UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

IE766 – GUIAMENTO E RADIAÇÃO DE ONDAS

Revisão: Modos TEMProf. Lucas Heitzmann Gabrielli

Equação de ondaPartindo das equações de Maxwell, podemos derivar a equação de Helmholz no caso geral:

∇ × 𝐄 = −𝑗𝜔𝜇𝐇 ⇔

⇔ 𝜇−1∇ × 𝐄 = −𝑗𝜔𝐇 ⇔

⇒ ∇ × 𝜇−1∇ × 𝐄 = −𝑗𝜔 (𝐉 + 𝑗𝜔𝜀𝐄) ⇔

⇔ − ∇ × 𝜇−1∇ × 𝐄 + 𝜔2𝜀𝐄 = 𝑗𝜔𝐉

Em um meio isotrópico e homogêneo, essa equação é simplificada (𝑘2 = 𝜔2𝜇𝜀):

− ∇ × ∇ × 𝐄 + 𝜔2𝜇𝜀𝐄 = 𝑗𝜔𝜇𝐉 ⇔

⇔ − ∇(∇ ⋅ 𝐄) + ∇2𝐄 + 𝜔2𝜇𝜀𝐸 = 𝑗𝜔𝜇𝐉 ⇔

⇔ − ∇𝜌𝜀 + ∇2𝐄 + 𝜔2𝜇𝜀𝐸 = 𝑗𝜔𝜇𝐉 ⇔

⇔ ∇2𝐄 + 𝑘2𝐄 = 𝑗𝜔𝜇𝐉 + ∇𝜌𝜀

Problema de guiamentoConsideramos um guia de ondas com secção transversal qualquer no plano 𝑥-𝑦 e de comprimentoinfinito na direção de 𝐮𝑧. Procuramos soluções para as equações de Maxwell que sejampropagantes na direção de guiamento e confinadas ao guia:

𝐄(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑗𝛽𝑧 𝑒 𝐇(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑗𝛽𝑧

Substituindo essa solução na equação de onda sem fontesimpressas obtemos:

∇2(𝐄𝑒−𝑗𝛽𝑧) + 𝑘2𝐄𝑒−𝑗𝛽𝑧 = 0 ⇒

⇒ ∇2𝑡 𝐄 + (𝑘2 − 𝛽2)𝐄 = 0 ⇔

⇔ ∇2𝑡 𝐄 + 𝑘2

𝑡 𝐄 = 0 (análogo para 𝐇)

Onde o operador ∇𝑡 inclui apenas as componentes comdiferenciais no plano transversal.

𝐮𝑥

𝐮𝑦

𝐮𝑧

𝜀, 𝜇

Interpretação de 𝒌𝒕

A constante 𝑘𝑡 pode ser interpretada fisicamente como a componente transversal do “vetor” deonda com magnitude 𝑘 = 𝜔√𝜇𝜀:

𝑘2𝑡 = 𝑘2 − 𝛽2 ⇔ 𝑘2 = 𝑘2

𝑡 + 𝛽2

Analisando ainda a relação de dispersão anterior definimos a frequência de corte de umadeterminada solução (modo) como a frequência em que a onda deixa de se propagar, i.e., 𝛽 = 0:

𝜔𝑐√𝜇𝜀 = 𝑘∣

𝛽=0= 𝑘𝑡

𝑓𝑐 = 𝑘𝑡2𝜋√𝜇𝜀

Campos transversais e longitudinaisO procedimento comum para resolvermos a equação de onda é calcular uma das componentesde campo e obtermos as demais a partir daquela. Para isso decompomos os campos em suacomponentes cartesianas:

𝐄 = 𝐮𝑥𝐸𝑥 + 𝐮𝑦𝐸𝑦 + 𝐮𝑧𝐸𝑧

𝐇 = 𝐮𝑥𝐻𝑥 + 𝐮𝑦𝐻𝑦 + 𝐮𝑧𝐻𝑧

Escrevendo as leis de Faraday e Ampère para um meio linear, homogêneo e isotrópico com ascomponentes dos campos explícitas, obtemos:

− 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥 = ∂𝐸𝑧∂𝑦 + 𝑗𝛽𝐸𝑦 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥 = ∂𝐻𝑧

∂𝑦 + 𝑗𝛽𝐻𝑦

− 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦 = −∂𝐸𝑧∂𝑥 − 𝑗𝛽𝐸𝑥 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦 = −∂𝐻𝑧

∂𝑥 − 𝑗𝛽𝐻𝑥

− 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧 =∂𝐸𝑦∂𝑥 − ∂𝐸𝑥

∂𝑦 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑧 =∂𝐻𝑦∂𝑥 − ∂𝐻𝑥

∂𝑦

Campos transversais e longitudinais

Utilizando as equações anteriores colocamos escrevemos as componentes transversais doscampos em função das componentes longitudinais:

𝐸𝑥 = − 𝑗𝑘2

𝑡(𝛽∂𝐸𝑧

∂𝑥 + 𝑘𝜂∂𝐻𝑧∂𝑦 ) 𝐻𝑥 = 𝑗

𝑘2𝑡

(𝑘𝜂

∂𝐸𝑧∂𝑦 − 𝛽∂𝐻𝑧

∂𝑥 )

𝐸𝑦 = 𝑗𝑘2

𝑡(−𝛽∂𝐸𝑧

∂𝑦 + 𝑘𝜂∂𝐻𝑧∂𝑥 ) 𝐻𝑦 = − 𝑗

𝑘2𝑡

(𝑘𝜂

∂𝐸𝑧∂𝑥 + 𝛽∂𝐻𝑧

∂𝑦 )

em que substituímos 𝜔𝜀 = 𝑘𝜂−1 e 𝜔𝜇 = 𝑘𝜂, com 𝜂 = √𝜇𝜀 .

As equações de onda para as componentes longitudinais são:

∂2𝐸𝑧∂𝑥2 + ∂2𝐸𝑧

∂𝑦2 + 𝑘2𝑡 𝐸𝑧 = 0 ∂2𝐻𝑧

∂𝑥2 + ∂2𝐻𝑧∂𝑦2 + 𝑘2

𝑡 𝐻𝑧 = 0

Campos transversais e longitudinais

Dependendo da geometria do guia é mais adequado trabalharmos em coordenadas cilíndricas.Uma simples transformação de coordenadas nas equações anteriores resulta em:

𝐸𝑟 = − 𝑗𝑘2

𝑡(𝛽∂𝐸𝑧

∂𝑟 + 𝑘𝜂𝑟

∂𝐻𝑧∂𝜑 ) 𝐻𝑟 = 𝑗

𝑘2𝑡

( 𝑘𝜂𝑟

∂𝐸𝑧∂𝜑 − 𝛽∂𝐻𝑧

∂𝑟 )

𝐸𝜑 = 𝑗𝑘2

𝑡(−𝛽

𝑟∂𝐸𝑧∂𝜑 + 𝑘𝜂∂𝐻𝑧

∂𝑟 ) 𝐻𝜑 = − 𝑗𝑘2

𝑡(𝑘

𝜂∂𝐸𝑧∂𝑟 + 𝛽

𝑟∂𝐻𝑧∂𝜑 )

As equações de onda em coordenadas cilíndricas ficam:

1𝑟

∂∂𝑟 (𝑟∂𝐸𝑧

∂𝑟 ) + 1𝑟2

∂2𝐸𝑧∂𝜑2 + 𝑘2

𝑡 𝐸𝑧 = 0 1𝑟

∂∂𝑟 (𝑟∂𝐻𝑧

∂𝑟 ) + 1𝑟2

∂2𝐻𝑧∂𝜑2 + 𝑘2

𝑡 𝐻𝑧 = 0

Modos TEMOs modos TEM (transverse electromagnetic) são os modos em que ambos os campos elétrico emagnético são ortogonais à direção de propagação, i.e., 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0.

Neste caso, para garantir solução não trivial para as componentes transversais, é preciso que 𝑘2𝑡

seja nulo. Além disso, sabendo que 𝐸𝑧 = 0 e 𝐻𝑧 = 0 vemos que a equação de onda originalreduz-se a uma equação de Laplace no plano transversal:

𝑘2𝑡 = 0 ⇔ 𝛽 = 𝑘 = 𝜔√𝜇𝜀

∇2𝑡 𝐄𝑡 = 0

𝐇𝑡 = 1𝜂𝐮𝑧 × 𝐄𝑡

A constante de propagação 𝛽 de um modo guiado TEM é igual à constante de propagaçãode uma onda plana no mesmo meio e a distribuição de campos transversais corresponde à

solução de um problema eletrostático bidimensional sem fontes.

Campos conservativosVoltando para a lei de Faraday e introduzindo nela o modo TEM observamos que:

∇ × (𝐄(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑗𝛽𝑧) = −𝑗𝜔𝜇𝐇(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑗𝛽𝑧 ⇒

⇒ − 𝑗𝛽(𝐸𝑥𝐮𝑦 − 𝐸𝑦𝐮𝑥) + (∂𝐸𝑦∂𝑥 − ∂𝐸𝑥

∂𝑦 ) 𝐮𝑧 = −𝑗𝜔𝜇(𝐻𝑥𝐮𝑥 + 𝐻𝑦𝐮𝑦) ⇒

⇒∂𝐸𝑦∂𝑥 − ∂𝐸𝑥

∂𝑦 = ∇𝑡 × 𝐄 = 0 ⇔ ∮𝐋

𝐄 ⋅ dℓ = 0

Essas equações mostram que os campos elétrico (e magnético) são conservativos no plano 𝑧constante, podendo então ser descritos através do gradiente de um potencial escalar Φ:

𝐄 = −∇Φ ⇔ Φ = − ∫𝐋

𝐄 ⋅ dℓ

O problema original passa então a ser: ∇2𝑡 Φ = 0.

Campos conservativos

Assim como nos problemaseletrostáticos, o campo elétricodeverá ser suportado porcondutores carregados positivae negativamente. Assim, apenasguias com mais de um condutorpodem suportar modos TEM.

𝑉 = Φ𝐴 − Φ𝐵 = −𝐴

∫𝐵

𝐄 ⋅ dℓ

𝐼 = ∮𝐋

𝐇 ⋅ dℓ

AB

Φ𝐴Φ𝐵

𝐄𝐇

𝐼 −𝐼

𝑉 = Φ𝐴 − Φ𝐵

𝑥

𝑦

Exemplos de linhas com 2 condutores

Placas paralelas

Microfita

Fios paralelos

Cabo coaxial

ObservaçõesEm guias isotrópicos (e casos particulares anisotrópicos), há ondas propagantes nos dois sentidos(𝛽 = ±𝑘):

𝑉 (𝑧) = 𝑉 +𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝑉 −𝑒+𝑗𝛽𝑧

𝐼(𝑧) = 𝐼+𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝐼−𝑒+𝑗𝛽𝑧

Podemos escrever as expressões para as ondas de tensão e corrente no domínio do tempo:

𝒱(𝑧, 𝑡) = ℜ{𝑉 (𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡}

ℐ(𝑧, 𝑡) = ℜ{𝐼(𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡}

Considerando os fasores 𝑉 + = |𝑉 +|𝑒𝑗𝜃+ e 𝑉 − = |𝑉 −|𝑒𝑗𝜃− podemos abrir, por exemplo, aexpressão anterior para 𝒱 obtendo o resultado usual:

𝒱 = |𝑉 +| cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃+) + |𝑉 −| cos(𝜔𝑡 + 𝛽𝑧 + 𝜃−)

Impedância característica e parâmetros distribuídosPor se tratarem de soluções modais, os perfis dos campos eletromagnéticos e ondas de tensãoe corrente não dependem de 𝑧, de modo que podemos definir uma impedância característica delinha 𝑍0. Por convenção utilizamos os modos propagantes na direção +𝑧:

𝑍0 = 𝑉 +

𝐼+ = −𝑉 −

𝐼−

Uma vez que as ondas propagantes nas linhas TEM podem ser caracterizadas por ondas detensão e corrente é conveniente introduzirmos um modelo de parâmetros circuitais distribuídos.Para as linhas sem perdas analisadas até agora teremos uma capacitância por unidade decomprimento 𝐶′ e uma indutância por unidade de comprimento 𝐿′:

𝐶′ = 1𝑐𝑍0

𝐿′ = 𝑍0𝑐

Observamos que:

𝑍0 = √ 𝐿′

𝐶′ 𝑐 = 1√𝐿′𝐶′

𝑗𝜔𝐿′Δ𝑧

1𝑗𝜔𝐶′Δ𝑧𝑉 (𝑧) 𝑉 (𝑧 + Δ𝑧)

𝐼(𝑧) 𝐼(𝑧 + Δ𝑧)

PotênciaPartindo do teorema de Poynting:

𝑃𝑇 = ∫𝐒

𝓢 ⋅ d𝐒 = ∫𝑆

12ℜ{𝐄 × 𝐇∗} ⋅ 𝐮𝑧 d𝑆 = 1

2𝜂 ∫𝑆

|𝐄|2 d𝑆 = 12𝜂 ∫

𝑆

|∇Φ|2 d𝑆

Utilizando o modelo circuital é possível mostrar que a expressão anterior pode ser escrita como:

𝑃𝑇 = 12ℜ{𝑉 ∗𝐼}

Por exemplo, para o modo propagando-se na direção +𝑧 definido anteriormente:

𝑃𝑇 = 12𝑍0

|𝑉 +|2 = 𝑍02 |𝐼+|2

Médias temporais das energias elétrica e magnética por unidade de comprimento:

𝑊 ′𝑒 = 1

4𝜀 ∫𝑆

|𝐄|2 d𝑆 = 14𝐶′|𝑉 |2 𝑊 ′

𝑚 = 14𝜇 ∫

𝑆

|𝐇|2 d𝑆 = 14𝐿′|𝐼|2

PerdasNo caso das linhas TEM é possível associar os coeficientes de atenuação ôhmica 𝛼𝑐 e dielétrica𝛼𝑑 a parâmetros circuitais distribuídos: à resistência por unidade de comprimento (𝑅′) e àcondutância por unidade de comprimento (𝐺′), respectivamente.

Para as perdas ôhmicas:

𝛼𝑐 = 𝑝𝑐2𝑃𝑇

=12𝑅′|𝐼|2

𝑍0|𝐼|2 = 𝑅′

2𝑍0⇔ 𝑅′ = 2𝑍0𝛼𝑐

Para o dielétrico:

𝛼𝑑 = 𝑝𝑑2𝑃𝑇

=12𝐺′|𝑉 |2

1𝑍0

|𝑉 |2= 𝑍0𝐺′

2 ⇔ 𝐺′ = 2𝛼𝑑𝑍0

𝛼𝑑 = 𝑘2

2𝛽 tan 𝛿 = 𝛽2 tan 𝛿 ⇒ 𝐺′ = 𝜔𝐶′ tan 𝛿

Exemplo 1: placas paralelas

ℎ

𝑤

𝑦

𝑥𝑉

𝐸𝑦 = −𝑉ℎ ⇒ 𝐻𝑥 = −

𝐸𝑦𝜂 = 𝑉

𝜂ℎ

𝐼 = ∮𝐋

𝐇 ⋅ dℓ = 𝐻𝑥𝑤 = 𝑉𝜂

𝑤ℎ ⇒ 𝑍0 = 𝜂 ℎ

𝑤

𝐶′ = 1𝑐𝑍0

= 𝜀𝑤ℎ 𝐺′ = 𝜔𝐶′ tan 𝛿 = 𝜔𝜀 tan 𝛿𝑤

ℎ

𝐿′ = 𝑍0𝑐 = 𝜇 ℎ

𝑤 𝑅′ = 2𝑅𝑠𝑤

Exemplo 2: cabo coaxial

𝑥

𝑦

2𝑏 2𝑎 A

BEm coordenadas cilíndricas:

∇2𝑡 Φ = 0 ⇔ Φ = (const.) − 𝑉

ln ( 𝑏𝑎)

ln 𝑟

𝐸𝑟 = −∂Φ∂𝑟 = 𝑉

ln ( 𝑏𝑎)

1𝑟 ⇒ 𝐻𝜑 = 𝐸𝑟

𝜂 = 𝑉𝜂 ln ( 𝑏

𝑎)1𝑟

𝐼 = ∮𝐋

𝐇 ⋅ dℓ = 2𝜋𝑉𝜂 ln ( 𝑏

𝑎)⇒ 𝑍0 = 𝜂

2𝜋 ln ( 𝑏𝑎)

𝐶′ = 1𝑐𝑍0

= 2𝜋𝜀ln ( 𝑏

𝑎)𝐺′ = 𝜔𝐶′ tan 𝛿 = 2𝜋𝜔𝜀

ln ( 𝑏𝑎)

tan 𝛿

𝐿′ = 𝑍0𝑐 = 𝜇

2𝜋 ln ( 𝑏𝑎) 𝑅′ = 𝑅𝑠

2𝜋 (1𝑎 + 1

𝑏)

Modelo completo𝑅′Δ𝑧 𝐿′Δ𝑧

𝐺′ Δ

𝑧

𝐶′ Δ

𝑧

𝐼(𝑧) 𝐼(𝑧 + Δ𝑧)

𝑉 (𝑧) 𝑉 (𝑧 + Δ𝑧)𝑍′ = 𝑅′ + 𝑗𝜔𝐿′

𝑌 ′ = 𝐺′ + 𝑗𝜔𝐶′

As equações para o circuito são:

𝑉 (𝑧) = 𝑉 (𝑧 + Δ𝑧) + 𝑍′Δ𝑧𝐼(𝑧)

𝐼(𝑧) = 𝐼(𝑧 + Δ𝑧) + 𝑌 ′Δ𝑧𝑉 (𝑧 + Δ𝑧)

Utilizando a definição de diferencial:

limΔ𝑧→0

𝑉 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝑉 (𝑧)Δ𝑧 = d𝑉

d𝑧 = −𝑍′𝐼 limΔ𝑧→0

𝐼(𝑧 + Δ𝑧) − 𝐼(𝑧)Δ𝑧 = d𝐼

d𝑧 = −𝑌 ′𝑉

Soluções do modelo circuitalFacilmente mostramos que as soluções do sistema anterior podem ser escritas como:

𝑉 (𝑧) = 𝑉 +𝑒−𝛾𝑧 + 𝑉 −𝑒+𝛾𝑧

𝐼(𝑧) = 𝐼+𝑒−𝛾𝑧 + 𝐼−𝑒+𝛾𝑧 = 1𝑍0

(𝑉 +𝑒−𝛾𝑧 − 𝑉 −𝑒+𝛾𝑧)

onde 𝛾 =√

𝑍′𝑌 ′ = 𝛼 + 𝑗𝛽 e definimos a impedância característica complexa:

𝑍0 = 𝑉 +

𝐼+ = √𝑍′

𝑌 ′ = √ 𝑅′ + 𝑗𝜔𝐿′

𝐺′ + 𝑗𝜔𝐶′

No caso sem perdas 𝑅′ = 𝐺′ = 0 e recuperamos:

𝛾 = 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔√

𝐿′𝐶′ 𝑍0 = √ 𝐿′

𝐶′

Linha com terminação

𝑍0 𝑍𝐿

𝑧0−ℓ

𝑉 (𝑧)

𝐼(𝑧)

𝑉 (𝑧) = 𝑉 +𝑒−𝛾𝑧 + 𝑉 −𝑒𝛾𝑧

𝐼(𝑧) = 1𝑍0

(𝑉 +𝑒−𝛾𝑧 − 𝑉 −𝑒𝛾𝑧)

No final da linha de transmissão, em 𝑧 = 0, temos a relação usual 𝑉 (0) = 𝑍𝐿𝐼(0), de ondeobtemos:

𝑉 + + 𝑉 − = 𝑍𝐿𝑍0

(𝑉 + − 𝑉 −) ⇔ 𝑉 − = 𝑍𝐿 − 𝑍0𝑍𝐿 + 𝑍0

𝑉 +

Como 𝑉 +𝑒−𝛾𝑧 representa uma onda de tensão propagando-se no sentido +𝑧 e 𝑉 −𝑒𝛾𝑧 no sentido−𝑧, definimos o coeficiente de reflexão na carga:

Γ𝐿 = 𝑉 −

𝑉 + = 𝑍𝐿 − 𝑍0𝑍𝐿 + 𝑍0

Coeficiente de reflexão

• Curto-circuito: 𝑍𝐿 = 0, Γ𝐿 = −1

• Circuito aberto: 𝑍𝐿 → ∞, Γ𝐿 = 1

• Carga casada: 𝑍𝐿 = 𝑍0, Γ𝐿 = 0

• Carga reativa, 𝑍0 ∈ ℝ: 𝑍𝐿 = 𝑗𝑋𝐿, |Γ𝐿| = 1

Podemos ainda definir o coeficiente de reflexão ao longo de toda a linha de transmissão:

Γ(𝑧) = 𝑉 −𝑒𝛾𝑧

𝑉 +𝑒−𝛾𝑧 = Γ𝐿𝑒2𝛾𝑧

Por exemplo, na entrada da linha em 𝑧 = −ℓ:

Γ(−ℓ) = Γ𝐿𝑒−2𝛾ℓ

A magnitude do coeficiente de reflexão é sempre limitada em 1. Notamos que, no caso de linhasem perdas (𝑍0 ∈ ℝ e 𝛾 = 𝑗𝛽), essa magnitude não se altera ao longo da linha, apenas a fase docoeficiente muda.

Onda estacionáriaConsiderando uma linha sem perdas, se observarmos a magnitude da onda de tensão que seforma na linha veremos que:

|𝑉 (𝑧)| = ∣𝑉 +𝑒−𝑗𝛽𝑧 + 𝑉 −𝑒𝑗𝛽𝑧∣ = |𝑉 +| ∣1 + Γ𝐿𝑒𝑗2𝛽𝑧∣ ⇒

⇒ 1 − |Γ𝐿| ≤ |𝑉 (𝑧)||𝑉 +| ≤ 1 + |Γ𝐿|

Partindo dessa relação definimos a razão de onda de tensão estacionária (voltage standing waveratio):

VSWR = max |𝑉 (𝑧)|min |𝑉 (𝑧)| = 1 + |Γ𝐿|

1 − |Γ𝐿|

Enquanto o coeficiente de reflexão mede a reflexão da onda de tensão em termos de magnitudee fase, a razão de onda estacionária contém apenas informação sobre a amplitude da reflexão.Uma linha terminada com carga casada apresenta VSWR = 1 e esse valor cresce quanto maiorfor o descasamento.

Impedância de entradaPodemos calcular a impedância vista em qualquer ponto da linha através das ondas de tensão ecorrente totais (atenção para a diferença com a definição da impedância característica da linha):

𝑍(𝑧) = 𝑉 (𝑧)𝐼(𝑧) = 𝑍0

𝑍𝐿 + 𝑍0 tanh(−𝛾𝑧)𝑍0 + 𝑍𝐿 tanh(−𝛾𝑧) = 𝑍0

1 + Γ(𝑧)1 − Γ(𝑧)

Para o caso sem perdas obtemos a forma simplificada:

𝑍(𝑧) = 𝑍0𝑍𝐿 + 𝑗𝑍0 tan(−𝛽𝑧)𝑍0 + 𝑗𝑍𝐿 tan(−𝛽𝑧)

Em especial, podemos calcular a impedância de entrada da linha 𝑍in = 𝑍(−ℓ), que é umelemento de parâmetro concentrado utilizado para substituir a linha e sua terminação.

𝑍0 𝑍𝐿 ⟷ 𝑍in

𝑧0−ℓ

Casos particularesTerminação com carga casada:

𝑍𝐿 = 𝑍0 ⇒ 𝑍(𝑧) = 𝑍0

Terminação em curto-circuito (𝑉 (0) = 0):

𝑍𝐿 = 0 ⇒ 𝑍(𝑧) = 𝑍0 tanh(−𝛾𝑧)

ou 𝑍(𝑧) = 𝑗𝑍0 tan(−𝛽𝑧) (sem perdas)

Terminação em circuito aberto (𝐼(0) = 0):

𝑍𝐿 → ∞ ⇒ 𝑍(𝑧) = 𝑍0 coth(−𝛾𝑧)

ou 𝑍(𝑧) = −𝑗𝑍0 cot(−𝛽𝑧) (sem perdas)

Além de transmissão de potência, em altas frequências linhas de transmissão são utilizadascomo elementos de circuito. Em especial, linhas sem perdas curto-circuitadas ou em abertorepresentam cargas puramente indutivas ou capacitivas dependendo do comprimento da linha.

Circuito completo

𝑍0 𝑍𝐿

𝑍𝑆

𝑉𝑆 ⟷ 𝑉𝑆

𝑍𝑆

𝑍in

𝑧0−ℓ

𝑉 (𝑧) 𝑉in

𝐼(𝑧)

𝐼in = 𝑉in𝑍in

= 𝑉𝑆𝑍in + 𝑍𝑆

𝑉 (−ℓ) = 𝑉 + (𝑒𝛾ℓ + Γ𝐿𝑒−𝛾ℓ) = 𝑉in ⇔ 𝑉 + = 𝑉in𝑒𝛾ℓ + Γ𝐿𝑒−𝛾ℓ

∴ 𝑉𝐿 = 𝑉 (0) = 𝑉 +(1 + Γ𝐿)

Transmissão de potência

𝑃𝑇(𝑧) = 12ℜ{𝑉 ∗(𝑧)𝐼(𝑧)} (transmitida ao longo da linha)

𝑃𝐿 = 12ℜ{𝑉 ∗

𝐿𝐼𝐿} = 12 ∣ 𝑉𝐿

𝑍𝐿∣2

ℜ{𝑍𝐿} = |𝐼𝐿|22 ℜ{𝑍𝐿} (dissipada na carga)

𝑃in = 12ℜ{𝑉 ∗

in𝐼in} = |𝐼in|22 ℜ{𝑍in} (entregue para a linha)

𝑃𝑆 = 12ℜ{(𝑉𝑆 − 𝑉in)∗𝐼in} = |𝐼in|2

2 ℜ{𝑍𝑆} (dissipada na fonte)

𝑃tot = 12ℜ{𝑉 ∗

𝑆 𝐼in} = |𝐼in|22 ℜ{𝑍in + 𝑍𝑆} (fornecida pela fonte)

Para uma linha sem perdas devemos ter:

𝑃in = 𝑃𝐿 = 𝑃𝑇 = |𝑉 +|22𝑍0

(1 − |Γ𝐿|2)