de espalhamento Pelo exposto neste estudo sobre sequencias de espalhamento, podemos concluir que não é tarefa fácil encontrar uma que tenha, simultaneamente, funções auto-correlação e de correlação cruzada se aproximando das ideais. Existem várias sequências que tem esta característica, mas são bastante complexas em termos de construção e análise. Para solucionar de certo modo este problema, muitos sistemas de comunicação combinam diferentes sequências de espalhamento com diferentes propósitos. Para ilustrar este conceito, considere o sistema mostrado a seguir, correspondente a um transmissor de um sistema CDMA. Nele os bits de informação sofrem uma operação XOR com uma sequência Gold de comprimento muito elevado e à mesma taxa destes bits de informação, objetivando produzir “aleatorização” (scrambling) da sequência de informação e certo grau de sigilo a mais na comunicação. Depois do resultado da operação XOR passar pela conversão para a forma bipolar, faz-se a multiplicação do sinal resultante pela sequência m, de taxa elevada, o que garante o espalhamento espectral do sinal, a uniformidade espectral do sinal de saída e maior facilidade no processo de sincronismo no receptor. A multiplicação seguinte pela sequência Walsh-Hadamard garante ortogonalidade entre o sinal spread spectrum gerado e os demais sinais, facilitando a extração da informação de cada usuário pela estação base receptora. Em um sistema real, outras funções podem ser atribuídas a cada uma das sequências de espalhamento, tais como a identificação de estação base e a demarcação de quadro. O que é importante notar é que esta combinação de sequências tem como principal objetivo explorar ao máximo o que cada uma pode oferecer de melhor.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios para casa 1 - Extrair os parâmetros correspondentes às propriedades das sequências pseudo-aleatórias para o caso de sequências-m. Quando pertinente, fazer desenhos e/ou gráficos para ilustrar cada propriedade, preferencialmente utilizando alguma ferramenta computacional (VisSim/Comm, Matlab ou Mathcad). 2 - Teça comentários sobre a influência da propriedade de balanceamento (balance) no espectro de uma sequência-m, sempre fazendo algum tipo de associação com o espectro de uma sequência completamente aleatória. 3 - Há uma incompatibilidade entre as conexões recomendadas para geração de sequência-m, m = 5, no livro do Haykin e no tutorial sobre Spread Spectrum de J. Mell, disponível por meio do endereço: http://www.inatel.br/docentes/dayan/EE210/outros/[Nay99].pdf . Descubra qual das duas formas de conexão está correta. 4 - Mostrar que a expressão (7.6) do livro do Haykin é válida. Dicas: a) lembrar que a periodicidade no tempo corresponde a impulsos igualmente espaçados na frequência; b) fazer uso de alguma tabela de



Transformada de Fourier de funções conhecidas e c) usar a representação a seguir para auxiliá-lo na

construção da resposta, notando que: '( ) ( ) ( )R Y Xτ τ τℑ = ℑ − ℑ .

5 - Teça comentários procurando justificar em que situação a densidade espectral dada pela equação (7.6) do livro do Haykin se aproximará da densidade espectral de uma sequência aleatória. 6 - Qual a aplicabilidade e a desvantagem que você encontra na utilização de sequências-m em sistemas CDMA? 7 - Associe as colunas a seguir, justificando todas as associações. Obs: as associações podem não ser exclusivas e também podem não ser únicas.

(1) sequência-m (2) sequência Walsh (3) sequência Gold (4) Outra (pesquisar)

( ) Adequada pra sincronismo. ( ) Proporciona baixa interferência de múltiplo acesso (MAI). ( ) Adequada para sincronismo e baixa MAI. ( ) Adequada apenas para espalhamento.

8 – Faça uma pesquisa e descubra qual é a regra simples de determinação da função de correlação cruzada entre duas sequências quaisquer de mesmo comprimento. 9 – Utilizando a definição abaixo, calcule o valor máximo da função de auto-correlação para sequências de espalhamento quaisquer cujas possíveis amplitude sejam +1 e –1 .

0

0

/ 2

/ 20

1( ) ( ) ( )

T

X TR x t x t dt

Tτ τ

+

−= −∫

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA




Conteúdo Ganho de processamento e margem de interferência para sinais DS-SS e FH-SS. Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar o ganho de processamento e a margem de interferência em sistemas DS-SS e FH-SS. 2) realizar cálculos envolvendo o ganho de processamento e a margem de interferência em sistemas DS-SS e FH-SS.

Ganho de processamento em sistemas DS-SS O ganho de processamento (processing gain) é a razão entre a relação sinal / (ruído + interferência) após e antes do processo do “desespalhamento” no receptor. Representa o ganho em desempenho obtido com o uso de espalhamento espectral em relação àquele obtido sem o seu uso, conservadas iguais as demais condições.

o

i

( / )GP

( / )

S J

S J=

Para um sistema com espalhamento espectral por sequência direta, DS-SS, o ganho de processamento é dado pelo fator de espalhamento do sinal, que é a relação entre a duração de um bit de informação e a duração de um chip da sequência de espalhamento, ou seja:

GP b c

c b

T R

T R= =

Se Tb = NTc, que é o caso mais comum na prática, teremos GP = N. Margem de interferência A margem de interferência (jamming margin) é o máximo valor que relação entre a potência de interferência J e a potência de sinal P pode assumir, ainda permitindo que o sistema alcance a probabilidade de erro de bit a uma dada relação Eb/J0, onde Eb é a energia média por bit de informação e J0 é a densidade espectral de potência do sinal interferente mais ruído. Essa relação Eb/J0 é função da modulação utilizada no sistema, desconsiderando-se o espalhamento. Em outras palavras, na análise de margem de interferência a relação Eb/J0 entra no lugar de Eb/N0 na expressão de probabilidade de erro da modulação utilizada. A margem de interferência, em dB, é calculada por meio de:

J0

M 10log GP bJ E

P J = = −

A figura a seguir ilustra o efeito do ganho de processamento na margem de interferência. Nela, um sistema DS-SS opera em um ambiente em que há um sinal interferente de faixa estreita, além de ruído branco. Na antena receptora a relação sinal / (ruído + interferência) é muito baixa, podendo na prática ser até menor que 1. O processo de desespalhamento realizado no receptor faz com que a banda do sinal de interesse seja restaurada e faz com que o sinal interferente seja espalhado. Nenhum



espalhamento acontece no ruído branco, pois o mesmo já é um sinal de faixa larga. Se após o desespalhamento inserirmos um filtro passa-faixas com banda igual à banda do sinal de interesse, teremos como resultado uma relação sinal / (ruído + interferência) elevada a ponto de permitir que a informação seja recuperada.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - Suponha que um sistema de comunicação digital com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS) tenha que apresentar uma taxa de erro de bit menor ou igual a 10−4 sob interferência de faixa estreita em canal AWGN. Tal sistema utiliza modulação ΒPSK com detecção coerente (veja desempenho na figura ao lado). A sequência pseudo-aleatória utilizada é uma sequência m implementada a partir de um registrador de deslocamento com 10 flip-flops. Cada período desta sequência corresponde à duração de um bit de informação. Pede-se: a) Calcule o ganho de processamento do sistema DS-SS, em dB. b) Calcule e interprete a margem de interferência do sistema DS-SS, em dB.

10

0

a) Se GP 2 1 2 1 1023

Então GP 10log1023 30,1dB

b) GP 30,1 8,4 21,7 dB

Isto significa que a potência do sinal interferente poderá

estar até 21,7 dB acima da potência do sinal DS-S

mbb c

c

b

TT NT N

T

EJ

P N

= ⇒ = = = − = − =

= ≅

= − = − =

4

S na

entrada do receptor, ainda garantindo uma BER 10 .−≤

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- O ganho de processamento tem efeito em sinais interferentes de faixa estreita, pois é neste caso que a densidade espectral de potência do sinal interferente é reduzida pelo processo de desespalhamento do sinal. Se um sinal interferente tem faixa larga, o desespalhamento realizado



no receptor o manterá com faixa larga e, portanto, não reduzirá sua influência no desempenho do sistema na faixa ocupada pelo sinal de interesse, após ser desespalhado. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - Um rádio DS-SS opera em uma faixa de frequências compartilhada por 23 terminais celulares de banda estreita que agem como interferentes de faixa estreita para o sistema DS-SS. Tanto o sinal desejado quanto cada um dos sinais interferentes chega ao receptor DS-SS com a mesma potência média. A técnica DS-SS opera com modulação BPSK a uma taxa de bits de 9.600 bit/s. A seguir está calculada, de duas maneiras distintas, a mínima taxa de chips da sequência de espalhamento utilizada no sistema DS-SS de tal sorte que a probabilidade de erro de bit no receptor DS-SS não ultrapasse 9,3142×10–4. Admita que a potência de ruído seja desprezível em comparação com a potência dos sinais interferentes. Admita ainda que a banda ocupada pelo sinal DS-SS corresponda ao lobo principal do sinal modulado. Vamos verificar qual das soluções está correta e justificar nossa escolha. Definições das variáveis: J é a potência total dos sinais interferentes. J0 é a correspondente densidade espectral de potência. WSS é a banda total do sinal DS-SS. P é a potência média de cada terminal, na estação radiobase . N é o comprimento da sequência de espalhamento. Tb é a duração de um bit.

Rb é a taxa de bits. Tc é a duração de um chip. Rc é a taxa de chips. Eb é a energia média por bit. N0 é a densidade espectral de potência de ruído. MJ é a margem de interferência. GP é o ganho de processamento.

Solução 1: Solução 2:

( ) ( )

J 0 J 0

J

41 10 02 2

412

0 0

GP / GP GP 9.600

M GP / dB GP M / dB

M / 23 / 23 13,62dB

BER erfc / 9,3142 10 erfc /

De uma tabela: erfc( ) 9,3142 10 2,2

/ 2,2 / 4,84 6,85dB

Então GP = 13,6

c b c b

b b

b b

b b

R R R R

E J E J

J P P P

E J E J

x x

E J E J

−

−

= ⇒ = × = ×= − ⇒ = += = = ≅

= ⇒ × =

= × ⇒ = ⇒

= ⇒ ≅ ≅2 6,85 20,47dB 111

A taxa de será: 111 9.600 1.065.600 / .cchips R chips s

+ = ≅≥ × =

( )( )

( )

10 02

12

412

412

BER erfc / / /(2 / ) 23 /(2 / )

BER erfc ( ) /[23 /(2 / )]

erfc 2 / 23 9,3142 10


2 /23 2,2 2 / 23 4,84 55,66

Como 55

b SS c c

b b c c c

b c c b

E J J J W J T P T

E PT PNT PNT P T

N

x x

N N N

T NT R NR

−

−

= ∴ = = =

= = ⇒ =

⇒ = ×

= × ⇒ = ⇒

= ⇒ ≅ ⇒ == ⇒ = = ,66 9.600 534.336

A taxa de será: 534.336 / .cchips R chips s

× =≥

A solução 1 é a correta. Os sinais interferentes agem no receptor como interferência de faixa estreita e, por esta razão, a solução 1 opera com o ganho de processamento que tem efeito quando o sistema está sob influência desse tipo de interferência. A solução 2 parte do princípio que o sinal interferente age no receptor como se elevasse a densidade espectral de potência do ruído, algo que seria correto admitir numa situação de interferência de faixa larga. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - Uma mesma faixa espectral em um sistema CDMA é compartilhada por 24 terminais celulares. Devido a um controle de potência realizado no sistema, tanto o sinal desejado quanto os sinais interferentes dos demais terminais são recebidos pela estação radiobase com a mesma potência média. Cada terminal transmite a uma taxa de bits de 9.600 bit/s utilizando a técnica DS-SS com modulação BPSK.



A seguir está calculada, de duas maneiras distintas, a mínima taxa de chips das sequências de espalhamento utilizadas de tal sorte que a probabilidade de erro de bit na estação radiobase não ultrapasse 9,3142×10–4. Admita que a potência de ruído seja desprezível em comparação com a potência dos sinais interferentes. Admita ainda que a banda ocupada pelos sinais CDMA corresponda ao lobo principal do sinal DS-SS. Vamos verificar qual das soluções está correta e justificar nossa escolha.

Solução 1: Solução 2:

( )( )

( )

10 02

12

412

412

BER erfc / / /(2 / ) 23 /(2 / )

BER erfc ( ) /[23 /(2 / )]

erfc 2 / 23 9,3142 10


2 / 23 2,2 2 / 23 4,84 55,66

Como 55

b SS c c

b b c c c

b c c b

E J J J W J T P T

E PT PNT PNT P T

N

x x

N N N

T NT R NR

−

−

= ∴ = = =

= = ⇒ =

⇒ = ×

= × ⇒ = ⇒

= ⇒ ≅ ⇒ == ⇒ = = ,66 9.600 534.336

A taxa de será: 534.336 / .cchips R chips s

× =≥

( ) ( )

J 0 J 0

J

41 10 02 2

412

0 0

GP / GP GP 9.600

M GP / dB GP M / dB

M / 23 / 23 13,62dB

BER erfc / 9,3142 10 erfc /


/ 2,2 / 4,84 6,85dB

Então GP = 13,6

c b c b

b b

b b

b b

R R R R

E J E J

J P P P

E J E J

x x

E J E J

−

−

= ⇒ = × = ×= − ⇒ = += = = ≅

= ⇒ × =

= × ⇒ = ⇒

= ⇒ ≅ ≅2 6,85 20,47dB 111

A taxa de será: 111 9.600 1.065.600 / .cchips R chips s

+ = ≅≥ × =

A solução 1 é a correta. De fato, a soma dos sinais CDMA interferentes age no receptor da estação radiobase aproximadamente como o faz o ruído branco, elevando a densidade de potência interferente total para J0 + N0 ≅ J0 devido ao fato do ruído branco ser desprezível no caso analisado. A solução 2 opera com o ganho de processamento que tem efeito quando o sistema está sob influência de interferência de faixa estreita. No problema em questão a interferência é de faixa larga e, portanto, não sofre a influência desejada do ganho de processamento no receptor. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Espalhamento espectral por saltos em frequência Outra técnica de espalhamento espectral muito utilizada na prática é o espalhamento espectral por saltos em frequência (FH-SS – Frequency Hopping Spread Spectrum). Como sugere o nome, nesta técnica a frequência de portadora está constantemente mudando sua posição espectral, sob controle de uma sequência pseudo-aleatória. A figura a seguir ilustra o transmissor (a) e o receptor (b) para um sistema FH-SS com modulação M-FSK. Controlado por agrupamentos de k chips da sequência de espalhamento, o sintetizador é responsável por gerar a portadora que será utilizada para determinar a posição espectral do sinal M-FSK. Embora não necessariamente existam todas as combinações de k bits no agrupamento citado, o número máximo de posições espectrais do sinal FH-SS será 2k. Tipicamente, a modulação utilizada em sistemas FH-SS é a M-FSK com detecção não coerente, pois é tarefa bastante complexa manter a coerência de fase (sincronismo de fase) entre portadoras de transmissão e recepção de um salto para outro, para que seja realizada uma detecção coerente. O filtro de transmissão determinará a faixa espectral total ocupada pelo sinal FH-SS, reduzindo as componentes do sinal fora da faixa que se deseja para o sinal FH-SS.



No receptor, um sintetizador sincronizado com o da transmissão gera os tons de demodulação para que o sinal M-FSK seja transladado para banda-base ou, em uma etapa anterior, para uma frequência intermediária. O filtro de recepção reduz as componentes de frequência indesejadas que aparecerão por conta do batimento (multiplicação) do sinal recebido com os tons de demodulação. Segue-se um demodulador M-FSK não coerente, implementado de forma convencional. Ganho de processamento em sistemas FH-SS A parte (a) da figura a seguir mostra a densidade espectral de potência de um sinal modulado de banda B, contaminado por um sinal interferente de mesma banda. Se a potência média do sinal é P e a potência média do sinal interferente é J, P/J é a relação sinal-interferência. Considere agora a possibilidade de o sinal modulado saltar em 2k posições espectrais, passando a ocupar uma banda Bss, conforme ilustrado na parte (b) da figura em questão. Supondo que o sinal interferente se manteve com as mesmas características, a nova relação sinal-interferência será P/(J/2k) = 2kP/J, o que representa uma melhoria de 2k vezes em relação à situação ilustrada na parte (a) da figura.

Assim, o ganho de processamento para um sistema FH-SS em que o sinal ocupa 2k posições espectrais é dado por:

GP 2k ssB

B= =

Vale observar que se k linhas de controle forem utilizadas para comandar o sintetizador de frequências, o ganho de processamento não necessariamente será 2k – 1, pois pode não existir todas as combinações de k chips nas k linhas de controle. Para melhor ilustrar esta observação, suponha que utilizemos os m = k flip-flops de um gerador de sequência de comprimento máximo para controlar o sintetizador de frequências. Como o estado nulo em todos os flip-flops não faz parte da sequência gerada, teremos neste caso 2m – 1 posições espectrais, o que levará a um ganho de processamento 2k – 1.



Sistema FH-SS lento Um sistema FH-SS lento é aquele em que a taxa de saltos é mais baixa que a taxa de símbolos da modulação utilizada. Embora mais simples de implementar, num ambiente de interferência intencional (campo de batalha, por exemplo) a lentidão dos saltos pode permitir que o interferente rastreie a posição espectral de cada salto e, logo em seguida, gere o sinal interferente. Esta técnica de interferência é denominada interferência por repetição (repeat-back jamming ou follower jamming). A figura a seguir ilustra um FH-SS lento com modulação 4-FSK: (a) Saltos de frequência em um período da sequência PN, (b) Variação da frequência no sinal desespalhado. Na figura em questão Wc é a banda total ocupada pelo sinal FH-SS, Rb é a taxa de bits de informação, Rs é a taxa de símbolos da modulação, Rh é a taxa de saltos do sinal FH-SS e B é a banda ocupada pelo sinal 4-FSK.

Sistema FH-SS rápido Um sistema FH-SS rápido é aquele em que a taxa de saltos é maior que a taxa de símbolos da modulação. Devido à necessidade de realizar os saltos antes que um símbolo tenha sido transmitido por completo, a implementação desta técnica é mais complexa que a implementação do sistema FH-SS lento. Entretanto, num ambiente de interferência intencional, a rapidez dos saltos pode impedir que o interferente rastreie a posição espectral de cada salto. A figura a seguir ilustra um FH-SS rápido com modulação 4-FSK: (a) Saltos de frequência em um período da sequência PN, (b) Variação da frequência no sinal desespalhado.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – Uma das técnicas de interferência intencional de faixa estreita em sistemas com espalhamento espectral por saltos em frequência (FH-SS – Frequence Hopping Spread Spectrum) é denominada interferência por repetição (repeat-back jamming). Nessa técnica, o sistema interferente monitora o espectro e, após detectar a presença de um salto do sinal FHSS, transmite o sinal interferente na correspondente faixa de frequências. Objetivando evitar interferência intencional do tipo repetição, um sistema FHSS operará a 10.000 saltos por segundo. Ignorando a curvatura da terra e admitindo que o sistema de comunicação utilize um satélite geo-estacionário (altitude aproximada de 36.000 km da superfície da terra) localizado exatamente sobre a estação terrestre, calcule o raio de vulnerabilidade, r, correspondente ao raio fora do qual o sistema de comunicação estará incondicionalmente protegido do sinal interferente que está localizado na terra. Admita que o sistema interferente necessite de 10 µs para detectar a frequência usada em um determinado salto no transmissor FH-SS da terra e acionar o seu transmissor nessa faixa para interferir no sinal recebido pelo satélite. Admita ainda que a antena do satélite do sistema de comunicação possua um diagrama de irradiação capaz de receber sinais de uma área aproximadamente igual a ¼ da área da superfície terrestre. Admita também que o sistema interferente terá êxito em seu propósito se o sinal interferente afetar qualquer parte do sinal recebido pelo satélite durante um salto de frequência do sistema de comunicação. Apresente todos os cálculos. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – A figura a seguir mostra o diagrama de blocos do transmissor “didático” de um sistema com espalhamento espectral por saltos em frequência. Os bits aleatórios são gerados à taxa de 10 bit/s e o modulador BFSK opera com os tons de 5 Hz (bit 0) e 15 Hz (bit 1), ou seja, o desvio é de ±5 Hz em relação à frequência de portadora. O subsistema hop control controla os oito possíveis saltos à taxa de 0,5 saltos por segundo, sendo que a posição mais inferior do sinal FH-SS no espectro corresponde a 50 Hz e a distância espectral entre os saltos é também de 50 Hz. O gráfico na parte superior da figura



mostra o espectro do sinal FH-SS para o último salto de um intervalo de 32 segundos e o gráfico na parte inferior dessa figura mostra os índices dos saltos realizados nesse intervalo.

Sobre este diagrama pede-se e/ou pergunta-se: a) Qual o último bit enviado no intervalo de observação de 32 segundos? Justifique.

O último bit será o bit 1. A frequência central do 16º salto será 6×50 = 300 Hz. Como o espectro correspondente a tal salto encontra-se ligeiramente à direita do valor 300 Hz (aproximadamente 305 Hz), conclui-se que se trata da transmissão do bit 1.

b) Esboce os demais espectros do sinal FH-SS no intervalo de 32 segundos, numerando sobre eles a

ordem em que ocorrem. A título de exemplo, o último salto em frequência está numerado na figura anterior.

c) Os sinais BFSK enviados mantêm ortogonalidade de um salto para outro? Justifique e apresente

uma razão para que mantenham essa ortogonalidade.

Os sinais mantêm ortogonalidade de um salto para o outro, pois o espaçamento de frequência de um salto para outro é múltiplo inteiro da taxa de chips, que no caso é igual à taxa de símbolos. A



ortogonalidade é importante para garantir que os sinais transmitidos nos vários saltos possam ser recuperados facilmente no receptor, com o uso de detecção não coerente.

d) Trata-se de um sinal FH-SS rápido ou lento? Justifique.

Trata-se de um sinal FH-SS lento, pois a taxa de saltos é menor que a taxa de símbolos (tem-se um salto a cada 2 segundos e neste intervalo são transmitidos 20 símbolos).

e) Estime, de forma aproximada, o Ganho de Processamento do sistema em questão.

O ganho de processamento pode ser aproximadamente estimado pela razão entre a banda total ocupada pelo sinal FH-SS e a banda ocupada em um salto. Portanto, GP ≅ 360/45 = 8.

f) Os saltos em frequência são aleatórios ou pseudo-aleatórios? Justifique.

Os saltos em frequência são pseudo-aleatórios. Se fossem aleatórios não seria possível efetuar a recepção da informação transmitida, dado que não há como o receptor conhecer uma sequência de saltos que é aleatória.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Um modem FH-SS transmite um pacote de 1.000 bits a cada salto em frequência, ocupando 64 posições espectrais diferentes. Este modem monitora a taxa de erro de bit por pacote e se esta taxa exceder um limiar BERmax durante um salto, o pacote correspondente é descartado. Suponha que tal sistema está operando em um canal AWGN com BER = 2×10−3. Suponha ainda que, a partir de um determinado momento, um sinal interferente com intensidade suficiente para que a BER por pacote ultrapasse o limiar BERmax passou a contaminar uma das possíveis posições espectrais utilizadas pelo sistema. Pede-se: a) Calcule o ganho de processamento do sistema.

GP = 64 ≅ 18,06 dB. b) Calcule o número de bits da palavra de controle do sintetizador de frequências do sistema.

2k = 64 ⇒ k = log2(64) = 6 bits. c) Calcule a taxa de erro de bit média na presença de interferência.

De cada 64 pacotes transmitidos, um é descartado por ter o correspondente salto coincidindo com a frequência do sinal interferente. Como a taxa de erro de bit média na ausência de interferência é de 2×10−3, a cada 64 saltos são transmitidos 64.000 bits e destes, em média 2×63 estarão em erro devido ao ruído AWGN e 1.000 estarão errados devido ao descarte. Então a taxa de erro de bit média será: BER’ = (1.000 + 2×63)/64.000 = 1,759375×10−2.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA




Conteúdo Propagação multipercurso. Diversidade de percurso e o receptor RAKE para sinais DS-SS. Aplicação do DS-SS no CDMA. Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a propagação multipercurso. 2) explicar o conceito de diversidade em percursos e o funcionamento do receptor RAKE. 3) explicar o funcionamento do espalhamento espectral no contexto de sistemas de comunicação com tecnologia CDMA.

Nesta parte final do curso veremos como um sinal Spread Spectrum permite combater um dos fenômenos mais prejudiciais à comunicação sem fio: a propagação por múltiplos percursos. A técnica empregada para este fim é denominada diversidade de percursos (path diversity). Iniciaremos este estudo abordando o fenômeno de propagação citado. Ao final revisitaremos, com mais profundidade, o atributo do spread spectrum que o permite ser aplicado na técnica CDMA. Noções sobre a propagação de ondas eletromagnéticas por múltiplos percursos Uma das aplicações mais comuns da técnica CDMA, a qual utiliza tipicamente o espalhamento espectral DS-SS, ocorre em sistemas de comunicação móvel. Um dos ambientes que mais degradam a comunicação móvel é aquele em que a propagação do sinal ocorre nas proximidades da superfície da Terra, em meio a elevações e a diferentes morfologias e outros obstáculos criados pelo homem. Neste cenário predomina a propagação por múltiplos percursos (ou propagação multipercurso) na qual “ecos” do sinal transmitido chegam ao receptor com magnitudes e fases variando aleatoriamente. A propagação multipercurso ocorre principalmente devido à reflexão, à difração e ao espalhamento da onda eletromagnética. A figura a seguir ilustra o cenário de propagação multipercurso, usando como exemplo a comunicação entre uma estação radiobase (ERB) e um terminal móvel (TM) em um sistema celular. As estruturas cujas dimensões são elevadas em comparação com o comprimento de onda do sinal provocam no sinal a difração, a reflexão ou ambos os efeitos. Estruturas com dimensões físicas da ordem de grandeza do comprimento de onda do sinal causam predominantemente o fenômeno de espalhamento da onda eletromagnética.

Nas figuras a seguir tem-se a ilustração do efeito da propagação multipercurso para a transmissão de uma portadora não modulada, a qual, por razões puramente didáticas, representa um caso extremo em



termos de banda estreita, para duas situações: (a) combinação construtiva, (b) combinação destrutiva. Observe que em ambos os casos se pode obter a magnitude e a fase do sinal resultante através de uma simples análise vetorial.

À medida que o terminal móvel receptor se desloca, é natural imaginar que a composição vetorial do sinal recebido vá apresentar diferentes fases e magnitudes em função da posição espacial do terminal. Como consequência, a envoltória do sinal recebido irá variar. Na figura a seguir tem-se a ilustração do efeito da propagação multipercurso na flutuação da envoltória do sinal recebido por um TM. A este efeito dá-se o nome de desvanecimento por multipercurso (multipath fading).

Em ambientes urbanos densos, onde o número de percursos de propagação é elevado e a direção de chagada destes no receptor é bastante variada, o desvanecimento multipercurso pode se assemelhar à ilustração a seguir. Perceba que as variações da potência instantânea do sinal podem conter “vales” de cerca de 30 dB (1.000 vezes) abaixo da potência média. Estas variações podem ocorrer em posições espaciais bastante próximas, dado que o comportamento aproximadamente periódico (no espaço) do desvanecimento multipercurso ocorre a cada meio comprimento de onda (λ/2).

Da mesma maneira que existem variações de magnitude, existem também variações de fase, as quais são ilustradas na figura a seguir. Percebe-se que há valores aleatórios de fase entre –π e +π, com taxa



de variação igual à taxa de variação do desvanecimento na magnitude do sinal. Nota: deve-se atentar para o fato de que a representação das variações de fase em questão foi feita em módulo π, ou seja, um valor imediatamente superior a π é representado por um valor imediatamente inferior a –π e vice-versa, de forma a confinar o gráfico entre os valores de –π e +π. Portanto, as aparentes “transições” de fase mostradas na figura a seguir de fato não existem.

As variações de fase também são prejudiciais à comunicação, pois dificultam sobremaneira o processo de sincronismo de portadora, principalmente quando tais variações são rápidas, o que ocorre em situações de alta velocidade de movimentação relativa entre transmissor e receptor. Configura-se aqui uma das principais razões pelas quais é tão difícil realizar uma transmissão em altas taxas num ambiente de comunicação móvel com propagação multipercurso: o subsistema de sincronismo de portadora deve ser preciso e rápido o suficiente para rastrear as variações de fase impostas pelo canal, de tal sorte que a correta referência de fase para demodulação coerente seja estabelecida no receptor. Em caráter informativo, em um ambiente de comunicação móvel urbano típico os sinais chegam ao receptor por múltiplos percursos vindos de todas as direções. Este caso é um dos mais críticos e as variações de magnitude e de fase do sinal recebido seguem, respectivamente, as densidades de probabilidade de Rayleigh e Uniforme, ambas ilustradas nas figuras a seguir.

Na figura a seguir temos a ilustração do efeito da propagação multipercurso para a transmissão de uma portadora chaveada por um curto intervalo de tempo. Novamente por razões didáticas, esta implementação agora pretende fazer com que o sinal transmitido se assemelhe a um “impulso”, o que seria um caso extremo em termos de banda larga (compare com o caso em que se considerou a transmissão de uma portadora não modulada). Na figura tem-se: (a) pulso transmitido, (b) envoltória do sinal recebido por múltiplos percursos. Na figura em análise, o sinal transmitido supostamente se propaga através do canal com 4 percursos e, no receptor, é detectado por meio de um demodulador AM que poderia ser implementado com um simples detector de envoltória (implementado, por exemplo, com um retificador seguindo de um filtro passa-baixas). Percebe-se que, devido à pequena duração dos pulsos de transmissão, os ecos do sinal



não podem não se sobrepor temporalmente, diferentemente do que antes acontecia com o sinal de faixa estreita referente à portadora não modulada. Em outras palavras, com um sinal de faixa larga não podemos determinar o sinal resultante por meio de análise vetorial, posto que os sinais componentes podem não se interferir temporalmente. Esta propriedade será explorada mais adiante, onde um sinal Spread Spectrum se tornará o sinal de faixa larga responsável por permitir que as parcelas dos sinais oriundos de vários percursos de propagação sejam discriminadas temporalmente no receptor e, melhor que isto, sejam combinadas para melhorar a confiabilidade na decisão pelos bits transmitidos.

Modelo do canal multipercurso O modelo do canal com propagação por múltiplos percursos pode ser implementado através de uma linha de atrasos com derivações (tapped delay line - TDL), conforme figura a seguir. Cada derivação está associada a um percurso de propagação e em cada derivação o sinal sofre variações de magnitude e fase. Portanto, trata-se de um modelo discreto aproximado, correspondente a um sistema linear variante no tempo que representa por L percursos, de forma aproximada, um contínuo de infinitos percursos. Nesta figura 1/W é o atraso discreto entre cada percurso de propagação, onde W é a largura de faixa do sinal. Perceba que, quanto maior esta largura de faixa, mais percursos poderão ser representados pelo modelo em um determinado intervalo de tempo.

As funções gl(t), l = 1, 2, ..., L são complexas, ou seja gl(t) = αl(t)exp[jθl(t)], onde αl(t) é tipicamente uma função amostra de um processo aleatório com distribuição de Rayleigh (quando não há visada direta ou percurso de propagação dominante) ou Rice (quando há visada direta ou percurso de propagação dominante) e θl(t) é tipicamente uma função amostra de um processo aleatório com



distribuição Uniforme (quando não há visada direta ou percurso de propagação dominante) ou aproximadamente Gaussiana (quando há visada direta ou percurso de propagação dominante). A resposta ao impulso variante no tempo do canal com multipercurso pode ser escrita como:

onde t representa a variação temporal do canal e τ representa o atraso dos percursos de propagação a um dado instante de observação t. A figura a seguir ilustra um conjunto de seis possíveis respostas ao impulso de um canal com multipercurso típico, tomadas em instantes t distintos. Percebe-se nitidamente que as respostas diferem entre si, ilustrando o comportamento variante no tempo do canal. Percebe-se também que a dispersão temporal observada no eixo τ pode ser interpretada como uma dispersão temporal do sinal transmitido. Em outras palavras, podemos interpretar os ecos como prolongadores da duração do sinal na recepção. Como se não bastasse termos fortes variações instantâneas de magnitude e de fase no sinal recebido, a dispersão temporal do canal é outro fator de grande degradação da comunicação em ambientes de propagação por multipercurso, pois pode fazer com que símbolos adjacentes se sobreponham, configurando a conhecida Interferência Intersimbólica (IIS). Esta interferência é outro dos grandes limitadores da taxa de transmissão em sistemas de comunicação sem fio neste tipo de ambiente.

Há ainda um quarto elemento de degradação, não particular à propagação multipercurso, mas que merece ser lembrado: o efeito Doppler. Este efeito corresponde à recepção de um sinal de frequência diferente daquela que realmente o sinal tem. O desvio Doppler de frequência, fD, é tanto maior quanto maior a velocidade de movimento relativo entre transmissor e receptor, v, quanto maior a frequência da portadora, f = 1/λ, e quanto mais próximo de 0º ou de 180º for o ângulo φ de chegada da onda eletromagnética. O valor do desvio Doppler é dado por

cosD

vf φ

λ= .

Em uma comunicação com percurso único ou forte visada direta, o efeito Doppler causa desvios de frequência que podem ser até certo ponto compensados pelos conhecidos circuitos de CAF (Controle Automático de Frequência). Entretanto, num ambiente de propagação multipercurso, imagine um desvio Doppler diferente percebido no sinal recebido por meio de cada percurso de propagação. Como resultado não se terá um único desvio Doppler, mas inúmeros desvios que, combinados, gerarão no receptor um sinal aleatório indesejado chamado ruído FM aleatório. Este nome se deve ao fato de que o sinal recebido parece de fato ter sido “modulado” em FM, de forma aleatória, pelo canal de comunicação, numa situação de movimento relativo entre transmissor e receptor.



Nas figuras a seguir ilustra-se o comportamento do espectro Doppler resultante da transmissão de uma portadora não modulada e de sua recepção em um ambiente de propagação por multipercurso. Perceba que, em vez de uma portadora recebida com um desvio Doppler fixo, o que aconteceria em um ambiente de propagação com percurso único, no canal com múltiplos percursos de propagação o sinal recebido tem seu espectro alargado entre fc – fDmax e fc + fDmax, onde fDmax = v/λ.

Agora estamos aptos a iniciar o estudo sobre como a técnica de espalhamento espectral se beneficiará desses fenômenos degradantes da propagação multipercurso, com o intuito de contribuir para a viabilização da comunicação sem fio neste tipo de ambiente. Veremos como o receptor denominado RAKE pode se beneficiar da propagação por múltiplos percursos, implementando a diversidade de percursos (path diversity). Para entendermos o funcionamento desse receptor, faz-se necessário estudar primeiro o conceito de diversidade. Diversidade A diversidade é qualquer técnica que, processando réplicas do sinal recebido, reduz a variabilidade no sinal ou aumenta a relação sinal-ruído média do sinal que será utilizado para se decida sobre os símbolos transmitidos. Tem principal aplicação em ambientes de propagação onde há influências descorrelacionadas do canal nas várias réplicas do sinal. Adicionalmente podemos citar os seguintes comentários sobre a diversidade: Quanto mais descorrelacionadas as réplicas, melhor o desempenho da diversidade. No receptor as L réplicas do sinal são combinadas de forma a minimizar o efeito do

desvanecimento por múltiplos percursos, onde L é a ordem da diversidade. Os ganhos de desempenho são progressivamente menores com o aumento da ordem da diversidade, conforme ilustrado pela figura a seguir. Por esta razão grande parte dos sistemas de comunicação utiliza diversidade de ordem 2, o que corresponde a uma solução de compromisso adequada em termos de complexidade de implementação e desempenho.



Os tipos de diversidade de recepção mais comuns são: espacial, em polarização, em frequência e em percursos, as quais são resumidamente descritas a seguir. Diversidade espacial: neste tipo de diversidade, L antenas são dispostas no receptor com uma separação física que permita que o sinal recebido por cada antena tenha a menor correlação possível para com os sinais recebidos pelas demais antenas. As figuras a seguir ilustram duas aplicações para a diversidade espacial: na parte (a) da figura tem-se uma típica configuração de diversidade espacial de ordem 2 em um sistema celular. Nele a estação base (ERB) transmite em cada setor da célula com uma antena e recebe os sinais dos terminais móveis (TM) por meio de duas antenas. Na parte (b) da figura tem-se uma configuração típica de diversidade espacial utilizada em links de microondas ponto-a-ponto, nos quais a recepção é equipada com duas antenas.

(a) (b)

• Diversidade em polarização: neste tipo de diversidade o sinal a ser transmitido é injetado em antenas com polarizações cruzadas. Estudos de propagação mostram que, ao atravessar o canal de comunicação, o sinal com polarização horizontal sofre desvanecimentos descorrelacionados do sinal com polarização vertical. Este fato permite que seja implementada a diversidade de polarização de ordem 2 na recepção.

• Diversidade em frequência: neste tipo de diversidade o sinal a ser transmitido é canalizado por

meio de L portadoras de frequências diferentes. Se a separação entre tais portadoras for suficientemente grande, o canal afetará de forma descorrelacionada cada um dos sinais, dando margem à implementação de diversidade na recepção.

• Diversidade em percursos: na diversidade em percursos, uma técnica especial de

processamento realizada no receptor permite que os sinais oriundos de diferentes percursos de propagação possam ser discriminados e combinados para prover os efeitos esperados da



diversidade. Esta é a técnica utilizada quando o sinal transmitido é um sinal com espalhamento espectral e o receptor que a realiza tem nome de receptor RAKE.

O Receptor RAKE e a diversidade de percursos O receptor RAKE discrimina e combina sinais não correlacionados (preferencialmente) oriundos de L percursos de propagação, utilizando um correlator para cada percurso do sinal recebido. Tem-se então, com o receptor RAKE, a implementação de diversidade de percursos (path diversity) de ordem L. Percursos atrasados de um valor maior que a duração de um chip podem ser discriminados e combinados pelo receptor RAKE. Percursos separados de intervalos menores que a duração de um chip terão suas contribuições somadas de tal forma que não possam ser processadas separadamente. Daí nota-se que, quanto maior a taxa de chips, mais sinais de diferentes percursos poderão ser processados pelo receptor e, portanto, maior poderá ser a ordem da diversidade obtida. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo: As figuras a seguir ilustram como o receptor RAKE pode utilizar a informação contida em versões atrasadas do sinal recebido por múltiplos percursos. Na parte de cima estão mostradas a sequência de espalhamento de interesse e a soma dela com três réplicas atrasadas de 402/W, 410/W e 416/W, onde W = 1/Tc é a banda do lóbulo principal do sinal em banda-base considerado neste exemplo. O resultado é ainda somado com outras sequências interferentes diferentes, simulando o que aconteceria em um sistema CDMA. Os atrasos correspondem aos atrasos de propagação dos sinais em cada percurso, para um determinado instante de observação do canal variante no tempo. Na parte de baixo da figura tem-se a função de correlação do sinal composto com a sequência de interesse. Observe as múltiplas parcelas de correlação elevada que podem ser combinadas pelo receptor. Observe também o aspecto de ruído da soma de várias sequências PN (noise-like signal). Observe ainda que, se o atraso entre dois percursos de propagação fosse menor que Tc, os picos correspondentes da função de correlação iriam se sobrepor. Isto significa que, se dois correlatores estivessem sincronizados com os sinais destes percursos, suas saídas teriam influência de ambos os percursos. Em outras palavras, a saída do correlator sincronizado com um dos percursos sofreria interferência do sinal recebido no outro percurso.



O canal descrito neste exemplo poderia ser modelado por meio do diagrama de blocos a seguir. Nele são claros os atrasos referentes ao sinal que se propaga em cada percurso. Adicionalmente, o sinal de cada percurso sofre uma multiplicação por um valor que corresponde à atenuação no correspondente percurso em um determinado instante de observação do canal. Neste exemplo não foram consideradas variações de fase em cada percurso de propagação, de forma a simplificar a nossa análise.

Na figura a seguir tem-se o receptor RAKE projetado para o canal considerado anteriormente, em um sistema com espalhamento espectral por sequência direta em banda-base. Quatro correlatores são implementados, cada um responsável por efetuar a correlação do sinal recebido com uma réplica da sequência de espalhamento utilizada na transmissão, em sincronismo com esta (deslocada de um valor referente ao atraso de propagação do percurso correspondente). Numa implementação prática, como tais atrasos são variáveis, é o circuito de sincronismo que alimenta o receptor com os valores corretos de atraso. Depois de realizadas as correlações, na saída do banco de correlatores tem-se os valores de pico da função de correlação mostrada anteriormente. Estes valores serão positivos se tivermos transmitido o bit 1 e serão negativos se tivermos transmitido o bit 0. Como tais valores estão desalinhados temporalmente, faz-se necessário alinhá-los antes de combiná-los, o que é feito pelos blocos de atraso nas entradas do combinador. Após a combinação o sinal é amostrado e o valor da amostra é comparado com o limiar zero. Decide-se por 1 se a amostra tiver valor maior que zero e decide-se por 0 caso contrário.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Curiosidade: a palavra RAKE em inglês significa ancinho, aquela ferramenta de jardinagem que utilizamos para separar lixo ou mato de terra ou outro objeto menor que queremos deixar para trás. O



uso desta palavra para nomear o receptor que estamos estudando se justifica, pois o que de fato ele faz é “separar” os sinais de interesse oriundos de diferentes percursos para posteriormente combiná-los. A figura a seguir ilustra uma possível situação em que a diversidade de percursos reduz a variabilidade do sinal após a combinação. Perceba que um sinal de faixa estreita estaria sujeito ao desvanecimento por multipercurso, conforme estudamos anteriormente. Entretanto, após a combinação o sinal de saída do receptor RAKE teria variabilidade reduzida, o que aumentaria as chances de decisão correta pela informação transmitida.

No primeiro caso a análise por soma vetorial se aplica, como também já estudamos. No segundo caso, com o receptor RAKE as contribuições dos diferentes percursos não se interferem temporalmente, fazendo com que a soma destas contribuições não possa ser analisada vetorialmente. Como resultado, a combinação destas contribuições lavará a um sinal mais estável ou com maior relação sinal-ruído. Isto ocorre porque a probabilidade dos sinais recebidos em mais de um percurso estarem simultaneamente sob desvanecimento profundo é menor que a probabilidade do sinal recebido em um único percurso estar sob desvanecimento profundo em um dado instante. A descorrelação entre os desvanecimentos nos múltiplos percursos é a razão para este fenômeno. Métodos de combinação de diversidade Há vários métodos de combinação das réplicas de sinal proporcionadas pelas diferentes técnicas de diversidade. Os mais comuns são: EGC (Equal Gain Combining) e MRC (Maximal Ratio Combining) e Seleção (selection). Combinação EGC Neste método os diferentes sinais a serem combinados sofrem inicialmente um alinhamento de fase, através de uma técnica conhecida como co-phasing. Esta técnica nada mais faz além de cancelar as rotações de fase dos sinais processados por cada ramo de diversidade, estas causadas pelo canal. Após o alinhamento de fase os sinais são alinhados temporalmente, se necessário, e os sinais resultantes são somados para formar o sinal de saída do combinador EGC. A figura a seguir ilustra o diagrama de blocos deste combinador.



Combinação MRC A figura a seguir ilustra um combinador MRC. As funções dos blocos também presentes no combinador EGC são idênticas àquelas já descritas. Os blocos adicionais inseridos multiplicam o sinal processado por cada ramo de diversidade pela correspondente atenuação causada pelo canal neste sinal. Desta forma, sinais fracos serão atenuados e sinais fortes continuarão fortes. Esta operação é, até certo ponto, contraditória ao que, talvez, faríamos intuitivamente. Tenderíamos a amplificar os sinais fracos e a atenuar ou manter os sinais fortes. O método de combinação MRC, por ter a necessidade do conhecimento da atenuação do canal causada no sinal processado por cada um de seus ramos, apresenta complexidade de implementação maior que o combinador EGC. Entretanto o combinador MRC é considerado ótimo, pois proporciona em sua saída um sinal combinado cuja relação sinal-ruído é a soma das relações sinal-ruído em cada um de seus ramos de entrada.

Combinação por seleção Neste método a relação sinal-ruído (RSR) em cada um dos ramos de diversidade é constantemente monitorada e, por meio de uma chave de RF, o sinal com maior RSR instantânea é direcionado à entrada do receptor. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – A Figura 1(a) ilustra o aspecto de um sinal recebido, em banda base, por uma estação base de um sistema CDMA com cinco usuários ativos, operando em um canal com múltiplos percursos. A Figura



1(b) mostra a função de correlação entre o sinal recebido e a sequência de espalhamento utilizada em um dos transmissores, sendo que a Figura 1(c) mostra um trecho ampliado da Figura 1(b). Para esse ensaio o canal é modelado por uma linha de atrasos com derivações (Tapped Delay Line) e as sequências de espalhamento utilizadas têm comprimento igual a 800 chips. O ruído pode ser considerado desprezível em relação ao nível de interferência de múltiplo acesso. De posse desses dados, pede-se e/ou pergunta-se:

a) Justifique o aspecto de ruído (noise-like) do sinal CDMA mostrado na Figura 1(a). b) Desenhe o modelo do canal correspondente ao ensaio em questão. Nota: aproxime os valores

de tempo e de atenuações utilizados no modelo. c) Desenhe o diagrama em blocos do receptor RAKE para o sistema CDMA em questão. Nota:

aproxime os valores de tempo utilizados no diagrama. d) Teça comentários sobre o que poderia acontecer, em termos da taxa de erro de bit, se o

primeiro braço do receptor RAKE estivesse sincronizado com o sinal correspondente ao primeiro percurso de propagação e tivesse outros oito braços, sincronizados com oito percursos consecutivos, atrasados de múltiplos inteiros de 2Tc em relação ao primeiro.

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 100 200 300 400 500 600 700 800

360 380 400 420 440

Figura 1 - Funções consideradas na quarta questão. Solução

a) A soma de sequências PN, em banda-base, gera um sinal com vários níveis. O número de níveis depende diretamente do número de sequências somadas. Como as sequências PN são aproximadamente aleatórias e, portanto, aproximadamente descorrelacionadas, a sua soma gerará pontos de amplitudes variadas aleatoriamente distribuídas, como acontece em um sinal de ruído.

b) Conforme figura a seguir.

(a)

(b)

(c)



Atraso2Tc

Atraso depropagação

400TcSinaltransmitido

Sinalrecebido

1 0,9 0,8 0,6

AWGN

ΣΣ

Atraso8Tc

Atraso6Tc

c) Conforme figura a seguir.

d) Cinco dos nove braços do receptor RAKE não estariam recebendo nenhum sinal, apenas ruído e interferência, pois apenas os braços sincronizados com os percursos nos instantes 400Tc, 402Tc, 410Tc e 416Tc estariam recebendo sinais de quatro percursos de propagação, conforme modelo adotado. Como resultado a taxa de erro de bit seria elevada em relação ao caso considerado no item “c”, pois a variância do ruído total seria aumentada.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – A técnica de espalhamento espectral por sequência direta (DSSS – Direct Sequence Spread Spectrum) é utilizada em um sistema de rádio digital com comunicação ponto-a-ponto bidirecional para o qual o canal pode ser modelado de forma aproximada pelo “modelo de dois raios”, conhecido como modelo de Rummler. Nesse modelo admite-se que há um raio principal que chega ao receptor por visada direta e um raio secundário que chega ao receptor por reflexão em alguma superfície. O sistema em questão foi instalado em um link de 50 km, para o qual se tem a informação de que o comprimento do percurso secundário é 100 m mais longo que o do percurso principal. Pergunta-se: qual a mínima taxa de chips necessária para que o receptor RAKE utilizado no sistema proporcione diversidade de percursos? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – A figura ao lado apresenta um modelo de propagação por múltiplos percursos para um canal de

Atraso2Tc



Sinalrecebido

1 0,9 0,8 0,6

AWGN

ΣΣ

Atraso8Tc

Atraso6Tc

11 | |, | | c

NT

NTτ τ+ − ≤



comunicação sem fio. Um sistema com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS) binário em banda-base opera neste ambiente, utilizando sequências de espalhamento do tipo m ∈ ±1. Pede-se: a) Escreva a expressão da função de correlação do sinal recebido r(t) com a sequência m do receptor c(t), admitindo que tal sequência está sincronizada com o sinal recebido no primeiro percurso. b) Esboce a função de correlação do sinal recebido com a sequência m do receptor. Considere o ruído desprezível. Dado: ao lado do modelo do canal tem-se a função de correlação para uma sequência m, onde Tc é a duração de um chip e N é o número de chips em um período desta sequência: Solução a) Solução a:

[ ]( )

1( ) ( 400 ) ( 400 ) 0,9 ( 402 ) 0,8 ( 410 ) 0,6 ( 416 ) ( )

( 400 ) 0,9 ( 402 ) 0,8 ( 410 ) 0,6 ( 416 ) ( )c

r t

R c c c c c

NT

c c c c CW

R c t T c t T c t T c t T c t T w t dtN

R T R T R T R T R

τ τ

τ τ τ τ τ

= − + − + − + − + − +

= − + − + − + − +

∫

Solução b) Pode-se admitir a transmissão de +c(t) ou de –c(t). Para +c(t), tem-se o resultado abaixo. Para –c(t) tem-se as mesmas magnitudes, porém com polaridades invertidas. Qualquer dos dois resultados é válido como solução.

Obs: os valores de RR(τ) fora dos picos são diferentes de – 1/N devido ao fato da correlação estar sendo realizada com uma soma de sequências PN do tipo m deslocadas e ponderadas, e não com uma única sequência. Por esta mesma razão cada valor de pico não é exatamente igual ao valor de pico de R(τ) vezes a atenuação do correspondente percurso. Veja expressão de RR(τ) no item “a”. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 –A figura ao lado apresenta um modelo de propagação por múltiplos

400Tc Tc

RR(τ )

τ

1

0,5

402Tc 410Tc 416Tc

Correlação com o ruído w(t).

Atraso2Tc



Sinalrecebido

1 0,9 0,8 0,6

AWGN

ΣΣ

Atraso8Tc

Atraso6Tc



percursos para um canal de comunicação sem fio. Um sistema com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS) binário em banda-base opera neste ambiente, utilizando sequências de espalhamento ∈ ±1 cuja função de correlação R(τ) é também apresentada ao lado, onde Tc é a duração de um chip desta sequência. Pede-se: a) Escreva a expressão da função de correlação do sinal recebido r(t) com a sequência de desespalhamento do receptor, c(t), admitindo que tal sequência esteja sincronizada com o sinal recebido no primeiro percurso. b) Esboce a função de correlação do sinal recebido com a sequência do receptor. Considere o ruído desprezível. Solução a)

[ ]( )

1( ) ( 400 ) ( 400 ) 0,9 ( 402 ) 0,8 ( 410 ) 0,6 ( 416 ) ( )

( 400 ) 0,9 ( 402 ) 0,8 ( 410 ) 0,6 ( 416 ) ( )c

r t

R c c c c c

NT

c c c c CW

R c t T c t T c t T c t T c t T w t dtN

R T R T R T R T R

τ τ

τ τ τ τ τ

= − + − + − + − + − +

= − + − + − + − +

∫

Solução b) Pode-se admitir a transmissão de +c(t) ou de –c(t). Para +c(t) tem-se o resultado abaixo. Para –c(t) tem-se as mesmas magnitudes, porém com polaridades invertidas. Qualquer dos dois resultados é válido como solução.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Aplicação do Spread Spectrum no CDMA A figura a seguir ilustra a aplicação do espalhamento espectral num sistema celular CDMA. Nela três terminais móveis transmitem para a estação base utilizando a mesma banda e simultaneamente, porém utilizando sequências de espalhamento diferentes entre si. Mesmo que na transmissão os sinais sejam ortogonais, devido à assincronia entre os sinais dos terminais móveis e à propagação multipercurso, na antena da estação base os sinais perdem a ortogonalidade. Como consequência, a decisão tomada pelo receptor do sinal de um usuário será afetada pelos sinais interferentes dos demais usuários, numa forma de interferência denominada de interferência de múltiplo acesso (MAI – Multiple Access Interference). Observe também que o efeito de aumento do número de usuários é o aumento da densidade espectral de potência dos sinais somados. Devido ao fato desta soma levar a um sinal de faixa larga, em cada

400Tc Tc

RR(τ )

τ

1

0,5

402Tc 410Tc 416Tc

Correlação com o ruído w(t).



receptor não há influência do ganho de processamento, pois este age somente em sinais interferentes de faixa estreita. O que determinará o desempenho de cada receptor será o grau de ortogonalidade entre os sinais na antena da estação base e o número de sinais interferentes.

As figuras a seguir mostram as estruturas internas dos transmissores e receptores da figura anterior, respectivamente. A função de cada bloco já foi analisada no início do estudo sobre espalhamento espectral e, caso haja dúvidas, recomenda-se que o texto correspondente seja revisitado.

Apenas a título de curiosidade, o sistema de telefonia celular CDMA padrão TIA/EIA-95 e suas evoluções operam com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS) e utilizam mais de um tipo de sequência de espalhamento, como exemplo as sequências de comprimento máximo, Gold e as sequências Walsh-Hadamard, cada uma com diferentes propósitos no sistema. Os receptores, por norma, devem conter facilidades de processamento de recepção que permitam implementar diversidade de percurso com receptor RAKE de no mínimo três braços (três taps). Em sistemas CDMA o fator de reuso de frequências adotado é tipicamente igual a 1, ou seja, todo o conjunto de frequências disponível pode ser utilizado em todas as células, em canais multiplexados por divisão em frequência. Como exemplo, no padrão de telefonia celular EIA/TIA-95 cada canal CDMA tem banda de 1,25 MHz. Cerca de 63 usuários compartilham cada canal por divisão de código. Mais



canais de 1,25 MHz podem ser utilizados em uma determinada área para aumentar a capacidade do sistema ou reduzir a interferência de múltiplo acesso. Exercícios de fixação ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Suponha que cada usuário em um sistema de comunicação com múltiplo acesso TDMA gera informação à taxa constante de 64 kbit/s. Se o sistema compartilha o tempo de transmissão entre 3 usuários, qual a taxa de transmissão de cada usuário no canal quando ele é permitido transmitir? Solução: A taxa média de transmissão deve ser igual à taxa média gerada por cada usuário. Se a transmissão é realizada utilizando 1/3 do tempo, a taxa no momento da transmissão deve ser triplicada. Portanto, a taxa de transmissão durante uma rajada será de 192 kbit/s. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Explique o funcionamento detalhado do transmissor e do receptor mostrados nas últimas figuras destas notas de aula. Explique também a função de cada bloco componente. Para facilitar, identifique cada bloco com um número e numere de forma correspondente sua explicação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Faça uma pesquisa em livros sobre sistemas celulares, ou no próprio padrão EIA/TIA-95, objetivando obter as especificações de todas as sequências de espalhamento utilizadas no sistema. Tais especificações devem conter no mínimo: tipo de sequência, aplicação ou função específica no sistema, taxa de chips e comprimento. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – Faça uma pesquisa em livros sobre sistemas celulares, ou nos próprios padrões, objetivando explicar os detalhes de funcionamento e especificações das técnicas de múltiplo acesso e de duplexação utilizadas nos sistemas TDMA GSM, TDMA IS-136 e CDMA IS-95. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – Justifique a razão pela qual o ganho de processamento de receptores DS-SS não tem efeito nos sistemas CDMA. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIM DA AULA




Conteúdo

Sincronismo em sistemas com espalhamento espectral: Introdução. Formas de aquisição de sincronismo. Técnicas de aquisição de sincronismo por Procura Serial e RASE (Rapid Acquisition by Sequential Estimation). Técnicas de rastreamento de sincronismo com malhas DLL (Delay Locked Loop) e TDL (Tau-Dither Loop). Exercícios de fixação.

Objetivos

Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar o processo de sincronismo em sistemas com espalhamento espectral, adicionalmente explicando os processos de aquisição e de rastreamento de sincronismo. 2) explicar o funcionamento das técnicas de aquisição por Procura Serial e RASE. 3) estabelecer comparações e explicar as vantagens e desvantagens das técnicas de aquisição por Procura Serial e RASE. 4) conceituar o processo de sincronismo em sistemas com espalhamento espectral, explicando os processos de aquisição e de rastreamento de sincronismo. 5) explicar o funcionamento das técnicas de rastreamento de tempo contínuo e de tempo compartilhado, especialmente as técnicas com malhas DLL e TDL. 6) estabelecer comparações e explicar as vantagens e desvantagens das técnicas de rastreamento com malhas DLL e TDL

Nosso estudo sobre sincronismo abordará conceitos básicos baseados na primeira edição do livro: SKLAR, Bernard. Digital Communications - Fundamentals and Applications. New Jersey, USA: Prentice Hall, Inc., 1988, páginas: 562-570. Introdução Por sincronismo em sistemas com espalhamento espectral entende-se o processo que permite o alinhamento temporal entre as sequências de espalhamento utilizadas na transmissão e na recepção, considerando-se o atraso de propagação do sinal e demais fatores que provocam o desalinhamento entre tais sequências. O sincronismo é essencialmente efetuado em duas etapas: aquisição (acquisition) e rastreamento (tracking). Na aquisição se estabelece um sincronismo “grosso” ou pré-sincronismo entre as sequências de espalhamento. Depois de realizada a aquisição faz-se um “ajuste fino” no sincronismo, através de malhas com realimentação, permitindo que eventuais variações na temporização da sequência de espalhamento recebida, que está embutida no sinal recebido, sejam acompanhadas pela sequência gerada localmente no receptor. As principais causas da ocorrência de não-sincronismo em sistemas de comunicação são:

A incerteza na distância entre transmissor (Tx) e receptor (Rx) provoca incerteza no conhecimento do tempo de propagação.

A instabilidade nos geradores de temporização (clock) de Tx e Rx provoca defasagens entre as sequências de espalhamento de Tx e Rx. Estas defasagens tendem a aumentar com o tempo.

A incerteza na velocidade relativa entre Tx e Rx provoca incerteza no desvio Doppler percebido no Rx, o que, por sua vez, causa incerteza na frequência e na fase da portadora para demodulação coerente.

A instabilidade nos osciladores de Tx e Rx provoca desvios entre as frequências de portadora de transmissão e de demodulação.



Formas de aquisição de sincronismo As principais formas ou técnicas de aquisição de sincronismo em sistemas spread spectrum são:

Correlação paralela (parallel correlation). Procura serial ou correlação serial (serial search). Estimação sequencial (rapid acquisition by sequential estimation, RASE).

No nosso estudo daremos ênfase às técnicas de procura serial e RASE. Como exercício, tendo como referência o livro do Sklar citado anteriormente, pp. 563-568, explicar o funcionamento da forma de aquisição paralela, listando suas vantagens e desvantagens em comparação com as outras duas. Aquisição por procura serial Na aquisição por procura serial (serial search) o sinal recebido e correlacionado repetidas vezes com a sequência de espalhamento local, para vários deslocamentos desta sequência, conforme ilustra a figura a seguir, para um sinal DS-SS. O processo de aquisição realiza sucessivos cálculos de correlação entre a sequência de espalhamento gerada localmente e o sinal recebido. Enquanto o limiar que indica a condição de “aquisição realizada” não for atingido, o sistema de controle comanda avanços na temporização do gerador da sequência de espalhamento, tipicamente em múltiplos inteiros de Tc/2.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo – Este exemplo foi recuperado de uma das aulas iniciais do nosso curso, quando tratávamos das propriedades de correlação das sequências de espalhamento. Ele também corresponde ao diagrama de uma simulação com a qual se recomenda interagir, conforme indicado ao final deste texto. No diagrama mostrado a seguir, referente ao processo de aquisição de sincronismo no receptor, inicialmente a sequência embutida no sinal recebido está fora de sincronismo com a sequência gerada localmente. Com o passar do tempo, o desalinhamento entre tais sequências começa a diminuir por atuação do sistema de controle que atua em um circuito de atrasos discretos ou em um oscilador controlado por tensão (VCO – Voltage Controlled Oscillator), até o momento em que tais sequências se alinham e o valor da correlação se eleva abruptamente. Neste instante o sistema de controle “trava”



o circuito de atraso ou o VCO e o receptor se encontra na situação de aquisição de sincronismo realizada.

Lembre-se da importância de se ter um único pico na função de auto-correlação da sequência de espalhamento. Caso haja mais de um pico, a condição de travamento do sistema em questão pode ocorrer no pico errado e, desta forma, fazer com que o sistema continue fora de sincronismo, mesmo o tendo ocorrido o travamento. Perceba ainda que quanto maior for o valor do pico em relação aos demais valores da função de auto-correlação, mais facilmente a condição de aquisição de sincronismo será detectada e, por consequência, tal sistema de aquisição será mais imune à ação do ruído. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- O tempo de aquisição é diretamente proporcional ao fator λ. Entretanto, quanto maior o valor de λ, melhor a imunidade do sistema de aquisição aos efeitos do ruído, pois nesse caso o valor obtido ao final de cada período λTc será maior. Portanto, deve-se adotar uma solução de compromisso entre o tempo médio de aquisição e a imunidade contra ruído no sistema por procura serial. Para um sinal FH-SS, o processo de aquisição serial ilustrado na figura a seguir gera saltos em frequência na saída do sintetizador, numa cadência determinada pelo sistema de controle. Se a condição de aquisição não é verificada, o controle avança ou retarda a temporização do gerador de sequência de espalhamento. Quando os saltos em frequência do sintetizador estiverem alinhados com os saltos do sinal FH-SS, a saída do detector de envoltória apresentará um valor elevado para todos os saltos. Neste momento a saída do integrador, que integrará os sinais correspondentes a todos os saltos em um período da sequência de espalhamento, apresentará um valor acima do limiar, fazendo com que o sistema de controle mantenha a temporização utilizada naquele momento. As grandes vantagens do processo de aquisição serial são a baixa complexidade e o baixo custo de implementação.

Vamos agora analisar a influencia dos parâmetros do sistema DS-SS e FH-SS numa das principais figuras de mérito do processo de aquisição: o tempo médio de aquisição. Ele é dado por:



(2 )(1 )D FA

a cD

P KPT N T

Pλ− +=

onde se tem: PD é a probabilidade de detecção correta (complemento da probabilidade de erro de símbolo) quando as sequências estão alinhadas. PFA é a probabilidade de falso alarme, que corresponde à probabilidade do sistema de controle indicar sincronismo mesmo que esta situação não esteja ocorrendo na temporização adequada. K é uma constante tal que KλTc corresponde ao tempo necessário para que uma detecção correta seja verificada. Cada vez que ocorre um alarme falso, KλTc será o tempo perdido. O tempo máximo de aquisição para a técnica por procura serial é determinado da seguinte maneira: no máximo, a temporização local terá que ser avançada ou retardada de N chips, onde N é o comprimento de um período da sequência de espalhamento. Então N será o máximo desalinhamento entre as sequências que se deseja sincronizar. Como cada avanço é tipicamente de Tc/2 e a cada avanço efetua-se uma correlação que dura λTc segundos, teremos: Ta = (número de avanços em NTc)λTc = [NTc/(Tc/2)]λTc, o que leva a:

Ta = 2NλTc Aquisição RASE para sistemas DS-SS O processo de aquisição RASE (Rapid Acquisition by Sequential Estimation) é ilustrado pela figura a seguir. Inicialmente tem-se a chave na posição 1. O sistema então detecta e faz a estimativa de n chips recebidos e as coloca em n estágios do registrador de deslocamento. Estes n chips determinarão os estados iniciais do gerador de sequência de espalhamento local, a partir dos quais a sequência local para desespalhamento será gerada. Como é sabido, num gerador de sequências do tipo m tem-se a propriedade de que a combinação seguinte de estados depende da combinação anterior e da configuração de realimentação dos registradores de deslocamento. Assim, se os n chips forem estimados corretamente, isto significa que a carga inicial do registrador fará parte da sequência correta e, portanto, daí em diante, agora com a chave na posição 2, a sequência para desespalhamento será gerada aproximadamente alinhada com a sequência embutida no sinal recebido e o limiar de comparação será ultrapassado. Neste instante considera-se realizada a etapa de aquisição.



Após o intervalo de integração de λTc, se a condição de aquisição não for estabelecida a chave retorna para a posição 1 e é realizada uma nova estimativa dos próximos n chips da sequência embutida no sinal recebido. Se os primeiros n chips são estimados corretamente, teremos o mínimo tempo de aquisição que será dado então por:

a cT nT=

Embora possa ser bastante rápido em condições de alta relação sinal-ruído, o processo de aquisição RASE sofre de grande vulnerabilidade do ruído e de sinais interferentes. Isto ocorre porque a presença destes elementos de degradação fará com que sejam realizadas estimativas incorretas dos n chips, fazendo que o limiar de aquisição não seja ultrapassado. Como consequência, o sistema terá que realizar sucessivas estimativas de n chips, até que os consiga estimar corretamente. Portanto, o tempo de aquisição será fortemente afetado por esses elementos de degradação. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – Com relação ao sistema de aquisição RASE utilizado em sistemas com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS), pede-se: a) Quando o detector de chips estima corretamente todos os n chips que são em seguida carregados nos n flip-flops do gerador da sequência PN local, admite-se que a condição de aquisição de sincronismo tenha sido atingida. Justifique esta afirmativa.

Nesta situação os n chips estimados farão parte da sequência PN correta e os chips produzidos em seguida pelo gerador completarão a sequência PN que já estará, portanto, aproximadamente alinhada com aquela embutida no sinal recebido.

b) Determine a expressão de cálculo do tempo mínimo de aquisição, em função de n e de Tc, onde Tc é o intervalo de chip.

O tempo mínimo de aquisição ocorrerá quando os primeiros n chips estimados forem corretos. Portanto, este evento durará nTc. Então, Tmin = nTc .

c) Por que sinais interferentes e ruído são os grandes vilões do processo de aquisição RASE?

Porque os sinais interferentes e o ruído diminuirão a chance de acerto nas estimativas dos n chips, fazendo com que o processo de estimação tenha que ser repetido e, por consequência, aumente o tempo de aquisição do sistema.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Explique conceitualmente o significado dos processos de aquisição e de rastreamento de sincronismo em sistemas com espalhamento espectral. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Com relação a um sistema de aquisição serial de sincronismo para um sinal com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS), os avanços de temporização do gerador da sequência PN local



de comprimento C ocorrem a cada Tc/8, onde Tc é a duração de um chip desta sequência. Pede-se deduzir a expressão para cálculo do tempo máximo de aquisição, Ta.

No máximo, a temporização local terá que ser avançada ou retardada de C chips, que é o máximo desalinhamento entre as sequências que se deseja sincronizar. Como cada avanço é de Tc/8 e a cada avanço efetua-se uma correlação que dura λTc segundos, teremos: Ta = (número de avanços em CTc)λTc = [CTc/(Tc/8)]λTc ⇒ Ta = 8CλTc

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 – Com relação ao sistema de aquisição serial de sincronismo para um sinal com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS), considere que os avanços de temporização do gerador da sequência PN local de comprimento N ocorrem a cada Tc/4, onde Tc é a duração de um chip desta sequência. Pede-se ou pergunta-se: a) Deduza a expressão para cálculo do tempo máximo de aquisição Tacq para este sistema.

No máximo, a temporização local terá que ser avançada ou retardada de N chips (máximo desalinhamento). Como cada avanço é de Tc/4 e a cada avanço efetua-se uma correlação de λTc segundos, teremos: Tacq = (número de avanços em ΝTc)λTc = [ΝTc/(Tc/4)]λTc Tacq = 4NλTc

b) Que fator(es) influencia(m) a imunidade do sistema ao ruído térmico (AWGN)?

O tempo de integração λTc e, portanto, o parâmetro λ. O limiar de comparação (threshold).

c) O que deve ser feito com o limiar de comparação (threshold) se a sequência de espalhamento utilizada possuir múltiplos picos na sua função de auto-correlação?

Deve ter seu valor ajustado logo abaixo do valor de pico da função de auto-correlação em τ = 0, evitando falsas informações de aquisição (falsos alarmes) em valores de τ ≠ 0.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 – Qual a influência do parâmetro λ no tempo médio de aquisição em um sistema de aquisição serial de sincronismo para um sinal com espalhamento espectral por sequência direta? Na sua resposta não deixe de abordar a possível influência da presença de ruído e/ou interferência no processo de estabelecimento do sincronismo.

O tempo médio de aquisição é diretamente proporcional ao valor de λ. Na presença de ruído e/ou interferência, se o intervalo de integração no correlator é pequeno (λ pequeno), tal correlação estará mais sujeita à influência do ruído e/ou da interferência. Isto ocorre devido ao fato do valor absoluto da correlação entre a sequência PN gerada no receptor e aquela presente no sinal recebido na condição de sincronismo ser diretamente proporcional ao valor de λ. Por outro lado, se λ é máximo (λ = N) o valor da correlação será elevado, sendo menos susceptível aos efeitos do ruído e/ou da interferência.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Formas de rastreamento de sincronismo Depois de estabelecida a aquisição, o rastreamento é o processo através do qual é praticamente eliminada a defasagem residual entre as sequências de espalhamento local e aquela embutida no sinal recebido. Além disso, o rastreamento permite que eventuais oscilações na temporização da sequência recebida, dentro de uma determinada faixa, sejam acompanhadas ou rastreadas. Tais oscilações são denominadas genericamente de jitter. Definindo de forma mais precisa, as técnicas de aquisição são responsáveis por efetuar um alinhamento com precisão na casa de ±Tc/2 segundos em relação à temporização ideal. As técnicas de rastreamento são responsáveis por eliminar quase que totalmente o desalinhamento residual e, portanto, atuam a partir de desalinhamentos temporais iniciais que vão de –Tc/2 a + Tc/2, procurando reduzi-los tanto quanto possível. As técnicas de rastreamento de sincronismo são elaboradas a partir de malhas com realimentação denominadas de malhas de rastreamento (tracking loops). Tais malhas podem ser agrupadas em quatro grandes famílias:

Malhas coerentes, nas quais a frequência e a fase da portadora são conhecidas; Malhas não-coerentes, nas quais a frequência ou a fase da portadora, ou ambas, não são

conhecidas; Malhas de tempo contínuo, que continuamente utilizam todos seus componentes; e Malhas de tempo compartilhado, nas quais partes do sistema são reutilizadas em intervalos de

tempo distintos. Na categoria de tempo contínuo estudaremos a malha Early-Late de tempo contínuo, denominada DLL (Delay Locked Loop). Na categoria de tempo compartilhado estudaremos a malha Early-Late de tempo compartilhado, denominada TDL (Tau-Dither Loop). Ambas são malhas não-coerentes de rastreamento, ou seja, não pressupõem sincronismo de portadora. Malha DLL para sinais DS-SS com modulação BPSK A figura a seguir mostra o diagrama de blocos de uma malha de rastreamento de sincronismo do tipo DLL (Delay Locked Loop) para sinais DS-SS com modulação BPSK. Neste diagrama o sinal recebido, o qual contém a sequência de espalhamento nele embutida, é correlacionado com uma sequência de espalhamento adiantada (early correlation) e com outra atrasada (late correlation), formando os sinais ED

− e ED+, respectivamente, nas entradas do bloco gerador do sinal de erro Y(τ). As correlações em

questão são de fato aproximadas, pois são realizadas pela filtragem passa-faixa (band-pass filtering, BPF) e posterior detecção de energia (square-law detection) do produto dos sinais correlacionados, e não pela integral do produto dos sinais a serem correlacionados.



Embora se esteja fazendo a detecção de energia dos sinais de saída dos filtros BPF, para simplificar a análise matemática do problema os valores de ED

− e ED+ podem ser determinados aproximadamente

por:

( )2 2c c

D g

T TE E g t g t Rτ τ± ± + = ±

≃

onde g(t) é a forma de onda da sequência PN utilizada, Tc é a duração de um chip dessa sequência e, com o propósito de simplificação anteriormente citado, foi substituída a operação (x)2 por | x |. Ainda com relação à expressão anterior, Rg(τ ± Tc/2) é a função de auto-correlação da sequência de espalhamento utilizada, deslocada de ±Tc/2. Em caráter de exemplo, suponha que a sequência de espalhamento utilizada seja do tipo m, para a qual se sabe que a função de auto-correlação em um período tem o aspecto ilustrado na figura a seguir.

11 | |, | |

( )1

, | |

cc

c

NT

NTR

TN

τ ττ

τ

+ − ≤= − >

A próxima figura ilustra a formação do sinal de erro Y(τ) quando são utilizadas sequências de espalhamento do tipo m. Qualquer valor de τ entre ±Tc/2 gerará um sinal de erro Y(τ) que, após passagem pelo filtro de malha (loop-filter), fará com que a temporização do VCO (Voltage Controlled Oscillator) seja adiantada ou retardada, dependendo da polaridade de Y(τ). Esta realimentação fará com que τ tenda a zero à medida que o tempo passa. Quando τ = 0 os valores de ED serão idênticos nos ramos Early e Late, de tal forma que se possa utilizar uma terceira sequência g(t + τ) com o propósito de desespalhamento do sinal recebido.



Pela figura anterior percebe-se que a faixa de rastreamento, ou seja, os valores de τ que permitirão à malha fazer τ → 0 à medida que o tempo passa corresponde aproximadamente à faixa de –0.4Tc a +0.4Tc. Note que esta representa uma faixa de rastreamento total um pouco menor que Tc. Em outras palavras, para que o processo de rastreamento se inicie é preciso que o processo de aquisição consiga sincronizar as sequências local e recebida com um desalinhamento entre –0.4Tc a +0.4Tc. Devido a eventuais desbalanceamentos entre os “correlatores aproximados” early e late, um valor de Y(τ) = 0 poderá ser obtido sem que os atrasos das sequências early e late estejam simetricamente dispostos em relação à temporização que corresponde ao sincronismo ideal. Se isso acontecer a sequência g(t + τ) não é gerada em perfeito sincronismo com a sequência embutida no sinal recebido e, como resultado, a taxa de erro no sistema aumentará. Uma solução para esse problema usa um único correlator sendo compartilhado temporalmente entre os processos de correlação atrasada e adiantada. A essa solução dá-se o nome de malha early-late de tempo compartilhado ou malha Tau-Dither Loop (TDL). Na figura a seguir tem-se o diagrama de blocos de uma malha de rastreamento TDL para um sinal DS-SS com modulação BPSK. Nitidamente pode-se perceber que os dois ramos de correlação do DLL foram substituídos por um único ramo no TDL. Por controle de uma onda quadrada x(t) bipolar, gerada pelo bloco tau-dither generator, a correlação é realizada hora com a sequência de espalhamento adiantada, hora com a sequência de espalhamento atrasada. O sistema de realimentação irá fazer com que uma dessas sequências fique alinhada com a sequência recebida ou, em outra opção de implementação, uma terceira sequência g(t + τ) com temporização intermediária poderia ser gerada, a qual seria utilizada para o desespalhamento e posterior demodulação do sinal recebido. Nesse caso a malha de realimentação procuraria equilíbrio quando os valores de correlação médios obtidos fossem idênticos (em módulo) nos intervalos de amplitude “positiva” e “negativa” da forma de onda de controle x(t).



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios de fixação 1 – Exercício em grupo - Após termos terminado o estudo sobre a técnica de espalhamento espectral vamos revisitar os atributos da técnica e, como exercício, procurar justificá-los com o conhecimento que adquirimos. Forme grupos de 2 alunos e comente os atributos listados a seguir:

Baixa densidade espectral de potência. Baixa interferência eletromagnética (EMI). Baixa probabilidade de interceptação (LPI). Possibilidade de implementação de acesso múltiplo CDMA. Robustez em canais com múltiplos percursos de propagação. Possibilidade de proporcionar sigilo na comunicação. Grande imunidade a interferências.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 – Seja um sistema de rastreamento de sincronismo para sinais com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS) e modulação BPSK, implementado com uma malha DLL (Delay-Locked Loop). Sobre este sistema pede-se ou pergunta-se:

a) A que parte(s) do DLL a expressão 2 2

( )2 2c c

D g

T TE E g t g t Rτ τ± ± + = ±

≃ se refere? Nesta

expressão, g(t) é a forma de onda da sequência PN utilizada, Tc é a duração de um chip dessa sequência e Rg(τ) é uma função de auto-correlação.

A expressão se refere às saídas dos blocos “square-law detector”, os quais podem ser simbolizados por ( . )2.

b) No que diz respeito à implementação do DLL, qual a diferença entre se utilizar a expressão acima

ou a expressão dada a seguir?

( )2 2c c

D g

T TE E g t g t Rτ τ± ± + = ±

≃ .



A resposta é que se pode substituir os blocos ( . )2 por blocos que efetuem o cálculo do valor absoluto, os quais podemos simbolizar por | . |.

c) Qual das duas expressões anteriores poderá trazer melhor desempenho ao sistema? Justifique.

O uso da primeira expressão referente ao aos blocos ( . )2 pode trazer melhor desempenho ao sistema, pois a faixa de rastreamento pode ser maior que aquela proporcionada pelos blocos | . |. As figuras a seguir ilustram esta possibilidade. Perceba que a faixa de rastreamento com o uso dos blocos ( . )2 é de exatamente Tc, contra cerca de 0.8Tc quando os blocos | . | são utilizados.

Sinais de realimentação na malha DLL, com dispositivo ( x )2.

Sinais de realimentação na malha DLL, com dispositivo | x |. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Seja um subsistema de rastreamento de sincronismo para sinais com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS), implementado com uma malha DLL (Delay-Locked Loop). Os valores aproximados das saídas dos detectores de envoltória, ED, são dados por:

( )2 2c c

D g

T TE E g t g t Rτ τ± ± + = ±

≃ ,



onde g(t) é a forma de onda da sequência PN utilizada, Tc é a duração de um chip dessa sequência e Rg(τ) é uma função de auto-correlação. Pede-se e/ou pergunta-se: a) Interprete a expressão dada para ED, associando-a ao diagrama de blocos de uma malha DLL.

Os valores de ED correspondem aos valores aproximados das correlações entre as sequências PN locais (early e late) e a sequência PN embutida no sinal recebido. Esses valores aparecem nas saídas dos blocos square-law detector (entradas do bloco de subtração) da malha DLL.

b) Como os valores de ED são operados no processo de rastreamento de sincronismo?

A subtração da correlação aproximada com a sequência PN late da correlação com a sequência PN early gera um sinal de erro, Y(τ), que avançará ou retardará a temporização fornecida pelo VCO (ou VCC) até o momento em que a estabilidade da malha seja atingida. Este momento corresponderá à mesma defasagem (em módulo) entre as sequências early e late e a sequência embutida no sinal recebido. A partir desse ponto pode-se utilizar a sequência PN intermediária g(t + τ) no processo de demodulação do sinal DS-SS, pois esta sequência estará sincronizada com a sequência embutida no sinal recebido e, portanto, se terá estabelecido o ajuste fino (rastreamento) do processo de sincronismo.

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FIM DO CURSO



Referências 1. GUIMARÃES, D. A., Digital Transmission: A Simulation-Aided Introduct ion with

VisSim/Comm. ISBN: 978-3-642-01358-4. Berlin-Heidelberg, Germany: Springer Inc., 2009.

2. HAYKIN, Simon. Communication Systems. 4th Ed. New York, USA: John Wiley and Sons, Inc., 2001.

3. PROAKIS, John G. Digital Communications. 3rd Ed. USA: McGraw Hill, Inc., 1995.

4. SKLAR, Bernard. Digital Communications: Fundamentals and Applications. New Jersey, USA: Prentice Hall, Inc., 1998.

5. PETERSON, Roger L.; ZIEMER, Rodger E.; BORTH, David E. Introduction to Spread Spectrum Communication. New Jersey, USA: Prentice Hall, Inc., 1995.

6. SIMON, Marvin K. et al. Spread Spectrum Communications Handbook. USA: McGraw Hill, Inc., 2001. ISBN 0071382151.

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